taller de matemáticas etapa intermedia -...

Matemáticas 2

Secundaria

Bloque 1

Escuela Berta Von Glümer

2

ESTIMADO ALUMNO (A) DE SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA

DE LA ESCUELA BERTA VON GLÜMER:

Con la finalidad de continuar con el esfuerzo realizado por parte de la

Dirección de Secundaria y de tu Profesor hemos realizado este Cuaderno

de Trabajo N° 1, cuya principal finalidad es apoyar en la adquisición de

aprendizajes correspondientes al nivel y grado que cursas.

Recuerda, pon tu mejor empeño en cada una de las actividades, podrás

cometer errores; pero cada error es una posibilidad para mejorar y

aprender.

¡Éxito!

Atentamente

Coordinación de Matemáticas


3

Multiply and divide with negative and positive

numbers

Multiply a Positive and a Negative

Exercise A. Use the way of thinking described above to calculate each product.

1. 3 ∙ (−7)

2. −2 ∙ 3

3. −6 ∙ 3

4. 4 ∙ (−5)

5. −9 ∙ 7

6. −2 ∙ 5

Exercise B Now you will investigate products in which the positive number is a fraction or a decimal.

1. 1

2∙ (−10)

2. 1

3∙ (−9)

3. 2

3∙ (−9)

4. −5 ∙ (1.2)

5. 3.2 ∙ (−1.1)

6. −2

3∙

3

8

Multiplying with negative numbers can help you explore some interesting

situations. Use what you learned.


4

Exercise C

a) Mara jumps into the ocean from a boat. She starts at an elevation of 0 meters, and her elevation decreases 15 meters every minute.

What is her elevation after one minute? What is her elevation after five minutes?

b) You know that you can convert Celsius temperatures to Fahrenheit temperatures with the formula:

𝐹 =9

5𝐶 + 32

Where C is the temperature in degrees Celsius and F is the temperature in degrees Fahrenheit. The lowest temperature recorded in Canada is -42°C. Convert this temperature to find the temperature in degrees Fahrenheit.

c) Create a word-problem exercise that requires calculating 3·(-8)


5

Multiply Two Negative

In the past section, you used addition to figure out how to multiply a negative number

by a positive number. You cannot use that strategy with two negative numbers

because you cannot add a negative number and a negative number of times.

However, the pattern in products of a positive number and a negative number can

help you figure out how to multiply two negative numbers.

Exercise A Find each product.

a) −3 ∙ 4

b) −9 ∙ 3

c) −3 ∙ 2

d) −6 ∙ 4

e) −5 ∙ 0

Is the product of a positive number and a negative number: always negative? always positive? sometimes positive, sometimes negative, and sometimes 0?


6

Exercise B Now use your calculator to compute these products.

a) −3 ∙ −4

b) −9 ∙ −3

c) −3 ∙ −2

d) −6 ∙ −4

e) −5 ∙ −1

Did the pattern you observed in Exercise A continue? What do you think the rule is for finding the product sign of any two negative numbers? Exercise C Use your rule to find each product. Discuss your results with a partner.

a) −13 ∙ −7

b) 9 ∙ 30

c) 0 ∙ −256

d) −16 ∙ 4

e) 5.5 ∙ −14


7

Divide With Negative Numbers

You can solve any division exercise by thinking about a corresponding multiplication

exercise.

For example, to find 30 ÷ 5 you should think what number times 5 equals 30.

Since 5 × 6 = 30, I know that 30 ÷ 5 = 6. You can use the same logic to solve a

division involving negative numbers.

Following a similar example, to find -30 ÷ 5 you have to think what sign you should

use.

5 × 6 = 30, but you have negative 30, 5 × ? = -30.

Then you could suppose 5 × -6 = -30.

Exercise A Use the past method to solve each division exercise.

a) 21 ÷ (−7)

b) −64 ÷ (−8)

c) −26 ÷ 13

d) 3 ÷ −0.3


8

Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros

Ejercicios:

a) Las siguientes dos tablas describen el descenso de temperaturas en dos

cámaras de refrigeración. Calcula los datos que faltan en ambas, tomando

en cuenta que el descenso de temperaturas fue constante e inició en 0° C.


9

b) Completa los casilleros en blanco de las siguientes tablas:


10

Multiply Expressions with the Same Base

Ana and Javier are playing to write the highest number possible. They have to use

three times the same number and any operation. Look what each one did and define

which one got the highest number.

Ana: 5 x 5 x 5

Javier: 555

What operation did use Ana?

What operation did use Javier?

How could you get Ana’s result using Javier’s model?

How could you represent Javier’s operation using Ana´s model?

Exercise A Analyze every definition and select the best word to each one.

Base ( )

Exponent ( )

(A) A number that tells how many times a quantity is multiplied by itself

(B) Number that is multiplied by itself


11

Exercise B Represent each expression as a repeated multiplied number. Use your new knowledge about base

Exercise C Represent each expression as an exponent model

a) 95

b) 58

c) 83

d) 35

e) 59

a) 3 × 3 × 3 × 3 =

b) 5 × 5 × 5 × 5 =

c) 4 × 4 × 4 =

d) 2 × 2 × 2 × 2 =

e) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 =


12

Multiply Expressions with the Same Base

Look the following expression:

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × …

A) How many times the factor 2 is shown?

B) At this point, how many more times you have to multiply number 2 to get the

expression needed?

Now represent as an exponent model the past questions

A)

B)


13

Exercise A Rewrite each expression as a power of 2. It may help to think of every expression as repeated multiply of 2. Look for the example.

Example: 23 ∙ 22 = (2 × 2 × 2) ∙ (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25

Think about how you could rewrite one of the past exercises.

a) 22 ∙ 24

b) 24 ∙ 26

c) 26 ∙ 21

d) 21 ∙ 28

e) 28 ∙ 25


14

Martin thought about how he could rewrite the expression 230 ∙ 210.

“230 ∙ 210… it’s too long to write out… hmmm… in 23 ∙ 22 , it’s 3 factors of 2, and 2

more, so, it’s 5 factors of 2, which is 25. I see… I can just add the exponents! Then,

230 ∙ 210 is 230+10, which is 240…”

Martin’s idea is one of the product laws of exponents, which can be expressed like

the following.

Multiplying Expressions with the same base

𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐

Exercise B Rewrite each expression using a single base.

a) 52 ∙ 54

b) 84 ∙ 86

c) 36 ∙ 33

d) 117 ∙ 118

e) 18 ∙ 19


15

Calculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas

de la misma base y potencias de una potencia. Significado de

elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

Multiplicación de potencias de igual base.

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos 𝑎𝑛 x 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚.

División de potencias de igual base.

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la resta de los exponentes respectivos .

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1: 𝑎0 = 1, se cumple

que a 0.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a: 𝑎1 = a

Potencia de exponente negativo.

La potencia de base a distinta de 0 y exponente negativo (-n) es igual Si

se cumple que a 0

Recorta una tira de cartulina que tenga 10 centímetros de ancho y un metro

de largo.

Dobla la tira a lo largo, luego a la mitad de ahí a la mitad, después a la mitad

y otra vez a la mitad. Supón que puedes ir dividiendo a la mitad tantas veces

como quieras……


16

a) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el tercer doblez?

b) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el cuarto doblez?

c) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el doblez número n?


17

Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre

dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de

las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los

triángulos y paralelogramos.

Ángulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen, llamado

vértice. Las semirrectas se llaman lados.

Completa la tabla de clasificación de ángulos:

Ángulo entrante. El que es mayor de dos rectos pero menor que cuatro rectos

(mayor de 180º y menor de 360º).

Ángulos adyacentes. Aquellos que tienen un mismo vértice y un lado común.


18

Ángulos oblicuos. Son ángulos desiguales que se forman cuando se cortan dos

rectas. Pueden ser agudos (si son menores que un recto) u obtusos (si son mayores

que un recto).

Ángulos complementarios. Aquellos en donde su suma es un recto, es decir, la

suma de los dos ángulos debe ser igual a 90º.

Ángulos suplementarios. Aquellos en donde su suma es dos rectos, es decir, la

suma de los dos ángulos debe ser igual a 180º.

Ángulos entre paralelas

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman

los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al

mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de

ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que están "fuera" de las paralelas a distinto

lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

o Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

o Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

o Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.


19

Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Ejemplo: En un terreno se encuentran varios edificios que están por demolerse, un grupo de ingenieros topógrafos llevó a cabo una serie de medidas para determinar las dimensiones que tendrá un nuevo espacio urbano cuya forma será triangular. Debido a los espacios de la zona sólo se pudieron obtener las medidas que se muestran en la imagen que corresponde a una representación a escala donde 1 cm equivale a 4 m. A partir de esta información determina.

a) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir a partir de esta información? ____________________________________________________________

b) ¿Cuáles son las medidas faltantes en el triángulo por construir?

c) Determina las medidas reales de los lados del nuevo espacio urbano


20

Ejercicios:

Se sabe que la medida de un ángulo interno en un triángulo es de 40°, en el siguiente espacio traza tres triángulos distintos que cumplan con esta condición:

Se sabe que las medidas de dos ángulos internos de un triángulo son de 50° y 35°, respectivamente. En el siguiente espacio traza tres triángulos que cumplan con esta condición:

Dibuja un triángulo cuyas longitudes de sus lados sean 3cm, 4cm, y 5cm. A partir del triángulo final y con ayuda de un transportador, determina las medidas de sus ángulos internos:


21

Area of Composite Figures

A Composite figures is a figure made of two or more two-dimensional figures. The

composite figure shown to the right is made of two rectangles.

Example

1. Find the area of the figure at the rigth.

The figure can be separated into a rectangle. Find the area of each.

Area of Rectangle

6 in

10 in

A = b * h

A = 10 · 6 or 60


22

Area of Triangle

4 in

4 in

A = 1

2 bh

A = 1

2 (4) (4) or 8

The area is 60 + 8 or 68 square inches.

Exercises

Find the area of each figure

8 ft

10 ft

4ft

12 ft

5m

10 m

7m

7m


23

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de

figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de

prismas y pirámides.

En el taller de carpintería, los alumnos elaboraron un cubo de colores como

el que muestra a continuación:

o ¿Cuántos cuadrados forman las seis caras del cubo? _____________

o Calcula la medida del área de la cara 1.

o ¿Cuál es el área de las seis caras del cubo?

Cara 1

15 cm


24

Ejercicios:

Alberto participará en un concurso de alebrijes. Para su construcción utilizará un bloque de madera que tiene forma de prisma hexagonal, cuyas medidas se muestran en la imagen:

a) ¿Qué figuras geométricas reconoces en el bloque de madera? ___________________________________________________________

b) ¿Cuál es el área total de las paredes laterales que conforman el bloque?

c) ¿Cuál es el área de la base del bloque?

Encuentra el área de la siguiente figura:


25

Percents Greater than 100% and Percents Less than 1% Plants. There are over 220, 000 species of planets on Earth. Of those, 590 are carnivorous. Plants such as a Venus Flytrap catch their prey as food.

1. Write the fraction of species of carnivorous plants in simples form.

_________ ÷ _____ = ________ 220, 000 22, 000

2. Write your answer to Exercise 1 as a decimal rounded to the nearest thousandth. Use division to find your answer.

≈

3. Since 0.3 = 30 % and 0.03 = 3%, what percent is equal to 0.003? Explain. Estimate the Percent of a number Estimating with percents will provide a reasonable solution to many real-world problems. Choose compatible numbers when estimating the percent of a number.

Examples

1. Estimate 47% of 692.

47 % is close to 50% or 1

2 . Round 692 to 700

1

2 of 700 is 350.

So, 47 % of 692 is about 350


26

2. Polar bears can eat as much as 10% of their body weight in less tan one hour. If an adult male polar bear weighs 715 pounds, about how much food can the he eat in one hour?

To determine how much food a polar bear can eat in one hpur, you need estimate 10% of 715. Method 1 Find equivalent ratios.

10% = 1

10 and 715 ≈ 700

1

10 =

700 Write the equivalent ratios

1

10 =

700 Since 10 x 70 = 700, multiply 1 by 70

The unknown value is 70 Method 2 Use mental math.

10% = 1

10 and 715 ≈ 700

1

10 of 700 is 70

So, a polar bear can eat about 70 pounds of food in one hour.

Exercises

1. Estimate 17 % of 198.

2. Kayleigh dediced to donate 30% of her savings. If she has $238 in her savings account, about how much will she date?


27

3. A purse that originally cost $29.99 is on sale for 50% off. About how much is the sale price of the purse?


28

Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

La basura espacial aumentó en 2009 cerca del 20%, con respecto a los niveles reportados en 2008. Se estima que había en ese entonces 15 000 piezas de escombros en el espacio, desde cohetes, lanzadores intactos y restos de aparatos dañados, según se desprende de un informe de la Oficina del Programa de la NASA de Restos Orbitales. Un experto de la NASA, estimó que había 10 000 objetos mayores que 10 cm, y 500 000 objetos menores de 10cm, que forman parte de la chatarra que orbita sin control alrededor del planeta.

a) De acuerdo con los datos anteriores, completa la tabla:

Cantidad de basura en 2008

Porcentaje de aumento

Cantidad de basura en 2009

Escombro 15 000 20%

Objetos mayores que 10 cm

10 000 20%

Objetos menores que 10 cm

500 000 20%

b) ¿Qué cantidad total de basura espacial existía en 2009?

Según informes, la basura espacial aumentó de 2009 a 2010 en 3%. En 2011 creció 1.37 % con respecto a los niveles de 2010. Los científicos estiman que


29

la cantidad de basura espacial aumentará de una manera constante hasta el año 2055, es decir, aumentará 1.3% al año. Completa la tabla:

Cantidad de basura

2009 2010 2011 2055

Escombro

Objetos mayores que

10 cm

Objetos menores

que 10 cm

Total de basura

espacial

Regla de tres Para obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa, por ejemplo, si 12% de una cantidad es 87, ¿Cuál es esa cantidad? Esto puede obtenerse mediante la regla de tres: 87

𝑥 =

12 %

100% (87) (100%) = (12%) (x) 8700 = 12% (x);

8700

12 = x

x= 725 Por tanto, si 87 es 12% de una cantidad, dicha cantidad es 725.


30

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

En muchas situaciones cuantitativas podemos observar cambios regulares que

ocurren en intervalos constantes de tiempo o durante procesos repetitivos y que,

además, dependen de una cantidad y una tasa de cambio; por ejemplo, el

crecimiento poblacional o el incremento en el capital ahorrado en un banco.

Ejemplos:

Luisa ha decidido ahorrar su dinero en el banco. Éste le ofrece regresarle su capital original más 15% de esta cantidad por concepto de intereses.

a) ¿Cuánto dinero tendrá Luisa al término del primer mes?

b) Si decide ahorrar en el banco todo lo que tendrá después del primes mes, ¿cuánto dinero tendría al termino del segundo mes?

Ejercicios:

Una especie de microorganismos duplica su población cada 6 horas. Si a las 12 hrs. había 5 individuos, ¿Cuál sería la población de una semana? ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

En el año 2005 la población de una ciudad era de 45 566 habitantes. Considerando que la tasa de crecimiento anual es de 1.7% y que se mantiene constante, responde:

a) ¿Cuál es la población esperada para 2017?


31

b) ¿Cuál es la población esperada para 2025?


32

Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.

Los juegos de azar son ejemplos de experimentos o experiencias aleatorias. En

ellos no se puede conocer cuál será el resultado antes de que este se realice.

Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio.

Ejemplos:

Pablo, Ana María y Consuelo compraron boletos para la rifa de un

equipo de sonido. El tiraje de boletos fue de 300. Pablo compró los números

34, 78, 90, 21; Ana María compró los números 210, 211, 212, 213; y

Consuelo el número 67 ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿Por qué?

Se lanzan simultáneamente dos dados, uno de color rojo y otro azul,

considera el número que exhibe cada uno en su cara superior. ¿Qué es más

probable que caiga un número par en el dado rojo o qué la suma de ambos

sea 7?


33

Ejercicios:

Se tira una moneda si sale cara se saca una bola de la urna A que

contiene una bola roja, una azul y una verde. Si sale cruz se saca de la urna B

en la que hay una bola roja, una azul, una blanca y una negra.

a) Realiza el diagrama de árbol que muestre los posibles resultados

b) Escribe los posibles resultados

c) ¿cuál es la probabilidad de sacar cara y bola roja?

Al girar la rueda de la figura, ¿Cuál es la probabilidad de que salga

rojo y mayor que 3?


34

Median and Mode

The median of a list of values is the value appearing at the center of a sorted version

of the list, or the mean of the two central values, if the list contains an even number

of values.

The mode is the number or number than occur most often.

Examples

1. The table shows the number of monkeys at eleven different zoos. Find the

median and mode of the data.

Order the data from least to greatest.

Median 12, 16, 18, 18, 25, 28, 30, 34, 36, 42, 44 28 is in the center

Mode 12, 16, 18, 18, 25, 28, 30, 34, 36, 42, 44 18 occurs most often

The median is 28 monkeys. The mode is 18 monkeys.

Number of Monkeys

28 36 18 25 12 44 18 42 34 16 30


35

Go it? Do this problem to find out.

a. The list shows the number of stories in the 11 tallest buildings in Springfield.

Find the median and more of the data.

40, 38, 40, 37, 33, 30, 20, 24, 21, 17, 19

Exercises

1. Find the median and more of the temperatures displayed in the graph.

Median 55.8, 58.2, 64.4, 71.2

58.2 + 64.4 = 122.6 2 2 = 61.3°

Mode There is no mode

2. Miguel researched the average precipitation in several states. Find and

compare the median and mode of the average precipitation.

Median 32.8, 42.2, 42.4, 48.9, 50.7, 54.5, 58.3, 60.1

48.9 + 50.7 = 99.6 = 49.8 2 2

Mode 32.8, 42.2, 42.2, 48.9, 50.7, 54.5, 58.3, 60.1

64.471.2

55.8 58.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Sun Mon Tue Wed

TEM

PER

ATU

RE

(°F)

DAY

There are an even number of data

values. So, to find the median, find

the mean of the two central

values.


36

The median is 49.8 inches and mode is 42.2 inches. The median is 7.6 inches greater than the mode.

Got it? Do these problems to find out.

Find the median and more of the costs in the table.

Find and compare the median and mode of the costs in the table.

Cost of Backpacks ($)

16.78 48.75 31.42 18.38 22.89 51.25 28.54 26.79

Cost of Juice ($)

1.65 1.97 2.45 2.87 2.35 3.75 2.49 2.87


37

Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

El promedio o media aritmética de un conjunto de datos se obtiene al sumar todos

los datos y después dividir esta suma entre el número total de datos.

Cuando la cantidad de datos es un número impar, la mediana se obtiene

ordenándolos de menor a mayor, el número que se encuentra exactamente a la

mitad de esta ordenación es la mediana.

Cuando la cantidad de datos es un número par, y al ordenar los datos dos de estos

quedaran en medio, la mediana se obtiene a partir del promedio de estos dos datos.

Ejemplos:

En una encuesta sobre hábitos de lectura, se preguntó a varias

personas cuántos libros leen al año, la tabla siguiente muestra los datos

obtenidos:

a) Según los datos de la encuesta ¿Cuántos libros lee en promedio una

persona?

b) ¿Cuál es el valor de la mediana para este conjunto de datos?


38

Ejercicio:

Observa la siguiente gráfica de frecuencias sobre el ingreso mensual

de un grupo de trabajadores de una empresa:

a) ¿Cuál es el promedio de ingreso de los

trabajadores?

b) ¿Cuál es la mediana?

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