Tabelas de Frequência

1. Tabela de Frequências Absolutas e Relativas

(em variáveis discretas – Dados Não Agrupados)

Considere-se como variável estatística as notas de uma determinada turma, com 20 alunos:

14 14 14 14 17 17 108 9 9 17 12 13 10

12 15 14 15 7 9

Com as notas assim dispostas, não se obtém grandes conclusões relativamente ao rendimento

da turma.

Será necessário agrupar os dados numa tabela (de frequências absolutas e relativas,

acumuladas ou não).

A tabela seguinte apresenta já os dados com frequências não acumuladas e acumuladas:

Interpretação da tabela:

1.1. Frequências não acumuladas:

- Representa a variável estatística (que é o que se pretende estudar! Neste caso as notas)ix

if

Tabelas de Frequência

- Frequência absoluta do dado estatístico ( ix ) da variável e é o n.º de vezes que esse valor

foi observado na amostra ou população.

Tem-se que:

- Frequência relativa do dado estatístico ( ix ) da variável e é dada por:

- Frequência relativa em percentagem do dado estatístico ( ix ) da variável e é dada

por:

Notas:

1.

2.

3.

4.

1.2. Frequências Acumuladas:

iF - Frequência absoluta acumulada, pode ser corresponde:

11 fF =

212 ffF +=

3213 fffF ++=

43214 ffffF +++=

…..

Nfff =+++ 921

ifr

N

ffr ii =

(%)ifr

100(%) ×= ii frfr

INifri ∈∀≤≤ ,10

1921 =+++ frfrfr

ifri ∀≤≤ %,100(%)%0

%100(%)(%)(%) 921 =+++ frfrfr

Tabelas de Frequência

iFr - Frequência relativa acumulada, corresponde:

11 frFr =

212 frfrFr +=

3213 frfrfrFr ++=

43214 frfrfrfrFr +++=

…..

A Frequência relativa acumulada também pode ser calculada, conhecendo-se a Frequência

Absoluta acumulada:

(%)iFr - Frequência relativa acumulada em percentagem, é obtida, por:

∑= ii fF

∑= ii frFr

N

FFr ii =

100(%) ×= ii FrFr

Tabelas de Frequência

2. Tabelas de Frequências

(Dados agrupados em classes)

Em determinados estudos estatísticos (nos quais variável estatística, pode ou não, ser

contínua) dada a diversidade de dados estatísticos de forma que se possam retirar conclusões,

é necessário agrupar os dados em classe (ou intervalos).

Considere-se o seguinte exemplo:

Atrasos dos comboios (em minutos) ao longo de um dia:

2, 9, 12, 10, 0, 5, 4, 17, 7, 13, 15, 5, 10, 1, 3, 19, 6, 7, 12, 14, 5, 8, 15, 4, 2, 11, 2, 12

Como se pode constar, dada a dispersão dos valores, praticamente não existem resultados

repetidos. Consequentemente, não faria sentido agrupar os dados, como se procedeu para

variáveis discretas, uma vez que não haveriam diferenças significativas entre os valores.

Nestes casos os dados devem ser agrupados em classes.

[a,b[ é uma classe, cujo a corresponde ao limite inferior, e b corresponde ao limite

superior.

Exemplos:

[3,8[ ou [3,5 ; 4[

2.1 Processo de construção da tabela de frequências (agrupada em classes):

• Qual é o n.º de classes que deverão constar na tabela de frequências?

Na resolução deste passo, utiliza-se a seguinte regra:

Tabelas de Frequência

Assim, no exemplo dos atrasos dos comboios, N=28.

Logo K=5, pois 25 = 32 ≥ 28.

Portanto, na tabela, serão utilizadas 5 classes.

• Qual é a amplitude de cada classe?

Começa-se por analisar o valor máximo (19) e o valor mínimo (0), do intervalo de resultados.

A amplitude total dos dados é 19-0 = 19

A amplitude de cada classe é obtida por: 48,35

019 ≈=−(aproximação por excesso).

Portanto, as classes serão: [0,4[,[4,8[,[8,12[,[12,16[,[16,20[

• Elaboração da tabela de frequências (agrupada em classes):

Nk ≥2

k - N.º de classes a considerar

Dimensão da Amostra

Tabelas de Frequência

Considerações:

Reparar que a marca da classe é o ponto médio da amplitude da classe;

A variável estatística é substituída pela classe;

Há exercícios em que se indica já o n.º de classes a utilizar. Nestes casos, dever-se-á

passar para o ponto 2, referido anteriormente.

Tipos de Gráficos

3. Gráficos (Em Variáveis Discretas)

Um gráfico é uma representação através de figuras geométricas, de um determinado conjunto

de dados numéricos.

Trata-se de uma informação que permite avaliar tendências ou compreender movimentos de

longa duração.

Interpretar um gráfico é descobrir toda a informação que ele contém, compreender o seu

significado e importância e relacioná-lo com o contexto a que se refere. Os gráficos dão-nos

informações preciosas, que, em alguns casos, podem ser compreendidas com muita facilidade.

3.1 Tipos de gráficos

Existem vários tipos de gráficos, mas os de linhas, de barras e os circulares são os mais

usados.

Os gráficos de linhas e os e barras têm dois eixos – um horizontal e outro vertical. No eixo das

abcissas indicam-se as variáveis de estudo, enquanto que nas coordenadas estão registados

os números de casos que se verificaram.

Os gráficos circulares representam as várias partes que compõem um todo, podendo ser

indicados os seus valores em percentagem.

Gráfico de Linhas

Construção:

Para construir um gráfico de linhas basta unir os pontos dados pelas coordenadas (

ii yx , ), no referencial cartesiano em que o eixo horizontal (corresponde à variável

estatística) e o eixo vertical (aos valores das frequências).

Tipos de Gráficos

Gráfico de Barras

Construção:

Deve ter-se em atenção que:

Apenas uma das dimensões das barras varia;

A dimensão que varia corresponde às frequências dos valores da variável estatística;

As barras devem estar separadas umas das outras por espaços iguais;

Pode-se colocar em cima das barras o valor correspondente à frequência.

Pictograma

Construção:

Deve respeitar os seguintes aspectos:

Indicar no gráfico o significado de cada figura ou símbolo utilizados;

Utilizar símbolos ou figuras sugestivas em relação à variável estatística em estudo;

Utilizar sempre o mesmo símbolo ou símbolos;

Tipos de Gráficos

Desenhar os símbolos em linhas ou colunas;

Espaçar igualmente os símbolos;

Expressar as diferentes frequências através de um maior ou menor número de

símbolos, não aumentando ou diminuído o tamanho dos símbolos.

Gráfico circular

Construção:

Deve ter-se em conta que:

A amplitude de cada sector circular é proporcional à frequência que representa;

o É necessário desenhar um círculo e dividi-lo em sectores, usando um

transferidor. A amplitude do ângulo de cada sector é directamente proporcional

à frequência relativa desse valor e obtém-se multiplicando a frequência relativa

por 360º.

A legenda pode ser dispensada, inscrevendo-se os valores da variável e as suas

frequências nos respectivos sectores circulares;

Devem utilizar-se cores diferentes para os diferentes sectores circulares.

Exemplo, partindo da seguinte tabela:

IdadeFrequência

Absoluta

Frequência

RelativaÂngulo

12 2 0,11 º6,3936011,0 =×

13 8 0,44

14 5 0,28

15 3 0,17

TOTAL 18 1

Idade dos alunos da turma da Ana

12 anos

13 anos

14 anos

15 anos

Tipos de Gráficos

2.º Construir o gráfico circular

- Desenha-se um círculo e um dos seus raios;

- Utilizando um transferidor, marca-se no círculo o

ângulo de 39,6º;

- A seguir marcam-se sucessivamente os outros

ângulos;

- Pinta-se cada sector com uma cor diferente;

- Assinalam-se as percentagens correspondentes a

cada sector;

- Coloca-se o título e a legenda.

4. Gráficos (Dados agrupados em classes)

4.1. Histogramas

Considere o seguinte exemplo, em que é apresentada a distribuição das alturas dos jogadores

de uma equipa de basquetebol:

Dados agrupados numa tabela agrupada em classes:

Os histogramas correspondentes às frequências absolutas e relativas são os seguintes:

11%

Tipos de Gráficos

De reparar que os dois histogramas são iguais. Mudando, apenas, os valores no eixo vertical.

Na construção de um histograma deve ter-se em conta que:

Os dados devem estar agrupados em classes;

Representam-se no eixo horizontal os intervalos de classe;

Representam-se no eixo vertical as frequências das classes;

As barras são desenhadas verticalmente não há qualquer espaço entre elas;

A área de cada uma das barras é proporcional à respectiva frequência.

4.2. Polígono de Frequências:

Na elaboração de um polígono de frequências, começa-se por acrescentar duas novas classes

nas extremidades: [1,67 ; 1,75[ e [2,15 ; 2,23[.

De seguida, marcam-se os pontos correspondentes às frequências de cada marca da classe,

de cada classe.

Por fim, o polígono é obtido, unindo cada um desses pontos.

O aspecto final deverá ser o seguinte:

4.3. Polígono de Frequências Acumuladas

Tipos de Gráficos

A construção de um histograma de frequências acumuladas segue um processo idêntico ao

verificado no histograma de frequências.

Considere-se a seguinte tabela:

Os dois histogramas de frequências acumuladas são:

Relativamente aos polígonos de frequências acumuladas, o que se faz é unir os vértices de

acordo com o que constata nos gráficos.

5. Diagrama de Caule-e-folhas

Para além das tabelas já estudadas, há ainda uma forma de representar os dados através de

uma tabela (com aspecto de gráfico).

Esta tabela tem a particularidade de permitir ao observador uma percepção do aspecto global

dos dados sem perda de informação contida na colecção dos dados inicial.

Tipos de Gráficos

Exemplo 1

As notas obtidas por uma turma de 25 alunos, num teste de 0 a 100, foram as seguintes:

7 37 40 90 4835 41 71 15 2567 51 48 21 5936 67 50 48 6353 60 72 54 67

Deste conjunto de dados é possível construir a seguinte tabela, em que, no caso:

Caule – corresponde ao algarismo das dezenas

Folhas – algarismo das unidades.

SeparadorCaule Folhas

0 71 52 1 53 5 6 74 0 1 8 8 85 0 1 3 4 96 0 3 7 7 77 1 289 0

Esta tabela é uma forma de apresentar os dados com algumas vantagens:

Não é necessário definir classes;

Todos os dados estão presentes;

Olhando para a tabela, é possível imaginar o gráfico resultante deste mesmo grupo de

dados.

Prof. Gustavo Soutinho2012