Matemática  II  2011-­‐2012  �  1º  Semestre  �  1ª  Frequência  

29  de  Outubro  de  2011

1/10

Pedro Raposo; Carla Cardoso; Miguel Carvalho

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I

 

1. Calcule  se  possível,  a  soma  da  série    5n + 4n2 +12n + 5( )5n4 n + 1

2!"#

$%&n + 52

!"#

$%&

1

'

( .  (Cotação:  2  valores)  

2. Estude  a  natureza  da  série  n

4n !1"#$

%&'

2n!1

1

(

) .  (Cotação:  1.5  valores)  

3. Estude  a  natureza  da  série  ln(n)2n3 !11

"

# .  (Cotação:  1.5  valores)  

4. Determine  o  domínio  de  convergência  da  série  (!2)n+1 3n !5( )n2 1! 3x( )n!11

"

#    

(Cotação:  2  valores)      

Grupo II

 

5. Considere  a  função   f (x, y) = x2 + y2 ! 6x + 4y + 49 .  Indique  o  valor  aproximado  da  função  no  ponto  (3.1,-­‐2.1).  (Cotação:  2  valores)    

6. Seja  a  função  dada  por:   f (u,v) =arctg(u ln v) se x < 0ln(u2v) se x ! 0

"#$

%$  

Em   que   u = x2 + y   e   v = 1x + y3

.   Calcule  !f!x

e !f!y

no   ponto   (x,y)=(2,2).   (Cotação:   1.5  

valores)    

7. Calcule  as  derivadas  parciais  em  ordem  a  x  e  em  ordem  a  y  de f (euv+z ) ,    onde,   u(x) = x ,v(y) = ln(y !1)  e   z(x, y) = x y .  (Cotação:  1.5  valores)              

2/10

 

Grupo II (continuação)

   8. Sejam   f (u,v)    com     u ! g(x, y), v = h(x, y)   funções  homogéneas  de  graus  iguais  a  2,  3  e  4  

respectivamente.  Calcule     x!f!x

+ y !f!y

sabendo  que,  para  (u,v)=(1,2),  f(1,2)=5  e  !f!v

"#$

%&' (1,2)

= 4 .  

(Cotação:  2  valores)    

9. Considere  a  função    

  f (x, y, z) =x + yx2 + yz

e! x2! y2!3z2

xy+ yz arctgxy

"#$

%&'  

a)Determine  o  grau  de  homogeneidade  da  função.    (Cotação:  1  valor)    

 

b)Calcule   a   derivada   segundo   a   direção   do   vector  !v = 3 3 3!

"#$   no   ponto   A=(2,2,2).  

Sugestão:  Utilize  o  resultado  da  alínea  anterior.  (Cotação:  2  valores)    

 

 

Grupo  III  

10. Considere a função f (x, y) = x3 + x2y + y2 + 2y .  

a)Calcule  os  pontos  de  estacionaridade  de   f .  (Cotação:  2  valores)  

b)Classifique-­‐os  e  calcule  os  máximos  e  mínimos  da  função  f.  (Cotação:  1  valor)  

 

 

BOA  SORTE.  

3/10

Proposta de resolução

Grupo I

 

1. Calcule  se  possível,  a  soma  da  série    ( )2

1

5 4 12 51 55 42 2

n

n

n n

n n

∞ + + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ .  (Cotação:  2  valores)  

 

1 1 1 1

1 1 1 1 1 11 51 5 5 8 542 22 2

n nn nn n

∞ ∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟

+ = − +⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ++ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑  

21

11 1 1 15( ) 1 ( ) 15 5 5 41

5

n

n geométrica r convergente S∞ ⎛ ⎞= = < → = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −∑Logo,    

1 22 1 2315 4 60

S S S= + = + =

   

 

2. Estude  a  natureza  da  série  2 1

1 4 1

nnn

−∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ .  (Cotação:  1.5  valores)  

 Aplicando  o  critério  de  Cauchy,    

2

2 1 2 2

1/1 14 1lim lim lim 1

4 1 4 1 4 164 1

n

nn

nn nnn nn

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = = <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

 

R.:  A  série  é  convergente.      

3. Estude  a  natureza  da  série   31

ln( )2 1n

n

∞

−∑ .  (Cotação:  1.5  valores)  

Sabendo  que  ln(n)<n  :  

11

1 1 1 1 2 2 1 22 2lim1 5 18 8 3 5 152 2 2

sendo k Sn n n

∞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = → = + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

4/10

3 3

ln( )2 1 2 1n n

n n<

− −    podemos  comparar  esta  última  série:    

3 2

1 com a qual é convergente.2 1nn n−  

 (Nota:     sabemos   também   que   ln(n)>1,   contudo   neste   caso,   não   se   chegava   a   nenhuma  conclusão)  

3 3

ln( ) 12 1 2 1? .

nn n

conv

>− −

⇐  

logo,  

33

3

2

12 1lim lim lim 0,1 2 1 2n

n

nu nnv n

n

−= = = ≠ ∞−  

Logo  as  séries  têm  a  mesma  natureza,    

E   a   série   com   termo   geral  32 1nn − é   convergente,   logo   a   série   do   enunciado   como   é  

inferior  só  pode  ser  convergente.  R.:  A  série  3

1

ln( )2 1n

n

∞

−∑é  convergente.  

     

4. Determine  o  domínio  de  convergência  da  série   ( )( )

1

121

( 2) 3 51 3

n

n

nn x

+∞

−

− −

−∑    

 

( )( )

( )( )

( )1 1 1 1. :

1 1 12 2 21 1 1

( 2) 3 5 ( 1) 2 3 5 2 3 51 3 1 3 1 3

n n n nS MOD

n n n

n n nn x n x n x

+ + + +∞ ∞ ∞

− − −

− − − − −= ⎯⎯⎯→

− − −∑ ∑ ∑  

 Aplicando  o  critério  de  Cauchy:  

( ) ( ) ( )1

12 2 2

2 2 1 3 3 52 3 5 2 2 3 5 2lim lim lim 11 31 3 1 3 1 3

1 3

nn n

n nn n nn

x nn nxn x n x n x

x

+

−

− −− −= = = <

−− − −−

O  intervalo  de  convergência  é  dado  por:  

5/10

2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 21 3

1 13

x x x xx

x x

< ⇔ < − ⇔ − > ⇔ − > ∨ − < − ⇔−

⇔ < − ∨ >

 

 1:Para x =  

( )( )

( )( )

( )1 1 2

1 1 2 22 21 1 1 1

( 2) 3 5 ( 2) 3 5 ( 2) 3 5 12 201 3 2

n n

n n

n n n nn nn n

+ +∞ ∞ ∞ ∞

− −

− − − − − − −= = =− −

∑ ∑ ∑ ∑

podemos  comparar  esta  última  série:    

2

12 20 1 com a qual é divergente.nn n−

 logo,    

22

2

12 2012lim lim lim 12 0,1

n

n

nu nnv n

n

−

= = = ≠ ∞

   Portanto  as  séries  têm  a  mesma  natureza,    

21 1

1 12 20. .ndiv divn n

∞ ∞ −⇒∑ ∑ (*)

 

1 :3

Para x = −  

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

1 2 1 2 21 1 1 12

1. .

2 21 1

( 2) 3 5 ( 1) 2 3 5 ( 1) 4 3 5 ( 1) (12 20)231

3( 1) (12 20) 12 20 .(*)

n n n n n

n n

nS MOD

n n n nn n n

n

n n divn n

+ + + + +∞ ∞ ∞ ∞

− −

+∞ ∞

− − − − − − − −= = =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

− − −⎯⎯⎯→

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

(*)- como visto anteriormente

Pelo critério de Leibniz:

2

2

12 20lim 0

12 20

nn

n decrescenten

− =

−

6/10

Então a série 1

21

( 1) (12 20)n nn

+∞ − −∑ é simplesmente convergente.

R.: O domínio de convergência é : ] [1, 1,3

⎤ ⎤−∞ − ∪ +∞⎥ ⎥⎦ ⎦.

Grupo II

 

5. Considere   a   função   f (x, y) = x2 + y2 ! 6x + 4y + 49 .   Indique   o   valor   aproximado   da  função  no  ponto  (3.1,-­‐2.1).  (Cotação:  2  valores)  

 

                 

 

7/10

6. Seja  a  função  dada  por:   f (u,v) =arctg(u ln v) se x < 0ln(u2v) se x ! 0

"#$

%$  

Em   que   u = x2 + y   e   v = 1x + y3

.   Calcule  !f!x

e !f!y

no   ponto   (x,y)=(2,2).   (Cotação:   1.5  

valores)    

                   

7. Calcule  as  derivadas  parciais  em  ordem  a  x  e  em  ordem  a  y  de f (euv+z ) ,    onde,   u(x) = x ,v(y) = ln(y !1)  e   z(x, y) = x y .  (Cotação:  1.5  valores)    

   

t euv+z

∂f(euv+z)

∂x= f �(euv+z)

�∂t

∂u

du

dx+

∂t

∂z

∂z

∂x

�

= f �(ex ln(y−1)+xy)�veuv+z × 1 + euv+z × yxy−1

�

= f �(ex ln(y−1)+xy)�ln(y − 1)ex ln(y−1)+xy

+ yxy−1ex ln(y−1)+xy�

∂f(euv+z)

∂y= f �(euv+z)

�∂t

∂v

dv

dy+

∂t

∂z

∂z

∂y

�

= f �(ex ln(y−1)+xy)

�ueuv+z 1

y − 1+ euv+z × ln(x)xy

�

= f �(ex ln(y−1)+xy)

�x

y − 1ex ln(y−1)+xy

+ ln(x)xyex ln(y−1)+xy

�

8/10

               

               

Grupo II (continuação)

   8. Sejam   ( , )f u v    com     ( , ), ( , )u g x y v h x y≡ =  funções  homogéneas  de  graus  iguais  a  2,  3  e  4  

respectivamente.   Calcule    f fx yx y

∂ ∂+∂ ∂  

sabendo   que,   para   (u,v)=(1,2),   f(1,2)=5   e  

(1,2)

4fv

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠.  (Cotação:  2  valores)  

 

3 4

f f f u f v f u f vx y x yx y u x v x u y v y

f u u f v vx y x yu x y v x y

u v

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

( ) ( )3 4 3 3 3

2

f f f f f f f fu v u v v u v vu v u v v u v v

f

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠  

6 ( , ) ff u v vv∂= +∂  

 

No  ponto  considerado,  (u,v)=(1,2),  fica:    (1,2)

6 (1,2) 2 6 5 2 4 38ffv

∂⎛ ⎞+ = × + × =⎜ ⎟∂⎝ ⎠  

   9. Considere  a  função    

9/10

2 2 23

2( , , )xxy yzy zx y xf x y z e arctg

x yz y

− − −++ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠  

a)Determine  o  grau  de  homogeneidade  da  função.    (Cotação:  1  valor)    

 2 2 22

2( 3 )( )

2 2

( )( , , )

( )

y zxxy yzx y xf x y z e arctg

x yz y

λλλ λλ λ λ

λ λ

− − −++ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠  

2 2 2 2 22

2

2 1 2( 3 ) 3 32( ) 2

2 2 2 ( , , )( )

x xxy yz xy yzy z y zx y x yx xe arctg e arctg f x y z

x yz y x yz y

λλλ λλ λ

λ λ

−− − − − − −−+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠    

R.: O grau de homogeneidade é 32

− .    

 

b)Calcule   a   derivada   segundo   a   direção   do   vector  !v = 3 3 3!

"#$   no   ponto   A=(2,2,2).  

Sugestão:  Utilize  o  resultado  da  alínea  anterior.  (Cotação:  2  valores)    

 

É  pretendido  calcular: cos cos cosA A AA

f f f fx y z

α β γλ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠  

Em  que  :  3 3 1cos cos cos

9 9 9 3 9 3α β γ= = = = =

+ + ×  

Portanto,    

cos cos cosA A AA

f f f fx y z

α β γλ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠    

1 1 1 13 3 3 3A A A AA A

f f f f f fx y z x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠  

(2,2,2) (2,2,2)(2,2,2)

1 1 32 2 2 (2,2,2)22 3 2 3

f f f fx y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠  

 

( ) ( )20 5 58 2 2

52

1 3 4 1 3 2 1 31 12 8 2 8 8 42 3 2 3 2 3

364 3

e arctg e arctg e

e

π

π

− − −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

 

 

Grupo  III  

10/10

10. Considere a função 3 2 2( , ) 2f x y x x y y y= + + + .  

a)Calcule  os  pontos  de  estacionaridade  de   f .  (Cotação:  2  valores)  

2

2 2 22

3 2 0 (3 2 ) 0 0 2 32 2 0 2 2 0 2 2 02 2 0

f x xy x x y x y xxf x y x y x yx yy

∂⎧ = + =⎪ + = = = −⎧ ⎧ ⎧∂⎪ ⇔ ⇔ ∨ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨∂ + + = + + = + + =⎩ ⎩ ⎩⎪ = + + =∂⎪⎩

 

2

2 30 0 2 3 2 32 2 0 1 1 23 2 0

y xx x y x y xy y x xx x

= −= = = − = −⎧⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = = − = =− + =⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎩

30 32

1 21

x yyy xx

⎧= = −= −⎧ ⎧⎪⇔ ∨ ∨⎨ ⎨ ⎨= − =⎩ ⎩⎪ =⎩  

b)Classifique-­‐os  e  calcule  os  máximos  e  mínimos  da  função  f.  (Cotação:  1  valor)  

 

Ponto sela mínimo ponto sela

2

3 2min

3 3 3 3 9 5 31 1 2 1 3 1,2 2 2 2 4 4 2

f em⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + − = − + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(0, 1)A − ( )31, 2B − ( )2, 3C −

2

2 6 2f x yx

∂ = +∂

-

2− +

3 +

6 2

2 2fy

∂ =∂

2

2

2

2

2f xx y∂ =∂ ∂

0

2

4

sinal 2Δ - + -