t opicos avan˘cados em pcsp otimiza˘c~ao cont nua e discreta · universidade federal de s~ao...

Universidade Federal de Sao CarlosDepartamento de Engenharia de Producao

Topicos Avancados em PCSP

Otimizacao Contınua e Discreta

PPGEP - Semestre 01/2018Prof. Dr. Pedro Munari ([email protected])

Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex

Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])


Objetivos da aula de hoje

I Aprofundar nosso estudo em dualidade;

I Compreender o conceito de interpretacao economica;

I Estudar as condicoes de otimalidade;

I Introducao ao metodo simplex.



Aula anterior...

I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;

I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de

subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio

convexo;

I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;

I Teoremas fundamentais em dualidade:

I Dualidade fraca e forte;

I Teorema das folgas complementares;

I Lema de Farkas.



Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8

Coloque na forma padrao, os seguintes problemas de programacao linear:

(a) max f(x1, x2, x3) = −5x1 − 3x2 + 7x3

s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 ≥ 7

3x1 − 5x2 + 5x3 ≤ 5

x1 ≥ 0, x2 ≥ 2, x3 livre

(b) max f(x1, x2, x3) = 2x1 − 3x2 + 7x3

s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 = 7

3x1 − 5x2 + 3x3 ≤ 5

−4x1 − 9x2 + 4x3 ≤ −4

x1 ≥ −2, 0 ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥ 0



Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(a)

(a) max f(x1, x2, x3) = −5x1 − 3x2 + 7x3

s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 ≥ 7

3x1 − 5x2 + 5x3 ≤ 5

x1 ≥ 0, x2 ≥ 2, x3 livre




Substituindo x2 = x′2 + 2, x3 = x+3 − x−3 e adicionando xa

1 e xa2 :

−min 5x1 + 3x′2 − 7x+3 + 7x−3 + 6

s.a −2x1 − 4x′2 − 6x+3 + 6x−3 + xa

1 = 1

3x1 − 5x′2 + 5x+3 − 5x−3 + xa

2 = 15

x1, x′2, x

+3 , x

−3 , x

a1 , x

a2 ≥ 0.



Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(b)

(b) max f(x1, x2, x3) = 2x1 − 3x2 + 7x3

s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 = 7

3x1 − 5x2 + 3x3 ≤ 5

−4x1 − 9x2 + 4x3 ≤ −4

x1 ≥ −2, 0 ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥ 0




Substituindo x1 = x′1 − 2 e adicionando xa2 , xa

3 , xa4 :

−min −2x′1 + 3x2 − 7x3 + 4

s.a 2x′1 + 4x2 + 6x3 = 11

3x′1 − 5x2 + 3x3 + xa2 = 11

4x′1 + 9x2 − 4x3 − xa3 = 12

x2 + xa4 = 4

x′1, x2, x3, x3, xa2 , x

a3 , x

a4 ≥ 0.




Determine o problema dual e encontre a solucao otima dual usando

solucao grafica.

min f(x1, x2) = 2x1 + x2

s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9

3x1 + 2x2 ≥ 12

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.




Determine o problema dual e encontre a solucao otima dual usando

solucao grafica.

min f(x1, x2) = 2x1 + x2

s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9

3x1 + 2x2 ≥ 12

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2

s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2

3p1 + 2p2 ≤ 1

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.




max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2

s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2

3p1 + 2p2 ≤ 1

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.

λ1

λ2




max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2

s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2

3p1 + 2p2 ≤ 1

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.

λ1

λ2

-1




max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2

s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2

3p1 + 2p2 ≤ 1

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.

p∗=

[0

0.5

]

g(p∗) = 6

λ1

λ2

-1




A partir da solucao otima dual encontrada no item anterior, determine

uma solucao otima para o problema primal (sem resolve-lo diretamente).

min f(x1, x2) = 2x1 + x2

s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9

3x1 + 2x2 ≥ 12

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2

s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2

3p1 + 2p2 ≤ 1

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.




Teorema: Folgas Complementares.

I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.

Os vetores x e p sao solucoes otimas dos respectivos problemas se, e

somente se,

(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;

(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.




I Pelo Teorema das folgas complementares, temos que:

p1(9− (−2x1 + 3x2)) = 0

p2(12− (3x1 + 2x2)) = 0

(2− (−2p1 + 3p2))x1 = 0

(1− (3p1 + 2p2))x2 = 0

I Sabemos que a solucao otima dual e p∗ = (0, 0.5). Assim, devemos ter

12− (3x1 + 2x2) = 0. Alem disso, substituindo essa solucao nas duas

ultimas equacoes, obtemos:

(2− 1.5)x1 = 0 ⇒ x1 = 0

(1− 1)x2 = 0 ⇒ x2 ≥ 0




I Pelo Teorema das folgas complementares, temos que:

p1(9− (−2x1 + 3x2)) = 0

p2(12− (3x1 + 2x2)) = 0

(2− (−2p1 + 3p2))x1 = 0

(1− (3p1 + 2p2))x2 = 0

I Logo, juntando esses resultados, obtemos:

12− (3 ∗ 0 + 2x2) = 0 ⇒ 12− 2x2 = 0 ⇒ x2 = 6;

I Portanto, x∗ = (0, 6) e uma solucao otima do problema primal.



Dualidade



Dualidade

Problema primal Problema dual

min f(x) = cTx

s.a Ax = b

x ≥ 0

max g(p) = bTp

s.a ATp ≤ c

(p livre)

Propriedades:

1. Se um tem solucao otima, o outro tambem tem e ambos tem o mesmo

valor otimo;

2. Se um e ilimitado, o outro e infactıvel;

3. Se um e infactıvel, o outro e ou ilimitado ou infactıvel;

4. O dual do dual e o primal.



Dualidade

I Considere que o seguinte problema possua solucao otima x∗:

min f(x) = cTx

s.a Ax = b

x ≥ 0

I Existe um vetor p∗ ∈ Rm tal que o seguinte problema e equivalente:

min cTx+ (p∗)T (b−Ax)

s.a x ≥ 0



Dualidade

I Para um vetor p ∈ Rm arbitrario, temos uma relaxacao:

f(x∗) = minx≥0{cTx | Ax = b}

= minx≥0{cTx+ pT (b−Ax) | Ax = b}

≥ minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.

I Seja g(p) o valor otimo deste problema relaxado (em funcao de p), i.e.

g(p) = minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.

I Para qualquer p ∈ Rm, temos g(p) ≤ f(x∗). Assim, temos um limitante

inferior para o valor otimo do problema original.



Dualidade

Surgem entao as questoes:

I Qual sera o vetor p∗ ∈ Rm que resulta no melhor limitante inferior?

I Sera que podemos garantir que g(p∗) = f(x∗)?

Melhor limitante:

g(p∗) = maxp∈Rm

g(p)

= maxp∈Rm

minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.



Dualidade

Temos que para p ∈ Rm arbitrario:

g(p) = minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}

= minx≥0{cTx+ pT b− pTAx}

= pT b+ minx≥0{cTx− pTAx}

= pT b+ minx≥0{(cT − pTA)x}

= pT b+ minx≥0

{n∑

j=1

(cj − pT aj)xj

}

= pT b+

n∑j=1

minxj≥0

(cj − pT aj)xj .



Dualidade

Observe que para cada j = 1, . . . , n, temos:

minxj≥0

(cj − pT aj)xj =

−∞, se (cj − pT aj) < 0, (xj →∞)

0, c.c. (xj = 0)

I Sempre que essa expressao resulta em −∞, temos um limitante trivial;

(lembre-se que estamos buscando o limitante maximo)

I Assim, queremos evitar esse tipo de limitante;

I Basta restringirmos p t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n;

I Dessa forma, minxj≥0

(cj − pT aj)xj = 0.



Dualidade

Continuando a expressao para g(p), temos que:

g(p) = pT b+

n∑j=1

minxj≥0

(cj − pT aj)xj

= pT b

para todo p ∈ Rm t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n.

Portanto,

g(p∗) = maxp∈Rm

g(p)

= maxp∈Rm

{g(p) | AT p ≤ c}

= maxp∈Rm

{pT b | AT p ≤ c}.

(problema dual)



Dualidade

Continuando a expressao para g(p), temos que:

g(p) = pT b+

n∑j=1

minxj≥0

(cj − pT aj)xj

= pT b

para todo p ∈ Rm t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Portanto,

g(p∗) = maxp∈Rm

g(p)

= maxp∈Rm

{g(p) | AT p ≤ c}

= maxp∈Rm

{pT b | AT p ≤ c}.

(problema dual)



Dualidade

Problema primal Problema dual

min f(x) = cTx

s.a Ax = b

x ≥ 0

max g(p) = bTp

s.a ATp ≤ c



Dualidade. Lista 2 - Exercıcio 1

Usando a teoria Lagrangiana, determine o problema dual do seguinte

problema de programacao linear (sem usar a forma padrao):

min f(x1, x2, x3) = c1x1 + c2x2 + c3x3

s.a a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3

x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 livre.



Dualidade. Tabela de conversao primal-dual

Primal min ⇒ Dual max

Variavel Restricao Restricao Variavel

primal dual primal dual

≥ 0 ⇒ ≤ ≥ ⇒ ≥ 0

≤ 0 ⇒ ≥ ≤ ⇒ ≤ 0

livre ⇒ = = ⇒ livre

Primal max ⇒ Dual min

Variavel Restricao Restricao Variavel

primal dual primal dual

≥ 0 ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≤ 0

≤ 0 ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≥ 0

livre ⇒ = = ⇒ livre



Dualidade. Interpretacao economica

Uma fabrica produz dois tipos de ligas metalicas. Cada liga e composta de proporcoes

diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estao disponıveis em quantidades li-

mitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metalica, de

modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composicoes das ligas e

a disponibilidade de materia-prima em estoque:

Materia-prima Liga 1 Liga 2 Estoque

Cobre 50% 30% 3 ton

Zinco 10% 20% 1 ton

Chumbo 40% 50% 3 ton

Preco venda 3 mil 2 mil (R$ por ton)

Outra fabrica, do mesmo segmento, esta interessada em comprar todo o estoque de

Cobre, Zinco e Chumbo da empresa. Ha o interesse da empresa no negocio, desde

que a receita obtida com a venda do material seja pelo menos igual a receita que seria

obtida com a venda das ligas. Para garantir o negocio, a outra fabrica deseja oferecer

um preco justo, mas que seja o menor possıvel. Qual deve ser a proposta de precos?




I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:

3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;

I Qual deve ser o preco unitario de cada material?

I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;

pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)

I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.

I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1

ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.









I Receita total com a venda do material:

3p1 + 1p2 + 3p3.


ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.











ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.











ton da liga 1:

0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.











ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.











ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2:

0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.











ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.


ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.




I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que

seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda

da liga.

I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so

vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;



I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos

materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas

(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.






da liga.


vale a pena vender o material estoque se

0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;











da liga.













da liga.




vale a pena vender o material estoque se

0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;









da liga.













da liga.







(produto final)?

min 3p1 + 1p2 + 3p3.






da liga.











Logo, para determinar o preco a ser proposto, de modo que as fabricasfiquem satisfeitas com o negocio, resolvemos o modelo:

min 3p1 + 1p2 + 3p3

s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3

0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2

p1, p2, p3 ≥ 0




Qual a relacao entre esses dois problemas?

max f(x1, x2) = 3x1 + 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3

0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1

0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

min g(p1, p2, p3) = 3p1 + 1p2 + 3p3

s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3

0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2

p1, p2, p3 ≥ 0

Temos um par primal-dual!

x? ≈ (4,62, 2,3) p? ≈ (5,37, 0, 0,78)

f(x?) ≈ 18,46 g(p?) ≈ 18,46




I Logo, o valor otimo desses problemas corresponde ao ponto de equilıbrio

entre as decisoes dos dois problemas;

I Essa interpretacao economica da dualidade mostra que a melhor decisao

(solucao) para o problema primal esta relacionada com a melhor decisao

(solucao) para o problema dual;

I Assim, uma solucao factıvel so pode ser otima para o problema primal, se

a solucao dual correspondente tambem for otima para o problema dual.



Dualidade. Propriedades

Teorema: Dualidade fraca.

I Se x e uma solucao factıvel para o problema primal e p e uma

solucao factıvel para o problema dual, entao bT p ≤ cTx.




Corolario 1:

1. Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e infactıvel;

2. Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e infactıvel.

Corolario 2:

1. Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.,

tais que bT p = cTx. Entao, x e p sao solucoes otimas dos problemas

primal e dual, respect.




Teorema: Dualidade forte.

I Se um problema de programacao linear tem solucao otima, entao

seu dual tambem tem, e os respectivos valores otimos sao iguais.




Teorema: Folgas complementares.

I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.


somente se,

(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;

(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.




Teorema: Lema de Farkas.

I Sejam A uma matriz m× n e b ∈ Rm. Entao, exatamente uma das

afirmacoes a seguir e valida:

1. Existe algum x ≥ 0 tal que Ax = b;

2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≥ 0 e pT b < 0.



Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao

a1 a2a3

a4

I Representacao vetorial das colunas de A = [a1, a2, a3, a4];




a1 a2a3

a4 cone: combinações lineares não-negativas

das colunas de A

I Cone formado pelas colunas a1, a2, a3, a4;




a1 a2a3


das colunas de A

b

I Caso 1: b pertence ao cone (i.e., pode ser escrito como uma

combinacao linear positiva das colunas de A);




a1 a2a3


das colunas de A

b

I Caso 2: b nao pertence ao cone (i.e., nao pode ser escrito como

uma combinacao linear positiva das colunas de A);




a1 a2a3

a4

b

p

I Caso 2: Entao existe p




a1 a2a3

a4

b

p

pT z=0

I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador ;




a1 a2a3

a4

b

p

pT z=0

pT z > 0

pT z < 0

I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador

(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);




a1 a2a3

a4

b

p


(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);




a1 a2a3

a4

b

p

pT z=0


(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);




a1 a2a3

a4

b

I Caso 1: b pertence ao cone e, logo, nao existe hiperplano separador.




Teorema: Lema de Farkas.




2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≥ 0 e pT b < 0.




Teorema: Lema de Farkas. (Forma 2)




2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≤ 0 e pT b > 0.



Dualidade. Lema de Farkas: Interpretacao

I Se existe p ∈ Rm tal que pTA ≤ 0 e pT b > 0, entao p pode ser um

raio de subida no espaco dual; (dual ilimitado se for factıvel)

Definicao: Raio.

I Considere o poliedro S = {p ∈ Rm|AT p ≤ c}. O vetor r ∈ S e chamado

de raio quando satisfaz p+ εr ∈ S, para todo p ∈ S e escalar ε ≥ 0.

Definicao: Raio de subida.

I Considere o poliedro S = {p ∈ Rm|AT p ≤ c} contendo um raio r ∈ S.

Seja g : S → R um funcional linear arbitrario. Se g(p+ εr) > g(p), para

todo p ∈ S e escalar ε ≥ 0, entao r e chamado de raio de subida de g.




Teorema: Lema de Farkas. (Forma 3)



1. Existe algum r ∈ Rn tal que Ar = 0, cT r < 0 e r ≥ 0;

2. Existe algum p ∈ Rm tal que AT p ≤ c.



Dualidade. Condicoes de otimalidade

Teorema: Folgas Complementares.

I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,

respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos

respectivos problemas se, e somente se,

(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;

(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.




I Considere o problema primal na forma padrao;

(sem perda de generalidade)

I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:

I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,

respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos

respectivos problemas se, e somente se,

(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;

(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.







I Sejam x ∈ Rn e p ∈ Rm tais que

Ax = b

x ≥ 0

AT p ≤ c


somente se,

(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;

(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.







I Sejam x ∈ Rn e p ∈ Rm tais que

Ax = b

x ≥ 0

AT p ≤ c


somente se, (cj − pTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n.







Os vetores x ∈ Rn e p ∈ Rm sao solucoes otimas dos problemas

primal e dual, respectivamente, se e somente se, satisfazem

Ax = b

AT p ≤ c

(cj − pTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n,

x ≥ 0




I Considere os problemas primal e dual na forma padrao;



Os vetores x ∈ Rn, p ∈ Rm e s ∈ Rn sao solucoes otimas dos

problemas primal e dual, respectivamente, se e somente se,

satisfazem

Ax = b

AT p + s = c

sjxj = 0, j = 1, . . . , n

x, s ≥ 0




I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em

Otimizacao (linear e nao-linear):

Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)

Ax = b

AT p + s = c

sjxj = 0, j = 1, . . . , n

x, s ≥ 0

I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao

necessarias e suficientes para otimalidade;

I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias

apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).



Dualidade. Condicoes KKT

“When Kuhn and Tucker proved the Kuhn-Tucker theorem in 1950 they

launched the theory of non-linear programming. However, in a sense this

theorem had been proven already: In 1939 by W. Karush in a master’s

thesis, which was unpublished; in 1948 by F. John in a paper that was at

first rejected by the Duke Mathematical Journal; and possibly earlier by

Ostrogradsky and Farkas.”

Kjeldsen, T.H. A Contextualized Historical Analysis of the Kuhn-Tucker

Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II. Historia

Mathematica 27(4), 331–361, 2000.




Considere o problema de Otimizacao (geral)

min f(x1, . . . , xn)

s.a h1(x1, . . . , xn) = 0...

hl(x1, . . . , xn) = 0

g1(x1, . . . , xn) ≤ 0...

gm(x1, . . . , xn) ≤ 0




Considere o problema de Otimizacao (geral)

min f(x)

s.a h(x) = 0

g(x) ≤ 0

(1)

com f : Rn → R, h : Rn → Rl e g : Rn → Rm.

Definimos a funcao Lagrangiana do problema:

L(x, p, s) = f(x) + pTh(x) + sT g(x)

com sT ≥ 0.




Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).

I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),

que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que

certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um

vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes

condicoes sao satisfeitas:

∇xL(x, p, s) = 0

hk(x) = 0, k = 1, . . . , l

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m

sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m

sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m






que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis

e que




∇xL(x, p, s) = 0

hk(x) = 0, k = 1, . . . , l

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m

sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m

sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m







certas condicoes de qualificacao sejam validas.

Entao existe um



∇xL(x, p, s) = 0

hk(x) = 0, k = 1, . . . , l

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m

sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m

sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m










∇xL(x, p, s) = 0

hk(x) = 0, k = 1, . . . , l

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m

sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m

sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m




I No caso particular de programacao linear, temos:

f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;

L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)

⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s

I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;

I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.





f(x) =

cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) =

b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) =

− xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;

L(x, p, s) =

cTx + pT (b−Ax)− sT (x)

⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) =

c−AT p− s







f(x) = cTx;

h(x) = b−Ax;

gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;


⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s












∇xL(x, p, s) = 0

hk(x) = 0, k = 1, . . . , l

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m

sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m

sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m




I Assim, a teoria dos multiplicadores de Lagrange e a base da teoria

de dualidade;

I Que por sua vez e a base das condicoes KKT;

I Que por sua vez sao a base dos metodos de solucao em otimizacao.



Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao

Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)

I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);

I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem

xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem

disso, a particao deve garantir:

I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);

I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).




Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)

I Onde esta a dificuldade?

Nas folgas complementares (sao nao-lineares);









Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)

I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares

(sao nao-lineares);









Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)










Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)


I Metodos tipo simplex:

particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem








Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)


I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N

(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem








Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)


I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}).

Para garantir (4), impoem








Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)



xj = 0, ∀j ∈ N ,

e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem







Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)



xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B.

(2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem







Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)



xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos.

Alem







Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)










Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)





I Metodo primal simplex:

x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);





Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)





I Metodo primal simplex: x ≥ 0

(factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);





Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)










Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)






I Metodo dual simplex:

s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).




Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)






I Metodo dual simplex: s ≥ 0

(factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).




Ax = b (2)

AT p + s = c (3)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)

x, s ≥ 0 (5)










I Metodos de pontos interiores:

Perturbam a dificuldade do sistema KKT:

Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)

para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar

direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente

reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:

I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.

E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda

iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.




I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:

Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)











Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)

para µ > 0.

Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar










Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)



reduzido e, assim, µ→ 0.

Alem disso:








Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)











Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)




I Metodo primal-dual:

usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.







Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)











Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)






iteracao.

Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.





Ax = b (6)

AT p+ s = c (7)

sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)









Metodo simplex

I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;

I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;

I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima

(embora tenha complexidade nao-polinomial);

I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;

I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do

seculo 20 (IEEE);

I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).



Metodo simplex

In putting together this issue of Computing in Science & Engineering, we knew three things:it would be difficult to list just 10 algorithms;it would be fun to assemble the authors andread their papers; and, whatever we came upwith in the end, it would be controversial. We

tried to assemble the 10 algorithms with the greatestinfluence on the development and practice of scienceand engineering in the 20th century. Following is ourlist (here, the list is in chronological order; however,the articles appear in no particular order):

• Metropolis Algorithm for Monte Carlo• Simplex Method for Linear Programming• Krylov Subspace Iteration Methods• The Decompositional Approach to MatrixComputations• The Fortran Optimizing Compiler• QR Algorithm for Computing Eigenvalues• Quicksort Algorithm for Sorting• Fast Fourier Transform• Integer Relation Detection• Fast Multipole Method

With each of these algorithms or approaches, thereis a person or group receiving credit for inventing ordiscovering the method. Of course, the reality is thatthere is generally a culmination of ideas that leads to amethod. In some cases, we chose authors who had a

hand in developing the algorithm, and in other cases,the author is a leading authority.

��

Monte Carlo methods are powerful tools for evalu-ating the properties of complex, many-body systems,as well as nondeterministic processes. Isabel Beichl andFrancis Sullivan describe the Metropolis Algorithm.We are often confronted with problems that have anenormous number of dimensions or a process that in-volves a path with many possible branch points, eachof which is governed by some fundamental probabilityof occurence. The solutions are not exact in a rigorousway, because we randomly sample the problem. How-ever, it is possible to achieve nearly exact results using arelatively small number of samples compared to theproblem’s dimensions. Indeed, Monte Carlo methodsare the only practical choice for evaluating problems ofhigh dimensions.John Nash describes the Simplex method for solv-ing linear programming problems. (The use of theword programming here really refers to scheduling orplanning—and not in the way that we tell a computerwhat must be done.) The Simplex method relies onnoticing that the objective function’s maximum mustoccur on a corner of the space bounded by the con-straints of the “feasible region.”Large-scale problems in engineering and science of-ten require solution of sparse linear algebra problems,such as systems of equations. The importance of iter-ative algorithms in linear algebra stems from the sim-ple fact that a direct approach will require O(N3) work.The Krylov subspace iteration methods have led to amajor change in how users deal with large, sparse, non-symmetric matrix problems. In this article, Henk vander Vorst describes the state of the art in terms of

��

JACKDONGARRA

University of Tennessee and Oak Ridge National Laboratory

FRANCIS SULLIVAN

IDA Center for Computing Sciences

��

��

��



Metodo simplex

NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that

runs the world.

Few people have, though it can determine much that

goes on in our day-to-day lives: the food we have to eat, our schedule at

work, when the train will come to take us there. Somewhere, in some

server basement right now, it is probably working on some aspect of your

life tomorrow, next week, in a year’s time.”



Metodo simplex


runs the world. Few people have, though it can determine much that

goes on in our day-to-day lives:

the food we have to eat, our schedule at






Metodo simplex




work, when the train will come to take us there.

Somewhere, in some





Metodo simplex





server basement right now,

it is probably working on some aspect of your




Metodo simplex









Metodo simplex

I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;

I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;

I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;

I Surgem entao as questoes:

I Qual a particao otima?

I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?

I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?

I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?

I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;

I Isso exigiria avaliar aten!

m!(n−m)!particoes!



Metodo simplex. Exemplo

Problema das ligas metalicas na forma padrao:

min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

,

c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

,

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

,

b =

3

1

3

Ax = b




min f(x) = −3x1 − 2x2

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

x =

x1

x2

x3

x4

x5

, c =

−3

−2

0

0

0

, A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

, b =

3

1

3

Ax = b



Metodo simplex. Restricoes primais

0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1

+

0,3

0,2

0,5

x2 +

1

0

0

x3 +

0

1

0

x4 +

0

0

1

x5 =

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1 +

0,3

0,2

0,5

x2

+

1

0

0

x3 +

0

1

0

x4 +

0

0

1

x5 =

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1 +

0,3

0,2

0,5

x2 +

1

0

0

x3

+

0

1

0

x4 +

0

0

1

x5 =

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1 +

0,3

0,2

0,5

x2 +

1

0

0

x3 +

0

1

0

x4

+

0

0

1

x5 =

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1 +

0,3

0,2

0,5

x2 +

1

0

0

x3 +

0

1

0

x4 +

0

0

1

x5

=

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

0,5

0,1

0,4

x1 +

0,3

0,2

0,5

x2 +

1

0

0

x3 +

0

1

0

x4 +

0

0

1

x5 =

3

1

3

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b




Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

x3

x2

x5

+

0,5

0,1

0,4

x1 +

0

1

0

x4 =

3

1

3

ABxB + a1x1 + a4x4 = bB := AB





1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

x3

x2

x5

+

0,5

0,1

0,4

x1 +

0

1

0

x4 =

3

1

3

BxB + a1x1 + a4x4 = bB := AB





1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

x3

x2

x5

=

3

1

3

−

0,5

0,1

0,4

x1 −

0

1

0

x4

BxB = b− a1x1 − a4x4

B := AB




Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

−1

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

x3

x2

x5

=

3

1

3

−

0,5

0,1

0,4

x1 −

0

1

0

x4

B−1 (BxB = b− a1x1 − a4x4)





x3

x2

x5

=

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

−1 3

1

3

− 1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

−1 0,5

0,1

0,4

x1−

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

−1 0

1

0

x4

xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4





x3

x2

x5

=

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

3

1

3

− 1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

0,5

0,1

0,4

x1−

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

0

1

0

x4

xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4





x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4




No caso geral:

Ax = b

A(xB, xN ) = b

ABxB + ANxN = b

BxB + NxN = b

BxB +∑j∈N

ajxj = b

BxB = b−∑j∈N

ajxj



Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica

No caso geral:

xB = B−1b−∑j∈N

B−1ajxj

(solucao geral)

Solucao particular com xN = 0:

xB = B−1b−��∑

j∈NB−1ajxj

xB = B−1b, xN = 0

(solucao basica)

(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)




No caso geral:


B−1ajxj (solucao geral)


xB = B−1b−��∑

j∈NB−1ajxj

xB = B−1b, xN = 0

(solucao basica)





No caso geral:


B−1ajxj (solucao geral)


xB = B−1b−��∑

j∈NB−1ajxj

xB = B−1b, xN = 0 (solucao basica)




Metodo simplex. Restricoes duais

ATp+ s = c

0,5 0,1 0,4

0,3 0,2 0,5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

p1

p2

p3

+

s1

s2

s3

s4

s5

=

−3

−2

0

0

0




BTp+ sB = cB

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


0,5 0,1 0,4

0,3 0,2 0,5

1 0 0

p1

p2

p3

+

s1

s2

s3

=

−3

−2

0

0 1 0

0 0 1

p1

p2

p3

+

s4

s5

=

0

0




BTp+ sB = cB

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


1 0 0

0,3 0,2 0,5

0 0 1

p1

p2

p3

+

s3

s2

s5

=

0

−2

0

0,5 0,1 0,4

0 1 0

p1

p2

p3

+

s1

s4

=

−3

0




BTp = cB − sB

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


1 0 0

0,3 0,2 0,5

0 0 1

p1

p2

p3

=

0

−2

0

−s3

s2

s5

0,5 0,1 0,4

0 1 0

p1

p2

p3

+

s1

s4

=

−3

0



Notacao matricial

pTB = cTB − sTB

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


p1

p2

p3

T

1 0,3 0

0 0,2 0

0 0,5 1

=

0

−2

0

T

−

s3

s2

s5

T

0,5 0,1 0,4

0 1 0

p1

p2

p3

+

s1

s4

=

−3

0




pT = cTBB−1 − sTBB

−1

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


p1

p2

p3

T

=

0

−2

0

T

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

−s3

s2

s5

T

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

0,5 0,1 0,4

0 1 0

p1

p2

p3

+

s1

s4

=

−3

0





−1

NTp+ sN = cN

(B := AB, N := AN )


p1

p2

p3

T

=

0

−10

0

T

−

s3

s2

s5

T

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

0,5 0,1 0,4

0 1 0

p1

p2

p3

+

s1

s4

=

−3

0





−1

pTaj + sj = cj, ∀j ∈ N(B := AB, N := AN )


p1

p2

p3

T

=

0

−10

0

T

−

s3

s2

s5

T

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

[p1 p2 p3

]0,5

0,1

0,4

+ s1 = −3;[p1 p2 p3

]0

1

0

+ s4 = 0





−1

sj = cj − pTaj, ∀j ∈ N(B := AB, N := AN )


p1

p2

p3

T

=

0

−10

0

T

−

s3

s2

s5

T

1 −1,5 0

0 5 0

0 −2,5 1

s1 = −3−[p1 p2 p3

]0,5

0,1

0,4

; s4 = 0−[p1 p2 p3

]0

1

0




Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:


−1

sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N

(Solucao geral dual)

Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:

pT = cTBB−1, sB = 0,

sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .

(Solucao basica dual)



Metodo simplex. Solucoes basicas

I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,

iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;

I Os metodos consideram particoes basicas apenas;

I B : ındices basicos ou base;

I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);

I N : ındices nao-basicos.




Determine a solucao otima do problema de programacao linear:

min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3

I Essa solucao e otima?

I Como obter uma solucao melhor?

B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I Calcular a solucao basica primal:

xB = B−1b =

3

1

3

I Calcular a solucao basica dual:

pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB

= B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b

=

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT =

cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 =

− 3

s2 = c2 − pT a2 =

− 2




cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3



B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)

Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)

I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);

I Para ser otima, falta satisfazer (12);

I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,

portanto, deve satisfazer x ≥ 0;

I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.




Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)

I Toda solucao basica satisfaz

(9), (10) e (11);








Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)









Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)


I Para ser otima, falta satisfazer

(12);







Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)









Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)



I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel

e,






Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)









Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)





I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca

s ≥ 0.




Ax = b (9)

AT p + s = c (10)

sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)

x, s ≥ 0 (12)








Metodo simplex. Funcao objetivo primal

Observe que ao escrevermos a funcao objetivo primalem funcao de xN apenas, obtemos:

f(x) = cTBxB + cTNxN

f(x) = cTB

B−1b−∑j∈N

B−1ajxj

+ cTNxN

f(x) = cTBB−1b−

∑j∈N

cTBB−1ajxj + cTNxN

f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj




f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj

Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:

f(x) = cTB xB +∑j∈N

(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj

Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como

custo relativo de xj .

Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.




f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj

Em uma solucao basica, temos que xB =

B−1b e pT = cTBB−1. Assim:


(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj







f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj

Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b

e pT = cTBB−1. Assim:


(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj







f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj

Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT =

cTBB−1. Assim:


(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj







f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj

Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1.

Assim:


(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj







f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj


f(x) =

cTB xB +∑j∈N

(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj







f(x) = cTBB−1b +

∑j∈N

(cj − cTBB

−1aj)xj



(cj − pTaj

)xj

= cTB xB +∑j∈N

sjxj






Metodo simplex

Temos ate o momento:

I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;

I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj ,∀j ∈ N ;

I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).

I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;

I Como saber se a particao basica atual e otima?

R: sj ≥ 0, j ∈ N .

Ainda precisamos determinar:

I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?

R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,

aquela com o melhor custo relativo!)



Metodo simplex


I Solucao basica primal:

xB = B−1b, xN = 0;

I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;




R: sj ≥ 0, j ∈ N .







Metodo simplex







R: sj ≥ 0, j ∈ N .







Metodo simplex



I Solucao basica dual:

pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;




R: sj ≥ 0, j ∈ N .







Metodo simplex







R: sj ≥ 0, j ∈ N .







Metodo simplex







R: sj ≥ 0, j ∈ N .



R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas!

(por exemplo,




Metodo simplex







R: sj ≥ 0, j ∈ N .







Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica

Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido

para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?

xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

Maior valor para x1: min

{1,5

0,35,

5

0,5,

0,5

0,15

}






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

Maior valor para x1:

min

{1,5

0,35,

5

0,5,

0,5

0,15

}






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{1,5

0,35,

5

0,5,

0,5

0,15

}






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{xB10,35

,xB20,5

,xB30,15

}






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − yx1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{xB1y1

,xB2y2

,xB3y3

}, com y = B−1a1.






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

Maior valor para x4:

min

{×, 5

5,×}

= 1






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{×, 5

5,×}

= 1






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − yx4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{×, xB2

y2,×}

, com y = B−1a4.






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

Maior valor para xk:

mini=1,...,m

{xBiyi, yi > 0

}, com y = B−1ak.

Este calculo e chamado de teste da razao.






xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4

Maior valor para xk: mini=1,...,m

{xBiyi

, yi > 0

}, com y = B−1ak.







xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{xBiyi, yi > 0

},

com y = B−1ak.







xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4

x3

x2

x5

=

1,5

5

0,5

− 0,35

0,5

0,15

x1 −

−1,5

5

−2,5

x4


{xBiyi, yi > 0

}, com y = B−1ak.




Metodo simplex

Com isso, temos tudo o que precisamos:

I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;


I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual

variavel perturbar;

I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado

xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;

I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;

I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;

I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao

do metodo simplex.



Metodo simplex


I Solucao basica primal factıvel:

xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;



variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex



I Solucao basica dual:

pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;


variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;


xk, k ∈ N ,

tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;




do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;





I Esse processo e chamado de troca de base,

o que determina uma iteracao

do metodo simplex.



Metodo simplex





variavel perturbar;






do metodo simplex.



Metodo simplex

Determine a solucao otima do problema de programacao linear:

min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3

0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1

0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3

I x1 entrara na base.

I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6

⇒ x3 saira da base.

Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB

= B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b

=

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT =

cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 =

− 3

s2 = c2 − pT a2 =

− 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y =

B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;

xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;

xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6 ⇒ x3 saira da base.

Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB

= B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b

=

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]

s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT =

cTBB−1 =

[−6 0 0

]

s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]

s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 =

6

s2 = c2 − pT a2 =

− 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y =

B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;

xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;

xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3


Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3⇒ x5 saira da base.

Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3

I E possıvel melhorar essa solucao?

I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.

I Ou seja, a solucao dual e factıvel.

I Portanto: solucao otima encontrada!

I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84

]I Calcular a solucao basica primal:

xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]

B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84

]


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB

= B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b

=

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]

s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT =

cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]

s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]

s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 =

5,36

s5 = c5 − pT a5 =

0,78



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78



Metodo simplex. Ilustracao

Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

0,5

0,1

0,4

xB1y1

=3

0,5;xB2y2

=1

0,1;xB3y3

=3

0,4.

I min:xB1y1

= 6


Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B−1


xB = B−1b =

3

1

3


pT = cTBB−1 =

[0 0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 3

s2 = c2 − pT a2 = − 2




Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

0,6

0,14

0,26

xB1y1

=6

0,6;xB2y2

=0,4

0,14;xB3y3

=0,6

0,26.

I min:xB3y3⇒ x5 saira da base.

Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};

B =

0,5 0 0

0,1 1 0

0,4 0 1

B−1 =

2 0 0

−0,2 1 0

−0,8 0 1


xB = B−1b =

6

0,4

0,6


pT = cTBB−1 =

[−6 0 0

]s3 = c3 − pT a3 = 6

s2 = c2 − pT a2 = − 0,2




Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E



Metodo simplex

cT

=[−3 −2 0 0 0

]

A =

0,5 0,3 1 0 0

0,1 0,2 0 1 0

0,4 0,5 0 0 1

b =

3

1

3





I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);

I f(x?) = cTBxB = −18,46;

Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};

B =

[0,5 0 0,3

0,1 1 0,2

0,4 0 0,5

]B−1 =

[3,84 0 −2,30

0,23 1 −0,54

−3,07 0 3,84


xB = B−1b =

4,62

0,08

2,30


pT = cTBB−1 =

[−5,36 0 −0,78

]s3 = c3 − pT a3 = 5,36

s5 = c5 − pT a5 = 0,78




Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E




Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):

I A: (0, 0, 3, 1, 3)

I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)

I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)

I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)

I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)

I Observe que nao foi precisoenumerar todos os pontosextremos!

6 107.5

10

6

5

x2

x1

x3=0

x5=0

x4=0

A

B

C

D

E



Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)

Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.

Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;

Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;

Passo 3: Determinar sk = minj∈N

sj ;

Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;

Senao, xk ira entrar na base;

Passo 5: Calcular y = B−1ak;

Passo 6: Teste da razao:xBlyl

= min

{ xBiyi| yi > 0

};

xBlira sair da base.

Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.




Entrada:

B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.




sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};







Passo 1: Calcular a solucao basica primal:

xB = B−1b, xN = 0;



sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};








Passo 2: Calcular a solucao basica dual:

pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;


sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};








Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1,

sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;


sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;

Passo 4: Se sk ≥ 0,

entao PARE! Solucao otima encontrada;




= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;


Senao,

xk ira entrar na base;



= min

{ xBiyi| yi > 0

};










sj ;





= min

{ xBiyi| yi > 0

};





Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(a)

Resolva o seguinte problema pelo metodo simplex:

max x1 + 2x2

s.a x1 + x2 ≤ 6

x1 − x2 ≤ 4

−x1 + x2 ≤ 4

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0



Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(b)


min 5w1 + 6w2 + 3w3

s.a 5w1 + 5w2 + 3w3 ≥ 50

1w1 + 1w2 − 1w3 ≥ 20

7w1 + 6w2 − 9w3 ≥ 30

5w1 + 5w2 + 5w3 ≥ 35

2w1 + 4w2 − 15w3 ≥ 10

12w1 + 10w2 + 0w3 ≥ 90

0w1 + 1w2 − 10w3 ≥ 20

w1, w2, w3 ≥ 0



Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(c)


max 2x1 + 2x2

s.a −x1 + x2 ≤ 3

2x1 − 3x2 ≤ 3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]

I s1 < 0⇒ x1 entra na base.

I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2

I B2 = 4⇒ x4 sai da base.

Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3

]I Calcular a solucao basica dual:

pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB

= B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b

=

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3

]


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT =

cTBB−1 =

[0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]

s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 =

− 2

s2 = c2 − pT a2 =

− 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y =

B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]

xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

=

min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a1 =

[−12

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

xB2y2

=3

2


Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};

B =

[1 0

0 1

]= B−1


xB = B−1b =

[3

3


pT = cTBB−1 =

[0 0

]s1 = c1 − pT a1 = − 2

s2 = c2 − pT a2 = − 2



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5

]


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB

= B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b

=

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5

]


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]

s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT =

cTBB−1 =

[0 −1

]

s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]

s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 =

1

s2 = c2 − pT a2 =

− 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y =

B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]

xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

=

min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}=

min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I E agora?

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I x2 →∞

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex

cT

=[−2 −2 0 0

]

A =

[−1 1 1 0

2 −3 0 1

]b =

[3

3

]


I Teste da razao:

y = B−1a2 =

[−0,5−1,5

]xBlyl

= min

{xBiyi| yi > 0

}= min∅

I PARE! Problema ilimitado.

Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};

B−1 =

[1 0,5

0 0,5


xB = B−1b =

[4,5

1,5


pT = cTBB−1 =

[0 −1

]s4 = c4 − pT a4 = 1

s2 = c2 − pT a2 = − 5



Metodo simplex. Solucao grafica: Casos particulares

max f(x1, x2) = 2x1 + 2x2

s.a −x1 + x2 ≤ 3

2x1 − 3x2 ≤ 3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

. Solucao ilimitada

x1

x2

-5

6

4

-1



Metodo simplex: Algoritmo





sj ;




Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;


= min

{ xBiyi| yi > 0

};






Entrada:

B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.




sj ;






= min

{ xBiyi| yi > 0

};

