Topicos de Fısica Moderna

Armando Teixeira

2011

Conteudo

1 Consideracoes Iniciais 5

2 Mecanica 62.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Axiomas de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Cinematica e Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Equacoes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Transformacoes de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Movimento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Campo Gravıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Oscilacoes e Ondas 133.1 Oscilacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Difraccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Electromagnetismo 194.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Axiomas de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Consequencias dos Axiomas de Maxwell . . . . . . . . . . . . 214.3 Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Teoria da Relatividade Restrita 235.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Axiomas de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Consequencias das Transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . 255.5 Relacao entre Massa e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Introducao a Fısica Quantica 276.1 Novos Resultados, Novas Concepcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 A Experiencia da Dupla Fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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6.2.1 Duas Fendas e Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2.2 Duas Fendas e Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2.3 Duas Fendas e Electroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Axiomas da Fısica Quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.5 Ondas e Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.5.1 Radiacao de Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5.2 Efeito Fotoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5.3 Atomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5.4 Relacao de Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Aplicacoes da Equacao de Schroedinger 367.1 Poco de Potencial Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Poco de Potencial Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 Oscilador Harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Introducao

O objectivo destes apontamentos e servirem de apoio aos estudantes do EngenhariaInformatica da Faculdade de Engenharia da Universidade Catolica de Angola numabreve introducao aos conceitos de Fısica Moderna.

Uma vez que neste apontamentos os alunos nao encontrarao exercıcios resolvidos,para alem de alguns simples exemplos, e que nem tudo o que sera dito nas aulasconstara destes apontamentos (a escassez de diagramas e, talvez, a sua falha maisevidente e os poucos diagramas que se encontram nestas folhas devem-se aos livrosque constam da bibliografia) a presenca nas aulas e fortemente recomendada.

Como se tal nao bastasse, nem tudo que sera escrito nestes apontamentos sera ditonas aulas, e assim a relacao entre os apontamentos e as aulas e de complementaridade.

O objectivo deste curso e introduzir alguns conceitos de Fısica Moderna de umaforma acessıvel. Para tal faremos uma breve revisao de alguns conceitos, pressupos-tos e resultados da mecanica classica, ainda que utilizando alguma terminologia econceitos mais modernos, e so depois a Fısica Relativista e Fısica Quantica seraointroduzidas e estudadas.

Os temas que iremos tratar ao longo deste curso serao (quase) sempre introduzidosda mesma maneira: umas quantas definicoes de conceitos iniciais, uma exposicao dosaxiomas que regulam o comportamento das entidades definidas e os resultados que seseguem apos o enunciado dos axiomas.

Sei bem que esta nao e a maneira corrente de ensinar muitos destes topicos aum nıvel introdutorio, mas escolhi assim faze-lo porque tal permite brevidade deexposicao dos temas tratados e porque me parece que as teorias assim retratadas saomanifestamente mais elegantes.

Espero que o que se ganhe em tempo e elegancia nao seja compensado por umacorrespondente perda em pedagogia.

Aos alunos mais interessados recomenda-se a leitura do livro de A. Einstein e L.Infeld A Evolucao da Fısica.

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Desiderata

Apesar de ao longo do nosso curso nos praticamente nao considerarmos experiencias,a Fısica e, acima de tudo, uma ciencia exacta e experimental. Assim sendo o seuobjectivo deve ser a codificacao de um conjuntos de dados experimentais por meio demodelos que permitam uma interpretacao dos fenomenos que se decide estudar.

Um facto extraordinario e que a partir da codificacao e interpretacao de um certoconjunto de dados iniciais por parte de um modelo podemos utilizar esse mesmomodelo para prevermos uma nova classe de fenomenos. O confronto destas previsoescom resultados experimentais permitira concluir qual o domınio de validade da teoriaconstruıda.

Vamos entao codificar os dados experimentais e construir um modelo que nospermita explicar e entender uma parte do mundo que temos a nossa volta.

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Capıtulo 1

Consideracoes Iniciais

Podemos dizer sem estarmos muito longe da verdade que a Fısica fundamental mo-derna tem na sua essencia tres concepcoes fundamentais:

1. O conceito de campo.

2. A Relatividade.

3. A Fısica Quantica

O conceito de campo e comum a praticamente todo o nosso curso por isso vamosja defino-lo:

Definicao 1.1. Campo e um objecto matematico que tem um valor definido numdado conjunto de pontos do espaco.

Definicao 1.2. Um campo diz-se vectorial quando os seus valores sao grandezasvectoriais.

Definicao 1.3. Um campo diz-se escalar quando os seus valores sao grandezas esca-lares.

As equacoes de campo que vamos descrever representam sempre interaccoes li-neares. Assim podemos considerar cada interaccao proveniente de um campo comosendo independente das outras interaccoes e a resultante e simplesmente a soma detodas as interaccoes.

Associada ao conceito de campo temos o conceito de energia potencial. Estaenergia deve-se a interaccao da partıcula com o campo ~A e em geral e proporcional a∫ b

a

~A · d~s onde d~s e o vector deslocamento infinitesimal.

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Capıtulo 2

Mecanica

A Mecanica Newtoniana e a primeira teoria Fısica que vamos estudar. Surgiu noseculo XVII, ganhou maturidade nos seculos XVIII e XIX e rejuvenesceu no seculoXX.

Este primeiro capıtulo sera uma introducao muito breve e superficial dos seustriunfos e resultados, mas ainda assim espero demonstrar alguma da sua extremaelegancia e profundidade.

2.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares

Todas as grandezas mecanicas podem ser expressas em unidades que derivam dasunidades das tres grandezas seguintes:

• Comprimento que se representa pela letra L.

• Tempo que se representa pela letra T .

• Massa que se representa pela letra M .

Na mecanica classica a massa de um corpo e uma indicacao da sua resistencia aalterar o seu estado de movimento. Esta caracterıstica tem o nome de inercia.

As unidades que utilizamos para expressar estas grandezas nao tem nada de essen-cial e sao puramente convencionais. Neste curso iremos utilizar o sistema internacionale vem que [L] = m, [T ] = s e [M ] = Kg.

Definicao 2.1. Um referencial e um conjunto de eixos, que permite representar osgraus de liberdade do sistema em estudo, e um ponto arbitrario que serve comoorigem.

Definicao 2.2. Um referencial diz-se inercial: quando possui as seguintes proprieda-des:

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• Espaco e homogeneo (todos os pontos sao equivalentes) e isotropico (nao existemdireccoes privilegiadas).

• Tempo e homogeneo (todos os instantes de tempo sao equivalentes).

Definicao 2.3. Posicao e o lugar geometrico que a partıcula ocupa num dado instantede tempo num referencial.

Definicao 2.4. Trajectoria e o lugar geometrico das sucessivas posicoes que a partıculaocupa num intervalo de tempo.

Definicao 2.5. Deslocamento e a diferenca entre a posicao final e a posicao inicialde uma partıcula. Normalmente representamos o deslocamento atraves do sımbolo∆~x.

Sabemos pela experiencia que os corpos se deslocam percorrendo deslocamentosdiferentes em intervalos de tempo diferentes. O conceito que relaciona a variacaoda posicao de uma partıcula com o intervalo de tempo necessario para essa variacaoocorrer e chamado de velocidade. Mas em fısica convem sermos mais rigorosos edefinirmos dois tipos diferentes de velocidade.

Definicao 2.6. Velocidade media: grandeza vectorial que permite calcular a taxa devariacao da posicao para um dado intervalo de tempo.

~vm =∆~x

∆t(2.1)

Definicao 2.7. Velocidade instantanea: grandeza vectorial que permite calcular avariacao da posicao para um dado instante de tempo.

~v = lim∆t→0

∆~x

∆t=d~x

dt(2.2)

Uma vez que a velocidade das partıculas tambem varia, fenomeno que recebe onome de aceleracao, podemos introduzir as seguintes definicoes:

Definicao 2.8. Aceleracao media: grandeza vectorial que permite calcular a taxa devariacao da velocidade para um dado intervalo de tempo.

~am =∆~v

∆t(2.3)

Definicao 2.9. Aceleracao instantanea: grandeza vectorial que permite calcular avariacao da velocidade para um dado instante de tempo.

~a = lim∆t→0

∆~v

∆t=d~v

dt(2.4)

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Convem ainda dizer que normalmente diz-se apenas velocidade (aceleracao) emvez de velocidade instantanea (aceleracao instantanea).

Associado a definicao de velocidade temos dois conceitos fısicos. Um deles escalar,que portanto fornece menos informacao sobre o movimento da partıcula, e o outrovectorial.

Definicao 2.10. Energia cinetica: energia associada ao movimento de uma partıculae defini-se como sendo:

K =1

2m~v · ~v =

1

2mv2 =

1

2m

(d~x

dt

)2

(2.5)

Definicao 2.11. Momento linear: grandeza vectorial associada ao movimento deuma partıcula e directamente proporcional a sua massa e velocidade.

~p = m~v = md~x

dt(2.6)

Vemos entao o porque da afirmacao da energia cinetica conter menos informacaosobre o movimento da partıcula do que o movimento linear. Pela sua definicao aenergia cinetica nao nos da informacao sobre a direccao da velocidade da partıculaenquanto que o momento linear nos diz tanto a direccao e a magnitude da velocidade.

Em termos mais prosaicos: o momento linear diz para onde vai a partıcula ecom que velocidade vai. A energia cinetica apenas nos diz com que velocidade vai apartıcula.

Definicao 2.12. O estado mecanico de uma partıcula e especificado atraves da de-terminacao simultanea e de precisao infinita das suas coordenadas e do seu momentolinear.

2.2 Axiomas de Newton

Ate ao momento temos os intervenientes da nossa peca mas ainda nao temos as regrasque deverao guiar as suas interaccoes. Estas regras sao dadas pelos tres axiomas deNewton.

Axioma 2.1. Existe um referencial inercial onde o momento linear de uma partıculalivre mantem sempre o mesmo valor.

Este enunciado nao e o que habitualmente se apresenta como a ”Primeira Lei deNewton”. Convem entao dar uma explicacao do porque da forma deste enunciado.

Anteriormente definimos um referencial inercial, mas a definicao que demos e decaracter puramente matematico. Nada neste mundo implica a existencia da estruturamatematica que definimos e a funcao da ”Primeira Lei de Newton”e exactamente

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estipular a existencia de um tal referencial no mundo em que habitamos. A justificacaodesta arrojada hipotese e o espectacular acerto das previsoes que a teoria de Newtonfaz e os resultados obtidos em experiencias.

Outro pormenor interessante e que o Axioma 2.1 apenas exige a existencia de umreferencial inercial, mas podemos concluir que existe um numero infinito de referen-ciais inercias.

Sabemos que num referencial inercial o espaco e homogeneo e isotropico e que otempo e homogeneo. Assim sendo o ponto que escolhemos como origem nada tem deespecial e podemos efectuar uma translacao para um outro ponto qualquer e passara considerar esse novo ponto como sendo a origem de um novo referencial inercial.

Para alem disso podemos rodar todos os nossos eixos em simultaneo e obter novoseixos. Estes novos eixos apenas se distinguem dos antigos por terem novas direccoes.Uma vez que o espaco e isotropico tal facto nao acarreta nada de novo e assim estenovo referencial continua a ser inercial.

Outra transformacao que podemos fazer e obter um referencial que se mova comvelocidade constante relativamente ao primeiro referencial. Novamente este situacaonada tem de novo e os referenciais continuam a ser equivalentes.

Uma vez que o tempo e homogeneo o instante de tempo que se convencionou ser 0nada tem de especial. Ou seja um referencial que se obtem de um referencial inercial,alterando o que se considera como sendo o instante inicial, tambem e um referencialinercial.

Para finalizar temos ainda que dizer que qualquer composicao destas transformacoestambem produz um referencial inercial.

Axioma 2.2. Se o momento linear de uma partıcula varia num referencial inercialdiz-se que essa partıcula foi actuada por uma forca, ~F , que se calcula utilizando a

seguinte expressao: ~F =d~p

dt.

Este axioma reduz-se a ~F = m~a quando a massa da partıcula e constante. No quese segue iremos sempre considerar que a massa da partıcula e constante.

Axioma 2.3. Quando dois objectos interagem entre si a forca ~F12 (forca que o objecto

1 exerce sobre o objecto 2) tem a mesma direccao, e igual em intensidade a forca ~F21

(forca que o objecto 2 exerce sobre o objecto 1), mas tem o sentido oposto. ~F12 = −~F21

2.3 Cinematica e Dinamica

Nesta seccao vamos introduzir muito esquematicamente consideracoes que visam des-crever e explicar o movimento de uma partıcula.

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2.3.1 Equacoes de Movimento

Das definicoes de aceleracao e velocidade que introduzimos na seccao 2.1 resulta oseguinte

d~v = ~adt⇒∫ t

t0

d~v =

∫ t

t0

~adt⇒ ~v(t)− ~v(t0) =

∫ t

t0

~adt (2.7)

Uma vez que a relacao funcional da aceleracao em funcao do tempo nao e conhecidao lado direito da ultima igualdade nao pode ser calculado.

Temos ainda

d~x = ~vdt⇒∫ t

t0

d~x =

∫ t

t0

~vdt⇒ ~x(t)− ~x(t0) =

∫ t

t0

~vdt (2.8)

Onde tambem nao prosseguimos o calculo visto que desconhecemos a expressao~v(t).

Se consideramos que ~a e constante no tempo (movimento uniformemente acele-rado)podemos resolver a equacao 2.7, ~v = ~v0+~a(t−t0), e apos substituicao na equacao2.8 obtemos

~x(t) = ~x0 + ~v0(t− t0) +1

2~a(t− t0)2 (2.9)

No caso ~a = ~0 o movimento diz-se rectilıneo uniforme.

2.3.2 Transformacoes de Galileu

Tınhamos visto apos o axioma 2.1 que existe uma infinidade de referenciais inerciais.Faz entao sentido perguntarmo-nos como podemos saber as coordenadas e velocidadede um ponto material num segundo referencial inercial.

Imaginemos que temos dois referenciais S e S ′ cujas origens coincidem no instantede tempo que convencionamos tomar como origem do tempo. Para alem disso S ′

move-se com uma velocidade ~v0 relativamente a S.

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Pela adicao de vectores e ~v0t + ~r′ = ~r que podemos escrever na forma de compo-nentes:

x′ = x− v0xt (2.10)

y′ = y − v0yt (2.11)

z′ = z − v0zt (2.12)

Derivando as anteriores equacoes em ordem ao tempo

v′x = vx − v0x (2.13)

v′y = vy − v0y (2.14)

v′z = vz − v0z (2.15)

As transformacoes de Galileu sao equivalentes a afirmacao que a forma das equacoesda Mecanica nao depende do referencial inercial que se escolhe para estudar o movi-mento.

2.3.3 Movimento circular

Uma vez que a velocidade e uma grandeza vectorial uma partıcula diz-se aceleradanao so quando a velocidade varia em modulo mas tambem quando varia em direccao.

Para o movimento ser circular tem que existir uma forca que se chama forcaradial, ~Fr, que em todos os pontos da trajectoria da partıcula tem a direccao docentro. Esta forca causa uma aceleracao radial, tambem chamada centrıpeta, cujaexpressao matematica e ac = v2/r.

A aceleracao responsavel pela variacao da velocidade em modulo e a aceleracaotangencial, at.

2.4 Campo Gravıtico

A lei da gravitacao universal diz que todas as partıculas do Universo atraem todasas outras partıculas do Universo com uma forca que e inversamente proporcional aoquadrado da distancia que as separa e directamente proporcional ao produto das suasmassas.

Enunciada desta forma esta lei tem o problema de implicar que a interaccaogravıtica e instantanea. Para solucionarmos este problema vamos apresentar a gravi-dade como sendo uma propriedade emergente de um campo.

Definicao 2.13. Campo Gravıtico: Campo vectorial, ~g, criado por um corpo demassa m1 em todos os pontos do espaco (excepto no ponto onde se encontra a massa)que e responsavel pela interaccao gravıtica.

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~g = Gm1

r2r (2.16)

Quando uma partıcula de massa m2 e colocada num ponto do espaco onde existeum campo gravıtico ~g a partıcula interage com este campo gravıtico. Ao interagircom o campo gravıtico a partıcula de massa m2 fica sob a accao de uma forca ~Fg cujaexpressao matematica e

~Fg = ~gm2 = Gm1m2

r2r (2.17)

Onde r e um vector unitario com a direccao da recta que une as duas partıculase com sentido a apontar para m1.

Para o caso particular de um corpo de massa m que esta a h metros da superfıcieda Terra sujeito a sua atraccao gravitacional e

Fg = GMTm

(Rt + h)2

Recordando que ~F = m~a para corpos de massa constante podemos escrever quea intensidade da aceleracao da gravidade e

g = GMT

(Rt + h)2

.

Definicao 2.14. Quando dois corpos de massa m1 e massa m2 interagem gravitica-mente estabelece-se entre eles uma energia derivada do campo gravıtico. Esta energiatem o nome de energia potencial gravıtica e a sua expressao matematica e

U = −Gm1m2

r(2.18)

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Capıtulo 3

Oscilacoes e Ondas

Neste capıtulo vamos introduzir algumas nocoes relacionadas com o movimento on-dulatorio em geral. Vamos tambem ver dois fenomenos que no contexto da mecanicaclassica so podem ser explicados recorrendo ao conceito de onda.

As ondas e as oscilacoes sao casos particulares de movimento oscilatorio e comotal ha conceitos basicos que sao comuns aos dois tipo de fenomenos:

Definicao 3.1. Perıodo e o intervalo de tempo mınimo necessario para que dois pon-tos de um mesmo fenomeno ondulatorio estejam no mesmo estado fısico. O perıodorepresenta-se pelo sımbolo T .

Definicao 3.2. Frequencia e o numero de ciclos de um fenomeno ondulatorio queocorre durante um segundo. Representa-se pela letra f e calcula-se utilizando aseguinte expressao f = 1/T .

Definicao 3.3. A frequencia angular e ω = 2π/T = 2πf

3.1 Oscilacoes

Nesta seccao vamos apenas estudar o movimento harmonico. Este e um tipo de movi-mento importante uma vez que em primeira aproximacao muitos tipos de movimentososcilatorios podem ser aproximados pelo movimento harmonico.

Imaginemos que temos uma partıcula que se desloca ao longo de uma posicao deequilıbrio e esta sujeita a uma forca F .

Definicao 3.4. Um movimento diz-se harmonico quando num movimento oscilatorioa forca e proporcional ao deslocamento relativo a posicao de equilıbrio e tem o sentidooposto ao do deslocamento.

F = −kx

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Recorrendo ao Axioma 2.2 e introduzindo k/m = ω2 podemos escrever a equacaoque descreve o movimento harmonico como

∂2x

∂t2= −ω2x (3.1)

As solucoes desta equacao podem ser da forma x(t) = A cos(ωt+ θ) em que A e odeslocamento maximo relativamente a posicao de equilıbrio e θ e a fase que especificaqual a posicao inicial da partıcula.

No caso do movimento harmonico as definicoes 3.1 e 3.2 podem ser escritas naforma T = 2π

√m/k e f = 1/(2π)

√k/m.

Para um movimento oscilatorio a energia cinetica e potencial sao:

• K =1

2mω2A2 sin2(ωt+ θ)

• U =1

2kA2 cos2(ωt+ θ)

Assim sendo a energia total do sistema e E =1

2kA2

3.2 Ondas

Definicao 3.5. Uma onda e uma perturbacao que se propaga transportando energia.

Definicao 3.6. Comprimento de onda, λ, e a distancia mınima entre dois pontos daonda que se encontrem nas mesmas condicoes.

Definicao 3.7. A velocidade de uma onda com comprimento de onda λ e perıodo Te c = λ/T = λf

Definicao 3.8. O numero de onda e k = 2π/λ

E possıvel demonstrar que a equacao que representa a propagacao de uma per-turbacao φ que se move com velocidade constante c e:

∂2φ

∂x2=

1

c2

∂2φ

∂t2(3.2)

Com as definicoes anteriores e imediato ver que equacoes da forma f1 = A sin(kx±ωt) e f2 = A cos(kx± ωt) sao solucoes de 3.2. Estas funcoes chamam-se sinusoidais,A e a amplitude e representa o deslocamento maximo, relativamente a posicao deequilıbrio, da entidade que esta a vibrar.

Em geral podemos dizer que uma onda progressiva que se propaga para a direitae sempre da forma f = f(x − ct) enquanto que uma onda que se propague para aesquerda e sempre da forma g = g(x+ ct), onde f e g sao funcoes a especificar.

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Uma vez que a equacao de onda e linear sabemos que qualquer combinacao linearsolucoes da equacao 3.2 e ainda uma solucao da equacao 3.2.

Para que as solucoes tenham sentido fısico devemos impor certas condicoes queas equacoes devem obedecer em determinadas regioes do espaco. Estas condicoeschamam-se condicoes de fronteira e o seu efeito e restringir o conjunto de valores queas solucoes podem tomar.

As solucoes de onda que respeitam as condicoes fronteira tem o nome de modosnormais de vibracao.

Quando uma onda se propaga e encontra a fronteira entre dois meios diferentesdois acontecimentos podem ocorrer:

1. Transmissao: alguma da energia da onda propaga-se no segundo meio.

Figura 3.1: Transmissao de um Pulso de Onda

2. Reflexao: toda a energia da onda se propaga no primeiro meio mas com o sentidooposto.

Figura 3.2: Reflexao de um Pulso de Onda

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Quando duas ondas sinusoidais da mesma amplitude e frequencia que se propagamem sentidos opostos interagem geram uma onda resultante cuja equacao e dada porf = 2A sin kx cosωt. Esta e a equacao de uma onda estacionaria.

3.3 Interferencia

Quando duas ondas do mesmo comprimento de onda e diferenca de fase constante seencontram da-se o fenomeno de interferencia.

Se as duas ondas se encontrarem na mesma regiao do espaco e tiverem a mesmafase a interferencia diz-se construtiva e a amplitude do onda resultante e igual a somadas amplitudes de cada onda original.

Figura 3.3: Interferencia Construtiva de dois Pulsos de Onda

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Se as duas se encontram na mesma regiao do espaco em oposicao de fase a inter-ferencia diz-se destrutiva e a amplitude da onda resultante e igual a subtraccao daamplitude das duas ondas originais.

Figura 3.4: Interferencia Destrutiva de dois Pulsos de Onda

A figura seguinte mostra uma representacao esquematica de uma realizacao expe-rimental para se observar um padrao de interferencias:

Figura 3.5: Padrao de Interferencia

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3.4 Difraccao

Quando luz de comprimento de onda bem definido incide numa barreira com umaabertura d acontece um fenomeno chamado difraccao. Cada porcao da fenda age comose fosse uma fonte independente e ondas provenientes de porcoes diferentes tem fasesdiferentes. Da sua interaccao pode resultar interferencia construtiva ou interferenciadestrutiva.

A figura seguinte mostra uma representacao esquematica de uma realizacao expe-rimental para se observar o fenomeno de difraccao:

Figura 3.6: Difraccao

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Capıtulo 4

Electromagnetismo

A teoria do Electromagnetismo e a primeira teoria Fısica a ter uma natureza moderna.E uma teoria de campo e para alem do mais e uma teoria relativista.

4.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares

Para criar uma teoria electromagnetica devemos primeiro introduzir uma nova gran-deza fundamental. Essa grandeza e a carga electrica que se representa pelo sımboloQ e a sua unidade no sistema internacional e o coulomb cujo sımbolo e C.

Definicao 4.1. Campo electrico e um campo vectorial, denotado pelo sımbolo ~E,criado por uma carga electrica q (carga fonte).

Definicao 4.2. Um campo electrico ~E estabelece entre dois pontos a e b uma dife-

renca de potencial ∆V = −∫ b

a

~E · d~s

Definicao 4.3. A forca electrica ~Fe surge da interaccao de uma partıcula de cargaq2 (carga de teste) com o campo electrico criado por uma partıcula de carga q1.

~Fe = ~E1q2 (4.1)

Definicao 4.4. Uma carga electrica q0 que se desloque de a para b num campoelectrico ~E faz com que a energia potencial do sistema varie da seguinte forma ∆U =

−q0

∫ b

a

~E · d~s

Definicao 4.5. Um campo electrico ao passar por uma superfıcie S de forma ar-bitraria estabelece um fluxo electrico ΦE que e dado peca seguinte expressao

ΦE =

∫S

~E · d ~A (4.2)

onde d ~A representa o vector de norma dA, direccao perpendicular a superfıcie.

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Definicao 4.6. Corrente electrica e a taxa de fluxo de carga electrica por unidade detempo. Se considerarmos o seu valor medio vem que Im = ∆Q/∆t. Se consideramos

o seu valor instantaneo e I =dQ

dt

Definicao 4.7. Campo magnetico e um campo vectorial, denotado pelo sımbolo ~B,criado por uma carga electrica em movimento.

Definicao 4.8. A forca magnetica ~FB surge da interaccao de uma partıcula de cargaq com o campo magnetico criado por uma partıcula de carga q1.

~FB = q~v × ~B (4.3)

Definicao 4.9. Um campo magnetico ao passar por uma superfıcie S de forma ar-bitraria estabelece um fluxo magnetico ΦB que e dado peca seguinte expressao

ΦB =

∫S

~B · d ~A (4.4)

onde d ~A representa o vector de norma dA e direccao perpendicular a superfıcie S.

4.2 Axiomas de Maxwell

No interesse da consistencia as equacoes de Maxwell serao denominadas por axio-mas de Maxwell uma vez que o seu papel na teoria do electromagnetismo poder serconsiderado equivalente ao papel de axiomas.

Apenas apresentaremos estes axiomas na sua forma integral ainda que estas equacoespossam ser expressas de modo totalmente equivalente por equacoes diferenciais.

Axioma 4.1. ∮~E · d ~A =

qinε0

(4.5)

Axioma 4.2. ∮~B · d ~A = 0 (4.6)

Axioma 4.3. ∮~E · d~s = −dΦB

dt(4.7)

Axioma 4.4. ∮~B · d~s = µ0I + µ0ε0

dΦE

dt(4.8)

20

O primeiro axioma diz-nos o fluxo electrico que passa por uma superfıcie fechada eproporcional a carga contida no interior da superfıcie. O segundo axioma e equivalentea afirmacao de que nao existem cargas magneticas.

O terceiro axioma expressa o facto que campos magneticos que variam no tempocriam campos electricos. Por sua vez estes campos electricos nao conservativos saoresponsaveis por criarem uma diferenca de potencial

∮~E · d~s = ε ao longo de um

circuito electrico.O quarto axioma expressa o facto que campos electricos que variam no tempo

e correntes electricas criam campos magneticos. O termo ε0dΦE

dte denominado de

corrente de deslocamento.

4.2.1 Consequencias dos Axiomas de Maxwell

Recorrendo ao axioma 4.1 e ao conceito de superfıcie Gaussiana podemos determinara a expressao matematica do campo electrico de algumas distribuicoes de carga.

Uma superfıcie gaussiana tem que ter alguns dos seguintes atributos para permitiro calculo de ~E:

• O valor do campo electrico deve ser constante na superfıcie.

• A seguinte simplificacao deve ser possıvel ~E · d ~A = EdA.

• ~E · d ~A = 0.

• O valor do campo electrico e 0 na superfıcie.

Para o caso de uma carga pontual isolada a superfıcie gaussiana em questao e umasuperfıcie esferica centrada na carga. Neste caso conseguimos obter os dois primeirosatributos e vem:

~E = keq

r2r (4.9)

Se definirmos V (∞) = 0 vem que o potencial electrico de uma carga pontual e:

V = keq

rr (4.10)

E deste modo a energia de interaccao entre uma carga q1 e uma carga q2 separadasde uma distancia r e:

U = keq1q2

r(4.11)

Para um campo electrico uniforme vem que a diferenca de potencial entre doispontos separados de uma distancia d e ∆V = −Ed

Outras consequencias dos axiomas de Maxwell serao exploradas nas series deexercıcios.

21

4.3 Ondas Electromagneticas

Os axiomas 4.3 e 4.3 permitem deduzir que

∂2E

∂x2= µ0ε0

∂2E

∂t2(4.12)

∂2B

∂x2= µ0ε0

∂2B

∂t2(4.13)

Se identificarmos c = 1/√µ0ε0 vemos que as equacoes 4.12 e 4.13 sao equacoes de

onda progressivas que se deslocam com a velocidade c.E um facto experimental que a velocidade de propagacao de luz tem um valor

muito proximo de c e assim surge como hipotese o facto da luz nada mais ser do queum tipo de radiacao electromagnetica.

Esta hipotese foi posteriormente confirmada experimentalmente por Hertz e e umdos mais espectaculares sucessos da teoria electromagnetica.

Outro facto interessante que provem da teoria electromagnetica e que c e invari-ante. Isto e uma directa contradicao ao que tınhamos visto anteriormente no contextoda Mecanica Classica (seccao 2.3.2).

22

Capıtulo 5

Teoria da Relatividade Restrita

Neste momento temos uma codificacao bastante boa e consistente de um vasto con-junto de dados experimentais. No entanto temos duas situacoes algo espinhosas entreas nossas maos. Em primeiro lugar as transformacoes de Galileu apenas afirmama invariancia das leis da mecanica. Em segundo lugar temos que a teoria electro-magnetica preve que a velocidade da luz nao depende do referencial inercial onde emedida.

A resolucao destes problemas no inıcio do seculo XX acarretou uma profundarevisao dos conceitos de espaco e tempo e os conceitos de massa, energia e inercia.

5.1 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares

Definicao 5.1. Espaco-tempo e um espaco com tres dimensoes espaciais e uma di-mensao temporal.

Definicao 5.2. Um acontecimento e um ponto no espaco tempo.

Quer isto dizer que de agora em diante deixaremos de pensar no tempo como umparametro e que o nosso enfase na especificacao do estado de uma partıcula passarapara a posicao que ela ocupa no espaco-tempo em vez de se focar no seu estadomecanico.

5.2 Axiomas de Einstein

Axioma 5.1. As leis da Fısica tem a mesma forma em todos os referenciais inerciais.

Axioma 5.2. As ondas electromagneticas tem a mesma velocidade em todos os re-ferenciais inerciais.

O primeiro axioma e uma generalizacao do que se chama de Princıpio de Galileue o segundo axioma apenas e o constatar de um facto experimental. A primeira

23

vista estes dois axiomas parecem ser incoerentes, mas tal e apenas fruto dos nossospreconceitos relativamente a natureza do espaco e do tempo.

5.3 Transformacoes de Lorentz

Imaginemos um mesmo acontecimento P que e descrito em dois referenciais inerciaisdiferentes S e S ′. Vamos supor que S ′ se move relativamente a S com uma velocidadeconstante v e que as origens dos dois referenciais coincidem para t = 0.

E agora nossa tarefa deduzir as equacoes que permitam transformar as coordena-das de um referencial para as coordenadas do outro.

Primeiro que tudo vamos notar que devido ao axioma 5.1 podemos escrever x′ =γ(x− vt) e x = γ(x′ + vt′).

Talvez seja conveniente realcar o facto de termos escrito t′ na segunda equacao eque isto quer dizer que a natureza do tempo nao e assumida por nos mas que seradeduzida.

Resolvendo em ordem a t′ vem t′ = γ[t+ (1/γ2 − 1)

x

v

].

Ou seja dx′ = γ(dx− vdt) e dt′ = γ

[dt+ (1/γ2 − 1)

dx

v

]. E assim e

v′x =dx′

dt′=

vx − v1 + (1/γ2 − 1)

vxv

(5.1)

O axioma 5.2 diz-nos que vx = c ⇒ v′x = c e assim a equacao 5.1 e c =c− v

1 + (1/γ2 − 1)c

v

. Resolvendo em ordem a γ vem

γ =1√

1− v2

c2

(5.2)

Ou seja as nossas transformacoes, denominadas por transformacoes de Lorentzsao

24

x′ = γ(x− vt)y′ = y

z′ = z

t′ = γ(t− vx

t2

)5.4 Consequencias das Transformacoes de Lorentz

As transformacoes cuja forma acabamos de deduzir tem consequencias que parecemverdadeiramente incrıveis ao senso comum:

• O espaco e o tempo nao mais sao entidades absolutas.

• O conceito de acontecimentos simultaneos e relativo ao referencial.

• O comprimento de corpos em movimento encurta na direccao do seu movimento.

• A formula para a adicao de velocidades tem que ser revista.

• Os conceitos de massa, energia e inercia devem ser repensados.

Entender o porque da primeira consequencia e trivial tendo em conta a formadas transformacoes de Lorentz. A segunda, terceira e quarta consequencias seraodemonstradas como exercıcios e a ultima consequencia sera estudada na seccao 5.5.

5.5 Relacao entre Massa e Energia

De modo a obtermos a conservacao do momento linear utilizando as transformacoesde Lorentz a definicao de momento linear (definicao 2.11) deve ser revista.

Definicao 5.3. O momento linear de uma partıcula que se desloca com velocidade ~ve

~p = γm~v (5.3)

Definicao 5.4. Quando o momento linear de uma partıcula varia dizemos que apartıcula esta a ser actuada por uma forca

~F =d

dt(γm~v) (5.4)

25

A revisao dos conceitos de momento linear e forca no contexto da teoria da re-latividade implicam necessariamente a revisao do conceitos de energia cinetica e doconceito de inercia.

Sabemos que uma forca realiza trabalho sobre uma partıcula ao longo de umdeterminado deslocamento.

W =

∫ x2

x1

Fdx =

∫ x2

x1

dp

dtdx = mc2(γ − 1)

Se a forca actua na partıcula estando esta primeiramente em repouso e

K = mc2(γ − 1) (5.5)

Uma vez que mc2 e a energia associada a uma partıcula quando esta esta emrepouso γmc2 tem que ser a soma da sua energia cinetica com a energia em repouso.

Definicao 5.5. A energia total de uma partıcula e dada pela equacao

E = γmc2 (5.6)

Com a definicao normal de trabalho e a definicao relativista de forca concluımosque a energia de uma partıcula esta relacionada com a sua massa. Quando γ = 1(partıcula em repouso) temos E = mc2.

Uma vez que na fısica quantica o conceito de momento linear tem sentido fısicoenquanto que o conceito de velocidade nao, e costume escrever a equacao 5.6 na forma

E2 = (mc2)2 + (pc)2 (5.7)

Esta ultima equacao indica que a massa e a energia sao apenas duas faces de umamesma moeda e que se podem converter uma na outra.

Para alem disso tambem demonstra que a inercia, no contexto relativista, deixade ser vista como uma medida da massa da partıcula e passa a ser vista como umamedida da massa e do momento linear da partıcula.

26

Capıtulo 6

Introducao a Fısica Quantica

Ao contrario do que fizemos nos capıtulos anteriores este capıtulo fara mencao dealgumas experiencias que motivaram a formulacao da Fısica Quantica. Para alemdisso as nossas formulacoes iniciais serao expostas de uma forma menos resumida.

6.1 Novos Resultados, Novas Concepcoes

Qualquer pessoa que se tenha aproximado de um laboratorio e teve que realizar umaexperiencia sabe que para se poder dizer algo sobre o sistema em estudo e semprenecessario interagir com o sistema. Em linguagem mais respeitavel devemos dizer oacto de medicao perturba sempre o sistema em estudo.

Para alem disso temos tambem o conceito de estado mecanico. Ora o conceito deestado mecanico pressupoe duas coisas:

1. A perturbacao pode, em princıpio (nalguns casos), tornar-se tao pequena quantose queira. O facto de haver sempre limites e uma propriedade dos instrumentosque se utiliza e nao da teoria que serve como base.

2. Existem algumas perturbacoes cujo efeito nao pode ser desprezado. No entantoe sempre possıvel fazer um calculo exacto de quais os efeitos dessa perturbacaoe desse modo e possıvel compensa-los.

Em suma a teoria que ate agora desenvolvemos e causal e determinista.No entanto uma das duas nuvens negras de Kelvin e mais uns quantos outros

resultados experimentais mostraram que uma revisao dos conceitos classicos era ne-cessaria:

• Radiacao de corpo negro.

• Efeito fotoelectrico.

• Princıpio da combinacao de Ritz.

27

• Existencia e estabilidade de atomos.

• Experiencia de Stern-Gerlach.

• Difraccao de raios de electroes.

• ...

Estes resultados experimentais introduziram as seguintes quebras com o para-digma newtoniano:

• Entidades que tinham uma natureza corpuscular demonstram um comporta-mento ondulatorio.

• Entidades que tinham uma natureza ondulatoria demonstram um comporta-mento corpuscular.

• Existe um caracter estatıstico (que parece ser) essencial no comportamento damateria.

• O caracter atomico da materia obriga a repensar a natureza do processo demedicao: uma vez que existem grandezas cujo valor nao pode ser arbitraria-mente diminuıdo uma perturbacao tem sempre um valor mınimo que nao podeser melhorado.

28

6.2 A Experiencia da Dupla Fenda

Para tornar mais concreta a discussao anterior vamos olhar com mais cuidado parauma experiencia que demonstra muito bem o choque entre as duas concepcoes quetemos vindo a discutir.

6.2.1 Duas Fendas e Partıculas

Imaginemos que temos uma situacao como a retratada na figura 3.5 mas desta vez oque incide nas fendas nao sao ondas, mas sim partıculas.

Figura 6.1: Experiencia de dupla fenda com partıculas

Nesta situacao as partıculas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partıculas quepassam pela fenda 1 sao responsaveis pela curva de probabilidades P1 enquanto queas partıculas que passam pela fenda 2 sao responsaveis pela curva de probabilidadesP2. A curva de probabilidades resultante P12 e simplesmente a soma das curvas P1 eP2.

6.2.2 Duas Fendas e Ondas

Como ja tınhamos visto na seccao 3.3 se fizermos passar uma onda por duas fendaso que se obtem e:

Figura 6.2: Experiencia de dupla fenda com ondas

29

Neste caso a intensidade das ondas e a quantidade que interessa estudar. Temosa curva de intensidades I1 que e causado pela fenda 1 e a curva de intensidades I2

que e causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto e I12 = |h1 + h2|2 =I1 + 2I1I2 cos θ. O ultimo termo e responsavel pela interaccao da onda provenienteda fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo e este termo que eresponsavel pelo padrao de interferencia.

6.2.3 Duas Fendas e Electroes

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partıculas vamosestudar o movimento de raios de electroes a passar por duas fendas. Pelo que se sabedos electroes eles sao partıculas e como tal esperamos encontrar um comportamentoigual ao representado na figura 6.1. No entanto isto e o que a Natureza tem para nos:

Figura 6.3: Experiencia de dupla fenda com raios de electroes

No caso dos electroes temos que novamente pensar em termos de curvas de proba-bilidades e curvas de probabilidades sao inerentes ao conceito de partıculas. Contudoo que nos observamos e um padrao de interferencias e isso e inerente a ondas...

Para podermos explicar os padroes que vemos temos que assumir que a cadaprobabilidade Pi esta associada uma amplitude de probabilidade φi. Para calcularmosa probabilidade devemos calcular o modulo quadrado da amplitude de probabilidadePi = φ2

i . Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidadesde passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e so depois devemos calcular o moduloquadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrao passar pelafenda 1 ou de passar pela fenda 2: P12 = |φ1 + φ2|2.

Notar que no paragrafo anterior tratamos o electrao como sendo sempre umapartıcula, ainda que seja uma partıcula com propriedades muito especiais, e nuncaem momento algum o tratamos como sendo uma onda que interfere consigo mesma.Tal tratamento ha muito tempo se sabe estar errado, mas, por questoes que so podemser de nostalgia, e frequente encontra-lo em muitos livros.

30

6.3 Conceitos Basicos e Definicoes Preliminares

Apos a discussao de alguns dos motivos que levaram os fısicos a procurarem um novoparadigma que permitisse fazer sentido do que se passava a nıvel atomico esta naaltura de introduzir as nossas habituais definicoes iniciais.

Definicao 6.1. O estado quantico e definido pela especificacao das grandezas fısicasrelevantes e e representado por uma funcao que toma valores complexos Ψ(x, t)

Definicao 6.2. O momento linear de uma partıcula e representado pelo operador

p =~i

d

dx(6.1)

Definicao 6.3. A energia de uma partıcula e representada pelo operador

E = i~d

dt(6.2)

Definicao 6.4. Para uma partıcula livre as seguintes equacoes sao validas:

k =~p

(6.3)

ω =E

~(6.4)

6.4 Axiomas da Fısica Quantica

Os axiomas que aqui vamos apresentar nao sao os mais gerais nem os mais convenien-tes para um tratamento maduro da Fısica Quantica mas sao tudo o que necessitamospara cumprir com o ambito do curso.

Axioma 6.1. O estado de um sistemas quantico evolui segundo a equacao de Schro-edinger:

− ~2

2m

∂2Ψ

∂x2+ U(x)Ψ = i~

∂Ψ

∂t(6.5)

Axioma 6.2. A probabilidade de que uma partıcula seja encontrada no elemento deespaco dx denota-se por P (x)dx e e:

P (x)dx = |Ψ(x, t)|2dx (6.6)

Axioma 6.3. Uma partıcula quantica e sempre resultante de interferencia constru-tiva.

31

A funcao deste axioma e captar de uma so vez a natureza dual do conceito departıcula em Fısica Quantica.

Axioma 6.4. O valor medio de uma grandeza fısica A, que se representa A, e dadopela seguinte expressao:

A =

∫Ψ∗AΨ (6.7)

Onde o integral se calcula na regiao relevante.

6.5 Ondas e Partıculas

6.5.1 Radiacao de Corpo Negro

Definicao 6.5. Um corpo negro e um objecto que absorve toda a radiacao electro-magnetica que nele incide.

Para explicar o espectro de radiacao de um corpo negro Planck assumiu que aparede de uma cavidade era composta por ressoadores microscopicos que vibravamcom frequencias diferentes. Cada ressoador tinha a sua frequencia propria f e deviaemitir radiacao com essa frequencia e com qualquer valor de energia. No entantoPlanck postulou que a energia de um ressoador so podia ser E = nhf . Ou seja quea radiacao emitida ou absorvida no interior da cavidade so tomava valores discretos.

Com essa hipotese adicional Planck deduziu uma relacao funcional entre a den-sidade de energia u o comprimento de onda da radiacao λ (ou a sua frequencia ν)e a temperatura a que se encontra o interior da cavidade que se adequa aos dadosexperimentais:

u(λ, T ) =8πhc

λ5(ehc/(λKBT ) − 1)(6.8)

u(ν, T ) =8πhν3

ν3(ehν/(KBT ) − 1)(6.9)

Recorrendo as equacoes 6.8 e possıvel demonstrar que a potencia emitida porunidade de area, e, por um corpo negro e e = σT 4.

Tambem e possıvel demonstrar que λTmax = k. Sendo k = 2.898× 103 mK

6.5.2 Efeito Fotoelectrico

Quando se faz incidir luz monocromatica sobre uma superfıcie metalica observa-seque um certo numero de electroes se liberta com uma energia muito bem definida.Para alem disso sabemos tambem que existe uma frequencia mınima que faz com

32

que electroes se libertem da placa metalica e que o numero de electroes libertadosaumenta com o aumento da intensidade da luz mas a sua energia cinetica nao.

No contexto da teoria electromagnetica da luz todos estes factos sao inexplicaveis.No entanto se assumirmos que a luz se propaga em pacotes discretos de energia (istoe uma generalizacao enorme da hipotese de Planck que apenas assumiu que trocasde energia se davam de forma discreta) e que estes pacotes de energia sao da formaE = hf o efeito fotoelectrico e prontamente explicado.

A energia cinetica dos electroes libertados e dada pela expressao K = hf−φ ondeφ representa a energia de ligacao dos electroes a placa metalica.

6.5.3 Atomo de Bohr

A existencia de atomos e segundo o electromagnetismo classico um acontecimento im-possıvel. Segundo o electromagnetismo cassico partıculas carregadas em movimentoacelerado deveriam emitir radiacao continuamente.

Uma vez que os electroes orbitam em torno do nucleo o seu movimento e clara-mente acelerado. Assim sendo os electroes deveriam radiar energia continuamentefazendo com que a sua distancia ao nucleo fosse cada vez menor ate colidirem com onucleo. Tal, obviamente, nao e o que acontece.

Postulando que os electroes so podem orbitar em torno do nucleos em certastrajectorias( recorrendo ao Axioma 6.3 podemos demonstrar que nestas trajectorias omomento angular do electrao esta restringido a ter valores discretos) podemos explicara estabilidade dos atomos e prever certos fenomenos que sabemos ocorrer ao nıvelatomico.

Estes estados do electrao em que ele nao pode emitir radiacao chamam-se estadosestacionarios. Para transitar de um estado estacionario para outro estado estacionarioo electrao deve emitir ou absorver um fotao e a energia deste fotao deve igualar adiferenca de energia entre os estados estacionarios.

Ei − Ef = hf (6.10)

mevr = n~ (6.11)

Com estas duas equacoes e possıvel prever que os raios permitidos dos electroessao da forma:

rn =n2~2

meke2(6.12)

Tomando n = 1 temos o raio menor raio possıvel (o raio de Bohr) que se denotapor a0.

E que as energias permitidas sao da forma

33

En = − ke2

2a0n2(6.13)

Utilizando as equacoes 6.10 e 6.13 podemos calcular o comprimento de onda dofotao que permite a transicao entre estados estacionarios

1

λ=

ke2

2a0hc

(1

n2f

− 1

n2i

)(6.14)

A teoria do atomo de hidrogenio de Bohr tambem permite explicar o espectro deenergia de alguns atomos ionizados.

6.5.4 Relacao de Incerteza de Heisenberg

O Axioma 6.3 diz-nos que para construirmos uma partıcula devemos ter uma in-terferencia construtiva de ondas. Uma onda e algo que tem uma extensao infinitaenquanto que uma partıcula nao poderia ter uma dimensao mais finita. De modo aobtermos uma partıcula atraves da soma de ondas devemos entao somar varias ondasde modo a que a sua soma seja diferente de 0 apenas numa regiao muito pequena doespaco. Em geral o numero de ondas necessario sera elevado.

Como cada onda tem o sua comprimento de onda, uma soma de um numeroelevado de ondas faz com que a partıcula resultante tenha um comprimento de ondamuito incerto

No limite de somarmos um numero infinito de ondas chegamos a situacao em quetemos uma partıcula perfeitamente localizada mas que tem um comprimento de ondatotalmente incerto.

Por outro lado se tivermos uma so onda o seu comprimento de onda e totalmentecerto e uma vez que uma onda tem uma extensao espacial infinita a sua posicao etotalmente incerta.

Vemos que existe uma relacao de proporcionalidade inversa entre a dispersao deuma partıcula relativamente a sua posicao e a dispersao de uma partıcula relativa-mente ao seu comprimento de onda.

Fisicamente a quantidade de interesse e o momento linear e o seguinte resultadoe valido:

∆x∆p ≥ ~2

(6.15)

que e a relacao de incerteza de Heisenberg. ∆x e a dispersao relativamente aposicao da partıcula e ∆p e a dispersao relativamente ao momento linear da partıcula.

E tambem possıvel provar com toda a generalidade que para o intervalo de temponecessario para uma transicao de energia ocorrer e para a energia transferida valeuma desigualdade analoga.

34

∆E∆t ≥ ~2

(6.16)

35

Capıtulo 7

Aplicacoes da Equacao deSchroedinger

Neste capıtulo vamos dar uso ao Axioma 6.1. Este axioma indica como varia um es-tado quantico ao longo do tempo e e vital para que possamos compreender a Dinamicaa nıvel atomico.

De notar que o Axioma 6.1 e uma equacao diferencial e como tal a teoria assimconstruıda e determinista.

De acordo com o Axioma 6.2 A probabilidade de encontrar uma partıcula no ele-mento de espaco dx e |Ψ(x, t)|2dx. Assim sendo a probabilidade encontrar a partıcula

num intervalo [a, b] e

∫ b

a

|Ψ(x, t)|2dx.

Uma vez que a equacao do Axioma 6.1 e uma equacao linear sabemos que seΨ e solucao da equacao de Schroedinger tambem AΨ e uma solucao da equacao deSchroedinger.

Por outro lado temos que ter necessariamente∫ ∞−∞|Ψ(x, t)|2dx = 1 (7.1)

Deste modo a constante complexa A fica fixada a menos de um factor de fase.Uma vez que este factor de fase e irrelevante no contexto deste curso a condicao 7.1efectivamente faz com que a nossa solucao de Schroedinger tenha uma solucao unica.

De modo a simplificar a nossa discussao vamos supor que Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t).

Deste modo em vez da equacao − ~2

2m

∂2Ψ

∂x2+U(x)Ψ = i~

∂Ψ

∂tque e equacao a derivadas

parciais temos:

i~dφ

dt= Eφ (7.2)

− ~2

2m

∂2ψ

∂x2+ U(x)ψ = Eψ (7.3)

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Que sao duas equacoes diferenciais ordinarias.Da primeira equacao vem que a dependencia temporal da funcao de onda e φ(t) =

e−iωt. A segunda equacao e conhecida como a equacao de Schroedinger independentedo tempo e e sobre ela que nos vamos debrucar nas seccoes seguintes.

7.1 Poco de Potencial Infinito

Apesar de esta situacao ser bastante artificial a nıvel fısico a sua componentedidactica e bastante elevada e convem ser estudada de modo a que possamos entenderexemplos posteriores que tenha alguma relevancia fısica.

Nesta situacao a partıcula desloca-se ao longo de um comprimento L onde naosofre a influencia de nenhuma energia potencial. Mas ao chegar as extremidades docomprimento temos U(0) = U(L) = +∞. Que e um potencial infinitamente repulsivo.

Para x > L ou x < 0 e obviamente ψ(x) = 0.

Dentro da regiao onde o movimento e permitido temos ψ(x) = A sin(nπxL

).

Solucao que nos diz que os valores de energia que a partıcula pode ter nao mais fazemparte de um intervalo contınuo mas que passam a ser valores discretos.

37

7.2 Poco de Potencial Finito

Uma situacao mais realista e dizermos que uma partıcula se desloca ao longo deuma regiao onde nao esta sujeita a nenhuma energia potencial e que nas extremidadesdesta regiao encontra um potencial U(0) = U(L) = c. Um potencial que e repulsivo,mas finito.

Se assumirmos que E < U ou seja que a energia da partıcula e inferior a energiapotencial repulsiva vemos que as solucoes de 7.3 permitem uma probabilidade naonula de encontrar a partıcula fora da regiao onde estava inicialmente confinada.

38

7.3 Oscilador Harmonico

Para oscilacoes pequenas em torno de um ponto de equilıbrio sabemos que qualquerfuncao de energia potencial pode ser aproximada por uma funcao quadratica. Assim adinamica resultante para partıculas que tenham pequenos deslocamentos em torno deuma posicao de equilıbrio e em primeira aproximacao a dinamica de um movimentoharmonico.

Para o oscilador harmonico a equacao de Schroedinger e

− ~2

2m

d2ψ

dx2+

1

2mωx2ψ = E

dψ

dt

Nao iremos resolver esta equacao de forma exacta mas por argumentos heurısticosvamos propor uma solucao possıvel para o estado fundamental.

Pelos exemplos anteriores vimos que no estado fundamental a funcao de ondanunca tomava o valor 0 mas aproximava-se dele assintoticamente. Vimos tambemque as solucoes por nos encontradas reflectiam a simetria da energia potencial.

Assim sendo esperamos que o mesmo aconteca neste caso. Uma possıvel solucaosera entao uma funcao da forma ψ(x) = C0e

−αx2

Substituindo esta funcao na equacao de Schroedinger vemos que α =mω

2~e que

E = 1/2~ω. O que mostra que a energia de um oscilador harmonico quantico noestado fundamental nao e zero.

E possıvel demonstrar que En = (n+ 1/2)~ω

39

Bibliografia

• Physics for Scientists and Engineers 6th Edition R. A. Serway, J. W. Jewett

• Modern Physics 3rd Edition R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer

• The Evolution of Physics A. Einstein, L. Infeld

• Fısica Atomica 4a edicao Max Born

• The Feynman Lectures on Physics Feynman, Leighton , Sands

40

Indice

aceleracao, 6instantanea, 6media, 6

axiomaprimeiro axioma Newton, 7segundo axioma Newton, 8terceiro axioma Newton, 8

campo, 4escalar, 4gravıtico, 10vectorial, 4

deslocamento, 6difraccao, 17

energiacinetica

classica, 7potencial, 4

estadomecanico, 7

frequencia, 12angular, 12

inercia, 5interferencia, 15

construtiva, 15destrutiva, 16

momento linearclassico, 7

movimento harmonico, 12

onda, 13

perıodo, 12posicao, 6

referencial, 5referencial inercial, 5

trajectoria, 6transformacoes de Lorentz, 22

velocidade, 6instantanea, 6media, 6

41