7/21/2019 Soluo Geomtrica Para o Problema Dos Carros

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Soluo Geomtrica para oProblema dos Carros

Considere o problema a seguir: Quatro carros viajam pela mesma estrada em

velocidades constantes. Os carrosA, B eCseguem num mesmo sentido,enquanto o carroDsegue em sentido oposto.

O carroAviaja atrs do carroB, que viaja atrs do carro C, todos eles h umadistncia grande um do outro.

O carroAultrapassou o carroBs 8 horas em seguida ultrapassou ocarro Cs ! horas e "oi o primeiro cru#ar com o carroDs $% horas. OcarroDcru#ou com o carroBs $& horas e com o carro Cs $' horas.( quest)o *: a que horas o carroBultrapassou o carro C+

Como o problema inicia com a ultrapassagem do carroApelo carroBs 8

horas, vamos tomar 8 como sendo a origem do sistema cartesiano.

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Como os ve-culos deslocamse a velocidades constantes, podemos representlos atrav*s de retas, cujas inclina/0es indicam o qu)o mais rpido deslocaseum carro em rela/)o ao outro: quanto mais inclinada "or a reta, maior avelocidade do carro1

2ica claro que o carroAest mais rpido do que os outros, logo este percorreuma distncia maior em menos tempo logo a inclina/)o da reta querepresenta o carroA* a mais inclinada. ( retaBser menos inclinada e aindamenos para o carro C. 3ssas retas podem estar representadas pela equa/)o:

ax+b=y

e como os tr4s carros seguem o mesmo sentido, tomamos ocoe"iciente acomo positivo e, portanto, teremos tr4s retas geradas por "un/0escrescentes. 5 para o carroD, que viaja em sentido oposto, representamos pelaretaD,que * gerada por uma "un/)o decrescente.s 8 horas, portanto, os carrosAeBest)o juntos no mesmo ponto Odaestrada 6origem7 enquanto o carro Cest em algum ponto V sua "rente e ocarroDest mais "rente num ponto U.ejam que o carroAultrapassou o carro Cs ! horas, indiquemos com um

pontoP. ( seguir, o carroA seguiu e cru#ou com o carroDs $% horas,indiquemos esse ponto por Q.Os pontosSeRmarcam o momento em que o carroDcru#ou com ocarroBs $& horas e com o carro Cs $' horas. O problema se resume emdescobrir qual * a hora no ponto T.39aminando o gr"ico note que o tempo gasto pelo carro Apara se deslocar do

ponto Oao pontoP* o mesmo para se deslocar dePa Q, ou seja $ hora,ent)o, os seguimentos de retas OP ePQs)o iguais.(o longo da reta d, os seguimentos de reta QSeSR tamb*m s)o iguais.ortanto, no tringulo ;OQR, OS * a mediana do ngulo QReRP* amediana do ngulo QRO.

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