APRENDENDO GEOMETRIA COM O SOFTWARE SIMIS Marcia Boiko dos Santos – marcia_boiko@hotmail.com SEED-PR/PCM-UEM Araruna - Paraná Claudete Cargnin – cargnin@utfpr.edu.br UTFPR-CM/PCM-UEM BR 369, km 0,5 Vila Carolo Campo Mourão – Paraná Valdeni Soliani Franco – vsfranco@uem.br Universidade Estadual de Maringá/DMA Av. Colombo, 5790 – 87020-900 Maringá – PR Resumo: Este artigo discute as possibilidades do uso do Software SIMIS para o ensino das transformações no plano, a partir da simetria, e das possíveis variações para um ensino que incentive o desenvolvimento do raciocínio e a criatividade. Essa discussão se faz necessária, uma vez que o computador introduz uma dimensão dinâmica à investigação em Educação Matemática, proporcionando aos educandos o acesso ao conhecimento, visando à compreensão e a interação dos mesmos com o mundo em que vivem. Palavras-chave: Simetria, Software SIMIS, Geometria plana.

1 INTRODUÇÃO

As tecnologias para o ensino da Matemática vêm sendo utilizadas há muito tempo em todo o mundo. De acordo com Constantino (2006), no Brasil as primeiras investigações sobre o uso de computadores na Educação ocorreram na Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP e na Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS, por volta de 1975.

Em 1981, realizou-se o I Seminário Nacional de Informática na Educação, na Universidade de Brasília. O II Seminário Nacional de Informática na Educação ocorreu em 1982 na Universidade Federal da Bahia, em Salvador. O objetivo desse encontro foi obter subsídios para a criação de projetos pilotos. Nessas discussões ficou evidente o papel prioritário que tem a formação do professor para a utilização do computador em sala de aula. Ainda em 1982 o MEC instituiu diretrizes para o estabelecimento da política de informática na educação, cultura e desportos.

Em 1983 foi criado a Comissão Especial de Informática na Educação. Com o

projeto EDUCOM (Computadores na Educação) ocorreu uma das primeiras iniciativas para a implantação do uso do computador em escolas públicas brasileiras. Em 1987 teve inicio a capacitação dos professores para trabalharem nesse projeto.

Em 1989 foi instituído o Programa Nacional de Informática Educativa (PROINFE) que possuía um modelo descentralizado, funcionando por meio de centros de informática que contavam com o apoio mútuo, divulgando e analisando projetos educacionais, com projetos voltados para a formação de professores. Em 1997 foi criado o Programa Nacional de Informática na Educação - PROINFO. (CONSTANTINO, 2006, p. 36-38).

No caso particular do Estado do Paraná, em 2005, o Governo do Estado iniciou a implantação do programa Paraná Digital nas Escolas Estaduais de Educação Básica, com o objetivo de promover o uso pedagógico das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), disponibilizando a professores e alunos da rede estadual o acesso a essas tecnologias e ao portal Dia a Dia Educação. O programa repassa computadores com acesso à Internet para as instituições de ensino, oferece um espaço virtual de criação, interação e publicação de dados das escolas estaduais, e também investe na atualização e expansão da infraestrutura dos laboratórios de informática educativa. Ele é realizado pela Secretaria de Estado da Educação (SEED), com apoio do Governo do Estado e da Companhia de Informática do Paraná – CELEPAR. (PORTAL DIA A DIA EDUCAÇÃO).

Com a inserção da informática como recurso pedagógico, a Educação Matemática passa a discutir a respeito do uso de computadores no ensino da Matemática e tivemos assim o surgimento de vários softwares, alguns utilizados para facilitar cálculos, outros para a construção de gráficos e os específicos para o ensino de Geometria. (CONSTANTINO, 2006, p.40).

O computador trouxe a oportunidade de construir e movimentar figuras, proporcionando assim uma melhor compreensão dos conteúdos trabalhados, bem como a construção de conceitos matemáticos, por meio da experimentação, em um tempo bem menor do que realizar a mesma atividade manualmente. Nesta perspectiva, a formação e capacitação do professor é essencial, já que estes devem estar preparados para conduzir o ensino e a aprendizagem, promovendo a construção do saber em detrimento ao simples transmitir de conteúdos. Com o intuito de apresentar uma alternativa para o ensino da simetria sugere-se o uso do Software SIMIS1, que pode proporcionar um melhor entendimento aos educandos sobre a simetria, uma vez que eles podem manuseá-lo facilmente, visualizando as simetrias de rotação, reflexão e translação, além de criarem rosetas, frisos e papéis de parede, de uma maneira lúdica e criativa.

A simetria plana é um caso particular de uma aplicação do plano no plano, que tem a propriedade de preservar distâncias, denominada isometrias. Demonstra-se que só são possíveis quatro tipos de isometrias, a saber, a identidade, a reflexão, a translação e a rotação. Por meio do SIMIS, é possível mostrar de uma maneira simples, o que ocorre com as figuras ao se utilizar cada uma dessas aplicações.

Uma característica das simetrias, é que ela pode ser observada em algumas formas geométricas; em equações matemáticas; de uma maneira aproximada, na natureza; nas

1 Software livre de Simetria Plana, desenvolvido por um grupo de professores e alunos vinculados ao Departamento de Matemática, da Universidade Estadual de Maringá (UEM). Uma versão atualizada pode ser obtida em: http://www.dma.uem.br/matemativa/conteudo/exposicao/simetrias/softwares/1_simis/simis.html Para fechar o programa, faça Alt F4.

várias formas de arte; em construções civis; em quadras de esportes, enfim, em inúmeros lugares e objetos construídos ou não pelo ser humano.

A simetria ocorre ou é aplicada em várias das vertentes do conhecimento: Matemática, Física, Biologia, Química, Arte, Tecnologia de uma maneira geral, entre outros.

Com tantas aplicações, é importante que o cidadão compreenda bem o conceito, para poder apreciar e utilizar sempre que for possível e necessário em sua vida. Trabalhar esse assunto de modo dinâmico é proporcionado com o uso do aplicativo que será apresentado.

2 O SOFTWARE SIMIS E O SEU USO

O Software SIMIS é um software livre de simetria plana, desenvolvido por um grupo de professores e alunos vinculados ao Departamento de Matemática, da Universidade Estadual de Maringá (UEM). O software ainda não está completamente pronto, mas mesmo assim, apresenta uma interface bem simples e interessante para o trabalho com simetrias.

A manipulação e a visualização das construções simétricas é um fator de grande importância no estímulo ao aprendizado, segundo Barbosa (1991, p.20), “a percepção pura da criança sem influência de imagens não existe realmente, uma vez que está provado que 82% de nosso conhecimento informal vêm através de imagens”. Procurar permear as aulas usuais de matemáticas com aulas dinâmicas, com metodologias diferenciadas, que permita ao educando uma participação ativa na construção do próprio conhecimento pode contribuir para evitar a atual condição em que é vista a educação matemática, como expõe Haglund (2004):

os métodos de ensino tradicionais ainda são a forma dominante de ensino, pois os estudantes adquirem frequentemente pouca compreensão real ‘do que’ estão fazendo ou ‘do porquê’ estão fazendo. Dessa maneira, então, decoram os procedimentos e tentam combiná-los a problemas semelhantes aos que provavelmente serão cobrados nos testes. Não aprendem a pensar matematicamente, porque apenas lhes é mostrado o produto final. O resultado é que muitos estudantes vêem a matemática cada vez mais difícil, não encontrando aplicabilidade real ou por não assimilarem, passam a achar a matemática chata. (Apud CHAVES, 2008, p.56)

O professor pode e deve buscar alternativas que tornem o ensino de matemática

mais interessante e mais produtivo, uma alternativa é recorrer às tecnologias disponíveis como o laboratório de informática, utilizando-se de softwares que desenvolvam a percepção visual como eixo motivador de descobertas que tornem este ensino mais prazeroso, além de relacioná-lo ao mundo real em que vive o educando, tornando este ensino mais significativo. Segundo Kaleff (1998):

Diversas pesquisas em meios educacionais sobre ensino matemático apontam a importância de se incentivar o aluno para o desenvolvimento da habilidade de visualizar quer sejam objetos do mundo real quer sejam, em nível mais avançado, conceitos, processos e fenômenos matemáticos. Para alguns pesquisadores, esta habilidade é tão ou mais importante do que a de calcular numericamente e a de simbolizar algebricamente. Além disso, os educadores matemáticos começaram a tomar consciência da importância assumida pelo entendimento das informações visuais em geral, tanto para a formação matemática do educando quanto para sua educação global (KALEFF, 1998, p. 15).

Quando o aplicativo em questão é aparentemente simples, fica mais fácil ainda

estimular os alunos a usá-lo. A figura 1 mostra a interface do SIMIS.

Figura 1: Interface gráfica do software

Outra possibilidade que este software oferece é a interdisciplinaridade entre a

matemática e a arte, sendo que estas conexões possíveis nos possibilitam um pensar próprio. A interação entre a arte e a matemática traz possibilidades de inovar e organizar o pensamento, e contribui para a forma de agir. Quando isso acontece, exercita-se a cidadania, tratadas de forma interdisciplinar, pode-se intervir no processo de ensino e de aprendizagem, e realizar uma prática na qual os conceitos artísticos e matemáticos podem, de forma integrada, contribuir para a construção do conhecimento e desenvolvimento do raciocínio lógico. Daí a necessidade de se trabalhar de forma diversificada, interdisciplinar, de modo que os alunos exponham seus problemas, apontem soluções para o que inicialmente parece insolúvel, argumentem, justifiquem suas respostas, percebam significados e construam novas relações.

Nas últimas séries do Ensino Fundamental, devem-se trabalhar, sobretudo, as transformações de uma figura no plano, porque permitem o desenvolvimento de conceitos geométricos. Por exemplo: situação de comparação entre figuras, em que a segunda é resultante da reflexão da primeira, ou da translação ou da rotação, de modo a permitir a descoberta da permanência do que é invariante e do que muda. Estas são situações encontradas em cerâmicas, pisos, tapeçarias, para citar algumas aplicações. Criar mosaicos a partir de um único padrão é uma atividade interessante e instigante para estes alunos, e com o resultado obtido o professor pode explicar as transformações geométricas sem transtornos.

No aplicativo, por meio do ícone da reflexão, uma imagem é invertida em relação a um eixo, formando-se uma imagem espelhada da original. O eixo é a mediatriz que liga o ponto a sua imagem. A figura 2 exemplifica uma reflexão, e por intermédio dela, pode-se mostrar à criança a relação existente entre cada ponto da figura, a sua imagem pela reflexão em torno do eixo que é construído com a utilização de uma ferramenta do software, que em geral é chamado de eixo de reflexão.

Figura 2: exemplo da construção de uma reflexão em relação a um eixo

Já a rotação é o "giro" de uma forma, ao redor de um ponto chamado centro de

rotação. A distância ao centro de rotação se mantem constante e a medida do giro é chamada ângulo de rotação. Por meio do software, fica fácil mostrar à criança, qual é a imagem de cada ponto pela rotação, em torno do centro de rotação. Um exemplo de rotação de 45º é mostrado na figura 3 a seguir, nela, se apresenta uma figura que sofreu uma rotação de 45º, em torno de um centro de rotação, e está destacado a rotação de um ponto A que tem como imagem da aplicação, um ponto A’.

Figura 3: Rotação de 45º – aqui o ponto A é levado no ponto A’.

A translação é o termo usado para "mover" formas, sendo necessárias três

especificações: a direção do movimento, o sentido em que se fará o movimento, e a magnitude, que nos fornece a distância entre cada ponto do objeto e a sua imagem pela

translação, ou seja, deve ser dado o vetor de translação. A translação ainda está em desenvolvimento no software, pois quando se define o vetor de translação, ele ainda não nos indica o sentido. Dessa forma, ao definir o vetor de translação, deve-se por enquanto, pedir que a criança, observe o sentido em que se está fazendo a construção do vetor, pois como foi dito, na figura desenhada, ainda não se tem a seta indicando o sentido em que foi desenhado, é apresentado graficamente apenas com um segmento de reta não orientado. Veja na figura 4.

Figura 4: Exemplo de uma translação.

A figura 4 mostra ainda, qual é a imagem A’, de um dos pontos da Figura

desenhada (A). O software permite, ainda, a construção dos únicos dezessete tipos de papeis de

parede, que podem ser explorados pelo professor para verificar a compreensão das transformações explanadas anteriormente, observando que os nomes dados a cada ferramenta, são os nomes científicos dessas possibilidades de construção. A figura 5 mostra um exemplo em que se explora o “p6mm”. No quadrado do lado esquerdo do papel, apenas uma das figuras que em azul é desenhado como padrão, o número 60, indica que a figura sofrerá seis rotações, cujo número é obtido neste caso por 360º dividido por 60. Note que são seis figura desenhadas. No papel de parede, este padrão será então construído de acordo com a ferramenta acionada, e como foi dito, no caso da figura 5, o “p6mm”.

Figura 5: Exemplo de um papel de parede.

É importante explorar o fato que nos papéis de parede temos translações em duas

direções do plano, além do que, cada uma das figuras obtidas está sofrendo rotações e reflexões, de acordo com a ferramenta escolhida. Para essa exploração, é interessante escolher cada uma das ferramentas e estudar, o que de fato está ocorrendo com a figura obtida.

Outra possibilidade para o uso do software é a confecção de frisos (figura 6), que diferentemente dos papéis de parede, tem translação em uma única direção, e o software oferece essa possibilidade, em que a translação ocorre na direção horizontal. Note na figura, que existem sete ferramentas para serem utilizadas para alterar o friso com mesmo padrão. Novamente, os nomes escritos nas ferramentas do software são os científicos, e essas sete possibilidades são demonstradas matematicamente. Na figura 6, observe o número 57, ele indica a magnitude do vetor de translação, e pode ser escolhido deslizando o seletor. A direção é horizontal e o sentido é da esquerda para a direita.

O padrão desenhado é uma das figuras em azul que está no interior do retângulo acima do friso obtido. As repetições são devidas a ferramenta escolhida, no caso “mg”. As duas linhas verticais no mesmo retângulo, é a magnitude do vetor escolhido, no caso, 57.

Figura 6: Exemplo de friso.

Na figura 7, a seguir, é apresentado um exemplo de Roseta. Essas figuras, não

apresentam translação, apenas rotação e reflexão. O software permite, assim como nos casos anteriores de papéis de parede e frisos, que as figuras sejam construídas com cores e tamanhos variados.

Figura 7: exemplo de roseta.

Note que na figura 7, temos uma ferramenta deslizante com o número 20, que

fornece a quantidade de rotações da figura padrão desenhada, esta ainda pode ser refletida, em eixos que formam entre eles ângulos de 18º, que é obtido, pelo quociente de 360º e o número 20.

Outra ferramenta que torna o software bastante interessante é a possibilidade de inserção de imagens (figura 8), e estabelecendo-a como padrão, pode-se utilizar reflexões e rotações para transformar as imagens.

Figura 8: exemplo de construção a partir de uma imagem.

Na arte e na matemática o uso da intuição sempre foi imprescindível para a

realização de descobertas, na busca de avanços qualitativos e não só quantitativos. Ambas apresentam, em sua especificidade, contribuição: uma a beleza estética da representação; a outra, a beleza estética do raciocínio. (BARTH, 2006, p.54).

O professor pode aproveitar-se da facilidade de uso do software e da criatividade dos alunos para desenvolver trabalhos interessantes que, com certeza, atrairão a atenção dos alunos.

Uma possibilidade com o trabalho com adultos é, por exemplo, usar o desenho de uma cerâmica para optar pela melhor forma de azulejar um ambiente, ou de fazer uma pintura, ou até mesmo apenas para ver as possibilidades da união de várias formas.

Cabe ao professor, de posse desse instrumento livre, acessível e de fácil manuseio, enfrentar as barreiras existentes na sua escola em relação ao agendamento do laboratório de informática, instalação do software, entre outras, e proporcionar uma aula interessante, em que usar a criatividade seja a palavra de ordem.

Claramente, não basta apenas “brincar” no software. Cabe ao professor de matemática ou geometria ou artes, a sistematização desse assunto aos alunos, de forma que estes compreendam a geometria ou a álgebra envolvida naquilo que fizeram graficamente.

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Trabalhar com a geometria tem sido um desafio, tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio, para jovens e adultos. Ainda é deficiente a capacidade de visualização de conceitos e resultados matemáticos, por parte dos alunos, e, por que não dizer, de alguns professores.

O uso de softwares para o ensino de algumas transformações no plano, em particular do SIMIS, a partir da simetria, auxilia nessa visualização e permite melhor compreensão das mesmas, pois ao mesmo tempo os alunos estarão usando duas representações para um mesmo objeto: a algébrica – quando o professor mostra como acontece uma rotação ou reflexão ou translação algebricamente – e a geométrica – quando o aluno visualiza, por exemplo, uma mediatriz, uma distância entre pontos etc.

Além disso, a aplicação consecutiva de tais transformações sobre um mesmo objeto permite a exploração de outras propriedades, como por exemplo, responder à questão: será que se for aplicado uma translação por um vetor v, e uma rotação de 45º em um objeto, ou se sobre o mesmo objeto inicial for aplicada primeiramente a rotação de 45º e depois a translação por um vetor v, os dois objetos resultantes estarão na mesma posição? O professor poderá criar inúmeras situações que permitirão ao aluno construir seu próprio conhecimento. E poderá ser um desafio para ele (aluno) mostrar a representação algébrica do objeto gráfico que ele construiu, por exemplo.

Outras possibilidades que incentivarão a autoestima também poderão ser criadas, como, por exemplo, a exposição das construções geométricas dos alunos, a partir das transformações.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CHAVES, M. N. J. A. “Sentimento de semelhança”: poéticas visuais de interconexões em arte e matemática. Belém, 148p., 2008. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará – PA. CONSTANTINO, Rosângela. O ensino da Geometria no ambiente Cinderela. Maringá, 154p., 2006. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Maringá.

BARBOSA, A. M. A imagem no ensino da arte. São Paulo: Perspectiva, 1991. BARTH, G. M. P. Arte e Matemática, subsídios para uma discussão interdisciplinar por meio das obras de M. C. Escher. Curitiba, 143p., 2006. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Paraná. HAGLUND, R. Using Humanistic Content and Teaching Methods to Motivate Students and Counteract Negative Perceptions of Mathematics. The Humanistic Mathematics Network Journal on-line, 2004. KALEFF, A. M. M. R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume através de quebra-cabeças e outros materiais concretos. Niterói: EdUFF, 1998. Portal Dia a dia Educação. Disponível em http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/pdf/parana_digital.pdf> acesso em 10 jun. 2012.

LEARNING GEOMETRY WITH SOFTWARE SIMIS

Abstract: This article discuss the possibilities of using SIMIS Software for the teaching of transformations in the plane from the symmetry, and possible changes for a teaching that encourages the development of reasoning and creativity. This discussion is necessary, since the computer introduces a dynamic dimension to research in mathematics education, providing students access to knowledge, aiming at understanding and interaction of them with the world they live.his document presents detailed instructions ... Key-words: Simetry, Software SIMIS, Plane Geometry.