TURMA DO MRIOlgebraPorcentagemTaxa percentual ou porcentagem de um nmero a sobre um nmero b, b 0 a razo x x a x tal que: = , e se indica: = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de x um nmero, significa multiplicar este nmero por . 100 15 Exemplo: 15 % de 200 = . 200 = 30 . 100

PotenciaoDefinies a R a0 = 1 a R e n N a n = a n1 . a Propriedades 1. a m . a n = a m+n am 2. n = a mn , a 0 a 3. (a m ) n = a m . n 4. (a . b) n = a n . b n 5. (a : b)n = an : bn , b 0 1 6. a n = n , a 0 a Nota: Em geral a

( m)

n

amn

n

Em geral (a + b) a n + b n

RadiciaoPropriedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. a .b=na . n b n a : b = n a : n b ,b 0n

( a)nm n

m

= n am

a = n .m am

n

am = a n

n .p

am . p = n am

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Produtos notveis(a + b) (a b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)

Fatoraoab + ac = a (b + c) ab + ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c) (a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 2ab + b2 = (a b)2 ax2 + bx + c = a.(x a1) (x a2), onde a1 e a2 so as razes de ax2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3 a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 (ab + ac + bc) = (a + b + c)2

Nmeros naturaisNmeros primos: Um nmero natural e maior que 1 primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Nmeros primos entre si: Dois nmeros naturais so primos entre si se o nico divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um nmero natural Se n = ap.bq.cr.ds..., ento n tem (p+1) (q+1) (r+1)... divisores positivos, sendo n um nmero natural e a, b, c, d, ... fatores primos do nmero n.

SeqnciasDefinies Seqncia real toda funo f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqncia chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqncia chamada finita.

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Progresso Aritmtica (PA) DefinioProgresso aritmtica (PA) toda seqncia numrica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razo da PA. Conseqncia da definio: r = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ... ... = a n+1 a n = r

Classificao das PAsUma PA de nmeros reais pode ser: I.crescente: (razo positiva): r >0 a n+1 > a n II. decrescente (razo negativa): r < 0 a n+1 < a n III. constante (razo nula): r = 0 a n+1 = a n

Frmula do termo geral de uma PASeja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Ento: an = a1 + (n 1) r, n N*

Conseqncia: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n p) r, n,p N*

Termos eqidistantes em PANa PA genrica: PA(a1, a2, a3,... ap = a p -k + a p + k 2 com p, k IN* ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:

Soma dos n primeiros termos de uma PASeja a PA(a1, a2, a3,... Sn = (a 1 + a n ) n 2 ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos dada por:

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Progresso Geomtrica (PG) DefinioProgresso geomtrica (PG) toda seqncia em que cada termo, a partir do segundo, igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que chamada razo da P.G. Conseqncia da definio: Se an 0, ento q = a n+ 1 ; ou seja, encontramos a razo da PG dividindo um termo an qualquer pelo seu antecessor. Classificao das PGs: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1 > an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II. Decrescente: quando an+1 < an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III. Constante: quando an+1 = an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 0 e q < 0 Exemplo: PG(2, 4, 8, 16, 32, ...), a1 = 2 e q = 2 V. No decrescente: quando a1 < 0 e q = 0 Exemplo: PG( 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 2 e q = 0 VI.No crescente: quando a1 > 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0

Frmula do termo geral da PGn1 , n N* Seja a PG genrica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: an = a1 q

Conseqncia: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap qn p, n,p N*

Termos eqidistantes em PGNa PG genrica: PG(a1, a2, a3,... (ap)2 = (ap k) (ap + k), p,k N* ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), ento:

Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros termos. Assim: Pn =n(n-1) a1 q 2 n 2 (a1 an)

n

ou

Pn =

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Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razo q e indiquemos por Sn a soma de seus n primeiros termos. Assim: a 1 (qn - 1) Se a PG no for constante, ou seja q 1 teremos: Sn = q -1 Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n a1

Soma dos termos de uma PG infinita (S)Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razo q e a soma de seus infinitos termos Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (srie) Quando lim S n = S existe e finito, dizemos que a srie converge para S. Quando esse limite no existe ou no finito dizemos que a srie diverge (no se pode determinar tal soma). Se 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S n = S =n n

a1 1- q

Funo Exponencialf(x) = ax ;y

a>0

e

a1

Imf = IR * + Df = IRy

a>1 funo crescente 1 0 x 0

0 ag(x) f(x) > g(x), se a >1 af(x) > ag(x) f(x) < g(x), se 0 < a < 1

Logaritmo Definiologba = x a = bx com a > 0, 0 < b 1

Propriedade de logaritmo1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c 1 a 2. logc = logca logcb; a > 0, b > 0, 0 < c 1 b 3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c 1 e m IR 1 4. logcm a = . logca; a > 0, 0 < c 1 e m IR* m

Funo Logartmicaf(x) = logax , a > 0 e a 1y

Imf = IR Df = IR * +y

0

1

x a>1 funo crescente

0

1

x 0