sofia camelo neves pereira mestre em engenharia civil … · 2020. 2. 4. · development of beams...

DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE

PERFIS METÁLICOS RECONSTITUÍDOS

SOLDADOS

SOFIA CAMELO NEVES PEREIRA

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor José Miguel de Freitas Castro

Coorientador: Engenheiro Ruben Daniel Inácio Morais

Coorientador: Professor Doutor Luís Augusto Ferreira Rodrigues de Macedo

JULHO DE 2019

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2018/2019

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tel. +351-22-508 1901

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Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

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Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado

o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2018/2019 -

Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto,

Porto, Portugal, 2019.

As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do

respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a

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Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor.

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DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PERFIS METÁLICOS RECONSTITUÍDOS SOLDADOS

À minha família,

.


i

AGRADECIMENTOS

O meu percurso e esta dissertação apenas foram possíveis graças ao apoio e grande amizade de muitas

pessoas, pelas quais tenho o maior apreço e gratidão.

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao meu orientador, o Prof. José Miguel Castro, todo o seu

apoio, confiança e disponibilidade indispensáveis à realização deste trabalho.

Ao Prof. Luís Macedo, meu coorientador, agradeço a cooperação e partilha de conhecimentos sobre

algoritmos de otimização. A implementação do algoritmo de otimização na ferramenta desenvolvida

apenas foi possível graças ao Prof. Luís Macedo e ao Eng. João Nogueira, sem os quais não teria sido

possível concluir o trabalho no prazo estipulado.

Agradeço à EME Singular e, especialmente, ao meu coorientador, o Eng. Rúben Morais, o excecional

apoio e disponibilidade demonstrados ao abraçar este desafio.

Ao António Silva agradeço a disponibilidade na partilha de conhecimentos relativamente à linguagem

de programação Python.

Agradeço à minha família e, sobretudo, aos meus pais por me terem sempre encorajado e apoiado ao

longo deste percurso e com os quais pude contar em todos os momentos.

Ao Pedro, o meu companheiro para todas as ocasiões, por todo o carinho, dedicação e apoio.

Por fim, gostaria também de agradecer aos meus amigos, que estiveram sempre comigo e me

acompanharam ao longo dos anos, com os quais partilhei muito bons momentos.


ii


iii

RESUMO

Esta dissertação procurou desenvolver uma ferramenta de cálculo automático que permitisse o

desenvolvimento otimizado de vigas constituídas por perfis reconstituídos soldados (PRS) sujeitas a

ações gravíticas. O programa desenvolvido permite tanto o dimensionamento otimizado de vigas

constituídas por um PRS como também permite o pré-dimensionamento de vigas mistas, cuja secção

transversal é composta por um PRS subjacente a uma laje de betão.

Dado um conjunto de dados, através de um algoritmo de otimização, o programa em questão permite

obter a solução mais económica para o PRS, que pode ser bissimétrico ou monossimétrico. Por sua vez,

o algoritmo de otimização devolve a solução mais económica, que cumpre todos os requisitos exigidos

no dimensionamento com base nos Eurocódigos, tendo em conta os custos associados à execução do

perfil, fornecidos pela empresa envolvida.

Com o intuito de criar a ferramenta que minimiza os custos associados ao utilizador, o seu

desenvolvimento foi efetuado com recurso a um software desenvolvido em Python. A sua estruturação

é feita em vários módulos, que permitem uma melhor organização dos processos e que tornam a adição

de novas funcionalidades mais fácil para futuros utilizadores.

A validação do processo de dimensionamento foi efetuada através da comparação com alguns exemplos

apresentados na bibliografia.

Por fim, com o objetivo de comparar as soluções ótimas obtidas através do algoritmo de otimização com

as soluções reais, apresentadas pela Empresa e dimensionadas através de um processo convencional,

foram analisados vários casos de estudo tendo como objetivo aferir o impacto económico associado à

utilização da ferramenta desenvolvida.

PALAVRAS-CHAVE: Estruturas Metálicas, Perfis Reconstituídos Soldados, Vigas Mistas Aço-Betão,

Eurocódigo 3, Eurocódigo 4, Python, Algoritmo de Otimização, Pesquisa Harmónica.


iv


v

ABSTRACT

This dissertation sought to develop an automatic calculation tool which would be able to establish the

development of beams made of Built-up profiles (BUP) under gravitational loads. The program allows

both the optimized design of beams consisting of a BUP as well as the pre-design of composite beams,

whose cross-section is composed by a BUP underlying a concrete slab.

Moreover, given a data set, by making use of an optimization algorithm, the program in question allows

to obtain of the most economical solution possible for the BUP, which can be bisymmetric or

monosymmetric. In turn, the optimization algorithm returns the most economical solution which meets

all the requirements in the Eurocode based design, taking into account associated costs with the

execution of the profile, provided by the company involved.

In order to create a tool with the minimum cost for the user, its development was made using Python.

Its structure is composed of several modules, which allow for a better organization of the processes and

that make the addition of new features by future users easier.

The validation of the design process was done by comparison with some examples presented in the

literature of this document.

To sum up, with the goal of comparing the optimal solutions obtained through the optimization

algorithm with real solutions, presented by the company and designed through a conventional process,

several case studies were carried out, with the objective of assessing the economic impact associated to

the use of the developed tool.

KEYWORDS: Steel Structures, Built Up Welded Profiles, Composite Steel and Concrete Beams,

Eurocode 3, Eurocode 4, Evolutionary Algorithms, Harmonic Search.


vi


vii

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ............................................................................................................................... I

RESUMO .............................................................................................................................................. III

ABSTRACT ........................................................................................................................................... V

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 1

1.1. ENQUADRAMENTO GERAL ......................................................................................................... 1

1.2. OBJETIVOS DO TRABALHO ........................................................................................................ 3

1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO .................................................................................................. 4

2 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS METÁLICOS RECONSTITUÍDOS

SOLDADOS ................................................................................................................................. 5

2.1. ENQUADRAMENTO ...................................................................................................................... 5

2.2. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS METÁLICAS SEGUNDO O EUROCÓDIGO 3 .............................. 5

2.2.1. GENERALIDADES ...................................................................................................................... 5

2.2.2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ............................................................................................... 6

2.2.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ......................................................................... 7

2.2.4. CÁLCULO DAS PROPRIEDADES EFETIVAS DE UMA SECÇÃO TRANSVERSAL DE CLASSE 4 ........... 10

2.2.5. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS .................................................................................................... 12

2.2.5.1. Verificação da Resistência das Secções Transversais................................................. 12

2.2.5.2. Verificação da Resistência à Encurvadura por Esforço Transverso ............................. 14

2.2.5.3. Verificação da Resistência à Encurvadura Lateral ....................................................... 15

2.2.6. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ........................................................................................... 20

2.2.7. DIMENSIONAMENTO DAS LIGAÇÕES SOLDADAS ALMA-BANZO ................................................... 22

2.3. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS MISTAS DE AÇO-BETÃO SEGUNDO OS EUROCÓDIGOS ...... 25

2.3.1. GENERALIDADES .................................................................................................................... 25

2.3.2. INFLUÊNCIA DO MÉTODO CONSTRUTIVO .................................................................................. 25

2.3.3. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ............................................................................................. 26

2.3.4. LARGURA EFETIVA DO BANZO DE BETÃO ................................................................................. 27

2.3.5. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ....................................................................... 29

2.3.6. CONEXÃO DE CORTE.............................................................................................................. 30

2.3.7. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS .................................................................................................... 34

2.3.7.1. Verificações seccionais - Análise Plástica .................................................................... 35

2.3.7.2. Verificação da Resistência à Encurvadura por Esforço Transverso ............................. 42

2.3.7.3. Verificação da Resistência ao Corte Longitudinal de Vigas Mistas Sem Chapa Perfilada .................................................................................................................................................... 42


viii

2.3.7.4. Verificação da Resistência às Forças Transversais nas Almas .................................... 43

2.3.7.5. Verificação da Resistência à Encurvadura Lateral ........................................................ 43

2.3.8. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ........................................................................................... 44

3 IMPLEMENTAÇÃO DE UMA FERRAMENTA PARA O CÁLCULO

OTIMIZADO DE PERFIS RECONSTITUÍDOS SOLDADOS .............................. 47

3.1. DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS ..................................................................................................... 47

3.2. INTRODUÇÃO DE DADOS........................................................................................................... 47

3.3. COMPONENTES DO CÓDIGO PYTHON ...................................................................................... 48

3.4. ORGANIZAÇÃO DA FERRAMENTA DE CÁLCULO ...................................................................... 49

3.4.1. DIMENSIONAMENTO DO PRS .................................................................................................. 51

3.4.2. DIMENSIONAMENTO DA VIGA MISTA......................................................................................... 54

3.4.3. CÁLCULO DO CUSTO DA VIGA ................................................................................................. 55

3.5. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA DE CÁLCULO ........................................................................... 57

3.5.1. VALIDAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DO PRS ........................................................................... 57

3.5.2. VALIDAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DA VIGA MISTA ................................................................. 61

3.6. ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO ................................................................................................... 63

3.6.1. PESQUISA HARMÓNICA ........................................................................................................... 63

4 CASOS DE ESTUDO ............................................................................................................ 69

4.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 69

4.2. CASOS DE ESTUDO ................................................................................................................... 69

4.2.1. PRS MONOSSIMÉTRICO ......................................................................................................... 69

4.2.2. PERFIL MISTO DUPLAMENTE SIMÉTRICO ................................................................................. 78

4.2.3. COMPARAÇÃO DOS CASOS DE ESTUDO ................................................................................... 85

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................ 87

5.1. SÍNTESE E CONCLUSÕES.......................................................................................................... 87

5.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................................................................... 88


ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Pormenor construtivo da viga/laje mista com chapa metálica perfilada ................................. 2

Figura 2 - Exemplos de secções transversais de vigas mistas [21] ....................................................... 2

Figura 3 - Elementos que compõem a secção transversal do PRS monossimétrico (esquerda) e

duplamente simétrico (direita) ................................................................................................................. 6

Figura 4 - Comportamento de secções das classes 1 a 4 à flexão [28] ................................................. 8

Figura 5 – Relações máximas largura-espessura de componentes internos comprimidos ................... 9

Figura 6 - Relações máximas largura-espessura de componentes externos comprimidos ................. 10

Figura 7 - Expressões para a determinação da largura efetiva em elementos internos

(extraído do Quadro 4.1 da NP EN 1993-1-5) ...................................................................................... 12

Figura 8 - Exemplo de Encurvadura Lateral de uma viga com secção em I [29] ................................. 15

Figura 9 - Representação de zT e zS numa secção sujeita a momento fletor positivo, em que o

banzo inferior é o banzo de maior inércia em torno do eixo z-z ........................................................... 17

Figura 10 - Representação de zT e zS numa secção sujeita a momento fletor negativo, em que o


Figura 11 - Representação de zg numa secção sujeita a momento fletor positivo, em que o


Figura 12 - Representação de zg numa secção sujeita a momento fletor negativo, em que o


Figura 13 - Deslocamentos verticais a considerar (extraído do Anexo Nacional do EC3-1-1 [17]) ..... 21

Figura 14 - Medição da garganta de um cordão de soldadura ("throat") numa junta em tê:

representação esquemática à esquerda e apresentação de um exemplo real com recurso a um

escantilhão de soldadura à direita [30] ................................................................................................. 22

Figura 15 - Representação das tensões no plano que define um cordão de ângulo ........................... 23

Figura 16 - Secções transversais de vigas mistas [21] ......................................................................... 25

Figura 17 - Largura efetiva para o cálculo de tensões [21] ................................................................... 27

Figura 18 - Vãos equivalentes para o cálculo da largura efetiva de betão [3] ...................................... 28

Figura 19 - Diagramas de tensões normais (σ), tensões tangenciais (τ) e extensões (ɛ) numa

secção homogeneizada de uma viga mista [21] ................................................................................... 30

Figura 20 - Apresentação de um exemplo de aplicação dos conetores de corte na viga mista .......... 31

Figura 21 - Exigências dimensionais de um perno de cabeça dúctil [21] ............................................. 32

Figura 22 - Pormenor de viga mista com chapa perfilada com nervuras transversais à viga - à

esquerda chapa trapezoidal e à direita chapa com perfil reentrante [3] ............................................... 32

Figura 23 - Representação e localização das verificações requeridas em vigas mistas

relativamente aos Estados Limites Últimos [21] ................................................................................... 34

Figura 24 - Representação do método de cálculo do momento fletor plástico resistente [21] ............. 36


x

Figura 25 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado na

zona maciça da laje ............................................................................................................................... 37


zona nervurada da laje .......................................................................................................................... 38

Figura 27 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado no

banzo superior do perfil metálico ........................................................................................................... 39


alma do perfil metálico ........................................................................................................................... 40

Figura 29 - Fator de redução β de Mpl (extraído da NP EN 1994-1-1 [3]) ............................................. 41

Figura 30 - Criação de uma Função em Python ................................................................................... 48

Figura 31- Criação de uma Classe em Python...................................................................................... 49

Figura 32 - Esquema de funcionamento da ferramenta de cálculo desenvolvida para o cálculo

da viga ................................................................................................................................................... 49

Figura 33 - Esquema global de funcionamento do programa desenvolvido através de um

diagrama UML ....................................................................................................................................... 50

Figura 34 - Distâncias às fibras críticas da secção transversal para um exemplo de cálculo

do momento elástico resistente ............................................................................................................. 52

Figura 35 - Função de cálculo do Momento fletor elástico resistente ................................................... 52

Figura 36 - Função de cálculo do momento fletor plástico resistente da secção ................................. 53

Figura 37 - Geometria da secção transversal da viga mista [21] .......................................................... 61

Figura 38 - Esquema de funcionamento do algoritmo pesquisa harmónica ......................................... 64

Figura 39 - Representação do funcionamento da API .......................................................................... 67

Figura 40 - Representação em planta e em corte transversal da viga em estudo ............................... 70

Figura 41 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativo ao

dimensionamento do PRS ..................................................................................................................... 71

Figura 42 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativos ao cálculo

otimizado do PRS otimizado ................................................................................................................. 73

Figura 43 - Secção transversal da viga otimizada do Cenário 2 ........................................................... 74





otimizado do PRS otimizado com a geometria do banzo inferior fixada ............................................... 75

Figura 48 - Secção transversal da viga otimizada do cenário 6 ........................................................... 76

Figura 49 - Viga mista aço-betão com chapa perfilada ......................................................................... 78

Figura 50 - Corte transversal da viga mista aço-betão com chapa perfilada ........................................ 78


xi

Figura 51 - Secção transversal da viga mista apresentada pela EME Singular ................................... 79


da secção mista..................................................................................................................................... 81

Figura 53 - Geometria da secção transversal da viga mista otimizada com perfil metálico

monossimétrico ..................................................................................................................................... 82

Figura 54 - Geometria da secção transversal da viga mista otimizada com perfil metálico

duplamente sim ..................................................................................................................................... 83


xii


xiii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Valores nominais da tensão de cedência, fy, e da tensão última, fu, dos aços

estruturais macios correntes (excerto) [8] ............................................................................................... 6

Tabela 2 - Valores recomendados para os limites dos deslocamentos verticais (extraído do

Quadro NA.I do Anexo Nacional [17]) ................................................................................................... 21

Tabela 3 - Valores recomendados para os coeficientes parciais γ dos materiais para os Estados

Llimites Últimos ..................................................................................................................................... 27

Tabela 4 - Valores máximos, kt,max, do coeficiente de redução kt (extraído do Quadro 6.2 do

EC4-1-1 [3]) ........................................................................................................................................... 33

Tabela 5 - Valores recomendados para os limites de tensões nos Estados Limites de Serviço ......... 44

Tabela 6 - Geometria do Perfil .............................................................................................................. 57

Tabela 7 - Comparação dos resultados obtidos relativamente às propriedades geométricas da

secção bruta .......................................................................................................................................... 58

Tabela 8 - Comparação dos resultados obtidos relativamente à classificação da seção .................... 58

Tabela 9 - Comparação dos resultados obtidos para as propriedades efetivas da secção ................. 59

Tabela 10- Comparação dos resultados obtidos na verificação da resistência à encurvadura por

esforço transverso ................................................................................................................................. 60

Tabela 11 - Forças máximas associadas às várias zonas da secção transversal ............................... 62

Tabela 12 - Analogia com os parâmetros de caracterização da pesquisa harmónica ......................... 66

Tabela 13 - Comparação dos vários cenários com a solução inicial .................................................... 77

Tabela 14 - Apresentação dos resultados obtidos do cálculo otimizado da secção mista com

perfil monossimétrico ............................................................................................................................ 82

Tabela 15 - Apresentação dos resultados obtidos do cálculo otimizado da secção mista com

perfil duplamente simétrico ................................................................................................................... 83

Tabela 16 - Comparação dos vários cenários resultantes da otimização da viga mista com a

solução inicial ........................................................................................................................................ 84


xiv


xv

SÍMBOLOS E ACRÓNIMOS

Nesta secção é apresentada uma lista dos símbolos e abreviaturas utilizadas na realização da presente

dissertação. Em alguns casos, o mesmo símbolo poderá apresentar significados diferentes, devido ao

extenso número de fórmulas, variáveis e parâmetros que foram utilizados. No entanto, cada símbolo

está, normalmente, associado a um determinado assunto, sendo fácil a distinção do seu significado,

tendo em conta o contexto em que se apresenta.

LETRAS LATINAS MAIÚSCULAS

A – área da secção transversal;

Ac,eff – área efetiva da secção transversal (devido à encurvadura da placa);

Aeff – área efetiva da secção transversal;

Af – área do banzo da secção transversal;

Af1 – área do banzo inferior da secção transversal;

Af2 – área do banzo superior da secção transversal;

Av – área resistente ao corte;

Aw – área da alma da secção transversal;

E – módulo de elasticidade;

G – módulo de distorção;

I – momento de inércia;

Iy – momento de inércia em torno do eixo y-y;

Iz – momento de inércia em torno do eixo z-z;

IT – constante de torção uniforme;

IW – constante de empenamento;

L – comprimento da viga;

Mb,Rd – valor de cálculo do momento fletor resistente à encurvadura lateral (de vigas por flexão- torção);

Mc,Rd – valor de cálculo do momento fletor resistente;

MEd – valor de cálculo do momento fletor atuante, em relação ao eixo y-y;

Mpl.Rd– valor de cálculo do momento fletor resistente plástico;

MRd – valor de cálculo do momento fletor resistente em relação ao eixo y-y

S – momento estático;

VEd – valor de cálculo do esforço transverso atuante:

Vc,Rd – valor de cálculo do esforço transverso resistente:

Vbf,Rd – valor de cálculo da resistência ao corte por esforço transverso dos banzos;

Vbw,Rd – valor de cálculo da resistência ao corte por esforço transverso da alma;

Vpl,Rd – valor de cálculo do esforço transverso resistente plástico;


xvi

Wpl – módulo de flexão plástico de uma secção transversal;

Wel,min – módulo de flexão elástico mínimo de uma secção transversal;

Weff,min – módulo de flexão mínimo de uma secção transversal efetiva.

LETRAS LATINAS MINÚSCULAS

x-x – Eixo longitudinal de um elemento;

y-y – Eixo da secção transversal paralelo aos banzos;

z-z – Eixo de menor inércia da secção transversal perpendicular aos banzos;

h – Altura da secção transversal;

b – Largura de uma secção transversal;

t – espessura de um elemento;

bf1 – largura do banzo inferior de uma secção transversal;

tf1 – espessura do banzo inferior de uma secção transversal;

hw – altura da alma de uma secção transversal;

tw – espessura da alma de uma secção transversal;

bf2 – largura do banzo superior de uma secção transversal;

tf2 – espessura do banzo superior de uma secção transversal

beff – largura efetiva da placa para o efeito de shear lag;

c – largura ou altura de parte da secção transversal;

kσ – fator de encurvadura de uma placa;

fy – tensão de cedência;

fy,w – tensão de cedência da alma da secção transversal;

fy,f1 – tensão de cedência do banzo inferior da secção transversal;

fy,f2 – tensão de cedência do banzo superior da secção transversal;

fu – tensão última;

fu,w – tensão última da alma da secção transversal;

fu,f1 – tensão última do banzo inferior da secção transversal;

fu,f2 – tensão última do banzo superior da secção transversal;

hp – altura das nervuras da chapa perfilada;

hsc – altura do conetor de corte;

nr – número de conetores de corte por nervura;


xvii

LETRAS GREGAS MAIÚSCULAS

ΦLT – valor para determinar o coeficiente de redução χLT;

LETRAS GREGAS MINÚSCULAS

α – zona comprimida de parte de uma secção transversal;

αLT – fator de imperfeição para a encurvadura lateral;

γG – coeficiente parcial relativo a ações permanentes

γM – coeficiente parcial de segurança

γM0 – coeficiente parcial de segurança para a resistência de secções transversais de qualquer classe;

γM1 – coeficiente parcial de segurança para a resistência de elementos em relação a fenómenos de

encurvadura, avaliada através de verificações individuais de cada elemento;

γM2 – coeficiente parcial de segurança para a resistência à rotura de secções transversais tracionadas em

zonas com furos de ligação;

ɛ – fator que depende de fy;

η – coeficiente para calcular a área de corte;

ν – coeficiente de Poisson em regime elástico;

ρ – coeficiente de redução para determinar o valor de cálculo do momento fletor resistente tendo em

conta a interação com o esforço transverso;

τEd – valor de cálculo da tensão tangencial local atuante

χLT – coeficiente de redução para a encurvadura lateral;

ψ – relação entre tensões ou entre extensões;

ABREVIATURAS

BW – Bandwidth

E.L.U – Estado Limite Último

E.L.S – Estado Limite de Serviço

HMCR – Harmony Memory Considering Rate

HMS – Harmony Memory Size

HS – Harmony Search

PAR – Pitch Adjustment Rate

PRS – Perfil Reconstituído Soldado

API – Application Programming Interface

REST – Representation State Transfer


xviii


1

1 INTRODUÇÃO

1.1. ENQUADRAMENTO GERAL

O uso do aço estrutural remonta à segunda metade do século XIX. Todavia, é nos anos 30 do século

seguinte que, devido ao progresso das técnicas de soldadura, se verifica um aumento significativo da

construção de estruturas metálicas. Este progresso teve grande influência tanto no projeto como nas

normas de projeto e conceção das estruturas metálicas.

A nível europeu, a partir de meados da década de 70, procurou-se desenvolver e uniformizar regras de

cálculo e de dimensionamento para os vários tipos de estruturas, através da criação dos Eurocódigos

estruturais.

Atualmente, as vantagens do uso de aço estrutural são evidentes, uma vez que estas apresentam um

reduzido peso próprio quando comparadas com as estruturas de betão armado e com as estruturas de

alvenaria. Outra particularidade deste tipo de estruturas está associada à facilidade de transporte,

colocação e execução em obra que estas oferecem. Para além disso, o aço estrutural oferece uma elevada

relação entre resistência e peso, sendo que este é mais eficiente quando submetido à tração e à flexão.

Estas características permitem que, perante a utilização deste material, possam ser vencidos maiores

vãos e que sejam suportadas cargas mais elevadas com elementos de menores dimensões.

Dada a ampla gama de secções (chapas e/ou barras) oferecida pela indústria, a utilização de perfis

metálicos reconstituídos soldados (PRS) beneficia da enorme variedade de soluções, tornando possível

a otimização do funcionamento estrutural e a obtenção da solução mais económica.

Proveniente da evolução da construção metálica e da crescente utilização de betão, surgiu a construção

mista aço-betão que, através da combinação dos perfis de aço com o betão, confere ao conjunto uma

elevada eficiência estrutural.

Inicialmente as soluções mistas aço-betão caracterizavam-se, essencialmente, por soluções em que o

perfil metálico era embebido pelo betão não estrutural, visando apenas proteger o aço dos agentes

corrosivos e das temperaturas elevadas, derivadas de incêndios. Mais tarde, com o aumento da qualidade

do betão, este passou a ser considerado na resistência dos elementos, o que permitiu que as soluções já

contemplassem a complementaridade funcional e construtiva dos dois materiais. Esta

complementaridade surge, também, devido a ambos os materiais disporem de coeficientes de dilatação

térmica linear semelhantes, particularidade que é interessante principalmente em vigas contínuas ou em

estruturas hiperestáticas.

Atualmente, as vigas mistas mais comuns resultam da associação de uma viga metálica subjacente a um

banzo de betão ligados solidariamente através de conetores que, geralmente, são soldados ao perfil de

aço. A situação mais comum é aquela em que a laje de betão é moldada in situ. Esta pode ser maciça,


2

apresentar uma chapa perfilada metálica incorporada na face inferior (Figura 1) ou, ainda, ser pré-

fabricada. A adoção deste tipo de soluções mistas em edifícios com vários pisos permite o aumento da

altura útil dos pisos e a poupança de material, dado que o acréscimo de rigidez e resistência proveniente

da associação dos elementos de aço e betão possibilita a redução da altura dos elementos estruturais.

Estas vigas podem ser contínuas ou simplesmente apoiadas, sendo que as últimas proporcionam maior

eficiência do comportamento misto, uma vez que a viga metálica funciona predominantemente à tração

e o banzo de betão à compressão. Outra vantagem do uso de vigas mistas, comparativamente à utilização

de vigas metálicas simples, reside na capacidade de o banzo de betão restringir os deslocamentos do

perfil metálico provocados por eventuais fenómenos de instabilidade (em funcionamento misto).

Na Figura 2 são apresentados vários exemplos de vigas mistas. Contudo, neste documento será dado

especial enfâse ao estudo das vigas mistas cujas secções transversais se assemelham às assinaladas na

Figura 2, constituídas por uma laje de betão sobrejacente a um perfil metálico reconstituído soldado não

embebido no betão, podendo incluir ou não uma chapa perfilada com nervuras transversais à viga.

O recurso a elementos mistos constitui não só uma opção estrutural, mas também uma opção ao nível

do processo construtivo e, portanto, as suas vantagens contemplam estes aspetos desde que sejam

adotadas técnicas construtivas adequadas. Assim, se for necessária uma construção mais célere,

pode-se optar por não escorar a laje, durante a construção. Pelo contrário, o escoramento da laje pode

ser imprescindível se houver necessidade de limitar os deslocamentos verticais da viga metálica durante

a construção.

Figura 2 - Exemplos de secções transversais de vigas mistas [22]

Figura 1 - Pormenor construtivo da viga/laje mista com chapa metálica perfilada


3

Relativamente ao dimensionamento, independentemente do tipo de estrutura, este tem que conciliar três

objetivos essenciais – a segurança, a economia e a sustentabilidade. Dada a dificuldade existente em

conciliar estes três objetivos, de acordo com a complexidade e escala da estrutura, mostra-se pertinente

a criação de ferramentas de cálculo que permitam o dimensionamento estrutural otimizado.

Esta problemática da otimização estrutural no âmbito das estruturas metálicas já foi abordada por

inúmeros autores, nomeadamente em estudos anteriormente desenvolvidos na Faculdade de Engenharia

do Porto, como são exemplos os trabalhos realizados por Nogueira [1] e por Macedo [2]. Contudo, a

ferramenta desenvolvida é inovadora e apresenta grande utilidade, na medida em que esta tem por base

os custos associados ao fabrico do PRS.

Assim, ao longo da dissertação é descrita a conceção e implementação de uma ferramenta de cálculo,

totalmente desenvolvida em linguagem Python, que permite o dimensionamento de vigas metálicas

simples ou mistas, constituídas por perfis reconstituídos soldados. A fim de obter soluções eficientes a

nível económico, foi implementado um algoritmo de otimização meta-heurístico.

Por fim, a ferramenta de cálculo é aplicada a vários casos de estudo, provenientes de projetos realizados

pela empresa envolvida, através de processos convencionais, cujos resultados serão comparados com a

solução ótima obtida.

1.2. OBJETIVOS DO TRABALHO

Atualmente, o recurso à otimização é um tema cada vez mais relevante no domínio da construção,

nomeadamente no setor da construção metálica. Perante a carência de software adequado para a procura

de soluções estruturais mais sustentáveis, o tema apresentado tem como objetivo principal o

desenvolvimento de uma ferramenta de cálculo automático para o dimensionamento otimizado de perfis

metálicos reconstituídos soldados e de perfis metálicos reconstituídos soldados mistos aço-betão, que

permite determinar, mediante determinados fatores, a solução otimizada mais económica para a secção

transversal de uma viga simplesmente apoiada. Neste contexto, serão considerados perfis metálicos de

alma cheia e perfis mistos constituídos por um banzo de betão e um perfil metálico soldado de alma

cheia, sujeitos a um carregamento uniformemente distribuído ao longo da viga.

A concretização deste objetivo passa também pela aplicação de um algoritmo de otimização, que tem

em conta os custos associados aos vários materiais e processos utilizados.

A ferramenta de cálculo foi desenvolvida em Python, que consiste numa linguagem de alto nível e que,

portanto, representa uma vantagem visível, comparativamente a outras linguagens de programação, no

eventual desenvolvimento contínuo a realizar deste trabalho.

Pretende-se com este trabalho obter, numa fase preliminar do projeto de estruturas, uma proposta de

secção transversal da viga metálica ou mista, prevendo uma estimativa realista do seu custo. É

importante referir que o dimensionamento da viga inclui as principais verificações de segurança, o que

significa que a proposta de secção transversal obtida pelo processo de dimensionamento otimizado, para

efeitos de projeto, deverá ainda ser sujeita a uma verificação de segurança pormenorizada.


4

1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

Este trabalho é organizado em cinco capítulos, nos quais se pretende enquadrar o leitor em todo o

processo de desenvolvimento da ferramenta de cálculo automática.

No segundo capítulo é efetuada uma revisão da literatura técnica e científica relacionada com a análise

e dimensionamento de vigas constituídas por perfis metálicos reconstituídos soldados (PRS) e por vigas

mistas, constituídas por um PRS subjacente a um banzo de betão. A consideração da secção mista no

segundo subcapítulo, surgiu como fator adicional de otimização, na medida em que a mesma

incorporava soluções mais eficazes do que a secção metálica simples (PRS).

A informação recolhida nesta fase irá ser utilizada no desenvolvimento de uma ferramenta de cálculo

que permitirá o dimensionamento de vigas materializadas com este tipo de perfis metálicos.

A implementação da ferramenta de cálculo automático será descrita no terceiro capítulo. Procurou-se,

ao longo do trabalho, não só especificar as capacidades da ferramenta, os seus pressupostos e as decisões

tomadas, como também inteirar o leitor acerca da organização e funcionamento do programa, tornando

possível a modificação ou o eventual desenvolvimento futuro do mesmo.

Em colaboração com a empresa EME Singular, efetuou-se um levantamento de todos os custos

associados à produção e fabrico de PRS, de modo a conferir ao processo de otimização uma dimensão

realista. O processo de otimização foi realizado com recurso a um algoritmo meta-heurístico que

minimiza uma função de custo. Assim, neste capítulo é também introduzido o conceito de algoritmo de

otimização e explicado o funcionamento do algoritmo de pesquisa harmónica.

No quarto capítulo serão apresentados alguns casos de estudo, baseados em projetos efetuados pela

empresa envolvida, dimensionados através de processos convencionais, cujo resultado será comparado

com o resultado obtido através da ferramenta desenvolvida.

Por fim, no quinto capítulo serão expostas as conclusões desta dissertação e serão propostos eventuais

desenvolvimentos relativamente ao trabalho desenvolvido.


5

2 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS METÁLICOS

RECONSTITUÍDOS SOLDADOS

2.1. ENQUADRAMENTO

Neste capítulo são estabelecidas as regras que um projetista deverá ter em consideração no

dimensionamento de uma viga metálica, sujeita a um carregamento uniformemente distribuído ao longo

do seu comprimento, tendo por base as normas europeias atualmente em vigor em território português.

Desta forma, no presente trabalho, o dimensionamento de Perfis Reconstituídos Soldados (PRS) será

realizado de acordo com as regras de dimensionamento de estruturas metálicas correntes que constam

no Eurocódigo 3. Na segunda parte serão apresentadas regras gerais relativas ao estudo das vigas mistas

aço-betão, presentes na Parte 1 do Eurocódigo 4 [3].

2.2. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS METÁLICAS SEGUNDO O EUROCÓDIGO 3

2.2.1.GENERALIDADES

No projeto de estruturas metálicas, a utilização do Eurocódigo 3 deverá ser efetuada em conjunto com

o Eurocódigo 0 [4], onde são apresentadas as bases para o projeto de estruturas em geral, e com o

Eurocódigo 1 [5], onde se apresentam as ações que interessam ao projeto de estruturas. O Eurocódigo 3

tem em consideração os pressupostos de fabrico e montagem presentes na norma EN 1090 [6], [7] e é

constituído por sete subpartes, entre as quais a EN 1993-1-1 [8] e a norma EN 1993-1-5 [9] que foram

objeto de consulta ao longo do presente trabalho no dimensionamento de perfis reconstituídos soldados.

Já para o dimensionamento das ligações soldadas dos perfis foi consultada a Parte 1-8 do Eurocódigo 3

[10].

Ao longo do trabalho será feita referência aos vários elementos que constituem a geometria da secção

transversal, cujas designações dos parâmetros geométricos que foram consideradas no dimensionamento

da viga são apresentados na Figura 3.


6

2.2.2.PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

No âmbito do presente capítulo é essencial efetuar a caracterização do material em estudo, o aço

estrutural. Na secção 3 do EC3-1-1 [8] são apresentados os valores nominais das propriedades dos

materiais, que deverão ser adotados como valores característicos para efeitos de cálculo. Os valores de

cálculo das propriedades dos materiais são obtidos através do quociente entre os valores característicos

e os coeficientes de segurança definidos no Anexo Nacional Português. Estes coeficientes tomam os

seguintes valores: γM0 = 1,00, γM1 = 1,00, γM2 = 1,25 [8].

Na Tabela 1são apresentados os valores nominais da tensão de cedência, fy, e da tensão última de tração,

fu, para as classes de resistência dos aços mais comuns, definidos segundo a norma EN-10025-2 [11].

Tabela 1 - Valores nominais da tensão de cedência, fy, e da tensão última, fu, dos aços estruturais macios

correntes (excerto) [8]

Norma e Classe de Aço

Espessura nominal t do componente da secção [mm]

t ≤ 40 mm t ≤ 80 mm

fy [MPa] fu [MPa] fy [MPa] fu [MPa]

EN 10025-2

S 235 235 360 215 360

S 275 275 430 255 430

S 355 355 490 335 470

S 450 440 550 410 550

Figura 3 - Elementos que compõem a secção transversal do PRS monossimétrico (esquerda) e duplamente

simétrico (direita)


7

Para além dos valores acima indicados, foram ainda considerados valores mais específicos para a tensão

de cedência, fy, e para a tensão última, fu, dos aços apresentados na Tabela 7 da norma EN-10025-2 [11].

Os aços que estão em conformidade com os apresentados na tabela acima são assumidos como materiais

dúcteis, o que significa que é possível recorrer a métodos plásticos de análise aquando da sua utilização

em estruturas metálicas.

As restantes propriedades dos aços estruturais macios correntes são as seguintes:

• Módulo de elasticidade: 𝐸 = 210 GPa

• Módulo de distorção: 𝐺 = 𝐸

2∗(1+𝑣) ≈ 81 GPa

• Coeficiente de Poisson em regime elástico: 𝜈 = 0,3

• Massa volúmica: 𝜌 = 7850 kg/m3

Relativamente à soldadura, o metal de adição deve apresentar propriedades mecânicas semelhantes ou

superiores às do material de base, independentemente do processo de execução adotado. Mais tarde,

serão abordados em 2.2.7 os critérios a ter em conta no dimensionamento das ligações soldadas.

2.2.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

A classificação das secções transversais reflete o modo como a capacidade de rotação e a resistência de

uma secção são preponderantes no que se refere à ocorrência de fenómenos de encurvadura local. Se

numa secção compacta pode existir a total plastificação dos elementos, numa secção esbelta, dada a

possibilidade de ocorrência de fenómenos de encurvadura local, as zonas comprimidas da secção podem

não plastificar.

Na cláusula 5.5.2 do EC3-1-1 [8] são definidas as quatro classes distintas seguintes, que definem a

secção transversal:

• Classe 1 – constituem as secções transversais em que se podem formar rótulas plásticas, com

capacidade de rotação suficiente para a utilização de uma análise plástica, sem que haja redução

da sua resistência;

• Classe 2 – correspondem às secções transversais que podem atingir o momento resistente

plástico, sem que haja risco de encurvadura local; no entanto, têm uma capacidade de rotação

limitada, prevendo apenas a formação de uma rótula plástica;

• Classe 3 – são as secções transversais calculadas com base numa distribuição elástica e cuja

tensão na fibra extrema mais comprimida do perfil metálico pode atingir a tensão de cedência;

contudo, o momento plástico resistente da secção pode não ser atingido devido à encurvadura

local;

• Classe 4 – são as secções transversais onde não é possível que as zonas mais comprimidas da

secção atinjam a tensão de cedência antes da ocorrência de fenómenos de instabilidade local.

A Figura 4 ilustra o comportamento à flexão de secções das classes 1 a 4, onde estão apresentados o

momento elástico, Mel, e o momento fletor plástico, Mpl, da secção.


8

A classificação de uma secção é efetuada com base na relação largura-espessura dos elementos

totalmente ou parcialmente comprimidos, nos esforços atuantes e na classe de resistência do material.

Os valores limite da esbelteza dos elementos comprimidos são indicados no Quadro 5.2 da secção 5.5

do EC3-1-1 [8]. No quadro supracitado, as várias colunas referem-se aos diferentes tipos de esforços

atuantes no elemento interno ou externo e a classe de resistência do aço é tida em consideração através

do parâmetro ɛ = √235

𝑓𝑦, sendo 𝑓𝑦 a tensão de cedência do aço em MPa.

No caso dos perfis estudados, mais especificamente de perfis de secção em I monossimétricos, sujeitos

a flexão em torno do eixo de maior inércia, os limites máximos das relações largura-espessura para os

componentes internos comprimidos são apresentados na coluna correspondente aos componentes

solicitados à flexão e à compressão, como apresentado na Figura 5, enquanto que, para componentes

externos se consideraram os limites estabelecidos na coluna correspondente aos componentes solicitados

à compressão, apresentados na Figura 6.

A secção transversal é classificada pela classe mais desfavorável, isto é, pela maior classe dos elementos

comprimidos que constituem o perfil.

Figura 4 - Comportamento de secções das classes 1 a 4 à flexão [29]


9

Figura 5 – Relações máximas largura-espessura de componentes internos comprimidos [8]


10

2.2.4.CÁLCULO DAS PROPRIEDADES EFETIVAS DE UMA SECÇÃO TRANSVERSAL DE CLASSE 4

Caso a secção transversal seja classificada como sendo de classe 4, a verificação da resistência deverá

ser realizada a partir de uma secção efetiva reduzida. Esta secção é obtida através da dedução das zonas

da secção que estão mais propícias a fenómenos de instabilização local. A largura efetiva da parte

comprimida em secções transversais de classe 4 é calculada de acordo com as regras do EC3-1-5 [9].

É também importante referir que num caso de flexão simples, a definição da secção efetiva implicará,

por norma, a alteração da posição do centro de gravidade da secção transversal.

A determinação da secção efetiva é realizada para cada placa individualmente. Desta forma e para

secções constituídas por placas sem reforços, a área efetiva, 𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓, de uma placa comprimida de área

𝐴𝑐 é calculada pela expressão 4.51 da cláusula 4.4 do EC3-1-5 [9], apresentada pela equação (2.1) deste

documento.

Figura 6 - Relações máximas largura-espessura de componentes externos comprimidos [8]


11

𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓 = 𝜌 × 𝐴𝑐 (2.1)

Para elementos internos (alma do perfil), o fator de redução para a encurvadura da placa, ρ, é dado pelas

expressões (2.2) e (2.3), tomando valores diferentes consoante os valores da esbelteza da placa, λ𝑝, e

do quociente entre as tensões máximas e mínimas da placa, ψ.

λ𝑝 ≤ 0.673 𝜌 = 1.0 (2.2)

λ𝑝 > 0.673 𝑒 (3 + 𝜓) ≥ 0 𝜌 = λ𝑝 − 0.55 (3 + 𝜓)

λ𝑝

2 ≤ 1.0 (2.3)

Para elementos externos, ou seja, para os banzos do perfil, o fator de redução para a encurvadura da

placa é dado pelas expressões (2.4) e (2.5).

λ𝑝 ≤ 0.748 𝜌 = 1 (2.4)

λ𝑝 > 0.748 𝜌 = λ𝑝 − 0.188

λ𝑝

2 (2.5)

Independentemente de o elemento ser interno ou externo, a esbelteza normalizada de uma placa ( λ𝑝) é

calculada por (2.6).

λ𝑝 = √𝑓𝑦

𝜎𝑐𝑟=

𝑏

𝑡

28.4 ɛ √𝑘𝜎 (2.6)

Especificamente para o caso estudado de PRS, a largura de cálculo da placa, 𝑏, é igual à altura da alma

para elementos internos e é igual ao comprimento, c, (Figura 6) para elementos externos.

O coeficiente de encurvadura da placa, 𝑘𝜎, determina-se em função de ψ e das condições fronteira. Os

valores de 𝑘𝜎 são dados pelos Quadros 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 [9] para placas esbeltas.

Para os banzos da secção em I, o valor do quociente ψ a utilizar no Quadro 4.2 do EC3-1-5 [9] deve ser

obtido através das propriedades brutas da secção. Já para a alma da secção, este quociente deverá ser

calculado com base numa distribuição de tensões que tem em consideração a área efetiva do banzo

comprimido e a área bruta da alma.

Uma vez que numa secção sujeita a flexão simples, em geral, um dos banzos da secção está comprimido,

a distribuição das tensões de compressão ao longo do banzo é constante. Desta forma, através do Quadro

4.2 do EC3-1-5 [9], obtém-se a largura efetiva do banzo comprimido, a considerar no cálculo das

propriedades efetivas da secção antes da redução da secção bruta da alma.

Na Figura 7, apresenta-se a definição dos parâmetros necessários para o cálculo das propriedades

efetivas em elementos internos. Por exemplo, se o eixo neutro elástico da secção, sujeita a momento

fletor positivo, se situar no banzo inferior, a largura efetiva da alma do perfil será calculada com base

na terceira linha do quadro apresentado na Figura 7.


12

2.2.5. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

Como foi visto anteriormente, a classificação das secções é essencial para a definição dos parâmetros

resistentes da secção. A classificação da secção transversal será sempre o ponto de partida no que se

refere à verificação de segurança de uma secção metálica.

O Estado Limite Último corresponde a um estado associado ao estado de colapso da estrutura, que

coloca em risco a segurança dos utilizadores. A segurança de uma estrutura metálica implica a

verificação do equilíbrio estático e depende, principalmente, da resistência das secções transversais dos

elementos, da resistência das ligações e da resistência aos fenómenos de instabilidade.

Segundo a NP EN 1993-1-1 [8], existe a necessidade da adoção de um coeficiente parcial de segurança

𝛾𝑀0, que toma valor unitário para todas as verificações de resistência nas secções, cujo valor já foi

especificado em 2.2.2 deste documento.

2.2.5.1.Verificação da Resistência das Secções Transversais

Momento Fletor

A secção 6 da NP EN 1993-1-1 [8] define as verificações seccionais necessárias para o dimensionamento

de um elemento de viga. Desta forma, na ausência de esforço transverso, a verificação de segurança

regulamentar de uma secção transversal submetida a flexão simples é realizada através da condição

Figura 7 - Expressões para a determinação da largura efetiva em elementos internos (extraído do

Quadro 4.1 da NP EN 1993-1-5 [9])


13

(2.7), sendo 𝑀𝐸𝑑 o valor de cálculo do momento fletor atuante e 𝑀𝑐,𝑅𝑑 o valor de cálculo do momento

fletor resistente.

𝑀𝐸𝑑

𝑀𝑐,𝑅𝑑 ≤ 1.0 (2.7)

Em que:

𝑀𝑐,𝑅𝑑 =𝑊𝑝𝑙×𝑓𝑦

𝛾𝑀0 para as secções transversais de Classe 1 ou 2 (2.8)

𝑀𝑐,𝑅𝑑 =𝑊𝑒𝑙,𝑚𝑖𝑛×𝑓𝑦

𝛾𝑀0 para as secções transversais de Classe3 (2.9)

𝑀𝑐,𝑅𝑑 =𝑊𝑒𝑓𝑓,𝑚𝑖𝑛×𝑓𝑦

𝛾𝑀0 para as secções transversais de Classe 4 (2.10)

Em que 𝑊𝑝𝑙 é o módulo de flexão plástico, 𝑊𝑒𝑙,𝑚𝑖𝑛 é o módulo de flexão elástico e 𝑊𝑒𝑓𝑓,𝑚𝑖𝑛 é o módulo

de flexão efetivo, referentes à fibra da secção onde a tensão elástica é mais elevada.

Esforço Transverso

Para a verificação de segurança ao corte da secção transversal deverá ser satisfeita a condição (2.11). Os

termos 𝑉𝐸𝑑 e 𝑉𝑐,𝑅𝑑 representam, respetivamente, o valor de cálculo do esforço transverso atuante e o

valor de cálculo do esforço transverso resistente. No caso de secções de Classe 1 ou 2, o valor de cálculo

do esforço transverso resistente é igual ao valor de cálculo do esforço transverso resistente plástico

(𝑉𝑐,𝑅𝑑 = 𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑), definido pela expressão (2.12), em que 𝐴𝑣 é a área resistente ao corte.

𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑐,𝑅𝑑 ≤ 1.0 (2.11)

𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑 =

𝐴𝑣 (𝑓𝑦

√3)

𝛾𝑀0

(2.12)

De acordo com uma distribuição elástica de tensões tangenciais numa secção em I, observa-se que é na

alma que se desenvolve grande parte das tensões tangenciais e onde as tensões normais causadas pela

flexão são mais reduzidas. Já numa distribuição plástica de tensões tangenciais, considera-se que a alma

do perfil transversal resiste à totalidade das tensões tangenciais, tendo por base um diagrama de tensões

uniforme. Assim, 𝐴𝑣 é igual à área da alma do perfil, que é calculada pela expressão (2.13).

𝐴𝑣 = 𝐴𝑤 = ℎ𝑤 × 𝑡𝑤 (2.13)

Considerando um dimensionamento elástico (em secções de classe superior a 2) terá que ser satisfeito o

critério especificado em (2.14), relativamente a um ponto crítico da secção transversal.

𝜏𝐸𝑑

(𝑓𝑦

√3 𝛾𝑀0

)

≤ 1.0 (2.14)

Em que 𝜏𝐸𝑑 é a tensão tangencial máxima, obtida pela expressão (2.15), sendo t a espessura no ponto

considerado e 𝑆 o momento estático da secção, relativamente ao seu eixo principal, da parte localizada


14

entre esse ponto (onde a tensão tangencial é máxima) e a extremidade da secção transversal. 𝐼

corresponde à inércia da secção transversal em torno do mesmo eixo (eixo y-y).

𝜏𝐸𝑑 =𝑉𝐸𝑑 𝑆

𝐼 𝑡 (2.15)

O valor da inércia (I) a considerar neste cálculo em secções pertencentes às classes 1, 2 e 3 corresponde

à inércia da secção em relação ao eixo principal de inércia y-y e para secções de classe 4 corresponde

ao momento de inércia da secção efetiva.

Interação Momento Fletor – Esforço Transverso

Quando a secção transversal é submetida a esforço transverso e a momento fletor, dever-se-á reduzir o

valor do momento plástico resistente devido à presença de esforço transverso.

O critério indicado na expressão (2.16) garante que a interação do esforço transverso atuante (𝑉Ed) com

o momento fletor resistente (𝑀c,Rd) pode ser desprezada, caso contrário deverá adotar-se, no cálculo do

esforço transverso resistente, uma tensão de cedência reduzida de (1 – 𝜌) ∗ 𝑓𝑦 ao longo da área de corte

da secção, em que 𝜌 toma o valor dado pela equação (2.17).

𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑≤ 0.5 (2.16)

ρ = (2 ×𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑− 1) (2.17)

2.2.5.2.Verificação da Resistência à Encurvadura por Esforço Transverso

No regulamento [9] é ainda referido que a verificação da resistência à encurvadura por esforço

transverso deve ser verificada para almas não reforçadas, podendo a mesma ser desprezada se a condição

(2.18) for satisfeita.

ℎ𝑤

𝑡𝑤 ≤ 72

휀

𝜂 (2.18)

Em que ℎ𝑤 e 𝑡𝑤 são a altura e a espessura da alma do perfil, respetivamente, η é um coeficiente que,

conservativamente, com base no regulamento, toma um valor unitário e 휀 é obtido através da

relação √235

𝑓𝑦.

Caso a expressão (2.18) não seja satisfeita, será necessário verificar a resistência da viga relativamente

à encurvadura por esforço transverso, através de (2.19) e de acordo com as expressões definidas na Parte

1-5 do EC3 [9], seguidamente apresentadas, sendo 𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 o valor de cálculo da resistência ao corte por

esforço transverso da alma e 𝑉𝑏𝑓,𝑅𝑑 o valor de cálculo da resistência ao corte por esforço transverso dos

banzos.


15

𝑉𝐸𝑑 ≤ 𝑉𝑏,𝑅𝑑 (2.19)

𝑉𝑏,𝑅𝑑 = 𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 + 𝑉𝑏𝑓,𝑅𝑑 ≤𝜂 𝑓𝑦𝑤 ℎ𝑤 𝑡

√3 𝛾𝑀1

(2.20)

No trabalho desenvolvido admitiu-se que os banzos contribuem na sua totalidade para a resistência à

flexão, assumindo desprezável a sua contribuição na resistência ao corte por esforço transverso da

secção. Posto isto, na resistência ao corte por esforço transverso foi apenas considerada a contribuição

da alma do perfil, 𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑. Dado que as vigas em estudo não apresentam nervuras transversais, exceto na

secção dos apoios, 𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 é calculado através da expressão (2.21).

𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 =𝛸𝑤 𝑓𝑦𝑤 ℎ𝑤 𝑡

√3 𝛾𝑀1

(2.21)

Em que o fator 𝛸𝑤 depende do parâmetro de esbelteza da alma, 𝜆𝑤 calculado pela equação (2.22), no

caso de almas sem reforços transversais que corresponde ao caso das secções analisadas.

𝜆𝑤 = ℎ𝑤

86.4 𝑡 휀 (2.22)

𝑠𝑒 𝜆𝑤 <0.83

𝜂 → 𝛸𝑤 = 𝜂 = 1 (2.23)

𝑠𝑒 𝜆𝑤 ≥0.83

𝜂 → 𝛸𝑤 =

0.83

𝜆𝑤

(2.24)

2.2.5.3.Verificação da Resistência à Encurvadura Lateral

O fenómeno de encurvadura lateral surge devido à deformação lateral da parte comprimida da secção –

continuamente restringida pela parte tracionada, que não tende a deslocar-se lateralmente – do elemento

sujeito a flexão em torno do eixo de maior inércia.

Figura 8 - Exemplo de Encurvadura Lateral de uma viga com secção em I [30]


16

Visto que o perfil em estudo é constituído por secções abertas e de paredes finas, ou seja, composto por

secções com baixa rigidez de torção e de flexão lateral, o seu dimensionamento pode ser condicionado

pelo bambeamento, também designado por encurvadura lateral. Assim, para além das verificações

seccionais descritas, é necessário verificar a segurança da viga em relação à encurvadura lateral dos

elementos não restringidos lateralmente.

A verificação da segurança à encurvadura lateral de um perfil metálico de secção uniforme em flexão é

apresentada na cláusula 6.3.2 [5] e na expressão (2.25), onde 𝑀𝑏,𝑅𝑑 representa o valor de cálculo do

momento fletor resistente à encurvadura.

𝑀𝐸𝑑

𝑀𝑏,𝑅𝑑 ≤ 1.0 (2.25)

O valor de 𝑀𝑏,𝑅𝑑 depende do valor do momento resistente e do valor do momento crítico da secção. A

utilização da equação para o cálculo do momento crítico proposta por Clark e Hill [12] e por Galéa [13],

apresentada em (2.26), é válida para a viga em estudo, uma vez que a mesma está sujeita a flexão em

torno do eixo de maior inércia e é constituída por uma secção simétrica em relação ao seu eixo de menor

inércia.

𝑀𝑐𝑟 = 𝐶1

𝜋2 𝐸 𝐼𝑧

(𝑘𝑧 𝐿)2× {[(

𝑘𝑧

𝑘𝑤)

2 𝐼𝑊

𝐼𝑧+

(𝑘𝑧 𝐿)2 𝐺 𝐼𝑇

𝜋2 𝐸 𝐼𝑧+ (𝐶2 𝑧𝑔 − 𝐶3 𝑧𝑗)

2]

0,5

− (𝐶2 𝑧𝑔 − 𝐶3 𝑧𝑗)} (2.26)

Em que:

• 𝑘𝑧 e 𝑘𝑤 são fatores de comprimento efetivo que dependem das condições de apoio nas

extremidades. O primeiro fator relaciona-se com as rotações nas secções extremas em torno do

eixo de menor inércia (eixo z-z) e o segundo fator, 𝑘𝑤, está relacionado com a restrição ao

empenamento nessas secções extremas. Estes fatores podem variar entre 0.5, no caso de

deformações impedidas, e 1, no caso de deformações livres. Podem ainda tomar o valor de 0.7

quando numa extremidade as deformações forem permitidas e na outra extremidade estas forem

impedidas.

• 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3 são coeficientes que dependem da forma do diagrama de momentos fletores e das

condições de apoio e que são dados pela Tabela F1.1 [14].

• 𝐸 é o módulo de elasticidade do aço;

• 𝐼𝑇 é a constante de torção uniforme;

• 𝐼𝑊 é a constante de empenamento;

• 𝑧𝑔 = 𝑧𝑎 − 𝑧𝑠, sendo 𝑧𝑎 e 𝑧𝑠 as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte

da secção, em relação ao centro de gravidade da secção, respetivamente; estas duas coordenadas

são positivas se estiverem localizadas na zona comprimida do perfil e negativas se estiverem

localizadas na zona tracionada;

• 𝑧𝑗 é um parâmetro que está relacionado com o grau de assimetria da secção relativamente ao

eixo y; em vigas de secção duplamente simétrica 𝑧𝑗 é nulo; quando, na secção de momento

máximo, o banzo de maior momento de inércia em torno de z (eixo de menor inércia) for o

banzo comprimido, 𝑧𝑗 é positivo;


17

No caso de uma viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento uniformemente distribuído ao

longo do seu comprimento, os fatores 𝑘𝑧 e 𝑘𝑤 são unitários e os valores de 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3 tomam os valores

de 1.12, 0.45 e 0.525 respetivamente.

Por se tratar de uma secção aberta de paredes finas, o momento crítico depende da rigidez de flexão

lateral, da rigidez de torção e da rigidez de empenamento. Desta forma, torna-se necessário determinar

a constante de torção uniforme, 𝐼𝑇, e a constante de empenamento, 𝐼𝑊. A expressão para a determinação

da constante de torção uniforme para secções monossimétricas é dada pela expressão (2.27), em que ℎ𝑚

representa a distância entre os centroides dos banzos. É possível calcular a constante de empenamento

𝐼𝑊 recorrendo à expressão (2.28), em que α é calculado de acordo com (2.29), sendo as letras c e t

subscritas referentes aos banzos comprimidos e aos banzos tracionados respetivamente [15], [16].

𝐼𝑇 =𝑏𝑓𝑐 𝑡𝑓𝑐

3 + 𝑏𝑓𝑡 𝑡𝑓𝑡3 + ℎ𝑚 𝑡𝑤

3

3 (2.27)

𝐼𝑊 = ℎ𝑚 𝑏𝑓𝑐

3 𝑡𝑓𝑐 𝛼

12 (2.28)

𝛼 =1

1 + (𝑏𝑓𝑐

𝑏𝑓𝑡)

3

(𝑡𝑓𝑐

𝑡𝑓𝑡)

(2.29)

Numa secção duplamente simétrica o centro de corte coincide com o centroide. Neste caso, tratando-se

de uma secção monossimétrica, surge a necessidade de calcular a posição do centro de corte ou centro

de torção, C, que representa o ponto da secção transversal da viga onde, perante a aplicação de uma

carga vertical no plano da secção transversal, não são provocadas rotações da secção. Segundo

Galambos [17], o centro de corte pode ser obtido pela expressão (2.30), em que 𝑧𝑇 representa a altura

da parte comprimida da secção.

𝑧𝑆 = 𝑧𝑇 −𝑡𝑓𝑐

2− 𝛼 ℎ𝑚 (2.30)

Figura 9 - Representação de zT e zS numa secção

sujeita a momento fletor positivo, em que o banzo

inferior é o banzo de maior inércia em torno do

eixo z-z

Figura 10 - Representação de zT e zS numa secção

sujeita a momento fletor negativo, em que o banzo

inferior é o banzo de maior inércia em torno do eixo

z-z

𝑧𝑆 < 0 𝑧𝑆 > 0


18

Para além dos fatores anteriores, o nível de aplicação do carregamento na secção transversal também

influencia diretamente o cálculo do momento crítico de uma viga. Se a carga descendente for aplicada

ao nível do centro de corte, o parâmetro 𝑧𝑔 é nulo e, portanto, não existe agravamento da estabilidade

lateral da viga. Numa secção sujeita a momento fletor positivo, se for aplicada a mesma carga acima do

centro de corte, haverá uma diminuição do momento crítico da secção e, consequentemente, um

agravamento da instabilidade lateral da viga, uma vez que o carregamento se localiza na parte

comprimida da peça. Por outro lado, se a carga descendente for colocada na zona tracionada da peça,

esta terá um efeito estabilizador e o valor do momento crítico será superior.

Figura 11 - Representação de zg numa secção sujeita

a momento fletor positivo, em que o banzo inferior é o

banzo de maior inércia em torno do eixo z-z

Figura 12 - Representação de zg numa secção sujeita

a momento fletor negativo, em que o banzo inferior é

o banzo de maior inércia em torno do eixo z-z

𝑧𝑔 > 0 𝑧𝑔 < 0

Devido há eventual assimetria da secção transversal é necessário considerar o parâmetro 𝑧𝑗. A definição

do parâmetro 𝑧𝑗 é dada pela equação (2.31), que para secções em I monossimétricas em relação ao eixo

z-z , o integral de área foi resolvido simbolicamente e apresentado em (2.32) caso o centroide se situe

na alma e em (2.33) ou (2.34) caso o centroide se situe nos banzos inferior ou superior da secção

respetivamente.

𝑧𝑗 = 𝑧𝑆 − 0.5 ∫ (𝑦2 + 𝑧2)𝑧

𝐼𝑦 𝑑𝐴

𝐴

⇔

⇔ 𝑧𝑗 = 𝑧𝑆 −1

2 × 𝐼𝑦 ∫ (𝑦2 + 𝑧2) 𝑧 𝑑𝐴

𝐴

(2.31)


19

∫ (𝑦2 + 𝑧2) 𝑧 𝑑𝐴𝐴

=𝑏𝑓1

3 × 𝑧𝐺2

24−

𝑏𝑓13 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)

2

24+

𝑏𝑓1 × 𝑧𝐺4

4−

𝑏𝑓1 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)4

4

−𝑏𝑓2

3 × (ℎ − 𝑧𝐺)2

24+

𝑏𝑓23 × (−ℎ + 𝑡𝑓2 + 𝑧𝐺)

2

24−

𝑏𝑓2 × (𝑧𝐺 − ℎ)4

4

+𝑏𝑓2 × (−ℎ + 𝑧𝐺 + 𝑡𝑓2)

4

4+

𝑡𝑤3 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)

2

24

−𝑡𝑤

3 × (−ℎ + 𝑧𝐺 + 𝑡𝑓2)2

24+

𝑡𝑤 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)4

4−

𝑡𝑤 × (−ℎ + 𝑡𝑓2 + 𝑧𝐺)4

4

(2.32)

∫ (𝑦2 + 𝑧2) 𝑧 𝑑𝐴𝐴

=𝑏𝑓1

3 × 𝑧𝐺2

24−

𝑏𝑓13 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)

2

24+


4−

𝑏𝑓1 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)4

4

−𝑏𝑓2

3 × (−ℎ + 𝑧𝐺)2

24+

𝑏𝑓23 × (−ℎ + 𝑡𝑓2 + 𝑧𝐺)

2

24−

𝑏𝑓2 × (𝑧𝐺 − ℎ)4

4

+𝑏𝑓2 × (−ℎ + 𝑧𝐺 + 𝑡𝑓2)

4

4+

𝑡𝑤3 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)

2

24

−𝑡𝑤

3 × (−ℎ + 𝑧𝐺 + 𝑡𝑓2)2

24+

𝑡𝑤 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)4

4−

𝑡𝑤 × (−ℎ + 𝑡𝑓2 + 𝑧𝐺)4

4

(2.33)

∫ (𝑦2 + 𝑧2) 𝑧 𝑑𝐴𝐴

=𝑏𝑓1

3 × 𝑧𝐺2

24−

𝑏𝑓13 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)

2

24+


4−

𝑏𝑓1 × (𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)4

4

−𝑏𝑓2

3 × (−ℎ + 𝑧𝐺)2

24+

𝑏𝑓23 × (−ℎ𝑤 − 𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)

2

24−

𝑏𝑓2 × (𝑧𝐺 − ℎ)4

4

+𝑏𝑓2 × (−ℎ𝑤 + 𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)

4

4+

𝑡𝑤3 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)

2

24

−𝑡𝑤

3 × (−ℎ𝑤 + 𝑧𝐺 − 𝑡𝑓1)2

24+

𝑡𝑤 × (−𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)4

4

−𝑡𝑤 × (−ℎ𝑤 − 𝑡𝑓1 + 𝑧𝐺)

4

4

(2.34)

Após o cálculo do momento crítico elástico é possível obter o valor de cálculo do momento fletor

resistente à encurvadura, 𝑀𝑏,𝑅𝑑, pelo Método Geral, descrito na secção 6.3.2.2 da norma europeia [8].

Seguidamente são apresentadas as equações necessárias para determinar o valor do coeficiente de

redução para a resistência à encurvadura lateral 𝛸𝐿𝑇 em (2.36), da esbelteza normalizada 𝜆𝐿𝑇 em (2.37)

e de 𝛷𝐿𝑇 em (2.38). O valor de 𝛼𝐿𝑇 é estabelecido pelo Quadro 6.4 do EC3-1-1 [8], de acordo com as

curvas de encurvadura lateral apresentadas no Anexo Nacional Português do EC3-1-1 [18] e com o valor

do limite h/b, considerando, de modo conservativo, b igual à menor largura dos banzos.


20

𝑀𝑏,𝑅𝑑 = 𝛸𝐿𝑇 𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑 (2.35)

𝛸𝐿𝑇 =1

𝛷𝐿𝑇 + √𝛷𝐿𝑇2 − 𝜆𝐿𝑇

2 , mas 𝛸𝐿𝑇 ≥ 1.0

(2.36)

𝜆𝐿𝑇 = √𝑀𝑅𝑑

𝑀𝑐𝑟 (2.37)

𝛷𝐿𝑇 = 0.5 [1 + 𝛼𝐿𝑇 (𝜆𝐿𝑇 − 0.2) + 𝜆𝐿𝑇

2] (2.38)

No dimensionamento de elementos à flexão, a verificação da encurvadura lateral pode ainda ser

desprezada caso se verifique uma das seguintes situações:

• A viga é contraventada lateralmente por uma laje de betão ou por perfis de aço;

• 𝜆𝐿𝑇 ≤ 𝜆𝐿𝑇,0 = 0.2;

• 𝑀𝐸𝑑

𝑀𝑐𝑟≤ 𝜆𝐿𝑇

2.

2.2.6.ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Os Estados Limite de Utilização estão relacionados com o funcionamento da estrutura e dos elementos

estruturais que a compõem em condições normais de serviço, com o conforto dos utilizadores e com o

aspeto da construção.

Na verificação dos Estados Limites de Utilização de acordo com a EN 1990 [4]e com a secção 7 da EN

1993-1-1 [8], os valores limite dos parâmetros interessados devem ser estabelecidos com base nos

Anexos Nacionais ou acordados entre o Dono de Obra e o Projetista, para cada projeto.

Para a verificação dos estados limites irreversíveis deverá ser utilizada a combinação característica de

ações. Para a verificação dos estados limites reversíveis é normalmente utilizada a combinação frequente

de ações. Já no cálculo dos efeitos a longo prazo e de aspeto da estrutura dever-se-á utilizar a combinação

quase permanente de ações.

Os valores limites recomendados para os deslocamentos verticais em edifícios são indicados no Quadro

NA.I do Anexo Nacional Português (Tabela 2) [18] para uma viga simplesmente apoiada, no caso de

não serem estabelecidos outros valores com o Dono de Obra. A Figura 13 ilustra os diferentes

deslocamentos verticais a ter em consideração.


21

Tabela 2 - Valores recomendados para os limites dos deslocamentos verticais (extraído do Quadro NA.I do

Anexo Nacional [18])

Condições

Limites dos deslocamentos verticais

(Figura 13)

𝛅𝒎𝒂𝒙 𝛅𝟐

Coberturas em geral L/200 L/250

Coberturas utilizadas frequentemente por pessoas, para além do pessoal de manutenção

L/250 L/300

Pavimentos em geral L/250 L/300

Pavimentos em coberturas que suportem rebocos ou outros acabamentos frágeis ou divisórias não flexíveis

L/250 L/350

Pavimentos que suportem colunas (a não ser que o deslocamento tenha sido incluído na análise global para o estado limite último)

L/400 L/500

Quando δmax possa afetar o aspeto do edifício L/250 -

Figura 13 - Deslocamentos verticais a considerar (extraído do Anexo Nacional do EC3-1-1 [18])

δ𝑚𝑎𝑥 = δ1 + δ2 − δ0 (2.39)

Em que:

• 𝛿𝑚𝑎𝑥 – flecha da viga no estado final em relação à linha reta que une os apoios;

• 𝛿0 – contra-flecha da viga no estado não carregado;

• 𝛿1 – variação da flecha da viga devida a ações permanentes imediatamente após a sua aplicação;

• 𝛿2 – variação da flecha da viga devida à ação variável de base associada aos valores de

combinação das restantes ações variáveis.


22

2.2.7.DIMENSIONAMENTO DAS LIGAÇÕES SOLDADAS ALMA-BANZO

No dimensionamento de perfis reconstituídos soldados, como o nome indica, é necessário ter em conta

as características das ligações soldadas que efetuam a ligação da alma aos banzos.

As disposições especificadas nesta secção aplicam-se apenas a aços de construção soldáveis que

respeitem o Eurocódigo 3 – Parte 1-1 [5], tendo por base os princípios enunciados na Parte 1-8 [10].

Uma vez que as superfícies de fusão formam entre si um ângulo compreendido entre 60° e 120°, serão

estudadas soldaduras de ângulo. Estas podem ser contínuas ou descontínuas. Contudo, apenas serão

dimensionadas as soldaduras de ângulo contínuas na ligação da alma aos banzos

No âmbito deste trabalho não serão abordados, de forma extensiva, conceitos inerentes às técnicas de

soldadura atuais, sendo referido, essencialmente, o processo de dimensionamento de um cordão de

soldadura, isto é, a determinação da sua espessura e do seu comprimento.

Desta forma, é necessário definir o conceito de comprimento efetivo de um cordão de ângulo, 𝑙𝑒𝑓𝑓, que

corresponde ao comprimento do cordão que tem a secção total da soldadura. Este pode ser considerado

igual ao comprimento total da soldadura ou, conservativamente, igual a esse comprimento reduzido de

duas vezes a espessura útil do cordão. A espessura útil do cordão, também designada garganta do cordão

de soldadura, a, é dada pela altura do maior triangulo inscrito entre as superfícies dos elementos a soldar,

medida perpendicularmente à face exterior do triangulo. A Figura 14 ilustra a forma como este último

parâmetro é medido. No dimensionamento dos cordões de ângulo deverão ser respeitados os seguintes

limites geométricos, em que 𝑡𝑚𝑖𝑛 é a espessura mínima das chapas a ligar:

𝑙𝑒𝑓𝑓 ≥ 𝑚𝑎𝑥{30 𝑚𝑚; 6 × 𝑎[𝑚𝑚]} (2.40)

𝑎 ≥ 3 𝑚𝑚 (2.41)

𝑎 ≤ 0.7 𝑡𝑚𝑖𝑛 (2.42)

Figura 14 - Medição da garganta de um cordão de soldadura ("throat") numa junta em tê:

representação esquemática à esquerda e apresentação de um exemplo real com recurso a um

escantilhão de soldadura à direita [31]


23

Além dos limites geométricos referidos, a secção 3.3.4 da EN 1708 – Parte 2 [19] indica que para

soldaduras de ângulo de juntas em tê deverá ser respeitada a condição adicional (2.43).

𝑎 ≥ √𝑡𝑚𝑎𝑥 − 0.5 𝑚𝑚 (2.43)

Relativamente ao dimensionamento de cordões de ângulo, o EC3-1-8 [10] admite dois métodos,

nomeadamente o método direcional e o método simplificado.

Método Direcional

O método direcional prevê a decomposição dos esforços transmitidos por unidade de comprimento em

componentes paralelas e transversais ao eixo longitudinal da soldadura e posterior decomposição destes

em componentes perpendiculares e transversais ao plano definidor da espessura do cordão, como ilustra

a Figura 15.

O valor de cálculo da resistência do cordão é considerado satisfatório se forem verificadas as condições

apresentadas nas equações (2.44) e (2.45).

(𝜎⊥2 + 3 × (𝜏⊥

2 + 𝜏∥2))

0.5≤

𝑓𝑢

𝛾𝑀2 × 𝛽𝑤 (2.44)

𝜎⊥ ≤ 0.9 ×𝑓𝑢

𝛾𝑀2 (2.45)

Em que:

• 𝑓𝑢 é o valor nominal da tensão de rotura mínimo das duas peças a ligar;

• 𝛽𝑤 é o fator de correlação obtido no Quadro 4.1 do EC3-1-8 [10], que depende da classe de

resistência mínima do aço do PRS;

• 𝜎⊥é a tensão normal perpendicular à espessura;

• 𝜎∥ é a tensão normal paralela à espessura;

• 𝜏⊥ é a tensão tangencial no plano da espessura perpendicular ao eixo de soldadura;

• 𝜏∥ é a tensão tangencial no plano da espessura paralela ao eixo de soldadura.

Figura 15 - Representação das tensões no plano que define um cordão de ângulo


24

É ainda importante referir que para o cálculo da resistência do cordão de soldadura não é considerada a

tensão normal 𝜎∥ paralela ao eixo da soldadura.

Método Simplificado

O método simplificado não tem em consideração a orientação do plano que define a espessura da

soldadura relativamente aos esforços aplicados. A verificação da resistência do cordão é satisfeita se em

qualquer secção transversal for cumprido o critério apresentado em (2.46).

𝐹𝑤,𝐸𝑑 ≤ 𝐹𝑤,𝑅𝑑 (2.46)

Em que 𝐹𝑤,𝐸𝑑 corresponde ao valor de cálculo do esforço atuante por unidade de comprimento na

soldadura e 𝐹𝑤,𝑅𝑑 o valor de cálculo da resistência do cordão por unidade de comprimento, calculado

de acordo com a equação (2.47), sendo 𝑓𝑣𝑤.𝑑 o valor de cálculo da resistência ao corte da soldadura.

𝐹𝑤,𝑅𝑑 = 𝑓𝑣𝑤.𝑑 × 𝑎 (2.47)

𝑓𝑣𝑤.𝑑 =

𝑓𝑢

√3𝛽𝑤 𝛾𝑀2

(2.48)

Como nas ligações banzo-alma, do caso estudado, só apresentam a componente correspondente à tensão

tangencial perpendicular ao eixo de soldadura, os resultados obtidos pelos dois métodos são iguais.


25

2.3. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS MISTAS DE AÇO-BETÃO SEGUNDO OS EUROCÓDIGOS

2.3.1.GENERALIDADES

Neste subcapítulo serão apresentados os conceitos teóricos que estão na base do dimensionamento de

vigas mistas aço-betão, segundo as Norma Europeias.

As vigas mistas podem ter secções transversais muito diversificadas, uma vez que resultam da

combinação da laje de betão com a viga metálica. Neste estudo serão abordadas essencialmente secções

mistas cujo perfil metálico é um perfil reconstituído soldado em I, monossimétrico ou duplamente

simétrico, cujo banzo de betão pode ser maciço ou constituído por chapas nervuradas transversais ao

eixo da viga, como ilustram os exemplos apresentados na Figura 16.

A EN 1994-1-1 [3] descreve os princípios e os requisitos de segurança, de utilização e de durabilidade

das estruturas mistas aço-betão, bem como as disposições específicas para edifícios. Em projetos de

novas estruturas, esta norma também deve ser aplicada paralelamente aos Eurocódigos EN 1990 [4] a

EN 1993 [8].

Relativamente ao projeto deste tipo de estruturas, o presente documento terá como principal objeto de

estudo a Parte 1 da EN 1994 [3] e as Partes 1 e 5 da EN 1993 [8], [9], uma vez que este trabalho está

essencialmente dirigido ao estudo de edifícios. Apesar de muitos dos conceitos que serão abordados

nesta secção também poderem ser aplicados a viadutos e pontes, para esses tipos de estruturas deverão

ser tidos em consideração os requisitos de segurança apresentados na EN 1994-2 [20].

2.3.2.INFLUÊNCIA DO MÉTODO CONSTRUTIVO

No projeto de estruturas mistas é essencial ter em atenção o método construtivo adotado, desde a fase

de projeto até à execução da estrutura, uma vez que, normalmente, o perfil é executado em fábrica e o

betão é colocado em obra. Geralmente, dada a possibilidade de dispensa de escoramento na fase

construtiva, é possível beneficiar de uma construção mais célere e com menos gastos de material

provisório (de escoramento). Desta forma, caso se opte por uma construção não escorada, enquanto o

betão não ganhar presa todas as cargas permanentes e sobrecargas de construção serão suportadas pelo

perfil metálico. Apenas depois da cura do betão, se verificará o comportamento misto da secção e nesse

Figura 16 - Secções transversais de vigas mistas [22]


26

caso, o elemento misto suportará as restantes cargas permanentes e sobrecargas. Durante a construção

(não escorada), caso não seja considerada a retração, o betão e os conetores não terão esforços instalados.

Por outro lado, ao optar-se por uma construção escorada, por exemplo, a fim de limitar os deslocamentos

verticais da viga metálica durante a construção, o elemento misto resistirá a todas as cargas atuantes

após a retirada do escoramento. Considera-se também que, no caso de o escoramento ser continuo, não

existem esforços na secção enquanto esta estiver escorada.

Assim, a solução não escorada envolve secções de aço mais robustas, de forma a evitar deformações

excessivas ou, no limite, o colapso, devido a possíveis fenómenos de instabilidade. Contudo, a solução

escorada requer maior consumo de tempo e de material provisório no aprovisionamento e colocação do

escoramento.

2.3.3.PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

Os materiais constituintes principais das estruturas mistas aço-betão são o aço estrutural, o betão e os

conectores que ligam o perfil de aço à laje de betão.

Relativamente ao material betão, as suas propriedades deverão ser obtidas através do disposto na EN

1992-1-1 [21] na secção 3.1, para betões de massa volúmica normal, ou na secção 11.3, para betões

leves. Todavia, a EN 1994 não abrange o projeto de estruturas mistas nas quais sejam utilizados betões

de classes de resistência inferiores a C20/25 nem betões de classes de resistência superiores a C60/75,

no caso de betões de massa volúmica normal, nem betões de classes de resistência inferiores a LC20/22

nem betões de classes de resistência superiores a LC60/66, no caso de betões leves.

Neste estudo serão abordadas apenas secções constituídas por betão de massa volúmica normal, uma

vez que para a aplicação do estudo a betões leves seriam necessárias considerações adicionais.

Para além disso, a retração do betão deverá ser calculada em função da humidade ambiente, da

composição do betão e das suas dimensões. Dado que este documento se dirige essencialmente ao estudo

de edifícios, os efeitos da retração autogénea do betão poderão ser desprezados na determinação das

tensões e das deformações.

As propriedades das armaduras da secção de betão armado são referidas na secção 3.2 da EN 1992-1-1

[21].

Relativamente aos conetores utilizados na ligação do banzo de betão ao perfil de aço, os pernos de

cabeça, estes serão abordados mais tarde na secção 2.3.6.

Em relação ao aço estrutural, são aplicadas as disposições apresentadas na secção 2.2.2 deste documento

para as secções constituídas por perfis reconstituídos soldados.

O valor de cálculo da resistência das estruturas mistas depende dos valores característicos da resistência,

bem como dos coeficientes parciais dos materiais que a constituem. Os valores de cálculo das

propriedades dos materiais são obtidos através do quociente entre os valores característicos e os

coeficientes de segurança definidos no Anexo Nacional Português [18]. Na Tabela 3 são apresentados

os valores recomendados para os coeficientes parciais γ de segurança em relação aos estados limites

últimos.


27

Tabela 3 - Valores recomendados para os coeficientes parciais γ dos materiais para os Estados Limites Últimos

Situações de Projeto

Material

Betão Aço estrutural Chapa

perfilada Armaduras conexão

Persistentes ou transitórias

𝛾𝑐 = 1.50 𝛾𝑎 = 1.00 𝛾𝑝 = 1.00 𝛾𝑠 = 1.15 𝛾𝑣 = 1.25

Referência Normativa

EN 1992-1-1 (2.4.2.4)

EN 1993-1-1 (6.1)

EN 1993-1-1 (6.1)

EN 1992-1-1 (2.4.2.4)

EN 1994-1-1 (2.4.1.2)

2.3.4.LARGURA EFETIVA DO BANZO DE BETÃO

A análise da secção transversal implica o conhecimento prévio da geometria da secção. Nem sempre

podem ser utilizadas as dimensões reais da secção transversal. Nomeadamente nos casos em que a

distribuição de tensões no banzo de betão, resultante das deformações por corte, não é uniforme. Nestes

casos é necessário adotar dimensões efetivas para o banzo de betão, sendo este fenómeno designado por

Shear Lag.

O efeito de Shear Lag é muito comum, por exemplo, no caso de lajes de betão ligadas a um conjunto de

vigas metálicas paralelas. Se a distância entre vigas for elevada, a deformabilidade por corte do banzo

de betão provoca uma distribuição não uniforme das tensões longitudinais. Estas tensões são máximas

na ligação do banzo com o perfil metálico. De forma a adotar uma distribuição uniforme das tensões

longitudinais e de modo a poder aplicar as expressões da teoria geral da flexão no cálculo de tensões e

deformações, surge o conceito de largura efetiva do banzo de betão, beff [22].

Figura 17 - Largura efetiva para o cálculo de tensões [22]


28

Um dos métodos utilizados para o cálculo da largura efetiva do banzo de betão consiste em definir a

largura de um bloco retangular de tensões, [GHJK], de tensão igual à máxima, com área igual à área do

diagrama gerado por uma distribuição não uniforme de tensões, [ACDEF], como ilustra a Figura 17.

Desta forma, é possível perceber que a largura efetiva do betão depende, de entre outros fatores, da

largura de influência e do vão da viga, do tipo de carregamento (concentrado ou distribuído), das

condições de apoio e do tipo de análise [22].

Relativamente ao tipo de carregamento, neste estudo apenas serão consideradas vigas mistas sujeitas a

um carregamento uniformemente distribuído ao longo do seu comprimento. Assim, a viga em estudo

está sujeita a esforço de corte e a momento fletor positivo.

A cláusula 5.4.1.2 do EC4-1-1 [3] apresenta o cálculo da largura efetiva, tendo em conta as distâncias

entre secções de momento fletor nulo. Para zonas de meio vão entre apoios internos a largura efetiva é

calculada segundo a expressão (2.49).

𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝑏0 + ∑ 𝑏𝑒𝑖 (2.49)

E em apoios de extremidade o cálculo da largura efetiva é efetuado segundo a expressão (2.50).

𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝑏0 + ∑ 𝛽𝑖 × 𝑏𝑒𝑖 (2.50)

Em que:

• 𝐿𝑒 é a distância entre pontos de inflexão consecutivos no diagrama de momentos fletores; 𝐿𝑒

pode também de uma forma aproximada ser considerado igual à distância entre pontos de

momento fletor nulo;

• 𝛽𝑖 = 0.55 +0.025 𝐿𝑒

𝑏𝑒𝑖 ≤ 1.0

• 𝑏𝑒𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 {𝐿𝑒

8; 𝑏𝑖}

Figura 18 - Vãos equivalentes para o cálculo da largura efetiva de betão [3]


29

Em estruturas de edifícios, o Eurocódigo permite considerar 𝑏0 igual a zero e permite que 𝑏𝑖 seja medido

a partir do eixo médio da alma.

No caso de se efetuar uma análise elástica global, o EC4-1-1 [3] em 5.4.1.2 (4) considera a possibilidade

de adotar uma largura efetiva de betão constante para cada tramo da viga, se essa largura corresponder

à do meio vão do respetivo tramo.

Tendo em conta as características da viga em estudo 𝐿𝑒 será igual ao comprimento total da viga.

2.3.5.CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

Analogamente ao que foi descrito para as vigas metálicas, a análise de vigas mistas também prevê a

possibilidade de os perfis constituídos por elementos esbeltos encurvarem localmente. A classificação

tem em conta este fenómeno e é efetuada de acordo com a cláusula 5.5 [3], sendo dada pela classe mais

desfavorável dos elementos comprimidos de aço. Os limites de esbelteza e a distribuição em classes

para secções mistas é realizada de forma idêntica à classificação descrita no subcapítulo 2.2.3 deste

documento, relativamente a secções metálicas simples.

Uma vez que a secção mista não é simétrica em relação ao eixo neutro da flexão em torno de y-y, a sua

classificação depende do sinal do momento fletor atuante. Em particular, devido às condições de apoio

e ao tipo de carregamento, os casos estudados apenas irão contemplar vigas mistas sujeitas a momento

fletor positivo. Contudo, se a viga estivesse sujeita a momento fletor negativo, a classificação da secção,

o dimensionamento e as posteriores verificações necessárias, iriam contemplar mais variáveis e

condições, que no presente estudo não serão aprofundadas. Nas secções de momento fletor negativo o

banzo de betão estaria à tração. Dado que o betão apresenta uma resistência muito reduzida à tração, o

valor de cálculo da resistência do betão à tração, em qualquer tipo de análise, é desprezado. Contudo,

nestes casos, as armaduras do banzo de betão seriam consideradas no cálculo da resistência da secção

transversal.

Segundo a cláusula 5.5.1(4) [3], deverá ser utilizada uma distribuição de tensões plástica, a menos que

as seções pertençam à Classe 3 ou à Classe 4, nas quais deverá ser respeitada uma distribuição elástica

de tensões, tendo em consideração o efeito construtivo e os efeitos da fluência e da retração do betão.

Na norma é também referido que os banzos da secção metálica que estejam efetivamente ligados à

secção de betão, através de conetores cujo espaçamento respeite os limites especificados em 6.6.5.5,

podem ser considerados de Classe 1.

É ainda importante referir que a maior parte das soluções mistas em vigas de edifícios apresentam uma

secção transversal de classe 1 ou 2, cujo dimensionamento é realizado com base na capacidade plástica

das secções.


30

2.3.6. CONEXÃO DE CORTE

A resistência das vigas mistas depende também do grau de interação e conexão entre os dois materiais

que a constituem. Antes de abordar os aspetos relativos à conexão é importante notar a diferença entre

conexão e interação.

Numa viga mista a ausência de conetores implica interação nula entre o perfil metálico e o banzo de

betão, ignorando a aderência entre os dois materiais. Por outro lado, considera-se que há interação total

entre os dois elementos se existirem conetores que impeçam o deslocamento relativo entre a laje de

betão e o perfil metálico. Neste último caso o diagrama de extensões é linear ao longo da secção mista,

como é possível observar na Figura 19.

Desta forma, pode-se afirmar que a conexão se relaciona com a forma de os dois materiais funcionarem

em conjunto e com a força entre eles desenvolvida, que depende do número de conetores adotado e da

sua resistência. Já a interação está relacionada com o escorregamento entre os dois materiais e com a

rigidez do meio de conexão.

Perante um caso de interação total o colapso da estrutura pode ocorrer devido à plastificação excessiva

da viga metálica ou devido à rotura do betão. Numa situação de conexão total, apesar de poder existir

escorregamento, ainda que reduzido, devido à ductilidade dos conetores, geralmente, a viga atinge o

máximo momento resistente antes de ocorrer a rotura da ligação.

Os conetores de corte são colocados na secção a fim de resistirem às forças que se desenvolvem na

interface entre os dois materiais, podendo ser cravados ou soldados ao perfil metálico. Os conetores

referenciados neste documento são os conetores soldados mais comuns, os pernos de cabeça,

representados na Figura 20. Os diâmetros destes conetores podem variar entre 13 e 25 mm e as suas

alturas entre 75 e 150 mm. Apesar de a tensão última mínima dos conetores se situar entre 450 e 600

MPa, o EC4-1-1 [3] limita o seu valor a 500 MPa. A força de corte transmitida entre o perfil e o betão

Figura 19 - Diagramas de tensões normais (σ), tensões tangenciais (τ) e extensões (ɛ) numa secção

homogeneizada de uma viga mista [22]


31

depende da resistência do anel de soldadura, da resistência à flexão, da inclinação do perno de cabeça e

da força de atrito.

Apesar da panóplia de diâmetros disponível, não é comum a utilização de pernos de cabeça de diâmetro

superior a 20mm, dada a inerente dificuldade de aplicação e o consequente aumento do consumo de

energia daí resultante.

Tendo em conta a multiplicidade de ensaios experimentais e estudos realizados acerca das propriedades

destes conetores soldados automaticamente, a cláusula 6.6.3.1 [3] fornece expressões que permitem

obter o valor de cálculo da força resistente ao corte, segundo a EN 14555, indicadas em (2.51), (2.52) e

(2.53). As expressões (2.52) e (2.53) representam respetivamente a rotura por corte do perno de cabeça

e o esmagamento do betão em torno do conetor. A solução ótima relativamente à escolha do conetor

será encontrada quando os valores obtidos através das expressões PRd dados pelas duas expressões (2.52)

e (2.53) forem idênticos.

𝑃𝑅𝑑 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑃𝑅𝑑(1)

; 𝑃𝑅𝑑(2)

} (2.51)

𝑃𝑅𝑑(1)

=0.8 𝑓𝑢 𝜋

𝑑2

4𝛾𝑣

(2.52)

𝑃𝑅𝑑(2)

=0.29 𝛼 𝑑2 √𝑓𝑐𝑘 𝐸𝑐𝑚

𝛾𝑣 (2.53)

Em que:

• 𝛾𝑣 é o coeficiente parcial de segurança relativo à conexão, cujo valor recomendado é dado por

1.25 (fornecido no Anexo Nacional);

• 𝑑 é o diâmetro da espiga do perno de cabeça;

• 𝑓𝑢 é o valor da tensão última do perno de cabeça, cujo valor deverá ser inferior ou igual a 500

MPa;

Figura 20 - Apresentação de um exemplo de aplicação dos conetores de corte na viga mista


32

• 𝑓𝑐𝑘 e 𝐸𝑐𝑚 são dados pelo Quadro 3.1 do EC2-1-1;

• 𝛼 é obtido de acordo as expressões seguintes:

o 𝛼 = 0.2 (ℎ𝑠𝑐

𝑑+ 1) , para 3 ≤

ℎ𝑠𝑐

𝑑≤ 4

o 𝛼 = 1 , para ℎ𝑠𝑐

𝑑> 4

• ℎ𝑠𝑐 é a altura total do perno de cabeça.

A ductilidade do conetor e a sua capacidade de redistribuir a força de corte são referidas na cláusula

6.6.1.2(1) [3], que define as condições a satisfazer para que este possa ser considerado dúctil. Assim,

um conetor é dúctil se o seu comprimento total após soldadura não for inferior a 4 vezes o seu diâmetro

(d) e se a espiga de diâmetro nominal não for inferior a 16mm nem superior a 25mm. Para além disso,

a altura mínima deste tipo de conetores (ℎsc) tem que ser superior ou igual a 3 vezes o seu diâmetro.

Perante a presença de nervuras na laje de betão, é importante ter especial atenção ao efeito de

confinamento do betão e da posição do conetor dentro da nervura, pois estes aspetos influenciam a força

resistente ao corte [22]. Desta forma, a norma europeia prevê estes efeitos através da multiplicação do

valor de cálculo da força resistente ao corte por um coeficiente de redução 𝑘𝑖, dependente da orientação

das nervuras relativamente ao eixo da viga.

Se as nervuras estiverem dispostas transversalmente à viga, o coeficiente de redução 𝑘𝑡 é dado por

(2.54), sendo 𝑛𝑟 o número de conetores por nervura, que é no máximo 2.

Figura 21 - Exigências dimensionais de um perno de cabeça dúctil [22]

Figura 22 - Pormenor de viga mista com chapa perfilada com nervuras transversais à viga - à esquerda chapa

trapezoidal e à direita chapa com perfil reentrante [3]


33

𝑘𝑡 =0.7

√𝑛𝑟

𝑏0

ℎ𝑝 (

ℎ𝑠𝑐

ℎ𝑝− 1) (2.54)

A Tabela 4 define os valores máximos admissíveis para o coeficiente de redução 𝑘𝑡.

A expressão (2.54) é válida apenas se forem verificadas as seguintes condições:

• ℎ𝑝 ≤ 85 𝑚𝑚

• ℎ𝑠𝑐 − ℎ𝑝 ≥ 2𝑑

• 𝑏0 ≥ ℎ𝑝

• 𝑏0 ≥ 50 𝑚𝑚

• Para conetores soldados através das chapas, o seu diâmetro não for superior a 20 mm;

• Para conetores executados por furação nas chapas, o seu diâmetro não for superior a 22 mm.

Tabela 4 - Valores máximos, kt,max, do coeficiente de redução kt (extraído do Quadro 6.2 do EC4-1-1 [3])

Número de conetores por

nervura

Espessura t da chapa perfilada

[mm]

Conetores de diâmetro não superior a 20 mm e

soldados através de chapas perfiladas de aço

Chapas perfiladas de aço furadas e conetores com diâmetros de 19 mm ou

22 mm

𝑛𝑟 = 1 ≤ 1.0 0.85 0.75

> 1.0 1.0 0.75

𝑛𝑟 = 2 ≤ 1.0 0.70 0.60

> 1.0 0.80 0.60


34

2.3.7.ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

Os requisitos a cumprir na verificação de segurança relativamente aos Estados Limites Últimos de

resistência das secções transversais de vigas mistas, com perfil de aço não betonado, estão descritos na

secção 6.2 do EC4-1-1 [3].

Em relação aos Estados Limites Últimos, em vigas mistas deverão ser realizadas as seguintes

verificações, representadas na Figura 23:

• Resistência das secções transversais críticas da viga, nomeadamente:

o Secções de momento fletor máximo (positivo e negativo);

o Secções dos apoios;

o Secções sujeitas a cargas concentradas ou a reações;

o Zonas de mudança brusca de secção transversal, que não seja originada pela fendilhação

do betão.

• Resistência ao corte longitudinal;

• Resistência à encurvadura por esforço transverso e às forças transversais nas almas;

• Resistência à encurvadura lateral.

Dado que o presente estudo apenas irá analisar vigas simplesmente apoiadas de secção constante ao

longo da viga e sujeitas a ações gravíticas uniformemente distribuídas, algumas das verificações

supracitadas não serão efetuadas, por não serem necessárias à verificação de segurança da viga em

estudo.

Figura 23 - Representação e localização das verificações requeridas em vigas mistas relativamente

aos Estados Limites Últimos [22]


35

2.3.7.1.Verificações seccionais - Análise Plástica

Neste subcapítulo serão apresentadas as verificações de segurança seccionais da viga em relação aos

Estados Limites Últimos. A secção crítica relativamente à verificação do momento fletor máximo

admissível é a secção a meio vão, onde o valor do momento fletor é máximo e positivo. Já as secções

críticas para a verificação do esforço transverso máximo são as secções extremas dos apoios.

Neste documento serão abordadas, essencialmente, secções mistas de classe 1 e 2, por permitirem a

aplicação de métodos plásticos de análise, que corresponde à prática corrente neste tipo de estruturas,

como foi referido anteriormente.

Momento Fletor

De acordo com a cláusula 6.2.1.1 do EC4-1-1 [3], o cálculo do momento resistente em secções da classe

1 e 2 pode ser realizado admitindo que a relação tensão-deformação é perfeitamente plástica. Na

determinação do valor de cálculo do momento fletor plástico da secção mista, 𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑, foram

consideradas as seguintes hipóteses:

• A resistência do betão à tração é desprezada;

• A secção efetiva de betão apresenta uma tensão de rotura resistente à compressão constante em

toda a altura da secção de betão igual a 0.85*𝑓𝑐𝑑;

• A secção efetiva de aço resiste a uma tensão igual ao valor de cálculo da tensão de cedência do

perfil metálico, 𝑓𝑦𝑑, tanto à tração como à compressão;

• As armaduras longitudinais de tração, localizadas na largura efetiva do banzo de betão, resistem

a uma tensão de valor igual ao valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras, 𝑓𝑠𝑑, de

igual valor à tração e à compressão;

• Existe interação total entre o perfil de aço, as armaduras e o betão, isto é, considera-se que não

existe escorregamento relativo entre o banzo de betão e a viga de aço; além disso, desprezam-

se as armaduras de compressão, para efeitos de simplificação de cálculo;

• Por simplificação, a resistência da chapa perfilada à tração pode ser desprezada;

• A resistência da chapa perfilada à compressão é desprezada;

De modo a calcular o momento fletor plástico resistente, 𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑, é necessário conhecer a posição do

eixo neutro plástico, 𝐿𝑁𝑝𝑙. A posição do eixo neutro plástico é determinada através da divisão da secção

transversal em blocos, estabelecendo o equilíbrio entre trações e compressões. O valor do momento

fletor plástico resistente da secção é efetuado a partir da multiplicação da força resultante de cada bloco,

pelo respetivo braço, 𝑧𝑖. O método de cálculo do momento resistente está ilustrado na Figura 24 e é dado

pela expressão (2.55).

𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑 = ∑ 𝐹𝑖 𝑧𝑖

𝑖

(2.55)


36

Desta forma, é possível entender que, consoante a posição do eixo neutro na secção transversal (ao nível

do banzo de betão, do banzo superior ou da alma do perfil metálico), as expressões resultantes do cálculo

da posição do eixo neutro plástico e de 𝑀pl,Rd serão diferentes.

Para os diversos casos, considera-se que a laje mista tem uma chapa perfilada (com nervuras transversais

ao eixo da viga) de altura ℎp e que o betão entre as nervuras é desprezado. Assim, a seção de betão que

deverá ser considerada é apenas a secção localizada sobre as nervuras da chapa perfilada, cuja altura é

representada por ℎ𝑐. Esta formulação também abrange as situações em que não existe chapa perfilada,

adotando ℎp = 0 e ℎc igual à altura total do banzo de betão.

Para tornar mais simples a determinação destas expressões, são determinadas a priori as expressões

relativas às forças máximas resistentes de cada elemento da secção, indicadas a seguir.

A força máxima no banzo de betão é dada por (2.56):

𝑅𝑐 = 0.85 𝑓𝑐𝑑 ℎ𝑐 𝑏𝑐,𝑒𝑓𝑓 (2.56)

A força máxima de tração no perfil metálico é dada por (2.57):

𝑅𝑎 = 𝑅𝑓1 + 𝑅𝑤 + 𝑅𝑓2 (2.57)

A força máxima do banzo inferior do perfil metálico é dada por (2.58)(2.68):

𝑅𝑓1 = 𝑓𝑦𝑑,𝑓1 𝐴𝑓1 (2.58)

A força máxima na alma do perfil metálico é dada por (2.59):

𝑅𝑤 = 𝑓𝑦𝑑,𝑤 𝐴𝑤 (2.59)

A força máxima do banzo superior do perfil metálico é dada por (2.60):

𝑅𝑐 = 𝑓𝑦𝑑,𝑓2 𝐴𝑓2 (2.60)

A força máxima de tração na armadura longitudinal é dada por (2.61):

𝑅𝑠 = 𝑓𝑠𝑑 𝐴𝑠 (2.61)

Figura 24 - Representação do método de cálculo do momento fletor plástico resistente [22]


37

Na sequência da aplicação de um momento fletor positivo existem quatro hipóteses relativamente à

localização do eixo neutro plástico:

• Caso 1 – o eixo neutro plástico situa-se na zona maciça do banzo de betão;

• Caso 2 – o eixo neutro plástico situa-se na zona nervurada do banzo de betão;

• Caso 3 – o eixo neutro plástico situa-se no banzo superior do perfil metálico;

• Caso 4 – o eixo neutro plástico situa-se na alma do perfil metálico;

É também importante referir que nos cálculos efetuados se considerou a posição do eixo neutro medida

a partir da base do perfil de aço.

O primeiro caso ocorre se a força máxima no banzo de betão (𝑅𝑐) for superior à força máxima no perfil

metálico (𝑅𝑎). Recorrendo às metodologias descritas anteriormente, o eixo neutro plástico e o momento

fletor são dados através das expressões (2.62) e (2.63) respetivamente.

𝑧𝑝𝑙 = ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 −𝑅𝑓1 + 𝑅𝑤 + 𝑅𝑓2

0.85 𝑏𝑐,𝑒𝑓𝑓 𝑓𝑐𝑑 (2.62)

𝑀𝑝𝑙 =0.85 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑐,𝑒𝑓𝑓

2(ℎ − 𝑧𝑝𝑙)

2+ 𝑅𝑓2 (𝑧𝑝𝑙 − ℎ −

𝑡𝑓2

2) + 𝑅𝑤 (𝑧𝑝𝑙 −

ℎ𝑤

2− 𝑡𝑓1)

+ 𝑅𝑓1 (𝑧𝑝𝑙 −𝑡𝑓1

2)

(2.63)

Figura 25 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado na zona maciça da laje


38

O segundo caso surge quando a força máxima no banzo de betão é igual à força máxima no perfil de

aço, cuja distribuição plástica de tensões é apresentada na Figura 26.

Quando o eixo neutro plástico se localiza na parte nervurada do banzo de betão, torna-se impossível

determinar a posição exata do eixo neutro plástico, recorrendo apenas às equações de equilíbrio, uma

vez que secção de betão entre as nervuras é desprezada.

Nesse caso é necessário realizar uma análise não linear e considerar os diagramas de extensões. Outra

forma mais simples de obter o momento plástico resistente é calcular o braço (x) da força, medido entre

o centroide do banzo útil de betão e o centroide da secção de aço, dado pela expressão (2.64). Assim o

valor do momento plástico resistente pode ser obtido com base na expressão (2.65).

𝑥 = (𝑧𝐺)𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 + ℎ𝑝 +ℎ𝑐

2 (2.64)

𝑀𝑝𝑙 = 𝑥 × 𝑅𝑎 (2.65)

Figura 26 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado na zona nervurada

da laje


39

O terceiro caso surge se a força máxima no banzo de betão for inferior à força máxima no perfil de aço,

mas superior ou igual à força máxima na alma do perfil. A distribuição plástica de tensões é apresentada

na Figura 27.

Recorrendo às metodologias descritas inicialmente, o eixo neutro plástico e o momento fletor são dados

através das expressões (2.66) e (2.67) respetivamente.

𝑧𝑝𝑙 =𝑅𝑐 − 𝑅𝑤 − 𝑅𝑓1

2 𝑏𝑓2 𝑓𝑦,𝑓2+ ℎ −

𝑡𝑓2

2 (2.66)

𝑀𝑝𝑙 = 𝑅𝑐 × (ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 −ℎ𝑐

2− 𝑧𝑝𝑙) + (ℎ − 𝑧𝑝𝑙)

2×

𝑏𝑓2

2× 𝑓𝑦,𝑓2

+ (𝑧𝑝𝑙 − 𝑡𝑓1 − ℎ𝑤)2

𝑏𝑓2

2 𝑓𝑦,𝑓2 + 𝑅𝑤 (𝑧𝑝𝑙 −

ℎ𝑤

2− 𝑡𝑓1) + 𝑅𝑓1 (𝑧𝑝𝑙 −

𝑡𝑓1

2)

(2.67)

Figura 27 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado no banzo superior do

perfil metálico


40

Caso o eixo neutro plástico se localize na alma do perfil metálico (Caso 4), a força máxima no banzo de

betão é inferior à força máxima na alma do perfil de aço. A distribuição plástica de tensões é apresentada

na Figura 28.

O eixo neutro plástico e o momento fletor são calculados através das expressões (2.68) e (2.69)

respetivamente.

𝑧𝑝𝑙 =𝑅𝑓2 + 𝑅𝑐 − 𝑅𝑓1

2 𝑡𝑤 𝑓𝑦,𝑤+ 𝑡𝑓1 +

ℎ𝑤

2 (2.68)

𝑀𝑝𝑙 = 𝑅𝑐 × (ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 −ℎ𝑐

2− 𝑧𝑝𝑙) + 𝑅𝑓2 (ℎ −

𝑡𝑓2

2− 𝑧𝑝𝑙) + (ℎ𝑤 + 𝑡𝑓1 − 𝑧𝑝𝑙)

2 𝑡𝑤

2 𝑓𝑦,𝑤

+ (𝑧𝑝𝑙 − 𝑡𝑓1)2

𝑡𝑤

2 𝑓𝑦,𝑤 + 𝑅𝑓1 (𝑧𝑝𝑙 −

𝑡𝑓1

2)

(2.69)

Segundo vários ensaios experimentais, geralmente o esmagamento do betão ocorre depois da cedência

do perfil metálico. No entanto, em perfis constituídos por aços de elevada resistência, isto é aço de

classes de resistência superiores a S355, verificou-se o esmagamento do betão, antes que toda a secção

do perfil metálico atingisse a cedência. Assim se justifica que na secção 6.2.1.2 do EC4-1-1 [3] seja

exigido que o momento fletor plástico resistente de secções mistas compostas por um perfil metálico de

elevada resistência seja reduzido através do coeficiente β (dependente da relação xpl/htotal) ou, caso

necessário, obtido através de uma análise não linear. O esmagamento prematuro do banzo de betão tem

impacto na capacidade de rotação das rótulas plásticas da viga mista [22].

Figura 28 - Distribuição plástica de tensões quando o eixo neutro plástico está localizado na alma do perfil

metálico


41

Todavia, desde que o aço não exceda a Classe S355, o EC4-1-1 [3] considera que a capacidade de

rotação é suficiente. O presente documento baseia-se apenas no estudo de vigas mistas compostas por

perfis de Classe S355 ou inferior, não tendo, por isso, em consideração a redução do valor do momento

plástico resistente.

Esforço Transverso

A quantificação exata do esforço transverso resistente de uma viga mista não é um processo simples,

dada a difícil quantificação da parcela que é resistida pelo banzo de betão. A contribuição do banzo de

betão depende essencialmente da conexão, da armadura transversal existente na laje e da existência ou

não de fendilhação no betão.

De forma simplificada, admite-se que o esforço transverso é resistido na totalidade pela alma do perfil

metálico. Em vigas simplesmente apoiadas, como o banzo de betão está à compressão, esta hipótese é

conservativa. Assim, o esforço transverso resistente da secção mista é igual ao esforço de corte resistente

do perfil metálico, dado pela expressão (2.70), em que Av é igual à área da alma do perfil. Se a relação

indicada na expressão (2.71) se verificar, a segurança da viga mista em relação ao esforço transverso é

satisfeita.

𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑 = 𝑉𝑝𝑙,𝑎,𝑅𝑑 =

𝐴𝑣 (𝑓𝑦

√3)

𝛾𝑀0

(2.70)

𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑 ≤ 1.0 (2.71)

Interação Momento Fletor – Esforço Transverso

Este problema coloca-se em apoios internos de vigas contínuas, onde a secção está sujeita

simultaneamente a momento fletor e a esforço transverso apreciáveis. Contudo, desde que o esforço

transverso atuante seja inferior a metade do esforço transverso plástico resistente, a interação entre

momento fletor e esforço transverso pode ser desprezada, uma vez que o esforço transverso atuante não

provoca redução do valor do momento fletor resistente.

Figura 29 - Fator de redução β de Mpl (extraído da NP EN 1994-1-1 [3])


42

2.3.7.2.Verificação da Resistência à Encurvadura por Esforço Transverso

A resistência da alma à encurvadura por esforço transverso é determinada de acordo com a secção 5 da

NP EN 1993-1-5, seguindo o processo descrito para a verificação da encurvadura por esforço transverso

do perfil metálico. De igual forma, este cálculo pode ser dispensado se a relação apresentada na

expressão (2.18) for satisfeita para vigas de almas não betonadas e sem reforços intermédios.

É importante ter em conta, também, que esta verificação deve ser realizada tanto na fase construtiva (no

caso de a viga não ser escorada durante a construção) como na fase de funcionamento misto da viga.

2.3.7.3.Verificação da Resistência ao Corte Longitudinal de Vigas Mistas Sem Chapa Perfilada

A verificação da resistência ao corte longitudinal de vigas mistas em relação ao estado limite último é

efetuada com base na secção 6.6 da NP EN 1994-1-1. Contudo, esta verificação não foi implementada

na ferramenta de cálculo desenvolvida por consistir numa verificação de pormenor, tendo sido apenas

calculado o número de conetores de corte necessários para existir conexão total entre a laje de betão e o

perfil metálico.

Em vigas cuja secção transversal seja de classe 3 ou 4, calculadas pela teoria elástica, o esforço de corte

longitudinal deve seguir as disposições descritas em 6.2.1.4 da norma europeia. Por outro lado, em vigas

de secção transversal pertencente à classe 1 ou à classe 2, o esforço de corte longitudinal deve seguir as

disposições descritas em 6.2.1.2 ou 6.2.1.3 do EC4-1-1, conforme a conexão seja total ou parcial.

Para secções transversais das classes 3 e 4, apenas é permitido um cenário de conexão total. Já nos casos

em que as secções transversais estejam sujeitas a momento fletor positivo e pertençam às classes 1 ou

2, como é o caso estudado, a norma europeia permite a adoção de uma conexão parcial, que depende do

vão da viga e da classe de resistência do aço estrutural e que resulta na diminuição da força de

compressão no banzo de betão. Contudo, neste último caso é exigido um grau mínimo de conexão.

Os conetores podem ser espaçados uniformemente entre secções críticas se apresentarem um

comportamento dúctil e se essas secções transversais críticas (enunciadas na página 34) pertencerem às

Classes 1 ou 2. Além disso, é necessário que o grau mínimo de conexão seja satisfeito e que o momento

fletor plástico resistente da secção mista não seja superior a duas vezes e meia o momento fletor plástico

resistente da secção metálica. Para as secções transversais mistas de classe 3 ou 4, esta última verificação

não tem significado, uma vez que não é permitida a conexão parcial.

Se a conexão for total, isto é, se a força de compressão existente no banzo de betão, 𝑁c , for igual à força

de compressão no betão num caso de conexão total, Nc,f, no cálculo da força de corte longitudinal deverá

ser tido em conta o artigo 6.2.1.2. Já se a conexão for parcial, ou seja, 𝑁c = η Nc,f, sendo Nc,f =

min{Ra; Rc}, no cálculo da força de corte longitudinal deverá ser tido em conta o artigo 6.2.1.3.

Assim o número de conetores necessário, ni, a dispor num comprimento crítico, 𝐿𝑖 é dado pela seguinte

equação:

𝑛𝑖 ≥ 𝑉𝐿𝑖

𝑃𝑅𝑑 (2.72)


43

A determinação da força de corte longitudinal, 𝑉Li segue uma análise concordante com a análise

efetuada na determinação do momento fletor resistente das secções críticas. Ou seja, é calculada por

uma análise elástica se a secção transversal crítica pertencer à Classe 3, ou através de uma análise

plástica no caso de a secção transversal pertencer à Classe 1 ou à Classe 2.

Armadura Transversal

Para além dos conetores de corte, é também colocada, na laje de betão, uma armadura transversal abaixo

da cabeça do conetor, que contribui para a transmissão das forças de corte longitudinais do perfil

metálico para o betão. Na atual norma europeia relativa a este tipo de estruturas mistas, a verificação de

segurança da armadura transversal em relação ao Estado Limite Último é realizada com base num

modelo de escoras e tirantes, sendo as expressões a usar no cálculo idênticas às utilizadas no cálculo das

estruturas de betão, apresentadas nas secções 6.2.4 e 6.2.5 do Eurocódigo 2 – Parte 1-1. No entanto,

como o cálculo da armadura transversal da viga não se enquadra nos objetivos definidos para esta

dissertação e por não corresponder a um parâmetro essencial na implementação da ferramenta de cálculo

desenvolvida, não foram aprofundados mais conceitos acerca da mesma.

2.3.7.4.Verificação da Resistência às Forças Transversais nas Almas

A verificação de segurança às forças transversais nas almas, em Estado Limite Último, é efetuada nos

casos em que a secção transversal seja de classe 3, mas em que se opta por utilizar no cálculo uma secção

efetiva de classe 2, através do “método do buraco na alma”, baseando-se nas disposições da secção 6.5

da NP EN 1994-1-1. Neste documento, não será dado enfase a este tipo de secções, não tendo sido, por

isso, considerado necessária a realização desta verificação.

2.3.7.5.Verificação da Resistência à Encurvadura Lateral

O fenómeno de encurvadura lateral em vigas metálicas constituídas por uma secção transversal em I já

foi abordado na subsecção 2.2. Desta forma, facilmente se compreende que em vigas mistas, cuja

construção não seja escorada, este fenómeno pode ocorrer durante a betonagem do banzo de betão.

Contudo, após o endurecimento do betão, a laje ligada ao perfil metálico através de conetores impede a

encurvadura lateral do perfil metálico. Assim, numa secção sujeita a momento fletor positivo, o banzo

superior já não irá tender a deslocar-se lateralmente, uma vez que este se encontra restringido pelo banzo

de betão.

A necessidade de verificar a resistência à encurvadura lateral surge apenas nas secções dos apoios

intermédios de vigas contínuas, dado que o banzo inferior estará comprimido e não dispõe de travamento

lateral adicional à alma. Contrariamente ao que acontece nas secções de aço, nas secções mistas, o banzo

de betão irá impedir que o perfil metálico rode em torno de si mesmo. Nestas situações, se a alma fletir,

o banzo inferior comprimido irá encurvar, originando uma distorção da secção transversal da viga mista.


44

2.3.8.ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Os princípios descritos na secção 3.4 da EN 1990 relativamente aos estados limites de serviço deverão

ser satisfeitos no projeto e construção de vigas mistas.

Relativamente aos limites máximos admissíveis da flecha, o EC4-1-1 [3] estabelece os mesmos valores

que o EC3-1-1 [8], apresentados na Tabela 2 e ilustrados na Figura 13 deste documento.

As verificações de segurança a efetuar em estados limite de serviço tem por base critérios semelhantes

aos da verificação do mesmo estado limite para as estruturas metálicas simples referidas em 2.2.

Também na análise de secções mistas, deverão ser consideradas as combinações apropriadas aos

requisitos de utilização e ao desempenho da estrutura. Geralmente, para os estados limites irreversíveis

deverá ser utilizada a combinação de ações característica e para os estados limites reversíveis a

combinação de ações frequente. Em relação aos estados limites que abrangem os efeitos de longo prazo

e de aspeto da estrutura é utilizada, normalmente, a combinação quase permanente de ações. Os

coeficientes parciais de segurança relativos às ações, a considerar no cálculo dos Estados Limites de

Utilização, são de valor unitário, salvo indicação contrária expressa no EC0 [4].

Também como nas estruturas metálicas, abordadas anteriormente, os critérios de utilização deverão ser

especificados e acordados com o Dono de Obra e/ou ser definidos no Anexo Nacional [18] para cada

projeto.

Na tabela seguinte são indicados os limites máximos das tensões nos vários elementos estruturais

constituintes da secção mista, consoante as combinações de ações adotadas na verificação de segurança

aos Estados Limites de Utilização.

Tabela 5 - Valores recomendados para os limites de tensões nos Estados Limites de Serviço

Perfil Betão Comprimido Aço Estrutural Armaduras Chapa

Perfilada

Limite de tensões

𝜎𝑐 ≤ 0.45 𝑓𝑐𝑘

𝜎𝑐 ≤ 0.60 𝑓𝑐𝑘

𝜎𝑎 ≤ 𝑓𝑦 𝜎𝑠 ≤ 0.80 𝑓

𝑠𝑘 𝜎𝑝 ≤ 𝑓

𝑦𝑝

Combinação de Ações

Quase permanente

Característica Característica Característica Característica

O EC4-1-1 [3] tem em consideração a minimização de cálculo, no que se refere à análise global nos

Estados Limites de Utilização. Uma vez que, o projeto de estruturas é iniciado, geralmente, pela análise

dos Estados Limites Últimos e só depois são efetuadas as verificações correspondentes ao Estados

Limites de Utilização, o EC4-1-1 [3] possibilita a utilização dos modelos da análise dos estados limites

últimos para a verificação dos estados limites de serviço, dado que, na maior parte da situações, a

verificação dos primeiros satisfaz a verificação dos segundos.

O efeito de Shear Lag é considerado da mesma forma que no Estado Limite Último, que tem por base

os conceitos apresentados na secção 2.3.4. É relevante referir que a adoção do mesmo valor da largura

efetiva do banzo de betão obtida em E.L.U na verificação dos estados limites de serviço é tida como

conservativa, pois este efeito tem menor importância nos estados limites de utilização que nos estados

limites últimos.


45

Na presença de momentos fletores negativos na viga, os estados limites de utilização devem incluir o

efeito da fendilhação do betão. Este efeito deverá ser considerado se a tensão na fibra extrema mais

tracionada de betão, obtida a partir de uma análise não fendilhada, exceder o dobro do valor médio da

tensão do betão à tração (𝑓𝑐𝑡𝑚). No caso de este efeito ser considerado deverá ser efetuada uma análise

fendilhada.

Para além dos efeitos da fendilhação é necessário ter em consideração os efeitos da fluência e retração

do betão. O efeito da fluência pode ser contabilizado através do coeficiente de homogeneização em

função do tipo de cargas, obtido através da expressão (2.73).

𝑛𝐿 = 𝑛0 (1 + 𝜓𝐿 𝜑𝑡) (2.73)

Em que:

• 𝑛0 = 𝐸𝑎

𝐸𝑐𝑚;

• 𝐸𝑐𝑚 é o módulo de elasticidade secante para as ações de curta duração, de acordo com o Quadro

3.1 do EC2-1-1;

• 𝜑𝑡 é o coeficiente de fluência φ(t,t0) indicado na secção 3.1.4 do EC2-1-1 [21], dependente da

idade (t) do betão na data considerada e da idade (t0) na data de carregamento;

• 𝜓𝐿é o coeficiente multiplicativo da fluência em função do tipo de carregamento, cujos valores

recomendados são especificados no EC4-1-1 [3] na cláusula 5.4.2.2(2);

Na secção 5.4.2.2(11) [3] admite ainda uma simplificação na consideração dos efeitos da fluência. Em

estruturas de edifícios de nós fixos (𝛼𝑐𝑟 ≥ 10), que não se destinem à armazenagem e que não sejam

pré-esforçadas por deformações impostas controladas, os efeitos da fluência podem ser considerados

através do coeficiente de homogeneização nominal (n), que transforma as áreas de betão em áreas de

aço equivalentes e cujo valor é dado pela expressão (2.74).

𝑛 =𝐸𝑎

𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓=

𝐸𝑎

𝐸𝑐𝑚2⁄

=2 𝐸𝑎

𝐸𝑐𝑚 (2.74)

Outro aspeto importante a ter em conta na verificação em Estado Limite de Utilização é o faseamento

construtivo, isto é, no caso de a viga não ser escorada durante a fase de betonagem deve ser considerado

o cálculo da flecha devido às cargas permanentes e às sobrecargas de construção, para além do cálculo

da flecha na fase mista.


46


47

3 IMPLEMENTAÇÃO DE UMA FERRAMENTA PARA O CÁLCULO OTIMIZADO DE PERFIS

RECONSTITUÍDOS SOLDADOS

3.1. DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS

Numa primeira fase começou por ser desenvolvida uma ferramenta de cálculo informática que

permitisse o dimensionamento de perfis metálicos reconstituídos soldados, de acordo com as normas

europeias atuais, para ações gravíticas. Mais tarde, procurou-se desenvolver uma ferramenta capaz de

incluir o dimensionamento de vigas de secção mista aço-betão, de modo a aproveitar o funcionamento

conjunto mais eficaz destes dois materiais.

Todo o código foi desenvolvido em Python 3.7.3, permitindo a livre utilização desta ferramenta de

cálculo por qualquer utilizador. Para além disso existiu a preocupação de permitir a atualização futura

dos custos parciais associados ao fabrico, montagem e soldadura do perfil reconstituído soldado.

Neste capítulo são ainda apresentados alguns exemplos que validam o processo de dimensionamento da

viga na ferramenta de cálculo desenvolvida.

Nesta ferramenta foi integrado um algoritmo de otimização, que permite obter para cada solução

(metálica ou mista) a geometria otimizada do PRS, através da minimização do seu custo. No presente

capítulo é introduzido o conceito de algoritmo de otimização e é explicado de uma forma simplificada

o funcionamento de um algoritmo de pesquisa harmónica (Harmony Search Algorithm).

Este capítulo tem também como objetivo proporcionar ao utilizador uma fácil compreensão acerca do

funcionamento do programa e permitir o desenvolvimento futuro do presente trabalho.

3.2.INTRODUÇÃO DE DADOS

A ferramenta desenvolvida engloba dois processos: o primeiro executa o dimensionamento da viga,

dadas as propriedades geométricas, os materiais, as ações, entre outras; a segunda executa o algoritmo

de otimização e devolve a geometria do PRS mais económico, dados determinados parâmetros de

introdução. Tanto no primeiro como no segundo caso a introdução de dados é feita através de um ficheiro

de texto, podendo também ser efetuada através de outros ficheiros nomeadamente do Excel, do Google

Sheets, etc.


48

3.3. COMPONENTES DO CÓDIGO PYTHON

Para uma melhor compreensão do trabalho desenvolvido serão introduzidos alguns dos conceitos

inerentes à linguagem de programação Python.

Todo o código Python está contido em ficheiros com extensão própria .py. Estes ficheiros Python são

corretamente designados por módulos. Através da expressão import é possível num módulo executar

um código pertencente a outro módulo. Assim, foi possível dividir o código em vários módulos,

permitindo uma programação organizada, onde a deteção de erros ou falhas é mais eficaz.

Dentro de cada módulo a informação é gerada através de variáveis, funções, classes, entre outros.

As variáveis, em qualquer linguagem de programação consistem nos elementos mais básicos onde pode

ser guardada a informação. Em Python, estas podem ser do tipo string (sequência de carateres, sendo

escrito entre parênteses ou entre pelicas), do tipo integer (número inteiro) ou do tipo float (número real).

As variáveis podem também definir dados com diferentes estruturas, nomeadamente através de tuples,

de listas ou de dicionários. Os tuples correspondem ao tipo de estrutura mais básica, não podendo ser

modificados após a sua criação. As listas correspondem a uma sequência ordenada de variáveis, que

podem ser obtidas através do seu índice. Os dicionários correspondem à forma de armazenamento de

informação mais completa, em que a uma chave corresponde uma ou mais variáveis. É também

importante notar que as listas e os dicionários são, de entre as referidas, as formas mais úteis de

armazenamento de informação, uma vez que são atualizáveis [23].

Relativamente às funções, apesar de estarem relacionadas com a entrada de dados (input) e obtenção de

um determinado resultado (output), em Python, estas poderão não retornar nenhum resultado e alterar

apenas de uma parte do código. Na Figura 30 é apresentada um exemplo de criação de uma função.

O Python é uma linguagem de programação orientada por objetos. As classes str, int ou float são classes

nativas do Python. No entanto, no desenvolvimento do código para resolver determinado problema

torna-se necessária a criação de novas classes, que definem as características de determinados objetos.

A criação de uma classe inicia-se tal como é apresentado na Figura 31 para criação da classe Slab. O

código ganha alguma complexidade quando se pretende atribuir características específicas a esse objeto,

sendo, nesse caso, necessária uma função construtora _init_(), que define os parâmetros que devem ser

introduzidos quando o objeto classe é gerado.

Figura 30 - Criação de uma Função em Python


49

3.4. ORGANIZAÇÃO DA FERRAMENTA DE CÁLCULO

No desenvolvimento da ferramenta procurou-se estruturar o problema em vários módulos que

permitissem organizar de uma forma clara todo este processo. O modelo elaborado é composto por um

módulo ou objeto principal, main, que agrega toda a informação introduzida inicialmente.

A ferramenta de cálculo foi concebida de modo a calcular dois tipos de secções transversais, tal como

foi explicado anteriormente. Assim, no momento de introdução de dados, o utilizador terá que

especificar que tipo de secção pretende analisar. No caso da secção apresentar uma laje de betão (ℎ𝑐 ≠

0), a ferramenta efetua o cálculo de uma viga mista. Pelo contrário, se a altura do banzo de betão for

nula (ℎ𝑐 = 0), a secção transversal será composta apenas pelo PRS e a ferramenta efetuará o cálculo

metálico do mesmo. Na Figura 32 é apresentado o esquema de funcionamento da ferramenta de cálculo

desenvolvida.

Na Figura 33 é apresentado um diagrama UML (Linguagem de modelagem unificada), com o objetivo

de explicar o funcionamento global da ferramenta desenvolvida com recurso a uma linguagem de

programação orientada por objetos e permitir a interoperabilidade da mesma.

Figura 31- Criação de uma Classe em Python

Figura 32 - Esquema de funcionamento da ferramenta de cálculo desenvolvida para o cálculo da viga


50

A Classe Steel_Section recebe as caracteristicas do material Steel, mediante a classe de aço considerada

e a Classe Composite_Section recebe as caracteristicas do material Steel e de uma laje (Slab), que, no

caso estudado, recebe as características do betão (Concrete) e da chapa perfilada (Ribbed_Steel_Plate).

A Classe Steel_Beam é instanciada pela Classe Steel Section e a Classe Composite_Beam é instanciada

pela Classe Composite_Section, como se observa no diagrama apresentado.

O algoritmo de otimização encontra-se num package diferente do restante do código, sendo acedido

através de um servidor.

Figura 33 - Esquema global de funcionamento do programa desenvolvido através de um diagrama UML


51

3.4.1.DIMENSIONAMENTO DO PRS

Como já foi referido anteriormente, a ferramenta está dividida por módulos, estando cada módulo

associado à criação de uma classe, com exceção do módulo principal, main.py, que adquire e interliga

os objetos criados nos demais módulos e os executa.

Desta forma, para o cálculo do perfil metálico reconstituído soldado foram criadas as classes seguintes,

que compõem os vários módulos, criados com o mesmo nome:

• main;

• Steel;

• Steel_Section;

• Steel_Beam.py.

Através da introdução de dois parâmetros, nomeadamente da Classe de Resistência do Aço e da

espessura do elemento do perfil metálico (banzo inferior, alma ou banzo superior), a Classe Steel em

Steel.py define as propriedades 𝑓𝑦 (tensão de cedência), 𝑓𝑢 (tensão de rotura) e 𝛽𝑤, que caracterizam o

aço estrutural.

A Classe Steel_Section define as propriedades brutas, efetivas e as propriedades para cálculo plástico.

Além disso, efetua a classificação da secção transversal à compressão e à flexão simples, separadamente

e calcula, ainda, as propriedades resistentes da secção. Nesta classe são criadas funções, nomeadamente

para cálculo da área, da inércia, da posição do eixo neutro, das propriedades resistentes da secção, entre

muitas outras.

A classificação da secção transversal é realizada nesta Classe de acordo com as normas em vigor, mais

concretamente, nas regras descritas no segundo capítulo deste documento.

Em particular, o cálculo dos momentos resistentes elástico e efetivo da secção são realizados com base

no momento mínimo resistente da secção, considerando as secções críticas da secção transversal e a

tensão normal máxima nas fibras extremas dos elementos (ver Figura 34). Ou seja, a determinação dos

momentos resistentes elástico e efetivo da secção não é realizada pelo método indicado no EC3-1-1 [8],

que recorre à definição do Módulo de Flexão da secção transversal, cujos valores dependem da

classificação da secção, apresentados nas as expressões (2.9) e (2.10) deste trabalho.

Como as placas que constituem a secção transversal do PRS, apesar de partilharem a mesma classe de

resistência, poderão ter espessuras diferentes, às quais estejam associadas diferentes tensões de cedência

e de rotura, é importante que o valor do momento resistente da secção do PRS preveja esta

particularidade. Assim, facilmente se compreende que o método utilizado na determinação do momento

fletor resistente, apresentado na Figura 35 seja diferente do proposto pela norma europeia.


52

Pela mesma razão indicada anteriormente, o cálculo do momento fletor plástico da secção é efetuado

através do método apresentado na Figura 36, que tem em consideração a posição do eixo neutro plástico

na secção transversal.

Figura 35 - Função de cálculo do Momento fletor elástico resistente

Figura 34 - Distâncias às fibras críticas da secção transversal para um exemplo de cálculo do momento

elástico resistente


53

A Classe Steel_Beam define as propriedades da viga constituída por um PRS, calcula esforços máximos

atuantes e a flecha máxima, efetua as verificações de segurança necessárias e calcula o custo da viga.

As verificações de segurança seccionais a efetuar com base no Eurocódigo 3 – Parte 1-1, apresentadas

em 2.2.5.1 do presente trabalho, foram também implementadas no código.

Para além das verificações seccionais, é necessário efetuar a verificação de segurança da viga

relativamente à ocorrência de fenómenos de encurvadura lateral. Este fenómeno já foi tratado na secção

0 deste documento. As expressões que permitem calcular o valor de cálculo do momento fletor resistente

à encurvadura, bem como os eventuais travamentos laterais existentes na viga, foram implementados

em Python.

Neste módulo, são ainda dimensionados os cordões de soldadura responsáveis pela ligação dos banzos

à alma, para o máximo esforço de corte atuante na viga, em Estado Limite Último, de acordo com os

procedimentos apresentados na secção 2.2.7. Como os valores da espessura dos elementos constituintes

da secção podem ser muito díspares, foi prevista a eventual necessidade de considerar diferentes

espessuras para os cordões de soldadura dos banzos superior e inferior. Desta forma, a função

responsável pela determinação da largura efetiva dos cordões de soldadura inferior e superior também

foi implementada no código desenvolvido.

Além das verificações de segurança em Estado Limite Último, este módulo inclui, também, a verificação

de segurança em relação à deformação da viga em Estado Limite de Utilização, com base nos princípios

abordados em 2.2.6 deste documento.

Depois de implementados todos os parâmetros definidores da viga, é possível calcular o seu custo. Os

custos associados à construção da viga, em fábrica, correspondem aos custos de compra das

placas/chapas (ou de compra de barras, consoante o caso), de corte (no caso das chapas), aos custos

associados às soldaduras das ligações e ao “retrabalho” necessário. Dado que os valores dos custos

associados às várias fases de construção, na sua maioria, são variáveis de projeto para projeto e estão

dependentes dos fornecedores ou mesmo da disponibilidade dos materiais em stock, há uma necessidade

constante de alteração dos mesmos. Desta forma, a ferramenta prevê a alteração dos diferentes custos,

uma vez que as respetivas variáveis fazem parte do módulo principal de introdução de dados e, portanto,

são atualizáveis cada vez que o algoritmo de otimização é executado.

Figura 36 - Função de cálculo do momento fletor plástico resistente da secção


54

De forma a concluir a implementação do dimensionamento da viga metálica e com o intuito de sintetizar

toda a informação indispensável à viga, é finalmente criado um objeto result, que devolve a informação

mais relevante resultante do cálculo da viga, nomeadamente, a informação acerca da verificação de

segurança da viga, os rácios obtidos nas várias verificações efetuadas e o custo total da viga.

Após a definição das Classes que permitem definir todos os parâmetros associados à viga constituída

pelo PRS, procede-se à criação das Classes que definem a viga mista aço-betão.

3.4.2.DIMENSIONAMENTO DA VIGA MISTA

Para o cálculo da viga mista composta pelo perfil metálico reconstituído soldado e pelo banzo de betão

foram executados os seguintes módulos:

• main.py - módulo principal, que adquire e interliga os objetos criados nos restantes módulos e

os executa.

• Steel.py;

• Concrete.py;

• Connectors.py;

• Ribbed_Steel_Plate.py;

• Slab.py;

• Steel_Section.py;

• Steel_Beam.py;

• Composite_Section.py;

• Composite_Beam.py

Os módulos referentes ao cálculo da viga metálica simples (PRS) foram tidos em consideração também

na definição da viga mista.

Primeiro, foi criado um módulo para a definição e classificação da secção mista, composto pela Classe

Composite_Section, que é caracterizada pelas Classes Slab e Steel_Section. Por sua vez, a Classe Slab

especifica as propriedades do banzo de betão, tendo em conta a Classe Concrete e a Classe Classe

Ribbed_Steel_Plate, caso exista.

Seguidamente, é criado o módulo Composite_Beam.py, que é responsável por determinar as

propriedades resistentes e atuantes da viga mista, dimensionar as ligações soldadas e calcular o custo da

viga.

Para além das verificações de segurança em Estado Limite Último, este módulo inclui a verificação de

segurança em relação à deformação da viga em Estado Limite de Utilização. Nos casos em que a viga

não é escorada na fase de construção, a verificação da flecha máxima admissível é efetuada tendo em

conta os limites para a fase construtiva (fase metálica) e para a fase de funcionamento misto da viga, de

acordo com as regras descritas em 2.3.8 do presente trabalho.


55

Depois de serem implementados todos os parâmetros que definem a viga mista, é possível calcular o

seu custo. Os custos associados à construção da viga, em fábrica, correspondem aos custos já enunciados

para o fabrico do PRS em adição ao custo dos conetores de corte. Também para a viga mista, pelas

mesmas razões referidas no subcapítulo anterior relativas aos custos inerentes ao fabrico do PRS, a

ferramenta prevê a atualização dos custos parciais, dado que as respetivas variáveis fazem parte do

módulo main.py de introdução de dados. A função calc_connectors_cost() devolve o custo total dos

conetores na viga, sendo n_sc o número de conetores necessário na viga (num cenário de conexão total).

A função calc_CompBeam_total_cost() calcula o custo total do fabrico do perfil metálico com os perno

de cabeça soldados em fábrica da viga mista. É também importante referir que no âmbito deste trabalho

não foram considerados os custos associados à laje de betão.

Finalmente, com o objetivo de sintetizar toda a informação indispensável à viga, é criado um objeto

result, que devolve o resultado das verificações de segurança realizadas para a viga mista e os respetivos

rácios, bem como o seu custo total.

3.4.3. CÁLCULO DO CUSTO DA VIGA

A fim de obter uma estimativa de custo para a viga estudada foram considerados vários parâmetros

associados ao seu fabrico e conceção.

O primeiro parâmetro tido em consideração foi o modo de fornecimento dos vários elementos que

constituem o PRS, isto é, se os elementos seriam provenientes de chapas ou de barras. Se os elementos

fossem constituídos por barras, não seria necessário considerar, à partida, o corte das mesmas, enquanto

que, se os elementos forem construídos a partir de chapas, teria que ser considerado o corte das mesmas.

Dado que a empresa associada dispunha de uma máquina de corte Plasma e por consistir numa forma

adequada e eficaz para o corte de chapas deste tipo de perfis, foi analisado e estimado este método de

corte. A velocidade de corte da máquina depende de vários fatores, como por exemplo da espessura das

chapas metálicas a cortar, das dimensões do corte, da potência de alimentação da máquina, entre outros

fatores. Assim, é possível concluir que a velocidade média de corte da chapa considerada, vm_cut, na

determinação do custo da viga depende de todos estes fatores e, por isso, o valor considerado é um valor

aproximado.

Desta forma, foi implementado na ferramenta o cálculo do custo da chapa que é dado pelo produto do

custo médio das chapas por tonelada (635 €/ton) pela área da secção transversal multiplicada pelo peso

volúmico do aço (7.850 ton/m3) e pelo comprimento total da viga.

O custo do corte da chapa é calculado através da expressão seguinte:

𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜_𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒_𝑃𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎

60× ((

1

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚é𝑑𝑖𝑎_𝑃𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎

× ∑ 𝑃𝑖) + 40) (3.1)

Em que:

• 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒_𝑃𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 = 75 €/h;

• 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚é𝑑𝑖𝑎_𝑃𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 = 2.5 𝑚/𝑚𝑖𝑛;

• 𝑃𝑖 representa o perímetro longitudinal do elemento i constituinte do PRS.


56

Os tempos e os consequentes custos associados à execução de soldaduras dependem do tipo de soldadura

adotado. A técnica de soldadura considerada na solução da viga foi a soldadura por arco submerso, que

consiste numa técnica muito eficaz e com grande capacidade de produção. O cálculo da estimativa do

custo das ligações soldadas é realizado com base no número de passagens necessário para conferir ao

cordão de soldadura a espessura pretendida. Assim, foi considerado um custo por hora para a soldadura

de 20 €/h (arco submerso) e uma velocidade de avanço de 0.45 m/min. Considerou-se, ainda, que cada

passagem estava associada a um cordão com uma garganta máxima de 5 mm. Sendo 𝑛1 e 𝑛2o número

de passagens necessário para garantir a espessura dos cordões de soldadura de ligação dos banzos

inferior e superior, respetivamente, à alma, a expressão seguinte apresenta o cálculo do custo total

associado às ligações soldadas alma-banzo.

𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜_𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎𝑠 =𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎_𝑝𝑜𝑟_ℎ𝑜𝑟𝑎

60× ((

𝐿 × 2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑎𝑣𝑎𝑛ç𝑜

) × (𝑛1 + 𝑛2)) (3.2)

Além disso, foi considerado um custo e tempo para o “retrabalho” associado à eventual necessidade de

desempeno e correção do perfil. Apesar de o custo e o tempo despendido relativamente ao “retrabalho”

depender do comprimento e do peso da viga, foi considerada uma duração média de 15 minutos e um

custo de 15 €/h para o mesmo.

Na conceção da viga mista, para além dos custos referidos anteriormente, acresce o custo dos conetores

necessários na ligação do perfil metálico com o banzo de betão. O custo considerado para cada conetor,

incluindo a sua montagem no perfil foi de 0.50 €, que tem uma contribuição muito reduzida, no custo

total da viga.


57

3.5.VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA DE CÁLCULO

A validação da ferramenta de cálculo foi realizada através do recurso a exemplos disponíveis na

bibliografia.

3.5.1.VALIDAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DO PRS

Nomeadamente para a validação do cálculo das propriedades brutas, efetivas e resistentes da secção

transversal do PRS recorreu-se a alguns exemplos presentes no Manual de Dimensionamento de

Estruturas Metálicas: Métodos Avançados [24].

O uso de secções esbeltas consiste numa alternativa competitiva, pois permite uma maior otimização no

dimensionamento, mesmo que o seu uso implique a limitação das tensões máximas. Além disso, como

este tipo de secções (de classe 4) apresentam uma maior complexidade de cálculo quando comparadas

com as secções das classes 1, 2 ou 3, a validação dos resultados realiza-se de modo mais eficiente, na

medida em que permite detetar eventuais erros de uma forma mais rápida e eficaz. Assim, é demonstrada

a validade dos resultados obtidos pela comparação com os exemplos 4.1 e 4.3. No entanto, a ferramenta

deverá ser validada para um conjunto mais abrangente de vigas, de forma a contemplar todos os cenários

possíveis de verificação de segurança.

Os exemplos para validação apresentam uma secção bissimétrica, constituída por um aço de classe de

resistência S355 e com a geometria apresentada na tabela seguinte.

Tabela 6 - Geometria do Perfil

Banzo inferior 𝑏𝑓1 [mm] 350

𝑡𝑓1 [mm] 20

Alma ℎ𝑤 [mm] 1560

𝑡𝑤 [mm] 11

Banzo superior 𝑏𝑓2 [mm] 350

𝑡𝑓2 [mm] 20

De seguida são calculadas as propriedades geométricas da secção bruta e é efetuada a classificação da

secção. Nas tabelas Tabela 7 e Tabela 8 são apresentados os valores obtidos pela ferramenta de cálculo

e os valores obtidos no exemplo de aplicação do livro relativamente às propriedades geométricas da

secção bruta e à classificação da secção respetivamente.

Na ferramenta de cálculo desenvolvida foram admitidos valores da tensão de cedência diferentes para

cada elemento da seção, dada a variação da espessura do elemento. Contudo, no presente exemplo a

variação das espessuras, para esta classe de aço genérica, não implica a variação da tensão de cedência.

Ou seja, de acordo com os limites das espessuras presentados na Tabela 1, conclui-se que 𝑓𝑦,𝑏𝑜𝑡 =

𝑓𝑦,𝑤𝑒𝑏 = 𝑓𝑦,𝑡𝑜𝑝 = 355 𝑀𝑃𝑎 e, portanto, εy,bot = εy,web = εy,top = 0.81. Assim as expressões

utilizadas no cálculo destas propriedades são idênticas às expressões apresentadas no livro. Desta forma,

é necessário que os valores obtidos nos dois casos sejam muito semelhantes, tal como é comprovado

pela observação das tabelas seguintes.


58

Tabela 7 - Comparação dos resultados obtidos relativamente às propriedades geométricas da secção bruta

Propriedades geométricas da secção bruta

Ferramenta de Cálculo Exemplo

𝐴 [𝑚2] 0.03116 0.03116

𝑧𝐺 [𝑚]] 0.8 0.8

𝐼𝑦 [𝑚4] 0.012217915 0.0122179

𝐼𝑧 [𝑚4] 0.000143090 0.000143

Tabela 8 - Comparação dos resultados obtidos relativamente à classificação da seção

Esbelteza dos elementos da secção


botflange_slenderness 8.475 (𝑐𝑡⁄ )

Banzo inferior 8.475

web_slenderness 141.818 (𝑐𝑡⁄ )

𝐴𝑙𝑚𝑎 141.8

topflange_slenderness 8.475 (𝑐𝑡⁄ )

Banzo superior 8.475

Classificação da secção


Class_Mpos_BotFlange Classe 1 Banzo inferior Classe 1

Class_Mpos_Web Classe 4 Alma Classe 4

Class_Mpos_TopFlange Classe 3 Banzo superior Classe 3

Como a secção é de classe 4 é necessário calcular as propriedades efetivas da secção. O exemplo do

livro efetua o cálculo das propriedades efetivas de acordo com as regras e as expressões apresentadas

na secção 2.2.4 do presente documento. Desta forma, através da Tabela 9 são apresentados os valores

obtidos na ferramenta de cálculo e no exemplo de aplicação do livro relativamente a estas propriedades.


59

Tabela 9 - Comparação dos resultados obtidos para as propriedades efetivas da secção

Propriedades da secção

Exemplo de Aplicação Resolvido Resultados

da ferramenta de cálculo

Coeficiente de encurvadura da placa

𝑘𝜎 = 23.9 23.92

Esbelteza normalizada λ𝑝 =

𝑏𝑡

28.4 ɛ √𝑘𝜎

= 141,8

28.4 × 0.81 × √23.9= 1.26 1.255

Fator de redução da encurvadura

𝜌𝑐 = λ𝑝 − 0.55 (3 + 𝜓)

λ𝑝2 = 0.72 0.727

Comprimento efetivo da parte comprimida

da alma 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝜌𝑐

b

1 − 𝜓=

0.72

1 + 1= 0.56 𝑚 0.567 m

𝑏𝑒1 = 0.4 × 𝜌𝑐 = 0.22 𝑚 0.2268 m

𝑏𝑒2 = 0.6 × 𝜌𝑐 = 0.34 𝑚 0.3402 m

Área efetiva 𝐴𝑒𝑓𝑓 = 2 × 0.35 × 0.02 + 0.22 × 0.11 + 1.12 × 0.11

= 0.02874 𝑚2 0.02882 𝑚2

Posição do eixo neutro elástico efetivo

𝑧𝐺,𝑒𝑓𝑓 = 0.76 𝑚 0.7637 m

Inércia efetiva em torno de y

I𝑦,𝑒𝑓𝑓 = 117.0 × 10−4 𝑚4 117.04 × 10−4

𝑚4

Distância à fibra superior extrema

𝑧𝑒𝑓𝑓𝑡𝑜𝑝

= ℎ𝑤 + 𝑡𝑓1 + 𝑡𝑓2 − 𝑧𝐺,𝑒𝑓𝑓 = 0.84 𝑚 0.8363 𝑚

Distância à fibra inferior extrema

𝑧𝑒𝑓𝑓𝑏𝑜𝑡 = 𝑧𝐺,𝑒𝑓𝑓 = 0.76 𝑚 0.7637 m

Módulo de flexão elástico efetivo

𝑊𝑒𝑙,𝑒𝑓𝑓,𝑦𝑡𝑜𝑝

=I𝑦,𝑒𝑓𝑓

𝑧𝑒𝑓𝑓𝑡𝑜𝑝 =

117.0 × 10−4

0.84= 13936 × 10−6 𝑚3 N/A

Módulo de flexão elástico efetivo

𝑊𝑒𝑙,𝑒𝑓𝑓,𝑦𝑏𝑜𝑡 =

I𝑦,𝑒𝑓𝑓

𝑧𝑒𝑓𝑓𝑏𝑜𝑡 =

117.0 × 10−4

0.76= 15322 × 10−6 𝑚3 N/A

Módulo de flexão elástico efetivo mínimo

𝑤𝑒𝑓𝑓,𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛{𝑊𝑒𝑙,𝑒𝑓𝑓,𝑦𝑡𝑜𝑝

; 𝑊𝑒𝑙,𝑒𝑓𝑓,𝑦𝑏𝑜𝑡 } = 13936 × 10−6 𝑚3 N/A

Momento fletor resistente

em torno de y

𝑀𝑦,𝑅𝑑 = 𝑤𝑒𝑓𝑓,𝑦,𝑚𝑖𝑛 ×𝑓

𝑦

𝛾𝑀0

= 13936 × 10−6 ×355 × 10−3

1.00

= 4947.3 𝑘𝑁. 𝑚

4968.05 𝑘𝑁. 𝑚


60

No exemplo de aplicação 4.3.a) [22] é calculada a capacidade resistente à encurvadura por esforço

transverso da mesma secção transversal (não reforçada). Como esta verificação também foi

implementada na ferramenta de cálculo são apresentados na Tabela 10 os valores obtidos através da

mesma e os valores referidos no exemplo.

De acordo com a expressão (2.18) é necessário verificar a resistência à encurvadura por esforço

transverso, uma vez que esta condição não é satisfeita.

No exemplo 4.3.a) tem-se:

ℎ𝑤

𝑡𝑤 ≤ 72

휀

𝜂 ⇔ 141.8 ≤ 72 ×

0.81

1.2= 48.6 → 𝑲𝑶

Na ferramenta de cálculo desenvolvida tem-se:

ℎ𝑤

𝑡𝑤 ≤ 72

휀

𝜂 ⇔ 141.8 ≤ 72 ×

0.8136165

1.0= 58.58 → 𝑲𝑶

Em que η é um coeficiente que na ferramenta de cálculo, conservativamente, com base no regulamento,

foi tomado um valor unitário, mas que no exemplo de aplicação segue outro critério também apresentado

no regulamento, em que o parâmetro η toma o valor de 1.2.

Tabela 10- Comparação dos resultados obtidos na verificação da resistência à encurvadura por esforço

transverso

Resultados da ferramenta de cálculo

𝜂 𝑓𝑦𝑤 ℎ𝑤 𝑡

√3 𝛾𝑀1

= 3517.10 kN

𝜆𝑤 = 2.02 (expressão (2.22))

Reforços de extremidade não rígidos

𝛸𝑤 = 2.0174

𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 =𝛸𝑤 𝑓𝑦𝑤 ℎ𝑤 𝑡

√3 𝛾𝑀1

= 1446.99 kN ≤ 3517.10 kN

V𝐸𝑑 ≤ 𝑉𝑏𝑤,𝑅𝑑 = 1446.99 → OK


61

3.5.2.VALIDAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO DA VIGA MISTA

Com o objetivo de validar o processo de pré-dimensionamento da viga mista implementado na

ferramenta desenvolvida recorreu-se a alguns exemplos apresentados em Estruturas mistas de aço e

betão [22], nomeadamente o exemplo 5.4 que permitiu validar o cálculo do momento fletor plástico

resistente da secção. A secção transversal do referido exemplo encontra-se esquematizada na figura

seguinte.

Assim, a geometria da secção é indicada de acordo com a nomenclatura definida:

• Para o PRS metálico:

o 𝑏𝑓1 = 𝑏𝑓2 = 300 𝑚𝑚

o 𝑡𝑓1 = 𝑡𝑓2 = 24 𝑚𝑚

o ℎ𝑤 = 400 𝑚𝑚

o 𝑡𝑤 = 16 𝑚𝑚

• Para o banzo de betão:

o 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 2000 𝑚𝑚

o ℎ𝑐 = 150 𝑚𝑚

o ℎ𝑝 = 0 𝑚𝑚

As características dos materiais são apresentadas seguidamente:

• Aço estrutural S275;

• Betão C25/30.

Classificação da secção transversal à compressão:

• dos banzos do perfil:

(𝑐𝑡⁄ )

Banzos=

300 − 16

2 × 24= 5.92 ≤ 9 휀 = 8.32 → 𝐵𝑎𝑛𝑧𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 1

Figura 37 - Geometria da secção transversal da viga mista [22]


62

• da alma do perfil:

(𝑐𝑡⁄ )

Alma=

400

16= 25 ≤ 72 휀 = 66.56 → 𝐴𝑙𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 1

De seguida são calculadas as forças máximas associadas às várias zonas da secção transversal.

Tabela 11 - Forças máximas associadas às várias zonas da secção transversal

Força máxima nos elementos [kN]

Exemplo de Aplicação [kN]

Ferramenta de cálculo [kN]

𝑅𝑐 4258.5 4250

𝑅𝑎 5720 5720

𝑅𝑓1 1980 1980

𝑅𝑤 1760 1760

𝑅𝑓2 1980 1980

Os métodos utilizados para avaliar a posição do eixo neutro plástico e o valor momento fletor plástico

resistente não foram exatamente iguais aos métodos de cálculo adotados na ferramenta, uma vez que a

ferramenta efetua o cálculo exato e o exemplo considera um cálculo simplificado. Contudo, é expectável

que os valores sejam muito próximos entre si, como é comprovado na tabela seguinte. É ainda

importante frisar que a posição do eixo neutro na ferramenta desenvolvida é calculada a partir da base

da secção, ao contrário do cálculo efetuado para este parâmetro no exemplo do livro (medido a partir do

topo da secção). Assim, os valores de 𝑧𝑝𝑙 apresentados na tabela relativos ao exemplo do livro foram

convertidos para a convenção da ferramenta, isto é, 𝑧𝑝𝑙 = ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − (𝑧𝑝𝑙)𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑜

.

Exemplo de Aplicação Ferramenta de cálculo

𝑧𝑝𝑙 598 − 158.9 =

= 439.1 𝑚𝑚 439.09 𝑚𝑚

𝑀𝑝𝑙 1594.2 𝑘𝑁. 𝑚 1593.48 𝑘𝑁. 𝑚

Para além das verificações da qualidade dos resultados aqui apresentadas foi realizada, ao longo do

desenvolvimento da ferramenta de cálculo, a verificação dos resultados obtidos através do programa de

cálculo automático ABC 3.21 [25].


63

3.6.ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO

Ao processo de procurar a melhor solução para um dado problema entre um conjunto de possíveis

combinações de variáveis otimização dá-se o nome de otimização. Como o aço estrutural é um material

que apresenta um comportamento teórico muito semelhante ao real, o recurso a métodos de otimização

estrutural é altamente vantajoso no dimensionamento da estrutura. Além disso, a otimização ao nível do

dimensionamento estrutural pode representar grande economia no custo de grandes empreendimentos,

implicando o aumento da competitividade dos gabinetes de projeto. É visível também que o recurso à

otimização apresenta benefícios relativamente à poupança de material, promovendo a sustentabilidade.

Geralmente, a solução ótima é obtida através da minimização ou maximização da função objetivo. No

presente caso, a função objetivo é a função de custo da estrutura metálica em estudo, na qual é incluída

o acréscimo de uma penalização do custo que depende dos resultados das verificações regulamentares.

Em problemas de pequena dimensão e com poucas variáveis é possível chegar à solução ótima

manualmente por tentativas. Contudo, em problemas com maior número de variáveis, o aumento do

número de combinações possíveis aumenta de tal forma que se torna desadequada a procura manual ou,

até mesmo, a procura por tentativa de todas as combinações com recurso a um meio computacional.

De modo a resolver problemas semelhantes, têm sido desenvolvidos algoritmos que resolvem os

problemas de otimização de forma inteligente. Estes algoritmos podem ser de dois tipos, exatos ou

aproximados. Os algoritmos exatos garantem encontrar a solução ótima para qualquer instância de um

problema de otimização, mas a sua resolução implica muito tempo de computação. Já os algoritmos

aproximados realizam a pesquisa da melhor solução no intervalo de tempo definido pelo utilizador, mas

não garantem que a solução encontrada seja a melhor solução para o problema.

Entre os vários algoritmos aproximados existentes destacam-se os algoritmos meta-heurísticos,

conhecidos pela sua relação a fenómenos naturais, nomeadamente a colónias de formigas ou abelhas, à

genética, à pesquisa de uma harmonia, entre outros. Ultimamente, têm vindo a surgir vários artigos

acerca da utilização deste tipo de algoritmos em problemas relacionados com a Engenharia Civil, com

especial enfoque na problemática das estruturas metálicas, uma vez que na sua maioria apresentam

variáveis discretas como as listas de perfis possíveis para a sua secção transversal.

3.6.1.PESQUISA HARMÓNICA

A fim de obter uma solução otimizada em termos de custo, que verifique todos os requisitos normativos,

foi implementado um algoritmo de pesquisa harmónica (Harmony Search Algorithm). A formulação do

algoritmo de pesquisa harmónica é inspirada na improvisação de uma banza de jazz, onde os vários

músicos procuram criar uma melodia composta por uma combinação de sons musicalmente agradáveis.

Neste processo os vários músicos tocam de improviso procurando encontrar uma harmonia entre si [1].

De modo a ilustrar o processo de funcionamento do algoritmo de otimização de pesquisa harmónica é

apresentado na Figura 38 um esquema do seu funcionamento.


64

Antes de iniciar a pesquisa da solução ótima é necessário definir as variáveis do problema de otimização

e a função objetivo do problema de otimização.

As variáveis do problema de otimização são as dimensões dos elementos que constituem o PRS. Estas

variáveis são discretas e são apresentadas em listas de comprimentos e espessuras possíveis para os

diferentes elementos do perfil. No desenvolvimento da ferramenta optou-se por incluir estas listas no

ficheiro de introdução de dados, com o objetivo de permitir ao utilizador a escolha ou a limitação das

dimensões possíveis para os vários elementos do perfil. Esta limitação surgiu devido à eventual

necessidade de adotar soluções que utilizassem material disponível em stock. A restrição das listas

permite também limitar a altura, largura e espessura dos vários elementos devido a restrições de teor

arquitetónico, muito comum em projeto.

Outra restrição que pode ser realizada pelo algoritmo é a imposição de soluções duplamente simétricas,

através da consideração de parâmetros de espessura e largura iguais para os dois banzos da secção, isto

é, considerando apenas as listas referentes a um único banzo. Esta restrição permite perceber qual a

implicação que a adoção de soluções duplamente simétricas tem no custo final comparativamente com

a solução ótima obtida sem a imposição de dupla simetria na secção.

As listas que, por defeito, são consideradas pelo algoritmo de otimização são apresentadas

seguidamente. A lista que contém as alturas das chapas possíveis que estão a ser consideradas como

parâmetros de input do algoritmo de otimização são apresentadas a seguir:

Figura 38 - Esquema de funcionamento do algoritmo pesquisa harmónica


65

• Altura da chapa = [100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240,

250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700, 750]

As listas que contêm os valores possíveis para as espessuras a considerar na alma e nos banzos

respetivamente são apresentadas a seguir:

• Espessura da alma = [3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 30, 40, 50, 60, 80]

• Espessura do banzo = [6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 30, 40, 50, 60, 80]

Após definir as variáveis e as listas de variação das variáveis, é definida a função objetivo. A função

objetivo, neste caso, corresponde a uma função de minimização do custo da estrutura metálica. Para

além de depender do custo da solução da viga, depende da penalização do seu custo, no caso de a secção

não satisfazer as todas as verificações regulamentares necessárias. Assim, a função objetivo é dada pela

expressão (3.3).

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝜑(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠𝑡(𝑥) + 𝑃𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦(𝑥) (3.3)

𝑃𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦(𝑥) = 5000 (𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜_ max + 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜_𝑚𝑒𝑎𝑛) (3.4)

Em que:

• 𝐶𝑜𝑠𝑡(𝑥) representa o custo da solução da viga, cujo cálculo foi referido em 3.4.3;

• 𝑃𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦(𝑥) representa a penalização do custo da viga, que toma um valor nulo, quando a

solução verifica todos os requisitos regulamentares, ou um valor que depende do rácio de

segurança crítico e do valor médio dos rácios de segurança obtidos para essa viga, quando não

são satisfeitos todos os requisitos regulamentares.

• 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜_𝑚𝑎𝑥 representa o rácio de segurança máximo obtido nas verificações de segurança da

viga;

• 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜_𝑚𝑒𝑎𝑛 representa o valor médio dos rácios de segurança obtidos nas verificações de

segurança da viga;

O algoritmo de pesquisa harmónica inicia-se pela definição dos seus parâmetros de comportamento, que

no caso figurado corresponde à atribuição das características do músico, nomeadamente à sua

capacidade de memória, à sua capacidade de afinação do instrumento, entre outros. Na tabela seguinte

são apresentados os parâmetros que caracterizam o algoritmo e é estabelecida uma analogia com o

processo de criação de um elemento estrutural (ou de uma estrutura) e com o processo de criação de

uma melodia.


66

Tabela 12 - Analogia com os parâmetros de caracterização da pesquisa harmónica

Parâmetro Descrição Músico Secções

HMS Harmonic Memory

Size Número de melodias

guardadas na memória

Número de secções transversais guardadas em

memória

PAR Pitch Adjustment

Parameter Frequência com que afina o

instrumento Probabilidade de ajustar os

parâmetros da secção

BW ou MPAI

Bandwidth or Maximum Pitch

Adjustment Index

Intervalo de afinações entre as quais o músico varia

Intervalo de oscilação dos parâmetros da secção

HMCR Harmony Memory

Consideration Rate

Probabilidade de tocar uma melodia de memória em vez

de improvisar

Probabilidade de utilizar uma secção transversal da

memória

Embora na versão original do algoritmo, os parâmetros propostos pelo autor sejam constantes, têm vindo

a ser desenvolvidos ao longo dos anos trabalhos que propõem um ajuste dinâmico dos parâmetros em

função do progresso da pesquisa harmónica, de modo a tornar a sua convergência mais rápida.

Nomeadamente a proposta de Kumar, et al. [26] apresenta um Parameter Adaptive Harmony Search

Algorithm (PAHS) que ajusta dinamicamente os parâmetros referidos, permitindo a geração de uma

grande variedade de soluções possíveis que converge para a melhoria das soluções guardadas na

memória ao longo da evolução do processo de otimização.

O segundo passo do algoritmo consiste na criação da memória harmónica (HM), que é preenchida por

tantos vetores solução quanto for o valor da memória harmónica (HMS). Nesta fase é realizado o cálculo

e armazenamento do resultado obtido através da função objetivo para cada vetor solução, de acordo com

a equação (3.5).

(3.5)

O terceiro passo do algoritmo é caracterizado pela criação de uma nova harmonia, isto é, de um novo

vetor solução gerado de um modo diferente dos vetores referidos no segundo passo. Se a solução final

obtida for melhor, isto é, mais económica, do que qualquer uma das soluções guardadas na memória

harmónica (HM), a pior solução guardada é substituída pela nova solução. Pelo contrário, se a solução

final obtida for pior do que as soluções armazenadas na memória (HM), a memória harmónica não sofre

qualquer alteração. Desta forma, a pesquisa é concluída quando for atingido o número máximo de

improvisações, resultando da otimização a solução mais económica obtida nesse intervalo de tempo [2].

É importante referir que a aplicabilidade e a qualidade de desempenho deste algoritmo de otimização

em estruturas metálicas é comprovada por diversos autores, nomeadamente por Saka [27] e Degertekin

[28].


67

Por fim, todo o código é colocado numa REST API (Representation State Transfer Application

Programming Interface), de forma a disponibilizar a ferramenta à comunidade através de um servidor,

cujos pedidos podem ser realizados num ficheiro de introdução de dados que fornece o resultado do

cálculo efetuado.

Figura 39 - Representação do funcionamento da API


68


69

4 CASOS DE ESTUDO

4.1.INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentados os resultados da aplicação da ferramenta de cálculo desenvolvida a

vários casos de estudo, provenientes de projetos realizados pela empresa EME Singular.

Inicialmente, será feita uma breve introdução de cada caso de estudo. De seguida será apresentada a

solução adotada pela empresa. Posteriormente será efetuada a verificação da segurança da viga através

da utilização da ferramenta de cálculo desenvolvida e, por fim, será apresentada a solução ótima obtida

com o algoritmo de otimização. Finalmente, serão comparadas as soluções fornecidas pela empresa,

dimensionadas por um método convencional com as soluções obtidas através do dimensionamento

otimizado. Serão também estudadas as vantagens do uso de perfis monossimétricos em relação aos perfis

duplamente simétricos.

4.2.CASOS DE ESTUDO

4.2.1.PRS MONOSSIMÉTRICO

O primeiro caso de estudo consiste numa viga, simplesmente apoiada, com secção constituída por um

PRS metálico monossimétrico. Este caso de estudo ilustrado na Figura 40, apresenta uma secção

monossimétrica de aço estrutural da classe S275. O comprimento da viga em estudo é de 5.44 metros e

a sua largura de influência (𝑙𝑖𝑛𝑓) é igual a 6.335 metros e não apresenta travamentos laterais. A solução

apresenta uma secção transversal de área 17400 𝑚𝑚2, que corresponde a 136.6 kg/m. A sua geometria

e as ações consideradas no seu dimensionamento são indicadas a seguir.


70

Geometria da secção transversal do PRS:

• 𝑏𝑓1 = 480 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑓1 = 20 𝑚𝑚;

• ℎ𝑤 = 250 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑤 = 12 𝑚𝑚;

• 𝑏𝑓2 = 240 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑓2 = 20 𝑚𝑚.

Quantificação das ações:

• Ações permanentes:

o Peso próprio da viga;

o Restantes cargas permanentes (RCP) que incluem o peso da laje, revestimentos e

paredes divisórias – 𝑅𝐶𝑃 = 5.7 𝑘𝑁/𝑚2;

o Suspensões – 0.15 𝑘𝑁/𝑚2;

Figura 40 - Representação em planta e em corte transversal da viga em estudo


71

• Ações variáveis:

o Sobrecargas – 𝑆𝑂𝐵 = 4 𝑘𝑁/𝑚2

Após a definição destes parâmetros é necessário quantificar o valor de cálculo das cargas nos estados

limites para introdução dos dados iniciais do problema, apresentados a seguir:

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑈 = (1.35 × (5.7 + 0.15) + 1.5 × 4) × 6.335 = 88.04 𝑘𝑁/𝑚2

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑆𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = (5.7 + 0.15 + 4) × 6.335 = 62.40 𝑘𝑁/𝑚2

Na Figura 41 são apresentados os parâmetros de input para o dimensionamento do PRS, à esquerda, e

os resultados do mesmo, à direita. Assumiu-se que o carregamento estava ao nível do centro de corte e

que a viga não apresenta travamentos laterais, exceto nos apoios como indicado na Figura 40. Os

elementos de input que não interessavam ao dimensionamento do PSR metálico foram posteriormente

rasurados.

Input Output

Figura 41 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativo ao dimensionamento do PRS


72

Pela observação da Figura 41, conclui-se que a viga em estudo verifica todos os requisitos de segurança

previstos pela norma europeia (“success”: true), apresentando um rácio de segurança crítico de

aproximadamente 0.8445, correspondente à verificação da viga à flexão simples. Assim, o parâmetro

condicionante do dimensionamento da viga é o valor do momento fletor resistente. Os resultados obtidos

permitem também estimar o custo da viga no valor de aproximadamente 559 €.

Para além de realizar o dimensionamento do PRS, a ferramenta de cálculo desenvolvida permite também

identificar a solução otimizada para a secção transversal da viga, mediante a atribuição dos valores das

cargas de cálculo combinadas para cada estado limite, do comprimento do vão, do tipo de aço estrutural

a utilizar, entre outros parâmetros. Assim, tendo em conta os parâmetros de cálculo definidos para a viga

em estudo, apresentados na Figura 42 à direita, foi executada a ferramenta de otimização, tendo sido

obtidos os resultados apresentados à esquerda. É importante referir que, nesta fase do cálculo otimizado,

foi imposta uma altura máxima para a alma de 290 mm, de forma a que as soluções obtidas neste

processo não apresentassem secções transversais demasiado altas, quando comparadas com a solução

inicial.


73

Os resultados obtidos através desta ferramenta devem ter em consideração um número de iterações

adequado à resolução do problema. Para a secção em estudo as soluções obtidas estabilizaram a partir

das 40000 iterações, convergindo para a solução apresentada na Figura 42. O algoritmo de otimização

executa as iterações definidas e devolve a solução otimizada em cerca de 5 segundos, num computador

com processador Intel Core i5 4200U CPU 1.6GHz 2.9 GHz e com 4GB de memória RAM. A solução

otimizada apresenta um rácio crítico muito próximo de 1, permitindo um maior aproveitamento das

Input Output

Figura 42 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativos ao cálculo otimizado do PRS

otimizado


74

propriedades da secção. Esta solução é condicionada pela verificação da encurvadura lateral, para um

rácio de 0.9805. A viga pesa 98.13 kg/m, ou seja, o seu peso é cerca de 71.8% do peso da viga

apresentada inicialmente. Além disso, o custo estimado para a solução otimizada da viga é de 425.87 €,

que representa aproximadamente 76% do custo da solução apresentada pela empresa.

Da análise destes valores é possível concluir que existe uma vantagem notória, em termos de custo, da

solução resultante do processo de otimização.

Para além da solução otimizada de PRS monossimétrico, foram também analisadas outras secções

otimizadas possíveis para a viga, sendo os resultados dessas análises sintetizadas nas figuras abaixo e

na Tabela 13. O primeiro e o segundo cenários correspondem às soluções referidas anteriormente (inicial

e monossimétrica otimizada). O terceiro cenário refere-se à solução otimizada duplamente simétrica

para uma altura máxima da secção de 300 m à semelhança da solução inicial. No quarto e no quinto

cenários são apresentadas soluções otimizadas que admitem um aumento da altura total da secção de

10% da altura inicial, com o objetivo de estudar os benefícios económicos de uma viga mais alta.

Figura 43 - Secção transversal da viga otimizada do

Cenário 2

Figura 44 - Secção transversal da viga

otimizada do Cenário 3

Figura 45 - Secção transversal da viga otimizada do

Cenário 4

Figura 46 - Secção transversal da viga

otimizada do Cenário 5


75

Para além das secções anteriores foi também estudada a hipótese de manter a geometria do banzo

inferior, dada a necessidade de este suportar uma laje, correspondendo ao caso específico do projeto da

viga apresentada pela EME Singular.

Desta forma, os resultados da otimização deste caso (Figura 47) apresentam uma viga com a geometria

representada na Figura 48 e com uma estimativa de custo de 515.58 € e um peso de 124.0 kg/m, cuja

verificação de segurança condicionante é a verificação à encurvadura lateral.

Input Output

Figura 47 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativos ao cálculo otimizado do PRS

otimizado com a geometria do banzo inferior fixada


76

Através da análise dos vários cenários, é claramente visível a vantagem em recorrer-se a um processo

de otimização no dimensionamento de vigas com perfis reconstituídos soldados. Além disso, o possível

aumento de 10% da altura total da secção, neste caso, permite uma redução do custo em cerca de 10%

da solução monossimétrica do cenário 2 para a solução apresentada no cenário 4. É também possível

concluir que as soluções duplamente simétricas apresentam um custo superior às soluções

monossimétricas, tal como era expectável. No entanto, as soluções duplamente simétricas apresentam

um aumento do custo de apenas 2 a 3% comparativamente às soluções otimizadas monossimétricas de

altura semelhante.

Também a viga otimizada do sexto cenário, em que é fixada a geometria do banzo inferior (do primeiro

cenário) apresenta reduções do peso e do custo da viga correspondentes a 9% e 8% respetivamente.

Na Tabela 13, apresentada a seguir, é realizada um a síntese dos resultados estudados neste caso de

estudo.

Figura 48 - Secção transversal da viga otimizada do cenário 6


77

Tabela 13 - Comparação dos vários cenários com a solução inicial

Cenários Massa [kg/m]

Custo [€]

Rácio de segurança

crítico

Critério de rotura

Relação peso

Relação custo

Cenário 1: Solução inicial

136.59 559,00 0.84453 Encurvadura

Lateral 100% 100%

Cenário 2: Solução

monossimétrica (ℎ = 300 𝑚𝑚)

80.46 425.87 0.98053 Encurvadura

Lateral 72% 76%


duplamente simétrica

(ℎ = 300 𝑚𝑚)

100.5 434.14 0.97519 Encurvadura

Lateral 74% 78%


monossimétrica (ℎ = 330 𝑚𝑚)

86.35 385.63 0.98501 Encurvadura

Lateral 63% 69%



(ℎ = 330 𝑚𝑚)

89.49 396.22 0.95466 Encurvadura

Lateral 66% 71%


monossimétrica com dimensões do banzo inferior fixas

(ℎ = 300 𝑚𝑚)

124.03 515.58 0.99778 Encurvadura

Lateral 91% 92%


78

4.2.2.PERFIL MISTO DUPLAMENTE SIMÉTRICO

O segundo caso de estudo é definido por uma viga, simplesmente apoiada, de 6 metros de vão, com

secção mista constituída por um banzo de betão, com chapa perfilada com nervuras transversais ao eixo

da viga, e um perfil metálico comercial. Este caso de estudo é ilustrado na Figura 49 e na Figura 50 e

apresenta na sua secção um perfil comercial IPE 220 de aço estrutural da classe S275. A laje de betão

apresenta uma espessura total de 160 mm. O betão utilizado é da Classe 30/37 e a chapa perfilada

utilizada na laje é do tipo ''Haircol_59S 0.75 ArcelorMittal''. A viga apresenta uma largura de influência

de 2.15 m e não apresenta escoramento na fase construtiva. O banzo superior encontra-se travado

lateralmente aos quartos, isto é, de 1.5 em 1.5 metros. Seguidamente, são listadas as características

geométricas, as propriedades dos materiais e as ações atuantes na estrutura, bem como os parâmetros de

input para o dimensionamento desta viga.

Geometria da secção transversal do perfil metálico comercial IPE 220:

• 𝑏𝑓1 = 110 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑓1 = 9.2 𝑚𝑚;

• ℎ𝑤 = 201.6 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑤 = 5.9 𝑚𝑚;

• 𝑏𝑓2 = 110 𝑚𝑚;

• 𝑡𝑓2 = 9.2 𝑚𝑚.

Figura 49 - Viga mista aço-betão com chapa perfilada

Figura 50 - Corte transversal da viga mista aço-betão com chapa perfilada


79

Geometria da secção transversal da laje de betão com chapa perfilada:

• Altura da chapa perfilada - ℎ𝑝 = 59 𝑚𝑚;

• Altura da laje de betão acima das nervuras - ℎ𝑐 = 101 𝑚𝑚.

Largura efetiva do banzo de betão

O cálculo da largura efetiva é realizado de acordo com a equação (2.49). Por se tratar de uma viga

simplesmente apoiada 𝐿𝑒 = 𝐿 = 6 𝑚. O parâmetro 𝑏0 pode ser simplificadamente considerado nulo.

Assim, a largura efetiva do banzo de betão é calculada da seguinte forma:

𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝑏0 + ∑ 𝑏𝑒𝑖 = 2 × 0.75 = 1.5 𝑚

Em que:

𝑏𝑒𝑖 = min {𝐿𝑒

8; 𝑏𝑖} = min{0.75; 1.075} = 0.75 𝑚

𝑏𝑖 =2.15

2= 1.075 𝑚

Assim, a definição da secção transversal da viga em estudo é concluída, sendo apresentada na Figura

51.

Quantificação das ações:

• Ações na fase metálica ou construtiva:

o Ações permanentes:

▪ Peso próprio do perfil metálico – 0.26 𝑘𝑁/𝑚;

▪ Peso próprio da laje de betão – 6.82 𝑘𝑁/𝑚

o Ações variáveis:

Figura 51 - Secção transversal da viga mista apresentada pela EME Singular


80

▪ Sobrecarga de construção – 𝑄𝑐 = 1.61 𝑘𝑁/𝑚.

• Ações na fase final ou mista:

o Ações permanentes:

▪ Peso próprio do perfil metálico – 0.26 𝑘𝑁/𝑚;

▪ Peso próprio da laje de betão – 6.82 𝑘𝑁/𝑚;

▪ Carga de superfície – 𝑅𝐶𝑃 = 5.5 × 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 11.825 𝑘𝑁/𝑚.

o Ações variáveis:

▪ Sobrecarga – 𝑄1 = 3 × 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 6.45 𝑘𝑁/𝑚.

Desta forma, os valores de cálculo das ações correspondentes às cargas no ficheiro de introdução de

dados da ferramenta de cálculo na fase construtiva e na fase mista são as seguintes:

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑈 = 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑈𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1.35 × 6.82 + 1.5 × 1.61 = 11.622 𝑘𝑁/𝑚

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑆𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑆

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 = 6.82 + 1.61 = 8.43 𝑘𝑁/𝑚

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑈(2)

= 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑈𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎 = 1.35 × (6.82 + 11.825) + 1.5 × 6.45 = 34.85 𝑘𝑁/𝑚

▪ 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑆(2) 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

= 𝑝𝐸𝑑,𝐸𝐿𝑆𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎 = 11.825 + 6.45 − 1.61 = 16.67 𝑘𝑁/𝑚

De forma concordante com a análise da viga efetuada pela empresa, a deformação máxima admissível

considerada foi L/200 na fase construtiva e L/170 na fase mista, correspondendo a flechas máximas a

meio vão de 3 cm e de 4 cm, respetivamente.

Na Figura 52 são apresentados, à direita, os parâmetros definidores da viga em estudo e, à esquerda, os

resultados das verificações de segurança e o custo da viga.

Pela observação da Figura 52, conclui-se que a viga em estudo verifica todos os requisitos de segurança

previstos pela norma europeia, apresentando um rácio crítico de muito próximo de 1, correspondente à

verificação da viga à encurvadura lateral na fase construtiva. Assim, o parâmetro condicionante do

dimensionamento da viga é o valor do momento crítico da secção. Os resultados obtidos permitem

estimar o custo do perfil metálico (com conetores) no valor de aproximadamente 192.56 €.


81

Input Output

Figura 52 - Dados de entrada (lado esquerdo) e resultados (lado direito) relativos ao cálculo da secção mista


82

Apesar de a solução proposta pela EME Singular já ser uma solução otimizada, apresentar-se-á uma

solução otimizada monossimétrica obtida com recurso à ferramenta de cálculo desenvolvida, mediante

a atribuição dos valores das cargas de cálculo combinadas para cada estado limite. A geometria da secção

da viga mista otimizada de perfil metálico monossimétrico é apresentada na Figura 53.

Tabela 14 - Apresentação dos resultados obtidos do cálculo otimizado da secção mista com perfil

monossimétrico

Custo da solução 180.37€

Geometria da solução

otimizada

𝑏𝑓1 [mm] 170

𝑡𝑓1 [mm] 6

ℎ𝑤 [mm] 210

𝑡𝑤 [mm] 4

𝑏𝑓2 [mm] 120

𝑡𝑓2 [mm] 8

Viga Metálica (Fase 1)

Rácio

de

Seg

ura

nça

Esforço transverso 0.2746

Momento fletor 0.7722

Encurvadura por esforço transverso 0.2746

Encurvadura lateral 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟒

Deformação 0.8998

Viga Mista (Fase 2)

Rácio

de

Seg

ura

nça




Deformação 0.9969

A solução otimizada monossimétrica resulta numa viga com redução de cerca de 6% do custo da solução

adotada pela Empresa, cujo rácio crítico, apresentado a negrito na Tabela 14, está muito próximo do

Figura 53 - Geometria da secção transversal da viga mista otimizada com perfil metálico monossimétrico


83

limite máximo. Contudo a solução obtida corresponde a uma redução do peso da viga metálica em cerca

de 12%, em relação à solução inicial (parte metálica).

Também foi estudada uma solução otimizada duplamente simétrica, cuja secção transversal é

apresentada na Figura 54 e cujos resultados do cálculo otimizado são apresentados na Tabela 15, com o

objetivo de perceber quais são os seus benefícios, em comparação com a secção do PRS monossimétrico.

Tabela 15 - Apresentação dos resultados obtidos do cálculo otimizado da secção mista com perfil duplamente

simétrico

Custo da solução [€] 183.33

Geometria da solução

otimizada

𝑏𝑓1 [mm] 130

𝑡𝑓1 [mm] 8

ℎ𝑤 [mm] 210

𝑡𝑤 [mm] 4

𝑏𝑓2 [mm] 130

𝑡𝑓2 [mm] 8

Viga Metálica

(Fase 1)

Rácio

de

Seg

ura

nça




Encurvadura lateral 0.9213

Deformação 0.8552

Viga Mista (Fase 2)

Rácio

de

Seg

ura

nça




Deformação 𝟎. 𝟗𝟓𝟓𝟎

Figura 54 - Geometria da secção transversal da viga mista otimizada com perfil metálico duplamente sim


84

A solução resultante do cálculo otimizado duplamente simétrico representa uma redução do peso da

parte da viga metálica de 9% do peso da parte metálica da viga mista apresentada pela empresa. O custo

desta solução é ligeiramente superior ao custo da solução otimizada monossimétrica. No entanto, é

menor do que o custo da viga apresentada inicialmente, correspondendo a uma redução de cerca de 5%

desse custo.

De forma a sintetizar os resultados das soluções ótimas é apresentada a seguinte tabela, onde são

indicadas as relações de peso e de custo do PRS e conetores de corte (comparativamente com a solução

proposta pela EME Singular).

Tabela 16 - Comparação dos vários cenários resultantes da otimização da viga mista com a solução inicial

Cenários Massa [kg/m]

Custo [€]

Rácio crítico

Critério de rotura

Relação peso

Relação custo

Cenário 1: Solução inicial

25.22 192.56 0.9902 Encurvadura

Lateral em fase metálica

100% 100%


monossimétrica 22.14 180.37 0.9994

Encurvadura Lateral em fase

metálica 87.79% 93.67%



22.92 183.33 0.9950 Deformação em

fase mista 90.88% 95.21%

Apesar de o banzo superior estar travado lateralmente aos quartos, a viga nos dois primeiros cenários o

é condicionada pela encurvadura lateral em fase construtiva.

No cenário 3 a viga foi condicionada pela deformação em serviço. Assim, poderá ser obtida uma solução

mais otimizada se na concepção da viga for considerada uma contra-flecha.


85

4.2.3.COMPARAÇÃO DOS CASOS DE ESTUDO

Concluindo, a utilização da ferramenta de cálculo otimizada para o PRS metálico apresenta grande

vantagem em relação ao processo de cálculo convencional, tanto a nível de dimensionamento, por

permitir tirar maior proveito das capacidades resistentes da secção, bem como a nível económico,

consoante a atualização dos preços, pois efetua a pesquisa da solução de menor custo.

As soluções otimizadas para os perfis metálicos reconstituídos soldados apresentaram reduções do custo

total da viga analisada no primeiro caso de estudo de 20 a 30% da solução inicialmente apresentada,

permitindo constatar o elevado potencial da ferramenta de cálculo de PRS em situações práticas, em que

os benefícios económicos associados à utilização da mesma são evidentes.

A solução otimizada onde foi fixada a geometria do banzo inferior da secção transversal da viga

inicialmente apresentada, a fim de comparar uma solução mais específica, que permitisse suportar uma

laje apoiada no banzo inferior do perfil, apresentou uma redução de 8% do custo em relação à solução

inicial. Esta análise permitiu verificar a vantagem da utilização desta ferramenta, mesmo em situações

mais específicas de projeto.

Relativamente ao dimensionamento otimizado de perfis mistos, o uso da ferramenta de cálculo não

apresenta tantos benefícios como para o cálculo de perfis metálicos. Contudo, verifica-se uma redução

do custo e do peso total da viga inicialmente apresentada de cerca de 6% e 10%, respetivamente. Esta

verificação deve-se, essencialmente, à solução adotada ter um vão demasiado curto, correspondendo a

um cenário pouco comum para a adoção de uma secção com comportamento misto. Este aspeto é fácil

de entender, dado que as soluções mistas apresentam maiores benefícios e, consequentemente, maiores

poupanças quando são aplicadas a vigas de grandes vãos, nos quais as soluções metálicas deixam de ser

adequadas ou envolvem a consideração de soluções mais dispendiosas.


86


87

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1.SÍNTESE E CONCLUSÕES

O desenvolvimento deste trabalho teve como principal objetivo a criação de uma ferramenta informática

capaz de realizar o dimensionamento automático e otimizado de perfis metálicos reconstituídos

soldados, simplesmente apoiados, tendo em consideração o seu custo. Na referida ferramenta foram

implementadas todas as verificações de segurança de acordo com o Eurocódigo 3.

Ainda no âmbito da otimização, foi implementado o dimensionamento automático e otimizado de

secções transversais mistas, considerando o custo associado ao fabrico do perfil metálico soldado e dos

conetores de corte. As verificações de segurança em relação à viga mista foram implementadas com

base no Eurocódigo 4.

O processo de otimização é efetuado com recurso a um algoritmo meta-heurístico de pesquisa

harmónica, com grande aplicabilidade ao dimensionamento de estruturas metálicas [1].

A ferramenta desenvolvida pode ser considerada inovadora, na medida em que não foi possível

encontrar no mercado uma ferramenta de cálculo otimizado de perfis reconstituídos soldados, baseada

em custos.

Foram apresentados casos de estudo que evidenciaram os benefícios da utilização da ferramenta de

cálculo otimizado, comparativamente aos métodos de dimensionamento correntes, tendo sido obtidas

reduções de custo muito significativas. Do dimensionamento otimizado de secções metálicas simples

resultaram poupanças de 20% a 30% do custo da solução inicial, tendo sido verificado que as poupanças

mais elevadas correspondiam a perfis metálicos monossimétricos. Não obstante, as soluções duplamente

simétricas otimizadas também apresentaram resultados muito satisfatórios, na medida em que os custos

refletiam uma redução de custo muito semelhante, isto é, muito idêntica à redução de custo resultante

das soluções monossimétricas.

Apesar da análise dos casos de estudo referentes à viga mista não apresentar soluções otimizadas com

benefícios económicos da ordem dos resultantes do dimensionamento do PRS, estas resultam numa

diminuição de 6% da viga mista apresentada pela EME Singular. Esta poupança relativamente à viga

mista está associada ao vão da mesma. Para cenários de vãos curtos, como são os vãos analisados nos

casos de estudo, as soluções ótimas de vigas mistas não apresentam uma vantagem significativa quando

comparadas com as soluções ótimas metálicas. Em cenários que sejam considerados grandes vãos, que

correspondem, tipicamente, aos casos de aplicação das soluções mistas, prevê-se que esta poupança seja

muito superior à obtida pelo cálculo otimizado no presente caso.

Apesar de não serem realizadas verificações de pormenor relativamente ao dimensionamento da viga

mista, a utilização da ferramenta desenvolvida é muito útil, pois permite ao utilizador partir,

rapidamente, de uma secção já otimizada no processo de pré-dimensionamento da viga.


88

5.2.DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Dado o período de tempo limitado atribuído à realização da dissertação e apesar da mesma ter sido

concretizada, não puderam ser implementadas algumas funcionalidades com interesse ao projeto deste

tipo de estruturas. Assim, seguidamente, são apresentadas propostas para eventuais desenvolvimentos

futuros no âmbito em que esta dissertação se insere. Nomeadamente a implementação da análise de

vigas sujeitas a tipos de carregamento variados, de forma a alargar o dimensionamento otimizado de

PRS a casos genéricos, como por exemplo vigas com momentos nas extremidades e cargas concentradas.

Outra eventual extensão será o cálculo de vigas com perfis muito esbeltos com reforços transversais

e/ou longitudinais.

A implementação de maior importância será, eventualmente, a consideração de aberturas na alma do

PRS.

Em relação ao cálculo das vigas mistas é notório o potencial de desenvolvimento da ferramenta de

cálculo, uma vez que não foram implementadas verificações de pormenor deste tipo de vigas, como a

verificação da resistência ao corte longitudinal e a consideração de conexão parcial. Poderão também

ser estudados os casos de vigas com nervuras paralelas ao eixo da viga, que não foram incluídas no

âmbito desta dissertação.

Geralmente as soluções mistas são adotadas quando se pretende aumentar o momento de inércia da

secção, de modo a controlar flechas, que são muitas vezes condicionantes em vigas de grandes vãos.

Assim, este tipo de secção ganha expressão, comparativamente à viga metálica, quando é utilizada para

superar grandes vãos, tirando, dessa forma, maior partido funcionamento conjunto dos dois materiais

que a compõem. Como o impacto da otimização varia de acordo com o vão considerado nestes dois

tipos de viga, um desenvolvimento futuro interessante poderá incidir no impacto da otimização para

diferentes vãos.


89

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[10] CEN, NP EN 1993-1-8, Eurocódigo 3: Projeto de estruturas de aço, Parte 1-8: Projeto de ligações. Lisboa: Instituto Português da Qualidade, 2010.

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