Problemas de Respostas Abertas

O Lançamento de adois dadosPor Aury de Sá Leite

1.- Soma Possíveis dos valores obtidos

Esta é uma experimentação que pretende nos mostrar a distinção entre o cálculo determinístico e o cálculo não-determinístico.

Determinismo:

Dicionário Aurélio: Rubrica Filosofia - Relação entre os fenômenos pela qual, estes se acham ligados de modo tão rigoroso que, a um dado momento, todo fenômeno está completamente condicionado pelos que o precedem e acompanham, e condiciona com o mesmo rigor os que lhe sucedem. [Se relacionado a fenômenos naturais, o determinismo constitui o princípio da ciência experimental que fundamenta a possibilidade de busca de relações constantes entre os fenômenos; se se refere a ações humanas e a decisões da vontade, entra em conflito com a possibilidade da liberdade.]

Dicionário Houaiss: Rubrica Filosofia - Princípio segundo o qual todos os fenômenos da natureza estão ligados entre si por rígidas relações de causalidade e leis universais que excluem o acaso e a indeterminação, de tal forma que uma inteligência capaz de conhecer o estado presente do universo necessariamente estaria apta tb. a prever o futuro e reconstituir o passado

Queremos estudar quais as possíveis somas de pontos, no lançamento de dois dados honestos (não viciados), e a frequência de ocorrências destas somas. Para isto, você deve considerar dois dados distintos entre si, ou seja: se dados do mesmo tamanho, com cores diferentes ou, então dois dados da mesma cor, mas de tamanhos diferentes.

Sabemos que as únicas possíveis somas obtidas quando se adicionam os valores obtidos em cada uma das faces dos dados, ou seja, os únicos eventos possíveis pertencem ao seguinte conjunto: S = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, este é um fenômeno determinístico. Por outro lado, a frequência que estas somas pode ocorrer, umas mais que as outras, passa a ser um fenômeno probabilístico.

2.- Como podem ser obtidas todas as Somas Possíveis

O espaço de possibilidades (espaço amostral) a seguir, nos mostra os pares de valores obtidos nas faces dos dois dados não viciados e distintos entre si (pelas cores: um azul e outro vermelho, ou então, pelos tamanhos: um pequeno e outro grande).

As somas obtidas correspondentes a cada um dos lançamentos pode ser calcula da seguinte forma: tomar cada um dos pares ordenados (x,y) e adicionar as coordenadas (abscissa + ordenada): x+y. Os valores das somas corresponderão aos cruzamentos (em verde) das linhas horizontais com as linhas verticais no seguinte gráfico cartesiano, cujas abscissas representam os valores obteníveis no primeiro dado (azul ou grande – por exemplo) e as ordenadas representam os valores do segundo dado (vermelho ou pequeno – por exemplo).

Note ainda no diagrama acima apresentado, por exemplo, que o par (5,3), obtido em um dado lançamento, é completamente distinto do lançamento em que se obtém: (3,5), veja que os cruzamentos (abscissa ordenada) a eles correspondentes (em verde no diagrama) não são os mesmos, no entanto a soma dos pontos obtidos, tanto num lançamento como no outro, vale 8. A partir disto pode-se concluir que o diagrama se apresenta com os 36 resultados distintos entre si. A quantidade de possíveis resultados das somas dos valores das faces no lançamento de dois dados honestos é um valor determinístico, isto é, existem 36 possibilidades e somente estas 36 possibilidades.

Veja ainda que a ‘soma 7’ é obtida com maior frequência quando comparada com as demais somas; ela ocorre seis vezes. Note ainda que os cruzamentos no gráfico onde ocorrem a ‘soma 7’ pertencem à diagonal principal do gráfico. A ‘soma 6’ e a ‘soma 8’, ocorrem 5 vezes, e você irá encontrá-las em linhas traçadas paralelamente à diagonal principal daquele diagrama. Confira.

Finalmente, note que temos no diagrama acima 36 possibilidades de resultados distintos entre si, ou seja, 36 pares ordenados distintos.

3.- Diagrama de Frequência das Somas Obtidas

O diagrama a seguir, um histograma, mostra a frequência com que ocorrem cada uma das possíveis somas dos valores obtidos pelo lançamento simultâneo de dois dados.

4.- A Experimentação

A experiência aqui sugerida comporta a participação de grupos com pelo menos duas e no máximo quatro pessoas. Cada grupo deve estar de posse de:

(a) dois dados de cores distintas ou de tamanhos distintos;

(b) folhas com os histogramas mostrados na página a seguir.

Eles devem lançar os dados simultaneamente, num total de 36 lançamentos, e a cada lançamento anotar no primeiro histograma (0 de número 1) as somas obtidas.

Estes 36 lançamentos devem ser repetidos tantas vezes quantos são os histogramas mostrados na página a seguir (4 histogramas) .

Note que no histograma mostrado anteriormente (veja item 3 acima), eixo das ordenadas estava graduado de 1 até 6, no caso do histograma a seguir a graduação deste mesmo eixo vai até 10..

Lance os dados e compare os histogramas entre si. Desta forma você verá que o fenômeno é um fenômeno probabilístico, ou seja, ele é não-determinístico

5.- Exercício

Tome duas moedas de valores diferentes, como por exemplo: R$ 0,50 R$ 1,00. Construa o espaço amostral para elas baseado na ocorrência de cara ou coroa. Construa histogramas para o 30 lançamentos simultâneos (ou mais) destas duas moedas, e tente verificar que a possibilidade de ocorrerem cara ou coroa é exatamente o dobro das possibilidades de ocorrer duas caras ou então de ocorrem duas coroas.

Solução parcial: E = { (ca, ca), (ca, co), (co, ca), (co, co) } onde ca = cara e co = coroa. Note que as ocorrências (ca, co) e ( co, ca) são eventos favoráveis quando o que se deseja é a ‘ocorrência de um cara e uma coroa’.

Resultados da somas dos valores de face dos 36 lançamentos simultâneos de dois dados honestos.