sobre a indu¸c˜ao do campo eletromagn´etico em ... · dos conceitos de eletricidade e magnetismo...

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 39, nº 2, e2306 (2017)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0161

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Sobre a inducao do campo eletromagnetico em referenciaisinerciais mediante transformacoes de Galileu e Lorentz

On the induction of the electromagnetic field in inertial reference frames by Galilean and Lorentztransformations

I. R. O. Ramos2, J. P. M. Braga3, J. W. C. Silva1, A. P. Lima1, L. M. Holanda∗1

1Universidade Federal Rural do Semi-Arido, Pau dos Ferros, RN, Brasil2Universidade Estadual Vale do Acarau, Sobral, CE, Brasil

3Universidade da Integracao Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira, Acarape, CE, Brasil

Recebido em 27 de Julho, 2016. Revisado em 09 de Novembro, 2016. Aceito em 9 de Novembro, 2016.

Neste trabalho abordaremos dois problemas teoricos, nao muito discutidos na maioria das universidadesbrasileiras, envolvendo a Teoria da Relatividade Especial (TRE) e a Teoria do Eletromagnetismo (TEM).Tais exemplos sao de fundamental importancia para uma completa compreensao da natureza dos camposeletrico e magnetico induzidos, bem como para o desenvolvimento dos conceitos da TRE. Eles podemser discutidos em sala de aula juntamente com uma contextualizacao historica acerca da evolucao dosconceitos de eletricidade e magnetismo que culminaram na elaboracao da Teoria do Eletromagnetismo.Palavras-chave: Eletromagnetismo, Relatividade Especial

In this paper we discuss two theoretical problems, not much discussed in most Brazilian universities,involving the Theory of Special Relativity (TSR) and the Electromagnetic Theory (EMT). Such examplesare of fundamental importance to a complete understanding of the nature of the induced electric andmagnetic fields, as well as for the development of concepts of TSR. These can be discussed in the classroomalong with a historical contextualization on the evolution of electricity and magnetism concepts whichculminated in the elaboration of Electromagnetic Theory.Keywords: Electromagnetism, Special Relativity

1. Introducao

O ensino de Ciencias a partir de um contexto historicotem sido amplamente utilizado nas ultimas decadas evem contribuindo bastante na melhoria dos currıculos,producao de material didatico e elaboracao de ati-vidades didaticas em sala de aula bem como napreparacao e atualizacao de professores da area [1].

A maioria dos exemplos sobre TRE apresentadosem sala para alunos estao relacionados aos conceitosde dilatacao do tempo e da massa, contracao dasdistancias e relacao materia-energia [2]. Embora naoseja o foco deste trabalho a discussao pela qual arelacao entre a Teoria da Relatividade Especial e aTeoria do Eletromagnetismo nao apareca explicita-mente nos livros-texto da graduacao, mesmo com

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a TEM sendo historicamente um dos alicerces emque Einstein elaborou sua Teoria [3, 4], acreditamosque tal conexao nao e feita pelo fato de que tal li-nha de raciocınio exigiria dos alunos uma habilidadematematica e conhecimento teorico previo do Ele-tromagnetismo que eles nao dispoem no momentoem que o conteudo lhes e apresentado. Essa comple-xidade pode ser verificada em livros como Teoria daRelatividade Especial, de R. A. Martins [5] e Ele-tricidade e Magnetismo, de E. M. Purcell [6]. Nessesentido, nosso trabalho preencheria essa lacuna coma apresentacao de exemplos simples que poderiamfazer a ponte entre essas duas teorias e contribuir noprocesso ensino-aprendizagem desse conteudo porparte dos alunos.

Apresentamos a seguir uma breve lista de per-sonagens e descobertas historicas que culminaram

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e2306-2 Sobre a inducao do campo eletromagnetico em referenciais inerciais...

na construcao da Teoria do Eletromagnetismo e emseguida mostramos de forma sucinta a motivacaode Einstein, a partir de problemas do Eletromagne-tismo, que o levou a elaboracao dos Postulados daTRE.

1.1. Uma breve historia sobre oeletromagnetismo

O estudo da eletricidade e do magnetismo remonta aGrecia antiga onde podemos destacar os experimen-tos feitos por TALES de Mileto (640-550 a.C.) ondeele observou o fenomeno de eletrizacao ao friccionaro ambar a uma pele de animal. Nesse experimento, oambar adquiria a capacidade de atrair pequenos ob-jetos proximos. Tales tambem realizou observacoesrelacionadas as propriedades de atracao e repulsaoentre pedacos de um determinado minerio chamadoMagnetita [7, 8]. Ao longo dos seculos o conheci-mento sobre eletricidade e magnetismo continuouavancando e novas descobertas e aplicacoes foramrealizadas considerando esses dois fenomenos comoalgo desconexo um do outro. No seculo XVIII, Char-les Augustin de COULOMB (1736-1806) realizouexperimentos com uma balanca de torcao e enun-ciou a sua famosa lei: “a forca entre duas cargase diretamente proporcional a carga em cada umadelas e inversamente proporcional ao quadrado dadistancia que as separa” [9].

Na mesma epoca, Luigi GALVANI (1737-1798)realizava investigacoes sobre a natureza e efeitos daeletricidade em tecidos animais. Em 1792 ele realizousua famosa experiencia onde conseguia contrair osmusculos da perna de uma ra pela aplicacao de umaespira constituıda de dois metais diferentes. Esseconjunto constituıa o primeiro elemento galvanicoconhecido: o musculo da ra era tanto o eletrolitoquanto o indicador da corrente [10,11]. Mais tarde,estudando esse assunto, Alessandro Count VOLTA(1745-1827) mostrou que nao era necessaria a pre-senca de um elemento biologico para a existenciade tal fenomeno e estabeleceu que a condicao es-sencial para a circulacao eletrica num condutor eraque o mesmo fosse constituıdo de pelo menos doiscondutores; um de primeira classe e um outro de se-gunda classe. Com essas ideias ele construiria maistarde a pilha voltaica, a precursora das bateriasgalvanicas [12]. Ja no seculo XIX, Simeon DenisPOISSON (1781-1849) realizou trabalhos relacio-nados a Lei de Coulomb onde contribuiu na teoriado potencial que havia desenvolvido inicialmentepara a gravitacao [13]. Poisson mostrou que toda

eletrostatica poderia ser explicada pela Lei de Cou-lomb ou, equivalentemente, pela equacao de Laplace-Poisson no caso particular onde nao se consideravaa presenca de dieletricos [14].

No magnetismo, Hans Christian OERSTED (1777-1851) realizou experimentos que apresentavam adeflexao da agulha de uma bussola por uma cor-rente eletrica [15]. Ele descobriu ainda a correspon-dente forca de um ima sobre um circuito eletricogirante. Na mesma epoca, Jean Baptiste BIOT(1774-1862) e Felix SAVART (1791-1841) a par-tir de observacoes experimentais formularam a leique mais tarde levaria seus nomes e que fornece ocalculo de campos magneticos produzidos por corren-tes eletricas [16–19]. Andre Marie AMPERE (1775-1836) ao tomar conhecimento das descobertas deOersted formulou a regra para indicar a direcao docampo magnetico gerado por uma corrente eletricanum fio. Descobriu que correntes que percorrem fiosparalelos, com correntes na mesma direcao se atraem,e se repelem quando as correntes sao contrarias; des-cobriu ainda que solenoides atuavam como imas embarra.

Os fenomenos eletricos e magneticos pareciamse complementar de modo que efeitos magneticossobre correntes eletricas forneciam uma maneira decalcular suas intensidades. Dentre a mirıade de per-sonalidades que viriam a contribuir para o desenvol-vimento da teoria da eletricidade e do magnetismo,um se destacaria como o maior fısico experimentaldo seculo XIX, a saber, Michael FARADAY (1791-1867). Faraday foi pioneiro no estudo das relacoesentre eletricidade e magnetismo. Em 1831 seus es-tudos o levaram a descoberta da inducao eletro-magnetica [17–20]. Em 1837 descobriu a influenciados dieletricos nos fenomenos eletrostaticos e, maistarde, dedicou-se a descrever a distribuicao geral daspropriedades diamagneticas em todos os materiais.Faraday descobriria ainda os efeitos do magnetismosobre a luz. O capıtulo final na historia da unificacaodos conceitos de eletricidade e magnetismo seria es-crito por James Clerk MAXWELL (1831-1879).

Em seu trabalho de 1861, Maxwell forneceu abase matematica para a compreensao das teoricaslinhas de forca apresentada por Faraday [21]. Em1862, levado por um forte sentido de simetria nas leisda natureza, ele acrescentou a corrente de desloca-mento a corrente de conducao na Lei de Ampere, queocorre em todos os dieletricos com campos eletricosvariaveis [18]. Ja em 1865, ele mostra que as ondas

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Ramos et al. e2306-3

eletromagneticas se propagam com a mesma velo-cidade da luz, a qual ele recalculou com precisao,concordando com os resultados de Weber [22]. Dessamaneira, Maxwell consegue o feito de unificar os con-ceitos de eletricidade, magnetismo, ondas e oticanuma unica teoria chamada desde entao Teoria doEletromagnetismo [18,19,23].

1.2. A genese da TRE e seus postulados

No final do Seculo XIX e inıcio do Seculo XX, Eins-tein propoe a TRE como uma solucao para doisproblemas existentes na Teoria Eletromagnetica [3].O primeiro deles era sua dificuldade de explicar sa-tisfatoriamente o problema da radiacao de um corponegro e o segundo era o movimento relativo ao eter.Para responder a primeira questao, Einstein lancamao da proposta dos quanta de luz. Desta feita eleacreditava que nao haveria necessidade de substituira Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell e que amesma conseguia justificar bem os fenomenos pura-mente opticos, de modo que dificilmente tal teoriaseria abandonada. Einstein ainda corroborava coma opiniao de Lorentz que acreditava que o cerne daTeoria do Eletromagnetismo de Maxwell era a pro-pagacao finita da velocidade da luz com valor iguala uma constante. Essa crenca, juntamente com oresultado do experimento de Michelson-Morley indi-cando que em relacao a um sistema de coordenadasmovendo-se junto com a Terra todos os fenomenosseriam descritos exatamente pelas mesmas leis, tor-nando o conceito do eter obsoleto e resolvendo osegundo problema supracitado, Einstein conseguechegar a elaboracao de dois postulados que sao ospilares construtivos da TRE. O primeiro postuladopode ser escrito da seguinte forma: “todos os proces-sos da Natureza decorrem igualmente em todos ossistemas inerciais de referencia”. Ja o segundo diz: “avelocidade da luz no vacuo e igual para todos os sis-temas de referencia inerciais. Ela nao depende nemda velocidade do emissor, nem da velocidade do re-ceptor do sinal luminoso”. Desta forma, podemos vero papel crucial que a Teoria do Eletromagnetismoteve no desenvolvimento da TRE.

Motivados pela relacao intrınseca entre a TREe a Teoria do Eletromagnetismo, nos propomosneste trabalho a tratar do ensino de TRE focandoem exemplos didaticos que evoquem suas raızeshistoricas relacionadas a Teoria do Eletromagne-tismo.

2. ModeloUma partıcula de carga q positiva move-se livre-mente na regiao x < 0 com velocidade ~v na direcaox em relacao a um referencial S fixo na origem, ouseja, ~v = v0i com v0 constante. Na regiao x ≥ 0existe um campo uniforme que pode ser eletrico oumagnetico. A carga esta fixa em um referencial S′,o qual move-se tambem com velocidade constantede modulo v0 na direcao x em relacao a S. Em bai-xas velocidades, a forca eletromagnetica exercidasobre a partıcula nas regioes x < 0 e x > 0 e bemdefinida [17–19], ou seja, nao existira variacao doscampos ~E e ~B e, consequentemente, nao havera cam-pos induzidos nessas regioes. Portanto, as forcas queatuam sobre a partıcula (somente na regiao x > 0)sao as forcas eletrica e/ou magnetica convencionais,conforme o problema em questao. Por outro lado,no regime de altas velocidades, um observador no re-ferencial S′, movendo-se na regiao x > 0, observarauma aceleracao na partıcula. Este tipo de analiseesta fora do escopo do presente trabalho e, com isso,os casos de interesse que nos propomos a discutirsurgem somente na interface entre as regioes, ouseja, em x = 0. Portanto, iremos analisar com maiscuidado o que ocorre na interface em relacao aosreferenciais S e S′. Em outras palavras, queremossaber qual e a forca que atua sobre a partıcula con-siderando dois casos: (1) na regiao x ≥ 0 existe umcampo magnetico na direcao z e (2) na regiao x ≥ 0existe um campo eletrico na direcao j. Em cada umdesses casos iremos analisar os limites de (i) baixase (ii) altas velocidades.

3. Caso 13.1. (i) - Baixas velocidades: v0 � c

Inicialmente, vamos supor que na regiao x ≥ 0 existeum campo magnetico uniforme na direcao z, ou seja,~B = B0k (Figura 1). Esse campo magnetico podeser gerado, por exemplo, pelos polos de dois ımaspermanentes colocados em paralelo ou na regiaocentral de uma bobina de Helmholtz.

Sabe-se que uma partıcula carregada sob a acaode um campo eletromagnetico sofre a acao de umaforca dada por

~F = ~Fel + ~Fmag = q ~E + q~v × ~B (1)

onde ~Fel e ~Fmag representam as forcas eletrica emagnetica atuando sobre a partıcula, respectiva-mente. Tal forca e conhecida como forca de Lo-rentz [18,19].

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0161 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 39, nº 2, e2306, 2017


Figura 1: Sistema de coordenadas contendo um campomagnetico uniforme na direcao z para x ≥ 0.

Na regiao x < 0, nao existe nenhuma forca atu-ando sobre a partıcula, pois ~B = ~E = 0. Por outrolado, na regiao x > 0 (e em x = 0) a partıculasofrera uma forca, percebida somente do ponto devista do referencial S, que e puramente magnetica1,ja que ela move-se em tal referencial sob a acao de~B = B0k, assim

~FS = ~FSmag = qv0B0(−j) (2)

Na interface das regioes com e sem campo magnetico,a situacao vista por um observador no referencial S′

e um pouco mais sutil. Para sermos mais precisosem nossas conclusoes, vamos obter a forca que atuasobre a partıcula imediatamente apos ela penetrarna regiao de campo magnetico situada em x = 0.

Para um observador que se move junto com oreferencial S′, a partıcula carregada encontra-seem repouso e, consequentemente, nao havera forcamagnetica. No entanto, para este observador, ocor-rera uma variacao do campo magnetico com o tempo.Essa variacao, segundo a lei de Faraday, ira produ-zir um campo eletrico induzido nessa regiao que, deacordo com a lei de Lenz, deve produzir um fluxomagnetico oposto ao da variacao ocorrida [17]. A leide Faraday escrita na forma diferencial torna maisclara sua interpretacao fısica e compoe um conjuntode quatro equacoes conhecidas como equacoes de

1Interacoes de natureza eletrica estao ausentes aqui devido aausencia de cargas eletricas e campos magneticos variandono tempo (como proposto no enunciado). O fato de termos~∇× ~B = 0 em x = 0 implica que, segundo a lei de Ampere-Maxwell, ~E nao tem dependencia temporal, no entanto, naosignifica que ele exista.

Maxwell [18, 19,23]

~∇′ × ~E′ = −∂

~B′

∂t′ (3)

Essa equacao nos diz que a variacao temporal docampo magnetico ira produzir um campo eletricoinduzido que rotaciona em torno da regiao ondeocorreu a variacao. Perceba que mesmo o campomagnetico sendo constante, para um observador noreferencial S′, havera uma variacao temporal em ~Bao passar pela posicao x = 0.

Do calculo vetorial [24–26], sabemos que o rota-cional de um vetor ~∇× e dado, em coordenadascartesianas para um referencial S′, por

~∇′ × ~E′ =

(∂E

′z

∂y′ −∂E

′y

∂z′

)i+

(∂E

′x

∂z′ −∂E

′z

∂x′

)j +(

∂E′y

∂x′ −∂E

′x

∂y′

)k (4)

onde E′x, E′

y e E′z sao as componentes do vetor

campo eletrico nas direcoes x′, y′ e z′, respectiva-mente, ou seja

~E′ = E

′xi+ E

′y j + E

′zk (5)

Como estamos considerando baixas velocidades,os efeitos relativısticos sao desprezıveis e os campossao invariantes. Como consequencia, no lado direitoda equacao (3) podemos considerar ~B′ = ~B. Assim,no referencial S′, ocorrera uma variacao de campomagnetico ∆ ~B

′ = ~B′f−

~B′i = B0k−0 = B0k quando

a partıcula passa pela posicao x = 0. De acordocom a lei de Lenz [17], o campo eletrico induzidoestara no plano xy. Observemos tambem que nessereferencial, a variacao de ~B ocorrida em x = 0 terasomente dependencia temporal e, consequentemente,as equacoes (3) e (4) resultam em:

−∂E′

y

∂z′ i+∂E′

x

∂z′ j+(∂E′

y

∂x′ −∂E′

x

∂y′

)k = −dB0

dt′k (6)

Para obter o campo eletrico induzido na regiaode transicao, precisamos calcular as derivadas nasequacoes de Maxwell. No entanto, nesse caso pode-mos utilizar diferencas finitas, o que equivale a dizer,fisicamente, que o campo varia linearmente na regiaode transicao. Assim, podemos fazer a aproximacao

d ~B′

dt′≈ ∆ ~B′

∆t′ (7)



A variacao de campo, e consequentemente osfenomenos fısicos de interesse ocorrem somente nafronteira entre as regioes com e sem campo magnetico,portanto, podemos imaginar, sem perda de genera-lidade, que nesse ponto o campo eletrico induzido~E′ tera somente componente y, logo

∂ ~E′y

∂x′ =d ~E′

y

dx′ ≈∆ ~E′

y

∆x′ (8)

Esse fato aliado a igualdade de vetores, nos permitereescrever a equacao (6) como

∆E′y = −∆x′

∆t′ ∆B′ (9)

onde ∆x′

∆t′ = v′ e a velocidade (com relacao ao re-ferencial S′) com que a interface se aproxima dapartıcula carregada e ∆E′

y e ∆B′ sao iguais a E′y

e B0, respectivamente. Como v0 = −v′, o campoeletrico induzido pela variacao do campo magnetico,visto por um observador no referencial S′ pode serescrito como

~E′ = E′y(−j) = v0B0(−j) (10)

Como consequencia, a forca que age sobre a partıculapara um observador que se move junto com a cargano referencial S′ e uma forca eletrica, ou seja

~FS′ = ~FS

′el = qv0B0(−j) (11)

De acordo com as equacoes (2) e (11), vemos que

~FSmag = ~FS′

el = qv0B0(−j) (12)

e a lei fısica permanece a mesma para os dois refe-renciais inerciais. O que muda para os dois obser-vadores situados em tais referenciais e a explicacaodo fenomeno. Para um observador em S a forca egerada por um campo magnetico enquanto para umobservador em S′, a forca e gerada por um campoeletrico induzido.

3.2. (ii) - Altas velocidades: v0 ≈ c

Para altas velocidades, os efeitos relativısticos naopodem ser desprezados, devendo-se levar em conta atransformacao dos campos. Nessa transformacao, ascomponentes do campo eletrico combinam-se comas do campo magnetico e vice-versa. Alem disso,nao faz mais sentido considerar um campo eletricoe um campo magnetico separadamente e, sim, umcampo eletromagnetico. Esse campo eletromagnetico

e uma quantidade tensorial e suas componentes iraotransformar-se como as de um tensor de segundaordem frente a uma transformacao de Lorentz [19,27]. Considerando novamente que o referencial S′

esta se movendo com velocidade ~v = v0i com relacaoao referencial S temos que as componentes do campoeletromagnetico nesses referenciais sao dadas por

B′x = Bx

B′y = γ[By + (β/c)Ez]

B′z = γ[Bz − (β/c)Ey]

(13)

e

E′x = Ex

E′y = γ[Ey − βcBz]

E′z = γ[Ez + βcBy]

(14)

onde β = v0/c e γ = 1/[1− (v0/c)2]1/2 e o fator deLorentz.

Para um observador no referencial S essas equacoestornam-se

~E = (Ex, Ey, Ez) = (0, 0, 0)

~B = (Bx, By, Bz) = (0, 0, B0)(15)

Por outro lado, no referencial S′ temos~E′ = (E′

x, E′y, E

′z) = (0,−γv0B0, 0)

~B′ = (B′x, B

′y, B

′z) = (0, 0, γB0)

(16)

Assim, a forca que agira sobre a partıcula no refe-rencial S sera magnetica, pois a partıcula estara emmovimento em relacao a esse referencial, ou seja

~FS = ~FSmag = qv0B0(−j) (17)Devemos novamente enfatizar que a forca observadano referencial S′ e de natureza eletrica, devido auma variacao de ~B nesse referencial. Entretanto, omodulo desta forca e obtido pela transformacao docampo eletromagnetico quando estamos no regimede altas velocidades. Dessa forma,

~FS′ = ~FS

′el = qv0B

′(−j) (18)com B′ = γB0. Aqui, chamamos atencao ao fatoque

FS′ = γFS (19)

onde γ ≥ 1, uma vez que as linhas de forca ficammais proximas nas direcoes transversais ao movi-mento e, consequentemente, a intensidade do campoaumenta por um fator γ [23].



4. Caso 2

Vamos considerar agora que na regiao x ≥ 0 existeum campo eletrico uniforme aplicado na direcaoy, ou seja, ~E = E0j. Esse campo eletrico pode sergerado, por exemplo, entre as placas de um capacitorde placas paralelas.

4.1. (i)−Baixas velocidades: v0 � c

Novamente, na regiao x < 0, nao existe nem forcaeletrica nem forca magnetica pois, ~B = ~E = 0 evamos observar o que ocorre na fronteira entre asregioes com e sem campo eletrico, ou seja, estaremosinteressados em fenomenos que ocorrerao em x = 0.Como foi considerado no caso 1, vamos obter a forcaque atua sobre a partıcula imediadamente apos elapenetrar a regiao de campo.

Em relacao ao referencial S, a partıcula com ve-locidade ~v = v0i esta sujeita a um campo eletrico~E = E0j. Com isso, a forca que age sobre ela serapuramente eletrica2, dada por

~FS = ~FSel = qE0j (20)

Nesse mesmo instante, podemos analisar a forcaque atua sobre a partıcula em relacao ao referencialS′. Nesse referencial, um observador percebera umavariacao do campo eletrico com o tempo. Pela lei deAmpere [17], sabemos que essa variacao temporalem ~E sera responsavel pelo aparecimento de umcampo magnetico induzido na regiao do espaco ondeocorreu a variacao. Na forma diferencial, a lei deAmpere torna mais facil sua interpretacao e assimcomo a lei de Faraday faz parte das equacoes deMaxwell [18, 19,23]

~∇′ × ~B′ = 1

c2∂ ~E

′

∂t′ (21)

Essa equacao nos diz que a variacao temporal docampo eletrico ira produzir um campo magneticoinduzido que rotaciona em torno da regiao ondeocorreu a variacao. Analogamente ao caso 1, pode-mos considerar a invariancia dos campos em baixasvelocidades e escrever ~E′ = ~E no lado direito daequacao (21). Usaremos a mesma definicao do rota-cional de um vetor dada pela eq. (4), os argumentos2Interacoes de natureza magnetica estao ausentes aqui devidoa ausencia de correntes e campos eletricos variando no tempo(como proposto no enunciado). O fato de termos ~∇× ~E = 0em x = 0 implica que, segundo a lei de Faraday, ~B nao temdependencia temporal, no entanto, nao significa que ele exista.

a respeito do campo induzido e das derivadas nasequacoes de Maxwell na regiao de transicao paraencontrar uma solucao da eq. (21) aplicada ao vetor~B

′ = B′xi + B

′y j + B

′zk. Com isso, obtemos que o

vetor campo magnetico induzido na fronteira dasregioes analisadas sera da forma

~B′ = E0v0

c2 (−k) (22)

Uma importante observacao merece destaque nesseponto: o fato de que mesmo na presenca de umcampo magnetico, nao havera forca magnetica apli-cada, vista por um observador no referencial S′, poisa partıcula esta em repouso nesse referencial. As-sim, a forca que age sobre a partıcula vista por umobservador que se move junto com o referencial S′ ede origem puramente eletrica, ou seja,

~FS′ = ~FS

′el = qE0j (23)

Novamente chegamos em um resultado consistentecom as leis fısicas do eletromagnetismo e dois ob-servadores situados nos referenciais inerciais S e S′

concordarao quanto a forma da interacao ente apartıcula e o campo, a saber

~FSel = ~FS′

el = qE0j (24)

4.2. (ii) - Altas velocidades: v0 ≈ c

Assim como foi feito anteriormente, temos que con-siderar o campo eletromagnetico. Sabendo que ocampo eletrico aplicado e dado por ~E = E0j, po-demos usar as equacoes (13) e (14) para escreveras componentes do campo eletromagnetico nessesreferenciais da seguinte forma:

~E = (Ex, Ey, Ez) = (0, E0, 0)

~B = (Bx, By, Bz) = (0, 0, 0)(25)

~E′ = (E′

x, E′y, E

′z) = (0, γE0, 0)

~B′ = (B′x, B

′y, B

′z) =

(0, 0,−γβ

c E0) (26)

Assim, no referencial S, a forca que age sobre apartıcula e dada por

~FS = ~FSel = qE0j (27)

Por outro lado, no referencial S′, a partıcula carre-gada sofrera a acao de uma forca puramente eletrica(devido ao campo eletrico transformado ~E′) mesmo



na presenca de um campo magnetico transformado~B′. Esse resultado e uma consequencia direta dofato da partıcula encontrar-se em repouso neste re-ferencial. Com isso, temos

~FS′ = ~FS

′el = qE′

y j = γqE0j (28)

Novamente, podemos notar que

FS′ = γFS (29)

onde γ ≥ 1.

5. Conclusao

Neste trabalho apresentamos dois exemplos simplesque mostram a conexao entre a TRE e a Teoriado Eletromagnetismo como uma proposta de ativi-dade didatica complementar dentro do currıculo dasdisciplinas de graduacao, possibilitando ao alunouma melhor compreensao da importancia dessasduas grandes teorias da Fısica e como a Teoria doEletromagnetismo fora fundamental para o desen-volvimento da TRE. Tais exemplos vem preencheruma lacuna nas referidas disciplinas, que em suagrande maioria tratam o assunto da Relatividadede maneira hermetica nao se preocupando em fazerrelacoes com teorias anteriores que foram fundamen-tais para sua formulacao.

Referencias

[1] M.R. Mathews, Science Teaching: The Role of His-tory and Philosophy of Science (Routledge, NewYork, 1994).

[2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos deFısica, Vol. 4 (LTC editora, Rio de Janeiro, 2012),9ª ed.

[3] A. Einstein, in: The Principle of Relativity (Methuenand Company Ltd., London, 1923), p. 1-34.

[4] A. Einstein e L. Infeld, A Evolucao da Fısica (ZaharEditores, Rio de Janeiro, 1966), 2ª ed.

[5] Roberto de Andrade Martins, Teoria da Relativi-dade Especial (Editora Livraria da Fısica, Sao Paulo,2012), 2ª ed.

[6] Edward M. Purcell, Eletricidade e Magnetismo,Curso de Fisica de Berkeley, Volume 2 (EdgardBlucher, Sao Paulo, 1973).

[7] J.F. Keithley, The Story of Electrical and MagneticMeasurements: From 500 BC To the 1940s (IEEE,New York, 1999), p. 2.

[8] Paul Iversen and Daniel J. Lacks, Journal of Elec-trostatics 70, 309 (2012).

[9] C. Stewart Gillmor, Coulomb and the Evolutionof Physics and Engineering in Eighteenth-CenturyFrance (Princeton University Press, Princeton,1972).

[10] Marco Piccolino, C. R. Biologies 329, 303 (2006).[11] Christian Cajavilca, Joseph Varon and George L.

Sternbach, Resuscitation 80, 159 (2009).[12] Sergio Trasatti, Journal of Electroanalytical Che-

mistry 460, 1 (1999).[13] S.D. Poisson, Journal de l’Ecole Polytechnique 15e

cahier, 8, 1 (1808).[14] S.D. Poisson, Memoires de la Classe des Sciences

Mathematiques et Physiques de l’Institut Imperialde France 12, 1 (1812).

[15] H.C. Oersted, Annals of Philosophy, 16, 273 (1820).[16] J.B. Biot and F. Savart, in: Collection de Memoires

Relatifs a la Physique, volume 2 (Gauthier-Villars,Paris, 1885), p. 80-125.

[17] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos deFısica, Vol. 3 (LTC editora, Rio de Janeiro, 2012),9ª ed.

[18] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics(Prentice Hall, New Jersey, 1999), 3ª ed.

[19] J.R. Reitz, F.J. Milford, R.W. Chisty, Fundamentosda Teoria Eletromagnetica (Editora Campus, Riode Janeiro, 1982), 1ª ed.

[20] Gary G. Tibbetts, in: How the Great Scientists Re-asoned (Elsevier, Filadelfia, 2013), p. 61-77.

[21] Philip L. Marston, Journal of Quantitative Spec-troscopy and Radiative Transfer 178, 50 (2016).

[22] J.C. Maxwell, Philos Trans R Soc Lond 155, 459(1865).

[23] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley& Sons, Inc., New Jersey, 1999), 3d ed.

[24] Hamilton L. Guidorizzi, Um Curso de Calculo, Vol.3 (LTC Editora, Rio de Janeiro, 2002), 5ª ed.

[25] G.B. Arfken, H.J. Weber and F.E. Harris, Mathe-matical Methods for Physicists (Academic Press,Lewiston, 2005), 6th ed.

[26] E. Butkov, Mathematical Physicists (St. John’s Uni-versity, New York, 1973).

[27] M. I. N. Ota, RBHM, 5, 27 (2005).


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