Eletromagnetismo II

Captulo I

As equacoes de Maxwell

Prof. Dr. Ricardo L. Viana

Departamento de Fsica

Universidade Federal do Parana

Curitiba - PR

4 de marco de 2015

Na disciplina Eletromagnetismo I foram vistas as quatro equacoes de Maxwellem detalhes, tanto no vacuo como em meios materiais. A disciplina Eletromag-netismo II focalizara diversas aplicacoes das equacoes de Maxwell, como a pro-pagacao de ondas eletromagneticas e a emissao de radiacao. Por este motivo,inicialmente faremos uma revisao das equacoes de Maxwell, introduzindo umcontexto historico em que elas foram obtidas e acrescentando ainda algumasdas suas consequencias fsicas importantes.

1 Introducao

O escoces James Clerk Maxwell (1831-1879), alem de ter sido um dos criadoresda Mecanica Estatstica, foi responsavel pela criacao de uma teoria unificadapara a eletricidade e o magnetismo [Fig. 1]. Maxwell comecou a estudar ostrabalhos de Faraday em 1855, quando ainda era estudante na Universidade deCambridge, publicando seu primeiro trabalho em 1856, que propoe uma teoriados campos eletrico e magnetico baseadas em analogias com a hidrodinamica[1].

Entre 1861 e 1862, quando ja era professor no Kings College (Londres),Maxwell publicou um segundo trabalho, em quatro partes, no Philosophical Ma-gazine [2]. Nesta serie de trabalhos, Maxwell propoe um modelo de partculaseletricas e vortices no eter, que era considerado a` epoca um meio elastico ne-cessario para a transmissao das interacoes eletricas e magneticas. Um dos con-ceitos novos introduzidos por Maxwell nestes trabalhos era a chamada correntede deslocamento, proporcional a` variacao temporal do campo eletrico, e quedeveria ser adicionada a` corrente eletrica de conducao na Lei de Ampe`re paraque o princpio de conservacao de carga fosse respeitado.

No modelo mecanico que Maxwell concebeu para o campo eletromagneticono eter, os tubos de linhas de forca magnetica eram concebidos como celulas tu-bulares cheias de um fluido em rotacao em torno das linhas de forca. Paraque tubos adjacentes pudessem girar no mesmo sentido, Maxwell imaginou

1

Figura 1: James Clerk Maxwell.

a existencia de rolamentos esfericos, responsaveis pelas forcas eletricas, cu-jos deslocamentos corresponderiam a correntes eletricas (da o nome dado porMaxwell a` corrente de deslocamento, e que e usado ate os dias de hoje) [Fig.2]. Maxwell chegou a`s suas equacoes aplicando a mecanica dos meios contnuosa este modelo de vortices para o eter celular.

Um resultado importante desse artigo de 1861 (Parte III) e a hipotese de queo eter permitiria a propagacao de vibracoes transversais com a mesma velocidadeda luz c. Na epoca de Maxwell o valor de c era conhecido por meio de observacoesastronomicas dos satelites de Jupiter (metodo de Romer) e por experiencias delaboratorio. Fizeau, em 1848, usando uma roda dentada em rotacao rapida eum espelho, obteve c = 3, 14 108m/s. Foucault, em 1850, usando um espelhogirante e outro fixo chegou a c = 2, 98 108m/s.

Experiencias eletromagneticas realizadas em 1855 por Kohlrausch e Weberdeterminaram o valor 3, 107 108 para a razao entre a unidade eletromagneticaabsoluta de carga e a unidade eletrostatica absoluta de carga. Alem disso, adimensao desta razao e a mesma de velocidade. Em linguagem moderna, estaigualdade e escrita como (no Sistema Internacional de Unidades)

c =100

, (1)

onde 0 e 0 sao, respectivamente, a permissividade eletrica e a permeabilidademagnetica do vacuo. Apesar dessa impressionante coincidencia, ninguem, antesde Maxwell, parece ter tido a ideia de conectar os dois resultados. Em finsde 1861, enquanto trabalhava na parte III do seu artigo, Maxwell, retornandode sua fazenda na Escocia para Londres, leu o trabalho de Kohlrauch e Weber,

2

linhas de foramagnetica

de eter

rolamentos esfericos(deslocamento eletrico)

vortices moleculares

Figura 2: Modelo de vortices para o eter proposto por Maxwell.

converteu o resultado num formato compatvel com seu trabalho, e concluiu quea luz seria uma onda eletromagnetica, resultante das vibracoes do eter, como sefosse uma onda mecanica.

Maxwell publicaria em 1865 um novo trabalho [3], no qual estruturou deforma mais geral sua teoria unificada dos campos eletrico e magnetico, sem ocomplicado modelo mecanico de vortices no eter, usado anteriormente. Maxwellpassa a aceitar que a energia reside no campo eletromagnetico, e nao nas su-postas propriedades elasticas do eter. Alem disso, nesse trabalho ele deduz aequacao das ondas eletromagneticas.

Em 1871, Maxwell tornou-se professor em Cambridge e o primeiro diretordo Laboratorio Cavendish de fsica experimental, que criou e existe ate hoje.Dois anos depois, ele publicou um livro trazendo um apanhado dos seus tra-balhos sobre Eletromagnetismo [4]. Originalmente Maxwell havia escrito umconjunto de vinte equacoes com vinte incognitas, incluindo algumas equacoesque atualmente sao consideradas auxiliares, como a lei de Ohm e a equacao decontinuidade de carga. Na forma original, Maxwell havia escrito uma equacaopara cada componente. As equacoes de Maxwell foram escritas pela primeiravez na forma vetorial em que as conhecemos atualmente em 1884 por OliverHeaviside.

Nos seus primeiros anos de existencia, a teoria de Maxwell ainda era poucoentendida e ate mesmo vista com certa desconfianca, principalmente pois algu-mas das suas predicoes ainda nao haviam sido verificadas experimentalmente.Quem mostrou a existencia das ondas eletromagneticas, que Maxwell interpre-tava como as vibracoes transversais do eter propagando-se a` velocidade da luz,foi Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve oscilacoes eletromagneticas com altafrequencia, usando um circuito alimentado por uma fasca, e usando como de-tector uma espira com um pequeno espaco, onde uma outra fasca era geradaquando excitada por uma onda eletromagnetica. Com esse equipamento Hertzdemonstrou em 1888 que as ondas eletromagneticas propagam-se com a veloci-dade da luz, como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as propriedadesondulatorias (reflexao, refracao, polarizacao, etc.). A descoberta de Hertz foi

3

Figura 3: Lei de Gauss eletrica

rapidamente aplicada na transmissao de sinais a longa distancia.

2 As equacoes de Maxwell no vacuo

Inicialmente vamos abordar apenas as equacoes de Maxwell no vacuo, isto e,na ausencia de meios materiais (dieletricos e/ou magneticos). Entao estaremosinteressados em situacoes onde as fontes de campos eletromagneticas sejam dis-tribuicoes de cargas e correntes eletricas. Neste captulo, bem como em toda adisciplina, empregaremos o sistema internacional (MKSA) de unidades, para oqual as constantes eletromagneticas estao relacionadas com a velocidade da luzno vacuo pela equacao (1).

2.1 Lei de Gauss eletrica

O fluxo eletrico atraves de uma superfcie S fechada e definido como

E =

S

E dA =S

E n dA, (2)

onde dA = (dA)n e um elemento de area vetorial, orientada pelo versor nperpendicular a` superfcie S, e que faz um angulo com o campo eletrico. Porconvencao, o versor n sempre aponta para fora da superfcie S em cada pontodesta. levando a` Lei de Gauss eletrica: o fluxo eletrico atraves de uma superfciefechada S e proporcional a` carga eletrica lquida q envolvida por S

S

E dA = q0. (3)

onde

0 = 8, 854187817 1012 C2/N.m2 (4)e a chamada permissividade do vacuo. Essa forma e dita integral pois aplica-se a regioes limitadas do espaco (ou, jogando S para o infinito, para todo oespaco).

4

Figura 4: Lei de Gauss magnetica

Usando o teorema do divergente em (3), transformamos a integral sobre asuperfcie fechada S numa integral de volume do divergente de E sobre a regiaoV limitada por S. Da mesma forma, escrevemos a carga lquida q, envolvidapor S, como a integral de uma densidade volumetrica de carga (r) ao longodessa mesma regiao

S

E dA =V

E dV = q0

=1

0

V

dV,V

( E

0

)dV = 0.

Se a integral acima e nula para um volume V arbitrario, entao o integrandodeve ser identicamente nulo para qualquer ponto desse volume, logo

E = 0

(5)

e a forma diferencial da Lei de Gauss eletrica (vale ponto a ponto no espaco).

2.2 Lei de Gauss magnetica

Em analogia ao raciocnio feito para o campo eletrico, a integral do fluxomagnetico B sobre uma superfcie fechada S deveria ser proporcional a` cargamagnetica lquida envolvida por S. No entanto, ate hoje nao foram observa-das tais cargas magneticas (tambem chamados monopolos magneticos) isolada-mente: as estruturas mais simples conhecidas sao os dipolos magneticos. Poresse motivo a lei de Gauss magnetica e expressa simplesmente como a nulidadedo fluxo magnetico atraves de uma superfcie fechada: B = 0 ou ainda

S

B dA = 0. (6)

5

Figura 5: Experiencia do ima-espira

E frequente o uso do termo densidade de fluxo magnetico para distinguir ocampo magnetico B da intensidade magneticaH. Essa distincao, no entanto, soe importante para meios materiais: no vacuo os dois vetores sao proporcionais.A unidade de fluxo magnetico no SI e o weber (Wb), de forma que a unidadedo campo magnetico e, a`s vezes, referida como 1T = 1Wb/m2.

Aplicando o mesmo raciocnio para a integral de superfcie do campo magneticoem (6), obtemos a forma diferencial da lei de Gauss magnetica

B = 0. (7)

2.3 Lei de Faraday

A lei de Faraday aparece na formulacao matematica da famosa experiencia doima-espira. Quando um ima e aproximado de uma espira aparece uma correnteinduzida, o que provoca uma leitura no galvanometro. Se o ima esta paradoem relacao a` espira, nao se registra corrente induzida na espira. Ja se o imae afastado da espira a corrente e induzida no sentido oposto. Desta forma seobserva que: (i) o movimento relativo entre o ima e a espira induz uma forcaeletromotriz na espira; (ii) o sentido da forca eletromotriz induzida e tal quese opoe a` causa que a produziu (no caso, o movimento do ima em relacaoa` espira). A segunda conclusao, que decorre do princpio de conservacao daenergia, e conhecida como Lei de Lenz.

O fluxo magnetico atraves da superfcie aberta S, limitada pela espira, e

B =

S

B dA. (8)

Vamos considerar o ima em movimento e a espira em repouso, em relacao aoreferencial do laboratorio. A forca eletromotriz induzida na espira C e definidacomo

E =C

E ds, (9)

6

onde E e o campo eletrico induzido e ds o elemento de deslocamento veto-rial. Na verdade, a espira nem precisa existir materialmente, basta que C sejaum caminho fechado (espira amperiana). Se houver, de fato, uma espira deresistencia eletrica R, a corrente induzida sera I = E/R.

A lei de Faraday, na sua forma integral, diz que a forca eletromotriz induzidana espira e proporcional a` taxa de variacao com o tempo do fluxo magneticoatraves da espira C, ou seja

E = dBdt

, (10)

onde o sinal negativo vem da Lei de Lenz, de modo queC

E ds = ddt

S

B dA. (11)

Usando o Teorema de Stokes em (11), transformamos a integral da circulacaodo campo eletrico E ao longo de um caminho fechado C na integral de superfciedo rotacional de E ao longo da superfcie aberta S, limitada pelo caminho C.Supondo, ainda, que a superfcie S nao se altere com o passar do tempo, entao

C

E ds =S

(E) dA = t

S

B dA = S

B

t dA,

S

(E+ B

t

) dA = 0.

Se a integral acima e nula para uma superfcie S aberta arbitraria, o inte-grando deve ser identicamente nulo para qualquer ponto dessa superfcie:

E = Bt

. (12)

2.4 Lei de Ampe`re-Maxwell

2.4.1 Lei circuital de Ampe`re

Biot, Savart e Ampe`re realizaram, entre 1820 e 1825, uma serie de experimentospara a determinacao das forcas magneticas entre circuitos de corrente eletrica.A partir deles, Ampe`re propos que o campo magnetico produzido por uma dadadistribuicao de corrente fosse dado pela seguinte lei circuital

C

B ds = 0I, (13)

onde I e a corrente total que intercepta a superfcie limitada pela curva C, e

0 = 4 107N/A2 (14)

e a chamada permeabilidade do vacuo.Escrevemos a corrente eletrica lquida I atravessando uma superfcie aberta

S como a integral de uma densidade superficial de corrente J(r), tal que

I =

S

J dA. (15)

7

Figura 6: Lei circuital de Ampe`re

Usamos o Teorema de Stokes em (13) para transformar a integral de caminhoao longo da curva fechada C numa integral de superfcie atraves da superfcieaberta S delimitada por C. Usando (15) e supondo que a superfcie S nao sealtera com o tempo temos

C

B ds =S

(B) dA = 0S

J dAS

(B 0J) dA = 0.

Se a integral acima e nula em S, assim tambem o integrando em cada pontode S, resultando na forma diferencial da Lei circuital de Ampe`re

B = 0J. (16)

2.4.2 Corrente de deslocamento de Maxwell

Maxwell percebeu que a lei de Ampere, na forma (16), viola o princpio deconservacao de carga quando aplicada a correntes eletricas nao-estacionarias.Como um exemplo, consideramos um capacitor de placas paralelas sendo car-regado por uma bateria [Fig. 7]. Num certo instante de tempo (da ordem daconstante de tempo do circuito) a corrente que alimenta as placas do capacitore I.

Vamos aplicar a lei circuital de Ampe`re (13) ao percurso fechado C queenvolve uma superfcie circular aberta S que e interceptada pela corrente deconducao I:

C

B ds = 0I. (17)

Entretanto, se aplicarmos a lei circuital de Ampe`re a` superfcie aberta S, quepassa por entre as placas do capacitor e tambem e limitada pelo caminhofechado C, teremos

C

B ds = 0, (18)

8

S

S

C

capacitor

II

Figura 7: Corrente de deslocamento num circuito contendo um capacitor deplacas paralelas.

pois nao ha corrente de conducao entre as placas do capacitor. Como explicaressa discrepancia? Nao estaria havendo uma violacao da lei de conservacao decarga, aplicada ao circuito como um todo (dentro e fora das placas)?

Maxwell percebeu que a solucao desse problema passava em imaginar umacorrente de deslocamento Id que, ao inves de descrever um movimento real decargas (como na corrente de conducao), esta relacionada a` variacao temporaldo campo eletrico entre as placas do capacitor. A quantidade Id deve ter asmesmas dimensoes de I, ou seja Ampe`re (no SI) ou statampe`re (no Gaussiano).

No exemplo do capacitor de placas paralelas, se estas tiverem area A ea distancia entre elas for suficientemente pequena para que as placas sejamtratadas como sendo infinitamente extensas, a lei de Gauss nos fornece o campoeletrico entre as placas:

E(t) =q(t)

0A, (19)

onde I = dq/dt e a taxa com que a carga nas placas do capacitor esta aumen-tando ou diminuindo. A taxa de variacao temporal do campo eletrico entre asplacas sera, pois

dE

dt=

1

0A

dq

dt=

I

0A. (20)

Supondo que haja conservacao de carga em todo o circuito, a corrente dedeslocamento entre as placas ID deve ser igual a` corrente de conducao I foradas placas, ou seja,

Id = I = 0AdE

dt. (21)

Em geral, definimos uma densidade de corrente de deslocamento como sendo

Jd 0 Et

. (22)

Maxwell, no contexto da sua teoria do campo eletromagnetico, associou o campoeletrico ao deslocamento sem atrito de rolamentos entre os vortices do eter.Por esse motivo, por razoes historicas, esse termo ate hoje e conhecido comodensidade de corrente de deslocamento, ainda que nao envolva deslocamentoalgum de cargas.

9

Maxwell entao propos que a lei circuital de Ampe`re fosse modificada napresenca de correntes nao-estacionarias, pela inclusao da densidade de correntede deslocamento a` densidade de corrente de conducao J em (16):

B = 0(J+ Jd). (23)Substituindo (22) temos

B 1c2E

t= 0J, (24)

que e a lei de Ampe`re-Maxwell.Integrando (24) numa superfcie aberta e fixa S e aplicando o teorema de

Stokes a` primeira integral obtemos a forma integral da Lei de Ampe`re-Maxwell:C

B ds = 0I + 1c2

t

S

E dA. (25)

2.5 Resumo

As quatro equacoes de Maxwell no vacuo (nas formas integral e diferencial) sao

1. Lei de Gauss eletricaS

E dA = q0, E =

0, (26)

2. Lei de Gauss magneticaS

B dA = 0, B = 0, (27)

3. Lei de FaradayC

E ds = t

S

B dA, E = Bt

, (28)

4. Lei de Ampe`re-MaxwellC

B ds = 0I + 1c2

t

S

E dA, B = 0J+ 1c2E

t. (29)

Os campos eletromagneticos E(r, t) e B(r, t) provocam forcas dadas por(forca de Lorentz)

F = q (E+ v B) , (30)onde q e v sao a carga e a velocidade, respectivamente, da partcula. A forcaF, por sua vez, leva a uma alteracao do movimento das partculas carregadas(segunda Lei de Newton do movimento), o que modifica portanto os proprioscampos eletromagneticos de acordo com as equacoes de Maxwell. Desta forma,o conjunto de equacoes de Maxwell mais a forca de Lorentz trata os camposeletromagneticos de forma auto-consistente.

10

3 Potenciais eletromagneticos

Nos partimos das duas equacoes de Maxwell que sao homogeneas: a lei deFaraday (28) e a lei de Gauss magnetica (27):

E+ Bt

= 0, (31)

B = 0. (32)

Para campos eletromagneticos dependentes do tempo B/t 6= 0 e, de (31)resulta que E 6= 0. Logo, nao podemos escrever o campo eletrico simples-mente como o gradiente de um potencial escalar , como se faz na eletrostatica(onde E = ). No entanto, da lei de Gauss magnetica (32) resulta queo campo magnetico pode sempre ser escrito como o rotacional de um vetor,chamado potencial vetorial A(r, t):

B = A, (33)

ja que B = A 0.Substituindo (33) na lei de Faraday (31) temos

E+ tA =

(E+

A

t

)= 0,

de forma que o termo entre parenteses pode ser, dessa vez, escrito como ogradiente de um potencial escalar (r, t):

E+A

t= ,

ja que

(E+

A

t

)= 0,

e o campo eletrico sera entao a combinacao dos dois potenciais:

E = At

. (34)

4 Transformacoes de calibre

E importante destacar que os potenciais escalar e vetorial nao determinam uni-vocamente os campos eletrico e magnetico. Como um exemplo, seja o seguintecampo magnetico uniforme: B = Bz, que pode ser obtido a partir do poten-cial vetorial A1 = Byy, como pode ser verificado calculando diretamente orotacional.

Por outro lado, um campo magnetico uniforme qualquer pode ser obtido apartir do seguinte potencial

A2 =1

2rB (35)

11

ja que, aplicando uma identidade vetorial e a lei de Gauss magnetica temos

A2 = 12 (rB) (36)

=1

2

(r )B

=0

(B )r =B

+B ( B) =0

B ( r) =3

= 1

2(3BB) = B.

Ha, na verdade, um numero infinitamente grande de potenciais escalares evetoriais que determinam os mesmos campos eletrico e magnetico. Este fatopode parecer um pesadelo para a teoria eletromagnetica mas, na verdade, ealgo muito interessante pois, como ha diversos potenciais que correspondem aosmesmos campos, podemos escolhe-los conforme nossa conveniencia ou necessi-dade.

Podemos generalizar essa discussao supondo (r, t) uma funcao arbitrariada posicao e do tempo. Podemos fazer as seguintes transformacoes de calibre(ou de gauge) sobre os potenciais

A A = A, (37) = +

t, (38)

sem alterar os campos eletrico e magnetico correspondentes. Assim, dados ospotenciais e A podemos construir uma infinidade de outros potenciais igual-mente bons apenas escolhendo formas adequadas da funcao .

Para verificar que as transformacoes de calibre nao alteram os campos, nossubstitumos (37) em (33)

B = A = (A) = A+ = B,

e tambem (38) em (34):

E = A

t=

(+

t

) t(A) =

E t+

t = E.

Dados os potenciais e A, os campos eletrico e magnetico (que sao asquantidades fisicamente mensuraveis) sao determinados a menos da escolha deum calibre (r, t). Escolhido esse calibre de uma forma conveniente, podemostrabalhar com os potenciais, o que e matematicamente mais simples pois, emlugar de seis campos escalares (tres componentes de cada vetor de campo) nostrabalhamos com apenas quatro (tres para o potencial vetorial e um para opotencial escalar).

Na teoria eletromagnetica dois calibres sao tradicionalmente usados paradeterminarmos completamente o potencial vetor:

1. calibre de Coulomb A = 0, (39)

mais utilizado em magnetostatica;

12

2. calibre de Lorenz 1

A+ 1c2

t= 0. (40)

empregado quando os campos eletromagneticos dependem do tempo.

5 As equacoes de Maxwell em meios materiais

Um meio contnuo e aquele para o qual os elementos de volume sao pequenos osuficiente para que possamos trata-los matematicamente como diferenciais (dV ),mas grandes os suficiente para que ainda contenham um numero apreciavelmentegrande de atomos ou moleculas. O eletromagnetismo classico trata os meiosmateriais (como condutores, dieletricos, etc.) como meios contnuos, e investigaquantidades fsicas medias, onde as medias sao tomadas sobre elementos devolume do meio material.

Nesse processo, ignoramos flutuacoes macroscopicas que decorrem da es-trutura atomico-molecular da materia, um enfoque iniciado por H. Lorentz navirada do seculo XIX. Por exemplo, dentro da materia ha um campo eletricomicroscopico e agindo sobre os atomos ou moleculas, e que depende de umaforma complicada do tipo de rede cristalina, das flutuacoes termicas, etc. Ja ocampo eletrico macroscopico E sera uma media deste campo microscopico paraum elemento de volume do meio material: E = e.

Em meios materiais, duas equacoes de Maxwell permanecem inalteradas: alei de Gauss magnetica (27) e a lei de Faraday (28). Ja a lei de Gauss eletrica ea lei de Ampe`re-Maxwell devem ser modificadas para levar em conta a respostado meio aos campos aplicados.

5.1 Lei de Gauss eletrica

5.1.1 Polarizacao

Meios dieletricos respondem a campos eletricos atraves do surgimento de cargasligadas, ou cargas de polarizacao. A polarizacao de um meio e o momento dedipolo eletrico total por unidade de volume. Supondo, por simplicidade, quetodas as N moleculas do dieletrico sejam da mesma especie e tenham momentosde dipolo (permanentes ou induzidos) iguais a p, entao o momento de dipolototal sera Np, de modo que a polarizacao e

P =Np

V= np, (41)

onde n = N/V e o numero de moleculas por unidade de volume.Um campo de polarizacao inomogeneo provoca o aparecimento de uma den-

sidade de cargas ligadas (ou de polarizacao) no meio, dada em termos da pola-rizacao como

P = P, (42)tal que a carga eletrica total seja a soma das cargas livres mais as cargas depolarizacao, ou seja

T = + P = P. (43)1Embora costume-se atribuir indevidamente essa expressao a Hendrik Lorentz, ela e origi-

nalmente devida a Ludvig Lorenz (1867).

13

Figura 8: Lamina dieletrica num capacitor de placas paralelas. Observe aformacao de cargas superficiais de polarizacao proximo a`s placas.

5.1.2 Deslocamento eletrico

A lei de Gauss eletrica, no vacuo, e [cf. Eq. (26)]:

E = 0

(44)

onde e a densidade de cargas livres. Num meio dieletrico, nos simplesmentesubstituimos pela densidade de carga total (43), para levar em conta as cargasligadas:

E = T0

=1

0( P) . (45)

Multiplicando os dois membros de (45) por 0 e definindo o vetor desloca-mento eletrico como

D = 0E+P, (46)

a lei de Gauss eletrica e escrita na forma

D = . (47)Observe que o deslocamento eletrico nao tem um significado fsico especfico:

ele e introduzido simplesmente como uma quantidade auxiliar, que nos permitecalcular os campos no interior dos dieletricos sem precisar conhecer a priori adistribuicao das cargas de polarizacao. Entretanto, o uso do vetorD so e consis-tente se conhecermos tambem, de forma independente, uma relacao constitutivaque vincule E e D para um dado meio dieletrico.

5.1.3 Constante dieletrica

Existe uma relacao constitutiva entre a polarizacao e o campo eletrico aplicadoa um dieletrico. Para meios isotropicos e campos suficientemente fracos, estasduas quantidades sao linearmente proporcionais:

P = 0eE, (48)

onde e e chamada susceptibilidade dieletrica do meio. Para o vacuo obviamentenao ha polarizacao e e = 0. Uma relacao constitutiva semelhante existe entreo deslocamento eletrico e o campo eletrico:

D = E = 0KE, (49)

14

Tabela 1: Constantes dieletricas para alguns materiais.

Material K Material K

Ar (1 atm) 1, 00059 NaCl 3 15Teflon 2, 1 Grafite 10 15

Polietileno 2, 25 Silcio 11, 68Polimida 3, 4 Amonia (20oC) 17

Polipropileno 2, 2 2, 36 Metanol 30Papel 3, 85 Agua (20oC) 80, 1

Vidro (pirex) 3, 7 10 T iO2 86 173Borracha 7 T iSr 810Diamante 5, 5 10 T iBa (20oC) 1250Madeira 2, 5 8, 0 T iBa (120oC) 10000

onde introduzimos a permissividade eletrica do meio por

= K0. (50)

e K e chamada permissividade relativa ou ainda constante dieletrica (adimen-sional). Para o vacuo = 0 ou K = 1. Para todos os meios materiais, pode-semostrar que K > 1.

Substituindo (48) em (46) e comparando com (49) temos uma relacao entreas constantes

K = 1 + e. (51)

Na tabela 1 mostramos os valores de para alguns dieletricos.

5.2 Lei de Ampe`re-Maxwell

5.2.1 Magnetizacao

A origem do magnetismo nos meios materiais e a presenca de momentos dedipolo microscopicos, que podem ser tanto de origem orbital (devido ao movi-mento das partculas) como intrnseca (devido ao spin das partculas). Sem en-trar ainda em consideracoes mais aprofundadas sobre a origem destes momentosmagneticos, vamos supor, como na fsica classica, que a origem do magnetismoesta em espiras microscopicas de corrente. O momento de dipolo magneticodevido a uma espira de area A, conduzindo uma corrente I, e um vetor perpen-dicular ao plano da espira, cujo modulo e dado por m = IA.

A magnetizacao de um meio material e o momento de dipolo magnetico totalpor unidade de volume. Se houver apenas um tipo de atomos, e se todos elesestiverem alinhados, a magnetizacao e

M = nm, (52)

onde n e o numero de atomos por unidade de volume em e o momento magneticode cada um deles. Caso os momentos magneticos nao estejam totalmente ali-nhados (devido a` agitacao termica, por exemplo), a magnetizacao e n vezes omomento magnetico medio.

15

Figura 9: Corrente de magnetizacao.

Uma magnetizacao espacialmente inomogenea provoca o aparecimento deuma densidade de corrente de magnetizacao

Jm(r) = M(r), (53)

5.2.2 Corrente de polarizacao

Em meios dieletricos pode aparecer tambem uma corrente ligada a` aparente con-veccao de cargas ligadas, quando a polarizacao depende do tempo. Isto podeocorrer, por exemplo, devido a` interacao de cargas com ondas eletromagneticas.A polarizacao de um dieletrico surge devido ao movimento de separacao doscentros de carga nas moleculas. Uma variacao temporal da polarizacao im-plica numa mudanca neste movimento, o que pode ser interpretado como umacorrente, ainda que as cargas sejam ligadas.

A densidade de carga de polarizacao dentro de um volume V e dada por (42).Derivando em relacao ao tempo obtemos a corrente (efetiva) de polarizacao domeio:

Ip = dqpdt

=

t

V

P dV =V

Pt

dV. (54)

donde podemos definir uma densidade de corrente de polarizacao

Jp =P

t. (55)

5.2.3 Intensidade magnetica

Partindo da lei de Ampe`re-Maxwell no vacuo (24

B 1c2E

t= 0J, (56)

podemos adapta-la para a descricao de meios materiais (dieletricos e magneticos)substituindo J por uma corrente total, que consiste das correntes de conducao,magnetizacao e polarizacao, esta ultima dada por (55):

Jt = J+ Jm + Jp = J+M(r) + Pt

. (57)

Introduzimos, agora, o vetor intensidade magnetica

H =1

0BM, (58)

16

Tabela 2: Susceptibilidade magnetica de alguns materiais (quantidade adimen-sional no SI).

Paramagneticos DiamagneticosMaterial m Material m

Cesio 5, 1 105 Bismuto 1, 66 104Alumnio 2, 3 105 Cobre 0, 98 105Tungstenio 6, 8 105 Diamante 2, 2 105

Oxigenio (1 atm) 2, 09 106 Hidrogenio (1 atm) 2, 1 109Ltio 1, 4 105 Nitrogenio (1 atm) 5, 0 109

Magnesio 1, 2 105 Mercurio 2, 9 105Sodio 0, 72 105 Chumbo 1, 8 105

tal que, substituindo (57) em (56) obtemos a lei de Ampere-Maxwell em meiosmateriais:

H Dt

= J. (59)

Assim como D, a intensidade magnetica H nao tem um significado fsicoparticular. Ela e introduzida para que possamos calcular os campos magneticosna presenca de meios materiais sem precisar conhecer de antemao a distribuicaode correntes de magnetizacao. Esse procedimento, entretanto, so e consistentese conhecermos uma relacao constitutiva que vincule B e H.

5.2.4 Permeabilidade magnetica

Em materiais nao-ferromagneticos e isotropicos, a relacao constitutiva entre Me H e linear:

M = mH, (60)

onde m e a susceptibilidade magnetica, que e adimensional no sistema SI2 O

sinal da susceptibilidade varia de acordo com o tipo de material:

Materiais paramagneticos: m e positivo. O campo magnetico dentro domeio e reforcado pela presenca de momentos magneticos alinhados com ocampo.

Materiais diamagneticos: m e negativo. O campo magnetico dentro domeio e enfraquecido pela presenca de momentos magneticos que estaoanti-alinhados com o campo.

Em geral, para meios para e diamagneticos a susceptibilidade, em modulo, esempre muito baixa, da ordem de 105 108. Na tabela 2 mostramos valoresde m para alguns materiais nao-ferromagneticos

3.A relacao constitutiva e tambem linear entre os vetores B e H:

B = H = 0KmH, (61)

2Ha diversas maneiras, na literatura, de definir a susceptibilidade magnetica. O leitor deveestar atento a isso quando for utilizar valores numericos de tabelas.

3Nos tabulamos a chamada susceptibilidade magnetica volumetrica. Existem, ainda, assusceptibilidades molares e de massa.

17

Figura 10: Curva de histerese para um material ferromagnetico.

onde e a permeabilidade do meio, dada por

= Km0, (62)

onde tambem definimos a permeabilidade relativa Km. No vacuo, como naoha magnetizacao teremos m = 0 e Km = 1, de modo que B = 0H simples-mente. Em meios paramagneticos (diamagneticos) a permeabilidade relativa eligeiramente maior (menor) que 1: em diversas situacoes nos inclusive podemosnegligenciar a magnetizacao do meio frente a outros efeitos.

Substituindo (60) em (58) e comparando com (61) temos uma relacao entrea permeabilidade e a susceptibilidade magnetica

Km = 1 + m. (63)

Materiais ferromagneticos, por outro lado, nao obedecem a uma relacao li-near entre B e H, como no caso de para e diamagneticos. No entanto, podemosimaginar que uma relacao deste tipo exista localmente, ou seja, a susceptibili-dade relativa m = /0 nao e mais uma constante, mas dependera do campomagnetico B. Num meio ferromagnetico, como o Ferro, o valor de m podevariar desde 100 ate 105 dependendo da intensidade magnetica (portanto dacorrente I no solenoide). De qualquer forma, para um nucleo ferromagnetico ocampo sera algumas ordens de grandeza maior do que para nucleo de ar, devidoa` forte magnetizacao que materiais deste tipo apresentam.

De modo geral, meios ferromagneticos possuem uma magnetizacao perma-nente, bem como uma alta permeabilidade magnetica. No entanto, a relacaoconstitutiva entre B e H e nao-linear

B = F(H), (64)

e tambem exibe um efeito de memoria, ou seja, o valor de B depende da historiapregressa das suas variacoes. A relacao B H , para meios ferromagneticos, eusualmente dada a partir da sua curva de histerese [Fig. 10].

18

6 Condutividade eletrica

Na presenca de um campo eletrico dentro do condutor, aparece uma correnteestacionaria, correspondendo a um fluxo lquido de portadores de carga numcerto sentido, correspondendo a uma densidade de corrente J. A intensidade decorrente lquida e a integral

I =

S

J dA (65)

ao longo de uma superfcie aberta S que intercepte o condutor.Para correntes estacionarias limitadas a uma regiao de volume V a carga

media total deve manter-se constante. Pela equacao de continuidade (93) temosque, uma vez que /t = 0, entao

J = 0. (66)

O campo eletrico e constante dentro de um condutor por onde flui umacorrente estacionaria. Logo, pela Lei de Ampe`re, o campo magnetico produ-zido tambem sera constante. Da lei de Faraday (28) temos a mesma condicaoeletrostatica

E = 0, (67)aplicada a correntes estacionarias, portanto podemos continuar usando o poten-cial eletrico no estudo de circuitos, como e de praxe.

Ha uma relacao constitutiva entre a densidade de corrente e o campo eletrico,dependente do meio material considerado. Para meios materiais homogeneosisotropicos a relacao entre J e E e linear (lei de Ohm):

J = E, (68)

onde e a condutividade eletrica do material [Tabela 3]. Condutores metalicostem condutividades da ordem de 106 107.m. Em isolantes (dieletricos) elae baixssima, da ordem de 1011 a 1025.m. O inverso da condutividade e aresistividade (1/) do material.

7 Resumo

As quatro equacoes de Maxwell em meios materiais (na forma diferencial) sao

1. Lei de Gauss eletrica D = , (69)

2. Lei de Gauss magnetica

B = 0, (70)

3. Lei de Faraday

E = Bt

, (71)

19

Tabela 3: Condutividade eletrica (a 20oC) de alguns materiais

Material [S/m] Material [S/m]

Prata 6, 30 107 Ouro 4, 10 107Cobre 5, 96 107 Alumnio 3, 5 107

Tungstenio 1, 79 107 Ferro 4, 55 106Platina 9, 43 106 Manganina 2, 07 106

Constantan 2, 04 106 Nicromo 9, 09 105Mercurio 1, 02 106 Carbono (amorfo) 1, 25 2, 0 103Germanio 2, 17 Agua do mar 4, 8

Agua potavel 5 104 5 102 Agua deionizada 5, 5 106Silcio 1, 56 103 GaAs 5 108 103Vidro 1011 1015 Quartzo (fundido) 1, 3 1018Ar 3 8 1015 Teflon 1025 1023

4. Lei de Ampe`re-Maxwell

H = J+ Dt

, (72)

onde definem-se os campos auxiliares

deslocamento eletricoD = 0E+P, (73)

intensidade magneticaH =

1

0BM, (74)

sujeitos a`s seguintes relacoes constitutivas (para meios lineares e isotropicos)

dieletricosD = E = K0E, (75)

meios dia e paramagneticos

B = H = Km0H, (76)

condutoresJ = E, (77)

8 Condicoes de contorno

8.1 Caixa de plulas gaussiana

Seja uma caixa de plulas gaussiana de altura h e area da base A, interceptandoa interface entre dois meios materiais, com constantes dieletricas (K1,K2) e

20

K

K

D1

D2

dA1

dA 2

interface

base 1

base 2

lateral

s

1

2

h

A

Figura 11: Caixa de plulas gaussiana na interface entre dois meios materiais.

magneticas (Km1,Km2). Aplicando a lei de Gauss eletrica na forma integral eo teorema do divergente

V

D dV =S

D dA = SA,

onde admitimos a existencia de uma densidade de carga superficial (livre) Sna interface. Logo

2

D2 dA2 +lateral

D dA+1

D1 dA1 = SA.

Fazendo h 0 a contribuicao da area lateral se anula e, como dA1 =dAn = dA2, temos que

(D2 D1) nA = SA,

ou seja, as componentes normais de D sao descontnuas, seu salto sendo pro-porcional a` densidade de carga livre na interface:

D2n D1n = S . (78)

Naturalmente, se nao houver carga livre na interface entao D1n = D2n. Paradieletricos que satisfazem (75) escreve-se

K2E2n K1E1n = S0. (79)

Fazendo um raciocnio analogo para a lei de Gauss magnetica (27), temos acontinuidade das componentes normais de B, ou seja

B2n B1n = 0. (80)

21

interface

E

E2

ds1

ds2

h

l

K2

K

1

C

nt x n

t^

^^^

1

Figura 12: Espira amperiana na interface entre dois meios materiais.

8.2 Espira amperiana

Seja uma espira amperiana retangular de altura h e largura , interceptandoa interface entre dois meios materiais, com constantes dieletricas (K1,K2) emagneticas (Km1,Km2). Aplicando a lei de Faraday na forma integral e oteorema de Stokes

S

(E) dA =C

E ds = S

B

t dA

2

E2 ds2 +lateral

E ds+1

E1 ds1 = S

B

t dA

Fazendo h 0 a integral ao longo das laterais da espira tende a zero. Alemdisso, supondo que B/t seja finito em S, a area de S tambem tende a zero,assim como a integral do lado direito. Introduzimos um triedro de versores nainterface: n e o versor normal, t o versor tangencial, e t n o versor na direcaodos lados da espira. Temos, assim, que

ds2 = (t n)ds2 = ds1,

de modo que(E2 E1) (t n) = 0,

e que pode ser reescrita como

n (E2 E1) = 0. (81)

Definindo a componente tangencial do campo eletrico como Et = nE essacondicao de contorno e simplesmente

E2t E1t = 0. (82)

Aplicando, agora, a lei de Ampe`re-Maxwell a essa espira temosS

(H) dA =S

J dA+ Dt

22

Usando o teorema de Stokes, e admitindo a existencia de uma densidade decorrente (livre) J = K/ fluindo sobre a interface S (com uma espessura ),temos

C

H ds =S

K

dA+ D

t

A integral fechada e similar a`quela vista anteriormente para a lei de Faraday.Tomando o limite h 0 a integral de D/t tambem se anula, de modo que

(H2 H1) (t n) =S

K

t dA = K

t ()

dandon (H2 H1) = K, (83)

ou, ainda, representando a descontinuidade da componente tangencial de Hdevido a uma densidade de corrente na interface

H2t H1t = Kt. (84)

Para materiais magneticos que satisfazem (76) temos

B2tKm2

B1tKm1

= 0Kt. (85)

Em qualquer uma das condicoes de contorno acima, se um dos meios for ovacuo entao K = 1 e Km = 1.

8.3 Condicoes de contorno envolvendo condutores

Sabemos que D = E = 0 no interior de um condutor. Vamos supor que omeio 1 seja um dieletrico e o meio 2 um condutor. Portanto, para a interfacedieletrico-condutor a condicao de contorno (78) fica 0 D1n = , onde S e adensidade de carga na superfcie do condutor. Lembramos que toda carga emexcesso de um condutor em equilbrio concentra-se na sua superfcie externa.Logo

E2n = 0 1E1n = S . (86)Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo eletrico (82),

como E2t = 0, entao para a interface vale

E1t = 0, (87)

ou seja, o campo eletrico deve ser normal a` interface (superfcie do condutor)em cada ponto.

As condicoes de contorno (80) e (84) para o campo magnetico continuamvalendo sem alteracoes para os condutores:

B1n = B2n, H1t = H1t, (88)

ja que para condutores que satisfazem a` Lei de Ohm nao pode haver correntessuperficiais livres, uma vez que isso exigiria um campo eletrico infinitamentegrande na interface [5].

23

9 Conservacao de carga

Um dos princpios mais fundamentais da Fsica e o da conservacao da cargaeletrica. Vamos considerar uma regiao de volume V limitada por uma superfciefechada S. De (15) sabemos que a corrente lquida que passa por essa regiao e

I = S

J dA, (89)

onde o sinal negativo corresponde ao fato que o elemento de area vetorial dAaponta, por convencao, para fora da regiao. Usando o teorema do divergentetemos que

I = V

J dV. (90)

O princpio de conservacao de carga impoe que qualquer mudanca na cargaenvolvida por S seja devido a um fluxo lquido de cargas atraves da superfcieS. Por exemplo, se a carga q aumenta dentro de S, e por que houve um fluxolquido de fora para dentro de cargas, ou seja, uma corrente lquida para dentro.Dessa forma

I =dq

dt=

d

dt

V

dV =

V

tdV =

V

J dV. (91)

onde supoe-se que a fronteira S nao se altere com o tempo. Passando tudo parao lado esquerdo

V

[

t+ J

]dV = 0. (92)

Como a integral e nula para um volume arbitrario, o integrando deve seridenticamente nulo:

t+ J = 0, (93)

conhecida como equacao da continuidade.Podemos mostrar que as equacoes de Maxwell implicam na equacao de con-

tinuidade, o que quer dizer que o princpio da conservacao de carga esta, porassim dizer, embutido nas proprias equacoes de Maxwell! Isto, alias, nao e no-vidade, pois vimos que Maxwell introduziu a corrente de deslocamento na lei deAmpe`re justamente para preservar a conservacao de carga eletrica.

Derivando em relacao ao tempo a lei de Gauss eletrica (69) obtemos

t( D) = D

t=

t. (94)

A derivada temporal do campo eletrico pode ser escrita em termos da lei deAmpe`re-Maxwell (72):

Dt

=

(H)

=0

J = J.

Substituindo em (94) teremos

t= J

que reduz-se a` equacao de continuidade (93), como queramos demonstrar.

24

10 Conservacao de energia

Vamos fazer o produto escalar da intensidade magnetica com a lei de Faraday(71):

H (E) = H Bt

, (95)

e o produto escalar do campo eletrico com a lei de Ampe`re-Maxwell (72);

E (H) = E J+E Dt

. (96)

Subtraindo membro a membro (96) de (95) resulta que

H (E)E (H) = E JE Dt

H Bt

.

O primeiro membro da expressao acima e o divergente de EH. No segundomembro podemos usar as relacoes constitutivasD = E e B = H (validas parameios isotropicos e lineares) para escrever

E Dt

=

2

t(E E) =

t

(1

2E D

),

H Bt

=

2

t(H H) =

t

(1

2H B

),

de modo que

(EH) = E J t

(1

2E D+ 1

2H B

). (97)

Definindo o vetor de Poynting

S EH. (98)

e a densidade de energia eletromagnetica

u 12(E D+H B) , (99)

podemos reescrever (97) na forma de uma equacao local de conservacao daenergia, tambem conhecida como teorema de Poynting:

u

t+ S = J E. (100)

Num meio linear e isotropico o vetor de Poynting e a densidade de energiaescrevem-se de modo mais simples como

S =1

EB, (101)

u =1

2

(E2 + H2

)=

1

2

(E2 +

1

B2). (102)

25

No vacuo, onde = 0 e = 0 temos

S =1

0EB, (103)

u =1

2

(0E

2 +1

0B2)=

02

(E2 + c2B2

), (104)

onde usamos a relacao

c2 =1

00.

Integrando os termos do teorema de Poynting numa regiao de volume Vtemos

V

dVu

t+

S

S A = V

dV J E (105)

t

V

udV = (106)

onde usamos o teorema do divergente. Definindo UEM =VudV a energia

eletromagnetica envolvida pelo volume V , temos uma equacao global para aconservacao de energia

dUEMdt

= S

S dAV

dV J E, (107)

cuja interpretacao fsica e a seguinte: um aumento (diminuicao) da energiaeletromagnetica armazenada nos campos existentes no interior de uma regiao Vdo espaco pode ser motivada por dois fatores.

O primeiro fator e a existencia de um influxo (efluxo) de energia atravesda superfcie S (que envolve V ), de forma que o vetor de Poynting representaa densidade de fluxo de energia. O segundo fator, em condutores, representaa dissipacao de energia no interior de V devido ao efeito Joule (transformacaoirreversvel de energia eletrica em calor). Se o meio for um condutor ohmico decondutividade eletrica , entao J = E, e o termo relativo ao efeito Joule sera

VE2dV < 0.

Em consequencia, podemos associar o termo devido ao efeito Joule, quee uma diminuicao da energia do campo eletromagnetico, a um aumento daenergia nao-eletromagnetica, que chamaremos UMEC , tal que, para um sistemade partculas carregadas interagindo com campos eletricos tenhamos

dUEMdt

=

V

dV J E, (108)

de modo que ha uma conservacao de energia total (= mecanica + eletromagnetica)para um sistema de partculas e campos, escrita como

d

dt(UEM + UMEC) =

S

S dA. (109)

26

11 Conservacao do Momentum Linear

11.1 Densidade da forca de Lorentz

Os campos eletromagneticos tem, alem de energia, momentum linear. Paramostrar este fato vamos inicialmente considerar a forca de Lorentz sobre umapartcula com carga q e velocidade v, dada por (30):

F = q(E+ v B). (110)

Em geral, estamos interessados em sistemas onde haja uma distribuicao (vo-lumetrica) de carga (r, t) e (superficial) de corrente J(r, t), para as quais (110)da a forca por unidade de volume, desde que facamos as seguintes substituicoes:dq dV e

vdq = (Idt)v = Id J(Ad) = JdV, (111)ou seja, a forca resultante sobre uma distribuicao de cargas em movimento numvolume V sera

F =

V

dV (E+ JB) =V

dV f , (112)

onde definimos tambem uma densidade de forca de Lorentz:

f = E+ JB. (113)

Usando a lei de Gauss eletrica (26) para eliminar e a lei de Ampe`re-Maxwell(29) para eliminar J obtemos

f = 0( E)E+(

1

0B 0 E

t

)B. (114)

Usando

t(EB) =

(E

tB

)+

(E B

t

),

assim como a lei de Faraday (28) para escrever

B

t= E,

temos queE

tB =

t(EB) +E (E),

que, substituida em (114), fornece

f = 0 [( E)EE (E)]+ 10

[( B)BB (B)]0 t(EB)

(115)onde somamos o termo que contem B em vista dele ser nulo, gracas a` Leide Gauss magnetica (27).

Usando uma formula da analise vetorial

E2 = (E E) = 2(E )E+ 2E (E),

27

de modo que

E (E) = 12E2 (E )E.

Analogamente

B (B) = 12B2 (B )B.

donde podemos reescrever (115) como

f = 0 [( E)E+ (E )E] + 10

[( B)B+ (B )B]

12(0E

2 +1

0B2) 0

t(EB). (116)

Tomando a j-esima componente da densidade de forca de Lorentz (117)temos:

fj = 0 [( E)Ej + (E )Ej ] + 10

[( B)Bj + (B )Bj ]

12

xj

(0E

2 +1

0B2) 0

t(EB). (117)

11.2 Tensor tensao de Maxwell

Vamos introduzir o tensor tensao de Maxwell, denotado por , e que e umtensor de segunda ordem com nove componentes (i, j = 1, 2, 3) dadas por

ij = 0

(EiEj 1

2ijE

2

)+

1

0

(BiBj 1

2ijB

2

). (118)

onde usamos a delta de Kronecker, definido como

ij =

{1, i = j0, i 6= j (119)

Quando dentro de uma somatoria, a delta de Kronecker atua como um filtro,retendo apenas o ndice para o qual ij = 1. Por exemplo

3j=1

ijAj = Ai, (120)

pois ij = 1 so se i = j.Os ndices i = 1, 2, 3 referem-se a`s coordenadas x, y e z, respectivamente, da

mesma forma que para j. Por exemplo, tomando i = 1 e j = 1 a componentedo tensor (118) sera

11 = xx = 0

(ExEx 1

211E

2

)+

1

0

(BxBx 1

211B

2

)

= 0

(ExEx 1

2(E2x + E

2

y + E2

z )

)+

1

0

(BxBx 1

2(B2x +B

2

y +B2

z)

)=

1

20(E2x E2y E2z )

)+

1

20

(B2x B2y B2z)

)(121)

28

Ja para i = 1 e j = 2 temos

12 = xy = 0

(ExEy 1

212E

2

)+

1

0

(BxBy 1

212B

2

)(122)

= 0ExEx +1

0BxBy.

e assim por diante.Antes de prosseguir, vamos ver (ou rever) algumas definicoes do calculo veto-

rial e tensorial. O gradiente de um escalar e um vetor, cuja j-esima componentee

()j = ej =

xj. (123)

Ja o divergente de um vetor e um escalar, e podemos escreve-lo na forma deuma somatoria:

E = Exx

+Eyy

+Ezz

=

3i=1

Eixi

. (124)

De maneira analoga, o divergente de um tensor e um vetor, cuja j-esima com-ponente e definida como

( )j =3

i=1

ijxi

. (125)

Usando (125) vamos calcular o divergente do tensor tensao de Maxwell (118):

( )j =3

i=1

{0

[

xi(EiEj) 1

2ij

E2

xi

]

+1

0

[

xi(BiBj) 1

2ij

B2

xi

]}

=

3i=1

{0

[Eixi

Ej + EiEjxi

12

E2

xj

]

+1

0

[Bixi

Bj +BiBjxi

12

B2

xj

]}

= 0

[(3

i=1

Eixi

)Ej +

(3

i=1

Ei

xi

)Ej 1

2

E2

xj

]+

+1

0

[(3

i=1

Bixi

)Bj +

(3

i=1

Bi

xi

)Bj 1

2

B2

xj

]

= 0

[( E)Ej + (E )Ej 1

2

E2

xj

]+

+1

0

[( B)Bj + (B )Bj 1

2

B2

xj

](126)

29

Figura 13: Componentes do tensor tensao de Maxwell

onde usamos a propriedade (120) nos termos contendo a delta de Kronecker,assim como (124) e o operador

E =3

i=1

Ei

xi. (127)

Comparando (126) com (117) temos que

fj = ( )j 1

c2Sjt

, (128)

onde usamos (98) para introduzir o vetor de Poynting, e lembramos que c2 =1/00. Em termos simbolicos reescrevemos (128) como

f = 1c2S

t, (129)

De (113), para obter a forca eletromagnetica total que age sobre um volumeV nos integramos esta expressao:

F =

V

dV f =

V

dV 1c2

V

dVS

t

=

S

dA ddt

V

dVS

c2, (130)

onde nos usamos um analogo ao teorema do divergente para transformar aintegral de volume de numa integral de superfcie.

De (130) vemos que a integralS

dA =S

ndA

tem dimensoes de forca. Vamos escrever o vetor normal a` superfcie S como

n =3

i=1

niei = n1x+ n2y + n3z. (131)

30

Entao a i-esima componente da integral seraS

( dA)i =3

j=1

S

ijnjdA

Como nj e a componente da normal ao longo do eixo xj , concluimos queij e a i-esima componente da forca por unidade de area perpendicular ao eixoxj [veja Fig. 13 para uma indicacao de todas as componentes do tensor tensaoagindo nas faces de um cubo]. As componentes diagonais do tensor tensaode Maxwell: ii representam pressoes, ou seja, tensoes normais a` superfcieperpendicular ao eixo xi. Ja as componentes nao-diagonais ij , com i 6= j, saotensoes de cizalhamento, pois correspondem a componentes da forca que saoparalelas a` superfcie na qual atua.

Pela definicao (118) verificamos imediatamente que o tensor tensao de Maxwelle simetrico, ou seja

ij = ji (132)

de modo que apenas seis componentes sao independentes: tres pressoes e trestensoes de cizalhamento.

11.3 Forcas entre as placas paralelas de um capacitor

Como um exemplo de aplicacao do tensor tensao de Maxwell para determinarforcas em sistemas que envolvem cargas e/ou correntes eletricas, vamos consi-derar um capacitor com placas paralelas de area A separadas por uma distanciad. As placas sao perpendiculares ao eixo x. Se d for muito menor do que asdimensoes das placas podemos usar a aproximacao de placas infinitas de modoque o campo eletrico entre elas e uniforme:

E =q

0Ax, (133)

onde q e o modulo da carga das placas.Como Ey = Ez = Bx = By = Bz = 0 as componentes diagonais do tensor

tensao de Maxwell (118) sao todas nulas. Ja as componentes diagonais sao, deacordo com (??), dadas por

11 = xx = 0

(E2x

1

2E2x

)=

q2

20A2, (134)

22 = yy = 0

(E2y

1

2E2x

)= q

2

20A2, (135)

33 = zz = 0

(E2z

1

2E2x

)= q

2

20A2, (136)

de modo que a representacao matricial do tensor tensao de Maxwell seja

(ij) =q2

20A2

1 0 00 1 0

0 0 1

(137)

Este resultado pode ser usado para determinar a forca eletrica entre as pla-cas, que tem cargas q (em x = 0) e q (em x = d). A forca por unidade de area

31

sobre a primeira placa e 11n1, onde n = x e o respectivo versor normal, logon1 = 1. Integrando sobre toda a placa obtemos a forca sobre ela:

F =

11n1dA =

q2

20A2A =

q2

20A

A forca por unidade de area sobre a segunda placa e tambem 11n1, mas agoraa normal e n = x, donde n1 = 1 e portanto a forca sera

F = q2

20A= F

de modo que as forcas entre as placas sao atrativas.

11.4 Momentum linear eletromagnetico

Pela segunda lei de Newton, a forca sobre o sistema e igual a` variacao temporaldo seu momentum linear mecanico PMEC :

dPMECdt

= F, (138)

de modo que, em (130),

dPMECdt

=

S

dA ddt

V

dV g, (139)

onde definimos a densidade de momentum linear do campo eletromagnetico:

g Sc2

= 0EB, (140)

Portanto o momentum linear do campo eletromagnetico e dado por

PEM =

V

dV g, (141)

donded

dtPMEC =

S

dA ddtPEM . (142)

Considerando um momentum linear total do sistema (mecanico + eletro-magnetico) temos

d

dt(PMEC +PEM ) =

S

dA, (143)

ou seja, qualquer aumento no momentum linear total do sistema e igual aomomentum linear trazido pelos campos eletromagneticos. Podemos interpre-tar (143) como uma expressao do balanco de momentum linear num sistemaformado por cargas, correntes e os campos eletromagneticos respectivos.

Alem de momentum linear, os campos eletromagnetico tambem tem momen-tum angular. O momentum angular do campo e

LEM =

V

dV , (144)

32

onde e a densidade de momentum angular, definida como

= r g = 1c2r S, (145)

onde g e a densidade do momentum linear, dada por 140). Observe que mesmocampos eletricos e magneticos estaticos possuem momentum linear e angular.Para isso o produto EB deve ser nao-nulo. No proximo captulo voltaremosa este assunto.

12 Problemas

1. Capacitor de placas paralelas. Considere duas placas condutoras quadradas delado , separadas por uma distancia d, e sem meio material entre elas. Se asplacas forem muito extensas ( d, podemos usar a aproximacao de placas infi-nitas e considerar o campo eletrico E entre as placas como uniforme e apontandonuma direcao perpendicular a`s placas. Usando a lei de Gauss eletrica determineo modulo do campo eletrico entre as placas e fora da regiao entre as placas.

2. (a) Campo magnetico de um fio retilneo. Usando a lei circuital de Ampe`redetermine o campo magnetico produzido por um fio retilneo infinitamente longoconduzindo uma corrente I . (b) Solenoide. Seja um solenoide cilndrico de raioa e comprimento L, no qual sao enroladas N espiras de forma compacta (paraevitar perda de fluxo magnetico), percorridas por uma corrente eletrica I . Adensidade de espiras e, portanto, n = I/L (numero de espiras por unidade decomprimento). Na aproximacao de solenoide infinito (para a qual L a) ocampo magnetico no seu interior e uniforme, e fora do solenoide o campo enulo. Use a lei circuital para obter o modulo do campo magnetico no interiordo solenoide.

3. Capacitor de placas paralelas preenchidas com um dieletrico. Considere um ca-pacitor de placas extensas e paralelas de area A, separadas por uma distanciad e preenchidas com um dieletrico de constante K. O capacitor e sujeito a umadiferenca de potencial . (a) Use a lei de Gauss eletrica para determinar odeslocamento eletrico entre as placas; (b) Ache o campo eletrico e a polarizacaoentre as placas; (c) Obtenha a densidade superficial das cargas de polarizacaonas superfcies da lamina dieletrica; (d) Interprete fisicamente seu resultado.

4. Um capacitor de placas paralelas tem placas circulares de area A, separadaspor uma distancia d. Um fio fino retilneo de comprimento d coincide com oeixo das placas e as conecta no espaco entre as placas. O fio tem resitenciaR e suas extremidades estao conectadas a uma fonte de fem alternada E =E sint. (a) Obtenha a corrente de conducao no fio e a corrente de deslocamentoentre as placas do capacitor; (b) Calcule a taxa de variacao da carga nas placasdo capacitor bem como a corrente total no circuito; (c) Determine o campomagnetico entre as placas como funcao da distancia r ao eixo das placas.

5. Solenoide com nucleo magnetico Um solenoide muito longo de comprimento tem n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente I . (a)Considerando a presenca de um nucleo magnetico (mas nao ferromagnetico), usea lei de Ampe`re-Maxwell para determinar a intensidade magnetica no interiordo solenoide; (b) Obtenha o campo magnetico e a magnetizacao no nucleo dosolenoide. Considere os casos paramagnetico e diamagnetico.

6. Um fio retilneo infinito conduzindo uma corrente I e colocado a` esquerda deuma espira retangular de comprimento e largura w, sendo que o comprimento e

33

paralelo ao fio e separado de uma distancia s deste. (a) Calcule o fluxo magneticopela espira retangular, devido ao fio retilneo; (b) Suponha que a corrente nofio seja dada por I(t) = a + bt, onde a e b sao constantes positivas. Ache omodulo e o sentido da fem induzida na espira. Se ela e feita de um metal comcondutividade e area da secao reta A, calcule a corrente induzida na espira.

7. Uma espira retangular de dimensoes e w move-se com velocidade constante v,afastando-se do fio retilneo infinito pertencente ao plano da espira e conduzindouma corrente I . Se a resistencia total da espira e R, determine a correnteinduzida na espira quando sua distancia ao fio e igual a r.

8. Um capacitor tem duas placas circulares paralelas de raio R e separadas deuma distancia h, ligadas a fios conduzindo uma corrente I . (a) Obtenha ovetor de Poynting como funcao da distancia radial r; (b) Mostre que a taxa decrescimento da energia eletrostatica no capacitor e igual a

SS n, onde S e a

superfcie cilndrica lateral.

9. Um solenoide muito longo tem nucleo de ar, comprimento , raio r e nespiras por unidade de comprimento. O solenoide e ligado a uma fonte de tensaotal que a corrente I que passa por ele aumenta a uma taxa constante > 0. (a)Usando a lei de Faraday, ache o campo eletrico induzido na posicao do solenoide;(b) Calcule o vetor de Poynting nessa posicao; (c) Mostre que a taxa de variacaoda energia magnetica no solenoide e I |E|, onde E e a fem induzida na posicaodas espiras; (d) Usando os resultados dos tens anteriores mostre que a taxade variacao da energia magnetica no solenoide e igual a

SS n, onde S e a

superfcie cilndrica lateral.

10. Um condutor cilndrico de raio a, comprimento a e condutividade trans-porta uma corrente estacionaria I distribuda uniformemente na sua secao reta.(a) Ache o campo eletrico dentro do condutor; (b) Determine o campo magneticona borda do condutor; (c) Calcule o vetor de Poynting na borda; (d) Obtenhaa taxa com que a energia eletromagnetica flui para o condutor e compare oresultado com a taxa de dissipacao de energia via efeito Joule.

11. (a) Mostre que as componentes da forca de Lorentz podem ser escritas como

Fi = U

xi+

d

dt

U

vi, (i = 1, 2, 3),

onde definimos o potencial generalizado em termos dos potenciais eletromagneticos

U(r, t) = q(r, t) qA(r, t) v

sendo q a carga eletrica. (b) Mostre que as equacoes de movimento de umapartcula carregada de massa m num campo eletromagnetico podem ser obtidasa partir da seguinte Lagrangeana

L =1

2mv2 U(r, t).

12. Considere os dois potenciais vetoriais A1 e A2 dados por (35) e (36), respecti-vamente. Ache a transformacao de Gauge (x, y) que os conecta.

13. Um solenoide infinitamente grande de raio a tem seu eixo ao longo da direcaoz, e possui n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente deintensidade I . Determine o tensor tensao de Maxwell neste caso, e ache a forcapor unidade de comprimento sobre o solenoide devido ao campo magnetico queele proprio gera. E conveniente usar coordenadas cilndricas para resolver esteproblema, cujos vetores unitarios sao:

r = cos x+ sin y,

= sin x+ cos y,

z = z,

34

Figura 14: O paradoxo do disco, de Feynman.

14. Considere uma esfera macica de raio R uniformemente carregada com uma cargatotal Q.

(a) Obtenha as componentes do tensor tensao de Maxwell;

(b) Calcule a forca resultante no hemisferio superior.

15. Um cabo coaxial de comprimento e formado por um condutor interno de raioa e um condutor externo de raio b. Uma extremidade do cabo esta conectada auma bateria e a outra a um resistor. O condutor interno tem uma carga porunidade de comprimento e uma corrente estacionaria I , enquanto o condutorexterno tem carga e corrente opostas.

(a) Determine o momentum linear do campo eletromagnetico;

(b) Supondo que a resistencia do resistor seja aumentada, a corrente no caboira diminuir, o que acarretara uma variacao do campo magnetico. Usando a leide Faraday, determine nese caso o campo eletrico induzido;

(c) No caso do tem (b), calcule a forca exercida pelo campo induzido sobre oscondutores, e o momentum linear mecanico do cabo.

16. O campo eletromagnetico tem momentum angular. Uma experiencia propostapelo famoso fsico e premio Nobel Richard Feynman ilustra este fato: considereum solenoide infinitamente longo com n espiras por unidade de comprimentoe um disco plastico girante com m esferas metalicas carregadas a ele coladas auma distancia R do eixo [cfr. Fig. 14]. O disco pode girar sem atrito em tornodo eixo do solenoide. Quando a corrente eletrica varia com o tempo, o discocomeca a girar. De onde veio o momentum angular do disco? A resposta e:do momentum angular do campo eletromagnetico. (a) Suponha que a correnteeletrica no solenoide varie a uma taxa constante :

I(t) = t.

Calcule o campo eletrico induzido que atua nas esferas metalicas como funcaoda distancia r ate o eixo. (b) Determine o torque mecanico sobre cada esfera eobtenha o momentum angular mecanico do disco.

17. Um solenoide muito comprido de raio R tem n espiras por unidade de com-primento, percorridas por uma corrente I . Ha duas cascas cilndricas muitocompridas de comprimento : a primeira, dentro do solenoide e com raio a temcarga Q distribuida uniformemente sobre sua superfcie, e a outra casca, de raiob, esta fora do solenoide e tem carga Q.

(a) Calcule a densidade de momentum linear do campo eletromagnetico;

(b) Calcule a componente z da densidade de momentum angular do campoeletromagnetico. Obtenha o momentum angular do campo.

35

(c) Se a corrente no solenoide for gradualmente reduzida, calcule o campo eletricoinduzido, o torque e o momentum angullar mecanico nos cilindros internos eexterno.

13 Respostas e sugestoes

1. E = q/0A entre as placas, E = 0 fora delas;

2. (a) B = 0I/2r; (b) B = 0nI .

3. (a) D = S (densidade de carga livre nas placas do capacitor); (b) E = S/0,P = S(1 1/); (c) P = S(1 1/).

4. (a)

IR =E0R

sint, Id =0AE0

dcost,

(b) Ic = Id e IT = IR + Ic; (c)

B =0E02

(1

rRsin t+

0r

dcost

),

5. (a) H = nI ; (b) B = m0nI , M = nI(m 1), que e positiva (negativa) se onucleo for paramagnetico (diamagnetico).

6. (a)

B =0I

2ln(s+ w

s

)

(b)

E = 0b

2ln(s+ w

s

), i =

0IbA

4(+ w)ln(s+ w

s

)

7.

i =0I

2R

vw

r(r + w).

8. (a) Sendo Q a carga nas placas do capacitor,

S = Qr

22R40

dQ

dtr.

9. (a)

E = 0nr

2

(b)

S = 0n

2rI

2r

10. (a) e (b)

E =I

a2z, B =

0I

2r

(c)

S = I2

22a3r

(d) I2/a2.

11. Detalhes no livro do Goldstein de Mecanica Classica, 2a. Ed., pgs. 21 a 23.

12. (x, y) = 12By(x y)

36

13.

(ij) =0n

2I2

2

1 0 00 1 0

0 0 1

, Fr

L= 0n

2I2a

14. Este problema esta resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.2, pg. 245.

15. Este problema esta resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.3, pg. 247.

16. (a)

E(r) =0R

2n

2r

(b)

N(r) = rqE(r), LMEC =1

20mqR

2nI

17. Este problema esta resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.4, pg. 249.

Referencias

[1] J. C. Maxwell,On Faradays Lines of Force, Camb. Phil. Soc. Trans. (1864),pp 27-83 [1855-56].

[2] J. C. Maxwell, On Physical Lines of Force. Part 1: The theory of molecularvortices applied to magnetic phenomena, Phil. Mag. XXI (1861), pp. 161-175; On physical lines of force. Part 2. The theory of electrical vorticesapplied to electric currents. Phil. Mag. XXI. (1861), pp. 281-291, 338-348;On physical lines of force. Part 3. The theory of electrical vortices applied

to statical electricity. Phil. Mag. XXIII. (1862), pp. 12-24; On physical linesof force. Part 4 The theory of electrical vortices applied to the the action of

magnetism on polarized light Phil. Mag. XXIII. (1862) pp. 85-95.

[3] J. C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Roy. Soc.Proc. XIII. (1864), pp. 531-536; Phil. Trans. CLV. (1865), pp. 459-512; Phil.Mag. XXIX. (1865), pp. 152-157. Este e diversos outros artigos escritospor Maxwell estao disponveis no artigo da Wikipedia sobre equacoes deMaxwell (em ingles).

[4] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Clarendon Press,Oxford, 1873). Pode ser acessado no site https://archive.org/details/electricandmagne01maxwrich.

[5] D. J. Griffiths, Eletrodinamica, 3a. Edicao, Pearson, Sao Paulo, 2010.

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