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Instituto Brasileiro do Concreto - 44º Congresso Brasileiro

SISTEMATIZAÇÃO DO CÁLCULO DE PERDAS PROGRESSSIVAS

DE PROTENSÃO

Iberê Martins da Silva (1) ; Edith Silvana Amaury de Souza Tanaka (2) ;

Hideki Ishitani (3)

(1) Mestrando em Engenharia de Estruturas, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo,

Professor Assistente, Universidade Santa Cecília, e-mail : [email protected](2) Professora Assistente, Universidade Santa Cecília, e-mail : [email protected](3) Professor Doutor, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, e-mail : [email protected]

Endereço para correspondência : Rua Oswaldo Cruz, 266 - Boqueirão - Santos – SP CEP: 11045-907

Tel: (0xx13) 3202-7132 - FAX: (0xx13) 3202-7132

Palavras chaves : Concreto Protendido , Perdas de Protensão , Sistematização de Cálculo

Resumo

A Norma NBR-7197 prescreve no seu ítem 8.5.2, processos de determinação

das perdas progressivas decorrentes da retração e fluência do concreto e da

relaxação do aço de protensão. Nesses processos admite-se que existe aderência

entre a armadura e o concreto e que a peça permaneça no estádio I. São descritos

três processos:

1 - para fases únicas de operação (cálculo das perdas progressivas quando se

consideram fases únicas de concretagem, de carregamento permanente e de

protensão);

2 - de expressões simplificadas que simulam resultados obtidos conforme o ítem 1;

3 - o método geral de cálculo.

Sendo válido ressaltar que o projeto de revisão das Normas NBR-6118 e

NBR-7197 mantêm, basicamente, estes procedimentos. O objetivo deste trabalho

consiste em sistematizar o método geral de cálculo das perdas progressivas em

seções compostas de várias fases de concretagem e múltiplas camadas de

armadura, ativas e passivas, com base no método dos prismas.

Será apresentado um programa de computador com a sistematização do

método geral de modo a facilitar o cálculo das perdas progressivas de protensão em

seções usuais de concreto protendido.


1 – INTRODUÇÃO

No cálculo das perdas progressivas de protensão, decorrentes da retração e

fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, a norma NBR 7197 [1]

prescreve dois procedimentos simplificados e o método geral de cálculo. Sendo os

procedimentos simplificados indicados à fases únicas de operação, ou seja, quando

se consideram fase únicas de concretagem, de carregamento permanente e de

protensão. Esta situação impõe as condições: a concretagem da peça, bem como a

protensão, são executadas em fases suficientemente próximas para que se

despreze efeitos recíprocos; o afastamento dos cabos são suficientemente

pequenos em relação à altura da peça, de modo que possam ser tratados como um

cabo equivalente.

O método geral de cálculo permite considerar ações permanentes aplicadas

em idades diferentes, tratando a seção transversal como camadas discretas, e

também cada camada isolada de armadura. Admitindo a hipótese da manutenção da

seção transversal plana, no cálculo da redistribuição de esforços, Busemann [2]

apresentou uma forma de desacoplar as equações envolvidas, ou seja, tornar a

matriz de elasticidade em matriz diagonal, com a idéia de uma seção concentrada

em dois pontos de áreas A1 e A2 , separadas por uma distância f, desenvolvendo o

Método das Fibras Conjugadas. Neste trabalho elabora-se uma sistematização do

método geral de cálculo através deste conceito, que apresentado por Ferraz [3]

recebe o nome de Método dos Prismas Equivalentes.

Na consideração da deformação lenta do concreto optou-se pela aplicação do

método de Trost-Bazant [2]. A sistematização do cálculo em ambiente Visual Basic

considera o caso clássico de laje concretada sobre viga pré-moldada protendida

para atender a duas idades distintas de concreto como também a várias posições

distintas de camadas de cabos de protensão, e também a inserção das camadas de

armaduras passivas.

No dimensionamento usual de peças de concreto protendido, costuma-se

calcular a redistribuição de tensões na seção crítica, onde o posicionamento dos

cabos torna-se mais adequado à simplificação de cabo equivalente da NBR 7197 [1] .

A sistematização proposta neste trabalho para o método geral de cálculo, a qual

pode ser transformada em ‘macro’ dentro de uma planilha eletrônica, torna simples e

viável o cálculo da redistribuição de tensões em outras seções, assim como já

acontece com a verificação do estado limite último à flexão.


2 – CONTEÚDO TEÓRICO

2.1 – Fluência, retração e relaxação

A retração e a deformação lenta podem ocasionar efeitos indesejáveis sobre

as estruturas, entre os quais, perdas de protensão em estruturas de concreto

protendido, além de ocasionar uma redistribuição de tensões entre concreto de

idades diferentes. O foco do estudo deste trabalho é o cálculo das perdas

progressivas de protensão; deste modo não serão discutidas as formulações para

avaliação dos fenômenos citados. Na montagem do exemplo numérico foi utilizada a

abordagem da NBR 7197 [1] para retração e deformação lenta.

A retração é a diminuição de volume devido à evaporação de água não

consumida na reação química de pega do concreto, sendo uma deformação que

independe do carregamento. A fluência é o aumento de uma deformação com o

tempo sob ação de cargas ou de tensões constantes, podendo esta ser dividida em

três parcelas: fluência rápida (que ocorre nas nas primeiras 24 horas após a

aplicação da carga), deformação lenta irreversível e deformação lenta reversível. O

efeito da fluência é avaliado através de uma função aplicada sobre a deformação

inicial. Diversos fatores influem na retração e na deformação lenta, entre eles

podemos citar: umidade relativa do ar, idade do concreto no início do carregamento

(maturidade), espessura da peça estrutural, consumos de água e cimento,

temperatura do ar ambiente, natureza dos agregados e a velocidade de

endurecimento do cimento.

A relaxação é a diminuição da tensão inicial, para deformação constante. A

relaxação da armadura de protensão tem seus valores fixados através de ensaios

em função do nível de tensão inicial e da classe de relaxação do aço.

2.1.1 – Método de Trost-Bazant [2]

Nas estruturas de concreto protendido, em muitas situações não podemos

considerar a tensão como constante ao longo do tempo, mas variável, inclusive com

estágios de carga distintos. Avaliando as variações de tensão num instante t através

da fluência , temos:

( ) ( )[ ]oo tt

Et ,1 φ

σε +⋅= ⇒ ( ) ( )[ ]τφ

στε ,1 t

Edtd o +⋅⋅= .


Sobrepondo as deformações resultantes da variação contínua da tensão

desde o primeiro instante de carregamento to até o instante considerado t, obtém-se

a seguinte expressão para a deformação lenta total:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ττφττσ

φσ

ε dtE

ttE

tt

t

oo

o

⋅+⋅⋅∂

∂++⋅= ∫ ,1

1,1 .

A aplicação desta expressão com a tensão no concreto variável dentro da

integral é muito complicada, fazendo-se necessária a utilização de transformações e

métodos numéricos. No Método de Trost-Bazant transforma-se a expressão acima

em uma algébrica com um coeficiente característico de envelhecimento que pode

ser utilizado para quaisquer coeficientes de fluência dados. Com o objetivo de livrar-

se da integral, define-se o coeficiente característico de envelhecimento (k) :

( ) ( )

( )[ ] ( ) 00,1,

,

<⋅−

⋅⋅∂

∂

=∫

oo

t

t

ttt

dt

k o

φσσ

ττφττσ

.

Obtendo com “k” uma nova expressão para a deformação lenta total:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]oo

oo ttk

E

ttt

Et ,1,1 φ

σσφ

σε ⋅+

−++⋅= .

O conceito do coeficiente característico de envelhecimento torna-se

proveitoso a medida que obtemos uma expressão linear com a fluência para a

variação de tensão. Bazant utilizando a relação com a função relaxação normalizada

conseguiu obter uma fórmula fechada para o coeficiente característico de

envelhecimento. Para as situações usuais de longa duração (idade fictícia do

concreto no instante t superior a 180 dias) pode-se adotar k=0,82 com boa

aproximação.

2.2 – Método dos prismas equivalentes [3]

2.2.1 – Idéia geral

Dada uma seção sujeita à flexão composta, considerando-se a hipótese da

manutenção da seção plana, o diagrama de tensões normais pode ser definido

através de dois pontos, ditos pontos conjugados da seção. Os pontos conjugados de

áreas equivalentes A1 e A2 estão posicionados em relação ao centro de gravidade

da seção tal que y1⋅y2 = -(i2), sendo equivalentes a seção transversal homogenea de

área Ac e momento de inércia I.


Propriedade 1: uma força norma N1 atuando no ponto conjugado 1 não produz

tensão no ponto conjugado 2, e vice-versa, uma força norma N2 atuando no ponto

conjugado 2 não produz tensão no ponto conjugado 1.

0112

112

1112 =

⋅⋅

−=⋅

−=⋅⋅

+=cccc AI

IN

A

N

I

iN

A

Ny

I

yN

A

Nσ

0222

221

2221 =

⋅⋅

−=⋅

−=⋅⋅

+=cccc AI

IN

A

N

I

iN

A

Ny

I

yN

A

Nσ .

Para a determinação da tensão no ponto conjugado 1 devida à força normal

N1 atuando neste ponto, basta efetuar a divisão de N1 pela área ponderada A1.

2

121

2

11

21

1111

1111 1

1

y

yy

A

N

y

y

A

N

yyA

yy

ANy

I

yN

A

N

ccccc

−⋅=

−⋅=

⋅⋅

⋅−⋅=⋅

⋅+=σ .

fazendo a área ponderada do prisma 1, 21

21 yy

yAA c −

−⋅= , temos:

1

11 A

N=σ .

Do mesmo modo, para o ponto cojugado 2, tem-se:

1

211

1

22

21

2222

2222 1

1

y

yy

A

N

y

y

A

N

yyA

yy

ANy

I

yN

A

N

ccccc

−⋅=

−⋅=

⋅⋅

⋅−⋅=⋅

⋅+=σ .

fazendo a área ponderada do prisma 2, 21

12 yy

yAA c −

⋅= , temos: 2

22 A

N=σ .

Propriedade 2: uma força normal N atuando no centro de gravidade deve ser

dividida conforme os braços de alavanca em relação aos pontos conjugados.

1

1

21

2

21

2

1 A

N

yy

yA

yy

yN

A

N

cc

=

−−

⋅

−−

⋅==σ ,

2

2

21

1

21

1

2 A

N

yy

yA

yy

yN

A

N

cc

=

−⋅

−⋅

==σ .

C.G.

ponto conjugado 2

ponto conjugado 1

y2

y1

Y

prisma 2 , A2

prisma 1 , A1

seção transversal - Ac , I

)( 221 iyy −=⋅

cA

Ii =

Figura 01 – Prismas Equivalentes


Propriedade 3: para o cálculo das tensões normais provocadas por um

momento fletor M aplicado à seção, basta determinar o binário correspondente ao

braço de alavanca z=y1-y2.

1

1

1

21

2

21

211 A

N

Az

M

yy

yA

yy

M

yA

My

I

M

cc

==

−−

⋅

−=

⋅−=⋅=σ

2

2

2

21

1

21

122 A

N

Az

M

yy

yA

yy

M

yA

My

I

M

cc

=−

=

−⋅

−−

=⋅−

=⋅=σ .

2.2.2 – Aplicação ao cálculo da redistribuição de tensões

Considerando uma seção composta por peças de concreto de diferentes

idades, após assegurado o trabalho conjunto destas peças (continuidade estrutural),

devido à retração diferenciada dos concretos e deformações lentas dos concretos e

das armaduras, ao longo de um tempo t, o diagrama de tensões normais sofrerá

uma redistribuição.

Aplicando o Método dos Prismas Equivalentes, cada peça de concreto é

substituída por um par de prismas que serão posicionados simetricamente em

relação ao centro de gravidade da seção da peça, sendo o módulo da distância

igual ao raio de giração da seção. Cada camada de armadura constitue um prisma.

Deste modo, a redistribuição de tensões pode ser simulada pelas variações das

forças normais Xi correspondentes aos prismas.

Avaliando em cada prisma a variação da deformação devido à retração e à

deformação lenta, temos:

csiiii

ii

i

oii q

AE

X

Eεφ

σε +⋅

⋅+⋅=∆

onde,

( )i

oiii E

tσ

εε −=∆ , ( )oiii tt,φφ = , ( )i

ioii A

Xt =− σσ , ( )oiii ttkq ,1 φ⋅+= .

Lembra-se que para as armaduras, o coeficiente de fluência [φ] é substituído

pelo coeficiente de fluência equivalente de armaduras [χ] dado no item 8.5.2 da

norma NBR 7197 por χ = -ln[1-ψ(t,to)] .


Com a hipótese da manutenção da seção plana, as deformações nos pontos i

devem obedecer a lei de uma reta: ∆εi = A + B⋅zi ,

icsiiii

ii

i

oi zBAqAE

X

E⋅+=+⋅

⋅+⋅ εφ

σ ⇒ ( )

i

iisci

i

iioii

i

iii q

AE

q

AzBA

q

AEX

⋅⋅−

⋅⋅−⋅+⋅

⋅=

εφσ.

Fazendo uso das equações de equilíbrio da Estática na seção para

determinação dos coeficientes da reta, temos o equilíbrio de forças horizontais:

0=∑i

iX ⇒ 0=⋅⋅

−⋅⋅

−⋅⋅

⋅+⋅

⋅ ∑∑∑∑i i

iicsi

i i

iioi

ii

i

ii

i i

ii

q

AE

q

Az

q

AEB

q

AEA

εφσ.

Adotando-se para origem das distâncias z, o centro de gravidade da grandeza

⋅

i

ii

q

AE, tem-se 0=

⋅∑i i

ii

q

AE. Logo,

∑

∑∑⋅

⋅⋅+

⋅⋅

=

i i

ii

i i

iicsi

i i

iioi

q

AEq

AE

q

A

A

εφσ

.

No equilíbrio dos momentos em relação a um pólo, escolhido como o centro

de gravidade da grandeza

⋅

i

ii

q

AE, tem-se 0=⋅∑

iii zX ,

02 =⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅ ∑∑∑∑i

ii

iicsii

i i

iioi

ii

i

ii

ii

i

ii zq

AEz

q

Az

q

AEBz

q

AEA

εφσ

∑

∑∑

⋅⋅

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

ii

i

ii

ii

i

iicsii

i i

iioi

zq

AE

zq

AEz

q

A

B2

εφσ

.

Desta forma consegue-se os coeficientes da reta que exprime a deformada da

seção devido à retração e deformação lenta, que aplicados nas equações que

fornecem os esforços em cada prisma, permitem montar a redistribuição de tensões

como também calcular as perdas progressivas nos cabos.

3 – EXEMPLO NUMÉRICO [4]

3.1 – Apresentação do problema

Avaliação da redistribuição de tensões numa viga pré-moldada protendida de

seção constante, já submetida a um estado de tensões prévio, onde é concretada

posteriormente uma laje para formar uma seção “T”. Os dados da seção transversal,

como também do estado inicial de tensões, são fornecidos a seguir:


Viga pré-moldada protendida: σco1,inf = -14 MPa ; σco1,sup = -8 MPa

Ec1= 30 GPa ; εcs1 = -0,0001 ; φ1 = 2,00

Laje concretada posteriormente: σco2,inf = σco2,sup = 0

Ec2= 24 GPa ; εcs2 = -0,0002 ; φ2 = 3,00

Armaduras de protensão: σpo = 1200 MPa ; Ep = 200 GPa ; χ = 0,05

Ap1 = 35,52 cm2 ; Ap2 = 11,84 cm2 ; Ap3 = 11,84 cm2 ; Ap4 = 11,84 cm2

2520

80 802532,5 32,5

250

90

laje concretada posteriormente

viga pré-moldada protendida

2030

40

Figura 02 – Seção Transversal do Exemplo Numérico

Med

idas

em

[cm

]


3.2 Resolução

3.2.1 Características das seções

Viga pré-moldada protendida:

Ac1 = 1,15125 m2 ; I1 = 1,12484 m4 ; i1 = 0,98846 m

y1,inf = 1,2922 m ; y1,sup = -1,5578 m ; W1,inf = 0,87048 m3 ; W1,sup = -0,72207 m3

adotando k=0,82 ⇒ q1=1+0,82⋅2,00 ⇒ q1=2,64

Laje concretada posteriormente:

Ac2 = 0,625 m2 ; I2 = 0,0032552 m4 ; i2 = 0,0721688 m

y2,inf = 0,125 m ; y2,sup = -0,125 m ; W2,inf = 0,0260416 m3 ; W2,sup = -0,0260416 m3

adotando k=0,82 ⇒ q2=1+0,82⋅3,00 ⇒ q2=3,46

Armaduras de protensão:

adotando k=0,82 ⇒ qa=1+0,82⋅0,05 ⇒ qa=1,041

3.2.2 Prismas equivalentes

Viga pré-moldada protendida, prismas 1 e 2:

y1 = 0,98846 m ; y2 = -0,98846 m ; A1 = 0,575625 m2 ; A2 = 0,575625 m2

Mpao 19861,985,2

56934,0681 =⋅−−=σ ; Mpao 36055,13

85,2

54626,2682 =⋅−−=σ

φ1 = φ2 = 2,00 ; q1 = q2 = 2,64 ; εcs1 = εcs2 = -0,0001 ; E1 = E2 = 30 GPa

Laje concretada posteriormente, prismas 3 e 4:

y3 = 0,0721688 m ; y4 = -0,0721688 m ; A3 = 0,3125 m2 ; A4 = 0,3125 m2

σo3 = σo4 = 0

φ3 = φ4 = 3,00 ; q3 = q4 = 3,46 ; εcs3 = εcs4 = -0,0002 ; E3 = E4 = 24 GPa

Armaduras de protensão, prismas 5, 6, 7 e 8:

A5 = 0,003552 m2 ; A6 = A7 = A8 = 0,001184 m2 ; σo5 = σo6 = σo7 = σo8 = 1200 MPa

φ5 = φ6 = φ7 = φ8 = 0,05 ; q5 = q6 = q7 = q8 = 1,041 ; εcs5 = εcs6 = εcs7 = εcs8 = 0

E5 = E6 = E7 = E8 = 200 GPa

Tomando como referência a borda inferior, encontramos as coordenadas z,

conseguindo o valor da ordenda do centro de gravidade me relação a

⋅

i

ii

q

AE:

z1 = 0,30374 m ; z2 = 2,28066 m ; z3 = 2,9028312 m ; z4 = 3,0471688 m

z5 = 0,10 m ; z6 = 0,30 m ; z7 = 0,60 m ; z8 = 1,00 m ; zcg = 1,61336 m


Com os dados acima, sendo zcg a nova origem para as coordendas z, define-

se os coeficientes A e B, e encontra-se os valores de X i :

A = -0,000617779 ; B = 0,000150512

A i φ i q i σ oi ε csi Ε i z i borda inf z i cg

0,575625 2,00 2,640 -13,36055 -0,0001 30000 0,303740 -1,309619

0,575625 2,00 2,640 -9,19861 -0,0001 30000 2,280660 0,667301

0,312500 3,00 3,460 0,00000 -0,0002 24000 2,902831 1,289472

0,312500 3,00 3,460 0,00000 -0,0002 24000 3,047169 1,433810

0,003552 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,100000 -1,513359

0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,300000 -1,313359

0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,600000 -1,013359

0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 1,000000 -0,613359

Σ1 Σ2 Σ3 Σ4 Σ5 Σ6 X i

-5,82626 -0,65412 6541,19318 7,63019 0,85665 11218,81700 1,150010

-4,01133 -0,65412 6541,19318 -2,67676 -0,43649 2912,72997 1,281411

0,00000 -0,43353 2167,63006 0,00000 -0,55902 3604,20077 -0,484893

0,00000 -0,43353 2167,63006 0,00000 -0,62159 4456,23528 -0,437802

0,20473 0,00000 682,42075 -0,30982 0,00000 1562,91833 -0,781753

0,06824 0,00000 227,47358 -0,08963 0,00000 392,37202 -0,253737

0,06824 0,00000 227,47358 -0,06915 0,00000 233,59193 -0,243465

0,06824 0,00000 227,47358 -0,04186 0,00000 85,57773 -0,229770

-9,42814 -2,17529 18782,48798 4,44296 -0,76046 24466,44303

X1 = 1150,010 kN ; X2 = 1281,411 kN ; X3 = - 484,893 kN ; X4 = -437,802 kN

X5 = -781,753 kN ; X6 = -253,737 kN ; X7 = -243,465 kN ; X8 = -229,770 kN

Pode-se assim determinar as tensões finais em cada prisma, usando-se o

estado inicial de tensões e esforço normal Xi devido à retração e deformação lenta:

2704,1136255,13360575625,0

010,11501 m

kN−=−=σ ; 2489,697261,9198575625,0

411,12812 m

kN−=−=σ

2658,15513125,0

893,4843 m

kN−=−

=σ ; 2966,14003125,0

802,4374 m

kN−=−

=σ

288,9799111200000003552,0

753,7815 m

kN=+−

=σ ; 210,9856951200000001184,0

737,2536 m

kN=+−

=σ

278,9943701200000001184,0

465,2437 m

kN=+−

=σ ; 250,10059371200000001184,0

770,2298 m

kN=+−

=σ


3.2.3 – Interpretação dos Resultados

Para obter as tensões finais nas seções de concreto, aplica-se uma regra de

três às tensões encontradas nos pontos conjugados:

223,12037704,1136297692,1

30374,0215,4390inf,1 m

kN−=−⋅

−=σ ⇒ σ1, inf = -12,037 MPa

214,5708489,697297692,1

56934,0215,4390sup,1 m

kN−=−⋅

=σ ⇒ σ1, sup = -5,708 MPa

282,1606658,15511443376,0

0528312,0692,150inf,2 m

kN−=−⋅

−=σ ⇒ σ2, inf = -1,607 MPa

281,1345966,14001443376,0

0528312,0692,150inf,2 m

kN−=−⋅

=σ ⇒ σ2,sup = -1,346 MPa

As tensões nos prismas das armaduras de protensão quando comparadas

com a tensão inicial fornecem os valores das perdas:

1ª camada : σpo = 1200 MPa ; σpf = 979,91 MPa ⇒ perda de 18,34 %




Abaixo são apresentados os diagramas de tensões normais na seção

estudada nos instantes to e t.

-14,000 MPa

-8,000 MPa

4262,40 kN

1420,80 kN

1420,80 kN

1420,80 kN

-12,037 MPa

-5,708 MPa

3480,65 kN

1167,06 kN

1177,34 kN

1191,03 kN

-1,607 MPa

-1,346 MPainstante to instante t


3.2.4 – Ambiente Visual Basic

As capturas de tela apresentadas a seguir demonstram a sistematização do

cálculo das perdas progressivas no ambiente Visual Basic, tendo sido resolvido o

exemplo numérico pelo aplicativo.

Figura 03 – Apresentação do Aplicativo

Figura 04 – Entrada de Dados


Figura 05 – Apresentação dos Resultados

4 – CONCLUSÃO

Neste trabalho podemos notar que o Método dos Prismas Equivalentes

apresenta grande praticidade e facilidade de sistematização do cálculo, seja por

planilha eletrônica ou em aplicativo no ambiente Visual Basic, podendo ser aplicado

como solução no método geral de cálculo para perdas progressivas da NBR 7197,

uma vez que permite a consideração de seções de concreto de idades distintas,

como também camadas de armaduras de protensão e passivas.

Pode-se citar também a utilidade desta sistematização para a avaliação da

redistribuição de tensões e das perdas progressivas, em diversas seções ao longo

da viga, assim como é feito na verificação do estado limite último à flexão; e também

a possibilidade de adaptar o processo para fins de cálculo de redistribuição de

esforços em estruturas hiperestáticas.


5 – REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

[1] NBR 7197 – Projeto de Estruturas de Concreto Protendido – ABNT , 1989.

[2] Leonhardt, Fritz - Construções de Concreto Vol. 5 – Concreto Protendido , 1983.

[3] Figueiredo Ferraz, José Carlos & Almeida Castanho, José Lourenço Braga –

Efeito da laje concretada posteriormente sobre viga protendida – Boletim Técnico

BT/PEF 8904 , 1969.

[4] Ishitani, Hideki – Estruturas de Concreto Protendido – Notas de Aula PEF 5716 –

EPUSP , 1998.

sistematizaÇÃo do cÁlculo de perdas … · palavras chaves : concreto protendido , perdas de...

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