SistemasSistemas opticosopticos de de primeiraprimeira ordemordem e e opticaoptica

no no espaespaççoo de de fasesfases

Gabriela Gabriela BarretoBarreto LemosLemosCursoCurso de de opticaoptica clcláássicassica

TransformaTransformaççõesões CanônicasCanônicas LinearesLineares ––

AbordagemAbordagem simplsimplééticatica

((CasoCaso unidmensionalunidmensional))

Mecânica clássica hamiltoniana:� Equações de Hamilton:

� As transformações de coordenadas ou evoluções temporais, X�X’, que preservam a forma das equações de Hamilton sãochamadas de transformações canônicas.

Numa transformação canônica a matriz jacobiana S satisfaz àcondição simplética.

'

'

q qS

p p

=

det 1T T

S JS SJS J S= = ⇔ = ±

( , )

0 1, ,

1 0

x

x

X J H X t

q qX J

p p

= ∇

∂ ∂ ≡ ≡ ∇ ≡

− ∂ ∂

�

' '' ( ', ) ( ', )

T

x xX SJS H X t J H X t= ∇ = ∇�

TransformaTransformaççõesões CanônicasCanônicas LinearesLineares --AbordagemAbordagem simplsimplééticatica

� O grupo de transformações lineares que satisfazemà condições simplética formam o grupo Sp(2n,R):– A matriz identidade é uma matriz simplética.– Toda S possui inversa e essa é também simplética.– S3=S1S2 é simplética (composição)– (S1S2)S3=S1(S2S3) (a composição é associativa)

� Transformações canônicas preservam área no espaço de fases (área simplética).

� Transformações canônicas podem tanto ser transformações de coordenadas no espaço de fasesquanto uma evolução dinâmica.

TransformaTransformaççõesões CanônicasCanônicas LinearesLineares-- ExemplosExemplos

� Escalonamento

� “Chirp multiplication” e “chirp convolution” (produzem cisalhamentos)

� Rotações

cos( / 2) ( / 2)

( / 2) cos( / 2)

a

ro

a sen aS

sen a a

π π

π π

= −

0

0 1/D

DS

D

=

1 0 1,

1 0 1q r

rS S

q

= = −

OperadoresOperadores metaplmetaplééticosticos

MecânicaMecânica QuânticaQuântica

Considere os operadores de posição de momento

O operador quântico M unitário (MT=M-1) realiza a evolução regidapor uma Hamiltoniana Ĥ quadrática em q,p

A ação desses operadores “metapléticos” é

i.e., os operadores metapléticos realizam transformações canônicaslineares do vetor operador (q,p).

[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( ), ,q q q q p q i q q p iq

ψ ψ ψ ψ∂

= = − =∂� �

( )ˆ /

ˆˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ

iHt

S

qM e H q p

p

= =

�H

†ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ

s s

q qM M S

p p

=

Existe uma correspondência biunívoca (a menos de uma fase) entre oselementos de matriz definifos pelos operadores metapléticos Ms e as matrizes simpléticas S de uma transformação canônica linear.

O conjunto de operadores metapléticos formam o grupo Mp(2n,R).i.e.– Existe um operador MI que é identidade.– A todo M está associado um inverso M-1.– MS3=±Ms1Ms2 é um operador metaplético.– (Ms1Ms2)Ms3=Ms1(Ms2Ms3) (a composição é associativa)

( )2 2 2 2' 2 ' / ' 2 '/4 /4ˆ' 1/

i q qq q i B Dq qq Aqi i

sq M q e e Be eπ α β γ ππ πβ − + − +− − = =

/ 1/

/ /

A BS

C D

γ β β

β αγ β α β

≡ ≡ − +

Mec.Quântica Mec. Clássica.

OperadoresOperadores metaplmetaplééticosticos

MecânicaMecânica QuânticaQuântica

Considere a funçao de onda transformada pela evolução quadrática

Sua função de Wigner Wg(q,p) é dada por (covariância metaplética)

Onde Wf(q,p) é a função de Wigner da função de onda nãotransformada <q|f>,definida por

Podemos interpretar essa distorção de W(q,p) como umatransformação de coordenadas

EfeitoEfeito das das transformatransformaççõesões canônicascanônicas lineareslinearesnana funfunççãoão de Wignerde Wigner

ˆ ˆ' ' 'S Sq g dq q M q q f g M f= ⇔ =∫

0

0 0 0

1( , ) / 2 / 2

2

iq v

fW q p dq q q f f q q eπ

−= + −∫

( )1, ( , ) ( , ) ,

nova

g f nova nova f

nova

q qS W q p W q p W Dq Bp Cq Ap

p p

− = = = − − +

( )

( ) ( ) ( )

( , ) , ; ', ' ( ', ') ' '

, ; ', ' ' '

g h f

h

W q p K q p q p W q p dq dp

K q p q p q Dq Bp p Cq Apδ δ

=

= − + + −

∫∫

EfeitoEfeito das das transformatransformaççõesões canônicascanônicaslineareslineares nana funfunççãoão de Wignerde Wigner

Evoluções por operadores metapléticos realizam transformaçõescanônicas lineares nas coordenadas do espaço de fases e portantopreservam área simplética (área no espaço de fases).

Função retangular de Wigner do sinal f(x) e do sinal transformado g(x).A função de Wigner do sinal transformado g(x) possui com respeito aosNovo eixos possui a mesma forma retangular da função de Wigner original com respeito aos eixos q,p.

EfeitoEfeito das das transformatransformaççõesões canônicascanônicas lineareslinearesnana funfunççãoão de Wigner _ de Wigner _ ExemplosExemplos

� Escalonamento

� “Chirp multiplication” (produz cisalhamentos)

� Rotações (Fast Fourier Transform)

0, ( , ) ( / , )

0 1/D g f

DS W q p W q D Mp

D

= =

1 0, ( , ) ( , )

1c g fS W q p W q p cq

c

= = + −

cos( / 2) ( / 2),

( / 2) cos( / 2)

( , ) (cos( / 2) s ( / 2) ,s ( / 2) cos( / 2) )

a

ro

g f

a sen aS

sen a a

W q p W a q en a p en a q a p

π π

π π

π π π π

= −

= − +

SistemasSistemas opticosopticos nana aproximaaproximaççãoão paraxial: paraxial: NotaNotaççãoão e e convenconvenççõesões

� z � coordenada espacial na direção de propagação.x � coordenada espacial transversal à direção de propagação.

� " frequência espacial”: σx= kx/2π

� f(x) � aplitude da luz como função das coordenadas transversais a um plano z=cte

� Tratamos de sistemas opticos centrados.

� Componentes ópticos considerados são lineares isotrópicos e não-dispersivos.

� Consideramos feixes quase-monocromáticos.

� Consideramos o comprimento de onda da luz pequeno comparado àsdimensões típicas do sistema optico. (Regime em que optica ondulatóriae optica de raios são equivalentes!)

A A opticaoptica ondulatondulatóóriaria nana aproximaaproximaççãoão paraxial e a paraxial e a mecânicamecânica quânticaquântica..

Equação paraxial que governa a propagação livre:

Onde f(x,z) é o “envelope” da ondaPodemos representar f(x,z) por um vetor ket

2

2

( , ) 4 ( , )f x z f x zi

x z

π

λ

∂ ∂= −

∂ ∂

( ) ( ), ; ( , )

i kz tx z t f x z e

ω−Ψ =

( , ) ( )f x z x f z=

[ ]

24ˆ

2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , .2 2

4 ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( )

ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) '

i p z

xf x z xf x z pf x z i f x z x p ix

df z i p f z f z U z f U z e

dz

g x z x g z x U z f z x U z x x f z dx

π

λ

λ λ

π π

π

λ

−

∂= = − → =

∂

= − → = → =

= = = ∫

SistemasSistemas de de fasefase quadrquadrááticatica ousistemassistemas opticosopticos de de primeiraprimeira ordemordem

((CasoCaso unidmensionalunidmensional))

� Optica ondulatória: O propagador do sinal optico de sistemasde fase quadrática pertence ao grupo metaplético.

� Optica geométrica: As matrizes de raios são as matrizessimpléticas relacionadas com Ms.

As matrizes S caracterizam os S.F.Q. como transformaçõescanônicas lineares na optica geométrica.

ˆ ˆ ˆˆ ˆ / 1/

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ/ /x x

x x A BS S

C D

γ β β

σ σ β αγ β α β

′ = → ≡ ≡ ′ − +

( )2 2 2 22 ' ' / 2 ' '/4 /4

ˆ( ) ' ' ' ( , ') ( ') '

( , ') 1/

s

i x xx x i B Dx xx Axi i

g x x M x x f dx h x x f x dx

h x x e e Be eπ α β γ ππ πβ − + − +− −

= =

= =

∫ ∫

λ pequeno: Optica ondulatória Optica geométrica

/ 2xp σ λ π=

Consideramos a propagação da luz pelo espaço livre. Tanto sua amplitudede sinal f(x,z), quanto o kernel da propagação h(x,x’;z) satisfazem à equaçãoparaxial

Esta equação é idêntica à equação de Hamilton-Jacobi para uma partícula livre, deduzida na mecânica hamiltoniana. O papel do tempo é desempenhado pelacoordenada z e a função V desempenha o papel da função geratriz datransformação canônica da hamiltoniana clássica H(x,p;t) de uma partículalivre.

p=∂V/∂x é o momento conjugado da coordenada x.

SistemasSistemas de de fasefase quadrquadrááticatica ousistemassistemas opticosopticos de de primeiraprimeira ordemordem _ _ ExemploExemplo

( )2

/4 2 ( , '; )/'1

( , '; ) , ( , '; )2

i iV x x zx x

h x x z e e V x x zz z

π π λ

λ− −

= ≡

22

2

4 10 0

2

h h V Vi

x z x z

π

λ

∂ ∂ ∂ ∂ + = → + =

∂ ∂ ∂ ∂

, ; 0V V

H x tx t

∂ ∂ + =

∂ ∂

221

( , )2 2

p VH x p

x

∂ = =

∂

SistemasSistemas de de fasefase quadrquadrááticatica ousistemassistemas opticosopticos de de primeiraprimeira ordemordem _ _ ExemploExemplo

Para esse tipo de função geratriz, V=V(x,x’;t), as equações quedefinem a transformação canônica são

Substituindo t�z e p�λσx ,nós encontramos a matriz de raio do componente optico relativo à propagação do raio por umaseção de espaço livre de comprimento z.

( ')

( ')'

'

V x xp

x z

V x xp

x z

∂ −= =

∂

∂ −= − =

∂1 '

0 1 '

x z x

p p

=

' '

'

x x zp

p p

= +

=

1

0 1x x

x xzλ

σ σ

=

OpticaOptica no no espaespaççoo de de fasesfases

� Espaço de fases em optica ondulatória: dimensões espaciaistransversais X frequências espacias σx.

� Espaço de fases em optica geométrica: dimensões espaciaistransversais X ângulo normalizado θx/λ. (Cada raio é representadopor um ponto (x, σx)).

� Função de Wigner de um sinal optico f(x)

� Propriedades:– Distribuição de intensidadedo sinal:

– Distribuição espectral da potência:

– Potência total do sinal optico:

( ) ( ) 0

0( , ) / 2 / 2 xix

f x o oW x dx f x x f x x eσσ −∗= − +∫

( , )f x xpotência W x d dxσ σ= ∫∫

2( ) ( , )x f xF W x dxσ σ= ∫

2( , ) ( ) ( , )f x f x xI x f x W x dσ σ σ= = ∫

O efeito de Q.P.S. na distribuição de Wigner de um sinal optico é o mesmo do efeito de evoluções por hamiltonianas quadráticas na distribuiçao de Wigner de um estado quântico:

S é a matriz simplética da transformação canônica linear correspondente.O kernel relacionando é dado por

SistemasSistemas opticosopticos de de fasefase quadrquadrááticaticano no espaespaççoo de de fasesfases

( ) ( ) 1, , ( ( , ))

g x f x x f xW x W Dx B Cx A W S xσ σ σ σ−= − − + =

( )

( ) ( ) ( )

( , ) , ; , ( , )

, ; , ' '

g x h x x f x x

h x x x x x

W x K x x W x dx d

K x x x Dx B Cx A

σ σ σ σ σ

σ σ δ σ δ σ σ

′ ′ ′ ′ ′ ′=

′ ′ = − + + −

∫∫

SistemasSistemas opticosopticos de de fasefase quadrquadrááticatica: : ComponentesComponentes opticosopticos

� O operador da transformação e o Kernel relacionando a distribuição de amplitude da saídacom aquela da entrada (optica ondulatória naaproximação paraxial)

� Matriz de raios (optica geométrica)

� Kernel relacionando distribuição de Wigner de entrada com a de saída.

x x

x xA B

C Dσ σ

′ = ′

ˆ( ) ' ' ' ( , ') ( ') 'sg x x M x x f dx h x x f x dx= =∫ ∫

( )( , ) , ; , ( , )g x h x x f x x

W x K x x W x dx dσ σ σ σ σ′ ′ ′ ′ ′ ′= ∫∫

Distribuição de Wigner:Optica ondulatória na aprox.paraxial

Autofunções:ondas planas

Optica geométrica: matriz de raios

SistemasSistemas opticosopticos de de fasefase quadrquadrááticatica: :

ComponentesComponentes opticosopticos _ _ SeSeççãoão de de espaespaççoo livrelivre

( )( )2

/ '/41( , ')

i d x xih x x e e

d

π λπ

λ−−=

1

0 1

dS

λ =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ; ,

, ,

h x x x x x

g x f x x

K x x x d x

W x W x d

σ σ δ λ σ δ σ σ

σ λ σ σ

′ ′ ′ ′= − − −

= −

PropagaPropagaççãoão atravatravééss de de umauma seseççãoão de de espaespaççoo livrelivre de de comprimentocomprimento d d nana aproximaaproximaççãoão de Fresnel. (de Fresnel. (PartPartíículacula livrelivre.).)

“chirp convolution”

2

24ˆd d

idx

sM e

λ

π=

Distribuição de Wigner:Optica ondulatória na aprox.paraxia

l

Autofunções:fonte pontual

Optica geométrica: matriz de raios

ComponentesComponentes opticosopticos _ _ LentesLentes finasfinas

PropagaPropagaççãoão atravatravééss de de umauma lentelente finafina de de comprimentocomprimento focal f focal f nana aproximaaproximaççãoão paraxial.paraxial.

( )2

/( , ')

i x fh x x e x x

π λ δ− ′= −

1 0

1/ 1S

fλ

= −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ; , /

, , /

h x x x x

g x f x

K x x x f x x

W x W x x f

σ σ δ σ λ σ δ

σ σ λ

′ ′ ′ ′= + − −

= +

“chirp multiplication”

2

ˆi x

f

sM e

π

λ−

=

Distribuição de Wigner:Optica ondulatória na aprox.paraxial

Optica geométrica: matriz de raios

ComponentesComponentes opticosopticos _ _ MeioMeio com com ííndicendice quadraticamentequadraticamente graduadograduado

( )

( )

( )2 2

/2

/2

/2cot 2csc ' cot( ' )/

'

( , ') '

id

id

dx xx xi

e x x

h x x e x x

eA e

χ

χ

χα α απ λχ

α

δ

δ

λχ

−

−

−− +−

−

= +

cos

/ cos

/

senS

sen

d

α λχ α

α λχ α

α χ

= −

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

, ; , cos

sin / cos

, cos , sin / cos

h x x x

x x

g x f x x

K x x x sin x

x

W x W x sin x

σ σ δ α λχσ α

δ α λχ σ α σ

σ α λχσ α α λχ σ α

′ ′ ′= − −

′+ −

= − +

“Transformada de fourier fracional”

PropagaPropagaççãoão atravatravééss de de umauma seseççãoão de de ““quadratic gradedquadratic graded--index index mediamedia”” com com parâmetroparâmetro χχ e e comprimentocomprimento d. (d. (OsciladorOsciladorharmônicoharmônico))

2 2

2 24

d d dxi

dxe

λ π

π λχ

− − +

ConclusãoConclusão

� As matrizes que caracterizam sistemas e componentes opticos de primeiraordem constituem uma maneira eficiente de manipular parâmetros e concatenarsistemas/componentes.

�� A A equivalênciaequivalência entreentre as as perspectivasperspectivas dada opticaoptica geomgeoméétricatrica dada opticaoptica ondulatondulatóóriarianana aproximaaproximaççãoão paraxial paraxial ficafica particularmenteparticularmente transparentetransparente no no espaespaççoo de de fasesfasesquandoquando tratamostratamos de de sistemassistemas opticosopticos de de fasefase quadrquadrááticatica. . IstoIsto porqueporque oo suporteda distribuiçao de Wigner e a região representando um conjunto de raios sãotransformados da mesma maneira.

� Na aproximação paraxial, e tratando de sistemas de fase quadrática osseguintes vetores transformam com a matriz simplética S

.

� Na aproximação paraxial a eq. de Helmholtz fica análoga com a equação de Schroedinger com a distância ao longo do eixo optico, o comprimento de ondae o índice de refração fazendo os papéis respectivamente de tempo, a constante de Planck e o potencial. (aula do Fabrício!)

� Analogia mecânica quântica – optica clássica fica simples no espaço de fasespois o tratamento no espaço de fases é equivalente matematicamente tantopara funções de onda quânticas quanto para ondas opticas clássicas.

/ ( ) / ( )x x

x x x q

dx z d z pσ θ λ λ

= = →

�A analogia com mecânica ficaevidenciada no espaço de fases