F R A N C I S A . J E N K I N S Y

H A R V E Y E. W H I T E P R O F E S O R E S D E FISICA E N L A U N I V E R S I D A D D E C A L I F O R N I A

F U N D A M E N T O S DE

O P T I C A

Traducción del inglés por

C A Y E T A N O ENRIQUEZ DE S A L A M A N C A Y

ALBINO ¡TOSTA A L M A R Z A Licenciados en Ciencias Físicai

A G U I L A R - M A D R I D

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La presente obra, incorporada a este fondo editorial con el asesor amiento de D. Luis BRAVO GALA, es la

traducción española de F U N D A M E N T A I S O F O P T I C S

3rd. EDITION

publicada originalmente en lengua inglesa por la Casa McGraw-Hill Book Company, Inc., de Nueva York,

Toronto y Londres.

NÚM. RGTRO.: ; 4601-62.

DEPÓSITO LEGAL. B I . 2.556.—1963.

O AGUILAR, S. A . DE 'EDICIONES, 1964.

Reservados todos los derechos.

Printod ia Spain. Impreso en España por Eléxpuru Hermanos, Alameda de Mazarredo, 16, Bübao.

P R O L O G O

PROLOGO A LA EDICION ESPAÑOLA

Los objetivos principales que nos han movido a preparar esta nueva edición pueden sintetizarse en dos palabras: simplificación y modernización. Tanto la experiencia personal de los autores como la de los numerosos profesores que han utilizado el libro como texto durante las dos últimas décadas, han puesto de manifiesto que muchos pasajes matemáticos resultaban excesivamente laboriosos. Como ejemplo de los esfuerzos realizados para subsanar este defecto, digamos que se ha redactado de nuevo\ en lenguaje más sencillo el capitulo sobre reflexión, y se ha colocado delante de otros aspectos más complejos relacionados con la luz polarizada. Además, al expresar la frecuencia y longitud de onda en unidades circulares, y al introducir en algunos lugares la notación \compleja, ha sido posible abreviar las deducciones de la teoría ondulatoria, lo que ha permitido la inclusión de nuevas materias cuya exposición consideramos imprescindible.

Las diversas ramas de la física modifican su contenido al compás de las variaciones experimentadas por el conjunto de esta disciplina. Así, en óptica las nociones de paquete de ondas, anchura de raya y longitud de coherencia han adquirido mayor importancia debido a su interés en mecánica cuántica. Por idéntica razón, los estudiantes toman antes contacto con las magnitudes complejas, lo que nos ha animado a incluir algunos ejemplos de la eficacia de su uso. Debido a su empleo creciente, hemos completado la óptica geométrica con la óptica concéntrica, así como con los métodos gráficos de trazado de rayos. Debido a la falta de ^espacio no ha sido posible tratar las elegantes relaciones existentes entre óptica geométrica y mecánica de partículas; tal como sucede en el microscopio electrónico y las lentes cuadripolares; el profesor debe suplir esta y otras deficiencias. Lo mismo cabe decir en cuanto al estudio excesivamente conciso de ciertos temas donde viejos principios han vuelto a adquirir importancia; p. ej., radiación de Cerenkov, red en escala y películas multilaminares.

Una dificultad común a todos los autores de obras de este nivel consiste en evitar que el estudiante adquiera la impresión de que queda agotado el tema tratado.: Si el lector se toma la molestia de consultar la bibliografía, se convencerá fácilmente de lo contrario. Para estimular estas lecturas hemos incluido en el texto numerosas referencias a trabajos originales, así como a libros. Se ha insertado además una serie de problemas totalmente nuevos, algo más difíciles que los que figuraban en ediciones anteriores.

XI

XII PROLOGO A LA EDICION ESPAÑOLA

No es posible mencionar aquí a: todos los que han contribuido con sus amables sugerencias a estas mejoras. Nos han indicado errores y omisiones L. W. Alvarez, W'. A. Bowers, J. E. Mack, W. C. Price, R. S. Shankland y J. M. Stone, a la vez que H. S. Cole-man, J. W. Ellis, F. S. Harris (Jr.), R. Kingslake, C. F. J. Overhage y R. E. Worley han aportado valiosas ideas. Deseamos expresar nuestra gratitud a todos ellos, así como a T. L. Jenkins, que sugirió algunas simplificaciones en ciertos desarrollos y comprobó las soluciones de muchos problemas.

Nos resulta especialmente grato que nuestra obra se traduzca al hermoso idioma español. De acuerdo con nuestros datos, existen en este idioma muy pocos textos que cubran la óptica a un nivel equivalente. Creemos, por ello, que este libro ha de resultar de verdadera utilidad para los estudiantes del mundo de habla española. De las diversas ramas de la física, la óptica^ es una en la que se trabaja activamente en España y donde sus investigadores han efectuado algunas de sus contribuciones más importantes. Nos permitimos expresar la esperanza de que esta obra contribuya a su continuado éxito en este interesante y fundamental campo de la física.

FRANCIS A . JENKINS. H ARVEY E . WHITE.

INDICE GENERAL

INDICE GENERAL

PRÓLOGO A L A EDICIÓN ESPAÑOLA Pág.

P A R T E I

O P T I C A G E O M E T R I C A

C A P . 1 . — B A T O S LUMINOSOS. 1- 1, Concepto de rayo luminoso, pág. 3.—1-2. Leyes de la reflexión y la refracción, 4.—1-3. Construcción gráfica del rayo refractado, 5.—1-4. Principio de reversibilidad, 6.—1-5. Camino óptico, 7.—1-6. Principio de Fennat, 8.—1-7. Dispersión del color, 11.—Poblemas, 12.

CAP. 2 .—SUPERFICIES PLANAS. 14 2- 1. Haz de luz paralela, pág. 14.—2-2. Angulo limite y reflexión total, 15.— 2- 3. Reflexión do rayos divergentes, 18.—2-4. Refracción de rayos divergentes, 19.—2-5. Imágenes formadas por rayos paraxiales, 19.—2-6. Lámina plano-paralela, 20.—2-7. Refracción en un prisma, 21.—2-8. Desviación mínima, 22.—2-9. Prismas delgados, 24.—2-10. Combinaciones do prismas delgados, 25.—2-11. Método gráfico para el trazado de rayos, 25.—2-12. Prismas de visión directa, 26.—Problemas, 27.

CAP. 3 .—SUPERFICIES ESFÉRICAS 30 3- 1. Focos y distancias focales, pág. 31.—3-2. Formación de imágenes, 32.— 3-3. Imágenes virtuales, 34.—3-4. PuntoB y planos conjugados, 34.—3-5. Convenios de signo, 35.—3-6. Construcciones gráficas. Método del rayo paralelo, 30.—3-7. Métodos del rayo oblicuo, 38.—3-8. Aumento, 40.—3-9. Vergencia reducida, 40.—3-10. Deducción do la fórmula de Gauss, 42.— 3- 11. Nomografía, 43.—Problemas, 44.

CAP. 4 . — L E N T E S DELGADAS. . 47 4- 1. Focos y distancias focales, pda. 47.—4-2. Formación de imágenes, 48.— 4-3. Puntos y planos conjugados, 49.—4-4. Método del rayo paralelo, 49.— 4-5. Método díl rayo oblicuo, 50.—4-6. Uso de la fórmula de las lentes, 51.— 4-7. Aumento lateral, 51.—4-8. Imágenes virtuales, 52.—4-9. Fórmula del constructor de lentes, 54.—4-10. Combinaciones de lentes delgadas, 54.— 4- 11. Espacio objeto y espacio imagen, 56.—4-12. Potencia de una lente delgada, 57.—4-13. Lentes delgadas en contacto, 58.—4-14. Deducción de la fórmula de las lentes, 59.—4-15. Obtención de la fórmula del constructor do lentes, 60.—Problemas, 63.

CAP. 5 . — L E N T E S GRUESAS . . . R 65 5- 1. Dos superficies esféricas, púg. 65.—5-2. Método del rayo paralelo, 60.— 5-3. Focos y puntos principales, 07.—5-4. Relaciones conjugadas, 69.— 5- 5. Método del Tayo oblicuo, 70.—5-6. Fórmulas generales de las lentes gruesas, 71.—5-7. Lentes gruesasi especiales, 75.—5-8. Puntos nodales y centro óptico, 75.—5-9. Otros puntos fundamentales, 77.—5-10. Combinación de lentes delgadas considerada como una lente gruesa, 77.—5-11. Combinaciones de lentes gruesas, 80.—5-12. Platina nodal, 80.—Problemas, 82.

CAP. 6 . — E S P E J O S ESFÉRICOS . . ; 85 '6-1. Focos y distancias focales, pág. 85.—6-2. Construcciones gráficas, 86.— 6- 3. Fórmulas de los espejos, 89. —6-4. Potencia de un espejo, 92.—6-5. Esjejos gruesos; 92.—6-6. Fórmulas de los espejos gruesos, 94.—6-7. Otros espejos gruesos, 95.—6-8. Aberración de esfericidad, 96.—6-9. Astigmatismo, 98.—Problemas, 100.

XV

XVI INDICE GENERAL

C A P . 7 . — E F E C T O S D E LOS DIAFRAGMAS 102 7-1. Diafragma de campo y diafragma de,apertura, pda. 102.—7-2. Pupilas de entrada y de salida, 103.—7-3. Rayo principal, 104.—7-4. Diafragma frontal, 104.—7-5. Diafragma entre dos lentes, 106.—7-6. Dos lentes sin diafragmas, 107.—7-7. Determinación del diafragma de apertura, 108.— 7-8. Campo visual, 110.—7-9. Campo de un espejo plano, 110.—7-10. Campo do un espejo convexo, 111.—7-11. Campo de una lente convergente, 112.— 7- 12. Brillo fotométrico e iluminación, 114.—7-13. Brillo de una imagen, 116.—7-14. Aumento normal, 118.—7-15. Iluminación de una Imagen, 118.—7-10. Imagen de un manantial puntual, 120.—7-17. Iluminación fuera del eje, l'¿0.—7-18. Efecto marginal, 121.—Problemas, 122.

C A P . 8 . — T R A Z A D O D E RAYOS 126 8- 1. Rayos oblicuos, pdg. 126.—8-2. Método gráfico para el trazado de rayos, 127.—8-3. Fórmulas del trazado de rayos, 130.—8-4. Ejemplo de cálculo para el trazado de rayos, 132.—Problemas, 136.

C A P . 9 .—ABERRACIONES D E LAS L E N T E S 138 9- 1. Desarrollo del seno y teoría do primor orden, pág. 138.—9-2. Teoría do tercer orden de las aberraciones, 140.—9-3. Aberración de esfericidad de una sola superficie, 140.—9-4. Aberración de esfericidad de una lente delgada, 142.—9-5. Resultados de la teoría de tercer orden, 145.—9-6. Aberración de esfericidad de quinto orden, 149.—9-7. Coma, 151.—9-8. Puntos aplana-ticos de una superficie esférica, 155.—9-9. Astigmatismo, 157.—9-10. Curvatura de campo, 160.—9-11. Distorsión, •161.—9 12. Teorema de los senos y condición de los senos de Abbe, 104.—9-13. Aberración cromática, 167.— 9- 14. Doblete separado, 173.—Problemas^ 176.

CAP. 10 .—INSTRUMENTOS ÓPTICOS 179 10- 1. Objetivos fotografieos, pdg. 179.—10-2. Rapidez délos objetivos, 180.— 10-3. Meniscos, 181.—10-4. Lentes simétricas, 181.—10-5. Tripletes anastigmáticos, 183.—10-6. Teleobjetivos, 183.—10-7. Lupas, 184.-—10-8. Tipos de lupas, 187.—10-9. Microscopios, 188.—10-10. Objetivos de microscopio, 188.—10-11. Anteojos astronómicos, 189.-10-12. Oculares, 192.—10-13. Ocular de Huygens, 193.—10-11. Ocular de líamsden, 193.-10-15. Kellner a ocular de Ramsden acromático, 194.—110-16. Oculares especiales, 194.— 10-17. Prismáticos, 195.—10-18. El sistema óptico de Kellner-Schmidt, 196.— 10-19. Sistemas ópticos concéntricos, 198.1—Problemas. 199.

11-1. Movimiento ondulatorio, pdg. 203.-f-ll-2. Ondas sinusoidales, 206.— 11-3. Fase y diferencia de fase, 208.—11-4. Velocidad de faso o de onda, 209.—11-5. Amplitud e intensidad, 211.—11-6. Frecuencia y longitud de onda, 214.—11-7. Paquetes de ondas, 219.—11-8. Reflexión y refracción, 220.— Problemas, 223.

12- 1. Composición do movimientos armónicos simples a lo largo de la misma recta, pdg. 225.—12-2. Composición vectorial de amplitudes, 227.—12-3. Superposición de dos trenos de ondas de la misma frecuencia, 229.-—12-4. Superposición de muchas ondas con fases cualesquiera, 232.—12-5. Ondas complejas, 233.—12-6. Análisis de Fourier, 236.—12-7. Velocidad de grupo, 238.—12-8. Relación gráfica entre velocidad de onda y de grupo, 241.—12-9. Composición de movimientos armónicos simples perpendiculares, 242.— Problemas, 245. 1

C A P . 1 3 . — I N T E R F E R E N C I A D E DOS HACES LUMINOSOS 248 13- 1. Principio de Huygens, pdg. 248.—13 2. Experimento de Young, 250.— 13-3. Franjas de interferencia producidas por un foco doble, 252.—13-4. Distribución de la intensidad en el sistema de franjas, 254.—13-5. Biprisma de Fresnel, 256.—13-6. Otros dispositivos para dividir el frente de onda, 258.— 13-7. Manantiales coherentes, 260.—13-8; División de la amplitud. Infcer-ferómetro de Michelson, 261.—13-9. Franjas ciroulares, 263.—13-10. Franjas

PARTE II

O P T I C A F I S I C A

C A P . 1 1 . — O N D A S LUMINOSAS 203

C A P . 12.—SUPERPOSICIÓN D E ONDAS 225

INDICE G E N E R A L XVII

localizadas, 265.—13-11. Franjas con luz blanca, 207.—13-12. Visibilidad - de las franjas, 268.—13-13. Medidas interforométricas do longitudes, 270.—

13- 14. Interferómetro de Twyman y Groen, 273.—13-15. Medida del índico de refracción por métodos interferenciales, 274.—Problemas, 277.

C A P . 14 .—INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MÚLTIPLES 280 14- 1. Reflexión en una película plano-paralela, pda. 280.—11-2. Franjas de igual inclinación, 283.—14-3. Interferencias con la luz transmitida, 284.— 14-4. Franjas de igual espesor, 283.—14-5. Anillos de Newton, 286.—14-0. Películas antirreflectantes, 288.—14-7. Nitidez do las franjas, 21)0.—14-8. Método de las amplitudes complejas, 292.—14-9. Cálculo du la función intensidad, 293.—14-10. Interferómetro de Fabry-Perot, 295.—14-11. Franjas de Brcwster, 296.—14-12. Poder do resolución cromático, 297.— 14-13. Comparación de longitudes de onda con el interferómetro, 299.—-14-14. Estudio de la estructura hiperfina y de la forma de las vayas, 302.— 14- 15. Otros espectroscopios interferenciales, 305.—5 4-16. Espectros acanalados. Filtro interferencial, 306.—Problemas, 307.

CAP. 15 .—DIFRACCIÓN D E F R A U N H O F E R POR U N A SOLA ABERTURA . 310 15- 1. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel. pan. 310.—15-2. Difracción por una rendija, 310.—15-3. Ampliación del estudio de la figura de difracción producida por una rendija, 314.—15-4. Estudio gráfico de amplitudes. Curva de vibración, 317.—15-5. Abertura rectangular, 319.—15-0. Poder separador de una abertura rectangular, 322.—15-7. Poder separador cromático de un prisma, 324.—15-8. Abertura circular, 325.—15-9. Poder separador de un anteojo, 327.—15-10. Brillo e iluminación do las imágenes de estrellas, 329.—15-11. Podor separador de un microscopio, 330.—15-12. Contraste de fase, 332.—Problemas, 333.

C A P . 1 6 . — L A D O B L E RENDIJA 336 16- 1. Aspectos cualitativos de la figura de difracción, pág. 336.—16-2. Deducción de la ecuación de la intensidad, 336.-—16-3. Comparación de las figuras producidas por la doble rendija y por la rendija sencilla, 339.-16- 4. Distinción entre interferencia y difracción, 339.—16-5. Posiciones de los máximos y mínimos. Ordenes desaparecidos, 340.—16-6. Curva do vibración, 344.—16-7. Efecto de la anchura finita de la rendija manantial, 346.—16-8. Interferómetro estelar de Michclson, 348.—16-9. Interferencias con grandes ángulos, 351.—Problemas, 352.

CAP. 1 7 . — L A R E D D E DIFRACCIÓN 354 17- 1. Efecto ¿o aumentar el número de rendijas, pág. 354.—) 7-2. Distribución do la intensidad en una red ideal, 356.—17-3. Máximos principales, 356.— 17- 4. Mínimos y máximos secundarios, 357.—17-5. Formación de espectros mediante una red, 359.—17-6. Dispersión, 361.—17-7. Superposición do órdenes, 362.—17-8. Anchura de los máximos principales, 363.—17-9. Poder separador, 365.—17-10. Curva de vibración, 366.—17-11. Producción de redes rayadas, 369.—17-12. Animas, 371.—17-13. Control de la distribución do intensidad eíitrc órdenes, 372.—17-14. Medida de la longitud de onda con la red, 375.—17-15. Red cóncava, 375.—17-16. Espectrógrafos de red, 375.— Problemas, 378.

C A P . 18.—DIFRACCIÓN D E F R E S N E L 381 18- 1. Sombras, pág. 381.—18-2. Zonas semiperiódicas de Fresnel, 383.—18-3. Difracción por una abertura circular, 386.—18-4. Difracción por un obstáculo circular, 388.—18-5. Placa zonal, 389.—18-0. Curva de vibración pura división circular del frente de onda, 390.—18-7. Aberturas y obstáculos de bordes rectos, 392.—18-8. División en bandas del frente de onda, 392.—18-9. Curva de vibración correspondiente a la división en bandas. Espiral de Cornu, 393.—18-10. Integrales de Fresnel, 395.—18-11. Borde rectilíneo, 398.— 18-12. Propagación rectilínea de la luz, 401.—18-13. Rendija sencilla, 402.— 18- 14. Aplicación de las integrales de Fresnel a la resolución de problemas de difracción, 405.—18-15. Difracción por una varilla opaca, 405.—18-16. Pantallas difractantes de otras formas. Principio de Babinet, 407.—18-17. Tratamientos más generales de la difracción, 408.—Problemas, 410.

CAP. 1 9 . — V E L O C I D A D D E L A L U Z 413 19- 1. Método de Romer, pág. 413.—19-2. Método de Bradley. Aberración de la luz, 415.—19-3. Método terrestre de Fizeau, 417.—19-4. Método del espejo giratorio, 419.—19-5. .Últimos experimentos de Michclson, 420.—19-0. Medidas en el vacío, 421.—19-7. Método de la célula de Kerr, 422.—19-8. Velocidad de las ondas de radio, 424.—19-9. Razón de las unidades elec-

XVTII INDICE GENERAL

tricas, 42/j.—iy-10. Velocidad de la luz en la materia en reposo, 42,5.— 10-11. Velocidad do la luz en la materia en movimiento, 428.—19-12. Coeficiente de arrastre de Fresnal, 42!).—19-13. Experimento de Airy, 429.— 19- 14. Efecto del movimiento del observador. 430.—19-15. E l experimento do Miclielson-Morlcy, 431.—19-16. Principio de la relatividad, 434.—19-1?. Los tres efectos de primer orden de la relatividad, 436.—Problemas, 439.

C A P . 2 0 . — T E O R Í A ELECTROMAGNÉTICA D E L A L U Z , 441 20- 1. Naturaleza transversal de las vibraciones lummosas, pág. 441.—20-2, Ecuaciones de Maxwell en el vacío, 442.—20-3. Corriente de desplazamiento, 443.—20-4. Ecuaciones de las ondas electromagnéticas planas, 445.—20-5. Representación trafica de una onda electromagnética, 447.—20-6. Vector luminoso de una onda electromagnética, 447.—20-7. Energía e intensidad do una onda electromagnética, 448.—20-8. Radiación emitida por una carga acelerada, 448.—20-9. Radiación emitida por una carga en movimiento periódico, 451.—20-10. Comprobación por Hcrtz de la existencia do las ondas electromagnéticas, 452.—20-11. Velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío, 453.—20-12. Radiación do Cerenkov, 454.—Problemas, 456.

C A P . 2 1 .—M A N A N T I A L E S LUMINOSOS T SUS ESPECTROS 458 21- 1. Clasificación de los manantiales luminosos, pág. 458.—21-2. Sólidos a alta temperatura, 458.—21-3. Arcos metálicos, 460.—21-4. Mechero Bunsen, 462.—21-5. Chispa, 463 —21-0. Tubo de vacío, 464.—21-7. Clasificación de los espectros, 460.—21-8. Emitancia y absortancia, 460.—21-9. Espectros continuos, 468.—21-10. Espectros de rayas, 473.—21-11. Teoría déla relación entre rmisión y absorción, 476.—21-12. Series de rayas espectrales, 477.— 21- 13. Espectros de bandas, 478.—21-14. Teoría de los espectros de rayas, de bandas v continuos, 479.—21-15. Anchura de las rayas espectrales, 481.— Problemas, 483.

C A P . 22 .—ABSORCIÓN Y DIFUSIÓN 484 22- 1. Absorción general y selectiva, pág. 484.—22-2. Distinción entre absorción y difusión, 485.—22-3. Absorción por sólidos y líquidos, 486.—22-4. Absorción por gases, 48S.—22-5. Resonancia y fluorescencia de gases, 489.— 22-6. Fluorescencia de sólidos y líquidos, 491.—22-7. Reflexión selectiva. Rayos residuales, 491.—22-8. Teoría de la relación entre absorción y reflexión, 493.—22-9. Difusión debida a pequeñas partículas, 494.—22-10. Difusión molecular. Color azul del cíelo, 497.—22-11. Efecto Raman, 498.— 22- 12. Teoría do la difusión, 499.—22-13. Difusión e índice de refracción, 500.—Problemas, 502.

C A P . 23.—DISPERSIÓN 504 23- 1. Dispersión en un prisma, pilg. 504.—23-2. Dispersión normal, 505.— 23- 3. Ecuacióu do Cauchy, 508.—23-4. Dispersión anómala, 510.-—23-5. Ecuación de Sclluieicr, 513.—23-0. Efecto do la absorción sobre la dispersión, 516.—23-7. Velocidades de onda y de grupo en el medio, 519.—23-8. Curva, de dispersión completa do una sustancia, 519.—23-9. Ecuaciones electromagnéticas pava los medios transparentes, 522.—2.3-10. Teoría de la dispersión, 524.—23-11. Naturaleza de las partículas vibrantes y de las fuerzas de rozamiento, 527.—Problemas, 528.

C A P . 24.—POLARIZACIÓN D E L A L U Z 531 24- 1. Polarización por reflexión, pdg. 531.—24-2. Representación de las vibraciones luminosas, 532.—24-3. Angulo de polarización y ley de Browster, 534.—24-1. Polarización por una pila de láminas, 535.—24-5. Ley de Malua, 537.—24-6. Polarización por cristales dicroicos, 539.—24-7. Doble refracción, 540.—24-8. Eje óptico, 542.—24-9. Secciones y planos principales, 542.—24-10. Polarización por doble refracción, 543.—24-11. Prisma de Nicol, 545.—24-12. Nicoles paralelos y cruzados, 547.—24-13. Refracción por prismas de calcita, 547.—24-14. Prismas de Rochon y Wollaston, 548.—24-15. Polarización por difusión, 549.—Problemas, 552.

C A P . 2 5 . — - R E F L E X I Ó N 554 25- 1. Reflexión en los dieléctricos, pdg. 554.—25-2. Intensidades de la luz transmitida, 557.—25-3. Reflexión inf.erna, 558.—25-4. Cambios de fase en la reflexión, 559.—25-5. Reflexión de la luz polarizada linealmente en un dieléctrico, 560.—25-6. Luz polarizada elípticamente por reflexión interna, 562.—25-7. Penetración en el medio menos denso, 564.—25-8. Reflexión metálica, 566.-25-9. Constantes ópticas de los metales, 569.—25-10. Descripción de la lux reflejada en un metal, 570.—25-11. Medida del ángulo

INDICE GENERAL

principal de incidencia y del acimut principal, 573.—25-12. Experimentos de Wiener, 573.—25-13. Teoría electromagnética de la reflexión y retracción en los dieléctricos, 576.—25-14. Teoría do la reflexión metálica, 579.— Problemas, 581.

CAP. 2 6 . — D O B L E REFRACCIÓN 26-1. Superficies de onda en los cristales uniaxicos, pda. 583.—26-2. Propagación de ondas planas en cristales uniáxioos, 585.—26-3. Ondas planas en incidencia oblicua, 588.—26-4. Dirección de las vibraciones, 589.—-26-5. Indices de refracción de los cristales uniáxicos, 590.—26-6. Superficies de onda en los cristales biáxicos, 592.—26-7. Retracción cónica interna, 595.— 26- 8. Refracción cónica externa, 597.—26-9. Teoría de la doble refracción, 598.—Problemas, 602.

CAP. 27 .— INTERFERENCIAS CON L U Z POLARIZADA 27- 1. Luz polarizada elíptica y circularmente, pdg. 604.—27-2. Láminas de cuartoy de media onda, 607.—27-3. Láminas cristalinas entre dos nicoles cruzados, 607.—27-4. Compensador de Babinet, 60!).—27-5. Análisis de la luz polarizada, 611.—27-6. Interferencias con luz blanca, 612.—27-7. Piltro monocromático polarizante, 616.—27-8. Aplicaciones de las interferencias en luz paralela, 617.—27-9. Interferencias en luz muy convergente, 618.— Problemas, 621.

C A P . 2 8 . — A C T I V I D A D ÓPTICA 28- 1. Rotación del plano de polarización, pda. 624.—28-2. Dispersión rotatoria, 625.—28-3. Interpretación de la rotación dada por Fresncl, 628.— 28- 4. Doble refracción en los cristales ópticamente actiros, 629.—28-5. Forma de la superficie de onda en el cuarzo, 632.—28-6. Prisma múltiple de Frcsnél, 633.—28-7. Prisma de Cornu, 634.—28-8. Formas de vibración e intensidades en los cristales activos, 635.—28-9. Teoría de la actividad óptica, 637.—28-10. Rotación en los líquidos, 639.—Problemas, 640.

CAP. 2 9 . — M A G N E T O Ó P T I C A T ELECTROÓPTICA 29- 1. Efecto Zeeman, vdg. 642.^29-2. Efecto Zeeman inverso, 649.—29-3._ Efecto Faraday, 650.—29-4. Efecto Voigt, o doble refracción magnética," 653.—29-5. Efecto Cotton-Mouton, 656.—29-6. Efecto magnetoóptico Kcrr, 656.-29-7. Efecto Stark, 657.-29-8. Efecto Stark inverso, 658.-29-9. Doble refracción eléctrica, 659.—29-10. Efecto electroóptico Kerr, 659.— Problemas, 661.

PARTE III

O P T I C A C U A N T I C A

CAP. 3 0 . — F O T O N E S ¡ 30-1. Fallos de la teoría ondulatoria, pda. 665.—30-2. Demostración de la existencia de cuantos de luz, 667.—30-3. Energía, euntidad de movimiento y velocidad de los fotoneB, 670.—30-4. Desarrollo de la mecánica cuántica, 671.—30-5. Principio de indeterminación, 672.—30-6. Difracción por una rendija, 673.—30-7. Complementareidad, 674.—30-8. Doble rendija, 675.— 30-9. Detenninaciún do la posición con un microscopio, 677.—30-10. Utilización de un obturador, 678.—30-11. Interpretación del carácter dual, 679.— 30-12. Dominios de aplicación de las ondas y de los fotones, 680.—Problemas, 681. !

INDICE ALFABÉTICO D E AUTORES T MATERIAS

PARTE PRIMERA

OPTICA GEOMETRICA

C A P I T U L O I

RAYOS LUMINOSOS

L a óptica, o ciencia de la luz, puede dividirse en tres partes, cada una de las cuales requiere un tratamiento teórico esencialmente diferente. Estas son: a) óptica geométrica, que se estudia por el método de los rayos luminosos; b) óptica física, que trata de la naturaleza de la luz desde el punto de vista de la teoría de ondas; c) óptica cuántica, relacionada con las interacciones entre la luz y las partículas atómicas, y cuyo estudio preciso requiere el empleo de los métodos de la mecánica cuántica. E n este libro nos limitaremos casi exclusivamente a los aspectos a) y b), aunque esbozaremos en el último capítulo los rasgos más salientes del c). Estos aspectos de la óptica los podríamos denominar con más propiedad macroscópico, microscópico y atómico, para indicar de manera más explícita su respectivo campo de aplicación. Cuando sé trata del estudio de la luz a grandes escalas, resulta suficiente casi siempre la representación por medio de rayos.

1-1. Concepto de rayo luminoso.—La distinción entre óptica geométrica y óptica física aparece inmediatamente cuando se intenta aislar, por medio de diafragmas, un único rayo de luz.

FIG. 1-1.—Intento de aislar un rayo de luz.

E n la figura 1-1, 5 representa un manantial luminoso de dimensiones lo más pequeñas posible, y ¡que suele denominarse manantial puntual. E n la práctica se consigue haciendo pasar a través de un pequeño orificio, practicado en una pantalla metálica, la luz procedente del polo positivo de un arco de carbón al rojo blanco J . Intercalando otra pantalla opaca H, provista de un orificio mucho

1 La lámpara de arco concentrado proporciona también una buena aproximación de manantial puntual (Sec. 21-2).

3

4 R A Y O S LUMINOSOS [CAP. 1

mayor, entre S y la pantalla blanca de observación M [Fig. 1-1 («)], solo la porción de esta última comprendida entre las rectas trazadas desde S estará apreciablemente iluminada. En este hecho nos apoyamos para decir que la luz se propaga según líneas rectas, llamadas rayos, pues podemos explicarlo suponiendo que solo los rayos no interceptados por H alcanzan la pantalla M. Si hacemos menor el orificio de H, parte (b) de la figura, la región iluminada se estrechará también, poí lo que cabría esperar la posibilidad de aislar un rayo si se hace suficientemente pequeño el agujero. Sin embargo, la experiencia indica que a partir de un cierto límite en el diámetro de este (del orden de unas décimas de milímetro), la mancha luminosa aumenta en vez de disminuir. Cuando el agujero es excesivamente pequeño, la región iluminada, aunque tenuemente, resulta más ¡extensa [Fig. 1-1 (c)].

E l fracaso de este intento de aislar un rayo luminoso se debe al fenómeno llamado difracción, que explica también la falta de nitidez del borde de la sombra cuando el orificio es grande. La difracción se debe a la naturaleza ondulatoria de la luz y se estudiará con todo detalle en la sección de óptica física. Solo adquiere importancia cuando se estudian fenómenos a pequeña escala, como al utilizar un agujero muy pequeño o al examinar el borde de una sombra con una lupa. Sin embargo, en la mayoría de los instrumentos ópticos utilizaremos haces luminosos lo suficientemente extensos para poder despreciar los efectos de la difracción. E n este caso, el concepto de rayo luminoso es de gran utilidad, pues los rayos indican la dirección del flujo de energía en el haz luminoso.

1-2. Leyes de la reflexión y la refracción.—Estas dos leyes se descubrieron experimentalmente mucho antes de que se comprendiera toda su importancia, y, en conjunto, constituyen la base de toda la óptica geométrica.

Pueden deducirse a partir de ciertos principios generales, que trataremos más adelante, pero de momento las i enunciaremos como hechos experimentales. E n general, cuando un rayo incide «^re la superficie de separación de dos medios transparentes,

en los que la velocidad de la luz es sensiblemente diferente, se divide en un rayó reflejado y otro refractado. E n la figura 1-2, IA representa el rayo incidente, que forma un ángulo <j> con la normal NA en A\ a la superficie; <f> se denomina ángulo de

FIG. 1-2.—Reflexión y refracción de incidencia, y el plano definido por un rayo en una superficie límite. IA y NA, plano de incidencia.

SEC. 1-3] CONSTRUCCION GRAFICA DEL RAYO REFRACTADO 5

Podemos ahora enunciar la ley de la reflexión como sigue: El rayo reflejado está en el -plano de incidencia, y el ángulo

de reflexión es igual al de incidencia. Esto es, IA, NA y AR están todos en el mismo plano, y

V = t [ i - i ]

L a ley de la refracción, conocida corrientemente como ley de Snell 2 , en honor de su descubridor, dice que:

El rayo refractado está en el plano de incidencia, siendo constante la razón del seno del ángulo de incidencia al seno del ángulo de refracción:

sen é = const. [1-2]

sen <j>' Si a la izquierda de la superficie de separación en la figura 1-2

hay vacío (o en la práctica, aire), el valor de dicha constante se llama índice de re fracción,n', del medio de la derecha. Efectuando medidas experimentales de los ángulos <f> y </>' se pueden determinar los valores de n' para diversas sustancias transparentes. Así, la ley de Snell para la refracción en la superficie de separación de dos medios de índices de refracción n y n' se puede también escribir en la forma simétrica

n sen cf> =n' sen <f>' [1-3] Siempre que sea posible utilizaremos símbolos sin acentuar

para el primer medio, y acentuados, para el segundo. L a razón n'jn se denomina a veces índice relativo del segundo medio respecto al primero. L a razón constante de los senos en la ecuación [1-2] es, pues, el índice relativo. Cuando el ángulo de incidencia es suficientemente pequeño, la ecuación [1-3] nos dice que el ángulo de refracción será también pequeño. E n estas condiciones se obtiene una buena aproximación sustituyendo los senos por los ángulos correspondientes, con lo que resulta

<f> »' —- = — para ángulos pequeños [1~4] <f> n

1-3. Construcción gráfica- del rayo refractado.—La figura 1-3 muestra un método relativamente sencillo para trazar un rayo

2Willebrord Snell (1591-1626), de la Universidad de Leyden (Holanda).' Anunció lo fundamental de esta ley en 1621 en un trabajo inédito. Su construcción geométrica requiere que la razón de las cosecantes de <¡>' y ¡j> sea constante. El primero en usar la razón de los senos fue Descartes, y en Francia se conoce esta ley como ley de Descartes.

6 RAYOS LUMINOSOS [CAP. 1

luminoso que atraviesa la superficie de separación de dos medios ópticamente transparentes. Debido a que los principios utilizados en su construcción se generalizan fácilmente a sistemas ópticos complicados, el método se utiliza mucho en el diseño preliminar de múltiples instrumentos.

FIG. 1-3.—Construcción gráfica de la refracción en una superficie plana.

Después de trazar la línea GH, que representa la superficie de separación de los dos medios de índices n y n', y una vez elegido el ángulo de incidencia <f> del rayo JA, la construcción se prosigue del modo siguiente: a un lado del dibujo, y tan cerca de él como sea posible, se traza una recta OR paralela a JA; a continuación se trazan dos arcos circulares de centro O y radios proporcionales a n y n', respectivamente.

Por el punto de intersección R se traza una paralela a NN', que corta al arco rí en P; seguidamente se traza OP, y paralela a ella el rayo refractado AB. E l ángulo ¡3 formado por los rayos incidente y refractado se llama ángulo de desviación, y viene dado por

P = ¿ - i' [1-5] Para probar que esta construcción está de acuerdo con la ley

de la refracción, apliquemos la ley de los senos al triángulo ORP:

OR _ OP sen $' sen (ir — $)

Puesto que sen {n — <f>) = sen 9S, OR — ny OP = n', sustituyendo tenemos:

sen </>' sen <j>

que es la ley de Snell (Ec. [1-3]). 1-4. Principio de reversibilidad.—La simetría de las ecuaciones

[1-1] y [1-3] respecto a los símbolos acentuados y sin acentuar

SEC. 1-5] CAMINO OPTICO 7

sugiere que si se invierte el sentido del rayo reflejado (o del refractado), este volverá a seguir su trayectoria original. Para un par de medios dado, de índices n y n', a cada valor de <j> le corresponde un valor único de <f>'. Esto continúa siendo cierto cuando, al invertir el rayo, </>' pasa a ser el ángulo de incidencia en el medio de índice-»'; el ángulo de refracción será entonces <f>. Puesto que este principio se aplica a toda superficie reflectora o refringente, se verificará incluso para los caminos ópticos más complicados. Este útilísimo principio tiene fundamentos lio solo geométricos, y veremos después que se deduce de la aplicación, al movimiento ondulatorio, de un principio análogo de mecánica.

1-5. Camino óptico.—Con el fin de establecer un principio más general que incluya tanto a la ley de la reflexión como a la de la refracción, es conveniente definir una magnitud llamada camino óptico. Cuando la luz recorre una distancia d en un medio de índice n, el camino óptico es el producto nd. L a interpretación física de n, que daremos después, demuestra que el camino óptico representa la distancia que recorrería la luz en el vacío en igual tiempo que el empleado para recorrer la distancia d en el medio considerado. Cuando la trayectoria luminosa se compone- de varios segmentos dlt d2,..., recorridos en medios de índices de refracción nv n2,..., el camino óptico será:

camino óptico = [d] = : + «2<ü2 + . . . == ndi [1-7]

• *

Así, p. ej., en la figura 1-4, L representa una lente de índice n' inmersa en un líquido de indi-) ce n. E n este caso, el camino óptico de un rayo entre los puntos Q y Q' será

[d] = nd1 -f- n'd2 + nd3

>. Q Q y Q' no necesitan ser

puntos del objeto y SU ima- F l G . i _ 4 . _ n u s t r a c i o n del concepto de gen, sino dos puntos cuales- camino óptico y del principio de Fermat. quiera de un rayo real. j

Cabe también definir el camino óptico en un medio en el que n varíe de modo continuo reemplazando el signo de sumación por uña integral. Las trayectorias de los rayos son entonces curvadas, y la ley de la refracción pierde su significado. Consideraremos ahora un principio aplicable a cualquier tipo de variación de n, y que incluye, por tanto, las leyes de la reflexión y la refracción. !

n

8 RAYOS LUMINOSOS [CAP. 1

1-6. Principio de Fermat3.—Es raro encontrar en los libros de texto usuales un enunciado correcto del principio de Fermat, pues se tiene tendencia a citarlo en su forma original, debida a Fermat, que resulta incompleta. Usando el concepto de camino óptico, el principio debería enunciarse:

La trayectoria seguida por un rayo luminoso para ir de un punto a otro a través de un conjunto de medios es la que hace su camino óptico igual, en primera aproximación, a piros caminos muy próximos al real. Los otros caminos deben ser posibles en el sentido de que solo

pueden sufrir desviaciones donde haya superficies reflectoras o re-fringentes. E l principio de Fermat se satisfará para el rayo cuyo camino óptico sea mínimo respecto de los caminos adyacentes hipotéticos. E l propio Fermat estableció que el tiempo requerido por la luz para recorrer su camino es mínimo, y que el camino óptico repre

senta una medida de este tiempo. No obstante, existen bastantes casos en que el camino óptico es máximo, o ni máximo ni mínimo, sino meramente estacionario (en un punto de inflexión) en la posición del rayo verdadero.

Consideremos el caso de un rayo que pasa primero por un punto Q y después de reflejarse en una superficie plana pasa por otro punto Q" (véase figu-

Ábc x— r a • Para hallar el camino real tracemos la perpendicular a GH desde Q, prolongándola por el otro lado una distancia igual hasta Q'. L a recta Q'Q" corta a

GH en B, desde donde se traza QB. E l camino real es, pues, QBQ", que, como puede verse por sencillas relaciones deducidas del diagrama, obedece a la ley de la reflexión.

Consideremos ahora trayectorias contiguas que pasen cerca de B, en la superficie especular, tales como las correspondientes a los puntos A y C. Puesto que la recta es el camino más corto entre dos puntos, tanto Q'AQ" como Q'CQ" son mayores que Q'BQ'1. De la construcción anterior y de la igualdad de trián-

3 Pierre Fermat (1608-1665). Matemático francés, a quien algunos atribuyen el descubrimiento del cálculo diferencial. La justificación del principio enunciado por Fermat se basa en el postulado de que «la Naturaleza es económica», lo cual no explica los casos en que ocurre todo lo contrario.

Fie. 3-5.—Aplicación del principio de Fermat a la reflexión en una superficie

plana.

SEC. 1-6] PRINCIPIO DE FERMAT 9

gulos, se deduce que QA = Q'A y QC — Q'C, de modo que QAQ" > > QBQ" y QCQ''> QBQ"; por tanto, el camino real es mínimo.

Una representación gráfica de los caminos hipotéticos próximos al real QBQ", según aparece en la parte derecha del diagrama, indica el significado de un mínimo; y la pequeña curvatura del arco comprendido entre A y C nos dice que, en primera aproximación, los caminos adyacentes son iguales al camino óptico real.

Consideremos finalmente las propiedades de un elipsoide reflector como el de la figura 1-6. Todos los rayos procedentes de uno de los focos Q se reflejan de acuerdo con las leyes de la reflexión, reuniéndose en el otro foco Q', y además todos los caminos tienen la misma longitud. (Se recordará que es posible dibujar una elipse con un cordel de longitud constante manteniendo sus extremos fijos en los focos.) A l ser todos los caminos ópticos iguales, tenemos uno de los estados estacionarios mencionados anteriormente. E n la figura 1-7 (b) los caminos ópticos de igual longitud están representados por una recta horizontal.

Vamos a dedicar ahora cierta atención a las superficies tales como a y c de la figura 1-6. Si estas superficies son tangentes al elipsoide en el punto B, la recta NB es normal a las tres super

ficies, y QBQ' es un camino

FIG. 1-6.—Aplicación del principio de Fermat a un reflector elíptico.

(a) (b)

[i]

,B B

•

real para todas ellas. No obstante, los caminos adyacentes desde Q a puntos situados en estos espejos tendrán un camino real dado por una condición de mínimo para el reflector (c), y de máximo para el («) (véase Fig. 1-7).

Matemáticamente es fácil ver que las leyes de la reflexión y de la refracción siguen el principio de Fermat. L a f i gura 1-8, que representa la

refracción de un rayo en una superficie plana, nos sirve para probar la ley de Snell (Ec. [1-3]). L a longitud del camino óptico entre el punto Q en el medio superior de índice n, y otro punto Q'

FIG. 1-7.—Caminos ópticos en la reflexión: [a) máximo, (6) estacionario, (c) mí

nimo.

10 RAYOS LUMINOSOS [CAP. 1

del medio inferior de Indice rí, que pasa por un punto A de la superficie, es

[d] = nd + n'd' [1-8]

donde d y d' representan las distancias QA y AQ', respectivamente.

Sean ahora h y h' las distancias perpendiculares a la superficie y p la longitud total que interceptan en el eje x; en virtud del teorema de Pitágoras podemos escribir:

d2 = h2 + (p — x)2 íT* +

Sustituyendo estos valores de d y d' en la ecuación [1-8], se tiene:

FIG. 1-8.—Construcción geométrica utilizada para aclarar el principio de Fermat aplicado al rayo refractado.

[d] = n[h2 + {p — xf]i + «'(*'* + x*)i [1-9]

De acuerdo con el principio de Fermat, [d] deberá ser máximo o mínimo (o en general, estacionario) para el camino real. U n método para hallar un máximo o mínimo del camino óptico se basa en representar gráficamente [d] en función de x, y ver para qué valor de x la tangente a esta curva es paralela al eje x (Fig. 1-7). Matemáticamente esto se consigue derivando primero [1-9] respecto a x para obtener la pendiente de la curva, e igualando después a cero la función resultante, lo que nos da el valor de x que anula dicha pendiente:

d[d] i " 2"

dx [h2 + {p — xfj

De donde p — x

(A'» + x2)i i(2*)=0

íh2 +{p- = n h'2 + X2)i

o más sencillamente,

* — x , x n ~ i r - n d <

E n la figura 1-8 se ve que los coeficientes de n y n' son precisamente los senos de los ángulos correspondientes, con lo que queda establecida la ecuación [1-3]; es decir,

n sen <j> — n' sen <j>' [1-10]

SEC. 1-7] DISPERSION DEL COLOR 11

Cabe trazar un diagrama análogo al de la figura 1-8 para probar la ley de la reflexión mediante los mismos métodos matemáticos.

1-7. Dispersión del color.n-Es bien sabido, para quienes han estudiado física elemental, que la refracción hace que la luz blanca se descomponga en sus diversos colores. Según se ve en la figura 1-9, el rayo incidente de luz blanca origina rayos refractados de diferentes colores (en realidad un espectro continuo), a cada uno de los cuales corresponde un valor distinto de (¡>f. De acuerdo con la ecuación [1-3], rí debe variar con el color. Para la especificación exacta de loa índices de refracción es costumbre utilizar colores particulares, correspondientes a ciertas rayas! del espectro solar. En las tablas 21-2 y 23-1 se recogen algunas de las llamadas rayas de Fraunho-fer4, designándose por A, B, C, a partir del rojo extremosas más comúnmente utilizadas son las de la figura 1-9.

La desviación angular de los rayos F y C representa una medida de la dispersión producida; en la figura se ha exagerado mucho con respecto a la desviación media del espectro, la cual se mide por el ángulo que se desvía el rayo D. Como caso típico consideremos el del vidrio crown, cuyos índices de refracción, dados en la tabla 23-1, son: j

ng = 1,53303 nD = 1,52704 nc = 1,52441

De la ecuación [1-4] se deduce que para un pequeño ángulo dado <f>, la dispersión de los rayos F y C {<f>'F— <¡>'c) es proporcional a

nF — nc= 0,00862,

mientras que la desviación del rayo D, ((f> — (¡>'D), depende de nD — 1 = 0,52704, siendo más de 60 veces mayor. La razón de estas dos magnitudes varía considerablemente para los diversos tipos de vidrios y es una característica importante de cualquier

FIG. 1-9.—Después dé la refracción, la luz blanca se descompone en su espectro. Esto es

lo que se llama dispersión.

* Joseph Fraunhofer (1787-1826). Hijo de un humilde vidriero bávaro, Fraun-hofer aprendió a pulimentar cristales y se adentró en la óptica por su lado práctico. Su rara habilidad experimental le permitió obtener espectros mucho mejores que los de sus predecesores, dedicándose al estudio de las líneas solares a las que está asociado hoy día su nombre. Fraunhofer fue uno de los primeros en construir redes de difracción (Cap. XVII).

12 RAYOS LUMINOSOS [CAP. 1 :

1.5

-material óptico. Se llama poder dispersivo, y se define mediante lá ecuación

- = F 0 [1-11] v nD — 1

L a recíproca del poder dispersivo, que se designa con la letra griega v, varía entre 30 y 60 para la mayoría de los vidrios ópticos.

L a figura 1-10 muestra esquemáticamente la variación de n con el color que suele producirse én los materiales ópticos. E l

numerador de la ecuación [1-11], que constituye una medida de la dispersión, viene determinado por la diferencia entre los índices de refracción en dos puntos próximos a los extremos del espectro. ^EJ denominador, que mide la desviación me-jiia,. representa el exceso sobre la unidad de un índice de refracción intermedio.

E n la mayoría de los tratados de óptica geométrica suelen despreciarse los efectos cromáticos, suponiendo

que el índice de refracción de cada uno de los elementos específicos de un instrumento óptico es el determinado por la raya D del espectro del sodio, simplificación que haremos en los siete capítulos que siguen. ' |

1.0.

nn-l

F D C violéis azul verde amar/fío rojo

FIG. 1-10.—Variación del índice de refracción con el color.

P R O B L E M A S

1-1. Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre una superficie de vidrio bajo un ángulo de 15°. ¿Qué porcentaje de error se comete suponiendo que en la ley de Snell pueden sustituirse los senos por los ángulos? Supóngase n' = 1,520.

1-2. Un rayo procedente del aire incide sobre un cristal de índice 1,560 bajo un ángulo de 45°. Hállese el ángulo de refracción: a) gráficamente; b) calculándolo por la ley de Snell; o) ¿cuál es el ángulo de desviación?

Sol.: a) 27°; b) 26°57'; c) 18° 3'. 1-3. Un tubo de 1 m de longitud se cierra por sus extremos con sen

das placas de cuarzo de 10 mm de espesor. El tubo está vacío y el índice del cuarzo es 1,460. a) ¿Cuál es el camino óptico entre las dos superficies exteriores? b) ¿Cuánto aumentará cuando se llene el tubo con gas a 1 atm de presión, si su índice es 1,000250? j

1-4. Los puntos Q y Q 'de la figura 1 8 están, respectivamente, a las distancias h = 10 cm y h' = 10 cm de la superficie que separa el agua

P ROBLEMAS 13

(de índice 1,333) del vidrio (de índice n' = 1,500). Si la distancia x es 4 cm.' hállese el camino óptico entre Q y Q'. Sol.: 30,83 cm.

1-5. Kepler dio una ley aproximada de la refracción de la forma ¿= <f>'¡{\ — k sec </>'), donde k = («'—l)/w', siendo n' el índice de refracción relativo. Calcúlese el ángulo de incidencia <¡¡ para un vidrio de índice n' = 1,600, correspondiente a un ángulo de refracción = 30°, de acuerdo con: a) la fórmula de Kepler; b) \& ley de Snell.

1-6. Sobre la superficie pulimentada de un trozo de vidrio incide luz blanca bajo un ángulo de 80°. Si los índices de refracción para la raya C (roja) y F (azul) son 1,5885 y 1,5982, respectivamente, ¿cuál es la dispersión angular entre estos dos colores? Sol.: 16,4'.

1-7. Sobre una lámina pulimentada de vidrio crown incide luz blanca bajo un ángulo de 89°. Si los índices de refracción para las rayas C (roja) y G' (violeta) son 1,5088 y 1,5214, respectivamente, ¿cuál será el ángulo de dispersión entre estos dos colores?

1-8. Una esfera maciza de vidrio de índice 1,50 tiene un radio de 4 cm. Trácese desde un punto Q de la esfera una recta diametral que pase por un punto Q" al otro lado de la esfera y a 6 cm de esta. Hállese mediante una construcción gráfica si este trayecto es máximo o mínimo.

Sol.: Mínimo. 1-9. Calcúlense los valores de v para los siguientes vidrios: a) crown,

tic = 1,6205, no = 1,6231 y wj? = 1,6294; b) flint, nc = 1,7230, nD = 1,7300 y nF = 1,7478.

1-10. Dos espejos planos forman un ángulo <x. Aplicando la ley de la reflexión, demuéstrese que cualquier rayo, cuyo plano de incidencia sea perpendicular a la línea de intersección, se desvía en las dos reflexiones un ángulo independiente del de incidencia. Exprésese esta desviación en función de a. Sol.: o = 2 (z — a) j

1-11. Sobre una lámina de vidrio de 2 cm de espesor e índice 1,60 incide perpendicularmente un rayo luminoso. Si se gira la lámina un ángulo de 45" alrededor de un eje perpendicular al rayo, ¿cuál será el incremento de camino óptico?

1-12. Los ejes de un espejo elipsoidal miden 10 cm y 6 cm, respectivamente, y los focos distan 8 cm. Si existe un manantial luminoso en uno de los focos Q, hay solo dos rayos luminosos que pasan por el centro Q". Dibújese este reflector determinando gráficamente si estos dos- caminos son máximos, mínimos o estacionarios.

Sol.: Uno máximo y otro mínimo. 1-13. Un rayo de luz que se propaga bajo el agua (n = 1,333) llega a

la superficie formando un ángulo de 40° con la normal. Mediante el método gráfico, hállese el ángulo que formará con la normal después de refractarse en el aire (•« = 1,00).

1-14. Una esfera maciza de vidrio de 6 cm de diámetro tiene un índice « = 2,00. Sobre ella inciden rayos paralelos y coplanarios distanciados 1 cm, uno de los cuales pasa por el centro. Determínense los puntos donde cada uno de estos rayos corta al central, que no se desvía.

Sol.: 5,91 cm, 5,63 cm y 4,73 cm del primer vértice. 1-15. Pruébese matemáticamente que la ley de la reflexión se deduce

del principio de Fermat.

CAPITULO II

SUPERFICIES PLANAS

L a reflexión y refracción de la luz en una superficie plana es de fundamental importancia en óptica geométrica. E n su estudio aparecen varias de las características que tendremos que considerar al analizar el caso más complicado de una superficie curva.

En la Naturaleza aparecen con frecuencia superficies planas; p. ej., las caras que delimitan los cristales o las superficies de separación entre líquidos. En la práctica se utilizan superficies planas artificiales para conseguir desviaciones o desplazamientos laterales de la luz o bien su descomposición espectral. E l dispositivo más común entre los de este tipo es el prisma, pero antes de estudiarlo consideraremos el caso más sencillo de una sola superficie plana.

n< n' n>n' n>n' FIG. 2-1.—Reflexión y refracción de un haz paralelo: (a) Reflexión externa; (b) Reflexión interna bajo un ángulo menor que el límite; (c) Reflexión total en el ángulo

límite.

2-1. Haz de luz paralela.—En un haz de luz paralela cada rayo se desplaza en la misma dirección que todos los demás. Por ello puede tomarse uno cualquiera de ellos como representante del haz completo. Como fácilmente se ve en la figura 2-1, el carácter de haz paralelo no se altera por la reflexión o refracción. L a refracción, no obstante, origina una variación de la anchura

14-

SEC. 2-2] ANGULO LIMITE Y REFLEXION TOTAL 15

del haz dada por la relación eos <f>'/cos <f>, cosa que no ocurre en la reflexión. A su tiempo se verá la importancia de este hecho, cuando se consideren las intensidades (Sec. 25-2). Se produce asimismo dispersión cromática en el haz refractado, pero no en el reflejado. i

Cuando la reflexión se produce en una superficie con un índice n más alto se denomina reflexión externa [Fig. 2-1 (a)]. A veces se designa también como reflexión de menos denso a más denso, pues, grosso-modo, los índices relativos n corresponden a la relación de las densidades. E l > caso de reflexión interna o de más denso a menos denso está representado gráficamente en la f i gura 2-1 (b). E n este caso particular el haz refractado es muy estrecho por ser <f>' muy próximo a 90°.

2-2. Angulo límite y reflexión total.—Se ha visto ya que cuando la luz pasa de un medio como el aire a otro como el vidrio o el agua, el ángulo de refracción es siempre menor que el de incidencia. Debido a esto, no ¡existe luz refractada por encima

N

FIG. 2-2.—Refracción y reflexión total: (a) E l ángulo límite es el mayor ángulo de refracción, (b) Reflexión total para ángulos mayores que el límite.

de un cierto ángulo de refracción. E n la figura 2-2 se hace patente lo anterior para una serie de ángulos de incidencia entre 0 o y 90°, a los que corresponde otra serie de ángulos de refracción entre 0° y <f>c, respectivamente^

Cuando, el ángulo incidente se aproxima a 90°, el de refracción tiende a un ángulo fijo </>c, más allá del cual no hay luz refractada. Este valor de ^ c correspondiente a <f> = 90° se designa con el nombre de ángulo límite. Para calcularlo no hay más que sustituir en la ley de Snell <f> por 90° o sen <f> = 1

16 SUPERFICIES P L A N A S [CAP. 2

n x 1 =,»'sen <f>c j •» 1

con lo que sen <pc ——, [2-1]

que es siempre menor que la unidad. En el aire, para un vidrio crown común, cuyo índice es 1,520, sen <f>c = 0,6579 y <f>c = 41°8'.

Aplicando el principio de reversibilidad a la figura 2-2 (a), todos los rayos incidentes estarán comprendidos en urí cono que subtiende un ángulo 2<¡>c, mientras que los refractados se extenderán por el otro semiespacio completo. Si el ángulo de incidencia es mayor que <f>c, no habrá luz refractada y se producirá la llamada reflexión total, como muestra la figura 2-2 (b). i

El ángulo límite referido a la superficie de separación de dos medios ópticos se define como el menor ángulo de incidencia, en el medio de Índice mayor,\ para el que la luz experimenta reflexión total. \ L a reflexión total es realmente total en el sentido de que no

se producen pérdidas de energía, por reflexión. E n cualquier dis-

FIG. 2-3.—Prismas reflectantes que utilizan el principio de la reflexión total. (a) Reflexión total. (6) Prisma de Porro, (c) Prisma de Dove. (d) Prisma de

Amici. (e) Espejo triple. (/) Cubo de Lummer-Brodhun.

positivo que intente utilizar esta propiedad se originan, sin embargo, pequeñas pérdidas por absorción en el medio, y por reflexiones a la entrada y salida del mismo. E l más común de estos dispositivos es el prisma de reflexión total, que tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°. Como se ve en la figura 2-3 (a), lo más corriente es que la luz incida normalmente a una de las caras menores

SEC. 2-2] ANGULO LIMITE Y REFLEXION TOTAL 17

del prisma, reflejándose totalmente en la hipotenusa y abandonando el prisma por el otro cateto perpendicularmente a él. Con ello se consigue desviar los rayos un ángulo de 90°. Un prisma tal como el descrito es susceptible de otros dos usos, indicados en las partes (b) y (c) de la figura. E l prisma de Dove (c) intercambia los dos rayos; haciendo girar el prisma alrededor de la dirección de la luz, los rayos giran cada uno alrededor del otro con una velocidad doble de la del prisma.

Se han ideado otros muchos tipos de prismas de reflexión total para aplicaciones especiales. E n la figura 2-3 (d) y (e) están representados dos de los más comunes. E l prisma de Amici realiza la misma función que el de reflexión total (a), pero introduce una inversión suplementaria. E l espejo triple se construye cortando el vértice de un cubo mediante un plano que forma ángulos iguales con las tres caras que concurren en él. Goza de la propiedad de que cualquier rayo incidente, después de sufrir reflexiones internas en las tres caras, retrocede en dirección paralela a l a . de incidencia. E l cubo de Lummer-Brodhun, representado en (/), se utiliza en fotometría para comparar la iluminación de dos superficies, una de las cuales se ve mediante los rayos 2, que atraviesan directamente la región circular donde los prismas están en contacto, y la otra mediante los rayos 1, que experimentan la reflexión total en la región que rodea a la anterior.

Dado que en los ejemplos considerados los menores ángulos de incidencia pueden ser hasta de 45°, es necesario que el ángulo límite sea inferior a este valor para que se produzca la reflexión total. Suponiendo que el segundo medio es aire (rí = 1), esta condición impone un .límite inferior para el valor del índice n del prisma. De acuerdo con la ecuación [2-1], tendremos

rí 1 - = - > sen 45°, n n —

de modo que n 2 = 1,414. E l Vidrio cumple esta Condición, F l G - 2-4.-Refracción en el prisma de

• , • i. i i i i un refractómetro de Pulfnch. al igual que casi todas las demás sustancias ópticas de índice de refracción bajo, tales como la lucita (n = 1,49) y el cuarzo fundido (» = 1,46).

Los refractómetros (instrumentos para la medida del índice de refracción) de más precisión se basan en la medida del ángulo JEKKINS-WHITK.-5-2

18 SUPERFICIES PLANAS [CAP. 2

límite <f¡c. Tanto en el refractómetro de Pulfrich como .en el de Abbe, un haz luminoso convergente incide en la superficie que separa la sustancia problema, de índice n, de un prisma de índice conocido rí. A l ser n' mayor que n, habrá que intercambiar ambos en la ecuación [2-1]. E l haz está orientado de tal modo que algunos de sus rayos rocen la superficie (Fig. 2-4), lo que hace que en la luz transmitida se observe una clara separación entre luz y oscuridad. La medida del ángulo para el que se produce esta separación nítida entre luz y oscuridad nos permite calcular el valor de y, por tanto, el de n. Para obtener resultados precisos es necesario observar algunas importantes precauciones1.

2-3. Reflexión de rayos divergentes.—Los rayos divergentes siguen siéndolo después de reflejarse en una superficie plana. Todos los rayos que parten de un punto Q (Fig. 2-5) aparecen después de la reflexión como procedentes de otro punto Q' situado simétricamente respecto del espejo. Ello se deduce de la aplicación de la ley de la reflexión (Ec. [1-1]), según la cual los ángulos (f> de la figura deben ser iguales. Por tanto, las distancias QA y AQ' habrán de ser también iguales; es decir,

s' = 5

Del punto Q' se dice que es una imagen virtual del Q, dado que cuando el ojo recibe los rayos reflejados aparecen como pro-

FIG. 2-5.—Reflexión de un haz lumi- FIG. 2-6.—Refracción de un haz luminoso noso divergente. divergente.

cedentes de Q' aunque de hecho no pasan por Q' como sucedería en el caso de una imagen real. Para que se origine una imagen real se requiere un tipo de superficie distinta del plano.

1 Para una descripción completa de este y otros métodos de determinar índices de refracción, véase A. C. HARDY y F . H. PERRIN: Principies of Optics, 1.» ed., páginas 359-64, McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, 1932.

SEC. 2-5] IMAGENES FORMADAS POR RAYOS PARAXIALES 19

2-4. Refracción de rayos divergentes.—Refiriéndonos a la figura 2-6, se trata de hallar la posición del punto Q', en el que se cortan la perpendicular a la superficie trazada por Q y la prolongación hacia atrás del rayo refractado inferior. Sea QA ~,s, Q'A=s', y AB : • h. Entonces . ';'

o sea,

h = s tg (f> s' tg i' sen <f> eos ¡j>'

tg j>' " sen </>' eos' </> i

Pero de acuerdo con la ley de la refracción:

sen (f> ,/== — = const. sen <f> j n

Con lo que tenemos

rí eos <p" ti eos <f> [2-3]

L a razón de los cosenos no es constante; por el contrario, partiendo del valor unidad para ángulos <f> pequeños, crece al principio lentamente y luego más de prisa. E n consecuencia, las prolongaciones de los rayos no cortan a la perpendicular en un punto único tal como Q'. Aún más, no hay ningún punto del espacio en que se corten todos.

FIG. 2-7.—Imagen vista por refracción en una superficie plana.

2-5. Imágenes formadas por rayos paraxiales.—Es de todos conocido que cuando se observa un objeto a través de la superficie plana que limita un medio refringente, como, p. ej., en un acuario, los objetos se ven claramente. E n realidad se observan imágenes virtuales que no coinciden con la verdadera posición de los objetos.

20 SUPERFICIES PLANAS ' [CAP. 2

Cuándo se mira en dirección perpendicular parecen más próximos a la superficie en la proporción de unos 3/4, que es justamente el cociente rí/n, ya que rí — 1 para el aire y n = 1,33 ^ 4/3 para él agua. Se comprende esto mejor considerando que los rayos que entran por la pupila del ojo forman ángulos notablemente pequeños con la normal a la superficie, como muestra la figura 2-7. Ambos cosenos de la ecuación [2-3] son en este caso aproximadamente iguales a la unidad y, por tanto., también su cociente. Por ello, cuando los rayos forman pequeños ángulos con la normal a la superficie, se obtendrán imágenes virtuales nítidas a una distancia s' dada por

, rí ¡ s = — s rayos paraxiales , ¡ ; [2-4]

n ! Se llaman rayos paraxiales aquellos para los cuales los án

gulos son suficientemente pequeños para que podamos reemplazar los cosenos por la unidad y los senos por los [ángulos. 2-6. Lámina plano-paralela.—Cuando un rayo atraviesa un

medio cristalino limitado por dos caras planas y paralelas, emerge en la misma dirección de incidencia, pero desplazado lateralmente una distancia d, que aumenta con el ángulo de incidencia <f>. Usando la notación de la figura 2-8 («) junto con la ley de la refracción y algunas propiedades trigonométricas se obtiene la siguiente expresión del desplazamiento d:

¿ = Í S e n W , - ^ ) [2-5] \ n eos <f> I

Entre 0° y ángulos bastante grandes, d es casi proporcional a <f>, pues el cociente de los cosenos resulta notablemente menor que la unidad y hace que el segundo factor crezca, al mismo tiempo que el seno desciende por debajo del valor del ángulo casi en la misma proporción2. ¡

Consideremos ahora el caso de rayos divergentes [Fig. 2-8 (&)] que inciden sobre una de estas láminas. A l no incidir cada uno de ellos formando exactamente el mismo ángulo <j>, los desplazamientos experimentados serán también ligeramente distintos. E n el caso de rayos paraxiales esto origina un acercamiento QiQ' del punto imagen hacia la lámina: Aplicando sucesivamente la ecuación [2-3] a las dos superficies, y considerando la imagen debida a la primera como objeto para la segunda, obtenemos:

2 Se utiliza este principio en muchos dispositivos «film-editor», de gran uso actualmente.

SEC. 2-7] REFRACCION EN UN PRISMA 21

A l girar la lámina un ángulo apreciable, como en (c) de la f i gura 2-8, el haz emergente se hace astigmático, debido a que los desplazamientos de los rayos son tales que sus prolongaciones no pasan, ni aun aproximadamente, por un punto. Esto origina,

i* s2 »| FIG. 2-8.—Refracción en una lámina plano-paralela.

como en el caso de una sola superficie, la formación de dos líneas focales virtuales T y S. Estas dos líneas son perpendicular y paralela, respectivamente, al plano de incidencia y se denominan imágenes astigmáticas.

2-7. Refracción en un prisma.—En un prisma las dos superficies forman un ángulo oc, de tal modo que la desviación producida por una de ellas no es anulada por la otra, sino aumentada aún más. También aumenta la dispersión cromática (Sec. 1-7), lo cual constituye la principal misión de los prismas. No obstante, empezaremos considerando la óptica geométrica del prisma para luz de un sofb color, es decir, luz monocromática, tal Como la FIG. 2-9.—Geometría de la refracción en que se obtiene de una lámpara un prisma, de arco de sodio.

L a línea continua de la figura 2-9 representa la trayectoria de un rayo luminoso que incide bajo^un ángulo en la primera superficie.

22 SUPERFICIES PLANAS [CAP. 2

L a refracción, tanto en una superficie como en otra, obedece la ley de Snell, por lo que

sen <f>1

sen <j>' sen <f>z

sen <f>' [2-7]

E l ángulo de desviación producido por la primera superficie esp = í i 1 — (f>[y el producido por la segunda es y = </>2 — <f>'2. E l ángulo de desviación total entre los rayos incidente y emergente viene dado por

S = p + y [2-8]

Puesto que NN' y MN' son perpendiculares a las dos caras del prisma, el ángulo en N' será también a. Considerando el triángulo ABN' deducimos que

Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos

S = ¡3 + Y = ^ 1

[2-9]

o sea, ¿ 1 + ^2"

S 2 — a [2-10] 2-8. Desviación mínima.—Al calcular él ángulo 8 para un pris

ma dado, mediante las ecuaciones anteriores, se ve que su valor varia apreciablemente con el ángulo de incidencia. Estos ángulos calculados están en perfecto acuerdo con.los datos experimentales. Si giramos continuamente el prisma alrededor de un eje paralelo

60

50

5 4 0

301

-

-

. °m

1 |

1 . . 1

1 1

. 1 1

i— 20 30 40 50 60 70 80 9 0

FIG. 2-10.—Gráfica de la desviación producida por un prisma de 60° e índice W = 1,50. Para la desviación mínima om = 37,2°, ^ = 48,6° y <j>\ = 30,0°.

SEC. 2-8] DESVIACION MINIMA 23

a la arista de refracción (A en la figura 2-9), observaremos que el ángulo 8 decrece hasta alcanzar un mínimo, y después aumenta de nuevo como muestra la figura 2-10. ;

Este ángulo de mínima desviación, 8m, corresponde a un ángulo de incidencia particular para el cual los ángulos que forma el rayo refractado dentro del prisma con las caras de este son iguales (véase Fig. 2-11). E n este caso especial

¿ 1 = ¿ e = p = Y [2-ii]

Para, demostrar que estos ¡ángulos son iguales, supongamos que ^ no fuera igual a <f><¡ cuándo se produce la desviación mínima. Por el principio de reversibilidad de los rayos luminosos (véase Sec. 1-4) habría entonces dos ángulos de incidencia distintos capaces de originar desviación mínima. Como la experiencia nos indica que no hay, sino uno, ha de existir simetría, con lo que quedan probadas las igualdades anteriores.

E n el triángulo ABC de¡ la figura 2-11 el ángulo exterior 8« es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos [3 + y. Análogamente, en el triángulo ABN' el ángulo exterior oc es igual a la suma <j>'x + j>\.

E n consecuencia, a = 2 f 8W = 2(3

/Despejando los valores de y </>1 obtenemos:

¿ í = i * ¿i = ¿ ( a + 8») Dado que por la ley de Snell

n'/n = sen (f>Jsen < : j FIG. 2-ll.—Geometría de un rayo lumi-n' sen A (a + 8 ) ^ noso que atraviesa, un prisma en la posi-— = ————— [2-12] ' ción de desviación mínima. n sen £a Las medidas más precisas del índice de refracción se realizan

colocando una muestra de la sustancia problema, tallada en forma de prisma, sobre ía platina de un espectrómetro y detérniinando los ángulos x y 8« ; este último, para cada uno de los colores deseados. Cuando se emplean prismas en los espectroscopios y espectrógrafos, se utilizan siempre en la posición de desviación mínima, pues de otra forma cualquier pequeña divergencia o convergencia de la luz incidente originaría astigmatismo en la imagen. U n haz divergente que incide bajo! un ángulo arbitrario en un prisma origina dos líneas focales T y\S, análogas a las de la figura 2-8 (c). Unicamente para la desviación mínima ambas lineas se confunden en una verdadera imagen puntual.

24 SUPERFICIES PLANAS i [CAP. 2

2-9. Prismas delgados.—Las ecuaciones del prisma se simplifican mucho cuando el ángulo refringente a es lo bastante pequeño para que su seno y también el seno del ángulo de desviación 8 puedan igualarse a los ángulos. Hasta ángulos de 0,1 rad ó 5,7°, la diferencia entre el ángulo y su seno es menor de 0,2 %.

FIG. 2-12.—Prismas delgados: (a) El desplazamiento x, en centímetros, a una distancia de 1 m, da la potencia del prisma en dioptrías, (í>) Prisma de Risley de

potencia variable, (c) Suma vectorial de las desviaciones del prisma.

Por tanto, podemos simplificar la ¡ecuación [2-12] para prismas cuyo ángulo de refracción es de unos pocos grados, poniendo

i , sen * (8„ + a) S«, + a

« = = ; i sen $ a ! a

y 8 = (n' — 1) a prisma delgado en el aire [2-13] Se ha eliminado el subíndice de 8 dado que tales prismas se

usan siempre para desviación mínima, y no ponemos n por suponer que el medio circundante es aire, para el cual n = 1.

Es costumbre medir la potencia de un prisma por la desviación del rayo, medida en centímetros, a una distancia de 1 metro, en cuyo caso la unidad de potencia se llama dioptría de prisma. U n prisma de una dioptría desplaza 1 cm el rayo de luz en una pantalla situada a 1 m de distancia. E n la figura 2-12 (a) la desviación en la pantalla es x centímetros, numéricamente igual a la potencia del prisma. Para pequeños valores de 8 veremos que la potencia expresada en dioptrías^ de prisma es esencialmente igual al ángulo de desviación 8 medido en unidades de 0,01 rad, o sea, 0,573°. i

Para el vidrio flint de bario de la tabla 23-1, n'D — 1,59144, y de la ecuación [2-13] se deduce que el ángulo refringente de un prisma de una dioptría debe ser

a = = _ ^ = 0,97° 0,59144

SEC. 2-11] METODO GRAFICO PARA E L TRAZADO DE RAYOS 25

2-10. Combinaciones de prismas delgados.—Para medir la acomodación binocular los oculistas suelen utilizar una combinación de dos prismas delgados de igual potencia que pueden girar en sentidos opuestos en su propio plano [Fig. 2-12 (b)]. Se conoce tal dispositivo como prisma de Risley o Herschel, y equivale a un solo prisma de potencia variable. Cuando están paralelos la potencia es doble que la de cada uno de ellos por separado, mientras que cuando están opuestos la potencia es nula. Para hallar cómo varían la potencia y el sentido de la desviación con el ángulo que forman los dos prismas componentes, utilizaremos el hecho de que las desviaciones se suman vectorialmente. En la figura 2-12 (c) se ve que la desviación resultante será, en general, por la ley de los cosenos,

8 = V V + S;,2 + 2o*188 eos p [2-14] siendo f¡ el ángulo formado por ambos prismas. Para hallar el ángulo y entre la desviación resultante y la debida al prisma 1 solo, se tiene la relación

82 sen ¡3 Sx + 82 eos (3 [2-15]

Puesto que casi siempre 8X = S2, podemos designar por la desviación debida a cada componente, las ecuaciones:

8 = v / 2 & í ( l +cos(3) = j / V 2

simplificándose así

28,'eos | [2-16]

tgy =

con lo que

sen ¡3 _ J3 1 + eos [3 ~ g 2

[2-17]

2-11. Método gráfico para el trazado de rayos.—Con frecuencia se desea, al diseñar instrumentos ópticos, conocer rápidamente la

FIG. 2-13—Método gráfico para el trazado de rayos a través de un píís^i.^

26 SUPERFICIES PLANAS [CAP. 2

trayectoria de los rayos que atraviesan el sistema. E n los instrumentos que utilizan prismas las normas que se dan a continuación son de gran utilidad. Comencemos considerando un prisma de 60° e índice rí = 1,50 rodeado de aire de índice n = 1,00. Después de dibujar el prisma a escala como en la figura 2-13 y haber elegido un ángulo de incidencia <f>x, la construcción se inicia como en la figura 1-3.

Se traza OR paralela a JA, y con origen en O dos arcos de radios proporcionales a n y rí. Se dibuja RP paralela a NN' y OP da la dirección del rayo refractado AB. Desde P se traza una paralela a MN' que corta al arco n en Q. L a recta OQ da entonces la dirección correcta del rayo refractado final BT. E n el diagrama de la izquierda el ángulo RPQ es igual al ángulo a del prisma, y el ángulo ROQ es igual al ángulo de desviación total S.

2-12. Prismas de visión directa.—Como ilustración del trazado de rayos a través de varios prismas consideraremos el diseño de

un importante dispositivo óptico conocido como prisma de visión directa. L a principal misión de, tal instrumento es producir un espectro visible cuyo color central emerge del prisma en la misma dirección de la luz incidente. E l tipo más sencillo consiste en un prisma de vidrio crown de índice rí y ángulo a opuesto a otro prisma de vidrio ¡lint de índice rí' y ángulo a", como'se ve en la figura 2-14.

Los índices rí y rí se refieren al color central del espectro, es decir, a la línea amarilla D del sodio. Supongamos que el ángulo a" del prisma de

flint es dado y que la luz emerge normal a la última superficie, tratándose de encontrar el ángulo a! del prisma de crown.

Comenzaremos dibujando el prisma de flint con su segunda cara vertical. A continuación se traza OP horizontal y con centro en O tres arcos de radios proporcionales a n, rí, n". Por P se traza una recta perpendicular a AC que corta a rí en Q. Se traza á continuación RQ y normal a ella la cara AB del prisma de crown. Con ello hemos obtenido todas las direcciones y ángulos que nos interesan.

0 s c^—

FIG. 2-14.—Trazado gráfico de rayos aplicado al diseño de un prisma de visión

directa.

PROBLEMAS 27

OR da la dirección del rayo incidente, OQ la del refractado en el prisma de crown, OP la del refractado en el prisma de flint, y finalmente OR la del rayo emergente. E l ángulo <x' del prisma de crown es el suplementario del RQP.

Si se requiere una determinación más precisa de los ángulos, el diagrama de construcción será útil como guía para el cálculo trigonométrico. Cuando se desea producir la dispersión de la luz blanca mediante una combinación de prismas, pueden buscarse los índices rí y »" correspondientes a la luz violeta y roja, y construirse nuevos diagramas procediendo ahora de izquierda a derecha en la figura 2-14 (b). Sin embargo, en este caso los rayos ño emergerán perpendiculares a la última cara del prisma.

Los principios que acabamos de esbozar pueden generalizarse con facilidad a combinaciones de más de dos prismas como las de la figura 2-15 3 . Puede observarse que el prisma de visión directa

FIG. 2-15.—Prismas de visión directa utilizados para producir un espectro con su color central alineado con la luz blanca incidente.

representado en la parte superior de la figura 2-15 está constituido en principio por dos prismas adyacentes del mismo tipo que el de la figura 2-14.

P R O B L E M A S

• 2-1. Un recipiente contiene uña capa de 6 cm de un aceite mineral denso y transparente (w = 1,573) y sobre ella otra de 8 cm de alcohol (n = 1,450). ¿Cuál será la posición aparente de una moneda de plata colocada en el fondo de la vasija? b) ¿Cuál es el ángulo limite para la superficie de separación, de los dos líquidos, y por cuál de sus dos caras deberá incidir la luz? !

3 Véase E. J. IRONS: Am. J. Phys., 21, 1, 1953.

28 SUPERFICIES PLANAS [CAP. 2

;2-2. Aplicando la ley de Snell, dedúzcase la ecuación [2-5] para el desplazamiento lateral de un rayo que incide en una lámina plano-paralela bajo un ángulo <¡>.

2-3. Calcúlense los desplazamientos laterales de un rayo luminoso que incide sobre una lámina plano-paralela bajo los siguientes ángulos: a) 10°, b) 20°, c) 30°, d) 40° y e) 50°. E l grosor de la lámina es 2 cm y su índice 1,50. Represéntese la gráfica de <j> en función de d y trácesele la tangente en el origen. :

2-4. Construyase una gráfica de la variación de la distancia imagen s' con el ángulo de incidencia (<f> en la Fig. 2-6), tomando s' en ordenadas y t¡> en abscisas. Supóngase que el objeto está en el aire a 3 cm de una superficie plana de vidrio de índice 1,573.

Sol.: s' = 4,72 cm para <f> = 0° y 5,96 cm i para <f> — 45°. 2-5. Con un refractómetro de Pulfrich cuyo prisma tiene un índice

de 1,625 y un ángulo refringente de 80° (Fig. 2-4), se mide el índice de refracción de un líquido. La separación entre los campos oscuro y luminoso forma un ángulo de 27° 20' con la normal a la segunda cara. Hállese el índice del líquido. ¡

2-6. Un prisma de 60° de vidrio crown tiene un índice de 1,62. Si se utiliza con un ángulo de incidencia <¡>1<— 70°, hállese el ángulo total de desviación o: a) gráficamente, y b) analíticamente, c) Calcúlese también el ángulo de mínima desviación. !

Sol.\: a) 52,3°; b) 52° 18'; c) 48° 12'. 2-7. Un prisma de flint de 60° tiene un índice de 1,75 para la raya

amarilla D del sodio. Hállese gráficamente: a) el ángulo de desviación mínima; b) el ángulo de incidencia correspondiente en la primera superficie; c) calcúlense analíticamente las respuestas a a) y b).

2-8. Se superponen dos prismas delgados de modo que sus desviaciones formen entre sí un ángulo de 60°. Srsus potencias son 6 D y 4 D, respectivamente, hállese: a) la desviación resultante en grados; b) la potencia del prisma resultante, y c) el ángulo que forma la resultante con el más potente de los prismas. Sol.: a) 4° 59'; b) 8,7 D; c) 23° 25'.

2-9. E l ángulo de desviación mínima de un prisma de 60° es 39° 20'. Hállese: a) el índice de refracción, y b) el ángulo de incidencia ¿ v '

2-10. Un prisma de 50° tiene un índice de 1,620. Determínese gráficamente el ángulo de desviación para cada uno de los siguientes ángulos de incidencia: a) 35°, b) 40°, c) 45°, d) 50°, e) 60° y f) 70°. Represéntese gráficamente o en función de <j>x (véase Fig. 2-10).

Sol.: a) 37,4°; b) 36,5°; c) 36,4°; d) 36,9°; e) 39,5°; f) 4H°. 2-11. Dos prismas delgados tienen 8 D cada uno. ¿Bajo qué ángulo

han de combinarse para que la potencia resultante sea: a) 3 D; b) 5,8 D, ye) 12,5 D?

2-12. Dos caras de un diamante forman un ángulo de 40°. Hállese el ángulo de mínima desviación si n = 2,42. Sol.: 71° 43'.

2-13. Se desea construir un prisma de visión directa compuesto de dos elementos, como el representado en la figura 2-14. E l prisma de vidrio flint, de índice 1,75, tiene un ángulo a"\= 45°. Hállese el ángulo a' del prisma de vidrio crown si su índice de refracción es 1,55. Resuélvase gráficamente.

2-14. Resuélvase analíticamente el problema 2-13 utilizando la ley de Snell. Sol.: 66° 54'.

PROBLEMAS 29

2-15. Se desea construir un prisma de visión directa formado por dos elementos, como el representado en la figura 2-14. Si el prisma de vidrio crown tiene un ángulo «' = 70° y un índice de refracción de 1,52, hállese: a) el ángulo a", y b) el índice del prisma de flint. Resuélvase gráficamente si el prisma de crown es isósceles.

2-16. Demuéstrese que en tanto los ángulos de incidencia y refracción sean suficientemente pequeños para poder sustituir los senos por los ángulos, es decir, para un prisma delgado no muy alejado de la incidencia normal, la desviación es independiente del ángulo de incidencia y vale (n — l)ct.

2-17. Demuéstrese que para cualquier ángulo de incidencia en un prisma

sen j(a + 5) = , eos — sen \a eos ¿ ( ^ — 2)

y que el segundo miembro se reduce a rí para desviación mínima.

CAPITULO III

SUPERFICIES ESFERICAS

L a mayoría de los instrumentos ópticos contiene, aparte de prismas y espejos, que tienen superficies planas pulimentadas, ciertos medios transparentes, limitados por superficies esféricas de curvaturas muy variables, llamados lentes. Tales superficies esféricas, a diferencia de las planas, son capaces de producir imágenes reales.

E n la figura 3-1 se han dibujado las secciones transversales de algunos de los tipos más comunes de lentes. Las tres lentes convergentes o positivas se denominan: a) equiconvexa; b) planoconvexa, y c) menisco positivo, y son más gruesas en el centro que en los extremos. Las tres divergentes o lentes negativas, que son más gruesas en los extremos que en el centro, se designan como: (d) equicóncava; (e) planocóncava, y (f) menisco negativo. Estas

(a) (6) (c) [d) (,) (/)

lentes convergentes o positivas lentes divergentes o negativas

FIG. 3-1.—Secciones transversales de lentes delgadas corrientes.

lentes se fabrican normalmente a base de vidrios ópticos lo más homogéneos posible, aunque a veces se utilizan también otras sustancias transparentes, tales como cuarzo, fluorita, sal de roca y plásticos. Aunque, como veremos, la forma esférica puede no ser la ideal en ciertos casos, proporciona, sin embargo, imágenes bastante aceptables y es mucho más fácil de tallar y pulir.

E n este capítulo se estudiará el comportamiento de la luz al atravesar una sola superficie esférica que separa dos medios de diferente índice de refracción, y en los capítulos que siguen se ampliará este estudio al caso de dos o más superficies situadas sucesivamente. Estas combinaciones de superficies esféricas cons-

30

SEC. 3-1] FOCOS Y DISTANCIAS FOCALES 31

tituyen la base del estudio de las lentes delgadas (Cap. IV), lentes gruesas (Cap. V) y espejos esféricos (Cap. VI).

3-1. Focos y distancias focales.—En la figura 3-2 se han trazado diagramas que muestran el comportamiento de la luz al, refractarse en superficies esféricas cóncavas y convexas. Todos, los rayos al refractarse siguen la ley de Snell (Ec. [1-3]). E n cad.%* uno de los diagramas el eje principal se representa por una línea

FIG. 3-2.—Diagramas de los focos FyF'y distancias focales f y f correspondientes a una superficie esférica de radio r que separa dos medios de índices « y n'.

í recta que pasa por el centro dé curvatura. í>. E l punto .4, en el que el eje principal corta a la superficie, se llama vértice. E n el diagrama (a) los rayos divergen desde un manantial puntual F situado sobre el eje en el primer medio, formando al pasar al segundo medio un haz paralelo al eje. E n el diagrama (b) los rayos convergen en el primer medio hacia un punto F, formando al refractarse un haz paralelo en el segundo medio. E n ambos casos el punto F se denomina foco objeto, y la distancia /, distancia focal objeto.

E n el diagrama (c) un haz paralelo al refractarse converge hacia un punto F', y en el diagrama (d) el haz paralelo al refractarse diverge desde un punto F'. E n los dos casos F' se llama el foco imagen, y la distancia /', distancia focal imagen.

Volviendo a los diagramas (a) y (b), diremos que el foco objeto F es un punto del eje que tiene la propiedad de que cualquier rayo

32 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

FIG. 3-3.—Los rayos incidentes paralelos concurren en un punto Q' del plano focal imagen de una superficie esférica única.

que en él se origina o que hacia él sel dirige se propaga paralelo al eje después de refractarse. Y refiriéndonos a los diagramas (c) y (d), diremos análogamente que el foco imagen F ' es un punto del eje que tiene la propiedad de que cualquier rayo incidente que se pro

pague paralelo al eje convergerá en él o divergerá desde él al refractarse.

U n plano perpendicular al eje en un foco se llama plano focal. Su significado puede verse en la figura 3-3 para el caso de una superficie convexa. U n haz paralelo que forme un ángulo 0 con el eje convergerá, al refractarse, en un punto Q' situado en el plano

focal. Nótese que el único rayo no desviado, que pasa por el centro de curvatura C, pasa también por Q'.

E n la figura 3-3 es importante observar que la distancia focal objeto / de la superficie convexa [diagrama (a)] no es igual a la distancia focal imagen /' de la misma superficie [diagrama (c)]. E n la sección 3-4 veremos que la razón ///' de las distancias focales es igual a la razón n[rí de los correspondientes índices de refracción:

f rí

Es práctica común en los diagramas ópticos representar los rayos luminosos propagándose de izquierda a derecha. Por tanto, una superficie convexa será aquella cuyo centro de curvatura está situado a la derecha del vértice, mientras que si está a la izquierda será cóncava.

Aplicando el principio de reversibilidad a los diagramas de la figura 3-2 habremos invertido el papel de cada una de las superficies. E l diagrama (a), p. ej., representará entonces una superficie cóncava con propiedades convergentes, mientras que el diagrama (b) pasaría a representar una superficie convexa con propiedades divergentes. Obsérvese que entonces los rayos incidentes estarían en el medio más denso, es decir, en el medio de mayor índice de refracción.

3-2. Formación de imágenes.—La figura 3-4 ilustra la formación de imágenes por una superficie refringente única. Se ha dibujado para el caso en que el primer medio es aire, n = 1, y el segundo, vidrio, rí = 1,60. Por tanto, las distancias focales están en la razón 1/1,60 (véase Ec. [3-:l]). Se observa experimental-

S E C . 3-2] F O R M A C I O N D E I M A G E N E S 33

mente que al acercar el objeto al plano focal objeto, la imagen se aleja de F' hacia la derecha, ampliándose su tamaño. Alejando el objeto de F, hacia la izquierda, la imagen se aproximará a F', disminuyendo su tamaño.

Todos los rayos procedentes del punto objeto Q convergen en Q'. Los rayos procedentes de otro punto cualquiera, tal como M, convergerán análogamente en un punto imagen M'. E n la prác-

n n'

FIG. 3-4.—Todos los rayos procedentes del punto objeto Q convergen en Q' al refractarse en la superficie.

¡* 4 , / H

FIG. 3-5.—Todos los rayos procedentes del punto objeto Q parecen emitidos, después de refractarse, por la imagen virtual Q'.

tica nunca se cumple exactamente este caso ideal. Las desviacio-: nes originan pequeños defectos de la imagen, conocidos como

aberraciones. Su eliminación constituye el principal problema de la óptica geométrica y se estudiará detalladamente en el capítulo I X .

Si nos limitamos a considerar rayos paraxiales se podrá obtener nna buena imagen usando luz monocromática. Los rayos paraxiales se definen como aquellos que forman ángulos muy pequeños con el eje, separándose muy poco de él a través de todo su recorrido de objeto a imagen (véase Sec. 2-5). Las fórmulas obtenidas en este JENKINS-WHITE.—3

34 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

capítulo son válidas solo para imágenes formadas por rayos pa-raxiales. .

3-3. Imágenes virtuales.—La imagen M'Q' de la figura 3-4 es una imagen real en el sentido de que si colocamos en M' una pantalla plana se formará en ella una imagen nítida del objeto MQ. No obstante, no todas las imágenes pueden recogerse en una pantalla, como puede verse en la figura 3-5. Los rayos luminosos procedentes de un punto objeto Q se refractan al atravesar una superficie esférica cóncava que separa dos medios de índices n = 1,0 y rí = 1,50, respectivamente. L a razóti de las distancias focales es 1/1,50.

Puesto que los rayos refractados son divergentes, no se cortarán en ningún punto. No obstante, a un observador situado a la derecha le parecerá que proceden de un mismo punto Q'. E n otras palabras, Q' es el punto imagen correspondiente al punto objeto Q. Análogamente M' es el punto imagen correspondiente al punto objeto M. Dado que los rayos refractados no se cortan en Q', sino que solo lo parece, no se formará imagen alguna si co 7

locamos una pantalla en M'. Por esta razón, a tales imágenes se les llama virtuales.

3-4. Puntos y planos conjugados.—Como consecuencia del principio de reversibilidad, si Q'M', en la figura 3-4, fuera un objeto, su imagen sería QM. Es decir, si un objeto ocupa la posición de su imagen, la nueva imagen estará situada en la posición previamente ocupada por el objeto. E l objeto y la imagen son, por tanto, intercambiables o conjugados. Cualquier par de puntos objeto e imagen como los M y M' de la figura 3-4 se llaman puntos conjugados, y los planos perpendiculares al eje por esos puntos,. planos conjugados.

Dado el radio de curvatura r de una superficie esférica que separa dos medios de índices n y rí, respectivamente, así como la posición de un objeto, existen tres métodos generales a utilizar para la determinación de la posición y tamaño de la imagen. E l primero es el método gráfico, el segundo el experimental y e l tercero el analítico mediante la fórmula

n rí rí —« 7 + ? = — ™

E n ella s representa la distancia objeto y s' la distancia imagem Esta ecuación, llamada fórmula de Gauss para una sola superficie esférica, será deducida en la sección 3-10.

EJEMPLO.—En una barra de vidrio de índice 1,50 se ha tallado una superficie semiesférica de radio 1 cm. Se coloca un pequeño objeto sobre el eje, 4 cm a la. izquierda del vértice. Hállese la posición de la imagen. Supóngase para el aire. n = 1.

SEC. 3-5] CONVENIOS D E SIGNO 35

Solución. Sustituyendo directamente los valores dados en la ecuación [3-2], obtenemos j

14- - 1 , 5 0 ~ 1 , 5 0 _ ° - 5 0 _ 1

4 + ~ ~ í~¡ s' í 4 de donde s' = 6,00 cm; es decir, se forma una imagen real a 6 cm del vértice.

Acercando un objeto M al foco objeto, la ecuación [3-2] demuestra que la distancia AM' de la imagen al vértice aumenta continuamente y que en el limite, cuando el objeto llega a F, los rayos refractados son paralelos y la imagen se forma en el infinito. E n este caso s' = oo, y la ecuación [3-2] toma la forma

n n' n' — n + ~ = s oo r

Puesto que esta distancia objeto particular es precisamente la distancia focal objeto /, podemos escribir

7 4 ^ [3-3]

Análogamente, si aumentamos la distancia objeto hasta que llegue a ser infinita, la distancia imagen disminuye y se hace, en el límite, igual a /' para's = oo. Entonces

» ' » ' » ' — n __ + *_ =

o, puesto que este yalqr de s' representa la distancia focal imagen /',

Igualando los primeros miembros' de las ecuaciones [3-3] y [3-4], se obtiene:

n n' ti f j = j 0 s e a ñ = 7 [ 3 - 5 ]

Cuando sustituimos en la ecuación [3-2], («' — n)[r por «// o rí/f en virtud de las ecuaciones [3-3] y [3-4], resulta:

n n' n , . n n' n' 7 + 7' = 7 0 b i e n 7 + 7' = 7' P"63 s s f s s f

Ambas ecuaciones dan las distancias conjugadas para una superficie esférica única. *

3-5. Convenios de signo.—De ahora en adelante seguiremos fielmente los siguientes convenios, que deberán ser bien recordados en todo momento:

¡36 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

1. En todas las figuras la luz se propaga de izquierda a derecha. 2. Todas las distancias objeto (s) se consideran positivas cuando

se miden a la izquierda del vértice y negativas cuando se miden a la derecha del mismo.

3 Todas las distancias imagen (sr) son positivas cuando se miden a la derecha del vértice y negativas en el caso contrario.

4. Las dos distancias focales son positivas para los sistemas convergentes y negativas para los divergentes.

5. Las dimensiones del objeto y de la imagen son positivas cuando se miden por encima del eje y negativas cuando se miden por debajo del mismo. \

6. Los radios de las superficies] convexas alcanzadas por la luz se consideran positivos y los de las cóncavas negativos.

| EJEMPLO.—Una superficie cóncava de 4 cm de radio separa dos medios de

índices n = 1,00 y n' = 1,50. A una distancia de 10 cm del vértice se sitúa un objeto én el primer medio. Calcúlese: a) la distancia focal objeto, 6) la distancia focal imagen y c) la distancia imagen. I ! !

Solución. Para hallar a), apliquemos directamente la ecuación [3-3]:

1,0 1,5 — 1,0 ; —4,0 a n 1

— = — , o sea / = - Q j - = — 8 - ° c m

Para obtener b) utilizamos [3-4]:

1,5 1,5 1,0 ^ donde \f = n"'" = *—12,0 cm /' - 4 '

Obsérvese que en este problema ambas distancias focales son negativas y su razón f/f es 1/1,5 como requiere la ecuación [3-1]. El signo menos indica un sistema divergente similar al de la figura 3-5. ¡

Para resolver c) usaremos la ecuación [3-6]:

. . . • — +-jr = —gQ, queda s =—6,66 cm;

La imagen dista 6,66 cm del vértice A, y el signo negativo indica que se encuentra a la izquierda de A y es, por tanto, virtual, como muestra la figura 3-5.

3-6. Construcciones gráficas. Método del rayo paralelo.—No está de más señalar aquí que las anteriores fórmulas, aunque válidas para cualquier distancia objeto o imagen, se aplican únicamente cuando se consideran rayos paraxiales. Tales rayos se refractan en el vértice o muy cerca de él, de tal modo que en las construcciones gráficas podrán hallarse relaciones geométricas correctas considerando que los rayos se refractan en un plano normal al eje trazado por el vértice A.

E n la figura 3-6 puede verse la construcción por el método del rayo paralelo para superficies convexas, y en la 3-7, para las cóncavas. Consideremos en la figura 3-6 los rayos emitidos por el

SEC. 3-6] CONSTRUCCIONES GRAFICAS 37

extremo superior, Q, del objeto. De los emitidos en todas direcciones consideremos el QT paralelo al eje, que al refractarse vendrá, por definición de foco imagen, a pasar por F'. E l rayo QC que pasa por el centro de curvatura no se desvía por atravesar normalmente la superficie.

Estos dos rayos bastan para localizar el extremo superior, Q', de la imagen, encontrándose el resto de la misma en el plano conjugado que pasa por este punto. Todos los demás rayos para-

n n'

FIG. 3-6.—Método del rayo paralelo para determinar gráficamente la imagen dada por una sola superficie esférica convexa.

FIG. 3-7.—Método del rayo paralelo aplicado a una superficie esférica cóncava que tiene propiedades divergentes.

xiales que parten de Q pasarán también por Q'. Como comprobación, obsérvese que el rayo QS, que pasa por F, se refracta, por definición de foco objeto, paralelamente al eje, cortando a los otros rayos en Q'.

A este método se le llama método del rayo paralelo. Los números 1, 2, 3, etc., indican el orden en que, normalmente, se trazan las rectas.

Cuando se aplica este método a un sistema divergente como el de la figura 3-7, el procedimiento es muy similar. E l rayo QT,

38 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

paralelo al eje, se refracta como si procediera de F'. E l rayo QS, dirigido hacia F, se refracta paralelamente al eje. Por último, el QW, que pasa por C, no se desvía. L a prolongación hacia la izquierda de todos ellos pasa por el punto común Q'. Por tanto, Q'M' es la imagen de QM. Obsérvese que Q'M' no es una imagen real, ya que no puede obtenerse sobre una pantalla.

En estas dos figuras el medio situado a la derecha de la superficie esférica es el de índice mayor; es decir, rí^>n. Si en la figura 3-6 el medio de la izquierda fuera el de mayor índice, rí < n, la superficie tendría un efecto divergente, y F y F' ocuparían posiciones en el lado opuesto del representado, tal como aparecen en la figura 3-7. Análogamente, si en la figura 3-7 fuera rí < «, la superficie tendría un efecto convergente y los focos estarían situados como en la figura 3-6.

Dado que todo rayo que pasa por el centro de curvatura no se desvía y además tiene todas las propiedades del eje principal, puede llamársele eje auxiliar.

3-7. Métodos del rayo oblicuo. Método 1.—En sistemas ópticos más complicados, como los tratados en los capítulos si-

FIG. 3-8.—Método del rayo oblicuo para determinar gráficamente la imagen dada por una sola superficie esférica.

guientes, es cómodo poder trazar gráficamente la trayectoria de un rayo que llega a una superficie esférica bajo cualquier ángulo de incidencia. Ello se consigue fácilmente con el método del rayo oblicuo. E n esta construcción se toman dos rayos cualesquiera, procedentes del mismo punto objeto, y se busca el punto de intersección de ambos; este será el punto imagen.

E n la figura 3-8, MT representa un rayo que incide en la superficie por la izquierda. Por el centro de curvatura C se dibuja de trazos una paralela RC a MT, hasta que corte al plano focal imagen. Se traza a continuación el rayo refractado TX y se prolonga hasta que corte al eje en M'. Puesto que el eje puede considerarse también como un segundo rayo, M representa un punto objeto axial y M' su imagen.

SEC. 3-7] METODOS DEL RAYO OBLICUO 39

Esta construcción se basa en el principio siguiente: Si MT y RA fuesen rayos incidentes paralelos, por definición de planos focales, cortarían después de la refracción al plano focal imagen WF' en X. Puesto que RA pasa por C, el rayo refractado ACX no se desvía.

Método 2.—Este método se representa en la figura 3-9. Después de trazar el eje MM' y el arco que representa la superficie esférica de centro C, se dibuja una recta tal como la 1, que representa un rayo oblicuo cualquiera. A continuación hay que hacer uso de un diagrama auxiliar construido a partir de la línea XZ paralela al-eje. Con origen en 0 se llevan las distancias OK y OL proporcionales, respectivamente, a n y rí, y se trazan perpendiculares por K, L y A. A partir de aquí la construcción sigue el orden indicado por los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Por 0 se traza la recta 2, paralela a 1; por / la 4, paralela a 3, y por T la 6, paralela a 5.

T\

1^

eje n

h

M s

Y <—

J A

L 7

5 " \ k y ¿i

j

N !

FIG. 3-9.—Método del diagrama auxiliar para determinar gráficamente la imagen dada por rayos paraxiales.

Se justifica esta construcción escribiendo la proporcionalidad de los lados homólogos correspondientes a los tres pares de triángulos semejantes de ambos diagrartias. Esta proporcionalidad conduce a las relaciones:

h s

i n

h 7

l rí

h r n —ti

i I : _

Pasemos n y rí al primer miembro en las tres ecuaciones hn . hrí \ . h(rí — rí) \1

Sumando, finalmente, las dos primeras ecuaciones y sustituyendo el segundo miembro por el primero de la tercera igualdad, resulta:

40 SUPERFICIES ESFÉRICAS [CAP. 3

hn hn1

T + T " i + / n n i + ?

H a de tenerse en cuenta que para poder emplear el método 1 hemos de conocer la distancia focal imagen /' o, al menos, calcularla previamente a partir del radio de curvatura y los índices n y rí. E l método 2 puede usarse sin conocer ninguna de las distancias focales.

3-8. Aumento.—En cualquier sistema óptico se llama aumento lateral a la razón entre las dimensiones trasversales de la imagen y las correspondientes del objeto. Para determinar el tamaño relativo de la imagen formada por una superficie esférica única acudiremos a la figura 3-6. En ella el rayo 5, que no se desvía, forma dos triángulos rectángulos semejantes QMC y Q'M'C.

L a proporcionalidad de los lados1 homólogos exige que

M'Q' MQ

CM' CM o sea

s + r

Definiremos ahora la razón y'¡y como el aumento lateral m, con lo que

y s — r \ • i m =

s + r [3-7]

Si m es positivo, la imagen será virtual y derecha, mientras que si es negativo será real e invertida.

3-9. Vergencia reducida.—En las ¡fórmulas referentes a una superficie esférica única (Ees. [3-2] [3-6]), las distancias s, s', r, f y f aparecen en los denominadores. Las recíprocas, 1/s, 1/s', 1/r, 1// y 1//', representan realmente curvaturas de radios s, s', r, f y /', respectivamente.

Refiriéndonos a la figura 3-10, si consideramos el punto M del diagrama de la izquierda como un manantial puntual de ondas, la refracción obliga a estas a converger; hacia el punto imagen M'. E n el diagrama de la derecha las ondas planas son forzadas a converger en el foco imagen F'. Obsérvese que estas líneas curvas

FIG. 3-10.—Refracción de ondas luminosas en una superficie esférica.

SEC. 3-9] V E R G E N C I A R E D U C I D A 41

representan las crestas de las ondas luminosas y son perpendiculares en cada punto al rayo que pasa por él y que va del punto objeto al punto imagen.

Cuando las ondas que parten de M llegan al vértice A, su radio es s y su curvatura lis, y cuando parten de A al converger hacia M', su radio es s' y su curvatura 1/s'. Análogamente, en el segundo diagrama, las ondas que inciden en A tienen un radio infinito y una curvatura 1/oo, es decir, nula. A l partir del vértice, su radio es /' y su curvatura 1//'.

Las fórmulas de Gauss pueden, pues, considerarse como sumas y diferencias de magnitudes proporcionales a las curvaturas de superficies esféricas. Cuando se usan estas curvaturas, en vez de los radios, las fórmulas toman una forma más sencilla y para algunos usos más cómoda. Introduciremos por tanto las siguientes magnitudes:

v = l v>=* k = Í p » P »' [ 3 . 8 ]

s s r t i Las dos primeras, V y V, se llaman vergencias reducidas por

ser una medida de la convergencia y divergencia de los frentes de onda correspondientes- al objeto y a la imagen, respectivamente. Para una onda que diverge del objeto, s es positiva y, por tanto, también lo es la vergencia V. Para una onda convergente, s es negativa y lo mismo su vergencia. Para un frente de onda que converge hacia la imagen, V es positiva, y para un frente de onda divergente, V es negativa. Obsérvese que, en cada caso, el índice de refracción es el {del medio en que se encuentra el frente de onda correspondiente.

La tercera magnitud, K, es la curva-tura de la superficie refringente (recíproca de su radio), mientras que la cuarta y quinta son,, de acuerdo con la ecuación [3-5], iguales y definen la potencia refringente. Cuando se miden todas las distancias en metros, las vergencias reducidas V y V , la curvatura K y la potencia P vienen medidas en unidades llamadas dioptrías. Es- factible suponer que V es la potencia del frente de onda del objeto cuando toca la superficie refringente, y V la potencia del frente de onda de la imagen correspondiente cuando este es tangente a la superficie. E n función de estas nuevas variables, la ecuación [3-2] se expresa:

V + V = P [3-9]

donde P = — - — o sea P = {rí — n)K [3-10]

EJEMPLO.—En una barra de vidrio de índice 1,50 se ha tallado una superficie esférica convexa de 10 cm de radio. A 40 cm a la izquierda del vértice, y

42 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

+ 2,5 D

sobre el eje, se sitúa un pequeño objeto. Hállese: o) la potencia de la superficie, y b) la posición de la imagen.

Solución. Para hallar o) aplicaremos la ecuación [3-10]:

Para calcular b) obtendremos el valor de V a partir de la ecuación [3-8]: _ ljOO _

0,40 Sustituyendo directamente en la ecuación [3-9], obtenemos:

2,5 + V = 5, de donde V = + 2,5 D Para hallar la distancia imagen, tenemos V = n'/s', con lo que

, n' 1,50 5 " F - 2 j = 0 ' 6 0 m "

o sea i ' = 60 cm

El lector deberá comprobar este resultado utilizando uno de los métodos gráficos a escala conveniente.

3-10. Deducción de la fórmula de Gauss.—La importancia de la ecuación [3-2] justifica su deducción con algún detalle.

FIG. 3-11.—Diagrama para la deducción de la fórmula paraxial.

De los varios métodos que existen utilizaremos uno que hace intervenir rayos oblicuos. E n la figura 3-11 un rayo oblicuo procedente del punto objeto axial M incide sobre la superficie con un ángulo <f> y se refracta bajo un ángulo <f>'. E l rayo refractado corta al eje en el punto imagen M'. Si los rayos incidente y refractado MT y TM', son paraxiales, tj> y </>' serán suficientemente pequeños para poder sustituir los senos por los ángulos, poniendo, en virtud de la ley de Snell,

Y a que <f> es un ángulo exterior del triángulo MTC, será igual a la suma de los ángulos interiores opuestos,

SEC. 3-11] NOMOGRAFIA 43

[3-12]

Análogamente, (3 es exterior en el triángulo TCM', por lo que 4' + Y = P, y

f = P - Y [3-13] Sustituyendo estos valores de y </>' en la ecuación [3-11],

se obtiene: : •

w'¡3 — «'y = -f o sea «a + n'y = («' — w)f3

Tratándose de rayos paraxiales, a, (3 y y son muy pequeños y pue||e escribirse a = h¡s, (3 = h/r y y = h¡s'. Sustituyendo estos valores en la última ecuación, resulta:

h ¡ \,h . , . h n —\- n —. = (n — n) — s s r

Dividiendo por h 'se obtiene la ecuación deseada,

n n n —n I T ? = ~ T -

[3-14]

3-11. Nomografía.—El término nomografía proviene del griego -nomos, que significa ley, y graphein que significa escribir. E n física

J 4 12

10

10f5

6|3

• ) 2<>l

10 12

14. s>

n 10

(•-i 14. 12.

10.

4+2

6f3

.10 12

F I G . 3-12.—Nomograma para detenninar las distancias objeto e imagen correspondientes a una superficie esférica o a una lente delgada.

44 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

el término nomograma se aplica a ciertas representaciones gráficas de leyes físicas que tratan jde simplificar o abreviar los cálculos. L a figura 3-12 es un nomograma que relaciona las distancias objeto e imagen dadas por la ecuación [3-6]:

n rí I n 7 + 7 + 7 : [ 3 " 1 5 ]

Su sencillez y utilidad son evidentes si se tiene en cuenta que cualquier recta que atraviesa el nomograma corta a las tres rectas de la figura según valores relacionados por la ecuación anterior. |

i EJEMPLO.—Uno de los extremos de una barra de plástico de índice 1,5 se talla

según una superficie esférica de radio +2,0 cm. Si se coloca un objeto a 12 cm del vértice, ¿cuál es la distancia imagen?

Solución. De la ecuación [3-3] se obtiene:

s 12 i r 2 - = =r = + 12.0 y L = - = , G , = + 4,0 » 1 J n j rí —n 1,5 — 1

Colocando ahora el borde de una regla en s¡n = + 12,0 y f/n = + 4,0, cortará a la tercera recta en s'jrí = + 6,0. Dado que rí = 1,5, s' es igual a 6 X 1,5 = + 9.0 cm. ¡

l

U n ligero estudio de este nomograma demostrará que puede aplicarse a todas las distancias objeto e imagen, reales o virtuales, y a todas las superficies con radios de curvatura positivos o negativos. Veremos además en el capítulo IV que es aplicable a todas las lentes delgadas sin más que nacer n y rí iguales a la unidad. Para las lentes delgadas los tres ejes representan s, s' y f direc-mente, no siendo necesario ningún cálculo.

P R O B L E M A S

3-1. El extremo izquierdo de una larga barra de vidrio de índice 1,60 se ha tallado según una superficie esférica convexa de 3 cm de radio. A 10 cm del vértice se coloca en el eje un pequeño objeto. Hállense: i a) las distancias focales objeto e imagen; b) la potencia de la superficie; c) la distancia imagen, y d) el aumento lateral.

3-2. Resuélvase gráficamente el problema 3-1. a) Hállese la distancia imagen por los dos métodos del rayo oblicuo, b) Calcúlese el tamaño relativo de la imagen por el método del rayo paralelo.

Sol: a) + 16,0 cm; b) — 1,0.

3-3. El extremo izquierdo de un largo cilindro de plástico de índice 1,56 se talla y pule en forma de superficie esférica convexa de 2,8 cm de radio. A 15 cm de su vértice, y en el eje, se coloca un objeto de 2 cm de alto. Hállense: a) las distancias focales; b) la potencia de la superficie; c) la distancia imagen, y d) el tamaño de la imagen.

PROBLEMAS 45

3-4. Resuélvase-gráficamente el problema anterior, a) Hállese la distancia imagen por los dos métodos del rayo oblicuo, b) Hállese el tamaño de la imagen por el método del rayo paralelo.

Sol.: a) 4- 11,7 cm; b) — 1,0 cm. 3-5. E l extremo izquierdo de un tubo que contiene agua tiene una

superficie transparente de — 1,5 cm de radio. A 9 cm del vértice se sitúa en el aire un pequeño objeto de 3 cm de altura. Hállense; a) las distancias focales; b) la potencia de la superficie; c) la distancia imagen, y d) el tamaño de'la imagen. Supóngase un índice para el agua de 1,333.

3-6. Resuélvase gráficamente el problema anterior, a) Determínese la distancia imagen por cualquiera de los métodos del rayo oblicuo, b) Hállese el tamaño de la imagen por el método del rayo paralelo.

Sol.: a) —4,0 cm. b) + 1.0 c m -3-7. E l extremo izquierdo de un largo cilindro de plástico de índi

ce 1,56 se ¿alia según una superficie esférica de — 2,8 cm de radio. A 15 cm de su vértice se sitúa en el aire un objeto de 2 cm de altura. Hállense: a) las distancias focales; b) la potencia de la superficie; c) la distancia imagen, y d) el tamaño de la misma.

3-8. Resuélvase gráficamente el problema anterior. Hállense: a) la distancia imagen por alguno de los métodos del rayo oblicuo, y b) el tamaño de la imagen por el método del rayo paralelo.

Sol.: a) —5,85 cm; b) + 0,5 cm. 3-9. E l extremo izquierdo de un cilindro de vidrio de índice 1,666 se

talla según una superficie convexa de radio 1 cm y se sumerge en agua (n = 1,333). A 12 cm de su vértice, y en el agua, se coloca un objeto de 3 cm. Calcúlense: a) las distancias focales; b) la potencia de la superficie; c) la distancia imagen, y d) el tamaño de esta.

3-10. Resuélvase gráficamente el problema anterior. Hállense: a) la distancia imagen por alguno de los métodos del rayo oblicuo, y b) el tamaño de la imagen por el método del rayo paralelo.

Sol.: a) +7,5 cm; b) —1,5 cm.

3-11. Los extremos de un cilindro de vidrio de índice 1,6 se tallan según superficies esféricas de radios r t = -f- 2,4 cm y r 2 = — 2,4 cm. A 8 cm del primer vértice se coloca un objeto de- 2 cm. Calcúlense: a) las distancias focales de ambas superficies; b) la distancia imagen para la primera superficie; c) la distancia objeto para la segunda, y d) la distancia imagen final respecto del segundo vértice.

3-12. Resuélvase gráficamente el problema anterior después de calcular la solución de a). ~. ••*

Sol.: a) + 4,0 cm, -f 6,4 cm, -f 6,4 cm, + 4,0 cm; b) + 12,8 cm; c) — 10,0 cm; d) + 2,45 cm.

3-13. Un haz paralelo penetra en una bola de plástico transparente de 2 cm de diámetro e índice 1,4. ¿En qué punto quedarán enfocados estos rayos?

3-14. Resuélvase gráficamente el problema anterior por el método ilustrado en la figura 3-9. Sol.: + 0,75 cm.

3-15. Una bola de vidrio de índice 1,6 tiene un radio de 2 cm y está sumergida en un líquido transparente de índice 1,4. Si un'haz paralelo procedente del líquido penetra en la bola, ¿en qué punto, al otro lado de la cara lejana, quedarán enfocados sus rayos?

42 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

sobre el eje, se sitúa un pequeño objeto. Hállese: a) la potencia de la superficie, y 6) la posición de la imagen.

Solución. Para hallar a) aplicaremos la ecuación [3-10]:

Para calcular b) obtendremos el valor de V a partir de la ecuación [3-8]:

Sustituyendo directamente en la ecuación [3-9], obtenemos:

2,5 +V' = 5, de donde V = + 2,5 D Para hallar la distancia imagen, tenemos V = rí/s\ con lo que

, _ rí _ 1,50 S ~ V~ 2 j s' = 60 cm

= 0,60 m-

El lector deberá comprobar este resultado utilizando uno de los métodos gráficos a escala conveniente.

3-10. Deducción de la fórmula de Gauss.—La importancia de la ecuación [3-2] justifica su deducción con algún detalle.

FIG. 3-11.—Diagrama para la deducción de la fórmula paraxial.

De los varios métodos que existen utilizaremos uno que hace intervenir rayos oblicuos. E n la figura 3-11 un rayo oblicuo procedente del punto objeto axial M incide sobre la superficie con un ángulo <f> y se refracta bajo un ángulo <}>'. E l rayo refractado corta al eje en el punto imagen M'. Si los rayos incidente y refractado MT y TM', son paraxiales, <j> y <f>' serán suficientemente pequeños para poder sustituir los senos por los ángulos, poniendo, en virtud de la ley de Snell,

£ = í ™ Y a que <j> es un ángulo exterior del triángulo MTC, será igual

a la suma de los ángulos interiores opuestos,

S E C . 3-11] NOMOGRAFIA 43

¿ = a+(3 [3-12] Análogamente, (3 es exterior en el triángulo TCM', por lo que

4' + y = P, y f = P - Y [3-13]

Sustituyendo estos valores de ^ y <f¡' en la ecuación [3-11], se obtiene:

M'(3 — «'y == na. -f- »p lo sea «a -f- w'y = («' — «)(3

Tratándose de rayos paraxiales, ce, (3 y y son muy pequeños y puecte escribirse a = h¡s, {3 = hjr y y = A/s'. Sustituyendo estos valores en la última ecuación, resulta:

h ,h , h n \- n ~i = (M — n) —

I s s r Dividiendo por h 'se obtiene la ecuación deseada,

n . \ n n —n ~~ ~T\~ — •— s s r

[3-14]

3-11. Nomografía.—El término nomografía proviene del griego nomos, que significa ley, y graphein que significa escribir. E n física

4 10

6 3

.14 7 ^ s l 2

6 7 N J O

4 \ . 6

1 2

4+2

4

10 V 4 1 2 X 5

1 4 y 6

10+5

4+2

8 ^ 5 6 / 4

2 / g 1 2 . ,

l \ 4 ~ * 2 X 6

3 ^ X 8 4 * X 1 0

5 X 1 2

•» ^

F I G . 3-12.—Nomograma para determinar las distancias objeto e imagen correspondientes a una superficie esférica o a una lente delgada.

46 SUPERFICIES ESFERICAS [CAP. 3

3-16. Resuélvase gráficamente el problema anterior por el método-ilustrado en la figura 3-9. Sol.: + 6,0 cm.

3-17. Se construye una lente equicóncava hueca, de paredes de vidrio muy delgadas, perfectamente estanca. Los radios de las dos superficies miden 2,0 cm y la distancia entre ambos vértices es 2,0 cm. Esta lente se sumerge en agua de índice 1,333. Calcúlese: a) la distancia focal, y b) la potencia de cada una de las superficies.

3-18. E n el extremo de una varilla de vidrio de índice 1,650 se talla una superficie esférica .de radio 4- 2,5 cm. Hállese su potencia cuando se la rodea de: a) aire; b) agua de índice 1,333; c) aceite de índice 1,650, y d) un líquido orgánico de índice 1,820.

Sol: a) + 26,0 D; b) + 12,7 D; c) 0 D; d) — 6,8 D .

CAPITULO IV

LENTES D E L G A D A S

L a figura 3-1, al principio; del capítulo anterior, muestra varias formas típicas de lentes; delgadas. Las presentamos como ejenrplos del hecho de que las lentes, en su mayoría, están limitadas por superficies esféricas. Muchas de estas superficies son convexas, otras cóncavas y alguna's planas. A l atravesar la luz una de estas lentes, ambas superficies contribuyen a la formación de la imagen, de acuerdo con los principios establecidos en el capítulo III. Además de los dos focos que pertenecen a cada una de estas superficies existen otros dos, correspondientes a la lente considerada en conjunto»

Una lente delgada es aquella cuyo espesor es despreciable frente a las longitudes asociadas con sus propiedades ópticas. Algunas de estas longitudes son, p. ej., los radios de curvatura de ambas superficies esféricas, las distancias focales y las distancias objeto e imagen!

4-1. Focos y distancias focales.—En la figura 4-1 se ha representado la refracción de la luz en una lente equiconvexa y en otra equicóncava. E n ambos ¿asos el eje se representa mediante una recta que pasa por el centro geométrico de la lente y es perpendicular a sus dos caras en los puntos de intersección con ellas. E n las lentes esféricas esta recta pasa por los- centros de curvatura de ambas superficies. El foco'objeto F es %rr punto axial tal 0§v

cualquier rayo procedente de él o que se dirija hacia él se propaga paralelamente al eje una vez refractado.

Toda lente delgada rodeada de aire tiene dos focos, uno a cada lado de ella y equidistantes del centro. Esto es fácil de ver por simetría en el caso de las lentes equiconvexas y equicón-cavas, pero puede probarse también en los demás casos. El foco imagen F ' es un punto axial tal que cualquier rayo paralelo al eje, después de la refracción, se dirige hacia él o diverge de él. E n los dos diagramas inferiores de la figura 4-1 queda aclarada esta definición. Por analogía con él caso de una superficie esférica única, los planos focales son lqs trazados por los focos- perpendi-cularmente al eje.

E n la figura 4-2 puede verse el significado del plano focal de una lente convergente. Un haz de rayos paralelos, que forma un ángulo 6 con el eje, converge en un punto Q' situado en el

47

48 LENTES DELGADAS [CAP. 4

rayo principal. E l rayo principal es; el que pasa por el centro de la lente.

L a distancia entre el centro de una lente y cada uno de sus focos se denomina distancia focal. Estas distancias, designada's por

foco objeto

F foooobjeto

FIG. 4-1.—Focos P y F ' y distancias focales / y / ' de una lente delgada.

/ y /', se miden de ordinario en centímetros o en pulgadas, y tienen signo positivo en las lentes convergentes y negativo en las divergentes. Obsérvese en la figura 4-1 que el foco objeto, F, está a la izquierda en las lentes convergentes y a la derecha en las di

vergentes. Debido a la reversibilidad de los rayos, para una lente rodeada del mismo medio a ambos lados, se verifica que i

Obsérvese atentamente la diferencia entre una lente delgada inmersa en . aire, cuyas dos distancias focales son iguales, y una superficie esférica única, cuyas distancias focales

están en la relación de sus índices (véase Ec. [3-1]). 4-2. Formación de imágenes.—-Colocando un objeto a un lado

o a otro de una lente convergente, y a mayor distancia de la focal,

plano focal ->

Q' F' eje

FIG. 4-2.—Rayos paralelos enfocados en el punto Q' del plano focal imagen de

una lente delgada.

SEC. 4-4] METODO DEL RAYO PARALELO 49

se forma una imagen en el lado opuesto (véase Fig. 4-3). Si se acerca el objeto al plano focal objeto, la imagen se alejará del plano focal imagen, aumentando su tamaño. Si, por el contrario, se aleja el objeto de F, la imagen se aproxima a F' disminuyendo su tamaño.

E n la figura 4-3 todos los rayos procedentes de un punto objeto Q convergen en otro Q', y de un modo similar, los originados en otro punto M se cortan en el M'. Estas condiciones ideales, así como las fórmulas que se deducirán en este capítulo, son válidas solamente para rayos paraxiales.

FIG. 4-3.—Formación de imágenes en una lente delgada ideal. Todos los rayos que partenjie un punto objeto Q concurren después de atravesar la lente en el

punto imagen Q'.

4-3. Puntos y planos conjugados.—Aplicando el principio de reversibilidad a la figura 4-3 se ve que Q'M' se convierte en objeto y QM en imagen. Objeto e imagen son, por tanto, conjugados, tal como ocurría en el caso de una sola superficie esférica. Cualquier par de puntos objeto e imagen, tales como M y M' en la figura 4-3 se llaman puntos conjugados, y los planos que pasan por estos puntos y son perpendiculares al eje se denominan planos conjugados.

Conocida la distancia focal de una lente delgada y la posición de un objeto, existen tres métodos para determinar la posición de la imagen. E l primero utiliza una construcción gráfica, el segundo es experimental y el tercero emplea la fórmula

en la que s representa la distancia objeto, s' la distancia imagen y / la distancia focal, medidas todas ellas a partir del centro de la lente. En la sección 4-14 se deducirá la ecuación [4-1]. Estudiaremos en primer lugar los métodos gráficos.

4-4. Método del rayo paralelo.—Este método aparece ilustrado en la figura 4-4. Consideremos l a marcha de la luz emitida J E N K I N S - W H 1 T E . 4

50 LENTES DELGADAS [CAP. 4

por el extremo superior, Q, del objeto. Por definición de foco, el rayo QT, paralelo al eje, pasará por F'. E l rayo QA, que atraviesa el centro de la lente, donde las caras son paralelas, no se desvía y corta al anterior en un cierto punto Q'. Estos dos rayos bastan para determinar el extremo Q' de la imagen, el resto de la cual estará en el plano conjugado que pasa por Q'. Todos los demás rayos que parten de Q pasarán también por Q'. Como comprobación, observemos que el rayo QF, que pasa por el foco objeto F, debe, por definición, refractarse paralelamente al eje y cortar a los demás en Q'. Los números 1, 2, 3, etc., indican el orden en que suelen trazarse las rectas.

2

U s 4* s' H FIG. 4-4.—Método del rayo paralelo aplicado a una lente delgada.

FIG. 4-5.—Método del rayo oblicuo aplicado a una lente delgada.

4-5. Método del rayo oblicuo.—En la figura 4-5, MT representa un rayo cualquiera que incide sobre la lente por la izquierda. Este rayo se refracta en la dirección TX y corta al eje en M'. E l punto X está situado en la intersección del plano focal imagen F'W con la recta de trazos RR', paralela a MT por el centro.

De nuevo el orden de la construcción se indica con los números 1, 2, 3, . . . Refiriéndonos a la figura 4-2, se comprenderá mejor el fundamento de esta construcción. Los rayos paralelos que inciden en la lente convergen en un punto situado en el plano focal, siendo

SEC. 4-7] AUMENTO LATERAL 51 ¡

el único no desviado el que pasa por su centro. Por tanto, si lo que tenemos son rayos que divergen realmente de M, como en la figura 4-5, hallaremos la dirección de cualquiera de ellos, después de atravesar la lente, haciéndole pasar por la intersección de la paralela RR' con el plano focal. Esta construcción nos proporciona el punto X y la posición de la imagen M'. Obsérvese que en este caso RR' no es un rayo verdadero, sino un medio de localizar el punto X.

4-6. Uso do la fórmula de las lentes.—Como ejemplo de aplicación de la fórmula [4-1] elijamos un caso en el que todas las magnitudes tengan signo positivo. Consideremos un objeto situado a 6 cm de una lente positiva de +4 cm de distancia focal. Despejando s' en la ecuación [4-1] se tiene:

s X /

! s-f

en la que al sustituir directamente los valores numéricos resulta:

(+6) X (+4) s = (+6)-(+4) s' = + 12,0 cm

L a imagen se forma a 12 em de la lente y es real, lo que sucederá siempre que s' sea positiva. E n este caso es invertida, de acuerr

do con la figura 4-3. Se comprueba fácilmente este resultado mediante cualquiera de los dos métodos gráficos expuestos.

E l convenio de signos a utilizar es el mismo que en el caso de la superficie esférica única.

4-7. Aumento lateral.—A partir de la figura 4-4 es fácil obtener una fórmula para el aumento lateral de una lente única. De la construcción se deduce que los triángulos rectángulos QMA y Q'M'A son semejantes, y de la proporcionalidad de sus lados homólogos resulta:

M'Q' _ AM' MQ ~ AM -

donde AM' es la distancia imagen s' y AM es la distancia objeto s. Tomamos como positivas las distancias hacia arriba, y = MQ, e y' = — Q'M', con lo que sustituyendo directamente se obtiene: y'¡y = — s'js. E l aumento lateral es, por tanto,

V s' m = y- = ; [4-31

¡ y s

s Si s y s' son ambos positivos, como en la figura 4-4, el sig

no negativo de m indica que la imagen es invertida.

52 LENTES DELGADAS ! [CAP. 4

4-8. Imágenes virtuales.-—Las imágenes formadas por las lentes convergentes de las figuras 4-3 y 4-4 son reales, pues pueden recogerse en una pantalla que las hace visibles. Se caracterizan por el hecho de que los rayos luminosos convergen' realmente en puntos del plano de la imagen. Una imagen virtual, por el contrario, no se puede recoger en una pantalla (véase Sec. 2-3); Los rayos procedentes de un punto dado del objeto no se cortan en. el punto correspondiente de la imagen, debiendo ser prolongados hacia atrás para cortarse en dicho punto. Las imágenes virtuales son producidas por las lentes convergentes cuando el objeto está situado entre el foco y la lente, y por las divergentes para cualquier posición del objeto. Las figuras 4-6 y 4-7 muestran varios ejemplos de esto.

FIG. 4-6.—Método deí rayo paralelo aplicado a una lente positiva cuando el objeto está entre el foco objeto y la lente. ¡

L a figura 4-6 ilustra la construcción del rayo paralelo para el caso de una lupa. Los rayos procedentes de Q se refractan en la lente, pero no se desvían lo suficiente para llegar a converger en un punto real. A l ojo, E, del observador le parece que estos rayos provienen de un punto Q' situado a la izquierda de ¡la lente. Este punto representa una imagen virtual, pues los rayos no pasan de hecho por él, sino que solo lo parece. E n este caso la imagen es derecha y mayor. Para construir la figura, el rayo QT, paralelo al eje, pasa al refractarse por F', mientras el QA que pasa por el centro de la lente no se desvía. Prolongando hacia atrás estos rayos se cortan en el punto Q'. E l tercer rayo, QS, que parece proceder de F, no pasa en realidad por la lente, pero si esta fuera mayor, se refractaría paralelamente al eje, como se ha representado. Prolongado hacia atrás, corta a las otras prolongaciones en Q'.

S E C . 4-8] I M A G E N E S V I R T U A L E S 53

EJEMPLO.—Si se coloca un objeto 6 cm por delante de una lente de distancia focal + 10 cm, ¿dónde se formará la imagen?

Solución. Sustituyendo directamente en la ecuación [4-2], resulta:

' = (+ 6) x (+ 10) = + 60 =

* (+6) —(+10) —4

El signo negativo indica que la imagen está a la izquierda de la lente. Tal imagen es siempre virtual. El aumento se calcula a partir de la ecuación [4-3]:

s' —15 =+2,5

El signo positivo indica que la imagen es derecha.

. FIG. 4-7.—Método del rayo paralelo aplicado a una lente negativa.

E n el caso de la lente negativa, representada en la figura 4-7, la imagen es virtual para todas las posiciones del objeto, siempre menor que este y también más próxima a la lente. Como puede verse, los rayos que divergen del punto objeto, Q, se hacen más divergentes al atravesar la lente. A l ojo del observador, situado en E, le parecen proceder de Q', al otro lado de la lente, pero más cerca de esta. A l aplicar la fórmula ha de tenerse en cuenta que las distancias focales de las lentes divergentes son negativas.

EJEMPLO.—Un objeto está situado 12 cm delante de una lente divergente de distancia focal 6 cm. Hállese la imagen.

Solución. Sustituyendo directamente en la ecuación [4-2], se obtiene:

' = (+ 12) x (—6) —72 5 (+ 12) - (-76T ~ + 18

de donde s' = — 4 cm. Para el tamaño de la imagen la ecuación [4-3] da

s' m = • = s 12 T 3

La imagen está, por tanto, a la izquierda de la lente y es virtual, derecha y su tamaño es un tercio de el del objeto.

54 LENTES DELGADAS [CAP. 4

4-9. Fórmula del constructor de lentes.—Si se desea tallar una lente de una distancia focal determinada deberá conocerse el índice de refracción del vidrio a emplear-.-. Entre los fabricantes de vidrios ópticos es costumbre referir el índice a la línea D de la luz amarilla de sodio. Suponiendo conocido el índice de refracción, los radios de curvatura deberán satisfacer a la ecuación

Suponiendo que la luz se propaga en una lente de izquierda a derecha, cuando encuentre en su marcha una superficie convexa se tomará para su radio el signo positivo, y si es cóncava, el negativo. E n una lente equiconvexa, como la de la figura 3-1 (a), el radio rx

de la primera superficie es positivo y el rz de la segunda es negativo. Sustituyendo el valor de 1// en la ecuación [4-1], se puede escribir:

- + - , = [4-5] s s Vi h!

EJEMPLO.—Una lente planoconvexa de 25 cm de distancia focal tiene un índice n = 1,520 [Fig. 3-1 (6)]. Calcúlese su radio de curvatura.

Solución. Como una lente planoconvexa tiene una superficie plana, el radio rx

•de esta superficie será oo. El radio t1 de la segunda superficie será, por tanto, la única incógnita. Sustituyendo las magnitudes conocidas en la ecuación [4-4], se obtiene:

— = (1,520 — 1) / — -25 \ co

Haciendo operaciones y despejando r2,

1 0,520 / « ° ' 5 2 0 , / o - I ) . 25

de donde rs = — (25 x 0,520) = — 13,0 cm

Si damos vuelta a la lente obtendremos r1 — -f- 13,0 cm y r2 = oo.

4-10. Combinaciones de lentes delgadas.—Los principios de la formación de imágenes que acabamos de establecer se generalizan fácilmente a sistemas formados por dos o más lentes delgadas. Consideremos, p. ej., dos lentes convergentes separadas una cierta distancia, tales como las representadas en la figura 4-8. U n objeto Q1M1 está situado a una distancia dada s de la primera lente y su imagen Q'tM't se forma a una distancia desconocida s'2 de la segunda lente. Para hallar esta distancia imagen aplicaremos en primer lugar los métodos gráficos, y a continuación mostraremos cómo puede calcularse a partir de la fórmula de las lentes delgadas.

SEC. 4-10] COMBINACIONES DE LENTES DELGADAS 55

E l primer paso al aplicar el método gráfico consiste en prescindir de la segunda lente, averiguando la imagen producida por la primera. E n el diagrama, al aplicar el método del rayo paralelo al punto objeto Qlt conseguimos situar una imagen real e invertida en Q'v Dos cualesquiera de los rayos, 3, 5 y 6 bastan para este propósito. Una vez situado Q\ sabemos que cualquier rayo procedente de Q1 deberá pasar por este punto. Basándonos en este hecho trazaremos la recta 9 ele Q\ a W pasando por A2. Entonces se une W con Qt mediante la recta 10.

E l segundo paso es imaginar colocada la segunda lente y hacer los siguientes cambios: Puesto que el rayo 9 pasa por el centro de la segunda lente, emergerá de ella sin desviarse. E l rayo, 7 para-

FIG. 4-8.—Método del rayo paralelo aplicado a dos lentes delgadas.

lelo al eje en el espacio entre las dos lentes, pasará al refractarse por el foco imagen F'2 de la segunda lente. L a intersección de 9 y 11 nos da la posición Q'3 del punto imagen final. Qx y Q\ son puntos conjugados respecto de la primera lente, Q2 y Q't lo son respecto de la segunda y Q1 y Q'2 respecto de la combinación de ambas. Una vez trazada la imagen Q'flL\ tenemos los siguientes pares de puntos conjugados situados en el eje: Mx y M\; M2

y M'2; M1 y M'r \ E n la figura 4-9 se apüca él método del rayo oblicuo al mismo

par de lentes. Se traza un solo rayo desde el punto objeto M1

al punto imagen final M\. Las rectas se dibujan en el orden indicado. L a línea de trazos 6 es paralela al rayo 4 por Axy determina el punto R\. La recta de trazos 9 es paralela a la 7 por Az y sitúa el punto R^. Esta construcción proporciona el mismo conjunto de puntos conjugados a lo largo del eje que la anterior, Obsérvese que el eje mismo es utilizado como segundo rayo para situar la imagen. ¡

Por vía de comparación, y como comprobación de las soluciones gráficas, asignaremos valores determinados a las distancias

56 LENTES DELGADAS [CAP. 4

focales de las lentes y aplicaremos, la fórmula de las lentes delgadas para obtener la imagen. Supongamos • que las distancias focales de las lentes son T 3 y | 4 cm, respectivamente, que

á $ 5

r * > 4 D

Mi eje Fi F*^%" RÍ 2 AÍ

1 %

ÁT^Fl-M^^ \FÍ Mí M2

3 |"z

FIG. 4-9.—Método del rayo oblicuo aplicado a dos lentes delgadas. ' ' !

su separación es de 2 cm y-.qüe el objeto está situado¡4 cm delante de la primera lente.

Comenzaremos por aplicar la ecuación [4-2] a la primera lente. Los datos a sustituir son sx = ¡ + 4 cm y f1 = -f- 3 cm.

s. — h X A ^ (+4) x '(+3) h-fi (+4)-(+3)

+ 12 crh

L a imagen formada por la primera lente es, por tanto, real y está situada 12 cm a la derecha de Av Esta imagen servirá de objeto para la segunda lente, de cuyo vértice dista solo 10 cm, por lo que s2 = — 10 cm. Este signo negativo es necesario, ya que la distancia objeto se halla a la derecha de la lente. Dado que los rayos convergen hacia la imagen de la primera lente, el objeto para la segunda es virtual y su distancia es negativa. A p l i cando la ecuación [4-2] a la segunda lente con s 2 = — 10 cm y /¡¡ = + 4 cm, tendremos:

(-10) x (+4); -10) - (+4) = +2,86 cm

L a imagen final está 2,86 cm a la derecha de la segunda lente y es real, ;

4-11. Espacio objeto y espacio imagen.—A cada posición del objeto corresponde otra de la imagen. Como la imagen puede ser real o virtual y estar a uno u otro lado de la lente, el espacio imagen se extiende hasta el infinito en ambos sentidos. Pero los puntos objeto e imagen son conjugados, por lo que ¡podemos extender este argumento al espacio objeto. Dado que \ ambos están totalmente superpuestos podría pensarse en la dificultad de distinguirlos. Para soslayarla diremos {que pertenece al espacio ob-

S E C . 4-12] P O T E N C I A D E U N A L E N T E D E L G A D A 57

jeto todo lo concerniente a los rayos que aún no han atravesado la lente, y que pertenece al espacio imagen lo que corresponde a los rayos que ya la han atravesado. Refiriéndonos a la figura 4-8, el objeto Ql y los rayos Q(T, Q1A1 y Q^V pertenecen al espacio objeto de la primera lente. Una vez que estos rayos han atravesado la lente pasan a pertenecer a su espacio imagen, así como la imagen Q\. Este espacio es además el espacio objeto de la segunda lente. Una vez que los rayos han abandonado la segunda lente pertenecen, junto con la imagen Q'2> a su espacio imagen.

4-12. Potencia de una lente delgada.—El concepto y medida de la potencia de una lente son análogos a los estudiados en la sección 3-9 para el caso de una superficie única. La potencia de una lente delgada viene dada por la recíproca de la distancia focal. Cuando esta se mide en metros aquella se expresa en dioptrías:

P / diopt i a s distancia focal en metros ^ ^

Así, p. ej., una lente de distancia focal -j- 50 cm tiene una potencia de 1/0,50 m = + 2 D (P = + 2,0 D), mientras que una de — 20 cm de distancia focal tiene una potencia de 1/0,20 m = = — 5 D ( P = — 5,0 D), etc. Las lentes convergentes tienen una potencia positiva y las divergentes una potencia negativa.

Utilizando la ecuación del constructor de lentes, se puede escribir:

P = ( W _ 1 ) ^ _ I ) [4-7]

donde rx y r2 son los dos radios de curvatura medidos en metros y n es el índice del vidrio.

EJEMPLO.—Los radios de ambas superficies de una lente equiconvexa de Índice 1,60 miden 8 cm. Hállese su potencia.

Solución. Los datos a sustituir en la ecuación [4-7] son n = 1,60, r1 = 0,08 m y rt = —0,08 m (véase la forma de una lente equiconvexa en la figura 3-1).

•= ( « _ ! ) / ! - - ) = (1,60 — 1)/ —

( - ) = \ 0,08 /

1,08 —-0,08 ^

0,60 | — I = + 15,0 D

Las lentes para gafas se construyen con potencias que difieren en un cuarto de dioptría para reducir el número de herramientas de tallado y pulido en los talleres de óptica. Además, los lados próximos al ojo son siempre cóncavos para permitir el libre movimiento de las pestañas y conseguir una mayor proximidad y

58 L E N T E S D E L G A D A S [CAP. 4

alineamiento con el eje ocular. NOTA: ES importante especificar el signo además del valor de la potencia; así, P = + 3,0 D, P = — 4,5 D, etc.

4-13. Lentes delgadas en contacto.—Colocando dos lentes delgadas en contacto, como en la figura 4-10, el conjunto actúa como una lente única con dos focos simétricos situados en F y F'. Los rayos paralelos que inciden en la primera lente se refractan hacia su foco imagen F'v Una refracción posterior en la se-

eje F

FIG. 4-10.—La potencia de una combinación de lentes delgadas en contacto es igual a la suma de las potencias de cada una de ellas.

gunda lente dirige los rayos hacia F'. Este último punto se define como foco imagen de la combinación, y su distancia al centro, como distancia focal imagen /' del conjunto.

Aplicando ahora la fórmula de las lentes sencillas (Ec. [4-3]) a la segunda lente L 2 , f\ será la distancia objeto (con signo negativo), /' es la distancia imagen y f\ la distancia focal. Apl i cando la ecuación [4-1] para estos valores de s, s' y /, respectivamente, se obtiene:

o sea —. i + i

Como hemos supuesto que las lentes se encuentran en el aire, las distancias focales objeto e imagen de cada una serán iguales, por lo que podemos suprimir las primas y escribir:

i = + X / k k [4-8]

Expresado en palabras, la recíproca de la distancia focal de una combinación de lentes delgadas es igual a la suma de las recí-

SEC. 4-14] DEDUCCION D E LA FORMULA D E LAS LENTES 59

procas de las distancias focales de cada una de las lentes. Como según la ecuación [4-6] se tiene P x = l / / x , P2 = l / / 2 y P = 1//, la potencia del conjunto será:

P = P 1 . + P 2 [4-9]

E n general, la potencia de un conjunto de lentes delgadas puestas en contacto es igual a la suma de las potencias de cada una de ellas.

FIG. 4-11.—Diagrama correspondiente a la deducción de las fórmulas de las lentes delgadas.

4-14. Deducción de la fórmula de las lentes.—A partir de la figura 4-4 se obtiene fácilmente la llamada fórmula de las lentes (Ec. [4-1]). Lo esencial de esta figura se ha reproducido en la figura 4-11, que muestra solamente dos rayos procedentes del objeto, de altura y, que van hasta la imagen de altura y'. Sean s y s' las distancias objeto e imagen contadas desde el centro de la lente, y x y x' sus respectivas distancias a- los focos F y F'.

De la semejanza de los triángulos Q'TS y F'TA, se deduce:

y —y' _ y s' - f

Obsérvese que escribimos y — y' en vez de y f / por ser y' negativa. De la semejanza de los triángulos QTS y FAS, resulta:

• y — y _ —y'

Sumando ¡ambas ecuaciones se obtiene:

60 LENTES DELGADAS [CAP. 4

Dado que / = /', pueden agruparse los dos términos del segundo miembro y dividir después; por y — y', lo que conduce á la ecuación buscada:

\ ' i + U l s ~ s f

Esta es la forma gaussiana1 de la ecuación de las lentes. Otra forma de dicha ecuación es la de Newton, que se ob

tiene utilizando análogamente otros pares de triángulos semejantes. De los triángulos QMF y FAS, de una parte, y TAF' y F'M'Q' de otra, se obtiene:

Multiplicando ambas ecuaciones, (

= /? E n la fórmula de Gauss las distancias objeto e imagen se mi

den desde el centro de la lente, y en la de Newton, a partir de los focos. Las distancias objeto (s o x) son positivas si el objeto está a la izquierda de su punto de referencia (A o F, respectivamente), mientras que las distancias imagen (s' o x') son positivas cuando la imagen está a la derecha de tales puntos (A o F', en este caso).

E l aumento lateral, dado por la ecuación [4-3], corresponde a la forma de Gauss. Si las distancias se cuentan a partir de los focos deberá usarse la forma de Newton, que se obtiene directamente a partir de la ecuación [4-10]:

m = = — l = — %- [4-11] y x f

E n el caso más general, cuando los medios que rodean cada lado de la lente son diferentes, se demostrará en la sección siguiente que las distancias focales, / y /', son distintas y están en la razón de sus respectivos índices de refracción. L a fórmula de Newton toma entonces la forma siguiente:

**'=//' 4-15. Obtención de la fórmula del constructor de lentes.—

Para esta deducción utilizaremos la figura 4-12. Sean n, rí y rí'

1 Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Físico y astrónomo alemán, conocido principalmente por sus aportaciones a la teoría matemática del magnetismo. Procedente de familia modesta, recibió ayuda en vista de su evidente capacidad para las matemáticas. En 1841 publicó el primer estudio general de la teoría de primer orden de las lentes bajo el título Dioptrische Untersuchungen.

SEC. 4-15] FORMULA D E L CONSTRUCTOR D E LENTES 61

los índices de los tres medios; fx y f\ las distancias focales de la primera superficie, y /j y /¡ las de la segunda. E l rayo oblicuo MTt incide en la primera superficie procedente del punto axial M situado a una distancia Sj del vértice A¡. E n 7\ se refracta hacia M' según la ecuación [3-2]:

n n n —n —(- ~J ~ —~—

[4-12]

A l llegar a T 2 , este mismo rayo se refracta hacia 1,1". Para esta segunda superficie la distancia objeto es s'2 y la distancia imagen s¡. Aplicando la ecuación [3-2] a esta superficie,

+ [4-13]

FIG. 4-12.—Cada una de las superficies de una lente delgada tiene sus propios focos y distancias focales, así como distancias objeto e .imagen independientes.

Si suponemos despreciable el espesor de la lente frente a las distancias objeto e imagen, la distancia s[ será igual a la s'2; pero dado que M' es un objeto virtual para la segunda superficie, la distancia objeto con respecto a esta será negativa. Por tanto, podremos poner s[ — — s\ y escribir:

5l s2

Sumando las ecuaciones [4-12] y [4-13] y sustituyendo esta última igualdad, se obtiene:

n rí n h — = —

- n rí

- + -[4-14]

62 LENTES DELGADAS [CAP. 4

Designando ahora la distancia objeto, s,, por s y la distancia imagen, s¡, por 5", la ecuación [4-14] toma la forma:

n s

n — n [4-15]

Esta es la fórmula general de la lente delgada con medios distintos a cada lado. Seguiremos definiendo los focos objeto e

FIG. 4-13.—Cuando los medios que circundan una lente son diferentes, las distancias focales objeto e imagen no son iguales, y el rayo que pasa por el centro

de la lente es desviado.

imagen F y F", y las distancias focales correspondientes / y f, como se indicó en la sección 3-4, haciendo s o s" igual a infinito. Con ello obtenemos

n 7 + 7

[4-16]

De otro modo, las distancias focales son directamente proporcionales a los respectivos índices de refracción (véase Fig. 4-13):

/ n f = rí1

E n el caso de ser n = n", la ecuación [4-15] se reduce a

[4-17]

n n l\ 1 \

7 + ? = ( H - * > U " J [4-18]

NOTA : E n el último factor aparece un signo menos al sacar factor común rí — n en el segundo miembro de la ecuación [4-15].

Finalmente, si el medio circundante es aire (n = 1), se obtiene la fórmula del constructor de lentes:

[4-19]

PROBLEMAS 63

Con la notación de potencias de la ecuación [4-9], la fórmula [4-15] toma la forma:

V + V" =P1 + P2 [4-20]

donde v i l - V - * P 1 = a - 2 l = J Í P 2 = ^ F4-21] s s" 1 rx

2 r2 L J

L a ecuación [4-20] puedej escribirse:

F + i / ' = P , [4:22] donde P es la potencia de la lente igual a la suma de las potencias de las dos superficies

P = Pl + P2 [4-23]

P R O B L E M A S

4-1. La imagen de un objetó situado 16 cm delante de una lente delgada se forma 48 cm detrás de ella. Calcúlense: a) la distancia focal, y b) la potencia.

4-2. A 10 cm. de una lente delgada de 4 cm de distancia focal se encuentra un objeto de 2 cm de altura. Hállense: a) la distancia imagen; b) el aumento, y c) la naturaleza de la imagen. Resuélvase gráfica y analíticamente. Sol.: a) + 6,66 cm; b) —0,66 cm; c) real e invertida.

4-3. Los radios de ambas caras de una lente delgada miden: rx = 4- 12 y rt = — 30 cm, respectivamente. Su índice de refracción es 1,6. Calcúlense: a) su distancia focal, y b) su potencia.

4-4. Un objeto de 4 cm de altura se encuentra 20 cm por delante de una lente de / = — 5 cm. Hállense: a) la potencia; b) la distancia imagen, y c) el aumento lateral. Resuélvase gráficamente utilizando los métodos del rayo paralelo y del rayo oblicuo. ¡ Sol.: a) — 20 D; b) — 4 cm; c) 4- 0,20.

4-5. Una leerte equicóncava tiene un índice n = 1,65. Calcúlense sus radios de curvatura para que la potencia sea — 2,5 D.

4-6. Una lente planoconvexa tiene un índice n = 1,71. Calcúlese el radio de curvatura para que su potencia sea + 5 D. Sol.: 14,2 cm.

4-7. Dos lentes de distancias focales /, = + 12 cm y fs = 4- 24 cm, respectivamente, distan 6 cm. Si un objeto de 2 cm está, situado 20 cm por delante de la primera lente, hállense: a) la posición, y b) el tamaño de la, imagen final.

• 4-8. Se utiliza una lente convergente para formar la imagen de la llama de una bujía sobre una pantalla distante. E n el haz convergente, y a 40 cm de la-pantalla, se coloca una segunda lente de radios rx = -f 12 cm y rt = —24 cm, con índice n = 1,60. Calcúlense: a) la potencia de la segunda lente, y b) la posición de la imagen final.

Sol.: a) + 7,5 D ; b) + 10,0 cm. 4-9. Una lente biconvexa ha de tener un índice de 1,52. Se desea que

uno de los radios sea doble que el otro y que la distancia focal mida 5 cm. Hállense dichos radios.

64 LENTES DELGADAS [CAP. 4

4-10. Dos lentes de distancias focales ¡1 = + 8 cm y / 2 = — 12 cm distan 6 cm. Si 24 cm delante de la primera lente se encuentra un objeto de 3 cm de alto, hállense: a) la posición, y b) el tamaño de la imagen final.

Sol.: a) + 12,0 cm; b) —3,0 cm. 4-11. Una diapositiva de 2 pulg de altura está situada a 10,5 pies

de una pantalla de proyección. ¿Cuál es la distancia focal de la lente necesaria para proyectar una imagen de 40 pulg de altura?

4-12. Un objeto está a 1,4 m de una pantalla blanca. ¿Qué distancia focal habrá de tener una lente para formar una imagen real e invertida en dicha pantalla con un aumento igual a — 6? Sol.: + 17,1 cm.

4-13. Tres lentes delgadas tienen las potencias siguientes: + 1 D, — 2 D, y + 4 D. ¿Qué potencias pueden obtenerse utilizando una, dos o tres de ellas en contacto?

4-14. Se colocan en contacto dos lentes delgadas cuyos radios de curvatura e índices son los siguientes: para la primera lente, vx = + 16 cm, r2 = — 24 cm y n = 1,60, y para la segunda lente, rx = — 32 cm, r 2 — +48 cm y n = 1,48. Hállense: a) la distancia focal del conjunto, y b) su potencia. Sol.: a) + 26,6 cm; b) + 3,75 D.

4-15. Un objeto de 2 cm de alto se encuentra 12 cm delante de una lente de + 4 cm de distancia focal, y a 2 cm de esta se encuentra otra de — 8 cm de distancia focal. Calcúlense: ») la posición, y b) el tamaño de la imagen final. |

4-16. U n objeto de 2 cm de altura se halla situado 6 cm delante de una lente de — 2 cm de distancia focal. Se coloca 4 cm detrás de la primera lente otra segunda de + 4 cm de distancia focal. Hállense: a) la posición, y b) el tamaño de la imagen final. Sol.: a) + 14,7 cm; b) — 13,3 cm.

4-17. Tres lentes de distancias focales + 12 cm, — 12 cm y + 12 cm, respectivamente, se encuentran situadas una tras otra distanciadas 2 cm. Si sobre la primera lente incide un haz de rayos paralelos, ¿a qué distancia de la tercera lente se cortarán? j

4-18. Un objeto de 4 cm de altura está situado 10 cm delante de una lente de + 2 cm de distancia focal. Detrás de esta lente hay otra de — 3 cm de distancia focal alejada 12,5 cm de la primera. Hállense: a) la posición, y b) el tamaño de la imagen final.

Sol.: a) — 2,31 cm de la segunda lente; b) —0,23 cm.

CAPITULO V

LENTES GRUESAS

Cuando el espesor de una lente no es despreciable frente a su distancia focal, algunas de las fórmulas del capítulo anterior dejan de ser aplicables. La lente deberá entonces tratarse como una lente gruesa. Este término no solo se refiere a una lente única homogénea limitada por dos superficies esféricas separadas por una distancia apreciable, sino también a cualquier sistema de superficies coaxiales considerado como una unidad. Por tanto, el espesor de la lente puede incluir el de varias lentes componentes puestas o no en contacto. Y a hemos considerado un caso incluido en esta categoría: el de un par de lentes delgadas separadas por una cierta distancia (Fig 4-8).

FIG. 5-1.—Refracción de un rayo en las dos superficies de una lente.

5-1. Dos superficies esféricas.—Un caso sencillo de lente gruesa es el de dos superficies esféricas, tales como las de la f i gura 5-1. A partir de los principios desarrollados en los capítulos III y IV puede estudiarse la capacidad de formación de imágenes de tai sistema. Cada una de las dos superficies contribuye a la formación de la imagen final.

Sean n, rí y n" los índices de refracción de los tres medios separados por dos superficies esféricas de radios rx y r<¡. U n rayo luminoso procedente de un punto objeto axial M se refracta en la primera superficie en dirección TXM' y posteriormente en la segunda superficie en dirección T2M". Dado que el eje de la lente puede considerarse como un segundo rayo, M" será la imagen final del punto M. Por tanto, M y M" son puntos conjugados respecto de la lente gruesa, y cualquier rayo procedente de M pasará por M". JEHKtNS-WHITE.—5 "' 65

66 LENTES GRUESAS [CAP. 5

Vamos a aplicar en primer lugar el método del rayo paralelo para localizar gráficamente la imagen formada por una lente gruesa, y después utilizaremos las fórmulas generales ya conocidas para calcular las distancias imagen. Estas fórmulas son (véase Sec. 3-4):

n n n —

primera superficie

n ti" ti" —

segunda superficie

[5-1]

5-2. Método del rayo paralelo.—En la figura 5-2 se ilustra el método del rayo paralelo aplicado a una lente gruesa de dos

a)

(&)

FIG. 5-2.—Método del rayo paralelo para hallar gráficamente la imagen dada por una lente gruesa.

superficies. Aunque el diagrama suele ser único, lo hemos dividido en dos partes para simplificar la explicación. Ft y F[ son los focos objeto e imagen de la primera superficie, y F ¡ y F"3, los de la segunda.

E l diagrama (a) se ha construido aplicando el método de la figura 3-6 a la primera superficie y prolongando suficientemente los rayos refractados para localizar la imagen M'Q'. Esta imagen real, M'Q', pasa a ser el objeto de la segunda superficie, como muestra el diagrama (6). E l procedimiento es similar al utilizado para las dos lentes delgadas en la figura 4-8. E n el diagrama (b) el rayo 5, refractado paralelamente al eje por la primera superficie, se refracta, como rayo 7, hacia el foco secundario F[ de la segunda.

Los rayos 8 y 9 se obtienen trazando una recta de Q' a C 2

y después, por la intersección B, dibujando la recta BQ. L a in-

SEC. 5-3] FOCOS y PUNTOS PRINCIPALES 67

tersección'de 7 y 8 da el punto imagen final 0" y la imagen M"Q". ! • 1

final

EJEMPLO 1.—Una lente equiconvexa de 2 cm de espesor y radios de curvatura de 2 cm se coloca en el extremo de un tanque de agua. Sobre el eje de íá lente se sitúa un objeto en el aire a 5 cm de su ve'rtice. Hállese la posición de la imagen final. Tómense los valores del índice de refracción del aire, vidrio y agua, í,00, 1,50 y 1,33, respectivamente. |

Solución! Las dimensiones relativas son aproximadamente las de la figura 5-2 (6). Aplicando la ecuación [5-1] a la primera superficie, la distancia imagen será: i

1,00 ^ 1,50 _ 1,50 -— 1,00 -f 30 cm

Al aplicar la misma ecuación a la segunda superficie observaremos qué la distancia objeto es s< menos el espesor de la lente, o sea 28 cm, y que por corresponder a un objeto virtual será negativa. Los datos a sustituir son, pues, s¡¡ = — 28-cm, n' = 1,50, «" = 1,33 y r¡¡ = — 2,0 cm.

,50 1,33 -28 + ~7T

1,33—1,50 de donde = -f 9,6 cm

Debe prestarse especial atención a los signos en este segundo paso. Dado- que la segunda superficie es cóncava hacia la luz incidente, r,_ ha de ser negativo. Los rayos que inciden en el vidrio pertenecen a un punto objeto M', que es virtual, y por ello que está a la derecha del vértice A 2, habrá de ser negativo. La imagen final se. forma en el agua (»" = 1,33) a una distancia de + 9,6 cm del segundo vértice. El signo positivo del resultado indica que la imagen es real.

H a de tenerse en cuenta que las ecuaciones [5-1] se verifican solo para rayos paraxiales. Los diagramas de la figura 5-2, en los que toda la refracción tiene lugar en rectas perpendiculares al eje que pasan por los vértices Aí y A2, vienen limitados análogamente al caso de rayos paraxiales.

5-3. Focos y puntos principales.—La figura 5-3 muestra las características de los dos focos de una lente gruesa. E n el primer diagrama los rayos procedentes del foco objeto F se refractan para-

plano I principdl

objeto

plano principal imagen

FIG. 5-3.—Planos principales objeto e imagen de una lente gruesa.

68 LENTES GRUESAS [CAP. 5

lelamente al eje, y en el segundo los rayos que inciden paralelos al eje convergen, al refractarse, en el foco imagen, F". E n ambos casos se han prolongado los rayos incidente y refractado hasta conseguir que se corten entre ambas superficies. Los planos transversales que pasan por estas intersecciones se llaman planos principales objeto e imagen. Los puntos 'de intersección de estos planos con el eje se llaman puntos principales, H y H". Obsérvese que entre ambos planos existe una 'correspondencia punto a punto tal que cada uno es una imagen, derecha y del mismo tamaño, del otro. Por esta razón se Ies' denomina a veces «planos unitarios». Se definen mejor diciendo que los planos principales son dos planos que tienen un aumento lateral unitario y positivo.

Las distancias focales se miden a partir de los puntos principales y no a partir de los vértices, como hasta ahora. Si el medio

HH" HH" HH" HH" - HH"

FIG. 5-4.—Variación de la posición de los planos principales por deformación de una lente gruesa de distancia focal dada.

que rodea las superficies es el mismo en ambos lados, n" — n, y las distancias focales / y /" son idénticas.

Si los medios que rodean la lente1 son diferentes, también lo son las distancias focales, que serán proporcionales a los respectivos índices de refracción: 1

n" _ f"

E n general, los focos y los puntos principales no son simétricos respecto de la lente, sino que sus distancias a los vértices son diferentes. Esto es cierto aun en el caso n" — n, en el que las distancias focales son iguales. A l variar la forma de una lente, de material y distancia focal dados, desviándola en uno u otro sentido de la forma simétrica (Fig. 5-4), se modifica también la posición de sus planos principales. E n meniscos de espesor y curvatura considerables, H y H" llegan a estar completamente fuera de la lente.

SEC. 5-4] RELACIONES CONJUGADAS 69

5-4. Relaciones conjugadas.—Para poder obtener la trayectoria de un rayo que atraviesa una lente gruesa hemos de determinar en primer lugar las posiciones de los focos y puntos principales. Una vez hecho esto, gráfica o analíticamente, utilizaremos el método del rayo paralelo para localizar la posición de la imagen, como muestra la figura 5-5. E n esta construcción seguiremos el

FIG. 5-5.—Método del rayo paralelo aplicado a una lente gruesa.

n , rí , n"

FIG. 5-6.—Los planos principales y antiprincipales corresponden a un aumento unidad.

método dado en la figura 4-13, salvo que todos los rayos situados-entre ambas lentes se dibujan paralelos al eje.

Comparando las dos figuras y teniendo en cuenta las deducciones de las ecuaciones [4-14] y [4-15], referentes a las lentes delgadas, se verá que si las distancias objeto e imagen se miden a partir de los puntos principales, se puede aplicar la fórmula de Gauss:

n rí n rí

7 + 7/ = 7 = f o, teniendo en cuenta la ecuación [3-8],

V + V" = P

[5-3]

[5-4]

70 LENTES GRUESAS [CAP. 5

E n el caso particular de que el medio situado a ambos lados sea el mismo, o sea n" = n, se tiene /" — /, y la ecuación [5-3] se convierte en

1 , 1 1 1 re «s-,

7 + ? = a 7 ! a / ' [5"5]

L a figura 5-6 muestra que, a efectos de construcciones gráficas, es posible sustituir la lente por sus dos planos principales.

5-5. Método del rayo oblicuo.—Se usa este método para hallar gráficamente los focos de una lente gruesa. Como ejemplo consideremos una lente de índice 1,50, espesor 2 cm y radios rt — + 3 cm y

FIG. 5-7.—Método del rayo oblicuo para el trazado de rayos paraxiales en una lente gruesa.

r 2 = — 5 cm, rodeada de aire de índice n = 1,00. E l primer paso es calcular las distancias focales objeto e imagen de cada una de las superficies mediante las fórmulas de la superficie esférica (Ees. [3-3] y [3-4]). Con la nueva notación se tiene:

n rí rí —« rí n" n" — rí ^

Los datos son:

rx = +3 cm r2 = —5 cm i = 2 cm rí — 1,50 n" —n = 1,00

Sustituidos en las ecuaciones [5-6], se obtiene:

/j = +6 cm /; = +9 cm /;= +15 cm ft = +10 cm Calculadas las distancias focales, se traza el eje de la lente

como en la figura 5-7, y sobre él los puntos conocidos utilizando una escala adecuada. Después de trazar 2 y 3 por los vértices de la lente, se elige un rayo incidente, 4, paralelo al eje. A l re-

SEC. 5-6] FORMULAS GENERALES DE LAS LENTES GRUESAS 71

fractarse en la primera superficie toma la dirección 5, dirigiéndose hacia F'v foco imagen de dicha superficie. Después de trazar 6 por F"t se dibuja 7 paralela al rayo 5 por C 2 . E l punto B, intersección de 6 y 7, determina la dirección del rayo refractado f i nal 8. E l punto F" en que el rayo 8 corta al eje es el foco imagen de la lente, mientras su punto de intersección N" con el rayo incidente sitúa el plano principal imagen, H".

Invirtiendo la lente y repitiendo el proceso anterior determinaremos la posición del foco objeto F y del plano principal objeto H. Conviene que el lector realice por sí mismo esta construcción y compruebe: que las distancias focales son iguales. Obsérvese que en la hipótesis de rayos paraxiales se supone que la refracción se produce en los planos normales al eje trazados por los vértices.

5-6. Fórmulas generales de las lentes gruesas.—Existe un conjunto de fórmulas ütilizables para el cálculo de ciertas constantes de las lentes gruesas. A continuación se presentan en forma de dos conjuntos equivalentes:

Fórmulas de Gauss Fórmulas de las potencias

* ==?!'+-- — - - P-P+P-ÍPP r5,7i

/ /; + /: fj¡ ~ tí' F - F i + F * n'Fs* [ 5 r 7 ] [5-8]

¿iH = ±f¿r • A.H^ + .^P, [5-9]

[5-10]

/ i ir n

Estas fórmulas se obtienen por consideraciones geométricas a partir de un diagrama como el de la figura 5-7. Como ejemplo se deduce la fórmula de Gauss [5-11] del modo siguiente: de la semejanza de los triángulos T^A-Jr'^ y T2A2F[ resulta:

o s e a k - f j - l AXTX - A2T2

S 6 a h j

y de la de los triángulos N"H"F" y T2A2F" se obtiene:

H"F" A2F" f f" — H"A2 o bien ' 2

H"N" A2T2 h j

72 LENTES GRUESAS [CAP. 5

Despejando en ambas ecuaciones jjh e igualando los segundos miembros, se obtiene:

t^AJ"-H"A2¡ d e d Q n d e HnA% = f ¿ >i > 'i

Si se invierte ahora el segmento H"A% para obtener el AZH" mediante un cambio de signo de -\-\a—:, resulta:

A?H" = —/~ ¡ h

E n función de las potencias de las superficies y de la lente,

P = * - * ' P P = Z.-< Í5-121

la misma ecuación puede escribirse así:

A u» - n" d P A*H -~pñ' 1

E n el diseño de ciertos sistemas ópticos conviene conocer, a veces, la potencia de vértice de una lente, llamada i también potencia efectiva, dada por

y que se define como la recíproca de la distancia desde la superficie posterior de la lente al foco imagen. Esta distancia se denomina corrientemente distancia focal posterior. Puesto que Pv = 1¡AZF", la ecuación anterior de la potencia de vértice se obtiene nada más que invirtiendo la ecuación [5-10]. E n esta inversión se supone que la lente está en el aire, o sea n" = 1.

De un modo análogo, la distancia del foco objeto a la superficie anterior se llama distancia focal frontal, y la recíproca de esta distancia, potencia neutralizante,1, P„ = 1¡AXF. Llamando P„ a la potencia neutralizante podemos tomar la recíproca de la ecuación [5-8] y obtener: J

p " = r ^ f W [ 5 ' 1 4 ]

i Este nombre se deriva del hecho de que una lente delgada

de esta potencia y signo opuesto da lugar a un sistema de potencia nula cuando se pone en contacto con la superficie frontal.

En el siguiente ejemplo se aclara el uso de las fórmulas de las lentes gruesas aplicadas a dos superficies:

SEC. 5-6] FORMULAS GENERALES DE LAS LENTES GRUESAS 73

EJEMPLO 2.—Una lente tiene las siguientes características: rt — + 1,5 cm, rt = + 1,5 cm, d = 2,0 cm, n = 1,00 cm, n' = 1,60 y n" = 1,30. Hállense: a) las distancias focales objeto e imagen de las dos superficies separadas; b) las distancias focales objeto e imagen del sistema, y c) los puntos principales objeto e imagen.

Solución. Para aplicar las fórmulas de Gauss calcularemos primero las distancias focales individuales de las superficies por medio de la ecuación [5-6].

n h"

n T¡

n' — n _ 1,60 —1,00 r\ ~ " L~5

= 0,400

1,30 — 1,60 1,5

= —0,200

h

fi

fi-

fi

1,00 _ 0A0 ~ 1,60 _ 0AÓ ~ 1,60

—0.20 1,30

+ 2,50 cm

. + 4,00 cm

= — 8,00 cm

= — 6,50 cm

Sol. a)

—0,20

Las distancias focales del sistema se calculan mediante la ecuación [5-7].

1,30 2,00 1,30 n n n" d n 1,60 T~ Ti ñ~TT¡ =4T00 + =6T50' 4,00 —6,50

= 0,40 — 0,20 + 0,10 = 0,30

/ = olo = + 3 , 3 3 3 c m

1,30 = +4,333 cm

0,30 0,30

Los focos del sistema se obtienen a partir de las ecuaciones [5-8] y [5-10].

2,0 — —4,166 cm

^ — ' ( ' - 5 ) - - H ' - ^ ) ^ " = + / " ( l - | ) = +4,33(l — = +2,167

Sol. b)

Los puntos principales vienen dados por las ecuaciones [5-9] y [5-11].

2,0 = — 0,833 cm

•2,167 cm Sol. c)

Los signos positivos corresponden a aquellas distancias medidas a la derecha del vértice de referencia, y los negativos, a las que se miden a la izquierda. Restando los valores de los dos intervalos A-¡F y AXH se obtiene la distancia focal objeto, 'FH = 4,166— 0,833 = 3,333 cm, lo que confirma los cálculos hechos en la parte 6). Análogamente, sumando los intervalos A2F" y A2H" se encuentra la distancia focal imagen:

H"F" = 2,167 + 2,167 = 4,334 cm

E n la figura 5-8 se resuelve gráficamente el mismo problema. Después de dibujar el eje y localizar los vértices Ax y A2 y los cen-

74 LENTES GRUESAS [CAP. 5

tros Cj y C 2 , se fijan los focos Fv F'v F% y F ¡ de acuerdo con los resultados de la parte a). E l rayo paralelo (1) se refracta en la primera superficie hacia F'v Aplicando el método del rayo oblicuo al rayo (2), en la segunda superficie se obtiene el rayo final (3). E l punto en que (3) corta al eje nos da el foco imagen

1 i 1 ' I I I r-—d—H I

i - — / — A k- r——h FIG. 5-8.—Método gráfico para situar los focos y puntos principales de una lente

gruesa. (a) (M

FIG. 5-9.—Lentes gruesas especiales: (a) Lente positiva de radios de curvatura iguales. (6) Lente negativa de superficies concéntricas.

F", y el punto en que su prolongación hacia atrás corta a (1) nos da el plano principal imagen H". E l rayo (4) se traza de derecha a izquierda y paralelo al eje. L a primera refracción da el rayo (5), hacia arriba y hacia la izquierda, como si procediese de F\, Apl i cando el método del rayo oblicuo a (5) en la superficie de la izquierda se obtiene (6). E l punto donde (6) corta al eje determina el foco objeto F, y su intersección con la prolongación de (4) sitúa el plano principal objeto H. Por tanto, las partes b) y c) del problema se han resuelto gráficamente y coinciden con los valores calculados.

SEC. 5-8] PUNTOS NODALES Y CENTRO OPTICO 75

5-7. Lentes gruesas especiales.—Vamos a considerar dos lentes especiales de cierto interés, tanto teórico como práctico. La primera (véase Fig. 5-9) es una lente con dos superficies esféricas de radios iguales, rí = rz.

Una lente de este tipo, rodeada de un medio de índice inferior, rí > n, tiene una potencia ! pequeña pero positiva. Sus planos principales están a la derecha de la lente y su separación HH" es igual al espesor, d, de la lente. Si el medio circundante tiene un índice mayor, rí < n, como en el caso de una lámina de aire entre las superficies de dos lentes de igual índice, la potencia es también positiva, pero los planos principales están a la izquierda de la lente separados una distancia d.

El segundo tipo especial ¡es el de una lente concéntrica cuyas dos superficies tienen el mismo centro de curvatura. Cuando una lente de este tipo está rodeada de un medio de índice inferior, rí >• n, el sistema tiene una potencia negativa con una gran distancia focal, y sus puntos principales coinciden con el centro común de curvatura. En otras palabras, actúa como una lente delgada situada en C XC 2 . ¡

5-8. Puntos nodales y centro óptico—De todos los rayos que atraviesan una lente procedentes de un punto objeto situado íuera del eje habrá siempre uno cuya dirección en el espacio imagen sea la misma que en el espacio objeto, es decir, las porciones de rayo anterior y posterior a la lente son paralelas. Los puntos en que estas porciones prolongadas cortan al eje se llaman puntos nodales, y los planos transversales que por ellos pasan, planos nodales. En la figura 5-10 se ve este tercer par de puntos y sus planos asociados junto con el centro óptico de la lente, C. Se" demuestra*fácilmente que si el medio circundante es el mismo a ambos lados, los puntos nodales N y N" coinciden con los principales H y H", pero que no ocurre así si los dos medios tienen índices diferentes. Como el rayo incidente y el emergente forman ángulos iguales con el eje, los puntos nodales se llaman puntos conjugados de aumento angular unidad y positivo.

Si el rayo ha de salir paralelo a su dirección inicial, los dos elementos de superficie, en que incide y abandona la lente, deben ser paralelos, de tal modo que el efecto es análogo al de una lámina planoparaléla. Una recta que pase por estos dos puntos corta

•"al eje en un punto C, que es el centro óptico. Por tanto, en todos

FIG. 5-10.—Puntos y planos nodales de una lente gruesa.

76 L E N T E S G E Ü E S A S [CAP. 5

los casos el rayo no desviado pasará por el centro óptico. Este punto tiene la interesante propiedad de que por no depender su posición más que de los radios de curvatura y del espesor de la dente, no variará con el color de la luz. Los seis puntos fundamentales (Sec. 5-9) tendrán en general una posición ligeramente diferente para cada color.

n'

FIG. 5-11.—Método del rayo paralelo para localizar gráficamente los puntos y planos nodales de una lente gruesa. ¡

L a figura 5-11 ayudará a aclarar el distinto significado de los puntos nodales y principales. Se ha dibujado para el caso n"' 5¿n, por lo que las dos series de puntos están separadas. E l rayo 11, que pasa por el punto nodal imagen, es paralelo al 10, que pasa por el punto nodal objeto, N. Por otra parte, ambas porciones del rayo cortan a los planos principales a la misma distancia por encima de los puntos H y H". |En el pequeño paralélogramo del centro del diagrama se observa que la distancia entre los planos nodales es exactamente la misma que entre los planos principales. E n general, por tanto, :

NN" = HH" [5-15] !

Además, en este caso, en que difieren los valores inicial y final del índice de refracción, las distancias focales, medidas a partir de los puntos principales, no son ya iguales. L a distancia focal objeto FH es igual a la distancia N"F", mientras que la distancia focal imagen H"F" es igual a FN: \

f = FH — N"F" y f" — H"F" = FN [5-16]

Pueden determinarse gráficamente los puntos nodales midiendo la distancia ZQ — HH" = Z'Q" y trazando sendas rectas por QZ' y ZQ". Por consideraciones geométricas sobre el diagrama se ve que el aumento lateral y'/y viene dado por

I

SEC. 5-10] COMBINACION D E LENTES DELGADAS 77

y" s" — HN m = ~ = [5-17] y s + HN

donde HN — f -—^— [5-18]

Cuando las distancias objeto e imagen s y s" se miden, como de ordinario, a partir de los correspondientes puntos principales H y H", la ecuación [5-3] es válida para rayos paraxiales.

L a distancia entre el primer vértice y el punto nodal objeto viene dada por

+ [ 5 " 1 9 ]

EJEMPLO 3.—Hállense los puntos nodales de la lente gruesa del ejemplo 2. Solución. Para localizar el punto nodal objeto N usaremos la ecuación [5-18],

en la que se sustituyen los datos: n — 1,00, n" = 1,30 y el valor ya calculado /" = + 4,333 cm,

HN~ 4,333 ( 1 - 3 ° l 7 o1 - ° Q ) , + 1,00 cm

Es decir, los puntos nodales N y N" se encuentran 1,00 cm a la derecha de sus respectivos puntos principales H y H".

5-9. Otros puntos fundamentales.—En los problemas de lentes gruesas es de gran utilidad el conocimiento de estos seis puntos: focos, puntos nodales y puntos principales. Hay otros puntos de menor importancia, pero de cierto interés a veces, que son (1) los -puntos principales negativos y (2) los puntos nodales negativos. Los puntos principales negativos son puntos conjugados para los que el aumento lateral es unitario y negativo. Los puntos nodales negativos están a la misma distancia de los focos que los puntos nodales ordinarios, pero en lados opuestos. Su posición es tal, que para ellos el aumento angular es unitario y negativo. Aunque el conocimiento • de estos nuevos puntos no es en general imprescindible, no obstante su empleo introduce notables simplificaciones en ciertos casos.

5-10. Combinación de lentes delgadas considerada como una lente gruesa.—Una combinación de dos o más lentes delgadas puede considerarse también como una lente gruesa. Esto se debe al hecho de que las propiedades ópticas de un conjunto de lentes coaxiales pueden estudiarse cómodamente en función de solo dos focos y dos puntos principales. Si los espacios objeto e imagen tienen el mismo índice de refracción (lo que ocurre casi siempre), los puntos y planos nodales coinciden con los puntos y planos principales.

78 LENTES GRUESAS [CAP. 5

En la figura 5-12 se ha representado una combinación de dos lentes delgadas de distancias focales 8 cm y 9 cm, respectivamente. Los focos, F y F", y los puntos principales, H y H", se han determinado gráficamente por el método del rayo oblicuo. Para ello se ha considerado la refracción en cada una de las lentes de modo análogo a la refracción en cada una de las superficies de la lente gruesa de la figura 5-7. Entre ambos diagramas existe

n

1 ^ t rí* \

18 ^ 1 I

rí* n"

eje { Fx

1 1 ~^^>

\

H"

r r i f 6 *~ Lx L¿

FIG. 5-12.—Focos y puntos principales de un sistema de dos lentes delgadas.

una gran semejanza; es decir, en una lente delgada se supone que la refracción ocurre en un plano, lo mismo que en una sola superficie. Esta hipótesis solo está justificada cuando la separación de los planos principales de la lente sea despreciable. L a definición de lente delgada es precisamente el enunciado de este hecho: una lente delgada es aquella en la que los planos principales y el centro óptico coinciden en el centro de la lente. Las posiciones de los centros de las dos lentes de este ejemplo se han designado en la figura 5-12 por Ax y A2.

SEC. 5-10] COMBINACION DE LENTES DELGADAS 79

La'figura 5-13 muestra una combinación de una lente delgada positiva y otra negativa. No se han trazado las líneas auxiliares de la construcción por ser esta igual a la empleada en la figura 5-12. Obsérvese que los puntos principales finales H y H" caen fuerá ;

del espacio comprendido entre las dos lentes, pero que las distancias focales / y /", medidas desde estos puntos, son iguales como dé ordinario. E l rayo inferior, aunque se representa propagándose de izquierda a derecha, se ha trazado de derecha a izquierda.

L a posición de los puntos fundamentales de una combinación de dos lentes delgadas en el aire se calcula a partir de las fórmulas de las lentes gruesas (Sec. 5-6). Como se utilizan para lentes delgadas en vez de para superficies individuales, Aj^ y Az representarán los centros de las lentes, mientras que fv /2 y Pv P 2 serán sus distancias focales y sus potencias, respectivamente. Estas últimas vienen dadas por

n, — n rí — n, t¡ Fi = —7~~ ~i Z'

ti = 7 [5-20]

donde r1 y r\ son -los radios de la primera lente, de índice de refracción nv y r¡¡, r\ los radios de la segunda lente, de índice « 2 . E l medio circundante tiene los índices n, rí y n" (véase Fig. 5-12). Las otras fórmulas [5-7], [5-8], [5-9], [5-10] y [5-11] permanecen inalteradas.

Para aclarar el uso de estas fórmulas consideraremos una combinación de dos lentes, análoga a la de la figura 5-13:

EJEMPLO 4.—Una lente equiconvexa de radios iguales a 4 cm e Índice nj = 1,50 se halla situada 2 cm delante de otra equicóncava cuyos radios miden 6 cm, y «¡¡ = 1,60. Las lentes se consideran delgadas. Los medios circundantes tienen los siguientes índices: n — 1,00, n' = 1,33 y n" — 1,00. Hállense: a) la potencia; 6) las distancias focales; c) los focos, y d) los puntos principales del sistema.

Solución. Utilizaremos las fórmulas de la potencia. Por las ecuaciones [5-20], las potencias de ambas lentes en sus medios respectivos son:

1,50 — 1,00 , 1,33 —1 1,50 —0,04

1,00 — 1,60 0~06

0,04 1,60 — 1,33

—0,06

+ +

«= 12,50 + 4,17 = 4-16,67 D

<= — 4,45 — 10,0 = — 14,45 D

De^a ecuación [5-7] se obtiene:

P = 16,67 —14,45 + 0,015 X 16,67 x 14,45 o P = + 5,84 D Sol. a) De la [5-12] resulta:

n 1,00 ' = F = 5 84 0 , 1 7 1 m ** 1 7 , 1 c m

n ~P

1,00 5,84 = 0,171 m = 17,1 cm

Sol. b)

80 LENTES GKUESAS [CAP. 5

— 0,043 ra

— 0,037 ra

+ 0,128 m

— 0,208 m

— 3,7 cm

+ 12,8 cm Sol. c)

4,3 cm

20,8 cm

Sol. d)

Como comprobación de estos resultados se obtiene que la diferencia entre los dos primeros intervalos AtF y A-¡H da la distancia focal objeto FH — 17,1 cm. Análogamente, la suma de los dos segundos intervalos A2F" y A2H" da la distancia focal imagen, H"F" = 17,1 cm.

5-11. Combinaciones de lentes gruesas.—El problema de calcular la posición de los puntos fundamentales de una lente gruesa formada por la combinación de varias lentes de espeson apreciable es de considerable dificultad, pero puede resolverse con ayuda de los principios ya establecidos. Si en una combinación de dos lentes, tal como la de la figura 5-12, estas no pueden considerarse como delgadas, cada una vendrá representada por un par de planos principales. Por tanto, hay dos pares de puntos principales, H1 y H[ para la primera lente y H'v H"2 para la segunda, y el problema está en hallar, a partir de estos, un par único H y H" para el conjunto, así como determinar los focos. Mediante una construcción análoga a la de la figura 5-7, aplicada a cada lente separadamente, es factible localizar los focos y puntos principales de cada una. Entonces puede ya aplicarse la construcción de la figura 5-12 teniendo en cuenta que entre los planos principales el aumento es unitario.

Cabe resolver también el problema analíticamente, pero debido a su complejidad no se darán aquí las fórmulas1. E n su lugar se describirá un método experimental para determinar los puntos fundamentales de una lente gruesa. ¡ j

5-12. Platina nodal.—Los puntos nodales de una lente única o de una combinación de lentes se localizan experimentalmente montando el sistema sobre una platina nodal. Esta consiste simplemente en un soporte horizontal que permite girar la lente alrededor de un punto cualquiera de su eje. Como muestra la f i gura 5-14, la luz procedente de un manantial S se hace pasar por una rendija Q, ajustada de tal manera que esté situada en el foco imagen de la lente. La luz emerge de la lente paralelamente y se refleja en un espejo plano M, pasando de nuevo por

1 Véase, p. ej., G. S. MONK: Light, Principies and Experíments, 1.» ed., McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, 1937.

S E C . 5-12] PLATINA NODAL 81

M

FIG. 5-14.—Utilización de la platina nodal para situar los puntos nodales.

la lente y convergiendo hacia un punto Q". Esta imagen de la rendija se forma muy cerca de ella, sobre la superficie blanqueada de uno de sus bordes. Entonces se hace girar la platina en uno y otro sentido al mismo tiempo que se desplaza ligeramente la lente hasta el momento en que la rotación no produce desplazamiento alguno de la imagen Q". E n estas condiciones, el eje de rotación nos localiza uno de los puntos nodales N". Girando ahora la platina 180°, y repitiendo el jproceso anterior, se halla el otro punto nodal N. Si esta experiencia se verifica en el aire determinaremos además los puntos principales, siendo la distancia N"Q" una medida precisa de la distancia focal.

FIG. 5-15.—Girando una lente alrededor de su punto nodal imagen se desplazan los rayos refractados, pero no la imagen.

E l principio en que se basa este método de rotación alrededor de un punto nodal se ilustra en la figura 5-15. E n el primer diagrama el rayo 4, que coincide con el eje, pasa por los puntos N y N" hacia el foco Q". E n el segundo diagrama se ha girado la lente alrededor de N", con lo que el mismo haz de rayos sigue pasando por Q". E l rayo 3 está ahora dirigido hacia y el 4 hacia N". Cuando se prolongan

J E N K I N S - W H I T E . — 6

82 LENTES GRUESAS [CAP. 5

pefía/ía \fotognífíca

desde el plano N al N", los rayos siguen pasando por Q" aun cuando F" se ha desplazado hacia un lado. Nótese que el rayo 3 incide en N en la misma dirección en que abandona N'r, según Ja definición de puntos nodales.

Si una lente fotográfica se gira alrededor de su punto nodal imagen y se dispone de una larga película fotográfica curvada de radio se podrá obtener una imagen continua que abarque un amplio campo. Tal instrumento, represen-

FIG. 5-16.—En la cámara panorámica tado esquemáticamente en la la lente gira alrededor de un punto figura 5-16, se Conoce Como

n o d a l - cámara fotográfica panorámica. E l obturador consiste de ordinario en una rendija vertical situada justamente frente a la película que se mueve al girar la lente, de tal modo que queda siempre centrada sobre el eje de la misma.

5-1. Los radios de una lente equiconvexa de índice 1,80 miden 4 cm, y su espesor, 3,6 cm. Calcúlense: a) la distancia focal; b) la potencia, y c) las distancias de los vértices a los correspondientes focos y puntos principales.

5-2. Resuélvase gráficamente el problema anterior situando los focos y puntos principales.

Sol.: AXF = — 1,87 cm. AXH = 4- 1,25 cm. A2F" = 4- 1,87 cm.

5-3. Una lente planoconvexa de 3,2 cm de espesor tiene un índice de 1,60. Si el radio de la segunda superficie mide 3,2 cm, hállense: a) la distancia focal de la lente; b) su potencia, ye) las distancias de los vértices a los correspondientes focos y puntos principales.

5-4. Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los focos y puntos principales.

Sol.: AXF = — 3,33 cm. AXH = 4- 2,00 cm. A2F" = 4- 5,33 cm. A2H" = 0.

5-5. E l espesor de una lente de vidrio de radios rx = 4- 3,0 cm y r2 = 4- 5,0 cm e índice 1,50 es 3,0 cm. Calcúlense: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias desde los vértices a los correspondientes focos y puntos principales.

5-6. Resuélvase gráficamente el problema anterior determinando los focos y puntos principales.

Sol.: AXF = — 12,0 cm. AXH = — 2,0 cm. A2F" = 4- 6,66 cm.

P R O B L E M A S

A2H" = 1,25 cm.

A2H" = — 3,33 cm.

PROBLEMAS 83

5-7. Los radios de una lente de vidrio de índice 1,50 y espesor 3,0 cm miden r x = +5,0 cm y r 2 = +2,5 cm. Calcúlense: a) la distancia focal;; b) la potencia, y c) las distancias desde los vértices a los correspondientes; focos y puntos principales. <

5-8. Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los; focos y puntos principales mediante el método indicado en la figura 5-8.

Sol.: AXF = + 23,33 cm. AJI = + 6,66 cm. A2F" = — 13,33 cm. A2H" = + 3,33 cm.

5-9. Una lente gruesa de radios rl = — 8,0 cm y r2 = — 4,0 cm tiene un espesor de 3,23 cm y un índice de 1,615. Calcúlense: a) su distancia focal; b) su potencia, ye) las distancias de los vértices a los correspondientes focos y puntos principales.

5-10. Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los focos y puntos principales por el método de la figura 5-8.

Sol.: AJF = — 6,93 cm. AJI = + 3,07 cm. A2F" = + 11,54 cm. j AJÍ" = + 1,54 cm.

5-11. Una lente gruesa se encuentra en el extremo de un tubo que contiene un aceite de índice de refracción 1,30. Los radios de la lente miden rx = + 4,2 cm y r2 — —2,0 cm; su espesor es de 5,1 cm y su índice de refracción 1,70. Si r2 está en contacto con el aceite, hállense: a) las distancias focales objeto e imagen; b) la potencia, y c) las distancias desde los vértices a líos correspondientes focos y puntos principales. w '

5-12. Resuélvase gráficamente el problema anterior determinando los focos y puntos principales mediante el método indicado en la figura 5-8.

Sol.: AXF = — r,50 cm. AJÍ = + 2,25 cm. A2F" = + 2,44 cm. ¡ AJI" = — 2,44 cm.

i i 5-13. Una lente de vidrio de espesor 3,0 cm tiene un índice de 1,50

y sus radios miden rx = + 5,0 cm y r2 = + 2,0 cm. E n el caso de que r 2 esté en contacto con un líquido de índice 1,40, hállense: a) las distancias focales objetq e imagen; b) la potencia, y c) las distancias desde los vértices a los correspondientes focos, puntos principales y puntos nodales.

5-14. 'Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los seis puntos fundamentales de la lente mediante los métodos de las figuras 5-8 y 5-11.

Sol.: AXF = — 18,33 cm. AJÍ = ^- 1,66 cm. AXN = + 5,0 cm, A2F" = + 18,66 cm1. AJI" = —4,66 cm. A2N" = + 2,0 cm.

5-15. Una lente de vidrio de radios rx = + 4,0 cm y r2 = + 4,0 cm tiene un índice de 1,50 y un espesor de 1,5 cm. E n contacto con r2 hay aceite de índice 1,30. Hállense: a) las distancias focales objeto e imagen; b) la potencia, y c) las distancias desde los vértices a los correspondientes focos y puntos principales y nodales.

5-16. Resuélvase el problema anterior determinando los seis puntos fundamentales de la lente mediante los métodos de las figuras 5-8 y 5-11.

Sol.: AXF = — 12,92 cm. AJI = — 0,61 cm. AXN = + 3,08 cm. AZF" = + 14,00 cm. AJI" = — 2,00 cm. A2N" = + 1,69 cm.

5-17. Una lente de 4,8 cm de espesor e índice 1,60 tiene radios que miden rx = + 6,0 c m y r , = + 5,0 cm. E n contacto con r, hay un líquido-de índice 1,2 y en contacto con r2 otro de índice 2,0. Hállense: a) las distancias focales objeto e imagen; b) la potencia, y c) las distancias de los. vértices a los focos y a los puntos principales y nodales.

34, LENTES GRUESAS [CAP. 5

' 5-18. Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los seis puntos fundamentales de la lente. Empléese el método indicado en las figuras 5-8 y 5-11.

Sol: A-iF = —6,98 cm. AJI = 4- 2,20 cm. AJI = + 8,32 cm. AJF" = 4- 12,24 cm. AJI" = — 3,06 cm. A2N" = 4- 3,06 cm.

5-19. Dos lentes delgadas iguales de distancia focal 4- 10,0 cm se encuentran en el aire separadas una distancia de 4,0 cm. Hállense para la combinación de ambas: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias desde los centros de las lentes a los focos y puntos principales.

5-20. Resuélvase gráficamente el problema anterior situando los focos y puntos principales mediante el método de la figura 5-12.

Sol: AJF = — 3,75 cm. AXB = 4- 2,50 cm. A2F" = + 3,75 cm. AJI" = — 2,50 cm.

5-21. Dos lentes delgadas de distancias focales fx = 4- 10,0 cm y f2 — — 10,0 cm distan 5,0 cm en el aire. Hállense para la combinación de ambas: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias de los centros de las lentes a los focos y puntos principales.

5-22. Resuélvase gráficamente el problema anterior situando los focos y puntos principales mediante el método de la figura 5-13.

Sol.: AXF = — 30,0 cm. AJÍ = — 10,0 cm. A2F" = 4- 10,0 cm. AJÍ" = — 10,0 cm.

5-23. Dos lentes delgadas de distancias focales ft = — 10,0 cm y f2 — 4- 10,0 cm se encuentran en el aire separadas una distancia de 5,0 cm. Hállense para la combinación de ambas lentes: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias desde los centros de las lentes a los focos y puntos principales.

5-24. Resuélvase gráficamente el problema anterior determinando los focos y puntos principales mediante el método de la figura 5-13.

Sol: AJ? = — 10,0 cm. AJI = 4- 10,0 cm. A2F" = 4- 30,0 cm. Ají" = 4- 10,0 cm.

5-25. Dos lentes delgadas de distancias focales fx = — 10,0 cm. y /2 = — 20,0 cm se encuentran en el aire espaciadas 5,0 cm. Hállense para la combinación de ambas: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias desde sus centros a los focos y puntos principales.

5-26. Resuélvase gráficamente el problema anterior localizando los focos y puntos principales por el método de la figura 5-12.

Sol: AJ? = + 7,14 cm. AJÍ = 4- 1,43 cm. A2F" = —8,57 cm. ; AJI" = — 2,86 cm.

5-27. Utilizando como guía la figura 5-7, dibújese un diagrama para determinar el foco imagen. Mediante la consideración de triángulos semejantes, dedúzcase la ecuación 5-10. j

5-28. Sirviéndose de la figura 5-7, construyase un diagrama para situar el foco objeto. Comparando triángulos semejantes, dedúzcasela ecuación 5-8. j

5-29. Una lente de radios de curvatura iguales, rt = r2 = 4- 5,0 cm, tiene un espesor de 3,0 cm y un índice de 1,50. Si la lente está rodeada de aire, hállense: a) la potencia; b) la distancia focal, ye) los focos y puntos principales. '• I

5-30. Una lente concéntrica de radios — 5 cm y — 8 Cm, respectivamente, tiene un índice de 1,50. Si está rodeada de aire, hállense: a¡ su potencia; b) su distancia focal, ye) sus focos y puntos principales.

Sol: a) — 2,5 D. b) •— 40 cm. c) AXF = 4- 35,0 cm, AJI = — 5,0 cm, A2F" = — 48,0 cm, AJI" = — 8,0 cm.

CAPITULO VI

ESPEJOS ESFERICOS

Una superficie esférica reflectante forma imágenes de un modo análogo a las lentes delgadas o a las superficies esféricas re-fringentes. L a imagen formada por los espejos es de más calidad en ciertos aspectos que la producida por las lentes, sobre todo por la ausencia de efectos cromáticos que siempre acompañan a la refracción a causa de la dispersión. Ello hace que se utilicen espejos en vez de lentes en algunos instrumentos ópticos, aunque sus aplicaciones no son tan amplias como las de estas por no ofrecer la misma facilidad para corregir el resto de las aberraciones de la imagen (Cap. IX) .

FIG. 6-1.—Los focos objeto e imagen de un espejo esférico coinciden.

Debido a la mayor sencillez de la ley de la reflexión comparada con la de la refracción, el estudio de la formación de imágenes por los espejos es más fácil que en el caso de las lentes. Hay muchas características comunes a ambos casos, a las que prestaremos poca atención, destacando aquellas en que difieren. Para empezar nos limitaremos a considerar las imágenes formadas por rayos paraxiales.

6-1. Focos y distancias focales.—La figura 6-1 muestra diagramas de la reflexión de un haz luminoso paralelo por un espejo cóncavo y por otro convexo. U n rayo que incide en un punto-tal como el T obedece a la ley de la reflexión <f>" = <f>. E n la figura todos los rayos pa?an por un punto común F, aunque esto

85

86 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

solo se cumple rigurosamente para rayos paraxiales. A l punto F se le denomina foco y a la distancia FA distancia focal. E n el segundo diagrama los rayos divergen como si procediesen de un punto común F. Puesto que TCA = <f>, el triángulo TCF es isósceles y, en general, CF — FT. Pero para ángulos <f> muy pequeños (rayos paraxiales), FT es casi igual a FA. Por tanto,

(FA) = \{CA) o sea / = —\r [6-1] y la distancia focal es igual a la mitad del radio de curvatura (Véase Ec. [6-4]).

Se ha introducido el signo negativo en la ecuación [6-1] de modo que la distancia focal de un espejo cóncavo, el cual se comporta como una lente positiva, sea también positiva. De acuerdo con el convenio de signos de la sección 3-5, el radio de curvatura

es negativo en este caso. L a distancia focal de un espejo convexo, que tiene radio positivo, será, por tanto, negativa. Este convenio de signos es consecuente con el utilizado en las lentes; da propiedades convergentes a un espejo de / positiva y propiedades divergentes a un espejo de / ne-

„ c „ T . , . .. , gativa. En la figura 6-1 se ve F I G . 6-2.—Los rayos paralelos inclinados ° . 9 . . , convergen hacia un punto del plano focal <lue> P o r e l principio de re

al reflejarse en un espejo esférico. versibilidad, Coinciden los ÍO-cos objeto e imagen de un

espejo. E n otras palabras, no hay más que un foco. Como anteriormente, un plano transversal que pase por el foco

se llama plano focal. Sus propiedades, como se ve en la figura 6-2, son similares a las del plano focal de una lente; p. ej., un haz de rayos paralelos que forme un cierto ángulo con el eje convergerá en un punto de este plano. L a imagen Q1 de un punto objeto ex-traaxial, alejado, se formará en la intersección con el plano focal de un rayo que pase por el centro de curvatura C.

6-2. Construcciones gráficas.—La figura 6-3, que ilustra la formación de una imagen real mediante un espejo cóncavo, no requiere explicación alguna. Aproximando el objeto MQ al centro C, la imagen se aproxima también a C, aumentando de tamaño hasta que alcanza C, donde su tamaño es igual al de lobjeto. Apl i cando el principio de reversibilidad puede deducirse lo que ocurre cuando el objeto está entre C y F. Si el objeto se halla entre el foco y el espejo, la imagen es virtual como en el caso de las lentes convergentes. En las construcciones gráficas se usan los mismos

SEC. 6-2] CONSTRUCCIONES GRAFICAS 87

U s> k : : s — ——• .

FIG. 6-3.—Imagen real dada por un espejo cóncavo.

principios que para las lentes, incluso el hecho de que los rayos par-axiales han de representarse como si se reflejasen en el plano tangente a la superficie en vez de en ella "misma.

Se puede realizar un experimento interesante utilizando un gran espejo cóncavo, tal como el de la figura 6-4, situado en la posición en que su aumento es unitario. Para ello se suspende invertido un ramo de flores dentro de una caja, iluminándolo mediante una lámpara apantallada S. Se sitúa entonces el gran espejo cóncavo con su centro de curvatura C en la superficie superior del soporte, y sobre este se coloca un florero vacío. E l ojo del observador, en E, ve entonces una réplica perfecta del ramo no como una simple imagen, sino en una fiel reproducción tridimensional, lo que crea una fuerte ilusión de realidad. Como se observa en el diagrama, los rayos divergen desde los puntos de la imagen como si procedieran de un objeto real colocado en esa posición.

FIG. 6-4.—Ilusión óptica producida por una imagen real de aumento unidad.

88 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

FIG. 6-5.-—Método del rayo paralelo para situar la imagen dada por un espejo cóncavo.

E n la figura 6-5 se ilustra la construcción por el método del rayo paralelo en el caso de un espejo cóncavo. Tres rayos procedentes del punto objeto Q, después de reflejarse, coinciden en el punto conjugado Q'. L a imagen es real, invertida y menor que el objeto. E l rayo 4, paralelo al eje, se refleja hacia F, por definición de foco. E l rayo 6 que pasa por F se refleja paralelamente al eje, y el 8, dirigido hacia el centro de curvatura, incide normalmente a la superficie y se refleja sobre sí mismo. E l punto en que se cortan dos cualesquiera de los rayos mencionados basta para determinar la posición de la imagen. ;

U n procedimiento similar se aplica al espejo convexo de la figura 6-6. Los rayos procedentes del punto objeto Q divergerán después de reflejarse desde el punto Q1, conjugado del anterior. E l rayo 4, paralelo al eje, se refleja como si procediera de F. E l 6,

FIG. 6-6.—Método del rayo paralelo aplicado a un espejo convexo.

S E C . 6-3] F O R M U L A S D E LOS E S P E J O S 89

por pasar por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo, mientras que el 7, dirigido hacia F, sale paralelo al eje. Puesto que los rayos no pasan en ningún caso por Q', la imagen Q'M' es virtual.

A los espejos puede aplicárseles también el método del rayo oblicuo, tal como muestra la figura 6-7 para un espejo cóncavo. Después de dibujar el eje 1 y el espejo 2, se sitúan los puntos

FIG. 6-7.—Método del rayo oblicuo aplicado a un espejo cóncavo.

C y F y se_ traza el rayo 3, que forma un ángulo arbitrario con el eje. Después se dibuja por F la recta de trazos 4, paralela a la 3. Por el punto 5, en que 4 corta al espejo, se traza una paralela 6 al eje, cuya intersección con el plano focal da P. Por T y P se traza la 7, que corta al eje en M'. Pof esta construcción M y M' son conjugados, y 3 y 7 son las partes del rayo que corresponden a los espacios objeto e imagen, respectivamente. E l principio en que se basa esta construcción es obvio por el hecho de que si 3 y 4 fuesen rayos paralelos incidentes pasarían por el punto P situado en el plano focal. Si en lugar de 4 se hubiese trazado otro rayo por C paralelo al 3, cortaría también al plano focal en P. Cualquier rayo que pase por el centro de la curvatura se reflejará sobre sí mismo.

6-3. Fórmulas de los espejos.—Con objeto de poder aplicar las fórmulas de las lentes de los capítulos anteriores a los espejos esféricos con el menor número de cambios posible, hemos de adoptar los siguientes convenios de signos:

1. Las distancias medidas de izquierda a derecha son positivas, y las medidas de derecha a izquierda, negativas.

2. Los rayos incidentes se desplazan de izquierda a derecha, y los reflejados, de derecha a izquierda.

90 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

3. La distancia focal se mide desde el foco al vértice. Esto hace a / positiva en los espejos cóncavos y negativa en los convexos.

4. El radio se mide desde el vértice al centro de curvatura. Esto hace a r negativo en los espejos cóncavos y positivo en los convexos.

5. Las distancias objeto e imagen, s y s', se miden desde el objeto e imagen, respectivamente, al vértice. Esto hace que s y s1 sean ambas positivas y el objeto e imagen reales cuando se encuentran a la izquierda del vértice, mientras que son negativas y virtuales cuando están a la derecha.

E l último de estos convenios de signos implica que, en los espejos, los espacios objeto e imagen coinciden totalmente, estando los rayos luminosos reales siempre a la izquierda del espejo. Dado que el índice de refracción del espacio imagen es el mismo que el del espacio objeto, la rí de las anteriores ecuaciones es numéricamente igual a n.

A continuación damos una deducción sencilla de la fórmula que expresa las relaciones conjugadas en un espejo. E n la figura 6-7 se observa que por la ley de la reflexión el radio CT es bisectriz del ángulo MTM'. Utilizando una propiedad geométrica bien conocida, podemos escribir:

MC _ CM' MT ~ Wf

Ahora bien: para rayos paraxiales, MT ^ MA = s y M'T === ^M'A = s1, donde el símbolo ==¡ significa «aproximadamente igual». Del diagrama se deduce también que.

MC = MA —CA = s + r y CM' = CA — M'A = — r — s' = — (s' + r)

Sustituyendo en la proporción anterior,

s + f s' + r

que puede ponerse fácilmente en la forma

1 1 2 — f ó r m u l a del espejo [6-2] s s r

Se define el foco objeto como el punto objeto situado en el eje cuya imagen se forma en el infinito, por lo que, sustituyendo 5 = / y s' = oo en la ecuación [6-2], tenemos

SEC. 6-3] F O R M U L A S D E LOS E S P E J O S 91

de donde -7 ~ ~ — f r

- + — = — -/ ! 00 r

y o bien / = — - [6-3]

Se define el foco imagen como la imagen de un punto objeto infinitamente alejado. Esto es, s' = /' y s = 00, de tal modo que

00 r / ' r 1 2 r

de donde T , = l o sea /' = — - . [6-4] I

Por tanto, los focos objeto e! imagen coinciden y la distancia focal es la mitad del radio. Reemplazando —-r/2 por 1//, la ecuación [6-2] se transforma en

justamente lo mismo que para las lentes. E l aumento lateral de la imagen formada por un espejo se

puede calcular a partir de la figura 6-3. Por la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes Q'AM' y QAM, hallamos que — y'/y = s'/s,

y' s' : m = y- = [6-6]

y s EJEMPLO.—Un objeto de 2 cm de altura está a 10 cm de un espejo cóncavo

de 16 cm de radio: Hállense: a) la distancia focal del espejo; b) la posición de la imgen, y c) el aumento lateral.

Solución, a) Por la ecuación [6-3]

—16 „ / = —- = 8 cm

b) De la ecuación [6-5]

1 0 + s' ~ 8 ° S 6 a s' 8 10 ~ 40 lo que da s' = 40 cm

c) Por la ecuación [6-6] 40

La imagen está 40 cm a la izquierda del espejo, es cuatro veces mayor que el objeto, real e invertida.

92 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

6-4. Potencia de un espejo.—La notación de potencias utilizada para las lentes se extiende inmediatamente a los espejos esféricos. Por definición, pondremos

S K =-• r

[6-7]

Las ecuaciones [6-2], [6-5], [6-3] y [6-6] toman entonces la forma . [6-8]

[6-9] [6-10]

V + V == —2K v + V' = P

P = —2K _V

V' y

m = — [6-11]

EJEMPLO.—Un objeto está situado 20 cm por delante de un espejo convexo de 50 cm de radio. Calcúlense: «) Ja potencia del espejo; b) la posición de Ja imagen, y c) su aumento.

Solución. Expresando todas las distancias en metros, tenemos:

K : 1 ojo + 2 D 1

O20 4-5 D

Por la ecuación [6-10],

De la ecuación [6-9], •2 K =

5 + V-- . L - _ I - v - g

Por la ecuación [6-11],

de donde,

- 4 D Sol. a)

- 4 o : V" = —9 D

—0,111 m = —11,1 cm Sol. 6)

m = — — = 4- 0,555 Sol. c)

La potencia es P = —4 D, y la imagen es virtual y derecha. Está 11,1 cm. a la derecha del espejo, y su aumento es de 0,555 X.

6-5. Espejos gruesos.—Se aplica este término a un sistema de lentes, una de cuyas superficies esféricas es reflectante. E n estas condiciones, la luz que incide en el sistema después de atra-

(a) (b)

FIG. 6-8.- -Diversos tipos de «espejos gruesos» y posición de sus focos.

S E C . 6-5] E S P E J O S GRUESOS 93

vesar las lentes se refleja, retrocediendo por el mismo camino y emergiendo finalmente en el espacio del que partió. E n la figura 6-8 se han representado tres de los tipos más comunes de sistemas ópticos que pueden clasificarse como espejos gruesos. E n todos ellos la superficie situada más a la derecha se ha dibujado con una línea más gruesa, y representa la superficie reflectante. Se ha trazado también en todos ellos un rayo paralelo al eje que después de atravesar el sistema pasa por el foco.

Aparte de un foco y un plano focal, todo espejo grueso tiene un punto principal y un plano principal. Las figuras 6-9 y 6-10

i 2

FIG. 6-9.—Método del rayo oblicuo para situar el punto principal y el foco de un espejo grueso.

\. 6-10.—Método del diagrama auxiliar para situar el punto principal y el foco de un espejo grueso.

94 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

muestran dos métodos gráficos para hallarlos. E l método del rayo oblicuo se aplica a la combinación de lente delgada y espejo de la figura 6-9, y el método del diagrama auxiliar, a una combinación de lente gruesa y espejo (Fig. 6-10).

E n el primer caso la lente se considera delgada, por lo que podemos suponer que sus puntos principales coinciden en su centro Hv U n rayo incidente, paralelo al eje, después de refractarse en la lente, se refleja en el espejo y vuelve a pasar de nuevo por la lente, al salir de la cual corta al eje en F. E l punto T, intersección de las prolongaciones de los rayos incidente y final, sitúa el plano principal, siendo H el punto principal. Ateniéndonos al convenio de signos de los espejos (Sec. 6-3), la distancia focal, /, de esta combinación es positiva y viene dada por la longitud FH.

E n el diagrama de la figura 6-10 el rayo incidente, refractado en la primera superficie, se refleja en la segunda y experimenta una última refracción en la primera cara, al salir de la cual pasa por el punto F. E l punto T de intersección de los rayos incidente y final localiza el plano principal y el punto principal H.

L a construcción, en este caso, se inicia trazando XZ paralela al eje (diagrama auxiliar de la Fig. 6-10). Con origen en O se trazan segmentos proporcionales a n y rí en ambas direcciones a lo largo de XZ, y después de las verticales que representan n y rí, el resto de las líneas siguiendo el orden de los números 1, 2, 3, .... Cada línea de número par es paralela a la impar precedente. L a prueba de que esta construcción es válida para rayos paraxiales es similar a la dada para la figura 3-9.

6-6. Fórmulas de los espejos gruesos.—Estas fórmulas se refieren al caso de la figura 6-8. Llamando rlt r2 y r3 a los radios respectivos de las tres superficies, numeradas sucesivamente de izquierda a derecha, puede demostrarse1 que la potencia de la combinación viene dada por

(véanse Ees. [4-16] y [6-4]), siendo rí el índice de la lente y n el del medio circundante. L a distancia desde la lente al punto principal de la combinación es

1 Véase una deducción de estas ecuaciones en J. P. C. SOUTHAIX: Mirrors, Prisms, and Lenses, 3.» ed., pág. 379, The Macmillan Co., Nueva York, 1936.

P = (1 - cPJ (2P1 + P 2 - cP^) donde, solo para el caso del diagrama (a) y rí' = n,

P2 = —2nK3

y ^ = 4 # 2 = 4 * 3 = 4

[6-12]

[6-13] [6-14]

SEC. 6-7] OTROS E S P E J O S GRUESOS 95

donde

M = ^ [6-15]

<=Z [6-16]

Es importante observar que, de H es independiente de la de su curvatura K„.

n según la ecuación [6-15], la posición potencia P 2 del espejo y, por tanto,

EJEMPLO.—Un espejo grueso como el de la figura 6-8 (a) se compone de una lente delgada de índice n' — 1,50 y radios rx = 4- 50 cm, rt = — 50 cm. A 10 cm hay un espejo de radio —50 cm. Suponiendo ambos en el aire, hállense: o) la potencia de la combinación; b) la distancia focal, y e) el punto principal.

Solución. Por la ecuación [6-13] la potencia de la lente es

P, = (1,50 — 1)'( — ]— 1 = 4-2 D 1 v ,\ 0,50 —0,50 /

Según la ecuación [6-14] la potencia del espejo es

^ = - f - z ¿ o = + 4 D

De la ecuación [6-16] V - d '•• 0,10

e = • -- = 0,10 m n | 1 Finalmente, la potencia de la combinación viene dada por la ecuación [6-12]:

P = (i _ 0,10 x 2) (2 X 2 4- 4 — 0,10 x 2 X 4) = 0,8(4+4-0,8) = + 5,76 D

Para una potencia de 4- 5,76 D corresponde una distancia focal

' = Í = 5 76 = ° ' 1 7 3 m = 1 7 ' 3 C m

La posición del punto principal H se determina a partir de la ecuación [6-15]

' , HíH = ° ^ - = ^ = 0 , 1 2 Í m = 12,5cm ' 1 1 — 0,10 X 2 0,80

Está, por tanto, 12,5 cm a la derecha de la lente, o sea 2,5 cm detrás del espejo.

6-7. Otros espejos gruesos.—Como segundo ejemplo de espejo grueso consideremos una lente gruesa plateada por una de sus caras [Fig. 6-8, (&)]. Comparando este sistema con el del diagrama (a) vemos que se pueden aplicar las ecuaciones [6-12] a [6-16] si se definen adecuadamente las potencias Pj y P 2 . E n el diagrama (b), P, es la potencia dé la primera superficie, y P 2 la de la segunda, considerada como un espejo de radio r 2 situado en un medio de índice rí. E n otras palabras,

rí — n 2rí d P , - — y [6-17,

96 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

Con estas definiciones, la potencia del espejo grueso (b) viene dada por la ecuación [6-12] y el punto principal por la ecuación [6-15]. ;

E l tercer ejemplo de espejo grueso es el de una lente delgada plateada en su cara posterior [Fig., 6-8, (c)]. Se puede considerar este caso bien como uno particular de (a), en el que el espejo tiene el mismo radio que la cara posterior de Ja lente delgada y el espacio d se reduce a cero, o de (b) si el espesor de la lente se hace prácticamente nulo. E n ambos casos la; ecuación [6-12] se reduce a

P = 2Pl±P% [6-18] i :

y el punto principal H coincide con el Hí en el centro común de lente y espejo. Pl representa la potencia de la lente delgada en el aire y Pz la potencia del espejo en el aire, o bien Px es la potencia de la primera superficie de radio rx y P2 la potencia de la segunda superficie, considerada como un espejo de radío r 2 situado en un medio de índice rí (véase Ec. [6-17]).

6-8. Aberración de esfericidad.-—En las secciones precedentes nos hemos limitado a considerar los espejos esféricos en el caso de ser los rayos paraxiales. Con esta pequeña limitación se pueden formar imágenes nítidas de objetos situados a distancias cualesquiera, puesto que los haces de rayos próximos al eje convergen en puntos del plano focal. No obstante, si la luz no se limita a la región paraxial, los rayos procedentes de un punto objeto no convergerán en un punto único, produciéndose un efecto deformador conocido por aberración de esfericidad. E n la figura 6-11 se ilustra este fenómeno: los rayos incidentes, paralelos al eje, cortan a este cada vez más cerca del espejo al aumentar su distancia h a dicho eje. La envolvente de todos los rayos forma la llamada superficie cáustica. Colocando una pantallita en el

FIG 6-13.—Aberración de esfericidad de un espejo cóncavo.

S E C . 6-8] ABERRACION DE ESFERICIDAD 97

plano focal paraxial F y moviéndola hacia el espejo, se llega a un punto en el que las dimensiones del circulo luminoso son mínimas. A esta mancha circular se le llama círculo de máxima nitidez.

La prueba de que los rayos paralelos no paraxiales cortan el eje de un espejo cóncavo dentro de la distancia focal paraxial se deduce fácilmente a partir de la figura 6-12. De acuerdo con la ley de la reflexión aplicada a un rayo que incide en T, el ángulo de reflexión j>" es igual al de incidencia <f>. Este, a su vez, es igual al TCA. A l tener dos ángulos iguales, el triángulo CTX es isósceles y, por tanto, CX = = XT. Puesto que la recta es la trayectoria más corta entre dos puntos,

CT < CX + XT FIG. 6-12.—Los rayos marginales paralelos al eje de un espejo esférico cortan a

dicho eje dentro de la distancia focal.

Ahora bien: CT es el radio del espejo, igual a CA; así,

CA < 2CX y, por tanto, \CA < CX

E n la figura se ve que si movemos T hacia A, X se aproximará a F, y en el límite CX = XA = FA = \CA. .

E n los últimos años se han ideado muchos métodos para corregir la aberración de esfericidad. Si fen vez de ser esférico, el

espejo pargbó/ico espejo de Mengin

(a) (6) FIG. 6-13.—Espejos'cóncavos corregidos de^abcrración de esfericidad.

98 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

espejo tiene la forma de un paraboloide de revolución, los rayos paralelos al eje pasarán por un foco único, como en la figura. 6-13 (a). L a figura 10-17 muestra otro método que consiste en disponer una «lámina correctora» frente al espejo esférico, con lo que se desvían los rayos en proporción adecuada antes de la reflexión. Situando la lámina en el centro de curvatura del espejo se obtiene un dispositivo óptico llamado «sistema de Schmidt». Aún hay un tercer sistema, denominado «espejo de Mangin», que se ilustra en la figura 6-13 (b). En él se emplea un menisco con ambas superficies esféricas. Plateando la superficie posterior se forma un espejo cóncavo, que enfoca, de una manera muy aceptable, todos los rayos paralelos.

6-9. Astigmatismo.—Se produce este defecto cuando un punto objeto se encuentra a bastante distancia del eje. Los rayos incidentes, paralelos o no, forman un ángulo apreciable, 0, con el eje del espejo. E l resultado es que, en lugar de formarse un punto imagen, se originan dos imágenes rectilíneas mutuamente perpendiculares. Este defecto se conoce como astigmatismo y se ilustra en el diagrama en perspectiva de la figura 6-14. Los rayos incidentes son paralelos, mientras que los reflejados convergen hacia los dos segmentos rectilíneos S y T. Los rayos reflejados que se encuentran en el plano vertical o tangencial RASE se cruzan en T, mientras que los del plano horizontal o sagital JAKE lo hacen en S. Si situamos una pantalla en E y la movemos hacia

R

}K

E-

FIG. 6-14.—Imágenes astigmáticas de un objeto puntual infinitamente alejado y fuera del eje. Las rectas T y S son perpendiculares.

SEC. 6-9] ASTIGMATISMO 99

FIG. 6-15- -Superficies astigmáticas de un espejo cóncavo.

el espejo, al llegar a 5 la imagen será un segmento vertical, en L un disco circular y en T un segmento horizontal.

E l lugar de las posiciones de T y S, al variar los ángulos de incidencia, para puntos alejados de] eje, es un paraboloide y una superficie plana, respectivamente, como muestra la figura 6-15. A l disminuir la oblicuidad de los rayos y aproximarse al eje, las imágenes rectilíneas no solo reducen su tamaño, sino que se aproximan al plano focal par-axial. L a magnitud del astigmatismo para un pincel cualquiera de rayos viene dada por la distancia entre T y S, medida a lo largo del rayo principal.

Las siguientes ecuaciones dan las posiciones de ambas imágenes astigmáticas2: j

i

i + 4 =

s ss r

Tanto s como s' se miden a lo largo del rayo principal; <f> es el ángulo de oblicuidad de dicho rayo, yj, el radió de curvatura del espejo.

E l sistema óptico de Schmidt, que se estudiará después, y el. espejo de Mangin [Fig. 6-13, (&)] reducen a un mínimo el astigmatismo propi<$ de un espejo esférico. Aunque en estos dispositivos no .desaparecen las superficies focales T y»' S, no obstante, están muy próximas; y el lugar de su posición media es una superficie casi esférica (L en la Fig. 6-14). E l centro de esta superficie esférica coincide con el centro de curvatura del espejo, como se ve en la figura 10-17.

U n espejo parabólico, aunque carece casi de aberración de esfericidad aun para grandes aperturas, tiene diferencias 5 — T considerablemente grandes fuera del eje. Por esta razón, los espejos parabólicos se usan solo en los instrumentos que requieren poco campo, tales como telescopios y proyectores.

r eos <f> 2 eos <f>

8 Véase una deducción de estas ecuaciones en G. S. MONK: Light, Principies and Experiments, 1.» ed., págs. 52 y 424, McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, 1937.

100 ESPEJOS ESFERICOS [CAP. 6

í :

P R O B L E M A S

6-1. E l radio de un espejo esférico es — 30 cm. Un objeto de 4- 4 cm está a distancias del espejo de: a) 60 cm, b) 30 cm, c) 15 cm, y d) 10 cm. Hállese la distancia imagen para cada una de estas posiciones.

6-2. Resuélvase gráficamente el problema anterior mediante diagramas independientes para cada una de las partes.

Sol.: a) 20 cm; b) 30 cm; c) oo; d) —30 cm. 6-3. E l radio de un espejo esférico es — 20 cm. U n objeto de 2 cm

está frente al espejo a distancias: a) 30 cm, b) 20 cm, c) 12 cm, y d) 6 cm. Hállese la distancia imagen para cada una de estas distancias.

6-4. • Resuélvase el problema anterior haciendo un gráfico para cada parte. Sol.: a) -f- 15 cm; b) 4- 20 cm; c) 4- 60 cm; d) —15 cm.

6-5. E l radio de un espejo esférico es 4- 20 cm. Un objeto de 3 cm de altura está situado delante del espejo a una distancia de: a) 30 cm, b) 20 cm, c) 10 cm, y d) 5 cm. Hállese la distancia imagen para cada una de estas distancias objeto.

6-6. Resuélvase gráficamente el problema anterior mediante un dibujo independiente para cada parte.

Sol.: a) —7,5 cm; b) —6,66 cm; c) —5,0 cm; d) .— 3,33 cm. 6-7. E l radio de un espejo esférico es 4- 12 cm. Un objeto de 2 cm de

altura está situado frente al espejo a una distancia de: a) 15 cm, b) 10 cm, c) 6 cm, y d) 3 cm. Hállese la distancia imagen para cada una de estas distancias objeto.

6-8. Resuélvase gráficamente el problema anterior haciendo un esquema independiente para cada parte.

Sol.: a) —4,28 cm; b) —3,75 cm; c) — 3 cm; d) —2 cm. 6-9. Un espejo cóncavo forma la imagen de una flor en una pared

distante 120 cm de esta. Si se desea un aumento lateral de —16, ¿cuál deberá ser el radio de curvatura del espejo?

6-10. Una lente equiconvexa delgada de índice 1,6 y radios de 12 cm está plateada por una de sus caras. Hállese su potencia para la luz que penetra por la cara sin platear. i Sol.: 4- 36,66 D.

6-11. Una lente delgada de índice 1,6 tiene radios rt= 4-4 cm y r¡ = — 10 cm. Si la segunda cara está plateada, ¿cuál es la potencia del sistema ? i

I 6-12. Los radios de una lente delgada de índice 1,75 miden rt — — 5 cm

y r , = — 10 cm. Si la segunda superficie está plateada, ¿cuál es la potencia del sistema? Utilícense: a) las fórmulas del caso especial (Ees. [6-17] Y [6-18]) y b) las fórmulas de las lentes gruesas (Ees. [6-12], [6-13] y [6-14]), con d = 0. j " Sol.: 4- 5 D.

6-13. Una lente delgada de 4- 12 cm de distancia focal está situada 2 cm delante de un espejo esférico de —¡20 cm de radio. Hállense: a) la potencia; b) la distancia focal, ye) el punto principal y el foco.

6-14. Resuélvase gráficamente el problema anterior empleando el método de la figura 6-9.

Sol.: a) 4- 20,83 D; bj + 4,8 cm; c) HXH = 4- 2,4 cm; HrF .= — 2,4 cm.

PROBLEMAS 101

6-15. Una lente delgada de distancia focal — 14,5 cm está situada 3 cm delante de un espejo esférico de radio — 12,5 cm. Hállense: a) la potencia; b) la distancia focal; c) el punto principal,,y d) el foco.

6-16. Resuélvase gráficamente el problema anterior mediante el método de la figura 6-9.

Sol.: a) + 6,65 D; b) + 15 cm; c) HJI = -f 2,48 cm; d) HJ7 = — 12,52 cm.

6-17. Los radios de una lente gruesa de índice 1,60 miden rx = 4- 12 cm y *"t = — 32 cm. Si la segunda superficie está plateada y la lente tiene 3 cm de espesor, hállense: a) la potencia; b) la distancia focal; c) el punto principal, y d) el foco.

6-18. Resuélvase gráficamente el problema anterior siguiendo el método de la figura 6-10.

Sol.: a) + 17,2 D; b) + 5,80 cm; c) HJI = + 2,07 cm; d) HjF = — 3,73 cm.-

6-19. Los radios de una lente gruesa de índice 1,84 y espesor 3,68 cm miden rx = —• 6 cm y r2 = 12 cm, estando su segunda superficie plateada como un espejo. Hállense: a) la potencia; b) la distancia focal; c) el punto principal, y d) el foco.

6-20. Resuélvase gráficamente el problema anterior mediante el método de la figura 6-10.

Sol: a) + 14,4 D; b) + 6,9 cm; c) HJI = + 1,56 cm; d) HjF = — 5,38 cm.

6-21. La superficie curva de una lente planoconvexa tiene un radio de 12 cm. Su índice es 1,6 y su espesor 3,2 cm. Si la superficie curva está plateada, hállense: a) la potencia; b) la distancia focal; c) el punto principal, y d) el foco.

6-22. Resuélvase gráficamente el problema anterior siguiendo el método de la figura 6-10.

Sol: a) + 26,7 D; b) + 3,75 cm; c) Hfl = 2 cm; d/HjF = — 1,75 cm.

6-23. 'Si en lugar de la superficie curva se platea la superficie plana de la lente del problema 6-21, ¿cuáles son las soluciones de las partes a), bj.cjyd)}

6-24. Resuélvase gráficamente el problema anterior mediante el método' de la figura 6-10. ;

Sol.:a) 9B;b) + 11,1 cm; c) HJH = 2,22 cm; d) HJF = — 8,89 cm; 6-25. Un objeto está 15 cm por delante de un espejo de radio — 20 cm.

Represéntense las dos superficies astigmáticas desde $ = 0° a <f¡ = 30°. 6-26. Represéntense gráficamente las dos superficies astigmáticas de

un espejo esférico de — 16 cm de radio suponiendo que la luz incidente es paralela, y trácense las curvas entre el eje y 30°.

CAPITULO VII

EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS

Hay dos aspectos de la óptica geométrica a los que, a pesar de su innegable importancia práctica, no suele prestárseles gran atención por no afectar directamente a la posición, tamaño y nitidez de la imagen. Uno de ellos es el llamado campo visual, el cual determina qué superficie de un objeto extenso puede verse a través de un instrumento óptico. E l otro se refiere al brillo de la imagen, que no debe confundirse con la iluminación, por afectar aquel a los efectos visuales y esta a los fotográficos. Para estudiar tanto

diafragma de diafragma .apertvra decampo

> ^^^^^^

^ \ eje

> 1

~'j^^t

1

'í

Icampo

FIG. 7-1.—Diagrama que muestra la diferencia entre un diafragma de campo y un diafragma de apertura.

el campo visual como el brillo de la imagen es de fundamental importancia conocer dónde y cómo tiene lugar la limitación del haz luminoso que atraviesa el sistema. Por tanto, investigaremos en primer lugar el efecto de los obstáculos o diafragmas, que siempre existen, aunque no sean más que los bordes de las lentes y espejos.

7-1. Diafragma de campo y diafragma de apertura.—La figura 7-1 muestra una lente con dos diafragmas formando la imagen de un objeto alejado. Tres haces de rayos paralelos, procedentes de tres puntos diferentes del objeto, convergen en sendos

102

SEC. 7-2] PUPILAS DE ENTRADA Y DE SALIDA 103

puntos del plano focal. Se observa que el diafragma más próximo a la lente limita el tamaño de estos haces, mientras que el situado justamente delante del plano focal limita el ángulo de incidencia de los haces que pueden atravesar este plano. A l primero se le llama diafragma de apertura. Determina, evidentemente, la cantidad de luz que incide sobre un punto cualquiera y, por tanto, el brillo de la! imagen. E l segundo, o diafragma de campo, determina la extensión del objeto, o sea, el campo que quedara representado en la imagen.

7-2. Pupilas de entrada y de salida.—Sea un diafragma P'E'L' situado detrás de la lente, en el espacio imagen, y que limita,

; pupila de

pupila de mtrid3

•—• I—

eje _ _ _ _ _ Q' J— K— rayoprincipal

^ ^ ' É ' É F'

m •L'

- -TfL

Nf U' • diafragma i

imagen FIG. 7-2.—El diafragma de apertura y su imagen pueden ser pupilas de entrada y de salida, respectivamente, de un sistema.

por tanto, los rayos imagen (Fig. 7-2). Empleando las fórmulas de la lente, o mediante una construcción gráfica, se halla que su imagen como objeto real, formada por la lente, está en PEL. Puesto que P'E'L' está dentro de la distancia focal, su imagen PEL estará en el espacio objeto y será virtual y derecha. Se le denomina pupila de entrada, mientras que a la apertura real P'E'L' se le llama, como sabemos, diafragma de apertura. Cuando está en el espacio imagen, como ocurre en este caso, se convierte en la pupila de salida. (En la sección 4-11 puede verse un estudio de los espacios objeto e imagen.)

Debe destacarse el hecho de que P y P', E y E', y L y IJ son pares de puntos conjugados. Cualquier rayo del espacio objeto

104 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

dirigido hacia uno de estos puntos pasará, después ¡de la refracción, por su conjugado en eí espacio imagen. E l rayo IT dirigido hacia P se refracta hacia P', el KR dirigido hacia E se refracta hacia E' y el NU dirigido hacia L se refracta hacia L'. E l punto imagen Q' se determina gráficamente mediante la línea de trazos JQ', paralela a las otras, que pasa sin desviarse por el centro óptico A. E l diafragma de apertura P'E'L' en la posición indicada funciona también hasta cierto punto como diafragma de campo, pero los bordes del campo no están bien dehmitados. E l diafragma que actúa como diafragma de campo se hace coincidir normalmente con una imagen real o virtual, de modo que los bordes aparecerán nítidos. (

7-3. Rayo principal.—Cualquier rayo del espacio objeto que pasa por el centro de la pnpila de entrada se llama rayo principal. Después de refractarse, este rayo pasa también por el centro de la pupila de salida. E n cualquier instrumento óptico real, el rayo principal no suele pasar por el centro de ninguna lente. Los puntos E y E' en que el rayo principal corta al eje se denominan, respectivamente, centro de perspectiva del campo objeto y centro de perspectiva del campo imagen. E l primero, como veremos, es especialmente importante para la determinación del campo visual,

7-4. Diafragma frontal.—En ciertos tipos de objetivos fotográficos se coloca un diafragma próximo a la lente, bien delante de ella (diafragma frontal) o bien detrás (diafragma posterior).

pupila de

imagen

FIG. 7-3.—Un diafragma frontal y su imagen pueden convertirse en pupilas de entrada y de salida de un sistema.

S E C . 7-4] DIAFRAGMA FRONTAL 105

Una de sus funciones, como veremos en el capítulo I X , es la de mejorar la calidad de la imagen que ha de formarse en la placa fotográfica. Un diafragma frontal, como el de la figura 7-3, dado su pequeño tamaño y su posición, actúa como pupila de entrada. Su imagen P'E'L' formada por la lente está en el espacio imagen y constituye la pupila de salida. Se han trazado los rayos paralelos IT, JW y NU, que pasan por los bordes de la pupila de entrada y por su centro. La lente hace converger estos rayos hacia la pantalla como si procediesen directamente de los puntos conjugados P', E' y L' de la pupila de salida. Su intersección, que da la imagen Q', está en el punto en que el rayo no desviado KA corta al plano focal imagen. Obsérvese que el rayo principal está dirigido hacia el centro de la pupila de entrada en el espacio objeto y emerge de la lente como si procediese del centro de la pupila de salida en el espacio imagen.

Aunque cierto diafragma de un sistema óptico puede limitar los rayos que lo atraviesan procedentes de un punto objeto, no actuará en general como diafragma de apertura para otros puntos objeto a diferentes distancias a lo largo del eje. L a figura 7-4, p. ej., representa una lente con un diafragma frontal y un punto objeto M. Para este punto, el diafragma de apertura está constituido por la periferia de la lente y, puesto que limita los rayos objeto, es la pupila de entrada. Su imagen, que es de nuevo la periferia de la lente, actúa también como pupila de salida. Por tanto, el borde de la lente es a la vez diafragma de apertura, pupila de entrada y pupila de salida para el punto M. Si este punto objeto estuviera a la izquierda de Z, la pupila de entrada sería PEL, y su imagen, P'E'L', la pupila de salida.

E n el diseño previo de un instrumento óptico puede no conocerse el elemento del mismo que constituirá el diafragma de aper-

imagen

FIG. 7-4.—Las pupilas de entrada y de salida no son las mismas para todos los puntos objeto e imagen.

106 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

tura. Como consecuencia, deberán estudiarse uno tras otro cada uno de los elementos del sistema hasta averiguar cuál de ellos impone condiciones más restrictivas a los rayos. Independientemente del número de tales elementos, no hay por lo regular más que un diafragma de apertura. Una vez localizado este diafragma, la pupila de entrada del sistema completo es la imagen del diafragma de apertura formada por todas las lentes que le preceden, y la pupila de salida es la imagen formada por todas las lentes que le siguen. Las figuras 7-2 y 7-3, en las que no hay más que una lente, con un diafragma delante o detrás, deben estudiarse^ en relación con el enunciado que se acaba de dar.

7-5. Diafragma entre dos lentes.-—En las cámaras fotográficas es corriente encontrar un diafragma variable, o iris, situado entre dos lentes. E n la figura 7-5 se ha representado uno de

diafragma

FIG. 7-5.—Diafragma entre dos lentes. La pupila de entrada de un sistema está en su espacio objeto, y la de salida, en su espacio imagen.

estos dispositivos, siendo (1) y (2) lentes delgadas, y P0EQL0, el diafragma. Por definición, la pupila de entrada de este sistema es la imagen del diafragma, formada por (1). Esta imagen es virtual y derecha y está situada en PEL. Análogamente, la pupila de salida del sistema completo es la imagen del diafragma, formada por (2). Esta imagen, también virtual y derecha, está en P'E'L'. L a pupila de entrada PEL se encuentra en el espacio objeto de la lente (1); la de salida P'E'L' está en el espacio imagen de (2), y el diafragma P0EGL0 está a la vez en el espacio imagen de (1) y en el espacio objeto de (2). Los puntos P0 y P, E0 y E, y L0 y L son conjugados respecto de (1), mientras P0 y P', E0

SEC. 7-6] DOS L E N T E S SIN D I A F R A G M A S 107

y E', y L0 y L' lo son respecto de (2). Esto hace que puntos tales como P y P' sean conjugados respecto de todo el sistema. Dado un punto objeto M en el eje, los rayos MP y ML limitan el haz que atraviesa el sistema. Estos;rayos se refractan en la primera lente hacia P0 y L0, y en la segunda lente vuelven a refractarse como si proviniesen de P' y L'l Ahora aparece clara la razón de designar a las pupilas de entrada y salida por símbolos sin acentuar o acentuados, respectivamente, por estar una en el espacio objeto y la otra en el espacio imagen y ser imágenes conjugadas.

Se ha representado de nuevo en la figura 7-6 el mismo sistema para indicar la trayectoria de un rayo principal. De todos los rayos que parten de un punto objetO| Q y atraviesan todo el sistema,

pupila de salida I pupila de I entrada

Q i diafragma J

T I i " ¡

FIG. 7-6.—El rayo principal pasa por los centros de la pupila de entrada del diafragma y de la pupila de salida.

el rayo principal es el que incide en la lente hacia E, centro de perspectiva del campo objeto; se refracta hacia E0, y finalmente emerge hacia Q' como si viniera de E', centro de perspectiva del campo imagen. j .

7-6. Dos lentes sin diafragmas.—La teoría de los diafragmas se aplica no solo a sistemas en los cuales se han introducido diafragmas circulares, sino también a sistemas cualesquiera, ya que el propio borde de cualquier lente del sistema es un diafragma potencial. L a figura 7-7 muestra dos lentes (1) y (2) junto con sus imágenes mutuas como posibles diafragmas. Suponiendo que Px es un diafragma en el espacio objeto, su imagen P' formada por la lente (2) se encuentra en el espacio imagen final. Considerando a P 2 como un diafragma en el espacio imagen, su ima-

108 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

(1) (?) i 1

#•

. . . 1

1 •!

1 1 • • ^ •

¿q Fz ' É' 1

L' \

• I

í 1 L T • I

FIG. 7-7.—El borde de cualquier lente puede ser el diafragma de apertura del sistema. !

gen P formada por la lente (1) está en el espacio objeto inicial. Por tanto, existen dos pupilas de entrada posibles, P1 y P, en el espacio objeto de la combinación de ambas lentes, y dos pupilas de salida también posibles, P 2 y ¡ P', en el espacio imagen de dicha combinación. Para un punto'axial M, a la izquierda de Z, P± es la pupila de entrada del sistema. Su imagen P' sera la pupila de salida. Si M estuviera, por el contrario, a la derecha de Z, P sería la pupila de entrada y P 2 la de salida.

7-7. Determinación del diafragma de apertura.—En el sistema de dos lentes con un diafragma entre ellas, representado en las figuras 7-5 y 7-6, las lentes eran lo suficientemente grandes para no actuar como diafragmas de apertura. Sin embargo, si no son grandes comparadas con el diafragma, como ocurre en la cámara fotográfica cuando el iris está muy abierto, el sistema de diafragmas y pupilas será análogo al representado en la figura 7-8. Este sistema consta de dos lentes y de un diafragma, cada una de las cuales, junto con sus diversas imágenes, es un diafragma potencial de apertura. P\ es la imagen virtual de la primera lente formada por (2); P'0 es la imagen virtual del diafragma P formada por (2); P 0 la imagen! virtual de P formada por (1), y Pz la imagen virtual de la segunda lente formada por (1). E n otras palabras, mirando desde la izquierda del sistema, la primera lente, el diafragma y la segunda lente se ven en las posiciones aparentes Pv P0, P 2 . Miradas desde la derecha aparecen en P'v

SEC. 7-7] DETERMINACION D E L DIAFRAGMA D E APERTURA 109

P'0 y P'r De todos estos diafragmas, P 0 , Pr y P 2 son pupilas de entrada potenciales situadas en el espacio objeto del sistema.

Para todos los puntos objeto del eje situados a la izquierda de X, P j limita los haces incidentes al ángulo mínimo, por lo que constituye la pupila de entrada del sistema. E n general, el objeto del cual es la imagen será el diafragma de entrada; en este caso, la apertura Pt de la propia lente (1). L a imagen de la pupila de entrada formada por el sistema completo, esto es P'v es la pupila de salida. Para los puntos objeto situados entre X y Z, P0 es la

p; PXPP* P¡

4^- m x

tK

•

1 i J¿S-

T I I I I I (i) (o:

(2)

FIG. 7-8.—Un sistema formado por varios elementos tiene varios diafragmas y pupilas posibles.

pupila de entrada, P el diafragma de apertura y P'0 la pupila de salida. Finalmente, para los puntos situados a la derecha de Z, P 2 es la pupila de entrada, mientras P ¡ es la de salida y, a la vez, diafragma de apertura. Del estudio anterior se deduce sin dificultad que el diafragma de apertura de un sistema puede variar al cambiar la posición del objeto.. La regla general es que el diafragma de apertura de un sistema viene "determinado por aquel diafragma o imagen de diafragma que subtiende el ángulo mínimo cuando se mira desde el punto objeto. Si queda determinado por una imagen, el propio diafragma de apertura es el correspondiente objeto. E n la mayoría de los instrumentos ópticos el diafragma efectivo no varía dentro del intervalo de posiciones del objeto normalmente utilizadas por dicho instrumento.

Establecidos los métodos de determinar el diafragma de apertura y las pupilas de entrada y salida de un sistema, podemos

110 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

pasar a considerar las dos importantes propiedades, antes citadas, de los sistemas ópticos: campo visual y brillo. Empezaremos estudiando la primera de ellas.

• 7-8. Campo visual.—Cuando miramos un paisaje a través de una ventana, el campo visual viene limitado por el tamaño de la ventana y por la posición del observador. En la figura 7-9, E representa el ojo del observador, JK la abertura de la ventana y GR el campo observado. En este ejemplo sencillo la ventana es el diafragma de campo (Sec. 7-1). Acercando el ojo a la ventana aumenta el campo angular a, mientras que al alejarlo disminuye. Es práctica común especificar el campo visual de un instrumento óptico en función del ángulo a y expresarlo en grados. E l ángulo 6 que forman con el eje los rayos extremos que entran al sistema se llama semiángulo del campo objeto, y limita la anchura del

FIG. 7-9.—Campo visual a través de una ventana.

objeto que es posible ver. Este campo objeto cubre un ángulo 26, y en este ejemplo es igual al campo imagen, de anchura angular a.

7-9. Campo de un espejo plano.—El campo visual de un espejo es muy similar al de una simple ventana. Como muestra la figura 7-10, TU representa un espejo plano, y P'E'L', la pupila del ojo del observador, que en este caso es la pupila de salida. L a pupila de entrada PEL es la imagen virtual de la pupila del « ojo formada por el espejo, y es simétrica de P'E'L' respecto del plano del espejo. Los rayos principales E'T y E'U limitan el campo visual en el espacio imagen, mientras que los correspondientes rayos incidentes ER y ES definen el campo visual en el espacio objeto. Los últimos muestran los límites del campo en que puede situarse un objeto para poder ser visto por el ojo. E n este caso, aunque esto no es general, subtiende el mismo ángulo que el campo de la imagen.

Se ha representado también la formación de la imagen de un punto objeto Q situado dentro de este campo. De Q parten tres rayos dirigidos hacia P, E y L en la pupila de entrada. A continuación se trazan los rayos reflejados uniendo los puntos en

SEC. 7-10] CAMPO DE UN ESPEJO CONVEXO 111

que los incidentes cortan al espejo con los conjugados P', E' y L' en Ta pupila de salida.! E l objeto Q y la pupila de entrada PEL están en el espacio objeto, mientras que la imagen Q' y la pupila de salida P'E'L' se encuentran en el espacio imagen. Si Q estuviese cerca de RT, .solo, parte del haz de rayos, limitado por la pupila de entrada, sería interceptado por el espejo, y se reflejaría hacia la pupila de salida. Para definir el campo visual suele utilizarse el rayo principal RTE', aunque la diferencia no es importante en este caso dadas las pequeñas dimensiones de la pupila del ojo. E n el diagrama se ha exagerado, evidentemente, su tamaño. i

Dado que el rayo principal limitante está dirigido hacia el centro de perspectiva del campo objeto, E, el semiángulo de cam-

pupila c/e v'^Z-ÜX sa/ida b ^ 7

P pupila de entrada

FIG. 7-10.—Campo visual de un espejo plano.

po 6 viene determinado en general por el menor ángulo que subtiende desde E cualquier diafragma, o imagen de diafragma, situado en el espacio objeto. El diafragma así determinado es el diafragma de campo del sistema. E l diafragma de campo de un solo espejo lo constituye su bordé.

7-10. Campo de un espejo convexo.—Cuando el espejo tiene curvatura la situación varía poco, salvo que el campo del objeto y el de la imagen ya no subtienden el mismo ángulo (0 ^ 0' en la figura 7-11). E n esta figura, P'E'L' representa la pupila real de un ojo situado en el eje de un espejo convexo TU. De esta pupila de salida el espejo forma una imagen PEL, que constituye la pupila de entrada, y es ahora de tamaño menor. Siguiendo el mismo procedimiento que en el espejo plano, se trazan las rectas que limitan los campos objeto e imagen. Los rayos que parten de un

112 EFECTOS BE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

./ diafragma decampo

FIG. 7-11.—Campo visual de un espejo convexo.1

punto objeto Q hacia P, E y L en la pupila de entrada se reflejan hacia P', E' y L' en la pupila de salida. Las prolongaciones hacia atrás de estos rayos determinan la imagen virtual Q'. E l semiángulo de campo 0 es mayor que el 6', que determina el campo visual del ojo. Para un espejo cóncavo puede trazarse un diagrama análogo, aunque algo más complicado. Se propone al lector este caso como ejercicio dada su gran analogía con el de una lente convergente, que vamos a tratar a continuación.

7-11. Campo de una lente convergente.—La figura 7-12 representa el método para determinar los semiángulos de campo 0 y 6' de una lente convergente única. L a pupila del ojo, como pupila de salida, está a la derecha, y su imagen, real e invertida.

FIG. 7-12.—Campo visual de una lente convergente.

SEC.' 7-11] CAMPO D E UNA L E N T E CONVERGENTE 113

aparece a la izquierda. Los rayos principales que, pasando por E inciden en la periferia de la lente, se refractan hacia el punto conjugado E'.

Las áreas rayadas, en realidad conos, ETU y ERS señalan los límites dentro de los cuales ha de estar cualquier objeto para poder ser visto en el campo imagen. E l diafragma de campo es en este caso la propia lente, pues determina el semiángulo de campo subtendido desde el centro de perspectiva del campo objeto. Si

•el ojo, y por tanto la pupila de salida, se acerca a la lente, aumentando con ello el ángulo 6' del campo imagen, la pupila de entrada invertida se desplaza hacia la izquierda, ocasionando el alargamiento del cono ETU del campo objeto.

FIG. 7-13.—Formación de la imagen dentro del campo de una lente convergente.

En la figura 7-13 se ha representado de nuevo la misma lente, frente a la que se encuentra un objeto QM dentro de la distancia focai. A partir de Q se han trazado tres rayos incidentes que pasan por los puntos P, E y L. Después de refractarse se dirigen hacia los puntos P', E' y L' de la pupila de salida. Prolongados hacia atrás se cortan en el punto imagen virtual Q'. Mediante los métodos del rayo paralelo o del rayo oblicuo se puede confirmar la posición de la imagen. Obsérvese que si los objetos se acercan a E deberán ser muy pequeños;' en caso contrario solo serán parcialmente visibles para el ojo situado en E'. E l lector encontrará instructivo trazar rayos a través de la lente que procedan de puntos exteriores al campo objeto. Hallará que invariablemente no pasan por la pupila de salida.

Cuando una lente convergente se usa como lupa conviene acercar lo más posible el ojo a la lente, con lo que se aumenta el ángulo del campo imagen, así como el campo objeto, consiguiéndose así que la posición de este sea menos crítica. J E N K I N S - W H I T E . 1 — 8

114 EFECTOS D E LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

7-12. Brillo fotométrico e dP iluminación.—La cantidad de

¿A luz emitida por un punto Q dentro del ángulo sólido diferencial subtendido por el elemento de área dA, situado a la distancia r [Fig. 7-14, («)], es proporcional al ángulo sólido. Se llega a esto dividiendo por r2 la proyección de

FIG. 7-14.-Pincel elemental y haz ele- ¿ A s o b r e u n l a n o n o r m a l a

mental. , r , , . los rayos, con lo que el fluyo

luminoso en este pincel elemental será

dF = const. dA eos </> .[7-1]

Como el manantial no es nunca en la práctica tai punto matemático, hemos de considerar todos los pinceles emitidos desde un elemento de área dS, como se ve para tres de estos pinceles en la parte (b) de la figura 7-14. Suponiendo el manantial del tipo llamado «radiador de Lambert», el flujo será ahora proporcional también a la proyección de dS, de modo que

dF — const. dS dA eos 6 eos (/>

[7-2]

E l valor de la constante depende solo del manantial luminoso, y se llama su brillo fotométrico, B. Para distinguirlo de la sensación visual de brillo suele denominarse luminosidad en la literatura técnica, pero nosotros usaremos el término brillo, más común, bien entendido que nos referimos a la magnitud foto-métrica. Se define experimentalmente la unidad de B como un sesentavo del brillo de un cuerpo negro a la temperatura del platino fundente, y se llama bujía por centímetro cuadrado. Expresando B en esta unidad, el flujo será

dF — B dS dA eos 0 eos <f>

lúmenes. [7-3]

Esta es una magnitud que, aparte de pequeñas pérdidas por reflexión y absorción, debe mantenerse constante cuando un haz de rayos atraviesa un sistema óptico x.

1 Para ser exactos, habríamos de multiplicar la expresión por » 2 en un medio de índice n; pero como de ordinario el medio inicial y el final es el mismo, no suele ser necesario este factor.

SEC. 7-12] BRILLO FOTOMETRICO E ILUMINACION 115

Se define la iluminación É de una superficie como el flujo luminoso incidente por unidad de área; así, pues,

dF B eos 6 dS eos ¿ dE = — = - —

dA ! y2

[7-4]

L a iluminación se expresa corrientemente en lúmenes por metro cuadrado o lux. Para calcular la iluminación en un punto cualquiera, debida a un manantial de área finita, integraremos la ecuación [7-4] sobre esta área:

B dS eos 0 eos <f> [7-5]

L a evaluación exacta de esta integral suele ser complicada, pero en la mayoría de los casos el manantial está suficientemente alejado de la superficie iluminada para que podamos considerar constantes tanto eos $ como r2. E n tal caso

eos <¡> CC B eos 6 dS = / eos <f>

[7-6]

donde se ha designado a la integral por /, ya que representa lo que se denomina intensidad luminosa del manantial. L a definición de esta es, por tanto,

/ = ¡¡B eos QdS .. [7-7] Las cuatro magnitudes F, B, E e i " son fundamentales en el estudio de la fotometría.

Como ejemplo adecuado calculemos la iluminación producida por un disco luminoso de 6 cm de diámetro sobre una pequeña superficie normal al eje del disco y distante 20 cm de él. Suponemos que el brillo del disco es de 2 bujías/cm2.

FIG. 7-15.—Iluminación debida a un disco circular.

116 EFECTOS D E LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

L a figura 7-15 ilustra el problema. Puede comprobarse que la distancia de dA al borde del disco es solo un 1,1% mayor que la que hay al centro; por tanto, podemos considerar r constante. Además los ángulos G y <¡> con que la luz abandona la superficie 'e incide en dA son suficientemente pequeños para hacer eos 0 = — eos </> = 1- Podemos, pues, escribir la ecuación [7-5] en la forma:

E==yzjJ BdS = ~j B x2npd9 i [7-8]

pues el área dS de un anillo de radio p es igual al producto de la longitud 2np de su circunferencia por su anchura dp. Además, de la figura se deduce: i

! ! ?

p = r sen a dp\ = r eos a d<x \ siendo a la mitad del ángulo subtendido por el elemento. Sustituyendo en la ecuación [7-8], hallamos: ¡

i r° E = f 2w2J3 sen a eos a ¿a

r Jo ti2 a l " 0 i — = u B s e n 2 a 0 [7-9] ^ Jo

Es instructivo expresar a 0 en función de dimensiones lineales mediante la relación sen2 a,, = p0

2/(p02 + r0

2), lo que da:

7TB P O2 BS [7-10]

Po2 + r ¿ , ?o + V Sustituyendo valores numéricos, tenemos:

E = l^rl? = 9 ^ 5 0 = ° ' 1 3 8 2 l u m e n / c m 2 = 1 3 8 2 l u x

V Este resultado no difiere mucho del que se obtendría considerando el manantial como puntual y con una intensidad luminosa I = BS. Utilizando la ecuación [7-6], hallaríamos:

/eos j> 2 X 28,27 x ! l ft1iM . . , 2

E = — ¡ j J l = — z = ° ' 1 4 1 4 lumen/cm2

L a condición que justifica considerar el manantial como puntual es, según la ecuación [7-10], que p 0

2 sea despreciable frente a r 0

2 . Aun siendo p0 = ^ r 0 , el error es solo de un 1 %. 7-13. Brillo de una imagen.—En la figura 7-16 una lente

forma la imagen dA' de un elemento superficial dS del objeto.

SEC. 7-13] BRILLO DE UNA IMAGEN 117

dS'

dA

H—U~4

dA' dS" JA"

FIG. 7-16.—Esquema para definir el brillo de una imagen.

Cuando esta imagen es observada por el ojo situado en E, el flujo luminoso dF que incide en él está limitado por el área dA" de la pupila, por lo que solo el estrecho haz indicado por las líneas de trazos contribuye a formar la imagen en la retina. Ahora bien: como lo que caracteriza al haz es el factor de B en la ecuación [7-3], y este permanece constante a través del sistema, tenemos que, despreciando pérdidas,

dF dS dA eos 6 eos <¡> dS' dA' eos 6' eos <f>'

__dS"dA" eos G"cos </>" (r") ,//\2 [7-11]

E l último miembro de esta ecuación se refiere al haz en la región situada a la derecha de la imagen, y como suponemos que el flujo en el haz permanece constante e igual a dF, tenemos:

dF ~B

dF_ W [7-12]

donde B" es el brillo de la imagen. Llegamos al importante resultado de que

B" = B [7-13]

E n un sistema óptico con pérdidas despreciables, el brillo de la imagen es igual al del objeto, cuando ambos están en el mismo medio.

Este resultado sorprenderá quizá al que ha intentado formar imágenes valiéndose de lentes, pues encuentra que al recoger la imagen en una pantalla, el ojo aprecia mayor brillo cuando disminuye el aumento. Pero si se observa la imagen directamente, sin intermedio de pantalla, el brillo permanecerá inalterado. Esto se debe a que el brillo representa el flujo por unidad de área y por unidad de ángulo sólido, como se ve en las ecuaciones [7-11] y [7-12], de las que se deduce, suponiendo eos 6" = eos <j>" = 1,

118 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

B" = dF dS"d<£>' [7-14]

A l disminuir el aumento se incrementa el flujo por unidad de área de la imagen, pero el ángulo sólido total a>" (Fig. 7-16)» aumenta de tal manera que el brillo permanece constante. L a luz incidente por unidad de área sobre una pantalla difusa determina su brillo, pero este no es el mismo que el anterior, pues la pantalla dispersa la luz en todas direcciones.

7-14. Aumento normal.—En el estudió anterior se supuso que la pupila del ojo actúa como diafragma de apertura del sistema. Si no sucede así; p. ej., si en la figura 7-16 el cono w" procedente de la imagen no es suficientemente ancho para llenar la pupila del ojo, el brillo de la imagen será menor que el del objeto. E n los anteojos y microscopios el ojo suele estar en la pupila de salida del sistema, y si el brillo del objeto ha de reproducirse en la imagen, la pupila de salida deberá ser por lo menos del mismo tamaño que la pupila del ojo. Ahora bien: el diámetro de la pupila de salida es inversamente proporcional al aumento, como puede demostrarse, p. ej., en el caso de un anteojo (Ec. [10-11]). Por ello el aumento no debe exceder de aquel para el cual la pupila de salida coincide con la del ojo. A este valor particular se le llama aumento normal del instrumento. Veremos que este valor no es solo el máximo admisible para evitar sacrificios en el brillo, sino también el valor mínimo requerido para que el instrumento utilice todo su poder separador (Sec. 15-9).

7-15. Iluminación de una imagen.—La iluminación, tal como se definió por la ecuación [7-5], representa el flujo total por unidad de área que incide en una superficie procedente de todas las direcciones. Determina los efectos fotográficos y otros que dependen de la energía, así como la cantidad de luz dispersada por unidad de área en una pantalla difusora. Para calcularla en el caso de la imagen formada por una lente o sistema de lentes, representaremos el sistema por A en la figura 7-17, la que también muestra las posiciones de la pupila de entrada PEL y de la de salida P'E'L'. E l brillo B' de la pupila de salida, observada desde el punto imagen Q', es igual al del manantial, ya que, según la ecuación [7-11],

dF _ dS' dA' eos 0' eos <j>' _ dF IB (7)2 ~W

Pero el brillo es el flujo por unidad de área y por unidad de ángulo sólido, por lo que para hallar el flujo incidente total por unidad

SEC. 7-15] ILUMINACION DE UNA IMAGEN 119

i FIG. 7-17—Iluminación de la, imagen formada por una len e.

de área hemos de multiplicar B' por el ángulo sólido o' subtendido por la pupila de saüda, y esto da

E = B'tí>' = Bu ' [7-15]

Por tanto, la iluminación de la imagen es el producto del brillo del manantial por el ángulo subtendido por la pupila de salida en la imagen. Esta relación no es exacta, ya que, como puede verse por l a ecuación [7-5], supone que todos los ángulos son pequeños. "No obstante, constituye una buena aproximación en la mayoría de los casos. Lo mismo que en la discusión anterior, hemos despreciado las pérdidas por reflexión y absorción. L a presencia de co' en la ecuación [7-15] es la razón por la que, para caracterizar la rapidez de un objetivo fotográfico,'se emplea su número-/, como veremos en la sección 10-2.

Es interesante observar que la iluminación es la misma que se obtendría si se quitase la lente colocando el, manantial luminoso en la pupila de salida y aumentando su tamaño hasta que fuese igual al de la pupila. E l resultado de los cálculos de la sección 7-12 prueba esta proposición. L a iluminación producida por un disco de brillo B', cuyo diámetro subtiende un ángulo plano. 2a, hemos visto que es (véase Ec. [7-9])

¡

E = TÍB' sen2 a

120 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

Suponiendo que a no es demasiado grande, un disco de radio r sen <x subtiende un ángulo sólido w' = (•w2 sen2 «)¡r2 — TZ sen2 a, con lo que

E = Bo>'

de acuerdo con la ecuación [7-15]. Como aclaración práctica de este principio consideremos el

haz intenso de luz producido «por un reflector como el de la f i gura. 7-18. E l borde del reflector de apertura A es tanto la pupila de entrada como la de salida. Despreciando pérdidas por refle-

•——-— '; • . —

' — —— -

D

FIG. 7-18.—El haz de un proyector o reflector suele evaluarse; en función de su intensidad en bujías.

xión y absorción, la iluminación sobre la región D de una pantalla distante, M, es la misma que se obtendría si quitásemos el reflector y situásemos un manantial luminoso del mismo brillo que S y de las dimensiones de A en la posición de A. ,La intensidad equivalente en bujías de un reflector se define como la intensidad en bujías de un manantial desnudo que, colocado a la misma distancia de un punto dado, produjera en ese punto la misma i luminación.

7-16. Imagen de un manantial puntual.—El principio anterior se aplica a la iluminación de la imagen producida por un manantial de área finita. Si esta es despreciable, como ocurre en las imágenes de las estrellas formadas por los anteojos, el principio anterior deja de ser aplicable. L a imagen en vez de ser de tamaño muy pequeño, como predice la óptica geométrica, es en realidad extensa a causa de la difracción producida por la apertura del sistema de lentes (Sec. 1-1). Por tanto, su iluminación será menor que la predicha por la ecuación [7-15]. E l estudio de este caso requiere el de la difracción, por lo que lo aplazaremos hasta tratar este tema (Sec. 15-10).

7-17. Iluminación fuera del eje.—Suponiendo que el objeto es un plano de brillo uniforme, se encuentra que la iluminación

SEC. 7-18] EFECTO MARGINAL 121

de la imagen disminuye al aumentar la distancia al eje. Este efecto se debe a más de una causa. En la figura 7-19, P'E'L' representa la pupila de salida, que tiene un brillo uniforme B' igual al del manantial. E n el punto M' del eje la iluminación es igual, de acuerdo con la ecuación [7-15], a B'M.' Sin embargo, en un punto tal como el Q' contribuyen a disminuir la iluminación los siguientes factores: a) un factor (¿¡"/cu' = eos2 6; b) un factor P'L"¡P'L' = eos 0, que representa la disminución del área de la pupila de salida vista desde Q' en comparación con la que tiene cuando se ve desde M'; y c) otro factor eos 0, por el hecho de que la luz no incide normalmente sobre la superficie en Q', como lo haría sobre la superficie representada por la línea de trazos. A l inclinar la superficie un ángulo 0, se distribuye el flujo sqbre un área 1/cos 0 veces mayor, y, por tanto, la iluminación o flujo por unidad de área, disminuye en eos 0. Agrupando todos estos factores, la iluminación en Q' será:

E" = JBV eos* 0 [7-16]

En las proximidades del eje el factor eos4 0 difiere solo ligeramente de la unidad; pero si a llega, p. ej., a 30°, la iluminación se reduce en un 44 %.

. 7-18, Efecto marginal.—Este efecto ocasiona que la iluminación fuera del eje disminuya aún más rápidamente. Esto ocu-

FIG. 7-20.—Significado del efecto marginal.

122 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

rre en particular en las lentes provistas de diafragmas, como la de la figura 7-20. Aunque la apertura del diafragma es menor que la de la lente, para el ángulo de incidencia que se ha representado, algunos de los rayos de la parte superior caen fuera de la lente y la parte inferior de esta no recibe luz. Para objetos distantes, el campo libre de efecto marginal llega a cubrir ángulos como el que se ve en la figura. Si los ángulos son mayores el campo comienza a oscurecerse más rápidamente de lo indicado por la ecuación [7-16]. E n los anteojos y otros instrumentos de pequeño campo visual es raro encontrar el efecto marginal; no así en otros, como las cámaras panorámicas o gran-angulares, donde llega a tener considerable importancia.

P R O B L E M A S

7-1. Una lente delgada de 5 cm de apertura y 4 cm de distancia focal tiene un diafragma de 3 cm situado a una distancia de 2 cm delante de ella. A 9 cm de la lente se sitúa un objeto de 1,5 cm de altura con su extremo inferior en el eje. Determínense gráficamente y mediante fórmulas: a) la posición, y b) el tamaño de la pupila de salida, o) Sitúese gráficamente la imagen del objeto trazando los dos rayos marginales y el rayo principal desde el extremo superior del objeto.

7-2. Una lente delgada de distancia focal -f- 3 cm y apertura 4 cm tiene un diafragma de 2,5 cm colocado 1,5 cm delante de ella. Frente al diafragma y a 6 cm de él hay un objeto de 1 cm de altura con su extremo inferior sobre el eje. Determínense gráfica y analíticamente: a) la posición, y b) el tamaño de la pupila de salida. Sitúese gráficamente la imagen del objeto trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del mismo.

Sol.: a) —3 cm; b) 4- 5 cm; c) 4- 5 cm. 7-3. Una lente delgada de — 5 cm de distancia focal y 4 cm de aper

tura tiene un diafragma de 2 cm situado 2 cm delante de ella. Un objeto de 4 cm de altura tiene su centro en el eje y se halla 12 cm delante de la lente. Hállense gráfica y analíticamente: a) posición, y b) tamaño de la pupila de salida, c) Determínese gráficamente la imagen mediante los dos rayos marginales y el principal que parten del extremo superior del objeto.

7-4. Una lente delgada de distancia focal 4- 5 cm y apertura 6 cm tiene un diafragma de 3 cm colocado 3 cm detrás de ella. Delante de la lente y a 12 cm de la misma está situado un objeto de 3 cm de altura con su centro sobre el eje. Hállense gráfica y analíticamente: a) la posición, y b) el tamaño de la pupila de entrada, c) Sitúese la imagen gráficamente trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

Sol.: a) 4- 7,5 cm; b) 7,5 cm; c) 4- 8,6 cm. 7-5. Dos lentes delgadas de distancias focales 4- 8 cm y 4- 6 cm,

respectivamente, y aperturas de 5 cm están separadas una distancia de 4 cm. Equidistante de ambas lentes hay un diafragma de 2,5 cm de diámetro, y delante de la primera lente, y con su centro a 10 cm de ella, se ha colocado un objeto de 4 cm de altura. Hállense gráfica y analíticamente: a) la posición y tamaño de la pupila de entrada, y b) la posición y tamaño

PROBLEMAS 123

de la pupila de salida, c) Determínese la imagen final trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

7-6. Una lente delgada Lx de apertura 6 cm y distancia focal + 6 cm está situada 4 cm delante de otra lente delgada L 2 de apertura 6 cm y distancia focal — 10 cm. Delante de Lx se ha colocado un objeto de 1 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje y dista 18 cm de ella. Frente a Lj y a 3 cm de la misma hay también un diafragma de 3 cm de diámetro. Calcúlense la posición y tamaño de: a) la pupila de entrada; b) la pupila de salida, y c) la imagen, d) Resuélvase gráficamente.

Sol.: a) AXE = — 3 cm; D„ = 3 cm; b) AXE' = — 1 cm; Dx = 3 cm; c) A2M' = 4 - 1 0 cm, Zy' = — 1 cm.

7-7. Una lente delgada L 2 de apertura 5 cm y distancia focal -f- 8 cm está situada 5 cm detrás de otra lente delgada L x de apertura 6 cm y distancia focal + 4 cm. Delante de L\ hay situado un objeto de 2 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje y a 5 cm de Lx, así como un diafragma de 3 cm de diámetro que dista 2 cm de Lx y se halla entre ambas lentes. Calcúlense la posición y tamaño de: a) la pupila de entrada; b) la pupila de salida, y c) la imagen. Resuélvase gráficamente.

7-8. Una lente delgada Lx de 4 cm de apertura y — 8 cm de distancia focal está 3 cm delante de otra lente delgada Z.¡¡ de 4 cm de apertura y -f 6 cm de distancia focal. Siendo la luz incidente en la primera lente paralela al eje, calcúlense la posición y tamaño de: a) la pupila de entrada, y b) la pupila de salida, c) Resuélvase gráficamente.

Sol.: a) AXE = 4- 2,2 cm; Dn = 2,9 cm; b) AXE' = -f 3 cm; Dx = 4 cm. :

7-9. Una lupa Coddington (véase Fig. 10-8) está constituida por una esfera de vidrio de índice 1,6! y diámetro 3 cm. Se ha dado a la lente una apertura de 2 cm de diámetro y se ha vaciado alrededor de su centro un surco de 0,4 cm de profundidad. Hállense la posición y tamaño de: a) la pupila de entrada, y b) la pupila de salida.

7-10. Una pupila de salida de 4 cm de apertura está 8 cm por delante de un espejo esférico de 4- 20 cm de radio. A 6 cm del espejo se encuentra un objeto de 2 cm de altura en posición central sobre el eje. Hállense gráficamente: a) la pupila de entrada; b) la imagen, y c) la apertura mínima del espejo necesaria para poder ver el objeto entero desde cualquier punto de la pupila de salida.

Sol.: a) AE = —4,44 cm; b) AM' = — 3,75 cm; c) 2,13 cm. 7-11. Delante de un espejo esférico de -f 10 cm de radio y a 10 cm de

mismo- hay una pupila de salida de 3 cm de diámetro. Un objeto de 4 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje, se halla situado frente al espejo, a 6 cm de él. Determínense gráficamente: a) la posición y tamaño de la pupila de entrada, y b) la posición y tamaño de la imagen trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto. !

7-12. Delante de un espejo de 4- 12 cm de radio, y a 8 cm de él, hay una pupila de salida de 4 cm de apertura. Frente al espejo hay un objeto de 5 cm de altura, cuyo centro coincide con el eje y'dista 4 cm del espejo. Hállense gráficamente: a) la posición y tamaño de la pupila de entrada, y b) la posición y tamaño de la imagen trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

Sol.: a) AE = — 3,43 cm;' Dn = + 1,71 cm; b) AM' = — 2,40 cm; ; ; 2y' = 4- 3 cm.

7-13. Delante de un espejo de —-12,5 cm de radio, y a 14,5 cm del mismo, hay una pupila de salida de 2,5 cm de apertura. Frente al espejo

124 EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS [CAP. 7

se sitúa un objeto de 1,5 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje y dista 13 cm del espejo. Hállense gráficamente: a) la posición y tamaño de la pupila de entrada, y b) la posición y tamaño de la imagen trazando los dos rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

7-14. Delante de un espejo de — 12 cm de radio, y a 18 cm del mismo, hay una pupila de salida de 4 cm de apertura. Frente al espejo hay un objeto de 2 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje y dista 14 cm del espejo, a) Determínense gráficamente la posición y tamaño de la pupila de entrada, b) Hállense la posición y tamaño de la imagen trazando los rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

Sol.: a) AE = 4- 9 cm; D„ = — 2 cm; b) AM'\= 4- 10,5 cm; Zy | = — 1,50 cm.

7-15. Construyase un diagrama a escala del campo objeto y del campo imagen para una lente de apertura 4 cm y distancia focal + 6 cm utilizada como lupa. Supóngase que la pupila de salida tiene 2 cm de ancha, estando situada 3,5 cm a la derecha de la lente, y que 4 cm a la izquierda de esta hay un objeto de 3 cm de altura, cuyo centro se encuentra sobre el eje. Hállense gráficamente: a) la posición y tamaño de la pupila de entrada, y b) la posición y tamaño de la imagen trazando los rayos nlargi-nales y el rayo principal que parten del extremo superior del Objeto.

7-16. Dibújese un esquema que muestre el campo objeto y el campo imagen de una lente de apertura 3 cm y distancia focal + 4 cm utilizada como lupa. Supóngase que la pupila de salida tiene 2 era de anchura y está situada 2,5 cm a la derecha de la lente. A la izquierda de esta hay un objeto de 3 cm de altura, cuyo centro coincide con el eje y dista 2,8 cm de la lente, a) Hállense gráficamente la posición y tamaño de la pupila de entrada, b) Determínense la posición y tamaño de la imagen trazando los rayos marginales y el rayo principal que parten del extremo superior del objeto.

Sol: a) AE = 4- 6,66 cm; Dn = 4- 5,33 cm; b) AM' = — 9 , 3 3 cm; 2y' = 4- 10 cm.

7-17. La distancia focal de una lente delgada de 4 cm de diámetro es 12 cm. Si la lente se encuentra entre él ojo y un objeto grande situado a 10 cm de este y equidistante de ambos, ¿qué porción del objeto se verá a través de la lente? i

7-18. Calcúlese la iluminación en lux producida por una bombilla deslustrada de área proyectada 50 cm 2 y brillo medio 2,625 bujías/cm2 sobre una superficie normal a la luz y a 5 m de distancia. (NOTA: Debido a la ley de Lambert la bombilla puede considerarse como una superficie plana del área y brillo dados.) i Sol: 5,25 lux.

7-19. Si se desplaza 3 m la bombilla del problema anterior en dirección perpendicular a la recta que la unía inicialmente con la superficie iluminada, ¿cuál' será el nuevo valor de la iluminación?

7-20. Una lente de 4 cm de apertura y + 10 cm de distancia focal tiene 4 cm delante de ella un diafragma de 3 cm. A 20 cm de la lente hay un pequeño disco de 50 bujías/cm 2 de brillo, cuyo centro coincide con el eje. Calcúlense: a) la iluminación de la imagen; b) el tamaño de la pupila1*, de salida, y c) el ángulo para el cual empieza a aparecer el efecto marginal.

Sol: a) 1,37 lúmen/cm2; b) 5 cm; c) 7,1°. 7-21. U n objetivo gran-angular de cámara fotográfica tiene una dis

tancia focal de 4- 12,5 cm y saca fotografías sobre una película de 9 x 12 cm 2.

PROBLEMAS 125

Suponiendo que no existe efecto marginal, hállese el tanto por ciento en que queda disminuida la exposición en los ángulos de la película.

7-22. Un diafragma de 2 cm de diámetro está situado 2 cm por delante de una lente delgada que tiene un diámetro de 4 cm y una distancia focal de — 10 cm; 2 cm detrás de esta lente hay otra también delgada de 6 cm de diámetro y 4- 2,5 cm de distancia focal, a) Hállense gráficamente las pupilas de entrada y de salida para luz incidente paralela, b) A la izquierda del diafragma, y a 8 cm de él, hay un objeto de 2 cm de altura cuyo extremo inferior se encuentra sobre el eje. Hállese la imagen dibujando desde el extremo superior del objeto tres rayos que atraviesen el sistema. Dos de ellos han de ser los rayos marginales y el tercero el rayo principal, c) Resuélvase analíticamente la parte a) determinando la posición y tamaño de ambas pupilas, d) Calcúlese la posición y tamaño de la imagen.

Sol.: a) A¡E = — 2 cm de.^x; Dn = 2 cm; A%E' = 4- 7,86 cm; Dx = 3,58 cm; d) AtM' = 4- 3,89 cm; 2y' = — 0,56 cm.

CAPITULO VIII

TRAZADO DE RAYOS

E l estudio de la formación de imágenes por un sistema compuesto de una o más superficies esféricas se ha limitado hasta ahora a la consideración de rayos paraxiales. Con esta limitación ha sido posible deducir métodos relativamente sencillos para calcular y construir la posición y tamaño de la imagen. E n la práctica, la apertura de la mayoría de las lentes es suficientemente grande para que los rayos paraxiales constituyan solo una pequeña fracción de los rayos eficaces. Por tanto, es importante considerar lo que ocurre a los rayos no paraxiales. E l método directo para ello consiste en construir las trayectorias seguidas por tales rayos, aplicando a cada superficie la ley de Snell de la refracción.

8-1. Rayos oblicuos.—Todos los rayos situados en un plano que pase por el eje principal y no sean paraxiales se llaman rayos oblicuos. Aplicando exactamente la ley de la refracción a cierto número de rayos que atraviesan una o más superficies coaxiales, se encuentra que la posición del punto imagen varía con la oblicuidad de los rayos. Esto origina un emborronamiento de la imagen, conocido como aberraciones de la lente, a cuyo estudio se dedicará el capítulo siguiente. La experiencia nos dice que mediante una elección adecuada de los radios y posiciones de las superficies esféricas se reducen mucho las aberraciones. Solo de este modo ha sido posible construir instrumentos ópticos de aperturas apreciables que posean al propio tiempo buenas cualidades para formar imágenes.

Los diseñadores de lentes siguen dos caminos para resolver el problema en condiciones óptimas. E l primero consiste en"utilizar métodos gráficos para hallar los radios aproximados y el espaciamiento de las superficies que han de usarse en el problema particular que nos ocupa. E l segundo aplica las conocidas fórmulas de las aberraciones para calcular los espaciamientos y formas aproximadas de las lentes. Si los resultados de estos métodos no producen sistemas que den imágenes de la calidad y definición apetecidas, se aplica el método conocido como trazado de rayos, que consiste en hallar las trayectorias exactas a través del sistema de ciertos rayos representativos. Algunos de estos rayos son paraxiales y otros oblicuos, y se trazan desde el objeto a la imagen.

126

SEC. 8-2] METODO GRAFICO PARA E L TRAZADO D E RAYOS 127

Si los resultados no son satisfactorios se desplazan las superficies y se modifican los radios, repitiendo este proceso hasta alcanzar un mínimo de aberración. Es este un procedimiento de tanteo lento y pesado que requiere a veces centenares de horas de trabajo. Se utilizan logaritmos de cinco, seis y hasta siete cifras, así como ciertas tablas impresas por los diferentes proyectistas que recogen los cálculos y resultados (véase tabla 8-1). Los últimos avances de la electrónica han desarrollado calculadoras muy rápidas que permiten el trazado de rayos en sistemas complicados

M eje M'

^ — s

N

ó~— R \ S

FIG. 8-1.—Método gráfico de trazado de rayos a través de una superficie esférica. El método es exacto y todos los rayos obedecen a la ley de Snell.

en muy breve tiempo. Sin duda, tales calculadoras facilitarán el diseño - y construcción de; nuevos sistemas ópticos cada vez más perfectos, i

Empezaremos considerando en este capítulo el método gráfico de trazado de rayos y después el método analítico. E n el capítulo I X trataremos las aberraciones de las lentes y. los métodos aproximados que utilizan las fórmulas de las aberraciones.

8-2. Método gráfico para el trazado de rayos.—El método gráfico que presentamos aquí no es más que una ampliación del procedimiento explicado en la sección 1-3 y representado en las figuras 1-3 y 2-13 para la refracción en superficies planas. Es importante observar que aunque los principios utilizados se basan rigurosamente en la ley de Snell, la exactitud de los resultados dependerá de la precisión con que se verifique el trazado. Son necesarios, por tanto, un buen tablero de dibujo, escuadras y T,

128 TRAZADO DE RAYOS [CAP. 8

o una máquina trazadora; cuanto mayor sea el tablero de dibujo, mejor. Se necesita imprescindiblemente un lápiz muy bien afilado.

Los diagramas de la figura 8-1 \ ilustran la construcción para la refracción en una superficie esférica que separa. dos medios de índices n y rí. Después de dibujados el eje y la superficie de centro C, se elige para el trazado un rayo incidente cualquiera tal como el 1. A continuación se construye debajo un diagrama auxiliar de tamaño análogo y con su eje paralelo al del diagrama principal. Con centro en 0 se trazari dos arcos de radios proporcionales a n y rí. Las etapas posteriores de la construcción se

1

i —9 .

^<12 1

FIG. 8-2.—Método gráfico exacto de trazado de rayos a través de un sistema centrado de superficies refringentes esféricas.

suceden en el siguiente orden: Por 0 se traza 2 paralela a 1. L a recta 3 une T y C. L a 4 es paralela a la 3 por N, y se prolonga hasta que corta el arco rí en Q. L a recta 5 une 0 y Q, y la 6 es paralela a la 5 por T.

E n este diagrama el radio TC es normal a la superficie en el punto T y corresponde a la normal NN' de la figura 1-3. E n la sección 1-3 se demuestra que esta construcción sigue exactamente la ley de Snell.

L a figura 8-2 muestra la aplicación del método gráfico a un sistema de superficies esféricas coaxiales. Dos lentes gruesas de índices rí y n" están rodeadas de: aire, n — 1. E n el diagrama auxiliar inferior se han dibujado tres arcos de radios proporcionales a » , « ' y n". Las demás líneas se han trazado por parejas paralelas siguiendo el orden de la numeración a partir de 1. Cada

SEC. 8-2] METODO GRAFICO PARA EL TRAZADO DE RAYOS 129

línea par es paralela a la impar que la precede, finalizando con el rayo 18. Nótese que el radio de la cuarta superficie es infinito y la línea 15 que pasa por su centro, situado en el infinito, es paralela al eje. Todo ello está de acuerdo con las figuras 1-3 y 2-13.

Cuando se aplica el método gráfico de trazado de rayos a un espejo grueso, los arcos proporcionales a los diversos índices conocidos se dibujan a ambos lados del origen como en la figura 8-3. Tam-

FIG. 8-3.—-Trazado de rayos a través de un espejo grueso.

bien en este caso las rectas se trazan p'or parejas paralelas siguiendo el orden de la numeración. A l reflejarse los rayos en el espejo cóncavo, los rayos 10 y 14 han de formar ángulos iguales con la normal. Nótese que en el diagrama auxiliar las líneas correspondientes a 9, 12 y 13 forman un triángulo isósceles. Este dispor sitivo óptico particular se conoce como sistema óptico concéntrico. E l hecho de que todas las superficies tengan el mismo cen-

J A.NKINS-WHITE.-—9

130 TRAZADO D E RAYOS [CAP. 8

tro de curvatura origina propiedades ópticas muy interesantes y útiles (véase Sec. 10-19).

8-3. Fórmulas del trazado de rayos.—La figura 8-4 muestra un diagrama del que pueden deducirse estas fórmulas. U n rayo oblicuo MT, que forma un ángulo 9 con el eje, se refracta en T cortando de nuevo el eje en M'. L a recta TC es el radio de la superficie refringente y constituye la normal, a partir de la cual se miden los ángulos de incidencia y refracción en T. E n lo que concierne a los signos de los ángulos, consideraremos que:

1.° Los ángulos de inclinación son positivos cuando se ha de girar el eje (en sentido contrario al de las agujas del reloj) un ángulo menor de 90° para hacerlo coincidir con el rayo.

2° Los ángulos de incidencia y de refracción son positivos si se ha de girar el radio de la superficie (en sentido contrario al de las agujas del reloj) un ángulo menor de 90° para hacerle coincidir con el rayo.

FIG. 8-4.—Diagrama para deducir las fórmulas del trazado de rayos.

De acuerdo con esto, los ángulos 0, <f> y <f>' de la figura 8-4 son positivos, y el 0', negativo.

Aplicando la ley de los senos al triángulo MTC, se obtiene:

sen (TC — <f>) sen 0 r + s r

Dado que el seno del suplemento de un ángulo es igual al seno de dicho ángulo,

sen <j> sen 0 r + s r

Despejando sen <f>, r -f- s

sen <f> = sen 0 [8-1]

SEC. 8-3] FORMULAS DEL TRAZADO DE RAYOS 131

Por la ley de Snell, el seno del ángulo de refracción <$>', en función del ángulo de incidencia 4>, viene dado por

sen <¡> = —, sen <p ; 11

[8-2]

En el triángulo MTM' la suma de los ángulos interiores es igual arc. Por tanto,

8'+(>t—*)+'*' + (—00= 7C •

y despejando 8', da i 6'=<0' + 0_- <f, [8-3]

Esta ecuación permite calcular la pendiente del rayo refractado. Para hallar el punto de intersección de este rayo con el eje y la distancia imagen s' aplicaremos la ley de los senos al triángulo TCM',

— sen 0' _ sen <f>'

r s — r

La distancia imagen es, por tanto, , ! sen 6' s —r - ••

sen 0' [8-4]

FIG. 8-5.—Trazado de rayos incidentes paralelos.

Se presenta un caso especial importante cuando el rayo incidente es paralelo al eje. Con esta simplificación, puede verse en la figura 8-5 que ¡

sen 0 = -r

[8-5]

132 TRAZADO D E RAYOS [CAP. 8

donde h es la altura del rayo incidente PT sobre el eje. E n el triángulo TCM' la suma de los dos ángulos interiores </>', y 8' es igual al ángulo exterior C. Asignando a los ángulos sus signos correspondientes, se obtiene !

6 = ^ ' - ! ^ i [8-6] Las seis ecuaciones numeradas forman un importante conjunto mediante el cual puede trazarse cualquier rayo oblicuo situado en un plano meridiano a través de un cierto número de superficies coaxiales. Un plano meridiano es aquel que contiene al eje del sistema. Aunque la mayoría de los rayos procedentes de un punto objeto situado fuera del eje no suelen estar contenidos en un plano meridiano, la aptitud de un sistema para formar imágenes puede determinarse de ordinario mediante rayos meridianos adecuadamente elegidos. Los rayos sesgados, o rayos 'no confinados en un plano meridiano, ; no cortan al eje y son difíciles de trazar. ¡

8-4. Ejemplo de cálculo para el trazado de rayos.—Sea una lente biconvexa de radios rx — + ¡10 cm y r2 = —10 cm,^de vidrio crown que tiene un índice de refracción rí = 1,52300 para la línea D de Fraunhofer. Si el espesor axial es 2 cm, hallemos

FIG. 8-6.—Diagrama para la aplicación de las fórmulas del trazado de rayos.

los focos para rayos paralelos incidentes a alturas sobre el eje h = 1,5 cm, 1,0 cm, 0,5 cm y 0 cm.

L a figura 8-6 muestra un diagrama para este problema. L a refracción en la primera superficie dirige el rayo hacia el punto imagen correspondiente M'. Este se convierte en punto objeto para la segunda superficie que produce la imagen final M". Las dos tablas siguientes contienen por separado los cálculos refe-

S E C . 8-4] E J E M P L O D E C A L C U L O P A R A E L T R A Z A D O D E R A Y O S 133

rentes a ambas superficies. Para la primera, la luz incidente es paralela al eje, y han de utilizarse las cuatro fórmulas de trazado de rayos: [8-2], [8-4], [8-5], [8-6], a saber:

J. h A' n ± sen A = — sen * = —, sen * r n

• s =r sen </>'

sen Sustituyendo los valores de h y rx en la primera ecuación, se

determina sen <f>. Introduciendo este valor junto con los de n y rí en la segunda ecuación, se obtiene sen </>'. Conocidos <f> y <f>', la tercera ecuación permite calcular 6'. Finalmente, sustituyendo los valores de rx, <f>' y 6' en la última ecuación se halla la distancia imagen s'r Se evita la sustracción de logaritmos al hallar un cociente utilizando los cologaritmos de todas las magnitudes que figuran en el denominador. Con ello se reducen todas las operaciones a sumas. E l procedimiento es evidente en cuanto a las tres primeras columnas de la tabla 8-1, que recoge los cálculos referentes a la primera superficie.

TABLA 8-1 Cálculos para la primera superficie

rx = + 10,0 cm; rí = 1,52300; « = 1,00000

log h colog J-j

h = 1,5 cm h = 1,0 cm h = 0,5 cm h = 0

log h colog J-j

0,176091 9,000000

0,000000 9,000000 .

9,698970 9,000000

log sen -¿j log n

colog rí

9,176091 0,000000 9,817300

9,000000 0,000000 9,817300

8,698970 0,000000 9,817300

log sen </x' 8,993391 8,817300 8,516270

tí ti

5°39'8" 8"37'37"

3°45'53" 5°44'21"

1°52'53" 2°51'58"

0,098490 0,150000

6' 2°58'29" 1°58'28" 0°59'8" 0,051510

colog sen 8' log sen <),[

log Cj *

1,284871 8,993391 1,000000

1,462764 8,817300 1,000000

1,764463 8,516270 1,000000

1,288108 8,993391 1,000000

log (>i —ij¡) 1,278262 1,280067 1,280733 1,281499

— 18,9785 — 19,0576 —19,0868 —19,1205

+ 28,9785 cm +. 29,0576 cm + 29,0868 4- 29,1205 cm

134 TRAZADO DE RAYOS [CAP. 8

Para el caso h = 0, columna de la derecha, se ha seguido un procedimiento especial. Se comienza calculando el antilogaritmo correspondiente a uno de los valores de log sen $ \ de otra columna. Este número se coloca frente a <¡>[ en la. columna h = 0. Así, p. ej., en la columna h = 1,5 cm hallamos log sen j>\ = 8,993391, cuyo antilogaritmo, 0,098490, se dispone en la última columna. Siguiendo el mismo procedimiento con <f>v encontramos log sen <£, = 9,176091, y su antilogaritmo, 0,150000, está frente a <f>v L a diferencia entre estos dos números es el valor de 8' para h = 0. Frente a colog sen 6' se sitúa el número 1,288108, que es el cologaritmo de 0,051510. A partir de este punto, el procedimiento es el mismo que para el rayo elegido, h = 1,5, tomándose los valores de log sen <j>\ y log r1 de la columna inicialmente elegida. E l valor de s[ que resulte será el mismo cualquiera que sea el rayo tomado para los cálculos1.

Nótese que la distancia imagen s[ es máxima para h = 0, y alrededor de J % menor para h = 1,5 cm. Estos puntos imagen M', ligeramente diferentes, pasan a ser puntos objeto para la segunda superficie, y las pendientes <p" de la tabla 8-1 se'"convierten en las pendientes 0' de los rayos incidentes de la tabla '8-2. Puesto que en este último caso los rayos incidentes no son paralelos al eje, las fórmulas que han de usarse son las de las ecuaciones [8-1], [8-2], [8-3], [8-4], a saber:

sen f, = - 2 J l Í 2 s e n 0'

y e' = ^' + 0 W a

Refiriéndonos a la primera ecuación, r 2 vale — 10 cm, y s'2 es la distancia 42 M' de la figura 8-6. Se obtiene restando de los valores de sí, dados en la tabla 8-1, el espesor de la lente, d — 2 cm.

Tomando como ejemplo el rayo h = 1,5 cm, al que corresponde s\ = 28,9785 cm, obtenemos, una vez restado d = 2 cm, el valor s's — — 26,9785 cm. E l signo negativo significa que el rayo objeto corresponde a un objeto virtual. Dado que tanto r 2

como s'2 tienen signo negativo, se suman ambas magnitudes, para dar — 36,9785 cm.

En la última columna de la tabla 8-2 el valor de log sen 0' — = 8,711892 se obtiene a partir de colog sen 0' = 1,288108 de la tabla 8-1. Los números de la última columna para <f>\, 0' y <f>'z

se obtienen por el método del rayo auxiliar, descrito anteriormente, en relación con la tabla 8-1. Así, p. ej., el número 0,291210 co-

s e n K =ZT/SEN K 71/ _ •

„ _ sen (f>'2

1 La teoría del método del rayo auxiliar está desarrollada en la obra de L U M -MER Photographic Optics, pág. 126, The Macmillan Co., Nueva York, 1900.

SEC. 8-4] EJEMPLO DE CALCULO PARA E L TRAZADO DE RAYOS 135

rrespon.de a log sen <f>"2 = 9,464206 y está frente a <¿¡ en la tabla 8-2. E l número 0,051510 corresponde a log sen 6' = 8,711892 y está frente a 6' en la tabla. Después, frente a colog sen 0", se ha escrito 0,819550, que es el cologaritmo del número 0,151513. A partir de aquí, el procedimiento corresponde al seguido para los otros rayos.

Las cifras finales muestran que cuando los rayos inciden paralelos al eje de la lente de la figura 8-6, a alturas sobre él de 1,5, 1,0, 0,5 y 0 cm, las distancias s¡ son 8,8820, 9,0842, 9,1809 y 9,2202 cm, respectivamente. Por tanto, la distancia desde el vértice de la lente al foco imagen no es constante, sino que varía ligeramente para las diversas zonas de la lente. Este defecto se denomina aberración de esfericidad y se tratará con detalle en el capítulo siguiente. Las distancias focales s[ y s¡ para h = 0 y 0 = 0 en las tablas 8-1 y 8-2 son idénticas a las que se obtendrían a partir de las fórmulas para rayos paraxiales de la sección 5-1.

TABLA 8-2

Cálculos para la segunda superficie r2 = -J- 10,0 cm; n" = 1,00000; rí = 1,52300; d = 2,0 cm

6' 8' ==• 2°58'29" 8' - 1°58'28" 8' = 0°59'8" 8' = 0

»2 + Sí — 36,9785 — 37,0576 — 37,0868 — 37,1205

log (>2 4- s2') colog r2

log sen 6'

1,567949 9,000000 8,715129

1,568877 9,000000 8,537233

1,569219 9,000000 8,235537

1,569614 9,000000 8,711892

log sen <¿g log rí

colog rí

9,283078 0,182700 0,000000

9,106110 0,182700 0,000000

8,804756 0,182700 0,000000

9,281506 0,182700 0,000000

log sen <j>2 9,465778 9,288810 8,987456 9,464206

Vi 6'

16°59'37" 2°58'29" 11°3'50"

11°12'32" 1°58'28" 7°20'8"

5°34'31" 0°59'8" 3°39'27"

0,291210 0,051510 0,191207

8" 8°54'16" 5"50'53" 2°54'12" 0,151513

colog sen 8" log sen <f>2

0,810265 9,465778 1,000000

0,991865 9,288810 1,000000

1,295412 8,987456 1,000000

0,819550 9,464206 1,000000

log (r2~ si) 1,276043 1,280675 1,282868 1,283756 n * —18,8820 — 19,0842 — 19,1809 —19,2202

t" s2 + 8,8820 cm + 9,0842 cm + 9,1809 4- 9,2202 cm

os¡¡ 0,3382 cm 0,1360 cm 0,0393 cm 0

136 TRAZADO B E RAYOS [CAP. 8

Siempre que se trate de una1 superficie plana, la refracción se rige exactamente por la ecuación [2-2]. Si, p. ej., la segunda superficie de una lente es plana,! la ley de Snell toma la forma

sen o = — sen

y la ecuación [2-2] se transforma en

donde 6" = ^* y 6' = <j>'2. Los cálculos se llevan a cabo tabulando los logaritmos como en la tabla 8-2.

P R O B L E M A S

8-1. Una lente biconvexa de 3 cm de espesor en su centro y radios = -f 14 cm y fj = — 10 cm tiene de índice 1,600. Si sobre la primera superficie incide un rayo paralelo al eje, a una altura sobre este de 4 cm, hállese, aplicando el método gráfico, el punto en que corta al eje.

8-2. Resuélvase el problema anterior si el rayo incidente está a una altura de 3 cm. i Sol.: 4- 7,92 cm.

8-3. Resuélvase el problema 8-1 si; el rayo incidente está a una altura de 2 cm. i : \

8-4. Resuélvase el problema 8-1 si el rayo incidente está a una altura de 1 cm. | Sol.: 4- 9,23 cm.

8-5. Los datos referentes a dos lentes de vidrio son los siguientes: Lente X:rl= + 10 cm, rz = •— 12 cm, n' = 1,50 y espesor d = 2,5 cm. Lente 2: rx = + 10 cm, i2 = 4- 12 cm, n" = 1,70 y espesor d = 2 cm.

Estas lentes están montadas sobre un eje común con sus vértices más próximos distantes 1 cm. Un rayo luminoso paralelo al eje incide sobre la primera lente a una altura de 3 cm. Aplicando el método gráfico, hállese el punto en que el rayo final refractado corta al eje.

8-6. Un espejo grueso está formado por una lente bicóncava de radios fj = — 11 cm, r 2 = +11 cm, rí = 1,50 y espesor 1,5 cm, y por un espejo cóncavo de radio — 9,5 cm. Ambos elementos distan 3,5 cm. Un rayo luminoso paralelo al eje, y situado 3,5 cm por encima de él, incide sobre la primera superficie de la lente. Aplicando el método gráfico, hállese el punto en que el rayo final emergente corta al eje.

Sol.: 8,5 cm a la izquierda del primer vértice. 8-7. En el extremo de una varilla de vidrio de índice 1,65250 se ha

tallado una sola superficie esférica de radio 4- 10 cm. Empleando logaritmos de cinco cifras, localícense los focos para un rayo incidente paralelo de altura: a) h = 1,5 cm; b) h — 1 cm; c) h = 0,5 cm, y d) h = 0 cm.

8-8. Resuélvase el problema anterior para r = 4- 6,25 cm. Sol.: a) 15,6581; b) 15,7540; c) 15,8120; d) 15,8285 cm.

8-9. Resuélvase el problema 8-7 para r = + 4 cm.

PROBLEMAS 137

8-10. Resuélvase el problema 8-7 para y — + 2,5 cm. Sol.: a) 5,8803; b) 6,1405; c) 6,2830; d) 6,3314 cm.

8-11. Resuélvase el problema 8-7 para r = — 10 cm. 8-12. Una lente de 1 cm de espesor está hecha de vidrio crown de

bario que tiene un índice de 1,62350. Sus radios miden rx — 4-10 cm y r 2 = — 10 cm. Utilizando logaritmos de cinco cifras, hállese el foco para: a) h — 1,5 cm; b) h = 1 cm; c) 0,5 cm, y d) h = 0 cm.

Sol.: a) 7,4907; b) 7,7011: c) 7,8220; d) 7,8623 cm. 8-13. Resuélvase el problema anterior para r 2 = + 6,25 cm y

y¡ = — 25 cm. 8-14. Resuélvase el problema 8-12 para r, = 4 5 cm y r, = infinito.

( Sol.: a) 7,0154; b) 7,3056; c) .7,3965; d) 7,4033 cm. 8-15. Resuélvase el problema 8-12 parar x = + 2,50cm yr2 = —6,25 cm. 8-16. Resuélvase el problema 8-12 para rt = — 15 cm y r¡¡ = — 3,75 cm.

Sol.: a) 6,2326; b) 7,2155; c) 7,7719; d) 7,9531 cm.

C A P I T U L O I X

ABERRACIONES DE LAS LENTES

E l proceso de trazado de rayos, expuesto en el último capítulo, ha servido para poner de manifiesto la incapacidad de las fórmulas de la teoría de Gauss, referente a los rayos paraxiales, para dar una descripción exacta de las particularidades de la imagen. ^

Así, p. ej., u n haz de rayos extenso, paralelo al eje de una lente, no converge en un punto único. E l defecto que ello introduce en la imagen se conoce como aberración de esfericidad. Por ello, las fórmulas de Gauss utilizadas en los capítulos anteriores dan solo una aproximación idealizada de las imágenes producidas por lentes que tengan gran apertura.

Aplicando el trazado de rayos a puntos cada vez más separados del eje, se observa que los defectos de la imagen se van acentuando. E l problema de reducir estas aberraciones a un mínimo y obtener, por tanto, imágenes aceptables, es uno de los más importantes de la óptica geométrica. Dado el alcance de este libro, es imposible exponer todas las implicaciones matemáticas del problema 1 . E n su lugar intentaremos explicar en qué consiste cada una de las aberraciones, discutiendo simultáneamente algunas de las fórmulas conocidas para ver cómo pueden aplicarse al diseño de sistemas ópticos de alta calidad.

9-1. Desarrollo del seno y teoría de primer orden.—Para formular una teoría satisfactoria de las aberraciones, muchos teóricos han considerado conveniente partir de las fórmulas correctas del trazado de rayos, dadas en las ecuaciones [8-1] a [8-6], desarrollando los senos de los ángulos en series de potencias. E l desarrollo en serie del seno es

03 05 Q7 09

S e n 0 = 0 _ - + 3 , - ^ + 1 . . . [9-1]

Para ángulos pequeños esta serie converge rápidamente. Cada término es pequeño comparado ron el que le precede, lo que demuestra que para rayos paraxiales cuyas pendientes son muy

1 El lector encontrará un estudio más profundo de las aberraciones de las lentes en la obra de A . E. CONRADY Applied Optics and Optical Design, vol. I, Oxford University Press, Nueva York, 1929.

138

SEC. 9-1] DESARROLLO D E L SENO Y TEORIA D E PRIMER ORDEN 139

pequeñas se pueden despreciar, en primera aproximación, todos los términos del desarrollo a partir del primero y escribir:

sen 0 = 6

Si 0 es pequeño, los otros ángulos <f>, <j>' y 0' son también pequeños, siempre que el rayo esté próximo al eje. Reemplazando sen 0 por 0, sen <¡> por <j> y sen 0' por 0', en las ecuaciones [8-1], [8-2] y [8-4], se obtiene:

4> r - f s

<f>' n

3'= <¿'-f 0^- p s = r 0'

Por sustitución de la primera ecuación en la segunda, de la ecuación resultante en la tercera, y de esta en la cuarta, quedan eliminados todos los ángulos. I L a ecuación final obtenida así no es otra que la 'fórmula de Gauss:

— n n rí 7+? =

Esta ecuación, junto con las: deducidas a partir de ella, constituyen la base de la llamada teoría de primer orden.

L a j u s t i f i c a c i ó n de hacer sen 0 = 0, etc., para ángulos pequeños se hace patente en la f i gura 9-1 y en la tabla 9-1.' E l arco correspondiente a un ángulo de 10°, p. ej., es solo _ % mayor •que su seno, mientras que para 40° es un 10 % mayor. Estas diferencias constituyen una medida de la aberración de esfericidad y, por tanto, de los defectos de la imagen.

TABLA 9-1

Valores de sen & y de stis tres primeros términos

Fia. 9-1.—Relación entre el arco de un ángulo 0 y su seno.

sen 6 0 83/3! fl5/5!

10° 0,1736482 0,1745329 0,0008861 0,0000135 20° 0,3420201 0,3490658 0,0070888 0,0000432 30° 0,5000000 0,5235988 . 0,0239246 0,0003280 40° 0,6427876 0,6981316 0,0567088 0,0013829

140 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAR. 9

9-2. Teoría de tercer orden de las aberraciones.—Si en las fórmulas del trazado de rayos se reemplazan los senos de todos los ángulos que en ellas intervienen ¡por los dos primeros términos de sus desarrollos, las ecuaciones asi obtenidas son los resultados de la llamada teoría de tercer orden. ¡Por tanto, se reemplaza sen 0 por 0 — 03/3!, etc. Las ecuaciones resultantes explican bastante bien las principales aberraciones. ¡ ;

E n esta teoría, la aberración de |un rayo cualquiera, es decir, lo que se aparta de la trayectoria prescrita por las fórmulas de Gauss, se expresa en función de cinto sumas, 5 X a S&, denominadas sumas de Seidel. Para una lente j desprovista de todas las aberraciones, estas cinco sumas habrían íde ser nulas. No puede construirse ningún sistema que verifiqué simultáneamente estas cinco condiciones. Por tanto, suele tratarse cada una independiente-

FIG. 9-2.-—Aberración de esfericidad de la imagen de un punto objeto del eje 'formada por una superficie esférica refringente.

mente, y la anulación de alguna de ellas significa la desaparición de ciertas aberraciones. Así, si para un punto objeto axial dado es Sj = 0, la imagen puntual correspondiente carece de aberración de esfericidad. Si se tiene a la vez S1 — 0, S2 = 0, el sistema estará también libre de coma. Si además se cumple S3 = 0 y S 4 = 0, las imágenes carecerán de astigmatismo y de curvatura de campo. Finalmente, si pudiera anularse S5 no habría distorsión de la imagen. Estas aberraciones se conocen también como las cinco aberraciones monocromáticas, por existir 'para cualquier color e índice de refracción. Cuando la luz no es j monocromática se producen aberraciones adicionales. Estudiaremos en primer lugar cada una de las aberraciones monocromáticas, dejando para después los efectos cromáticos.

9-3. Aberración de esfericidad de una sola superficie.—Este término, introducido en la sección 6-8 e ilustrado en la figura 6-11, se utiliza para designar la falta de nitidez de la imagen producida

SEC. 9-3] ABERRACION D E ESFERICIDAD DE UNA SUPERFICIE 141

por la luz paralela que incide en un espejo esférico. E n las lentes se produce un efecto análogo, que vamos a tratar a continuación. E n la figura 9-2, M es un punto objeto axial frente a una superficie esférica y M' su imagen puntual paraxial. Los rayos oblicuos que inciden en la lente sobre una zona de radio h convergen más cerca del vértice A, a una distancia s'h de este.

L a distancia N'M' es una medida de la aberración de esfericidad longitudinal, y su magnitud puede deducirse a partir de la fórmula de tercer orden

n n n — s sh r +

IhwAli 1 W 1 , » ' — \2frí)\s rj\r ns [9-2]

Como por la fórmula paraxial (Ec. [3-2]) tenemos

n n s s'

la expresión entre corchetes del segundo miembro de la ecuación [9-2] es una medida de las desviaciones de la teoría de primer orden. Su magnitud varía con la posición del punto objeto, y

FIG. 9-3.—Aberración de esfericidad longitudinal para la luz paralela que incide sobre una superficie esférica refringente.

para un punto fijo cualquiera es proporcional aproximadamente a h 2 , cuadrado del radio de la zona atravesada por los rayos.

Si el punto objeto está en el infinito, es decir, Tos rayos incidentes son paralelos al eje, como en la figura 9-3, la ecuación queda' reducida a

rí rí hhi2

7h = J + 2/VV [ 9 ' 3 ] •

Vemos que, de nuevo, la aberración es proporcional a h2, cuadrado de la altura del rayo sobre el eje.

142 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

9-4, Aberración de esfericidad de una lente delgada.—La existencia de la aberración de esfericidad en una sola superficie esférica nos indica la posibilidad de que también se produzca en combinaciones de tales superficies, como, p. ej., en una lente delgada. Puesto que muchas de las lentes de los instrumentos ópticos se utilizan para hacer converger haces de rayos paralelos, suele calcularse a efectos comparativos la aberración de esferi-

FIG. 9-4.—Aberraciones de esfericidad lateral y longitudinal de una lente.

cidad para luz paralela incidente. E n la figura 9-4 (a), que ilustra este caso, se ha representado la posición del foco paraxial F', así como la de los focos A, B y C correspondientes a zonas de radio creciente. E l diagrama (b) de la misma figura muestra la diferencia entre aberración de esfericidad longitudinal, abreviadamente A . E . long, y aberración de esfericidad lateral, abreviadamente A . E . lat.

Para medir la magnitud de la aberración w ---^ericidad longitudinal se pueden usar las distancias focales respecto de tres zonas de la lente, calculadas con exactitud en la tabla 8-2. Los resultados son: 9,2202 cm para los rayos paraxiales; 9,1809 cm para una zona de radio h = 0,5 cm; 9,0842 cm para la zona de h = 1 cm, y 8,8820 cm para la de h = 1,5 cm. Esto representa una aberración de esfericidad de 0,3382 cm para la zona de 1,5 cm,

SEC. 9-4] ABERRACION DE ESFERICIDAD DE UNA L E N T E DELGADA 143

que supone alrededor de un 4 % de la distancia focal par-axial. L a figura 9-5 representa la variación de / con h. Para un h pequeño, la curva se aproxima a una parábola, y como los rayos marginales cortan al eje a la izquierda del foco par-axial, se dice que la aberración de esfericidad es positiva. L a curva análoga de una lente equicóncava estaría encorvada hacia la derecha y correspon1

dería a una aberración negativa. E n la figura 9-6 (a) se ha

dibujado un conjunto de lentes del mismo diámetro y dis-tancia^focal paraxial, pero de

c

L 8,8 8,9

1.5

1,0

0,5

9,0 f-

9.J 9,2 9,3

FIG. 9-5.—Variación de la distancia focal con la altura h del rayo. Las diferencias con / son una medida de la aberración

de esfericidad.

9=-2,00 -1,00 r-0,50

Á

0 +0,50 +1,00 +2,00

(O)

g = -2,0 0,5 0 +0,5 +1,0 +2,0

FIG. 9-6.—(o) Lentes de formas diversas e igual potencia o distancia focal. Se diferencian en las curvaturas dé sus caras. (6) Curvas f-h correspondientes a

tales lentes.

144 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP, 9

diferentes formas. L a modificación de forma que se ha representado, se denomina inflexión de la lente. A cada lente se le ha asignado un número q, llamado su factor de forma, definido por

[9-4]

Así, r, =

ej., si los dos radios de un menisco convergente miden 15 cm y r2 = — 5 cm, su factor de forma es

—5 — 15 = —2

3 —5 + 15 L a razón fundamental de tener en cuenta la inflexión de una lente es averiguar la forma para la cual la aberración de esfericidad es mínima. L a existencia de tal mínimo se hace patente en los gráficos de la figura 9-6 (£>). Estas curvas corresponden a las lentes de (a), y los valores se han tomado de la tabla 9-2, habiéndose calculado por los métodos del trazado de rayos del capítulo VIII , tablas 8-1 y 8-2. Obsérvese que la lente (5), cuyo factor de forma

1,0

0,8

3 •8 a 0,6

I 1 °< 4 i

t 0,3

0,2

0,1

) \ \\ \\ \\ Í

\> \ tro vado r&t/os

—teoría de 3er

orden \ —teoría

de 3er

orden

i

R ^ J Í ¡

'

factord • 1

° forme i

+1 +2

FIG. 9-7.—Gráfica de la aberración de esfericidad para lentes de la misma distancia focal y diferente forma (A = 1 cm, / = 4- 10 cm, d — 2 cm y rí = 1,51700).

SEC. 9-5] RESULTADOS DE LA TEORIA DE TERCER ORDEN 145

es + 0,5, tiene aberración de esfericidad mínima. E n la figura 9-7 se ha representado la magnitud de esta aberración, para el rayo correspondiente a h = 1, en la misma serie de lentes. De q = 4- 0,4 a q = 4- 1,0, la aberración de esfericidad solo varía ligeramente por estar cerca del mínimo. No obstante, no se anula en ningún punto. Vemos, por consiguiente, que eligiendo convenientemente los radios de las dos superficies esféricas puede reducirse la aberración a un mínimo, pero no desaparece por completo.

Refiriéndonos a la figura 9-4, veremos que, en las superficies esféricas, los rayos marginales se desvían ángulos demasiado grandes. Por ello, cualquier reducción de esta desviación mejorará la nitidez de la imagen. L a existencia de una condición de mínima desviación en un prisma (Sec. 2-8) indica claramente que, al variar la forma de una lente, la desviación de los rayos marginales será mínima cuando incidan en la primera superficie y abandonen la segunda bajo ángulos aproximadamente iguales. L a repartición por,igual de la refracción lleva consigo una aberración de esfericidad mínima. Para el caso de luz paralela incidente sobre una lente de vidrio crown, esta condición se verifica para un factor q = 4- 0 7, no muy diferente del de la lente planoconvexa, cuyo factor es q = + 1,0 (véase Fig. 9-7).

Puede eliminarse por completo la aberración de esfericidad mediante deformación de la superficie esférica. Este es un proceso muy engorroso en el que, mediante pulimento a mano, se da a las diferentes zonas de una o de ambas superficies de la lente curvaturas adecuadas. Son muy pocas las lentes usadas en la práctica que. merecen tal esfuerzo. Además, dado que esta configuración solo sirve para una distancia objeto, tal lente no queda libre de aberración de esfericidad para las otras distancias. E n la práctica suelen utilizarse superficies esféricas, reduciéndose la aberración de esfericidad mediante una elección adecuada de los radios.

9-5. Resultados de la teoría de tercer orden.—Aunque la deducción de una ecuación para la aberración de esfericidad, de acuerdo con la teoría de tercer orden, es demasiado larga para desarrollarla aquí, algunas de las fórmulas resultantes son de interés. Para una lente delgada tenemos la siguiente fórmula, relativamente sencilla:

A2 1 L s = 87 ' n{n — 1)

lf + 4 („ + L)fq 4- {3n +2)(n — l)p* + [9-5} JL fl — i. I

donde L s = 4 — 4 J E N K I N S - W H I T E . — 1 0

146 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAP. 9

Como se ve en la figura 9-4 (6), s'h es la distancia imagen para un rayo oblicuo que atraviesa la lente a una altura h sobre el eje; s ,, la distancia imagen para los rayos paraxiales, y /, la distancia focal paraxial. La constante p se llama factor de posición, y q es el factor de forma dado por la ecuación [9-4]. E l factor de posición se define como

Utilizando la ecuación de primer orden 1// = (1/s) 4- (1/s'), puede expresarse el factor de posición en función de /:

L a diferencia entre las dos distancias imagen, s'P — sí, es la llamada aberración de esfericidad axial o, abreviadamente, A. E . A. ,

A . E . A . = S ; - S ;

L a intersección del rayo oblicuo con el plano focal paraxial mide la aberración de esfericidad transversal, que, según la figura 9-4 (b), viene dada por

A . E . T . = ( S ; - s ; ) t g e'

Despejando s'p — s'h en la ecuación [9-5],

A. E . A. = s'/hLs J , y A. E . T. = s'phLs j

L a distancia imagen s'h de un rayo que pase por una zona cualquiera de la lente es

s * 1 + %U

E n la figura 9-7 se ha representado la diferencia entre los resultados exactos del trazado de rayos y los de la teoría de tercer orden. Para factores de forma no muy diferentes del mínimo la aproximación es notable. E n la tabla 9-2 se dan los resultados de la teoría de tercer orden para los siete tipos de lentes de la f i gura 9-6.

SEC. 9-5] RESULTADOS DE LA TEORIA DE TERCER ORDEN 147

TABLA 9-2

Aberración de esfericidad de lentes de la misma distancia focal y forma diferente

Espesor de la lente = 1 cm; / = 10 cm; n = 1,5000, y h = 1 cm

Forma1 de la lente r, q Trazado Teoría de de rayos tercer orden

1. Cóncavoconvexa . — 10,000 -4 3,333 — 2,00 ' 0,92 0,88 2. Planoconvexa . . 00 — 5,000 — 1,00 0,45 0,43 3. Biconvexa i . . 20,000 -4 6,666 — 0,50 0,26 0,26 4. Equiconvexa . . 10,000 —10,000 0 0,15 0,15 5. Biconvexa . . . 6,666 — 20,000 + 0,50 0,10 0,10 6. Planoconvexa . •.. 5,000 00 + 1,00 0,11 0,11 7. Cóncavoconvexa . 3,333 10,000 4- 2,00 0,27 0,29

Hallando el factor de forma que hace mínima la ecuación [9-5] se obtienen ecuaciones muy útiles para el diseño de lentes. Para conseguirlo se iguala a 'cero la derivada con respecto a q:

^dU _ \l[n + 2)q 4- 4(« — 1) (« + l)p] , * dq "' 8/3 I

Igualando a 1 cero y n(n

despejando q, i 2 ( « 2 -

- l ) 2

se obtiene: -1)P

[9-9] | « 4 - 2

que es la relación buscada entre el factor de forma y el de posición para que la aberración de esfericidad sea nula. Por lo general, una lente suele diseñarse para un determinado par de distancias objeto e imagen, con' lo que p se deduce a partir de la ecuación [9-6]. Para una lente de n dado, el factor de forma que produce una aberración lateral mínima se calcula inmediatamente ,a partir de la ecuación [9-9]. Para calcular los radios correspondientes a tal factor de forma y obtener la distancia focal adecuada, usaremos la fórmula del constructor de lentes

i + i s s U i rj f

Sustituyendo los valores de s', s' y ru r2 dados por las ecuaciones [9-7] y [9-4], se obtienen las siguientes relaciones debidas a Cod-dington: '

2/ 1 +P 2f(n-

s = 2/

i ) : q + 1 U =

1-P 2 / 0 - 1)

[9-10]

148 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

Las dos últimas dan los radios en función de q y /. Por división de ambas se obtiene:

r, ¡7—1 r2 q f 1

EJEMPLO.—Supongamos que se desea ¡ una lente de distancia focal 10 cm, cuyos radios han de calcularse a efectos de que la aberración de esfericidad sea mínima para luz incidente paralela. Para simplificar, supongamos que el índice es 1,50. Por medio de la ecuación [9-9] empezaremos determinando p y q. Sustituyendo s =? oo y s' — 10 cm en la ecuación [9-6], se obtiene:

10 —oo! ^ í 10 4- M>;

Obsérvese que si s no es infinita, pero se aproxima a infinito, la razón (s'4- s) : (s'—s) tiende hacia — 1 como límite. Sustituyendo este valor del factor de posición en la ecuación [9-9], resulta: j

2(2.25-1) ( - 1 ) ^ 2 ^ 4 j q 1,5 4-2 ; 3,5 ' :

Este valor coincide con el mínimo de la curva de la figura 9-7. El cociente de los radios dado por la ecuación [9-11] es ;

r, = 0,714—1 —0,286 I rz ~ 0,714 4- 1 _ 1,714 ~~ . '

El signo negativo indica que las superficies se curvan en sentidos opuestos, y el valor numérico corresponde a una razón de radios igual a 6 : 1, aproximadamente. Los valores individuales de los radios se obtienen a partir de la ecuación [9-10] y son: 1

1 0 e B , 1 0 « r , :

5,83 cm; r 2 = — — - ^ = — 35,0 cm 1 1,714 . 0,286

Una lente de estas características está entre los tipos (5) y (6) de la figura 9-6, y tiene una aberración de esfericidad igual, aproximadamente, a la de cualquiera de ellos. Por esta razón suelen emplearse con frecuencia lentes planoconvexas en los instrumentos ópticos, con la cara convexa frente a los rayos incidentes. Si girásemos una lente de este tipo de tal forma que la cara plana mirara a los rayos incidentes, el factor de forma sería q = —1, y la aberración de esfericidad se haría cuatro veces mayor.

Aunque no es posible eliminar totalmente la aberración de esfericidad de una sola lente, cabe lograrlo mediante un sistema de dos o más lentes de signos opuestos. La aberración de una de las lentes de tal sistema habrá( de ser igual y opuesta a la de las otras. Si, p. ej., el doblete ha de tener potencia positiva y carecer de aberración de esfericidad, la lente positiva será la de mayor potencia, y su forma, parecida a la de aberración mínima, mientras que la negativa deberá tener una potencia menor y no estar próxima a la forma de mínima aberración. Es posible la neutralización de tal dispositivo porque la aberración varía

SEC. 9-6] ABERRACION DE ESFERICIDAD DE QUINTO ORDEN 149

c o m o el c u b o de l a d i s t a n c i a f o c a l y , p o r t a n t o , c a m b i a d e s i g n o a l v a r i a r el de / ( v é a s e E c . [9-5]). S i dos lentes e s t á n u n i d a s , las superficies en contac to h a b r á n de tener el m i s m o r a d i o . E l de las otras dos se v a r í a de m o d o q u e se anule l a a b e r r a c i ó n de esfer i c i d a d . S i se p u e d e n m o d i f i c a r s i m u l t á n e a m e n t e c u a t r o radios es f a c t i b l e corregir a d e m á s otras aberraciones , c o m o la c r o m á t i c a . Se t r a t a r á esta c u e s t i ó n e n l a s e c c i ó n 9-13.

9-6. Aberración de esfericidad de quinto orden.—Las dos c u r r

v a s de ; l a f i g u r a 9-7 m u e s t r a n q u e p a r a u n a lente q u e t iene u n f a c t o r d e f o r m a c u a l q u i e r a p r ó x i m o a l ó p t i m o , l a c o n c o r d a n c i a , entre l a t e o r í a de tercer o r d e n y el t r a z a d o de rayos es m u y aceptable . N o obstante , p a r a valores de h, e levados y factores de f o r m a , alejados d e l ' o p t i m o , las discrepancias s o n apreciables . E s t o i n d i c a l a n e c e s i d a d de i n c l u i r en l a t e o r í a Itis t é r m i n o s de q u i n t o o r d e n . L a e c u a c i ó n de tercer o r d e n [9-5] i n d i c a q u e l a a b e r r a c i ó n de esfer ic idad debe ser p r o p o r c i o n a l a h2, c o n lo q u e las c u r v a s de l a f i g u r a 9-6 (b) s e r í a n p a r á b o l a s . S i n e m b a r g o , m e d i d a s m á s precisas h a c e n v e r q u e p a r a valores de h e levados, l a p r o p o r c i o n a l i d a d a W n o es exacta , y l a a b e r r a c i ó n de esfer ic idad e s t á re p r e s e n t a d a m á s a p r o x i m a d a m e n t e p o r u n a e c u a c i ó n de l a f o r m a

A . E . A . = ahz + bh*, [9-12]

d o n d e a y b s o n constantes . E l t é r m i n o ah2 representa e l efecto de tercer o r d e n y bhl e l efecto de q u i n t o o r d e n . E n l a t a b l a 9-3 se d a n algunos resultados p a r a u n a sola lente q u e d e m u e s t r a n l a n e c e s i d a d de i n t r o d u c i r este ú l t i m o t é r m i n o . L o s va lores e n negrita de l a q u i n t a f i l a son los v e r d a d e r o s valores de l a a b e r r a c i ó n de esfer ic idad a x i a l , o b t e n i d o s p o r los m é t o d o s d e l t r a z a d o de rayos , m i e n t r a s q u e los de l a ú l t i m a f i l a c o r r e s p o n d e n a u n a -p a r á b o l a p a r a h = 1,0 c u y a e c u a c i ó n es

A . E . A . = ah2

c o n a' = 0,11530 c m " 1 .

TABLA 9-3

Corrección de quinto orden de la aberración de esfericidad / = 10 cm; = -f- 5 cm; r2 = oo; n = 1,500; d = 1 cm

1. h, cm 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

2. ah* 0,02839 0,11356 0,25551 0,45424 0,70975 1,02204 3. 6 A* 0,00011 0,00174 0,00881 0,02784 0,06797 0,14094 4. ah* + bh* 0,02850 0,11530 0,26432 0,48208 0,77772 1,16928 5. Trazado de rayos . . . 0,02897 0,11530 0,26515 0,48208 0,77973 1,16781 6. Parábola 0,02882 0,11530 0,25942 0,46120 0,71812 1,03770»

150 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAP. 9

L a segunda fila da las correcciones de tercer orden oh2 y la tercera las de quinto orden bh*. L a cuarta fila contiene los valores calculados a partir de la ecuación [9-12] para h = 1 cm y

\ a

N

ter n

0,6 0,4 0,2 —A.E /ong.

{a)

bor de \

A i ~t—L.

!

2cm

9,90 9,95 10,00 10,05cm d/s tanda foca/ J

FIG. 9-8.—Contribuciones de: (a) tercer orden, y (6) quinto orden, a la aberración de esfericidad longitudinal, (c) Aberración de esfericidad longitudinal de ún doblete

corregido, como el empleado en los anteojos.

h — 2 cm. Con los valores 0,11530 y 0,48208 en estos puntos, las constantes son:

a = 0,11356 0,00174

Comparando los valores de la cuarta fila con los correctos de la quinta, se ve que estos están bastante de acuerdo con la ecuación [9-12]. E n los gráficos [a) y (¿>) de la figura 9-8 se han representado los valores de las filas 2 y 3, viéndose que la contribución de la corrección de quinto orden es despreciable para valores de h pequeños. Si en una lente solo estuviera presente la aberración de tercer orden sería posible combinar una lente positiva con otra negativa de la misma aberración para obtener una combinación corregida para todas las zonas. Como én realidad tendrían cantidades diferentes de aberración de quinto orden, solo será posible la corrección para una zona.

E n la figura 9-8 (c) se ha representado una gráfica de la aberración de esfericidad de un doblete corregido para la zona marginal. Se observa que la curva solo pasa por cero en el centro y en el borde. Si se aumenta la apertura, la combinación resultará mal corregida. E l plano de mejor enfoque está un poco a la izquierda de los focos paraxial y marginal, y su posición (indi-

SEC. 9-7] COMA 151

cada por la línea vertical punteada) coincide con la del círculo de máxima nitidez.

E n la ecuación [9-12], a y b representan las constantes de un doblete de lentes delgadas. Si la combinación ha de estar corregida en la zona marginal, es decir, para un rayo de altura hm, habremos de tener: '

i | A. E. A. = ahmz + bhm1 = 0 o sea | : a — — bhm

2

Sustituyendo, en la ecuación' [9-12], se obtiene:

A.E.A. =j= — bhjh? + bh4

donde hm es fijo y h puede tomar cualquier valor entre 0 y hm. Para-hallar el máximo de esta expresión derivaremos con respecto a h e ¡igualaremos a cero, del modo siguiente:

d(A. E. A.) dh

-- — 2bhmzh + 4bhs = 0

Dividiendo por —2bh, resulta:

h = hm V i = 0,707/i»,

que es el radio de la zona en que la aberración es máxima [véase Fig. 9-8 (c)]. E n el diseño de lentes, la aberración de esfericidad se estudia siempre trazando un rayo a través de la combinación por la zona de radio Q,707hm.

9-7. Coma.—La segunda de las aberraciones monocromáticas de la teoría de tercer orden se llama coma. Recibe esta denominación por la forma de cometa que tiene la imagen de un punto objeto situado justamente fuera del eje. Aunque la lente se corrigiera de aberración de esfericidad, haciendo converger todos los

ratjoP1

FIG. 9-9.—Ilustración de la aberración de coma. Solo se ha representado el abanico tangencial de rayos.

152 ABERRACIONES DE: LAS LENTES [CAP. 9

rayos en un punto del eje, los puntos imagen correspondientes a objetos fuera del eje no serían nítidos, a menos de corregir la lente de coma. E n la figura 9-9 sé ilustra este defecto para un punto objeto fuera del eje e infinitamente alejado. De todos los rayos del plano meridiano representados, solo los que pasan por el centro de la lente forman una imagen en A'. Los dos rayos que pasan por los bordes convergen en B'. Ello hace que el aumento sea diferente para las diversas zonas de la lente. Si el aumento es mayor para los rayos exteriores ¡ que para los centrales, se dice que la coma es positiva, siendo negativa en caso contrario.

E n la parte superior derecha ¡de la figura 9-9 se muestra la forma de la imagen de un punto situado fuera del eje. Cada uno de los círculos representa la imagen formada por una zona distinta de la lente. Los detalles de la formación del círculo comático correspondiente a una zona determinada pueden observarse en la figura 9-10. Los rayos (1), correspondientes a los tan

genciales B de la figura 9-9, cortan al círculo comático en |(1), mientras que los (3), llamados sagitales, pasan por la parte superior del círculo. E n general todos los puntos del círculo comático ívienen deter-jminados por la intersección de pares de rayos diametral-jmente opuestos de la misma zona. Según la teoría de ter-í cer orden, el radio de un círcul o comático viene dado por

FIG. 9-10.-—Cada una de las zonas de una lente forma una imagen anular llamada

círculo comático.

ih2

I i [9-13]

donde /, h y / son las distancias indicadas en la figura 9-11 (a), y p y q, los factores de posición y de forma de Coddington, dados por las ecuaciones [9-6] y [9-4], Las otras dos constantes se definen así:

3 ( 2 » + 1) .. : TX7 3(n + l) G = W = • 4« J 4n(n — 1)

L a forma de la figura comática viene dada por y = Cs(2 + eos 2<¡f) z = C 5 sen 2<|>

donde se ve que la coma tangencial Q es tres veces mayor que la sagital G [véase Fig. 9-11 (&)]. Por tanto, :

C, = 3CS i

FIG. 9-12.-—Comparación de la magnitud de la aberración de coma y de la aberración de esfericidad longitudinal en lentes de diversas formas.

154 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAP. 9

Para ver las variaciones de la coma con la forma de la lente se ha dibujado un diagrama de la altura de la figura comática C< en función del factor de forma q (Fig. 9-12). Los valores numéricos se han calculado a partir de la ecuación [9-13] y están tabulados en la tabla 9-4.

TABLA 9-4

Comparación de las aberraciones de esfericidad y coma en lentes de la misma distancia focal y diferente factor de forma

h — 1 cm; / = 4- 10 cm; y = 2 cm; n = 1,5000

Forma de la lente Factor de íorma Coma Aberración de esfericidad

i . Cóncavoconvexa . . — 2,0 — 0,0420 cm 4- 0,88 cm 2. Planoconvexa . . . — 1,0 — 0,0270 + 0,43 3. Biconvexa — 0,5 — 0,0195 4- 0,26 4. Equiconvexa . . . . 0 — 0,0120 + 0,15 5. Biconvexa + 0,5 — 0,0045 4- 0,10 6. Planoconvexa . . . + 1,0 + 0,0030 4- 0,11 7. Cóncavoconvexa . . + 2,0 + 0,0180 + 0,29

Se ha supuesto un haz paralelo incidente, que forma un ángulo de 11° con el eje. Los valores de la aberración de esfericidad longitudinal, dados como punto de referencia, se han calculado asimismo por la teoría de tercer orden (Ec. [9-5]) suponiendo que la luz incide en la lente paralelamente al eje y atravesando la misma zona.

E l hecho de que la curva que representa la coma corte al eje cero indica que puede construirse una lente sencilla completamente desprovista de esta aberración. Es importante observar, para las lentes representadas, que el factor de forma q = 0,800 correspondiente a coma nula está tan próximo al q = 0,714 de aberración de esfericidad mínima, que una lente sencilla proyectada para CV = 0 tendrá prácticamente la aberración de esfericidad mínima.

Para calcular el valor de q que anule la ecuación [9-13] se iguala C s a cero. De ello resulta

Si los factores de forma y posición de una lente verifican esta relación, la lente estará libre de coma. Un doblete diseñado para corregir la aberración de esfericidad puede corregirse simultáneamente de coma. L a gráfica de la figura 9-13 muestra la aberración de esfericidad residual y la coma en un objetivo de telescopio.

SEC. 9-8] PUNTOS APLANATICOS D E UNA SUPERFICIE ESFERICA 155 - .

9-8. Puntos aplanáticos de una superficie esférica.—Un sistema^ óptico libre de aberración de esfericidad y de coma se llama aplanátíco. Y a se ha discutido el significado de una superficie aplanática en el caso de tratarse de una sola superficie sencilla (Sec' 1-6). Las lentes pueden ser también aftlanáticas respecto de cualquier par determinado de puntos conjugados, pero en general es necesario que su superficie no sea esférica. Salvo casos especiales, ninguna combinación de lentes* con superficies esféricas está completamente libre de ambas aberraciones. ¡

Un caso especial de considerable importancia en microscopía es el de una ¡ sola superficie esférica refringente. Para demostrar la existencia de puntos aplanáticos en una sola superficie se comenzará describiendo una útil construcción debida a Huygens. En la figura 9-14 (a), RT representa un rayo cualquiera en el primer medio, de índice n, que incide en T formando un ángulo <¡> con la normal NC. Con centro en C y radios

rí y

n se trazan las dos circunferencias punteadas. L a prolongación de RT corta al arco mayor en /, desde donde se traza la recta JC, que corta al arco menor en K. L a recta KT da la dirección del rayo refractado 2 . Además, cualquier rayo dirigido hacia / se refractará pasando por K.

Los puntos aplanáticos dé, una superficie única son los de intersección de los arcos auxiliares con el eje [véase Fig. 9-14 (&)]. Todos los rayos dirigidos inicialmente hacia M pasarán por M', y análogamente, todos los rayos que divergen desde M', después de refractarse, parecen venir de M. E n la figura 9-15 se aplica

2 Una demostración de esta proposición aparece en la obra de J . P . C . SOUTHALL Mirrors, Prisms, andLenses, 3.A ed., pág. 512, The Macmillan Co., Nueva York, 1936,

u / / t 1 v 1

"H'F'

\ \ \ \

\\

* \

eje

borde

9,90 9,95 10,0 10,05

FIG. 9-13.—Curvas de un doblete pegado, en las que se ve la posición variable del foco F' (aberración de esfericidad longitudinal) y la distancia focal / ' variable (aberración de

coma = H'F' — f).

n = r [9-15]

156 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

FIG. 9-14.—(a) Construcción gráfica de la refracción en una superficie esférica, p = rrí/n y p' = rn/rí. (6) Situación de los puntos aplanáticos.

este principio a un microscopio. Sobre ia platina se deposita una gota de aceite del mismo índice que el de la lente semiesférica, poniéndose ambas en contacto. Todos los rayos procedentes de un objeto M, después de refractarse, abandonan la superficie esférica como si procediesen de M', lo que introduce un aumento lateral de M'AjMA. Añadiendo una segunda lente, con el centro de su superficie cóncava en M' (y, por tanto, normal a todos los rayos), la refracción producida en su cara superior introducirá un aumento adicional sin aberración de esfericidad si su radio es rí x CM'. Esta propiedad de la lente superior es válida solo para los rayos procedentes de M

ÍM" « FIG. 9-15.—Superficies aplanáticas de los primeros elementos de un objetivo de microscopio de inmersión en aceite.

SEC. 9-9] ASTIGMATISMO 157

y no de los puntos próximos a él. L a aberración cromática im-pone>un límite a este proceso (véase Sec. 9-13).

9-9. Astigmatismo.—Si se anulan las dos primeras sumas de Seidél, los rayos procedentes de puntos del eje de una lente o próximos a él formarán imágenes. puntuales libres de aberración de-esfericidad y de coma. Pero si el punto objeto está algo dis-tantedel eje, solo se formará una imagen puntual cuando se anule la ¿ercera suma de Seidel, 5 3 . Si la lente no verifica esta tercera condición se dice que está afectada de astigmatismo, y la imagen borrosa -que produce se llama astigmática. E n la sección 6-9 se estudió la formación de imágenes reales astigmáticas por los es-

piano _ tangencia/

M 1

A i-

eje

Q sagital —-^f lente

(a)

T S

FIG. 9-16.—(a) Diagrama en perspectiva que muestra las dos líneas focales que constituyen la imagen de un objeto puntual Q, íuera del eje. (6) Lugares de las imágenes tangencial y sagital. Ambas superficies se aproximan a paraboloides de

revolución.

pejos esféricos cóncavos. Para una mejor comprensión de la formación de imágenes astigmáticas en las lentes se ha dibujado en perspectiva un diagrama de rayos como nos lo muestra la figura 9-16 («). Considerando los rayos procedentes de un punto objeto Q, los del abanico situado en el plano vertical o tangencial se cortan en T, mientras que los del plano horizontal o sagital lo hacen en S. Los planos tangencial y sagital cortan a la lente se-

158 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

gún RS y JK, respectivamente. Se lian elegido los rayos contenidos en estos planos porque determinan las dos líneas focales T y S formadas por todos los rayos que atraviesan la lente. Ambas son perpendiculares a los planos tangencial y sagital, respecti-vemente. E n L la imagen tiene, aproximadamente, forma de disco y constituye en este caso el círculo de máxima nitidez.

Los lugares de las posiciones de T y S para un amplio campo de puntos objeto distantes son paraboloides, cuyas secciones se han representado en la figura 9-16 (b). L a magnitud de esta aberración, o diferencia astigmática, para un pincel cualquiera de rayos viene dada por la distancia entre estas dos superficies medida a lo largo del rayo principal. E n el eje, donde coinciden ambas superficies, la diferencia astigmática es nula; fuera del eje aumenta aproximadamente como el cuadrado de la altura de la imagen. E l astigmatismo es positivo cuando la superficie T • está a la izquierda de la S, como en el diagrama. Obsérvese que para un espejo cóncavo (Fig. 6-15), la superficie sagital es un plano que coincide con el plano focal paraxial.

Si, como en la figura 9-17, el objeto es una rueda con radios situada en un plano perpendicular al eje y de centro M, la llanta quedará enfocada en la superficie T y los radios en la 5. Por esta razón se dan los nombres de «tangencial» y «sagital» a los planos e imágenes. E n la superficie T todas las imágenes son líneas para

lelas a la llanta, como se ve a la izquierda de la figura 9-17, mientras que en la S todas las imágenes son líneas paralelas a los radios, según aparece en la parte derecha.

Las ecuaciones que dan las distancias imagen astigmáticas para una sola superficie refringente son 3 :

n eos2 <f> n' eos2 (f>' n' eos <f>' — n eos <f>

FIG. 9-17.- -Imágenes astigmáticas de una rueda con radios.

n + - =

n' eos </>' — n eos <f> [9-16]

donde <f> y <f>' son los ángulos de incidencia y refracción del rayo principal; r, el radio de curvatura; s, la distancia objeto, y st y ss,

3 Véase G. S. MONK: Light, Principies and Experiments, 1.» ed., pág. 424, McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, 1937.

SEC. 9-9] ASTIGMATISMO 159

las distancias imagen T y S, medida esta última a lo largo del rayo principal. E n el caso de j un espejo esférico, estas ecuaciones se reducen a !

?.+ • s s { / eos </>

1 s

eos <¡> ; _ 7 _

Coddington demostró que para una lente delgada en el aire y con un diafragma de apertura en la lehte, las posiciones de las imágenes tangencial y sagital vienen dadas por

+ -« =

H- = eos — 1 [9-17]

E l ángulo <j> es el de oblicuidad del rayo principal incidente, y </>', el de este rayo dentro de la lente. Por tanto, n = sen <j>/sen </>'. L a aplicación de estas fórmulas a las lentes delgadas demuestra que el astigmatismo es aproximadamente proporcional a la distancia focal y mejora muy poco al variar la forma de la lente.

Aunque un doblete de contacto formado por una lente positiva y otra negativa presenta un astigmatismo considerable, la introducción de un tercer elemento, tal como un diafragma o una lente, lo reduce considerablemente. E l apropiado espaciamiento de las lentes, de cualquier sistema óptico, o la adecuada colocación de un diafragma, en su caso, hace variar notablemente la curvatura de las superficies imagen astigmáticas. E n la figura 9-18 se han representado cuatro etapas del sucesivo aplanamiento de tales superficies mediante estos cambios. E l diagrama (a) representa la forma normal de las superficies S y T de una sola lente o de un doblete. E n el (í>), la separación de los dos elementos del

TSP 4 ?

F' (c)

P S ? T

F' id)

FIG. 9-18.—Superficies astigmáticas T y S en relación con la superficie fija de Petzval, P, al variar el espaciamiento entre lentes (o entre lente y diafragma).

160 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAP. 9

doblete es tal que las dos superficies coinciden en P. Una posterior modificación de la forma de las lentes, y de su separación hace disminuir la curvatura de T y S, como en (c), o las separa de tal modo que son bisecadas por el plano normal en F', como en (d). De estos cuatro casos solo en el (6) se elimina el astigmatismo. L a superficie paraboidal P, en la que se forman los puntos imagen, se llama superficie de Petzval.

9-10. Curvatura de campo.—Si en un sistema óptico se anulan las tres primeras sumas de Seidel, el sistema formará imágenes puntuales de puntos objeto situados tanto en el eje como fuera de él. E n estas circunstancias, las imágenes se forman en la superficie de Petzval, en la que coinciden las superficies tangencial y sagital [Fig. 9-18 (&)]. Aunque el sistema está corregido de astigmatismo, la superficie focal es curva. Si se colocara una pantalla plana en B, el centro del campo estaría exactamente enfocado, pero los bordes serían muy confusos. Con la pantalla en Á, tanto el centro como los bordes serían difusos, y el enfoque nítido estaría en la zona intermedia.

"Matemáticamente, a cada sistema óptico le corresponde una superficie de Petzval, y si se mantienen fijos los índices de refracción y las potencias de las lentes, no puede variarse la forma de dicha superficie mediante cambios del factor de forma o del espaciamiento de las lentes. Tales alteraciones, por el contrario, modifican la forma de las superficies T y S, pero siempre de tal modo que la razón de las distancias PT y PS es 3 : 1 . Obsérvese que en la figura 9-18 se conserva esta razón. Si se diseña un sistema tal que la superficie T sea plana, como en la figura 9-18 (c), la razón 3 : 1 de las distancias requiere que S sea curva, aunque no excesivamente. Situando la pantalla en una posición intermedia A, la imagen estará bastante bien enfocada en todo el campo.

F' (b)

FIG. 9-19.—[a) Un diafragma adecuadamente situado reduce la curvatura de campo, (b) Superficies astigmáticas de un objetivo fotográfico «anastigmático».

SEC. 9-11] DISTORSION 161

Esta condición de» corrección se utiliza corrientemente en ciertos tipos, de. objetivos fotográficos. U n aumento del astigmatismo negativo lleva a la situación representada en la figura 9-18 (d), en la cual T es convexa y S cóncava en la misma medida. E n este caso,' en los^bordes de una pantalla situada en el foco paraxial la imagen es muy borrosa.

LQL curvatura de campo de una lente única puede corregirse mediante un diafragma. Actuando como un segundo elemento del sistema, un diafragma limita los rayos procedentes de cada punto objeto, de tal manera que las trayectorias de los rayos principales de los distintos puntos pasen por diferentes partes de la lente [Fig. 9-19 («)]. Ciertos fabricantes de máquinas fotográficas baratas utilizan una sola lente menisco y un diafragma, con lo que obtienen imágenes bastante aceptables. E l diafragma se coloca delante de la lente, con la superficie cóncava dando cara a la luz incidente. Aunque en el centro del campo el enfoque es bastante nítido, en los bordes la imagen es borrosa a causa del astigmatismo.

E n sistemas de lentes más complejos, y debido a las diferencias entre las correcciones de tercero y quinto orden, es posible controlar el astigmatismo haciendo coincidir las superficies 5 y T tanto en el centro como en zonas más externas del campo. E n la figura 9-19 (b) se han representado curvas típicas de un objetivo fotográfico «anastigmático». La experiencia demuestra que se alcanza el mejor grado de corrección cuando el punto de intersección, o punto nodal, está a distancia relativamente pequeña delante del plano focal.

9-11. Distorsión.—Aun siendo nulas las cuatro primeras sumas de Seidel en un sistema óptico, este vendría afectado por la quinta de las aberraciones, llamada distorsión. Para quedar libre de distorsión, el aumento lateral del sistema habrá de ser uniforme en todo el campo. Una cámara provista de un simple orificio es ideal en este aspecto por carecer de distorsión; todas las rectas que unen cada par de puntos conjugados de los planos objeto e imagen pasan por la abertura. E l aumento constante, tanto en este caso como en el de una lente, implica, como se ve en la f i gura 9-20 (a), que

^ - 4 = const. tg 4>

L a parte inferior de la figura 9-20 muestra las formas más comunes de distorsión producidas por las lentes. E l diagrama (b) reproduce la imagen no deformada de una malla rectangular. En el (c) aparece la distorsión en barrilete, originada al disminuir J E N K I N S - W H I T E . — 1 1

162 ABERRACIONES DE LAS LENTES ¡CAP. 9

(6) id) FIG. 9-20.—(a) Las cámaras provistas de un orificio no presentan distorsión. Imágenes de un objeto rectangular: (i) sin distorsión; (c) con distorsión en barri

lete, y (d) con distorsión en corsé.

el aumento hacia los bordes del campo, y en el (c), la distorsión en corsé, correspondiente a un mayor aumento en los bordes.

Una lente delgada está prácticamente libre de distorsión para todas las distancias objeto. Sin embargo, no puede estar libre simultáneamente de todas las demás aberraciones. Poniendo un diafragma delante o detrás de una lente delgada, se introduce invariablemente distorsión, pero no si se coloca pegado a la lente. Corrientemente en el diseño de lentes fotográficas de calidad se suprimen a la vez el astigmatismo y la distorsión mediante un dispositivo casi simétrico de dos lentes con un diafragma entre ambas.

Para ilustrar la razón de esto, consideremos la lente de la f i gura 9-21 (a), que tiene un diafragma frontal. Los rayos procedentes de puntos objeto tales como el M, sobre el eje o próximos a él, pasan por la parte central de la lente, mientras que los originados en puntos distantes del eje como el Q2 se refractan solo en la mitad superior. En este último caso el diafragma hace menor la razón de la distancia imagen a la distancia objeto, medidas ambas a lo largo del rayo principal, con lo que se reduce el aumento lateral en relación con el de los puntos objeto cercanos al eje..

SEC. 9-11] DISTORSION 163

(a)

(6)

FIG. 9-21.—(a) Un diafragma delante de una lente origina distorsión en barrilete. (6) Un diafragma detrás de una lente origina distorsión en corsé, (c) Un doblete

simétrico con un diafragma intercalado está casi libre de distorsión.

E l sistema, por tanto, está afectado de distorsión en barrilete. In-virtiendo las posiciones de la lente y del diafragma, como en la figura 9-21 (b), se ve que la razón de la distancia imagen a la distancia objeto aumenta al alejarse el punto objeto del eje. E l resultado es un mayor aumento y, por tanto, distorsión en corsé.

L a combinación de dos lentes idénticas con un diafragma intermedio [Fig. 9-21 (c)] está libre de distorsión para un aumento unidad a causa de su simetría. No obstante, para otros aumentos han de corregirse las lentes de aberración de esfericidad respecto de las pupilas de entrada y salida. Estas dos pupilas, S' y S", coinciden con los planos principales de la combinación. Tal sistema, cuando está corregido, se llama doblete ortoscóftico o lente

164 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

Tapida rectilínea. Debido a no poderse corregir este sistema de aberración de esfericidad para los planos objeto e imagen y para las pupilas de entrada y de salida al mismo tiempo, la lente tendrá esta aberración, así como astigmatismo. E n la sección 10-4 se estudian objetivos fotográficos de este tipo.

Resumiendo muy brevemente los diversos métodos de corregir las aberraciones, diremos que la de esfericidad y la coma se reducen o anulan mediante un doblete de contacto de forma apropiada; el astigmatismo y la curvatura de campo requieren el uso de varias lentes componentes separadas, y la distorsión se reduce al mínimo mediante la colocación adecuada de un diafragma.

9-12. Teorema de los senos y condición de los senos de Abbe. E n el capítulo III se vio que el aumento lateral producido por una sola superficie esférica venía dado por la relación (Ec. [3-7]).

y' s' — r m = — =-s + r

Esta ecuación se dedujo de la semejanza de los triángulos MQC y M'Q'C de la figura 3-6.

De la ecuación [8-1] se obtiene la relación exacta

s + r

y de la [8-4]

r =

sen <¡> sen 6

sen (f>' sen& ;

Si se sustituyen ambas ecuaciones en la primera, resulta: y' sen ^' sen 0 y sen 8' sen <f>

De acuerdo con la ley de Snell ! sen ^' n sen <j> ; rí

que introducida en la anterior, da:| y' n sen 6 y rí sen 0'

o ny sen 0 = ríy' sen 0' teorema de los senos E n esta ecuación y e y' son las alturas objeto e imagen; n y rí, los índices de los espacios objeto e imagen, y 0 y 0', las inclinaciones respectivas del rayo en estos dos espacios (véase Fig. 9-22). Este teorema, muy general, se aplica a todos los rayos, sean cuales fueren los ángulos 0 y 0'.

SEC. 9-12] TEOREMA DE LOS SENOS 165

í Jí s I s I Q

¡tí

FIG. 9-22.—Aplicación del teorema de los senos a la aberración de coma.

Para rayos paraxiales, en los que 6 y 0' son pequeños, pueden reemplazarse sen 0 y sen 0' por dp y Q'p, respectivamente, lo que da

nyQp — n'y'Q'p . teorema de Lagrange

relación conocida como teorema de Lagrange. E n ambos teoremas las magnitudes de la izquierda corresponden al espacio objeto, y las de la derecha, al espacio imagen.

L a figura 9-22 muestra un par de rayos sagitales QR y QS procedentes del punto objeto Q y que pasan por una determinada zona de una superficie refringente única. Estos dos rayos particulares se cortan después de la refracción en un punto Q'S

del eje auxiliar. Por otra parte, el par de rayos tangenciales QT y QTJ que pasan por la misma zona se cortan en Q'T, mientras que los paraxiales lo hacen en Q'. Debido a la aberración de esfericidad general y al astigmatismo de la superficie única, los planos paraxial, sagital y tangencial no coinciden. L a figura comática convencional, a la derecha del diagrama, aparece solo en ausencia de aberración de esfericidad y de astigmatismo.

Dado que la coma se limita a desplazamientos laterales de la imagen, en los que y e y' son relativamente pequeños, podemos despreciar el astigmatismo y aplicar los teoremas anteriores a una superficie única del modo siguiente: Obsérvese que 0 y 6', que son las inclinaciones de los rayos zonales QS y Q'SS con relación al rayo principal (R. P.), para el punto objeto Q, son vir-tualmente iguales a las inclinaciones de los rayos procedentes del punto objeto M del eje que pasan por la misma zona de la superficie. Podemos, por tanto, aplicar el teorema de los senos para hallar el aumento de la imagen sagital para cualquier zona:

ys n sen 0 y n sen 0

donde y's = Q'SMS en la figura 9-22.

166 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

Para ver cómo puede generalizarse el teorema de los senos y el de Lagrange a un sistema óptico completo formado por dos o más superficies, obsérvese que en el espacio imagen de la primera superficie los dos productos son n\yx sen 6 y ri{y'$pv respectivamente. Estos productos son idénticos a los del espacio objeto de la segunda superficie, pues n\ = n 2 , y\ = y2 y 0Í = 62; por tanto, los productos son invariantes para todos los espacios del sistema, incluidos el espacio objeto inicial y el espacio imagen final. Es esta una propiedad de gran importancia.

Para que un sistema esté libre de aberración de esfericidad y de coma, ha de satisfacer una relación conocida como condición de los senos. Esta condición, descubierta por Abbe, impone que el aumento en cada zona de la lente sea el mismo que para los rayos paraxiales. E n otras palabras, ú en el espacio imagen final y's = y' y m, — m, podemos combinar las dos ecuaciones anteriores, obteniendo:

sen 6 6* = -f = const.

sen 6' %

condición de los senos [9-18]

Cualquier sistema óptico está, por tanto, libre de coma si en ausencia de aberración de esfericidad sen 6/sen 8' = const. para todos los valores de 0. E n el diseño de lentes suele comprobarse

la coma representando la razón sen 8/sen 6' en función de la altura del rayo incidente. Como muchas lentes se utilizan con luz incidente o emergente paralela, es costumbre reemplazar sen 0 por h, altura del rayo sobre el eje, y escribir la condición de los senos en la siguiente forma: FIG. 9-23.—Para eliminar la aberración

•de esfericidad y la de coma, la superficie principal debería ser esférica, de radio /'.

sen = const. [9-19]

E l diagrama de la figura 9-23 muestra que la constante de esta ecuación es la distancia focal medida a lo largo del rayo imagen, que aquí hemos llamado /'. Para evitar la coma, /' debe ser igual para todos los valores de h. Puesto que para evitar la aberración de esfericidad todos los rayos han de cortar al eje en F', para suprimir simultáneamente la coma, el «plano» principal ha de ser una superficie esférica de radio /' (representada por la línea de puntos en la figura). Se ve así que mientras la aberración de esfericidad depende de que los rayos pasen por el foco,

SEC . 9-13] ABERRACION CROMATICA 167

la coma está'relacionada con la forma de la superficie principal. Obsérvese que los puntos aplanáticos de una sola superficie esférica (véase Sec. 9-8) son únicos en el sentido de que están enteramente libres de aberración de esfericidad y de coma, satisfaciendo exactamente la condición de los senos.

9-13. Aberración cromática.'—En el estudio de la teoría de tercer orden hecho en las secciones anteriores no se ha tenido en cuenta el cambio del índice de refracción con el color. L a hipótesis

FIG. 9-24.—(a) Aberración cromática de una lente. (6) Doblete pegado corregido de aberración cromática, (c) Diferencia entre aberración cromática longitudinal

y lateral.

de que n es constante hace que los resultados hasta ahora obtenidos sean válidos solo para luz monocromática. Dado que el índice de refracción de todo medio transparente varía con el color, una lente única da tantas imágenes como colores haya presentes en el haz luminoso. E n la figura 9-24 (a) se ha representado esquemáticamente una tal serie de imágenes coloreadas de un punto objeto del eje infinitamente alejado. L a acción prismática de la lente, que aumenta hacia sus bordes, es causa de la dispersión y hace que el foco de la luz violeta sea el más próximo a la lente.

Como consecuencia de la variación de la distancia focal de la lente con el color, el aumento lateral variará también. Puede

168 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

verse esto en la figura 9-24 (c), donde se dan las alturas de la imagen para el violeta y el rojo correspondientes a un punto objeto Q situado fuera del eje. La distancia horizontal entre las imágenes axiales se llama aberración cromática axial o longitudinal, mientras que la diferencia vertical de altura sé denomina aberración cromática lateral. Dado que, frecuentemente, estas aberraciones son comparables en magnitud con las aberraciones de Sei-del, es de gran importancia su corrección. Como indicación de sus magnitudes relativas, observemos que la aberración cromática longitudinal de una lente equiconvexa de vidrio de gafas crown, de 10 cm de distancia focal y 3 cm de diámetro, es exactamente la misma (2,5 mm) que la aberración de esfericidad de los rayos marginales en la misma lente.

Aunque hay diversos métodos generales para corregir la aberración cromática, el más frecuente consiste en utilizar dos lentes delgadas en contacto, una de vidrio crown y otra de vidrio flint, y se estudiará en primer lugar. L a forma corriente' de este doblete acromático está representada én la figura 9-24 (¿>). La lente crown tiene una gran potencia positiva y la misma dispersión que la lente flint, de potencia menor y negativa. La potencia de la combinación es, pues, positiva, mientras que la dispersión queda neutralizada, lo que hace que todos los colores tengan aproxima-

l , 5 6 r ; . ; L ; ,

violeta azul verde amarillo

FIG. 9-25.—Gráficas de los índices de refracción de varios tipos de vidrios ópticos. Se denominan curvas de dispersión.

SEC. 9-13] ABERRACION CROMATICA 169

damente el mismo foco. L a posibilidad de acromatizar tal combinación se basa en el hecho de que las dispersiones producidas por diferentes tipos de vidrio no son proporcionales a las desviaciones que originan (Sec. 1-7). E n otras palabras, las potencias dispersivas 1/v difieren de una sustancia a otra.

TABLA 9-5

Indices de refracción de medios ópticos usuales para cuatro colores

Medio Símbolo Tipo I. C. T. V nc nD nF nG'

Crown de borosili-BSC 500/665 66,5 1,49776 1,50000 1,50529 1,50937

Crown de borosili-500/665

BSC-2 517/645 64,5 1,51462 1,51700 1,52264 1,52708 Crown de gafas . . SPC-1 523/586 58,8 1,52042 1,52300 1,52933 1,53435 Crown ligero de Ba. LBC-1 541/599 59,7 1,53828 1,54100 1,54735 1,55249 Flint de anteojo . TF 530/516 51,6 1,52762 1,53050 1,53790 1,54379 Flint denso de Ba. DBF 670/475 47,5 1,66650 1,67050 1,68059 1,68882 Flint ligero . . . L F 576/412 41,2 1,57208 1,57600 1,58606 1,59441 Flint denso . . . DF-2 617/366 36,6 1,61216 1,61700 1,62901 1,63923 Flint denso . . . DF-4 649/338 33,9 1,64357 1,64900 1,66270 1,67456 Flint extra denso. EDF-3 720/291 29,1 1,71303 1,72000 1,73780 1,75324 Cuarzo fundido. . Si0 2

720/291 67,9 1,4585

Cristal de cuarzo (rayo O). . . . Si0 2 70,0 1,5443

CaF 2 95,4 1,4338

En la figura 9-25 se han dibujado gráficas de la variación de n con el color para una serie de vidrios típicos, mientras que en la tabla 9-5 se dan los valores reales de n para distintas rayas de Fraunhofer. E l máximo de la curva de brillo v i sua l 4 de la f i gura 9-25 tiene lugar cerca de la raya D amarilla. Por esta razón se ha elegido el índice nD como base para el trazado de rayos y para la especificación de las distancias focales. A fines de acro-matización se eligen otros dos índices, uno a cada lado de nD. Como se ha indicado en la tabla, los más usados son el nc en el extremo rojo y el % o nG- en el extremo azul.

La distancia focal resultante fD o potencia PD de la combinación, para la raya D, de dos lentes delgadas en contacto viene dada por las ecuaciones [4-8] y [4-9]:

1 El brillo es una magnitud sensorial de la luz, del mismo modo que la sonoridad lo es del sonido. Ambos varían aproximadamente como el logaritmo de la energía en un amplio intervalo. La curva dibujada representa los logaritmos de la curva patrón de luminosidad.

170 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

'D 'Ü 'D

donde el subíndice D indica que la magnitud depende de nD; ÍD Y P'D s e r e f i e r e n a la distancia focal y potencia de la componente de vidrio crown, y f'D y P'D son las magnitudes respectivas de la componente flint. E n función de los índices de refracción y los radios de curvatura, la ecuación anterior toma la forma

^ K H H H - H H ) [9'211

Por comodidad hagamos

H H ) Y H H ) ™ Entonces la ecuación [9-21] toma la forma más sencilla

PD = i% - 1)*' + («; - l)K" [9-23]

Análogamente, para cualquier otro color o longitud de onda tales como las rayas F y C del espectro, se puede escribir:

pF = (ríF~i)K' + K - i ) K n Pc = (ríc-1)K' + (n'c-l)K"¡ LV^J

Para hacer acromática la combinación se igualan las distancias focales correspondientes a las rayas F y C. Esto es, haciendo PF = Pe

{np - 1)K' + (« ; - 1)K» = (n'c - 1)K' + (n"c - 1)K"

Simplificando,

K' rí — rí — = _ _ £ _c [9-25]

F c Como tanto el numerador como el denominador del segundo

miembro son positivos, el signo menos indica que una K ha de ser positiva y la otra negativa, lo que significa que una de las lentes debe ser negativa.

Ahora bien: para la raya D las potencias separadas de ambas lentes delgadas vienen dadas por

FD = (ríD-l)K' y P ; = (ríD-\)K" [9-26]

SEC. 9-13] í ABERRACION CROMATICA 171

Dividiéndolas, se obtiene:

K'

ÍS [9-25] y [9-27]

[9-27]

Igualando las ecuaciones [9-25] y [9-27] y despejando P"D/P'D

resulta

[9-28]

donde v' y v" son las constantes dispersivas de los dos vidrios. Estas constantes, normalmente dadas por los fabricantes, son:

» ' — 1 i rí—1

nF~nc nF~nc

E n la tabla 9-5 se dan los valores de v para varios tipos de vidrios. Como las potencias dispersivas son todas positivas, el signo menos de la ecuación [9-28] indica |que las potencias de ambas lentes han de ser de signo opuesto.! E n otras palabras, si una lente es convergente, la otra habrá de ser divergente. De los miembros extremos de la ecuación [9-28] se obtiene:

P' P" = 0 o v y + v T = o [9-30] v v |

Sustituyendo el valor de P'D o el de P"D de la ecuación [9-20] en la [9-30],: resulta: j

E l uso de las fórmulas anteriores para calcular los radios de una lente acromática deseada se realiza en las siguientes etapas:

i 7. Se especifica la distancia focal fD y la potencia PD. 2. Se eligen los tipos de vidrios flint y crown a utilizar. 3. Si no se conocieran, se calcularán las constantes dispersi

vas v' y v" a partir de la ecuación [9-29]. 4. Se calculan P'D y P"D mediante la ecuación [9-31]. 5. Se determinan los valores de K' y K" por la ecuación [9-26]. 6. Finalmente se calculan los radios a partir de la ecuación

[9-22]. L a etapa 6 se verifica normalmente teniendo en cuenta otras aberraciones. i

172 ABERRACIONES D E LAS LENTES [CAP. 3

EJEMPLO.—Se desea construir una lente acromática de 10 cm de distancia focal en forma de doblete cementado de vidrios crown y flint de los siguientes índices:

TABLA 9-6

Vidrio nc «D nF nG>

1. Crown . . . . 1,50868 1,51100 1,51673 1,52121 2. Flint 1,61611 1,62100 1,63327 1,64369

Hállense los radios de curvatura de ambas lentes si la de crown ha de ser equi-convexa y la combinación ha de estar corregida para las rayas C y F.

Solución: Una distancia focal de 10 cm equivale a una potencia de + 10 D. Las constantes dispersivas son, según la ecuación [9-29],

1,51100 — 1,00000 1,51673 — 1,50868 1,62100 — 1,00000 1,63327 — 1,61611

= 63,4783

36,1888

Aplicando la ecuación [9-31], se encuentra que las potencias de ambas lentes han de ser:

63,4783 D 1 0 63,4783— 36,1888

P" D 10 - 36,1888

63,4783 — 36,1888

= + 23,2611 D !

= —13,2611 D

El hecho de que la suma de estas dos potencias es Pp = 4- 10,000 D comprueba la exactitud de los cálculos. Conocida la potencia de cada lente quedamos libres para elegir cualquier par de radios que proporcionen tal potencia. Si puede conseguirse que dos o más superficies tengan el mismo radio, se reducirán los utensilios necesarios para el tallado y pulimento. Por esta razón, el elemento positivo suele hacerse equiconvexo como en este caso. Haciendo r'x = — r't, y aplicando la ecuación [9-22] y después la [9-26], se obtiene; ¡

* ~ 7 1

1 '7

2_ r'

23,2611 n'D-l

= 45,5207 0,51100

2 1 D de donde r\ = 0,0439361 m = 4,39361 cm Como el doblete ha de estar pegado, una de las superficies de la lente negativa ha de coincidir con una de la positiva. Esto obliga a ajusfar el radio de la superficie restante de modo que la potencia sea — 13,2611 D. Por tanto, r\ = — r'u

y aplicando como antes las ecuaciones [9-22] y [9-26], se halla

K" = ~ — r : Esto da

1

0,0439361 —13,2611 0,62100

: —21,3544

21,3544 • 0,0439361

= 21,3544 — 22,7603

-t, = —1,4059 r"s = --0,71129 m = —71,13 cm

S E C . 9-14] D O B L E T E S E P A R A D O 173

Por tanto, los radios buscados son:

r = 4,39 cm r" = —4,39 cm 1 i

r = —4,39 cm r" = — 71,13 cm 2 2

Se observará que si se sitúa el elemento de crown frente a luz paralela incidente, las dos superficies obtenidas están cerca del mínimo de aberración de esfericidad y de coma. Esto destaca la importancia de elegir vidrios de potencias dispersivas adecuadas.

Para ver el grado de acromatismo conseguido, calculamos a continuación las distancias focales para 2as cuatro rayas C, D, F y G'. Por la ecuación [9-24]

P c = (n'c — l)K'+ (n'¿ — \)K" = 0,50868 x 45,5207 4- 0,61611 (— 21,3544) = 23,1555 — 13,1567

lo que da fe = 10,0012 cm Análogamente, para los colores correspondientes a las rayas F y G' obtenemos:

PF = + 9,9988 D o fF = 10,0012 cm p¿ = 4- 9,9804 D o fG' = 10,0196 cm

Las diferencias entre fe, Íd y Íf s o n despreciables, pero /G ' es cerca de 0,2 mm mayor que las otras. Esta diferencia, que se produce para luz fuera de la región comprendida entre las rayas C y F, da lugar a una pequeña zona circular coloreada alrededor de cada punto imagen, llamada espectro secundario.

Aunque parece que la lente de nuestro ejemplo ha sido corregida de aberración cromática longitudinal, en realidad lo está de aberración lateral. Distancias focales iguales para diferentes colores producirán aumentos iguales, pero las diferentes imágenes coloreadas a lo largo del eje solo coincidirán si lo hacen los puntos principales. En la práctica, los puntos principales de una lente delgada están tari próximos que puede considerarse que el doblete anterior está corregido de ambas aberraciones cromáticas. En una lente gruesa, sin embargo, no hay aberración cromática longitudinal si los colores corregidos coinciden en el mismo punto imagen del eje, como muestra la figura 9-26 (a). Como los puntos principales para el azul y el rojo H'b y H'r no coinciden, las distancias focales no son iguales y el aumento varía para los diversos colores. Por consiguiente, las imágenes de los distintos colores tendrán tamaños diferentes. Esta es la aberración cromática lateral o color lateral mencionada al comienzo de esta sección.

9-14. Doblete separado.-—Otro método de obtener un sistema acromático consiste en utilizar dos lentes del mismo vidrio separadas una distancia igual a la semisuma de sus distancias focales. Para comprender el fundamento de este método empezaremos aplicando la fórmula de las lentes gruesas (Ec. [5-7]) al sistema formado por dos lentes delgadas separadas una distancia d:

7 = 7 + 7 - 7 T 0 P=P1 + Pt-dP1Pt [9-32]

que, por analogía con la ecuación [9-23], puede ponerse en la forma

P = (% - l)KL + («2 - l)K2 - d(fh - l)(n2 - Í)KXK2

Se utilizan los subíndices 1 y 2 en vez de los acentos para designar las dos lentes, y las K vienen dadas por la ecuación [9-22]. Puesto que ambas lentes son del mismo vidrio., será nx = n2, con lo que

P = (n- 1)(KX + Ka) - d(n - lfKxK2

Si esta potencia ha de ser independiente de la variación de n con el color, deberá anularse dPjdn. Esto da

~ = Kx + K, ~ 2d(n - 1)KXK2 = 0

S E C . 9-14] DOBLETE SEPARADO 175

Multiplicando por n— 1 y sustituyendo cada (n — Í)K por la correspondiente P, se obtiene:

PJL + P , — 2dP1P2 = 0

¿ = ^ _ L i ü [9-33] pi + p* „• , _ / i + /t

Esto prueba el aserto anterior de que dos lentes del mismo v i drio separadas por la semisuma de sus distancias focales tienen la mkma distancia focal para todos los colores cercanos a aquellos para los que se han calculado f1 y /2. En los instrumentos visuales este color se elige en el máximo de la curva de brillo visual (Fig. 9-25). Estos dobletes separados se utilizan como oculares en muchos instrumentos ópticos debido a que la aberración cromática lateral está muy corregida, dada la constancia de la distancia focal. L a aberración longitudinal, no obstante, es relativamente grande debido a las grandes diferencias en los puntos principales para los diversos colores. E n da figura 9-26 (b) se representa un sistema sin aberración cromática longitudinal. Compárese con el de la figura 9-26 (c), en el queino hay aberración cromática lateral.

Hemos visto en este capítulo que una lente puede estar afectada hasta por siete aberraciones primarias: cinco aberraciones monocromáticas de órdenes tercero y superiores, y dos aberraciones cromáticas. Pudiera extrañar que sea factible, construir una lente de calidad cuando difícilmente se puede eliminar en su totalidad una sola aberración, y mucho menos aún varias simultáneamente. No obstante, cabe lograr lentes muy aceptables mediante el adecuado equilibrado de las diversas aberraciones. E n el diseño se tiene en cuenta el fin a que se destina la lente. E n un objetivo de anteojo, p. ej., es de importancia fundamental la corrección de la aberración de esfericidad, la cromática y la coma. Por el contrario, astigmatismo, curvatura de campo y distorsión no son tan perjudiciales, porque el campo en que se usa el objetivo es relativamente pequeño. E n un objetivo fotográfico de gran apertura el caso es casi exactamente el inverso.

E n los textos siguientes se encontrará tratado el tema de las aberraciones:

A . C. HARDY y F. H . PERRIN: The Principies of Optics. G . S. MONK: Light, Principies and, Experiments. D . H . JACOBS: Fundamentáis of Optical Engineering. A . E . CONRADY: Applied Optics and Optical Design. L . C MARTIN: Technical Optics. H . CODDINGTON: A Treatise on Reflexión and Refraction. H . D . TAYLOR: A System of Applied Optics.

176 ABERRACIONES DE¡LAS LENTES [CAP. 9

P R O B L E M A S

9-1. Una superficie esférica de radió r = 4- 10 cm separa dos medios de índices respectivos « = 1,2 y » ' = 1,5. Calcúlense las aberraciones de esfericidad: a) longitudinal, yb) lateral, para luz incidente paralela y una zona de altura h = 1 cm.

i 9-2. Un medio de índice 1,6 está limitado por una superficie esfé

rica de 4 cm de radio.. Calcúlense: a) la: aberración de esfericidad longitudinal, y b) la lateral, para luz paralela incidente y una zona de h = 1 cm.

I Sol.: a) 1,29 mm; b) 0,12 mm. 9-3. Los radios de una lente delgada de índice 1,5 miden rx = 4- 60 cm y

r¡¡ = — 12 cm. Hállense con luz incidente paralela las aberraciones de esfericidad: a) longitudinal, y b) lateral, para rayos que atraviesan una zona de altura h = 2 cm.

9-4. Una lente delgada cuyos radios miden rx — 4-10 cm y r2 — —10 cm está construida de vidrio de índice 1,5. Hállense las aberraciones de esfericidad: a) longitudinal, y b) lateral, para un punto objeto del eje situado 20 cm delante de la lente y rayos que atraviesen una zona de radio h = 1 cm. Sol.: a) 4,4 mm; b) 0,225 mm.

9-5. Los radios de una lente delgada de índice 1,6 miden rx = 4-10 cm y r a = — 10 cm. Hállense las aberraciones de esfericidad: a) longitudinal, y b) lateral, para un punto objeto del eje situado 24 cm delante de la lente y rayos que parten de él y atraviesan una zona de radio h = 1 cm.

9-6. Los radios de una lente delgada de índice 1,6 miden rx = 4- 36 cm y r¡¡ = — 18 cm. Si la luz incidente es paralela, calcúlense: a) la aberración de esfericidad longitudinal, y b) la lateral, correspondientes a una zona de radio h = 1 cm. Sol.: a) 0,974 mm; b) 0,049 mm.

9-7. Se tiene una lente delgada de índice 1,50 y radios rx = —12 cm y r a = 4-60 cm. Si ha de utilizarse esta lente con luz incidente paralela, hállense las aberraciones de esfericidad:: a) longitudinal, y b) lateral, para rayos que atraviesan una zona de radio h = 2 cm.

9-8. Los radios de una lente delgada de índice 1,60 midenrx = — 36 cmy r 2 = 4- 18 cm. Hállense las aberraciones de esfericidad: a,) longitudinal, y b) lateral, para luz incidente paralela que atraviesa una zona de radio h = 1 cm. Sol.: a) — 0,974 mm; 6; 0,049 mm.

9-9. Una lente delgada de diámetro 6 cm y cuyos radios son rx = oo y r 2 = —10 cm está hecha de un vidrio de índice 1,50. Hállese la altura de la figura comática si el punto imagen formado por rayos paraxiales que inciden paralelamente se halla a 4 cm del eje principal.

9-10. Se tiene una lente delgada de 4 cm de diámetro e índice 1,5 cuyos radios miden rx = 4- 20 cm y r2t = — 20 cm. Hállese la altura de la imagen comática si el punto imagen ¡formado por rayos paraxiales que inciden paralelamente se halla a 4 cm del eje principal. Sol.: — 0,120 mm.

9-11. Una lente delgada de n = 1,65 ha de tener una aberración de esfericidad mínima cuando el objeto está 20 cm delante y la imagen real 80 cm detrás de ella. Determínense: a) el factor de posición;^ el factor de forma; c) la distancia focal, y d) los radios de curvatura.

9-12. Una lente delgada de índice 1,75 ha de tener una distancia focal de 4 5 cm. A 30 cm de ella se encuentra un objeto. Determínense: a) la

PROBLEMAS 177

distancia imagen, y b) el factor de posición. Si se desea que la lente tenga una aberración de esfericidad mínima para estas distancias objeto e imagen, calcúlense: c) el factor de forma, y d) los radios de curvatura de ambas caras.

Sol.: a) + 6 cm; b) —0,667; c) 4- 0,733; d) + 4,33 cm, — 28,12 cm. 9-13. Se trata de construir una lente delgada de índice 1,5 que tenga

una aberración lateral mínima para objetos distantes. Si la distancia focal ha de ser 4- 5 cm, hállense: a) el factor de posición; b) el factor deforma, ye) los radios de curvatura de ambas caras.

9-14. Una lente delgada de n = 1,55 ha de tener una distancia focal de 20 cm. Hállense: a) el factor de posición; b) el factor de forma, y c) los radios de curvatura de ambas caras para que la aberración de esfericidad sea mínima cuando se sitúe un objeto en su foco objeto.

Sol.: a) 4- 1 cm; b) — 0,79; c) 4- 104,81 cm, — 12,29 cm. 9-15. Una lente delgada de n = 1,5 ha de tener una distancia focal

de 4- 10 cm. Si a 12 cm de la lente hay un objeto, determínense: a) la distancia imagen, y b) el factor de posición. Para que la lente tenga la aberración de esfericidad mínima, ¿cuáles han de ser: c) su factor de forma, y d) los radios de curvatura de sus dos caras?

9-16. Determínense: a) el factor deforma, y b) los radios de curvatura de la lente del problema 9-11 para que esté libre de coma.

Sol.: a) — 0,633; b) + 56,64 cm, —12,74 cm. 9-17. Hállense: a) el factor de forma, y b) los radios de curvatura

de la lente del problema 9-12 para que esté libre de coma. 9-18. Calcúlense: a) el factor de forma, y b) los radios de curvatura

de ambas superficies de la lente del problema 9-13 para que quede eliminada la aberración de coma.

Sol.: a) 4- 0,80; b) 4- 2,78 cm, —25 cm. ' 9-19. Si la lente del problema 9-14 ha de estar libre de coma, hállense:

a) el factor de forma, y b) los radios de curvatura de ambas superficies. 9-20. Se desea que la lente del problema 9-15 esté libre de coma.

¿Cuáles han de ser: a) el factor de forma, y b) los radios de curvatura de sus superficies?

Sol.: a) —5,33; b) + 21,43 cm, — 6,52 cm. 9-21. Un menisco de 0,5 cm de espesor e índice 1,6 ha de ser apla-

nático para dos puntos situados del lado cóncavo de la lente. Si el punto más cercano ha de encontrarse a 4 cm del vértice más próximo, hállense: a) los radios de las dos caras de la lente, y b) la distancia desde el vértice más próximo al punto más alejado. (Observación: Ambos puntos se encuentran en el aire.)

9-22. Un menisco de 0,5 cm de espesor e índice 1,5 ha de ser aplaná-tico para dos puntos distantes 6 cm. Determínense: a) los dos radios de curvatura, y b) las distancias desde la superficie convexa a ambos puntos.

Sol.: a) —11,5 cm, —7,2 cm; b) 12 cm, 18 cm. 9-23. Apliqúese la condición de los senos de Abbe a los rayos trazados

a través de la primera superficie en la tabla 8-1 y dense los valores de la constante para h = 1,5; 1; 0,5, y 0 cm.

9-24. Apliqúese la condición de los senos de Abbe a los rayos finales trazados a través de la lente en la tabla 8-2 y dense valores de la constante para h = 1,5; 1, y 0,5 cm.

Sol.: 0,335270, 0,338143 y 0,339585. J E N K I N S - W H I T E . — 1 2

178 ABERRACIONES DE LAS LENTES [CAP. 9

9-25. Se utiliza con luz incidente paralela una lente delgada de índice 1,5 y radios rt = 4- 40 cm y r a = — lo cm. Calcúlense: a) el factor deposición; b) el factor de forma; c) la distancia focal, y d) la aberración de esfericidad longitudinal para rayos de alturas h = 2 cm; 1,5 cm; 1 cm, y 0,5 cm. Construyase una gráfica de h en función de la aberración de esfericidad longitudinal.

9-26. Una lente delgada de índice 1,5 y radios rx = 4- 10 cm y r% = — 40 cm ha de formar la imagen de un objeto situado 32 cm delante de la primera superficie. Calcúlense: a) la distancia focal; b) el factor de posición; c) el factor de forma, y d) la aberración de esfericidad longitudinal para rayos situados a las siguientes alturas: 2; 1,5; 1 y 0,5 cm.

5o/..- a) 4- 16 cm; b) Cero; c) ~f 0,6; d) 1,474 cm; 0,846 cm, 0,381 cm y 0,196 cm.

9-27. Una lente acromática de 4- 20 cm de distancia focal ha de construirse con vidrios de los tipos BSC y DF-4 (véase tabla 9-5). Si la lente de vidrio crown ha de ser equiconvexa y ambas lentes unidas, hállense: a) los valores de v; b) las potencias de ambas componentes para la luz del sodio, y c) los radios de las cuatro caras para corregir las rayas C y F.

9-28. Se desea construir una lente acromática de distancia focal 4- 12,5 cm con vidrios crown y flint de los tipos LBC-1 y DF-2 (véase tabla 9-5). Si la lente de vidrio flint ha de tener su cara exterior plana y la combinación ha de estar pegada, hállense: a) los valores de v; b) las potencias de ambas lentes para la luz amarilla del sodio, y c) los radios de las tres superficies restantes. La lente ha de estar corregida para las rayas C y F.

Sol.: a) 59,6472, 36,6172; b) + 20,7198 D, — 12,7198 D ; c) 4- 5,655 cm, — 4,8507cm, —4,8507 cm, infinito.

9-29. Se desea construir una lente de vidrios BSC-2 y DF-4 que tenga una distancia focal de 4- 25 cm (véase tabla 9-5). Si la lente de vidrio flint tiene su cara exterior plana y la combinación ha de estar pegada, hállense los radios de curvatura de las otras tres superficies. Se desea que la lente esté corregida para las rayas C y G'.

9-30. Se trata de diseñar una lente acromática de vidrios SPC-1 y DF-2 que tenga una distancia focal de 4- 10 cm (véase tabla 9-5). Si la lente de vidrio crown ha de ser equiconvexa y la combinación pegada, calcúlense: a) los valores de v; b) las potencias de ambas lentes para la luz de sodio, y c) los radios de curvatura de las caras. La lente ha de estar corregida para las rayas C y G'.

Sol.: a) 37,5449, 22,7928; b) 4- 25,4505 D , ~ 15,4505 D; o) 4- 4,11 cm. — 4,11 cm, —4,11 cm, 4- 140,77 cm,

9-31. Calcúlense las distancias focales de la lente del problema 9-28 para las rayas C, D, F y G'.

9-32. Calcúlense las distancias focales de la lente del problema 9-30 para las rayas C, D, F y G'.

Sol.: a) + 10,0044 cm, + 10,0000 cm, + 9,9927 cm, 4- 10,0044 cm

I CAPITULO X

INSTRUMENTOS OPTICOS

E l objeto fundamental de la óptica geométrica es el diseño de instrumentos ópticos eficientes. E n los capítulos que preceden se han establecido los principios que rigen la formación de imágenes por una sola lente o por combinaciones sencillas de lentes. Estos principios encuentran Un vasto campo de aplicación en las múltiples combinaciones prácticas de lentes, que incluyen frecuentemente espejos y prismas, y que caen dentro de la categoría de instrumentos ópticos. E l alcance de este tema es tan grande, y sé ha desarrollado en tantas ramificaciones, que en un libro dedicado a los fundamentos de la óptica solo es posible describir los principios en que se basan los instrumentos más corrientes. E n este capítulo se | describirán las características más destacadas de los objetivos fotográficos, lupas, microscopios, anteojos y oculares. Ello nos servirá para ilustrar cómo se aplican las teorías ya expuestas, y esperamos sea útil a los que se dedican o han de dedicarse al manejo de tales instrumentos.

10-1. Objetivos fotográficos.-—El principio fundamental de la cámara fotográfica es, como muestra la figura 10-1, la formación de una imagen real por una lente convergente. Se forma sobre una película o placa sensible una imagen nítida de objetos cercanos o alejados, y después de revelar el negativo, se obtiene

y* imagen

rfpe/i'cu/a

FIG. 10-1.—Principio de la cámara fotográfica.

180 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

una copia positiva. Cuando la escena a fotografiar es fija, pueden conseguirse fotografías de excelente definición, aun con el objetivo más barato, siempre que se diafragme suficientemente y se utilice un tiempo de exposición adecuado. Por el contrario, si la escena está en movimiento o se sujeta la cámara con la mano, se requieren exposiciones muy cortas y consecuentemente es necesario el empleo de lentes de gran apertura. Por tanto, la característica más importante de una buena cámara es que esté equipada de una lente de apertura relativamente grande, capaz de abarcar un campo angular lo mayor posible. Dado que las lentes

pupila de salida

! pupila de

(a) (6)

FIG. 10-2.—(a) Determinación de la rapidez de un objetivo, (b) Menisco acromático con diafragma frontal.

de gran apertura están afectadas dé muchas aberraciones, los diseñadores de objetivos fotográficos han recurrido a eliminar aquellas que son más perjudiciales para cada fin particular. Se intenta aquí, por tanto, estudiar brevemente varios de estos fines y soluciones en relación con algunos de los centenares de tipos bien conocidos de objetivos fotográficos.

10-2. Rapidez de los objetivos.^En la sección 7-15 se demostró que la cantidad total de luz que llega a la imagen por unidad de área está dada por el producto del brillo B del manantial por el ángulo sólido w' del haz de rayos \ que converge hacia cualquier punto de la imagen. Este último es igual al área de la pupila de entrada dividida por el cuadrado de la distancia focal /, como se deduce claramente de la figura 10-2 (a), que representa la lente y el diafragma de la figura 10-1 iluminados por un haz paralelo. El ángulo sólido w' es el subtendido por la pupila de salida desde el punto imagen, que, como se verá, es igual al que subtendería la pupila de entrada si estuviese situada en el plano principal

S E C . 10-4] LENTES SIMETRICAS 181

imagen H'. La razón de la distancia focal de un objetivo al diámetro a de su pupila de entrada se denomina razón focal o valor /,. que se define, por tanto, como

valor / = í [10-1] ct

Así, un objetivo de 10 cm de distancia focal y una apertura lineal de 2 cm se dice que tiene un valor / = 5, o en la práctica, que es un objetivo //5. La velocidad con que se forma una imagen fotográfica depende de la iluminación E de la imagen, lo que determina la rapidez del objetivo, que resulta ser inversamente proporcional al cuadrado del valor /, ya que según Ja ecuación [7-15],

„ „ , n%(al2)2 a2 const. r H „ _, E = i V ~ B ±LL = const. X f = [10-2],

supuesto un objeto de brillo dado. Para hacer fotografías de objetos débilmente iluminados o

en movimiento, que requieren exposiciones muy cortas, se necesitan lentes de valores / muy pequeños. Por ello una lente f¡2 es más «rápida» que una lente //4,5 (o que una lente f/2 obturada hasta //4,5) en la razón (4,5/2)2 = 5,06. Una lente de una apertura relativa tan grande es, como vamos a ver, de difícil diseño.

10-3. Meniscos.—Muchas de las máquinas más baratas ut il izan como objetivo un solo menisco positivo con un diafragma fijo, ta l como se ve en la figura 10-1. Se empezó a util izar en 1812 con el nombre de lente panorámica, y tiene una considerable aberración de esfericidad, lo que l imita su apertura a / / l l . Fuera del eje, el astigmatismo reduce el campo a unos 40°. La adecuada colocación del diafragma produce un campo plano, pero al no haber más que una lente la aberración cromática es siempre considerable.

E l cromatismo lateral puede corregirse mediante el uso de un doblete pegado como el de la figura 10-2 (b). E n lugar de para las rayas C y F, la combinación suele corregirse para la raya, amari l la D del espectro', próxima a la máxima sensibilidad del ojo, y para la G', por estar próxima al máximo de la curva de Sensibilidad de muchas emulsiones fotográficas. Este tipo de corrección, llamado «acromatismo DG», produce la mejor definición fotográfica y el enfoque visual más nítido. E n algunos diseños se invierten las posiciones de la lente y del diafragma, como en el dispositivo representado en la figura 9-21 (b).

10-4. Lentes simétricas.-—Consisten en dos conjuntos simétricos de lentes gruesas con un diafragma intercalado; en la f i -

182 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

rápido rectilíneo Taylor, Taylor y Hobson. f/3 rapidez Panero f/2

Goertz "Dagor" f/4,5 Zeiss "Topogon"

triolete "Cooke"original Zeiss "Tessar"

FIG. 10-3.—Objetivos fotográficos simétricos y asimétricos.

gura ;10-3 se han representado algunas de ellas. E n general, cada una de las mitades está corregida de cromatismo lateral, y al unirlas se elimina la curvatura de campo y la distorsión, tal como se explicó en la sección 9-11. En el objetivo rectilíneo rápido el aplanamiento del campo solo se consigue introduciendo un considerable astigmatismo, a la vez que la aberración de esfericidad limita la apertura a //8. Utilizando tres tipos diferentes de vidrio, como en el «Dagor», de Goertz, es posible eliminar el cromatismo lateral, el astigmatismo y la aberración de esfericidad de cada una de las mitades. A l combinarlas se corrige la coma, el cromatismo lateral, la curvatura y la distorsión. Zeiss llama a este objetivo un «Triple Protar»,' y Goertz, un «Dagor», lo que significa Doble A nastigmdtico Goertz. E l «Panchro Rápido», diseñado por Taylor, Taylor y Hobson en 1920, une a su gran definición central una gran rapidez, de f/2 hasta //1,5. E l «Zeiss Topogon» es un objetivo de la serie gran-angular muy útil en fotografía aérea. Otras características de los objetivos simétricos son: 1) el gran número de lentes empleadas, y 2) las curvaturas bastante pronunciadas, que son caras de producir.

S E C . 10-6] T E L E O B J E T I V O S 183

Cuanto mayor sea el número de superficies libres de un objetivo, tanto mayores serán las pérdidas de luz por reflexión. Por ello el valor / no es el único factor determinante de la rapidez de un objetivo. E l reciente desarrollo de la llamada óptica azul, que elimina prácticamente la reflexión para incidencia normal, ha permitido mayor libertad para el empleo de más elementos en el diseño de objetivos fotográficos (véase Sec. 14-6).

10-5. Tripletes anastigmáticos.—En 1893 se dio un gran avance en el diseño de objetivos fotográficos con la aparición del «Tri-plete de Cooke» (Fig. 10-3). Los principios fundamentales en que se basa este sistema se deducen de que: 1) la potencia con que una lente dada contribuye a :1a de un sistema es proporcional a la altura a que los rayos marginales atraviesan la lente, mientras que 2) la contribución de cada lente a la curvatura de campo es proporcional a su potencia independientemente de la distancia de los rayos al eje. Por ello; pueden eliminarse el astigmatismo y la curvatura de campo haciendo que la potencia del elemento central de flint sea igual y de signo opuesto a la suma de las potencias de los elementos de crown. Espaciando la lente negativa entre las dos positivas, se consigue que los rayos marginales pasen por la lente negativa tan cerca del eje que el sistema tenga una potencia positiva apreciable. Seleccionando adecuadamente las dispersiones y los radios son posibles correcciones adicionales del cromatismo y de la aberración de esfericidad. Zeiss diseñó en 1902 el «Tessar», uno de los objetivos modernos más conocidos. •Construido en muchas formas, según requerimientos especiales, la estructura general del sistema es similar a la del «Triplete de Cooke», en el que se ha reemplazado la lente crown posterior por un doblete. E l «Héctor», de Leitz, f/2, es también del tipo del «Triplete de Cooke», habiéndose reemplazado cada elemento por una lente compuesta. Este objetivo, muy rápido, es excelente para las cámaras cinematográficas!

10-6. Teleobjetivos.—Dado que el tamaño de la imagen de un objeto distante es directamente proporcional a la distancia focal de la lente, un teleobjetivo, que está diseñado para propor-

FIG. 10-4.—Principio del teleobjetivo.

184 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

cionar imágenes de gran tamaño, no es más que un tipo especial de objetivo con una distancia focal efectiva mayor que la utilizada normalmente con la misma máquina. Como esto requeriría una extensión del fuelle de la máquina mayor de la permitida, el principio de una única lente gruesa altamente corregida se modifica así: Según muestra la figura 10-4, mediante la refracción de un rayo paralelo, con dos lentes considerablemente separadas, puede situarse, el punto principal H' delante de la primera lente, consiguiéndose así una gran distancia focal H'F' para una distancia lente-plano focal más bien corta (/& en la Fig. 10-4). Esta última longitud, o distancia focal posterior, como suele denominarse corrientemente, se mide desde la lente verdadera al plano focal.

Aunque en los teleobjetivos antiguos la distancia focal se variaba modificando la separación de las dos lentes, se construyen en la actualidad con una distancia focal fija. E n este caso se con

sigue una cierta flexibilidad disponiendo de varios objetivos. Esto se convierte en una necesidad cuando se requieren lentes de gran rapidez y muy bien corregidas. L a figura 10-5 representa un «teleobjetivo Cooke» diseñado por Taylor, Taylor y Hobson.

10-7. Lupas.—La lupa es una lente convergente destinada a ampliar la imagen retiniana por encima de la que se formaría a ojo desnudo. E l tamaño aparente; de un objeto visto a ojo des

nudo depende del ángulo subtendido por el objeto (véase Fig. 10-6). Acercando el objeto al ojo, de A a B y de B a C en el diagrama, el poder de acomodación permite al ojo variar su potencia formando imágenes retinianas cada vez mayores. Este acercamiento tiene un límite impuesto por la capacidad de acomodación del ojo para obtener imágenes nítidas. Aunque este límite varía mu-dio de unos individuos a otros, suele tomarse la distancia de 25 era como punto próximo tipo o, como se le denomina a veces, dis-

F l G .

eje

10-5.—-Teleobjetivo muy corregido.

ojo

eje

FIG. 10-6.—El ángulo subtendido por el objeto determina el tamaño de la imagen retiniana.

S E C . 10-7] LUPAS 185

tanda mínima de visión distinta. A esta distancia, indicada en la figura 10-7 (a), el objeto o la imagen subtienden un ángulo designado por 6.

Si se coloca ahora una lente convergente en la posición representada en el diagrama (6), el objeto puede situarse mucho más cerca del ojo, formándose sobre la retina una imagen que subtiende

. S - ° ° : *\

FIG. 10-7.—Angulo subtendido por: (a) un objeto en el punto próximo del ojo desnudo; (6) la imagen virtual de un objeto a menor distancia de la focal; (c) la

imagen virtual de un objeto en el foco.

un ángulo mayor 6'. L a misión de la lente convergente ha sido formar una imagen virtual y' del objeto y, siendo el ojo capaz de observar esta imagen. Cuando se usa una lente de esta forma se la denomina lupa o microscopio simple. Situando el objeto y en el foco F de la lupa, la imagen virtual y' se formará en el infinito, acomodándose el ojo para visión distante, como se ve en la figura 10-7 (c). Si y está entre F y la lente, como en el diagrama (b), la imagen virtual puede formarse a la distancia mínima de visión distinta, obteniéndose un aumento ligeramente superior como se demostrará a continuación.

186 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

Se define el aumento angular M como la razón del ángulo 6' subtendido por la imagen al 6 subtendido por el objeto

M = jj-' [10-3]

E n el diagrama (b), la distancia objeto s se obtiene aplicando las fórmulas de las lentes delgadas,

1 1 _ 1 1 = 25 + / s + —25 / ° s 25/

De los triángulos rectángulos de la figura

M . ¿ y ^ - ? - r ^ - '

Para ángulos pequeños las tangentes pueden reemplazarse por los ángulos, obteniéndose las relaciones aproximadas

25 y y 25/

y según la ecuación [10-3], el aumento será

M = ~ = j + 1 [10-4]

E n el diagrama (c) la distancia objeto s es igual a la distancia focal, y los ángulos pequeños 0 y 6' vienen dados por

obteniéndose para el auimnto la expresión:

0' 25 M=\=j [10-5]

E l aumento angular es, por tanto, mayor si la imagen se forma a la distancia mínima de visión distinta. Así, p. ej., sea 2,5 cm la distancia focal de una lupa. Para los dos casos extremos, las ecuaciones [10-4] y [10-5] dan

25 25 M = — + i = n x y M = Y~5 = 1 0 x

Como las lupas tienen de ordinario distancias focales pequeñas y dan, por tanto, un aumento aproximadamente igual para dis-

S E C . 10-8] TIPOS D E L U P A S 187

tandas entre 25 cm y el infinito, suele utilizarse la expresión más sencilla 25// para dar la potencia de una lupa; por tanto, una lupa cuya distancia focal sea 2,5 cm se designará por 10 x , y' otra de 5 cm de longitud focal por 5x, etc.

biconvexa doblete'

FIG. 10-;

9 Coddington

-Tipos corrientes de lupas.

tripíete de Hastings

acromática

10-8. Tipos de lupas.—En la figura 10-8 se han representado varios tipos comunes de lupas. E l primero, una simple lente biconvexa, es la lupa más sencilla y se utiliza para la lectura, como lupa de bolsillo y lupa de relojero. L a segunda se compone de dos lentes planoconvexas montada cada una en el foco de la: otra. Como demuestra la ecuación [9-33], este espaciamiento corrige el cromatismo lateral, pero se requiere que el objeto esté en una de las caras de la lente. Para evitar este inconveniente se sacrifica hasta cierto punto la corrección del color acercando ligeramente las lentes, pero aun así la distancia de utilización o distancia focal posterior (véase ecuación [5-13]) es extremadamente pequeña.

L a tercera lupa, tallada a partir de una esfera de vidrio macizo, se suele atribuir a Ccdding-' ton, aunque se debe a sir David F l G - i0-9.-Principio del microscopio -w-, , T*. , i • i i • con el ocular reglado de modo que la Brewster. Tiene también una dis- i m a g e n s e f o r m e

ea l a distancia míni-

tancia de aplicación relativa- ma de visión distinta.

188 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

mente pequeña, pero la calidad de la imagen es excelente debido en parte a la ranura central, la cual actúa como diafragma. Entre las mejores lupas de hoy día se encuentran los tripletes pegados, como los que representan los dos últimos diagramas. Estas lentes son simétricas para dar lugar a su! utilización por ambos lados. Tienen una distancia de aplicación relativamente grande y se construyen con potencias de hasta 20 X .

10-9. Microscopios.—El microscopio, que suele sobrepasar en mucho la potencia de una lupa, se debe a Galileo (1610). E l moderno microscopio óptico, en su forma más sencilla, se compone de dos lentes, una de distancia focal muy corta llamada objetivo y otra de distancia focal algo mayor u ocular. Aunque en la práctica ambas lentes están compuestas de varios elementos para reducir las aberraciones, su función fundamental se ilustra en la figura 10-9 mediante lentes sencillas. E l objeto (1) se sitúa justamente fuera de la distancia focal del objetivo, con lo que se forma una imagen real aumentada en (2). Esta imagen pasa a ser el objeto de la segunda lente u Ocular. Este, que funciona como una lupa, forma una imagen virtual en (3). A su vez esta imagen constituye el objeto del ojo, que forma la imagen final en la retina (4). ¡

Puesto que Ja misión del objetivo es formar la imagen aumentada que se ha de observar a través del ocular, el aumento total del instrumento será el producto del aumento, lateral m1 del objetivo por el aumento angular M2 del ocular. De las ecuaciones [4-11] y [10-5] deducimos

Los constructores suelen indicar separadamente los respectivos aumentos m1 y M2 del objetivo y del ocular.

10-10. Objetivos de microscopio.—Los microscopios de calidad suelen ir equipados de un portaobjetivo revólver con tres objetivos de diferente aumento. A l girar el revólver, los diferentes objetivos van quedando alineados con el ocular.

L a figura 10-10 muestra tres, objetivos típicos. E l primero, compuesto de dos dobletes acromáticos pegados, está corregido de aberración de esfericidad y coma, y tiene una distancia focal de 1,6 cm, un aumento de 10x y. una distancia de aplicación de 0,7 cm. E l segundo es también un objetivo acromático de 0,4 cm

y

[10-6]

SEC. 10-11] ANTEOJOS ASTRONOMICOS 189

W (b) (c)

FIG. 10-10.—Objetivos de microscopio: (a) de baja potencia; (6) de potencia media, y (c) de alta potencia con inmersión en aceite.

de distancia focal, un aumento de 40 x y una distancia de aplicación de 0,6 cm. E l tercero es del tipo de inmersión en aceite, con una distancia focal de 0,16 cm, un aumento de 100 x y una distancia de aplicación de solo 0,035 cm. H a de tenerse gran cuidado al manejar este último tipo de objetivo para no romper la lente frontal semiesférica. Aunque la inmersión en aceite hace aplanáticas las dos lentes inferiores (véase Fig. 9-15), existe aberración cromática lateral. Se corrige esta mediante un ocular compensador, como se explicará en la sección 10-16.

10-11. Anteojos astronómicos.—Históricamente, el primer anteojo fue construido en Holanda en 1608 por un modesto tallador de gafas, Hans Lippershey. Pocos meses más tarde Galileo, después de haber oído que los objetos lejanos podían verse como al alcance de la mano mediante un par de lentes, diseñó y construyó él mismo el primer anteojo propiamente tal. Los elementos

FIG. 10-11.—Principio del anteojo astronómico, con el ocular reglado de modo que la imagen se forme a la distancia mínima de visión distinta.

190 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

de este anteojo existen aún y se exhiben en Florencia. E l fundamento de los anteojos astronómicos actuales sigue siendo el mismo que el de los primitivos. L a figura 10-11 muestra el diagrama de un anteojo elemental. Los rayos procedentes de un punto de un objeto lejano inciden en forma de haz paralelo sobre un objetivo de gran distancia focal. Estos rayos, al converger, determinan el punto imagen Q'. Suponiendo que el objeto lejano fuera una flecha derecha, su imagen sería real e invertida, como aparece en el diagrama. L a misión del ocular es la misma que en el microscopio, es decir, la de una lupa. Variando la posición del ocular hasta que dicha imagen real esté dentro de su plano focal objeto, F„, se observará una imagen virtual y aumentada en Q" cerca del punto próximo del ojo, o sea a 25 cm. Normalmente, sin embargo, se hace coincidir la imagen real con los focos de ambas lentes, con lo cual los rayos imagen abandonan el ocular en forma de haz paralelo y la imagen virtual está en el infinito. L a imagen final es siempre la formada en la retina mediante rayos que pare-

FIG. 10-12.—Principio del anteojo astronómico, con el ocular reglado de modo que forme la imagen en el infinito.

cen proceder de Q". L a figura 10-12 representa un anteojo enfocado de esta forma.

E n todos los anteojos astronómicos el objetivo constituye el diafragma de apertura. Será, por tanto, la pupila de entrada, y su imagen, formada por todas las lentes situadas detrás (en este caso, solo el ocular), será la pupila de salida. L a figura 10-13 muestra estos elementos con las trayectorias de un rayo incidente paralelo al eje. y de un rayo principal procedente de un punto lejano fuera del eje. L a distancia entre la lente del ojo, o sea, la última lente del ocular, y la pupila de salida se denomina tolerancia del ojo, y suele ser del orden de unos 8 mm.

Se define el aumento de un anteojo como la razón entre el ángulo subtendido en el ojo por la imagen final Q" y el subtendido

SEC. 10-11] ANTEOJOS ASTRONOMICOS 191

pupila de entrada pupila de

salida

FIG. 10-13.—Pupilas de entrada y salida de un anteojo astronómico.

por el objeto. E l objeto, no representado en la figura 10-13, subtiende un ángulo 8 en el objetivo y aproximadamente el mismo en el ojo desnudo. E l subtendido por la imagen en el ojo es 6'. Por definición, j

\M = [10-7]

El ángulo 0 es el de campo objeto, y el 0', el de campo imagen. E n otras palabras, 6 es el campo angular total abarcado por el anteojo y 6' es el ángulo que el campo parece cubrir (Sec. 7-11). De los triángulos rectángulos ABC y EBC, (Fig 10-13) se deduce:

tg 0 = h

t « e- —5 [10-8]

Aplicando la fórmula general de las lentes 1/s 4- 1/s' = 1//,

1 I fo s' ! ÍEVO + ÍE)

que, sustituida en la ecuación [10-8], da: h

[10-9]

tg 6 = (fo + ÍE)

Para pequeños ángulos, tg 0 [10-7], se obtiene:

M = ^ = —

tg «' = •

0 y tgB ' í

fo

hfo ÍE(ÍO + ÍE)

0'. Sustituyendo en

[10-10] Por tanto, el aumento de un anteojo es igual a la razón de las distancias focales del objetivo y del ocular, indicando el signo negativo que la imagen es invertida.

Si D y d representan los diámetros del objetivo y de la pupila de salida, respectivamente, el rayo marginal que pasa por F'0

192 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

y FE en la figura 10-13 forma dos triángulos rectángulos semejantes, de los que se deduce ¡

ÍE ¡ d obteniéndose otra expresión del jaumento angular

[10-11]

Un método útil para determinarle! aumento de un anteojo es, por tanto, medir los diámetros D y d. Este último se mide fácilmente enfocando el anteojo al infinito y girándolo hacia el cielo. Si se coloca una delgada hoja de i papel blanco detrás del ocular y se desplaza hacia adelante y hacia atrás, es posible localizar un disco luminoso nítido, llamado comúnmente circulo de Ramsden, que constituye la pupila de salida. Su tamaño, en relación con el de la pupila del ojo, tiene gran importancia en la determinación del brillo de la imagen y del poder separador del instrumento (véanse Secs. 7-15 y 15-9). j

Otro método para medir el aumento de un anteojo consiste en mirar a través del mismo con un solo ojo, mientras que con el otro se observa directamente el objeto distante. Con algo de práctica se consigue superponer ambas imágenes, obteniéndose una comparación directa de sus respectivas alturas. E l campo objeto de un anteojo astronómico;está determinado por el ángulo subtendido en el centro del objetivo por la apertura del ocular. E n otras palabras, el ocular es el diafragma de campo del sistema. E n la figura 10-13, 6 es el semiángulo de campo (Sec. 7-8).

10-12. Oculares.—Aunque cualquiera de los tipos de lupas de la figura 10-8 sirve como ocular de un microscopio o anteojo, suelen diseñarse oculares especiales para cada uno de estos instrumentos. Uno de los requisitos más importantes en el diseño de tales oculares es la corrección de la aberración cromática la-

pupila desalida

ocu/sr de Huygens

(o)

FIG. 10-14.—Oculares corrientes utilizados en los instrumentos ópticos.

S E C . 10-14] O C U L A R D E R A M S D E N 193

teral. Por esta razón casi todos tienen de común el poseer dos lentes del mismo vidrio separadas por una distancia igual a la semisuma de sus distancias focales (véase Ec. [9-33]).

Entre los de este tipo se encuentran el ocular de Huygens y el de Ramsden, que son los más conocidos (Fig. 10-14). E n ambos, a la lente más cercana al ojo se la llama lente del ojo, y a la más próxima al objetivo, lente de campo.

10-13. Ocular de Huygens.—En este ocular las dos lentes suelen ser de vidrio crown, con una razón de distancias focales, ¡fije, que varía entre 1,5 y 3,0. Como se ve en la figura 10-14 (a), los rayos procedentes del objetivo, no representado, convergen en un punto imagen real Q. L a lente de campo refracta estos rayos, formando una imagen real en Q', desde la cual divergen para ser convertidos en un haz paralelo al refractarse en la lente del ojo. E n la mayoría de los anteojos el objetivo del instrumento constituye la pupila de entrada de todo el sistema. L a pupila de salida, o punto del ojo, es la imagen del objetivo formada por el ocular y está situada en el lugar indicado por «pupila de salida» en el diagrama. E n este punto el rayo principal corta al eje del ocular. Frecuentemente se coloca un diafragma de campo FS en Q', foco objeto de la lente del ojo, y si se ha de utilizar algún retículo, se situará en este punto. Aunque el ocular está corregido de cromatismo lateral, no así cada una de las lentes componentes, por lo que la imagen del retículo, formada únicamente por la lente del ojo, estará afectada de gran distorsión y cromatismo. E n algunos microscopios se utilizan oculares de Huygens con retículo, aunque este suele ser pequeño y estar confinado a la parte central del campo. E l ocular de Huygens posee cierta aberración de esfericidad, astigmatismo y, en proporción bastante grande, cromatismo longitudinal y distorsión en corsé. En general, la tolerancia del ojo, es decir, la distancia entre la lente del ojo y la pupila de salida, es demasiado pequeña para que resulte cómodo.

10-14. Ocular de Ramsden.—También en este tipo de oculares las dos lentes suelen ser del mismo vidrio, pero tienen igual distancia focal. Para eliminar el cromatismo lateral su espaciamiento deberá ser igual a la distancia focal. Dado que el primer plano focal del sistema coincide con la lente de campo, el retículo deberá situarse allí. Bajo ciertos aspectos esto se considera aceptable, pero tiene el inconveniente de que cualquier partícula de polvo sobre la superficie de la lente quedará también nítidamente enfocada. Para obviar esta dificultad suelen aproximarse ligeramente ambas lentes, con lo que el plano focal avanza un poco, aun a costa de un aumento del cromatismo lateral.

E n la figura 10-14 (b) pueden verse las trayectorias de los rayos en un ocular de Ramsden. En el foco objeto F está la imagen J E N K I N S - W H I T E .—1 3

194 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

formada por un objetivo (no representado), y en este mismo punto suele situarse un diafragma de campo FS o un retículo. Después de refractarse en ambas lentes, los rayos emergen paralelos, incidiendo en el ojo en la pupila de salida o cerca de ella. Respecto a aberraciones, el ocular de Ramsden tiene un cromatismo lateral mayor que el de Huygens, mientras que el longitudinal es solo la mitad. L a aberración de esfericidad es alrededor de un quinto; la distorsión, la mitad, y está libre de coma. Una importante ventaja sobre el ocular de Huygens es que la tolerancia del ojo es un 50 % mayor.

10-15. Kellner u ocular de Ramsden acromático.—Debido a las favorables características del ocular de Ramsden, se han realizado varios intentos para mejorar sus defectos cromáticos. Se

ocular de Ramsden o Kellneracromático

ocular ortoscópico

1

ocular simétrico

FIG. 10-15.—Tres tipos de oculares acromáticos.

hace casi desaparecer esta aberración cuando la lente del ojo es un doblete pegado (Fig. 10-15). Estos oculares se utilizan frecuentemente en los prismáticos, por eliminar el pequeño cromatismo lateral y reducirla aberración de esfericidad mediante las características de aberración de los prismas de Porro (Sec. 2-2).

10-16. Oculares especiales.—El ocular ortoscópico, representado en el diagrama central de la figura 10-15, se caracteriza por su amplio campo y elevado aumento. Se emplea corrientemente en los anteojos de gran potencia y telémetros. Debe su nombre a su total carencia de distorsión. E l ocular simétrico de la parte derecha del diagrama tiene una apertura mayor que la de un Kell ner de la misma distancia focal. Con ello se obtiene un campo bastante extenso, así como una tolerancia del ojo considerable, lo que hace sea de gran aplicación en los diversos tipos de anteojos para rifle. Es evidente el riesgo que implicaría una tolerancia del ojo corta, a causa del retroceso del arma.

Dado que tanto el cromatismo lateral como las demás aberraciones de un ocular dependen del espaciamiento de ambas lentes, algunos modelos van provistos de dispositivos que permiten variar esta distancia. Algunos microscopios disponen de un conjunto de tales oculares compensadores, que permiten neutralizar un defecto de corrección del cromatismo lateral del objetivo a base de una sobrecorrección en el ocular.

SEC. 10-17] PRISMATICOS 195

10-17. Prismáticos.—Los prismáticos no son en realidad más que un par de anteojos idénticos montados uno al lado del otro a fin de servir a ambos ojos. E n la figura 10-16 se ha representado tal instrumento con parte de su interior descubierto para mostrar el montaje óptico. Los objetivos son dobletes acromáticos pegados, y los oculares son del tipo de Ramsden acromatizados o Kel l ner. L a trayectoria de un rayo axial a través de los prismas de

FIG. 10-16.—Diagrama de unos prismáticos, en el que se ven las lentes y los prismas de Porro.

Porro está indicada por la linea punteada. E l primer prisma endereza la imagen, mientras el segundo la gira de izquierda a derecha, con lo que la imagen final está en la posición verdadera. Este doble recorrido de los rayos luminosos tiene la ventaja adicional de permitir utilizar en tubos cortos objetivos de gran distancia focal, lo que produce un mayor aumento.

Las cuatro características de las que depende la calidad .de unos prismáticos son: (1) aumento; (2) campo visual; (3) captación de luz, y (4) dimensiones y peso. Los prismáticos manuales suelen tener cinco, seis, siete y hasta ocho aumentos. Los de po-

196 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

tencias superiores a ocho, que a veces son necesarios, necesitan un montaje rígido para mantenerlos fijos. E n los de potencias inferiores a cuatro las aberraciones de las lentes contrarrestan el aumento, por lo que la mayoría de las personas ven mejor de ordinario a ojo desnudo. El campo visual está determinado por la apertura del ocular y deberá ser lo mayor posible. Para unos prismáticos de seis aumentos, un campo objeto de 6° puede considerarse grande, ya que en el ocular el mismo campo se ensancha hasta un ángulo de 7 x 6° = 42°.

E l diámetro del objetivo determina la luz captada. Solo se requieren grandes diámetros de noche, por disponerse de poca luz. La indicación 6 X 30 referida a unos prismáticos quiere decir que estos tienen seis aumentos y un objetivo cuyas lentes tienen un diámetro efectivo de 30 mm. Análogamente, unos prismáticos 7 X 50 tendrán siete aumentos y un objetivo de 50 mm. Aunque estos últimos son excelentes tanto para día como para noche, son demasiado grandes y. más engorrosos que los diurnos de 6 X 30 u 8 X 30. Para usos civiles son estos dos últimos los más utilizados. 1

10-18. El sistema óptico de Kellner-Schmidt.—Se trata de una combinación de espejo esférico cóncavo y lente no esférica

(Fig. 10-17). E n 1910 Kellner diseñó y patentó este sistema óptico como manantial perfecto de luz' paralela. Años después, Schmidt utilizó el sistema como cámara fotográfica rápida, y se conoce desde entonces como cámara de Schmidt. Aunque Schmidt fue el primero en hacer notar la importancia de colocar la lámina correctora en el centro de curvatura del espejo, Kellner ya la situó así al patentar su sistema.

E l objeto de la lente es refractar los rayos incidentes paralelos

en direcciones tales que, después de reflejarse en el espejo esférico, concurran, todos en el mismo punto del eje F. Esta lámina correctora elimina, por tanto, la aberración de esfericidad del espejo. Situando la lente en el centro de curvatura del espejo, los rayos paralelos que inciden bajo ángulos grandes se enfocan relativamente bien en puntos tales como el F'. L a superficie focal de tal sistema es esférica,, de centro C.

Este sistema óptico tiene varias notables y útiles propiedades. E n primer lugar como cámara, cuando se coloca una pequeña

lente correctora espejo

esférico

FIG. 10-17.—Sistema óptico de Kell ner-Schmidt.

SEC. 10-18] SISTEMA OPTICO DE KELLNER-SCHMIDT 197

película en el centro o una grande (curvada) que se adapte a la superficie focal, tiene una velocidad de f/0,5. Debido a esta enorme velocidad, la cámara de Schmidt es muy utilizada por los astrónomos para tomar placas de estrellas de pequeña magnitud o de cometas. Por análogas razones se utiliza en los receptores de televisión para proyectar pequeñas imágenes originadas en un osciloscopio sobre una pantalla relativamente grande. E n este caso, a la pantalla convexa del osciloscopio se le da la curvatura de la superficie foca], de tal modo que la luz de la pantalla de imágenes se refleje por el espejo y pase a través de la lente correctora hasta la pantalla de observación.

Colocando en FF' un espejo plateado convexo, los rayos procedentes de un objeto distante, al incidir en el sistema, formarán una imagen puntual en la superficie focal, y después de reflejarse emergerán de nuevo como un haz paralelo en la misma dirección inicial. Cuando se usa de esta manera, el dispositivo se llama un autocolimador. Recubriendo la superficie focal con pintura fluorescente, la luz ultravioleta procedente de un manantial distante e invisible formará una mancha brillante en algún punto de FF\ y la luz visible emitida por esta mancha emergerá solo en la di rección de tal manantial. Practicando un orificio en el centro del espejo grande y disponiendo un ocular en su parte posterior para mirar la pantalla fluorescente, puede verse cualquier ma-

FIG. 10-18.—Sistema óptico concéntrico.

198 I N S T R U M E N T O S OPTICOS [CAP. 10

nantial ultravioleta como un manantial visible. De esta manera el dispositivo se convierte en un anteojo ultravioleta de gran rapidez y amplio campo visual.

10-19. Sistemas ópticos concéntricos1.—El actual desarrollo que han experimentado los sistemas concéntricos obliga a dar, aunque sea someramente, una idea de sus notables propiedades ópticas. Estos sistemas tienen la forma general de un espejo cóncavo y una lente concéntrica del tipo representado en la figura 5-9. Como su nombre indica, y puede verse en la figura 10-18, todas las superficies tienen un centro de curvatura común C.

E l objeto de la lente concéntrica es reducir al mínimo la aberración de esfericidad. Los rayos alejados del eje que atraviesan la lente son desviados hacia afuera, y mediante una adecuada elección de los radios, índice de refracción y espesor de la lente, puede conseguirse que pasen todos por el foco paraxial F. Puesto que cualquier rayo que pase por C puede considerarse como eje, la superficie focal será también una esfera de centro C. E n algunas aplicaciones se hace coincidir la superficie focal con la cara posterior de la lente.

Dado que ambos planos principales de la lente concéntrica coinciden con un plano perpendicular en C al rayo axial de cualquier haz, todo pasa como si el corrector fuera una lente delgada situada en C y orientada convenientemente para todos los haces paralelos incidentes.

Como no existen rayos oblicuos ni sagitales, el sistema está libre de coma y astigmatismo. E l funcionamiento completo del sistema se deduce en cuanto se conoce la imagen de un punto objeto del eje. E n esto radica la ventaja fundamental sobre el sistema Kellner-Schmidt. Las aberraciones cromáticas producidas por la lente son pequeñas siempre que su distancia focal sea grande comparada con la del espejo, lo que ocurre casi siempre.

Otras características importantes del sistema concéntrico pueden apreciarse en el diagrama. E l brillo de la imagen experimenta una disminución despreciable, al aumentar el ángulo de incidencia. L a lente correctora puede situarse al otro lado de C, en la posición 2, desempeñando exactamente el mismo papel. Por último, puede situarse un espejo convexo concéntrico que equidiste aproximadamente de la lente y del espejo. La luz reflejada converge en un foco después de pasar por un orificio situado en el centro del espejo grande. Este último dispositivo constituye, entre otras cosas, un excelente objetivo en los microscopios de reflexión.

1 A . BOUWERS: Achievements in Optics, Elsevier Press, Inc., Houston, Tejas, 1950.

PROBLEMAS 199

P R O B L E M A S

| 10-1. Una lupa está formada por dos lentes delgadas planoconvexas,

cada una de las cuales tiene una distancia focal de 2 cm, separadas 1,5 cm. Aplicando las fórmulas de Gauss, hállense: a) su distancia focal; b) su aumento, y c) su distancia focal posterior.

10-2. Una lupa Coddington está construida a partir de una esfera de 1,5 cm de diámetro de vidrio crown que tiene un índice n = 1,5. Calcúlense: a) su distancia focal; b) su aumento, y c) su distancia focal posterior.

'Sol: a) -f 1,12 cm; b) 22,2 x ; c) 0,375 cm.

10-3. Un ocular de Ramsden se compone de dos lentes planoconvexas' cada una de 2,5 cm de distancia focal y espaciadas 1,8 cm. Aplicando las fórmulas de las lentes delgadas, hállense: a) su distancia focal; b) su aumento, y c) su distancia focal posterior.

10-4. Un ocular de Ramsden está formado por dos lentes delgadas, cada una de las cuales tiene una distancia focal igual a 22,5 mm con un espaciamiento de 16 mm. Hállense, aplicando la fórmula de las lentes delgadas: a) su distancia focal; b) su aumento, y c) su distancia focal posterior.

Sol: a) 4- 1,745 cm; b) 1 4 , 3 X ; c) 5,05 mm.

10-5. Un ocular de Huygens se compone de dos lentes delgadas de 2 cm y 1 cm de distancia focal, respectivamente. Si las lentes están separadas para corregir la aberración cromática, calcúlense: a) la distancia focal del sistema; b) el aumento, y c) la distancia focal posterior.

10-6. Un microscopio tiene un objetivo de distancia focal igual a 3 mm y un ocular con la indicación 20 x . ¿Cuál es el aumento total si el objetivo forma su imagen 16 cm más allá de su plano focal imagen?

Sol: 1067 X .

10-7. Un microscopio tiene un objetivo de distancia focal igual a 3,5 mm y un ocular de distancia focal 10 mm. ¿Cuál es el aumento total si el objetivo forma su imagen 16 cm más allá de su plano focal imagen?

10-8. E l ocular y el objetivo de un microscopio distan 20,6 cm y cada uno de ellos tiene una distancia focal de 6 mm. Considerando ambas lentes como delgadas, hállense: a) la distancia del objetivo al objeto observado; b) el aumento lineal producido por el objetivo, y c) el aumento total si la imagen final se forma en el infinito.

Sol: a) 6,19 mm; b) —32,3 X ; c) 1347 X .

10-8. E l ocular y el objetivo de un microscopio distan 21,2 cm y cada uno de ellos tiene una distancia focal de 1,2 cm. Considerándolos como lentes delgadas, hállense: a) la distancia del objetivo al objeto observado; b) el aumento lineal producido por el objetivo, y c) el aumento total si la imagen final se forma en el infinito.

10-10. Un anteojo astronómico tiene un objetivo de 10 cm de diámetro y distancia focal de 120 cm. Si se utiliza con un ocular de 2 cm de distancia focal y una lente de campo de 10 mm de diámetro, hállense: a) el aumento angular; b) el diámetro de la pupila de salida; c) el ángulo del campo objeto; d) el ángulo del campo imagen, y e) la tolerancia del ojo. Sol: a) 60 x; b) 1,67 mm; c) 0,47"; d) 28,2°; e) 2,03 cm,

10-11. E l diámetro del objetivo de un anteojo astronómico mide 6 cm y su distancia focal 60 cm. Si se; utiliza con un ocular de 20 x que tiene un'a lente de campo de 1,2 cm de diámetro, hállense: a) el aumento angular;

200 INSTRUMENTOS OPTICOS [CAP. 10

b) el diámetro de la pupila de salida; o) el ángulo del campo objeto, y d) el ángulo del campo imagen.

10-12. Los objetivos de unos gemelos tienen 60 mm de apertura y sus distancias focales son de 250 mm. Los oculares tienen aperturas de 10 mm y distancias focales de 22 mm. Hállense: a) el aumento angular; b) los diámetros de las pupilas de salida; c) el ángulo del campo objeto; d) el ángulo del campo imagen; e) la tolerancia del ojo, y f) el campo a 1000 m.

Sol.: a) 11,4X; b) 5,28 mm; c) 2,1°; d) 24,5°; e) 2,4 cm;/; 36,8 m.

PARTE SEGUNDA

O P T I C A F I S I C A

CAPITULO X I

ONDAS LUMINOSAS

E n los capítulos anteriores nos hemos ocupado de la óptica geométrica basada en las leyes de la reflexión y de la refracción. Trataremos ahora de la óptica física, la cual estudia fenómenos que atañen a la naturaleza de la luz. Definida así, abarca aquellos fenómenos que suponen interacciones entre luz y materia, como, p. ej., la emisión y absorción de la luz. Muchos de estos procesos requieren para su completa explicación un tratamiento cuántico, pero la aplicación sistemática de la teoría cuántica cae fuera del alcance de este libro. U n gran número de fenómenos ópticos se explican suponiendo que la luz tiene naturaleza ondulatoria, por lo que parece conveniente restringir el término «óptica física» de modo que solo quede incluido en él la teoría ondulatoria clásica. E n el último capítulo veremos sucintamente la manera de integrar esta teoría en otra más general, llamada mecánica cuántica (Cap. X X X ) .

Como hemos visto, los fenómenos ópticos a gran escala pueden explicarse mediante rayos luminosos; cuando se desciende a más detalles se requiere una interpretación ondulatoria. L a mayoría de estos detalles no son de observación cotidiana, pero se hacen ostensibles cuando examinamos, p. ej., la luz que pasa por rendijas estrechas o se refleja en superficies rayadas. Finalmente, si los fenómenos ópticos tiene lugar a escala atómica, es preciso hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso. Cualquier caso de interacción entre dos o más haces luminosos puede describirse cuantitativamente por la teoría ondulatoria. Como introducción a esta teoría, trataremos en este capítulo del movimiento ondulatorio en general, indicando en los lugares apropiados cómo las diversas características de la luz dependen de las de las ondas que suponemos la forman.

11-1. Movimiento ondulatorio.—Las ondas que nos son más familiares, es decir, las de la superficie del agua, son de una notable complejidad. No obstante, pueden servir para aclarar una característica importante de cualquier movimiento ondulatorio. Si las ondas se propagan en la dirección % y la dirección y es vertical, una imagen instantánea de su perfil viene representada en la figura 11-1 por la curva de trazo continuo. Sea y = f(x) la ecuación de esta curva. Si el perfil de la onda se desplaza en la

i i 203

204 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

dirección 4- x con una velocidad constante v, se ha de introducir el tiempo t de tal modo que, tras un intervalo At, una ordenada tal como la yx haya avanzado hacia la derecha una distancia Ax = v Ai, encontrándose en y[. Esto se verifica para una función del tipo y = / (x — vt), ya que para los dos instantes t y t + At se tiene: ¡ •

Vi = /(* — vt) . i

Vi = / [ ( * + Ax)—v(t + At)] Si se sustituye A * por v At, resulta y[ = yt, cumpliéndose la condición anterior. E n el instante t + At la onda ocupa la po-

FIG. 11-1.—Propagación de ondas en el agua.

sición de la línea de trazos. L a ecuación general de cualquier movimiento ondulatorio transversal en un plano es

y = /(* ± vt) [ i i - i ]

correspondiendo el signo -f al caso en que la onda se desplaza hacia la izquierda, es decir, en la; dirección —x.

Esta ecuación es la solución dé la llamada ecuación ale la onda, esto es, una ecuación diferencial en derivadas parciales, que para una onda que se propaga a lo largo del eje x puede escribirse así:

Para comprobar que la ecuación [11-1] la satisface, calcularemos las derivadas, tomando, p. ej., el signo negativo. Las derivadas parciales, respecto a t, son:

y % =

y con respecto a x:

SEC. 11-1] MOVIMIENTO ONDULATORIO 205

Se obtiene así el factor de proporcionalidad v2. Ahora bien: la derivada segunda respecto a t representa la aceleración de una partícula en un instante dado, mientras que respecto a x determina la curvatura del perfil de la onda en el mismo punto e instante. Por tanto, si es posible calcular estas derivadas para un determinado tipo de ondas, podrá hallarse su velocidad. E n la sección 11-4 se utilizará este método para ondas transversales elásticas, y en la sección 20-4, para ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones anteriores representan el avance del perfil de la onda en función del tiempo y especifican que cualquiera que sea la forma inicial, en el instante i será la misma, pero desplazada una distancia vt. Esto no significa que las partículas del medio se hayan desplazado con la onda. Por el contrario, lo único que se desplaza continuamente en la dirección x es el perfil de la misma, limitándose las partículas a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. Las ecuaciones anteriores no imponen restricción alguna sobre el tipo de oscilaciones de que se trate. E n las ondas del agua, p. ej., son circulares o elípticas en el plano xy (Fig. 11-1). Naturalmente, esta figura solo representa un corte transversal perpendicular a las crestas de las ondas. Las ondas completas se extienden en el plano xz, y sus puntos más elevados están alineados, ya que en la ecuación [11-1] el desplazamiento y es independiente de z.

Considerando ahora ondas tridimensionales en vez de superficiales, tales como las sonoras o las sísmicas, podremos aplicar las mismas ecuaciones. Para ello es necesario que el lugar geométrico, correspondiente a desplazamientos iguales, sea un plano, y hablaremos de ondas planas. Tales ondas pueden producirse, p. ej., en un bloque de una sustancia elástica, como el de la f i gura 11-2. Sujetando una lámina a una de las superficies del bloque, y comunicándole un movimiento periódico en su propio plano, se originarán ondas planas en el citado bloque. Tales ondas vendrán representadas por las ecuaciones [11-1] y [11-2] si la perpendicular a los frentes de onda es paralela a x. Para generalizar las ecuaciones de modo que representen ondas planas que se propaguen en cualquier dirección, basta sustituir X por F l G _ n ^ . - P r o d u c c i ó n de ondas transía expresión Ix 4- my + nz, versales en un sólido elástico.

206 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

donde l, m y n son los cosenos directores de tal dirección para los ejes x, y y z.

U n manantial luminoso suficientemente pequeño genera ondas esféricas en vez de planas, siendo el manantial centro de los frentes de onda esféricos. Como la curvatura disminuye con la distancia, puede suponerse que las ondas son planas a una distancia suficientemente grande del manantial. La distancia requerida depende de la apertura, es decir, del área del frente de onda utilizado, aumentando evidentemente para grandes aperturas. U n procedimiento usual para obtener ondas luminosas planas consiste en situar un manantial puntual en el foco objeto de una lente o de un espejo, como se vio en los capítulos I V y V I . E n la práctica, el manantial no es nunca un punto matemático, y el haz luminoso obtenido se compone en realidad de muchas ondas planas ligeramente inclinadas entre sí y procedente cada una de un punto distinto del manantial. Para hacer mínimo este defecto, el procedimiento seguido normalmente en los laboratorios consiste en emplear como manantial un pequeño orificio iluminado cuyo diámetro no exceda de unas cuantas longitudes de onda de la luz utilizada.

11-2. Ondas sinusoidales.—El tipo más sencillo de onda es aquella para la cual la función / de la ecuación [11-1] es un seno o un coseno. E l movimiento de las partículas individuales es, en este caso, armónico simple 1 . Este es el tipo de movimiento cuando se trata de sustancias elásticas en las que las fuerzas recuperadoras obedecen a la ley de Hooke. Consideremos ondas transversales en las que los movimientos de las partículas son perpendiculares a la dirección de propagación. ¡Los desplazamientos instantáneos y pueden expresarse en este caso por la ecuación:

y = 2TCX

a sen

P' y

o

FIG. 11-3.—Perfil de una onda sinusoidal en el instante / = 0.

1 El lector encontrará un estudio del movimiento armónico simple y su representación matemática en la obra de F . W . SEARS Fundamentos de Física, vol. I, Mecánica, calor y sonido, Aguilar, S. A. de Ediciones, Madrid, 1958.

SEC. 11-2] ONDAS SINUSOIDALES -207

E l significado de las constantes X y a puede verse en la figura 11-3, que es la gráfica correspondiente a la ecuación anterior. A l desplazamiento máximo a se le; denomina amplitud de la onda, y a la distancia X, después de la cual la curva se repite, longitud de onda.

Para representar la onda tanto en el tiempo como en el espacio, es decir, para hacerla móvil, introduciremos el tiempo de modo análogo a como se hizo en la ecuación [11-1], con lo que resulta:

1 2TT y = a sen —- (x — vt) [11-3]

Entonces el perfil se desplazará en el sentido positivo de x con una velocidad v. Cualquier partícula, tal como la P de la figura, está sometida cuando la onda avanza a un movimiento armónico, ocupando las posiciones sucesivas P, P', P", etc. E l tiempo empleado en una vibración completa es el periodo T, y su recíproco, número de vibraciones por segundo, es la frecuencia v. Es decir,

« = ^ = v X [11-4]

U n modo conciso y útil de escribir la ecuación de las ondas armónicas simples consiste en ponerla en función de la pulsación co = 2TCV y del número de propagación2, k ~ 2TC/X. L a ecuación [11-3] se transforma en;

y = a sen (kx — coi) = a sen (coi — kx + n)

= a eos |G>¿ — kx + ^|

L a constante aditiva del paréntesis es de poca significación física, pues puede ehminarse ¡mediante una elección adecuada del origen de tiempos. E n tal caso, las ecuaciones se convierten en

y — a ¡eos (o í— kx) e y = a sen (coi — kx) [11-5] y describirán la onda de la figura 11-3, si la curva se aplica a los instantes i = T/4 y T¡2, respectivamente, en vez de a t — 0.

U n haz luminoso al cual sean aplicables las ecuaciones anteriores tiene las siguientes características: No solo es perfectamente paralelo, sino también absolutamente monocromático por tener una

2 El significado físico de k es que representa el número de ondas en una distancia de 2TZ cm. Por eso se llama a veces número de ondas. Pero reservaremos esta denominación para el número de ondas en 1 cm. Véase la sección 14-14, donde designamos esta magnitud por o".

208 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

longitud de onda perfectamente definida. Está también polarizado linealmente, ya que las vibraciones se producen en un plano único que pasa por la dirección de propagación. U n tipo de luz como la descrita es una mera idealización, imposible de realizar en la práctica, sobre todo en lo que se refiere a su carácter monocromático. Esto se hace evidente si tenemos en cuenta que la ecuación [11-5] no pone límite al crecimiento de la x, lo que requeriría un tren de ondas infinitamente largo. No obstante, la luz correspondiente a una raya muy nítida del espectro se aproxima bastante a esta idealización.

11-3. Fase y diferencia de fase.—La característica más importante de las ondas planas es que el movimiento vibratorio de cualquier parte del sistema es idéntico si se exceptúa su fase. Este término corresponde a la magnitud entre paréntesis en la ecuación [11-5], es decir, al argumento del seno o del coseno, y nos indica qué fracción de vibración completa ha ejecutado la partícula en un instante dado. E n una vibración, la fase aumenta en 2-k. Dando a t un valor particular, vemos que la fase varía a lo largo de la onda proporcionalmente a x. L a constante de proporcionalidad es el número de propagación k, expresado de ordinario en radianes por centímetro./-» diferencia de fase en cualquier instante entre dos partículas situadas en x2 y xx es, por tanto,

8 = k{x2 — xj = ^ A

donde A representa la separación a lo largo de x de las dos partículas, que, por razones que vamos a ver, llamaremos diferencia de camino.

Solo tienen importancia las diferencias de fase. E l valor absoluto de la fase es imposible de medir en la práctica, tratándose de la luz, y no interviene directamente nunca. Por el contrario, las diferencias de fase pueden medirse con gran precisión, y no hay ninguna arbitrariedad en su definición. Análogamente, el desplazamiento instantáneo y tiene escaso significado, ya que viene especificado por la amplitud y la fase absoluta. Las únicas magnitudes esenciales son la amplitud y la diferencia de fase, como vamos a ver en los capítulos que siguen.

E l siguiente es un ejemplo de experimento óptico, en el que las diferencias de fase desempeñan un papel importante: se divide un haz de luz monocromática en otros dos mediante reflexión parcial u otro método cualquiera. Después de efectuar recorridos distintos se les hace coincidir. L a intensidad resultante, después de esta superposición, depende en gran parte de la diferencia de fase exacta entre ambos trenes de ondas. Esta diferencia está

SEC. 11-4] VELOCIDAD DE FASE O DE ONDA 209

determinada a su vez por las distancias recorridas por cada una de las ondas hasta el punto de observación. E l nombre «diferencia de camino» dado a A indica que lo que interesa de ordinario es una diferencia de las dos ondas separadas y no de dos puntos de una misma onda. En un experimento de este tipo puede ocurrir que parte de las respectivas trayectorias se realicen en sustancias en las que la velocidad de la luz difiera apreciablemente de la que tiene en el vacío o en el aire. Para calcular en este caso diferencias de fase no se utiliza el recorrido geométrico real, sino el camino óptico [d] (Sec. 1-5), que es el producto de la distancia por el índice de refracción n de la sustancia. Esto deriva de que la velocidad de la luz es 1/n veces menor en el medio más denso. Por tanto, si se desea obtener el camino equivalente en el vacío, o sea la distanoia que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo, se utilizará el camino óptico en lugar del geométrico. Se aplican en este caso las importantes relaciones que siguen:

diferencia de fase 8 = ~ X (diferencia de camino óptico) A

= T A = f ( Z W ^ ~ Z ^ ) [ 1 1 ' 6 ]

Los sumatorios representan los caminos ópticos totales de los dos haces luminosos anteriormente mencionados.

11-4. Velocidad de fase o de onda.—Vamos a establecer con precisión qué es lo que se mueve en una onda. Todo lo expuesto en relación con la figura 11-1 podría resumirse diciendo que una

.onda es la progresión de una condición de fase constante. Esta condición pudiera ser, p. ej., la cresta de la onda, donde la fase es tal que conduce a un desplazamiento máximo. L a velocidad con que se desplaza una cresta se suele denominar velocidad de onda, aunque a veces se usa el término más preciso de velocidad de fase. Que esta magnitud es idéntica a la v de las ecuaciones anteriores se demuestra calculando la derivada respecto al tiempo de x con la condición de fase constante. Usando la expresión de la fase en la ecuación [11-5], dicha condición se convierte en

<x¡t — kx = const. y la velocidad de onda es:

dx u> V = l t = k [11"7]

Sustituyendo co =-- 2TZV y k = 2n/X, se obtiene la ecuación [11-4]. Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, la fase constante toma la forma co¿ ~|- kx, y análogamente, v — •—<¿¡k. J E N K I N S - W H I T E . — 1 4

210 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

E l cociente u¡jk para un tipo dado de ondas depende de las propiedades físicas del medio en que estas se desplazan y, en general, también de la misma frecuencia w. E n las ondas elásticas transversales, en que las perturbaciones son lo suficientemente pequeñas para que se cumpla la ley de Hooke, la velocidad de onda es independiente de la frecuencia, y viene dada por

X *•

V = /N

P [11-8]

FIG. 11-4.—Deformación cortante producida por una onda transversal.

deformación unitaria =

siendo A'' el módulo de rigidez y p la densidad. L a deducción de esta relación no es difícil. E n la figura 11-4 se ve que la capa de espesor

se ha deformado un ángulo a. E l módulo, de rigidez es la razón constante del esfuerzo deformante a la deformación unitaria, que viene medida por la tangente de a, o sea, .„

8/ 8x

donde / es la función que determina en cada instante la forma de la onda. E l esfuerzo deformante es la fuerza tangencial F por unidad de área que actúa en la superficie de la capa y, por la ley de Hooke, ha de ser igual al producto del módulo de rigidez por la deformación unitaria, o sea

8/ esfuerzo deformante =FX = N =—

8x

Debido a la curvatura de la onda, el esfuerzo deformante variará con x, y la fuerza que actúa en la cara izquierda de la capa no quedará totalmente anulada por la que actúa en la derecha. L a fuerza neta por unidad de área es

FX~F dF 3x 8x

Aplicando ahora la segunda ley de Newton, igualaremos esta fuerza al producto de la masa por la aceleración de la unidad de área de la lámina:

SEC. 11-5] AMPLITUD E INTENSIDAD 211

Comparándola con la ecuación de la onda [11-2], se deduce la expresión de la velocidad dada por la ecuación [11-8].

Por el hecho de poder polarizarse (Cap. X X I V ) se sabe que las ondas luminosas son transversales. Las medidas muestran que su velocidad en el vacío es; alrededor de 3 x 1010 cm/seg. Si se supone que son ondas elásticas, como se creía generalmente en el siglo x ix , se plantea la cuestión de cuál es el medio en que se propagan. Dado que la velocidad es tan grande, la ecuación [11-8] requeriría que el cociente entre la rigidez y la densidad fuera muy grande también. E n la primitiva teoría del sólido elástico se postuló la existencia de un medio llamado «éter» con las propiedades citadas y que ocupaba todo el espacio. Se suponía que su densidad aumentaba en los medios materiales para explicar la disminución de la velocidad en ellos. Las objeciones a tal hipótesis son obvias. Así, p. ej., a pesar de su resistencia a las deformaciones por cizalladura que había de postularse, debido a que las ondas luminosas son transversales, el éter no produce efectos detectables en el movimiento de los cuerpos siderales. Todas las dificultades desaparecieron al desarrollar Maxwell la actual teoría electromagnética de la luz (Cap. X X ) . E n ella se reemplaza el desplazamiento mecánico de un elemento del medio por la variación de un campo eléctrico (o más generalmente, del vector desplazamiento dieléctrico) en el punto correspondiente.

L a teoría del sólido elástico consiguió explicar algunas de las propiedades de la luz. Hay un gran paralelismo entre ambas teorías, y gran parte de la formulación matemática inicial pudo ponerse sin gran dificultad en términos electromagnéticos. Por consiguiente, hallamos con frecuencia analogías mecánicas útiles para comprender el comportamiento de la luz. De hecho, en lo que concierne a los temas de los siete próximos capítulos, es indiferente qué tipo de ondas se suponga.

11-5. Amplitud e intensidad.—Las ondas transportan energía, y la cantidad de esta que fluye por segundo a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de propagación se denomina intensidad de la onda. Si l a ! onda fluye continuamente con una velocidad v, existe una densidad de energía definida, o energía total por unidad de volumen. Toda la energía contenida en una columna del- medio de sección unidad y longitud v pasará por la unidad de área en un segundo. Así, la intensidad es igual al producto de v por la densidad de energía. Tanto la intensidad como la densidad de energía son proporcionales al cuadrado de la amplitud y al de la frecuencia. Para demostrar esto en el caso de ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía vibratoria de una sola partícula que efectúa un movimiento armónico simple.

212 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

Consideremos, p. ej., la partícula P de la figura 11-3. E n el instante correspondiente a la figura está moviéndose hacia arriba y posee a la vez energía cinética y potencial. Poco después -estará en la posición P'. E n ella permanecerá instantáneamente en reposo, con energía cinética nula y energía potencial máxima. A l descender, posteriormente, gana energía cinética y pierde energía potencial, de modo que su energía total permanezca constante. E n el centro, P", toda su energía és cinética. Por tanto, podemos calcular su energía total bien como la potencial máxima que tiene en P' o como la cinética máxima que tiene en P". Este último procedimiento nos conduce al resultado buscado de un modo más rápido y fácil.

De acuerdo con la ecuación [11-5], el desplazamiento de una partícula determinada varía con el tiempo según la relación

y = a sen (co¿ — a)

donde a es el valor kx para la partícula considerada. Su velocidad es

dy ! ' — = túa eos .(at — a) dt

Cuando y = 0, el seno se anula y el coseno tiene su valor máximo. E n este caso, la velocidad es —u>a[ y la energía cinética máxima

1 \¿y\2 i 2 2

- m -- ¿=—mera1 \ 2 K U * | 2 . i

¡

Puesto que esta es también la energía total de la partícula y es proporcional a la energía por unidad de volumen, se sigue que

densidad de energía ~ co2a2 [11-9]

L a intensidad, que es v veces esta magnitud, será también proporcional a o 2 y a%. \

E n las ondas esféricas, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al manantial puntual. Esto se deduce inmediatamente del hecho de que, siempre que no hay conversión de energía en otras formas, pasará la misma cantidad por cualquier esfera cuyo centro esté en el manantial. Como el área de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, la energía por unidad de área a una distancia r del manantial, o sea la intensidad, variará como 1/r2. L a amplitud variará, por tanto, como \\r, y podemos escribir la ecuación de una onda esférica en la forma

y = — sen (co¿ — kr) [11-10]

SEC. 11-5] AMPLITUD E INTENSIDAD 213

E n este caso a es la amplitud a la unidad de distancia del manantial.

Si parte de la energía se transforma en calor, es decir, si hay absorción, la amplitud e intensidad de las ondas planas no será constante, sino que disminuirá a medida que avanzan en el medio. Análogamente, en el caso de ondas esféricas, la pérdida de intensidad es más rápida que la requerida por la ley de la proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia. E n las ondas planas, la fracción dl/I de la pérdida de intensidad al atravesar un espesor infinitesimal dx es proporcional a dx,

Para obtener la pérdida total en un espesor finito x integraremos esta ecuación

Esta ley, que ha sido atribuida tanto a Bouguer 3 como a Lam-bert 4 , se denomina ley exponencial de la absorción. En la figura 11-5 se representa la intensidad en función del espesor, de acuerdo con esta ley, para un medio cuyo <x es 0,4 c m - 1 . Se pueden modificar las ecuaciones de la onda, de modo que tengan en cuenta los efectos de la absorción, sin más que multiplicar la amplitud por el factor er~"*'>*, ya que la amplitud varía con la raíz cuadrada de la intensidad.

L a intensidad de la luz puede expresarse en ergios por centímetro cuadrado por segundo. L a luz solar, p. ej., tiene una intensidad en estas unidades de alrededor de 1,4 x 106. Debe observarse que no todo este flujo de energía afecta al ojo ni todo es igualmente eficaz. Por ello la intensidad así definida no corresponde necesariamente a la sensación de brillo, y es más corriente encontrar el flujo expresado en unidades visuales 5. Las únicas magnitudes físicas son la intensidad y la amplitud, y de acuerdo

3 Pierre Bouguer (1698-1758), profesor de Hidrografía en El Havre. 4 Johann Lambert (1728-1777), físico, astrónomo y matemático alemán.

Empezó investigando en el campo de la radiación. Hay otra ley, conocida como ley de Lambert, que se refiere a la variación con el ángulo de la radiación emitida por una superficie.

5 Véase la obra, de F . W . SEARS Fundamentos de Física, vol. III, Optica, Aguilar, S. A. de Ediciones, Madrid, 1958.

Calculando estas integrales definidas, se obtiene:

/ Ix = 7 0 e - « [11-11]

214 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

Lf74 3,48

FIG 11-5.—Disminución de la intensidad en un medio absorbente.

con las teorías modernas, la última ha de expresarse en unidades eléctricas. Entonces se verá que, de acuerdo con las ecuaciones que deduciremos en el capítulo X X , la amplitud de un manantial de luz solar cuyo valor es el anteriormente mencionado, representa un campo eléctrico de 7,3 V/cm junto con un campo magnético de 0,024 gauss.

L a amplitud de las ondas luminosas decrece siempre, más o menos rápidamente, al aumentar la distancia recorrida. Solo en el caso de ondas planas en el vacío, como las de la luz de los astros, es aproximadamente constante. L a ley del inverso del cuadrado referente a las intensidades se verifica para pequeños manantiales en el aire y a distancias mayores de unas diez veces la dimensión lateral del manantial. E n este caso las dimensiones f i nitas del manantial originan un error menor del 0,1% en el cálculo de la intensidad, pudiéndose despreciar la absorción del aire para las distancias propias del laboratorio. Con espesores mayores todas las sustancias «transparentes» absorben una fracción apreciable de energía. Volveremos a considerar este tema con algún detalle en el capítulo X X I I .

11-6. Frecuencia y longitud de onda.—Cualquier tipo de movimiento ondulatorio se origina en un manantial vibrante, siendo la frecuencia de las ondas igual a la del manantial. L a longitud de onda en un medio dado está determinada por la velocidad en él, y según la ecuación [11-4] se obtiene dividiendo la velocidad por la frecuencia. A l pasar de un medio a otro la longitud de onda cambia en igual proporción que la velocidad, ya que la frecuencia permanece inalterada. Recordando que un frente de onda representa una superficie sobre la cual la fase es constante,

SEC. 11-6] FRECUENCIA Y LONGITUD D E ONDA 215

resulta claro que, independientemente de cualquier cambio de velocidad, dos frentes de onda diferentes están separados por un cierto número de ondas. De otro modo, la longitud de cualquier rayo entre dos de tales superficies es la misma si expresamos esta longitud en longitudes de onda en el medio correspondiente.

Aplicando esto último a la luz, diríamos que el camino óptico es el mismo a lo largo de cualquier rayo que se trace entre dos frentes de onda. Como las longitudes de onda son proporcionales a las velocidades, se tiene:

X c — = - = « Xm V

cuando la luz pasa1 del vacío, donde tiene la longitud X y la velocidad c, a un medio en el que las magnitudes correspondientes son X„ y v. E l camino óptico correspondiente a una distancia d en cualquier medio es, por tanto,

nd = — d / X»

o sea el número de longitudes de onda en dicha distancia multiplicado por la longitud de onda en el vacío. Se acostumbra referir en óptica y espectroscopia la «longitud de onda» de una radiación o raya espectral particular a la que tiene en el aire en condiciones normales. L a designaremos por X (sin subíndice), y salvo en raras circunstancias, se confundirá con la longitud de onda en el vacío.

Las longitudes de onda, de la luz visible están comprendidas entre 7,2 X 10— 5 cm en. el rojo lejano y 4 x 10~5 cm en el violeta extremo. Del mismo modo que el oído se hace insensible por encima de cierta frecuencia del sonido, el ojo no percibe las radiaciones cuyas frecuencias son¡ superiores a la del violeta extremo o inferiores a la del rojo lejano. Estos límites varían, naturalmente, con las personas, algunas dé las cuales son sensibles a longitudes de 3 x 1 0 - 6 cm, aunque esto se debe a un fenómeno de fluorescencia retiniana. E n este caso la luz aparece de un color gris azulado y es nociva para el ojo. L a radiación cuya longitud es inferior a la de la visible se denomina «luz ultravioleta» y se extiende hasta 5 x 10~7 cm, y entre esta longitud y 6 x 1 0 - 1 0 cm se encuentran los rayos X . Aún más cortos que estos son los rayos gamma, emitidos por las sustancias radiactivas. E n el lado de las longitudes más largas del espectro visible está el infrarrojo, que puede decirse empalma con las ondas de radio de unos 4 x 10— 2 cm. L a figura 11-6 muestra los nombres dados a las diversas regiones del espectro radiante, aunque los límites

216 ! ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

rayos 1

gamma J rayos X

\ ultra-i violeta

i ! i ¡ !í! ! ! ! tg | Infrarrojo 1

¥\ ¡ 1 1 1 1

ondas cortas efe •

radio

~ I " I T I.B'S l-S i fe ¡5 i.¿

i i i i i i i i i i i i i i • .i i i -10"" 10" 1 0 10" 9 10"8 10"7 10" 6 10"5 10"" 10~3 10"Z 10"1 1 10 , 10 ? 10 3 10 4 cm

1UX 10UX 10 2UX K/ÜX 104UX i ti 10(/ \0Zv I03ii 10% 105f( 10% 1Á 10Á 102Á 103A 104Á 1 lm lOm 102 metros

l i FIG. 11-6.—Escala de longitudes de onda en el intervalo de las ondas electro

magnéticas conocidas. j

de separación no son reales. No es! cómodo usar las mismas unidades de longitud en un intervalo tan enorme. Por ello, la longitud de las ondas de radio se expresa en metros (102 cm); los rayos infrarrojos, en mieras (1 jo. = 10~4 cm); la luz visible y la ultravioleta, en angstroms 6 (1 Á = 10—8 cm), y los rayos X , en angstroms, o, en trabajos de precisión, en unidades X (1 U X = = 10-" cm). i

Se ve que la luz visible cubre una fracción; casi insignificante del intervalo total. Aunque todas estas radiaciones tienen la misma naturaleza y difieren solo en su longitud, el término «luz» se aplica por convenio solo a la parte visible y sus adyacentes, infrarrojo y ultravioleta. Muchos de los resultados a que- llegaremos en nuestro estudio son comunes a la totalidad del espectro, pero naturalmente hay diferencias cualitativas en el comportamiento de las radiaciones muy largas y las muy cortas, que ocasionalmente pondremos de manifiesto. Las divisiones hechas entre los diferentes tipos de radiación son puramente formales y se han fijado de un modo aproximado por el hecho de que en el laboratorio los diferentes tipos de radiaciones se engendran y detectan por distintos procedimientos. Los rayos infrarrojos son emitidos en abundancia calentando la materia, y se detectan con cualquier instrumento que mida energías, tal como una termopila. Las ondas de radio más cortas se generan mediante descargas eléctricas entre partículas metálicas finamente divididas e inmersas en aceite, detectándose con dispositivos eléctricos adecuados. E n 1917, Nichols y Tear produjeron ondas infrarrojas con longitudes de hasta 0,42 mm y ondas de radio de hasta 0,22 mm. Puede decirse,

6 A . J . Ángstróm (1814-1874), profesor de Física en Upsala (Suecia). Conocido principalmente por su famoso atlas del espectro solar, que se utilizó durante muchos años como patrón para la determinación de longitudes de onda.

SEC. 11-6] FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA 217

por tanto, que las dos regiones se superponen, sin que se pierda de vista que ambos tipos de ondas tienen la misma naturaleza. E n los límites de separación de las demás regiones del espectro ocurre otro tanto.

E n las ondas sonoras, así como en otras de tipo mecánico, se produce un cambio de longitud de onda cuando el manantial se traslada. Las ondas emitidas en la dirección del movimiento se acortan, y las de dirección opuesta se alargan. Las ondas mismas no cambian de velocidad; por ello, un observador estacionario percibe una frecuencia mayor o menor que la del manantial. Si, por otra-vparte, el manantial permanece en reposo y el observador se mueve, se observa también un cambio de frecuencia, pero por una razón diferente. E n este caso no varía la longitud de onda; pero, al variar la velocidad relativa de las ondas respecto al observador, se produce un cambio de frecuencia. E n ambos casos la variación de frecuencia es aproximadamente la misma, para la misma velocidad de movimiento, siempre que esta sea pequeña trente a la velocidad de las ondas. Este fenómeno se conoce como efecto Dop-pler1', y es de. fácil observación en el caso del sonido por los cambios de tono.

Doppler atribuyó, erróneamente, los cambios de color de las estrellas a movimientos de aproximación o alejamiento de estas con respecto a la Tierra. Dada la enorme velocidad de la luz, un cambio de color apreciable requeriría velocidades, en la dirección de observación, incomparablemente mayores que las medidas en direcciones normales a la anterior. Para la mayoría de las estrellas, estas últimas oscilan entre 10 y 30 Km/seg, y en muy pocas llegan a 300 Km/seg. Dado que la de la luz es aproximadamente 300 000 Km/seg, los cambios de frecuencia habrán de ser pequeños. Además hay poca diferencia en suponer que sea el manantial o el observador el que se mueva. Supongamos que la Tierra se moviese con una velocidad u hacia una estrella fija. U n observador recibiría ufk ondas suplementarias sobre el número v = C/A que le alcanzarían si estuviese en reposo. L a frecuencia aparente sería

c + u I u \ v' = - ± - = v ( l + 7 ) [H-12]

Con las velocidades mencionadas, la diferencia con la verdadera frecuencia sería inferior a un l°/ 0 o- No obstante, un buen espectroscopio es capaz de detectar y medir un cambio tal por el des-

7 J. C. Doppler (1803-1853). Natural de Salzburgo (Austria). A los treinta y dos años, y ante la imposibilidad de asegurarse el porvenir, estuvo a punto de emigrar a América; pero fue nombrado profesor de Matemáticas de la Realschule de Praga y después catedrático de Física experimental de la Universidad de Viena.

218 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

plazamiento de las líneas espectrales. De hecho, esta aplicación legítima del efecto Doppler ha llegado a ser un poderoso método para la medida de las velocidades radiales de las estrellas. La figura 11-7 muestra un ejemplo; el espectro de la estrella u. de Casiopea, banda central, se compara con las líneas del hierro, procedentes de un manantial de laboratorio, fotografiadas encima y debajo de él. Todas las líneas del hierro aparecen en el espectro de la estrella como rayas blancas (lineas de absorción), pero desplazadas hacia la izquierda, es decir, hacia las longitudes más cortas. Las medidas hacen ver que el aumento de frecuencia

• > f e ? - í í ? . , i - . - J , . - . \ v

FIG. 11-7.—Desplazamiento Doppler de las rayas espectrales de una estrella. Ambos espectros son negativos. (Según McKellar.)

corresponde a una velocidad de aproximación de unos 115 Km/seg, que raramente se da en estrellas de nuestra propia galaxia. E n los espectros de otras galaxias (nebulosas en espiral) se producen desplazamientos hacia el rojo, que para las más distantes llegan a ser de varios centenares de angstroms. Tales valores indican velocidades de retroceso de miles de kilómetros por segundo, y de este modo se han interpretado. Es curioso observar que estos cambios de frecuencia son suficientes para hacer variar aprecia-blemente el color, como postuló Doppler; pero se producen en objetos tan lejanos y de tan bajísima luminosidad, que no son observables a simple vista.

E n el laboratorio se han encontrado dos procedimientos para conseguir velocidades capaces de producir efectos Doppler detec-tables. Reflejando la luz en espejos montados en la llanta de una rueda que gire a gran velocidad, se puede conseguir un manantial virtual con una velocidad de hasta 400 m/seg. Pueden alcanzarse valores mucho mayores mediante haces de átomos que se mueven

SEC. 11-7] PAQUETES DE ONDAS 219

en el vacío, como veremos en la sección 19-7 . De paso se verá que, al prescindir la teoría de la relatividad de la necesidad de un éter material, desaparece la distinción entre los casos de observador en movimiento y manantial en movimiento. La relatividad llega a una ecuación que es sustancialmente la [11-12] , y en la que u representa la velocidad relativa de aproximación o alejamiento.

11-7. Paquetes de ondas.—Como se mencionó al final de la sección 11-2, ningún manantial de ondas vibra de un modo indefinido como se requeriría para que se produjese una verdadera onda sinusoidal. Corrientemente, las vibraciones se amortiguan hasta desaparecer o se las interrumpe de cualquier otra r>-oi forma. Entonces se producen _ ^ \ v y \ / \ A / i X / X / X / x ^ - ^ -grupos de ondas de longitud 1 1

finita, como el representado * N o n d e s *~ en la figura 11-8. L a repre- FIG. 11-8.—Ejemplo de un paquete de

paquetes es más bien compleja y se estudiará brevemente en el próximo capítulo. Como los paquetes de ondas suelen presentarse muy a menudo, trataremos de algunas de sus características en esta sección. En primer lugar, su longitud de onda no está bien definida. Si se hace pasar el paquete por algún aparato destinado a medir tal longitud de onda (como, p. ej., la red dé difracción), se encontrará que están distribuidas en un cierto intervalo A X . L a intensidad máxima se producirá para el valor X 0 indicado en la figura 11-8, pero habrá energía'asociada a otras longitudes de onda, y su intensidad decrecerá más o menos rápidamente a ambos lados de X 0 . Cuanto mayor sea el número N de ondas en el grupo, menor será la dispersión A X , y de hecho la teoría 8 demuestra que AX/XQ es aproximadamente igual a 1/2V. Por tanto, solo cuando N es muy grande puede considerarse que ¡la onda tiene una longitud definida con precisión.

Si el medio en el que se propaga el paquete es tal que la velocidad depende de la frecuencia, se observan otros dos fenómenos. Las crestas de las ondas se desplazan con una velocidad diferente de la del paquete en conjunto, el cual se extiende según va avanzando. Nos encontramos en este caso con dos velocidades: la de onda (o fase) y la de grupo. E n la sección 12-7 deduciremos una relación entre ellas.

E n los manantiales luminosos, los átomos radiantes emiten trenes de ondas de longitud finita. Corrientemente, a causa de

8 Véase la demostración de este teorema en Electromagnetic Theory, de J. A . STRATTON, pág. 292, McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, 1941.

sentación matemática de tales ondas.

220 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

las colisiones y del debilitamiento producido por otros motivos, tales paquetes son muy cortos. De acuerdo con el teorema anteriormente mencionado, se deduce que las rayas del espectro no son muy estrechas, sino que tendrán una anchura apreciable AX. Midiendo esta anchura podemos saber la «vida» efectiva de los osciladores electromagnéticos de los átomos y la longitud media de los paquetes de ondas. Una descarga en vapor de mercurio a baja presión que contenga solo el isótopo 198 producé líneas espectrales muy finas, de unos 0,005 Á de anchura. Tomando la longitud de una de las rayas más nítidas, 5461 Á, podemos calcular que, grosso modo, hay 106 ondas en un paquete, y que estos son de unos 50 cm de longitud.

11-8. Reflexión y refracción.—Al incidir las ondas en la superficie de separación de dos medios en los que su velocidad es apreciablemente diferente, el tren; de ondas incidente se divide en dos, uno reflejado y otro refractado (o transmitido). L a energía relativa reflejada crece al aumentar el cambio de velocidad. Además, las ondas transversales elásticas se convertirán parcialmente en longitudinales en tal superficie. E l hecho de no observarse esto último en el caso de la luz representa otra seria objeción a la teoría del sólido elástico. Las ondas refractadas son puramente transversales y contienen toda la energía no reflejada. E n general, tanto las ondas reflejadas como las refractadas tienen direcciones diferentes de la de incidencia.

Las relaciones entre estas direcciones están, por otra parte, de acuerdo con la conducta de los rayos luminosos (Cap. I), puesto que un rayo representa la dirección en que fluye la energía de las ondas, y suele ser perpendicular al frente de onda (para una excepción véase la Sec. 26-2). E n la sección 1-6 se dedujeron las leyes de la reflexión y de la refracción a partir del principio de Fermat, pero es bien conocido que pueden obtenerse también aplicando la construcción de Huygens a la reflexión y refracción

FIG. 11-9.—Estudio de Stokes sobre la reflexión.

SEC. 11-8] REFLEXION Y REFRACCION 221

de una onda plana 9 . E n la figura 11-9 (a) se ha representado por a un rayo incidente sobre una superficie plana de agua, y por ar y at los rayos reflejado y refractado, respectivamente.

Una cuestión de especial interés desde el punto de vista de la óptica física es la posibilidad de un brusco cambio de fase al reflejarse las ondas en una superficie. Para una superficie determinada el resultado diferirá, como veremos, según que las ondas que alcanzan la superficie procedan del medio de mayor o de menor velocidad. Sea a, a la izquierda de la figura 11-9, la amplitud (no la intensidad) de un tren de ondas incidente, r la fracción de amplitud reflejada y i la fracción transmitida. L a amplitud de estos dos trenes será por tanto ar y at. Ahora, siguiendo un método debido a Stokes 1 0, imaginemos que se invierte la dirección de ambos trenes, como en la parte (b) de la figura. Suponiendo que no hay pérdidas de energía por absorción, un movimiento ondulatorio es un fenómeno rigurosamente reversible. Deberá cumplirse la ley de la mecánica conocida como principio de reversibilidad, de acuerdo con el cual el resultado de invertir instantáneamente todas las velocidades de un sistema dinámico es el de que este reproduzca en sentido opuesto su movimiento previo. E n la sección 1-4 se vio que las trayectorias de los rayos luminosos están de acuerdo con este principio. Los dos trenes de ondas invertidos, de amplitudes ar y at, producirán según esto, después de llegar a la superficie, una onda en el aire de amplitud igual a la incidente, pero de dirección contraria. L a onda de amplitud ar producirá una reflejada de amplitud arr y otra refractada de amplitud art. Si llamamos r' y t' a las fracciones de amplitud reflejada y refractada cuando la onda invertida at incide en la superficie desde abajo, las amplitudes producidas serán atr' y att', como se ve en la figura. Ahora bien: como el efecto neto consiste en una única onda en el aire de amplitud a, tendremos:

att' +arr =a [11-13] y art + atr' = 0 . [11-14]

La segunda ecuación establece que las dos ondas incidentes no producirán al componerse ninguna perturbación en el lado de la superficie correspondiente al agua. De la ecuación [11-13] obtenemos:

9 Véase J. K. ROBERTSON: Introduction ta Physical Optics, 3.a ed., págs. 60-67, D. Van Nostrand Co., Inc., Nueva York, 1941.

1 0 Sir George Stokes (1819-1903), profesor del Pembroke Collegé de Cambridge, e iniciador del estudio de las interacciones entre luz y materia. Se hizo famoso por sus leyes sobre la fluorescencia (Sec. 22-6) y la velocidad de caída de esferas en líquidos viscosos. El estudio a que nos referimos apareció en su Mathe-matical and Physical Papers, vol. II, págs. 89 y sgs., en especial pág. 91.

222 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

tí' !' = 1 — r 2 [11-15]

y de la ecuación [11-14]

r = •—r \ [11-16]

A primera vista podría parecer que a partir de la ecuación [11-15], y debido a que las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes y que por la conservación de la energía r2 4-t% — 1, se deduciría que t = t'. No obstante, este resultado no es correcto por dos razones. E n primer lugar, aunque la proporcionalidad de la intensidad al cuadrado de la amplitud se cumple cuando la luz se propaga en un solo medio, al pasar a otro es necesario multiplicar por el índice de refracción para determinar la intensidad. Además, la ley de conservación no se aplica a intensidades, sino a la energía total de los haces. Si, como en el caso de la refracción, varía la anchura del haz, deberá ser tenido esto en cuenta.

L a segunda de las relaciones de Stokes (Ec. [11-16]) hace ver que la reflectando,, o fracción de intensidad reflejada, es idéntica tanto si la onda incide por la izquierda de la superficie como si lo hace por la derecha, puesto que el signo negativo desaparece al elevar al cuadrado las amplitudes. Pero debe observarse que las ondas han de incidir con ángulos que correspondan a los de incidencia y refracción. E l distinto signo de las amplitudes en la ecuación [11-16] indica una diferencia de fase TC entre ambos casos, puesto que invertir el signo equivale a un desplazamiento en sentido opuesto. Si no cambia la fase al reflejarse desde arriba, cambiará en TC al reflejarse desde abajo; o, análogamente, si rio cambia la fase al reflejarse desde abajo, cambiará en TC al hacerlo desde arriba.

E l principio de reversibilidad aplicado a las ondas luminosas se utiliza mucho en los problemas de óptica; p. ej., prueba al mismo tiempo la intercambiabilidad de objeto e imagen. L a conclusión a que hemos llegado sobre el cambio de fase no depende de la aplicabilidad del principio, es decir, de la falta de absorción, sino que se verifica para la reflexión en cualquier superficie. Es un hecho experimental que al reflejarse la luz en las condiciones anteriores, el cambio de la fase en TC se produce al incidir la luz desde el lado de la superficie en que la velocidad es mayor 1 1 , por lo que la segunda de las alternativas mencionadas es la correcta en este caso. E n la reflexión de las ondas mecánicas, tales como las transversales que se producen en una cuerda vibrante, se observa un cambio de fase del mismo tipo. L a reflexión de la onda

Véase la sección 13-6 en relación con el espejo de Lloyd.

PROBLEMAS 223

en el extremo fijo de la cuerda corresponde a la reflexión cuando la velocidad de la onda disminuye al atravesar la superficie límite cambiando de fase. E n este caso la reacción elástica del extremo fijo produce inmediatamente; un tren de ondas reflejado de fase opuesta, que se desplaza a lo largo de la cuerda en sentido contrario al primitivo. E l caso en que la velocidad aumenta al cruzar la superficie límite corresponde a la reflexión en el extremo libre de una cuerda. Este extremo experimenta un desplazamiento doble al que tendría si la cuerda fuese continua, e inmediatamente se origina una onda de sentido contrario con igual fase que la incidente. A l estudiar las interferencias luminosas (Sec. 14-1) utilizaremos las consecuencias que se deducen de las ecuaciones [11-15] y [11-16], y en el capítulo X X V se insistirá sobre las relaciones de fase originadas en la reflexión bajo cualquier ángulo de incidencia.

P R O B L E M A S

11-1. Demuéstrese, utilizando las relaciones de la ecuación [11-4], que la fase de una onda sinusoidal puede expresarse en las siguientes formas:

11-2. Represéntese una onda sinusoidal de v = 20 cm/seg, X = 15 cm.y a = 5 cm como función de x en el instante t = 0. Supóngase que en dicho instante la elongación de la partícula es máxima en el origen.

Sol.: Curva sinusoidal de amplitud 5, que se anula para x = 3,75; I 11,25; 18,75; 26,25; . . .

11-3. Represéntese el movimiento de una partícula situada en = 78 cm en función del tiempo, para la onda del problema anterior,

de ¿ = 0 a í = 5 seg. !

11-4. Una onda está representada por y = 10 sen (6í — 0,5#), donde x e y están en centímetros y t en segundos. Hállense la velocidad y la aceleración de una partícula a 3! cm del origen para í = 24.

¡ Sol.: — 25,72 cm/seg; 325,2 cm/seg2. 11-5. ¿Cuál será la diferencia de fase en radianes entre dos partículas

distantes 90 cm a lo largo del tren de ondas que está representado por y = 2 sen 7n(x— 24i), donde x se expresa en centímetros y í en segundos?

11-6. Ondas esféricas procedentes de un manantial puntual producen el movimiento y = 4,2 eos 6t mm a 3 m del manantial. Hállese la ecuación de tales ondas, así como la que describe el movimiento a 50 cm del manantial. Sol.: y = (12¡600/r) sen (6t— kr); y = 25,2 eos (6t + <¡>).

11-7. Un manantial de ondas planas vibra de acuerdo con la ecuación y = «sen (2tc/T), siendo a = 0,8 cm y T = 0,023 seg. Si las ondas se propagan con la velocidad de 30 cm/seg, hállense: a) la ecuación de la onda, y = f(x, t), y b) la ecuación del movimiento de una partícula distante 8 cm del manantial.

224 ONDAS LUMINOSAS [CAP. 11

11-8. Ondas planas sinusoidales que tienen una longitud de onda de 62 cm se propagan en un cierto medio. En un instante dado una de las partículas tiene una elongación de + 2,5 mm, y esta elongación está creciendo. Hállense: a) la amplitud de la onda si la fase de la partícula en dicho instante es 72°, siendo la fase nula cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio moviéndose en sentido positivo, y b) la elongación y la fase de otra partícula situada a 19 cm de esta contados en el sentido de la propagación. !

Sol: a) 2,73 mm. b) —0,015 mm; 180,32°. 11-9. Hállese la velocidad de las- ondas transversales en un bloque

de aluminio. i 11-10. Uno de los brazos de un interferómetro de Michelson tiene una

lámina transparente planoparalela de vidrio de 5 mm de espesor y no = 1,5360, inclinada 45" respecto al haz incidente que la atraviesa dos veces. Hállese la variación de camino óptico cuando se altera 30" la inclinación de tal lámina. ¡

¡ Sol: 0,0298 mm. 11-11. Al comparar los espectros de los bordes Este y Oeste del Sol

se encuentra que una línea espectral de 4126 Á se encuentra desplazada 0,029 Á al pasar de un espectro al otro. ¿Qué información cuantitativa puede obtenerse de esta observación respecto al movimiento del Sol?

11-12. Calcúlese la razón de las intensidades de dos ondas representadas por yx = 6 sen (0,4* — 25*) e y , = 2,5 sen (3,2* — 200x).

! Sol: 0,09. 11-13. Se define el coeficiente de transmisión de una sustancia como

la fracción de luz transmitida por unidad de espesor. Dedúzcase una relación entre este coeficiente y el de absorción que aparece en la ley exponencial de la absorción.

11-14. Desde un manantial puntual situado bajo el agua se propaga luz visible. El coeficiente de absorción del agua es a — 0,08 m—1. Si la intensidad es 2300 erg/cm2 • seg a 50 cm del manantial, ¿cuál será a una distancia de 10 m? ¡

¡ Sol: 2,691 erg/cm2 • seg. 11-15. Si una raya espectral en el infrarrojo con l = 6,3 ¡x se en

cuentra que tiene una anchura verdadera (corregida de cualquier ensanchamiento instrumental) de 6 x 10—4 ¡i, hállense el número medio de ondas en los paquetes de ondas y la vida media de los osciladores moleculares que emiten dicha línea.

11-16. Un haz paralelo de luz penetra en el agua [n — 1,330) bajo un ángulo de incidencia de 60°. Hállese la razón entre las anchuras del haz en el agua y en el aire. ¿Tenderá este efecto a hacer a *' mayor o menor respecto a *? j

[ Sol: 1,518; mayor.

CAPITULO XII

SUPERPOSICION DE ONDAS

A l cruzarse dos trenes de ondas, p. ej., las originadas al dejar caer simultáneamente dos piedras sobre la superficie tranquila de una piscina, se observan fenómenos muy complicados e interesantes. E n la región en que se cruzan hay sitios en que la perturbación es nula y otros en que es mayor que la producida por cualquiera de las ondas solas. Para explicar estos efectos existe una ley muy sencilla, la cual establece que el desplazamiento resultante en cada punto es simplemente la suma de los producidos por cada onda separadamente. Esta ley se conoce como principio de superposición, siendo Young 1 , en 1802, quien primero la enunció de un modo claro. La exactitud de este principio es evidente si observamos que, después de pasar las ondas por la región de cruce, no manifiestan la más mínima influencia de las otras ondas. Su amplitud, frecuencia y demás características son las mismas que si no se hubiesen cruzado. Esto solo puede cumplirse si el principio de superposición es válido. Dos observadores distintos pueden ver objetos diferentes a través de la misma abertura con perfecta claridad, a pesar de que las ondas que llegan a ambos se han cruzado al atravesar la abertura. Podemos, pues, aplicar con gran precisión este principio a la luz y utilizarlo para estudiar la perturbación producida en regiones en que se superponen dos o más ondas luminosas.

12-1. Composición de movimientos armónicos simples a lo largo de la misma recta.—Consideremos en primer lugar el efecto de la superposición de dos ondas sinusoidales de igual frecuencia; el problema se reduce a hallar el movimiento resultante de una partícula que ejecuta simultáneamente dos movimientos armónicos simples. Los desplazamientos debidos a las dos ondas se considera que tienen lugar a lo largo de la misma recta, que llamaremos dirección y. Si ax y a2 son las amplitudes de las dos ondas,

1 Thomas Young (1773-1829), físico y médico inglés, a quien suele denominarse fundador de la teoría ondulatoria de la luz. Niño muy precoz (a los cuatro años había leído dos veces la Biblia), se convirtió en un eminente investigador. Sus estudios sobre la interferencia constituyeron la contribución más importante al conocimiento de la luz desde los tiempos de Newton. Su trabajo inicial probó la naturaleza ondulatoria de la luz, pero no fue apreciado debidamente hasta que resultó corroborado por Fresnel. ^wV/í^í

J E N K I N S - W H I T E . — 1 5 225

226 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

serán también las amplitudes de los dos movimientos periódicos a que está sometida la partícula, y, de acuerdo con la ecuación [11-5], los desplazamientos componentes serán:

yí = ax sen (w¿ — at) ys = a2 sen (coi —• a2)

Obsérvese que co es igual para ambas ondas, pues hemos supuesto que tienen la misma frecuencia. De acuerdo con el principio de superposición, el desplazamiento resultante y es simplemente la suma de los desplazamientos yx e y2, por lo que se tiene:

y = ax sen (coi — <xx) + a2 sen (coi — Og)

Utilizando la expresión del seno de la diferencia de dos ángulos, se puede escribir:

y = ax sen coi eos xx — ax eos coi sen xx + a2 sen coi eos K 2 —

— a2 eos coi sen <x2

= (ax eos v.x + « 2 c o s ^ 2 ) S E N °^ — (ai s e n a i + a2 s e n a 2 ) c o s °^ [12-2]

Pero dado que las a y las a son constantes, es lícito poner

ax cos xx + a 2 c o s a 2 = ^ c o s ^

sen a, + a 2 ssn a.2 = A sen 0

en el supuesto de que podamos obtener valores de A y 0 que satisfagan estas ecuaciones. Elevando al cuadrado y sumando' las ecuaciones [12-3], se tiene:

yl2(cos2 0 4- sen2 0) = aL2(cos2 cnx 4- sen2 oq) 4- a2

2(cos2 4- sen2 <x2) 4-4- 2fl1aa(cos xx cos a 2 + sen ctx sen a2) '

o bien, A2 — axz + a2

2 + 2axa2 cos (OLX — a2) [12-4]

A l dividir la segunda de las ecuaciones [12-3] por la primera, resulta:

e = a.senoc^^senag flj cos a.x 4- « 2 eos a 2

Las dos últimas ecuaciones muestran que existen valores de A y 0 que satisfacen las ecuaciones [12-3], por lo que es posible sustituir los segundos miembros de estas ecuaciones en la [12-2]. Resulta así:

y = A cos 0 sen coi— A sen 0 cos coi

[12-1]

[12-3]

SEC. 12-2] COMPOSICION VECTORIAL DE AMPLITUDES 227

que tiene la forma del seno; de la diferencia de dos ángulos, y puede expresarse en la forma:

y =A sen (coi — 9) [12-6]

Esta ecuación es del mismo tipo que las de los movimientos armónicos componentes, pero con una nueva amplitud A y una nueva constante de fase 6. Con ello hemos llegado al importante resultado de que la suma de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia y dirección es también un movimiento armónico simple de la misma frecuencia. L a amplitud y constante de fase resultantes se calculan fácilmente a partir de las de los movimientos componentes mediante las ecuaciones [12-4] y [12-5], respectivamente.

L a composición de tres o más movimientos armónicos simples de la misma frecuencia originará análogamente un movimiento resultante del mismo tipo, ya que pueden sumarse sucesivamente, obteniéndose cada vez una ecuación de igual forma que la [12-6]. Cuando no se necesita gran j precisión es de ordinario más cómodo utilizar el método gráfico que describimos en la sección siguiente. E l conocimiento de la constante de fase final, 9, no es necesario, a menos que haya de combinarse el movimiento resultante con algún otro. j

La amplitud resultante \A depende, según la ecuación [12r4], de las amplitudes componentes «, y a2 y de su diferencia de fase 8 = .a, •—• a 2. Cuando superponemos dos haces luminosos, como en el interferómetro de Michelson (Sec. 13-8), la intensidad en cada punto será proporcional al cuadrado de la amplitud resultante. De la ecuación [12 -4] , y para el caso ax — a2, resulta:

• | s ¡ I ~ A2 = 2a2(l + eos S) = 4a2 eos2 - [12-7]

h •; 2 Si la diferencia de fase es tal que 8 = 0, 2TT, 47r, la intensidad será igual a cuatro veces la intensidad de cada uno de los haces. Si 8 = n, 3n, 5n, .... la intensidad es nula. Para valores intermedios, la intensidad varía entre estos límites de acuerdo con el cuadrado del coseno. Estas modificaciones de la intensidad obtenidas al componer ondas se conocen como efectos de interferencia, y en el capítulo siguiente estudiaremos distintos modos de obtenerlas y utilizarlas experimentalmente.

12-2. Composición vectorial de amplitudes.—Para hallar la amplitud y constante de fase resultantes de la superposición de los dos movimientos armónicos simples del caso anterior, existe un procedimiento muy sencillo. Si representamos las amplitudes ai Y a2 P o r vectores que forman ángulos a x y <x2 con el eje de

228 SUPERPOSICION i DE ONDAS [CAP. 12

FIG . 12-1.—Composición vectorial de amplitudes.

lasa: 2 , como en la figura 12-1 (a), la amplitud resultante A es la suma vectorial de ax y #2, y forma un ángulo 0 con el eje. Para demostrarlo, empezaremos observando que, en la figura 12-1 (b), la ley del coseno aplicada al triángulo formado por av a 2 y A, da:

A% = + a-} — 2a1a2. eos [TC — (oq — a2)] [12-8]

que se reduce fácilmente a la ecuación [12-4]. Además, dado que la tangente de 0 es la razón de la suma de las proyecciones de aL y a 2 sobre el eje y a la suma de sus proyecciones sobre el eje x, se obtiene inmediatamente; la ecuación [12-5].

Se prueba que el movimiento resultante es armónico simple recordando que resulta este tipo de movimiento como proyección sobre uno de los ejes coordenados de un punto que efectúa un movimiento circular uniforme. Se ha representado la figura 12-1 para el instante t = 0, y al aumentar el tiempo, los desplazamientos yl e y 2 serán las componentes verticales de los vectores a-¡ y « 2, si estos últimos giran en el sentido del reloj con la misma velocidad angular to. L a resultante A tendrá, por tanto, l a misma velocidad angular, y la proyección P' de su extremo P definirá el movimiento resultante. Si imaginamos que el triángulo formado por los vectores del diagrama (6) gira como una figura rígida se verá que el movimiento de P' está de acuerdo con la ecuación [12-6]. i

2 No seguimos aquí el convenio usual de considerar.positivos los ángulos cuyo sentido es contrario al de las agujas del reloj por ser costumbre en óptica representar un adelanto de fase por una rotación del vector amplitud en el sentido del reloj. 1

SEC. 12-3] SUPERPOSICION DE DOS TRENES DE ONDAS 229

E l método gráfico es especialmente útil cuando se trata de componer más de dos movimientos. E n la figura 12-2 se ve la composición de cinco movimientos de amplitudes a y diferencias de fase 8 iguales. La intensidad I — Az podrá variar entre cero y 25a2, según sea la diferencia de fase 8. Este es el problema que sé plantea al hallar la intensidad en las figuras de difracción producidas por una red (Cap. XVII). Las cinco amplitudes iguales de la figura pueden ser las proporcionadas por cinco rendijas de la red, instrumento cuya principal misión es la de introducir diferencias de fase iguales en la luz procedente de cada par sucesivo de rendijas. Obsérvese que, según se ha dibujado la figura 12-2, las sucesivas vibraciones van aumeritando su retraso de fase con relación a la que pasa por el origen.

Para componer vibraciones de amplitud y fase dadas pueden utilizarse tanto métodos trigonométricos como gráficos. También es posible, como veremos, aplicar estos métodos a la composición de vibraciones infinitesimales, de modo que las adiciones se convierten en integraciones. E n tales casos, y especialmente si las amplitudes de las componentes varían, es más sencillo sumar las amplitudes como números complejos. E n la sección 14-8 uti l izaremos este método, por ser el primer caso en que se hace necesario.

12-3. Superposición de dos trenes de ondas de la misma frecuencia.—De la sección anterior se deduce directamente que el resultado de superponer dos trenes de ondas sinusoidales de la misma frecuencia y dirección es otro tren de ondas de la misma frecuencia, pero de diferente amplitud, determinada para valores dados de ax y a 2, por la diferencia de fase 8 entre los movimientos comunicados a cualquier partícula por las dos ondas. Como ejemplo hallemos la onda resultante producida por dos ondas de igual frecuencia y amplitud propagándose en la misma dirección -f x y distanciadas una longitud A. Las ecuaciones de las dos ondas, en la forma de la ecuación [11-5], serán:

FIG. 12-2.—Suma vectorial de cinco amplitudes de la misma magnitud y

diferencias de fase 8.

y1 = a sen (coi — kx) y2 — a sen [coi — k{x -f A)]

[12-9] [12-10]

230 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

Por el principio de superposición, el desplazamiento resultante será la suma de los desplazamientos separados, con lo que

y = yx + y 2 = a { sen (coi — kx) + sen [coi — k(x + A)]}

Aplicando la fórmula trigonométrica sen A + sen B = 2 sen \(A + B) cos \(A

obtenemos: ' A\

B) [12-11]

M 2a cos — sen

2 coi - k[x+- [12-12]

Esto corresponde a una nueva onda de la misma frecuencia, pero de amplitud 2a cos (kA¡2) = 2a cos (rt A/X). Cuando A es una pe-

t

A—1—1—

(a)

i i -HAH-

2; 2 i i ^ - ^ ¡

•—A — (6)

FIG. 12-3.—(a) Superposición de dos trenes de ondas casi en fase, (b) Superposición de dos trenes de ondas desfasados casi 180°.

quena fracción de la longitud de onda, la amplitud será aproximadamente 2a, mientras que si A es alrededor de A/2, será prácticamente nula. E n la figura 12-3 se ilustran estos dos casos para el instante t = 0, siendo las curvas de trazo fino las representaciones de [12-9] y [12-10], y la de trazo grueso lo que representa a [12-12]. La suma algébrica de las ordenadas de las curvas componentes, para cualquier valor de x, es igual a la ordenada de la curva gruesa. E l lector puede comprobar fácilmente, mediante construcciones gráficas análogas, que no es necesario que las amplitudes sean iguales para que se produzca una onda sinusoidal, y que la suma de un número cualquiera de ondas de la misma frecuencia produce el mismo resultado. E n cualquier caso, la forma de la onda resultante tendrá una amplitud constante, ya que tanto las ondas componentes como su resultante se mueven con la misma velocidad y mantienen la misma

SEC. 12-3] SUPERPOSICION DE DOS TRENES DE ONDAS 231

posición relativa. Puede visualizarse el fenómeno desplazando hacia la derecha todas las ondas de la figura 12-3 con una velocidad dada.

L a producción de las llamadas «ondas estacionarias» en una cuerda vibrante, con formación de nodos y vientres, es un ejemplo de superposición de dos trenes de ondas de la misma frecuencia y amplitud que se propagan en sentidos opuestos. E l movimiento resultante se obtiene sumando la onda directa y la reflejada en el extremo. Dos ondas de este tipo pueden representarse mediante las ecuaciones i

yx = d sen (coi — kx) y 2 = a sen (coi + kx)

Sumándolas, del mismo modo que se hizo para obtener la ecuación [12-12], resulta: ;

y —2a eos (•— kx) sen coi que representa las ondas estacionarias. Para cualquier valor de x se trata de un movimiento armónico simple cuya amplitud varía con x entre 2a para kx = 0, n, 2TZ, 2>TZ, y cero para kx = = TC/2, 3TT/2, 5TC/2, .... Estas últimas posiciones corresponden a los nodos y están separadas una distancia A# = n/k = A/2. L a figura 12-3 sirve también para ilustrar este caso si las dos ondas de trazo fino se desplazan en sentidos opuestos. La curva resultante, en vez de conservar su forma moviéndose hacia la derecha, oscila entre una recta para coi = TC/2, 3TZ¡2, 5TC/2, y una curva sunusoidad de amplitud 2a cuando coi = 0, TI, 2TZ, .... E n los nodos, tales como los N y N' de la figura, el desplazamiento resultante es siempre nulo.

A Wiener 3 se debe un experimento que permite observar ondas ¡luminosas estacionarias producidas por reflexión normal de la luz sobre un espejo pulimentado (Fig. 12-4). Frente a la superficie reflectante se coloca una película fotográfica especial, de un espe-/

sor de solo 1/30 de longitud de onda, inclinada de modo que corte sucesivamente nodos y vientres, tales como A, a, B, b, C, c, D, d, .... La placa se impresionará solo donde exista una vibración apreciable, pero no en los nodos. Como era de esperar, al revelar la película aparece una serie de bandas oscuras, separadas por

3 O. WIENER: Ann. Physik, 40, 203, 1890.

ondas luminosas para/e/as

espe/o

FIG. 12-4.—Formación y detección de ondas estacionarias en ei experimento de

Wiener.

232 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

líneas no impresionadas correspondientes" al lugar de cruce con los nodos. Disminuyendo el ángulo de inclinación de la placa con la superficie reflectante, las bandas se separan por haber cortado un menor número de planos nodales en una distancia dada. Midiendo estas bandas se llega a una importante conclusión: las ondas estacionarias tienen un nodo en la superficie reflectante. Las relaciones de fase entre la onda directa y la reflejada son tales, que ambas se anulan continuamente. Esto es análogo ai caso de la reflexión de las ondas de una cuerda vibrante en su extremo fijo. Wiener ideó otros experimentos análogos a este, que estudiaremos con detalle en la sección 25-12.

12-4. Superposición de muchas ondas con fases cualesquiera. Consideremos ahora un gran número de trenes de onda de la misma frecuencia y amplitud que se propagan en idéntica dirección, siendo sus diferencias de fase totalmente arbitrarias. De lo que ya sabemos podemos inferir que la resultante será una onda sinusoidal de la misma frecuencia, y cuya amplitud e intensidad se trata de averiguar. Sea a la amplitud de cada uno y n el número de trenes de ondas superpuestos. L a amplitud de la onda resultante será la amplitud del movimiento de una partícula sometida a n vibraciones armónicas simples, cada una de amplitud a. Si todas estas vibraciones estuviesen en fase, la amplitud resultante sería na y la intensidad n2a2, o sea n2 veces la de una sola onda. No obstante, en el caso que estamos considerando las fases están distribuidas puramente al azar. Si hubiese de utilizarse el método gráfico de composición de amplitudes resultaría algo análogo

a lo de la figura 12-5. Las fases ctí, oc2> toman valores perfectamente arbitrarios entre 0 y 2n. L a intensidad resultante de la superposición de tales ondas quedará determinada por el cuadrado de la resultante A. Para hallar A2 hemos de elevar al cuadrado la suma de las proyecciones de todos los vectores a sobre el eje x añadiéndole el cuadrado de la suma correspondiente referente al eje y. L a suma de las componentes x es

a (eos oq + eos a 2 + + eos a 3 + • • • + eos a„)

A l elevar al cuadrado la cantidad entre paréntesis obtendremos términos de la forma eos8 y otros de la forma 2 eos a.x eos <x2.

S E C . 12-5] ONDAS C O M P L E J A S 233

Cuando n es grande pudiera esperarse que estos últimos términos se anulasen mutuamente por tomar signos positivos y negativos. E n una disposición cualquiera de los vectores esto no es cierto, y, de hecho, la suma de estos productos cruzados aumenta en proporción aproximada a su número. Así, no obtenemos un resultado definido con una ordenación dada de ondas distribuidas al azar. A l calcular la intensidad en cualquier problema físico nos encontramos con un gran número de tales ordenaciones y tratamos de averiguar su efecto medio. En este caso sí es seguro afirmar que el promedio de estos dobles productos es nulo, con lo que solo nos quedan los términos eos2 a. Lo mismo ocurre con las proyecciones sobre y, de las que solo nos quedan los términos en sen 2 a, anulándose los términos 2 sen a.x sen a 2. Por tanto, tenemos:

I ^ A2 = «2(cos2 a, + eos2 a 2 + eos2 a 3 + * • • + eos2 a») +

+ a2(sen2 ocj + sen 2 ¡x2 + sen2 a 3 + • • • + sen2 a»)

Pero, dado que sen 2 a* + eos2 a* = 1, resulta:

I ~ a2 x n

Así,, la intensidad media resultante de la superposición de n ondas con fases al azar es n veces mayor que la de una sola onda. De aquí deducimos que el promedio de ampl i tud A en la figura 12-5, en vez de ser nulo cuando se compone de un gran número de vectores a con direcciones al azar, aumenta al aumentar n, siendo proporcional a -\/ñ.

Las consideraciones anteriores nos explican por qué cuando muchos violines de. una orquesta interpretan la misma nota no hay que tener en cuenta las interferencias entre las ondas sonoras. Debido a que las fases son arbitrarias, la intensidad producida por 100 violines es aproximadamente 100 veces mayor que la producida por uno solo. L a luz emitida por los átomos de una l lama de sodio no tiene unas relaciones de fase definidas, y además la emitida por cada uno cambia más de un millón de veces por segundo su fase. De aquí podemos deducir con certeza que la intensidad observada será la de un átomo mult ipl icada por el número de átomos que emiten.

12-5. Ondas complejas.—Las ondas hasta ahora consideradas son de un tipo especialmente sencillo; en que los desplazamientos pueden representarse mediante una curva sinusoidal. Como hemos visto, la superposición de un número Cualquiera de tales ondas de la misma frecuencia, aunque de amplitudes y fases arbitrarias, sigue produciendo una onda del mismo tipo. Pero si se superponen dos ondas de frecuencias sensiblemente diferentes, la onda resultante es compleja; es decir, el movimiento de

234 SUPERPOSICION DE ONDAS [ C A P . 12

la partícula no es ya armónico simple, y el perfil de la onda no es sinusoidal. E n la.sección próxima se hará el estudio analítico de estas ondas; ahora solo consideraremos algunos de sus aspectos más característicos.

Es instructivo examinar los resultados de sumar gráficamente dos o más ondas de la misma dirección que tienen frecuencias, amplitudes y fases diferentes. Las longitudes de onda están determinadas a partir de las frecuencias mediante la relación vX = v,

<r\ r\ r\ /\ /\ /*v /\ /> f\ s\ s\ r\ r\

r\ r\ r\ f \j U V v V V W V V W X j

WVVXAAA

(a) (c)

KAAAAAAAAAAAAAAM rVWVWX/WWWWl

KrVMAAAAAA/uVVWWN

(d) I r i G . 12-6.—Superposición de dos o más ondas que se propagan en la misma direc

ción con frecuencias relativas, amplitudes y fases diferentes.

por lo que las que tienen mayor frecuencia son más cortas, y viceversa. En la figura 12-6 se han representado las curvas resultantes en varios casos, habiéndose obtenido sin más que sumar algébricamente en cada punto los desplazamientos debidos a las ondas individuales, de acuerdo con el principio de superposición. E n el diagrama (a) se ilustra el caso, ya mencionado en la sección 12-3, de dos ondas de diferente amplitud e igual frecuencia. La amplitud resultante depende de la diferencia de fase, que en el caso representado es nula. Para otras diferencias de fase basta desplazar lateralmente una de las componentes respecto de la otra, con lo que la amplitud resultante disminuye y su valor mínimo es igual a la diferencia de amplitudes. E n (b) se han sumado tres ondas de distintas frecuencias, amplitudes y fases, originándose una onda compleja que difiere mucho, evidentemente, de una curva sinusoidal. En (c) y (d), en que se han sumado dos ondas de la misma amplitud y frecuencias en la relación 2: 1, se

SEC. 12-5] ONDAS COMPLEJAS 235

origina una curva cuya forma, como puede verse, cambia mucho con la diferencia de fase. S i estas dos últimas fuesen ondas sonoras, el tímpano vibraría realmente en cada caso de acuerdo con la resultante; sin embargo, el mecanismo auditivo respondería a dos frecuencias que serían oídas, e interpretadas como las dos originales, sin tener en cuenta su diferencia de fase. Si las ondas resultantes fuesen luminosas, el ojo percibiría, análogamente, una mezcla de colores, que serían los mismos independientemente de la diferencia de fase. Por último, en (e) se representa la suma de una onda de elevada frecuencia con otra de muy baja frecuencia, y en (/), la de dos ondas aproximadamente de la misma frecuencia. E n este último caso la onda resultante se divide en grupos, que en el caso del sonido originan el í conocido efecto de las pulsaciones. E n cualquiera de los casos anteriores, si las ondas componentes se propagan 'con la misma velocidad, la forma de la onda resultante lo hará también, evidentemente, con dicha velocidad, permaneciendo su perfil inalterado.

E l dispositivo representado en la figura 12-7 permite obtener fácilmente una ilustración experimental de la superposición1 de ondas. Dos espejitos Ml y M2, adheridos a sendas láminas muy finas de acero, son iluminados por un estrecho haz luminoso. Este haz se consigue mediante la lámpara de arco concentrado descrita en la sección 21-2. L a lente L forma sobre la pantal la una imagen del manantial S. E l haz se refleja sucesivamente en ambos espejos, y si uno de ellos se pone en vibración, el haz v i brará también hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple. Reflejando ahora este haz en un espejo giratorio, antes de llegar a la pantalla la imagen de 5 describirá una trayectoria, que, debido a la | persistencia de las imágenes en la retina, aparecerá como una curva sinusoidal. Si Ml y Mz v ibran á la vez, la forma de la curva resultante será la obtenida superponiendo las producidas separadamente. De este modo pueden obtenerse las curvas de la figura 12-6 eligiendo dos o más láminas de frecuencias adecuadas. Estas pueden modificarse fácilmente sin más que variar la longitud libre de las varil las por encima de su soporte.

FIG. 12-7.—Dispositivo mecánico-óptico para realizar la superposición

de dos ondas.

236 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

Como la frecuencia de la luz visible determina su color, cuando se utilizan luces de diversos colores se producirán ondas complejas. Los colores «impuros», que no se hallan en el espectro, serán, por tanto, ondas complejas, L a luz blanca, que desde los primitivos experimentos de Newton con prismas, sabemos es la mezcla de todos los colores, es el caso extremo de jsuperposición de gran número de ondas cuyas frecuencias varían en cantidades infinitesimales. E n la sección siguiente estudiaremos la forma de la onda que corresponde a la luz blanca. E n el capítulo anterior se dijo que aun la luz más monocromática que puede producirse en el laboratorio está comprendida en un margen finito de frecuencias. Consideraremos, por tanto, las formas de las ondas en tales casos y su tratamiento matemático.

12-6. Análisis de Fourier.—Dado que a base de superponer ondas sencillas podemos obtener otras de forma muy compleja, cabe preguntarse hasta qué punto es posible el proceso inverso, esto es, descomponer una onda! compleja en un cierto número de otras simples. De acuerdo con un teorema debido a Fourier, cualquier función periódica puede representarse como suma de un cierto número (posiblemente infinito) de funciones senos y cosenos. Por función periódica se entiende aquella que se repite exactamente a intervalos sucesivos iguales, como la curva inferior de la figura 12-6 (b). La onda viene dada por una ecuación del tipo

y — a0 -\- flj sen w¿ + « 2 sen 2wí + as sen. 3o>í + • • • + 4- «j cos (út + a'2 cos 2w¿ + a'3 cos 3a>¿ -)-•.. [12-13]

Esta expresión se denomina serie de Fourier y contiene, aparte del término constante a0, una serie de términos de amplitudes tfj, a 2, a'v a'v y pulsaciones w, 2co, 3w, ... Por tanto, la onda resultante puede considerarse como el efecto de superponer una serie de ondas cuyas longitudes están en las relaciones • • • E n el caso del sonido; estas representan la nota fundamental y sus distintos armónicos. E l cálculo de los coeficientes de amplitud OÍ puede efectuarse, para : una forma de onda dada, mediante procedimientos matemáticos directos en el caso de algunas ondas de forma sencilla,1 pero en general es muy complicado. Frecuentemente se utiliza algún tipo de «analizador armónico», o sea un dispositivo mecánico que determina las amplitudes y fases de la componente fúndamentaly de sus armónicos4.

4 Sobre analizadores armónicos, véase D. C. MILLER: Tlie Science of Musical Sounds, The Macmillan Co., Nueva York, 1922. Sobre análisis de Fourier, véase E. H . BARTON: Texlbook of Sound, 1.a ed., págs. 83 y sgs., The Macmillan Co., Nueva York, 1908. ¡

S E C . 12-6] ANALISIS D E F O U R I E R 237

E l análisis de Fourier no suele ser de aplicación inmediata en el estudio de las ondas luminosas por ser imposible observar directamente su forma. E n cambio, en el caso del sonido es donde más se ha utilizado este recurso para el estudio de la cualidad denominada timbre. No obstante, conviene conocer los fundamentos del método, ya que, como veremos, un prisma o una red de difracción realizan en esencia un análisis de Fourier de la luz incidente, poniendo de manifiesto las diversas frecuencias componentes que aparecen como líneas espectrales.

la) (c) (e)

~ ^ W \ A / w ¿ V \ A A T A ^

FIG. 12-8.—Distribución de amplitudes en diferentes frecuencias para varios tipos de perturbaciones ondulatorias de longitud finita.

E l análisis de Fourier no se limita a ondas de carácter periódico. L a -parte superior de la figura 12-8 muestra tres tipos de ondas no periódicas, pues en vez de repetirse indefinidamente su perfil, los desplazamientos se anulan por encima de cierto intervalo finito. Estos «paquetes de ondas» (Sec. 11-7) no son representables por series de Fourier, sino que han de utilizarse en su lugar integrales de Fourier, en las cuales las ondas componentes solo difieren en incrementos infinitesimales de longitud de onda. Distribuyendo adecuadamente las amplitudes de los diversos componentes, puede expresarse cualquier forma de onda mediante tal integral 5. Las tres curvas inferiores de la figura 12-8 representan cualitativamente la distribución de amplitudes en función de la frecuencia, que corresponde a los grupos de ondas superiores. Esto es, las curvas de la parte superior representan el perfil real del grupo, y este perfil puede sintetizarse componiendo un número muy grande (en rigor, infinito) de trenes de ondas, en cada uno de los cuales su frecuencia difiere infinitamente poco de la siguiente. Las curvas inferiores correspondientes muestran las necesarias amplitudes de cada una de las frecuencias componentes para que su superposición origine la forma de onda indi-

5 Un breve estudio sobre estas integrales aparece en la obra de J . A . S T R A T T O N Electromagnetic Theory, págs. 285-92, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1941.

238 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

cada encima. Representan las llamadas transformadas de Fourier de las funciones de onda correspondientes.

L a curva (a) representa el paquete de ondas típico, estudiado anteriormente, y tiene la transformada de Fourier (b) correspondiente a una raya espectral única de anchura finita. E l grupo (c) podría producirse haciendo pasar luz perfectamente monocromática a través de un obturador abierto durante un tiempo extremadamente pequeño. Conviene observar que la distribución de amplitudes, curva (d), es la misma que se obtiene para la difracción de Fraunhofer por. una sola rendija, como se verá en la sección 15-3. L a curva (e) representa otro caso interesante: el de un impulso único, tal como el impulso sonoro emitido por un disparo de pistola, o mejor por la descarga de una chispa. L a forma de tal impulso se asemeja a la representada, y efectuando un análisis de Fourier se obtiene la amplia distribución de longitudes de onda representada por la curva (/). E n el caso de la luz, a una distribución tal se la denomina espectro continuo, y se obtiene con los manantiales de luz blanca; p. ej., un sólido incandescente. L a distribución de intensidad en las distintas longitudes de onda, que es proporcional al cuadrado de las ordenadas de la curva, viene determinada por la forma exacta del impulso. Esta concepción sobre la naturaleza de la luz blanca ha sido destacada por Gouy y otros 6 , y plantea la cuestión de si los experimentos de Newton sobre refracción por prismas, con los que normalmente se prueba la naturaleza compuesta de la luz blanca, es de significación a este respecto. Dado que la luz blanca puede considerarse como formada por una mera sucesión al azar de impulsos, de los que el prisma efectúa un análisis de Fourier, el punto de vista de que los colores se originan en el prisma, sostenido por los predecesores de Newton, puede estimarse como igualmente correcto.

12-7. Velocidad de grupo.—Se ve fácilmente que si todas las ondas componentes de un grupo se desplazan con la misma velocidad, el grupo se moverá con esta misma velocidad manteniendo inalterada su forma. Si, por el contrario, la velocidad de las componentes varía con la longitud de onda, ya no se cumple lo anterior, y la forma del grupo se modificará al desplazarse este. Este caso se presenta también con las ondas producidas al dejar caer una piedra sobre la superficie tranquila de un lago, observándose que las ondas individuales del grupo se desplazan más de prisa que este, desapareciendo en el frente del mismo y reapareciendo detrás de él. Por tanto, en este caso la velocidad de grupo es menor que la de onda, relación que se verifica siempre que la

6 El lector encontrará un estudio más detallado de los diversos tipos de representación de la luz blanca en R. W. WOOD: Physical Optics, 1.» o 2.» ed., The Macmillan Company, Nueva York.

S E C . 12-7] V E L O C I D A D D E G R U P O 239

velocidad de las ondas más largas es mayor que la de las cortas. Es importante establecer una relación que ligue las velocidades de grupo y de onda, lo que es fácil de conseguir si consideramos los grupos formados por )a superposición de dos ondas de longitudes ligeramente diferentes, tales como los estudiados con anterioridad y representados en la figura 12-6 (/). Supondremos que las dos ondas tienen la misma amplitud, pero longitudes de onda, A y A ' , y velocidades, v y v, ligeramente distintas. Se consideran mayores las magnitudes acentuadas. Los números de propagación y las pulsaciones diferirán también, siendo k ~~> k' y co > co'. La onda resultante será:

y = a sen (coi —•\kx) 4- a sen (co'¿ —- k'x)

Aplicando de nuevo la relación trigonométrica de la ecuación [12-11], resulta: ; ¡

/ <o + co' , k + k' \ I co — co' , k — k' \ r_ y = 2a sen I r-^— t ^ — x \ cos l — — t — * J [12-14]

B_ A

AAAAJ\AA/VWV \ A A A h A A A A A f\\

ÁAAAAAAAAA/ A A A A A A A A A A f

V u u u l / u U U u l J V / l ¡ —V'-*- -1 >

¡ \J \J \J XJ \J \J \J \J \J

j ^ > U ' ,| Í-X 1

Z = 0 ; - X *-

FJG. 12-9.-—Velocidad de grupo de dos ondas de longitud de onda y frecuencia ligeramente diferentes.

E n las figuras 12-9 (a) y (b) se han representado las dos ondas separadamente y en (c) su suma, correspondiente a la anterior ecuación para t — 0. Las ondas resultantes tienen una longitud que es la media aritmética de las otras dos, pero la amplitud está modulada para formar grupos. Las ondas individuales, cuyo número de propagación es la media aritmética de ambos valores de k, corresponden a variaciones del factor seno en la ecuación [12-14], y de acuerdo con [11-7], su velocidad de fase es el cociente de los coeficientes de t y x:

240 SUPERPOSICION DE ONDAS [CAP. 12

Esto es, la velocidad es esencialmente la misma de las ondas componentes, por ser estas casi iguales. L a moduladora envolvente, representada por la línea de trazos, corresponde al factor coseno. Su número de propagación, igual a la diferencia de los componentes, es mucho menor, y su longitud de onda será, por tanto, mayor. L a velocidad de los grupos es:

co •—co' ¿¿co i

A l no haberse puesto límite a la pequenez de las diferencias, pueden considerarse como infinitesimales, y la igualdad aproximada resulta exacta. En ese caso, puesto que co = vk, la relación entre la velocidad de grupo u y la velocidad de onda v es

. ,dv

Si la ponemos en función de la longitud de onda, utilizando la relación k = 2T:/A, llegamos a la forma más útil:

' dv u = v — X — [12-16] dh

H a de señalarse que, en este casoi X representa la longitud de onda real en el medio. Para la luz, en la mayoría de los problemas, no coincidirá con la longitud ordinaria en el aire (véase Sec. 23-7) .

Aunque las ecuaciones [12-15] y [12-16] se han deducido para un tipo de grupo especialmente sencillo, son de carácter general, y se demuestra que se verifican para cualquier grupo, como, p. ej., los tres representados en la figura 12-8 (a), (c) y (e).

L a relación entre las velocidades de grupo y de onda se deduce también mediante un procedimiento menos matemático, considerando los movimientos de los dos trenes de ondas componentes de la figura 12-9 (a) y (6).i E n el instante representado, las crestas A y A' de los dos trenes coinciden produciendo un máximo en el grupo. U n poco después la onda más, veloz ha ganado una distancia X' — X sobre la otra, de modo que B' coincide con B, y el máximo del grupo ha retrocedido una distancia X. Puesto que la diferencia de velocidad de los dos trenes es dv, el tiempo requerido para ello es \ d~k¡dv. Pero en este tiempo ambos trenes se han movido hacia la derecha, recorriendo el superior una distancia vd\¡dv. E l desplazamiento neto del máximo del grupo es, por tanto, v{d\[dv) — X en el tiempo d\¡dv, por lo que se obtiene para la velocidad de grupo:

SEC. 12-8] RELACION ENTRE VELOCIDAD DE ONDA Y DE GRUPO 241

v(d~k/dv) — A dkjdv

dv

que coincide con la ecuación [12-16]. Con el aparato descrito ven la sección 12-5 se consigue una

imagen de los grupos formados por dos ondas de frecuencias l i geramente diferentes. Basta ajustar las longitudes de las varillas de modo que sus frecuencias difieran solo en unas pocas vibraciones por segundo.

L a única velocidad importante en el caso de la luz es la de grupo, por ser la única observable experimentalmente. No disponemos de medios para seguir el desplazamiento de una onda individual en un grupo de ondas luminosas; en su lugar nos vemos obligados a medir la velocidad con que un tren de ondas de longitud finita transporta energía, que es la magnitud observable. E n un medio no dispersivo, las longitudes de grupo y de onda coinciden; es decir, para dv/dX = 0, o sea, cuando las ondas de todas las longitudes se desplazan con igual velocidad. Esto es rigurosamente exacto para la luz propagándose en el vacío; de modo que en este caso desaparece la diferencia entre las velocidades de grupo y de onda.

12-8. Relación gráfica entre velocidad de onda y de grupo.— Mediante una construcción geométrica muy sencilla puede determinarse la velocidad de grupo a partir de la gráfica de la velocidad de onda en función de la longitud de esta. Se basa en la interpretación gráfica de la ecuación [12-16]. Como ejemplo, la curva de la figura 12-10 representa la variación de la velocidad de onda con X en el caso de ondas producidas en aguas profundas (ondas de gravedad), y se ha trazado de acuerdo con la ecuación teórica v = cte. x V X Para una cierta longitud de onda X1, las ondas tienen la velocidad v, y la pendiente de la curva en el punto correspondiente P es dv/dX. L a recta PR, tangente a la curva en ese punto, corta al eje v en R, cuya ordenada es la velocidad de grupo u de las ondas cuya longitud está en las proximidades de X,. Esto es evidente por el hecho de que PQ es igual a \ dvjdX, esto es, la abscisa de P multiplicada por la pendiente de PR. Por tanto, QS, que se ha trazado igual a RO, representa la diferencia

FIG. 12-10.—Determinación gráfica de la velocidad de grupo a partir de una curva

de velocidad de onda.

242 SUPERPOSICION D E ONDAS [CAP. 12

v — X dv/dX, que es justamente el valor de u, según la ecuación [12-16]. Se propone al lector la comprobación, en el ejemplo part icular elegido, de que w = \v para cualquier valor de X. E n las ondas de este tipo, que se propagan en el agua, las componentes individuales se mueven con una velocidad doble de la del grupo en conjunto.

12-9. Composición de movimientos armónicos simples perpendiculares.—Consideremos el efecto de superponer dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia y direcciones ortogonales. Sean z e y las dos direcciones. Los movimientos componentes serán:

y — &X sen (íút — oq) z — a2 sen (at — a?)

[12-17]

Para hallar la trayectoria del movimiento resultante se compondrán de acuerdo con el principio de superposición, eliminando t entre ambas ecuaciones, con lo que resulta:

— = sen to¿ eos a, -" i

• eos co¿ sen a x [12-18]

sen o¡t eos a 2 — eos at sen CL¿ [12-19]

¿=0 y

a 2

«i

s--5%

\

í = 3 %

S = 7% f > ) [ 1 /

\ \

Í=2TT

/

i-•V

\ 5 = 9 %

FIG. 12-11.—Composición de dos movimientos armónicos simples perpendiculares de la misma frecuencia, pero de diferente fase.

S E C . 12-9] COMPOSICIÓN D E MOVIMIENTOS ARMÓNICOS 243

Multiplicando la ecuación [12-18] por sen oc2 y la [12-19] por sen a.v

y restando la primera de la segunda, se obtiene: y z

sen a 2 - j— sen cq = sen coicos ot2 sen oq — cos oq sen ocg) [12-20] ai a2 i •

Análogamente, multiplicando la [12-18] por cos y la [12-19] por cos ocj, y restando la segunda de la primera, queda:

y z — cos <x2 cos cq = cos CÚ¿(COS oc2 sen oq — cos oq sen a2) [12-21]

Ahora se puede ehminar t entre las ecuaciones [12-20] y [12-21] elevando al cuadrado y sumando. Resulta así:

sen2 (oq — oca) = - • + ¿-eos (ax — a2) [12-22]

que es la ecuación de la trayectoria resultante. Las curvas de trazo'grueso; de la figura 12-11 representan esta ecuación para varios valores de la diferencia dé fase 8 = ocx — <x2. Excepto en casos especiales en que degeneran: en rectas, estas curvas son siempre elipses. Los ejes principales J de la elipse están en general inclinados respecto de los z e y, pero coinciden con ellos para 8 = jr/2, 3TC/2, 5TC/2, ..... como puede verse fácilmente en la ecuación [12-22]. En este caso

+ - , = 1,

que es la ecuación de una elipse cuyos semiejes ax y « 2 coinciden respectivamente con los ejes y y z. Para S = 0, 2TC, 4TC, se tiene:

y = — z

que representa una recta que pasa por el origen, de pendiente ahla.z. Si 8 — TC, 3TC, 5TT, . ; . ,

ai a2

que es de nuevo una recta de la misma pendiente y signo opuesto. Mediante construcciones gráficas, tales como las de la figu-

TC 3TC ra 12-12, puede verse que los dos casos 8 = — y 8 = — son física-mente diferentes, aunque den la misma trayectoria resultante. E n ambas partes de la figura el movimiento en la dirección y

244 SUPERPOSICION D E ONDAS [CAP. 12

r

|

(a)

FIG. 12-12.—Composición gráfica de movimientos en que y está (a) un cuarto y (6) tres cuartos de período adelantada respecto a z.

está en la misma fase, habiendo efectuado el punto la octava parte de una vibración a partir de su desplazamiento máximo positivo. A l movimiento en la dirección z, de la parte (a) le falta un octavo de vibración para alcanzar su posición extrema, mientras que en la parte (5) le faltan cinco octavos. Considerando los sentidos de los movimientos individuales y el de su resultante, vemos que el último corresponde a las indicaciones de las flechi-tas curvas. Los sentidos de recorrido de la elipse son opuestos.

Es factible producir luz cuyas vibraciones tengan la forma de una elipse de cualquier excentricidad deseada. La llamada luz polarizada linealmente (Cap. X X I V ) se aproxima a una onda sinusoidal que vibra en un plano, tal como el x, y de la figura 12-13, y los desplazamientos son lineales en la dirección y. Si se compone un haz luminoso de este tipo con otro polarizado en el plano x, z (curva punteada) que tenga una diferencia de fase constante respecto al primero, el movimiento resultante para cualquier valor de x será una elipse en el plano y, z. A tal tipo de luz se la denomina polarizada elípticamente y se produce fácilmente por diversos métodos (Cap. X X V I I ) . U n caso particular tiene lugar cuando ambas amplitudes aY y « 2 son iguales y la diferencia de fase es un múltiplo impar de TV/2. E n este ¡ caso la forma de la vibración es una circunferencia, y se dice que la luz está polarizada circu-larmente. Cuando el sentido de rotación es el del reloj (8 = %¡2, 5TC/2, ...) mirando en sentido opuesto al de propagación de la luz, se dice que la luz está polarizada circularmente a la derecha, y en el caso contrario (8 — 37r/2, 77r/2, . . . ) , que está polarizada circularmente a la izquierda. j

PROBLEMAS 245

FIG. 12-13.—Composición de dos ondas sinusoidales perpendiculares.

Mediante el dispositivo descrito en la sección 12-5 pueden obtenerse los distintos tipos de movimientos representados en la figura 12-11. A este f in se disponen las dos varil las de modo que vibren perpendicularmente, y se elimina el espejo giratorio. Así, una de las varillas imprime un movimiento vibratorio hor izontal al pincel luminoso, y la otra, uno vertical. Cuando ambos actúan simultáneamente, el pincel describirá una elipse. S i las frecuencias de ambas varil las se mantienen exactamente iguales, la elipse permanecerá fija. S i se desajustan ligeramente, las elipses pasarán por las formas correspondientes a todos los valores de la diferencia de fase, en una secuencia análoga a la representada en la figura 12-íl.

P R O B L E M A S

12-1. Se componen dos movimientos armónicos simples colineales de igual frecuencia, cuyas amplitudes respectivas en un instante dado son 2 y 9 unidades y sus fases TC/4 y TC. Hállense: a) la amplitud resultante, y,o) la diferencia de fase entre el resultante y el primero de los dos movimientos.

12-2. Represéntense lab dos ecuaciones yx = 3 sen 6nt e y2 — sen (6TC¿ — 7r/3) y hállese su resultante, y = A sen (6nt — 0) por suma de

246 SUPERPOSICION D E ONDAS [CAP. 12

ordenadas. Calcúlese el valor exacto de i y compárese con el obtenido a partir de la curva resultante. Sol.: 3,6 cm.

12-3, Hállese analítica y vectorialmente la resultante de los tres movimientos j'j = sen ( w ¿ — 10°), y., = 3 cds (uit + 100°), e y3 = 2 sen (wí — 30°).

12-4. Hállese gráficamente la amplitud resultante de siete movimientos armónicos simples de la misma amplitud y frecuencia con diferencias de fase sucesivas de 20°. Tómese una amplitud de 3 cm. ¿Para qué valor de la diferencia de fase se anulará por primera vez la resultante?

Sol.: 16,23 cm; 51°26'. 12-5. Dos ondas, de igual frecuencia y amplitudes tres y cinco uni

dades, respectivamente, se propagan en el mismo sentido. Si la diferencia de fase es 3TC/8, hállese la intensidad resultante respecto a las dos ondas componentes.

12-6. Calcúlese la energía de la vibración resultante de componer cinco movimientos armónicos simples de igual amplitud a y fases 0o, 45°, 90°, 135° y 180°. ¿Aumenta o disminuye la amplitud resultante cuando se suprime el cuarto movimiento (fase 135")?

Sol.: 5,83 a 2; disminuye. 12-7. Compónganse gráficamente dos trenes de ondas cuyas longitudes

de onda están en la razón 4:3 y tienen amplitudes iguales.

12-8. Dos manantiales que vibran de acuerdo con las ecuaciones y, = 3 sen nt ej/ , = sen ni emiten ondas planas que se propagan con una velocidad de 150 cm/seg. Hállese la ecuación del movimiento de una partícula situada a 6 m del primer manantial y a 4 m del segundo.

Sol.: y = 2,65 sen (ni + 19,1°). 12-9. Se producen ondas estacionarias por la superposición de dos

ondas y, = 18 sen (3nt — 6 x) e y2 = 18 sen (Snt + 6x). Hállese la amplitud del movimiento para x = 23.

12-10. Realizando el experimento de Wiener con luz roja (X = 6000 Á) y un film fotográfico inclinado £° respecto al espejo que tiene un extremo en contacto con este, calcúlense las distancias desde este extremo a las tres primeras bandas oscuras producidas. Sol.: 0, 0,034, 0,069 mm.

12-11. Cuatro vibradores son capaces de emitir ondas de la misma frecuencia, pero cuyas fases difieren únicamente en cero o 7U. Suponiendo que cada combinación posible de fases es igualmente probable (hay 16 de estas), demuéstrese que la intensidad media es justamente cuatro veces la de una de las ondas. Recuérdese que la intensidad debida a cada combinación está dada por el cuadrado de la amplitud resultante.

12-12. Supóngase que un haz de luz verde (X — 5200 Á) se compone de trenes de ondas de 6 cm de longitud. ¿Cuál es la dispersión aproximada de longitudes de onda o anchura de la raya espectral? Sol.: 0,045 Á.

12-13. Una onda cuadrada puede representarse por una serie de Fourier de la forma y = a sen kx + (a/3) sen 3kx + (a/5) sen 5kx 4- ... Representando los tres primeros términos de la serie y su suma, hállese con qué aproximación representa la resultante a la onda cuadrada.

12-14. Pruébese, como se sugirió en la sección 12-8, que para las ondas en el agua controladas por la gravedad la velocidad de grupo es igual a la mitad de la velocidad de onda.

5o; . : u = v — X(dv¡dl) = C \ A — ¿C -y/A = JC V T •

PROBLEMAS 247

12-15. La velocidad de las ondas más bien cortas en la superficie de un líquido está dada por ¡

donde T es la tensión superficial! y d la densidad. Calcúlense las velocidades de onda y de grupo de las ondas en el agua para X = 1 cm, 5 cm y 25 cm.

12-16. Hállese, para el tipo de ondas descrito en el problema 12-15, el valor exacto de la longitud de onda para la cual las velocidades de onda y de grupo se hacen iguales, y determínese esta velocidad.

¡ | Sol.: 1,711 cm; 23,10 cm/seg. 12-17. La velocidad de fase de las ondas en un cierto medio está re

presentada por v = C1 + C2A, donde las C son constantes. ¿Cuál es el valor de la velocidad de grupo?

12-18. Los índices de refracción del disulfuro de carbono para 4900 y 6200 Á son 1,65338 y 1,62425, respectivamente. Suponiendo que n varía con X de acuerdo con la ecuación de Cauchy (Sec. 23-3), calcúlense las velocidades de onda y de grupo de una luz que se propaga en disulfuro de carbono con una longitud de onda media de 5550 Á. Compárese con los resultados experimentales de Michelson (velocidades de grupo, véase Sec. 19-10) de 1/1,758 de la-velocidad en el vacío para luz blanca y un 1,4 % mayor para la luz rojo-anaranjada que para la azul-verdosa.

Sol.: 1,83215 x 1010 cm/seg; 1,70603 x 1010 cm/seg, o sea c/1,7572; 4,83 %.

12-19. Dos movimientos armónicos simples perpendiculares están representados por y = 2 sen 2nt y « = 5 sen (27rí — 57t/4). Hállese la ecuación de la trayectoria resultante y represéntese por el método indicado en la figura 12-12. Compruébense dos puntos al menos de esta trayectoria sustituyendo en la ecuación resultante.

12-20. ¿Cómo ha de modificarse en el problema 12-19 la ecuación de movimiento según el eje z para obtener una elipse cuyo eje mayor coincida con z"> ¿Y para obtener un movimiento circular en el sentido de la rotación del reloj?

Sol.: Cambiar la fase a rc/2, —TC/2, 3TC/2, —37t/2, etc.; lo mismo pero haciendo igual; a 2 la amplitud del movimiento según el eje z. \

CAPITULO XIII

INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS

A l comienzo del capítulo anterior se estableció que dos haces luminosos pueden coincidir sin que se origine ninguna perturbación en ellos una vez que han atravesado la zona de cruce. E n este sentido los dos haces no se interfieren; no obstante, según se desprende de las consideraciones hechas, es de esperar que en la región de cruce, donde ambos actúan simultáneamente, la amplitud e intensidad resultantes diferirán de la mera suma de las amplitudes e intensidades componentes. Esta modificación de la intensidad obtenida por superposición de dos o más haces luminosos se conoce como interferencia. Si la intensidad resultante es nula o, en general, menor que la suma de las componentes, la interferencia se llama destructiva, mientras que si es mayor se denomina constructiva. Los aspectos más simples de este fenómeno no son de fácil observación debido a la pequenez de la longitud de tanda de la luz, lo que hizo que no fueran advertidos hasta 1800, cuando aún predominaba la teoría corpuscular. Thomas Young fue quien primero consiguió demostrar satisfactoriamente las interferencias luminosas y con ello el carácter ondulatorio de la luz. Para comprender su experimento crucial, realizado en 1801, empezaremos considerando la aplicación a la luz de un principio importante, válido para cualquier tipo de movimiento ondulatorio. i

13-1. Principio de Huygens.—Al pasar la luz por una abertura o por el borde de un obstáculo, se extiende siempre penetrando en la región no expuesta directamente a las ondas incidentes. Este fenómeno se denomina difracción. Para explicar esta flexión de la luz,. Huygens estableció hace cerca de tres siglos que cada punto de un frente de onda puede considerarse como un manantial de nuevas ondas1. Este principio es susceptible de aplicaciones de gran alcance, y se utilizará después en el estudio de la difracción, aunque ahora nos limitaremos a dar una sencilla prueba de su exactitud. En la figura 13-1 un tren de ondas planas

1 Las «ondas» intuidas por Huygens no eran trenes continuos, sino más bien una serie de impulsos al azar. Además, suponía que las ondas secundarias solo eran efectivas en el punto de tangencia con su envolvente común, negando así la posibilidad de difracción. Fresnel fue, transcurrido más de un siglo, quien primero aplicó correctamente este principio, j

248

SEC. 13-1] PRINCIPIO DE HUYGENS 249

T)

FIG. 13-1.—Difracción de ondas en una pequeña abertura.

se aproxima por la izquierda a una pantalla AB con una abertura, S de diámetro algo menor que la longitud de onda. Excepto en S, en los demás puntos la luz será reflejada o absorbida, pero 5 podrá producir una perturbación más allá de la pantalla. Experi-mentalmente se ve que, de acuerdo con la teoría, las ondas divergen a partir de S en forma de semicircunferencias.

E l principio de Huygens, tal como se ha representado en la figura 13-1, es fácil de comprobar con ondas producidas en el agua. Situando una lámpara de arco bajo un recipiente con el fondo de vidrio se proyectarán las sombras de las ondas sobre el techo. Una varilla vibrante o un alambre sujeto a uno de los extremos de un diapasón de baja frecuencia puede servir como manantial de ondas en un extremo del recipiente. Si se utiliza un diapasón eléctrico se consigue que las ondas parezcan en reposo sin más que poner delante de la lámpara un disco con una ranura unido al eje de un motor. Cuando el disco gira con la misma frecuencia que el diapasón se obtiene el efecto estroboscópico. L a experiencia puede efectuarse ante un gran auditorio y es de fácil realización. En el capítulo X V describiremos experiencias sobre la difracción de la luz.

Si hiciéramos la experiencia anterior con ondas luminosas sería de esperar que, debido al hecho de que la luz se propaga en línea recta, no aparecería más que una exigua mancha de luz en D. Pero si la rendija es muy estrecha, se observa que aumenta la magnitud de la mancha, y tanto más cuanto más estrecha sea la rendija. Y a al comienzo de este libro mencionamos este notable fenómeno: Ja luz no siempre se propaga en línea recta. Si se reemplaza la pantalla CE por una placa fotográfica se obtiene una imagen análoga a la de la figura 13-2. La luz es más intensa en dirección normal, decreciendo lentamente su intensidad al aumentar el ángulo. Si la rendija es pequeña en relación con la longitud de onda, la intensidad no se anula ni para ángulos de observación de 90°. Aunque esta breve introducción sobre el principio de Huygens es suficiente para el estudio de los fenómenos de interferencia, volveremos con más detenimiento sobre él en los capítulos X V y X V I I I , a propósito de.la difracción en una sola abertura.

250 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

13-2. Experimento de Young.—La figura 13-3 representa esquemáticamente el experimento original realizado por Young. L a luz solar pasa primero a través del pequeño orificio 5 y después

FIG. 13-2.—Fotografía de la difracción de la luz en una rendija de 0,001 mm de anchura.

por los Sj y S 2 a considerable distancia del primero. A l salir de estos, los dos trenes de ondas interfieren originando una figura

I I ' ' I A

B

C

FIG. 13-3.—Dispositivo para el experimento de la doble rendija de Young.

simétrica de intensidad variable en la pantalla AC. Desde que se verificó este primer experimento se ha considerado más cómodo reemplazar los orificios por rendijas estrechas y la luz solar por luz monocromática. En vez de frentes de onda esféricos tenemos ahora frentes cilindricos, que también quedan representados

S E C . 13-2] E X P E R I M E N T O D E Y O U N G 251

por la figura 13-3. Si los arcos circulares corresponden a las crestas de las ondas, las intersecciones de dos cualesquiera de ellos representarán la llegada a esos puntos de dos ondas en fase o con fases que difieren en un múltiplo de 2TZ. Estos puntos son, por tanto, los de máxima perturbación o brillo. Examinando detenidamente la luz de la pantalla se observan bandas brillantes

FIG. 13-4.—Franjas de interferencia producidas por una doble rendija con el dispositivo de la figura 13-3.

y oscuras regularmente espaciadas, análogas a las de la figura 13-4. Estas fotografías se han obtenido reemplazando la pantalla AC de la figura 13-3 por una placa fotográfica.

Es fácil reproducir en el laboratorio el experimento de Young sin más que utilizar una lámpara L de filamento único (Fig. 13-5). E l filamento rectilíneo vertical S actúa a la vez como manantial y primera rendija. Cada observador puede procurarse una doble

FIG. 13-5.—Método sencillo ipara observar franjas de interferencia.

rendija utilizando placas fotográficas de 3 a 6 cm 2. Las rendijas se hacen rayando la gelatina de las placas con una cuchilla y una regla. No es necesario revelar ni ennegrecer las placas. Acercando la doble rendija D al ojo E, se mira a través de ella el filamento de la lámpara. Si las rendijas están muy próximas, es decir, distan unos 0,2 mm se observarán franjas ampliamente espaciadas, mientras que si se hallan más separadas, p. ej., 1 mm, las franjas aparecerán más apretadas y estrechas. Una lámina de vidrio rojo F, colocada delante de otra verde frente a la lámpara, pone

252 INTERFERENCIA D E DOS HACES LUMINOSOS [ C A P . 1 3

de manifiesto que las franjas originadas por la luz roja son más anchas que las producidas por la luz verde, debido, como veremos, a su mayor longitud de onda.

A menudo se desea verificar el experimento con mayor precisión utilizando luz más aproximadamente monocromática que la empleada anteriormente, a base de un manantial de luz blanca y un filtro rojo o verde. Quizá el método más adecuado sea el emplear un arco de sodio o una combinación de uno de mercurio y un filtro para aislar la raya verde de longitud 5461 Á. U n

FIG. 13-6.—Diferencia de recorrido 'en el experimento de Young.

filtro adecuado consiste en una combinación de vidrio de didimio, para absorber las rayas amarillas, y de un vidrio amarillo, para absorber las rayas azul y violeta. •

13-3. Franjas de interferencia producidas por un foco doble. Vamos a deducir una ecuación que i da la intensidad en cada punto P de la pantalla y el espaciamiento de las franjas de interferencia. En P. coinciden dos ondas que han efectuado recorridos diferentes 5 2 P y SxP. Por ello, al superponerse, tienen una diferencia de fase que, de acuerdo con la ecuación [11-6], es

equidistar ambas rendijas de S. Además, las amplitudes son prácticamente las mismas si como, de ordinario, S x y S 2 tienen la misma anchura y están muy próximas. E l problema de hallar la intensidad resultante en P se reduce, por tanto, al estudiado en la sec-

\P

S E C . 13-3] F R A N J A S D E I N T E R F E R E N C I A 253

ción 12-1 , en el que se consideró la suma de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia y amplitud con una diferencia de fase S. L a intensidad, según la ecuación [12-7] , era

. I ^ Az = 4a2 eos2 - [Í3-2J

donde a es la amplitud de las ondas individuales y A la de su resultante.

Solo queda calcular la diferencia de fase en función de la distancia x = PPo, de la separación d entre ambas rendijas y de su distancia D a la pantalla. L a diferencia de recorrido correspondiente es la distancia S2A de la figura 13-6, en la que se ha dibujado la línea de trazos S±A de modo que Si y A equidisten de P. E n la realización del experimento de Young, D suele ser varios miles de veces mayor que d o x. Por tanto, los ángulos 0 y 6' son muy pequeños y prácticamente iguales. E n estas condiciones puede considerarse que el triángulo StAS9j es rectángulo, y la diferencia de recorrido es d sen 0' — d sen 0. Con el mismo grado de aproximación podemos igualar el seno a la tangente, o sea sen 0 ^ x/D. De este modo resulta:

A = d sen 0 = d ~ [13-3]

Este valor de la diferencia de recorrido ha de sustituirse en la ecuación [13-1] para obtener la diferencia de fase 8. En este caso la ecuación [13-2] de la intensidad dará valores máximos, iguales a 4« 2, siempre que 8 sea un múltiplo entero de 2TC, y de acuerdo con la ecuación [13-1] , esto ocurrirá cuando la diferencia de recorrido sea un múltiplo entero de X. Por tanto, tenemos:

xd — = 0, X, 2X, 3X, . . . = OTX

o sea x = mk ^ franjas brillantes [13-4] d

E l valor mínimo de la intensidad es cero, y ocurre cuando 8 = n, 3TC, 5TZ, . . . Para estos puntos

X D X 3X 5X / l \

D=2Y r " ' = r + 2 / X

o sea x = {m + i j X ^ franjas oscuras [13-5]

E l número entero m, que caracteriza una franja brillante particular, se llama orden de interferencia. Por tanto, las franjas

254 INTERFERENCIA B E DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

con m = 0, 1, 2 , . . . se denominan de órdenes cero, primero, segundo, etcétera.

De acuerdo con estas ecuaciones, la distancia sobre la pantalla entre dos franjas sucesivas, que se obtiene sustituyendo m por la unidad en las ecuaciones [13-4] o [13-5], es constante e igual a \D/d. No solo se comprueba esta igualdad mediante medida sobre la figura de interferencia, sino que se halla experimental-mente que su magnitud es directamente proporcional a la distancia D entre la rendija y la pantalla, inversamente proporcional a la separación de rendijas, d, y- directamente proporcional a la longitud de onda X. Midiendo, por tanto, la separación de las franjas podemos determinar directamente la longitud de onda en función de magnitudes conocidas.

Estos máximos y mínimos se encuentran en todo el espacio situado detrás de las rendijas. No es necesaria lente alguna para producirlos, aunque de ordinario son tan finos que se requiere una lupa para hacerlos visibles. A causa de las aproximaciones hechas al deducir la ecuación [13-3], medidas precisas ponen de manifiesto que, sbbre todo en la proximidad de las rendijas, el espaciamiento de las franjas se aparta de la dependencia l ineal requerida por la ecuación [13-4]. Una sección del sistema de franjas por el plano del papel de la figura 13-3, en vez de consistir en un haz de rectas que parten de un punto a igual distancia de las rendijas, es en realidad un conjunto de hipérbolas. Por ser la

«i

FIG. 13-7.—Composición de dos ondas de la misma frecuencia y amplitud, pero de diferente fase.

hipérbola la curva para la cual la diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante, es evidente que verifica la condición impuesta a una franja dada, es decir, la constancia de la diferencia de recorrido. Aunque esta desviación de la proporcionalidad puede llegar a ser importante en el caso del sonido y otras ondas, es despreciable de ordinario para longitudes de onda tan pequeñas como las de la luz.

13-4. Distribución de la intensidad en el sistema de franjas.. Para hallar la intensidad en los puntos de la pantalla situados entre

S E C . 13-4] I N T E N S I D A D E N E L SISTEMA D E F R A N J A S 255

un máximo ;y un mínimo aplicaremos el método vectorial de composición de amplitudes descrito en la sección 12-2 e ilustrado en el presente caso en la figura ,13-7. Para los máximos el ángulo 8 es cero, y las amplitudes componentes ax y « 2 son paralelas, por lo que si son iguales, la resultante será A = 2a. Para los mínimos ax

y a2 son opuestas, y A — 0. E n general, para cualquier valor de 8, A es el lado que cierra el triángulo. E l valor de A2, que mide la intensidad, viene dado por la ecuación [13-2], y varía de acuerdo con eos2 (8/2). E n la figura 113-8 la línea continua representa la intensidad en función de la! diferencia de fase.

Para terminar nuestro estudio de este tipo de franjas ha de tenerse en cuenta una cuestión de fundamental importancia. Si los dos haces luminosos llegan a un punto de la pantalla exactamente en oposición de fase, interfieren destructivamente, y la intensidad resultante es nula en ese punto. Puede preguntarse qué ha ocurrido con la energía de los dos haces, ya que la ley de conservación de la energía dice que esta no puede destruirse. L a respuesta es que la energía que desaparece aparentemente en los mínimos está presente en realidad en los máximos, donde la intensidad es mayor que la que producirían los dos haces actuando por separado. E n otras palabras, la energía no se destruye, solo se redistribuye en la figura de interferencia. L a intensidad media es exactamente la misma que si no se produjera interferencia. Como se ve en la gráfica 13-8, la intensidad en la figura de interferencia varía entre 4« 2 y cero. Ahora bien: la de cada haz por separado sería a2, por lo que sin interferencia tendríamos una intensidad uniforme 2« 2 , como indica la línea de trazos. Para obtener la intensidad media sobre la pantalla para n franjas, téngase en cuenta que el valor medio del cuadrado del coseno es \. Esto da, según la ecuación [13-2], I ~ 2a2, que

í—*- -5n- -4JT -3n- -2JT -TT 0 n 2jr 3* 4TV 5;r 6JT 7jr

FIG. 13-8.—Distribución de intensidad para las franjas de interferencia de dos haces.

7=4azcos24 I

256 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

justifica lo anteriormente dicho y hace ver que la interferencia no viola el principio de conservación de la energía.

13-5. Biprisma de Fresnel2.—Poco después de realizar Young su experimento de la doble rendija se objetó que las franjas brillantes que se observaban se debían probablemente a alguna complicación introducida en la luz por los bordes de las rendijas y no a verdadera interferencia. Con! ello quedó todavía en litigio la naturaleza ondulatoria de la luz, pero pocos años después Fresnel ideó nuevos experimentos, con los cuales quedó probada la interferencia de dos haces luminosos sin que hubiera lugar a la objeción anterior. Uno de ellos es el denominado del biprisma de Fresnel, que vamos a describir con algún detenimiento.

L a figura 13-9 representa esquemáticamente el experimento del biprisma. E l doble prisma, delgado P refracta la luz procedente de la rendija 5 según dos haces ac y be que se superponen. Colocando un diafragma MN, como; muestra la figura, se observan franjas de interferencia en la región be. Reemplazando la pantalla ae por una placa fotográfica, se obtiene una imagen como la de la figura 13-10. Las franjas centrales apretadas se deben a interferencias, mientras que las más anchas, situadas en los bordes, . son producidas por difracción. Estas últimas se originan en los bordes del biprisma, actuando cada uno como un borde recto y dando lugar a una figura que se estudiará detenidamente

FIG. 13-9.'—Biprisma de Fresnel.

2 Augustin Fresnel (1788-1827). Fue el físico francés que más aportó a la teoría de la luz. Con formación de ingeniero, se interesó por el estudio de la luz, y en 1814-15 redescubrió el principio de Young de la interferencia y lo generalizó a casos complicados de difracción. Sus investigaciones matemáticas dieron a la teoría ondulatoria un sólido fundamento.

FIG. 13-10.—Franjas de interferencia y difracción producidas con el biprisma de Fresnel.

en el capítulo X V I I I . Suprimiendo el diafragma MN, los dos haces se superponen en la totalidad de la región ae. L a fotografía inferior de la figura 13-10 muestra, en este caso, las franjas de interferencia equidistantes superpuestas a la figura de difracción de una ancha abertura. (La figura de difracción anterior, desprovista de las franjas de interferencia, puede observarse en la parte inferior de la figura 18-21.) Con tal experimento pudo Fresnel producir interferencias prescindiendo de la difracción.

Lo mismo que en el experimento de la doble rendija de Young, puede determinarse la longitud de onda midiendo el espaciamiento de las franjas de interferencia producidas por el biprisma. Llamando B y C a las distancias del biprisma al manantial y a la pantalla, respectivamente; d a la distancia entre las imágenes virtuales $i Y 2> Y ^ x a I a distancia sobre la pantalla entre franjas sucesivas, la longitud de onda viene dada por la ecuación [13-4],

kxd *=B+C [ 1 3 - 6 J

Las imágenes virtuales S x y 5 2 actúan, pues, como las dos rendijas del experimento de Young.

Para hallar el valor d, distancia entre los manantiales virtuales, se mide su separación angular 6 con un espectrómetro, suponiendo, con bastante aproximación, que d = BB. Si la luz paralela procedente del colimador cubre ambas mitades del biprisma, se producirán dos imágenes de la rendija, y el ángulo 6 que forman es fácil de hallar con el anteojo. Este ángulo se mide de modo aún más sencillo acercando el prisma a un ojo y observando a su través una bombilla esférica esmerilada. A cierta distancia

258 INTERFERENCIA D E DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

de la bombilla puede conseguirse que coincidan justamente los bordes interiores de sus dos imágenes. E l diámetro de la bombilla, dividido por su distancia al biprisma, da directamente 6.

Es fácil construir un biprisma a partir de una lámina de v i drio, tal como un portaobjetos de microscopio, biselando de 0,3 a 0,6 cm una cara. Esto se consigue mediante un pequeño tallado con sustancias abrasivas ordinarias y pulimento con cólcotar, pues el ángulo requerido es de solo 1°.

13-6. Otros dispositivos para dividir el frente de onda.—Existen otros varios métodos para hacer interferir dos haces. E n el

FIG. 13-11.—Espejos de Fresnel.

dispositivo conocido por espejos de Fresnel, la luz procedente de una rendija se refleja en dos espejos planos que forman un ángulo próximo a los 180°. Así se producen dos imágenes virtuales de la rendija, como muestra la figura 13-11. Dichas imágenes actúan bajo todos los aspectos como las correspondientes del biprisma, observándose franjas de interferencia en la región be, en la que se superponen los dos haces reflejados. Las notaciones utilizadas en este diagrama se corresponden con las de la figura 13-9, y puede aplicarse de nuevo la ecuación [13-6]. Téngase en cuenta que el ángulo 28 subtendido por las dos imágenes en el punto de intersección M es el doble del formado por los espejos.

Esta experiencia suele verificarse sobre un banco óptico, utilizando luz incidente rasante. Dos placas de vidrio ordinario de unos 6 cm 2 constituyen un buen espejo doble. Una de las láminas

SEC. 13-6] ^DISPOSITIVOS PARA DIVIDIR E L FRENTE DE ONDA 259

M\

FIG. 13-12.—Espejo de Lloyd.

ha de ir provista de un tornillo de ajuste para variar el ángulo 6, y la otra de un tornillo para lograr que los bordes de ambos espejos sean paralelos. j

L a figura 13-12 muestra, un dispositivo aún más sencillo para producir interferencias entré la luz reflejada en un gran espejo y la que proviene directamente de la rendija. E n este aparato, llamado espejo de Lloyd, las, relaciones cuantitativas son análogas a las de los casos anteriores, actuando la rendija y su imagen virtual como doble foco. Una característica importante del espejo de Lloyd consiste en que poniendo la pantalla en contacto con el borde del espejo (en la posición MN), el borde 0 de la superficie reflectante es el centro de una franja oscura en vez de serlo de una brillante como sería de esperar. Esto significa que uno de los haces ha experimentado un cambio de fase de n radianes. Como el haz directo no puede cambiar de fase, hemos de interpretar la anterior experiencia como un cambio de fase experimentado por la luz al reflejarse. L a figura 13-13 reproduce dos fotografías de las franjas de interferencia obtenidas con el espejo de Lloyd, una tomada con luz visible y la otra con rayos X .

FIG. 13-13.—Franjas de interferencia producidas con el espejo de Lloyd. (a) Con luz visible, X = 4358 Á. (Según White.) (6) Con rayos X, X = 8,33 Á. (Según

Kellstrom.)

260 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

Si se deja que penetre la luz procedente de Sj, (Fig. 13-12) por el extremo de la lámina de vidrio, moviendo esta hacia arriba, de modo que se refleje interiormente en la superficie superior, aparecerán de nuevo franjas en el intervalo OP, con una franja oscura en O. Esto demuestra que hay de nuevo un cambio de fase de r; radianes en la reflexión. Como se verá en el capítulo X X V , ello no está en contradicción con el estudio sobre cambio de fase hecho en la sección 11-8. E n este ejemplo, la luz incide bajo un ángulo mayor que el crítico y sufre la reflexión total.

E l espejo de Lloyd puede ser utilizado fácilmente" en experiencias de cátedra, sirviendo de foco luminoso un arco de carbón seguido de un filtro de vidrio coloreado y una estrecha rendija. Como espejo se emplea una lámina de vidrio ordinario de 3 a 6 cm de anchura y 30 cm o más de longitud. Sobre el extremo del espejo más próximo-a la pantalla se enfoca una lupa que permita observar las franjas de interferencia (Fig. 13-13). Las franjas internas se obtienen pulimentando los bordes del espejo para permitir que la luz entre y abandone el mismo, y tratando una de las caras de este con un esmeril grueso a fin de deslustrarla.

Existen otros varios procedimientos3 para dividir en dos el frente de onda y recombinar los obtenidos bajo un pequeño ángulo. Así, p. ej., puede dividirse una lente en dos mitades mediante un plano que pase por su eje separando aquellas ligeramente, con lo que se formarán dos imágenes reales muy próximas de la rendija. Las imágenes producidas mediante este dispositivo, conocido como lente de Billet;. actúan como las dos rendijas del experimento de Young. Se obtiene el mismo resultado mediante una bilámina (dos láminas plano-paralelas que forman un pequeño ángulo). | !

13-7. Manantiales coherentes.—Se observará que todos los métodos para producir interferencias que hemos estudiado tie-. nen una importante característica común: Los dos haces que interfieren proceden de un manantial único. Experimentalmente se comprueba la imposibilidad de obtener franjas de interferencia con haces luminosos procedentes dé manantiales diferentes, tales como dos filamentos de lámparas de incandescencia colocados uno junto a otro. Ello se debe a jque ninguno de'tales manantiales emite trenes infinitos de ondas. Por el contrario, se producen súbitos cambios de fase en intervalos pequeñísimos de tiempo (del orden de 10 - 8 seg). Y a se mencionó este hecho en las secciones 11-7 y 12-6. Así, aunque en tales intervalos puedan aparecer en la pantalla franjas de interferencia, cada vez que

3 Véase T. PRESTON: Theory of Light, 5.» ed., cap. VII, The Macmillan Co., Nueva York, 1928. ¡

S E C . 13-8] DIVISION D E L A A M P L I T U D 261

cambia la fase se modifica su posición, por lo que son imposibles de observar. E n el experimento de Young y en los espejos y biprisma de Fresnel hay una correspondencia punto a punto entre las fases de los dos focos S¿ y S 2 por proceder ambos del mismo manantial. Si en un punto de Sx cambia súbitamente la fase, cambiará a la vez en el punto correspondiente de 5 2 . E l resultado es que la diferencia de fase entre dos puntos cualesquiera de los dos focos es constante, y las franjas de interferencia permanecen estacionarias. Todos los fenómenos de interferencias luminosas se caracterizan porque entre los haces que interfieren ha de existir esta correspondencia de fase punto a punto, y los manantiales en los que se verifica esta relación se denominan coherentes.

Mientras que se precisan dispositivos especiales para obtener manantiales luminosos coherentes, no ocurre lo mismo en el caso de las microondas, que son ondas de radio de algunos centímetros de longitud. Se producen mediante osciladores que emiten una onda continua, cuya fase permanece constante durante un tiempo bastante largo frente a la duración de una observación. Debido a esto, dos emisores independientes de microondas de la misma frecuencia son coherentes y pueden utilizarse para producir interferencias. Por la magnitud adecuada de su longitud, las micro-ondas suelen utilizarse para demostrar muchos fenómenos ópticos de interferencia y difracción que les son comunes 4.

Si la rendija S del experimento de Young (Fig. 13-3) es demasiado ancha, o el ángulo formado por los rayos que parten de ella es demasiado grande, la doble rendija no representa ya dos manantiales coherentes, desapareciendo las franjas de interferencia. Esta cuestión será estudiada más detenidamente al final del capítulo X V I .

13-8. División de la amplitud. Interferómetro de Michel-son5.—Los interferómetros pueden dividirse adecuadamente en dos clases principales: los basados en la división del frente de onda y los que se fundan en la división de la amplitud. Todos los ya citados pertenecen a la primera clase, y en ellos el frente de onda se divide lateralmente en partes mediante espejos o diafragmas. También es posible dividir una onda por reflexión parcial

4 Véase G . F. HULL, Jr.: Am. J. Phys., 17, 599, 1949. 5 A. A. Michelson (1852-1931), físico americano de gran talento. Interesado

por la velocidad de la luz, inició sus experimentos mientras era instructor de Física y Química en la Naval Academy, en la que se graduó en 1873. Se cuenta que el superintendente de la academia preguntó al joven Michelson por qué malgastaba su tiempo con tan inútiles experimentos. Años después recibía el premio Nobel (1907). La mayoría de sus trabajos sobre la velocidad de la luz (Sec. 19-5) fueron realizados durante los 10 años pasados en el Case Institute of Technology. Durante la última parte de su vida fue profesor de Física de la Universidad de Chicago, donde realizó muchos de sus famosos experimentos sobre interferencias luminosas.

262 INTERFERENCIA. DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

L

I T

(i)

E

-M,

manteniendo, los dos frentes resultantes la misma anchura, pero con amplitud menor.

-^El interferómetro de Michel-son es un ejemplo importante de este segundo tipo. E n él los dos haces obtenidos por división de la amplitud se envían en direcciones totalmente distintas sobre espejos planos que los reenvían para hacerlos i n t e r f e r i r . L a figura 13-14 representa esquemáticamente este dispositivo. Sus elementos ópticos esenciales son dos espejos planos muy pulimenta-

FIÜ. 13-14.—Interferómetro de Michelson. (IOS, Mx y M2, y dos láminas plano-paralelas de vidrio, GL y

G2. A veces la cara de Gx más alejada del manantial está ligeramente plateada (línea gruesa de la figura), de modo que la luz procedente de 5 se divide en un haz reflejado (1) y otro transmitido (2), ambos de igual intensidad. L a luz reflejada normalmente en Mx

atraviesa GL por tercera vez e incide en el ojo. E l haz (2) se refleja en M2, pasa por segunda vez por G2, se refleja en G x y llega al ojo. L a misión de G2, llamada lámina compensadora, es hvde igualar los recorridos en el vidrio de ambos rayos. No es indispensable para producir franjas con luz monocromática, pero sí cuando se utiliza luz blanca (Sec. 13-11). E l espejo Mx está montado sobre un soporte C que puede deslizar sobre los carriles T ajustados con esmero. Este movimiento es lento y está controlado con precisión mediante el tornillo V, calibrado de modo que indique la magnitud exacta del desplazamiento. Para obtener las franjas ambos espejos han de ser perfectamente perpendiculares, lo que se consigue por medio de los tornillos representados sobre M 2 .

Aun con este ajuste no se observarán franjas mientras no se cumplan otros dos requerimientos importantes. E n primer lugar la luz ha de proceder de un manantial extenso. Si este es puntual o se trata de una rendija, como en los métodos anteriores, no aparecerán las franjas deseadas. Cuando tratemos del origen de estas franjas se hará patente la razón de ello. E n segundo lugar la luz deberá ser en general monocromática, o casi monocromática. Esta condición es particularmente necesaria si las distancias de A/j y M2 a Gx son sensiblemente diferentes.

Existen varios métodos para lograr un manantial extenso del tipo requerido por el interferómetro de Michelson. U n arco de

SEC. 13-9] FRANJAS CIRCULARES 263

mercurio o una llama de sodio, si son bastante grandes, pueden utilizarse sin la pantalla L representada en la figura 13-14. Si el foco es pequeño, se aumenta el campo visual con un vidrio esmerilado, o una lente, colocado enZ. Cuando se mire hacia Mv a través de Gx se verá todo el espejo iluminado. L a etapa siguiente para obtener las franjas consiste en hacer una medida aproximada, con una escala milimétrica, de las distancias de Mt y M2

a & cara plateada de Gx y desplazar Mx hasta que ambas sean iguales, salvo una diferencia de algunos milímetros. Se ajusta entonces el espejo M 2 de modo que quede perpendicular a Mv lo que se consigue observando las imágenes de un alfiler corriente situado entre S y Gv Se verán dos pares de imágenes, uno procedente de la reflexión en la cara frontal de Gx y otro en la cara posterior. Ajusfando ikf2 mediante los tornillos, hasta hacer coincidir ambos pares de imágenes, se observarán las franjas. A l aparecer no son muy claras, a menos que el ojo esté enfocado sobre el espejo Mv

de modo que el observador debe mirar constantemente a él mientras busca las franjas. Cuando las haya encontrado girará los tornillos de ajuste de modo que aumente continuamente la anchura de las franjas, obteniéndose por fin un sistema de anillos brillantes concéntricos. M2 es entonces exactamente perpendicular a Mí si este último forma un ángulo de 45° con G\.

13-9. Franjas circulares.—Aparecen cuando se utiliza luz monocromática y los espejos! están exactamente ajustados, siendo las que se emplean en la mayor parte de las medidas con el inter-ferómetro. Su origen se comprenderá con la ayuda del diagrama de la figura 13-15. E n él sé ha reemplazado el espejo M2 por su

P' Zd P"

FIG. 13-15.—Formación de franjas circulares en el interferómetro de Michelson.

264 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

imagen virtual M\ formada por reflexión en Gx. M\ es entonces paralelo a Mx. Debido a las varias reflexiones experimentadas en el interferómetro, podemos considerar que el manantial luminoso extenso está en L, detrás del observador, y que origina dos imágenes virtuales Lx y L2 por reflexión en Mx y M\. Estos dos manantiales virtuales son coherentes, pues las fases de puntos correspondientes de ambos son exactamente las mismas en todo instante. Si la separación de Mx y M'2 es d, la de las dos imágenes virtuales será 2d. Cuando d es justamente un múltiplo entero de semilongitudes de onda, es decir, la diferencia de recorrido 2d es un número entero de longitudes de onda, todos los rayos luminosos reflejados normalmente en los espejos estarán en fase. Sin embargo, los que se reflejen bajo otro ángulo no estarán en general en fase. La diferencia de recorrido entre dos rayos que llegan al ojo procedentes de los puntos correspondientes P' y P" es 2d cos. 6, como se ve en la figura. E l ángulo 0 es necesariamente el mismo para los dos rayos si Mx es paralelo a M\, de modo que los rayos son paralelos. Por tanto, cuando eJ ojo está enfocado para recibir rayos paralelos (en este caso resulta más útil un pequeño anteojo, en especial para grandes valores de d), los rayos se reforzarán mutuamente, produciendo máximos para aquellos ángulos d que satisfagan la relación

Puesto que para m, A y d dados el ángulo 6 es constante, los máximos se encontrarán sobre circunferencias cuyo centro es el. pie de la perpendicular trazada desde el ojo a los espejos. Desarrollando el coseno puede demostrarse, a partir de la ecuación [13-7], que los radios de los anillos son proporcionales a las raíces cuadradas de los números enteros, como en el caso de los anillos de Newton (Sec. 14-5). La distribución de intensidad en los anillos se deduce de la ecuación [13-2], en la que la diferencia de fase está dada por la expresión i

Las franjas de esta clase, producidas por interferencia de haces paralelos con una diferencia de fase determinada por su inclinación 6, suelen denominarse franjas de igual inclinación. E n contraposición a las del tipo que se describirá en la próxima sección, siguen siendo visibles aun para diferencias de recorrido muy grandes. L a limitación eventual de esta diferencia de recorrido será considerada en la sección 13-12.

La parte superior de la figura 13-16 muestra franjas circulares observadas en diferentes condiciones. Si la distancia entre

2d cos 6 = tnk [13-7]

2d cós 6

S E C . 13-10] F R A N J A S LOCALIZADAS 265

Afj y M'g es de unos pocos centímetros, el sistema de franjas es del tipo (a), con los anillos muy apretados. Acercando lentamente ikfj hacia M\, de modo que d disminuya, un anillo determinado, caracterizado por un valor dado de su orden m, disminuirá de radio, ya que, según la ecuación [13-7], el producto 2d eos 6 ha de permanecer constante. Por tanto, cada vez que 2d decrece en A , o sea d en A/2, desaparecerá un anillo en el centro. Ello es consecuencia de que en el centro eos 0 = 1, por lo que la ecuación [13-7] se convierte en

2d = m\ [13-8]

A l variar m en una unidad, d variará en A/2. Ahora bien: al aproximarse Mx a M\ los anillos van espaciándose cada vez más, como se ve en (b), hasta alcanzarse una posición crítica para la cual la franja central cubre todo el campo, como en (c). Esto ocurre cuando Mx y M'2 coinciden exactamente, pues es evidente

(<*) if>) (c) W («)

FIG. 13-16.—Diversos tipos de franjas observados con el interferómetro de Michelson. Fila superior, franjas circulares. Fila inferior, franjas localizadas. La dife

rencia de recorrido aumenta en ambos sentidos a partir del centro.

que en estas condiciones la diferencia de recorrido es nula para todos los ángulos de incidencia. Si seguimos desplazando M , en la misma dirección, sobrepasa a i l í j y vuelven a aparecer nuevas franjas ampliamente espaciadas que se originan en el centro. A l aumentar la diferencia de recorrido estos anillos se irán apretando gradualmente, como puede verse en (d) y (e).

13-10. Franjas localizadas.—Si M\ y Mx no son exactamente paralelos, seguirán observándose franjas si la luz es monocromática y la diferencia de recorrido no excede de unos pocos milímetros. En este caso el espacio limitado por los espejos tiene

266 INTERFERENCIA D E DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

g h i

i I

FIG. 13-17.—Formación de franjas con espejos inclinados en el interferómetro de Michelson.

forma de cuña, como indica la figura 13-17. Los dos rayos 6 que llegan al ojo procedentes de un punto P del manantial ya no son paralelos, sino que parecen divergir de un punto P' próximo a los espejos. Puede demostrarse7 que para varias posiciones de P sobre el manantial extenso la diferencia de recorrido entre los dos rayos permanece constante, pero que la distancia de P' a los espejos varía. No obstante, si el ángulo entre los dos espejos no es demasiado pequeño, dicha distancia no es muy grande, y por ello, para ver claramente las franjas, debe enfocarse el ojo sobre Mx o cerca de él.

Las franjas localizadas son prácticamente rectilíneas, pues la variación de la diferencia de recorrido a través del campo visual se debe ahora principalmente al distinto espesor de la «película de aire» entre los espejos. Si la película mencionada tiene forma de cuña, el lugar geométrico de los puntos de igual' espesor es una recta paralela al borde de la cuña. No obstante, las franjas no son exactamente rectilíneas si d tiene un valor apreciable, por variar algo la diferencia de recorrido con el ángulo. E n general se curvan y son siempre convexas hacia el borde delgado de la cuña. Así, para cierto valor de d, pueden observarse franjas como las representadas en la figura 13-16 (g). Mx se encontrará entonces en una posición tal como la g de la figura 13-17. A l disminuir

6 Cuando se utilice el término «rayo» en todo lo referente a interferencias será para indicar simplemente la dirección perpendicular a un frente de onda y en modo alguno sugerirá la idea de un pincel luminoso infinitamente estrecho.

7 R. W . DITCHBURN: Light, 1.A ed., págs. Í32-34, Interscience Publishers, Inc., Nueva York, 1953.

SEC. 13-11] FRANJAS CON LUZ BLANCA 267

la separación de los espejos, las franjas se desplazarán a través del campo hacia la izquierda, pasando una franja por el centro cada vez que d experimenta una variación de X/2. Cuando la diferencia de recorrido tiende a anularse, las franjas se enderezan cada vez más, hasta que cuando Mx corta a M'z son perfectamente rectilíneas como en (h). A partir de este punto vuelven a curvarse en sentido opuesto, como se ve en el diagrama (i). Cuando las diferencias de recorrido son grandes, las franjas no son observables, como se indica en (/) y (;). Debido a que las variaciones de la diferencia de recorrido se deben principalmente a cambios del espesor d, estas franjas se designan como franjas de igual espesor.

13-11. Franjas con luz blanca.—Si se utiliza luz blanca no aparecerán franjas salvo para una diferencia de recorrido que

VR V R V R

FIG. 13-18.—Formación de franjas de luz blanca, con una oscura en el centro.

no exceda de algunas longitudes de onda. Para observar este tipo de franjas, los espejos han de estar ligeramente inclinados, como en el caso de las franjas localizadas, y la posición de Mt

ha de ser tal que corte a Empleando luz blanca, la franja central es • oscura y está rodeada a cada lado de 8 a 10 franjas coloreadas. L a posición de estas suele ser algo difícil de localizar cuando solo se emplea luz ¡blanca. Para superar esta dificultad conviene hallar previamente la posición de las franjas rectilíneas con luz monocromática. Entonces basta un lento movimiento de Mv utilizando luz blanca, para hacer perceptibles las franjas.

E l hecho de que con luz blanca se observen muy pocas franjas se explica porque dicha luz contiene todas las longitudes de onda comprendidas entre 4000 y 7500 Á. Las franjas de un color determinado están tanto más espaciadas cuanto mayor es la longitud de onda. Por ello las franjas de los diferentes colores solo coinciden para d — 0, como indica la figura 13-18. L a curva continua representa la distribución de intensidad en las franjas de luz verde, y la de trazos, en las de luz roja. Es evidente que solo la franja central es incolora, y a partir de ella empiezan a sepa-

268 INTERFERENCIA DE DOS i HACES LUMINOSOS [CAP. 13

rarse a ambos lados las de los diferentes colores, originándose diversos colores impuros que no corresponden a los saturados del espectro. A partir de la 8.a o 10.a franja hay tantos colores presentes en un punto dado, que el color resultante es fundamentalmente blanco. Sin embargo, siguen produciéndose interferencias en esta región, como se pone de manifiesto mediante un espectroscopio, que da lugar a un espectro continuo en el que aparecen bandas oscuras correspondientes a aquellas longitudes de onda para las cuales se cumple la condición de interferencia destructiva. Si se sustituye la luz monocromática por luz blanca en todos los métodos de producción de interferencias ya descritos, se observan también franjas blancas. Estas tienen especial importancia en el interferómetro de Michelson, pues pueden servir para localizar la posición correspondiente a una diferencia de recorrido nula, como veremos en la sección 13-13.

E n una de las obras de Michelson aparece una excelente reproducción en color de estas franjas obtenidas con luz blanca 8 . E n ella se reproducen también separadamente franjas correspondientes a tres colores disthítos, y es instructivo estudiarlas en relación con las de luz blanca para comprender el origen de los colores impuros en estas últimas.

Y a hemos visto que la franja central en el sistema de luz blanca, es decir, la correspondiente a una diferencia de recorrido nula, es oscura cuando se observa mediante un interferómetro de Michelson. Cabría esperar que esta franja fuese blanca, pues ambos haces están en fase para cualquier longitud de onda, y de hecho es así para las franjas formadas en todos los demás dispositivos tales como el biprisma. No obstante, en este caso, y refiriéndose a la figura 13-14, se ve que mientras el rayo (1) experimenta una reflexión interna en la lámina Gv el (2) se refleja exteriormente, con el consiguiente cambio de fase (Sec. 11-8). Por tanto, la franja central es negra si la superficie posterior de Gj-no está plateada. Si lo está, las condiciones son diferentes y la franja central puede ser blanca.

13-12. Visibilidad de las franjas.—Con el interferómetro pueden realizarse tres tipos principales, de medidas: 1) anchura y estructura fina de las rayas espectrales; 2) longitudes o desplazamientos en función de las longitudes de onda, y 3) índices de refracción. Como se explicó en la sección anterior, cuando en el manantial luminoso existe una cierta dispersión de longitudes de onda, las franjas tienden a confundirse y acaban por desaparecer al aumentar la diferencia de recorrido. Con luz blanca des-

8 A . A . MICHELSON: Light Waves and Their Uses, lámina II, University of Chicago Press, Chicago, 1906.

S E C . 13-12] VISIBILIDAD D E LAS F R A N J A S 269

aparecen en cuanto d es solo del orden de unas pocas longitudes de onda, mientras que los anillos interferenciales obtenidos con luz de una sola línea espectral siguen siendo visibles después de desplazar el espejo varios centímetros. No obstante, dado que ningún tipo de luz es perfectamente monocromática, las longitudes componentes originan franjas de espaciamiento ligeramente distinto, por lo que, aun en este caso, existe un límite para la diferencia de recorrido utilizable. Para efectuar las medidas de lon-gitpd, de las que se tratará más adelante, Michelson comprobó las rayas de diversos manantiales y dedujo que la más satisfactoria era una cierta raya roja del espectro del cadmio. Para ello midió la visibilidad, definida por la expresión

donde imáx e Imin son las intensidades en los máximos y mínimos de la figura de interferencia. Cuanto más lentamente disminuye V al aumentar la diferencia de recorrido, tanto más nítida es la línea en cuestión. E n el caso de la raya roja del cadmio, V baja hasta 0,5 para una diferencia de recorrido de 10 cm, o sea d = 5 cm.

Con ciertas rayas espectrales, la visibilidad no decrece uniformemente, sino que fluctúa con más o menos regularidad. Este comportamiento indica que la raya tiene una estructura fina consistente en dos o más rayas muy próximas. Así se ha comprobado que con luz de sodio las franjas se hacen alternativamente nítidas y difusas, según que las dos rayas constitutivas de la línea D

V = [13-9]

- M 2

d

Mi

FIG. 13-19.—La diferencia de recorrido límite queda determinada por la longitud de los, paquetes de ondas.

270 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

estén o no en fase. El número de franjas existentes entre dos posiciones sucesivas de visibilidad máxima es alrededor de 1000, lo que indica que las longitudes de onda componentes difieren aproximadamente en un 1 °/ 0 0. E n casos más complicados, la intensidad y separación de las componentes se determina mediante un análisis de Fourier de las curvas de visibilidad 9 . Dado que este método para inferir la estructura de las rayas espectrales ha sido sobrepasado por procedimientos más directos, que se describirán en el próximo capítulo, no se insistirá sobre él.

Hay otra forma de interpretar la eventual desaparición de las franjas para grandes diferencias de recorrido, que interesa considerar ahora. En la sección 12-6 se indicó que una dispersión finita de longitudes de onda corresponde a paquetes de ondas de longitud limitada, disminuyendo esta longitud cuanto mayor es la dispersión. Así, cuando los dos haces que han de interferir recorren distancias que difieren en una longitud mayor que la de uno de los paquetes individuales, estos no pueden superponerse y la interferencia no se produce. E n la figura 13-19 se representa esquemáticamente el caso de desaparición total de las franjas. E l paquete inicial de ondas, P, divide su amplitud en Gv dando origen a otros dos paquetes similares: Pv que se dirige a Mh

y P2 a Aí2. A l reunirse de nuevo los dos haces, P 2 está retrasado una distancia 2d respecto de Pv Es evidente que la medida de esta diferencia de recorrido limitante proporciona una determinación directa de la longitud de los paquetes de ondas. Esta interpretación de la desaparición de la interferencia parece a primera vista que contradice a la dada anteriormente. No obstante, la consideración del fundamento del análisis de Fourier demuestra que matemáticamente ambas interpretaciones son enteramente equivalentes, constituyendo solo dos procedimientos diferentes de representar el mismo fenómeno.

13-13. Medidas interferométricas de longitudes.—La principal ventaja del interferómetro de Michelson sobre los primitivos métodos de producir interferencias es que los dos haces están ampliamente separados, pudiéndose variar la diferencia de recorrido ya sea moviendo uno de los espejos o introduciendo en la trayectoria de uno de los haces una sustancia refringente. E n correspondencia con estos dos procedimientos para variar la diferencia de recorrido, hay dos importantes aplicaciones del interferómetro. E n esta sección se estudiará la medida precisa de distancias en función de la longitud de onda de la luz, dejando para la 13-15 la determinación interferométrica de índices de refracción.

9 A. A. MICHELSON: Studies in Optics, cap. IV, Uriiversity of Chicago Press, Chicago, 1927.

SEC. 13-13] MEDIDAS INTERFEROMETRICAS DE LONGITUDES 271

Contando el número de franjas de luz monocromática que pasan por el centro del campo visual al desplazar lentamente el espejo M1 de la figura 13-14, se tendrá una medida de este desplazamiento en función de la longitud de onda X, ya que, según la ecuación [13-8], para la;posición dv correspondiente a la franja brillante de orden mv es

2dx — m1\ y para la d2, que da la franja brillante de orden m2,

2d2 = m2\ Restando estas dos ecuaciones,

X dx — d2 = (m1 — m2 [13-10]

Por tanto, el desplazamiento de M1 es igual al número de franjas contadas multiplicado por ¡la semilongitud de onda. Naturalmente, no es necesario que la distancia corresponda a un número entero de semílongitudes de onda. Es fácil apreciar fracciones de desplazamiento de una décima de franja, y con habilidad hasta de un cincuentavo. E n este caso la medida tendría una exactitud de jjjX, o 5 X 10—7 cm utilizando luz verde.

E n los laboratorios es frecuente el uso de un pequeño inter-ferómetro de Michelson, con un microscopio solidario del dispositivo de arrastre de Mv para efectuar medidas de la longitud de onda de la luz. E l microscopio está enfocado sobre una fina escala de vidrio, y el número de franjas, m1 — m2, que cruzan el espejo entre dos lecturas d\ y d2 de la escala permite obtener X mediante la ecuación [13-10]. L a flexión de una viga, y aun de una pared de ladrillo, bajó la presión de la mano se hacen perceptibles sin más que poner directamente en contacto M1 con la viga o la pared.

L a medida más importante realizada con el interferómetro fue la comparación, hecha por Michelson y Benoit, del metro patrón de París con las longitudes de onda de las rayas roja, verde y azul del cadmio. Por las razones que hemos visto en la última sección sería imposible contar directamente el número de franjas que corresponden a un desplazamiento del espejo móvil de un extremo a otro del metro patrón. Para obviar esta difi-

M,

m yW/ ai N i

FIG. 13-20.—Uno de los nueve patrones utilizados por Michelson.

272 INTERFERENCIA DE DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

cuitad se utilizaron nueve patrones intermedios, cada uno de ellos doble aproximadamente que el anterior (véase Fig. 13-20). Se inició la operación montando los dos más cortos en un interferómetro dé un diseño especial (Fig. 13-21), con un campo visual que abarca los cuatro espejos Mv M2¡ M[, y M\. Con ayuda de las franjas, de luz blanca se igualaron las distancias de los espejos M, Mx

y M\ al ojo, tal como se ve en la figura. Se sustituyó la luz blanca por la correspondiente a una de las rayas del cadmio y se conta-

\ (2: i-».

— n Mi

FIG. 13-21. Pi Pz Pz

•Interferómetro especial de Michelson para la comparación precisa de la longitud de onda de la luz con el metro patrón.

ron las franjas que atravesaban el retículo al mover M lentamente de A a B. Esta operación se realizó hasta que M alcanzó la posición 73, exactamente coplanaria con M2, lo que se conoce por la aparición de franjas de luz blanca en el espejo superior del patrón menor. Se determinó la fracción de franja de cadmio, que excede de un número entero, necesaria para alcanzar esta posición, dando en conjunto la distancia MtM2 expresada , en longitudes de onda. Se desplazaba entonces el patrón más corto una distancia igual a su propia longitud, sin contar franjas, hasta la reaparición de franjas de luz blanca en Mv Finalmente se movía M hacia C, donde las franjas de luz! blanca aparecían tanto en M'z

como en M2. E l desplazamiento iadicional necesario para hacer M coplanario con M2 se medía en! términos de franjas de cadmio, con lo que se obtenía el número1 exacto de longitudes de onda

SEC. 13-14] INTERFEROMETRO DE TWYMAN Y GREEN 273

del patrón mayor. Este, a su vez, se comparó por el mismo proceso con la longitud de un tercer patrón aproximadamente doble que el segundo.

L a longitud del mayor de los patrones era de unos 10 cm. Finalmente se comparó este último con el metro patrón centrando alternativamente las franjas de luz blanca en sus espejos superior e inferior, cada vez que el patrón se desplazaba una distancia igual a su propia longitud. Con diez de tales etapas se puso una marca lateral del patrón aproximadamente en coincidencia con la segunda señal fiducial del metro, y la pequeña diferencia entre ambas se evaluó contando franjas de cadmio. Estas diez etapas suponen un error acumulativo que no interviene en la comparación de los patrones entre sí; pero, que sin embargo, es inferior a la indeterminación aneja a la colocación de las marcas extremas.

Los resultados finales, referidos a las tres rayas del cadmio, fueron

Línea roja 1 m = 1 553 163,5 X o X = 6438,4722 A Línea verde 1 m = 1 966 249,7 X o X = 5085,8240 Á Línea azul . . 1 m = 2 083 372,1 X o X = 4799,9107 A

Con ello no solo se determinó la longitud del metro patrón en función de lo que consideramos una unidad invariable, la longitud de onda de la luz, sino que se obtuvieron también determinaciones absolutas de la longitud de onda de tres rayas espectrales, de las cuales la roj a es, en la actualidad, el patrón fundamental en espectroscopia. Existen medidas más recientes de la raya roja del cadmio (véase Sec. 14-11). Se ha convenido inter-nacionalmente que en aire atmosférico seco a 15° C y presión de 760 mm de Hg la longitud de onda de la raya roja del cadmio, producida en las condiciones descritas por Michelson, es

X, = 6438,4696 A Recientemente se ha descubierto una línea espectral más sa

tisfactoria para ser utilizada como patrón 1 0. Se trata de la raya . verde del mercurio emitida por el isótopo H g 1 9 8 . Este tipo de mercurio se produce sin mezcla alguna de cualquier otro isótopo bombardeando el oro con neutrones. Esta raya es considerablemente más nítida que el patrón de cadmio, y tiene una longitud de onda de 5460,7532 Á 1 1 . Probablemente reemplazará a la X 6438 como patrón fundamental de longitud de onda.

13-14. Interferómetro de Twyman y Green.—Iluminando un interferómetro de Michelson con luz monocromática rigurosamen-

1 0 J . H . WIENS y L. W . ALVAREZ: Phys. Rev., 58, 1005, 1940. 1 1 W . F . MEGGERS y F . O . WESTFALL: / . Research Nati. Bur. Standards, 44,

447-455, 1950.

274 INTERFERENCIA D E DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

te paralela, producida por un manantial puntual situado en el foco principal de una lente bien corregida, se consigue un instrumento muy eficaz para comprobar la perfección de elementos ópticos tales como prismas y lentes. L a pieza que se ha de verificar se sitúa en uno de los haces luminosos, y el espejo que está detrás de ella se elige de modo que las ondas reflejadas, después de atravesarla una segunda vez, vuelvan a ser planas. Estas ondas se hacen interferir con las ondas planas procedentes del otro brazo del interferómetro por medio de otra lente, en cuyo foco está el ojo. Si el prisma, o la lente, es ópticamente perfecto, de modo que las ondas que vuelven son rigurosamente planas, el campo aparecerá iluminado uniformemente. Pero cualquier variación local del camino óptico producirá franjas en la región correspondiente del campo, que son esencialmente las «curvas de nivel» del frente de onda deformado. Aun cuando las superficies de la pieza que se comprueba estén talladas con precisión, el vidrio puede tener regiones de densidad ligeramente distinta. Estas faltas de homogeneidad pueden detectarse mediante el interferómetro de Twyman y Green, y corregirse por un adecuado pulimento local de la superficie 1 2 .

13-15. Medida del índice de refracción por métodos interferenciales.—Introduciendo un espesor t de una sustancia de índice de refracción n en la trayectoria de uno de los haces de un interferómetro, se aumenta el camino óptico de este haz debido a que la luz se propaga más lentamente en la citada sustancia y, por consiguiente, su longitud de onda es menor. E l camino óptico (Ec. [11-6]) en este medio es ni, mientras que era prácticamente t en el espesor correspondiente de aire (n = 1). Por ello el aumento de camino óptico debido a la introducción de la sustancia es (n — l ) ¡f 1 3 . Ello implica un incremento de (n •— 1)¿/X ondas en el camino del haz; así, si llamamos Am al número de franjas desplazadas al introducir la sustancia en dicho haz, tenemos

(» — l)t = (Ai»)X [13-11]

E n principio, si se miden Am, t y X, puede determinarse n. E n la práctica, la introducción de una lámina de vidrio en

uno de los haces produce un desplazamiento discontinuo de las franjas, por lo que es imposible determinar Am. Con franjas monocromáticas no podemos saber qué franja del sistema desplazado corresponde a otra del sistema sin desplazar. Con luz blanca,

1 2 Para una descripción más completa del uso de este instrumento, véase F. TWYMAN: Prism and Lens Making, 2.a ed., cap. XII, Hilger y Watts, Londres, 1952.

1 3 En el interferómetro de Michelson, en el que la luz recorre la sustancia dos veces, i es el doble del espesor real.

SEC. 13-15] MEDIDA D E L INDICE D E REFRACCION 275

el desplazamiento de las franjas de diferente color es muy distinto debido a la variación de n con la longitud de onda, desapareciendo las franjas por entero. Esto explica la necesidad de la lámina compensadora ¡G2 en el interferómetro de Michelson cuando se trata de observar franjas con luz blanca. Si la lámina de vidrio es muy delgada, estas franjas son aún visibles, lo que nos procura un método de medir n en películas muy delgadas. Con láminas más gruesas, | un método practicable consiste en utilizar dos láminas de idéntico espesor, una en cada haz, girando lentamente una de ellas alrededor de un eje vertical, y contando el número de franjas monocromáticas para un ángulo de rota-

la) ¡ { b ) | I

FIG. 13-22.—Interferómetros de (o) Jamin, y (fc) Mach-Zehnder.

ción dado. Este ángulo corresponde entonces a un cierto aumento conocido del espesor efectivo.

•El método interferencia! es el más adecuado para la medida de los índices de refracción de los gases, puesto que estos pueden introducirse gradualmente en uno de los haces luminosos mediante su entrada en un recipiente vacío. Con este fin se han diseñado varios tipos de interferómetros, de los cuales se describirán tres: el de Jamin, el de Mach-Zehnder y el de Rayleigh.

L a figura 13-22 (a) representa esquemáticamente el refrac-tómetro de Jamin. L a luz monocromática procedente de un manantial extenso S se divide en dos haces paralelos (1) y (2) al reflejarse en las dos caras paralelas de una gruesa lámina de v i drio Gv Estos dos haces pasan por otra lámina idéntica G2 recom-binándose, después de reflejados, para formar franjas de interferencia, denominadas franjas de Brewster (véase Sec. 14-11). Si las láminas son paralelas, los caminos ópticos serán idénticos. Supongamos que se trata de un experimento para determinar el

276 INTERFERENCIA DE DOS I HACES LUMINOSOS [CAP. 13

índice de refracción de un gas a diferentes temperaturas y presiones. Para ello se colocan dos tubos iguales vacíos, 7\ y T2, en los dos haces paralelos. E-n el tubo T2 se introduce lentamente -el gas. Contando el número de franjas Am que atraviesan el campo mientras el gas alcanza la temperatura y presión deseadas, puede hallarse el valor de n aplicando la ecuación [13-11]. Experimen-talmente se ha encontrado que, para una temperatura dada, el valor de (» —1) es directamente proporcional a la presión. Ello constituye un caso especial de la ley de Lorenz-Lorentz14, según la cual

n2 — 1 [n + ! 1) %2 + 2 v ' [n2 + 2)

siendo p la densidad del gas. Cuando n es casi igual a la unidad, el factor (« + l)/(«2 + 2) es prácticamente constante, de acuerdo con la observación experimental anterior.

E l interferómetro diseñado por Mach y Zehnder, representado en la figura 13-22 (b), tiene una disposición similar de las trayectorias luminosas, pero estas pueden estar mucho más separadas. E l papel de los dos bloques de vidrio del interferómetro de Jamin lo desempeñan en este caso dos pares de espejos, funcionando el par Mv M2 como Gx y él par M3, M 4 como G 2 . L a primera cara de Mx y la segunda de Mi están semiplateadas. Aunque es más difícil de ajusfar, el interferómetro de Mach-Zehnder es el único adecuado para el estudio de pequeñas variaciones del índice de refracción dentro de un amplio margen, y se emplea, p. ej., para medir la forma del flujo en los túneles aerodinámicos. A l contrario que en el interferómetro de Michelson, la luz atraviesa una región tal como la T de la figura en un solo sentido, lo que simplifica el estudio de las variaciones locales de camino óptico en esta región. \

E l objeto de las láminas compensadoras C x y C2 de las figuras 13-22 (a) y 13-23 es abreviar la medida del índice de refracción. A l girar ambas láminas, de igual espesor, mediante un mando unido al dial D, se alarga una de las trayectorias luminosas y se acorta la otra. Con este dispositivo puede compensarse, por tanto, la diferencia de recorrido entre ambos tubos. -Si previamente se ha calibrado este dial, contando franjas, se podrá leer direc-

! 1 1 H . A. Lorentz (1853-1928). Fue durante muchos años profesor de Física

matemática de la Universidad de Leyden (Holanda). En 1902 recibió el premio Nobel por sus trabajos sobre las relaciones entre luz, magnetismo y materia, realizando también aportaciones notables en otras ramas de la Física1. Dotado de una atrayente personalidad y agradable disposición, viajó mucho y fue muy conocido y apreciado. Por una extraña coincidencia, L. Lorenz, de Copenhague, dedujo la ley anterior a partir de la teoría del sólido elástico solo unos meses antes que Lorentz llegara a ella a partir de la teoría electromagnética.

PROBLEMAS 277

tamente el índice de refracción. L a sensibilidad de este dispositivo es variable, a voluntad, lográndose que sea elevada si el ángulo formado por las dos láminas es pequeño, y siendo menor cuando es grande.

E n el refractómetro de Rayleigh 1 5 (Fig. 13-23) se colima mediante la lente Lx la luz monocromática procedente de un manantial rectilíneo S, y se divide en dos haces por medio de una doble

FIG. 13-23.—Refractómetro de Rayleigh.

rendija bastante ancha. Después de atravesar dos tubos exactamente iguales y las láminas compensadoras, ambos haces interfieren mediante la lente L2. Este tipo de refractómetro suele utilizarse para medir pequeñas diferencias de índices de refracción en líquidos y disoluciones.

P R O B L E M A S

13-1. Se realiza el experimento de Young con luz de la raya verde del mercurio. Midiendo.las franjas con un ocular micrométrico a 80 cm de la doble rendija, se encuentra que hay 20 en una distancia de 10,92 mm. Hállese la distancia entre las dos rendijas.

13-2. Una doble rendija con espaciamiento de | mm se ilumina con luz correspondiente a la raya azul del cadmio. ¿A qué distancia de las rendijas se obtendrán franjas separadas 1 mm? Sol.: 104,2 cm.

13-3. Descríbase lo que se observaría iluminando una doble rendija con luz de las dos rayas amarillas del Hg, AX5769 y 5790 Á. Suponiendo que las dos rayas son perfectamente nítidas y de igual intensidad, calcúlese la visibilidad de las franjas en las proximidades de m — 50.

13-4. Si en el experimento de la doble rendija de Young se coloca una fina lámina de material transparente sobre una de las rendijas, la franja brillante central del sistema de franjas obtenido con luz blanca se desplaza 3,6 franjas. El índice de refracción de la lámina es 1,40, y la longitud de onda efectiva de la luz, 5500 k: a) ¿Cuánto aumenta la lámina el

"Lord Rayleigh (tercer barón) (1842-1919), profesor de Física de la-Universidad de Cambridge y de la Royal Institution de Gran Bretaña. Dotado de gran capacidad matemática, realizó importantes aportaciones en muchos campos de la Física. Las más conocidas están relacionadas con la difusión de la luz (Sec. 22-9) y con la Acústica. En 1904 recibió el premio Nobel.

278 INTERFERENCIA D E DOS HACES LUMINOSOS [CAP. 13

camino óptico? b) ¿Cuál es el espesor exacto de la lámina? c) ¿Qué se observaría probablemente si se colocase un trozo de material de espesor 1 mm? ¿Por qué?

Sol.: a). 1,98 x 10—4 cm; b) 4,95 x 10- 4 cm; c) Ninguna franja. 13-5. La experiencia del espejo de Lloyd puede realizarse fácilmente

con microondas utilizando como reflector una lámina metálica colocada sobre una mesa. Si el manantial tiene una frecuencia de 800 Me y está colocado 6 cm por encima de la superficie de la mesa, hállese la altura por encima de dicha superficie de los dos primeros máximos formados a 4 m de distancia del manantial.

13-6. En el biprisma y espejos de Fresnel las partes coherentes de los dos manantiales virtuales 'se encuentran en posiciones congruentes, mientras que en el espejo de Lloyd están invertidas entre sí. ¿Qué efecto causará esta diferencia sobre la aparición de las franjas producidas cuando la rendija manantial no es extremadamente estrecha?

Sol.: Las franjas de orden elevado resultan confusas en el espejo de Lloyd.

13-7. Se desea construir un biprisma de Fresnel para su empleo en un banco de óptica de 2 m de longitud. La rendija manantial ha de estar colocada en uno de los extremos del banco y el ocular en el otro. Debido a la anchura finita de la rendija manantial no es posible colocar el biprisma a menos de 50 cm de ella. Hállese el valor que han de tener los ángulos refringentes del biprisma para que se produzcan franjas con luz de sodio que estén separadas una distancia de 0,8 mm si el índice del vidrio es n = 1,55.

13-8. Un biprisma de Fresnel con ángulos refringentes de 1°30' e índice 1,52 se utiliza para formar franjas de interferencia. Hállese la separación de las franjas para luz roja, )v6563, cuando la distancia entre el manantial y el prisma es 20 cm y entre el prisma y la pantalla 80 cm.

Sol.: 0,1205 mm. 13-9. ¿Cuál ha de ser, en grados, el ángulo entre los espejos de Fresnel

para que se produzcan franjas con luz de sodio distanciadas 0,5 mm, si la rendija está a 30 cm de la intersección de los espejos y la pantalla a 120 cm de la rendija?

13-10. Se desea determinar, con un error de ± 0,002 %, la concentración de una disolución, por comparación de su índice de refracción, con el de una disolución patrón mediante un refractómetro Rayleigh utilizando como manantial una lámpara de sodio. Una disolución patrón al 5 % tiene un índice de 1,4316, el de otra al 10 % es n — 1,4425 y n varía linealmente con la concentración entre estos valores. ¿Qué longitudes deben tener los tubos para realizar la precisión requerida, suponiendo que se pueden apreciar desplazamientos correspondientes a un veinteavo de franja?

Sol.: 6,76 mm. 13-11. ¿Cuánto ha de desplazarse el brazo móvil de un interferómetro

de Michelson para que crucen el centro del campo 2000 franjas correspondientes a la raya verde del cadmio?

13-12. Hállese el radio angular de la sexta franja en un interferómetro de Michelson cuando la diferencia de recorrido central (2d) es 4 mm y cuando es 30 mm. Supóngase que se utiliza luz azul de longitud de onda 4358 Á y que el interferómetro está ajustado en cada caso de modo que la primera franja brillante forme un máximo en el centro de la figura.

Sol.: 1,337°; 0,488°.

PROBLEMAS 279

13-13. Investigúese el efecto que producirá sobre franjas obtenidas con luz blanca la colocación de una lámina de vidrio crown de anteojo en uno de los brazos del interferómetro de Michelson. Los índices de refracción de este vidrio vienen dados en la tabla 23-1. Suponiendo que las franjas coloreadas desaparecen para una diferencia de recorrido igual a seis longitudes de onda de la luz de sodio, ¿cuál será el máximo espesor admisible de la lámina de vidrio que permita la observación de franjas cualesquiera ,1 ser intercalada en el interferómetro?

13-14. Demuéstrese que el aumento de camino óptico producido al girar <f>° a partir de la posición perpendicular una lámina compensadora plano-paralela de espesor t e índice n está dado por

a» A = ¿(VM 2 — - sen2~^— cos <¡> — » + l ) (INDICACIÓN : Téngase en; cuenta la variación de recorrido tanto en el

vidrio como en el aire.) ¡ 13-15. Las dos láminas compensadoras de un refractómetro de Jamin

se encuentran fijas formando entre sí un ángulo de 5°. Una de ellas está vertical cuando se observan primeramente las franjas. ¿Qué ángulo ha de girarse el par de láminas para producir un desplazamiento de 20 franjas de luz verde X = 5500 Á, siendo el índice 1,500? Supóngase que se giran las láminas hacia la posición1 simétrica.

13-16. Para una raya espectral que tiene el perfil debido al ensanchamiento Doppler puede demostrarse que la diferencia de recorrido para la cual la curva de visibilidad disminuye a la mitad de su valor es 2,77/Aft, donde Ak es la anchura de la raya a la mitad del máximo, expresada en números de propagación. A partir de los datos de la sección 13-12, calcúlese la anchura, en ángstroms, de la raya roja del cadmio. Sol.: 0,018 Á.

13-17. Los dos tubos de un interferómetro de Jamin tienen una longitud de 40 cm. En uno de ellos se ha hecho el vacío, y el otro contiene argón a la presión atmosférica, siendo su índice 1,00028. ¿Cuántas franjas de la. raya verde del mercurio se contarán cuando se extraiga el argón?

V

CAPITULO X I V

INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES

Algunos de los más bellos efectos interferenciales se deben a la reflexión múltiple de la luz entre las dos caras de una lámina transparente muy delgada. L a producción y observación de estos efectos no requiere ningún aparato especial y resultan familiares a cualquiera que haya contemplado las irisaciones de las películas oleosas en el agua, de las pompas de jabón o en las grietas

FIG. 14-1.—Reflexiones múltiples en una lámina plano-paralela.

de un trozo de vidrio. Comenzaremos el estudio de este tipo de interferencias considerando el caso algo idealizado de la reflexión en una lámina perfectamente plano-paralela.

14-1. Reflexión en una película plano-paralela.—Sea un rayo luminoso, procedente de un manantial S, que incide en A sobre la superficie de una película de esta clase (Fig. 14-1). Parte de él se reflejará, rayo (1), y parte se refractará en la dirección AF. A l llegar a F, una parte de este viltimo se reflejará hacia B y otra parte se refractará hacia H. E n B, elrayo FB se dividirá de nuevo. L a repetición de este proceso produce dos conjuntos de rayos paralelos, uno a cada lado de la lámina. Como es natural, en cada uno de ellos la intensidad disminuye rápidamente de un rayo al siguiente. Recogiendo ahora los rayos reflejados mediante una

280

SEC. 14-1] REFLEXION EN UNA PELICULA PLANO-PARALELA 281

lente L que los enfoca en el punto P, cada rayo h a b r á recorrido una distancia diferente, y las relaciones de fase pueden ser tales que se produzca en dicho punto interferencia destructiva o constructiva. A tales interferencias se deben los colores de las películas delgadas cuando se observan a simple vista. E n este caso la lente L es el ojo, y el punto P se encuentra en la retina.

Para hallar la diferencia de fase entre estos dos rayos se empez a r á por calcular la diferencia de caminos ópticos de dos rayos sucesivos, tales como el (1) y el (2). Sea d en la figura 14-2 el espesor de la película, n su índice de refracción, Á la longitud de onda de la luz y <f> y <p" los ángulos de incidencia y refracción. Si BD es perpendicular a (1), los caminos ópticos desde D y B al foco de la lente serán iguales. Partiendo de A, el rayo (2) recorre la trayectoria AFB en la lámina y el (1) .la AD en el aire. L a diferencia de estos caminos ópti cos es (Ec. [11-6])

A = n(AFB) —AD FIG. 14-2.—Diferencia de camino óptico entre dos rayos consecutivos en la refle

xión múltiple. (Véase Fig. 14-1.) Prolongando BF hasta que corte a la normal AE en G, tenemos AF = GF por la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión "en la superficie inferior. Por tanto,

A = n(GB) — AD = n(GC + CB) — AD

Ahora bien: AC se ha dibujado perpendicularmente a FB, de modo que las líneas de trazos AC y DB representan dos posiciones sucesivas del frente de onda reflejado en la superficie inferior. Como se demostró en la sección 11-6, los caminos ópticos entre dos frentes de onda han de ser iguales, por lo que puede escribirse:

n(CB) = AD

L a diferencia de camino se reduce, por tanto, a

A = n(GC) = n(2d eos <p") [14-1]

Si esta diferencia de camino es un número entero de longitudes de onda, pudiera esperarse que los rayos (1) y (2) llegasen al foco de la lente en fase, produciendo un m á x i m o de intensidad. Sin embargo, se ha de tener presente que mientras el rayo (1)

282 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

experimenta un cambio de fase de TC radianes al reflejarse, no le sucede igual al rayo (2), ya que se refleja internamente (Sec. 11-8). Por tanto, la condición

2nd cos <j>' = m~h mínimos [14-2]

pasa a ser condición de interferencia destructiva en lo que concierne a los rayos (1) y (2). Como anteriormente, m = 0, 1, 2, es el orden de interferencia.

A continuación se estudian las fases de los restantes rayos, (3), (4), (5), ... Como la geometría es la misma que antes, la diferencia de camino entre los rayos (3) y (2) vendrá dada también por la ecuación [14-1], pero como todas las reflexiones son internas, si se verifica la ecuación [14-2], (3) y (2) estarán en fase. Lo mismo ocurre con todos los pares subsiguientes, por lo que

FIG, 14-3.—Amplitudes de rayos sucesivos en la reflexión múltiple.

puede deducirse que en estas condiciones los rayos (1) y (2) están en oposición de fase, mientras que los (2), (3), (4), están en fase. Por otra parte, si las condiciones son tales que

2nd cos <j>' = (m -f \)\ máximos [14-3]

el (2) y el (1) estarán en fase, mientras que (3), (5), (7), estarán en oposición de fase con (2), (4), (6), ... Dado que (2) es más intenso que (3), (4) más intenso que (5), etc., estos pares no se anulan mutuamente, y como la serie más intensa se combina con (1), que es el más intenso de todos, se producirá un máximo de intensidad.

E n los mínimos de intensidad, el (2) y el (1) están en oposición de fase, pero como la amplitud de (1) es bastante mayor que la de (2), no se anularán completamente entre sí. Puede demostrarse ahora que la suma de (3), (4), (5), todos en fase con (2), da una amplitud neta justamente suficiente para completar

SEC. 14-2] ! FRANJAS D E IGUAL INCLINACION 283

la diferencia y producir en los mínimos oscuridad completa. Designando por a la amplitud de la onda incidente, por r la fracción de esta reflejada y por t o t' la trasmitida, según se vaya de menos denso a más denso, o viceversa, como se hizo en la sección 11-8 al estudiar la reflexión por el método de Stokes, se ha construido la figura 14-3, en la que se indican las diversas amplitudes. De acuerdo con la ecuación [11-16], las fracciones reflejadas externa e internamente son las mismas. Sumando las amplitudes de todos los rayos reflejados, excepto la del primero sobre la superficie superior de la película, se obtiene la amplitud resultante:

! A = atrt' -f atrH + atrH' + atr7t' + • • • = atrt'(l + r2\ + r* + r6 + • • •)

Puesto que r es necesariamente menor que 1, la serie geométrica entre paréntesis tiene una suma finita igual a 1/(1 — r2), por lo que i

Pero según el estudio de Stokes, (Ec. [11-15]), tí = 1—r2, y, por tanto,

A=ar [14-4]

Esta amplitud es justamente la misma del primer rayo reflejado, de donde se deduce que en las condiciones de Ja ecuación [14-2] se producirá interferencia enteramente destructiva.

14-2. Franjas de igual inclinación.—Examinando la imagen producida al reflejarse un manantial extenso en una lámina delgada plano-paralela, se observará que está cruzada por un sistema de franjas de interferencia separadas siempre que el manantial sea monocromático y la lámina suficientemente delgada. Cada franja brillante corresponde a una diferencia de camino particular con un valor entero de m en la ecuación [14-3]. Para cualquier franja el valor de <f> es fijo; por tanto, la forma de la franja será la de un arco de circunferencia, cuyo centro es el pie de la perpendicular trazada desde el ojo al plano de la lámina. Es evidente que se trata de franjas de igual inchnación y que la ecuación de la diferencia de camino tiene la misma forma que para las franjas circulares del interferómetro de Michelson (Sec. 13-9).

La necesidad de utilizar un manantial extenso se hace patente considerando la figura 14-1. Si se usa un manantial puntual S, muy distante, los rayos paralelos solamente incidirán' en el ojo bajo un ángulo (el requerido por la ley de la reflexión), quedando enfocados en un punto P. Por tanto, no se verá más que un punto, brillante u oscuro, i según la diferencia de fase corres-

284 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

pondiente a ese ángulo particular. Es cierto que si, el manantial índ está muy alejado, su imagen en la retina será ligeramente borrosa debido a que el ojo ha de estar enfocado para rayos paralelos con objeto de observar la interferencia. No obstante, el área iluminada es pequeña, y para poder. observar un sistema de franjas ha de -haber evidentemente muchos puntos 5 distribuidos en un manantial extenso, de modo que la luz incida en el ojo desde varias direcciones.

Estas franjas no son visibles más que si la lámina es muy delgada, a menos que la luz se refleje casi normalmente a ella. Para otros ángulos, puesto que la apertura de la pupila del ojo es muy pequeña, cualquier aumento del espesor de la lámina

hará que los rayos reflejados diverjan tanto que solo uno entrará a la vez en el ojo. Es evidente que en estas condiciones no se producirá interferencia alguna. Usando un anteojo de gran apertura, el objeto puede recoger bastantes rayos para hacer visibles las franjas con láminas gruesas, pero a menos que se observen casi normalmente a la lámina estarán tan poco espaciadas que resultarán invisibles. Las franjas de láminas gruesas con incidencia casi normal suelen llamarse franjas de Haidinger1.

14-3. Interferencias con la luz transmitida.—Los ra

yos que emergen de la parte inferior de la lámina, representados en las figuras 14-1 y 14-3, pueden producir también interferencias si se les hace converger mediante una lente. No obstante, en este caso no hay cambios de fase anejos a la reflexión para ninguno de los rayos, de modo que la ecuación [14-2] se convierte en la condición de máximo, y la ecuación [14-3], en la de mínimo. E n los máximos los rayos u, v, w, ... de la figura 14-1 están en fase, mientras que en los mínimos v, x, ... están en oposición de fase con u, w, ... Cuando la reflectancia r2 tiene un valor bajo, como ocurre en las su-

FIG. 14-4.—Perfiles de la intensidad de las franjas reflejadas y transmitidas en una película de un 4 % de reflectancia.

1 W . K. Haidinger (1795-1871), mineralogista y físico austríaco, director durante diecisiete años del Instituto Geológico Imperial de Viena.

¡

S E C . 14-4] F R A N J A S D E I G U A L ESPESOR 285

perficies de vidrio no plateadas, la amplitud de u es con mucho la mayor de la serie, y los mínimos no son en modo alguno negros. L a figura 14-4 muestra gráficas cuantitativas de la intensidad transmitida, IT, y de la reflejada, IR, para el caso r = 0,2, de acuerdo con las ecuaciones [14-10] y [14-11]. L a reflectancia correspondiente del 4 % es muy aproximada a la del vidrio bajo incidencia normal. Las abscisas 5* representan en la figura la diferencia de fase entre rayos sucesivos del haz transmitido o entre los del reflejado, excepto el primero. Según la ecuación [14-1],

3 .= M =. ^ A = — nd cos <f>' [14-5]

Obsérvese que la curva para IR se asemeja mucho a la eos2, característica de la interferencia de dos haces. Realmente no es la misma, y el parecido solo tiene lugar cuando la reflectancia es pequeña. Entonces los dos primeros haces reflejados son mucho más intensos, y los restantes tienen poco efecto. E n la sección 14-7 se estudiarán las importantes modificaciones que aparecen para valores elevados de Ja reflectancia.

14-4. Franjas de igual espesor.—Si la lámina no es plano-paralela, de modo que las superficies forman un ángulo aprecia-ble como en la figura 14-5 (a), los rayos que interfieren no entran al ojo paralelos, sino que parecen diverger de un punto próximo a la lámina. Las franjas resultantes se parecen a las franjas localizadas del interferómetro de Michelson y aparentan estar formadas sobre la lámina misma. Si ambas superficies son planas, de modo que la lámina tiene forma de cuña, las franjas serán prácticamente rectilíneas siguiendo las líneas de igual espesor. E n este caso, la diferencia de camino de un determinado par de arco oe sodio °J°

(o) (6)

FIG. 14-5.—Franjas de igual espesor: (a) Método de observación visual. (6) Fotografía tomada enfocando la cámara sobre las láminas.

286 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

rayos es prácticamente la dada por la ecuación [14-1]. Siempre que la observación se verifique casi normalmente a la lámina, el factor eos <p" puede considerarse igual a la unidad, y la condición de franjas brillantes resulta ser

2nd = (m + |-)X [14-6] A l pasar de una franja a la siguiente, m aumenta en 1, lo que exige que el espesor óptico de la lámina, nd, varíe en A/2.

Es fácil observar en el laboratorio franjas formadas en láminas delgadas utilizando dos trozos de vidrio plano ordinario. Colocando uno sobre otro e intercalando a lo largo de uno de los bordes una tirita de papel, se forma entre ambos una película cuneiforme de aire. Iluminados con una llama o arco de sodio (Fig. 14-5), se observan claramente franjas amarillas. Si se utiliza un arco de carbón y un filtro es posible proyectar las franjas en una pantalla mediante una lente. Mirando la imagen reflejada de un manantial monocromático, se observa que está cruzada por franjas más o menos rectilíneas, como las de la figura 14-5 (b).

Este tipo de franjas tiene importantes aplicaciones prácticas en la comprobación de superficies ópticas planas. Si se forma una película de aire entre dos superficies, una de las cuales es perfectamente plana y la otra no, las franjas serán de forma irregular. Una franja cualquiera viene caracterizada por un valor particular dem en la ecuación [14-6], y, por tanto, seguirá aquellas partes de la película en que d es constante. Esto es, las franjas son el equivalente a las curvas de nivel de la superficie no plana. E l intervalo de nivel es A/2, dado que en el aire n = 1, y pasar de una franja a la siguiente corresponde a un incremento de d en esta cantidad. E l método típico para obtener superficies ópticamente planas consiste en efectuar repetidas observaciones de las franjas que aparecen entre la superficie que se trabaja y otra ópticamente plana, seguidas de pulimentos continuos hasta conseguir que las franjas sean rectilíneas. E n la figura 14-5 (b) se aprecia que una de las láminas tiene una distorsión considerable en la parte inferior.

14-5. Anillos de Newton.—Si las franjas de igual espesor se producen en la película de aire comprendida entre la superficie convexa de una lente de gran distancia focal y una lámina plana de vidrio, las líneas de nivel serán circulares. Newton estudió con detalle las franjas en forma de anillos producidas de este modo, aunque no pudo explicarlas correctamente2. Cuando

2 Isaac Newton (1642-1727). Además de establecer los fundamentos de la mecánica, dedicó considerable tiempo al estudio de la luz, recopilando los resultados en su famosa Opticks. Es curioso que una de las demostraciones más palpables de las interferencias luminosas, los anillos de Newton, se deba al principal defensor

SEC. 14-5] ANILLOS DE NEWTON 287

se trata de efectuar medidas, las observaciones se realizan bajo incidencia normal con un montaje como el representado en la figura 14-6, donde la lámina de vidrio G refleja la luz hacia las láminas. Después de la reflexión pasa de nuevo por G y se observa a través del microscopio ¡de poca potencia T. E n estas condiciones, las posiciones de los máximos están dadas por | la ecuación [14-6], en la que d es el espesor de la película de aire. Si llamamos R al radio de curvatura de la superficie A, y suponemos que A y B se tocan justamente en el centro, el valor de d correspondiente a un anillo de radio r es la flecha del arco, dada por

FIG. 14-6.—Dispositivo experimental para observar y medir anillos de Newton.

2R [14-7]

Sustituyendo este valor en la ecuación [14-6] se obtiene una relación entre los radios de los anillos y la longitud de onda de la luz. E n trabajos cuantitativos no puede admitirse que las superficies se tocan solamente en el punto de contacto, puesto que habrá siempre algunas partículas de polvo o distorsión debida a la presión. Pero tales perturbaciones solo suponen una constante aditiva en la ecuación [14-7], cuyo efecto se elimina sin más que medir el diámetro de dos anillos al menos.

Como el diámetro de los anillos depende de la longitud de onda, la luz blanca solo producirá unos pocos anillos coloreados en las proximidades del punto de contacto. Pero con luz monocromática se observa un extenso sistema de anillos como el de la figura 14-7 (a). Cuando el contacto es perfecto, la mancha central es negra. Ello es prueba directa del cambio relativo de fase, TZ, entre los dos tipos de reflexión, aire-vidrio y vidrio-aire, que se mencionó en la sección 14-1. Si no se produjese tal cambio de fase, los rayos reflejados en las dos superficies en contacto estarían en fase, * apareciendo una mancha brillante en el centro. E n una in-

de la naturaleza corpuscular de la luz. La defensa por Newton de la teoría corpuscular no fue tan inflexible como suele presentarse, según puede comprobar cualquiera que consulte sus escritos originales. El primer descubrimiento de los anillos de Newton se atribuye actualmente a Robert Hooke.

288 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

teresante modificación del experimento, debida a Thomas Young, la lámina inferior tiene un índice de refracción mayor que la lente, y entre ambas se intercala aceite de un índice intermedio. E n este caso ambas reflexiones son «de menos denso a niás denso», no ocurriendo ningún cambio de fase, por lo que la franja central del sistema reflejado es brillante. E l experimento no nos aclara en cuál de las superficies ocurre el cambio de fase en el dispositivo ordinario, aunque se sabe (Sec. 25-4) que es en la inferior (aire-vidrio).

L a luz transmitida por las láminas de Newton origina también un sistema de anillos de interferencia, el cual es exactamente com-

(") ! (b) FIG. 14-7.—Anillos de Newton: (a) por reflexión; (b) por transmisión.

plementario del reflejado, y por ello la mancha central es brillante. E l contraste entre anillos brillantes y oscuros es pequeño, por razones ya estudiadas en la sección 14-3. L a figura 14-7 (b) reproduce los anillos obtenidos con luz transmitida.

14-6. Películas antirreflectantes.—Una aplicación sencilla y muy importante del estudio de las interferencias en láminas delgadas ha sido la producción de las llamadas superficies antirreflectantes. Depositando una película de una sustancia transparente de índice de refracción rí sobre un vidrio de índice superior n, si dicha película tiene un espesor de un cuarto de la longitud de onda de la luz cuando se propaga en ella, de modo que

se suprime casi completamente, por un proceso de interferencia, la luz reflejada para incidencia normal. Esto corresponde a la

S E C . 14-6] P E L I C U L A S A N T I R R E F L E C T A N T E S 289

condición m — 0 en la ecuación [14-3], que en este caso es una condición de mínimo, pues las reflexiones en ambas superficies son «de menos denso a más denso». Las ondas reflejadas en la superficie inferior tienen un exceso de recorrido de media longitud de onda respecto al de las reflejadas sobre la superficie superior, y ambas, combinadas con las más débiles procedentes de las reflexiones múltiples, interfieren, por tanto, con anulación. Pero para que la anulación sea completa, es necesario que la fracción de la amplitud reflejada en cada una de las dos superficies sea exactamente la misma, pues así se supuso que ocurría al demostrar la ecuación [14-4]. E n una película en contacto con un medio de índice superior se verificará esta condición solo si los índices obedecen la relación

rí — s/ñ

Se demuestra esto, a partir de la ecuación [25-5], sustituyendo por rí el índice de refracción de la superficie superior y por njn el de la inferior. Análogamente se demuestra que una película de este tipo tiene reflexión nula tanto en la cara en contacto con el aire como en la adherida al vidrio. Naturalmente no hay destrucción alguna de luz en una película antirreflectante, sino simplemente una redistribución tal que una disminución de la luz reflejada va acompañada de un aumento correspondiente de la transmitida.

L a importancia práctica de estas películas es que reducen en gran proporción las pérdidas de luz por reflexión en las d i versas superficies de un sistema de lentes o prismas. L a luz dispersa que llega a la imagen como resultado de estas reflexiones se elimina así casi totalmente, obteniéndose un aumento de contraste. Casi todos los elementos ópticos de alta calidad van actualmente recubiertos con películas antirreflectantes. Estos revestimientos se conseguían inicialmente depositando varias láminas mono-moleculares de una sustancia orgánica sobre la superficie del vidrio. Hoy día se obtienen otros más duraderos evaporando fluoruro de calcio o de magnesio, en el vacío, sobre la superficie, o por tratamiento químico mediante ácidos que dejan una delgada película de sílice sobre la superficie del vidrio. Las lentes con revestimientos adecuados tienen por reflexión un matiz purpúreo. Ello se debe a que la condición de interferencia destructiva se verifica para una sola longitud de onda, que suele elegirse en el centro del espectro visible. Por esto la reflexión de la luz roja y violeta es algo mayor. Además, las sustancias con las que' se consiguen revestimientos durables tienen índices de refracción demasiado altos para cumplir la condición establecida anteriormente. A este respecto pueden introducirse considerables mejoras

290 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

usando dos o más películas superpuestas, con lo que se consigue reducir la reflexión a un décimo del valor que tendría en la superficie sin revestimiento. Esto se refiere, naturalmente, al caso de luz incidente perpendicular a la superficie. Con otros ángulos la diferencia de recorrido cambia de acuerdo con el factor eos <p" de la ecuación [14-1]. Pero como el coseno varía muy poco en la proximidad de 0 o, la reflexión se mantiene baja en un intervalo bastante grande de ángulos alrededor de la normal. Películas múltiples, con espesores adecuados, se utilizan también con un fin opuesto, es decir, el de aumentar la-reflectancia. Se utilizan, p.' ej., como espejos «divisores de haz» para separar un haz incidente en dos cuyas intensidades estén en una razón dada. Se consigue esta

FIG. 14-8.—Perfiles de intensidad de las franjas debidas a reflexiones múltiples, mostrando cómo depende la nitidez de la reflectancia.

división sin las pérdidas de energía por absorción inherentes a la reflexión y transmisión de una fina película metálica.

14-7. Nitidez de las franjas.—Al hacerse mayor la reflectancia de una superficie, bien por el método anterior o plateándola l i geramente, las franjas debidas a reflexiones múltiples se hacen mucho más estrechas. Las sorprendentes variaciones que se producen están representadas gráficamente en la figura 14-8 para los valores r 2 = 0,04, 0,40 y 0,80, de acuerdo con las ecuaciones teóricas que se deducirán después. L a curva designada por 4 % es la del vidrio sin platear, tal como se representó en la figura 14-4. Como en ausencia de absorción la intensidad transmitida es precisamente la complementaria de la reflejada, la misma curva representará el perfil desde cualquier lado. Se obtiene una a partir de la otra sin más que invertir la figura o la escala de ordenadas, como se ve a la derecha de la figura 14-8.

Para comprender la razón del estrechamiento de las franjas transmitidas cuando la reflectancia es grande se utilizará el método gráfico de composición de amplitudes, ya estudiado en las seccio-

SEC. 14-7] NITIDEZ D E LAS FRANJAS 291

nes 12-2 y 13-4. Considerando la parte inferior de la figura 14-3, se observa que las amplitudes de los rayos transmitidos son att', att'r2, att'r4, .... y en general la del rayo m-ésimo att'rlm. H a de hallarse, por tanto, la resultante de un número infinito de amplitudes cuya magnitud decrece tanto más rápidamente cuanto menor sea la fracción r. E n la figura 14-9 (a) se han dibujado a escala los valores de las amplitudes de los 10 primeros rayos transmitidos para los casos 50 % y 80 % de la figura 14-8, es decir, para r = 0,7 y 0,9. Partiendo de cualquier máximo principal, con 8 = 2nm, todas estas amplitudes están en fase, y los vectores correspondientes son paralelos con una resultante igual en ambos casos. Desplazán-

r = 0,7 | r--0,9

FIG. 14-9.—Composición gráfica de las amplitudes correspondientes a los 10 primeros rayos reflejados múltiplemente para dos reflactancias diferentes.

donos ligeramente hacia uno de los lados del máximo, donde la diferencia de fase introducida entre los sucesivos rayos es 7r/10, los vectores correspondientes han de dibujarse formando entre sí ángulos de n/10 y la resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del último. E l resultado puede verse en el diagrama (b). Se observa qué en el caso r = 0,9, en que las amplitudes individuales son más aproximadamente iguales, la resultante A es considerablemente menor que en el otro caso. E n el diagrama (c), correspondiente a un cambio de fase de 7t/5, este efecto es mucho más pronunciado; en la parte derecha de la figura la resultante ha descendido a un valor notablemente menor. Aunque en rigor debería considerarse un número infinito de vectores, los últimos tienen amplitudes despreciables y se obtendría un resultado análogo al encontrado con los 10 primeros.

Si se desea precisar más estas consideraciones cualitativas puede deducirse una ecuación exacta de la intensidad. Para ello ha de encontrarse una expresión de la amplitud resultante A, cuyo

292 I N T E R F E R E N C I A S POR R E F L E X I O N E S M U L T I P L E S [CAP. 14

cuadrado determina la intensidad. Ahora bien: A es la suma vectorial de una serie infinita de amplitudes decrecientes con una cierta diferencia de fase 8 dada por la ecuación [14-5]. Puede aplicarse el método corriente de composición de vectores hallando primero la suma de las componentes horizontales, luego la de las verticales, elevando cada suma al cuadrado, y sumando estos cuadrados para obtener A2. Pero ello supone el empleó de funciones trigonométricas como en la sección 12-1 y resulta excesivamente engorroso. Para evitarlo se utilizará otro procedimiento de composición de vibraciones, que. es matemáticamente más sencillo en los casos complicados.

14-8. Método de las amplitudes complejas.—En vez de usar el seno o el coseno para representar una onda armónica simple, se puede escribir la ecuación en forma exponencial 3:

y = ae^-W == aeiate-ih

donde 8 = kx es constante para un punto dado del espacio. L a presencia de i — -yCTí en esta ecuación hace las magnitudes complejas. A pesar de ello puede utilizarse separando, al final de los cálculos, la parte real (coseno); o la imaginaria (seno) de la

expresión resultante. E l factor V (eje imaginarío) dependiente del tiempo, éai, ca

rece de importancia cuando se componen ondas de la misma frecuencia, ya que las amplitudes y fases relativas no varían con el tiempo. E l otro factor, ae~ib, se llama amplitud compleja. Es

x un número complejo, cuyo módu-(ejereai) lo a es la amplitud real, y cuyo

. . 1 n „ argumento 8 da la fase respecto a FIG. 14-10.—Representación de un vec- • , R A- ™ • ,•

tor en el plano complejo. c i e r t a f a s e Ü P ° - E 1 s l g n o negativo indica simplemente que se en

cuentra en retraso respecto a dicha fase tipo. E n general, el vector a viene dado por

a = aeib = x -f- iy = «(eos 8 + i sen 8)

Su módulo y argumento son:

a = -y/*2 + y2 tg 8 =

3 La base matemática de este método está expuesta en la obra de E . T. WHIT-TAKER y G. N. WATSON: Modern Analysis, cap. I, Cambridge University Press, Nueva York, 1935.

S E C . 14-9] C A L C U L O D E L A F U N C I O N I N T E N S I D A D 293

Por tanto, si se representa a como en la figura 14-10, llevando horizontalmente su componente real y verticalmente la imaginaria, tendrá el módulo a y formará un ángulo S con el eje x, como requiere la suma vectorial.

L a ventaja de utilizar amplitudes complejas radica en el hecho de que la suma algebraica de dos o más de estas equivale a la suma vectorial de las amplitudes reales. Así, en el caso de dos magnitudes de este tipo

Ae*9 = a ^ -f a./h\ de modo que si

Xí + x2 — a i C O S $1 + #2 C O S 2 — X e y1 -f y2 = ax sen o\ + a2 sen o*2 = Y

se hallará que las ecuaciones [12-4] y [12-5] requieren que

A = V * 2 + Y2 tg 6 = \ [14"83

Entonces, para obtener una suma vectorial, solo es necesario efectuar las sumas algebraicas X — ¿ZXÍ e Y = üy; de las partes reales e imaginarias, respectivamente, de las amplitudes complejas. Para obtener la intensidad resultante, que es proporcional al cuadrado de la amplitud real, se multiplicará la amplitud compleja resultante por su conjugada, que tiene la misma expresión sin más que reemplazar i por —i. L a justificación de este procedimiento se deduce de las relaciones

(X + iY)(X — iY) = X2 + Y 2 = A* Aei9 • Ae~ie = A2

14-9. Cálculo de la función intensidad.—Para el sistema de franjas formado por la luz transmitida, la suma de las ampütudes complejas es (véase Fig. 14-3):

Aeie = at? + att'rhi& + atf'rV 2* + • • • = a(l — r2)(1 + ? V 8 + rV 2 ° -f • • •)

donde se ha sustituido' tt' por (1—r2) de acuerdo con la relación de Stokes (Ec. [11-15]). L a serie del segundo paréntesis está formada por términos en progresión geométrica de razón r V 6 , y su suma es finita por ser r 2 < 1. Sumando la serie se obtiene:

[14-9]

294 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

Según la ecuación [14-9], la intensidad es el producto de esta magnitud por su conjugada, lo que da

It ^

a[l — r2) a(l—r*) 1 — r2eih 1 — r2e~-*¡ 1 — r2(ei& + e~i!>) +

Dado que {e'h + e-iA)¡2 — eos S, y a 2 — Ia, intensidad del haz incidente, el resultado, en función solamente de magnitudes reales, será:

lT=h (1 —r •2)2

1 — 2r2 eos 8 -f 1 +

4r2 [14-10]

(1 - r2) ñ sená —

Las características principales de las curvas de intensidad de la f i gura 14-8 pueden deducirse de esta ecuación. Así, p. ej., en los máximos, en que 8 = 2nm, se tiene sen2 (8/2) = 0, e IT = I0. Cuando la reflectancia r2 es grande, aproximándose a la unidad, la magnitud 4r2/(1 — r 2 ) 2 será también grande, y aun para pequeñas desviaciones de 8 de su valor en los máximos, la intensidad disminuirá rápidamente.

E n el caso de las franjas reflejadas no es necesario efectuar la suma, ya que por la conservación de la energía, si no hay pérdidas por absorción,

Ig + I T = l - [14-H] Las franjas reflejadas son complementarias de las transmitidas, y cuando la reflectancia es elevada se hacen oscuras y estrechas, resultando adecuadas para el estudio más preciso del perfil de superficies ópticas 4. Si la absorción inherente a la transmisión

FIG. 14-11.—Formación de anillos de interferencia por reflexiones múltiples en el interferómetro de Fabry-Perot E.¡E2.

4 S. TOLANSKY: Mulliple-beam Interferomeíry, Oxford University Press Nueva York, 1948.

S E C . 14-10] I N T E R F E R O M E T R O D E F A B R Y - P E R O T 295

no es despreciable, como ocurriría si las superficies estuvieran ligeramente plateadas, deja de ser válida la relación de Stokes y la ecuación [14-11]. Retrocediendo a la deducción de la ecuación [14-10] se observa que en este caso la expresión de IT ha de multiplicarse por (¡K')2/(l — r2)2, siendo tí' y r2, respectivamente, las fracciones de intensidad transmitida y reflejada por una sola superficie. Cuando las superficies están metalizadas, hay ligeras diferencias entre t y t', así como pequeños cambios de fase en la reflexión. No obstante, las franjas transmitidas siguen estando representadas por la ecuación [14-10], con una disminución general de la intensidad y una corrección de 8 que solo modifica ügeramente el espesor efectivo de la lámina.

14-10. Interferómetro de Fabry-Perot.—Este instrumento utiliza las franjas originadas en la luz transmitida después de reflexión múltiple en la película de aire comprendida entre dos láminas de vidrio con sus superficies interiores ligeramente plateadas (Fig. 14-11). Dado que la separación d entre las superficies reflectantes es de ordinario bastante grande (de 0,1 a 10 cm) y las observaciones se hacen prácticamente en dirección normal, las franjas pueden considerarse como de igual inclinación (Sec. 14-2). Para Observar estas franjas se hace pasar a través de las láminas del interferómetro EXE2 la luz procedente de un manantial extenso monocromático (S^Sg). Como cualquier rayo incidente se divide al reflejarse en la primera superficie plateada en una serie de rayos transmitidos paralelos, es necesario usar una lente L, que puede ser el cristalino del ojo, para que estos rayos converjan e interfieran. E n la figura 14-11 un rayo procedente del punto Px incide bajo un ángulo 8, produciendo una serie de rayos paralelos con el mismo "ángulo, a los que se hace converger en el punto P 2 de la pantalla AB. Adviértase que P2 no es una imagen de Pv L a condición de interferencia constructiva de los rayos transmitidos está dada por la ecuación [14-2] con n = 1 para el aire, y <f>' = 6, de modo que

2d cos 6 = mX máximos [14-12]

Esta condición se cumplirá para todos los puntos de una circunferencia que pasa por P 2 y de centro en O, intersección del eje de la lente con la pantalla A B, Cuando disminuye 0, aumentará su coseno hasta alcanzar otro máximo en que m es mayor en 1, 2, ... unidades, siendo, por tanto, los máximos una serie de anillos concéntricos de centro O. Como la ecuación [14-12] es la misma [13-7] del interferómetro de Michelson, el espaciamiento. de los anillos es igual que para las franjas circulares en este último instrumento, y variarán del mismo modo con la distancia d. E n la realidad, una de las láminas es fija, mientras que la otra puede

296 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

desplazarse hacia adelante y hacia atrás, mediante un tornillo de movimiento lento, sobre unos carriles ajustados con precisión. x

14-11. Franjas de Brewster5.—Con un solo interferómetro de Fabry-Perot es imposible observar franjas con luz blanca, pues la condición de diferencia de recorrido nula solo se verifica cuando las dos superficies plateadas están en contacto directo, pero sí puede conseguirse utilizando dos de estos interferómetros en serie, y las franjas resultantes han tenido importantes aplicaciones.

(a)

(b)

F I G . 14-12.—Recorridos de la luz en la formación de franjas de Brewster: (a) Con dos láminas de igual espesor. (6) Con una de doble espesor que la otra. Se ha exa

gerado la inclinación de las láminas.

Las dos películas plano-paralelas dé aire se ajustan de modo que tengan exactamente el mismo espesor, o bien que el de una sea múltiplo exacto del de la otra, inclinándose entre sí los dos interferómetros un ángulo de I o o 2°. Cualquier rayo que biseque el ángulo formado por las normales a ambos conjuntos de láminas se dividirá en dos, cada uno de los cuales, después de haber experimentado dos o más reflexiones, emergerá habiendo realizado el mismo recorrido. E n la figura 14-12, para mayor claridad, se han dibujado ambos recorridos separadamente, aunque en realidad los dos haces que interfieren proceden del mismo rayo incidente, y se superponen al abandonar el sistema. Remitimos al

6 Sir David Brewster (1781-1868), profesor de Física en St. Andrew's y después rector de la Universidad de Edimburgo. Educado para la Iglesia, empezó a interesarse por la óptica al repetir los experimentos de Newton sobre la difracción. Realizó importantes descubrimientos sobre la doble refracción y el análisis espectral. Bastante excéntrico, se opuso a la teoría ondulatoria de la luz a pesar de los grandes avances de esta durante el transcurso de su vida.

SEC. 14-12] PODER DE RESOLUCION CROMATICO 297

lector a la figura 13-22, en la que se ilustra la formación de franjas de Brewster mediante las dos láminas gruesas del interferómetro de Jamin. U n rayo que incida bajo un ángulo distinto del mencionado origina una diferencia de recorrido entre los dos emergentes, que aumenta con el ángulo, con lo que se produce un sistema de franjas rectilíneas.

L a utilidad de las franjas de Brewster radica principalmente en el hecho de que al aparecer estas, la razón de los espaciamien-tos de ambos interferómetros es, con gran exactitud, un número-entero. Así, en la redeterminación de la longitud del metro patrón, en función de la longitud de onda de la raya roja del cadmio, se utilizó una serie de interferómetros, cada uno de doble longitud que el precedente, y se intercompararon mediante las franjas de Brewster. E l número de longitudes de onda del más largo, de aproximadamente 1 m, se halló mediante este método en unas cuantas horas. Para terminar, insistiremos en que este tipo de franjas se origina por la interferencia de solo dos haces, por lo que no son muy estrechas, como ocurre con las producidas por reflexiones múltiples.

14-12. Poder de resolución cromático.—La gran ventaja del interferómetro de Fabry-Perot sobre el de Michelson se debe a la nitidez de las franjas. Por eso es capaz de revelar directamente los detalles de estructura fina y anchura de las rayas que anteriormente solo podían inferirse a partir del comportamiento de las curvas de visibilidad. En la figura 14-13 puede advertirse la diferencia entre las franjas, obtenidas con los dos instrumentos, pro-

FIG. 14-13.'—Franjas de interferencia: (a) Del interferómetro de Michelson. (6) Del interferómetro de Fabry-Perot con reflectancia 0,8.

:298 I N T E R F E R E N C I A S POR R E F L E X I O N E S M U L T I P L E S [CAP. 14

ducidas por una sola raya espectral. Si estuviese presente una segunda raya se reduciría simplemente la visibilidad en (a)'mientras que en (b) aparecerían dos series separadas de anillos. Como veremos después, este hecho permite también una comparación más exacta de las longitudes de onda.

Es importante saber cuál es la mínima diferencia entre dos longitudes de onda para que sigan distinguiéndose como dos series de anillos. La capacidad de cualquier tipo de espectroscopio para separar longitudes de onda se expresa por la razón X/AX, donde X es la longitud de onda media de un doblete apenas separado, e AX, la diferencia entre las longitudes de onda de las componentes. Esta razón se llama poder de resolución cromático del instrumento para esa longitud de onda. E n el presente caso es cómodo decir que las franjas formadas por X y X + AX están justa-

(a) (b) FIG. 14-14.—Curvas de intensidad de dos franjas Fabry-Perot justamente resueltas:

(a) Separadamente. (6) Sumadas, para mostrar el efecto observado.

mente resueltas cuando las curvas de intensidad de ambas, correspondientes a un cierto orden, están en las posiciones relativas representadas en la figura 14-14 (a). Si la separación A6 es tal que las curvas se cortan en el punto de intensidad media, IT = 0,5 /„, se producirá una depresión central de un 17 % en la suma de ambas, como se ve en la parte (6) de la figura. E n este caso el ojo puede reconocer fácilmente la presencia de las dos rayas.

Para hallar el valor de AX que corresponde a esta separación observemos en primer lugar que, al ir del máximo al punto medio, la diferencia de fase en cada figura de interferencia ha de variar en la cantidad necesaria para que el segundo término del denominador de la ecuación [14T10] sea igual a la unidad. Esto exige que

2\2 sen* — = (i - ñ

4 R 2

SEC. 14-13] COMPARACION ! DE LONGITUDES DE ONDA 299

Si las franjas son razonablemente nítidas, la variación de 8/2 respecto de un múltiplo de JTÜ será pequeña. Por tanto, podemos igualar el seno y el ángulo; y si designamos por A 8 el cambio al pasar de un máximo a otro, tenemos

1 /AS\ AS l — r 2

n A

^z\zrT = ^r [14"13j

Para hallar la relación entre una variación angular AG y un cambio de fase A 8 no hay más que diferenciar la ecuación [14-5], haciendo <f>' = 0 y n = 1

A8 = — ~ sen 0 A0 [14-14] A

Además, si el máximo de; X -f- AX se ha de producir para esta misma separación angular A0, la ecuación [14-12] requiere que

— 2d sen 6 A0 = m AX [14-15]

Combinando las ecuaciones [14-13], [14-14] y [14-15] se obtiene para el poder de resolución cromático la expresión

A = m [14-16] AX 1 — r*

Depende, por tanto, de dos variables: el orden m, que puede tomarse como 2d¡\ y la reflectancia r 2 de las superficies. Cuando esta es muy próxima a la unidad, se obtienen poderes de resolución muy elevados. Así, p. ej., para rz — 0,9, el segundo factor de la ecuación [14-16] vale 30, y, con una separación d entre las láminas de solo 1 cm, el poder de resolución para X = 5000 Á es 1,20 X 10 6. Se verían separadas las componentes de un doblete cuya anchura fuese solo 0,0042 Á.

14-13; Comparación de longitudes de onda con el interferómetro.—Mediante un interferómetro con un espejo móvil puede medirse la razón de las longitudes de onda de dos rayas no muy próximas, como las amarillas del mercurio. E l método se basa en la observación de las posiciones de coincidencia y discordancia de las franjas formadas por ambas longitudes de onda, método ya mencionado en la sección 13-12. Cuando los dos espejos están casi en contacto, el sistema de anillos debido a las dos longitudes de onda coincide prácticamente. A l aumentar d, se van separando gradualmente, produciéndose la máxima discordancia cuando los anillos de un sistema equidistan de los del otro. Considerando los anillos del centro (eos 0 = 1), se puede escribir de acuerdo con la ecuación [14-12] !

300 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

2dx = mx\ = (Wj + \)\' ' [14-17]

donde, naturalmente, X > A ' . De aqui se obtiene:

% ( A - A ' ) = ^ ( A - A ' ) = 4 '

. v XA' A2

y x " x = h ^ 4 ^ si la diferencia entre A y A' es pequeña. Desplazando más el espejo, los anillos llegarán a coincidir y después se separarán de nuevo. E n la próxima discordancia

^ 2d2 = m2\ = (m2 + 1£)X' [14-18]

Restando la ecuación [14-17] de la [14-18], se obtiene:

2(d2 — á\) (w2 — m^X = (m2 — wJA' + A'

de donde, suponiendo que A es aproximadamente igual a A', resulta:

A2

A — A ' = 2{d2 — dr

[14-19]

L a diferencia d2 — d\ se determina bien directamente mediante la escala, bien contando el número de franjas de la longitud de oada conocida X entre dos discordancias.

En trabajos de más precisión se sustituye el método anterior por otro en el cual se fotografían simultáneamente los dos sistemas de anillos con una separación de láminas d fija. Para ello se mantiene rígidamente la posición de las láminas mediante espaciadores de cuarzo o invar. U n par de láminas de Fabry-Perot montadas de esta forma se denomina un •patrón (Fig. 14-15).

l e

s

F I G . 14-15.—Detalles mecánicos de un patrón Fabry-Perot (espaciador, tomillos de ajuste y resortes).

SEC. 14-13] COMPARACION DE LONGITUDES DE ONDA 301

B

FIG. 14-16.—Combinación de patrón Fabry-Perot y prisma para separar los sistemas de anillos producidos por rayas diferentes.

Mediante este patrón pueden determinarse con gran precisión las longitudes de onda relativas de varias rayas espectrales con una sola exposición fotográfica. Si estuviese montado con una lente, como en la figura 14-11, y se utilizara luz de varias longitudes de onda, los sistemas de franjas de las diversas longitudes de onda serían concéntricos con 0 y se confundirían entre sí. Pero

4358 X5461 5770-90

AZUL VERDE AMARILLO

FIG. 14-17.—Anillos de interferencia del espectro visible del Hg obtenidos con el patrón Fabry-Perot de acuerdo con la figura 14-16.

302 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

pueden separarse intercalando un prisma entre el patrón y la lente L. E l dispositivo experimental es entonces análogo al representado en la figura 14-16. L a parte superior de la figura 14-17 muestra una fotografía del espectro visible del mercurio obtenido de esta forma. Se observará que las franjas de las líneas amarilla y verde están todavía superpuestas. Para evitarlo basta utilizar como manantial luminoso una rendija de anchura adecuada (MN en la figura 14-16). Cuando se emplea un haz de luz colimada, como ocurre en este caso, cada punto del manantial extenso corresponde a otro punto dado en él sistema de anillos. Por

A A A A A XX C A X

FIG. 14-18.—Figuras de interferencia del espectro del lantano obtenidas con un patrón Fabry-Perot. d = 5 mm. (Según Anderson.)

tanto, solo se obtienen secciones verticales de este, como muestra la parte inferior de la figura 14-17, las cuales ya no se superponen. Si el espectro contiene muchas rayas (Fig. 14-18), la rendija manantial deberá ser más bien estrecha. E n esta fotografía solo aparecen secciones de .la mitad superior de los sistemas de franjas. L a medida de los radios de los anillos en una fotografía de este tipo permite efectuar comparaciones muy precisas de longitudes de onda. L a determinación de los valores correctos de m en los diferentes sistemas, así como la del valor exacto de d, es un proceso algo complicado y no se estudiará aquí 6 . Mediante este procedimiento se han medido las longitudes de onda de varios cientos de rayas del espectro del hierro respecto a la de la raya roja del cadmio, con un error de solo unas diezmilésimas de ángs-trom.

14-14. Estudio de la estructura hiperfina y de la forma de las rayas.—Debido a su relación con las propiedades del núcleo atómico, la investigación de la estructura hiperfina mediante el

6 Para una descripción de este método, véase W . E. WILLIAMS: Applications of lnterferometry, 1." ed., págs. 83-88, Methuen & Co., Londres, 1930.

S E C . 14-14] E S T R U C T U R A H I P E R F I N A

interferómetro de Fabry-Perot ha adquirido en la moderna investigación una considerable importancia. A veces ocurre que una raya, que en un espectroscopio ordinario aparece nítida y simple, origina sistemas de anillos correspondientes a dos o más longitudes de onda. U n fenómeno de este tipo ocurre con las rayas marcadas con una X en el espectro del lantano (Fig. 14-18). Las marcadas con una A son nítidas en mayor o menor extensión. Estos sistemas múltiples de anillos se deben al hecho de que la raya está compuesta en realidad de un grupo de rayas de longitudes de onda muy próximas, que apenas difieren unas centésimas de ángstrom. Si d es suficientemente grande, se separarán estas rayas, de modo que en cada orden m se obtiene de hecho-un pequeño espectro muy bien resuelto. Una franja dada de longitud de onda \ se forma bajo un ángulo tal que

2¿Zcos0 1 =mX 1 [14-20],

Para la franja siguiente de la misma longitud de onda

2d cos % = (m — 1)\ [14-21]

Admitamos ahora que \ tiene una raya componente muy próxima X2, por lo que podemos poner X2 = XL — AX. Supongamos también que AX es tal que esta; componente, en el orden m, cae en. el orden m — 1 de \. Entonces

2d cos 02 = m(\ — AX) . [14-22]'

Igualando los segundos miembros de las ecuaciones [14-21] y-[14-22],

Xj = wAX

Si se sustituye el valor de m de la ecuación [14-20] y se despeja. AX, resulta:

" - 2 j ^ h r Í í [«-23] si'0 difiere poco de cero. Este es el intervalo de longitudes de onda en un orden dado cuando se alcanza la franja de la misma, longitud de onda en el orden inmediatamente superior. Como se ve es constante e independiente de m. Conociendo d y X (aproximadamente), puede calcularse la diferencia de longitud de onda, de rayas componentes situadas dentro de este pequeño intervalo 7 .

L a ecuación que da la separación de órdenes resulta más sencilla cuando se expresa en función de la frecuencia. Dado que las frecuencias de la luz vienen medidas por números incómoda-

' Véase K. W. MEISSNER: / . Opí. Soc. Am., 31, 405, 1941.

.304 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

mente grandes, los espectroscopistás suelen utilizar una magnitud equivalente llamada número de ondas. Es el número de ondas por centímetro de recorrido en el vacío, y varía entre 15000 y .25000 era - 1 , desde el rojo al violeta. Designando por o- al número • de ondas, se tiene: i

1 k a = X = 2 Í

'Para hallar la diferencia Acr en el número de ondas correspondiente al AX de la ecuación [14-23], diferenciaremos la ecuación

.anterior, obteniendo:

A l sustituir en la ecuación [14-23], resulta:

A o - = - ¿ | [14-24]

Por tanto, si d se expresa en centímetros, l¡2d da la diferencia en el número de ondas, que, como hemos visto, es independiente del

• orden (despreciando la variación de 0) y de la longitud de onda. E l estudio de la anchura y forma de rayas espectrales aisladas,

:aun cuando carezcan de estructura hiperfina, tiene interés porque puede informar de las condiciones de presión, temperatura, etcétera, del manantial luminoso. Si el poder de resolución del interferómetro es grande, el perfil de las franjas estará en estrecha correspondencia con el de la propia raya. L a pequeña anchura inherente al instrumento se determina mediante observaciones

• con un patrón extremadamente pequeño y efectuando correcciones adecuadas. i

L a dificultad de ajuste del interferómetro de Fabry-Perot está en alcanzar un paralelismo riguroso de las láminas plateadas. Esta operación se realiza de ordinario mediante tornillos y resortes que mantienen sujetas las láminas entre los anillos espaciadores representados en la figura 14-15. E l espaciador está cons-

• tituido por un anillo de latón A con tres clavijas de cuarzo o invar. A un lado del patrón se coloca el manantial luminoso, p. ej., un arco de mercurio, intercalándose una lámina G de vidrio esmerilado, y las observaciones se realizan desde E. Enfocando el

• ojo al infinito, se verá un sistema de anillos en cuyo centro aparece la imagen reflejada de la pupila del ojo. Moviendo el ojo

"hacia arriba y hacia abajo o a derecha e izquierda, el sistema de anillos se moverá también siguiendo la imagen de la pupila. Si

.al moverse los anillos hacia arriba aumentan de tamaño, las lámi-

SEC. 14-15] OTROS ESPECTROSCOPIOS INTERFERENCIALES 305

ñas están más separadas en la parte superior que en la inferior. Apretando el tornillo superior se comprimirá la correspondiente clavija del separador lo suficiente para producir la variación de alineación requerida. Cuando las láminas están exactamente ajustadas y son perfectamente planas, no varía el tamaño de los anillos al mover el ojo dentro del campo visual.

A veces es cómodo colocar el patrón frente a la rendija de un espectrógrafo en vez de delante del prisma. E n tal caso la luz que incide en el patrón no necesita ser paralela. Pero debe ponerse una lente detrás del patrón coincidiendo la rendija de este con el plano focal. Esta lente selecciona rayos paralelos procedentes del patrón y enfoca anillos de interferencia sobre la rendija. E n la práctica se usan ambos métodos.

14-15- Otros espectroscopios interferenciales.—Cuando la luz es monocromática, o casi monocromática, no es necesario que la sustancia entre las láminas reflectantes sea aire. Una sola lámina de vidrio exactamente plano-paralela, con sus caras ligeramente plateadas, funcionará, como un patrón Fabry-Perot. Usando dos de tales láminas, cuya razón de espesores sea igual al cociente de dos números enteros, se suprimen varios de los máximos producidos por la lámina más gruesa, puesto que cualquier haz luminoso que atraviese el sistema bajo un ángulo dado ha de satisfacer la ecuación [14-12] para ambas láminas. Este dispositivo, denominado interferómetro compuesto, proporciona el poder de resolución de la lámina más gruesa y el libre intervalo de longitudes de onda (Ec. [14-23]) de la más delgada.

E l espaciamiento de las franjas de igual inclinación se hace extremadamente pequeño cuando 6 difiere mucho de 0 o , pero aumenta de nuevo para incidencia rasante. L a lámina de Lum-mer-Gehrcke utiliza los primeros máximos en la proximidad de 6 = 90°. Para conseguir que la atraviese una cantidad apre-ciable de luz es necesario introducirla mediante un prisma de reflexión total adherido a uno de sus bordes. Entonces experimenta múltiples reflexiones internas bajo un ángulo muy próximo al límite, y los haces emergentes bajo un ángulo rasante se hacen interferir mediante una lente. De este modo se obtiene gran reflectancia y poder de resolución elevado sin necesidad de superficies plateadas.

Debido a su flexibilidad, el interferómetro de Fabry-Perot ha reemplazado ampliamente para fines de investigación a los interferómetros de separación interlaminar fija. No obstante, estos últimos pueden resultar valiosos en casos especiales 8 .

8 En la obra de A . C . CANDLER: Moderas Interferometers, Hilger and Watts, Londres, 1951, se encontrará una descripción más detallada de este y otros instrumentos análogos.

306 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

14-16. Espectros acanalados. Filtro interferencial.—Al estudiar el interferómetro de Fabry-Perot nos hemos ocupado principalmente de cómo depende la intensidad de la separación de las láminas y del ángulo para una sola longitud de onda, y a veces para dos o más muy próximas. Si se utiliza luz blanca paralela, se originarán interferencias para todas sus componentes monocromáticas, pero no se pondrán de manifiesto a menos de dispersar el haz transmitido mediante un espectroscopio auxiliar. Se observa entonces en el espectro una serie de franjas brillantes, correspondiente cada una a una longitud de onda ligeramente distinta

de la siguiente. Los máximos se producirán, de acuerdo con la ecuación [14-12], para aquellas longitudes de onda que satisfagan la relación:

pelícu/as de

mete/ evaporado

I X =

2d cos 6

m [14-25]

lamina evaporada de sustancia transparente

FIG. 14-19.—Sección transversal de un filtro interfe

rencia!.

donde m es un número entero. Si d es una separación de unos pocos milímetros, se producirán muchísimas franjas estrechas brillantes (más de 12 000 en el espectro visible cuando d = 5 mm), por lo que se necesita una gran dispersión para separarlas. A tales franjas se las denomina espectro acanalado o bandas de Edser-Butler, y se han utilizado, p. ej., para calibrar espectroscopios en el infrarrojo y en medidas de precisión de las longitudes de onda de las rayas de absorción del espectro solar.

Una de las aplicaciones más importantes de estas franjas utiliza el hecho de que si d es muy pequeña, solo hay uno o dos máximos en todo el espectro visible. Cuando incide luz blanca, solo se transmiten una o dos bandas estrechas de longitudes de onda, reflejándose el resto. L a pareja de películas metálicas semitransparentes actúa, por tanto, como un filtro, dejando pasar luz casi monocromática. Las curvas de la intensidad transmitida se parecen a las de la figura 14-8, pues de acuerdo con la ecuación [14-5] la diferencia de fase 8 es inversamente proporcional a la longitud de onda para una separación d dada.

Para que los máximos estén ampliamente separados es necesario que m sea un número pequeño. Esto se consigue únicamente cuando las superficies reflectantes están muy próximas. Si se desea que el máximo de orden m = 2 corresponda a una longitud de onda X dada, las películas metálicas deberán estar separadas

PROBLEMAS 307

una distancia A. E l máximo m = 1 aparecerá entonces para una longitud de onda 2X. Estas separaciones tan minúsculas son realizables, no obstante, gracias a las técnicas modernas de evaporación en el vacío. Se evapora primero una película semitransparente de metal sobre una lámina de vidrio. A continuación se evapora sobre la anterior una laminilla de alguna sustancia dieléctrica, tal como la criolita (3NaF-AlF 3 ) , que a su vez se reviste de otra película metálica similar. Finalmente, sobre esta se coloca una segunda lámina de vidrio como protección mecánica. E l filtro completo tiene una sección como la representada esquemáticamente en la figura 14-19, en la que se ha exagerado el espesor de las películas en relación con el de las láminas de v i drio. Como la diferencia de recorrido se hace ahora en un dieléctrico de índice n, las longitudes de onda correspondientes a transmisión máxima, para incidencia normal, están dadas por

' 2nd X = [14-26]

m Si en el espectro visible hay dos máximos, se elimina fácilmente uno de ellos mediante un vidrio de color que haga de lámina protectora. Actualmente se construyen filtros interferenciales que transmiten una banda de longitudes de onda de solo 15 Á de anchura, con el máximo en cualquier longitud de onda deseada. E n el máximo, la transmisión puede llegar hasta el 45 %. Es muy difícil obtener combinaciones de vidrios coloreados o filtros de gelatina que puedan compararse con ellos. Además, como el filtro interferencial refleja la luz no transmitida, en vez de absorberla, no hay peligro de que se recaliente.

P R O B L E M A S

14-1. Se utilizan a menudo franjas de igual espesor para comparar las longitudes de plantillas normales de calibre, que son piezas cilindricas de acero, de bases rigurosamente \ planas y paralelas. Supongamos que dos de estas piezas, que tienen nominalmente igual longitud, se colocan sobre un plano óptico y que otro plano óptico se apoya sobre las superficies superiores.! Si se forman franjas de sodio entre este último plano y las superficies superiores de las plantillas, se encuentra que aparecen ocho franjas por centímetro. Los puntos de contacto del plano con las dos plantillas están separados 5 cm. Hállese la diferencia de longitud de las plantillas.

14-2. Los diámetros del sexto y vigésimo anillos de Newton, formados por la raya verde del Hg, son 1,76 y 3,22 mm, respectivamente. Calcúlese el radio de curvatura de la superficie convexa. Sol.: 23,78 cm.

14-3. Se comparan tres superficies esféricas de gran radio observando los anillos de Newton, que se producen cuando se colocan juntas por parejas. El diámetro del decimosexto anillo brillante para las tres combinacio-

308 INTERFERENCIAS POR REFLEXIONES MULTIPLES [CAP. 14

nes posibles es, respectivamente, 16, 20,8 y 12,8 mm cuando se emplea luz de 5000 Á. Hállense los tres radios de curvatura.

14-4. Se desea depositar una lámina antirreflectante sobre la superficie de una lente cuyo índice es n = 1,780. Suponiendo que el material de que está hecha la lámina tiene un índice de 1,334, ¿cuál sería el espesor necesario para obtener reflexión nula con una longitud de onda de 5500 Á? ¿Cuál sería la reflectancia de la capa para 6500 Á? La reflectancia de cualquier superficie puede suponerse igual a 2,05 % en ambos casos.

Sol: 1,031 X 10- 5 cm; 0,47 %.

14-5. Hállense, utilizando diagramas vectoriales, la amplitud y la intensidad resultantes en la figura de ¡interferencia de un interferómetro Fabry-Perot que tiene una reflectancia del 70 % cuando la diferencia de fase es: a) 0, b) TC/8 y c) TC/4. Tómense los vectores bastante alejados para obtener las intensidades relativas con un error inferior al 2 %.

14-6. Las láminas de un interferómetro de Fabry-Perot tienen una reflectancia de 0,85. Calcúlese la separación mínima requerida para resolver las componentes de la raya Ha del hidrógeno, que es un doblete con una diferencia de longitudes de onda de 0,136 Á. Sol: 0,82 mm.

14-7. Demuéstrese que las franjas de un espectro acanalado producido mediante una película de aire están separadas por intervalos del mismo número de ondas. ;

14-8. Se utiliza el método de las coincidencias de los anillos de Fabry-Perot para comparar dos longitudes de onda, una de las cuales es exactamente 4800 Á y la otra ligeramente mayor. Si las coincidencias tienen lugar para separaciones de láminas de 1,90, 2,50 y 3,10 mm, hállese la longitud de onda desconocida. Sol: 4801,92 Á.

14-9. Si al obtener el espectrograma Fabry-Perot de la figura 14-18 el espaciamiento de las láminas ha sido exactamente 5 mm, ¿cuál sería la separación de órdenes para una raya de 5000 Á? ¿Cuál sería el diámetro lineal del décimo orden contado desde el centro si la distancia focal del objetivo fuese igual a 1 m? |

14-10. Se forma un espectro acanalado colocando un portaobjetos de microscopio de 1 mm de espesor delante de la rendija de un espectroscopio iluminado con luz blanca. Si el índice del vidrio es njy = 1,546, hállese en ángstroms la separación de los máximos junto a las rayas D del sodio.

¡ 5o/.: 1,12 A. 14-11. Se fotografían los anillos Fabry-Perot con un patrón espacia

dor de 9,0 mm para una raya de 4649 A que tiene una estructura hiperfina. La diferencia de los cuadrados de los diámetros de los anillos, formados por la componente más intensa es constante e igual a 28,65 mm2. Dos componentes más débiles se encuentran junto a la fuerte, al lado opuesto del centro del sistema de anillos. Los cuadrados de sus diámetros difieren en 7,95 y 14,43 mm2, respectivamente, de loso de la componente más intensa. Hállense sus respectivas separaciones, en ángstroms, desde la raya principal, dando el signo del desplazamiento.

14-12. Se trata de diseñar un filtro interferencial utilizando una capa de criolita (n = 1,35) para separar dos capas semitransparentes de plata. E l filtro ha de transmitir las rayas amarillas del mercurio (las de mayor longitud de onda en la tabla 21-1) con intensidad máxima y reducir la raya verde a menos de un 1 %. Hállese: a) el espesor de la capa de criolita,

PROBLEMAS 309

despreciando los cambios de fase en las superficies plateadas, y b) la mínima reflectancia requerida para las capas de plata.

Sol.: a) 2,141 X 10- 5 cm; b) 96,4%.

14-13. Demuéstrese que en el sistema de franjas formado por un interferómetro de Fabry-Perot el contraste, o sea la razón de la intensidad de los máximos a la intensidad entre dos de estos, está dado por (1 + >-2)2/(l — r2)2.

14-14. Demuéstrese que el segundo factor de la ecuación [14-16]' TW/(1 — r2), representa la razón de la separación de las franjas a su anchura para intensidad mitad. (INDICACIÓN: Para hallar S para intensidad mitad, hágase IT¡I<¡ = 0,5 en la ecuación [14-10].)

14-15. Una lámina de vidrio de Lummer-Gehrcke tiene 10 cm de longitud y 6 mm de espesor. Si el índice de refracción para la luz de la raya azul del cadmio, X = 4799,91 Á es 1,632, hállese el orden de inteferencia para emergencia rasante. Hállese también el número de haces que interfieren.

14-16. Se forman franjas de igual inclinación con una lámina de vidrio plano-paralela de índice 1,50 y espesor 2 mm. ¿Cuántas franjas se forman en todo el intervalo desde incidencia normal a incidencia rasante? Calcúlense los valores máximo y mínimo de su espaciamiento angular tomando X = 6000 Á.

Sol.: 2546 franjas. 1,22° cerca de ¿ = 0. 0,0225° para i == 49° 12'.

14-17. Las láminas de un interferómetro de Fabry-Perot están plateadas de tal modo que reflejan un 90 % , transmiten un 4 % y absorben un 6 % para una longitud de onda dada. Hállese la intensidad en el máximo de los anillos, en relación con el valor que tendría si no hubiese absorción.

C A P I T U L O X V

DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA SOLA ABERTURA

Cuando un haz luminoso pasa a través de una estrecha rendija, se extiende en cierta proporción sobre la zona de la sombra geométrica. Este efecto, ya mencionado e ilustrado al principio de los capítulos I y XI I I , es uno de los ejemplos más sencillos de difracción, es decir, de que no se cumple la propagación rectilínea de la luz, y solo puede explicarse satisfactoriamente atribuyendo a la luz un carácter ondulatorio. E n este capítulo se estudiará cuantitativamente la figura de difracción, o distribución de la intensidad luminosa detrás de la abertura, usando los principios del movimiento ondulatorio ya expuestos.

15-1. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.—Los fenómenos de difracción se dividen en dos tipos: 1) aquellos en que el manantial luminoso y la pantalla en que se observa la difracción están de hecho a distancia infinita de la abertura que ocasiona el fenómeno, y 2) aquellos en que o el manantial, o la pantalla, o ambos, están a distancias finitas de la abertura. Los incluidos en el tipo (1) se denominan, por razones históricas, difracción de Fraunhofer, y los del tipo (2), difracción de Fresnel. L a difracción de Fraunhofer es mucho más sencilla de estudiar teóricamente. E n la práctica se observa con facilidad colimando con una lente la luz de un manantial y enfocándola sobre una pantalla mediante otra lente colocada detrás de la abertura, con lo que de hecho se han llevado tanto el manantial como la pantalla al infinito. Por el contrario, para observar la difracción de Fresnel no se necesitan lentes, pero los frentes de onda son divergentes en vez de planos, por lo que su estudio teórico es mucho más complejo. E n este capítulo solo se considerará la difracción de Fraunhofer.

15-2. Difracción por una rendija.—Una rendija es una abertura rectangular de gran longitud comparada con su anchura. Consideremos una rendija S colocada como en la figura 15-1, con su dimensión mayor perpendicular al plano del dibujo e iluminada por luz monocromática paralela procedente de otra estrecha rendija S', situada en el foco principal de la lente Lv

L a luz se enfoca mediante otra lente L 2 sobre una pantalla o placa fotográfica P situada en su foco principal, donde se forma una figura de difracción. E n la figura 15-2 (b) y (c) se reproducen dos fotografías de dicha figura de difracción obtenidas con luz

310

SEC. 15-2] DIFRACCION POR UNA RENDIJA 311

FIG. 15-1.—-Dispositivo experimental para obtener la difracción de Fraunhofer por una rendija.

ultravioleta de 4358 Á y diferentes exposiciones. L a distancia S'L, era de 25 cm, y la LJP de 100 cm. L a anchura de la rendija S era de 0,090 mm, y la de 5', 0,10 mm. Si esta última hubiese sido superior a 0,3 mm, la figura de difracción habría empezado a perder detalles. E n la placa fotográfica original la semianchura del máximo central d era de 4,84 mm. Es importante observar que la anchura del máximo central es doble de la de los máximos laterales más tenues. Este efecto está incluido en el concepto de difracción definido anteriormente, como se comprueba fijándose en que la franja representada en la figura 15-2 (a) es la

FIG. 15-2.—Fotografías de la figura de difracción producida por una rendija.

312 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. l5

anchura de la imagen geométrica de la rendija S', o prácticamente la que se obtendría suprimiendo la segunda rendija y utilizando la apertura total de la lente. Es fácil de observar esta figura de difracción trazando una raya transparente en una placa fotográfica y colocándola delante del ojo,; como se explicó ya en la sección 13-2.

L a explicación de la figura de difracción formada por una sola rendija se basa en la interferencia de las ondas secundarias

FIG. 15-3.—Construcción geométrica para estudiar la intensidad en la figura de difracción producida por una rendija.

de Huygens procedentes de cada uno de los : puntos del frente de onda en el instante que este ocupa el plano de la rendija. E n primera aproximación, cabe considerar que estas ondas secundarias son esféricas y uniformes, y que su emisión se suspende bruscamente en los bordes de la rendija! Los resultados así obtenidos, aunque explican con bastante precisión los hechos observados, están sujetos a ciertas modificaciones si se tiene en cuenta la teoría más rigurosa citada en la sección 18-17.

L a figura 15-3 representa la sección de una rendija de anchura b, iluminada desde la izquierda con luz paralela. Sea ds la anchura de un elemento del frente de onda en el plano de la rendija, a una distancia s del centro O, al que se denominará origen. Las partes de cada onda secundaria que se propagan normalmente al plano de la rendija quedarán enfocadas en Po, mientras que las que lo hacen formando un ángulo ¡cualquiera 6 lo estarán en un punto tal como el P. Considerando en primer lugar la onda secun-

SEC. 15-2] DIFRACCION POR UNA RENDIJA 313'

daria emitida por el elemento ds situado en el origen, su amplitud será directamente proporcional a la longitud ds e inversamente proporcional a la distancia x. E n P producirá un desplazamiento infinitesimal, que, de acuerdo con la ecuación [11-10], para una. onda esférica, puede expresarse por

, a ds dyv = s e n (wr •— kx)

A l variar la posición de ds se modificará la fase del desplazamiento producido a causa del diferente recorrido hasta P. Cuando se encuentre a una distancia s por debajo del origen, la contribución será

a ds dys = s e n [co¿ — k(x + A) ]

x a ds

= sen (co¿ — kx — ks sen 6) [15-1]; Se trata ahora de sumar los efectos debidos a todos los elementos infinitesimales de un borde al otro de la rendija. Para ello basta integrar la ecuación [15-1] entre s = — 6/2 y s — b¡2. Lo más sencillo 1 es integrar las contribuciones de pares de elementos situados simétricamente en s y —s, siendo cada una de ellas: dy = dy_s -f dys

a ds = —— [sen (coi — kx — ks sen 6) -f- sen (coi — kx -f- ks sen 6)p

Aplicando la identidad sen a. + sen ¡3 = 2 eos |(a — ¡3) sen |(a + (3),. se tiene:

a. ds dy = [2 eos (ks sen 0) sen (at — kx)]

que ha de integrarse entre s = 0 y s = b¡2. Para ello puede considerarse x constante en cuanto a sus efectos sobre la amplitud.. Por tanto,

2 a f ' 2

y = — sen (u¡t — kx) I eos (ks sen 0) ds . x Jo 2a [sen (ks sen 0)] i / 2

= T[~k^W-i sen(at-kx)

ab sen (Ikb sen 0) = rh—5—^ s e n M — kx) [15"2T

x \kb sen 0 v ' L J

1 El método de las amplitudes complejas (Sec. 14-8) parte de (ab/x) J e'hs sea 6 ¿ s ¡

y da la amplitud real al multiplicar el resultado por su compleja coiijugada. En este caso no se consigue ninguna simplificación con este método.

314 DIFRACCION D E F R A U N ' H O F E R [CAP . 15

L a vibración resultante será, pues, armónica simple, variando su amplitud con la posición de P, dado que esta última depende •de 0. Puede representarse esta amplitud por

sen 8 [15-3]

siendo (3 = \kb sen 9 = (n:b sen 6)/Á y A0 = ab(x. L a magnitud 'f3 resulta ser una variable oportuna, pues representa la semidife-rencia de fase entre las contribuciones procedentes de bordes opuestos de la rendija. L a intensidad sobre la pantalla es entonces

A 1 sen2 (3 [15-4]

S i la luz, en vez de incidir perpendicularmente al plano de la rendija, forma con él un cierto ángulo i, es fácil ver que basta sustituir la anterior expresión de (3 por esta otra más general

P = 7r6(sen i -f- sen 6)

[15-5]

15-3. Ampliación del estudio de la figura de difracción producida por una rendija.—En la figura 15-4 (a) se han representado

F I G . 15-4.—Curvas de amplitud e intensidad en la difracción de Fraunhofer por runa rendija, mostrando las posiciones de los máximos y mínimos.

SEC. 15-3] ESTUDIO D E LA FIGURA D E DIFRACCION 315

gráficamente la ecuación [15-3] de la amplitud (curva de trazos) y la [15-4] de la intensidad, tomando en ambos casos A0 = 1. Se ve que la curva de la intensidad tiene la forma requerida por los resultados experimentales (Fig. 15-2). L a intensidad máxima de la fuerte banda central corresponde al punto P 0 de la figura 15-3, al que, evidentemente, todas las ondas secundarias llegarán en fase, pues su diferencia de recorrido es A = 0. E n este punto (3 = 0, y aunque el cociente (sen [3)/(3 se hace indeterminado para (3 = 0, téngase en cuenta que,'(véase, p. ej., THOMAS: Cálculo infinitesimal y geometría analítica, Sec. 4-5) para (3 — 0, lím (sen (3)/(3 = 1. Ahora se ve el significado de la constante A0: como para ¡3 = 0, A = A0, representa la amplitud cuando todas las ondas secundarias llegan en fase. Por tanto, A0*.es el valor de la intensidad máxima en el centro de la figura de difracción. A partir de este máximo principal la intensidad disminuye hasta cero para (3 = ± TC; después pasa por varios máximos secundarios, con puntos igualmente espaciados de intensidad nula para ¡3 — ± iz, ± 2rc, ± 3TC, ... o, en general, |3 = miz. Los máximos secundarios no están en los puntos medios de estos intervalos, sino desplazados hacia el centro de la figura de difracción una distancia que disminuye al aumentar m. Los valores exactos de (3 en estos máximos se'obtienen derivando ía ecuación [15-3] respecto a (3 e igualando a cero. Esto lleva a la condición :

tg¡3 = (3

Es fácil .hallar gráficamente los valores de ¡3 que satisfacen esta ecuación, como intersecciones de la curva y = tg [3 con la recta y = (3. E n la figura 15-4 (6) estos puntos están situados exactamente debajo de los máximos secundarios correspondientes.

Las intensidades de los máximos secundarios se calculan con bastante aproximación hallando los valores de (sen2 p)/(32 en las posiciones intermedias, es ¡ decir; para (3 = 3TC/2, 57r/2, 7n¡2, ...

Esto da 4/(9TT:2), 4/(25TC2), 4/(49TÜ2), o sea 1/22,2, 1/61,7, 1/121, ... de la intensidad del máximo principal.

/Comparando estos valores con los de la tabla 15-1, en la que figuran los exactos, vemos que la aproximación es muy aceptable. L a intensidad del primer máximo secundario, al que corresponde la discrepancia mayor, equivale al 4,72 % de la intensidad central, mientras que la cifra 1/22,2 anterior corresponde a un 4,50 %.

Se obtiene una idea muy clara del origen de la figura de difracción producida por una rendija mediante el sencillo análisis siguiente. Considérese, en la figura 15-5, la luz procedente de la rendija que llega a un punto PX de la pantalla, el cual dista justamente una longitud de onda más del borde superior que del inferior. L a onda secundaria procedente del punto de la rendija contiguo

.316 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

al borde superior recorrerá aproximadamente' una distancia superior en A/2 a la procedente del centró, por lo que producirán '•vibraciones con una diferencia de fase n y originarán en P , una perturbación nula. Análogamente, la onda secundaria que procede del punto siguiente debajo del borde superior anulará la correspondiente al punto siguiente situado debajo del centro, y así sucederá con todos los pares de puntos análogos a estos hasta abarcar el frente de onda completo, con lo que la intensidad resultante

resultante en P 2 no es ni aproximadamente igual a un tercio de la central, pues las fases de las ondas secundarias procedentes del tercio restante no son en modo alguno iguales.

E l método anterior, aunque instructivo, no es exacto si la pantalla se encuentra a distancia finita de la rendija. E n la figura 15-5, la línea de trazos más corta se ha dibujado de modo que intercepte distancias iguales sobre ambos rayos que van al punto Pv Se ve, pues, que la diferencia de recorrido a P x entre la luz procedente del borde superior y la del centro es algo mayor que A/2, y entre el centro y el borde inferior, ligeramente menor que A/2. Por ello, la intensidad resultante no será nula en P x y P 3 , pero se aproximará tanto más a cero cuanto mayor sea la distancia entre la rendija y la pantalla o más estrecha sea aquella. Esto corresponde al paso de la difracción de Fresnel a la de Fraunhofer. Es evidente que, con las dimensiones relativas de la figura, la sombra geométrica de la rendija haría mucho más ancho de lo representado el máximo central. Como ocurría en el experimento de Young (Sec. 13-3), cuando la pantalla está en el infinito, las relaciones son mucho más sencillas. E n este caso, los dos. ángulos 0! y 8j de la figura 15-5 llegan a ser exactamente iguales (es decir, las dos lineas de trazos son perpendiculares), y A = b sen 0j en el primer mínimo, lo que corresponde a (3 = JZ.

FIG. 15-5.—Angulo correspondiente al primer mínimo en la figura de difracción

de una rendija.

en P x será nula. E n P 3 la dife-. rencia de recorrido es 2A, y si se divide la rendija en cuatro partes, el apareamiento de puntos vuelve a dar resultante nula, ya que las partes interfieren destructivamente por pares. Por el contrario, en el punto P 2 la diferencia de recorrido es 3A/2, y puede dividirse la rendija en tres partes, dos de las cuales se anularán, quedando una tercera: que explica la intensidad- en ¡ ese punto. Como es lógico, la amplitud

SEC. 15-4] ESTUDIO GRAFICO DE AMPLITUDES 317

E n la práctica, 0, suele ser muy pequeño, de modo que cabe sustituir el seno por el ángulo. Entonces

relación que muestra cómo varían las dimensiones de la figura de difracción con X y b. L a anchura lineal de la figura de difracción sobre una pantalla será proporcional a la distancia rendija-pantalla, que es la distancia focal / de una lente colocada cerca de la primera. L a distancia lineal d entre mínimos sucesivos correspondiente a la separación angular 0 t = X/6 es, por tanto,

L a anchura de la figura de difracción aumenta proporcionalmente a la longitud de onda, por lo que para la luz roja viene a ser doble que para la violeta, supuesta igual la anchura de la rendija, etc. Si se utiliza luz blanca, el máximo principal es blanco en el centro, rojizo en el borde externo, con sombreado purpúreo más allá.

L a anchura angular de la figura para una longitud de onda dada es inversamente proporcional a la anchura b de la rendija, por lo que al aumentar esta se estrecha rápidamente. Si en la fotografía de la figura 15-2 la rendija 5 hubiera tenido 9 mm de anchura, la figura de difracción visible (5 máximos) ocuparía 0,24 mm en vez de 2,4 cm. E l hecho de que cuando la abertura es grande comparada con la longitud de onda la difracción es prácticamente despreciable, llevó a los primeros investigadores a la conclusión de que la luz se propagaba en linea recta y no podía ser un movimiento ondulatorio. Las ondas sonoras, cuyas longitudes son alrededor de 1 m, se difractan bajo grandes ángulos al pasar por aberturas de dimensiones ordinarias, tales como una ventana abierta.

15-4. Estudio gráfico de amplitudes. Curva de vibración.— L a suma de las contribuciones de amplitud de todas las ondas secundarias que se originan en la rendija se realiza gráficamente por un método basado en la suma vectorial de amplitudes estudiada en la sección 12-2. Vale la pena considerarlo con algún detalle porque se aplica ventajosamente en casos más complicados, que se estudiarán después, y porque proporciona asimismo una imagen física muy clara del origen de la figura de difracción. Dividamos la rendija en un cierto número de partes iguales, p. ej., 9. L a amplitud r con que contribuye una cualquiera de estas partes en un punto de la pantalla será la misma por tener todas igual anchura. Pero las fases de estas contribuciones diferirán para un punto

318 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

cualquiera excepto para el que está sobre el eje (P 0, Fig. 15-3). Las contribuciones de cada uno de los 9 segmentos en un punto fuera del eje diferirán en fase, ya que cada uno está a una distancia media diferente de dicho punto. Además, la diferencia de fase 8 entre las contribuciones de segmentos contiguos será constante, pues por término medio cada elemento está igualmente lejos (o cerca) que su vecino.

E n la figura 15-6 (b) se ha trazado un diagrama vectorial teniendo en Cuenta el hecho de que la amplitud y fase resultantes se obtienen sumando vectorialmente las amplitudes individuales que forman entre sí ángulos iguales a la diferencia de fase. Cada una de las 9 amplitudes iguales a está inclinada un ángulo 8 respecto a la precedente, y su suma vectorial A es la amplitud resultante requerida. Supongamos ahora que en lugar de dividir la rendija en 9 elementos la dividimos en muchos miles o, en el límite, en un número infinito de elementos iguales. Tanto a como 8 se hacen cada vez más pequeños en igual proporción, por lo que en el límite el diagrama vectorial tiende hacia un arco de circunferencia, tal como el (£>'). L a amplitud resultante A es todavía la misma e igual a la longitud de la cuerda de este arco. A una curva continua de este tipo la llamaremos curva de vibración.

S E C . 15-5] ABERTURA RECTANGULAR 319

Para demostrar que este método está de acuerdo con el resultado anterior, observemos que la longitud del arco es justamente la amplitud A0 obtenida cuando todas las vibraciones componentes están en fase, como en (a). Introduciendo una diferencia, de fase entre las componentes no se alterarán sus amplitudes individuales ni su suma algebraica. Por tanto, la razón de la amplitud resultante A, en cualquier punto de la pantalla, a Aür

la del situado sobre el eje, será igual a la de la cuerda al arco. Dado que B representa la semidiferencia de fase entre los bordes de la-rendija, el ángulo subtendido por el arco es precisamente 2B, pues los vectores a primero y último tendrán una diferencia de fase de 26. E n la figura 15-6 (b') se ha designado por q el radio del arco-y se ha trazado la perpendicular por el centro de la cuerda A. Por consideraciones geométricas se deduce:

AÍ2 sen B = -^t- A —2q sen 6

, , ¡ A . cuerda 2q sen B sen B y, por tanto, -r- = = — — = —— J r A0 arco q x 26 B q X 26 B

de acuerdo con la ecuación [15-3]. A l alejarnos del centro de la figura de difracción, la longitud-

de! arco permanece constante! e igual a A0, pero aumenta su curvatura debido al incremento experimentado por la diferencia de fase 8 entre los vectores componentes infinitesimales a. L a curva de vibración ise arrolla sobre sí misma al aumentar B. Los diagramas sucesivos de (a) a (i) corresponden a los valores de B, que se indican con intervalos de TC/4, y los puntos correspondientes se han designado con la misma letra sobre la curva de intensidad. Estudiando estas figuras se comprende claramente el origen de las variaciones de intensidad que aparecen en la figura de difracción producida por una sola rendija. E n particular, la asimetría de los máximos secundarios se debe a que al aumentar B disminuye el radio de la circunferencia. Por tanto, A alcanzará su longitud máxima poco antes de llegar a la condición representada en la figura 15-6 (g).

15-5. Abertura rectangular.—En las secciones precedentes hemos obtenido la función intensidad sumando los efectos de las ondas esféricas secundarias originadas en una sección lineal del frente de onda producida por un plano perpendicular a la longitud de la rendija, es decir, por el plano del dibujo en la figura 15-3. No se ha dicho nada acerca de las contribuciones procedentes de las partes del frente de onda situadas fuera de este plano. U n estudio matemático más detenido supone una doble integración extendida a ambas dimensiones del frente de onda, pero los resul-

320 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

tados obtenidos muestran que el cálculo anterior es correcto 2

cuando la longitud de la rendija es muy grande comparada con su anchura. E l desarrollo matemático completo da, para una rendija de anchura b y longitud l, la siguiente expresión de la : intensidad:

sen2 B b'W sen2 y P 2 Y

[15-6]

.donde (3 = {nb sen 0)/X, como anteriormente, y y = (izl sen Q)/A. Xos ángulos 0 y Í2 se miden a partir de la normal a la abertura

i • • • • •

."FIG. 15-7.—Figura de difracción de una abertura rectangular. (Según A. Kohler.)

en su centro, en planos que pasan por dicha normal y son paralelos a b y l, respectivamente.

L a figura 15-7 muestra la figura de difracción dada por la ecuación 15-6 cuando b y l son comparables. E n la parte inferior izquierda de la figura se han representado las dimensiones de la

.abertura por un rectángulo blanco. L a intensidad de la figura de difracción se concentra principalmente en dos direcciones que coin-

• ciden con las de b y l, y en cada una de ellas corresponde a la de "la figura producida por una rendija de anchura igual a la de la abertura en la respectiva dirección. Debido a que la anchura de la rendija y el tamaño de la figura;de difracción son inversamente

2 Véase R. W. WOOD: PhysicalOptics, 2.a ed., págs. 195-202, The Macmillan Co., ;Nueva York, 1921.

SEC. 15-5] ABERTURA RECTANGULAR 321

proporcionales, las franjas están más apretadas en la dirección de la dimensión mayor de la abertura. Aparte de estas figuras hay otros máximos tenues, como se ve en la fotografía. Esta figura de difracción es fácil de observar iluminando una pequeña abertura rectangular con luz monocromática procedente de un manantial efectivamente puntual, si se disponen las lentes y las distancias del manantial y la pantalla como se indicó en la sección 15-2 para observar la figura producida por una rendija. L a cruz de manchas brillantes de la fotografía es la que se observa al mirar a través de un paraguas húmedo.

Ahora bien: en rendijas con / muy grande, el factor (sen2y)/y2

de la ecuación [15-6] se anula para todos los valores de ü excepto los muy pequeños. Debido a esto la figura de difracción queda limitada a una recta sobre la pantalla perpendicular a la rendija, y se asemeja a la sección de la hilera central horizontal de manchas brillantes de la figura 15-7. Ordinariamente no se observa tal figura de difracción lineal, porque ello requiere un manantial puntual. E n la figura 15-1 el manantial primario era una rendija S', con su dimensión mayor perpendicular al plano del dibujo. E n este caso cada punto de la rendija-manantial forma una figura lineal, pero todas ellas están contiguas, dando como resultado una figura como la de la fotografía 15-2. Si hubiéramos utilizado una rendija-manantial con la abertura rectangular de la figura 15-7, siendo la rendija paralela al lado /, se obtendría la suma de cierto número de tales figuras de difracción, una sobre otra, resultado idéntico al de \i fotografía 15-2.

Estas consideraciones se generalizan fácilmente para abarcar el efecto de ensanchamiento de la rendija primaria. Con una rendija de anchura finita, cada elemento lineal paralelo a la longitud de la rendija forma una figura como la de la fotografía 15-2. L a figura resultante equivale a un conjunto de tales figuras desplazadas lateralmente una respecto a la otra. Si la rendija es excesivamente ancha, desaparecerá la figura de difracción. No se

k i

\ a

intensidad

FIG. 15-8.—Imágenes de difracción de dos rendijas manantiales formadas por una abertura rectangular.

J E N K I N S - W H I T E . — 2 1

322 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

originan grandes cambios hasta que las figuras procedentes de los dos bordes de la rendija se desplazan alrededor de -un cuarto de la distancia entre el máximo central y el primer mínimo. Se verifica esta condición cuando la anchura de la rendija primaria subtiende un ángulo de l en la primera lente, como se ve en la figura 15-8.

15-6. Poder separador de una abertura rectangular.—Por poder separador de un instrumento óptico se entiende su capacidad para producir imágenes separadas de objetos muy próximos. Utilizando las leyes de la óptica geométrica, se diseñan los anteojos y microscopios de modo que produzcan imágenes de manantiales puntuales tan pequeños como sea posible. Pero en el análisis final, es la figura de difracción la que impone un límite superior teórico al poder separador. Hemos visto que cuando la luz paralela pasa por cualquier abertura no puede enfocarse en un punto imagen, sino que, en vez de esto, se origina una figura de difracción cuyo máximo central tiene una cierta anchura finita, inversamente proporcional a la de la abertura. Evidentemente, las imágenes de dos objetos no estarán separadas, o resueltas, si su distancia es mucho menor que la anchura del máximo de difracción central. L a abertura en este caso es de ordinario la del objetivo del anteojo o microscopio, siendo, por tanto, circular. E n la sección 15-8 trataremos de la difracción por una abertura circular, limitándonos ahora al caso algo más sencillo de abertura rectangular.

L a figura 15-8 muestra dos lentes plano-convexas (equivalentes a una lente biconvexa) limitadas por una abertura rectangular de dimensión vertical b. Dos pequeñas rendijas-manantial Sx y S 2

perpendiculares al plano de la figura forman imágenes reales S'j y Sj en una pantalla. Cada imagen consiste en la figura de difracción de una sola rendija, cuya distribución de intensidad se ha representado en dirección vertical. L a separación angular a de los máximos centrales es igual a la separación angular de los manantiales, y con el valor que tiene en la figura es adecuada para obtener imágenes separadas. L a condición para esto es que cada uno de los máximos centrales caiga exactamente sobre el segundo mínimo de la figura adyacente. Este es el valor mínimo de <x para el que la intensidad entre los dos máximos centrales es cero. L a separación angular en cada figura entre el centro y el segundo mínimo corresponde entonces a 8 = 2n (véase Fig. 15-4), o sen 8 ^ 0 = 2\\b = 2QV A l disminuir a a partir de este valor, ambas imágenes se aproximan y crece la intensidad entre los dos máximos, hasta que finalmente desaparece el mínimo del centro. La figura 15-9 aclara esto mostrando la curva resultante (línea gruesa) para cuatro valores diferentes de a. E n cada caso la figura de difracción resultante se ha obtenido sin más que sumar las inten-

SEC. 15-6] PODER SEPARADOR D E UNA ABERTURA RECTANGULAR 323

y / \ í\ \\ /' \ \ \ 1 \ \

« = 72^

(c) /

v \\ Y «

• ' \ ¡ \ i \ ) \ es.

(d) l

5 5 L X A ¿ a = 1

FIG. 15-9.—Imágenes de difracción dé dos rendijas manantiales, (a) y (6) Bien resueltas, (c) Justamente resueltas, (d) No resueltas.

sidades debidas a las figuras individuales (curvas de trazos y finas), como en el caso de las franjas de Fabry-Perot (Sec. 14-12).

Esta misma figura pone de manifiesto que sería imposible resolver las dos imágenes si los máximos distasen mucho menos que a = 61 ( lo que corresponde a ¡3 = TC. Para esta separación el máximo de una figura de difracción cae exactamente sobre el primer mínimo de la otra, por lo que las intensidades de los máximos de la figura resultante son iguales a las de los máximos separados. Los cálculos son, por tanto, más sencillos que en el caso de las franjas de Fabry-Perot, donde la intensidad no se anula realmente en ningún punto. Para'hallar la intensidad en el centro del mínimo resultante, para franjas de difracción separadas 0^ observemos que las curvas se cortan para ¡3 = rc/2 en cada figura de difracción, y

H - = 0,4053 sen" 3 2 TC

es la intensidad de cada máximo secundario en relación con la del central. L a suma de las contribuciones en este punto es, por tanto, 0,8106, lo que pone de manifiesto que la intensidad déla figura de difracción resultante desciende casi a los cuatro quintos de su valor máximo. E l ojo aprecia fácilmente este cambio de i n - ' tensidad, y^e hecho pueden verse, o al menos detectarse con un instrumento sensible para medir: intensidades (tal como un microfo-tómetro), cambios considerablemente menores. Sin embargo, la pro-

324 DIFRACCION D E FRAUNHOFER [CAP. 15

fundidad del mínimo cambia muy rápidamente con la separación en esta región, y en vista de la sencillez de las relaciones en este caso particular, Rayleigh fijó arbitrariamente la separación a = 0X = X/6 como criterio de resolución de dos figuras de difracción. Esta elección, totalmente arbitraria, se conoce como «criterio de lord Rayleigh». E l ángulo Qx se llama a veces poder separador de la abertura b, aunque la capacidad de resolución aumenta al hacerse 0X

más pequeño. Más apropiado sería llamar a Qx ángulo mínimo de resolución.

15-7. Poder separador eromático de un prisma.—El espec-

X+AX> FIG. 15-10.—Poder separador de un prisma.

troscopio de prisma constituye un ejemplo de aplicación de este criterio al poder separador de una abertura rectangular, si suponemos que la cara del prisma limita el haz refractado a una sección rectangular. Así, en la figura 15-10, el ángulo mínimo AS entre dos haces paralelos que dan origen a imágenes en el límite de resolución es tal que AS = 0X = 1/b, donde b es la anchura del haz emergente. Los dos haces que producen estas imágenes tienen longitudes de onda que difieren en un pequeño incremento AX, que es negativo porque las longitudes de onda menores se desvían ángulos mayores. E l incremento de longitud de onda es más útil que el de ángulo, y es la magnitud que figura en el poder separador cromático X/AX (Sec. 14-12). Para calcular este en el caso del prisma empezaremos observando que como cualquier camino óptico entre dos posiciones sucesivas b' y b del frente de onda ha de ser el mismo, se puede escribir: i

c + c' =nB [15-7]

donde- n es el índice de refracción del prisma para la longitud de onda X, y. B la longitud de la base del prisma. Ahora bien:

SEC. 15-8] ABERTURA. CIRCULAR 325

si la longitud de onda disminuye en AX, el camino óptico a través de la base del prisma pasa a ser (ra -4- An)B, y el frente de onda emergente ha de girar un ángulo AS = \¡b para que la imagen que forma pueda ser justamente resuelta. Como, según la figura, AS = [Ac)¡b, este giro incrementa la longitud del rayo superior en Ac = X. Es indiferente que se mida Ac a lo largo de los rayos X o X 4- AX, pues la diferencia es de segundo orden. Por tanto, tenemos:

c + c + X = (» 4- An)B

y, restando la ecuación [15-7],

X = B An

E l resultado deseado se obtiene ahora dividiendo por AX y sustituyendo el cociente de incrementos por la derivada dnjdX,

- = [15-8] AX (ÜX L J

No es difícil demostrar (Probl. 15-1) que esta expresión es también igual al producto de la dispersión angular por la anchura b del haz emergente. Además, se encuentra que la ecuación [15-8] puede segúhyaplicándose cuando el haz no cubre todo el prisma, en cuyo cas(¡> B ha de ser la diferencia de los recorridos extremos a través del prisma; cuando hay dos o -más de estos en serie, B es la suma de sus bases.

15-8. Abertura circular.—La figura de difracción formada por ondas planas que procedentes de un manantial puntual pasan por una abertura circular tiene gran interés por su aplicación al estudio del'poder separador de anteojos y otros instrumentos ópticos. Desgraciadamente, es también un problema de considerable dificultad, pues requiere una doble integración extendida a la superficie de la abertura, análoga a la mencionada en la sección 15-5 para una abertura rectangular. E l problema fue resuelto por primera vez por A i r y 3 en 1835, y su solución viene expresada por funciones de Bessel de primer orden. Estas han de calcularse mediante desarrollos en serie, y, para nuestro propósito, la forma más conveniente de expresar estos resultados es tabular las cifras obtenidas de este modo (tabla 15-1).

3 Sir George Airy (1801-1892). Astrónomo real de Inglaterra desde 1835 a 1881. Conocido también por su trabajo sobre la aberración de la luz (Sec. 19-13). Para detalles sobre la solución a que nos reíerimos, véase T . PRESTON^ of Light, 5.A ed., pags. 324-27, Macmillan & Co., Londres, 1928. V N ¡

326 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. .15

TABLA 15-1

Anillo Abertura circular Rendija sencilla

Anillo m /total m / m á x

Máximo central . . 0 1 1 0 1 1.° oscuro 1,220 1,000 2." brillante . . . . 1,635 0,01750 0,084 1,430 0,0472 2." oscuro 2,233 2,000 3.° brillante . . . . 2,679 0,00416 0,033 2,459 0,0165 3.° oscuro 3,238 3,000 4." brillante . . . . 3,699 0,00160 0,018 3,471 0,0083 4.° oscuro 4,241 4,000

0,0083

5.° brillante . . . . 4,710 0,00078 0,011 4,477 0,0050 5." oscuro 5,243 5,000

0,0050

L a figura de difracción representada en la fotografía 15-11 (a) se compone de un disco central brillante, llamado disco de Airy, rodeado de un cierto número de anillos más tenues. N i el disco ni los anillos están nítidamente limitados, sino que se desvanecen gradualmente hacia los bordes, estando separados por circunferencias de intensidad nula. L a distribución de intensidad sería muy parecida a la representada en la figura 15-5 para una sola

(«)

FIG. 15-11.—Fotografías de imágenes de difracción de manantiales puntuales obtenidas con una abertura circular: (o) Un manantial, (fe) Dos manantiales justa

mente resueltos, (c) Dos manantiales completamente resueltos.

SEC. 15-9] PODER SEPARADOR DE UN ANTEOJO 327

rendija si se girase alrededor de un eje con la dirección de la luz y que pasase por el máximo principal. Pero las dimensiones son notablemente diferentes de las de la figura de difracción que produciría una sola rendija que tuviera un ancho igual al diámetro de la abertura circular. E n la de la rendija, la separación angular 0 de los mínimos, desde el centro, vimos que era sen 0 ^ 0 — mkjb, siendo m un número entero cualquiera a partir de uno. Los anillos oscuros intercalados entre los brillantes en la figura de difracción de una abertura circular se expresan mediante una fórmula similar, siendo ahora 0 el semidiámetro angular del anillo, pero en este caso los números m no son enteros. E n la tabla 15-1 se dan sus valores numéricos calculados por Lommel 4 . E n esta tabla se incluyen también los valores de m correspondientes a los anillos brillantes, así como datos sobre sus intensidades. L a columna encabezada por 1^ da las intensidades relativas de los máximos, y la encabezada por /total da la cantidad total de luz del anillo en relación con la del disco central. A fines de comparación se han incluido también los valores correspondientes de la figura de difracción de una sola rendija.

15-9. Poder separador de un anteojo.—Para tener una idea de las dimensiones üneales de la figura de difracción anterior, calculemos el'radio del primer anillo oscuro de la imagen formada en el plano focal de un anteojo corriente. E l diámetro del objetivo es 4 cm y/su distancia focal 30 cm. L a longitud de onda efectiva de la luz! blanca es 5,6 X I D - 5 cm, por lo que el radio an-

\ 5 6 x 10~5

guiar de este anillo es 0 = 1,220 ' == 1,71 x 10- 5 rad. i .

E l radio lineal es igual a este ángulo multiplicado por la distancia focal, es decir, 30 x 1,71 x l O - 5 = 0,000512 cm, o casi exactamente 0,005 mm. E l disco central de este anteojo tiene, por tanto, un diámetro de 0,01 mm cuando el objeto es un manantial puntual tal como una estrella.

Generalizando a una abertura circular el criterio de Rayleigh para la resolución de figuras de difracción (Sec. 15-6), se dice que dos figuras están resueltas cuando el máximo central de una de ellas coincide con el primer anillo oscuro de la otra. L a fotografía 15-11 (b) muestra la figura resultante en este caso. E l ángulo mínimo de resolución para un anteojo es, por tanto,

0X = 1,220 ~ [15-9]

siendo D el diámetro de la abertura circular limitadora del haz que forma la imagen primaria, o sea, de ordinario, el del objetivo.

* E . V . LOMMEL: Abhandl. Bayer Akad. Wiss., 15, 531, 1886.

328 DIFRACCION D E FRAUNHOFER [CAP. 15

E n el ejemplo anterior, el ángulo calculado es precisamente el límite, por lo que la mínima separación angular de una estrella doble para que pueda ser resuelta teóricamente por este anteojo es 1,71 x 10~5 rad, o 3,52". Como el ángulo mínimo es inversamente proporcional a D, la abertura necesaria para resolver dos manantiales que disten 1" es 3,52 veces mayor que en el ejemplo anterior; o sea, \

14,1 ángulo mínimo de resolución, en segundos, 0X = [15-10]

siendo D la abertura del objetivo en centímetros. Para el mayor anteojo que existe, el del Observatorio de Yerkes, D = 100 cm y %x = 0,14". Compárese con el ángulo mínimo de resolución del ojo 5, cuya pupila tiene un diámetro de unos 3 mm. Se obtiene 0X = 47". E n realidad, el ojo de la mayoría de las personas es incapaz de resolver objetos cuya separación angular sea menor de 1' y, por consiguiente, el límite está determinado de hecho por defectos ópticos del ojo o por la estructura de la retina.

E n un anteojo cuyo objetivo es dado, la dimensión angular de la imagen vista por el ojo viene determinada por el aumento del ocular. No obstante, al hacer mayor la imagen aumentando la potencia del ocular, no se consiguen mayores detalles, pues es imposible que al hacer mayor el aumento aparezcan detalles no existentes en la imagen primitiva. Cada punto del objeto se convierte en una pequeña figura de difracción circular en la imagen, de modo que si el ocular es de gran potencia la imagen aparece borrosa, no apreciándose mayor detalle. Por tanto, la difracción por el objetivo es el factor que umita el poder separador de un anteojo.

Mediante un dispositivo experimental análogo al representado en la figura 15-8 se ponen de manifiesto tanto la figura de difracción de una abertura circular como el poder separador de un anteojo. Los manantiales puntuales Sx y S2 son sendos arcos de sodio o de mercurio, y la pantalla va provista de varios orificios de unos 0,35 mm de diámetro y espaciados de 2 a 10 mm. Estos se obser-" van a través de cada uno de otros tres orificios de 1, 2 y 4 mm de diámetro, montados delante del objetivo para mostrar cómo afecta a la resolución una abertura creciente. E n estas circunstancias, la intensidad es solo suficiente para observar los discos centrales. Para que lo sean también los anillos de difracción se-

6 Puede parecer a primera vista que la longitud de onda que habría de utilizarse en este cálculo sería la correspondiente al humor vitreo del ojo. Es cierto que las dimensiones de la figura de difracción en este caso son menores, pero también disminuiría la distancia entre las dos imágenes en la misma proporción por refracción de los rayos al penetrar en el ojo.

SEC. 15-10] BRILLO E ILUMINACION DE IMAGENES 329'

cúndanos hay que utiüzar la lámpara de arco concentrado que se describirá en la sección 21-2.

E l poder separador teórico de un anteojo únicamente se conseguirá si las lentes son geométricamente perfectas y si el aumento es igual, al menos, al llamado aumento «normal» (Sec. 7-14). Para probar esto último tengamos en cuenta que dos discos de difracción que están en el límite de resolución en el plano focal del objetivo han de subtender en el ojo un ángulo igual al menos a 0¡ = = l,2Zk¡d6 para poder ser resueltos por el ojo, siendo de el diámetro de su pupila. Ahora bien: de acuerdo con la ecuación [10-11],. el aumento es

donde D es el diámetro de la pupila de entrada (objetivo) y d' el de la pupila de salida. Para el aumento normal, d es igual a de, por lo que dicho aumento es

D = i,22x/¿, _ e; de — 1.22X/Z) ~~ 0X

Por tanto, si el diámetro d de la pupila de salida es mayor que-de, el de la pupila del ojo, 0' < Q[, y las imágenes dejan de ser resueltas por el ojo aun cuando~ip estén en el plano focal del objetivo. E n otras palabras, un aumento menor que el normal corresponde a una pupila de salida mayor que de, y no se aprovecha, toda la resolución que proporciona el aparato.

15-10. Brillo e iluminación de las imágenes de estrellas.—En la sección 7-13 se demostró que, independientemente de la apertura de un instrumento, para aumentos superiores al normal el brillo de la imagen de un objeto extenso permanece constante y a lo sumo es igual al de este. Si el objeto es un manantial puntual, esto deja de cumplirse, pues el brillo aumenta rápidamente para grandes aperturas. Esto se debe a que toda la luz recogida por el objetivo se concentra en una figura de difracción en su plano focal, variando el área de esta figura en razón inversa al diámetro del objetivo (Ec. [15-9]). Suponiendo que el aumento es el normal o mayor, toda la luz del objetivo es recogida por la pupila del ojo, y el aumento de brillo debido al anteojo es igual a la razón del área del objetivo a la de la pupila. Si el aumento es menor que el normal, el ojo constituye el diafragma de apertura y la pupila de salida, y su imagen formada por el anteojo-es la pupila de entrada. L a razón de sus áreas es el cuadrado del aumento del anteojo, que da el factor por el cual queda multiplicado el brillo. E l área de la porción de retina iluminada per-

330 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

manece constante, pues está determinada por la figura de difracción producida por la pupila del ojo.

L a iluminación de la imagen de un manantial puntual puede calcularse multiplicando la iluminación del objetivo por la razón de su área a la del disco central de la figura de difracción que produce, ya que la mayor parte de la luz que pasa por el objetivo va a este disco. Por tanto, la iluminación será proporcional al área del objetivo. Por esta razón, principalmente, se hacen incesantes esfuerzos para conseguir objetivos de gran diámetro.

A

F I G . 15-12.—Poder separador de un microscopio.

E l espejo de 500 cm del telescopio de Monte Palomar permitió fotografiar estrellas mucho más tenues de lo que había sido posible hasta entonces.

15-11. Poder separador de un microscopio.—En este caso se aplican los mismos principios. Las condiciones, sin embargo, son diferentes de las de un anteojo, donde principalmente interesa la mínima separación angular obtenible de dos objetos situados a una gran distancia, de ordinario desconocida. E n el microscopio el objeto está muy próximo al objetivo, que subtiende un ángulo muy grande, 2i, en el plano del objeto, como muestra la figura 15-12. E n este caso se desea conocer fundamentalmente la mínima distancia entre dos puntos O y O' del objeto que produzcan imágenes I Q I' justamente resueltas. Cada imagen se compone de un disco y un sistema de anillos, como se explicó anteriormente, y la separación angular de dos discos cuando se encuentran en el límite de resolución es a = 6X = 1,22X/D. Cuando se cumple esta condición, la onda procedente de O' difractada hacia / tiene inten-

SEC. 15-11] PODER SEPARADOR D E UN MICROSCOPIO 331

sidad nula (primer anillo oscuro), y los rayos extremos O'BI y O'AI tienen una diferencia' de recorrido de 1.22X. E n la parte inferior izquierda de la figura se ve que O'B es mayor que OB, o que OA, en ssen i, y O'A es menor en la misma cantidad. L a diferencia de recorrido entre los dos rayos extremos procedentes de 0' es, por tanto, 2ssen i, e'igualando esto a 1,22A, se obtiene;

E n todo lo que antecede hemos supuesto que O y O' eran objetos autoluminosos, por lo que la luz emitida por cada uno de ellos no guarda ninguna relación jde fase constante con la emitida por el otro. E n realidad, los objetos observados al microscopio están iluminados con la luz procedente de un condensador. E n este caso es imposible que la luz difundida por los dos puntos del objeto tenga fases completamente independientes. Esto complica en grado sumo el problema, pues el poder separador depende en parte del modo de iluminar el objeto. Abbe estudió con detalle este tema, llegando a la conclusión de que una buena regla para el cálculo del poder separador es la de utilizar la ecuación [15-11] prescindiendo del factor 1,22. E n los microscopios de gran aumento, el espacio entre objeto y objetivo se llena de aceite. Aparte de disminuir la pérdida de luz por reflexión en la primera lente, se aumenta el poder separador, ya que al eliminar la refracción de los rayos que emergen del cubreobjetos, el objetivo recibe del condensador un cono de luz más ancho. E n este caso se ha de modificar además la ecuación [15-11], sustituyendo la diferencia de camino óptico por 2ns sen i, siendo n el índice de refracción del aceite. E l resultado de estos dos cambios es

[15-12] 2n sen i

E l producto « sen i es característico de cada objetivo, y Abbe lo ñamó «apertura numérica»; E n la práctica, la mayor apertura numérica que puede obtenerse es de 1,6, aproximadamente. Con luz blanca de longitud de onda efectiva 5,6 x 10—5 cm, la ecuación [15-12] da s = 1,8 x 10^5 cm. Recientemente se ha utilizado luz ultravioleta, por su menor longitud de onda, para aumentar el poder separador. Esto implica la necesidad de utilizar la fotografía para el examen de la imagen.

Uno • de los pasos más notables para aumentar la resolución microscópica ha sido el reciente desarrollo del microscopio electrónico. Como veremos en la sección 30-4, los electrones se comportan como ondas cuya longitud depende del voltaje a través

332 DIFRACCION DE FRAUNHOFER [CAP. 15

del cual han sido acelerados. Para voltajes entre 100 y 10 000 V, X varía entre 1,22 x 1 0 - 8 y 1,22 X 10~9 cm, es decir, se encuentra en la región de una fracción de ángstrom, o sea, más de mil veces menor que para la luz visible. Mediante campos eléctricos y magnéticos es posible enfocar los electrones emitidos o transmitidos por varias partes de un objeto, lo que permite fotografiar detalles no mucho mayores que la longitud de onda de los electrones. L a apertura numérica de los microscopios electrónicos es mucho menor todavía que la de los instrumentos ópticos, pero son de esperar aún más progresos en el extenso y creciente campo de la óptica electrónica6.

15-12. Contraste de fase.—El ojo detecta fácilmente diferencias de amplitud por las variaciones de intensidad, pero no es capaz de ver directamente cambios de fase. Por ello, ! siempre que los objetos situados sobre el portaobjetos sean opacos o absorbentes aparecen en la imagen. Pero si son transparentes y difieren solo ligeramente del medio circundante por su índice de refracción, o por su espesor, no serán visibles en general. No obstante, es posible convertir las variaciones ! de fase producidas por tales objetos en variaciones de amplitud en la imagen final. E l llamado microscopio de contraste de fase, diseñado en 1935 por Zernike 7 , funciona de este modo.

Para ilustrar los principios fundamentales en que se basa, consideremos cómo pueden hacerse visibles las fases alternativamente positivas y negativas de los sucesivos máximos de la figura de difracción de una rendija| (Fig. 15-4). Imaginemos que se superpone sobre la figura de difracción, tal como aparece en la pantalla, una onda plana uniforme que es coherente con las ondas que forman la figura y, por tanto, capaz de interferir con ellas. Si esta onda adicional estuviese en fase con la luz del máximo central se produciría interferencia constructiva y aumentaría la intensidad de este, así como la de los segundo, cuarto, etc., máximos secundarios. Pero los máximos secundarios impares estarían en oposición de fase con ella, y se produciría interferencia destructiva. Zernike probó que se puede producir experimental-mente este efecto colocando sobre una rendija regularmente ancha otra más estrecha de bordes semitransparentes. E l máximo central debido a esta última se hace lo suficientemente ancho para cubrir la figura de difracción completa producida por la primera, y se ajusta su intensidad de modo que eHmine casi com-

6 Véase, p. ej., V. K. ZWORYKIN, G. A. MORTON, y otros: Electron Optics and the Electron Microscope, John Wiley & Sons, Nueva York, 1945.

7 F. Zernike (nacido en 1888), profesor de Física de la Universidad de Gro-ningen (Holanda). En 1953 fue recompensado con el premio Nobel por su descubrimiento del principio del contraste de fase.

PROBLEMAS 333

pletamente los máximos secundarios alternos. L a supresión de estos y el refuerzo de los intermedios constituye una prueba directa de las diferencias de fase presentes en la figura de difracción original, que de otro modo hubieran pasado inadvertidas al ojo.

E l modo de aplicar al microscopio este procedimiento de contraste de fase es un tanto complicado, y su explicación exigiría un espacio que no es posible concederle aquí 8 . Baste decir que la interferencia se produce entre la luz directa que pasa inalterada a través de las partes uniformes del portaobjetos y la difractada en sus porciones irregulares. L a primera se compone de haces paralelos que se hacen converger en el plano focal imagen del objetivo, mientras que la segunda se enfoca en el plano de la imagen conjugado del objeto. Colocando en el plano focal imagen una lámina que ocasione un retardo de un cuarto de onda, Uamada placa de fase, la fase de la luz directa, que se extiende uniformemente sobre el plano de la imagen, se modifica en forma adecuada para producir una modulación de amplitud en esté plano, que es proporcional a la modulación de fase originada por el objeto, Así se hacen visibles detalles de preparaciones biológicas transparentes en forma de aumentos o disminuciones de intensidad.

P R O B L E M A S

'A 15-1. Es regla general -para todo; espectroscopio, en el cual el poder

separador está limitado por la difracción, que: Poder separador cromático — dispersión angular X anchura del haz emergente.

Demuéstrese, utilizando la ecuación [23-3], para la dispersión de un prisma en la posición de mínima desviación, que la ecuación [15-8] está de acuerdo con esta regla.

15-2. Sobre una rendija, que tiene detrás una lente de distancia focal 40 cm, inciden normalmente ondas planas de longitud de onda igual a 5461 Á. Si la anchura de la rendija es 0,450 mm, hállese la distancia del máximo principal al primer mínimo en la figura de difracción formada en el plano focal de la lente. Sol.: 0,485 mm.

15-3. Una rendija de 0,20 mm de anchura es iluminada perpendicular-mente por un intenso haz paralelo de luz blanca. Para explorar el espectro de la luz difractada se utiliza un pequeño espectroscopio situado 2 m detrás de ella. Predecir lo que se verá si la rendija del espectroscopio se desplaza 1 cm a partir del eje en dirección perpendicular a la rendija difractora.

15-4. Cuando, como en la figura 15-5, se observa la difracción de luz paralela por una rendija sin utilizar lente, la figura corresponderá funda-

8 En la obra de A . H . BENNETT, H . JUPNIK, H . OSTERBERG y O. W . RICHARDS: Phase Microscopy, John Wiley & Sons, Nueva York, 1951, se encontrará un.estudio completo de este tema.

334 D I F R A C C I O N D E P R A U N H O F E R [CAP . 15

mentalmente a difracción de Fraunhofer si la distancia de observación es igual al menos al cuadrado de la anchura de la rendija dividido por la longitud de onda. De acuerdo con la descripción de las condiciones utilizadas para obtener la fotografía de la figura 15-2, ¿a qué distancia habría de colocarse la placa de la rendija sin utilizar la lente Z.a? Sol.: 1,86 cm.

15-5. Dedúzcase la ecuación [15-4] por el método de las amplitudes complejas tal como se indica en la nota 1 de este capítulo.

15-6. Hágase una representación gráfica precisa de la intensidad en la figura de difracción producida por una rendija en la región correspondiente al primer máximo secundario (p = TC a 2n). A partir de esta gráfica, compruébense las cifras dadas en la tabla 15-1 para la posición e intensidad de este máximo.

Sol.: En 8 = 1,4307t, un máximo de intensidad 4,72 %. 15-7. Calcúlese la intensidad aproximada del primer máximo débil

que aparece a lo largo de la diagonal p/y = l¡b en la figura de difracción de Fraunhofer producida por una abertura rectangular.

15-8. Considerando que el criterio para la resolución de dos figuras de difracción de distinta, intensidad ha de ser que la caída de intensidad entre los máximos sea el 20 % de la intensidad del más débil, hállese la separación angular necesaria^cuando las intensidades están en la relación 5:1. Exprésese el resultado en función de Qu ángulo requerido cuando las intensidades son iguales. La mejor solución se obtiene utilizando dos gráficas que pueden ser superpuestas con un desplazamiento variable.

Sol: 1,136!. 15-9. A partir de los datos que figuran en la tabla 23-1 para el vidrio

flint de bario, calcúlese el poder separador cromático de un prisma equilátero de este material si la anchura de las caras es 6 cm. Hágase el cálculo para la longitud de onda de las rayas D del sodio y para la raya H del calcio.

15-10. Se desea resolver una raya espectral doble en el ultravioleta, sabiendo que las longitudes de onda de las componentes son 3130,326 y 3130,409 Á. Se dispone de un espectrógrafo que tiene un prisma de cuarzo cristalino cuya base mide 10 cm. Tal prisma está siempre hecho de modo que el índice de refracción n0 de la tabla 26-1 es el efectivo. Dígase si es teóricamente posible que este espectrógrafo separe el doblete.

Sol.: No es posible. 15-11. Derívese la ecuación [15-3] y pruébese que tg p = p es la con

dición de máximos. 15-12. Hállese el diámetro del primer anillo brillante (máximo secun

dario) en el plano focal del anteojo refractor de 36 pulg del Observatorio de Lick. La distancia focal es 56 pies, y la longitud de onda efectiva de la luz blanca, 5500 A. Sol.: 0,0336 mm.

15-13. ¿Cuál es la máxima anchura admisible de la rendija-manantial de acuerdo con el criterio establecido al final de la sección 15-5 en las siguientes circunstancias: distancia del manantial a la rendija difractora, 50 cm; anchura de esta última, 0,5 mm; longitud de onda, 6000 Á?

15-14. La pupila del ojo tiene un diámetro medio de 2,5 mm para la luz diurna. ¿A qué distancia quedarían resueltos a simple vista dos pequeños objetos anaranjados (X = 6000 Á), suponiendo que la resolución solo está limitada por la difracción? Sol.: 1,37 Km.

15-15. Para lanzar un haz sonoro, utilizado en la detección de submarinos, se hace oscilar con una frecuencia de 30 000 ciclos/seg un diafragma

PROBLEMAS 335

circular de 50 cm de diámetro. A cierta distancia de este manantial, la distribución de intensidad será la; figura de difracción de Fraunh.ofer para un orificio circular de diámetro igual al del diafragma. Hállese el ángulo formado por la normal y el primer mínimo para la frecuencia dada y también para la frecuencia audible de 1200 ciclos/seg. Tómese para velocidad del sonido 1435 m/seg.

15-16. Hállese la apertura numérica del objetivo de un microscopio, necesaria para resolver el rayado j de una red de difracción que tiene 5684 rayas por centímetro utilizando luz de sodio. Si el objetivo fuera de inmersión con aceite de índice nD = 1,50, ¿cuál sería el ángulo del cono de luz: necesario para ¡cubrir el objetivo? Sol.: 0,167. 12°49'.

15-17. Calcúlese el ángulo mínimo de resolución, en segundos, de un, pequeño anteojo de galvanómetro, cuyo objetivo tiene 12 mm de diámetro.. ¿Qué aumento se requerirá para conseguir esta resolución?

CAPITULO X V I

LA DOBLE RENDIJA

Young fue quien primero demostró la interferencia de la luz "procedente de dos rendijas estrechas muy próximas, cuestión tratada en la sección 13-2 como ejemplo sencillo de interferencia de dos haces luminosos. Al estudiar' este experimento se supuso •que la anchura de las rendijas no era mucho mayor que la longitud •de onda de la luz, por lo que el máximo central de la figura de difracción de cada rendija por separado era lo suficientemente ancho para ocupar una gran parte de la pantalla (Figs. 13-1 y 13-2). Es_de gran interés conocer las modificaciones experimentadas por la figura de interferencia al aumentar la anchura de las rendijas, de modo que sea comparable con la distancia entre ellas. Esto se aproxima más a las condiciones reales en las cuales se verifica de ordinario el experimento. En este: capítulo se estudiará la difrac-•ción de Fraunhofer en una doble rendija y algunas de sus aplicaciones, i '

16-1. Aspectos cualitativos de la figura de difracción.—Las fotografías 16-1 (b) y (c) muestran las figuras de difracción producidas por dos dobles rendijas diferentes, siendo igual en cada pareja la anchura de las rendijas individuales, pero distinta de un par al otro. Con referencia a la figura 16-2, en que aparece el dispositivo adecuado para obtener tales fotografías, la anchura b de cada rendija es mayor para el caso de la figura 16-1 (c) que para la 16-1 (b), pero la distancia entre los centros, d = b -f- c, o separación de las rendijas, es igual en ambos casos. En la parte central de la figura 16-1 (6) se ve un cierto número de máximos de interferencia de intensidad casi uniforme, semejantes a las franjas de interferencia descritas en el capítulo XIII y representadas en la figura 13-4. Pero, en realidad, las intensidades de estos máximos no son constantes, sino que tienden lentamente a cero a ambos lados para reaparecer con menor intensidad dos o tres veces antes de nacerse demasiado tenues para ser observables sin dificultad. Estas mismas variaciones se producen mucho más bruscamente en la figura 16-1 (c), tomada con anchuras de rendija b algo mayores.

16-2. Deducción de la ecuación de la intensidad.—Siguiendo el mismo procedimiento de la sección 15-2(>para una sola rendija, basta cambiar los límites de integración en la ecuación [15-2] para incluir las dos porciones de frente de onda transmitidas por

336

SEC. 16-2] DEDUCCION DE LA ECUACION DE LA INTENSIDAD 337

(a)

(c)

(d)

FIG. 16-1.—Figuras de difracción de: la) una rendija estrecha; (6) dos rendijas estrechas; (c) dos rendijas más anchas; (d) una rendija más ancha.

la doble rendija 1 . Por tanto, si, como en el caso de la figura 16-2, se tienen dos rendijas iguales de anchura b, separadas por un espacio opaco de anchura c, se elegirá el origen en el centro de c, extendiendo la integración de s = (d¡2) — (b¡2) as — (d¡2) +(bj2). Se obtiene así: :

2a y = xk sen 6 j sen 11 ft(¿ + b) sen 6 J — sen 11 k(d — b) sen 6 J

sen (cút kx)}

L a diferencia que figura en el primer corchete es de la forma sen (A + B) —sen (A —B), y desarrollándola, resulta:

2ba sen 3 y — — p — cos y sen (u>t — kx) [16-1)

1 El resultado de esta deducción es, evidentemente, un caso particular de la fórmula general para Ñ rendijas, que se obtendrá en el capítulo próximo por el método de las amplitudes complejas.

338 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

donde, como antes,

y siendo

3 = i kb sen 0 = — b sen 2 A

Y = 4 &(2> + c) sen 0 = ^ ¿ sen 2 A [16-2]

L a intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la ecuación [16-1], por lo que reemplazando ba\x por A0, como antes, se tiene:

J = 4¿ 0« ^ eos* Y .

manantial

[16-3]

"tfA/ír rendija pantai/a

FIG. 16-2.—Aparato para observar la difracción de Fraunhofer en una doble rendija. Dibujado para el caso 26 = c, es decir, d — 36.

E l factor (sen2 6)/B2 de esta ecuación es precisamente el mismo obtenido en el capítulo anterior para la rendija única de anchura b (Ec. [15-4]). E l segundo factor, eos2 y, es característico de la figura de interferencia producida por dos haces de igual intensidad y diferencia de fase 8, como indica la ecuación [13-2] de la sección 13-3. Allí se encontró que la intensidad era proporcional a eos2 (8/2), por lo que las expresiones se corresponden si se hace y = S/2. La intensidad resultante será cero siempre

FIG. 16-3.—Diferencias de recorrido de los rayos paralelos que parten de una doble

rendija.

SEC. 16-4] DISTINCION ENTRE INTERFERENCIA Y DIFRACCION 339

que lo sea cualquiera de los dos factores. E l primero se anulará para B = re, 2rc, 3rc, y el segundo para y = u/2, 3TU/2, 5n¡2, ... E n la figura 16-3 se ve que las dos variables B y y no son independientes. L a diferencia de recorrido desde los dos bordes de una de las rendijas hasta la pantalla es b sen 0. L a correspondiente diferencia de fase es, según la ecuación [11-6], (2TC/X) b sen 0, que es igual a 28. L a diferencia de recorrido entre dos puntos correspondientes cualesquiera de ambas rendijas es d sen 0, como se indica para los dos bordes inferiores de ambas rendijas, y la diferencia de fase, 8 = (2njX)d sen 0 = 2y. Por tanto, en función de las dimensiones de las rendijas,

16-3. Comparación de las i figuras producidas por la doble rendija y por la rendija sencilla.--Es instructivo comparar la figura debida a la doble rendija con la originada por una sola rendija de igual anchura que cualquiera de las otras dos. Esto equivale a comparar el efecto producido por las dos rendijas en el dispositivo de la figura 16-2 con el obtenido cuando se obtura completamente una de ellas. Si se hace esto se observan las' correspondientes figuras de difracción que están relacionadas con las de la doble rendija, como. muestran las fotografías 16-2 (a) y 16-2 (d). Se ve que las intensidades de las franjas de interferencia de la doble rendija corresponden en cualquier punto a* la intensidad de la figura de la rendija única. Tapando una u otra de las dos rendijas, se obtiene exactamente la misma figura y en idéntica posición, mientras que si actúan las dos, la figura, en vez de ser igual a la de una rendija con una intensidad doble, se divide en estrechos máximos y mínimos llamados franjas de interferencia. L a intensidad en el máximo de estas franjas es cuatro veces la déla figura de cualquiera de las rendijas sencillas en ese punto, y es nula en los mínimos (véase Sec. 13-4).

16-4. Distinción entre interferencia y difracción.—Los resultados anteriores se justifican completamente diciendo que la luz procedente de ambas rendijas experimenta interferencia, produciendo franjas del tipo obtenido con dos haces, pero que las intensidades de estas franjas están limitadas por la cantidad de luz que llega a un punto dado de la pantalla en virtud de la difracción originada en cada rendija. Las intensidades relativas de la figura resultante, dadas por la ecuación [16-3], son precisamente las obtenidas multiplicando la función intensidad correspondiente a la figura de interferencia de dos rendijas infinitamente estrechas separadas una distancia d (Ec. [13-2]) por la función intensidad para la difrac-

340 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

ción en una sola rendija de anchura b (Ec. [15-4]). El,resultado puede considerarse, pues, como debido a la acción combinada de la,;interferencia entre los rayos procedentes de puntos correspondientes de las dos rendijas y de la difracción, que determina la cantidad de luz que sale de cada rendija bajo un ángulo dado. Pero la difracción es simplemente el resultado de la interferencia de todas las ondas secundarias originadas en los diversos elementos del frente de onda. Por ello es lógico decir que la figura total es una figura de interferencia. Sin embargo, es también correcto llamarla figura de difracción, pues, como vimos al deducir la función intensidad en la sección 16-2, se obtiene sumando directamente los efectos de todos los elementos de la parte descubierta del frente de onda. No obstante, si reservamos el término interferencia para aquellos caSos en que se produzca una modificación de la amplitud por superposición de un número finito (normalmente pequeño) de haces, y difracción para aquellos en que la amplitud está determinada por una integración extendida a los elementos infinitesimales del frente de onda, puede decirse que la figura de la doble rendija es debida a una combinación de interferencia y difracción. L a interferencia de los haces procedentes de las dos rendijas produce los estrechos máximos y mínimos dados por el factor eos2 y, y la difracción, representada por (sen2 8)/82, modula las intensidades de estas franjas de interferencia. E l lector no deberá inferir de esto que la difracción es solo un caso algo más complicado de interferencia. ¡ i

16-5. Posiciones de los máximos y mínimos. Ordenes desaparecidos.—Como se demostró en la sección 16-2, la intensidad será nula siempre que y = u/2, 3n/2, 5TC/2, .... y también cuando 8 = TC, 2TC, 3TC, ... E l primero de estos dos conjuntos corresponde a los mínimos de la figura de interferencia, y, dado que por definición y — (7t/X)¿ sen 8, se producirán para ángulos 8 tales que

a sen a = —» —-. • • • = \m + — J X mínimos [16-5]

siendo m un número entero, incluido el cero. L a segunda serie de mínimos corresponde a los de la figura de difracción, y como S = (it/A)a sen 8, se producirán cuando

siendo 1 el valor mínimo de p. Las posiciones exactas de los máximos no vienen dadas por ninguna relación sencilla, pero se hallan aproximadamente despreciando la variación del factor (sen2 8)/B2, suposición que solo es válida cuando las rendijas son muy estrechas y se consideran los máximos próximos al centro [fi-

b sen 6 = X, 2X, 3X, . . :. = p\ mínimos [16-6]

SEC. 16-5] POSICIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS 341

guía 16-1 (b)]. Entonces las posiciones de los máximos quedan determinadas únicamente por el factor eos2 y, que se hace máximo para los valores y = 0, TC, 2IZ, es decir, para

¿sen 8 = 0, X, 2X, 3X, . . . = nik máximos [16-7] E l significado físico de m es el de número de longitudes de onda comprendidas en la diferencia de recorrido desde puntos correspondientes de las dos rendijas (véase Fig. 16-3) y representa el orden de interferencia.

E n la figura 16-4 (a) se representa el factor eos2 y, habiéndose indicado los valores del orden, de la semidiferencia de fase y = S/2 y de la diferencia de recorrido correspondientes a los diversos máximos. Todos ellos tienen la misma intensidad y son equidistantes en.una escala de d sen 0, o prácticamente en una escala de 0, ya que cuando 0 es pequeño sen 0 — 0 y los máximos se producen para 0 = 0, \¡d, 2\\d, ... Con una anchura de rendija finita b ha de tenerse en cuenta el factor (sen2 S)/B2. Este factor por sí solo da precisamente la figura de difracción de la rendija sencilla estudiada en el capítulo anterior, y que se ha representado

- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIG. 16-4.—Curvas de intensidad para una doble rendija, en la que d = 36.

342 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

en la figura 16-4 (b). L a figura de difracción completa de la doble rendija, dada por la ecuación [16-3], es el producto de estos dos factores y se obtiene, por tanto, multiplicando las ordenadas de la curva (a) por las de la (b) y por la constante A Al. L a figura 16-4 (c) muestra la curva final. E l resultado dependerá de la relación de las escalas de abscisas para S y y, que en la figura se lian elegido de modo que, para una abscisa dada, y = 3S. Pero, para un 9 dado, la relación entre S y y está determinada, de acuerdo con la ecuación [16-4], por la razón de la anchura de la rendija a la separación de rendijas. Por tanto, si d = 3b, las dos curvas (d) y (6) se han representado a la misma escala de 0. E n el caso particular de dos rendijas de anchura b separadas por un espacio opaco de anchura c = Ib, la curva (c), que es el producto de (a) por (b), dará la figura resultante. Las posiciones de los máximos de esta curva son ligeramente diferentes de las de los máximos de la curva (d), excepto la del máximo central (m = 0), debido a que cuando se multiplican las ordenadas próximas a uno de los máximos de la curva (a) por un factor que está aumentando o disminuyendo, las ordenadas de uno de los lados del máximo varían en una cantidad diferente de las del otro, lo que desplaza ligeramente el máximo resultante en la dirección en que está aumentando el factor. Por eso las posiciones de los máximos de la curva (c) no son exactamente las dadas por la ecuación [16-7], pero en la mayoría de los casos están muy próximas a ellas.

Volvamos de nuevo a la expücación de las diferencias entre las dos figuras de difracción (b) y (c) representadas en las fotografías de la figura 16-1, tomadas con la misma separación de rendijas, d, pero con diferente anchura de estas, b. L a f i gura (c) corresponde al caso d = 3b, y se ve que está de acuerdo con la descripción que acabamos de dar. Para la figura (b), la separación d es la misma, dando el mismo espaciamiento para las franjps de interferencia, pero b es menor y tal que d = 6b. E n la figura 13-4, d = 146. Con ello se aumenta en gran medida la escala de la figura correspondiente a la rendija sencilla respecto a ía figura de interferencia, por lo que muchos de los máximos de interferencia caen ahora dentro del máximo central de la f i gura de difracción. Es decir, el efecto de disminuir b, dejando d inalterada, es simplemente el de ensanchar la figura de difracción de la rendija simple, que actúa como envolvente de la figura de interferencia, según indica la línea de trazos de la f i gura 16-4 (c).

Si se mantiene b constante y varía d, cambia la escala de la figura de interferencia, permaneciendo constante la de la figura de difracción. L a figura 16-5 reproduce una serie de fotografías que ilustran esto. A cada figura corresponden tres exposiciones dife-

SEC. 16-5] '[ POSICIONES D E LOS MAXIMOS Y MINIMOS 343

sení-:-3V4 -2V 4 -V A 0 V 4 2V4 3*/

3b-d

7 8

4b'd

5,6 7 9 l O n

56 = d

FIG. 16-5.—Fotografías y curvas de intensidad para figuras de difracción producidas por una doble rendija.

344 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

— • -—• | rentes, que ponen de manifiesto los detalles de las partes intensas y de las tenues. Los máximos están designados por su orden m, y debajo de la primera curva se da una escala de posiciones angulares 0. E l estudio de estas figuras muestra que faltan ciertos ordenes, o al menos están reducidos a dos máximos de intensidad muy pequeña. Los llamados órdenes desaparecidos se producen cuando para el mismo valor de 0 se verifican las condiciones de máximo de interferencia (Ec. [16-7]) y mínimo de difracción (Ec. [16-6]), es decir,

d sen 0 = trih b sen 0 = p\

d m con lo que ~b~~p [16-8]

Como tanto m como p son enteros, d/b ha de ser igual a la razón de dos números enteros para que desaparezcan órdenes. Esta razón determina los órdenes desaparecidos, de modo que cuando d/b = 2 faltan los órdenes 2, 4, 6, ...; cuando d¡b = 3 faltan los órdenes 3, 6, 9, etc. Si dfb. — 1, las dos rendijas coinciden exactamente, y faltan todos los órdenes. No obstante, puede demostrarse que los dos máximos débiles en que se desdobla cada orden corresponden exactamente a los máximos secundarios de una rendija sencilla de anchura 2b. ¡

L a descripción física de la causa de los órdenes desaparecidos es como sigue: Consideremos, p. ej., el ordeu desaparecido m = 4- 3 en la figura 16-4 (c); este punto de la pantalla está justamente tres longitudes de c-nda más alejado del centro de una de las rendijas que del centro de la otra.j Cabría esperar que las ondas procedentes de las dos rendijas llegasen en fase produciendo un máximo. Pero, al mismo tiempo, éste punto está una longitud de onda más alejado del borde dej una de las rendijas que del otro borde de la misma. E n estas condiciones, la suma de las ondas secundarias procedentes de una rendija da intensidad nula. Esto se verifica en ambas rendijas, de ¡modo que,, aunque podamos sumar las contribuciones de las dos rendijas, ambas son nulas y darán, por tanto, resultante nula. j

16-6. Curva de vibración.—En este caso es también aplicable el método utilizado en la sección 15-4 para hallar .i gráficamente la amplitud resultante en el caso de una sola rendija. Para ilustrarlo consideraremos una doble rendija tal que d = 2b. E n la parte superior de la figura 16-5 aparece la figura de difracción correspondiente. U n diagrama vectorial de las contribuciones de amplitud de una rendija da, como anteriormente, un arco de circunferencia, siendo la diferencia entre las pendientes de las tan-

SEC. 16-6] CURVA DE VIBRACION 345-

(c) id) (e)

& ¿§> (y \ -o-

(/) (g) Ui) (») FIG. 16-6.—Obtención de la curva de intensidad para una doble rendija por com

posición gráfica de amplitudes. gentes al arco en sus extremos igual a la diferencia de fase 28 entre las contribuciones de los dos bordes de la rendija. H a de dibujarse en este caso tal arco para cada una de las rendijas, y ambos arcos deberán estar relacionados de modo que las fases (pendientes de las tangentes) difieran para puntos correspondientes de las dos rendijas en 2y, o sea 8. E n el caso presente, como d = 2b, habrá de ser y = 28, o sea 8 = 48. Así, en la figura 16-6 (b), que representa la curva de vibración para 8 = rc/8, los dos arcos subtienden un ángulo de 7t/4 (= 28), diferencia de fase para los dos bordes do. cada rendija, y los arcos están separados 7c/4, de modo que los puntos correspondientesv de ambos arcos difieren en 7t/2 (=8). Las contribuciones resultantes de las dos rendijas están representadas en amplitud y fase por las cuerdas de estos dos arcos, esto es, por Ax y A2. Los diagramas de (a) a (i) corresponden a las construcciones para los puntos de igual designación sobre la curva de intensidad. Se recordará que la intensidad es el cuadrado de la amplitud-resultante A, que es la suma vectorial de Ax y A2.

E n el ejemplo elegido, las rendijas son relativamente anchas si se :comparan con su separación, y al aumentar la diferencia de fase crece rápidamente la curvatura de los arcos individuales, con lo que A, y A,¿ disminuyen mucho en longitud. Con rendijas más estrechas se obtiene un mayor número de franjas de ínter-

346 L A DOBLE RENDIJA [CAP. 16

ferencia dentro del máximo central de difracción, pues las longitudes de los arcos son más pequeñas en relación con el radio de curvatura de la circunferencia. Entonces Ax y A2 disminuyen de longitud más lentamente al aumentar 6, y las intensidades de los máximos no decrecen con tanta rapidez. En el límite, cuando la anchura a de la rendija tiende a cero, Ax y A2 permanecen constantes, y la variación de la intensidad resultante se)debe simplemente al cambio del ángulo de fase entre ellas.

16-7. Efecto de la anchura finita de la rendija manantial.— En los razonamientos anteriores se ha hecho una simplificación que casi nunca se cumple exactamente en la práctica: la de que la anchura de la rendija manantial (S' en la Fig. 16-2) es despreciable. Esto es necesario para que la lente proporcione un único tren de ondas planas que incida sobre la doble rendija. De otro modo habría diferentes conjuntos de ondas que se aproximarían bajo ángulos ligeramente distintos, originados en los diversos puntos de la rendija manantial. Ellos producirían conjuntos de franjas ligeramente desplazados unos con respecto a otros, como ilustra la figura 16-7 (a). Para simplificar se han representado los máximos de interferencia con igual intensidad, despreciando los efectos de la difracción. Sean P y P' dos líneas muy delgadas que actúan como manantiales. Pueden ser dos rendijas estrechas, <o mejor aún dos filamentos de lámpara, dado que no hemos su-

P. P-

T (6)

- 1 . " T " a

I manantial

(c) U)

intensidad resultante

componentes

AAAA ' M M YXXXmX w m m T I G . 16-7.—Efecto de un manantial doble y de un manantial ancho sobre las

franjas de interferencia de una doble rendija.

SEC. 16-7] EFECTO DE LA ANCHURA FINITA 347

puesto que sean coherentes. Si Q y Q' son las posiciones de los máximos centrales producidos por aquellos, el desplazamiento QQ' de las franjas subtenderá el mismo ángulo a en la doble rendija que P y P'. Si este ángulo es una pequeña fracción de la separación angular X/d de las sucesivas franjas de cada figura, la distribución de la intensidad resultante seguirá pareciéndose a una curva del tipo eos2 y, aunque no será nula en los mínimos. Las posiciones relativas de las dos figuras, y su suma, están ilustradas en la figura 16-7, curvas (b). Las curvas (c) y (d) muestran el efecto de aumentar la separación PP'. E n (d) las franjas están completamente desfasadas, y la intensidad resultante no muestra fluctuación alguna. E n un punto tal como el Q, el máximo de una figura coincide con el mínimo siguiente de la otra, de modo que la diferencia de recorrido es P'AQ — PAQ = A/2. E n otras palabras, P' está justamente una semilongitud de onda más lejos de A que P. Si la intensidad de uno de los conjuntos de franjas está dada por 4A2 eos2 (8/2), o sea 2A*(1 + eos 8), la del otro será:

2A\Í + eos (8 J4- TU)] = 2^2(1 — eos 8)

La suma es, por tanto, constante e igual a AA2, de modo que las franjas desaparecen por completo. L a condición para esta desaparición es a = A/2¿. Si PP' aumenta aún más, las franjas reaparecerán, volviendo a ser de nuevo nítidas cuando a es igual a la distancia X¡d entre franjas, alternándose de este modo apariciones y desapariciones. E n general, la condición de desaparición es

A 3A 5A a _ _n, z¿i, ZJH, . . . desaparición de las franjas T16-91

2d 2d 2d con doble manantial

donde a es el ángulo subtendido por los dos manantiales en la doble rendija.

Consideremos ahora el efecto del manantial cuando, en vez de consistir en dos rendijas separadas, es una banda uniformemente brillante de anchura PP. Cada elemento lineal de esta banda producirá su propio conjunto de franjas de interferencia, siendo la figura resultante la suma de un gran número de dichos conjuntos, desplazados unos respecto de otros cantidades infinitesimales. La figura 16-7 (e) ilustra esto para a = X¡2d, esto es, para una rendija de anchura tal que los puntos extremos actuando solos harían desaparecer completamente las franjas, como en (d). L a curva resultante presenta ahora fuertes fluctuaciones, y hay que ensanchar aún más la rendija para que la intensidad sea uniforme. L a primera desaparición completa se producirá cuando el intervalo cubierto por las franjas componentes se extienda sobre el ancho total de una franja en vez de sobre la mitad, como anteriormente.

348 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

L a figura 16-7 (/) representa este j caso, para una rendija de anchura tal que subtiende un ángulo a = \¡d. Haciendo la rendija aún más ancha reaparecerán las franjas, aunque ya no vuelven a ser perfectamente distintas, con ceros de intensidad entre ellas. Para a = 2X/¿ desaparecen de nuevo por completo, y la condición general es j

A 2A 3A desaparición de las franjas r 1 /- 1 n 1

d d d con una rendija manantial.

Tiene importancia práctica, al observar experimentalmente las franjas de la doble rendija, saber qué anchura puede tener la rendija manantial para obtener franjas intensas sin gran menoscabo de su definición. E l valor exacto dependerá de nuestro criterio para definir las franjas, pero una regla útil es permitir una discordancia máxima de ellas de alrededor de un cuarto de la que produce la primera desaparición. Si /' es la distancia focal!de la primera lente, esto corresponde a una anchura máxima admisible de la rendija manantial ¡

PP' = /' a = £ i [16-11] i 4a .i

* ! i I 16-8. Interferómetro estelar de Michelson.—Como se vio en

la sección 15-9, la mínima separación angular que pueden tener dos manantiales puntuales para que sus imágenes aparezcan separadas en el plano focal de un anteojo es a = 6X = 1,22 A/Z). E n esta ecuación (Ec. [15-9]), D es el diámetro del objetivo del anteojo. Supongamos que cubrimos el objetivo con una pantalla provista de dos rendijas paralelas separadas una distancia casi igual al diámetro de aquel. Una separación conveniente sería d — D/1,22. Apuntando el anteojo a una estrella doble, y girando las rendijas hasta que sean perpendiculares; a la línea que une las dos estrellas, se observarán en general franjas de interferencia debidas a la doble rendija. Sin embargo, de acuerdo con la ecuación [16-9], si la separación angular de las dos estrellas resulta ser a = A/2¿, condición ¡para la primera desaparición, no se observarán franjas. Las de una estrella enmascaran completamente las de la otra. De la no aparición de franjas pudiera inferirse que se trata de una 'estrella doble con una separación angular A/2á o un múltiplo de esta. (Los múltiplos pueden ser desechados por observación directa sin la doble rendija.) Pero esta separación no es más que la mitad del ángulo mínimo de resolución del objetivo completo, 1,22A/D, que en este caso es igual a X/á. E n este sentido es instructivo comparar (Fig. 16-8) las dimensiones de la figura de difracción de una abertura rectangular de anchura b con la figura de interferencia debida a dos rendijas estre-

SEC. 16-8] INTERFEROMETRO ESTELAR D E MICHELSON 349

chas cuya separación d es igual a b. E l máximo central es solo la mitad de ancho en el segundo caso. Por eso se dice a veces que el poder separador de un anteojo se duplica al cubrir el objetivo con una doble rendija. Este aserto necesita cumplir, no obstante, dos requisitos importantes. E n primer lugar, las estrellas no se «resuelven» en el sentido de producir imágenes separadas, sino que meramente se infiere su existencia del comportamiento de las franjas. E n segundo lugar, se observa un emborronamiento parcial de las franjas, sin que desaparezcan totalmente, para separaciones mu-

FIG. 16-8.—Figuras de Fraunhofer de: {a) una abertura rectangular, y (b) una rendija doble de separación igual a la anchura en (a). En (í>) se ven los cuatro

espejos auxiliares del interferómetro estelar.

cho menores de X/2d, lo que pone de manifiesto la existencia de dos estrellas, y desde este punto de vista la separación mínima resoluble es considerablemente menor que la indicada anteriormente. E n la práctica es aproximadamente un décimo de ella.

L a medida de la separación de una estrella doble dada se consigue haciendo variar d. Se va aumentando d hasta que se produce la primera desaparición; en este momento, midiendo d, se obtiene la separación angular a = X/2á\ Además hay que medir, naturalmente, la longitud de onda efectiva X de la luz estelar. De ordinario, las separaciones de las estrellas dobles no se miden por este método, por no ser muy grande su ventaja sobre el método directo, y las observaciones del efecto Doppler (Sec. 11-6) procuran un medio más sensible de detección y medida. Por el contrario, el método de interferencias con doble rendija ha sido hasta hace poco 2

«Véase R. H . BROWN y R. Q. Twiss: Nature, 178, 1447, 1956.

350 LA DOBLE RENDIJA [CAP. 16

el único medio de medir el diámetro del disco de una estrella sencilla, y Michelson lo aplicó ya en 1920 para dicho fin con gran éxito.

Según lo expuesto en la sección anterior, se comprende que si un manantial, tal como el disco de una estrella, subtiende un ángulo finito, desaparecerán las franjas cuando la separación de la doble rendija sobre el anteojo sea suficientemente grande. Michelson fue el primero en poner de manifiesto la aplicabilidad de este método para medir los diámetros de los satélites de Júpiter, que subtienden un ángulo de alrededor de 1". E n este caso los valores de d para la primera desaparición son solo de unos pocos centímetros, y la medida es realizable con una doble rendija de separación variable situada sobre el objetivo. Por el hecho de ser el manantial un disco circular en lugar de un rectángulo, hay que introducir una corrección en la ecuación « = \jd para una rendija. Esta corrección se obtiene por el mismo método usado para deducir el poder separador de una abertura circular, y da el mismo factor. Se encuentra que en el caso de un manantial circular se produce la primera desaparición para oc — l,22Á/¿. Haciendo estimaciones de los diámetros angulares de las estrellas fijas más próximas situadas a distancia conocida, suponiendo que son del mismo tamaño que el Sol, se obtienen ángulos menores de 0,01". L a separación de la doble rendija necesaria para detectar un disco de este tamaño habría de ser de 6 a 12 m. Es claro que ninguno de los anteojos existentes puede utilizarse con el método descrito para medir diámetros estelares. Otro inconveniente es que las franjas serían tan finas que habría dificultad en separarlas.

Como el emborronamiento de las franjas es el resultado de variaciones de la diferencia de fase entre la luz que llega a las dos rendijas procedente de los diversos puntos del manantial, Michelson comprobó que era posible aumentar esta diferencia de fase sin aumentar d. Esto se consiguió recibiendo la luz de una estrella en dos espejos planos M y M' [Fig. 16-8 (b)] y reflejándola hacia las rendijas mediante otros dos espejos más. Entonces una variación a en el ángulo de los rayos incidentes originará una diferencia de recorrido hasta las dos rendijas de La., donde L es la distancia MM' entre los espejos exteriores. Las franjas desaparecerán ahora cuando esta diferencia sea igual a 1,22X, aumentando así la sensibilidad en la razón L/d. E n las medidas reales, M y M' eran dos espejos de 15 cm montados sobre una viga frente al reflector de 250 cm de Mont Wilson, de modo que podían separarse simétricamente. E n el caso de la estrella Arturo, p. ej., la primera desaparición de las franjas se produjo para L — 7 m, lo que corresponde a un diámetro angular a = 1.22X/Z, de solo 0,02".

SEC. 16-9] INTERFERENCIAS CON GRANDES ANGULOS 351

A partir de la distancia, que se supone conocida, se halla que su diámetro lineal es 27 veces mayor que el del S o l 3 .

16-9. Interferencias con grandes ángulos.—Hasta aquí nada se ha dicho sobre si existe algún límite para el ángulo formado por dos haces que interfieren al abandonar el manantial. Consideremos, p. ej., el dispositivo de doble rendija representado en la figura 16-9 (a). E l manantial S pudiera ser una rendija estrecha, pero para asegurar que no hay coherencia entre sus diversos puntos supondremos que se trata de un objeto luminoso por sí mismo. Se encuentra experimentalmente que el ángulo <j> puede ser bastante grande sin que se pierdan las franjas, siempre que la anchura, del manantial se haga convenientemente pequeña. E l tamaño-

ü capa fluorescente

FIG. 16-9.—Dos métodos para estudiar interferencias bajo grandes ángulos.

adecuado se deduce de que la; diferencia de recorrido desde los bordes del manantial a un punto dado de la pantalla, tal como P , ha de ser menor que A/4. Si ahora llamamos s a la anchura del manantial, el estudio hecho en la sección 15-11 demuestra que esta diferencia de recorrido será 2s sen <f>¡2. Por tanto, para una divergencia de 60°, s no puede exceder de un cuarto de longitud de onda, o sea 1,3 x 10~~5cm para la luz verde. Si la anchura es superior a este valor, desaparecerán completamente las franjas cuando la diferencia de recorrido es A, reaparecerán y volverán a desaparecer para 2A, etc., como en el interferómetro estelar. Utilizando como manantial un filamento extremadamente delgado, Schródinger detectó aún interferencias con una divergencia angular <¡> de 57°. : i

Selenyi ideó en 1911 un experimento equivalente que permite actuar con ángulos de divergencia aún mayores (hasta de 180°). La figura 16-9 (b) muestra la parte esencial de su aparato, que se compone de una película de líquido fluorescente cuya anchura es de solo 1/20 A, incluida entre una delgada laminilla de mica y una

3 Más detalles de estas medidas pueden verse en el libro de A. A. MICHELSON: Sludies in Optics, cap. XI, University of Chicago Press, Chicago, 1927.

.352 LA DOBLE RENDIJA J [CAP. 16

superficie plana de vidrio. Iluminando intensamente la película, se convierte en un manantial secundario de luz con una longitud • de onda algo mayor que la incidente (véase Sec. 22-5). Entonces es fácil observar interferencias entre la luz que procede directamente de la película y la reflejada en la superficie exterior de la mica. A partir de los datos sobre la variación de la visibilidad de las franjas con el ángulo, se deducen importantes conclusiones

^acerca de las características de los átomos radiantes, en particular si radian como dipolos, cuadripolós, etc. 4

P R O B L E M A S

16-1. Demuéstrese que la ecuación [16-3] puede reducirse, para el ••caso d = 6, a la ecuación que da la distribución de la intensidad corres-pondiente a una rendija de anchura 2b.

16-2. La anchura de cada una de las rendijas de una doble rendija •es 0,17 mm, y la separación de sus centros, 0,85 inm. ¿Existen órdenes desaparecidos, y si es así, cuáles son? ¿Cuáles son las intensidades relativas

.aproximadas de las órdenes m = O y » t = 3? | Sol.: m = 5, 10, 15,... 1:0,22.

16-3. Se ilumina la doble rendija ¡del problema 16-2 con luz paralela •de longitud de onda 4358 Á, y la figura de difracción se enfoca sobre una •pantalla mediante una lente de distancia focal igual a 60 cm. Utilizando •como abscisas las distancias en milímetros sobre la pantalla, hágase una representación cualitativa de la distribución de intensidad análoga a la

•de la figura 16-4 (c). Incluyanse los primeros 14 órdenes a un lado del máximo central. j

16-4. Dibújese la curva de vibración apropiada para el punto en el -cual la diferencia de fase 8 = 27Ü/3 eni el caso de una doble rendija en la -cual el espacio opaco entre las rendijas es la mitad de la anchura entre las propias rendijas. ¿Cuál es el valor de {$ para este punto? Obténgase

:gráficamente un valor de la intensidad en el punto en cuestión respecto a la del máximo central. j Sol.: p = 40°. I = 0,212.

16-5. Hágase un diseño cualitativo de la figura de intensidad producida por una doble rendija de d =2,66. Supóngase que la intensidad del máximo central es la unidad y represéntense en el eje de abscisas los valores de m y p como en la figura 16-4 (o).

16-6. La figura de difracción de Fraunhofer, formada por una doble -rendija compuesta de rendijas de anchura 0,5 mm y separadas d = 20 mm, es -observada con luz de sodio sobre una pantalla situada 50 cm detrás de -las rendijas. Suponiendo que el ojo puede separar franjas que subtienden 1 min de arco, ¿qué aumento sería necesario para verlas en este caso? ¿Cuántas franjas se producirían después del máximo central? ¿Y después

•de uno de los máximos laterales? Sol.: 4,9 x . 79. 39. 16-7. Dedúzcase la ecuación [16-3] mediante el método de las ampli

tudes complejas descrito en la sección 14-8. 16-8. Si d = 46 para una doble! rendija, determínese exactamente

-cuánto está desplazado el máximo de segundo orden de la posición dada -por la ecuación [16-7] a causa de la modulación producida por la envol-

* Q . HALPERN y F. W. DOERMANN: Phys. Rev., 52, 937, 1937.

PROBLEMAS 353

vente de difracción. La mejor solución del problema consiste en representar las intensidades en la proximidad del máximo esperado. Exprésese el resultado como fracción de la separación de órdenes.

Sol.: 0,048 de orden hacia el centro. 16-9. Sobre un banco óptico se han colocado dos pares de dobles

rendijas. El espaciamiento entre rendijas en el primero es d = 0,2 mm, e inmediatamente delante de él, ei) un extremo del banco, se ha colocado un arco de sodio. Detrás del segundo par, para el cual d = 0,8 mm, y muy próximo a él, se encuentra el ojo que ve claramente franjas producidas por doble rendija cuando mira el extremo alejado del banco. Si el ojo y la segunda doble rendija se mueven conjuntamente hacia las rendijas manantial, para una cierta posición, las franjas desaparecen completamente. Hállese la máxima distancia entre las dobles rendijas para que esto suceda.

16-10. Calcúlese el valor de la visibilidad (Sec. 13-12) de las franjas producidas por una doble rendija cuando el manantial es una estrella doble separada por un décimo de la distancia necesaria para la desaparición completa. Esta es la condición citada en la sección 16-8 para que sea justamente perceptible al ojo. Sol.: 98,8 %.

16-11. Al efectuar observaciones de la figura de difracción de Fraunhofer formada por una doble rendija con b = 0,12 mm, d — 0,78 mm, se coloca esta última entre dos lentes como indica la figura 16-7 (a). La distancia focal de ambas lentes es 85 cm. La rendija manantial es iluminada con luz procedente de la raya verde del mercurio. De acuerdo con el criterio usual para definir franjas, ¿qué anchura puede tener la rendija manantial para obtener la mejor intensidad sin sacrificio apreciable de la nitidez?

16-12. Dedúzcase una fórmula que dé el número de máximos de interferencia que se producen después del máximo central en la figura de difracción de una doble rendija, en función de la separación entre rendijas d y de la. anchura de estas b. Sol.: 2{d¡b) — 1.

16-13. La mayor estrella medida por Michelson con su interferómetro estelar ha sido la gigante roja Betelgeuse. Como longitud de onda efectiva de la luz procedente de esta estrella puede tomarse 5700 Á. La primera desaparición completa de las franjas se produjo cuando los espejos distaban 307,34 cm. Calcúlese el diámetro angular en segundos del disco estelar.

16-14. Young realizó su famoso experimento por primera vez observando la interferencia de la luz procedente de dos orificios próximos. Supongamos que dichos orificios tengan alrededor de 0,4 mm de diámetro. Si se utiliza luz de longitud de onda 5550 Á, ¿a qué distancia debe colocarse uno de otro para que los dos discos de Airy queden superpuestos en la mitad de radio de cada uno cuando la observación se efectúe a la distancia de 1 m detrás de los orificios? Hágase un esquema cualitativo de la figura de interferencia tal como aparecería al ojo.

Sol.: 2,54 mm. 3 franjas de interferencia. 16-15. Con una sola lámpara de filamento de wolframio como manan

tial y una lente colimadora de 3,5 cm de distancia focal frente a una doble rendija, se han ensayado varias separaciones de la doble rendija, aumentándola hasta que dejen de aparecer franjas. Si esto sucede para d = 8 mm, calcúlese el diámetro del filamento tomando X = 6000 Á.

16-16. Las franjas de interferencia formadas en el experimento de Selenyi no son, evidentemente, ni de doble rendija ni de reflexión múltiple. ¿A cuál de los diversos dispositivos para producir interferencias, descritos en los capítulos XIII y XIV, se parece más?

Sol.: Al interferómetro de Michelson.

J E N K I N S - W H J I E .—2 3

CAPITULO XVII

LA RED DE DIFRACCION

Se denomina red de difracción a cualquier dispositivo que actúe como un cierto número de rendijas paralelas equidistantes de la misma anchura. Como la red es un instrumento muy eficaz para el estudio de espectros, trataremos con algún detenimiento la figura de intensidad que origina. Veremos que, en general, esta figura es muy compleja, pero tiene cierto número de características comunes con la de la doble rendija estudiada en el capítulo precedente. De hecho, esta última puede considerarse como una red elemental de solo dos rendijas. No obstante, no se utiliza como espectroscopio, pues estos requieren normalmente varios miles de rendijas muy finas. L a razón de ello se hace evidente al estudiar la diferencia entre la figura debida a dos rendijas y la debida a muchas.,

17-1. Efecto de aumentar el número de rendijas.—Al fotografiar la figura producida por una, dos, tres y más rendijas de la misma anchura se obtiene una serie de imágenes como las de la figura 17-1 (a) a (/). L a disposición del manantial luminoso, rendija, lentes y placa fotográfica es similar a la descrita en capítulos anteriores, habiéndose utilizado la raya azul de un arco de mercurio. Estas figuras corresponden, por consiguiente, a la difracción de Fraunhofer. De hecho, se debe a las investigaciones originales realizadas en 1819 por Fraunhofer sobre la difracción de luz paralela mediante redes el que este tipo de difracción lleve su nombre. Las primeras redes de Fraunhofer se construyeron arrollando finos hilos alrededor de dos tornillos paralelos. Las utilizadas para obtener la figura 17-1 se hicieron trazando rayitas transparentes sobre la gelatina de la emulsión de una placa fotográfica.

L a modificación más importante que aparece en la figura al aumentar el número de rendijas es que los máximos son más estrechos. Con dos rendijas son difusos con una intensidad que, según hemos visto en el capítulo anterior, varía como el cuadrado del coseno. Con más rendijas aumenta rápidamente la nitidez de estos máximos principales, y en la figura (/), obtenida con 20 rendijas, se han convertido en delgadas líneas. Otra variación, de menor importancia, es la aparición de máximos secundarios débiles situados entre los principales, cuyo número aumenta con

354

SEC. 17-1] EFECTO*DE AUMENTAR ÉL NUMERO D E RENDIJAS 355

(c) ! (f)

FIG. 17-1.—Figuras de difracción de Fraunhofer para redes con diverso número de rendijas.

í

el número de rendijas, como se ve en (c), (d) y (e). Con tres rendijas solo hay un máximo secundario, cuya intensidad es el 11,1 % de la del máximo principal. L a figura 17-2 muestra la curva de intensidad en este caso, de acuerdo con la ecuación teórica [17-2] dada en la sección siguiente. Se supone en este caso que las rendijas individuales son muy estrechas. E n realidad, las intensidades de todos los máximos se rigen por la figura de una sola rendija de anchura igual a la de una cualquiera de las utilizadas. L a anchura de las envolventes de intensidad sería idéntica en las diver-

1/ i /TV1 / \J l sen 8 —»-

FIG. 17-2.—Máximos principales y secundarios en una red de tres rendijas.

356 í

L A R E D D E DIFRACCION [CAP. 17

sas figuras de 17-1 si las rendijas hubiesen tenido la misma anchura en todos los casos. De hecho, hay pequeñas variaciones en la anchura de las rendijas utilizadas en algunas de las figuras.

17-2. Distribución de la intensidad en una red ideal.—En este caso también son utilizables los procedimientos empleados en las secciones 15-2 y 16-2, para las rendijas sencilla y doble, extendiendo la integración sobre la abertura de las rendijas, aunque resulta un proceso algo engorroso. E n su lugar aplicaremos el método, de las amplitudes complejas (Sec. 14-8). L a operación es más sencilla que en el caso de reflexiones múltiples, pues en la red las amplitudes con que contribuye cada rendija son todas iguales. Designemos por a esta amplitud y por N al número de rendijas. L a variación de fase 8 será igual al pasar de una rendija a la siguiente; por tanto, la amplitud compleja resultante será la suma de la progresión

Aei6 = fl(l + ea + eia* + UA

+ • • • - f e ^ - 1 ) * ) 1 — eiNS

1 — e1'

Para hallar la intensidad hay que multiplicar esta expresión por su conjugada, como en la ecuación [14-9], lo que da

(1 —e'*)(l —e-'6) j , 1 — eos N8 = a? — 1 — coso

Usando la relación trigonométrica 1 — eos a = 2 sen2 (a/2), se puede escribir

sen2(A7S/2) sen2JVY \ A ~ sen2(S/2) ~ " sen2y ;i l U ^

donde, como en la doble rendija] y = 8/2 = (rzd sen 8)/X. Ahora el factor a2 representa la intensidad difractada por una sola rendija, y después de sustituir su valor dado por la ecuación [15-4], se obtiene finalmente la expresión de la intensidad en la figura de Fraunhofer de una red ideal '

^ 2 = s e n ^ s e n ^ ! p¿ sen ¿y

Para N = 2 esta fórmula se reduce fácilmente a la ecuación [16-3] para la doble rendija.

17-3. Máximos principales.—El nuevo factor (sen2 A^y^sen 2 y) puede decirse que representa el término correspondiente a la in-

SEC. 17-4] MINIMOS Y MAXIMOS SECUNDARIOS 357

terferencia en el caso de N rendijas. Toma su valor máximo, igual a N2, para y = 0, iz, 2n, .... Aunque el cociente quede indeterminado para estos valores, el resultado puede obtenerse teniendo en cuenta que

l j m ( ! ^ \ = l i m / ^ c o s i V y \ v - m „ \ sen y / y-*m„ \ cos y /

L a posición de estos máximos corresponde a la de los de la doble rendija, pues para los valores anteriores de y

d sen 0 = 0, X, 2X, 3X, . . . — trik máximos principales [17-4]

Pero su intensidad aumenta en razón del cuadrado del número de rendijas. Las intensidades relativas de los diferentes órdenes m están regidas en todos los casos por la envolvente de la difracción correspondiente a una rendija, (sen2 8)/S2. Por tanto, la relación entre 6 y y en función de la anchura y separación de las rendijas (Ec. [16-4]) permanece inalterada, así como la condición para los órdenes desaparecidos (Ec. [16-8]).

17-4. Mínimos y máximos secundarios.—Para hallar los mínimos de la función (sen2 Ary)/(sen2 y) observemos que el numerador se anula mucho más frecuentemente que el . denominador, y ello ocurre para los valores A/y = 0, -K, 2TZ, o, en general, PTZ. E n los casos especiales en que p = 0, N, 2N, y será 0, 7i, 2TZ, para estos últimos valores también se anula el denominador y tenemos los máximos principales ya descritos. Para los otros valores de p la intensidad es nula, ya que para ellos no se anula el denominador simultáneamente. Por tanto, la condición de mínimo es y = pn/N, excluyendo aquellos valores de p

. para los cuales p = mN, siendo m el orden. Estos valores de y corresponden a diferencias de recorrido

, . X 2X 3X {N — 1)\(N + 1)X , . r „ „ d sen 0 = — , — . — . • • • , :—¡-r- 1 -' -—rr-1— • ' • mínimos [17-5] N N N N N 1 1

omitiendo los valores 0, Nl/N, 2NX/N, .... para los cuales d sen 0 = mk, y que, de acuerdo con la ecuación [17-4], representan máximos principales. Entre dos máximos principales contiguos habrá, por tanto, N — 1 puntos de intensidad nula. Los dos mínimos' situados a ambos lados de un máximo principal distan el doble que los otros.

Entre los otros mínimos la intensidad crece de nuevo, pero los máximos secundarios que se producen son mucho menos intensos que los principales. L a figura 17-3 muestra, para el caso de seis rendijas, una representación de las magnitudes sen2 A/y y sen2 y, así como de su cociente, que da la distribución de inten-

358 LA RED D E DIFRACCION [CAP. 17

sidad en la figura de interferencia. La intensidad de los máximos principales es N2, o sea 36, por lo que la figura inferior está dibujada a una escala menor. Se representan también las intensidades de los máximos secundarios. Estos no tienen todos la misma intensidad, sino que decrecen a ambos lados al alejarnos de los máximos principales. No están en general igualmente espaciados, debido a que los máximos tampoco son totalmente simétricos.

i,o| ib)

Afa = O jr 2n 3JT 4TT 5JT 6JI

i i i i

sen fl = 0

F I G . 17-3.—Difracción de Fraunhofer en una red de seis rendijas muy estrechas y detalles de la figura de intensidad.

Esta falta de simetría es mayor en los máximos secundarios inmediatamente contiguos a los principales, y es tal que los máximos secundarios están ligeramente desplazados hacia el máximo principal adyacente.

Estas características de los máximos secundarios muestran una gran semejanza con las de los máximos secundarios de la figura de una sola rendija. Esta semejanza se destaca comparando la parte central de la figura de intensidad 17-3 (d) con la 15-4 para una sola rendija. A l crecer el número de rendijas, aumenta también el número de máximos secundarios, pues es igual a A7' — 2. A la vez aumenta el parecido de cualquier máximo principal y sus máximos secundarios adyacentes con los de la rendija sencilla. L a figura 17-4 muestra la curva de interferencia para N = 20, correspondiente a la última fotografía de la figura 17-1. E n este caso hay 18 máximos secundarios entre cada par de máximos principales, pero solo los muy próximos a estos tienen una in-

SEC. 17-5] FORMACION DE ESPECTROS MEDIANTE UNA RED 359

tensidad apreciable, y aun así no son lo suficientemente fuertes para aparecer en la fotografía. L a coincidencia en este caso con la figura de la rendija sencilla es prácticamente completa. E n la sección 17-10 se estudiará la razón física de esta coincidencia, demostrándose que las dimensiones de la figura corresponden a las de una «rendija» de igual anchura que la red completa. Aun cuando el número de rendijas sea pequeño, puede demostrarse que las intensidades de los máximos secundarios son calculables sumando cierto número de figuras de rendija sencilla, una para cada orden (Probl. 17-6).

17-5. Formación de espectros mediante una red.—Los máximos secundarios, que acabamos de considerar, tienen poca impor-

I^W r v w y ) j — ^

JV7=>r27r37r 18jrl97r21jr22rr 38*39*4171:42* 58rr 59ir 6lV 62rt

FIG. 17-4.—Figura de intensidad para 20 rendijas estrechas.

tancia en la producción de espectros mediante redes de muchas rayas. Los máximos principales estudiados en la sección 17-3 se llaman rayas espectrales, pues cuando el manantial luminoso primario es una estrecha rendija se convierten en líneas muy nítidas y brillantes. Estas líneas) serán paralelas al rayado de la red si la rendija tiene también ésta dirección. Para luz monocromática de longitud de onda X, los ángulos 6 para los cuales se forman estas líneas están dados por la ecuación d sen 0 = mk (Ec. [17-4]), que aparece habitualmente en los libros de texto. Una ecuación de tipo más general incluye la posibilidad de que la luz incida en la red bajo un ángulo i. L a ecuación se convierte entonces en

¿(sen i -f- sen 6) — m\ , ecuación de la red [17-6]

puesto que, como se ve en la figura 17-5, esta es la diferencia de recorrido para la luz que pasa por dos rendijas contiguas. L a figura muestra la trayectoria de los rayos que forman los máxi-

360 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

FIG. 17-5.—Posiciones e intensidades de los máximos principales de una red en la que luz de dos longitudes de onda incide bajo un ángulo i y se difracta bajo'

varios ángulos 0.

mos de orden m = 0 (llamada imagen central), y m = 4, para una longitud de onda particular, lv La ecuación \ [17-6] indica que para la imagen central sen 6 = — sen i, o sea 0 = — i. E l signo negativo proviene de tomar jt y 6 como positivos cuando se miden al mismo lado de la normal; es decir, nuestro convenio de signos es tal que siempre que los rayos pasan por encima de la normal a la red se considera a ú negativo. Los máximos sombreados corresponden a los diversos órdenes de la longitud de onda \ v E n el caso del orden cuarto, p. éj., las diferencias de recorrido indicadas son tales que ¿(sen i + sen 6) = 4\. Las intensidades de los máximos principales están limitadas por la figura de difracción correspondiente a una rendija sencilla (línea de trazos) y se anulan en el primer mínimo de esta figura, que en este caso coincide con el quinto orden. Los órdenes desaparecidos son, por tanto, m ~ 5, 10, como se hubiera producido para d = 56.

Si ahora el manantial emitiese luz de otra longitud de onda A 2, algo mayor que Xx, los máximos del orden correspondiente m para esta longitud de onda se producirían para ángulos 0 mayores, de acuerdo con la ecuación [17-6], Como las líneas espectrales

SEC. 17-6] DISPERSION 361

son estrechas, estos máximos estarán en general completamente separados en cada orden de los correspondientes a \, y tendremos dos líneas que forman una raya espectral en cada orden. E n la f i gura se han indicado estos espectros mediante corchetes. Pero en la figura central, coincidirán ambas longitudes de onda, pues en ella la diferencia de recorrido es nula para cualquier longitud de onda. A l otro lado de la imagen central se produce otra serie análoga de espectros, y en cada orden la longitud de onda menor

-4 -3 -2 -1 Cl. 1 2 3 4

* -3 -2 -1 01 i 2 3 4

-4 -3 - 2 - 1 CX J 2 3 4

FIG. 17-6.—Espectros de red de dos longitudes de onda: (a) X, = 4000 Á; (6) Xa = 5000 Á; (c) A., y í.a juntas.

es la más próxima a la imagen central. L a figura 17-6 reproduce fotografías reales de espectros de red correspondientes al diagrama de la figura 17-5. S i el manantial emite luz blanca, la imagen central será blanca, pero en cada uno de los otros órdenes tendremos un espectro continuo compuesto de un número infinito de imágenes adyacentes de las rendijas correspondientes a las diversas longitudes de onda presentes. E n un punto dado de este espectro continuo, la luz es casi monocromática debido a la estrechez de las imágenes de la rendija formadas por la red y la lente. A este respecto, el resultado es completamente diferente que en e l caso de la doble rendija, para la cual las imágenes eran anchas y los colores espectrales no estaban separados.

17-6. Dispersión.—La separación de dos colores cualesquiera, tales como \ y X2, aumenta con el orden (Figs. 17-5 y 17-6). P a r a expresar esta separación se uti l iza frecuentemente la magnitud Ha-

362 LA RED D E DIFRACCION [CAP. 17

macla dispersión angular, definida como la razón de la variación del ángulo a la variación de la longitud de onda. Se obtiene una expresión de esta magnitud derivando la ecuación [17-6] respecto a A, y recordando que i es una constante independiente de la longitud de onda. Sustituyendo la derivada por la razón de incrementos finitos, se tiene

Vemos en primer lugar que para una pequeña diferencia de longitud de onda A A dada, la separación angular A0 es directamente proporcional al orden m. Por tanto, el espectro de segundo orden tiene doble anchura que el de primer orden; el tercero es tres Teces más ancho, etc. E n segundo lugar, A0 es inversamente proporcional a la separación de rendijas d, llamada normalmente constante de la red. Cuanto más pequeña sea esta, tanto más dispersos serán los espectros. E n tercer lugar, la presencia de eos 9 en el denominador significa que para un orden dado m la dispersión será mínima sobre la normal, donde 0 = 0, y aumentará lentamente al alejarnos de ella en cualquier sentido. Si 0 no es muy grande, eos 0 no diferirá mucho de la unidad, y este factor será de poca importancia. Despreciando su influencia, las diversas líneas espectrales de un orden dado tendrán separaciones angulares directamente proporcionales a su diferencia de longitud de onda. A tal espectro se le llama normal o racional, y una de las principales ventajas de las redes sobre los prismas es que la escala de longitudes de onda de su espectro es lineal.

L a dispersión lineal en el plano focal del anteojo o cámara fotográfica es A//AA, donde / es la distancia a lo largo de este plano. Su valor suele obtenerse multiplicando la ecuación [17-7] por la distancia focal de la lente. No obstante, en algunos dispositivos se gira la placa fotográfica de modo que la luz no incida normalmente sobre ella, con lo que aumenta la dispersión lineal. A l especificar la dispersión de un espectrógrafo suele darse el valor del llamado factor de placa, que es la recíproca de la magnitud anterior, y se expresa en angstroms por milímetro.

17-7. Superposición de órdenes,—Si el intervalo de longitudes de onda es grande, p. ej., si observamos la totalidad del espectro visible entre 4000 y 7200 Á, se produce un considerable sola-pamiento de los órdenes superiores. Supóngase que observamos una cierta raya roja de 7000 Á en el tercer orden. E l ángulo de difracción de esta raya se halla despejando 0 en la ecuación

AO AA d eos 6

m dispersión angular [17-7]

¿(sen i + sen 0) = 3 x 7000

SEC. 17-8] ANCHURA DE LOS MAXIMOS PRINCIPALES 363

donde d se expresa en ángstroms. Pero para el mismo ángulo 6 está presente una raya verde en el cuarto orden, de longitud 5250 Á, ya que

4 x 5250; = 3 X 7000

Análogamente, la raya violeta de 4200 Á coincidirá para el quinto orden en ese lugar. L a condición general que han de verificar las diversas longitudes de onda que corresponden a un ángulo 0 dado es

¿(sen i + sen 8) = \ = 2X2 = 3X8 = • • • [17-8]

donde \, X2, etc., son las longitudes de onda en los órdenes primero, segundo, etc. Para el espectro visible no se produce solapamiento de los órdenes primero y segundo, pues para Xx = 7200 Á y X2 = = 4000 Á el extremo rojo del primer orden cae justamente fuera del extremo violeta del segundo. No obstante, en las observaciones fotográficas estos órdenes se extienden hasta 2000 Á (en el ultravioleta)-, superponiéndose los dos primeros. Se soslaya dé ordinario esta dificultad utilizando filtros de color adecuado, con el fin de absorber de la luz incidente aquellas longitudes de onda que cubrirían la región a estudiar. Así, p. ej., una lámina de vidrio rojo que transmita solo longitudes superiores a 6000 Á evita en el caso anterior el solá.pamiento de longitudes menores de orden superior, lo que podría perturbar la observación de la raya de 7000 Á y de las rayas | próximas a esta.

17-8. Anchura de los máximos principales.—Al comienzo de la sección 17-4| se vio que los primeros mínimos a cada lado de un máximo principal cualquiera se producen cuando == = mNiz ± TC, o sea para y == miz ± (TC/A7). Si y = miz, tenemos los máximos principales, debido a que la diferencia de fase 8 o 2y, de la luz procedente de' puntos correspondientes de ren? dijas contiguas, les 2TCW, O sea un número entero de vibraciones completas. Pero si la variación del ángulo es suficiente para producir un cambio de 2n¡N en la ¡diferencia de fase, no se produce refuerzo, sino que la luz de las diversas rendijas interfiere ahora produciendo intensidad nula. Una diferencia de fase de 2n/N entre el máximo y el primer mínimo significa una diferencia de recorrido de X/A7. '

Para ver por qué esta diferencia de recorrido produce intensidad nula consideremos la figura 17-7 (a), en la que los rayos que abandonan la red bajo un ángulo 0 forman un máximo principal de orden m. Para ellos, la diferencia de recorrido entre los procedentes de dos rendijas contiguas es mk, por lo que todas las ondas llegan en fase. L a diferencia de recorrido de los rayos extremos es entonces Nmh, pues N es siempre un número muy

364 LA RED DE DIFRACCION í [CAP. 17

(a)

F I G . 17-7.—Separación angular de dos rayas espectrales justamente resueltas por una red de difracción.

grande en la práctica x. Variemos ahora el ángulo de difracción en una pequeña cantidad A 6, de modo que la diferencia de recorridos extremos aumente en una longitud de onda, pasando a ser Nntk -f- A (rayos representados por líneas punteadas). Esto correspondería a la condición de intensidad nula, pues como se requiere, ha aumentado la diferencia de recorrido entre dos rendijas contiguas en A/TV. Se ve qué el rayo del extremo superior de la red está ahora en oposición ¡de fase con el del centro, y sus efectos se anulan mutuamente. Análogamente, el rayo de la rendija siguiente por debajo del centro anula al de la rendija siguiente por debajo del extremo superior, etc. Continuando esta anulación se obtendrá intensidad nula para toda la red, de modo enteramente análogo al proceso similar estudiado en la sección 15-3.

Por tanto, el primer cero se produce a la pequeña distancia angular A0 a cada lado de cualquier máximo principal. De la f i gura se deduce que |

0 _ ^ _ ^ semianchura angular de los [17-91 B Nd eos 6 máximos principales

Es interesante observar que esto es justamente 1/A7 de la separación de órdenes adyacentes, ya que esta última está representada

1 Con un pequeño número de rendijas es necesario utilizar el verdadero valor (N—• l)mk y hay que modificar algo el razonamiento subsiguiente, pero se llega al mismo resultado (Ec. [17-9]).

SEC. 17-9] PODER SEPARADOR 365

por la misma expresión, con la diferencia de recorrido iVX en vez de X en el numerador.

17-9. Poder separador.—Cuando hay varios millares de rendijas, como sucede en las redes ordinarias, los máximos son sumamente estrechos] E l poder separador cromático X/AX es por ello muy alto. Para calcularlo tengamos en cuenta que como la curva de intensidad es en esencia la de la figura de difracción de una abertura rectangular, es aplicable el criterio de Rayleigh (Sec. 15-6). Para que las imágenes formadas por dos longitudes de onda estén justamente resueltas, han de estar separadas la distancia angular A0 (Ec. [17-9]). E n consecuencia, la luz de longitud de onda X + AX ha de formar su máximo principal de orden m bajo el mismo ángulo que el primer mínimo de este mismo orden correspondiente a la longitud de onda X [Fig. 17-7 (b)]. Podemos, pues, igualar las diferencias de recorridos extremos en los dos casos, obteniendo

mNX + X = mN(k + AX)

de donde se deduce inmediatamente que

T \ = *»iV~ [17-10] AX Se comprende que el poder separador sea proporcional al orden m teniendo en cuenta que la anchura, de un máximo principal depende, según la ecuación [17-9], de la anchura B del haz emergente y que no varía mucho con el orden, mientras que la separación de dos máximos de diferentes longitudes de onda aumenta con la dispersión, que, en virtud de la ecuación [17-7], es casi directamente proporcional al orden. Como en el caso del prisma (Sec. 15-7), se tiene:

poder separador cromático = dispersión angular x X anchura del haz emergente,

ya que en este caso

X A6 m AT, Q — =•— x B = - „ X Nd cos 0 = mN AX AX d cos tí E n un orden determinado el poder separador es, según la ecua

ción [17-10], proporcional al número total N de rendijas, pero es independiente de su espaciamiento d. No obstante, para ángulos de incidencia y difracción dados es también independiente de A 7 , como puede verse sustituyendo en la ecuación [17-10] el valor de m dado por la ecuación [17-6]:

_X ¿(sen i + sen 6) ^ W(sen i + sen 0) ^ AX X X

366 LA RED D E DIFRACCION [CAP. 17

siendo W = Nd la anchura total de la red. Por tanto, para i y 0 dados, el poder separador es independiente del número de rayas trazadas en la distancia W. Sin embargo, una red con menor número de líneas da un orden mayor para estos ángulos dados, con el consiguiente solapamiento, y se requeriría alguna dispersión auxiliar para separar estos órdenes tal como, p. ej., el interferómetro de Fabry-Perot. Este método se ha aplicado recientemente con éxito a la red escalonada que se estudiará después. E n teoría, el poder separador máximo obtenible con cualquier red se produce para i = 0 = 90°, que, de acuerdo con la ecuación [17-11], es igual a 2W¡\; o sea, el número de longitudes de onda es dos veces la anchura de la red. En la práctica no se usan, sin embargo, estos rayos rasantes por resultar despreciable la cantidad de luz. Solo puede esperarse conseguir unos dos tercios del máximo ideal.

17-10. Curva de vibración.—Apliquemos ahora el método de composición vectorial de amplitudes utilizado en la sección 16-6 para dos rendijas, y en la 15-4 para una sola. L a curva de vibra-

(o)

a b c d e f S'O % 2% k 4% 5% 2ir 0 = 0 %

1 = 0 A 2 Ai 0=0 ~~ :~T~:

3TT

As A 6

4W

2%

A = A 0

As •t

^ A3 A 4 y

A=0 S~ " N .

/ A, A6 \

\ A 3 A 4 / V

id) i I ¿ £ , " * S \ A=0 ^ 4=0

v) í ) ü

FIG, 17-8.—Obtención de la curva de intensidad, para una red de varias rendijas, mediante la composición gráfica de amplitudes.

SEC. 17-10] CURVA D E VIBRACION 367

ción para las contribuciones debidas a los distintos elementos infinitesimales de una rendija forma de nuevo un arco circular, pero en este caso hay varios de estos arcos en la curva, correspondientes a las diversas rendijas de la red. E n la figura 17-8 se han representado los diagramas correspondientes a varios puntos, («) hasta (/), de la curva de intensidad para seis rendijas. E n el máximo central la luz de todas las ¡rendijas, y de todas las partes de cada rendija, está en fase, dando una amplitud resultante A que es N veces mayor que la de una sola rendija, como se ve en el diagrama (a) de dicha figura. E n (b) se representa la condición existente a mitad dé camino del primer mínimo. E n este punto y = TC/12, por lo que la diferencia de fase S entre puntos correspondientes de rendijas contiguas es igual a TC/6 (véase Fig. 17-3). Este es también el ángulo entre los vectores sucesivos de la serie de seis resultantes, A1 a A$, que son las cuerdas de seis pequeños arcos iguales. Como en el caso de la doble rendija, la resultante final A se obtiene componiendo estas vectorialmente, viniendo dada la intensidad resultante por A2. A l aumentar el ángulo las resultantes individuales se hacen ligeramente menores en magnitud cuando B aumenta, pues es el arco, y no la cuerda, el que tiene longitud constante. Su diferencia es pequeña aun para el punto (/).

O L a deducción de la función general de la intensidad para la red (Ec. [17-2]) es muy sencilla si se utiliza un método geométrico. E n la figura 17-9 se han representado los seis vectores amplitud de la figura 17-8 con una diferencia de fase algo menor que en la parte (b) de esta i última. Todos ellos tienen la! misma magnitud, dada por ;

An~-

FIG. 17-9.—Deducción geométrica de la función intensidad para una red.

sen B Ar [17-12]

que representa la cuerda de un arco de longitud A0 que subtiende el ángulo 26 (véase Fig. 15-6). Cada vector está inclinado un ángulo 8 = 2y respecto al siguiente, por lo que los seis forman parte de un polígono regular. E n la figura se han dibujado rectas de trazos desde los extremos de cada vector al centro O de este polígono. Estas rectas forman también entre sí un ángulo constante 2y. Por tanto, el ángulo total subtendido en el centro es

¿ =:'m = N x 2y

368 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

Se trata de encontrar la relación entre la amplitud resultante .A y las individuales A N dadas por la ecuación [17-12]. Dividiendo el triángulo OBC en dos mitades mediante una perpendicular •de 0 a A, se ve que

¿ A =2rsen —

| 2 •donde r representa OB u OC. De modo análogo, dividiendo el triángulo OBD por una recta perpendicular a A V se obtiene:

A„ '= AT =; 2r sen y

Dividiendo entre sí estas dos últimas ecuaciones, resulta:

Á . 2r sen - ¡ -

A 2 sen Ny , A„ 2r sen y sen y j

Si se sustituye el valor de A \ dado por la ecuación [17-12], Tesulta para la amplitud, i

sen B sen iVy A. = An —r

SI sen y Se ve que el cuadrado de esta expresión, que da la intensidad, coincide con el valor dado por lá ecuación [17-3].

L a aplicación de la curva de vibración a diferentes números de rendijas ayuda a comprended muchas características de las figuras de intensidad. Tal es, p. ej., la cuestión de la estrechez de los máximos principales. E l mínimo contiguo hacia un lado se alcanza cuando los vectores forman por primera vez un polígono •cerrado [Fig. 17-8 (c)]. Es evidente que al crecer el número de rendijas esto ocurrirá para valores de 8 menores, lo que significa •que los máximos se hacen más estrechos. Se ve también que para este mínimo 8 = 2n/N o y = n/N1., condición establecida al principio de la sección 17-8. Además,] al aumentar el número de rendijas, el polígono vectorial se aproxima rápidamente a un arco de circunferencia, y se justifica lá analogía con la figura debida a una sola abertura de anchura igual a la de la red. Comparando las figuras 17-8 y 15-6 para una sola rendija se ve que para grandes valores de N los diagramas correspondientes a la red se hacen idénticos a los de una rendija si reemplazamos A78/2, (o sea, Ny) por B. Como Ny es la semidiferencia de fase entre las rendijas extremas de la red, y 8, la semidiferencia de fase entre los puntos extremos de una abertura, aparece clara la razón física de la correspondencia mencionada en la sección 17-4.

SEC. 17-11] PRODUCCION DE REDES RAYADAS 369

Finalmente observemos que si proseguimos dibujando los diagramas de la figura 17-8, el máximo principal de primer orden se produce cuando el arco que representa cada intervalo d forma una circunferencia completa. E n estas condiciones todas las cuerdas son paralelas y tienen el mismo sentido que en (a), pero menor magnitud. E l segundo máximo principal se produce cuando cada arco da dos vueltas completas, alineándose de nuevo las cuerdas resultantes. Estos máximos no tienen análogos en la f i gura de la rendija sencilla.

17-11. Producción de redes rayadas.—Hasta ahora se han considerado redes idealizadas constituidas por rendijas idénticas e igualmente espaciadas separadas por intervalos opacos. Las redes reales utilizadas en el estudio de los espectros se obtienen trazando finos surcos mediante una punta de diamante, bien sobre una superficie plana de vidrio, con lo que se consigue una red de transmisión, o con más frecuencia sobre un espejo metálico pulimentado, lo que constituye una red de reflexión. La red de transmisión tiene cierto parecido con nuestra red ideal, puesto que sus canalillos difunden la luz y son efectivamente opacos, mientras que las partes inalteradas la transmiten y actúan como rendijas. Lo mismo ocurre en la red de reflexión, salvo que en este caso las partes no rayadas reflejan regularmente, cumpliéndose también aquí la ecuación [17-6] con el mismo convenio de signos para Í y 8.

L a figura 17-10 muestra dos microfotograñas de las superficies rayadas de dos redes de reflexión diferentes. L a red (a) se

F I G . 17-10.—Microfotografías del rayado de redes de reflexión, (a) Rayado ligero. (6) Rayado profundo. (Según H. D. Babcock.)

JENX1H5-WJ401S.—24

370 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

ha rayado ligeramente y sus surcos son demasiado superficiales para obtener un brillo máximo. L a (6) es una red de alta calidad de unas 6000 rayas por centímetro. Se han trazado una o dos rayas transversales verticales para poner de manifiesto más claramente el perfil de la superficie rayada.

Hasta hace poco, la mayoría de las redes se rayaban sobre metal especular, aleación muy dura de cobre y estaño; pero modernamente se trazan los surcos sobre la superficie de una lámina evaporada de aluminio blando. Con ello no solo se obtiene una mayor reflexión en el ultravioleta, sino que se produce menos deterioro sobre la punta de diamante. E l principal requisito de una buena red es que los surcos equidisten lo más posible en toda su superficie, cuya anchura oscila entre 3 y 25 cm. Este requisito es difícil de satisfacer, y hay en el mundo muy pocos lugares donde se hayan construido máquinas de precisión adecuadas para el rayado de redes de calidad. Después de trazar cada surco se alza la punta de diamante, desplazándose la red hacia adelante mediante una pequeña rotación del tornillo que acciona el soporte móvil. Para que el espaciamiento de las rayas sea regular, el tornillo ha de tener un paso de rosca muy constante, y hasta que en 1882 Rowland 2 consiguió construir un tornillo casi perfecto no se logró con éxito el rayado de redes grandes.

Si se utilizan redes rayadas sin un instrumento auxiliar para separar los diversos órdenes, el solapamiento de estos hace impracticable su uso para valores de m por encima de 4 ó 5. Por tanto, para obtener una dispersión y poder separador adecuados, la constante de la red ha de ser muy pequeña, habiéndose de grabar un gran número de surcos. Con el aparato de Rowland se consiguen 5684 por centímetro, que corresponden a ¿ = 1,693 X 10-"4 cm; de este modo, pudo rayar redes hasta de 15 cm de ancho. Este valor de d es unas tres veces la longitud de onda de la luz amarilla; por tanto, para incidencia normal no podrá observarse más que hasta el tercer orden con luz de este color. Con longitudes de onda menores se observarán órdenes más altos. Aun en el primer orden, sin embargo, la dispersión dada por tal red excede con mucho a la de un prisma. Según la ecuación de la red, el espectro visible se extiende en un ángulo de 12°. Si se proyectase con una lente de 3 m de distancia focal, el espectro cubriría una longitud de unos 60 cm sobre la placa fotográfica. E n el segundo orden tendría más de 1 m de longitud.

2 H. A. Rowland (1848-1901), profesor de Física de la Johns Hopkins Univer-sity de Baltimore. Se hizo famoso por su demostración del efecto magnético producido por una carga en movimiento, por sus medidas del equivalente mecánico del calor y por la invención de la red cóncava (Sec. 17-15).

SEC. 17-12] ANIMAS 371

No obstante, la gran ventaja de la red sobre el prisma no radica en su mayor dispersión, sino en el elevado poder separador que proporciona. L a dispersión lineal se aumenta sin más que utilizar un objetivo de gran distancia focal; pero por encima de un cierto límite impuesto por la finura del grano de la emulsión fotográfica no pueden obtenerse más detalles. Con dispersión suficiente, la limitación final es el poder separador cromático. Una red de Rowland de 15 cm da en el primer orden X/AX = 15 X 5684 85 300. E n la región del anaranjado dos líneas que solo disten 0,08 Á estarán resueltas, y con la dispersión anteriormente mencionada cada línea será de unos 0,015 mm de ancha solamente. Esta separación no es más que un octavo del doblete anaranjado del sodio. U n prisma de vidrio, aun para un valor de dnfdl de — : 1200 c m - 1 , necesitaría, según la ecuación [15-8], tener una base de 64 cm para lograr igual resolución.

Thorp fue quien primero demostró que podían obtenerse redes de transmisión bastante buenas haciendo un molde de la superficie rayada ¡con alguna sustancia transparente. Estas cofias de redes son muy aceptables cuándo no se necesita el poder separador máximo. Vertiendo colodión o acetato de celulosa, adecuadamente diluido, sobre la superficie de la red, forma al secarse una película delgada y resistente que se despega de la red original bajo el agua. Entonces sje monta sobre una lámina plana de vidrio o sobre un espejo cóncavo. Este proceso entraña casi siempre deformaciones y acortamientos, por lo que las copias rara vez funcionan tan bien como el original. Sin embargo, gracias a los modernos perfeccionamientos en las técnicas de plásticos, se obtienen copias de alta calidad.

17-12. Animas.—En una red real las rayas no son perfectamente equidistantes. Ello origina varios efectos, según la naturaleza del error cometido en el rayado. Pueden considerarse tres tipos: 1) E l error es -perfectamente al azar, en magnitud y dirección. E n este caso la red dará una difusión continua de luz como fondo de los máximos principales, aunque se utilice luz monocromática. 2) E l error aumenta de modo continuo en una dirección. Ello hace que la red tenga «propiedades focales». L a luz paralela deja de serlo' después de la difracción, haciéndose ligeramente convergente o divergente. 3) E l error es periódico sobre la super-cie de la red. Es el tipo más común, pues se origina por defectos del mecanismo grabador. Origina «ánimas», o líneas falsas, que acompañan a los máximos principales de la red ideal. Cuando el error solo implica un período, estas líneas son simétricas en su intensidad y espaciamiento respecto de los máximos principales. A estas falsas líneas se las denomina ánimas de Rowland, y se aprecian fácilmente en la figura 21-8 (g). Más perturbadoras,

372 L A RED D E DIFRACCION [CAP. 17

aunque menos frecuentes, son las ánimas de Lyman3. Aparecen cuando el error afecta a dos períodos que son inconmensurables o cuando hay un solo error de período muy corto. Las ánimas de Lyman pueden aparecer muy ¡alejadas de los máximos principales de la misma longitud de onda.

17-13. Control de la distribución de intensidad entre órdenes.—Las intensidades relativas de los diferentes órdenes no siguen la ley (sen2B)/B2 deducida para el caso ideal (Ec. [17-3]). Es evidente que la luz reflejada en las caras de los surcos (o refractada por ellas) producirá importantes modificaciones. E n general no habrá órdenes desaparecidos. Sin embargo; las posiciones de las líneas espectrales permanecen inalteradas Ipara cualquier red de la misma constante d. De hecho, el único requisito esencial de una red es que imprima a la onda difractada alguna variación periódica, sea de amplitud o de fase. La intensidad relativa de los diversos órdenes está entonces determinada por la distribución angular de la luz difractada por un solo elemento, de anchura d, sobre la superficie de la red. E n la red ideal esto corresponde a la difracción en una rendija sencilla. E n las redes rayadas suele ser un factor complejo, que en los comienzos de' la fabricación de redes se consideró completamente incontrolable. Más recientemente, R. W. Wood ha conseguido construir redes capaces de concentrar casi un 90 % de la luz de una determinada longitud de onda en un solo orden a un lado. Con ello se evita una de las principales desventajas de las redes en comparación con los prismas, esto es, la presencia de múltiples espectros, ninguno de los cuales es muy intenso.

Wood realizó sus primeras experiencias con redes para el infrarrojo, de constante bastante elevada, lo que permitía controlar

(a)

FIG. 17-11,

(b) -Concentración de luz en una dirección particular por: (a) una red en rampa o escala, y (6) por un escalón de reflexión.

3 Theodore Lyman (1874-1954) fue durante muchos años director de los laboratorios de Física de la Universidad de Harvard. Iniciador de la investigación del espectro ultravioleta lejano. I , ¡

SEC. 17-13] DISTRIBUCION DE INTENSIDAD ENTRE ORDENES 373

fácilmente la forma de los surcos. Las llamadas redes en rampa tienen una de las caras de cada surco ópticamente plana e inclinada un ángulo <f> tal que refleje la mayor parte de la radiación infrarroja hacia el orden que haya de ser brillante [Fig. 17-11 («)]. Naturalmente, la luz que procede de una cualquiera de estas caras se difracta un ángulo apreciable, medido por la razón de la longitud de onda a la anchura b de la cara. Cuando se comenzó a grabar redes en aluminio se vio la posibilidad de controlar la forma de los surcos más finos requeridos para la luz visible y ultravioleta. Actualmente se producen redes que concentran la luz en la dirección deseada a base de dar a la punta de diamante la forma y orientación convenientes.

Históricamente, la primera aplicación del principio de concentrar la luz en órdenes determinados fue realizada por Michelson por medio de su red escalón [Fig. 17-11 (b)]. Este instrumento se compone de 20 a 30 láminas plano-paralelas apiladas con un desplazamiento constante entre ellas de aproximadamente 1 mm. E l espesor t suele ser de 1 cm, por lo que la constante de la red es muy grande, y la concentración se produce en un orden extremadamente alto. Los escalones utilizados por Michelson eran instrumentos de transmisión, pero se consiguen mayores diferencias de recorrido y órdenes más elevados con el tipo de reflexión original de Williams 4 . E n ambos casos, la luz se concentra en dirección perpendicular a los frentes de los escalones. Bajo el máximo de difracción aparecen a lo sumo dos órdenes de una longitud de onda dada. Los valores de m son tan altos [alrededor de 2¿/A en el tipo de reflexión y (n — l)¡í/A en el de transmisión] que el poder separador mN es muy elevado, aun con un número N relativamente pequeño de láminas. E n este sentido, el instrumento actúa como un interferómetro, y de modo análogo requiere una dispersión suplementaria para separar las líneas que han de estudiarse. Como tiene el mismo defecto (falta de flexibilidad) que la lámina de Lummer-Gehrcke, el escalón es poco utilizado hoy día.

U n tipo de red más importante es la llamada escala, intermedia entre las anteriores, y que ha experimentado un gran desarrollo recientemente5. Tiene un espaciamiento relativamente bajo, unos 80 surcos por centímetro, y su forma es análoga a la representada en la figura 17-11 (a), pero con algo más de inclinación. Los órdenes en que se produce la concentración corresponden a las centenas, mientras que en el escalón están en las decenas de millar. L a escala ha de utilizarse en unión de otro instrumento

* W . E. W I L L I A M S : Proc. Phys. Soc. (Londres), 45, 699, 1933. 6 G . R . H A R R I S O N : / . Op. Soc. Am., 39, 522, 1949; 43, 853, 1953.

374 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

A5461

A — » -

1

FIG. 17-12.—Escalograma del espectro del torio. (Según Su.rn.ner P. Davis.)

dispersante, normalmente un espectrógrafo de prisma, para separar los diferentes órdenes. Si la dispersión de la escala es en dirección perpendicular a la del prisma, un espectro extenso se descompone en una serie de trazos cortos que representan órdenes contiguos 6, como muestra la figura 17-12. Esto es parte de un espectrograma más extenso, que cubre un amplio intervalo de longitudes de onda con un factor de placa de solo 0,5 Á/mm. Cada orden contiene unos 14 Á del espectro, intervalo cubierto por la envolvente de difracción de un solo surco. Este intervalo es suficiente para originar una cierta repetición de un orden al siguiente. Así, en la figura 17-12, la raya verde del Hg, que se ha superpuesto como longitud de onda de referencia, aparece en el orden 405, así como en el extremo izquierdo del orden 404. E l poder separador de la escala depende solo de su anchura total (Ec. [17-11]) y puede ser cincuenta veces mayor que el del espectrógrafo auxiliar. E n este caso es suficiente para resolver la estructura superfina de la raya verde. Además de su gran poder

6 La separación de órdenes del escalograma de la figura 17-12 se realizó mediante una red ordinaria en vez de por un prisma. Ello explica los espectros más débiles entre los órdenes marcados que aparecen en su segundo orden y tienen órdenes de escala dos veces mayores.

SEC. 17-16] ESPECTROGRAFOS DE RED 375

separador y dispersión, la escala tiene la ventaja de proporcionar espectros brillantes y de registrar estos en forma muy compacta.

17-14. Medida de la longitud de onda con la red.—Es corriente montar pequeñas redes de 3 a 5 cm de anchura en la platina del prisma de un pequeño espectrómetro provisto de colimador y anteojo. Midiendo los ángulos de incidencia y difracción para una ; línea espectral dada, puede calcularse su longitud de onda a partir de la fórmula de la red (Ec. [17-6]). Para ello es necesario conocer la constante d de la red, dato que suele ser proporcionado al adquirir estal Las primeras medidas precisas de longitud de onda se realizaron por este método, habiéndose hallado la constante de la red contando el número de rayas en una distancia dada mediante un micrómetro. Una vez conocida la longitud absoluta de una raya espectral sencilla pueden medirse otras respecto a ella utilizando la superposición de órdenes. Así, p. ej., según la ecuación [17|-8], una raya de sodio de longitud de onda 5890 Á en el tercer orden coincidirá con otra raya de A = | x 5890 4= 4417 Á en el cuarto orden. Naturalmente nunca coinciden dos rayas exactamente, pero pueden estar lo bastante próximas para ¡que; sea factible corregir la diferencia con bastante precisión.; Este método de comparar longitudes de onda no resulta preciso cuando se utiliza el dispositivo anterior, pues el objetivo del anteojo no es nunca perfectamente acromático y las dos rayas no estarán enfocadas con exactitud en el mismo plano. Para salvar esta dificultad, Rowland ideó la red cóncava, en la que el enfoque se consigue con un espejo cóncavo sobre ej que está grabada la propia red. '

17-15. Red cóncava.—Si en lugar de grabar la red sobre una superficie plana se raya en un espejo esférico cóncavo metálico, difractará y enfocará la luz simultáneamente, evitando así el uso de lentes. Aparte de eliminar la aberración cromática anteriormente mencionada, ello tiene la gran ventaja de permitir utilizar la red en regiones del espectro no transmitidas por lentes de vidrio, tales como el ultravioleta. Está fuera de lugar aquí un estudio matemático de los l efectos de la red cóncava, pero haremos mención de los resultados más importantes. Se encuentra que si R es el radio de curvatura de la superficie esférica de la red, puede trazarse una circunferencia de radio R¡2 tangente a la red en su punto medio, que define el lugar de los puntos en que el espectro está enfocado, en el supuesto de que la rendija manantial se halle también sobre esta circunferencia. A esta circunferencia se la denomina circunferencia de Rowland, y prácticamente en todos los montajes de redes cóncavas sé emplea esta condición de enfoque.

17-16. Espectrógrafos de red.—La figura 17-13 muestra esquemáticamente un montaje típico utilizado para redes con-

376 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

cavas de gran tamaño, conocido ¡ por montaje de Paschen. L a rendija está sobre la circunferencia de Rowland, y la luz que transmite incide en la red, que la difracta en espectros de varios órdenes. Estos espectros-están enfocados sobre la circunferencia, y las películas fotográficas se hallan montadas en un portaplacas que las dobla para que coincidan con esta curva. Este montaje permite fotografiar simultáneamente varios órdenes del mismo

imagen centra/ \

FIG. 17-13.—Montaje de Paschen para una red cóncava.

espectro. E n la figura 17-13 se han indicado los intervalos cubiertos por el espectro visible en los tres primeros órdenes. E n un orden dado, la dispersión es mínima en la dirección normal a la red (0 = 0), y aumenta a ambos ¡lados de este punto (Ec. [17-7]). No obstante, es prácticamente constante en una región considerable, próxima a la normal, pues en ella el coseno varía muy lentamente. U n valor corriente de R\ suele ser 21 pies, y una red cóncava de este radio suele llamarse red de 21 -pies.

L a figura 17-14 indica otros montajes usuales, tales como el de Rowland y el de Eagle. E n el montaje de Rowland, que actualmente solo tiene interés histórico,' la red G y el portaplacas P están fijos en los extremos opuestos de una varilla rígida de longitud R. Ambos extremos de esta varilla descansan sobre placas

í

SEC. 17-16] ESPECTROGRAFOS DE RED 377'

giratorias que pueden moverse libremente a lo largo de sendos carriles perpendiculares entre sí. La rendija S está montada justamente encima de la intersección de los dos carriles. Con este dispositivo puede variarse la porción de espectro que alcanza la placa sin más que mover la varilla en un sentido o en otro, con lo que cambia el ángulo de incidencia i. Se ve que esto equivale a deslizar S sobre la circunferencia de Rowland. Para cualquier posición el espectro estará enfocado en P , y será aproximadamente un espectro normal (Sec. 17-6), pues elángulo de difracción es 0=^0. L a longitud SP suele estar graduada en longitudes

(a)

F I G . 17-14.—(a) Una de las formas primitivas, y (£>) una de las más usuales deespectrógrafo de red cóncava, (c) Montaje para una red plana de reflexión.

de onda, pues como se ve fácilmente a partir de la ecuación de la red, la longitud de onda de un orden dado que llega a P es proporcional a la distancia SP.

Debido a su flexibilidad y firmeza, el montaje de Eagle ha reemplazado a los de Rowland y Paschen. E n él se observa la parte del espectro que se difracta hacia atrás bajo ángulos casi iguales a los de incidencia. L a rendija S está colocada en uno de los extremos del portaplacas, el cual está pivotado en S como una puerta. Para observar las diversas partes del espectro se gira la red alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura y se la desplaza horizontaimente, girando a su vez el portaplacas, hasta que P y S estén de nuevo sobre la circunferencia de Rowland. E l instrumento se monta en una caja alargada en la que se mantiene una temperatura constante. Los cambios de temperatura desplazan las rayas espectrales debido a variaciones de la constante

378 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

de la red originadas por la dilatación o contracción de esta. Se demuestra que en una red de metal especular una variación de temperatura de 0,1° C desplaza 0,013 Á una raya de longitud de onda 5000 Á, sea cualquiera el orden. E l montaje de Eagle suele utilizarse en espectrógrafos de vacío para la investigación de espectros ultravioletas en la región situada por debajo de los 2000 Á. Como el aire absorbe estas longitudes de onda, ha de hacerse el vacío en el espectrógrafo, y este montaje compacto se presta a ello. E l montaje de Paschen se usa también con frecuencia en espectrógrafos. de vacío, con luz que incide sobre la red casi rasante. E l montaje de Littrow, representado también en la figura 17-14, es el único método corriente utilizado con redes planas de gran tamaño. E n principio es muy análogo al de Eagle, siendo la diferencia principal que utiliza una gran lente acromática que colima la luz incidente y enfoca la difractada sobre P , de modo que actúa a la vez como colimador y anteojo.

Un notable inconveniente de la red cóncava cuando se utiliza en los montajes anteriores es la presencia de fuerte astigmatismo. Es mínimo en el montaje de Eagle. Este defecto de la imagen se presenta siempre que se utiliza un espejo cóncavo fuera de la región axial. Tiene como consecuencia que cada punto de la imagen de la rendija se desdobla en dos rayas, una situada sobre la circunferencia de Rowland perpendicular a su plano, y la otra en este plano y a cierta distancia detrás de la circunferencia. Si la rendija es perfectamente perpendicular al plano, la nitidez de las rayas espectrales no está seriamente afectada por el astigmatismo. No obstante, debido al aumento de longitud de las rayas, se produce cierta pérdida de intensidad. De más trascendencia es el hecho de resultar imposible el estudio del espectro de las diversas partes de un manantial luminoso o la separación de los anillos de Fabry-Perot al proyectar una imagen sobre la rendija del espectrógrafo. Para este fin se requiere un montaje estigmático. E l más corriente de estos es el de Wadsworth, en el que se ilumina la red cóncava con luz paralela. L a luz procedente de la rendija se hace paralela mediante un gran espejo cóncavo, y el espectro se enfoca sobre una distancia aproximadamente igual a la mitad del radio de curvatura de la red.

P R O B L E M A S

17-1. Dedúzcase la ecuación [17-3], como se sugiere en la sección 17-2, integrando [15-2] entre los límites adecuados.

17-2. En una red de transmisión ideal d = 36. Descríbase la naturaleza de la curva de vibración en un punto correspondiente al primer orden desaparecido.

Sol.: La curva correspondiente a cada rendija es una circunferencia cerrada.

PROBLEMAS 379

17-3, Háganse esquemas cualitativos de las figuras de intensidad para: a) cuatro rendijas en las que djb = 7,yb) nueve rendijas para las que djb = 3. Rotúlense varios puntos sobre el eje de abscisas con los valores correspondientes de p y y.

17-4. Demuéstrese que la fórmula de la intensidad para una red ideal se reduce a la de la doble rendija para el caso especial en que N = 2. (INDICACIÓN: Apliqúese la fórmula trigonométrica del seno del ángulo doble.)

17-5. Siete'manantiales de microondas (X = 3 cm) están situados a intervalos de 8 cm. Descríbase la figura de radiación observada a una distancia suficiente para asegurar que la difracción es del tipo de Fraunhofer. Calcúlese la semianchura angular del máximo central. Hállese también, la separación angular de los máximos: principales y de los secundarios.

17-6. Demuéstrese que la figura de intensidad para N rendijas puede representarse como suma extendida a todos los órdenes de un número de figuras del tipo de rendija sencilla ¡que produciría una apertura de anchura Nd. (La demostración general, aunque exacta, es difícil. Inténtese sumando los valores numéricos de los máximos secundarios para un caso particular, tal como N = 4 , y compárese con los valores calculados a partir de la fórmula de la red.)

17-7. Supongamos que sobre una red de transmisión plana que tiene 3 5 0 0 rayas por centímetro incide luz formada por dos longitudes de onda de 5 2 0 0 y 5 5 0 0 A. La luz paralela: emergente ha de enfocarse sobre una pantalla mediante una lente de distancia focal igual a 1,5 m. Hállese la distancia en centímetros sobre la pantalla entre las dos rayas espectrales: a) en el primer orden, y b) en el t:ercer orden.

17-8. Hállese el mínimo número de rayas de una red de difracción para que resuelva en el primer orden el doblete rojo correspondiente a una mezcla de hidrógeno y deuterio. La diferencia de longitudes de onda es 1,8 Á para X 6 5 6 3 . ¡ Sol.: 3 6 4 7 .

17-9. Compárense, respecto a poder separador cromático y dispersión angular: a) una red de difracción rayada con un total de 4 0 0 0 0 trazos en una distancia de 5 cm, cuando se utiliza en el primer orden y X = 6 2 5 0 Á, y b) un prisma de vidrio de 5 cm en cada cara construido de un vidrio d e n = 1 , 5 9 0 0 para X = 6 0 0 0 k y n = 1 ,5880 para X = 6 5 0 0 A.

17-10. Calcúlese la dispersión angular en grados por ángstrom de una red de difracción que tiene 5 6 8 4 rayas por centímetro cuando se utiliza en el tercer orden para X = 4 2 0 0 Á. Supóngase incidencia normal.

Sol.: 0.0147Á. 17-11. Descríbanse las características que ha de tener un filtro para

que elimine los otros órdenes que solapan la región X = 3 0 0 0 Á en el tercer orden de un espectro de red.

17-12. Se desea estudiar la estructura de una banda en la proximidad de 4 3 0 0 Á utilizando una red plana' de 15 cm que tiene 12 0 0 0 rayas por centímetro y está montada según el sistema Littrow. Hállese: a) el orden más elevado que puede usarse; b) él ángulo de incidencia necesario para observarla; c) el mínimo intervalo de longitud de onda resuelto, y d) el factor de placa si la lente tiene una distancia focal de 3 m.

Sol.: a) m = 3 ; b) 4 9 ° 3 7 ¿ ' ; c) 0 , 0 0 8 A; d) 0 , 6 0 9 A/mm.

17-13. Una red de transmisión de constante d = 1 ,65 x 10— 4 cm es iluminada bajo varios ángulos de incidencia por luz de longitud de onda 6 0 0 0 A. Hágase una gráfica de la desviación del haz difractado de primer

380 LA RED DE DIFRACCION [CAP. 17

orden desde la dirección de la luz incidente utilizando como abscisas el ángulo de incidencia desde 0 a 90°.

17-14. ¿Cuál ha de ser el orden y el poder separador de un escalón de reflexión que tiene 30 láminas de 12 mm de espesor cada una cuando-se ilumina con luz de la raya de resonancia del mercurio de longitud de ondaX = 2537 A? j Sol: 94600; 2,84 x 10".

17-15. Una red en rampa tiene 480 rayas por centímetro y está rayada para efectuar una concentración en el primer orden de una longitud de onda de 6 (X. a) Hállese el ángulo que forman las caras rayadas con el plano de la red. b) Calcúlese la dispersión angular para esta longitud de onda suponiendo incidencia normal, c) Si la red se iluminase con la raya verde del mercurio, ¿qué órdenes se observarían?

17-16. Demuéstrese que puede obtenerse el poder separador de una red-tipo escala por la expresión X/áX === (27i/X)!>2/(l + y2)]1'2, siendo B la anchura de la red y r = tjb la razón de la profundidad de los peldaños a su anchura. Se supone que la luz incide y se difracta perpendicularmente a las caras de anchura b. ( I N D I C A C I Ó N : Utilícese el principio de que el poder separador es igual al número de longitudes de onda comprendidas en la diferencia de recorridos entre los rayos procedentes de los bordes opuestos de la red.)

17-17. Investigúese la discrepancia; de la dispersión lineal en el caso de una red cóncava de 450 cm de radio utilizada con el montaje Rowland. Sí la placa fotográfica tiene 45 cm de longitud, ¿en qué tanto por ciento difiere la dispersión en un extremo de la dispersión en el centro? ¿Qué error, en ángstroms, se cometería calculando una longitud de onda en el extremo de la placa mediante el uso de la dispersión en el centro? Supóngase que X = 3660 Á, en el primer orden, aparece en el centro, i

17-18. Una red cóncava de 21 pies de radio forma parte de un montaje Eagle. La red tiene 15 000 rayas) por pulgada y una anchura de 5 \ pulg. Si el ángulo de incidencia es 37°, hállese qué longitud de onda del segundo orden cae junto a la rendija. Calcúlese el poder separador y el factor de placa, también en el segundo orden, para un punto de la placa que esté a 20 cm de la rendija a lo largo de la circunferencia de Rowland, en la dirección de la normal a la red.

Sol: 10191 A; 157500; 1,12 A/mm

CAPITULO XVIII

DIFRACCION D E FRESNEL

Los efectos de difracción que se producen cuando el manantial luminoso, la pantalla de observación o ambos están a una distancia finita de la abertura difractante se clasifican como difracción de Fresnel. Estos efectos son los más sencillos de observar experimentalmente, no requiriéndose más aparato que un pequeño manantial luminoso, el obstáculo difractante y una pantalla de observación. E n los efectos de Fraunhofer estudiados en los capítulos anteriores se necesitaban lentes para colimar la luz y enfocarla en la pantalla. Ahora, en cambio, vamos a tratar el caso más general de luz divergente no modificada por ninguna lente. Dado que la difracción de Fresnel es la de más fácil observación, fue históricamente el primer tipo estudiado, aun cuando su explicación requiere una teoría matemática mucho más compleja que la empleada en el estudio de las ondas planas de la difracción de Fraunhofer. E n este capítulo solo consideraremos algunos de los casos más sencillos de difracción de Fresnel abordables por métodos matemáticos y gráficos relativamente directos.

18-1. Sombras.—-Una de las mayores dificultades surgidas en los comienzos del desarrollo de la teoría ondulatoria radicaba en la explicación del hecho de que la luz parece propagarse en línea recta. Así, si colocamos un objeto opaco en la trayectoria de la luz procedente de un manantial luminoso puntual, arroja una sombra, cuyo contorno, bastante nítido, reproduce la forma de este objeto. E n realidad este borde no es completamente nítido, y cuando se observa detenidamente se pone de manifiesto una serie de bandas oscuras y brillantes en la inmediata proximidad de dicho borde. E n la época de la teoría corpuscular de la luz, Grimaldi y Newton intentaron explicar estos pequeños efectos como desviaciones de los corpúsculos luminosos al pasar cerca de los bordes del obstáculo. L a explicación correcta dentro de la teoría ondulatoria se debe al brillante trabajo de Fresnel, quien demostró en 1815 no solo que la propagación aproximadamente rectilínea de la luz podía interpretarse suponiendo que se trata de un movimiento ondulatorio, sino que también de este modo se explicaban detalladamente las franjas de difracción en la mayoría de los casos.

381

382 DIFRACCION DE FRESNEL [ C A P . 18

F I G . 18-1.—Aplicación del principio de Huygens a las ondas secundarias proce

dentes de una estrecha abertura.

\0 F

E

Para soslayar la dificultad que entraña la explicación de las sombras mediante la teoría ondulatoria, empezaremos considerando el paso de luz divergente a través de una abertura practicada en una pantalla. E n la figura 18-1 la luz procede de un pequeño orificio H, y una cierta porción MN del frente de onda divergente pasa a través de la abertura. De acuerdo con el principio de Huygens, se puede considerar cada punto del frente de onda como un manantial de ondas secundarias. L a en

volvente de estas en un instante posterior da una onda divergente de centro H y comprendida entre las rectas HE y HF. A l avanzar esta onda producirá una intensa iluminación en la región EF de la pantalla. Pero también parte de cada onda secundaria se propagará en el espacio situado detrás de LM y NO, y, por tanto, puede esperarse cierta iluminación en las regiones de la sombra geométrica exteriores a EF. L a experiencia común demuestra que no hay realmente iluminación en estas partes de la pantalla, excepto en la proximidad inmediata de E y F. De acuerdo con Fresnel, esto se explica por el hecho de que en las regiones más allá de la sombra geométrica las ondas secundarias llegan con tales relaciones de fase, que interfieren destructivamente y producen en la práctica oscuridad casi completa.

Las ondas secundarias no pueden tener una amplitud uniforme en todas las direcciones, pues si así fuese se produciría una onda igualmente intensa hacia atrás. E n la figura 18-1 la envolvente, a la izquierda de la pantalla, representaría una onda inversa convergente hacia H. Es evidente que tal onda no tiene existencia física, y, por tanto, ha de admitirse que la amplitud de la onda secundaria hacia atrás es nula. Una formulación más exacta del principio de Huygens, que se dará después (Sec. 18-17), justifica esta hipótesis y da también cuantitativamente la variación de la amplitud con la dirección. E l llamado factor de oblicuidad, tal como ilustra la figura 18-2, requiere que la amplitud varíe como 1 -f- eos 0, siendo 0 el ángulo con la dirección de avance. Para ángulos rectos, en las direcciones P y Q de la figura, la amplitud disminuye a la mitad, y la intensidad a una cuarta parte de su valor máximo. Otra propiedad que hemos

S E C . 18-2] ZONAS SEMIPERIODICAS DE FRESNEL 383

de atribuir a las ondas secundarias, para obtener resultados correctos, es un avance de fase de un cuarto de, periodo sobreda onda que las produce. Las consecuencias de estas dos propiedades, algo insospechadas, y el modo de deducirlas, se estudiarán posteriormente. ' (

•D

18-2. Zonas semiperiódicas de Fresnel.—Como ejemplo del 1 ' ° I y

método de Fresnel para atacar los problemas! de la difracción, , F l G - ^ — F a c t o r de oblicuidad para

r ; . , , las ondas secundarias de Huyeens. empezaremos | considerando su aplicación para determinar el efecto de una onda esférica ligeramente divergente sobre un punto situado delante de ella. E n ¡' la figura 18-3, BCDE representa un frente de onda esférica de luz monocromática que se propaga hacia la derecha. Cada punto de esta esfera puede considerarse como origen de ondas secundarias, y se trata de hallar el efecto resultante de estas en el punto P. Para ello dividamos el frente de onda en zonas mediante la ¡siguiente construcción: Alrededor del punto O, pie de la perpendicular trazada desde P, dibujemos una serie de circunferencias cuyas distancias a 0, medidas a lo largo del arco, son sv sz, ss, ..[, sm, tales que cada circunferencia está media longitud de onda más alejada de P. Si 0 P — b, las circunferencias distarán de P, b -f- A/2, b + 2X/2, b + 3A/2, b + mk\2.

Las áreas Sm de las zonas, es decir, de los anillos comprendidos entre circunferencias sucesivas,: son prácticamente iguales. Para demostrarlo, consideremos la figura 18-4, en la que se ha representado una sección de la onda originada en H cuyo radio es a.

F I G . 18-3.—Construcción de zonas semi- F I G . 18-4.—Diferencia de recorrido A periódicas sobre un frente de onda esr a una distancia s del polo de una onda

JB

P

férico. esférica.

.384 DIFRACCION D E FRESNEL [CAP. 18

Si ahora trazamos una circunferencia de radio b y centro P tangente al frente de onda en su «polo» O, el recorrido HQP excede al HOP en el segmento designado por A. E n los bordes de las zonas esta diferencia ha de ser un múltiplo entero de A/2. Para calcularla observemos que en todos los problemas ópticos la distancia s es pequeña frente a a y b. Por tanto, cabe considerar a s como la distancia vertical de Q sobre el eje, y podemos igualar A a la suma de las flechas de los dos arcos OQ y OR. Según la fórmula de la flecha

Los radios sm de las zonas de Fresnel son tales que

4 - 4 ^ i ^ 2 y el área de cualquier zona será

Sm = n(sm*-sm_ñ = , ¡ (^) = ^ b , [18-3]

Con la aproximación considerada es, por tanto, constante e independiente de m. U n cálculo más exacto demostraría que en realidad el área aumenta muy lentamente con m.

Según el principio de Huygens consideramos ahora que cada punto de la onda envía ondas secundarias en fase. A l llegar a P tendrán fases distintas por haber j recorrido distancias diferentes. Las fases de las ondas secundarias procedentes de una zona no diferirán en más de TC, y como cada zona está por término medio A/2 más alejada de P, es claro que las zonas sucesivas producirán resultantes en P que diferirán en n. E n la sección 18-6 examinaremos con más detalle este aserto. A la diferencia de un semiperíodo en las vibraciones procedentes de zonas sucesivas se debe el nombre de zonas semiperiódicas. Si representamos por A. fu la amplitud resultante dé la luz procedente de la zona w-ésima, los valores sucesivos de Am tendrán signos alternados, pues un cambio de fase 7t significa una inversión en la dirección del vector amplitud. Designando por A la amplitud resultante debida a la onda completa, puede expresarse por medio de la siguiente suma alternada:

A = A 1 — Az + Ai — A i + . . < + ( ~ l)m~1Am [18-4]

Hay tres factores que fijan los valores de los términos sucesivos de esta suma: primero, como el área de cada zona determina el número de ondas secundarias con que contribuye, los

SEC. 18-2] ZONAS SEMIPERIODICAS D E FRESNEL 385

términos deben ser aproximadamente iguales, aunque creciendo lentamente; segundo, como la amplitud es inversamente proporcional a la distancia media a P de la zona, la magnitud de los términos disminuye en una cantidad que aumenta con m; y tercero, al aumentar la oblicuidad disminuirá su magnitud. Por tanto, podemos expresar la amplitud debida a la zona «í-ésima por

Am = (const.) § í (1 + eos 6) [18-5]

siendo dm la distancia media a P, y 6, el ángulo bajo el cual la.luz abandona la zona, ángulo que aparece en la forma expresada debido al factor de oblicuidad que hemos supuesto en la sección anterior. Ahora bien: un cálculo exacto de las Sm demuestra que hay que reemplazar el factor b en la ecuación [18-3] por b -f- A, donde A es la diferencia de recorrido correspondiente al centro de la zona. Como a la vez d„ = b -f A, resulta que la razón Sm[dm

es constante e independiente de m. Por tanto, solo se ha desechado el efecto del factor de oblicuidad, 1 + cos 8, que hace que los términos sucesivos de la ecuación [18-4] disminuyan muy lentamente. A l principio, este decrecimiento es menos lento, por la rapidez con que varía 0 con m, pero las amplitudes se hacen pronto casi iguales.

Conociendo la variación en magnitud de los términos es posible calcular la suma de la serie agrupando sus términos de las dos formas siguientes. Supongamos que m sea impar:

_ A l - y - y

• éj^± + A m [18-6]

Como las amplitudes Av A%, ... no decrecen de modo uniforme, cada una es menor que la media aritmética de su anterior y su posterior. Por tanto, las cantidades entre paréntesis son todas positivas, debiendo verificarse las siguientes desigualdades:

é l - i A M ^ A <r A Á* AM~1 o- A

2 + T < ^ < ^ ~ Y 2- + Am

Por el hecho de que las amplitudes de dos zonas contiguas son casi iguales, es posible igualar Ax a A2, y A„—i a Am. E l resultado es

[18-7] J E N K I N S - W H I T E . — 2 5

386 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

Si m es par, obtenemos por el mismo método que

L a conclusión es, por consiguiente, que la amplitud resultante en P debida a m zonas es la semisuma o la semidiferencia de las amplitudes correspondientes a la primera y última zonas. Si m es suficientemente grande para que la onda esférica completa

esté dividida en zonas, 0 tiende a 180° en la última zona. Por ello el factor de oblicuidad hace que Am sea despreciable, y la amplitud debida a la onda completa es precisamente la mitad de la debida a la primera zona actuando sola.

L a figura 18-5 muestra gráficamente estos resultados. L a

suma vectorial de las amplitudes Av A2, A3, que son alternativamente positivas y negativas, habría de realizarse trazándolas todas sobre la misma recta, pero para mayor claridad se han separado horizontalmente. E l origen de cada vector está a la misma altura que el extremo del anterior. Entonces la amplitud resultante A debida a un número cualquiera de zonas será la altura del extremo del vector final sobre la base horizontal. E n la figura se ha representado para 12 zonas, y también para un gran número de ellas.

18-3. Difracción por una abertura circular.—-Examinemos los cambios de intensidad en P (Fig. 18-3) al obturar el frente de onda mediante una pantalla con una pequeña abertura circular (Fig. 18-6). Si el radio r = OR del orificio es igual a la distancia sx al borde exterior de la primera zona, la amplitud será Av lo que representa el doble de la amplitud debida a todo el frente de onda 1 . Así, la intensidad en P es cuatro veces mayor que si no existiese pantalla. Aumentando el radio del orificio hasta que abarque las dos primeras zonas, la amplitud es A¡ — A2 o prácticamente cero. L a intensidad habrá descendido casi hasta cero al aumentar el diámetro del orificio. Un aumento posterior de r hará pasar a la intensidad por máximos y mínimos según que el número de zonas incluidas sea impar o par.

1 Hemos supuesto que el radio de curvatura de la onda que incide sobre la pantalla es suficientemente grande para que las distancias medidas a lo largo de la cuerda puedan considerarse iguales a las medidas a lo largo del arco.

U4 FIG. 18-5.—Composición de amplitudes

procedentes de zonas semiperiódicas.

SEC. 18-3] DIFRACCION POR UNA ABERTURA CIRCULAR 387

E l mismo efecto se pro- , pantalla

duce acercando o alejando P j<##¡**w de la pantalla a lo largo de la perpendicular. Esto hace variar el tamaño de las zonas, de modo que si P se encuentra ini -cialmente en una posición tal que PR — PO (Fig. 18-6) sea igual a X/2 (una zona incluida), acercando P a la pantalla, esta diferencia de camino aumentará hasta1, 2X/2 (dos zonas), 3X/2 (tres zonas), etcétera. Nos encontraremos así con máximos y mínimos a todo lo largo del eje de la abertura.

Las anteriores consideraciones no nos proporcionan ninguna información sobre la intensidad; en puntos situados fuera del eje. Mediante un estudio matemático adecuado, que no trataremos por su complejidad, se demuestra que P está rodeado por un sistema de franjas de difracción circulares2. L a figura 18-7 reproduce varias fotografías de estas franjas. Se obtuvieron colocando una placa fotográfica a cierta distancia detrás de orificios circulares de diferentes tamaños, iluminados con luz monocromática procedente de un manantial puntual alejado. Empezando por la parte superior izquierda de la figura, los tamaños de los orificios correspondientes eran tales que exponían una, dos, tres,

F I G . 18-6.—Paso de la luz por una abertura circular.

F I G . 18-7.—Difracción por pequeñas aberturas circulares. (Fotografías originales de Hufford.)

2 Véase T. P R E S T O N : Theory of Light,\ 5.» ed., págs. 324-27, The Macmillan Co., Nueva York, 1928.! I

388 DIFRACCION DE FRESNEL •[CAP. 18

etcétera, zonas. E l cambio alternado del . centro de la figura de brillante a.oscuro ilustra el resultado obtenido anteriorrnente. L a figura grande de la derecha se obtuvo con una abertura que incluía 71 zonas.

18-4. Difracción por Un obstáculo circular.—Reemplazando la abertura. por un disco circular, el método de Fresnel conduce al sorprendente resultado de que ha de haber una mancha brillante en el centro de la sombra. Para estudiar este caso conviene empezar a construir las zonas a partir del borde del disco. Si en la figura 18-6, PR = d, el borde externo de la primera zona distará d + (A/2) de P, el de la segunda d -f (2A/2), etc. L a suma de la serie que representa las amplitudes de todas las zonas es en este caso, como antes,Ta mitad de la amplitud de la primera zona expuesta. E n la figura 18-5 se obtendría esto sin más que prescindir

(a) (b) i (c) F I G . 18-8.—Difracción por un obstáculo ¡circular, (a) y (b) Manantial puntual,

(e) Con un negativo de Woodrow Wilson como manantial. (Según Hufford.) , i

de algunos de los primeros vectores. 'Por tanto, la intensidad en P es casi igual a la producida por la onda sin obstruir. Sin embargo, esto solo se verifica para un punto sobre el eje, y, fuera de este, la intensidad es pequeña,; mostrando anillos concéntricos muy tenues. E n la figura 18-8 (a) y (b), que reproduce fotografías de la mancha brillante, se han intensificado excesivamente estos anillos, en relación con la mancha central, mediante un exceso de exposición. E n (c) el manantial, en vez de ser puntual, es un negativo fotográfico de un retrato de Woodrow Wilson sobre una lámina transparente iluminada por detrás. E l disco actúa como una especie de lente imperfecta al formar la imagen, ya que a cada punto del objeto corresponde un punto brillante en la imagen. |

U n estudio completo de la difracción por un obstáculo circular indica que además de la mancha central y de los tenues anillos que la rodean, dentro de la zona de sombra, existen franjas brillantes circulares que bordean el exterior de la sombra. Su origen es similar.al de las franjas de difracción producidas por un borde rectilíneo (Sec. 18-11).

S E C 18-5] PLACA ZONAL 389

Se observa la mancha brillante del; centro de la sombra producida por una moneda de 10 céntimos examinándola con una lupa cuando se ilumina con una lámpara de arco situada a varios metros de ella. E n este caso la mancha es muy tenue y difícil de encontrar. Es más fácil de ver empleando un objeto menor, tal como una bola de rodamiento.

18-5. Placa zonal.—Es una pantalla especial diseñada de modo que intercepte la luz procedente de zonas semiperiódicas alternadas de la onda. E l resultado es suprimir bien sea todos los términos;positivos, bien todos los negativos de la ecuación'[18-4]. E n ambos casos lá amplitud en P (Fig. 18-3) es mucho mayor "qué en los casos anteriores] Én la practica es bástante fácil'construir una placa zonal trazando spbre papel blanco circunferencias concéntricas de radios "própórcióhalés á lá.s' raíces cuadradas de los números enteros (véase, Fig. 18-9). Después se ennegrecen alternativamente las zonas y se fotografía el resul-. tado a una escala reducida. Cuando sobre el negativo incide lá luz procedente de ún manantial puntual distante se produce una gran intensidad ' ,'(«) ' '(M en un puntó de su eje sitúa- ; F i g ; i8.9.-piaqas zonales. '' do a. una distancia correspondiente al tamaño'de las zonas y a la longitud de onda de la luz utilizada. L a relación entre estas magnitudes viene expresada por la ecuación [18-2], que para nuestro propósito actual podemos poner en la forma

[18-8]

Vemos, pues, que para a, b y X dados, las zonas han de tener

L a mancha brillante producida por una placa zonal es tan intensa que la placa actúa casi como una lente. Supongamos que están expuestas las 10 primeras zonas impares, como en la placa zonal de la figura 18-9 (a). Nos quedan entonces las amplitudes Av AZy As, Al9 (véase Fig. 18-5),; cuy a suma es casi 10 veces Av E l frente de onda completo daría \<AV de modo que, usando solo 10 zonas, la amplitud en <P es unas 20 veces la obtenida cuando se suprime la placa. L a intensidad es, por tanto, 400 veces mayor. Obturando las zonas impares, las amplitudes A2, At, A6, ... producirán el mismo efecto. Las distancias objeto e imagen obedecen a la fórmula corriente de las lentes, pues, según la ecuación [18-8],

390 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

1 1 = mk _ 1

a + b ~J

siendo la distancia focal / el valor de b para a = oo; es decir,

' = 5¿=4 [I8

-9J

Existen también imágenes más tenues correspondientes a distancias focales //3, //5, //7, .... pues a estas distancias cada zona de la placa incluye 3, 5, 7, ... zonas de Fresnel. Cuando, p. ej., incluye tres, los efectos de dos de ellas se anulan, pero queda el de la tercera.

18-8. Curva d» vibración para división circular del frente de onda.—La curva de vibración correspondiente a la difracción de Fraunhofer en una rendija sencilla (Sec. 15-4) se basaba en la división de un frente de onda plano en elementos de área consistentes en bandas de anchura infinitesimal paralelas a la longitud de la rendija difractante. Se halló que l a suma de los vectores que representaban las amplitudes con que contribuía cada uno de tales elementos daba un arco de circunferencia. Esta división en bandas del frente de onda resulta apropiada cuando el manantial luminoso es una estrecha rendija y la abertura difractante, rectangular. Posteriormente hemos de estudiar la división en bandas de un frente de onda divergente procedente de un manantial como el descrito (Sec. 18-8). E l método de dividir un frente de onda esférico procedente de un manantial puntual adecuado para cualquier caso de difracción por obstáculos o aberturas circulares supone el empleo de zonas circulares infinitesimales.

Consideremos, en primer lugar, el diagrama de amplitudes cuando se divide la primera zona semiperiódica en ocho subzonas, construida cada una de manera análoga a las zonas semiperiódicas. Para obtener estas subzonas tracemos sobre el frente de onda circunferencias que disten de P (Fig. 18-3):

0 4 > b 4 > o 4 •• • • > b A— T 8 2 8 2 8 2 T 2

L a luz que llegue a P desde los diversos puntos de la primera subzona no variará de fase en más de TZ/8. SU resultante puede representarse por el vector at de la figura 18-10 (a). A este se le añade el a2, resultante debida a la segunda subzona; después el « 3 , debido a la tercera subzona, etc. Las magnitudes de estos vectores disminuirán muy lentamente a causa del factor de oblicuidad. L a diferencia de fase 8 entre cada dos sucesivos es cons-

2

SEC. 18-6] CURVA DE VIBRACION 391

C B

tante e igual a ÍC/8. L a suma de las ocho subzonas da el vector AB como amplitud resultante de la primera zona semiperiódica. Repitiendo este proceso en la segunda zona, será CD la resultante correspondiente, y AD, la suma de las dos anteriores. Estos vectores corresponden a los de la figura 18-5. Las sucesivas zonas semiperiódicas dan el resto de la figura.

L a transición a la curva de vibración de la figura 18-10 (b) se produce al aumentar indefinidamente el número de subzonas de una zona semiperiódica dada. L a curva es, en este caso, una espiral de vibración, que finalmente tiende a Z cuando las zonas semiperiódicas cubren toda la ; onda esférica. Cada una de las vueltas es casi una circunferencia, pero no se cierra-por completo debido a la lenta disminución de las amplitudes individuales. E l significado de la serie de amplitudes decrecientes de signo alternado, utilizada en la sección 18-2 para las zonas semiperiódicas, se aclara al considerar esta curva. Tiene además la ventaja de permitirnos determinar directamente la amplitud resultante debida a un número fraccionario de. zonas. Mencionemos de paso que la amplitud resultante AZ, que es precisamente la mitad de la debida a la primera zona semiperiódica, aparece retrasada 90° respecto de la luz procedente delj centro del sistema zonal. Esto no puede ser cierto, ya que es imposible alterar la fase resultante de una onda por el simple artificio de dividirla en zonas y recombinar después sus efectos. L a discrepancia es un defecto de la teoría de Fresnel que resulta de las aproximaciones hechas y no se produce aplicando un tratamiento matemático más riguroso (véaseSec. 18-17).

392 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

18-7. Aberturas y obstáculos de bordes rectos.—Si la configuración de la pantalla difractante, en vez de tener simetría circular, incluye bordes rectos como los de una rendija o un hilo, es posible utilizar como, manantial una rendija en vez deun punto. L a rendija ha de ser paralela a los bordes rectos, de modo que las.;franjas de difracción rectilíneas'producidas por cada elemento de. sv/ longitud estén alineadas en-la pantalla; de observación. Cop.;éllo se consigue una notable ganancia de intensidad, Ál estudiar tales casos se puede considerar que el frente de onda es cilindrico, como se ve en-la: figura 18-l í . .En realidad, para producir una envolvente cilindrica de las ondas secundarias de Huygens producidas"por los diversos puntos de la rendija, éstos:han de emi-

F I G . 18-11.—Onda cilindrica procedente de una rendija iluminada coherentemente. Se han marcado sobre el frente "de onda las bandas1 semiperiódicas.

tir coherentemente, lo que no suele'verificarse en la práctica. Aun así, al sumar las intensidades, cómo se requiere en la emisión no coherente, la figura resultante es la misma que se produciría con una onda cilindrica coherente.¡En el estudio que sigue de los problemas que entrañan'bordes rectos, haremos, por tanto, la simplificación de'suponer que la rendija manantial está iluminada por un haz paralelo monocromático, de modo que emita ondas realmente cilindricas; •• • ,

18-8. División en bandas del frente de onda.—El método apropiado para construir los • elementos semiperiódicos de un frente de onda cilindrico consiste .en dividirlo en bandas, cuyos bordes distan sucesivamente media longitud de onda más del punto- & (Fig. 18-11). Así, los puntos M0, Mv M¿, .,; de la sección circular, de la onda cilindrica distan b, b -f (A/2), b -f- (2X/2), de P. M0 se encuentra sobre la recta SP. Las bandas semipe-

i :¡

SEC. 18-9] •ESPIRAL DE' CÓRNU 393

riódicas MQMV M X M 2 , ... son paralelas a la rendija. Podemos llamar a este procedimiento división en'bandas del frente de onda..

E n las zonas de Fresnel, obtenidas por división circular, las áreas- -de las 'zonas eran casi iguales. Con este nuevo tipo de d i visión esto no se Cumple. E l área de las bandas semiperiódicas es proporcional a su anchura, que disminuye rápidamente al alejarse de M 0 . Como este efecto es mucho más pronunciado que cualquier variación del factor de oblicuidad, no es necesario tener en cuenta este último. • .• ' • : .' • • • E l diagrama de amplitudes de la figura 18-12 (a) se-obtiene dividiendo las bandas en sub-bandas; de manera análoga- a' la.

:"(a) ^ (6)

F I G . 18-12.—Diagramas de amplitudes para la formación de lá espiral de Cornu.

descrita en la sección 18-6 para las zonas circulares. Dividiendo la primera banda por encima de M0 en nueve partes, hallamos que los nueve vectores amplitud de las sub-bandas que van de 0 a B dan una resultante A X — OB para la primera banda semiperiódica. De modo análogo, la segunda da una resultante A 2 = BC. Como ahora las amplitudes decrecen1 rápidamente, A Z

es considerablemente menor que A V y su diferencia de.fase es apreciablemente mayor que TI. Repitiendo este proceso' de subdivisión para las bandas sucesivas de la mitad superior de la onda,, obtenemos el diagrama más completo de la figura: 18-12 (b). E n él los vectores forman una espiral que se dirige hacia Z, de modo que la resultante de todas las bandas semiperiódicas por erjcima' de M0 es OZ.

18-9. Curva de vibración correspondiente a la división en bandas. Espiral de Cornu.—Cuando la anchura de las bandas es

394 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

infinitesimal se obtiene como curva de vibración la espiral parcialmente representada en la figura 18-13. L a curva completa correspondiente a todo el frente de onda daría muchas más vueltas, hasta terminar en los puntos Z y Z ' . Anteriormente solo se consideró la parte que va de 0 a Z. L a mitad inferior Z'O corresponde a las contribuciones de las bandas semiperiódicas situadas por debajo de M 0 .

Esta curva, llamada espiral de Cornu3, se caracteriza por el hecho de que el ángulo 8 que forma con el eje x es proporcional al cuadrado de la longitud v del arco de curva contado a partir del origen. Recordando que, en una curva de vibración, 8 representa el retardo de fase de la luz procedente de cualquier elemento del frente de onda, obtenemos esta definición de la curva uti-

F I G . 18-13.—Espiral de Cornu correspondiente a cinco zonas semiperiódicas a cada lado del polo.

8 A. Cornu (1841-1902), profesor de Física experimental de la Escuela Politécnica de París.

SEC. 18-10] INTEGRALES DE FRESNEL 395

rizando la ecuación [18-1] para la diferencia de recorrido, del modo siguiente:

A abk 2

E n este caso hemos introducido una nueva variable que se utiliza para representar la espiral de Cornu,

1/2(0 + 6) [18-11]

Se define de modo que sea adimensional, con lo que podrá utilizarse la misma curva para cualquier problema, independientemente de los valores de a, b y X.

18-10. Integrales de Fresnel.—Las coordenadas x e y de la espiral de Cornu pueden expresarse cuantitativamente mediante dos integrales, cuyo conocimiento nos permite precisar la representación y los cálculos. Se deducen muy fácilmente del modo siguiente: Dado que la diferencia de fase S es el ángulo que determina la pendiente de la curva en un punto cualquiera (véase Fig. 18-13), las variaciones de las coordenadas para un pequeño desplazamiento dv a lo largo de la espiral vienen dadas por

dx = dv cos 8 = cos — dv 2

I TZV2

dy = dv sen 8 = sen — dv 2

donde el valor de 8 es el dado por la ecuación [18-10], Entonces las coordenadas (x, y) de cualquier punto de la espiral de Cornu son: !

x = / I cos ~ dv [18-12] >

1 s e n T

2

dv [18-13]

Estas últimas se conocen con el nombre de integrales de Fresnel, y no son directamente integrables, pero dan origen a series infinitas que pueden evaluarse por varios métodos4. Aunque este cálculo es excesivamente complicado para exponerlo en este lugar, se ha incluido una tabla de los valores numéricos de tales integrales

4 Sobre los métodos de cálculo de las integrales de Fresnel, véase R. W . W O O D : Physical Optics, 2.» ed., pág. 247, The Macmillan Co., Nueva York, 1921.

396 DIFRACCION DE FKESNEL [CAP. 18

(tabla 18-1). E n la sección 18-14 explicaremos la manera de utilizarlos en cálculos precisos de figuras de difracción.

. . TABLA 18-1 Tabla de integrales de Fresnel

V X y V X ,3'

0,00 0,0000 0,0000 4,50 0,5261 0,4342 0,10 0,1000 0;0005 4,60 0,5673 0,5162 0,20 0,1999 0,0042 4,70 0,4914 0,5672 0,30 0,2994 0,0141 4,80 0,4338, 0,4968 0,40 0,3975 0,0334 ' 4,90 0,5002 0,4350 0,50 0,4923 0,0647 5,00 > 0,5637 0,4992 0,60 0,5811 0,1105 5,05 0,5450 0,5442.

.0,70 0,6597 0,1721 . 5,10: . . . 0 , 4 9 9 a . -0,5624 0,80 0,7230 0,2493 5,15 0,4553 0,5427 0,90 0,7648 0,3398 5,20 0,4389 ' 0,4969 1,00 0,7799 : 0,4383 5,25 0,4610 0,4536 1,10. 0,7638 , 0,5365 • 5,30 0,5078 0,4405

,1,20 0,7154 . 0,6234 5,35 .0,549.0 0,4662 1,30 0,6386 0,6863 5,40 0,5573 0,5140 1,40 0,5431 0,7135 5,45 0,5269 0,5519 1,50 0,4453 0,6975 5,50 0.4784 0,5537 1,60 0,3655 : 0,6389 ' 5,55- 0,4456 0,5181 1,70 0,3238 0,5492 5,60 0,4517 0,4700 1,80 0,3336 . 0,4508 5,65 0,4926 0,4441 1,90 0,3944 0,3734 5,70 0,5385 0,4595 2,00 0,4882 0,3434 5,75 0,5551 0,5049 2,10 0,5815 0,3743 5,80 0,5298 0,5461 2,20 0,6363 0,4557 5,85 0,4819 0,5513 2,30 0,6266 0,5531 5,90 0,4486 0,5163 2,40 0,5550 0,6197 5,95 0,4566 0,4688 2,50' 0,4574 . 0,6192 6,00 0,4995 0,4470. 2,60 0,3890 . 0,5500 6,05 0,5424 0,4689 2,70 0,3925 0,4529 6,10 0,5495 0,5165 2,80 0,4675 0,3915 6,15 0,5146 0,5496 2,90 0,5624 0,4101 6,20 0,4676 ¡0,5398 3,00 0,6058 0,4963 6,25 0,4493 0,4954 3,10 0,5616 0,5818 6,30 0,4760 0,4555 3,20 0,4664 0,5933 6,35 0,5240 0,4560 3,30 0,4058 0,5192 6,40 0,5496 0,4965 3,40 0,4385 0,4296 6,45 0,5292 0,5398 3,50 0,5326 0,4152 6,50 0,4816 0,5454 3,60- 0,5880 0,4923 6,55 0,4520 .-• 0,5078 3,70 0,5420 0,5750 6,60 0,4690 0,4631 3,80 0,4481 0,5656 6,65 0,5161 0,4549 3,90 •' 0,4223 0,4752 6,70 0,5467 0,4915 4,00' 0,4984 0,4204 6,75 0,5302 ' 0,5362 4,10 0,5738 0,4758.- 6,80 0,4831 0,5436 4,20 0,5418 0,5633 6,85 0,4539 0,5060 4,30 0,4494 0,5540 6,90 .. 0,4732 ¡0,4624 4,40 0,4383 '•' 0,4622 6,95 0,5207 : "• 0,4591

SEC. 18-10] INTEGRALES DE FRESNEL 397

Empezaremos considerando algunas de las características de la espiral cuantitativa de Cornu de la figura 18-14, que es una representación de las dos integrales de Fresnel. Las coordenadas de cualquier punto de esta curva dan sus valores para un límite superior particular v en las ecuaciones [18-12] y [18-13]. L a escala de v se ha marcado directamente sobre la curva y corresponde a divisiones iguales a lo largo de su longitud. Conviene recordar, por ser particularmente utilizadas, las posiciones de los puntos v = 1, -\/2 y 2 en la curva, que representan media, una y dos zonas semiperiódicas, respectivamente, como puede comprobarse calculando los valores correspondientes de 8" en la ecuación [18-10]. No obstante, son más importantes las coordenadas de los puntos finales Z' y Z. Sus valores son (— i , — \) y (\, \), respectivamente.

Como en cualquier curva de vibración, la amplitud debida a una porción dada del frente de onda se obtiene hallando la longitud de la cuerda del segmento apropiado de curva. E l cua-

F I G . 18-14.—Espiral de Cornu; representación gráfica de las integrales de Fresnel.

398 DIFRACCION D E FRESNEL [CAP. 18

drado de esta longitud da entonces la intensidad. Por ello la espiral de Cornu de la figura 18-14 se usa para la solución gráfica de problemas de difracción, del modo que ilustraremos después. Pero hay que tener presente que los valores numéricos de las intensidades calculados de este modo son relativos al valor 2 correspondiente a la onda no interceptada. Por tanto, si A representa cualquier amplitud obtenida a partir de la gráfica, la intensidad /, expresada en función de la que existiría si no estuviese presente la pantalla, y que llamaremos 70, es

Y = \A* [18-14]

Para comprobar este aserto observemos que, de acuerdo con lo dicho en la sección 18-8, la amplitud debida a la mitad superior de la onda se obtiene trazando un vector desde O a Z. Análogamente, otro trazado de Z' a O da la amplitud debida a la mitad inferior. Cada uno de ellos vale l/\/2> de modo que al sumarlos y elevar la suma al cuadrado para hallar la intensidad debida a la onda completa obtenemos que I0 = 2 en la escala convencional utilizada en la figura 18-146.

18-11. Borde rectilíneo.—El estudio de la difracción en una pantalla con un borde rectilíneo es quizá la aplicación más sencilla de la espiral de Cornu. L a figura 18-15 (a) representa una sección de tal pantalla, con su borde paralelo a la rendija 5. E n

F I G . 18-15.—Dos posiciones distintas de las bandas semiperiódicas relativas a un borde rectilíneo N.

5 Advertiremos que la onda resultante está retrasada 45°, o sea un octavo de período, respecto de la procedente del centro del sistema de zonas (o sea, la onda secundaria que en la figura 18-11 alcanza P, procedente de MB). En el estudio de las zonas circulares de la sección 18-6 se produce un desfase análogo, esta vez de un cuarto de período. Esta diferencia se origina por el hecho de que en la representación de una onda cilindrica, utilizada en la integral de Kirchhoff (sección 18-17), aparece una constante de fase adicional de iu/4 en relación con la de la onda esfe'rica. El resultado de la integración extendida a la superficie completa

SEC. 18-11] BORDE RECTILINEO 399

F I G . 18-16.—Amplitudes resultantes de la figura de difracción de un borde recto según la espiral de Cornu.

esta figura se han marcado sobre el frente de onda las bandas semiperiódicas correspondientes al punto P, situado en el borde de la sombra geométrica. Para hallar la intensidad en P observemos que, como la mitad superior de la onda es efectiva, la amplitud está representada por el segmento que une O y Z (figura 18r16) y cuya longitud es l/\/2. Su cuadrado es 1/2, por lo que la intensidad en el borde de la sombra es justamente la cuarta parte de la encontrada anteriormente para la onda no interceptada.

Consideremos a continuación la intensidad en el punto P' [Fig. 18-15 (a)] a una distancia l por encima de P. Para precisar,

es, como se explicó en la sección 18-17, poner de acuerdo la fase de la resultante en ambos casos con la de la onda directa. Para el estudio de la discrepancia de fase en la espiral de Cornu, véase la obra Light, de R. W. D I T C H B U R N , 1.A ed., pág. 214, Interscience Publishers, Nueva York, 1953.

400 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

tomemos P' en la dirección SMV siendo M t el borde superior de la primera banda semiperiódica. Para este punto, el centro M0 de las bandas semiperiódicas está en la recta que une 5 con P', y hemos dé reconstruir la figura como en 18-15 (b). E l borde recto se encuentra ahora en M\, de modo que no solo están expuestas todas las bandas situadas por encima de M 0 , sino también la primera por debajo de dicho punto. Por tanto, la amplitud resultante A está representada en la espiral de la figura 18-16 por el segmento que une B' y Z. Esta amplitud es más del doble de Ja de P, y la intensidad, A2, más de cuatro veces mayor.

A partir del punto de observación P en el borde de la sombra geométrica (Fig. 18-15), para el cual la amplitud viene dada por •OZ, si movemos el punto continuamente hacia arriba, el origen del vector amplitud se moverá hacia la izquierda a lo largo de la espiral, mientras su extremo permanece fijo en Z. Evidentemente la amplitud pasará por un máximo en b', un mínimo en c, otro máximo en i', etc., aproximándose finalmente al valor Z'Z correspondiente a la onda no interceptada. Si movemos P hacia abajo, dentro de la región de sombra geométrica, el origen del vector amplitud se desplazará hacia la derecha de 0, y la amplitud decrecerá de modo continuo^ tendiendo hacia cero.

Para obtener valores cuantitativos de las intensidades a part i r de la espiral de Cornu, basta con medir la longitud A para •varios valores de v. E l cuadrado de A da la interísidad. En las figuras 18-17 (a) y (b) se han representado la amplitud y la intensidad en función de v. Se verá que en el punto O, que corresponde al borde de la sombra geométrica, la intensidad ha descendido a un cuarto de la que tiene para grandes valores negativos de v, para los cuales se aproxima al valpr de la onda no interceptada. Las otras letras corresponden a puntos de igual designación en Ja espiral, B', C, D', .... y representan la exposición de una, dos,

(o)

, 2 !

A 1 1

0

..A 1 +2 -2

(ó) 0

o

i / Ve / e

1 1

-o •* l_ B y P

+2¡ -4

!FIG. 18-17.—Curvas de amplitud e intensidad para la difracción de Fresnel en un borde rectilíneo.

SEC. 18-12] PROPAGACION RECTILINEA DE LA LUZ 401

tres, etc., bandas semiperiódicas por debajo de M0. Los máximos y mínimos de estas franjas de difracción se producen poco antes de alcanzarse estos puntos. Así, p. ej., el primer máximo en b' ocurre cuando el vector amplitud A tiene la posición representada en la figura 18-16. L a figura 18-18 (a) y (6) reproduce fotografías de la figura de difracción de un borde rectilíneo. L a figura (a) se obtuvo con luz visible de un arco de mercurio, y la (&), con rayos X de longitud de onda igual a 8,33 Á. L a figura 18-18 (c) se ha obtenido directamente a partir de la fotografía (a) mediante un microfotómetro, y es una gráfica de la densidad de iluminación.

F I G . 18-18.—Figuras de difracción en un borde recto fotografiadas con (a) luz visible de X = 4300 A, y (b) rayos X de X ~ 8,33 A. Gráfica microfotométrica

de (a).

Quizá la observación más común de la figura de difracción de un borde rectilíneo, y con seguridad la más sorprendente, tiene lugar al mirar un farol lejano a través de unas gafas salpicadas por la ' l luvia. E l borde de cada gota actúa como un prisma, y refracta hacia la pupila del ojo rayos que de otro modo no la alcanzarían. Hacia fuera del borde, el campo es, por tanto, oscuro, pero el contorno de la gota aparece como una mancha brillante e irregular bordeada de intensas franjas de difracción, como las de la figura 18-18. Las franjas son muy claras, y se observa un número sorprendente de ellas, debido probablemente al efecto acromatizante de la refracción.

18-12. Propagación rectilínea de la luz.—Cuando se estudian las dimensiones de la anterior figura de difracción para un caso J ENK1HS- WHITE.—26

402 DIFRACCION D E FRESNEL [CAP. 18

particular, se evidencia la razón de la aparente propagación rectilínea de la luz. Supongamos para dicho caso a = b — 100 cm, y X = 5000 Á. Según la ecuación [18-11] se tiene:

Esta es la distancia a lo largo del frente de onda [Fig. 18-15 (a)]. Para convertirla en distancias l sobre la pantalla, observemos que según la figura

Ahora bien: en la gráfica de la figura 18-17 (b) la intensidad en el punto v ~ -f- 2 es solo 0,025, o sea un ochentavo de la intensidad si se suprimiese el borde rectilíneo. Para este punto / es igual a 0,142 cm y, por tanto, está solo 1,42 mm dentro del borde de la sombra geométrica. E n el resto de la pantalla por debajo de este punto hay prácticamente oscuridad completa, lo que se debe a la interferencia destructiva de las ondas secundarias que llegan a esta región procedentes de la parte superior de la onda.

18-13. Rendija sencilla.—Consideremos a continuación la difracción de Fresnel en una rendija de lados paralelos a la rendija manantial S [Fig. 18-19 («)]. Utilizando la espiral, de Cornu, se trata de determinar la distribución de la luz sobre la pantalla PP'. Situando la rendija como se indica, cada uno de sus lados

[18-15]

Por tanto, para el caso particular elegido,

l = 2s = 0,0708w cm

S

(a)

FIG. 18-19.—División del frente de onda para la difracción de Fresnel en una rendija.

SEC. 18-13] RENDIJA SENCILLA 403

actúa como un borde rectilíneo que apantalla los extremos del frente de onda. Y a hemos vigto en la sección 18-11 cómo se obtiene la figura de difracción ¡de un solo borde rectilíneo, método que se extiende fácilmente al caso presente. Con la rendija colocada en la posición central de la figura 18-19 (a), la única luz que llega a P es la procedente del frente de onda situado en el intervalo As != MN. A partir de la espiral de Cornu hemos de determinar ahora la longitud Av que corresponde a la anchura de la rendija As. Para ello se utilizará la ecuación [18-11], poniendo Av en vez de y y As en lugar de s. Sea a = 100 cm, b = 400 cm, X = 4000 Á = 0,00004 cm y la anchura de la rendija As = 0,02 cm. Sustituyendo en la ecuación [18-11], se obtiene Av — 0,5. L a amplitud resultante en P viene dada entonces por una cuerda de la espiral, cuyo arco tiene una longitud Av == 0,5. Dado que el punto de observación P ocupa una posición simétrica, el arco irá de v = — 0¿25 a v = + 0,25. Resulta A ^ 0,5, y elevando al cuadrado esta amplitud se obtiene la intensidad en P.

F I G . 18-20.—Espiral de Cornu, mostrando las cuerdas correspondientes a arcos de igual longitud Av.

404 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

Si deseamos conocer la intensidad en P' [Fig. 18-19 (b)], hemos de corregir el diagrama efectuando una nueva división del frente de onda en la forma indicada. Con el punto de observación en P1 está expuesta la misma longitud de frente de onda, As = == 0,02 cm, y, por tanto, tenemos la misma longitud efectiva de espiral, Av = 0,5. No obstante, esta sección, en la mitad inferior del frente de onda, corresponde a una nueva posición del arco en la mitad inferior de la espiral. Supongamos que está representada por el arco jk de la figura 18-20. L a amplitud resultante es proporcional a la cuerda A, cuyo cuadrado da la intensidad relativa. Por tanto, para obtener la variación de intensidad a lo largo de la pantalla de la figura 18-19 haremos deslizar un trozo de espiral de longitud constante Av — 0,5 a diversas posiciones, midiendo, para obtener las amplitudes, las longitudes de las cuerdas correspondientes. Para resolver un problema concreto, el lector puede construir una escala recta graduada en unidades y décimas de v, y medir las cuerdas en un diagrama de precisión como el de la figura 18-14, usando la escala de v en la espiral para obtener

SEC. 18-15] DIFRACCION POR UNA VARILLA OPACA 405

la longitud constante Av del arco. Se tabularán entonces los resultados en tres columnas, que dan v, A y A2. E l valor de v que ha de figurar en la tabla es el correspondiente al punto central del arco, cuya cuerda A se mide. Así, p. ej., en el intervalo de v = 0,9 a v = 1,4 (Fig. 18-20) se tabulará el valor medio v = 1,15, correspondiéndose con A = 0,43.

E n la figura 18-21 se han reproducido diversas fotografías correspondientes a la difracción de Fresnel por rendijas de diferentes anchuras, y junto a cada una la correspondiente curva de intensidad. Estas gráficas se han trazado con ayuda de la espiral de Cornu. Es interesante observar en estos diagramas las posiciones de los bordes de la sombra geométrica de la rendija (indicados en el eje v). Fuera de estos puntos incide muy poca luz. En una rendija muy estrecha, como la primera, para la cual Av = 1,5, la figura de difracción se parece mucho a la de Fraunhofer. L a diferencia esencial entre ambas (cf. Fig. 15-4) es que en este caso los mínimos no llegan a ser nulos, excepto para un valor de v infinitamente grande. L a pequeña figura superior se tomó con rayos X de longitud de onda 8,33 Á, y las demás con luz visible de longitud de onda 4358 Á. A l ensanchar la rendija, las franjas varían muy rápidamente, tomando para una rendija ancha el aspecto de dos figuras de difracción producidas por bordes rectilíneos opuestos. E n la fotografía original se observan claramente las pequeñas franjas superpuestas a las principales, que pueden apreciarse también en la reproducción.

18-14. Aplicación de las integrales de Fresnel a la resolución de problemas de difracción.—Con los valores de las integrales de Fresnel de la tabla 18-1 se consigue mayor precisión que con el diagrama de la espiral. Para un intervalo Av = 0,5, p. ej., se leen en la tabla los dos valores de x de sus extremos y se restan algebraicamente para obtener el valor Ax de la componente horizontal de la amplitud. Del mismo modo se restan los valores correspondientes de y, obteniéndose la componente vertical Ay. L a intensidad relativa es la suma de los cuadrados de estas magnitudes:

I ~ A2 = (A*) 2 + (Ay)2 [18-16]

E l método es de gran precisión, pero fatigoso, especialmente cuando hay que efectuar interpolaciones en ciertas partes de la tabla 18-1. Algunos problemas, tales como el del borde recto, se simplifican por el hecho de que el número de zonas de un extremo del intervalo no es limitado. E l valor, tanto de x como de y, en tal extremo es l. A continuación consideraremos otro ejemplo de este tipo.

18-15. Difracción por una varilla opaca.—Mediante la espiral de Cornu puede estudiarse también la sombra proyectada por

406 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

un objeto estrecho, de bordes paralelos, tal como un alambre. E n el caso de la rendija, estudiado en la sección 18-13, se demostró que la figura de difracción resultante se obtiene haciendo deslizar un trozo de espiral de longitud fija, Ai; = constante, a lo largo de la espiral y midiendo la cuerda entre los dos puntos extremos. E l resto de la espiral hasta el infinito, o sea hasta Z o Z' a cada lado del elemento en cuestión, estaba ausente debido al apanta-llamiento por los dos lados de la rendija. Si se sustituye ahora la abertura de la rendija de la figura 18-19 («) por un objeto del mismo tamaño, suprimiendo a la vez los dos bordes de la rendija, habremos de considerar dos segmentos de la espiral. Supongamos que el tamaño del obstáculo es tal que cubre un intervalo Av — 0,5 de la espiral (Fig. 18-20). Para la posición jk la luz que llega a la pantalla será debida a los trozos de espiral comprendidos entre Z' y j y entre k y Z. L a amplitud resultante debida a estas dos secciones se obtiene sumando vectorialmente sus amplitudes respectivas. L a sección inferior da una amplitud representada por un vector determinado por Z' y /, con su extremo

- 5 O +5 — V - » ~

F I G . 18-22.—Difracción de Fresnel en varillas estrechas opacas.

SEC . 18-16] PRINCIPIO DE BABINET 407

en /. La amplitud correspondiente a la sección superior está representada por un vector de origen k y extremo Z. L a suma vectorial de ambos da la amplitud resultante A, siendo A2 la intensidad en un punto v que equidiste de j y k. L a figura 18-22 muestra tres fotografías de las figuras de difracción producidas por hilos muy finos yí sus correspondientes curvas teóricas.

18-16. Pantallas difractantes de otras formas. Principio de Babinet.—Del los ejemplos anteriores se deduce con'claridad el procedimiento a seguir para i estudiar cualquier problema, por complejo que sea, en el cual todos los bordes de la pantalla sean paralelos a la rendija manantial. E l lector encontrará instructivo estudiar, p. ej., la difracción de Fresnel en una doble rendija. Hay que ponef cuidado en dar siempre la dirección adecuada a los vectores amplitud obtenidos como cuerdas de la espiral de Cornu. Dado que la espiral consta de vectores amplitud infinitesimales que parten de Z' y terminan en Z (Sec. 18-8), el extremo de cualquier vector ha de estar en el punto de la espiral más próximo a Z.

Las pantallas cuyos bordes no son paralelos, como, p. ej., un triángulo o un polígono, no producen figuras de difracción nítidas, a menos que se las ilumine con un manantial puntual. Por tanto, no se les puede aplicar l a espiral de Cornu y hay que recurrir' a una teoría más general, de la que trataremos después. Una característica sorprendente de tales figuras es la aparición de abanicos luminosos, que se extienden en ambas direcciones perpendiculares a cualquier borde rectilíneo de la pantalla 6 . Así, al mirar un manantial puntual a través de una pequeña abertura con forma de triángulo equilátero, aparece como una estrella de seis puntas.

Hay una generalización, conocida como principio de Babinet, que relaciona las figuras de' difracción producidas por dos pantallas complementarias. E l término complementario significa en este caso que los espacios opacos de una pantalla están reemplazados por espacios transparentes en la otra, y viceversa. Una varilla opaca, p. ej., es complementaria de una rendija de la misma anchura. E n su forma más general, el principio establece que el vector amplitud producido en un punto dado por una pantalla, sumado con el vector amplitud dado por la pantalla complementaria, da la amplitud producida por la onda no interceptada. De hecho, dice que el todo es la suma de sus partes. Podemos, pues, escribir la ecuación vectorial

6 Se encontrarán excelentes fotografías de figuras de difracción producidas por aberturas de diversas formas en la obra de G. Z. D I M I T B O F F y J. G. B A K E R Telescopes and Accessories, apéndice VIII, The Blakiston División, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1945.

408 DIFRACCION D E FRESNEL [CAP. 18

A ^ A j ^ A , 1 [18-17] j :

donde los subíndices 1 y 2 se refieren a las pantallas^ complementarias, y el 0, a la ausencia de pantalla. Puede comprobarse la validez de este principio dividiendo la espiral de Cornu en las partes adecuadas, aunque es también aplicable a todos los demás tipos de difracción.

E l principio de Babinet no es muy útil tratándose de la difracción de Fresnel, salvo que puede proporcionar una forma rápida de obtener la figura de difracción de una pantalla particular a partir de la de su complementaria. Pero en la difracción de Fraunhofer tiene una interesante consecuencia. En este caso, la onda no interceptada da intensidad cero en todo el campo, excepto en la imagen del propio manantial. Entonces A 0 = 0, y A 2 = — A x . A l elevar al cuadrado estas amplitudes para hallar las intensidades, encontramos que Zas figuras de difracción debidas a pantallas complementarias son idénticas. Las figuras 18-21 y 18-22 indican que esto no es cierto en modo alguno en un caso típico de difracción de Fresnel. Sería aplicable al caso de un hilo fino extendido sobre el objetivo de un anteojo astronómico, que produciría en el plano de la imagen una tenue figura como de una rendija en la orientación correspondiente. Finalmente, mencionaremos que el principio de Babinet no es enteramente riguroso, sino que implica aproximaciones7, como el resto del método de Huygens-Fresnel considerado hasta ahora.

18-17. Tratamientos más generales de la difracción.—La aplicación original del principio de Huygens a la difracción, aunque da resultados de acuerdo con la experiencia en problemas tales como los estudiados en este capítulo, contiene ciertas hipótesis decididamente incorrectas. Fresnel tomó como factor de oblicuidad cos 0, ya que le pareció razonable que el elemento de superficie de onda radiara de acuerdo con la ley de Lambert. Despreció el hecho de que la fase de la onda resultante fuera errónea, pues solo le interesaba predecir intensidades. Pero es más importante saber si no se comete un error al suponer que la amplitud y la fase son uniformes sobre el frente de onda de la parte transparente de la pantalla de difracción, y que la amplitud es nula detrás de las partes opacas. Las (teorías matemáticas más precisas desarrolladas después de Fresnel 8 han resuelto correcta-

' Véase E. T. C O P S O N : Proc. Roy. Soc. (Londres), 186, 116, 1946, donde se discuten sus límites de aplicabilidad. Este! principio no es ni siquiera aproximadamente cierto en el caso de una pantalla perfectamente reflectante.

8 Véase una explicación autorizada y completa en A. S O M M E R F E L D : Optics, capítulos V y VI. Academic Press, Nueva York, 1954. Un resumen muy aceptable desde un punto de vista más elemental se incluye en J. V A L A S E K : Theoretical and Experimental Optics, págs. 172-86, John Wiley & Sons, Nueva York, 1949.

SEC. 18-17] TRATAMIENTOS MAS GENERALES D E LA DIFRACCION 409"

mente estas cuestiones, poniendo de manifiesto dónde radicaban las limitaciones de su método.

Kirchhoff realizó, en 1876, el primer avance importante en este sentido al demostrar que la onda luminosa podía expresarse en cualquier punto del espacio por medio de una integral extendida a una superficie cerrada que rodee al punto. Las ondas secundarias de Huygens aparecen en esta teoría como las contribuciones diferenciales de los elementos de la superficie, y cuando parte de esta coincide con el frente de onda, se encuentra que su amplitud varía como 1 -f- eos G, según se supuso en la sección 18-1. Además, al extender la integración a la superficie completa se obtiene la onda como si hubiese alcanzado el punto directamente desde el manantial, es decir, con su amplitud y fase correctas. Mediante la generalización de Kirchhoff se suplen, por tanto, dos deficiencias de la teoría de Fresnel en relación con el factor de oblicuidad y la fase.

E n principio, la solución de cualquier problema de difracción se obtiene haciendo coincidir parte de la superficie cerrada de Kirchhoff con la pantalla difractora, y calculando su integral con las condiciones de contorno adecuadas. Pero para ello es necesario conocer los valores de la amplitud compleja, y de su derivada respecto a la normal, sobre la superficie total. E n la práctica, no se conocen nunca con precisión, y para resolver el problema, hay que hacer ciertas simplificaciones, que al final conducen a poco más que el método original de Fresnel. De hecho, los resultados son idénticos cuando la anchura de la abertura es de muchas longitudes de onda y la observación se realiza a bastante distancia de ella. Recientemente ha sido posible medir figuras de difracción perpendiculares al plano de la abertura, mediante el empleo de microondas de unos pocos centímetros, y para anchuras de la abertura desde varias longitudes de onda hasta fracciones de longitud de onda 9 . Los resultados muestran una coincidencia sorprendentemente buena con la teoría aproximada de Kirchhoff, pero indican también la necesidad de más amplios estudios teóricos y experimentales de la difracción por estos métodos. Como la teoría de Fresnel es, no obstante, suficiente para, el estudio de la difracción de las longitudes de onda visibles, no trataremos de estos interesantes progresos.

Después de la aparición de la teoría electromagnética de la luz se intentó conseguir tratamientos rigurosos de ciertos tipos sencillos de difracción mediante la aplicación de condiciones de contorno adecuadas a las ecuaciones de Maxwell (Cap. X X ) . Estas condiciones suponen un conocimiento de las propiedades

9 C. L . A N D R E W S : / . Appl: Phys., 21, 761, 1950; Am. J. Phys., 19, 280, 1951..

'410 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

eléctricas de la sustancia que forma la propia pantalla difractante. Sommerfeld consiguió resolver por este método el problema del borde rectilíneo para el caso de una pantalla de espesor infinitesimal y reflectancia perfecta. De este trabajo surgió un resultado interesante, que permitió explicar una aberración que durante mucho tiempo había inquietado a quienes se dedicaban al estudio experimental de la difracción. Situando el ojo en la región de la luz difractada, el borde o bordes difractantes parecen luminosos, aun cuando se tomen precauciones para evitar la luz reflejada o difundida. L a teoría de Sommerfeld deduce con todo detalle la onda resultante que llega a un punto de la pantalla, incluyendo su distribución de fase. Se halla que la sombra geométrica del borde recto se compone de una onda cilindrica originada aparentemente en el borde. Fuera de la sombra llegan tanto la onda directa como la desviada, y las franjas de difracción observadas pueden interpretarse como debidas a la interferencia de ambas. De hecho, esta es la explicación original de las franjas de difracción dada por Thomas Young, la cual se ha tomado hasta hace poco como errónea. Constituye otra interpretación posible y es matemáticamente equivalente a la de Kirchhoff en cualquier fenómeno de difracción de Fresnel. La figura de difracción de una rendija sencilla puede considerarse originada por interferencia de la onda directa y de dos ondas cilindricas, cada una procedente de un borde 1 0 .

P R O B L E M A S

18-1. Copíese la serie de términos análogos a los de la ecuación [18-6] cuando el número de zonas es par y demuéstrese que en este caso la amplitud resultante es {Ax(2) —• {Amf2).

18-2. Realícese el cálculo de las áreas de las zonas de Fresnel con un orden más elevado de aproximación que el de la ecuación 18-3. ¿En qué porcentaje excede, para un írente de onda plano, el. área de la trigésima zona del de la primera? Tómese X = 5000 A y b = 20 cm.

Sol.: 0,0037 % .

18-3. Trácense diagramas polares de la amplitud e intensidad de una onda secundaria de Huygens en función de 9 empleando el factor de oblicuidad correcto. ¿Cuál es el nombre de la curva matemática que da la amplitud?

18-4. Se fotografía una de las placas zonales de la figura 18-9 a una •escala tal que la primera zona medida en un comparador tiene un radio

1 0 Para una discusión no matemática de la luminosidad de un borde difractante y de la teoría de Young, véase C. F. M E Y B R : The Diffraction of Light, X-rays and Material Partióles, 1.» ed„ Cap. VII, Secs. 10-11, University of Chicago Press, •Chicago, 1934, y R . W . W O O D : Physical Optics, 3.» ed., págs. 218-21, The Macmillan Co., Nueva York, 1953.

PROBLEMAS 411

de 0,390 mm. Se monta entonces sobre un banco óptico 42 cm delante de un pequeño orificio iluminado por la raya verde del mercurio X = 5461 Á. Hállese la distancia desde la placa zonal a la imagen primaria y también a las dos primeras imágenes secundarias. Sol.: 82,7. 11,9. 6,4 cm.

18-5. Un haz paralelo de microondas de X = 3 cm pasa por un orificio circular dé radio graduable. Si se coloca un detector sobre el eje del orificio 4 rn detrás de él y se aumenta gradualmente el radio de la abertura, ¿para qué valor se obtendría la respuesta máxima? ¿Y su segundo mínimo? Obténgase, para este último radio, una ecuación que dé las posiciones de los máximos y mínimos a lo largo del eje.

18-6. Supóngase que la mancha brillante en la sombra de un disco es visible cuando las discrepancias! a partir de un contorno perfectamente circular no exceden de un tercio de la anchura de una zona. Si se coloca una pieza de 18,5 mm de diámetro en el cono de luz roja (6000 Á) procedente de un manantial distante y se observa su sombra mediante un ocular situado 1 m detrás de ella, ¿cuál es la máxima variación de radio admisible? , i Sol: 0,011 mm.

18-7. Cuando la luna eclipsa una estrella, hállese el tiempo requerido para que su intensidad se haga 1/100 de su valor inicial.

18-8. Empleando la espiral de Cornu, represéntese la figura de difracción de una rendija de anchura As = 1,2 mm. Supóngase que a = 100 cm, b = 150 cm y X = 5000 Á.

Sol: El diagrama presenta tres máximos fuertes casi de la misma intensidad y otros laterales más tenues.

18-9. Una rendija situada en el extremo de un banco óptico está iluminada con luz de sodio. Un soporte de objetos difractantes dista 60 cm de la rendija, y las observaciones se realizan con una célula fotoeléctrica detrás de una estrecha rendija a 120 cm del soporte anterior. ¿Cuál será la intensidad exacta respecto a la no interceptada: a) en el borde de la sombra geométrica de una varilla de 1,8 mm de diámetro, y b) en el centro de la misma sombra?

18-10. En el dispositivo del problema 18-9, hállese la intensidad: a) 2 mm dentro de la sombra geométrica de un borde rectilíneo, y b) 1 mm fuera del'borde. í Sol: a) 0,013 /„ ; b) 1,23 I0.

18-11. En el dispositivo del problema 18-9, hállese la intensidad: a) en uno de los bordes de la sombra geométrica de una rendija de 1,5 mm de anchura, y b) en el centro de la figura de difracción de una rendija de 2,5 mm de anchura.

18-12. Calcúlese, mediante la tabla de integrales de Fresnel, la intensidad exacta en los puntos v = + 1,2 y — 2,0 de la figura de difracción de un borde rectilíneo. ¿A qué ángulos de difracción corresponden estas intensidades cuando el manantial es muy distante y la longitud de onda es: a) 4000 Á, y b) 5 cm? La pantalla de observación se encuentra 5 m detrás del borde rectilíneo.

Sol: 0,0308 70; 0,844 I0. a) ¡0,0014°, — 0 , 0 0 2 3 ° . b) 4,85°, — 8 , 0 5 ° . 18-13. Utilícese la espiral de Cornu para estudiar la figura de difrac

ción de una doble rendija. Si a = b = 100 cm, X = 5000 A, las rendijas tienen cada una 0,4 mm de anchura y la distancia entre sus centros es-2 mm, hállese la distancia desde el centro de la figura de difracción a: a) el primer mínimo, y b) el segundo máximo.

18-14. Dedúzcase, mediante el principio de Babinet, una relación sencilla entre la intensidad en un punto de la figura de difracción de una

412 DIFRACCION DE FRESNEL [CAP. 18

rendija y la intensidad en el mismo punto de la figura de difracción de la varilla opaca complementaria de la rendija.

Sol.: {I¡I0)vir. = (J/Z0)»n.;—A# — Ay -f 1; A# y Ay son las componentes del vector amplitud correspondiente a la rendija.

18-15. Mediante la espiral de Cornu, investigúese en el caso de la difracción por una varilla opaca: a) si ha de producirse necesariamente un máximo en el centro de la figura de difracción como ocurre en los tres casos de la figura 18-22; b) el origen de las1 «pulsaciones» observadas fuera de la sombra geométrica en el caso Av = 0,5 de la figura 18-22.

18-16. De acuerdo con la interpretación de YGung de la difracción, las franjas dentro de la sombra geométrica de una varilla opaca han de considerarse como franjas de interferencia producidas por los dos bordes luminosos. En esta hipótesis, ¿cuántas franjas brillantes se producirían en la sombra de una varilla opaca de anchura Av = 2,5 (véase Fig. 18-22)? ¿Y en la sombra de la varilla del problema 18-9?

Sol.: 3 franjas. 13 franjas. 18-17. Una onda luminosa plana de longitud de onda 5000 Á incide

sobre una pantalla que tiene un orificio circular de 1 mm de diámetro. Hállese la intensidad sobre el eje a una distancia de 30 cm detrás de la pantalla, expresándola como fracción de la intensidad en el primer máximo. Esta última es la intensidad en el punto en que el orificio abarca justamente la primera zona de Fresnel.

CAPITULO X I X

VELOCIDAD DE LA LUZ

E n los capítulos precedentes se ha visto que los fenómenos de interferencia y difracción de la luz pueden explicarse satisfactoriamente mediante la teoría ondulatoria. Ahora vamos a considerar otra característica fundamental de la luz, que es su velocidad de propagación. Es de esperar que las ondas que tienen una frecuencia definida avanzarán en un medio dado con una velocidad finita y constante. Las ondas luminosas y, en general, las ondas electromagnéticas se caracterizan por ser las únicas capaces de propagarse en el vacío, y en este caso la velocidad es igual para todas las frecuencias. Por tanto, la velocidad de la luz en el vacío, c, es una de las constantes más importantes de la Naturaleza. En la teoría electromagnética de la luz, que se estudiará en el próximo capítulo, aparece como razón de ciertas unidades. Además, el descubrimiento de que su valor es independiente tanto del movimiento del manantial como del observador, constituyó el fundamento inicial de la teoría de la relatividad. Nuestro primer objetivo será describir los diversos métodos empleados para medir con precisión esta velocidad.

19-1. Método de Romer 1.—Debido a la gran velocidad de la luz, es natural que la primera medida llevada a cabo con éxito fuera de tipo astronómico, por las grandes distancias que ello implica. E n 1676 Romer midió los tiempos de los eclipses de los satélites del planeta Júpiter. L a figura 19-1 (a) muestra las órbitas de la Tierra y de Júpiter alrededor del Sol, 5, y la de uno de los satélites, M, alrededor de Júpiter. E l satélite interior tiene un período medio de revolución TQ = 42 h 28 min 16 seg, determinado por el tiempo medio entre dos entradas del satélite en la sombra del planela. Romer midió en realidad los tiempos de salida de la sombra, aunque es de más precisión la medida de los tiempos de paso de la manchita negra, que representa la sombra del satélite sobre la superficie de Júpiter, a través de la línea media del disco de este último.

Una larga serie de observaciones sobre los eclipses del primer satélite permitió una medida precisa del período medio T0. Romer

1 Olaf RSmer (1644-1710), astrónomo danés, realizó su trabajo sobre los satélites de Júpiter en París, y posteriormente fue nombrado astrónomo real de Dinamarca.

413

414 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

halló que si se observaba un eclipse cuando la Tierra estaba en una posición tal como la E1 respecto de Júpiter, fl [Fig. 19-1 («)], y se predecía el tiempo de un eclipse posterior usando el período medio, no ocurría en general exactamente en el tiempo predicho. Concretamente, si el eclipse predicho había de producirse 3 meses después, al estar la Tierra y Júpiter en E2 y J2, encontró un retraso de unos 10 min. Para explicar esto supuso que la luz se propagaba con una velocidad finita desde Júpiter a la Tierra, y como la Tierra en E2 estaba más alejada de Júpiter, el retraso repre-

F I G . 19-1.—Fundamento de la determinación astronómica de la velocidad de la luz por Romer, mediante observaciones de los satélites de Júpiter.

sentaba el tiempo requerido por la luz para recorrer esta distancia adicional. Sus medidas dieron 11 min como tiempo empleado por la luz en recorrer una distancia igual al radio de la órbita terrestre. Ahora sabemos que 8 min 18 seg es un resultado más correcto, que combinado con la distancia media al Sol, 1497108 K m , da una velocidad de unos 300000' Km/seg.

Es instructivo averiguar cómo debe esperarse que varíe a lo largo del año el período aparente del satélite, es decir, el tiempo entre dos eclipses sucesivos. Si se pudiera medir este tiempo con precisión suficiente se obtendría la curva de la figura 19-1 (b). Podemos considerar los sucesivos eclipses como señales luminosas enviadas desde Júpiter a intervalos regulares de 42 h 28 min 16 seg. Ahora bien: en todos los puntos de su órbita, excepto E± y E3, la Tierra está variando su distancia a Júpiter más o menos rápidamente. Si la distancia está aumentando, como en E2, cualquier señal recorre una distancia mayor que la precedente, y el inter-

SEC. 19-2] METODO DE BRADLEY 415

valo de tiempo observado entre ellas crecerá. Análogamente, en Ei disminuirá. L a variación máxima sobre el período medio, unos 15 seg, es el tiempo empleado por la luz en cubrir la distancia recorrida por la Tierra entre dos eclipses, que es 4,5 x 106 K m . E n cualquier posición dada, el retraso total del eclipse, tal como lo observó Romer, se obtendría sumando las cantidades T — TQ

[Fig. 19-1 (£>)], en que cada período aparente es mayor que el medio. Así, p. ej., el retraso de un eclipse en Ez, predicho a partir de uno en Ex usando el período medio, será la suma de T — T0 para todos los eclipses entre E± y E2.

19-2. Método de Bradley2. Aberración de la luz.—La interpretación i de Romer de las variaciones en los tiempos de los eclipses de los satélites de Júpiter no fue aceptada hasta que el astrónomo inglés Bradley j realizó en 1727 una determinación de la velocidad de la luz completamente independiente. Bradley descubrió un movimiento aparente de las estrellas que atribuyó al desplazamiento de la Tierra en su órbita. Este efecto, denominado aberración, es completamente distinto de los bien conocidos desplazamientos de las estrellas más próximas, llamados paralaje. Debido al paralaje, ¡estas estrellas aparecen ligeramente desplazadas respecto de las estrellas lejanas al observarlas desde diferentes puntos de la órbita terrestre, y a partir de estos desplazamientos puede calcularse su distancia. Como el desplazamiento aparente de la estrella es opuesto al de la posición de la Tierra, el efecto de paralaje hace que al observar una estrella en una dirección perpendicular al plano de la órbita terrestre describa una pequeña circunferencia en oposición de fase con el movimiento de la Tierra. Los diámetros angulares de estas circunferencias son muy pequeños (no mucho mayores de l" para las estrellas más próximas). L a aberración, que depende de la velocidad de la Tierra, hace también que las estrellas observadas en

sistema solar

anteojo del observador

(6)

¡FIG. 19-2.—Origen de la aberración astronómica, cuando se observa la estrella perpen-dicularmente al plano de la órbita terrestre.

2 James Bradley (1693-1762), profesor de Astronomía de Oxford. Elaboró sus ideas sobre la aberración por una observación casual sobre'las variaciones de la dirección aparente del viento cuando navegaba por el Támesis.

416 i VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

esta dirección parezcan describir! circunferencias. Pero en este caso las circunferencias tienen diámetros angulares de unos 4r//, iguales para todas las estrellas próximas o lejanas. Además, los desplazamientos son siempre en el sentido de la velocidad de la Tierra, de modo que los movimientos circulares difieren en fase TT/2 respecto al movimiento terrestre [Fig. 19-2 (a)].

Bradley explicó este efecto como una alteración de la dirección aparente de la luz que llega a la Tierra procedente de una estrella por el movimiento de aquella en su órbita. E l observador y su anteojo son arrastrados con la Tierra a una velocidad de unos 29,8 Km/seg, y si este movimiento es perpendicular a la dirección de la estrella, habrá1 de inclinarse ligeramente el anteojo en la dirección del movimiento a partir de la posición que tendría si la Tierra estuviese en reposo. L a razón de esto es análoga a la que obliga a una persona que camina bajo la lluvia a inclinar el paraguas para evitar mojarse los pies.

E n la figura 19-2 (b), v representa el vector velocidad relativa del anteojo respecto a un sistema de coordenadas fijo al sistema solar, y c, la de la luz respecto al mismo sistema. Hemos •dibujado estos vectores perpendiculares entre sí, como sería el caso si la estrella estuviese |en la dirección representada en la figura 19-2 (a). Entonces la velocidad de la luz respecto a la Tierra tiene la dirección de c, que es la diferencia de los vectores c y v. Esta es la dirección en que debe apuntarse el anteojo para observar la imagen de la estrella sobre el eje del instrumento. Vemos así que cuando la Tierra está en Ev la estrella 5 tiene la -posición aparente S x ; cuando está en E2, la posición aparente es S 2, etc. Si S no estuviera en dirección perpendicular al plano de la órbita terrestre, describiría en su movimiento aparente una elipse en vez de una circunferencia, pero el eje mayor de la elipse sería igual al diámetro de la circunferencia del caso anterior.

Se deduce de la figura que el ángulo a, que es el radio angular •del movimiento circular aparente, o bien el eje mayor del elíptico, está dado por ¡ \

tga ; [19-1] 1 ;

Las medidas recientes de este ángulo de aberración dan un valor medio a = 20,479" +_ 0,008 para bl radio angular de la órbita circular aparente. Combinándolo con la conocida velocidad v de la Tierra en su órbita, obtenemos ó = 299714 Km/seg. Este valor está de acuerdo, dentro de los límites del error experimental, con los resultados más precisos obtenidos por las últimas medidas -de la velocidad de la luz utilizando métodos directos, de los cuales •describiremos a continuación los principales.

SEC. 19-3] METODO TERRESTRE DE FIZEAU 417

19-3. Método. terrestre de Fizeau.—Fizeau 3 fue quien primero consiguió en 1849 medir la velocidad de la luz por un método no astronómico, utilizando una trayectoria luminosa sobre la superficie terrestre. E l principio de su determinación es evidente: se emite un destello de luz y se mide el tiempo de ida hacia un espejo distante y vuelta al observador.

Esto se llevó a cabo mediante el aparato representado en la figura 19-3. L a rueda dentada WF gira a gran velocidad, de

W

F I G . 19-3.—Dispositivo de Fizeau, utilizado en la primera determinación terrestre de la velocidad de la luz.

modo que divide el haz luminoso que pasa por su borde F en una serie de cortos destellos. Cada vez que la luz pasa entre dos dientes se produce uno de estos destellos. Entonces se colima mediante la lente L 2 y se enfoca mediante la L3 sobre un espejo plano M. E n el experimento de Fizeau la distancia MF era de 8,624 K m . Después de reflejarse en M, el destello luminoso retrocede y es enfocado de nuevo por L 2 en el borde de la rueda. Si durante el tiempo en que la luz va de F a M y retrocede, la rueda ha girado a una posición tal que se ha interpuesto un diente en F, el destello quedará interceptado, y lo mismo ocurrirá con cualquier otro.

Estando la rueda en reposo, en una posición tal que la luz atraviese la abertura 0 entre dos dientes (Fig. 19-3, centro), el observador E verá la imagen del manantial luminoso en F por medio del ocular L 4 , enfocado sobre F a través del espejo semi-plateado G. Si se hace ahora girar la rueda con velocidad creciente,

s H. L. Fizeau (1819-1896), miembro de una acaudalada familia francesa, tuvo independencia económica para dedicarse a su hobby, la velocidad de la luz. Realizó sus experimentos en París, haciendo recorrer a la luz una trayectoria entre Montmartre y Suresnes.

JEMKIMS-WUm.—27

418 VELOCIDAD D E LA LUZ [CAP. 19

se alcanzará un estado en el que la luz que pasa por 0. es detenida por a; la que pasa por 1 lo será por el diente b, etc., y se eclipsará completamente la imagen. U n aumento posterior de velocidad hará reaparecer la luz cuando los destellos pasen por las aberturas 1, 2, y desaparecer de nuevo cuando sean detenidos por b, c, ... L a rueda de Fizeau tenía 720 dientes, y como el recorrido de la luz era de 2 x 8,624 = 17,248 K m , la rueda debía girar 1/1440 de revolución en 17,248/c seg para que se produjese el primer eclipse. Por tanto, el primer eclipse habría de ocurrir para una velocidad c/(17,248 X 1440) r.p.s., y los otros para 3, 5, 7, ... veces esta velocidad. Fizeau observó el primer eclipse para 12,6 r.p.s., lo que dio c = 313 300 Km/seg.

No es sorprendente que este valor sea considerablemente superior a los obtenidos por métodos astronómicos, dadas las dificultades del experimento. L a incertidumbre principal con el aparato de Fizeau radica en la determinación del estado de eclipse total. Posteriormente Cornu, y Young y Forbes mejoraron las condiciones experimentales. Los últimos superaron la dificultad anterior colocando otra lente y otro espejo, idénticos a Lz y M, a una distancia algo mayor. Las dos imágenes así formadas se observaban simultáneamente, y en vez de medirse los estados de eclipse o de máximo en una u otra de las imágenes, se medía la velocidad de la rueda dentada cuando ambas imágenes parecían tener la misma intensidad. E l ojo es muy sensible para detectar ligeras diferencias de intensidad de imágenes contiguas, por lo que las medidas pudieron verificarse con mayor precisión. Su resultado *'fue 301400 Km/seg.

F I G . 19-4.—Espejo giratorio de Foucault para medir la velocidad de la luz.

* El lector puede encontrar más detalles sobre las diversas determinaciones por el método de Fizeau en la obra de T . P R E S T O N The Theory of Light, 5.» ed., pág. 534, Macmillan & Co., Londres, 1928.

SEC. 19-4] METODO DEL ¡ ESPEJO GIRATORIO 419

19-4. Método del espejo giratorio.—Este es el segundo método terrestre, sugerido inicialmente por Arago 6 y aplicado con éxito por primera vez, en 1850, por Fizeau y Foucault 6 independientemente. E l principio de estas primeras determinaciones queda ilustrado en la figura 19-4. L a luz del manantial S atraviesa la lámina plana de vidrio G, y después de reflejarse en el espejo plano R, es enfocada por la lente L sobre un espejo cóncavo fijo M. Si R es también fijo, la luz rehace su trayectoria en sentido inverso y forma una imagen de S en £ por reflexión parcial en G.

Si ahora gira R a gran velocidad alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura, se habrá desplazado un pequeño ángulo a mientras la luz vuelve desde M. E l haz reflejado habrá girado, pues, un ángulo 2a, y L producirá una imagen desplazada E'. Es evidente que el desplazamiento EE' dependerá de la velocidad angular de R y dé las distancias RM y RGE, y conociendo estas magnitudes podrá hallarse la velocidad de la luz.

E n las medidas finales de Foucault, RM valía 20 m y era prácticamente igual al radio de curvatura LM del espejo A i . E l desplazamiento EE' solo era de 0,7 mm, pero podía medirse también mediante un ocular micrométrico con una aproximación de 0,005 mm. E l resultado de Foucault para la velocidad de la luz fue de unos 298000 K m /seg. L a precisión de la determinación por el método del espejo giratorio aumentó mucho en los experimentos de Cornu, Newcomb 7 y Michelson. L a mejora esencial de este último estaba en la utilización de una trayectoria mayor. E n el dispositivo de Foucault, esta venía limitada por la pérdida de intensidad de la imagen al hacer mayor la distancia RM. E l haz giratorio procedente de R es devuelto por M solo durante el cortísimo tiempo que barre la superficie de M. Michelson superó este inconveniente utilizando una lente L de mayor distancia focal y aumentando la distancia RL hasta que R y M fueron casi focos conjugados de L. .Estando S muy próximo a R, y con una lente L de distancia focal ¡suficientemente grande, puede alejarse el espejo M varios kilómetros. Otra mejora adoptada por Newcomb y Michelson consistió en reemplazar el espejo plano

5 D. F. J. Arago (1786-1853), notable físico y astrónomo parisiense. Se le conoce sobre todo por sus trabajos sobre interferencia de la luz polarizada (Cap. XXVII) y sobre electromagnetismo en colaboración con Ampére.

8 J. L. Foucault (1819-1868). Entre 1845 y 1849 colaboró con Fizeau; pero debido a diferencias de opinión trabajaron después independientemente. Es conocido también por su demostración de la rotación de la Tierra mediante un péndulo. Sus investigaciones sobre la velocidad de la luz en el agua (Sec. 19-10) constituyeron su tesis doctoral, presentada en 1851.

7 Simón Newcomb (1835-1909), distinguido astrónomo americano, asociado con el Observatorio Naval de Estados Unidos y la Universidad John Hopkins.

420 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

R por otro con cuatro o más superficies reflectantes (Fig. 19-5). Con ello se consigue aumentar la intensidad de la imagen 8 .

19-5. Ultimos experimentos de Michelson.—No describiremos los sucesivos experimentos, en los jcuales se mejoró continuamente la determinación de c mediante espejos rotatorios: E n la actualidad parece que la precisión de los mejores valores obtenidos por este método ha sido sobrepasada por la de los nuevos dispositivos basados en las técnicas de radiofrecuencia. Pero es instructivo considerar brevemente una serie clásica de medidas realizadas por Michelson en 1926 en el observatorio de Monte Wilson. I

FIG. 19-5.—Dispositivo de Michelson para determinar la velocidad de la luz.

L a forma del aparato últimamente adoptada es la representada en la figura 19-5. L a luz de un arco de Sperryy S, pasa por una estrecha rendija y se refleja en una de las caras de un espejo octogonal giratorio R. Después se refleja en los espejitos fijos b y c hacia el gran espejo cóncavo M x (10 m de distancia focal, 0,6 m de apertura). De él parte un haz de luz paralelo, y recorre 22 millas desde la estación de observación; en el Monte Wilson hasta un segundo espejo M 2 , análogo al Mlt en la cumbre del Monte San Antonio. M2 enfoca la luz sobre un pequeño espejo plano /, desde donde vuelve a Mv y por reflexión en c',b', a' y p alcanza el ocular de observación L.

Se utilizaron varios espejos giratorios de 8, 12 y 16 caras, que giraban accionados por una corriente de aire a una velocidad tal que durante el tiempo de ida hasta M2 y vuelta (0,00023 seg) el espejo se había desplazado un ángulo suficiente para que en a! estuviese la cara siguiente. L a velocidad de rotación requerida en un espejo octogonal era de 528 r.p„s. Mediante una pequeña contracorriente de aire se regulaba la velocidad hasta que la imagen de la rendija ocupase la misma posición que cuando R

Véase N. E. D O R S E Y : Trans. Am. Phil. Soc, 34, 1, 1944.

SEC. 19-6] MEDIDAS E N E L VACIO 421

estaba en reposo. L a velocidad exacta de rotación se hallaba por comparación estroboscópica con un diapasón accionado eléctricamente, que, a su vez, se calibraba mediante un péndulo de invar proporcionado por el Servicio Geodésico y de Costas de Estados Unidos. Este organismo se encargó también de medir la distancia entre los espejos Mx y M2 con notable precisión, mediante triangulación a partir de una base lineal de 40 K m , cuya longitud se determinó con un error de 1/11000000, o sea, alrededor de 3,5 mm 9 .

Los resultados de estas medidas, publicados en 1926, comprendían ocho valores de la velocidad de la luz, siendo cada uno la media de 200 determinaciones individuales con un espejo giratorio dado. Variaban entre los valores extremos de 299756 y 299803 Km/seg y daban un valor medio de 299796 ± 4 Km/seg. Michelson realizó algunas medidas posteriores con un espejo distante 82 millas sobre la cima de una montaña, pero debido a las malas condiciones atmosféricas no se consideraron suficientemente fidedignas para ser publicadas.

19-6. Medidas en el vacío.—En las discusiones precedentes hemos supuesto que la velocidad, en el aire es igual que en el vacío. Esto no es rigurosamente cierto, ya que el índice de refracción n = cjv es ligeramente mayor que la unidad. Con luz blanca el valor efectivo de n para el aire en las condiciones existentes en los experimentos de Michelson era de 1,000225. Por tanto, la velocidad en el vacío c = nv excedía en 67 Km/seg al valor en el aire. E n los resultados finales dados anteriormente se ha tenido en cuenta esta corrección. Una dificultad, que llega a ser de importancia cuando se trata de medidas tan precisas como las de Michelson, es la incertidurrbre sobre las condiciones exactas de presión y temperatura del aire a lo largo de la trayectoria luminosa. Dado que n depende de estas condiciones, el valor de la corrección para el vacío resulta, por tanto, algo incierto.

Para eliminar esta causa de error, Michelson emprendió en 1929 la medida de la velocidad de la luz en un largo tubo en el que se había realizado un vacío elevado. E l dispositivo óptico era análogo al descrito anteriormente, con las modificaciones convenientes para contener la trayectoria luminosa en el tubo. Este tenía 1 milla de longitud, y por sucesivas reflexiones en espejos montados en ambos extremos, la distancia total recorrida por la luz antes de volver al espejo giratorio era de unas 10 millas. Se logró mantener un vacío de | mm de Hg. Este difícil experimento no se completó hasta después de la muerte de Michelson en 1931, pero los resultados preliminares fueron publicados un

9 W . B O W I E : Astrophys. /., 65, 14, 1927.

422 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

año después por sus colaboradores10. La media de casi 3000 medidas individuales fue 299774 Km/seg. Debido a ciertas variaciones inexplicables, es difícil fijar la precisión de este resultado. Ciertamente no es tan grande como la indicada por el error probable calculado, y se ha estimado en ± 11 Km/seg.

19-7. Método de la célula de Kerr.—Las determinaciones mediante este método han igualado, si no sobrepasado, la precisión de las realizadas con el espejo giratorio. E n 1925 Gavióla ideó algo que equivale a una mejora de la rueda dentada de F i zeau basado en el uso de la llamada válvula electroóptica. Este instrumento es capaz de interrumpir el haz luminoso varios cientos de veces más rápidamente que una rueda dentada. Por ello

FIG. 19-6.—Método de Anderson para medir la velocidad de la luz: (a) Válvula electroóptica. (¿>) Trayectorias luminosas.

puede utilizarse una base lineal mucho menor, cabiendo todo el aparato en un edificio, de modo que es posible conocer con precisión las condiciones atmosféricas. L a figura 19-6 (a) ilustra la válvula electroóptica, que se compone de una célula de Kerr, K, entre dos Nicoles cruzados, Nx y N2. Dicha célula es un pequeño recipiente de vidrio con dos electrodos metálicos y lleno de nitro-benceno puro. Aunque el funcionamiento de esta válvula depende de ciertas propiedades de la luz polarizada, que estudiaremos después (Sec. 29-10), nos basta ahora con saber, para comprender

1 0 E l informe final se encontrará en MICHELSON, PEASE y PEARSON: Astro-phys. ]., 82, 26, 1935.

S E C . 19-7] M E T O D O D E \ L A C E L U L A D E K E R R 423

el método, que el sistema no transmite luz hasta que se aplica un voltaje elevado a los electrodos de K. Si se utiliza entonces un oscilador eléctrico, que proporciona un voltaje de radiofrecuencia, puede interrumpirse el haz muchos millones de veces por segundo. I

E n las primeras medidas! por este procedimiento se utilizaron dos válvulas, una para el haz de ida y otra para el de vuelta. Excepto en que las distancias son menores, el método se parece mucho al de Fizeau. Perfeccionamientos posteriores condujeron al aparato representado en la figura 19-6 (b), utilizado por Anderson 1 1

en 1941. Para evitar la dificultad de igualar las características de las dos células de Kerr, utilizó solo una, dividiendo los impulsos luminosos transmitidos en dos haces por medio de un espejo semiplateado Mv Uno de estos recorre la trayectoria más corta hasta M2, y en la vuelta pasa a través de Mx hasta el detector P. E l otro sigue la trayectoria más larga hasta M6, reflejándose en M3, M 4 y M 6 , y retrocede por el mismo camino hasta Mv donde se refleja también hacia P. E l detector P era un tubo fotomulti-plicador, que responde a la 'modulación sinusoidal de las ondas luminosas. Podemos considerar la onda luminosa como onda portadora, modulada en amplitud a la frecuencia del oscilador que acciona la célula u . E l cociente de la longitud de onda / de la modulación por el período T del oscilador da la velocidad de la luz.

L a medida precisa de / se basa en el siguiente principio: Si la trayectoria más larga excede a la más corta en un múltiplo de semilongitudes /, la suma de las dos ondas moduladas que llegan a P dará una intensidad constante. E l amplificador conectado a la fotocélula está dispuesto de modo que dé respuesta nula en estas condiciones. E l ajuste se realiza por ligeros movimientos Ay del espejo M 2 . E l camino suplementario a partir de Mt puede suprimirse entonces, sustituyendo este espejo por otro M\ que haga volver directamente la luz a M3. Si este camino suplementario (de M 4 a M9 y vuelta) fuera exactamente un número entero de veces /, no variaría la respuesta de la fotocélula al suprimirlo. Tal como se dispuso el aparato, el caso era muy aproximad^fnte este, siendo él camino suplementario alrededor de 11/. Midiendo el desplazamiento Ay necesario para restablecer la respuesta cero, y aplicando la corrección As debida a la sustitución por M't, pudo determinarse exactamente la diferencia entre la distancia medida y 11/. i i

11J. Opt. Soc. Am., 31, 187, 1941. 1 2 Como la válvula transmite en cada cresta del voltaje, sea positiva o negativa,

sería de esperar que se utilizase en este caso 1/2 T. Realmente Anderson aplicó a la válvula un voltaje de polarización de corriente continua, de modo que cada ciclo daba un solo máximo de voltaje.

424 VELOCIDAD D E LA LUZ [CAP. 19 i

E l lector apreciará la semejanza entre el aparato de Anderson y un interferómetro de Michelson para ondas de radio, ya que los impulsos luminosos tienen una longitud esencialmente igual a la longitud de onda de las ondas de radio producidas por el oscilador de la célula de Kerr. Pero no es exactamente igual, debido a que la velocidad que interviene en el experimento es la velocidad de grupo de la luz en el aire y no la velocidad de las ondas de radio. E n su investigación final, Anderson hizo un total de 2895 observaciones, y las velocidades resultantes l/T, después de corregidas para el vacío, dieron una media de 299776;+ 6 Km/seg. L a principal fuente de error fue la dificultad de asegurarse de que ambos haces utilizaban la misma porción de superficie fotoeléctrica. Una variación de la posición de la mancha luminosa afecta al tiempo de recorrido de los electrones entre los electrodos del tubo fotomultiplicador. L a indeterminación que esto implica es mayor que cualquiera de los errores en las medidas de longitud y en la frecuencia del oscilador, que se conocía aún mejor, con una aproximación superior a 1/1000000. 1

E n la última determinación mediante la célula de Kerr efectuada por Bergstrand (véase tabla 19-1) se evitaba esta última dificultad usando solamente un haz y localizando los máximos y mínimos mediante modulación del detector en sincronismo con el manantial. Se señala que el; resultado tiene una precisión más de diez veces superior a la dé los obtenidos anteriormente por procedimientos ópticos. Difiere de los valores concordantes de Anderson y de Michelson, Pease y Pearson, pareciendo demostrar que el valor de Michelson de 1926 es el más aproximadamente correcto. Es difícil de comprender cómo el muy concienzudo trabajo realizado en el período 1930-1940 pudo aparejar tanto error, pero otros resultados recientes, que describiremos después, apoyan la evidencia en favor del valor más alto de c. i

19-8. Velocidad de las ondas de radio.—El desarrollo de las modernas técnicas de radar, y especialmente el interés por su aplicación práctica como ayuda de la navegación, han conducido a renovados intentos para mejorar nuestro conocimiento sobre la velocidad de la luz. Esta velocidad es naturalmente la misma que la de las ondas de radio, cuando ambas se reducen al vacío. Hay tres métodos de utilizar las microondas para una medida precisa de su velocidad, uno de los cuales puede realizarse fácilmente en el vacío. Consiste en hallar la longitud y frecuencia de resonancia de un cilindro metálico hueco, o cavidad resonante. Es análogo al método utilizado en el laboratorio para medir la velocidad del sonido. Estas medidas fueron realizadas independientemente por Essen y Gordon-Smith en Inglaterra, y por Bol

SEC. 19-10] VELOCIDAD D E LA LUZ E N LA MATERIA E N REPOSO 425

TABLA 19-1

Medidas precisas de la velocidad de la luz

Investigadores Método Resultado, Km/seg

1926 1935

Michelson Michelson, Pease

Espejo giratorio 299 796 ± 4

1940 1941 1950 1950 1951 1951 1952

y Pearson Hüttel Anderson Bol Essen Bergstrand Aslakson Froome

Espejo giratorio en el vacío Célula de Kerr Célula de Kerr Resonador de cavidad Resonador de cavidad Célula de Kerr Radar Interferómetro de microondas

299789,3 ± 0,4 299792.5 ± 3,0 299793,1* ± 0,2 299794,2 ± 1,9 299792.6 ± 0,7

299774 ± 1 1 299768 ± 10 299776 ± 6

en América 1 3. Como se ve en la tabla 19-1, los resultados coinciden entre sí y con el valor óptico preciso de Bergstrand.

Los otros dos métodos que utilizan microondas corresponden a las dos últimas filas de la tabla, y se han llevado a la práctica con una precisión comparable. E l método del radar consiste en medir directamente el tiempo que tarda una señal en recorrer una distancia conocida al aire libre. E l interferómetro de microondas es el aparato de Michelson adaptado a las ondas de radio. Se halla la velocidad midiendo la longitud de onda a partir del movimiento de un espejo. Los detalles de todos los métodos de radio son interesantes e importantes, pero hemos de omitirlos aquí por no caer directamente dentro del campo de la óptica.

19-9. Razón de las unidades eléctricas.—Como veremos al tratar de la teoría electromagnética (Cap. X X ) , puede obtenerse c como razón de la magnitud de ciertas unidades de los sistemas electromagnético y electrostático. Se han realizado dos cuidadosas medidas de esta razón, habiéndose hallado valores comprendidos,, más o menos, entre los máximos y mínimos dados anteriormente. Como la aproximación obtenida hasta ahora es considerablemente menor que con los otros métodos, estos experimentos, aunque han servido para comprobar las predicciones teóricas, no han mejorado nuestro conocimiento sobre la velocidad de la l u z 1 4 .

19-10. Velocidad de la luz en la materia en reposo.—El primer experimento para medir la velocidad de la luz en una sustancia transparente mucho más densa que el aire fue llevado a

1 3 Valiosos resúmenes de las determinaciones recientes de c, y muchas referencias originales no dadas aquí, aparecen en los trabajos de L. ESSEN: N'ature, 165, 583, 1950, y K. D. FROOME: Proc. Roy. Soc. (Londres) A213, 123, 1952.

1 4 Todas las medidas indirectas son anteriores a las determinación» tabla 19-1. Han sido revisadas por R. T. BIRGE: Nature, 134, 771, 193^

426 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

cabo en 1850 por Foucault, y se consideró como crucial para decidir entre las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz. L a explicación por Newton de la refracción mediante la teoría corpuscular requería que los corpúsculos fuesen atraídos hacia la superficie del medio más denso, y, por tanto, habrían de desplazarse más rápidamente en ese medio. Por el contrario, según la teoría ondulatoria, ha de admitirse que las ondas luminosas se propagan con mayor lentitud en tal medio.

La figura 19-7 representa el aparato empleado por Foucault en este experimento. La luz procedente de una rendija se refleja en el espejo plano giratorio R hacia los espejos cóncavos equi-

FIG. 19-7.—Aparato de Foucault para medir la velocidad de la luz en el agua.

distantes Mt y M2. Cuando R está en la posición 1, la luz va a Mv retrocede por el mismo camino a R, atraviesa la lente L y se refleja hacia el ojo E. Si R ocupa la posición 2, la luz recorre la trayectoria inferior, atraviesa una lente auxiliar L' y el tubo T, llega a M2 y retrocede hasta R, para alcanzar E después de pasar por L y G. Si el tubo T se llena ahora con agua y se hace girar el espejo R, las imágenes se desplazarán de E a Ex y E2. Foucault observó que el rayo más desviado era el que pasaba por el tubo. Esto significa que la luz tarda más tiempo en recorrer la trayecto-

•*S

SEC. 19-10] ; VELOCIDAD DE LA LUZ EN LA MATERIA E N REPOSO 427

ría inferior! que pasa por el agua, que la superior, a través del aire. La imagen observada se debía a un fino hilo paralelo a la rendija y extendido a lo largo de ella. Como se deseaba obtener imágenes nítidas en E1 y E2 hubo que emplear la lente auxiliar L' para evitar los efectos de refracción en los extremos del tubo T.

E n 1885 Michelson realizó medidas mucho más precisas. Ut i lizando luz blanca halló para la razón de la velocidad en el aire a la velocidad en el agua el valor 1,330. U n medio más denso, el sulfuro de carbono, dio 1,758. E n este último caso observó que la imagen final de la rendija se había dispersado en un pequeño espectro, que podía explicarse por el hecho de que la luz roja avanzaba más de prisa que ;la azul en el medio. La diferencia de velocidad entre la luz «azúl-verdosa» y la «naranja-rojiza» era del 1 al 2 %. # |

De acuerdó con la teoría ondulatoria de la luz, el índice de refracción de un medio es igual a la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la que tiene en el medio. Comparando las cifras anteriores con los índices correspondientes para la luz blanca (agua, 1,334; sulfuro de carbono, 1,635) vemos que aunque para el agua la concordancia es buena dentro del error experimental, para el sulfuro de carbono el valor medido directamente es bastante más alto que el índice de refracción.

Esta discrepancia se explica fácilmente por el hecho de que el índice de refracción representa el cociente de las velocidades de onda en el vacío y en el medio (n = c/v), mientras que las medidas directas dan las velocidades de grupo. Ahora bien: en el vacío estas dos velocidades se hacen idénticas (Sec. 12-7) e iguales a c, por lo que si llamamos u a la velocidad de grupo en el medio, las razones determinadas por Michelson eran valores de cju y na de c/v. L a ecuación general [12-16] relaciona las ,dos velocidades u y v:

! „ dv u = v — X — | dh

L a variación de v con A se halla estudiando los cambios de índice de refracción con el color (Sec. 23-2), y se encuentra que v crece al aumentar la longitud de ¡onda, por lo que dv¡d\ es positiva. Por tanto, u ha de ser menor que v, y este es precisamente el resultado obtenido antes. Usando valores razonables de A y dv¡d\ para la luz blanca, la diferencia entre los dos valores para el sulfuro de carbono coincide con la predicha por la teoría dentro de la precisión de los experimentos. Para el agua, dv¡d\ es considerablemente menor, pero aun así exige que el valor medido de c\u sea un 1,5 % mayor que el de c/v. Como no es así, ello indica un error apreciable en el trabajo de Michelson. E l último trabajo sobre

430 VELOCIDAD D E L A LUZ [CAP. 19

[19-2]. E n la figura 19-9, donde, naturalmente, se han exagerado mucho los ángulos, la velocidad se convierte en c/# y ha variado ligeramente de dirección por la refracción. Si ha de observarse el ángulo de aberración ordinario a, es necesario añadir a esta velocidad la componente suplementaria v', que representa la velocidad con que la luz es arrastrada por el agua. Mediante esta figura puede probarse que i/hade satisfacer la ecuación [19-2]. Sin embargo, no se da la demostración, ya que se admite actualmente una explicación distinta y más sencilla basada en la teoría de la relatividad (véase Sec. 19-17).

19-14. Efecto del movimiento del observador.—Hemos visto que en el fenómeno de la aberración se modifica la dirección aparente de la luz que llega al observador al moverse este. Cabría esperar, por tanto, que fuera posible hallar un efecto de tal movimiento sobre la magnitud de la velocidad de la luz observada.

Haciendo referencia de nuevo a la figura 19-2 (£>), se ve que la velocidad aparente c = w/sena es ligeramente superior que la velocidad verdadera c — v/tg oi. Pero a es muy pequeño, por lo que la diferencia entre el seno y la tangente es mucho menor que el error en la medida de a. Basado en el mismo principio se ha ideado un experimento algo diferente y lo suficientemente sensible

T- ^ , i r i J J A i i -Í-J P a r a poner de manifiesto F I G . 19-10.—Velocidad de la luz emitida A I - I • i

por un manantial móvil. e s t e l l g e r o cambio en la velocidad de la luz, caso

de que exista. Pero antes de describirlo, consideraremos más detenidamente el. efecto del movimiento del observador sobre la velocidad aparente de la luz.

E n la figura 19-10, un observador situado en O se mueve hacia B con una velocidad v. Se emite desde O un destello luminoso instantáneo. La onda se propagará como una circunferencia dé centro O, y al cabo de 1 seg el radio de esta circunferencia será numéricamente igual a c. Pero durante este tiempo el observador se habrá desplazado una distancia v desde O a O'. Por tanto, si el observador pudiese seguir de algún modo el avance de la onda, encontraría una velocidad aparente que variaría con la dirección de observación. E n su misma dirección y sentido O'B, sería c — v,

SEC. 19-15] | EXPERIMENTO IDE MICHELSON-MORLEY 431

y en el sentido opuesto O'Á, c + «• L a velocidad observada en dirección perpendicular O'P |sería V e 2 — v2-

Es importante observar que al dibujar la figura 19-10 hemos supuesto que la velocidad de la luz no queda afectada por el hecho de que el manantial esté en movimiento al emitir la onda. Esto es de esperar para una onda emitida eri un medio fijo, como, p. ej., una onda sonora en el aire. E l medio hipotético que sirve de soporte a las ondas luminosas es el éter, y si v es la velocidad respecto al éter, cabe esperar el mismo resultado. Para un experimento realizado en el aire, el coeficiente de arrastre de Fresnel 1 — (l/«2) es casi nulo y puede despreciarse. Por tanto, si el observador se moviese con la velocidad v de la Tierra en su órbita, estas consideraciones nos harían esperar las variaciones en la velocidad aparente de la luz descritas anteriormente. E n efecto, el éter debería moverse detras de la Tierra con una velocidad v, y si se hallase algún efecto sobre la velocidad de la luz, podría decirse que se debían a un viento de éter o arrastre del éter. No habrá por qué sorprenderse de que este arrastre no corresponda a la velocidad de la Tierra en su órbita, pues sabemos que el sistema solar en conjunto se mueve hacia la constelación de Hércules con una velocidad dé 19 Km/seg, siendo más razonable suponer que el éter esté en reposo respecto al sistema de estrellas fijas que respecto a nuestro sistema solar.

19-15. E l experimento de Michelson-Morley.—Este experimento, quizá el más famoso ¡ de los realizados con la luz, se emprendió en 1881 para investigar la posible existencia del viento de éter. E n principio consistió simplemente en observar si se producía algún desplazamiento de las franjas en el interferómetro

' de Michelson al girar el instrumento un ángulo de 90°. M¡ Supongamos que en la figura 19-11 el interferómetro es arrastrado por la Tierra en la dirección OM2 con una velocidad v respecto del éter. Los espejosMj y Mz están reglados para luz paralela, y sea OMí — = OM2 = d. L a luz que parte de O hacia adelante se reflejará cuando el espejo esté en M¿, y volverá cuando el espejo semiplateado G esté en ' O". Usando las expresiones dé

la velocidad deducidas en la F l G . 19-II.—Interferómetro de Michelson sección anterior, el tiempo ne- para comprobar el arrastre del éter.

434 VELOCIDAD D E LA LUZ [CAP. 19

el resultado carezca de significación y sea debido a ligeros gradientes térmicos a lo largo del interferómetro1 6.

19-16. Principio de la relatividad.—El resultado negativo obtenido por Michelson y Morley, y por muchos de los que repitieron su experimento, constituye la ba.se de la teoría de la relatividad restringida, formulada por Einstein 1 7 en 1905. Los dos postulados fundamentales en que se basa esta teoría son los siguientes:

1. Principio de la relatividad del movimiento uniforme. Las leyes de la física son las mismas para todos los sistemas dotados de un movimiento relativo de traslación uniforme. Como consecuencia de esto, un observador situado en cualquiera de estos sistemas no puede detectar el movimiento del mismo mediante observaciones limitadas al sistema en cuestión. '

2. Principió de la constancia de la velocidad de la luz. L a velocidad de la luz en .cualquier sistema de referencia dado es independiente de la velocidad del manantial. Combinado con (1), esto significa que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad relativa del manantial y del observador.

Volviendo al ejemplo ya citado (Fig. 19-10) de un observador que lanza un destello luminoso en O mientras se mueve con una velocidad v, los postulados anteriores exigirían que cualesquiera medidas realizadas por el observador en O' deberían demostrar que se halla en el centro de la onda esférica. Pero un observador en reposo en O hallaría, asimismo, que es también el centro de tal onda. L a reconciliación de estos asertos, aparentemente contradictorios, radica en el hecho de que las escalas de espacio y tiempo para el sistema móvil son diferentes que para un sistema fijo. Sucesos separados en el espacio, que son simultáneos para un observador en reposo, dejan de serlo para otro que se mueve con el sistema.

L a primera explicación dada al resultado nulo del experimento de Michelson-Morley fue que el brazo del interferómetro orientado paralelamente al movimiento terrestre se acortaba a causa de este movimiento. L a llamada contracción de Lorentz-Fitzgerald

1 6 R. S. SHANKLAND, S. W. MCCUSKEY, F. C. L E O N E y G. KUERTI: Revs. Mod. Phys., 27, 167, 1955.

1 7 Albert Einstein (1879-1955), inicialmente director del Kaiser Wilhelm Institute de Berlín, pasó en 1935 al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Dotado de una de las mentes más poderosas de nuestro tiempo, realizó aportaciones a muchos campos de la Física aparte de la relatividad. Es de importancia primordial su famosa ley del efecto fotoeléctrico. En 1921 recibió el premio Nobel.

S E C . 19-16] PRINCIPIO D E L A R E L A T I V I D A D 435

requería que si l0 es la longitud de un obj eto en reposo, al moverse paralelamente a sí mismo con una velocidad v, la nueva longitud fuese:

Esta ley satisfaría la condición de que se compensase exactamente la diferencia de camino debida al arrastre del éter. Naturalmente, este cambio de longitud no podría demostrarse con una vara de medir, pues esta se acortaría en la misma proporción. Sin embargo, una contracción de este tipo debería ocasionar cambios de otras propiedades físicas. Se han hecho muchos intentos para ponerlos en evidencia, pero no han dado resultado. Según el primer postulado de la relatividad, están condenados a fracasar. E l arrastre del éter no existe ni hay ninguna contracción para un observador que se desplaza con el interferómetro.

A partir de los postulados fundamentales de la teoría restringida, es posible demostrar que en un sistema de referencia que se mueva respecto del observador deben producirse realmente cambios de longitud, masa, y tiempo. L a masa de una partícula resulta ser

l - - 2 ) [19-5]

donde m0 representa su masa cuando está en reposo respecto del observador. Si la luz, para la que v = c, se compusiera de partículas (véase Cap. X X X ) , estas deberían tener una masa en reposo nula, pues de otro modo m se haría infinita. Se han realizado medidas experimentales, principalmente con electrones de gran velocidad, que satisfacen cuantitativamente la ecuación [19-5]. Existen otras consecuencias observables de la teoría de la relatividad, siendo las más sorprendentes las obtenidas al generalizarla para abarcar tanto a sistemas acelerados como a los que poseen movimiento uniforme 1 8. Partiendo de esta teoría general de la relatividad, se han realizado predicciones sobre la inflexión de la luz al pasar por las proximidades del Sol, y sobre una disminución de la frecuencia de la luz emitida por ios átomos situados en un campo gravitatorio intenso. Medidas precisas de las posiciones aparentes de estrellas durante un eclipse solar total, y de los espectros de las estrellas muy densas (enanas blancas), han confirmado estos dos efectos ópticos.

• • ! ' 1 8 Para un estudio general de la teoría y sus consecuencias, véase la obra

de R. C . TOLMAN Relativity, Thermpdynamics and Cosmology, Oxford University Press, Nueva York, 1934. Reimpresión, 1949.

438 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP. 19

fijo. Pero de acuerdo con el punto de vista de la relatividad, la única velocidad «verdadera» de la luz es su velocidad en el sistema de coordenadas del observador, y este está inclinado un ángulo a dado por la ecuación [19-7]. Por tanto, reducir el valor de esta velocidad, permitiendo que la luz entre en el agua, no producirá evidentemente ningún cambio en su dirección.

Puede observarse un efecto positivo que corresponde al arrastre del éter de Fresnel cuando el medio está en movimiento con respecto al observador (Sec. 19-12), pero- su interpretación por la teoría de la relatividad es completamente diferente. Uno de los resultados de la transformación de Lorentz es que dos velocidades en sistemas de referencia en movimiento relativo no pueden sumarse de acuerdo con los métodos de la mecánica clásica. Así, p. ej., la resultante de dos velocidades colineales no es su suma aritmética. Llamemos V0 a la velocidad de la luz en el sistema de coordenadas de un medio en movimiento, y i;, a la velocidad de este medio en el sistema de coordenadas del observador. Entonces la velocidad resultante V de la luz respecto al observador, en vez de ser simplemente V0 -f- v, viene dada por

V = - F ° + - [19-81

E l lector puede comprobar fácilmente que esta ecuación da la misma velocidad V para cualquier observador en movimiento con la velocidad v, cuando VQ = c, esto es, en el vacío. L a expresión del coeficiente de arrastre de Fresnel se deduce inmediatamente de la ecuación [19-8] si se desprecian los términos de segundo orden. E l desarrollo del binomio da:

„ _ ( K . + I ) ( l _ £ . l - . . . )

_ v + „ _ Í V í _ í í i

E l último término es también de segundo orden, y ha de despreciarse. Se obtiene así, sustituyendo c¡V0 por n,

[19-9]

L a velocidad apreciada por el observador ha variado en la fracción 1 — (1/w2), que es justamente el valor requerido por la ecuación [19-2]. Los argumentos relativistas no entrañan ningún «arrastre» ni postulan siquiera la existencia del éter.

PROBLEMAS 439 j

i P R O B L E M A S

! j 19-1. El satélite más próximo a Júpiter tiene una velocidad tal que

recorrería su diámetro en 3 i min. ¿Con qué error expresado como fracción de este tiempo será necesario observar el instante de un eclipse con objeto de determinar la velocidad de laluzcon una aproximación de ± 100 Km/seg?

19-2. Suponiendo que la velocidad de la luz es 299 793 Km/seg y el radio de la órbita terrestre 1,4967 x 108 Km, calcúlese el ángulo de aberración exacto, según: a) la fórmula clásica, y b) la fórmula relativista. Consérvense los términos de tercer, orden.

| Sol: a) 20,503"; b) 1,02 x 10- 6" mayor. 19-3. En la actualidad es probablemente más correcto considerar las

medidas de la aberración astronómica como determinaciones de la velocidad de la Tierra que de la velocidad de la luz. Utilizando el valor del ángulo de aberración dado en la sección 19-2, y el valor de c de Michelson (1926), calcúlese la velocidad orbital de la Tierra.

19-4. En el método de la rueda dentada de Fizeau, sea L la distancia de la rueda al espejo lejano, / la velocidad angular, N el número de dientes y n el orden del eclipse. Dedúzcase una ecuación que dé c en función de estas magnitudes, suponiendo que el reglaje ha de hacerse para el mínimo de luz en el eclipse de orden n. Sol: c = LfN¡(n — i).

19-5. Demuéstrese que en el dispositivo del espejo giratorio la intenta A

sidad de la imagen es proporcional a - ^— , siendo u la distancia del manantial a la lente, v la de la lente al espejo distante, A la apertura lineal de este último y r la distancia del manantial al espejo giratorio.

19-6. Supóngase que 18 m de la distancia RM en la determinación de Foucault (Sec. 19-4) estuvieran llenos de agua. Utilizando las velocidades de grupo de las luces roja y azul (A = 7200 y 4000 Á) en el agua, calcúlese la longitud real, en milímetros, del espectro que se observaría. Los valores de n para estas longitudes de onda son 1,3299 y 1,3432, respectivamente, y los de dn/dX— 222 y —967 .cm-1. Sol: 0,023 mm.

19-7. Si la velocidad angular del espejo octogonal de Michelson fuese exactamente 528 r.p.s. cuando la imagen se reflejase hacia su posición inicial desde una cara contigua,'; hállese la distancia al espejo más lejano.

19-8. Para la medida de la velocidad de la luz, en el tubo vacío de 1 milla de longitud, realizada por Michelson, Pease y Pearson, se utilizó un espejo de 32 caras. Suponiendo que la trayectoria total fue 13 Km, y que el vacío era perfecto en el tubo, utilícese el resultado que figura en la tabla 19-1 para hallar la velocidad de rotación que habría de tener el espejo a fin de obtener la primera imagen no desplazada.

; : | Sol: 720,61 r.p.s. 19-9. Si el aparato de Anderson provisto de la célula de Kerr está

dispuesto de modo que la distancia de Mi a Mt y vuelta (Fig. 19-6) comprenda 11 l grupos, hállese esta distancia. La frecuencia de su oscilador era de 19,2 Mc/seg. ¡

19-10. Compruébese la afirmación expuesta en la sección 19-11 de que un desplazamiento de franjaá de 0,46 de franja corresponde en el experimento de Fizeau a un cambio en la velocidad de la luz de la mitad aproximadamente | de la velocidad dej circulación del agua. Suponiendo que la

' i i

440 VELOCIDAD DE LA LUZ [CAP . 19

longitud de onda efectiva y el índice de refracción sean 5500 Á y 1,333, respectivamente, hállese cuál es la fracción verdadera. Sol.: 0,508y.

19-11. Supóngase que en un experimento para la determinación experimental del coeficiente de arrastre de Fresnel, por el método interferencial, cada tubo tiene una longitud de 2 m y la velocidad del agua es de 6 m/seg. ¿Qué fracción de franja se desplazaría el sistema de franjas de luz blanca (X = 5600 Á) al invertir la corriente de agua?

19-12. Para el sulfuro de carbono nn = 1,6295 y dn¡dX = — 1820 cm—1

para esta longitud de onda. Hállese: a) la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad de grupo en el sulfuro de carbono, y b) el valor exacto del coeficiente de arrastre de Fresnel para esta sustancia (véase problema 19-14). ' Sol.: a) 1,7367. b) 0,6892.

19-13. Demuéstrese a partir de la figura 19-9 que, para que el ángulo de aberración permanezca invariable cuando se llena de agua el anteojo, el valor de v' ha de ser el dado por la ecuación [19-2].

19-14. La ecuación 19-2 necesita una pequeña corrección por el hecho de que para las moléculas del agua en; movimiento, la frecuencia efectiva está ligeramente modificada por el efecto Doppler. Demuéstrese que puede tenerse esto en cuenta sumando el término —- (X/«) (dn¡dX) a la expresión que da el coeficiente de arrastre. E n este caso X es la longitud de onda en el vacío. (INDICACIÓN: Supóngase que el índice de refracción varía lineal-mente con la frecuencia e introdúzcase el nuevo índice, modificado por el efecto Doppler, en la ecuación que da la velocidad de la'luz en el medio móvil.) j

19-15. Imagínese que un interferómetro de Michelson, cuyos brazos tienen una longitud de 50 cm, está orientado de modo que uno de ellos sea paralelo a la velocidad orbital de la tierra. Hállese en centímetros el valor de la contracción de Lorentz-Fitzgerald de este brazo.

19-16. Hállese la masa de un electrón que se mueve con una velocidad de 2 X 1010 cm/seg. Hállese también la masa de una pelota de frontón lanzada con una velocidad de 60 m/seg. Las masas en reposo de ambos son 9,106 x 10—28 g y 5J onzas, respectivamente.

Sol: 1,222 x l O - 2 ' g; 155,92 4- 3,7 X 10- 1 2 g.

CAPITULO X X

TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ

Nuestro estudio sobre las propiedades de la luz nos ha Uevado-hasta ahora a la conclusión de que se trata de un movimiento ondulatorio que se propaga con una velocidad sumamente alta. Para explicar las interferencias y la difracción no fue necesario hacer ninguna hipótesis sobre la naturaleza del desplazamiento y que figura en las ecuaciones de la onda. Ello se debe a que en tales problemas interviene solamente la interacción de las ondas luminosas. E n los capítulos que siguen consideraremos cuestiones concernientes a la interacción de la luz con la materia, por lo que se hace necesario especificar la naturaleza física de la magnitud y, denominada de ordinario vector luminoso. Fresnel, quien en 1814 fue el primero que explicó satisfactoriamente las interferencias y la difracción mediante la teoría ondulatoria, supuso que el vector luminoso representaba un desplazamiento real de un éter material, que concebía como una sustancia de densidad muy pequeña y elevada rigidez que lo ocupaba todo. Esta teoría del «sólido elástico» tuvo considerable éxito en la interpretación de los fenómenos ópticos y fue firmemente apoyada por muchos investigadores, como lord Kelvin, hasta 1880.

20-1. Naturaleza transversal de las vibraciones luminosas. La objeción principal a la teoría del sólido elástico se encuentra en el hecho comprobado de que la luz es un movimiento ondulatorio exclusivamente transversal, es decir, las vibraciones son siempre perpendiculares a su dirección de propagación. Nunca se han encontrado ondas luminosas longitudinales. La comprobación experimental de esto se deduce del estudio de la polarización de la luz (Cap. X X I V ) y es totalmente terminante, por lo que podemos considerarlo como un hecho establecido. Ahora bien: -todos los sólidos elásticos que nos son familiares pueden transmitir tanto ondas longitudinales como transversales; de hecho, bajo ciertas circunstancias, es imposible producir una onda transversal sin que aparezca al mismo tiempo una longitudinal. Se hicieron muchas hipótesis para vencer esta dificultad, pero todas' resultan sumamente artificiosas. Además, la misma idea de un éter material es de por sí bastante forzada, ya que sus notables propiedades no han podido ser puestas de manifiesto por experimentos mecánicos ordinarios.

441

442 TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

A la sazón, Maxwel l 1 propuso una teoría que no solo requería que las vibraciones luminosas fuesen estrictamente transversales, sino que establecía una conexión definida entre luz y electricidad. Tin un trabajo leído ante la Royal Society en 1864, titulado «Una teoría dinámica del campo electromagnético», Maxwell expresó los resultados de sus investigaciones teóricas en,forma,de cuatro ecuaciones fundamentales, que se han hecho famosas como ecuaciones de Maxwell. Se basaban en las primitivas investigaciones experimentales de Oersted, Faraday y Joseph Henry sobre las relaciones entre electricidad y magnetismo. Tales ecuaciones resumen estas relaciones en forma matemática concisa y constituyen un punto de partida para la investigación de todos los fenómenos electromagnéticos. E n las secciones que siguen" se demostrará su aplicación a las ondas luminosas transversales.

20-2. Ecuaciones de Maxwell en el vacío.—No se hará aquí la deducción de estas ecuaciones, ya que ello exigiría una extensa revisión de los principios de la electricidad y del magnetismo. E n lugar de esto, en este capítulo nos limitaremos a formular tales ecuaciones en su forma más sencilla, aplicable al espacio vacío, y demostraremos después que predicen la existencia de ondas con las mismas propiedades que las luminosas. E n los capítulos siguientes, y en su lugar adecuado, consideraremos las modificaciones que han de introducirse en los diferentes tipos de medios materiales.

Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse como cuatro ecuaciones vectoriales, pero para los no familiarizados con la notación vectorial, las expresaremos en forma de ecuaciones diferenciales. De este modo las dos primeras ecuaciones aparecen como dos sistemas de tres ecuaciones cada uno. E n el vacío, y para un sistema de coordenadas «dextrorsum»,

ldEx _dH, dHy c dt dy dz 1 dEy dHx • dH2

c dt dz dx l.dE, dHy dHx

c dt = ~dx' dy

ldHx _ dEs dEy \ "c dt dy ~dz J ldHy dEx dE,\ c dt dz dx { l'dH, dEy dEx\ c dt ~~dx~~ dy 1

1 ] . Clerk Maxwell (1831-1879), profesor de Física experimental en la Universidad de Cambridge (Inglaterra). A los quince años envió un trabajo a la Royal Society. La mayor parte de sus investigaciones sobre la teoría electromagnética la realizó en Cambridge antes de graduarse. Sus investigaciones en diversas ramas de la Física llevan la impronta del genio. Dio una sólida base matemática a la teoría cinética de los gases, estando su nombre asociado a la conocida ley de distribución de las velocidades moleculares.

SEC. 20-3] CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO 443

Las otras dos ecuaciones pueden escribirse en la forma:

dEx dEy dE. ¡ ' dHx dñv dHt

W + + P°-3]

ar + iy+ir= 0 [ 2 ( M ]

Estas ecuaciones2 en derivadas parciales dan las relaciones en el espacio y en el tiempo entre las magnitudes vectoriales (E), intensidad, del campo eléctrico, y (H), intensidad del campo magnético. Así, Ex, Ey y Ez son las componentes de E sobre tres ejes rectangulares, y Ex, Hy y H,, las de H . E l campo eléctrico se mide en unidades electrostáticas, y el magnético, en unidades electromagnéticas. E l sistema qué usa unidades electrostáticas para todas las magnitudes eléctricas y unidades electromagnéticas para todas las magnéticas se • llama sistema gaussiano de unidades. Aunque no es el más cómodo para los cálculos prácticos, es adecuado aquí, y lo utilizaremos siempre en lo que sigue. L a presencia de la importante constante c en las ecuaciones [20-1] y [20-2] depende, naturalmente, de nuestra elección de unidades. Dicha constante representa la razón de los valores de las unidades electromagnética y electrostática de intensidad de corriente.

L a ecuación [20-3] expresa simplemente el hecho de que no pueden existir cargas libres en el vacío. L a imposibilidad de que haya polos magnéticos libres da origen a la ecuación [20-4]. Las ecuaciones [20-2] expresan la ley de Faraday de la fuerza electromotriz inducida. Así, las magnitudes del primer miembro de estas ecuaciones representan la variación temporal del campo magnético, y las del segundo, la distribución espacial del campo eléctrico resultante. Estas ecuaciones no dan directamente el valor déla f.e.m., sino solo la variación del campo eléctrico a lo largo de los tres ejes coordenados. E n problemas concretos han de integrarse estas ecuaciones para obtener la f.e.m.

20-3. Corriente de desplazamiento.—La contribución más importante y nueva de' Maxwell al establecer estas ecuaciones fue la formulación de las ecuaciones [20-1]. Se trata de una generalización de la ley de Ampére del campo magnético creado por una corriente eléctrica. Los segundos miembros dan la distribución espacial del campo magnético H, mientras que las magnitudes que figuran en los primeros no parecen tener a primera vista nada que ver con una corriente eléctrica. Representan la variación temporal del campo eléctrico. Pero Maxwell consideró esta variación como equivalente a una corriente, la corriente de desplazamiento, que fluye mientras el campo eléctrico está va-

2 Véase una deducción elemental en F. K. RICHTMYEE y E . H . KENNARD: Introduction to Modern Physics, 4.a ed., cap. II, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1947.

444 TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

/ /

\ dE \ dt \

\ riando y que produce los mismos efectos que una corriente de conducción ordinaria;

+ | L a figura 20-1 representa un modo de ilustrar la equivalencia de 9E/3í con una corriente eléctrica. Imaginemos un condensador C unido a una batería B mediante hilos conductores, encontrándose el conjunto en el vacío y estando asimismo vacío el espacio comprendido entre las armaduras de C. Al circular la corriente i durante un instante se acumula carga eléctrica sobre las armaduras, hasta que el condensador queda completamente cargado al voltaje de la

FIG. 20-1.—ilustración del concepto batería. A través de la superficie de corriente de desplazamiento, cerrada S ha fluido hacia dentro

durante este instante una cierta corriente, mientras que hacia afuera no ha fluido aparentemente ninguna. Por consideraciones de continuidad, Maxwell fue inducido a suponer que, a través de dicha superficie, debía fluir hacia fuera la misma corriente que hacia dentro. Pero entre las armaduras del condensador no circula corriente del tipo ordinario. Solo puede satisfacerse la condición de continuidad considerando la variación del campo eléctrico en este espacio como equivalente a una corriente de desplazamiento, cuya densidad de corriente / es proporcional a dEfdt. E n nuestro sistema de unidades esta corriente viene dada por / = (l/4n)dE¡dt. Hay que tener presente que la corriente de desplazamiento «fluye» en el vacío, pero cesa en cuanto E se hace constante. ;

Se ve inmediatamente la analogía entre las ecuaciones [20-2] y [20-1].' Según las ecuaciones [20-2], un campo magnético variable da origen a una f.e.m. Esto fue observado por Faraday y es muy fácil de comprobar experimentalmente. Según las ecuaciones [20-1], un campo eléctrico variable debe originar un campo magnético (fuerza magnetomotriz). Esta es una idea mucho menos familiar y no puede probarse con ningún experimento sencillo. L a razón de ello es que no hay ninguna sustancia que conduzca el magnetismo como un hilo metálico conduce la electricidad. L a peculiaridad que ciertas sustancias poseen de conducir la electricidad es la única razón por la que las ecuaciones [20-2] se descubrieron antes que la [20-1]. L a prueba de la corrección de las

S E C . 20-4] ONDAS E L E C T R O M A G N E T I C A S P L A N A S 445

ecuaciones [20-1] radica en el notable éxito de las ecuaciones de Maxwell para explicar los fenómenos naturales. Adviértase que las ecuaciones [20-1] y [20-2] pueden escribirse en función de la corriente de desplazamiento / sin más que reemplazar la componente x, [X¡c)(dExldt) por 471?*, y las otras componentes por expresiones análogas.

20-4. Ecuaciones de las ondas electromagnéticas planas.— Consideremos el caso de ondas planas que se propagan en la dirección x, de modo que los frentes de onda son planos paralelos al y, z. Si hemos de representar las vibraciones por variaciones de E y H, vemos que en cualquier frente de onda han de ser constantes sobre todo el plano en cualquier instante, y sus derivadas parciales respecto de y y de z han de ser nulas. Por tanto, las ecuaciones [20-1] a [20-4] toman la forma

IdE, c dt

IdEy

c dt

c de dHx

dx

0 1 dHx 0 c dt

[20-5] 1 dHy

dx [20-5]

~~~c~dt dHy 1 dH:

dx c dt

0 [20-7] dEx

dx

dE,

dx dEy

~dx

= 0

[20-6]

[20-8]

Considerando a la vez la primera de las ecuaciones [20-5] y la [20-8], vemos que la componente longitudinal Ex es constante tanto en el tiempo como en el espacio. Análogamente, de la primera de las ecuaciones [20-6] y de la [20-7] se deduce que Hx

es también constante. Por tanto, estas componentes no intervienen en el movimiento ondulatorio, sino que representan campos constantes superpuestos al sistema de ondas. Respecto de las ondas propiamente dichas podemos escribir:

Ex = 0 Hx = 0

Esto indica naturalmente que las ondas son transversales, como ya indicamos.

De las cuatro ecuaciones restantes, vemos que en la segunda de las ecuaciones [20-5] y en la tercera [20-6] figuran Ey y H,, mientras que en la tercera ecuación [20-5] y en la segunda [20-6J intervienen En y Hy. Supongamos, p. ej., que Ey represente el vector luminoso, por lo que se trata de una onda polarizada lineal-mente con las vibraciones en la dirección y. Habríamos de poner entonces E¡ — Hy = 0, y considerar las dos ecuaciones restantes

446 TEOSIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

1 dEy dHz

c~d7 = ~~&T

c dt dx

Derivemos ahora la primera ecuación respecto a t y la segunda respecto a x. Se obtiene:

1 d2Ey dm, c dt2 dxdt i dm, _ d*Ey

c di dx dx2

Eliminando las derivadas de H¡, resulta: d2Ey , d2Ey

De modo análogo, derivando la primera ecuación [20-9] respecto a x y la segunda respecto a t, hallamos

Ahora bien: las ecuaciones [20-10] y [20-11] tienen la forma de la ecuación de la onda para ondas planas (Ec. [11-2]), con Ey y H, desempeñando, respectivamente, el papel del desplazamiento y en los dos casos. Comparando ambas con la ecuación de la onda, se halla para la velocidad de propagación la relación

v = c [20-12]

Vemos, pues, que dos de las cuatro ecuaciones [20-5] y [20-6] predicen la existencia desuna onda del vector eléctrico, polarizada linealmente en el plano x, y, y de una onda del vector magnético, que acompaña a la anterior, polarizada en el plano x, z. Bajo la forma de la ecuación [11-1] pueden representarse por

Ey = /(* ± ct) H, = f{x ± ct) [20-13]

Las dos ondas son interdependientes; ninguna puede existir sin la otra. Ambas son transversales y se propagan en el vacío con la velocidad c, razón de las unidades eléctricas (Sec. 20-2).

Si hubiésemos partido de las otras dos ecuaciones de los sistemas [20-5] y [20-6] hubiésemos obtenido otro par de ondas polarizadas linealmente con el vector eléctrico en el plano x, z. Este par es independiente por completo del .otro y puede existir

S E C . 20-6] V E C T O R LUMINOSO D E U N A O N D A 447

separadamente de él. Una combinación de ambos pares, vibrando perpendicularmente entre sí, y sin ninguna relación de fase constante entre Ey y E¡, representa luz no polarizada.

20-5. Representación gráfica de una onda electromagnética.—El tipo más sencillo de onda electromagnética es aquel en el cual la función / de la ecuación [20-13] es un seno o un coseno. Se trata de una onda plana, monocromática, polarizada lineal-mente. Las tres componentes de E y las tres de H pueden, por tanto, escribirse así:

Ex = 0 Ey = A sen (co/ — kx) Ez = 0 Hx = 0 tfy=0 | H, = A sen(w¿- kx) [20-14]

FIG. 20-2.—Distribución de los vectores eléctrico y magnético en una onda mo

nocromática polarizada linealmente.

Sustituyendo las derivadas j de estas magnitudes en las ecuaciones [20-1] a [20-4], se comprueba fácilmente que constituyen una solución de las ecuaciones de Maxwell.

L a figura 20-2 muestra un diagrama de los valores de Ey

y Ht a lo largo del eje x, de acuerdo con la ecuación [20-14]. En un sistema de ondas planas los valores de Ey y H,, para cualquier valor particular de x, son los mismos para todo el plano x = cte.; de modo que esta figura representa simplemente las condiciones existentes para un valor particular de y y z.

Hemos de aclarar dos cuestiones importantes respecto a la figura 20-2. E n primer lugar, las componentes eléctrica y magnética de la onda están en fase, es decir, cuando Ey pasa por un máximo, Ht es también máximo. Los sentidos relativos de estos dos 'vectores, tal como se indican en la figura, están de acuerdo con la ecuación [20-14]. E n segundo lugar, las amplitudes de los vectores eléctrico y magnético son iguales. Que ambas son numéricamente iguales en el sistema de unidades utilizado queda demostrado por el hecho de que, en las ecuaciones [20-14], A es la amplitud de cada onda.

20-6. Vector luminoso de una onda electromagnética.—El carácter dual de la onda electromagnética suscita la cuestión de conocer cuál de los dos vectores es el luminoso. Ello apenas tiene importancia, pues no hay inconveniente en suponer que cualquiera de los dos representa los «desplazamientos» que hemos utilizado en los capítulos anteriores. E n todo fenómeno de interferencia o difracción las ondas eléctricas se influyen mutuamente del

•448 TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

mismo modo que las magnéticas. Sin embargo, hay un aspecto en el que el vector eléctrico desempeña un papel predominante. Veremos en el capítulo X X V que es el vector eléctrico el que impresiona las emulsiones fotográficas y provoca efectos fluorescentes. Probablemente es también el vector eléctrico el que afecta a la retina del ojo. En este sentido, por tanto, la onda eléctrica es la parte que realmente constituye la «luz»,'y la onda magnética, aunque no menos real, es menos importante.

20-7. Energía e intensidad de una onda electromagnética.— Se demostró en el capítulo X I que la intensidad de las ondas mecánicas es proporcional al cuadrado de la amplitud. E l mismo resultado se deduce a partir de las ecuaciones electromagnéticas. Puede demostrarse3 que en el vacío la densidad de energía del campo electromagnético está dada por

• £2 - rp E2

energía por unidad de volumen = — — = — [20-15] OK 47T

donde E y H son los valores instantáneos de los campos, que son iguales. La mitad de la energía está asociada al vector eléctrico, y la otra mitad, al magnético. Los valores de estos vectores varían de un punto a otro de la onda; dé modo que, para obtener la energía asociada a un volumen finito, es necesario Calcular el valor medio de E2 (o de H2). Para la onda plana de" la ecuación [20-14] se halla que E2 — \A2, siendo el ! factor } la media del cuadrado del seno extendida a todos los ángulos. Por tanto, una onda electromagnética tiene una densidad de energía ^42/8TT, siendo A la amplitud de cualquiera de los vectores, eléctrico o" magnético.

L a intensidad de la onda será simplemente el producto de la expresión anterior por la velocidad c, ya que'esta representa el volumen barrido por la onda por unidad de área y por segundo. Tenemos, pues, j

E l lector debe tener presente que los resultados anteriores solo se aplican a una onda que se propaga en el vacío. E n la materia no solo será diferente la velocidad, sino que también los valores de E y H dejan de ser iguales. Sin embargo, aparte de factores de proporcionalidad, la intensidad viene dada todavía por el cuadrado de la amplitud de cualquiera de las dos ondas (Sec. 23-9).

20-8. Radiación emitida por una carga acelerada.—Un método muy adecuado de representar un campo eléctrico o magnético consiste en utilizar líneas de fuerza, las cuales resultan

i 3 L . P A G E y N. I. ADAMS, JR.: Principies of Electricity, 2." ed., pág. 564, D . Van

Nostrand Co., Nueva York, 1949.

[20-16]

SEC. 20-8] RADIACION EMITIDA POR UNA CARGA ACELERADA 449

familiares a todo el que haya estudiado elementalmente electricidad o magnetismo. Cada línea de fuerza indica la dirección del •campo en cualquier punto a lo largo de ella, de modo que la tangente a dicha línea en cada uno de sus puntos da la dirección de la fuerza sobre una pequeña carga o polo situado en él. Esto es, la tangente' da la dirección del campo eléctrico o magnético en dicho punto.

Consideremos una pequeña carga eléctrica positiva en reposo en el punto A [Fig. 20-3 («)]. Las líneas de fuerza son rectas que

FIG. 20-3.—Emisión de un impulso electromagnético por urta carga acelerada.

divergen en todas direcciones desde la carga y están distribuidas uniformemente en el espacio. Esta misma representación seria válida si la carga se moviese en la dirección AB con velocidad constante, siempre que esta velocidad no fuera demasiado grande. En ambos casos (carga en reposo y carga en movimiento uniforme) no se radian ondas electromagnéticas.

Para que se produzca radiación electromagnética es necesario acelerar la carga. E n la figura 20-3 (b) se ha representado un caso particularmente sencillo. Supongamos que la carga, inicialmente en reposo en A, es acelerada en la dirección AC. L a aceleración a actúa solo hasta B, y desde este punto la carga se mueve con velocidad constante. E n este caso podemos obtener alguna información sobre la forma de las líneas de fuerza radiadas desde la J E M K I N S - W U I T E . — 2 0

450 T E O R I A E L E C T R O M A G N E T I C A D E L A L U Z [CAP. 20

carga en cualquier instante posterior. Sea At el tiempo que actúa la aceleración entre A y B, y t el tiempo empleado en ir de B a C con movimiento uniforme. Cuando la carga llega a C, en el instante t -f At, las partes de las líneas de fuerza iniciales situadas más allá del arco RR', trazadas a partir de A con radio c(t -4- Ai), no han podido ser perturbadas en modo alguno. Esto se deduce del hecho de que cualquier perturbación electromagnética se propaga con la velocidad c. E n el punto C la velocidad es uniforme, y las líneas de fuerza hasta el arco QQ', trazado con centro B y radio ct, han de ser uniformes y rectas, ya que la carga ha tenido velocidad constante durante el tiempo t. E n consecuencia, vemos que para que las líneas de fuerza sean continuas han de unirse en la región comprendida entre RR' y QQ' en forma análoga a la representada en la figura. Esto origina en cada línea un pronunciado «doblez», cuya forma exacta dependerá del tipo de aceleración a que ha estado sometida la partícula entre A y B, esto es, de que haya sido o no uniforme.

¿Qué significado tiene este doblez en una línea de fuerza? Eligiendo un punto P situado sobre el doblez [Fig. 20-3 (c)], el vector E tangente a la línea en P da la dirección real del campo en este punto. Dicho campo puede considerarse como resultante del campo E0, que produciría la carga en reposo, y de un campo transverso Et- Este vector Et representa el vector eléctrico de la onda electromagnética a que nos hemos referido en las secciones precedentes. Efectuando esta construcción para varios puntos del doblez, obtenemos las variaciones indicadas en la figura 20-3 (d). Es evidente que no se trata de una onda de tipo periódico, sino simplemente de un impulso. Se producirá un impulso igual, correspondiente al vector H, en dirección perpendicular a Et-

Mediante este ejemplo quedan aclaradas varias características importantes acerca de la producción de radiación electromagnética. L a más destacada es que Et solo existe cuando se acelera la carga. No se producirá radiación alguna sin aceleración de carga, e inversamente, toda carga acelerada radiará siempre en mayor o menor escala. E l ejemplo muestra también que el campo eléctrico de la radiación puede ser perpendicular a la dirección de propagación. E l valor del vector Et, obtenido mediante la construcción de la figura 20-3 (d), es decir, la amplitud de la onda, depende evidentemente de la pendiente del doblez, y esta queda determinada por la magnitud de la aceleración entre A y B. Puede demostrarse teóricamente que el ritmo con que una carga radia energía es proporcional al cuadrado de su aceleración. Finalmente, encontramos también que la amplitud de la radiación varía con el ángulo, de modo que es máxima en dirección normal a AC y se anula en ambos sentidos a lo largo de ^4C. Se demuestra fácil-

SEC. 20-9] RADIACION EMITIDA POR UNA CARGA E N MOVIMIENTO 451

mente que la amplitud es proporcional al seno del ángulo formado por AC y la dirección considerada.

20-9. Radiación emitida por una carga en movimiento periódico.—Si la aceleración a que está sometida la carga la hace ejecutar un movimiento periódico, la radiación será en forma de ondas continuas en vez de ser un impulso aislado como en el caso anterior. Cualquier movimiento periódico implica aceleraciones y, por tanto, hará que la carga radie. Solo consideraremos aquí dos casos especialmente sencillos: el de un movimiento armónico simple y el de un movimiento circular uniforme. Si la carga posi-

E,

(a)

• .<fH, W |

AlK Al

FIG. 20-4.—Emisión de ondas electromagnéticas por una carga en movimiento periódico.

tiva de la figura 20-4 (a) efectúa un movimiento armónico simple entre los límites A y B, las líneas de fuerza se doblarán en forma sinusoidal. Supongamos que la curva superior de la figura 20-4 (a) representa una de estas líneas, p. ej., la que sale perpendicular-mente a AB. i E n el instante! particular representado la fuerza eléctrica E en los diversos puntos de la curva tiene la dirección de la tangente en cada uno de ellos. Descomponiéndola en el campo no perturbado EQ y en la componente transversal Et, hallamos los diversos valores de Et representados inmediatamente debajo. Estos toman también la forma de una curva sinusoidal y representan la variación del vector eléctrico a lo largo de la onda emitida. Se trata de una onda polarizada linealmente.

En la parte (b) de la figura la carga positiva gira en sentido contrario al de las agujas del reloj, describiendo una circunferencia, en el plano y, z representado en perspectiva. Mediante, la misma construcción se obtienen ahora valores de Et, de magnitud constante, pero cuya dirección varía a lo largo de la onda. Los extremos de los vectores i se encuentran sobre una espiral análoga a la de la línea de fuerza, pero desplazada un cuarto de

452 TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

ais bobina efe

inducción

/

I detector

?dem distancia de chispa

longitud de onda en la dirección de propagación, que es en este caso el eje x. Esta disposición en forma de tornillo es característica de una onda polarizada circularmente. Es digno de señalar aquí que si se hubiera examinado la radiación a lo largo de los ejes y o 2 se hubiera encontrado que está polarizada en el plano y, z. E n el efecto Zeeman es posible la observación real de estos dos casos (Sec. 29-1).

20-10. Comprobación por Hertz de la existencia de las ondas electromagnéticas.—Hemos visto que, partiendo del conjunto de ecuaciones que rigen los fenómenos electromagnéticos, pudo demostrar Maxwell la posibilidad de existencia de ondas electromagnéticas y establecer conclusiones exactas sobre la producción y propiedades de tales ondas. Así, afirmó que son engendradas por cualquier carga acelerada, que son transversales y que se

propagan en el vacío con la velocidad c. L a producción y detección experimental de las ondas predichas por Maxwell fue realizada por H e i n r i c h H e r t z * . E n 1887 inició una serie notable de experiencias que constituyen los primeros experimentos importantes sobre las ondas de radio, es decir, ondas electromagnéticas de gran longitud de onda. L a f i gura' 20-5 ilustra las características principales del método de Hertz. A l cargar las dos placas a un voltaje elevado, mediante una bobina de induc

ción, saltan chispas entre las dos,! esferitas. Se sabe que la descarga de las láminas a través de una chispa es de tipo oscilante. Siempre que la diferencia de potencial entre las esférulas es suficientemente elevada para hacer que el aire que las separa se haga conductor, salta una chispa. Ello representa un paso súbito de electrones entre ambas esferas, invirtiéndose el signo de las dos placas. Pero como el aire sigue siendo conductor, los electrones vuelven a pasar en sentido contrario, produciéndose una nueva inversión de signos, y el proceso se repite hasta que se ha disipado toda la energía en forma de calor por la resistencia del espacio con-

. j 4 Heinrich Hertz (1857-1894) realizó estos experimentos mientras era profesor

de Física de la Technische Hochschule de Karlsruhe en 1885-1889. Después se le adjudicó una cátedra en la Universidad de Bonn, que desempeñó hasta su prematura muerte. ¡

FIG. 20-5.—Emisor y detector de ondas electromagnéticas utilizado por Hertz;

§EC. 20-11] VELOCIDAD D E LAS ONDAS E N E L VACIO 453

ductor; L a frecuencia de estas oscilaciones depende de la autoinducción y capacidad del circuito. E n el oscilador de Hertz eran muy pequeñas y, por tanto, la frecuencia muy elevada. E n algunos de sus experimentos llegó a alcanzar hasta 10° por segundo. Así, cuando existen cargas eléctricas que experimentan aceleraciones rapidísimas, se originan ondas electromagnéticas.

E n el experimento de Hertz las ondas producidas en el oscilador se detectaban a alguna distancia de este mediante un circuito resonante formado por un anillo metálico interrumpido, en cuyos extremos había dos pequeñas esferas cuya distancia podía graduarse. E l campo magnético variable de la onda inducía en el anillo una f.e.m. alterna, y las dimensiones de este anillo eran tales que la frecuencia propia de sus oscilaciones coincidía con la del manantial. Entonces las oscilaciones inducidas, reforzadas por resonancia en el detector, bastaban para hacer saltar una chispa entre sus esferitas.

Fue fácil poner de manifiesto que las ondas estaban polarizadas linealmente con E en la dirección y, y H , en la z. Girando el anillo 90° hasta colocarlo en el plano xz, cesaban las chispas. Hertz llevó a cabo muchos otros experimentos con estas ondas, demostrando entre otras cosas que podían ser reflejadas y enfocadas mediante reflectores metálicos curvos, y que podían refractarse al pasar a través de un gran prisma de resina de 30°. E n estos aspectos, por tanto, se comportaban como las ondas luminosas.

20-11. Velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío. L a prueba más convincente de la realidad de las ondas electromagnéticas de Hertz radica en la demostración de que su velocidad era la predicha por la teoría (Ec. [20-12]). L a velocidad no se midió directamente, sino a partir de la longitud de onda. Entonces, conocida la frecuencia de las oscilaciones, se halló la velocidad por la relación v = vA. Para medir la longitud de onda se produjeron ondas estacionarias por interferencia de las ondas directas con las reflejadas en una superficie metálica. Las posiciones de los nodos pudieron localizarse por el hecho de que en esos puntos el detector cesaba de dar chispas. Con una frecuencia de 5,5 X 107 seg - 1 , se halló un valor de X de unos 5,4 m, al que corresponde una velocidad v muy próxima a 3 x 1010 cm/seg. La determinación no pudo efectuarse con precisión porque las oscilaciones se amortiguaban mucho, produciéndose solo tres o cuatro después de cada chispa, por lo que la longitud de onda no quedaba bien determinada. Un trabajo más reciente de Mercier con ondas entretenidas producidas en un oscilador de tubo electrónico dio un resultado de 2,9978 x 1010 cm/seg. Y a vimos en la sección 19-8 que el aumento de precisión obtenido con el empleo

454 TEORIA ELECTROMAGNETICA DE LA LUZ [CAP. 20

de cavidades resonantes ha añadido otra cifra significativa a la velocidad de la luz.

De acuerdo con la ecuación [20-12], esta velocidad observada debe ser igual a c, razón de la unidad electromagnética (u.e.m.) a la electrostática (u.e.s.) de intensidad de corriente. Y a hemos mencionado (Sec. 19-9) que esta razón se ha medido con precisión por diferentes métodos, siendo su valor más reciente 2,99781 x 1010 cm/seg. Pero este es precisamente el valor que ha dado la medida de la velocidad de las ondas electromagnéticas y coincide también exactamente con las últimas medidas de la velocidad de la luz por Michelson y otros. E n el aire u otros gases a la presión atmosférica es necesario modificar ligeramente las ecuaciones (Cap. X X I I I ) , pero las velocidades predichas difieren muy poco de la del vacío.

Por tanto, nos vemos forzados a concluir que la luz está constituida por ondas electromagnéticas de longitud de onda extremadamente pequeña. Aparte de la evidencia que presta la polarización, la cual prueba que las ondas luminosas son transversales, hay otras muchas pruebas de esta identidad. L a espectroscopia ha demostrado que los átomos contienen electrones, y admitiendo la aceleración de estos electrones al girar alrededor del núcleo, ha podido explicarse la polarización e intensidad de las rayas espectrales. Además, como se dijo en el capítulo X I , se ha demostrado que las ondas de radio, que tienen evidentemente carácter electromagnético, se unen con las ondas del infrarrojo sin solución de continuidad. Es decir, la explicación de las ondas luminosas como un fenómeno electromagnético, que en manos de Maxwell era simplemente una elegante teoría, ha mostrado ser cierta, aceptándose hoy día el carácter electromagnético de la luz como un hecho establecido. A l estudiar las interacciones entre luz y materia utilizaremos, por tanto, el hecho de que la luz consiste en oscilaciones de un campo eléctrico perpendiculares a la dirección de propagación de las ondas, acompañadas de oscilaciones del campo magnético, a la vez perpendiculares a esta dirección y a la del campo eléctrico.

20-12. Radiación de Cerenkov.—En la sección 20-8 se estableció que una carga con movimiento uniforme no radia energía, sino que simplemente transporta con ella su campo electromagnético. Esto es cierto mientras la carga se mueve en el vacío. Por el contrario, si se desplaza en el seno de un medio material (como, p. ej., cuando un protón o un electrón de gran velocidad atraviesan un trozo de vidrio) puede radiar una pequeña cantidad de energía aun cuando su velocidad sea constante. L a condición requerida para ello es que la velocidad de la partícula cargada sea mayor que la velocidad de onda c/n de la luz en el medio. La

S E C . 20-12] RADIACION D E C E R E N K O V 455

partícula origina entonces una onda impulsiva análoga a la onda de choque producida por un proyectil que se mueve con mayor velocidad que la del sonido. Es del mismo tipo que la «onda de proa» de un barco, que se forma cuando va más de prisa que las olas.

La producción de esta onda constituye un excelente ejemplo de aplicación del principio de Huygens (Sec. 18-1). E n la figura 20-6, e representa un elec- ¡ trón moviéndose a través I de un vidrio de índice 1,50 con una velocidad igual a 0,9 veces la de la luz. (Para producir tal electrón habría que acelerarlo a través de una diferencia de potencial de unos 650000 V). Las perturbaciones producidas cuando el electrón ocupa sucesivamente las posiciones O, O' y O" se han representado ¡mediante ondas secundarias de radios O A, O'A' y O"A", proporcionales al tiempo transcurrido y a su velocidad cjn. E l frente de onda resultante es la tangente común a todas ellas, y tiene la forma de un cono de semiángulo 0. Como O A es normal al frente de onda, se deduce de la figura que 0 viene dado por la relación

FIG. 20-6.—Sección transversal de la onda cónica producida en la radiación de

Cerenkov.

A C 1

sen 8 = — = — nv

[20-17]

donde v es la velocidad de la partícula cargada y $~v¡c. Si ¡3 = 0,9, como en nuestro ejemplo, 6 valdrá unos 48°. Una parte importante de esta radiación es visible, pudiendo ser detectada por el ojo o la placa fotográfica. Debido a la dispersión, variación de n con el color, la ecuación [20-17] no es rigurosamente exacta 5. Además, cuanto mayor es n (luz azul), el cono es más estrecho y el borde externo del abanico cónico de los rayos luminosos será, por tanto, azul, mientras que su borde interior será rojo.

Este tipo de radiación es de fácil observación con las partículas de elevada velocidad,!utilizadas actualmente en física nu-

6 Véanse las ecuaciones exactas ¡en H . MOTZ y L . I. SCHIFF: Am. J. Phys 21, 258, 1953. '

456 T E O R I A E L E C T R O M A G N E T I C A D E L A L U Z [CAP. 20

clear. Midiendo el ángulo del cono pueden determinarse las velocidades y energías de las partículas. L a luz que resulta del paso de una sola partícula puede registrarse mediante un tubo foto-multiplicador. E-ste es el fundamento del contador Cerenkov empleado por los físicos nucleares.

P R O B L E M A S

20-1. Un oscilador de frecuencia[ igual a 35 Mc/seg se encuentra en la proximidad de un reflector metálico plano, resultando que la distancia entre dos nodos contiguos de- las ondas estacionarias es 4,28 m. Despreciando el índice de refracción del aire; ¿qué valor para la velocidad de la luz se deducirá de esta determinación?

20-2'. Cuando se imprime un movimiento armónico simple a una carga eléctrica, las líneas de fuerza perpendiculares al movimiento toman la misma forma que un chorro de agua que sale de una manguera cuando se comunica a la boca de esta aquel movimiento. La manguera apunta siempre en dirección perpendicular al movimiento y se desprecia naturalmente la acción de la gravedad. Hágase un esquema de la forma de la línea después de una vibración completa del manantial. Recuérdese componer la velocidad de la manguera con la del agua en el centro de la vibración.

Sol.: Onda sinusoidal que comienza en la boca de la manguera. 20-3. Demuéstrese que la solución ,

Ex = 0 Ey = A sen (coi + kz) E¡~ 0 Hx = A sen (wí + kz) Hy — 0 H*= 0

satisface las ecuaciones de Maxwell. ¿En qué plano está polarizada la onda y en qué dirección se propaga?

20-4. Modifiqúense las ecuaciones 20-14 de modo que representen: a) una onda polarizada linealmente en la cual las vibraciones de E tengan lugar en el plano y, z, pero formando un ángulo de 45° con y\ b) una onda cuyas vibraciones sean elipses situadas en el plano y, z (luz polarizada elípticamente). ¡

Sol.: a) Ex = 0 i b) Ex = 0 Ey — a sen (w¿ — kx) \ Ey = a, sen (toí — kx) Ez — a sen (to¿ — k'x) 1 Ez = a, sen (co/ — kx -f §") Hx = 0 | Hx — o" Hy = — a sen (coi — kx) Hy — — a¡¡ sen (u>t — kx + 8) H¡ = a sen (coi — kx) Hs = a± sen (coi — kx)

20-5. A partir de las ecuaciones [20-14], hágase una lista de los valores de todas las derivadas parciales que aparecen en las ecuaciones [20-1] a [20-4]. Demuéstrese por sustitución directa que estas derivadas satisfacen las últimas ecuaciones. j i i I •

20-6. Demuéstrese que el segmento de línea de fuerza comprendido entre Q y R en la figura 20-3 (b) es rectilíneo si la aceleración de la carga ha sido uniforme. Partiendo de la pendiente de este segmento, pruébese que la razón EJEt disminuye en la ¡proporción Ijr y, por consiguiente, que a cualquier distancia apreciable i predominará la componente transversal. (INDICACIÓN; Recuérdese que E¡0 viene dado por la ley de Coulomb.)

20-7. Demuéstrese que la amplitud de la onda electromagnética producida por una carga acelerada varía ;como sen 6. siendo 0 el ángulo que

PROBLEMAS 457

forma la dirección de observación con la de la aceleración. Trácese un diagrama polar de la intensidad de la radiación en función del ángulo.

20-8. Demuéstrese que la razón de una carga medida en unidades-electrostáticas a la misma carga medida en unidades electromagnéticas tiene las dimensiones de una velocidad. (INDICACIÓN: Pártase en ambos casos dé la ley de Coulomb.)

20-9. Calcúlese la amplitud de la intensidad del campo eléctrico de un haz de luz solar, cuya intensidad puede considerarse igual a 0,13 w/cm2.

20-10. La fuerza total F ejercida sobre una carga e cuando se mueve en el vacío en un campo eléctrico y otro magnético está dada por

„ evH F = eE 4 c en el supuesto de que la velocidad v es perpendicular al campo H. Hállese la razón de la fuerza eléctrica a la fuerza magnética ejercida sobre un electrón en la primera órbita de Bohr del átomo de hidrógeno por la luz solar para la cual E = H = 0,0242 (unidades de Gauss). Sol.: 137.

20-11. E l teorema de Poynting establece que el flujo de energía en una Onda electromagnética está dado por

S = i | S x H ] ' 47T •

siendo S el llamado vector de Poynting, y la expresión entre corchetes un producto vectorial. Demuéstrese que las conclusiones de las secciones 20-5 y 20-7 en relación con la dirección y magnitud de este flujo respecto de los valores y magnitudes de E y H están de acuerdo con este teorema.

20-12. Admitiendo que se cumple la relación de Einstein entre masa y energía, y suponiendo que la masa equivalente a una onda electromagnética se mueve con la velocidad c, dedúzcase una expresión de la presión que ejerce la radiación sobre una superficie perfectamente absorbente en virtud de su cantidad de movimiento. Sol.: p = Ijc = .42/8TC.

20-13. Un haz de protones de energía igual a 340 MeV pasa a través de una lamina de vidrio flint extradenso (n — 1,88). Se halla que la radiación de Cerenkov emerge en una dirección que forma un ángulo de 38° con la del haz de protones. ¿Cuál es el valor de (3 que corresponde a estos protones?

CAPITULO X X I

MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS

Dado que la luz es una radiación electromagnética, cabe esperar que la emisión de luz por cualquier manantial se produzca por la aceleración de cargas eléctricas. Se sabe actualmente que las cargas eléctricas que intervienen en la emisión de la luz visible y de la radiación ultravioleta son los electrones negativos de la corteza atómica. Admitiendo que la radiación se origina por los movimientos vibratorios u orbitales de estos electrones, se consigue explicar muchas de las características de los diversos manantiales luminosos. Sin embargo, no debe apurarse excesivamente «sta hipótesis, ya que en la interpretación de espectros falla en varios aspectos importantes. E n todos ellos va implicada la naturaleza discreta o corpuscular de la luz, de la cual trataremos más adelante (Cap. X X X ) . De momento destacaremos solamente aquellas características que pueden explicarse suponiendo que la luz consiste en ondas electromagnéticas.

21-1. Clasificación de los manantiales luminosos.—Los manantiales luminosos de importancia en los experimentos ópticos y espectroscópicos se dividen en dos tipos principales: 1) manantiales térmicos, en los que la radiación es resultado de la elevada temperatura, y 2) manantiales basados en la descarga eléctrica a través de gases. E l Sol, con una temperatura superficial de 5000° a 6000° C, es un ejemplo destacado correspondiente al primer i ipo, en el que han de incluirse también manantiales tan importantes como las lámparas de filamento de wolframio, los diversos arcos eléctricos a presión atmosférica y la llama. Entre los del segundo tipo citaremos las chispas de alto voltaje, las descargas luminosas en tubos de vacío a baja presión y ciertos arcos de baja presión como el de mercurio. L a distinción entre ambos tipos no es rigurosa, pudiéndose pasar de modo continuo de uno al otro; p. ej., al ir evacuando el aire que rodea a un arco eléctrico.

21-2. Sólidos a alta temperatura.—La mayoría de los manantiales empleados para la iluminación utilizan la radiación de sólidos incandescentes. E n la lámpara de wolframio el filamento se calienta a unos 2100° C por disipación de energía eléctrica en una resistencia. Se puede llegar a 2300° C, pero no por mucho tiempo, debido a la rápida vaporización del metal. E n el arco de

458

S E C . 21-2] SOLIDOS A A L T A T E M P E R A T U R A 459

carbón en el aire, la temperatura del polo positivo es de unos 4000° C y la del negativo 3000° C. E l polo positivo se vaporiza y consume bastante rápidamente, pero constituye el manantial térmico más brillante de que se dispone en el laboratorio. E l calentamiento se produce principalmente por el bombardeo del polo positivo mediante electrones arrancados de la parte gaseosa del arco. E l gas propiamente dicho emite relativamente poca luz. U n tipo interesante de arco, utilizado, cuando se necesita un manantial muy pequeño, es la llamada lámpara de arco con-

1 yt¿¿¿¿¿£

1

(o) (6)

FIG. 21-1.—Lámpara de arco concentrado. Constituye una buena aproximación ! ! al «manantial puntual».

centrado. L a figura 21-1 (a) muestra esquemáticamente este dispositivo. E l cátodo consiste-'en un pequeño tubo metálico lleno de óxido de circonio, estando el ánodo constituido por un disco de metal provisto de un orificio ligeramente mayor que el extremo del cátodo. E n las partes metálicas se utiliza el wolframio, el tántalo o el molibdeno, debido a sus elevados puntos de fusión. E l conjunto está encerrado en una ampolla de vidrio llena de un gas inerte como el argón a una presión aproximada de 1 atm. E l arco se extiende entre la superficie (fundida) de óxido de circonio y el ánodo que la rodea, como se indica en la parte (b) de la figura. E l extremo del cátodo se calienta a 2700° C o más a causa del bombardeo de iones, lo que proporciona un brillo casi igual al del arco de carbón. L a luz se observa a través de la perforación del ánodo, en la dirección que indica la flecha de la figura 21-1 (a). Pueden construirse lámparas de este tipo en las que el manantial tenga un diámetro de hasta 0,007 cm. U n método más económico de realizar un manantial de pequeñas dimensiones consiste en utilizar una lámpara de wolframio con un pequeño filamento en espiral (bombillas delanteras de los automóviles), sometida a un voltaje algo mayor del nominal. No obstante, este manantial no posee el brillo y la pequenez de la lámpara de arco concentrado. E n la -sección 21-9 consideraremos otros tipos de manantiales con espectros continuos.

460 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

21-3. Arcos metálicos1.—Cuando dos varillas metálicas conectadas a un generador de corriente continua se ponen en contacto y después se separan ligeramente, se forma un brillante arco entre ellas. E n serie con el circuito ha de conectarse una resistencia adecuada para que la intensidad del arco sea de 3 a 5 A . Con corrientes superiores puede producirse un calentamiento excesivo y la fusión de los electrodos. Con una gran autoinducción en el circuito se consigue estabilizar él arco, siendo preferible a este respecto un voltaje de 220 V que uno de 110 V . Los polos se colocan verticalmente y alineados, estando provistos de pinzas soportes, con un tornillo de ajuste que permite variar su separación. E n el arco de hierro,' el polo positivo debe ser el inferior, pues en la pequeña cavidad que pronto se forma se deposita una gota de óxido de hierro fundido, lo que favorece la estabilidad del arco. La mayoría de la radiación emitida por un arco de hierro, cobre o aluminio procede del gas atravesado por el arco, constituido casi enteramente por vapor del metal. Se ha demostrado que la temperatura de este gas oscila entre 4000° C y 7000° C, pudiendo llegar hasta 12000° C con corrientes muy intensas. Puede obtenerse el equivalente a un arco metálico mediante un arco de carbón cuyo polo positivo se ha taladrado en la dirección del eje y rellenado de una sal metálica, tal como fluoruro calcico. A veces es deseable que el arco esté inmerso en otro gas diferente del 'aire, lo que se consigue encerrándolo en un recipiente impermeable al aire. E l arco se produce también a bajas presiones, pero es un proceso engorroso de realizar.

Los arcos de metales de bajo punto de fusión deben encerrarse permanentemente en una envoltura de vidrio. De este tipo son los arcos de mercurio y de sodio, ambos muy usados en los laboratorios de óptica. E n la forma primitiva de arco de mercurio, este va encerrado en un recipiente a muy bajá presión, cuya forma es tal que el mercurio líquido forma dos pocilios separados. Estos están conectados a los electrodos que atraviesan el vidrio. E l arco se inicia basculando el recipiente hasta que un hilo de mercurio une ambos pocilios durante un instante y se rompe de nuevo. E l calentamiento producido por el arco aumenta la presión de vapor del mercurio, y a menos que se disponga de bastante espacio para el enfriamiento y condensación, el arco se extingue. Con suficiente autoinducción en el circuito se mantiene el arco a presiones y temperaturas bastante elevadas, siendo un manantial muy intenso. Para ello, el recipiente se construye de cuarzo fundido, muy resistente a las altas temperaturas. E l

1 Estos y otros manantiales utilizados en espectroscopia están descritos en la obra de G . R. HARRISON, R . C. LORD y J . R. LOOFBOUROW Practica! Spectros-copy, 1.» ed., Cap. VIII, Prentice-Hall, Englewood Clifís, Nueva Jersey, 1948.

S E C . 21-3] ARCOS M E T A L I C O S 461

cuarzo tiene la ventaja de transmitir la luz ultravioleta (Sec. 22-3), empleándose frecuentemente arcos de cuarzo en espectroscopia y terapéutica. A l emplearlo ha de tenerse sumo cuidado de no mirarlo con demasiada frecuencia sin gafas protectoras, pues puede producirse una dolorosa inflamación de los ojos. Lo mismo ocurre con los arcos metálicos ya mencionados.

FIG. 21-2.—(a) Pequeño arco de mercurio de encendido automático. (í>) Arco de sodio.

Como se ve en la figura 21-2 (a), es posible disponer el arco de mercurio de modo que se inicie por sí mismo. E l modelo representado proporciona un manantial vertical muy estrecho e intenso de luz de mercurio, adecuado para iluminar una rendija. E l arco se forma en un tubo capilar de 2 mm de diámetro interior, y se inicia 1 min después de conectar los terminales a una red de corriente continua de 110 V. Antes de este tiempo la corriente no pasa de 1,5 A gracias a las resistencias Rt y R2, de 80 y 7 í¿, respectivamente. R2 está enrollada a la parte inferior del capilar y empotrada en cemento, de modo que calienta el mercurio hasta que forma una burbuja de vapor y se rompe el hilo de mercurio. E l arco resultante engendra entonces presión suficiente para empujar el mercurio por encima de él hasta el punto A. E l arco queda así confinado al capilar comprendido entre A y R2. L a corriente

462 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

desciende entonces hasta 1,0 A, debido a la resistencia adicional del propio arco.

E l arco de sodio [Fig. 21-2 (fc)] está siempre encerrado bajo una cubierta de dobles paredes de un vidrio especial resistente al ennegrecimiento producido por el vapor de sodio caliente. La envoltura interior contiene argón o neón a baja presión y una pequeña cantidad de sodio metálico. La descarga se inicia en el gas enrarecido mediante los electrones emitidos por el filamento enrollado F, y se mantiene por medio de un potencial positivo relativamente pequeño aplicado al ánodo. Como el espacio entre las dobles paredes posee un alto grado de vacío para evitar pérdidas de calor, la temperatura interior se eleva rápidamente hasta que el sodio se funde y vaporiza en el arco. Entonces se debilita el espectro del gas noble, siendo reemplazado por radiación del sodio, cuyos átomos se ionizan más fácilmente. Esta se reduce casi exclusivamente al doblete amarillo, por lo que el arco produce luz casi monocromática sin necesidad de emplear filtros. La separación de las componentes del doblete es tan pequeña (5,97 Á) que en un espectroscopio de poca dispersión, y en las medidas de interferencia con pequeñas diferencias de camino, puede suponerse que es una raya sencilla con una longitud de onda media de 5892 A.

Aunque dan resultados satisfactorios cuando se usan con pequeñas redes y espectroscopios de prisma, ninguno de los arcos anteriores proporciona rayas espectrales de suficiente nitidez para investigaciones con dispersión muy elevada. L a presión, temperatura e intensidad de corriente, relativamente altas, producen un ensanchamiento de las rayas por razones que explicaremos en la sección 21-15. E l método más sencillo de producir rayas más nítidas es utilizar una descarga en un gas noble con una pequeña mezcla del vapor metálico, limitando la corriente a unos pocos miliamperios. L a descarga puede, eer bien un arco de bajo voltaje del tipo descrito o una descarga luminosa en un tubo de vacío (Sec. 21-6). Actualmente se producen comercial-mente manantiales muy cómodos de este tipo, no solo de sodio o mercurio, sino también de cinc, cadmio y otros metales de bajo punto de fusión. De hecho, la lámpara fluorescente de mercurio ordinaria es adecuada para producir rayas nítidas, y resultaría satisfactoria si no fuese por la capa de sal fluorescente que recubre el interior de las paredes.

21-4. Mechero Bunsen.—Cuando se admite aire suficiente por la base de un mechero de Bunsen, la llama es prácticamente incolora, excepto en un cono verde azulado que limita el cono interior oscuro de gas no quemado. L a temperatura por encima del cono es de unos 1800° C, suficientemente alta para producir

SEC. 21-5] '< CHISPA 463

una emisión de luz cuando se introducen en la llama sales metálicas. E l color de la llama y su espectro son característicos del metal y no dependen de la,sal utilizada. Los cloruros son de ordinario los más volátiles y dan la coloración más intensa. L a llama de sodio es amarilla; la de estroncio, roja; la de talio, verde, etc. E l método más corriente de introducir la sal en la llama consiste en utilizar un hilo de platino con un anillito en su extremo, que se sumerge primero en ácido clorhídrico y después se calienta hasta que desaparezca la llama amarilla del sodio. Entonces, y mientras'está aún al rojo, se pone en contacto con la sal pulverizada, un poco de la cual se funde y queda adherida al hilo. A l introducir este de nuevo en la llama se produce un color muy

VIG. 21-3.—Dispositivo experimental para producir espectros introduciendo sales de metales en la llama de un mechero Bunsen.

vivo pero de corta duración. U n método mejor es mezclar con el gas una pequeña dispersión de la solución del cloruro antes que este penetre en el mechero. Esto se consigue mediante el aparato representado en la figura 21-3 cuando se dispone de aire a presión. Se hace pasar aire por el pulverizador 5, llenándose el frasco de una fina dispersión que es arrastrada dentro del gas en la base del mechero. Con ello se consigue un manantial luminoso muy estable, adecuado para estudiar en el laboratorio espectros de llama. Desgraciadamente, este método solo es utili-zable con muy pocos metales, entre los que se encuentran el L i , Na, K , Rb, Cs, Mg, Ca, Sr, Ba, Zn, Cd, In y Ta. Con llamas más calientes pueden utilizarse otros metales, pero tales llamas, como la de gas y oxígeno y la oxhídrica, no son cómodas de manejar.

21-5. Chispa.—Conectando un par de electrodos metálicos al secundario de una bobina de inducción o de un transformador de alto voltaje, puede hacerse saltar una serie de chispas en un

464 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

espacio de aire de varios milímetros. Si el circuito no está provisto •de capacidad, la chispa es suave y no muy intensa, proviniendo la radiación en su mayor parte del, aire situado en el espacio inter-electródico. Conectando en paralelo un condensador (tal como una botella de Leyden), la chispa se hace mucho más violenta y brillante. Se obtiene entonces una chispa condénsada. Se trata •de un manantial extremadamente luminoso, cuyo espectro es muy rico en rayas características del metal que constituye los electrodos. L a chispa condénsada no solo tiene el inconveniente de ser Tnuy> ruidosa y el peligro de una sacudida eléctrica, sino qué además las rayas que emite poseen considerable anchura. Proporciona, sin embargo, la excitación más intensa de que se dispone, y constituye el manantial más adecuado para obtener rayas correspondientes a átomos ionizados que han perdido uno o más electrones. Tales rayas suelen denominarse de alia temperatura o de ¿hispa. |

21-6. Tubo de vacío.—Es este un manantial que se ha ido haciendo cada vez más corriente debido a su aplicación en los anuncios luminosos. E l tubo rojo ordinario de neón contiene neón gaseoso puro a la presión de unos' 2 cm de Hg. Mediante

F I G . 21-4.—Tubos de descarga para obtener espectros de gases a baja presión.

S E C . 21-6] T U B O D E V A C I O 465

un par %de electrodos, situados en los extremos del tubo, se hace pasar a través del gas una corriente eléctrica, conectándolos a un transformador que dé un potencial de 5000 a 15000 V. Introduciendo una pequeña cantidad de mercurio en los tubos de neón o de argón se consiguen otros colores. E l calor de la descarga vaporiza el mercurio, obteniéndose el color característico del espectro del vapor de mercurio. Si el vidrio del tubo es coloreado se absorben algunos de los colores del espectro del mercurio, produciéndose varios tipos de verdes y azules.

E n el laboratorio puede utilizarse este principio a pequeña escala para excitar las radiaciones características de cualquier gas o vapor. L a figura 21-4 ilustra dos tipos corrientes de tubos de vacío. E l tipo (a) se utiliza cuando no se requiere intensidad máxima, p. ej., si el tubo funciona mediante una bobina de inducción. Los electrodos E, E son pequeños cilindros de aluminio, soldados a sendos hilos de wolframio empotrados en el vidrio de la ampolla. L a luz es más intensa en el tubo capilar C, en el que la densidad de corriente es máxima, y la observación es lateral en la dirección indicada por la flecha. Puede conseguirse una intensidad considerablemente mayor mediante el modelo «de punta» representado en (b). Sus electrodos se componen de laminilla de aluminio arrollada e introducida en tubitos interiores de vidrio, G, G. Están unidos a los conductores de wolframio arrollando una pequeña banda de aluminio alrededor de uno de sus extremos y oprimiéndola fuertemente. La mayor área de los electrodos permite emplear corrientes más intensas, proporcionadas de ordinario por un transformador, sin sobrecalentamiento de los electrodos. L a luz se observa a través de una ventana plana de vidrio W, que puede fundirse directamente al tubo. Los tubos de vidrio interiores sirven para evitar que el aluminio se deposite sobre las paredes exteriores del tubo principal, cosa que Ocurre bastante rápidamente cuando el tubo funciona a baja presión.

La presión exacta que ha de reinar en el tubo depende del gas que se utilice y del espectro deseado, variando entre 0,5 y 10 mm de Hg. Solo un número limitado de gases son adecuados para un uso prolongado en tubos cerrados del tipo descrito. Entre ellos, los más satisfactorios son los gases nobles neón, helio y argón. Los tubos que utilizan hidrógeno, nitrógeno y anhídrido carbónico tienen una duración limitada; el gas desaparece gradualmente del tubo, hasta que llega un momento en que no es posible mantener la descarga. Ello depende de dos procesos. O bien el gas se descompone por la descarga y los productos se depositan sobre las paredes, o bien es eliminado por combinación química con los electrodos metálicos. Aun con gases químicamente inertes se produce una disminución de la presión por adsorción en las J E N K I N S - W H I T E . — 3 0

466 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

películas metálicas antes mencionadas, proyectadas sobre las paredes por los electrodos. Solo las características principales de los complejos fenómenos que se producen en los tubos de descarga están bien interpretadas, quedando aún por explicar muchos fenómenos interesantes, como la formación de estratificaciones 2 .

21-7. Clasificación de los espectros.—Hay dos clases principales de espectros, conocidas como espectros de emisión y espectros de absorción. Cada una de ellas comprende otros tres tipos: espectros continuos, de rayas y de bandas. Los espectros de emisión se obtienen cuando la luz que procede directamente de un manantial es examinada con un espectroscopio. Los espectros de absorción se producen cuando la luz de un manantial que presenta un espectro de emisión continuo pasa por una sustancia absorbente y llega después al espectroscopio. Las figuras 21-7, 21-8 y 21-10 muestran reproducciones fotográficas de espectros de los tres t i pos, tanto de emisión como de absorción. Los sólidos y líquidos, salvo muy raras excepciones 3 , solo dan espectros de emisión y absorción continuos, que cubren un amplio intervalo de longitudes de onda sin discontinuidad brusca. Los espectros discontinuos (de bandas y de rayas) se originan en los gases. Los gases pueden también emitir y absorber, en ciertos casos, un verdadero espectro continuo (Sec. 21-9). Con un arco de carbón son fácilmente observables los tres tipos de espectros de emisión. Enfocando el espectroscopio al polo que está al rojo blanco, el espectro es perfectamente continuo. Apuntándolo a la descarga violeta del gas interelectródico se observan bandas en el verde y en el violeta, y siempre hay presentes algunas rayas, tales como las amarillas del sodio, debidas a impurezas de los carbones.

21-8. Emitancia y absortancia.—Aunque en este capítulo nos ocupamos principalmente de los manantiales luminosos y, por tanto, de la emisión, es de interés establecer ahora una relación muy importante que existe entre el poder de emisión y el de absorción de cualquier superficie. Cuando se calienta un sólido, da un espectro continuo. L a cantidad de radiación en este espectro y su distribución en las diferentes longitudes de onda están gobernadas por la ley de la radiación de Kirchhoff1. E n ella se

2 Véase L. B. L O E B : Fundamental Processes of Electrical Discharge in Gases, John Wiley & Sons, Nueva York, 1939.

3 Los compuestos de algunos metales de las tierras raras dan espectros de rayas superpuestos a un espectro continuo cuando se calientan a temperaturas elevadas. Sus espectros de absorción (p. ej., el del vidrio de didimio) muestran regiones de absorción muy estrechas, que a la temperatura del aire líquido se convierten en rayas de absorción nítidas.

4 Gustav Kirchhoff (1824-1887), profesor de Física en Heidelberg y Berlín. Aparte de descubrir algunas importantes leyes de la Electricidad, fundó (con Bunsen) el análisis químico mediante espectros.

S E C . 21-8] EMITANCIA Y ABSORTANCIA 467

establece que la razón de la emitancia radiante a la absortan-cia es la misma para 'todos los cuerpos a una temperatura dada. E n forma de ecuación, esta ley se escribe así: .,

! ! ' . — == const. = WB [21-1] 11 j ,'• « j • . ..

L a magnitud W, es la energía total radiada por centímetro cuadrado de superficie y por segundo, mientras que a representa la fracción de radiación incidente que no es reflejada o transmitida por la superficie. E l cociente constante lo hemos representado por el símbolo W¡¡, y corresponde a la emitancia del llamado cuerpo negro. Con esta denominación se designa a un cuerpo que actúa como perfectamente negro, es decir, que absorbe toda la radiación que incide sobre su superficie. Para tal cuerpo ideal, aB — 1, y WB es igual a la razón constante"W¡a para los demás cuerpos.

La ley de Kirchhoff expresa una relación muy general entre la emisión y la absorción de radiación en la superficie de los diferentes cuerpos. Si la absortancia es alta, la emitancia lo será también. Es esencial poner de manifiesto la diferencia entre el término absortancia, que es una medida de la cantidad de luz que desaparece en una sola reflexión, y la absorción en el seno de la sustancia, medida por el coeficiente de absorción a (Sec. 11-5). Este último determina la pérdida luminosa por transmisión a través de una sustancia y no tiene una relación sencilla con la absortancia de la superficie. E n el caso de los metales, p. ej., veremos (Sec. 25-14) que un Coeficiente de absorción muy alto va unido a una gran reflectanéia. Pero gran reflectancia implica poca absortancia. Por tanto, en los metales, y en general en todas las sustancias puras de superficies lisas, un coeficiente de absorción a alto va acompañado de una absortancia a baja.

U n cuerpo negro, representado aproximadamente, p. ej., por un trozo de carbón, da la cantidad máxima de radiación a una temperatura dada. Las sustancias transparentes o bien las de gran reflectancia son muy malos emisores de luz visible, aun a temperaturas muy elevadas. L a ¡figura 21-5 muestra una ilustración práctica del significado de lá ley de Kirchhoff. L a figura de la derecha es una fotografía de una plancha eléctrica ordinaria a la temperatura ambiente. Se han echado sobre su superficie unas manchas de tinta chilla, que aparecen oscuras debido a su gran absortancia. E l resto de la superficie es muy reflectante y, por tanto, muy poco absorbente. L a fotografía de la izquierda se tomó con la radiación emitida por la plancha caliente. L a temperatura alcanzada fue inferior a 400° C, por lo que no se emitieron radiaciones visibles. Sin embargo, se consiguió obtener una buena. fotografía mediante una placa sensible al infrarrojo, aunque la

MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

(«0 ! (b) | FIG. 21-5.—Fotografías de una plancha eléctrica que ilustran la ley de la radiación de Kirchhoff. (a) Tomada con placas sensibles al infrarrojo con la plancha caliente, pero sin emitir radiación visible, (b) Con placas e iluminación corrientes y la plancha

a la temperatura ambiente. (Fotografías de H. D. Babcock.) i \

plancha era invisible en la oscuridad. Se ve que las manchas anteriormente oscuras (buenos absorbentes) han pasado a ser más brillantes que el resto de la superficie aunque tienen la misma temperatura. Emiten, por tanto, ¡ radiación más abundante, como exige la ley de Kirchhoff. Hemos supuesto que las manchas de tinta, por ser negras para la luz visible, son también buenos absorbentes de la luz infrarroja. De hecho, es esencial que W y a se refieran a la misma longitud de onda, o intervalo de longitudes de onda. Para la radiación comprendida en un pequeño intervalo de longitudes de onda, se puede escribir:

«x = W BX [21-2]

donde el subíndice indica la emitancia y la absortancia correspondientes a una longitud de onda particular. Esta forma de la ecuación tiene importantes aplicaciones en los espectros discontinuos (Sec. 21-10). j ¡

21-9. Espectros continuos.—Los manantiales más comunes de espectros continuos son sólidos a elevada temperatura5, y

6 Sobre los métodos experimentales empleados en este campo, véase W. E. FORSYTHE: The Measuremenl of Radiant Energy, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1937.

SEC- 21-9] ESPECTROS CONTINUOS 469

ya hemos descrito algunos de ellos en la sección 21-2. Pero nada se dijo acerca de la distribución de la energía del espectro continuo según las diferentes longitudes de onda. De acuerdo con la ley de Kirchhoff, esto depende de la capacidad de la superficie para absorber la luz de diversas longitudes de onda. Así, en un objeto de porcelana con un dibujo en rojo esmaltado sobre él, las partes rojas absorben más intensamente la luz azul y violeta que la roja. Calentando a gran temperatura este objeto en un

- X — FIG. 21-6.—Curvas de la radiación del cuerpo negro representadas a escala. Las abscisas dan las longitudes de onda en ángstroms y las ordenadas la energía en calorías por centímetro cuadrado y por segundo en cada intervalo de longitud de onda dX de 1 Á. Los valores numéricos se encontrarán en Smithsonian Physical

Tables, 8.» ed., pág. 314.

horno y retirándolo después, se observará que el dibujo parece azulado por la luz emitida, pues tales partes son las más absorbentes y emisoras de luz azul. E n general, por consiguiente, el espectro de reflectancia de un sólido de este tipo nos da una clave de su espectro de emisión.

U n cuerpo negro, que absorbe completamente todas las longitudes de onda, suele tomarse como patrón por constituir un caso particularmente sencillo, con el que puede compararse la radiación de otras sustancias. L a figura 21-6 muestra la distribución de energía de la radiación de un cuerpo negro a siete temperaturas diferentes, y en la fotografía de la figura 21-7 (a) apa-

MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

1000°c

4000° C

2000°C

(b)

vidrio de didi/n/d

vidrio rojo

i/idrio azul

manantial

V B G Y 0 R

FIG. 21-7.—Espectros continuos: (a) Espectros continuos de emisión de un sólido a las tres temperaturas indicadas, tomados con un espectrógrafo de cuarzo. Los espectros para 1000° C y 2000° C corresponden a un filamento de wolframio, y el de 4000° C, al polo positivo de un arco de carbón. La escala de longitudes de onda está marcada en centenas de angstroms. (6) Espectros continuos de absorción. El superior corresponde al manantial solo y se extiende entre 4000 y 6500 Á. Los

otros muestran el efecto de interponer tres clases de vidrios coloreados.

recen los espectros correspondientes a estas curvas 6. L a curva de 2000° K es, con bastante aproximación, la de un filamento de wolframio, y la de 6000° K , la del Sol (despreciando las estrechas regiones de absorción correspondientes a las rayas de Fraunhofer). E l área comprendida debajo de cada curva representa la energía total emitida en todas las longitudes de onda, y aumenta rápidamente con la temperatura absoluta. Llamando WB a la energía total en ergios emitida por un centímetro cuadrado

8 Comparando los espectros de la figura 21-7 (a) con las curvas de la figura 21-6, ha de tenerse bien presente que los espectros fotografiados no reproducen la verdadera distribución de intensidad en las diferentes longitudes de onda por tres razones: 1) La dispersión del prisma comprime el espectro en el extremo de las largas longitudes de onda. 2) La placa fotográfica no es igualmente sensible para todas las longitudes de onda. En particular, la empleada en este caso es insensible más allá de los 6600 A. 3) El ennegrecimiento de la placa no es proporcional a la intensidad.

SEC. 21-9] ESPECTROS CONTINUOS. 471

i • ,-de la superficie del cuerpo negro en. cada segundo, y T a la temperatura absoluta, la ley de \S te fan-Boltzmann7 establece que

WB • ; [21-3]

E l valor de la constante o es 5,669 X 10 -"5 erg c m - 2 seg—1 ° K - 4 . L a longitud de onda Ama*., 'correspondiente al'máximo de cada curva, depende de la temperatura, de acuerdo con la ley del desplazamiento de Wien 8, la cpal dice que

. A m 4 x r = conk. = 0,2898 cm-grado [21-4]

donde Amáx se mide en centímetros. L a forma de la curva viene dada por la ley de Planck9, que puede escribirse en la forma:

\ WBXd\ = l ) - i¿X [21-5]

donde e es la base de los logaritmos neperianos, 2,718, y cx y c2 son constantes, cuyos valores dependen de la unidad en que se mide X. Si A está en centímetros, cx = 3,7413 x 10 — s erg cm 2 s e g - 1 y c2 = 1,4388 cm-grado. Estas constantes están relacionadas, naturalmente, con las de las leyes de Stefan-Boltzmann y Wien, pues la ecuación [21-3] se obtiene integrando la [21-5] entre A = 0 y A = oo, y la [21-4] derivando lá [21-5] respecto a A e igualando a cero para obtener el máximo. Por tanto, la constante de la ecuación [21-4] es c2/4,965. Naturalmente, estas ecuaciones solo son aplicables a la radiación de un cuerpo negro ideal. Este no puede realizarse nunca rigurosamente en la práctica, pero una superficie negra o una cavidad hueca con una pequeña abertura se le aproximan mucho. L a magnitud WBX d\ designa la emisión de radiación no polarizada por centímetro cuadrado y por segundo en todas direcciones y para ¡ un intervalo dX.

A veces interesa disponer de un manantial con espectro continuo en la región1 ultravioleta para estudiar los espectros de absorción en esta región. Los sólidos no son aptos para este propósito por la pequeñísima cantidad de radiación ultravioleta que emiten

7 Ludwig Boltzmann (1844-1906). Desde 1895 hasta que se suicidó, en 1906, fue profesor de Física en Viena. Esta ley fue establecida inicialmente por Josef Stefan (1835-1893) y demostrada teóricamente y de modo independiente por Boltzmann. Este es conocido en particular por sus trabajos sobre la teoría cinética y el segundo principio de la termodinámica.

8 Wilhelm Wien (1864-1928), físico alemán que ganó el premio Nobel en 1911 por sus trabajos sobre óptica y radiación. Efectuó también importantes descubrimientos sobre los rayos catódicos y rayos canales.

'Max Planck (1858-1947), profesor de la Universidad de Berlín. Recibió el premio Nobel en 1918 por su deducción de la ley de la radiación del cuerpo negro y otras investigaciones termodinámicas.

25 30 35 40 45 50

h¡Hit.'liliiUtnuTl[í!rHflTtili!MJlTiHl!i.7 &&@ ^ bJ &Ji»•! ¡ I' n' < ' ... '«£*

i i i n i üii r hierro

mercurio

(a)

(b)

(c)

mercurio

helio

l.líllilliMflllMl.'llílllllHlIfállllíli.'I'iilwli] (e)

neón

i 1 .'üiiiillllllliM'ÍNIijll.llliilnhi,'! (f>

argón

(g)

(h)

(i)

X60001

FIG. 21-8.—Espectros de rayas, (a) Espectro del arco de hierro. Los espectros (o) a (/) fueron tomados con el mismo espectrógrafo de cuarzo. (6) Espectro del arco de mercurio encerrado en cuarzo, (c) El mismo con el arco encerrado en una ampolla de vidrio, (d) Del helio en un tubo de descarga de vidrio, (e) Neón en un tubo de descarga de vidrio. (/) Argón en un tubo de descarga de vidrio, (g) Serie de Balmer del hidrógeno en el ultravioleta! XA3600 a 4000. Este espectro es de red. Las rayas débiles situadas a cada lado de las fuertes son rayas falsas llamadas ánimas (Sec. 17-12). (h) Espectro relámpago de emisión.de la cromosfera solar. Se trata de un espectro de red tomado sin rendija en el instante anterior a un eclipse total, cuando el resto del Sol está cubierto por el disco de la Luna. Las dos imágenes más intensas son las rayas H y K del calcio y muestran prominencias marcadas, o nubes de vapor de calcio. Otras rayas intensas se deben al hidrógeno y al helio, (i) Espectro de absorción del sodio en el ultravioleta, tomado con una red. Las rayas brillantes del fondo corresponden al manantial, que en este caso es un arco de carbón. Nótese más allá de la serie límite una ligera absorción continua, (j) Espectro solar en la proximidad de las rayas D . Las dos rayas intensas han sido absorbidas por el vapor de sodio en, la cromosfera, y consti

tuyen el primer miembro de la serie representada en (i).

472

S E C . 21-10] ESPECTROS DE RAYAS 475

aun a las temperaturas más altas que pueden obtenerse. Se ha. comprobado que para este fin el mejor manantial está constituido por un tubo de descarga lleno de hidrógeno a una presión de 5 a 10 mm. Haciendo pasar por el tubo, con un capilar algo ancho (5 mm de diámetro), una corriente de unas décimas de amperio, con una diferencia de potencial de 2000 V, se obtiene un espectro continuo muy intenso. La intensidad máxima corresponde al violeta, pero el espectro se extiende en el ultravioleta hasta unos 1700 Á.

21-10. Espectros de rayas.—Iluminando la rendija de un espectroscopio de prisma o de red con la luz de un arco de mercurio, aparecen en el ocular varias rayas de diversos colores.. L a figura 21-8 muestra fotografías de espectros de rayas comunes. Cada una de estas rayas es una imagen de la rendija formada por el objetivo del anteojo para una longitud de onda particular. La red o el prisma desvían ángulos distintos en cada una de las longitudes de onda, por lo que las rayas imágenes están separadas. Es importante darse cuenta de que el nombre de rayas espectrales se debe al hecho de que se acostumbra utilizar una rendija, cuya

' imagen constituye la raya. Si la forma de la abertura del colimador fuese la de un punto, un disco u otra cualquiera, el espectro estaría constituido por puntos, discos, etc., caso que puede darse. Frecuentemente, al fotografiar espectros astronómicos, se prescinde del colimador, y un prisma o una red colocados delante del anteojo convierten a este en un espectroscopio. E n este caso cada «raya» espectral tiene la forma del manantial. Así, p. ej., la figura 21-8 (h) representa el espectro solar en el instante que precede a un eclipse total cuando el espectro ordinario de absorción de rayas oscuras ha sido sustituido por un espectro de emisión de los gases de la atmósfera solar, dando el llamado «espectro relámpago». E l objeto principal de la rendija es producir imágenes estrechas, de modo que. no se solapen las correspondientes a longitudes de onda diferentes.

Los manantiales más intensos de espectros de rayas son los arcos y chispas metálicos, aunque también son muy adecuados los tubos de descarga que contienen hidrógeno o gases nobles. Suelen utilizarse también llamas, pues su espectro es en general más simple, no siendo tan abundante en rayas. Los gases son los manantiales ordinarios de espectros de emisión o absorción de rayas. Además, se sabe actualmente que solo los átomos individuales dan verdaderas rayas espectrales. Esto es, cuando se utiliza un compuesto molecular, como el gas metano (CH4) en un tubo de descarga, o el cloruro sódico en un arco de carbón «relleno», las rayas observadas se deben a los elementos y no a las moléculas. Así, p. ej., el metano origina un espectro de rayas

474 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

muy intenso debido al hidrógeno, y es bien sabido que el cloruro sódico da las rayas amarillas típicas del sodio. Las rayas debidas al carbón y al cloro no tienen una intensidad apreciable, pues es más difícil excitarlos para que emitan, y sus rayas más irftensas están en el ultravioleta y no en la región visible del'espectro. E n la tabla 21-1 figuran las longitudes de onda de las rayas de algunos espectros de emisión muy utilizados, habiéndose indicado .si son intensas (s), medias (m) o débiles (w).

• TABLA 21-1

Longitudes de onda, en ángstroms, de algunas rayas espectrales

Sodio Mercurio Helio Cadmio Hidrógeno

5889,95 s 4046,56 m 4387,93 w 4678,16 m 6562,82 s 5895,92 m 4077,81 m 4437,55 w 4799,92 s 4861,33 m

4358,35 s 4471,48 s 5085,82 s 4340,46 w 4916,04 w 4713,14 m 6438,47 s 4101,74 w

- 5460,74 s 4921,93 m 5769,59 s 5015,67 s 5790,65 s 5047,74 w

5875,62 i 6678,15 m

Los espectros de absorción de rayas solo se obtienen a partir -de gases monoatómicos. Las rayas de absorción del espectro solar se deben a átomos que existen como tales en lugar de combinados como moléculas, debido solo a las altas temperaturas y bajas presiones de la «capa inversora» de la atmósfera s,olar [Fig. 21-8 (h) y (;')]. E n la época en que Fraunhofer comenzó el estudio de estas rayas se designaron mediante letras algunas de las más destacadas. Las rayas de Fraunhofer se utilizan con mucha frecuencia como puntos de referencia del espectro, p. ej., en la medida y especificación de los índices de refracción. Por ello, en la tabla 21-2 damos sus longitudes de onda y los átomos o moléculas que las originan. Las «rayas» A, B y a son en realidad bandas, absorbidas por el oxígeno en la atmósfera terrestre. Se observará que b 4 y G son mezclas de dos rayas que no suelen estar resueltas, pero debidas a elementos diferentes.

E n el laboratorio son muy pocas las sustancias que permiten •observar espectros de absorción de rayas, pues las rayas de absorción de la mayoría de los gases monoatómicos están en el ultravioleta lejano. Los metales alcalinos son una excepción, y si se calienta sodio en un tubo de acero o de vidrio pyrex vacío, con ventanillas de vidrio en sus extremos, al observar a través de tal

SEC. 21-10] ESPECTROS - DE RAYAS 475

TABLA 21-2 I

Rayas de Fraunhofer más intensas

Nombre Origen Longitud de otída,

en Á Nombre Origen Longitud de onda, en Á.

A o, 7594-7621* b 4 Mg 5167,343

B 6867-6884* c Fe 4957,609 C i H : 6562,816 F • H 4861,327 a o 2 : 6276-6287* d Fe 4668,140 ^ 5895,923 e Fe 4383,547

i Na ! 5889,953: f H 4340,465 D 3 He 5875,618; G Fe 4307,906 E 2 i Fe i 5269,541 G Ca 4307,741 bx i Mg 5183,618 g Ca 4226,728 b, í'Mg 5172,699 h H 4101,735 b 3 Fe 5168,901 H Ca+ 3968,468 °4 : Fe 5167,491!

K Ca+ 3933,666

* Banda. I

tubo el espectro de un filamento de wolframio aparecerán las rayas del sodio absorbidas [Fig. 21-8 («')]. Su aspecto es el de rayas oscuras intercaladas en el espectro de emisión continuo.

L a figura 21-9 ilustra esquemáticamente un experimento más sencillo de llevar a la práctica, y que muestra además la aplicación de la ley de Kirchhoff a los espectros de rayas. A es un arco horizontal de carbón con una perforación que contiene cloruro sódico. E l arco está alimentado con una corriente bastante intensa para que se eleve sobre él una brillante llama amarilla de sodio, F. ^Apuntando la rendija S del espectroscopio hacia la llama, sé verán las rayas D de emisión del sodio. Para observar las mismas rayas en absorción se sitúa un espejo cóncavo M, de modo que proyecte una imagen del .polo positivo del arco sobre la rendija, pasando la luz en su marcha hacia la rendija a través de la llama. E n esta hay una considerable concentración de átomos de sodio, capaces de absorber, lo mismo que de emitir, las

0

FIG. 21-9.—Dispositivo experimental para probar la absorción de las rayas D del sodio e ilustrar la ley de la radiación de Kirchhoff.

476 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

frecuencias particulares correspondientes a las rayas D. E n estas circunstancias, las rayas aparecen oscuras en el espectro por el hecho de que la llama está a una temperatura inferior a la del polo positivo. Esto es consecuencia de la ley de Kirchhoff, tal como está expresada en la ecuación [21-2]. Para demostrarlo, supongamos que la absortancia ax de la llama para la longitud de onda de las rayas D es \, por lo que desaparecerá un cuarto de la radiación procedente del espejo. Pero, de acuerdo con la ecuación [21-2], W\ para esta longitud de onda es \WB\, esto es, las rayas amarillas se emiten con la cuarta parte, de la intensidad de la radiación correspondiente a un cuerpo negro a la temperatura de la llama. Por tanto, si el polo del arco estuviese a la misma temperatura que la llama,, la cantidad absorbida estaría justamente compensada por la emitida y no se produciría ninguna raya en el espectro1 0. Sin embargo, la llama está a una temperatura considerablemente inferior; por tanto, la cantidad emitida no basta para compensar lá absorbida, y se observarán rayas oscuras cuando el espejo esté en la posición adecuada. Desplanando el espejo de modo que proyecte sobre la rendija la imagen de una parte menos caliente del polo, es posible hacer desaparecer las rayas o transformarlas en brillantes cuando la temperatura de la parte elegida del polo sea inferior a la de la llama.

21-11. Teoría de la relación entre emisión y absorción.—Es posible demostrar rigurosamente la ley de Kirchhoff, enunciada en la sección 21-8, por procedimientos termodinámicos. No obstante, para comprender el experimento anterior conviene considerar el proceso de emisión y absorción desde el punto de vista electromagnético. Intentaremos describir la emisión de l u z 1 1 como debida a movimientos periódicos de los electrones en los átomos del manantial. Estos movimientos originarían la emisión de ondas electromagnéticas de las mismas frecuencias que las partículas cargadas, de igual modo que ¡las ondas sonoras emitidas por un diapasón tienen la misma frecuencia que este. E n el caso del vapor de sodio, podemos considerar que cada carga oscilante vibra con una frecuencia particular, como el diapasón, y que esta es la frecuencia de la luz amarilla del sodio. Si consideramos ahora que a través del vapor se envía luz de sodio, la analogía con el diapasón sigue siendo valida. Es bien sabido que cuando sobre un diapasón inciden ondas sonoras de frecuencia adecuada, comienza a vibrar con una amplitud considerable debido a la

1 0 Hemos supuesto que el polo radia como un cuerpo negro perfecto. 1 1 En la sección 21-14 indicaremos que, en muchos casos, esta descripción

solo es una aproximación aceptable. El principio de correspondencia de la teoría cuántica demuestra, sin embargo, que es exacta para órbitas grandes (números cuánticos elevados). ¡

SEC. 21-12] SERIES DE SAYAS ESPECTRALES 477

resonancia. Del mismo modo, los átomos de sodio responden a las ondas electromagnéticas incidentes, y la energía que absorben de las ondas la devuelven como radiación de resonancia. Aunque toda la energía tomada a las ondas vuelve a emitirse, la radiación de resonancia está distribuida uniformemente en todas direcciones y, por tanto, será relativamente más débil en la dirección en que avanza que si no estuviesen presentes los átomos absorbentes.

L a relación entre la emitancia y la absortancia de una sustancia para la luz de una longitud de onda dada se deduce necesariamente de las consideraciones anteriores. Si una sustancia absorbe fuertemente luz de una cierta frecuencia, ha de poseer gran número de cargas cuyas frecuencias características coincidan con la de esta luz. Inversamente, cuando se excita a la sustancia para que emita luz, estas mismas vibraciones originarán una intensa emisión en la misma frecuencia.

21-12, Series de rayas espectrales.—En los espectros de algunos elementos se observan rayas que pertenecen todas ellas evidentemente a una serie en la que el espaciamiento y las intensidades de las-rayas varían de un modo regular. Así, p. ej., en la serie de Balmer del hidrógeno [Fig. 21-8 (g)] el espaciamiento de las rayas disminuye continuamente cuando se avanza dentro del ultravioleta hacia longitudes de onda más cortas, y las intensidades disminuyen rápidamente. Aunque solo las cuatro primeras rayas pertenecen al espectro visible, la serie de Balmer se ha investigado fotografiando hasta 31 términos en el espectro de estrellas de gran temperatura, en el que aparecen como rayas de absorción. E l espectro de absorción del vapor de sodio muestra una larga serie de rayas, cada una de las cuales es un doblete muy apretado [no resuelto en la Fig. 21-8 (i)], y la serie se denomina principal. Esta serie aparece también en la emisión del arco y de la llama, siendo el primer doblete de la serie el constituido por las conocidas rayas D. E n el espectro de llama del sodio, el 97 % aproximadamente de la intensidad de la serie está concentrado en el primer término. Los espectros de emisión de los metales alcalinos contienen otras dos series de dobletes en la región visible, conocidas como series nítida y difusa. Existe una cuarta serie, más débil, en el infrarrojo, llamada serie fundamental. Los metales alcalinotérreos, como el calcio, muestran dos de estos conjuntos de series, uno de rayas sencillas y otro de tripletes.

Cada una de las series se caracteriza porque sus términos más elevados tienden hacia una longitud de onda límite, llamada. límite o convergencia de la serie. A l aproximarse a este límite, las rayas se aprietan cada vez más, de modo que teóricamente hay un número infinito de ellas antes de alcanzar realmente el límite. Más allá del límite se observa a veces un espectro de emisión

478 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

continuo más bien débil; en absorción se aprecia siempre una región de absorción continua si el vapor absorbente es suficientemente denso [Fig. 21-8 [i)]. E l límite de una serie proporciona la clave para identificar el tipo a que pertenece. Así, las series nítida y difusa tienden hacia el mismo límite, mientras que la serie principal se aproxima a otro límite, que en el caso de los metales alcalinos está situado en longitudes de onda más cortas.

21-13. Espectros de bandas.—Los manantiales más adecuados para la observación de espectros de bandas en el laboratorio son los arcos de carbón rellenos de una sal metálica, el tubo de vacío y la llama. Las sales de calcio o bario son adecuadas en el

25 30 35 40 45 50

aire (N, y NO)

ffl ,;a; « 7«¡T.Í|MBÍ « X4441 1 • fluoruro de plomo (FPb) ' M 8 7 0

( • • n i M I H i <°> flúor-. — d*. ( F S H

' A 4951 fhoruro de bario ( F B a l ' X 6119

'anógeno ICN) \ 3883 1

'A 3572 óxido nítrico (NO)

FIG. 21-10.—Espectros de bandas, (a) Espectro de un tubo de descarga con aire a baja presión. Están presentes cuatro sistemas de bandas: bandas y de NO (AÍ.2300 a 2700), bandas de N negativo (N2+, M.2900 a 3500), bandas de N bipositivo (N2, Ü2900 a 5000) y bandas de nitrógeno monopositivo (N2, XA5500 a 7000). (6) Espectro de una descarga de alta frecuencia en vapor de fluoruro de plomo, (c) Espectro en el que se ve parte de un sistema de bandas del FSb, obtenido al vaporizar FSb en «nitrógeno activo»; (b) y (c) fueron tomados con un gran espectrógrafo de cuarzo, (d) Espectros de bandas de emisión y absorción del FBa. Las bandas están agrupadas en secuencias, (e) Bandas de CN. (/) Bandas

del espectro ultravioleta del NO. [(6) y (c), según Rochesíer.]

SEC. 21-14] |.| TEORIA DE LOS ESPECTROS DE RAYAS 479

arco o en lá llama, y el dióxido de carbono o el nitrógeno, en el tubo de vacío, A l examinar estos espectros mediante un espectroscopio de poca dispersión presentan un aspecto típico que los distingue inmediatamente de los de rayas [Fig. 21-10 (a) a (d)]. De ordinario se observan muchas, bandas, cada una de las cuales tiene un borde muy nítido en un extremo, llamado cabeza de la banda. A partir de la cabeza, la banda se oscurece gradualmente por el otro j extremo. E n ciertos espectros, varias bandas muy próximas sé solapan formando secuencias [Fig. 21-10 (b) y (d)], mientras que en otros están bastante espaciadas [Fig. 21-10 (c)]. Utilizando una red de gran dispersión y poder separador, se ve que cada banda se compone i en realidad de muchas rayas finas, dispuestas con evidente regularidad en series llamadas ramas de la banda. E n la figura 21-10 (e) se observan dos ramas que parten de los extremos de una pronunciada discontinuidad, en la que no hay ninguna raya. E n (/) la banda es doble, y las dos ramas del término izquierdo avanzan juntas en la misma dirección.

Pruebas de distinto tipo indican que los espectros de bandas proceden de las moléculas, es decir, de combinaciones de dos o más átomos. Así¡ se encuentra que, mientras el espectro atómico o de rayas del calcio es independiente de la sal puesta en el arco, se obtienen ¡diferentes bandas utilizando fluoruro, cloruro o bromuro de calcio. Además, las: bandas aparecen en aquellos tipos de manantiales en los que el gas es sometido a un tratamiento menos violento. E l nitrógeno ¡de un tubo de vacío sometido a una descarga ordinaria sin condensador presenta un. espectro de bandas, mientras que si en la descarga se utiliza condensador, aparece un espectro de rayas. Lá prueba más concluyente se encuentra en el hecho de que el espectro de absorción de un gas molecular (02, N 2) presenta bandas y carece de rayas, debido a la falta absoluta de disociación en átomos. También se ha visto que cualquier espectro de bandas sencillo, como los descritos e ilustrados anteriormente, es debido a una molécula diatómica. Poniendo F 2 Ca en el arco, las bandaá observadas se deben al FCa. Las bandas violetas del arco de carbón se deben al CN, procediendo el nitrógeno del aire [Fig.21-10 (e)]. E l C 0 2 de un tubo de vacío da el espectro del CO, y existen otros muchos ejemplos de este tipo de disociación de moléculas complejas en otras diatómicas.

21-14. Teoría de los espectros de rayas, de bandas y continuos.—Los intentos realizados para interpretar las diversas frecuencias definidas, emitidas por los átomos de un gas que produce un espectro de rayas, ocupó a los físicos más insignes durante la primera parte del presente siglo, habiendo conducido a consecuencias sumamente importantes. Del mismo modo que las frecuencias de vibración de una cuerda de violín producen ondas sonoras

480 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [CAP. 21

«cuyas frecuencias guardan la relación sencilla de ser múltiplos •de la nota fundamental, se empezó suponiendo que las frecuen-<cias de la luz en las diversas rayas espectrales deberían guardar ientre sí una cierta relación, la cual proporcionaría la clave para averiguar las formas de vibración del átomo y su estructura. :Se ha demostrado que es así, pero de modo muy diferente a como se supuso en un principio. E n la actualidad se conoce la relación definida entre las frecuencias de la serie espectral. Sin embargo, veremos inmediatamente que las frecuencias atómicas no se comportan como las de una cuerda de violín. E n esta los armónicos aumentan continuamente hacia una frecuencia infinita (longitud .de onda nula), mientras que las frecuencias de una serie espectral tienden hacia un valor límite determinado. E n la actualidad, mediante la teoría cuántica12, se ha conseguido explicar completamente los espectros de rayas. Aunque en muchos aspectos ésta teoría está en abierta contradicción con la teoría electromagnética, esta última ha constituido ¡una guía de. valor inestimable para atacar problemas tales como la intensidad y polarización de las rayas espectrales. También dio la primera clave de la conducta de las rayas cuando el manantial se sitúa en un campo magnético (Cap. X X I X ) . Sin embargo, para explicar completamente los espectros de rayas es imprescindible la teoría cuántica. Volveremos sobre este tema en el último capítulo.

Los espectros de bandas han requerido también la teoría cuántica para su explicación completa. No obstante, la interpretación electromagnética de los espectros moleculares fue algo más -satisfactoria. E n el infrarrojo se han observado ciertas series de bandas cuyas frecuencias e intensidades están relacionadas de modo muy parecido a los armónicos respecto de su nota fundamental. Se sabe actualmente que se deben a vibraciones de los dos núcleos de una molécula diatómica a lo largo de la recta que los une. Las dos ramas de una banda individual pudieron explicarse como debidas a la rotación de la molécula alrededor de un eje perpendicular a la recta anterior. La teoría electromagnética predice así dos frecuencias combinadas: la suma y la diferencia de las frecuencias de vibración y de rotación. Sin embargo, esta teoría requería una distribución continua de frecuencias en cada Tama y no pudo explicar las rayas separadas.

Se comprende que los sólidos y líquidos den espectros continuos por el hecho de que en este caso los átomos están más

1 4 Véase un estudio elemental de los espectros atómicos en la obra de H. E . WHITE: Introduction to Atomic Spectra, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1934. Sobre los espectros de bandas, véase G. HERZBERG: Molecular Spectra and Molecular Structure. I. «Diatomic Molecules». D. Van Nostrand Co., Nueva York, 1950.

SEC. 21-15] ANCHURA DE LAS RAYAS ESPECTRALES 481

próximos entre sí que en un gas y ejercen fuerzas entre ellos. Mientras que en un gas los átomos se hallan alejados y pueden emitir frecuencias definidas, estas se hallan tan modificadas por la influencia mutua de los átomos en el sólido, que se distribuyen en un espectro continuo. E n el espectro de un gas a presión suficientemente alta comienza ya a observarse este efecto. Las rayas se ensanchan debido a las más frecuentes colisiones y a otras causas que se mencionan después. Este ensanchamiento aumenta con la presión, hasta que finalmente las rayas se unen en un espectro continuo cuando el gas se aproxima al estado líquido. Basándose en la teoría electromagnética, se puede comprender cualitativamente el aumento de radiación de un sólido al elevar su temperatura. Cuando se calienta una sustancia, crece la amplitud de las vibraciones de sus partículas cargadas, con el consiguiente aumento de amplitud de las ondas emitidas. Aceleraciones más rápidas harán que la longitud de onda media se desplace hacia frecuencias más altas al elevar la temperatura. Nuevamente se requiere la teoría cuántica para explicar la distribución real de energía en las diferentes longitudes de onda. De hecho, el intento de deducir la ecuación [21-5] fue el que primero condujo a Planck a hacer las revolucionarias hipótesis que constituyen los fundamentos de esta teoría.

21-15. Anchura de las rayas espectrales.—Ya destacamos en la sección 21-10 que las rayas de un espectro son imágenes de la rendija. Por tanto, estrechando esta, las rayas serán más finas, pudiendo continuar tal estrechamiento hasta el límite impuesto por la difracción (Sec. 15-7). Sin embargo, puede haber dos causas que impidan alcanzar este límite teórico. Una de ellas es la más importante en los espectrógrafos de baja dispersión, y la otra, en los de dispersión y poder separador muy elevados. L a primera causa incluye los efectos puramente geométricos, tales como aberraciones de las lentes, imperfecciones de las superficies o falta de homogeneidad de los prismas de vidrio, etc. Pero aunque estos efectos pudiesen eliminarse mediante un diseño adecuado, y si la difracción fuese despreciable, las rayas no se aproximarían nunca a una anchura infinitesimal. Existe una anchura intrínseca o verdadera de las rayas emitidas por el manantial, que representa una pequeña dispersión de longitudes de onda alrededor de la posición media de cada raya. Es evidente que los instrumentos de gran poder separador, tales como una red de gran tamaño o un interferómetro de Fabry-Perot, revelarán mejor este fenómeno. E l es también la causa de la disminución de visibilidad de las franjas del interferómetro de Michelson al aumentar la diferencia de recorrido, cuestión ya estudiada en la sección 13-12.

J E M K I N S - W H I T E .—3 1

482 MANANTIALES LUMINOSOS Y SUS ESPECTROS [cA'P. 21

Hay tres efectos esencialmente diferentes que contribuyen a la anchura intrínseca de las rayas 1 3 :

.1. Acortamiento de los trenes de ondas. Como se indicó en la sección 12-6, trenes de ondas más cortos equivalen a una mayor dispersión de frecuencias. Este, acortamiento tiene dos causas: . -,• • . . • . . .. . a) Amortiguamiento natural, de los osciladores atómicos

como resultado de la radiación de energía electromagnética.. Según la teoría clásica, la anchura debida a este mecanismo es 0,000116 Á para una raya de cualquier longitud de onda. •

b) Choques de átomos o moléculas, que interrumpen la emisión de ondas continuas.

E n la región visible, '^ es de ordinario mucho más importante que a). Como al aumentar la presión los choques se hacen más frecuentes, este efecto se llama ensanchamiento por presión.

2. Efecto Doppler, resultante de los movimientos térmicos de los átomos en el manantial luminoso. Como las velocidades tienen sus direcciones distribuidas al azar y sus magnitudes están comprendidas dentro de un amplio intervalo, las frecuencias se desplazarán hacia arriba y hacia abajo en cantidades variables. De acuerdo con la teoría cinética, la anchura debida a esta causa es proporcional a -y/TIM, donde T es la temperatura absoluta, y M, el peso molecular. L a constante de proporcionalidad es 7,16 X 10- 7A.

3. Campos interatómicos. Pueden deberse a los momentos dipolares de las moléculas polares, pero son de ordinario los campos culombianos de los iones en una descarga. E n el capítulo X X I X veremos que las rayas espectrales se dividen en varias componentes por la acción de un campo eléctrico uniforme (efecto Stark). Dado que los campos interatómicos no son uniformes ni espacial n i temporalmente, su efecto se reduce a ensanchar las rayas. Este efecto, llamado a veces ensanchamiento Stark, aumenta rápidamente con la densidad de corriente en una descarga.

Como un ensanchamiento debido a cualquiera de las causas anteriores equivale matemáticamente a una interrupción más rápida de los trenes de ondas, la distinción de los efectos segundo

1 3 En la obra citada de White (Cap. 21) se.hallará un estudio más cuantitativo y detallado de la anchura de las rayas.

PROBLEMAS 483

y tercero del primero se justifica solo por el hecho de que se ha observado que varían del modo predicho con las condiciones físicas del manantial.

P R O B L E M A S

21-1. U n filamento de carbón puede mantenerse a 2600° C durante un corto tiempo. Suponiendo que el carbón radia como un cuerpo negro/hállese la longitud de onda en la cual se radia más energía para esta temperatura, i

21-2. Calcúlese en watios la potencia total radiada por una esfera metálica de 2 mm de diámetro mantenida a una temperatura de 2000° C. Considérese que la absortancia de la superficie es 0,80 y que es independiente de la longitud de onda. | Sol.: 15,21 w.

21-3. Imagínense dos cuerpos encerrados en un receptáculo a temperatura constante. La naturaleza y área de sus superficies no han de ser necesariamente las mismas, y pueden ser semitransparentes. Partiendo del hecho experimental de que1 alcanzan la misma temperatura del medio que los rodea, demuéstrese, considerando la energía emitida, absorbida, reflejada y transmitida por cada, uno ,de ellos, que ha de cumplirse la ley de la radiación de Kirchhoff. i

21-4. U n objeto negro se hace apenas perceptible al ojo adaptado a la oscuridad cuando su temperatura alcanza los 400° C. Hállese la energía radiada por centímetro cuadrado y por segundo en un intervalo de longitudes de onda de 10 Á para 7200 Á en estas condiciones. Hállese también la energía correspondiente emitida cuando está al rojo blanco (1800° C).

, Sol.: 2,46 X 10—3 erg; 1,26 X 106 erg. 21-5. Compárese la anchura debida al efecto Doppler de las rayas

del helio y del mercurio. Compárense también las anchuras Doppler a 300° C y a la temperatura del nitrógeno líquido (— 196° C).

21-6. Un pequeño espectrógrafo de prisma tiene un poder separador teórico de 5200 para la longitud de onda de las rayas D del sodio. E l prisma limita la anchura del haz refractado a 3,0 cm. Las lentes del colimador y del anteojo tienen cada una 30 cm de distancia focal y la anchura de la rendija es 0,02 mm. Compárese la anchura de una de las rayas D debida a la difracción, la debida a la anchura finita de la rendija y la debida a la anchura intrínseca. Para esta última utilícese la anchura Doppler para un arco de sodio a 450° C. Sol.: 0,012 mm. 0,020 mm. 0,000123 mm.

21-7. A partir de la ecuación de la teoría cinética para la frecuencia de choque en un gas, calcúlese la longitud media de los trenes de ondas emitidos por el vapor de hierro a 4000° C y presiones: a) de 1 mm de Hg, b) de 760 mm de Hg. Utilizando la relación aproximada entre la longitud de coherencia y anchura de las rayas, dada en la sección H-7, hállense las correspondientes anchuras para 5000 Á. Supóngase que el diámetro efectivo de choque del átomo de hierro es 2,5 x 10—8 cm.

CAPITULO X X I I

ABSORCION Y DIFUSION

Cuando un haz de luz atraviesa materia, ya se encuentre en estado sólido, líquido o gaseoso,. su propagación queda afectada de dos modos diferentes y muy importantes. E n primer lugar, la intensidad disminuye siempre en mayor o menor proporción al aumentar la trayectoria en el medio. E n segundo lugar, la velocidad será siempre menor en el medio que en el vacío. L a pérdida de intensidad se debe principalmente a la absorción, aunque en determinadas circunstancias la difusión desempeña un importante papel. E n este capítulo trataremos de las consecuencias de la absorción y de la difusión, mientras que el efecto del medio sobre la velocidad, que se designa con el término de dispersión, se estudiará en el capítulo próximo. E l término absorción, tal como se usa en este capítulo, se refiere a la disminución de intensidad de la luz al pasar por una sustancia (Sec. 11-5). Es importante distinguir esta definición de la de absortancia, dada en la sección 21-8. Ambas expresiones se refieren a magnitudes físicas diferentes, aunque existen, como veremos, ciertas relaciones entre ellas. I

22-1. Absorción general y selectiva.—Se dice que una sustancia presenta absorción general si reduce la intensidad de todas las longitudes de onda en la misma proporción. E n el caso de la luz visible, esto significa que la luz transmitida, vista por el ojo, carece de color. Se trata simplemente de una reducción de la intensidad total de la luz blanca, y tales sustancias parecen ser, por tanto, grises. No se conoce ninguna sustancia que absorba igualmente todas las longitudes.de onda, pero algunas, tales como las suspensiones de negro de humo o las finas películas semitransparentes de platino, cumplen aproximadamente esta condición para un intervalo de longitudes de onda bastante amplio.

Por absorción selectiva se quiere significar la absorción de ciertas longitudes de onda con preferencia a otras. Prácticamente todas las sustancias coloreadas deben su color a la existencia de absorción selectiva en cierta parte o partes del espectro v i sible. Así, un trozo de vidrio verde absorbe completamente los extremos rojo y azul del espectro, y la porción restante en la luz transmitida da al ojo una sensación verde. Los colores de la mayoría de los objetos naturales, como pinturas, flores, etc., se deben a

484

SEC. 22-2] DISTINCION ENTRE ABSORCION Y DIFUSION 485

la absorción selectiva. Se dice que estas sustancias «e comportan como pigmentos o que tienen color corporal, para distinguirlo del color superficial, pues su color es producido por luz que penetra cierta distancia dentro de la sustancia. Entonces, por difusión o reflexión, se desvía y escapa a través de la superficie, pero solo después de haber atravesado un cierto espesor y haber perdido parte de los colores que han sido absorbidos selectivamente. E n todos estos casos, la absortancia del cuerpo será proporcional a su absorción verdadera y dependerá del mismo modo de la longitud de onda. Por el contrario, el color superficial se debe al proceso de reflexión en la propia superficie (Sec. 22-7). Algunas sustancias, en particular los metales como el oro, tienen un poder reflectante mayor para algunos colores que para otros y, por tanto, muestran color por reflexión. E n este caso el color transmitido es el complementario, mientras que en el color corporal este color es el mismo para la luz transmitida que para la reflejada. Así, p. ej., un pan de oro es amarillo por reflexión y verde azulado por transmisión. Como ya dijimos en la sección 21-8, la absorción corporal de tales sustancias es muy alta. Esto produce una elevada reflectancia y, correspondientemente, una baja absortancia.

22-2. Distinción entre absorción y difusión.—En la f i -gura 22 r l , I0 es la intensidad |J« de un haz luminoso que penetra en un largo cilindro lleno *?G: 22-1.-Difusión del ai u< por par-. , T . ° , . . T T , , tiernas finamente divididas, tales como

de humo. L a intensidad 1 del l a s d e l n u m 0 . haz emergente por el otro extremo será menor que I0. Para una densidad de humo dada, la experiencia enseña que / depende de la longitud d de la columna, de acuerdo con la ley exponencial establecida en la sección 11-5; es decir,

I = [22-1]

A a. suele llamársele coeficiente de absorción, pues es una medida de la proporción en que disminuye la intensidad con la longitud. Sin embargo, en este caso, la mayor parte de la disminución de intensidad no se debe a una desaparición real de la luz, sino que procede de que parte de ella es difundida lateralmente por las partículas de humo y eliminada así del haz directo. Aun estando el humo muy diluido, puede comprobarse una intensidad considerable Is de luz difundida observando lateralmente el tubo en una habitación oscura. Los rayos de sol que penetran por una ventana

486 ABSORCION Y DIFUSION [CAP.. 22

se hacen visibles gracias a las finas partículas de polvo suspendidas en el aire. '

L a verdadera absorción representa la desaparición real de la luz, cuya energía se convierte en movimiento térmico de las moléculas de la sustancia absorbente. Esto ocurrirá solo en pequeña escala en el experimento anterior, por lo que el nombre de coeficiente de absorción no es apropiado en este caso. E n general, podemos considerar que a se compone de dos partes: oca debido á la verdadera absorción, y xs debido a la difusión. L a ecuación [22-1] se convierte entonces en

/ = J0í-(«

a+«s)'í [22-2]

E n muchos casos, cualquiera de los dos, o« o K s , puede ser despreciable frente al otro; pero es importante tener en cuenta la existencia de estos dos diferentes procesos y el hecho de que en muchos casos pueden actuar ambos.

22-3. Absorción por sólidos y líquidos.—Haciendo pasar luz monocromática a través de un sólido o de un líquido contenido en un recipiente transparente, se observará que la intensidad de la luz transmitida puede ser mucho menor que la de la incidente debido a la absorción. Variando la longitud de onda de la luz incidente variará también en mayor o menor proporción la cantidad de absorción. L a figura 22-2 muestra un sencillo método de investigar simultáneamente la cantidad de absorción para un amplio intervalo de longitudes de onda. Sx es un manantial que emite un intervalo continuo de longitudes de onda; p. ej.,'una lámpara ordinaria de filamento de wolframio. L a luz, colimada por la lente Lv atraviesa un cierto espesor del medio absorbente M. Entonces se enfoca mediante L 2 sobre la rendija S2 de un espectrógrafo de prisma y se fotografía el espectro sobre la placa P. Si M es una sustancia transparente, como vidrio o agua, la parte del espectro sobre P que representa longitudes de onda

FIG. 22-2.—Dispositivo experimental para observar la absorción de la luz en sólidos, líquidos o gases.

S E C . 22-3] ABSORCION POR SOLIDOS Y LIQUIDOS 487

visibles será perfectamente continua, como si no existiese M. Si M es coloreado, faltará la parte del espectro correspondiente a, las longitudes eliminadas ¡ por M, y llamaremos a esta parte banda de absorción: E n los sólidos y líquidos estas bandas son casi siempre continuas, esfumándose gradualmente hacia los bordes. La figura 21-7 (b) muestra ejemplos de estas bandas de absorción. !

Incluso una sustancia transparente en la región visible presentará absorción selectiva si se amplía suficientemente la observación dentro del ultravioleta o del infrarrojo. Ello supone considerables dificultades prácticas si se utiliza un espectrógrafo de prisma, pues el material de este y de las lentes (ordinariamente de vidrio) puede tener una fuerte absorción selectiva en estas regiones. Así, el vidrio flint no puede emplearse más allá de los 25000 Á (o sea 2,5 u.) en el infrarrojo, ni más allá de unos 3800 Á en el ultravioleta. E l cuarzo transmite algo más lejos en el infrarrojo y mucho más en el ultravioleta. E n la tabla 22-1 aparecen los límites de las regiones dentro de las cuales varias sustancias transparentes empleadas en los prismas transmiten una cantidad apreciable de luz. j

Los prismas empleados en el estudio del infrarrojo suelen ser de sal de roca, mientras que para el ultravioleta es más común el cuarzo. E n los espectrógrafos ultravioletas no hay ventaja en utilizar prismas de fluorita, ¡a menos que se extraiga completamente el aire de la trayectoria luminosa, ya que este comienza a absorber fuertemente por debajo de 1850 Á. Además, por debajo de esta longitud de onda, han de emplearse placas fotográficas especiales, pues la gelatina de la emulsión, por su absorción, hace insensibles las placas ordinarias por debajo de unos 2300 Á. En el infrarrojo puede utilizarse la fotografía hasta unos 13000 Á gracias a los métodos actuales de sensibilización. Más allá de esta longitud suele utilizarse algún instrumento basado en la medida

"del calor producido, tal como una termopila, aunque hasta las 6 ¡i la célula fotoconductora que utiliza las variaciones de la resistencia eléctrica con la iluminación es más sensible.

Cuando las medidas de observación se extienden a todo el espectro electromagnético se ha comprobado que no existe ninguna sustancia que no presente fuerte absorción para ciertas longitudes de onda. Los metales tienen una absorción general que depende muy poco de la longitud de onda en la mayor parte de los casos. Sin embargo, hay excepciones, como en el caso de la plata, que tiene una pronunciada banda de transmisión en las proximidades de los 3160 Á (véase Fig. 25-14).. Una película de plata, que es opaca para la luz visible, resulta casi completamente transparente para la luz ultravioleta de esta longitud de onda.

488 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

TABLA 1 22-1 1

Limite de transmisión, en Á Sustancia ,

Ultravioleta Infrarrojo

3500 20000 3800 25000 1800 40000

Fluorita (CaFs) 1250 95 000 1750 145000

Silvina (KC1) 1800 230000 1100 70000

Las sustancias dieléctricas, que son malas conductoras de la electricidad, tienen una pronunciada absorción selectiva, que se estudia con más facilidad evitando la difusión, lo que se consigue cuando son homogéneas, como en el caso de un monocristal, un líquido o un sólido amorfo. E n general, puede decirse que tales sustancias son más o menos transparentes para los rayos X y y, es decir, las radiaciones de longitud inferior a unos 10 Á. Marchando hacia longitudes mayores, encontramos una región de absorción muy intensa en el ultravioleta lejano, que en muchos casos se extiende a la región visible, o más allá, y en otros se detiene en el ultravioleta próximo (véase tabla 22-1). E n el infrarrojo se vuelven a encontrar bandas de absorción, iy en la región de las ondas de radio, una transparencia casi completa. Por tanto, en los dieléctricos son de esperar tres amplias regiones de transparencia: una en la de las ondas más cortas, otra en las longitudes de ondas intermedias (a veces incluida la visible) y una tercera en las longitudes muy grandes. Los límites de estas regiones varían mucho con las diferentes sustancias; así, p. ej., el agua es transparente para la luz visible y opaca para el infrarrojo próximo, mientras que el caucho es opaco a la luz visible y transparente para el infrarrojo. ! !'

. 22-4. Absorción por gases.—Los espectros de absorción de todos los gases, a presiones ordinarias, presentan estrechas rayas oscuras. E n ciertos casos es también posible encontrar regiones de absorción continua (Sec. 21-12), pero lo característico de los espectros de gases es la presencia de estas rayas nítidas. Si el gas es monoatómico, como el helio o el vapor de mercurio, tendremos un verdadero espectro de rayas, que frecuentemente presenta series claramente definidas. E l número de rayas del espectro de absorción es invariablemente menor que en el espectro de emisión. Así, p. ej., en el caso de los vapores de los metales alca-

S E C . 22-5] R E S O N A N C I A Y F L U O R E S C E N C I A D E G A S E S 489

linos, solo se observan en circustancias ordinarias las rayas de la serie principal [Fig. 21-8 (*)]. E l espectro de absorción es, por tanto, más sencillo que el de emisión. Si el gas se compone de moléculas diatómicas o poliatómicas, las rayas finas forman la. estructura rotacional de las bandas de absorción características de las moléculas. E n este caso es también más sencillo el espectro de absorción, y para el mismo gas se observan menos bandas ea absorción que en emisión [Fig. 21-10 (d)].

22-5. Resonancia y fluorescencia de gases 1.—Consideremos qué ocurre con la energía de la luz incidente que ha sido eliminada por el gas. Si existe verdadera absorción, de acuerdo con la definición de la sección 22-2, esta energía se transformará en calor, por lo que el gas estará algo más caliente. A menos que la. presión sea muy baja, este suele ser el caso general. Después que un átomo o molécula ha tomado energía del haz luminoso, puede chocar con otra partícula, aumentando con estos choques la velocidad media de las partículas. E l intervalo de tiempo que como tal un átomo excitado puede permanecer antes de chocar es solo de 10— 7 o 10~8 seg, y si antes de transcurrir este tiempo no se h a producido un choque, el átomo liberará su energía en forma de radiación. A bajas presiones, donde el intervalo entre dos choques es relativamente elevado, el gas se convertirá en un manantial secundario de radiación y no se producirá verdadera absorción. La luz reexpedida en tales casos suele tener la misma longitud de cnda que la incidente, y se denomina entonces radiación de resonancia (Sec. 21-11). Esta radiación fue descubierta y estudiada ampliamente por R. W. Wood 2 . E l origen de su nombre está claro, ya que, como hemos dicho, este fenómeno es análogo a la resonancia de un diapasón. E n ciertas circunstancias la luz emitida puede tener una longitud de onda mayor que l a incidente. .Este efecto se llama fluorescencia. Tanto en la resonancia como en la fluorescencia, desaparece parte de la luz del haz directo, pioduciéndose rayas oscuras en el espectro de la luz transmitida. No deben confundirse la resonancia y la fluorescencia con la difusión. E n la sección 22-12 se hará más clara esta distinción.

L a radiación de resonancia de un gas puede demostrarse fácilmente utilizando una lámpara de arco de sodio. Para ello se

1 Véase un amplio estudio de los diversos aspectos de esta cuestión en A. C. G.. M I T C H E I X y M . W. Z E M A N S K Y : Resonance Radiation and Bxcited Atoms, The Macmillan Co., Nueva York, 1934.

2 R. W. Wood (1868-1955), profesor de Física experimental de la Universidad John Hopkins. Precursor en muchos campos de la óptica física y uno de los físicos, americanos más destacados. Sus descubrimientos ópticos están recogidos en su excelente texto Physical Optics.

490 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

coloca un pequeño trozo de sodio metálico en una ampolla de vidrio conectada a una bomba de vacío. E l sodio se destila de una a otra parte de la ampolla calentando con un mechero Bunsen, con lo que se libera la gran cantidad de hidrógeno que siempre contiene este metal. Una vez alcanzado un vacío elevado, se cierra la ampolla y se enfoca sobre ella, medíante una lente, la luz del arco. La ampolla ha de ser observada lateralmente en una habitación oscura. Calentando, suavemente el sodio con la llama, se verá un cono de luz amarilla que hace patente la trayectoria de la luz incidente. A temperaturas más altas, el cono brillante se

F I G . 22-3.—Aparato para observar la fluorescencia del vapor de yodo excitado por luz monocromática.

acorta, y finalmente aparece como una tenue película brillante sobre la superficie interior del vidrio.

L a fluorescencia de un gas se observa más fácilmente con el vapor de yodo, el cual consta de moléculas diatómicas, I 2. L a luz blanca de un arco de carbón producirá un cono de luz verdoso al enfocarla sobre una ampolla que contiene vapor de yodo a muy baja presión y a la temperatura ambiente. Usando luz monocromática de un arco de mercurio, puede realizarse un experimento aún más interesante, esquematizado en la figura 22-3. E l manantial luminoso es un largo arco horizontal A, contenido en una caja con una abertura paralela al arco practicada en la parte superior. Inmediatamente encima se halla un tubo de vidrio B lleno de agua. Este tubo actúa como una lente cilindrica que concentra la luz a lo largo del eje del tubo C, que contiene el vapor -de yodo en vacío. La luz fluorescente emitida por el vapor se ob-

SEC. 22-7] REFLEXION SELECTIVA. RAYOS RESIDUALES 491

serva a través de un espectroscopio apuntado a la ventana plana del extremo del tubo C. E l otro extremo está rematado en punta y pintadq de negro para evitar que l a luz reflejada .incida en el espectroscopio, a lo que ayuda un diafragma^ -con una abertura circular, situado cerca de la ventana; U n reflector esmerilado R situado sobre C aumenta la intensidad de iluminación. Si B contiene una. disolución de dicromato potásico y sulfato de neodimio, solo se "transmitirá la raya verde del mercurio, X5461. Lia figura 22-4 (b) y (c) reproduce dos espectrogramas tomados de este modo, aunque solo con agua en el tubo B. Aparte de las rayas del espectro ordinario del mercurio, marcadas con puntos en la figura, y presentes como resultado de la reflexión ordinaria o difusión de Rayleigh (Sec. 22-10), se observa una serie de rayas casi equidistantes que se extienden hacia el rojo a partir de la raya verde. Corresponden a la luz fluorescente de longitud de onda modificada.

22-6. Fluorescencia de sólidos y líquidos.—Si se ilumina intensamente un sólido o un líquido con una luz que sen capaz de absorber, puede- reexpedir luz fluorescente. De acuer o con la ley de Stokes, la longitud de onda de la luz fluorescente s siempre mayor que la de la luz absorbida. Una solución de fl oresceína en agua absorberá la porción azul de la luz blanca y i-uorescerá con luz de un matiz verdoso! Por tanto, un haz de luz blanca que atraviese esta solución se hace visible por emisión de luz verde cuando se observa lateralmente, pero es rojiza si se mira de frente. L a luz reexpedida por ciertos sólidos persiste durante varios segundos, y aun minutos, después de suprimida la luz incidente. Este fenómeno se llama fosforescencia.

Iluminando diversos objetos con luz ultravioleta procedente de un arco de mercurio pueden observarse fenómenos de fluorescencia muy llamativos. Se ha obtenido un vidrio especial de óxido de níquel casi enteramente opaco para la luz visible, pero que transmite muy bien el intenso grupo de rayas del mercurio próximas a A.3650. Si solo atraviesa el vidrio la luz del arco, pueden hacerse visibles muchas sustancias tanto orgánicas como inorgánicas casi exclusivamente por su luz fluorescente. Iluminando los dientes con luz ultravioleta aparecen desacostumbradamente brillantes, mientras que los dientes artificiales aparecen perfectamente negros.

22-7. Reflexión selectiva. Rayos residuales.—Se dice que una sustancia presenta' reflexión selectiva cuando ciertas longitudes de onda son reflejadas mucho más fuertemente que otras. Esto ocurre de ordinario en aquellas longitudes de onda para las que el medio posee absorción muy intensa. Nos referimos ahora a los dieléctricos. E l caso de los metales es algo diferente y será estudiado en el .capítulo X X V . R. W. Wood realizó una interesante

492 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

fluorescencia

X2536 efecto Raman

j j j ^ ^ p n i B H H n p H I III ! I I II J 111. TTTTMI

(d)

le)

(f) X4047 X4358 X5461

FIG. 22-4.—-Fotografías de: {a) espectro del arco de mercurio; (6) espectro de fluorescencia del yodo; (c) detalle ampliado de (6); (d) espectro Raman del hidrógeno (según Rassetti); (e) espectro Raman del C14C líquido (según M. Jeppeson);

(/) arco de mercurio.

observación en el vapor de mercurio que pone de manifiesto la estrecha relación existente entre reflexión selectiva, absorción y radiación de resonancia. Iluminando vapor de mercurio a una presión de una pequeña fracción de milímetro con luz de X2536, procedente de un arco de mercurio, aparece el fenómeno de radiación de resonancia. Aumentando la presión del vapor, la radiación de resonancia se concentra cada vez más hacia la superficie del vapor por donde entra la radiación incidente, es decir, en la pared interior del recipiente. Finalmente, cuando la presión es suficientemente elevada, la radiación secundaria deja de ser vU sible, excepto si se observa bajo el ángulo correspondiente a la ley de la reflexión. Para este ángulo el 25 % de la luz incidente es reflejado del modo ordinario, mientras que el resto es absorbido y convertido en calor por|choques atómicos. Sin embargo, esta elevada reflexión, comparable a la de los metales en esta región, existe solo para X2536. Las otras longitudes de onda se transmiten libremente. Evidentemente, en este experimento nos encontramos con una transición continua de la radiación de resonancia a la reflexión selectiva.

Algunos sólidos con bandas de absorción intensa en la región visible presentan también reflexión selectiva. E l colorante llamado

SEC. 22-8] RELACION ENTRE ABSORCION Y REFLEXION 493

fucsina constituye un ejemplo. Tales sustancias tienen una apariencia metálica peculiar para la luz reflejada y son intensamente coloreadas. Su color se debe a la elevada reflexión de una cierta banda de longitudes de onda, tan alta que a veces se la llama reflexión metálica. Este tipo de reflexión es la causa del color superficial (Sec. 22-1).

L a aplicación más importante de la reflexión selectiva ha sido su empleo para localizar las bandas de absorción del infrarrojo lejano. Así, p. ej., el cuarzo refleja del 80 al 90 % de la radiación que tiene una longitud de onda de unos 85000 Á. E l método de los rayos residuales para aislar una estrecha banda de longitudes

FIG. 22-5.—Dispositivo experimental para observarlos rayos residuales por reflexión selectiva.

de onda se basa en este hecho 3. E n la figura 22-5, S es un manantial térmico de radiación, que da un espectro continuo. Después de reflejarse en las cuatro láminas de cuarzo Qx a Qt, se analiza la radiación por medio de una red de hilos metálicos G y una termopila T, encontrándose que se compone casi exclusivamente de longitudes de onda de 85000 Á. Supongamos que cada superficie de cuarzo refleja el 90 % de esta longitud de onda y solo el 4 % de las demás. Después de la cuarta reflexión tendremos (0,9)4 = 0,66 de la primera, y solo (0,04)4 = 0,0000026 de las últimas. De este modo se han medido las longitudes de onda de los rayos residuales de muchas sustancias. Entre las más largas medidas están las de los cloruros de sodio, potasio y rubidio, de 520 000, 630000 y 740000 Á, respectivamente.

22-8. Teoría de la relación entre absorción y reflexión.—En la sección 21-11 mencionamos brevemente el mecanismo postu-

3 Para un estudio más detenido, véase R . W . WOOD: Physical Optics, 3.A ed., págs. 516-19, The Macmillan Co., Nueva York, 1934.

494 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

lado en la teoría electromagnética para explicar la radiación de resonancia. Se supuso que las ondas luminosas inciden sobre materia que contiene cargas ligadas capaces de vibrar con una frecuencia natural igual a la de la onda fijada. Así, una carga e es sometida por el campo eléctrico E a una fuerza eE, y si E varía con una frecuencia exactamente igual a aquella con la cual la partícula cargada vibraría normalmente, puede producirse una gran amplitud. Como resultado, la partícula cargada radiará una onda electromagnética de la misma frecuencia. E n un gas a baja presión, en el cual los átomos están bastante alejados, la frecuencia que puede absorberse está muy bien definida,, no existiendo ninguna relación sistemática entre las fases de la luz emitida por las diferentes partículas. Por tanto, la intensidad debida a las N partículas será precisamente N veces la debida a una sola (Sec. 12-4). Este es el caso de la radiación de resonancia.

Si, por el contrario, las partículas están muy próximas e in-teractúan fuertemente entre sí, como en un líquido o sólido, la absorción no quedará limitada a una frecuencia rígidamente definida, sino que se extenderá a un intervalo considerable. E l resultado es que coincidirán las fases de las ondas emitidas por partículas próximas. Ello originará una reflexión regular, ya que las diversas ondas secundarias procedentes de los átomos de la superficie cooperarán para producir un frente de onda reflejado que se propagará en la dirección correspondiente a un ángulo igual al de incidencia. De hecho, esta es precisamente la idea utilizada al aplicar el principio de Huygens para demostrar la ley de la reflexión. Por tanto, la reflexión selectiva es también un fenómeno de resonancia, y se produce preferentemente en la proximidad de aquellas longitudes de onda que corresponden a las frecuencias naturales de las cargas ligadas de la sustancia. La sustancia no transmitirá luz de estas longitudes de onda; en su lugar, la reflejará intensamente. Verdadera absorción, o sea conversión de energía luminosa en calorífica, se producirá también en mayor o menor grado debido a las grandes amplitudes de las cargas vibrantes que ello implica. Si no hubiese en absoluto absorción, el poder reflectante sería 100 % para las longitudes de onda en cuestión.

22-9. Difusión debida a pequeñas partículas.—En la sección 22-2 se mencionó la difusión lateral de un haz luminoso al atravesar una nube de finas partículas en suspensión. Considerando la figura 22-6, puede verse que este fenómeno está estrechamente relacionado con la reflexión y la difracción. En (a) se representa un haz paralelo formado por ondas planas que avanza hacia la derecha e incide sobre una pequeña superficie reflectante plana. Los sucesivos frentes de onda que se han trazado distan entre

SEC. 22-9] DIFUSION DEBIDA A PEQUEÑAS PARTICULAS 495

(a) . ¡. (6) FIG. 22-6.—Reflexión y difracción dé la luz por pequeños objetos de tamaño

comparable con: la longitud de onda.

sí una longitud de onda, por lo que en este caso el tamaño del reflector es algo mayor que una longitud de onda. L a luz procedente de la superficie del reflector se produce por la vibración de las cargas eléctricas superficiales con una relación de fase definida, y las ondas esféricas secundarias originadas por estas vibraciones cooperan para producir pequeños trozos de frentes de onda planos. "Estos no están perfectamente limitados en sus extremos por los rayos reflejados en los bordes del espejo (líneas de puntos), sino que se despliegan algo debido a la difracción. De hecho, la distribución de la intensidad de la luz reflejada con el ángulo es precisamente la deducida en la sección 15-2 para la luz transmitida por una sola rendija. E l papel de la anchura de la rendija corresponde en este caso a la anchura del reflector, de' modo que cuanto menor sea esta respecto a la longitud de onda, mayor será el despliegue.

E n la parte (b) de la figura, el reflector es mucho menor que una longitud de onda, por lo que el despliegue es tan grande que las ondas reflejadas difieren muy poco de ondas esféricas uniformes, E n este caso se dice que la luz procedente del haz primario se ha difundido, más bien que reflejado, ya que la ley de la reflexión ha dejado de ser aplicable. L a difusión es, por tanto, un caso especial de difracción. L a onda difundida desde un objeto de dimensiones mucho menores que una longitud de onda será esférica, independientemente de que el objeto tenga o no la forma plana representada en la figura 22-6 (b). Esto se deduce del hecho de que las ondas secundarias emitidas por los diversos puntos

496 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

de la superficie de la partícula difusora no pueden interferir, dado «que los puntos extremos están separados por una distancia mucho anenor que la longitud de onda.

E n 1871 Rayleigh 4 realizó el primer estudio cuantitativo -de las leyes de la difusión por pequeñas partículas, por lo que suele denominarse difusión de Rayleigh* E l estudio matemático del problema condujo a una ley general sobre la intensidad de la luz •difundida, aplicable a partículas cualesquiera de índice de refracción diferente al del medio que las rodea. L a única restricción impuesta es que las dimensiones lineales de las partículas sean 'Considerablemente menores que la longitud de onda. Como era .de esperar, la intensidad difundida es proporcional a la. incidente y al cuadrado del volumen de la partícula difusora. Sin embargo, el resultado más interesante es la dependencia de la difusión de l a longitud de onda. Para partículas de dimensiones dadas, es •de esperar que las ondas largas sean menos eficazmente difundidas que las cortas, debido a que las partículas presentan obs-

1200;

1000

800

Ta 600

400

200

ol 3000

Ve Arn An R IR

4000 5000

A—** 6000 •7000

F I G . 22-7.—Intensidad de la difusión en función de la longitud de onda, según la ley de Rayleigh.

1 Varios interesantes trabajos sobre los fundamentos de la teoría se encuen--tran en The Scientific Papers of Lord Rayleigh, vols. I y IV, Cambridge University Press, Nueva York, 1912. ¡ •

SEC. 22-10] DIFUSION M O L E C U L A R 497

táculos a las ondas que, comparados con la longitud de onda, son menores para las ondas largas que para las cortas. De hecho, como se demostrará en la sección 22-13, la intensidad es proporcional a 1/A4. Gomo la luz roja, X7200, tiene una longitud de onda 1,8 veces mayor que la violeta, X4000, la ley predice una difusión (1,8)* (o sea, 10) veces mayor para la luz violeta, siendo las partículas difusoras mucho menores que cualquiera de las dos longitudes de onda. En la figura 22-7 se ha representado gráficamente esta relación.

Si la luz blanca es difundida por partículas suficientemente pequeñas, tales como las del humo del tabaco, la luz difundida tendrá siempre un color azulado. Aumentando el tamaño de las partículas hasta que dejen de ser pequeñas en relación con la longitud de onda, la luz se hace blanca como resultado de la reflexión difusa ordinaria en la superficie de las partículas. E l color azul que dan las partículas pequeñas, y su dependencia del tamaño

k de estas, fue estudiado experimentalmente por Tyndall 5 , cuyo nombre suele ir asociado al fenómeno. E l polvo de tiza que cae de un borrador, atravesando el haz procedente de un arco de carbón, ilustra muy eficazmente el caso de luz blanca difundida por grandes partículas.

22-10. Difusión molecular. Color azul del cielo.—Haciendo pasar un haz intenso de luz solar a través de un líquido puro cuidadosamente preparado para que esté tan libre como sea posible de partículas de polvo en suspensión, etc., y observándolo en una habitación oscura, se encontrará que una pequeña cantidad de luz azulada es difundida lateralmente. Aunque parte de esta luz se debe aún a partículas microscópicas en suspensión, que parece ser casi imposible eliminar totalmente, otra parte ha de atribuirse a la difusión por las moléculas del líquido. A primera vista es sorprendente encontrar que la difusión en los líquidos sea tan débil, dada la gran concentración de moléculas presentes. De hecho, es mucho más débil que la difusión por igual número de moléculas de un gas. En este último, las moléculas están distribuidas al azar en el espacio, y en cualquier dirección excepto en la de propagación las ondas difundidas por las diferentes moléculas tienen fases perfectamente arbitrarias. Por tanto, para N moléculas la intensidad resultante es justamente N veces la difundida por una sola molécula (véase Sec. 12-4). E n un líquido, y aún más en un sólido, la distribución espacial tiene un cierto grado de regularidad. Además, las fuerzas intermoleculares actúan destruyendo la independencia de fases (Sec. 22-8). E l resultado es

5 John Tyndall (1820-1893), «filósofo natural» británico, superintendente desde 1867 de la Royal Institution y colega de Faraday. Se hizo famoso por su habilidad para divulgar y aclarar los descubrimientos físicos. JENKINS-WHITE.—32

498 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

que la difusión en los sólidos y líquidos en direcciones diferentes a la de propagación es realmente muy débil. Las ondas difundidas en la dirección de propagación son intensas, y desempeñan un importante papel en la determinación de la velocidad de la luz en el medio, como veremos en el capítulo siguiente.

La difusión lateral en los gases es también débil, pero en este caso se debe al número relativamente pequeño de centros difusores. Cuando se dispone, sin embargo, de un gran espesor de gas, como en nuestra atmósfera, es fácil observar la luz difundida. Rayleigh demostró que,, prácticamente, toda la luz que vemos en un cielo despejado se debe a la difusión por las moléculas del aire. Si no existiese la atmósfera veríamos el cielo totalmente negro. E n realidad, la difusión molecular hace que llegue al observador una cantidad considerable de luz en direcciones que forman ángulo con la de la luz solar directa, por lo que el cielo nos aparece brillante. Su color azul se debe a la mayor difusión de las ondas cortas. Rayleigh midió la cantidad relativa de luz de diferentes longitudes de onda en la luz del cielo, comprobando que estaba en buen acuerdo con la ley 1/A4. E l mismo fenómeno origina el color rojo del Sol y del cielo circundante en el crepúsculo. E n este caso la difusión elimina la luz azul del haz directo con más efectividad que la roja, y el gran espesor de atmósfera atravesado da a la luz transmitida un intenso matiz rojo. E n la sección 24-15 describiremos un experimento que demuestra a la vez el color azul del cielo y el color rojo del Sol en el crepúsculo.

22-11. Efecto Raman 6 ,—Es una difusión con cambio de longitud de onda, análoga a la fluorescencia, pero que difiere de esta en dos aspectos. E n primer lugar, la luz que incide sobre la sustancia difusora ha de tener una longitud de onda que no corresponda a ninguna de sus rayas o bandas de absorción. De no ser así se produciría fluorescencia, como en el experimento de la sección 22-5, donde la raya verde del mercurio es absorbida por el vapor de yodo. E n segundo lugar, la intensidad de la luz difundida en el efecto Raman es mucho menos intensa que la mayoría de la luz fluorescente. Por esta razón, el efecto Raman es bastante difícil de descubrir, y las observaciones han de realizarse "normalmente con auxilio de la fotografía.

E l aparato ilustrado en la figura 22-3 se adapta bien para la observación de este efecto7. Para ello el tubo C se llena de un

8 C. V. Raman (nacido en 1888), profesor de la Universidad de Calcuta. En 1930 fue galardonado con el premio Nobel por sus investigaciones sobre la difusión y el descubrimiento del efecto que lleva su nombre.

7 Una descripción de los métodos más eficaces para observar espectros Raman se encuentra en la obra de G. R. HARRISON, R. C. LORD y J. R. LOOFBOUROW Practica! Spectroscopy, L»ed. , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1948.

S E C . 22-12] T E O R I A ; D E X A DIFUSION 499

liquido o gas transparente •!a la luz incidente. Es conveniente llenar el tubo B de una solución saturada de nitrito sódico, que absorbe las rayas ultravioletas del mercurio, pero transmite con gran intensidad la raya azul-violeta X4358. L a figura 22-4 (e) muestra el espectro Raman del C14C. Veremos que este mismo espectro Raman de rayas puede producirse mediante cada una de las rayas intensas del mercurio. L a figura 22-4 (d) reproduce el espectro Raman del hidrógeno gaseoso, con dos, conjuntos de rayas en el lado rojo de la raya excitadora, que es en este caso la X2536. A veces se ven algunas rayas aún más tenues en el lado violeta, dos de las cuales son visibles en (d) y tres en (<?). Ocasionalmente se observa esto mismo en los espectros de fluorescencia. Como la luz modificada de estas rayas tiene una longitud de onda menor que la incidente, representan una violación de la ley de Stokes (Sec. 22-6) y se denominan, rayas anti-Stokes.

22-12. Teoría de la difusión.—Cuando una onda electromagnética pasa sobre una pequeña partícula cargada, ligada elásticamente, esta se pondrá en movimiento debido al campo eléctrico E . E n ¡la sección 22-8 consideramos el caso en que la frecuencia de la onda era igual a la frecuencia natural de las vibraciones libres de la partícula.1 Obtenemos entonces resonancia y fluorescencia en ciertas condiciones, y reflexión selectiva en otras. E n ambos casos existe una considerable absorción. Por el contrario, la difusión tiene lugarj para frecuencias que no coinciden con las frecuencias naturales de las partículas. E l movimiento resultante de estas es entonces una vibración forzada. Si la partícula está ligada por una fuerza que obedece a l a ley de Hooke, esta vibración tendrá la misma frecuencia y dirección que las de la fuerza eléctrica en la onda. Su amplitud, sin embargo, será muy inferior de la que se produciría por resonancia. Por tanto, la amplitud de la onda difundida será mucho menor, lo que explica la relativa debilidad de la difusión molecular. L a fase de la vibración forzada diferirá de la de la onda incidente, a lo cual se debe la diferencia entre las velocidades de la luz en el medio y en el vacío. De este modo la difusión constituye la base de la dispersión, que estudiaremos en el capítulo siguiente.

L a teoría electromagnética puede dar también una explicación cualitativa de las variaciones de longitud de onda que se producen en el efecto Raman y en la fluorescencia. Si el oscilador cargado está ligado por una fuerza que no obedece a la ley de Hooke, sino a otra más complicada, será capaz de volver a radiar no solo la frecuencia impuesta, sino también diversas combinaciones de esta con la frecuencia fundamental y también con los armónicos del oscilador. Sin embargo, para explicar completamente estos fenómenos no basta la teoría electromagnética, pues no

500 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

resulta capaz de interpretar los valores reales de los cambios de frecuencia, ni el hecho de qué estos sean predominantemente hacia las frecuencias más bajas. Para ello se requiere la teoría cuántica.

L a difusión de Rayleigh conduce a una distribución característica de la intensidad en diferentes direcciones con respecto a la del haz primario. Además, la luz difundida está también fuertemente polarizada. E n general, estas características coinciden con las predicciones de la teoría electromagnética. Sin embargo, no las estudiaremos hasta que hayamos considerado la polarización (véase Sec. 24-15). ¡

22-13. Difusión e Índice de refracción.—El hecho de que la velocidad de la luz en la materia difiera de la del vacío es una consecuencia de la difusión. Las moléculas individuales difunden una cierta parte de la luz que incide sobre ellas, y las ondas difundidas resultantes interfieren con la onda primaría, ocasionando un cambio de fase que equivale a una alteración de la velocidad

de onda. E n el capítulo siguiente estudiaremos detalladamente este proceso, pero haremos ahora algunas consideraciones simplificadas para poner de manifiesto la relación entre difusión e índice de refracción.

E n la figura 22-8.se representa un haz de ondas planas que inciden sobre una lámina infinitamente grande de una

, sustancia transparente, cuyo espesor es despreciable frente a¡ la longitud de onda. Supongamos que la amplitud del vector éléctrido en esta1 onda incidente sea la unidad, de modo que en la notación exponencial (Sec. 14-8) viene representado para un instante dado por E = eikx. Si la fracción de onda difundida es pequeña, la perturbación que alcanza a un cierto punto P será esencialmente la onda original más una pequeña contribución debida a la luz difundida por todos los átomos de la laminilla. Para calcular esta última, obsérvese que su intensidad es proporcional al coeficiente a s de la ecuación [22-2]. Este coeficiente mide la disminución relativa de intensidad por difusión al atravesar el pequeño espesor t, al cual debe ser proporcional la intensidad difundida. Tenemos, por tanto,

FIG. 22-8.—Difusión por una lámina delgada.

di . . - -j = ast ~ I, [22-3]

S E C . 22-13] DIFUSION E I N D I C E D E R E F R A C C I O N 501

L a intensidad difundida por un solo átomo, dado que hay Nt átomos por unidad de área de la lámina, será, pues,

y la amplitud,

1 Nt N

Estas relaciones se verificarán si las ondas difundidas por los diversos centros no son coherentes, como ocurre con las partículas de humo mencionadas en la sección 22-2. Sin embargo, el caso presente de difusión de Rayleigh en la dirección de avance ha de considerarse como coherente, de modo que todas las ondas abandonan el difusor en concordancia de fase. Por ello han de sumarse las amplitudes en lugar de las intensidades, siendo la amplitud difundida total

E, ~ Nt

L a amplitud resultante en P se obtiene integrando la expresión anterior sobre la superficie de la lámina y sumándole la amplitud de la onda primaria. Se llega entonces a la expresión:

E + Es = eikR° + t \/n.N I t^JlpihR y/**N í Jo R

E l factor 1/R interviene debido a la ley del recíproco del cuadrado. Pero como R2 = R0

Z + r%, será r dr = R dR, y la integral puede escribirse:

I Jl eikRr dr = 2n \ eikR dR = Jo R JE,

W1! r > » ' * * - p

Dado que los trenes de onda tienen siempre una. longitud finita, la difusión cuando R -> co no contribuye en nada a la onda coherente. Sustituyendo el límite inferior de la integral, hallamos:

E A-Es= eikR> — t A / O Í V ^ eikR* Í

= eikR« - f t -\/aZÑ i\eikR« = eihR>(l 4- iXt y/tuÑ)

Según nuestra hipótesis inicial, el segundo término del paréntesis es pequeño frente al primero; el paréntesis completo incluye

502 ABSORCION Y DIFUSION [CAP. 22

los dos primeros términos del desarrollo de la exponencial é^"^, y puede sustituirse por esta última, con lo que se obtiene:

Por tanto, la fase de la onda en P se ha modificado en la cantidad Xt s/^Ñ- Pero sabemos (Sec. 13-15) que la presencia de una lámina de espesor t e índice de refracción n ocasiona un retardo de fase de (2TC/A)(# — l)t. Por tanto,

Xt = {n — l ) í A 2

y, finalmente, n — 1 = — -y/asN [22-4]

Esta importante relación expresa la ley de Rayleigh de la difusión (Sec. 22-9). Como, por la ecuación [22-3], I, es proporcional a otj, la intensidad difundida varía como 1/A4, suponiendo que n sea independiente de la longitud de onda. E n esta deducción no hemos considerado la absorción, por lo que la ecuación solo es válida para aquellas longitudes de onda suficientemente alejadas de las bandas de absorción. E n el próximo capítulo veremos cómo se comporta el índice de refracción cuando la longitud de onda se aproxima a la de una banda.de absorción.

P R O B L E M A S

22-1. Los coeficientes de absorción y difusión cu y a s de un cierto medio son, respectivamente, 0,070 y 0,023 m—1. ¿Qué fracción de la luz incidente es transmitida por 50 m del medio y qué fracción aparece como luz difundida?

22-2. Un tubo de 30 cm de longitud lleno de humo transmite el 60 % de la luz incidente. Después de precipitar las partículas de humo transmite el 92 %. Calcúlense los valores de los coeficientes de absorción y difusión.

Sol.: 0,0028 cm- 1 ; 0,0142 cm- 1.

22-3. La vida media de un átomo de sodio en el estado excitado *P, desde el cual emite las rayas de resonancia del sodio, es 1,6 x 10—8 seg. Cuando se añade nitrógeno al vapor de sodio a baja presión, la radiación de resonancia es extinguida por choques. Si el diámetro de choque efectivo de un átomo de sodio con una molécula de nitrógeno es 7,0 X 10—8 cm, ¿a qué presión se igualan el tiempo entre dos choques y el tiempo de vida medía anterior?

22-4. De acuerdo con los datos que figuran en este capítulo, ¿se transmitirán los rayos residuales procedentes del cloruro potásico a través de la sal de roca? Sol.: No.

22-5. Calcúlese la razón de las intensidades de la difusión de Rayleigh para las dos rayas del mercurio X2536 y A5461.

i PROBLEMAS 503

22-6. Los fotógrafos saben, que un filtro amarillo suprime el matiz azulado de la luz difundida y da mejor contraste en un paisaje. Suponiendo la composición espectral representada en la figura 22-7, ¿qué fracción de la luz difundida es eliminada por un filtro que absorbe todas las longitudes de onda inferiores a 4500 A? La transmisión del objetivo y la sensibilidad de la película limitan el intervalo espectral normal de la cámara fotográfica de 3900 a 6000 A. ; Sol.: Alrededor del 49>%.

22-7. Calcúlense las dimensiones laterales de los dos objetos representados en la figura 22-6 suponiendo que el valor de A de las ondas corresponde a la raya verde del mercurio.

22-8. Después de cinco reflexiones en un cierto cristal, los rayos residuales son 7 x 104 veces más intensos que los correspondientes a las longitudes dfe onda contiguas. Suponiendo que la reflectancia para estas últimas es el 3,5 %, ¿cuál ha de ser su valor en el centro de la banda de absorción? : • | Sol.: 32,6%.

22-9. E l material corriente para viseras verdes de protección visuas parece rojo cuando se dobla de modo que se haga la observación a travé-de un espesor doble del normal. Este efecto, denominado ¿Heroísmo, es del bido a la presencia de dos bandas de absorción con diferentes coeficientes de absorción. ¿Dónde se encontrarían estas bandas de absorción y cuál habrá de ser el coeficiente mayor?

22-10. L a ecuación 22-4 se escribe frecuentemente en función de la sección transversal de difusión a = «.¡¡N, que representa el área de un solo átomo o molécula que es eficaz para difundir luz. Tomando como índice de refracción nD para el dióxido de carbono, en condiciones normales, el valor 1,00045, calcúlese el valor de a para el COj.

Sol.: 9,18 x 10-" cma. 22-11. De acuerdo con la ecuación [22-4], ¿cómo dependerá la inten

sidad de la luz difundida por un gas de su presión, a temperatura constante? Utilícese la ley de Lorentz-Lorenz (Sec. 13-15) para la variación de n con la densidad.

22-12. L a forma más sencilla de la teoría de la dispersión, que postula la existencia en cada átomo de una sola carga oscilante e de masa ra y frecuencia natural v„, conduce a

_ _ l — N e*l™ . * 2 T C V 0 1 — V

Admitiendo la ley de difusión de Rayleigh, hállese el coeficiente de difusión as para A5000 correspondiente a un gas en condiciones normales si la longitud de onda para su frecuencia natural es 1500 A.

Sol.: 2,09 x 10-8 c m - 1 . 22-13. Según la teoría electromagnética, la magnitud teóricamente

importante que mide la energía difundida en todas las direcciones por unidad de densidad de energía del haz incidente es 87ra s/3. Calcúlese este «coeficiente de difusión» para el helio a 100 atm, dado que n — 1 es 3,6 x 10-» y X = 5892 A.

CAPITULO X X I I I

D I S P E R S I O N

L a dispersión depende de la velocidad de la luz en los medios materiales y de su variación con la longitud de onda. Dado que la velocidad es cjn, cualquier cambio del índice de refracción n entraña una variación correspondiente de la velocidad. E n la sección 1-7 vimos que la dispersión cromática producida por refracción en la superficie límite entre dos sustancias diferentes evidencia que n depende de la longitud de onda. De hecho, la medida de las desviaciones de varias rayas espectrales por un prisma proporciona el método más preciso para determinar el índice de refracción y, por tanto, la velocidad, en función de la longitud de onda. i

23-1. Dispersión en un prisma.—Cuando un rayo atraviesa un prisma, como indica la figura 23-1, podemos medir con un

espectrómetro los ángulos de emergencia 6 de las diversas longitudes de onda. A l cociente dB/dX se le llama dispersión angular del prisma. Es cómodo expresarla como producto de dos factores, escribiendo

FIG. 23-1.-—Refracción por un prisma en la posición de desviación mínima. !

¿6' dX — dB dn „, ^=TnTx [23"1]

Para el cálculo del primer factor es necesario solo utilizar consideraciones geométricas, mientras que el segundo expresa una propiedad característica de la sustancia que forma el prisma, y suele denominarse su dispersión. Antes de considerar esta última magnitud, calculemos el factor geométrico dBjdn para un prisma en el caso especial de desviación mínima.

Para un ángulo de incidencia dado sobre la segunda cara del prisma, podemos diferenciar la ley de Snell n — sen 0 /sen <f>, considerando sen </> constante. Se obtiene así:

dB _ sen <f> dn eos 0

Sin embargo, este no es el valorj que ha de utilizarse en la ecua-i 504

S E C . 23-2] DISPERSION N O R M A L 505

ción [23-1], en la que se requiere la derivada de 0 para una dirección dada de los rayos que inciden en la primera cara. Debido a la simetría en caso de desviación mínima, es evidente que en ambas caras se producen desviaciones iguales, por lo que la derivada, total será precisamente el doble del valor anterior. Tenemos entonces

d6 _ 2 sen <f> _ 2 sen (a/2) dn cos 8 cos 6

donde a es el ángulo refringente del prisma. Este resultado es aún más sencillo cuando se expresa en función de longitudes en vez de ángulos. Designando por s, B y b los segmentos de la figura 23-1, se puede escribir:

¿8 dn

2s sen (a/2) s cos 0

B 1

[23-2]

Por tanto, el factor geométrico buscado es precisamente la razón, de la base del prisma a la apertura lineal del haz emergente, magnitud que no difiere mucho de la unidad. L a dispersión angular será, pues, •

d^_B_dn . di b d\ [ •

E n relación con esta ecuación, haremos notar que la ecuación del poder de resolución cromático (Ec. [15-8]) se deduce muy fácilmente de ella sin más que sustituir dQ por \¡b.

TABLA 23-1

Indices de refracción y dispersiones de varios tipos de vidrios ópticos (unidad de dispersión, 1/A)

Longitud de onda,

1, én Á

Crown de anteojo Crown de borosilicato Flint de bario Cuarzo vitreo Longitud de onda,

1, én Á n -

dn ~~d\

n dn

~~dJ n dn

~d\ 11 íin ~dl

C 6563 6439

D 5390 5338 5086

F 4861 G'4340 H 3988

1,52441 1,52490 1,52704 1,52989 1,53146 1,53303 1,53790 1,54245

0,35 X 10—s

0,36 X 10—' 0,43 X 10—' 0,58 X 10—' 0,66 X 1 0 - ' 0,7S X 10— :

1,12 X 10—' 1,39 X 10—'

1,50883 1,50917 1,51124 1,51386 1,51534 1,51690 1,52136 1,52546

0,31 X 10—' 0,32 x 10—' 0,41 x 10—' 0,55 x 1 0 - ' 0,63 X 10-* 0,72 x 10—» 1,00 X 10—' 1,26 X 10—»

1,58848 1,58896 1,59144 1,59463 1,59644 1,59825 1,60367 1,60870

0,38 x 10—» 0,39 x 10—» 0,50 x 10—' 0,68 x 10—' 0,78 x 10—» 0,89 x 10—» 1,23 X 10—' 1,72 X 10—'

1,45640 1,45674 1,45845 1,46067 1,46191 1,46318 1,46690 1,47030

0,27 X 10—'-0,28 x 10—» 0,35 X 10—' 0,45 X 10—» 0,52 X 10—' 0,60 X 10—» 0,84 X 10—' 1,12 X 10—»

23-2. Dispersión normal.—Para estudiar el segundo factor de la ecuación [23-1] comenzaremos repasando algunos de los hechos ya conocidos sobre la variación de n con A. E n la tabla 23-1

506 DISPERSION [CAP . 23

/ongréad de crida —• \—*-

JFIG. 23-2.—Curvas de dispersión de diferentes sustancias utilizadas frecuentemente en lentes y prismas.

se recogen los resultados de las medidas efectuadas con algunas clases típicas de vidrio. Representando una serie de valores de n en función de la longitud de onda, se obtiene una curva como la de la figura 23-2. Las curvas obtenidas para prismas de diversos materiales ópticos difieren en los detalles, pero tienen la misma forma general. Estas curvas son representativas de la llamada dispersión normal, y en ellas se observan los hechos siguientes:

1. El índice de refracción aumenta al disminuir la longitud de onda.

2. La pendiente es mayor en las longitudes de onda más cortas. 3. Para diferentes sustancias, la curva, para una longitud de

onda dada, suele tener más pendiente cuanto mayor es el índice.

4. En general, la curva correspondiente a una sustancia no puede obtenerse a partir de la de otra sin más que cambiar la escala de ordenadas.

S E C . 23-2] DISPERSION N O R M A L 507

E l primero de estos hechos concuerda con la observación común de que en la refracción por una sustancia transparente el violeta es!más desviado que el rojo. E l segundo hecho puede expresarse también diciendo ¿me la dispersión aumenta al disminuir la longitud de onda. Esto se deduce de que la dispersión, dn/d"k, es la pendiente de la curva (suele prescindirse del signo.negativo), que aumenta regularmente a medida que X disminuye. Una consecuencia importante de este comportamiento de la dispersión

(o)

(6)

(c)

i 4 000

vidrio flint

5000 6000 7000Á

4000 5 000 7000 !

4000 5000

vidrio crown

vidrio crown

(aumentad}) 6000 7000

espectro normal (de red)

1—J I I T i " I I — I I I I I 1 I | I i i — i — | I I I ' |

4 000 5000 6000 7000 — longitud de ond)—*-

F I G . 23-3.—Comparación de los espectros del helio producidos por prismas crown y flint con un espectro normal.

es que en el espectro formado por un prisma el extremo violeta está mucho más extendido que el rojo. Este espectro difiere, pues, notablemente de un espectro normal (Sec. 17-6). E n la figura 23-3 aparece claramente este hecho; en ella están representados esquemáticamente los espectros del helio producidos por prismas flint y crown y por una red en las condiciones adecuadas para que dé un espectro normal. E n los espectros de prisma, la escala de longitudes de onda se halla comprimida hacia el rojo, como puede apreciarse comparándola con la escala uniforme del espectro normal.

E l tercer hecho citado anteriormente requiere que cuanto mayor es el índice de refracción de una sustancia, mayor sea su dispersión dnfdX. Así, comparando (o) y (b) en la figura 23-3, se ve que el flint tiene el índice de refracción más alto, y da un

508 DISPERSION [CAP. 23

espectro más largo debido a su mayor dispersión. Para comparar el espaciamiento relativo de las rayas de (b) y (a) seiha alargado en (c) el espectro del crown, a fin de que la distancia; entre las'rayas A3888 y A6678 sea la misma. De este modo se ve que no hay coincidencia completa con las rayas de (a). De hecho, los espectros obtenidos con prismas de diferentes sustancias no coincidirán nunca exactamente en el espaciamiento relativo; de sus rayas. Esto es una consecuencia del cuarto de los hechos anteriores, de acuerdo con el cual la forma de la curva de dispersión es diferente para cada sustancia. La curva correspondiente al flint de la figura 23-2 tiene una mayor pendiente en el extremo violeta, con relación a la del rojo, que la curva del crown. E n consecuencia, se dice que la dispersión de las diferentes sustancias es irracional, pues no existe ninguna relación sencilla entre las diferentes curvas.

Todas las sustancias transparentes no coloreadas tienen dispersión normal en la región visible. E l valor del índice de refracción puede ser muy diferente para cada sustancia, pero su variación con la longitud de onda tiene siempre las características mencionadas. E n general, cuanto mayor es la, densidad de la sustancia, tanto mayor es su índice de refracción y su dispersión. Así, p. ej., la densidad del flint es 2,8, considerablemente mayor que la del crown, 2,4. E l índice de refracción y la dispersión del agua son aún menores, y para una sustancia muy ligera como es el aire, n es prácticamente la i unidad y dn/dX casi cero. E n el aire n = 1,000276 para la luz roja (raya C de Fraunhofer), aumentando solamente a 1,000279 para la luz azul (raya F). Esta regla, que relaciona la densidad con el índice de refracción, es solo cualitativa, y se conocen muchas excepciones. Así, p. ej., el éter tiene un índice de refracción mayor que el agua (1,36 frente a 1,33), aunque es menos denso, I como se comprueba por el hecho de flotar en el agua/Análogamente, la correlación entre gran índice y elevada dispersión es solo aproximada, habiendo excepciones a la tercera regla enunciada anteriormente. E l diamante tiene una densidad de 3,52 y uno de los índices de refracción mayores que se conocen, que varía entre 2,4100 para la raya C y 2,4354 para la raya F. L a diferencia entre estos valores, que da una medida de la dispersión, es solo 0,0254, mientras que en un vidrio flint denso la misma magnitud puede llegar a ser 0,05.

23-3. Ecuación de Cauchy.—En 1836 Cauchy logró expresar analíticamente, por primera vez, la curva de la dispersión normaL Su ecuación puede escribirse así:

S E C . 23-3] E C U A C I O N D E C A U C H Y 509

región visible

banda de absorción

FIG. 23-4.—Dispersión anómala de una sustancia transparente como el cuarzo en el infrarrojo.

donde A, B y C son constantes características de cada sustancia. Esta ecuación representa con considerable precisión las curvas en la región visible, tales como las dibujadas en la figura 23-4. Para hallar los valores de las tres constantes es necesario conocer valores de n • para tres longitudes de onda diferentes. Resolviendo el sistema' de ecuaciones que así se forma, se obtienen los valores de A, B y C. Para algunos fines basta con tomar los dos primeros términos, y las dos constantes se hallan conociendo los valores de n para solo dos longitudes de onda. Entonces la ecuación de Cauchy con dos constantes es

n =A + B 7?

[23-4]

de donde se deduce la dispersión sin más que derivar respecto a X

' dn _ _ 2 5 d\~~"W [23-5]

Esto demuestra que la dispersión varía aproximadamente en razón inversa del cubo de la longitud de onda. Para 4000 Á será unas ocho veces mayor que para 8000 Á. E l signo menos corresponde a la pendiente, de ordinario negativa, de la curva de dispersión.

Se demostró más tarde que el razonamiento teórico en que Cauchy basó su ecuación es falso, por. lo que ha de considerarse como una ecuación empírica. No obstante, se verifica satisfac-

510 DISPERSION [CAP . 23

toriamente en los casos de dispersión normal y es muy útil desde el punto de vista práctico. Se demostrará después que es un caso especial de una ecuación más completa, que tiene un sólido fundamento teórico.

23-4. Dispersión anómala.—Extendiendo las medidas del índice de refracción de una sustancia transparente, tal como el cuarzo, al infrarrojo, la curva de dispersión comienza a apartarse notablemente de la que corresponde a la ecuación de Cauchy. Esta desviación es siempre del tipo representado en la figura 23-4, donde, a partir del punto R, el índice de refracción disminuye más rápidamente de lo requerido por la ecuación de Cauchy, que representa los valores de n para la luz visible (entre P y Q) con mucha aproximación. Esta ecuación predice una disminución muy gradual de n para valores elevados de A (curva punteda), aproximándose al valor límite A cuando A tiende a infinito (Ec. [23-4]). Contrariamente a esto, los valores medidos de n disminuyen cada vez con más rapidez al aproximarse a una región en el infrarrojo, donde la luz deja de ser transmitida por completo. Se trata de una banda de absorción (Sec. 22-3), es decir, una región de absorción selectiva, cuya posición es característica de la sustancia. Dentro de la banda de absorción, n no puede medirse de ordinario, pues la sustancia no transmite radiación de esta longitud de onda. E n el borde de la banda de absorción correspondiente a ondas más largas se halla que el índice de refracción es muy elevado, disminuyendo al principio rápidamente y después con más lentitud según nos alejamos de la banda de absorción. E n el intervalo entre 5 y T, la ecuación de Cauchy vuelve a estar nuevamente de acuerdo con los datos experimentales, pero con diferentes constantes. E n particular, la constante A es mayor.

L a existencia de una gran discontinuidad en la curva de dispersión al cruzar una banda de absorción da origen a la dispersión anómala. L a dispersión es anómala debido a que en la proximidad de dicha banda las longitudes de onda mayores tienen un valor de n más elevado y se refractan más que las cortas. Este fenómeno se descubrió en ciertas sustancias como el colorante fucsina y el vapor de yodo, cuyas bandas de absorción caen en la región vi sible. U n prisma formado por tales sustancias desviaría más los rayos rojos que los violetas, dando un espectro muy diferente al formado por una sustancia de dispersión normal. Cuando se descubrió posteriormente que las sustancias transparentes como el vidrio y el cuarzo tienen regiones de absorción selectiva en el infrarrojo y el ultravioleta, y muestran, por tanto, dispersión anómala en estas regiones, se vio que el término «anómala» era inadecuado. No existe ninguna sustancia que carezca de absorción selectiva para algunas longitudes de onda, y, por tanto, el fenómeno,

S E C . 23-4] DISPERSION ANOMALA 511

lejos de ser anómalo, es perfectamente general. L a llamada dispersión «normal» solo se produce cuando se observan longitudes de onda situadas entre dos bandas de absorción y suficientemente alejadas de ellas. No obstante, se ha conservado el término «dispersión anómala», aunque su significado -es casi exclusivamente histórico. i -* E n 1904, R. W. Wood ideó un experimento muy ingenioso para poner de manifiesto la dispersión anómala del'vapor de sodio en la proximidad de las rayas amarillas D. Cuando pasa luz,blanca a través del vapor de sodio ¡experimenta una intensa absorción selectiva en estas rayas, que forman un apretado doblete de longitudes de onda 5890 y 5896 Á. Para longitudes de onda muy alejadas de estos valores, el índice de refracción es solo ligera-

* agua 'L^\refrigerán¿e

( verde blanca

t u l espectroscopio

FIG. 23-5.—Dispositivo experimental para observar la dispersión anómala del vapor de sodio.

mente superior a la unidad, como era de esperar tratándose de un gas. Con vapor de sodio de densidad apreciable, el índice de refracción en la proximidad de las rayas D pasa por una región de dispersión anómala (en rigor, dos regiones muy próximas entre sí) del tipo representado en la figura 23-4. A l aproximarse a las rayas D desde el lado de las longitudes de onda más cortas, n comienza a disminuir rápidamente, haciéndose mucho menor que la unidad cuando está muy cerca de ellas. Por el otro lado, n es al principio muy alto, tendiendo rápidamente a la unidad al seguir aumentando Á.

Para demostrar esto de un modo directo, Wood utilizó el hecho de que se puede producir el equivalente a un prisma de vapor de sodio vaporizando el metal en un tubo parcialmente vacío calentado por su fondo.

L a figura 23-5 muestra el dispositivo utilizado. A lo largo del fondo de un tubo de acero provisto de salida para hacer el vacío y de dos ventanas de vidrio, en sus extremos, refrigeradas con agua, se depositan varios trozos de sodio metálico. La luz procedente de la rendija horizontal S x se . olima mediante la lente Lv y después de atravesar el tubo forma una imagen horizontal S[ sobre la

512 DISPERSION [CAP . 23

rendija vertical S3 de un espectroscopio ordinario de prisma. Cuando el tubo de sodio está frío, S[ será una imagen nítida y blanca, que ilumina un punto de la rendija del espectroscopio, y se dispersará en un estrecho espectro continuo horizontal en el plano focal de la cámara del espectroscopio. Haciendo en el tubo un vacío de unos 2 cm de presión y calentándolo con mecheros de gas, el sodio se vaporizará lentamente, difundiéndose entre el gas residual del tubo. Se establece así un gradiente de densidad, estando el vapor más denso en el fondo del tubo y el más enrarecido en la' parte superior del mismo. Ello equivale a un prisma de vapor, cuya arista refringente es perpendicular al plano de la figura, y cuyo espesor aumenta hacia abajo. Este prisma formará un espectro anómalo en S3, en el cual las longitudes de onda más cortas

•que el amarillo (es decir, en el lado verde) se desvían hacia arriba, pues su n es menor que 1, y las más largas (en la región •del naranja) se desvían hacia abajo. Como resultado de ello podemos esperar que en el espectrógrafo se observe una desviación del espectro hacia arriba del lado verde de las rayas D, y hacia abajo del lado rojo. (En realidad, estos sentidos son contrarios debido a que el espectroscopio invierte la imagen de la rendija.) L a figura 23-6 muestra tres fotografías del espectro resultante, correspondientes a tres densidades diferentes del vapor de sodio. Como consecuencia de la inversión mencionada, las fotografías reproducen cualitativamente la curva de n en función de A, representada en la figura 23-4. A l llevar a la práctica este experimento han de realizarse varios perfeccionamientos1, siendo el más impor-

FIG. 23-6.—Dispersión anómala del va-por de sodio para tres densidades dife

rentes. (Según Cario.)

1 Se encontrarán más detalles sobre el procedimiento experimental en R. W. WOOD: Physical Optics, 3.A ed., págs. 492-96, Macmillan Co., Nueva York, 1934.

SEC. 23-5] ECUACION D E SEIXMEIER 513

tante introducir un diafragma auxiliar 5 2 para elegir la porción del vapor en que el gradiente de densidad es más uniforme.

23-5. Ecuación de Sellmeier.—Hemos visto que la ecuación de Cauchy no es capaz de representar la curva de dispersión en una región en que exista dispersión anómala. E l primer éxito al deducir una fórmula de aplicación más general se obtuvo postulando un mecanismo mediante el cual el medio podía afectar a la velocidad de la onda luminosa. Se supuso que el medio contiene partículas ligadas por fuerzas elásticas, por lo que son capaces de vibrar con una frecuencia definida v0. Es la llamada frecuencia natural, con la cual vibrarán las partículas en ausencia de cualquier fuerza periódica, y es idéntica a la frecuencia natural mencionada en la sección 22-8 en relación con la absorción y la reflexión selectivas. Se supone entonces que el paso de las ondas luminosas a través del medio ejerce una fuerza periódica sobre las partículas, que las hace vibrar. Si la frecuencia v de la onda luminosa no coincide con vü, se producirán vibraciones forzadas de una amplitud relativamente pequeña y de frecuencia v. Cuando la frecuencia de la luz tiende a v0, la respuesta de las partículas será mayor, originándose por resonancia una gran amplitud cuando v sea igual exactamente a v 0. A su vez, estas vibraciones reaccionarán sobre la onda luminosa y alterarán su velocidad. En 1871 Sellmeier efectuó un estudio matemático de este mecanismo, obteniendo la ecuación

w 2 = 1 + > 7 = V [ 2 3 " 6 ]

Esta ecuación contiene dos constantes, A y X0, la última relacionada cort la frecuencia natural de las partículas por la ecuación v0>0 = c. Por tanto, A(, es la longitud de onda en el vacío que corresponde a v0. Para permitíf la posibilidad de que existan varias frecuencias naturales diferentes, puede escribirse la ecuación como una serie:

i donde /„, \, ... corresponden a las frecuencias naturales posibles. Las constantes Ai son proporcionales al número de osciladores capaces de vibrar con estas frecuencias.

L a figura 23-7 es una gráfica de n en función de A de acuerdo • con la ecuación [23-7], admitiendo dos frecuencias naturales. Cuando A tiende a /0 o A1 ( n tiende a —oo o -f- co por el lado de las longitudes de onda más cortas o más largas, pues el denominador de uno de los términos de la ecuación [23-7] se anula. Otra carac-J E N K I N S - W H I T E . — 3 3

514 DISPERSION [CAP. 23

n

FIG. 23-7.—Curvas teóricas de dispersión dadas por la ecuación de Sellmeier para un medio con dos írecuencias naturales.

terística importante que ha de observarse en la curva es que n tiende a la unidad cuando X tiende a cero, y cpie para X = co, n2

toma el valor 1 4- ^ A¡. i

L a ecuación de Sellmeier representa un gran avance sobre la de Cauchy, y de hecho es idéntica a la deducida a partir de la teoría electromagnética (Sec. 23-10) con ciertas hipótesis simpli-ficadoras. No solo tiene en cuenta la dispersión anómala, sino que da también una representación más precisa de n en regiones alejadas de las bandas de absorción (que una ecuación de Cauchy del mismo número de constantes. Puede verse que la ecuación de Cauchy es una aproximación de la de Sellmeier escribiendo la ecuación [23-6] en la forma

Desarrollando en serie, resulta

E n la parte de la curva de dispersión en que X es considerablemente mayor que X0, las potencias superiores de X0/X serán pequeñas y pueden despreciarse. Se obtiene así:

S E C , 23-5] ECUACIÓN! D E S E L L M E I E R 515

¡ T ^ x2

Escribiendo M en lugar de 1 -| A, y ¿V en vez de Al02,

! M [M -í- A/A-2)%

Desarrollando de nuevo,

' iV A 7 2

• . -i « = MY* 4 • r- • • •

y despreciando las potencias superiores de 1/X,

• • > H + M :

Esta es la ecuación de Cauchy, dada en la sección 23-3. Mediante un péndulo simple a cuya bola se sujeta una ligera

tira de goma puede realizarse un instructivo experimento que ilustra el origen de la dispersión. Sosteniendo con la mano el extremo de la tira de goma y moviéndola a un lado y a otro, se ejerce sobre el péndulo una fuerza periódica análoga a la acción de la onda luminosa sobre uno de los. osciladores del medio. Si la frecuencia del movimiento de la mano es muy alta comparada con la frecuencia natural del péndulo, la bola permanecerá prácticamente en reposo. Esto corresponde a una onda de frecuencia elevada y pequeña longitud, cuya velocidad no se altera prácticamente por Ta presencia de los osciladores. E n la figura 23-7 se ve que n tiende hacia la unidad cuando X tiende a cero, por lo que la velocidad resulta igual' a la del vacío.

Si ahora se mueve la mano con una frecuencia solo ligeramente superior a la del péndulo, se hallará que este oscila en oposición de fase con el movimiento de la mano. E n estas condiciones, la tira de goma se pone considerablemente tensa cuando los desplazamientos de la mano y de la bola son de sentido opuesto, y ejerce así su máxima fuerza sobre la mano, tendiendo a hacerla retroceder a la posición central. Esto corresponde a un aumento de la fuerza recuperadora sobre el «éter» que propaga la onda y, por tanto, a u n aumento de la velocidad de esta (Sec. 11-4). Así, en la figura 23-7, n se hace considerablemente menor que la unidad para una longitud de onda ligeramente inferior a X0. Por último, cuando la frecuencia del movimiento de la mano es menor que la frecuencia natural del péndulo, este sigue á la mano y se encuentra prácticamente en fase con ella. E n este caso la tira de goma solo ejerce pequeñas fuerzas sobre la mano, pues los desplazamientos del péndulo son en el mismo sentido. Las fuerzas son menores que

516 DISPERSIÓN [CAP. 23

si el péndulo estuviese en reposo, lo que corresponde a una disminución de la fuerza recuperadora sobre el éter. Por tanto, la velocidad de la onda disminuye, y n es mayor que la unidad en el lado de A0 que corresponde a las longitudes de onda mayores.

Se ve que la gran discontinuidad de la curva de dispersión para AQ es consecuencia del brusco cambio de fase en 1 8 0 ° entre el oscilador y la vibración aplicada cuando esta última pasa por la frecuencia de resonancia. Este efecto puede ponerse.de manifiesto suspendiendo tres péndulos, uno junto al otro, de una barra horizontal empotrada por uno de sus extremos. E l péndulo central es pesado y corresponde a la onda de éter, mientras1 que los otros dos son muy ligeros, siendo uno de ellos ligeramente más largo y el otro ligeramente más corto que el central. Cuando este oscila, los otros dos lo harán en oposición; de fase, y el más corto estará casi en fase con la vibración aplicada. j

23-6. Efecto de la absorción sobre la dispersión.—Aunque la ecuación de Sellmeier representa muy satisfactoriamente la curva de dispersión en regiones no muy ¡próximas a las bandas de absorción, falla por completo en aquellas longitudes de onda para las cuales tiene el medio una absorción apreciable. Esto puede verse directamente por el hecho de que la curva de la figura 23-7 tiende hacia infinito a ambos lados de cada \. Esto no es solo físicamente imposible, sino que la forma de la curva en las proximidades de A,- no está de acuerdo con la experiencia. Se ha podido medir la curva de dispersión a través de una banda de absorción, aunque ofrece dificultades considerables porque toda la luz es prácticamente absorbida. Utilizando prismas de ángulo refringente muy pequeño, o delgadas películas de la sustancia en cuestión con un interferómetro de ^Michelson (Sec. 13-15), se han medido cuidadosamente los índices de refracción de algunos pigmentos, como la cianina, que tienen una banda de absorción en la región visible. L a curva resultante se parece a una de las representadas con trazo grueso en la figura 23-8. Se ve que la forma verdadera de la curva en la proximidad de \ es muy diferente de la requerida por la ecuación de Sellmeier. !

Helmholtz 2 fue quien primero puso de manifiesto que esta discrepancia se debe a que la ecuación de Sellmeier no tiene en cuenta la absorción de energía de la onda. E n el estudio anterior, y en el símil mecánico, se supuso que el oscilador no experimenta ninguna resistencia de rozamiento al vibrar. Tal resistencia es necesaria si el oscilador ha de tomar continuamente energía de

. I . > 2 H . L. F. Helmholtz (1821-1894), físico alemán que cultivó casi todas las

ramas de la ciencia. Solo sus trabajos sobre óptica fisiológica o sobre el sonido le habrían hecho famoso. Se le considera como uno de los descubridores de la ley-de conservación de la energía.

SEC. 23-6] EFECTO D E LA ABSORCION SOBRE LA DISPERSION 517

la onda. Helmholtz supuso que la fuerza de rozamiento era directamente proporcional a la velocidad del oscilador, y dedujo para el índice de refracción una expresión teniendo en cuenta la absorción. Como medida de la intensidad de la absorción se puede utilizar el coeficiente de absorción a definido en la ecuación [11-11], pero las ecuaciones son más sencillas cuando se expresan en función de una. constante K 0 , relacionada con a como sigue:

K „ = g [23-8]

donde A es la longitud de onda en el vacío. E l significado físico de K 0 se expresa mejor por el hecho de que la intensidad desciende a l/e4"Ko de su valor inicial al recorrer la distancia A a través del medio. Las ecuaciones de la dispersión que resultan de esta teoría puramente mecánica de Helmholtz son:

K 2 = 1 +

Z (Xa — h

Ai>?

2nK° ~ll(\'-\?)* + gi>?

(X2 - X,2) + g,-A2/(A2 - A¿2)

Ai -\/g¡y? [23-9]

La constante gi es una medida de la magnitud de la fuerza de rozamiento. Estas ecuaciones han de verificarse para todas las longitudes de onda, incluso las situadas dentro de una banda de absorción. E n las regiones alejadas de estas bandas, tanto gi como K 0 son prácticamente nulos, y la primera de estas ecuaciones se reduce a la de Sellmeier (Ec. [23-7]). L a figura 23-8 (a) es la representación de n y M K 0 , siendo este, según la ecuación [23-8], una medida del coeficiente de absorción a, para un caso de gran rozamiento (g — 1,96 x l O - 3 ) . Esta gráfica muestra cuantitativamente la marcha de las curvas de dispersión y absorción en una región de absorción con un máximo para A¡ — 0,1732 u.. Se ve que n ya no tiende a infinito, como en la figura 23-7, sino que permanece finito para X = X,-. Las otras curvas de la figura 23-8 ponen de manifiesto los efectos de variar tanto la intensidad de la absorción como el amortiguamiento por rozamiento. E l primero viene determinado por el número total de osciladores que originan la absorción, mientras que el segundo depende de la magnitud de los diversos efectos que originan la anchura de las rayas espectrales (Sec. 21-15). Nótese en (b) y (d) que los máximos y mínimos de las curvas del índice de refracción se producen exactamente en los puntos en que la absorción tiene la mitad de su valor máximo.

Los experimentos con el péndulo, descritos anteriormente, pueden modificarse para que incluyan el efecto del amortiguamiento

518 DISPERSION [CAP. 23

F I G . 23-8.—Curvas ideales de dispersión de un oscilador con valores diferentes de rozamiento y absorción: (a) Absorción y rozamiento fuertes. (6) Absorción fuerte y rozamiento débil, (c) Absorción débil y rozamiento fuerte, (d) Absorción y roza

miento débiles.

por rozamiento y den una cierta idea de la razón física del cambio producido en la forma de la curva de dispersión. Así, si el péndulo más pequeño, que representa al oscilador, lleva sujeto un hilo metálico que se introduce en agua o aceite, tenemos la condición deseada. E n la respuesta del péndulo a las vibraciones que se le aplican se manifiestan dos cambios importantes. E n primer lugar, la amplitud no se hará tan grande cuando la frecuencia aplicada sea exactamente igual a la frecuencia natural del péndulo. E n ausencia de rozamiento, la amplitud de resonancia es teóricamente infinita (en el estado de equilibrio final), y el valor correspondiente de n sería también infinito. Sin embargo, el rozamiento limita esta amplitud máxima, lo que,explica que solo se observen realmente variaciones moderadas de n. E n segundo lugar, el cambio de fase relativa entre el péndulo y las vibraciones aplicadas, cuando estas últimas pasan por la frecuencia natural, ya no es abrupto, sino que se produce más o menos gradualmente. Ello explica que no se observe ninguna brusca discontinuidad en la curva de la dispersión, sino que esta sea continua. L a variación de fase

SEC. 23-8] CURVA DE DISPERSION! COMPLETA DE UNA SUSTANCIA 519-

se hace cada vez más gradual1 al aumentar el rozamiento sumer-? giendo, p. ej., el hilo más en el agua o empleando un líquido más viscoso.

23-7. Velocidades de onda y de grupo en el medio.—En las curvas de las¡ figuras 23-7 y 23-8, las abscisas son longitudes de onda en el vacío X = c/v y las ordenadas son los índices de refracción' ordinarios n — c/v, donde v es la velocidad de onda en el medio. E n aquellas partes de la curva en que n < 1, la velocidad de onda es mayor que la velocidad de la luz en el vacío c.A primera vista esto parece estar en flagrante contradicción con uno de los resultados fundamentales de la teoría de la relatividad, según la cual c es la mayor velocidad que puede alcanzarse. Sin embargo, no existe realmente contradicción, pues la relatividad se aplica a la velocidad conque la energía (una señal luminosa) se transmite, y esta es siempre menor que c. Recordando que la energía se transmite con la velocidad de grupo u, es necesario quesea c/u mayor que la unidad en vez de serlo c/v. Ahora bien: u y v están relacionadas por la ecuación [12-16], que puede modificarse (véase problema 23-7) y tomar la forma

c i dn - = n — X ~~ [23-10] u d\

donde X es la longitud de onda en el vacío. Por tanto, la construcción geométrica de la sección 12-8 ;es aplicable también a los índices de refracción. Si en la figura 23-8 (a) trazamos una tangente a la curva de dispersión, cortará! al eje n en un punto Q cuya ordenada es, c/u. Esto es, mientras la ordenada de P es n, o sea c/v, para esta longitud de onda, la ordenada de Q es el valor correspondiente de c/u para esa misma longitud de onda.

Esta construcción geométrica demuestra, pues, que para cualquier punto de la curva en el cual esta descienda hacia la derecha, el c/u correspondiente es mayor que la unidad, aunque n puede ser menor que la unidad. Por tanto, la velocidad de grupo es menor que c y no hay violación de la teoría de la relatividad. Una excepción a esto parece producirse en el interior de la banda de absorción, donde la curva sube pronunciadamente hacia la derecha. Sin embargo, en esta región existe una fuerte absorción, por lo que la amplitud de la onda disminuye prácticamente hasta cero en una fracción de longitud de onda. E n este caso, carecen de significado tanto la velocidad de onda como la de grupo, pero otras consideraciones demuestran que también aquí se cumple el requisito impuesto por la relatividad.

23-8. Curva de dispersión completa de una sustancia.—Aunque la curva del índice de refracción en función de la longitud de onda es diferente para cada sustancia, las curvas de todos los medios

520 DISPERSION [CAP. 23

ópticos, es decir, sustancias más o menos transparentes en la región visible, tienen ciertas características comunes. Para ponerlas de manifiesto consideremos la curva esquemática de la figura 23-9, que representa la variación de ri, desde A = 0 hasta varios kilómetros, para una sustancia ideal. Para A == 0, el índice de refracción es la unidad, como vimos en la sección 23-5. Para las ondas muy cortas (rayos y y rayos X duros) el índice es ligeramente menor que 1. Siegbahn 3 demostró experimentalmente este hecho refractando rayos X a través de un prisma. Halló que cl haz se desviaba muy ligeramente hacia el vértice, como debe ser si las ondas se propagan con mayor velocidad en el prisma que en el aire. De-

2,0|

n

1,0,

KL M

^ <—^visit>/e V/! " • (

ultra- '—•—1 infrarrojo '——r" ultra- violeta próximo infrarrojo lejano rayos X í/jp/cta/ejano próximo

FIG. 23-9.—Diagrama esquemático de una curva completa de dispersión para una sustancia transparente al espectro visible.

mostró también que los rayos X pueden reflejarse totalmente en una sustancia sólida utilizando incidencia rasante, de modo que lleguen a la superficie bajo un ángulo mayor que el crítico. A . H . Compton 4

y otros se sirvieron de esta propiedad de los rayos X para medir sus longitudes de onda, difractándolos en una red ordinaria bajo incidencia rasante.

L a primera absorción se encuentra en la región de los rayos X para una longitud de onda que depende del peso atómico del elemento más pesado de la sustancia. Para el silicio alcanza su máximo en 6,731 Á, y para eí uranio, en 0,1075 Á. Esta absorción alcanza rápidamente un máximo,: y después desciende bruscamente en el llamado «límite de absorción K» del elemento. Origina una región relativamente estrecha de dispersión anómala intensa, marcada por K en la figura 23-9. A partir de esta existen otras discontinuidades de absorción del elemento, llamadas límites

3 Karl Manne Siegbahn (nacido en 1886), director del Instituto Nobel de Esto-colmo, recibió en 1924 el premio Nobel. Se destacó por sus finas técnicas experimentales para la medida de las longitudes de onda de los rayos X.

4 Arthur H. Compton (1892-1962), profesor de Física de la Universidad de Chicago, y después presidente de la Washington University de San Luis. En 1927 recibió el premio Nobel, principalmente por su descubrimiento del efecto Compton en los rayos X (Sec. 30-2).

SEC. 23-8] CURVA DE DISPERSION COMPLETA DE UNA SUSTANCIA 521

L, M, así como los límites K, L, M, ... de otros elementos presentes. Por tanto, para cualquier medio óptico real habrá muchas de estas discontinuidades bruscas. Para simplificar, solo se han indicado tres en la figura.

A partir de la región de los rayos X , la curva desciende más rápidamente hacia las longitudes de ondas ma],Tores, alcanzando-finalmente la ancha región Xlt de fuerte absorción y dispersión, anómala en el ultravioleta (Sec. 22-3). E n la mayoría de. las sustancias esta región cubre completamente el intervalo entre los rayos X blandos y el ultravioleta próximo. Se ve que la marcha descendente de la curva en la región visible, característica de la dispersión normal, está relacionada con la existencia de esta absorción en el ultravioleta. E n general, la curva tendrá una pendiente mayor en la región visible, o sea, la dispersión dn/dX será mayor cuanto más próxima esté dicha banda de absorción a la parte visible. Así, la fluorita tiene muy poca dispersión en la zona visible; el cuarzo, algo mayor, y el vidrio, aún mayor (véanse figura 23-2 y tabla 22-1). E l vidrio flint denso, que es el de mayor dispersión, tiene "frecuentemente un color amarillento debido al hecho de que la banda de absorción invade ligeramente el extremo violeta de la región visible.

•En cierta parte del infrarrojo próximo la curva comienza a descender más rápidamente, y alcanza otra banda de absorción en A2. E l centro de esta banda se encuentra en 8,5 ¡¿ para el cuarzo, pero la absorción comienza a hacerse intensa al llegar a 4 o 5 ¡x. A partir de esta primera banda de absorción suele haber otra o más. A l pasar por cada una de estas bandas aumenta el índice de refracción. Así, el índice será mayor para ciertas longitudes de onda infrarrojas que para cualquier parte de la región visible. Rubens midió, p. ej., los índices de refracción del cuarzo entre X = 51 y 63 ¡A, encontrando valores que variaban de 2,40 a 2,14. E n este hecho se basa un interesante método para aislar radiación de longitudes de onda muy grandes, llamado método de aislamiento focal. Debido al alto valor de n, una lente convexa tendrá una distancia focal mucho menor para estas ondas largas que para las más cortas, y estas últimas pueden ser eliminadas mediante diafragmas adecuados. De este modo fueron aislados por N i -chols y Tear (Sec. 11-6) los rayos infrarrojos más largos que se han medido.

Más allá de todas las bandas del infrarrojo, el índice disminuye lentamente y con mayor o menor regularidad a través de. la región de las ondas de radio, tendiendo a un cierto valor límite para ondas infinitamente largas. E n la zona de las radiofrecuencias hay algunas bandas estrechas de absorción, pero esta es siempre débil. En la sección siguiente se demostrará que el valor

522 DISPERSION [CAP.-23

límite del índice es la raíz cuadrada de e, constante dieléctrica ordinaria del medio. ,

23-9. Ecuaciones electromagnéticas para los medios transparentes.—En el capítulo X X se formularon las ecuaciones electromagnéticas para el vacío y se demostró que predicen ondas electromagnéticas de velocidad c. Interesa ahora estudiar las características y velocidad de tales ondas en un medio material. De momento, solo consideraremos las sustancias dieléctricas, dejando para el capítulo X X V el caso más complicado de los conductores. Cuando un campo eléctrico estacionario actúa sobre un dieléctrico se produce un pequeño desplazamiento de las cargas ligadas a los átomos, y decimos que el dieléctrico se ha polarizado. Las cargas no se mueven de modo continuo, como en un conductor, sino que solo se desplazan distancias minúsculas y vuelven de nuevo al reposo, análogamente a lo que ocurre cuando se estira un resorte. Como medida de este desplazamiento eléctrico utilizaremos la magnitud vectorial D 6 , y dado que en un medio isótropo es proporcional al campo eléctrico aplicado E, se puede escribir:

D = eE [23-11] siendo e la constante dieléctrica. Para aplicar las ecuaciones de Maxwell a un medio de este tipo hay que reemplazar D por E, donde figura en las ecuaciones para el vacío (Ees. [20-1] a [20-4]). Por tanto, las ecuaciones de Maxwell para medios isótropos no conductores serán:

s dEx _ dHz dHy c dt ~ dy dz s dEy dHx dHt

c i r dz dx z dE. dHy dHx

c dt dx dy

y

[23-12]

. t dEx dEy \ dx dy

dHy dy

dHx dx + +

_ldHx C dt

_ldHy c ~dt

AdJk c dt

dE ' ~ &

dH, dz

dE, dy

dEx dz

dEy !¡x~

dEy ~dz~ dE*_ dx

dEx dy

= 0

[23-13]

[23-14]

[23-15]

Si se deducen las ecuaciones para ondas planas como se hizo en la sección 20-4, partiendo ahora de las ecuaciones [23-12] y [23-13], resulta:

5 En rigor, D no es una medida directa del desplazamiento de las cargas ligadas. La polarización del medio suele designarse por P, y V se relaciona con P por la ecuación D = E -f- 4zP.

SBC. 23-9] | ECUACIONES ELECTROMAGNETICAS 523

dm, ^ c2 dm,

y . w r zHx* i •

Comparando con la ecuación general de la onda (Ec. [11-2]), se obtiene que la nueva velocidad es c/y"s. E l índice de refracción es, pues,

, • - = - = A / S [23-16]

La solución de las ecuaciones [23-12] a [23-15] para ondas monocromáticas planas, análoga a la expresada por las ecuaciones [20-14], es en este caso: i

Ey -— A sen (cat — kx) H„ = -y/'e A sen (<x>t — kx)

y el valor de los vectores eléctrico y magnético en cualquier instante es tal que

ti, = !V e Ey

Por tanto, en él caso ordinario s > 1, la amplitud de la onda magnética es mayor que la de la eléctrica' en proporción igual al índice de refracción (Ec. [23-16]).

L a energía transportada por las ondas electromagnéticas a través de los medios dieléctricos se halla aplicando los principios de la sección 20-7 sin más que cambiar D por E . Las densidades de energía instantáneas de las anteriores ondas eléctrica y magnética sé convierten en sEy

2/8v: y HZ

2¡^TZ y son, por tanto, iguales. Su suma es V i EyH.jA-K, y cuando se multiplica por v (Ec. [23-16]) para obtener la intensidad, se halla que

i; V 471 ~4?R _8TC ' Como antes, la Ey de esta ecuación representa la media cuadrática del valor del vector eléctrico, pues el flujo energético se promedia para un tiempo largo comparado con el período. E l resultado puede escribirse también en la forma cEyHzl^n. Así representa la expresión de una ley general del electromagnetismo, conocida como teorema de Poynting 6 , según el cual la magnitud y dirección del flujo de energía vienen dadas por el vector de Poyn-

>' \

9 J. H. Poynting (1852-1914), profesor de Física de la Universidad de Bir-mingham. Se le conoce también por sus precisas medidas de la constante de gravitación.

i :

524 DISPERSION [CAP . 23

ting (c/47c)[E x H], siendo la' magnitud entre corchetes un producto vectorial. !

L a ecuación [23-16] da valores bastante correctos de n para los gases, pero cuando se intenta aplicarla a medios más densos se encuentran grandes discrepancias. Así, la constante dieléctrica del agua, medida colocando agua entre las dos armaduras de un condensador cargado a un potencial constante, es 81, lo que correspondería a un índice de refracción igual a 9. Para la luz de sodio, el índice de refracción del agua es 1,33. E n los diversos tipos de vidrio, s varía entre 4 ¡y 9, por lo que n habría de estar entre 2 y 3. Estos valores son también superiores a los observados con luz visible. j •

No hemos de ir muy lejos para hallar el origen de esta discrepancia. Radica en el hecho de que el campo eléctrico de una onda luminosa no es estacionario, sino que cambia rápidamente. Para la luz amarilla esta frecuencia es 5 x 1014 ciclos. Si se mide la constante dieléctrica de una sustancia colocada entre las placas de un condensador utilizando jin potencial alterno en lugar de uno fijo, se encuentra que su yalor varía con la frecuencia. De ello deducimos que el índice dé refracción ha de variar también con la frecuencia, o sea con la longitud de onda. Cuando esta tiende a infinito, la frecuencia tenderá a cero. E l caso límite de campo estacionario corresponde a frecuencia cero, y es de esperar que el índice de refracción tienda a la raíz cuadrada de la constante dieléctrica para campos estacionarios. Se ha comprobado que sucede así efectuando medidas del índice de refracción del agua para ondas electromagnéticas de varias frecuencias (véase la tabla 23-2). Se ha incluido también el valor de ^J~z para que sirva de comparación. Resulta! evidente que n tiende al valor predicho para ondas infinitamente largas.

23-10. Teoría de la dispersión.—Para explicar la variación de n (y, por tanto, de con X mediante la teoría electromagnética ha de tenerse en cuenta ¡la estructura molecular de la materia. Cuando una onda electromagnética incide sobre un átomo o molécula, la fuerza eléctrica periódica de la onda pone en movimiento vibratorio las cargas ligadas, con una.frecuencia igual a la de la onda. L a fase de este movimiento respecto a la de la fuerza eléctrica aplicada depende de la frecuencia de esta, y variará con la diferencia entre la frecuencia aplicada y la frecuencia natural de las cargas ligadas, del modo que vimos en las secciones 23-5 y 23-6. Cuando la onda atraviesa el espacio vacío intermolecular tendrá, naturalmente, la velocidad c, y hemos de investigar ahora de qué modo la presencia de las cargas oscilantes de las moléculas produce una alteración efectiva sobre el ritmo de avance de la onda a través del medio.

S E C . 23-10] T E O R I A D E L A DISPERSION 525

L a clave para la explicación de la dispersión radica en las ondas secundarias engendradas por las oscilaciones inducidas de las cargas ligadas. Estas ondas secundarias son idénticas a las que originan la difusión molecular (Sec. 22-10), como en la explicación del color azul del cielo. Cuando un haz luminoso atraviesa un líquido o un sólido transparentes, la cantidad de luz difundida lateralmente es extremadamente pequeña, aunque la concentración de centros difusores sea mucho mayor que en el aire, en el que produce la luz azul. Esto se debe al hecho de que las ondas secundarias difundidas que se propagan lateralmente desde el haz tienen fases tales que se produce interferencia destructiva

TABLA 23-2

Variación de n con X para el agua

Longitud de onda Frecuencia n

5,89 X 10-" cm 5,1 X 10" 1,333 12,56 2,9 1,3210

258,0 ' 0,116 1,41 800,0 0,0375 1,41

0,40 cm 1,75 8,1

65,0 oo

750,0 x 10' 171,0 37,0 4,6 0,0

5,3 7,82 8,10 8,88

(9,03 = \/s)

prácticamente completa, Pero las ondas secundarias que se desplazan en la misma dirección del haz incidente no se anulan, sino que forman conjuntos de ondas que se propagan paralelamente a las originales. Ahora bien: las ondas secundarias han de sumarse a las originales, de acuerdo con el principio de superposición, y el resultado dependerá de la diferencia de fase entre estos dos conjuntos. Esta interferencia modificará la fase de las ondas primarias, y ello equivale a variar su velocidad de onda. Esto es, dado que la velocidad de onda es simplemente la velocidad con que se propaga una condición de fase constante, una alteración de la fase por interferencia hará variar la velocidad. Hemos visto que la fase de los osciladores y, por tanto, de las ondas secundarias, depende de la frecuencia aplicada, por lo que aparece claro que la velocidad en el medio varíe con la frecuencia de la 'uz. Esta es la interpretación fisica de la dispersión, brevemente" bosquejada.

Rayleigh estableció las bases del estudio matemático del mecanismo anterior para el caso de ondas mecánicas, y Rlíj JOT

526 DISPERSION [CAP. 23

Schuster y otros extendieron más tarde la teoría a. las ondas electromagnéticas. No intentaremos desarrollarla aquí. Se llega a fórmulas para la dispersión análogas a. las: de Helmholtz (Ec. [23-9]). De hecho, existe una estrecha analogía entre las descripciones mecánica y electromagnética del fenómeno. Hay que considerar que las oscilaciones de las cargas ligadas están amortiguadas por fuerzas de rozamiento, igual que sucedía con las partículas de la teoría de Helmholtz. E n la sección 23-11 se discutirá brevemente la naturaleza de las fuerzas de rozamiento postuladas en la teoría electromagnética. •

Para representar las amplitudes y fases relativas de la onda

FIG. 23-10.—Interpretación de la dispersión como resultado de la interferencia de ¡a onda secundaria con la directa.

incidente, oscilador y onda secundaria, consideremos los esquemas de la figura 23-10.'La primera curva de (a) corresponde a la respuesta de un oscilador amortiguado de frecuencia natural v 0 a una vibración aplicada de frecuencia v, haciéndose máxima la amplitud para v = v0. L a curva de trazos representa la amplitud radiada por el oscilador, es decir, la de la onda difundida. Como consecuencia de que las ondas más cortas se difunden más eficazmente (ley de Rayleigh), la curva toma valores más elevados en el lado de las v altas y tiende a cero para las bajas frecuencias. La tercera curva da la amplitud de las ondas secundarias formadas a partir de las pequeñas ondas difundidas. La curva (b), relacionada con la escala izquierda de ordenadas, da la diferencia de fase entre el oscilador y la onda aplicada. Como indicamos en la sección 25-6, cambia de 0 o a 180° al pasar por

S E C . 23-11] NATURALEZA B E LAS PARTICULAS 527

la frecuencia natural, pero no de modo: brusco, debido al amortiguamiento. E n v0 está retrasada. 90° respecto de la onda, aplicada. L a teoría demuestra además que la fase de las ondas di fundidas, y, por tanto, de las ondas secundarias . también está retrasada 90° respecto de los osciladores7. Esto se debe a que la radiación electromagnética es proporcional a la derivada respecto al tiempo de la intensidad de la corriente/o sea a la aceleración de la carga [véanse Sec; 20-8 y Fig. 20-4 («)].. L a intensidad propiamente dicha, o velocidad de la carga, tiene la misma fase que el oscilador. Por tanto, dado que en un movimiento armónico simple la aceleración está retrasada un cuarto de período respecto de la velocidad, la fase de las ondas radiadas está retrasada esta misma cantidad respecto del manantial oscilante. Teniendo en cuenta este retardo adicional, puede verse que la escala derecha de ordenadas de la figura 23-10 - (b) corresponde al retraso de fase de las ondas secundarias respecto a las ondas aplicadas.

Procedamos ahora en el diagrama (c) a componer vectorial-mente las amplitudes de las! ondas directa y secundaria. Para la frecuencia v, la amplitud de las ondas secundarias es pequeña [curva (a)] y está retrasada cerca de 270° respecto de las directas [curva (b)]. E l primer diagrama de (c) muestra que la amplitud resultante es casi la misma, pero la fase está ligeramente avanzada, correspondiendo a una rotación del vector en el sentido de las agujas del reloj. Un avance de fase significa un aumento de velocidad, pues recordemos que la fase aumenta cuando nos movemos a lo largo de la onda hacia atrás. De esta suerte, en la curva de dispersión (d) el índice de refracción para v es ligeramente menor que 1. E l segundo diagrama vectorial, correspondiente a v', da un avance de fase mayor y una amplitud resultante considerablemente menor. Para v = v0 :no se produce cambio alguno de fase o velocidad, sino simplemente una reducción de la intensidad. La energía que ha desaparecido de la onda resultante que avanza aparece en otras direcciones, como radiación de resonancia. Más allá de v 0 se produce un retardo en lugar de un avance de fase, disminuyendo la velocidad de ;la onda. Así, puede verse cualitativamente cómo se produce, mediante el mecanismo descrito, la curva (d), que tiene la forma correspondiente a la dispersión anómala. ¡

23-11. Naturaleza de las partículas vibrantes y de las fuerzas de rozamiento.—Para terminar, consideremos brevemente qué tipos de partículas cargadas y de fuerzas de amortiguamiento intervienen en las diversas discontinuidades de la curva típica'

'Véase, p. ej., G. P. HARNWEIX: Principies of Electricity and Magneiism, 2.» ed., págs. 601-02, McGraw-Hill Book Co., 1949.

528 DISPERSION [CAP. 23

de dispersión de la figura 23-9. Las absorciones de los rayos X se .atribuyen a los electrones más internos de los átomos, asignados a las «capas» K, L, M, etc., de energía decreciente y distancia •creciente al núcleo. Dado lo profundo de su situación en el átomo, estos electrones están protegidos de los choques y campos eléctricos debidos a los átomos próximos. De aquí resulta que dos •de las causas principales de la anchura de las rayas espectrales (Sec. 21-15) carecen de importancia para los rayos X , y las dis--continuidades de absorción son nítidas aun en los sólidos. Unicamente en esta región tiene importancia el amortiguamiento por radiación sobre la anchura de las rayas.

L a ancha banda de absorción en el ultravioleta lejano se debe a los electrones externos de los átomos y moléculas de la sustancia. Estos no están apantallados y, por consiguiente, tanto en los líquidos como en los sólidos se produce una extensa región •de absorción continua. E n los gases moleculares las bandas pueden consistir en rayas rotacionales individuales, bastante nítidas, pero tan numerosas que suele ser imposible resolverlas. E n esta región empieza a tener más importancia el amortiguamiento debido a los choques que el debido a la radiación, y para longitudes de onda aún mayores es el que predomina de ordinario. Las bandas de absorción en el infrarrojo próximo representan las distintas frecuencias naturales de los átomos como conjunto, y aun de las moléculas. Como estos vibradores son pnucho más pesados que los electrones, es evidente que sus frecuencias son más bajas. E n el infrarrojo lejano pueden intervenir otras vibraciones moleculares de frecuencias aún menores. E n este caso, las frecuencias de rotación de las moléculas como conjunto pueden desempeñar también su papel, especialmente en los gases.

P R O B L E M A S

23-1. Calcúlese la dispersión de una muestra de vidrio para una lon-•gitud de onda de 6000 Á si sus índices de refracción para las rayas azul y verde del mercurio (4358 y 5461 Á) son 1,6130 y 1,6026, respectivamente. Resuélvase el problema utilizando: a) la ecuación de Cauchy, yb) la ecuación de Sellmeier. ,

23-2. Utilizando los índices de refracción para un vidrio crown de anteojo dados en la tabla 23-1, hállense los valores de las constantes de

una ecuación de Cauchy de tres, términos que se ajuste exactamente a las longitudes de onda de 3988, 5086 y 6563 Á. Compárense los valores observados y calculados para las otras longitudes de onda dadas.

Sol.: A = 1,51375, B = 4,608 x 105 A*, C = 6,88 x 101» A*. Desviación media = 0,000053; desviación máxima = 0,00012.

23-3. Un prisma de 60° está hecho de un vidrio para el cual las constantes de la ecuación de Cauchy 'son A = 1,416 y B = 1,72 x 106 A2, Hállese la dispersión angular en radianes por ángstrom cuando el prisma

PROBLEMAS 529

se encuentra en la posición de desviación mínima para una longitud de onda de 6000 Á.

23-4. Hartmann ha dado una fórmula empírica de dispersión, según la cual n = n0 + 6/(A — X0)- Compruébese su precisión, comparada con la de una ecuación de Cauchy de tres constantes, hallando las constantes para el vidrio crown de anteojo mediante ajuste a las tres longitudes de onda mencionadas en el problema 23-2. ¿Qué ecuación representa mejor los datos?

Sol.: Hartmann; n0 = 1,50796, b = 80,9528 Á, X? = 1640,6 A; desviación media = 0,000027; desviación máxima = 0,00007.

23-5. Compárese el espectro dado por un prisma que tiene dispersión anómala con el formado por un prisma de vidrio ordinario. Si el máximo de absorción del primer prisma se encuentra en el verde, indíquense las posiciones relativas de los otros colores comparados con los producidos por dispersión normal.

23-6. Determínese gráficamente, a partir de la figura 23-2, un valor de la velocidad de grupo de la luz violeta (A = 4000 A) en un vidrio crown de borosilicato. Sol.: 1,89 x 1010 cm/seg.

23-7. A partir de la relación entre velocidades de onda y de grupo dada por la ecuación [12-16], dedúzcase la expresión del «índice de grupo» dada en la ecuación [23-10].

23-8. Partiendo de la segunda de las ecuaciones de Helmholtz (Ec. [23-9]), hállese la relación entre la anchura del pico de absorción, para la mitad del máximo de M K 0 , y la constante de rozamiento gi.

Sol.: AX = Vgi 23-9. A partir de los índices de refracción del cuarzo cristalino para

la radiación infrarroja dados en la sección 23-7, y suponiendo que no hay bandas de absorción apreciables más allá de 63 ¡i, predígase un valor de la constante dieléctrica del cuarzo para campos estáticos. Compárese con el valor que figura en una tabla de constantes dieléctricas.

23-10. Un pequeño manantial que emite un espectro continuo está situado a 60 cm de una lente de cuarzo cristalino que tiene una distancia focal de 40 cm para la luz de sodio. Si se desea obtener radiación infrarroja de longitud de onda 51 ¡x por el método de aislamiento focal, ¿a qué distancia detrás de la lente debe colocarse un pequeño orificio? Véanse tabla 26-1 y sección 23-8 para datos sobre índices de refracción.

Sol.: 20,99 cm. 23-11. Complétese la deducción de la ecuación de ondas a partir de

las ecuaciones de Maxwell para un dieléctrico como se sugiere en la sección 23-9.

23-12. El índice de refracción de un cierto vidrio para rayos X de longitud de onda 0,7 A es 1,6 X 10—6 menor que la unidad. ¿Cuál es el ángulo máximo, medido respecto a la superficie, bajo el que debe incidir el haz de rayos X para experimentar la reflexión total? Sol.: 0,1025°.

23-13. Un haz luminoso de 2 erg cm—2 seg—1 de intensidad en el vacío penetra, con incidencia normal, en un bloque de vidrio (« = 1,50). Hállense las amplitudes de los vectores eléctrico y magnético, y la intensidad, en el interior del vidrio.

23-14. De acuerdo con la teoría, electromagnética, el valor de A¿ está dado por

•Kc%mi J E N K I N S - W H I T E . 34

530 DISPERSION [CAP. 23

siendo Ni, e¡ y m-i el número por unidad de volumen, la carga y la masa de los osciladores de frecuencia c/X». Tomando los valores de los índices de refracción del aire dados en la sección 23-2, y suponiendo solamente una banda de absorción en el ultravioleta, calcúlese el valor de «i2/m< para el aire. Compárese con eí\m para el electrón. '.

Sol.: 10,3 x 108cm3/seg2. Valor verdadero, 2,53 X 10s. 23-15. Utilícese una ecuación de Cauchy con dos constantes que se

ajuste a los índices de refracción del cuarzo vitreo (tabla 23-1) correspondientes a longitudes de onda de 6563 y 4861 Á para predecir el índice de refracción de la raya del sodio, 5892 Á. Calcúlese también el valor en radianes por centímetro de la dispersión en un prisma de 60° para esta última longitud de onda.

CAPITULO XXIV

POLARIZACION D E L A L U Z

De las propiedades de interferencia y difracción hemos llegado a la conclusión de que la luz es un fenómeno ondulatorio, y se han utilizado estas propiedades para medir la longitud de onda. Estos efectos nada nos indican sobre el tipo de ondas de que se trata: si son longitudinales o transversales, o si las vibraciones son lineales, circulares o torsionales. Sin embargo, la teoría electromagnética impone específicamente que sean transversales, estando, por tanto, enteramente restringidas al plano del frente de onda. E l tipo más general de vibración es el elíptico, del cual son

.casos particulares el lineal y i el circular. Los experimentos que revelan estas características son los concernientes a la denominada polarización de la luz. Mientras que una onda longitudinal, como una onda sonora, ha de ser necesariamente simétrica respecto de su dirección de propagación, las ondas transversales pueden mostrar asimetrías, y si un haz luminoso presenta asimetría, diremos que está polarizado. ¡

E n el presente capítulo, a modo de introducción, expondremos brevemente los métodos principales de obtener luz polarizada linealmente a partir de la luz ordinaria no polarizada. L a mayoría de los fenómenos tratados aquí se estudiarán con más detalle en capítulos sucesivos. Sin embargo, resulta útil familiarizarse previamente con los métodos experimentales, representándose mentalmente cómo actúan los diversos dispositivos polarizantes para separar la luz ordinaria] en sus componentes polarizadas. Los métodos corrientes utilizados para producir y demostrar la polarización dé la luz se pueden agrupar bajo los siguientes títulos: 1) reflexión; 2) transmisión a través de una pila de láminas; 3) di-croísmo; 4) doble refracción, y 5) difusión.

24-1. Polarización por reflexión.—El método más sencillo quizá de polarizar la luz es el descubierto por Malus en 1808. Cuando un haz de luz blanca incide bajo un cierto ángulo sobre la superficie pulimentada de una lámina de vidrio ordinario, se encuentra que después de la reflexión está polarizado linealmente. Polarizado linealmente significa que toda la luz vibra paralelamente a un plano que pasa por el eje del haz (Sec. 11-2). Aunque el ojo no sea capaz de apreciar la diferencia entre esta luz y la incidente, su polarización o asimetría puede demostrarse fácil-

í 531

532 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP . 24

Jv\.

B

FIG. 24-1.—Polarización por reflexión en superficies de vidrio.

mente mediante una segunda reflexión, en otra lámina de vidrio, del modo siguiente: U n haz de luz no polarizada, AB en la figura 24-1, incide bajo un ángulo de unos 57° sobre la primera superficie de vidrio en B. Después vuelve a reflejarse bajo el mismo ángulo de 57° en una segunda lámina de vidrio C paralela a la primera, como aparece a la izquierda. Girando ahora la lámina superiqr alrededor del eje BC, se ve que la intensidad del haz reflejado disminuye, llegando a anularse para un giro de 90°, L a

rotación alrededor de BC no altera el ángulo de incidencia. E l experimento resulta mejor si se pintan de negro las superficies posteriores de las láminas. E l primer haz reflejado BC parece entonces quedar cortado y desaparecer en C'l Girando aún más el espejo superior alrededor de BC, reaparece el haz reflejado CD, aumentando su intensidad hasta alcanzar un máximo para un ángulo de giro de 180°. Continuando la rotación, la intensidad vuelve a anularse para 270° y a ser máxima para 360°, que es el punto de partida.

Si el ángulo de incidencia en ¡ cualquiera de los dos espejos no es de 57°, el haz dos veces reflejado pasará por máximos y mínimos como antes, pero la intensidad en los mínimos no será nula. E n otras palabras, de C partirá siempre un haz reflejado. Llamando <f>, en general, al ángulo de incidencia, el valor crítico <£, que produce mínimos nulos después de la segunda reflexión, se denomina ángulo de polarización y varía con el tipo de vidrio utilizado. Antes de intentar explicari este experimento-vale la pena considerar brevemente las ideas aceptadas sobre i la naturaleza de las vibraciones en la luz ordinaria y en la polarizada.

24-2. Representación de las vibraciones luminosas.—De acuerdo con la teoría electromagnética,: cualquier tipo de luz consiste en ondas transversales, en las que las magnitudes que vibran son los vectores eléctrico y magnético. La cuestión de elegir cuál de los dos se ha de considerar que constituye las «vibraciones» será aplazada para después (Sec. 25-12), pero es indiferente por el momento para nuestro propósito. Supongamos que en un haz luminoso que se propaga hacia el observador, a lo largo del eje +2 en la figura 24-2, el vector eléctrico ejecuta en un cierto instante una vibración lineal con la amplitud y dirección indicadas. Si esta vibración permanece inalterada, diremos que la luz está polarizada

SEC. 24-2] REPRESENTACION DE LAS VIBRACIONES LUMINOSAS 533

.

/ \ \ / \ \

/ \ \ / \ \ / V -fí \ / \ 1

1 1 1 \

1 -1 /

\ / \ / \ /

\ v /

FIG. 24-2.—Vibración en un haz luminoso visto de frente.

linealmente, pues sus vibraciones se limitan al plano que contiene al eje z y que se halla determinado por el ángulo 0. Si, por el contrario, la luz no está polarizada, como la mayor parte de la luz natural, podemos imaginar que se producen súbitos y arbitrarios cambios de 8, los cuales tienen lugar con intervalos del orden de 10~8 seg. Todas las direcciones de A han de considerarse como igualmente probables, de modo que, como se indica mediante la circunferencia de trazos de la figura 24-2, el efecto medio es completamente simétrico alrededor de la dirección de propagación.

Esta representación de la luz no polarizada, aunque correcta, está excesivamente simplificada, pues si hay fluctuaciones en la orientación, también deberá haberlas en la amplitud. Además, las vibraciones lineales son un caso particular de las elípticas, y no hay ninguna razón para que este tipo especial sea el preferido. Por tanto, en una representación más real, hablaremos de vibraciones elípticas que cambien frecuentemente de tamaño, excentricidad y orientación, pero restringidas al plano x, y. Sin embargo, esta complejidad presenta pocas dificultades, pues como todos los acimutes son equivalentes, la representación más simple en términos de vibraciones lineales, de amplitud constante y orientación rápidamente variable, describe completamente los hechos. Además, dado que el movimiento sobre una elipse equivale a dos movimientos lineales perpendiculares (Sec. 12-9), las dos descripciones son matemáticamente la misma.

Aún existe otra representación quizá más útil de la luz no polarizada. Si descomponemos la vibración de la figura 24-2 en

dos componentes lineales Ax = A eos d,Ay=A sen 0, estas serán por lo general diferentes. Pero si suponemos que 0 toma todos los valores al azar, el resultado neto es como si tuviésemos dos vibraciones perpendiculares de amplitudes iguales, pero sin coherencia de fase. Cada una es la resultante

(a) 4 4 4

--H~ ib)

id)

le)

FIG. 24-3.—Representación de haces polarizados linealmente y naturales.

1 H 1 I H W - f

534 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

de un gran número de vibraciones individuales con fases al azar {Sec 12-4), lo que origina una incoherencia completa. L a figura 24-3 muestra una forma usual de visualizar estas vibraciones, representando las partes (a) y (b) las componentes polarizadas linealmente, y (c) las dos reunidas en un haz no polarizado. Los puntos corresponden a las vibraciones lineales perpendiculares al plano del papel, y las flechas, a las contenidas en él. Así (d), (e) y (/) indican cómo se verían las vibraciones {a), (b) y (c) mirando en la dirección de los rayos.

24-3. Angulo de polarización y ley de Brewster.—Consideremos

4* •

O y , - 5 7 ° ^57° ¿<

0 \ , 90°

-33¿>C

\\\ F I G . 24-4.—(a) Polarización por reflexión y refracción. (6) Ley de Brewster para

el ángulo de polarización.

que un haz de luz no polarizada incide bajo un ángulo <f> sobre un dieléctrico, tal como el vidrio, conforme indica la figura 24-4 (a). Habrá siempre un rayo reflejado OR y otro refractado 0T. U n experimento como el descrito en la sección 24-1, y representado en la figura 24-1, demuestra que el rayo reflejado OR está parcialmente polarizado, y que solo para cierto ángulo, alrededor de los 57° para el vidrio ordinario, se halla totalmente polarizado. Brewster descubrió por primera vez que para este ángulo de polarización $ los rayos reflejado y refractado forman exactamente un ángulo de 90°. Este notable descubrimiento permite relacionar la polarización con el índice de refracción

sen <f> sen <p" - n [24-1]

Como para <j> el ángulo ROT = 90°, tenemos que sen <f>' = eos </>, lo que da

S E C . 24-4] POLARIZACION POR U N A PILA D E LAMINAS 535

sen <f> sen $ =• n = tg j> [24-2]

sen </>' cos <f>

Esta es la ley de Brewster, que dice que el ángulo de polarización depende solo del índice de refracción. Varía, por tanto, algo con la longitud de onda, pero para el vidrio ordinario la dispersión es tal que el ángulo de polarización <£ no cambia mucho a lo largo del espectro visible. Esto se comprueba fácilmente calculando <j> para varias longitudes de onda a partir de los valores de n de la tabla 23-1, como se sugiere en uno de los problemas correspondientes a este capítulo. ¡

No es difícil comprender la razón física por la cual la luz que vibra en, el plano de incidencia no se refleja para el ángulo de Brewster. L a luz incidente hace oscilar los electrones de los átomos de la sustancia, y la radiación de estos engendra el haz reflejado. Ahora bien: cuándo este último se observa en una dirección que forma un ángulo de 90° con el haz refractado, solo contribuirán las vibraciones perpendiculares al plano de incidencia. Las situadas en dicho plano no tienen componente transversal a la dirección de 90° y, por tanto, no pueden radiar en dicha dirección. L a razón es la misma que hace que la radiación emitida por la antena horizontal de un radiotransmisor se anule en la dirección de los hilos que la forman. Si el lector tiene en cuenta esta descripción y que las ondas luminosas son rigurosamente transversales, no encontrará ninguna dificultad para recordar cuál de las dos componentes se refleja cuando la incidencia tiene lugar bajo el ángulo de polarización]

24-4. Polarización por una pila de láminas.—Examinando la luz refractada en la figura 24-4¡(a), se ve que está parcialmente polarizada para todos los ángulos de incidencia, no habiendo ninguno para el cuai esté totalmente polarizada. L a acción de la superficie reflectante puede describirse más o menos como sigue: Supongamos que la luz ordinaria incidente se halla formada por dos haces perpendiculares entre sí y polarizados linealmente como se indicó en la sección 24-2. De las ondas que vibran en el plano de incidencia, es decir, en el plano de la figura, parte se reflejan y parte se refractan para todos los ángulos, con la sola excepción del ángulo de polarización <£, para el cual toda la luz se refracta. De las ondas que vibran perpendicularmente al plano de incidencia, parte de su energía se refleja y el resto se refracta para cualquier ángulo de incidencia. Así, el rayo refractado contiene siempre algo de ambos planos de polarización. Para una sola superficie de vidrio de índice n = 1,50 se demostrará más tarde [Sec. 25-1 y Fig. 25-2 («.)] que para el ángulo de polarización se

536 POLARIZACION Í>E LA LUZ i ¡CAP. 24

FIG. 24-5.—Polarización de la luz por una pila de láminas.

transmite el 100 % de la luz que vibra paralelamente al plano de incidencia, mientras que de la perpendicular a dicho plano solo se transmite el 85 %, reflejándose el otro 15 %. Evidentemente, el grado de polarización del haz transmitido es pequeño tratándose de una sola superficie. j ¡ i

Si un haz de luz ordinaria incide bajo el ángulo de polarización sobre una pila de láminas como la de la figura 24-5, algunas de las vibraciones perpendiculares al plano de incidencia se reflejarán en cada una de las superficies y todas las paralelas a él se refractarán. E l resultado será que todos los haces reflejados están polarizados linealmente en el mismo plano, mientras el haz refractado, que ha ido perdiendo paulatinamente sus componentes perpendiculares, se halla parcialmente polarizado. Cuanto mayor sea el número de superficies, tanto más polarizado estará el haz emergente. Esto queda ilustrado gráficamente en las figuras de vibración de la parte izquierda de la figura 24-5. E n un estudio más detallado de la polarización por reflexión y refracción (Cap. X X V ) se demuestra que el ángulo de polarización para la reflexión interna corresponde exactamente al ángulo de refracción f de la figura 24-4 (b). Esto significa que la luz reflejada interiormente bajo el ángulo ifi' estará también polarizada linealmente.

Puede calcularse el grado de polarización P de la luz transmitida sumando las intensidades i de las componentes paralelas

i

S E C . 24-5] L E Y D E M A L U S 537

y perpendiculares. Llamando a estas intensidades IP e IS, respectivamente, se ha demostrado que 1

/* + Is m

[24-3], m 4-

\ 1 — /

donde m es el número de láminas (es decir, 2m superficies) y n su índice de refracción. Esta ecuación demuestra que utilizando un número suficiente de láminas puede conseguirse que el grado de polarización se aproxime a la unidad, o sea al 100 %. Actualmente se dispone de mejores métodos para obtener un ancho haz de luz polarizada, que se describirán más adelante. Sin embargo, la pila

polar/zador ána/izac/or

(a) (6)

FIG. 24-6.—Láminas de vidrio montadas bajo el ángulo de polarización <f>.

de láminas puede utilizarse para ilustrar un dispositivo común de producción y análisis de luz polarizada.

La figura 24-6 muestra dos de estas pilas: el polarizador (a) y el analizador (£>), con sus planos de incidencia paralelos. L a luz. que emerge de N está casi polarizada, y se transmitirá libremente a través del analizador. Girando este último 90° alrededor de NM casi se extinguirá la luz transmitida, ya que las vibraciones son ahora perpendiculares al plano de incidencia del analizador y serán reflejadas lateralmente. Un nuevo giro de 90° hará aparecer la luz, y en una revolución completa se producirán dos máximos y dos mínimos. Cualquier dispositivo con un polarizador seguido-de un analizador se denomina -polariscopio, y veremos tiene numerosas aplicaciones.

24-5. Ley de Malus 2.—Esta ley establece cómo varía la intensidad transmitida por el analizador con el ángulo que forma

1 F . PROVOSTAYE y P. DESAINS; Aun. chim. et phys., 30, 159, 1850. El cálculo, considera no solo el rayo que pasa directamente, sino también los reflejados interiormente dos o más veces (véase Fig. 24-5). Sin embargo, no incluye los efectos, de la absorción, que harían aumentar algo P por encima del valor dado por la. ecuación .[24-3].

2 Etienne Malus (1775-1812), ingeniero militar francés. Su descubrimiento de-la polarización por reflexión lo realizó casualmente mirando a través de un cristal de calcita la luz reflejada en las ventanas del Palacio de Luxemburgo.

538 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

plano del polarizador

i

su plano de transmisión con el del polarizados E n el caso de dos pilas de láminas, el plano de transmisión es el plano de incidencia, y para que se verifique la ley de Malus hemos de suponer que la luz transmitida está totalmente polarizada. Una mejor ilustración se obtendría con el experimento de la doble reflexión de la sección 24-1, o mediante una combinación de dos polaroides o dos prismas de Nicol, en los cuales la polarización es completa. Entonces la ley de Malus establece que la intensidad transmitida varía cómo el cuadrado del coseno del ángulo formado por los dos planos •de transmisión.

L a demostración de esta ley se basa en el simple hecho de que •cualquier vibración polarizada linealmente, como, p. ej., la pro-

1 ' ducida por nuestro polarizador, puede descomponerse en dos: una paralela al plano de transmisión del analizador y otra normal a él, y solo se transmite la primera. E n la figura 24-7, A representa la amplitud transmitida por el polarizador, cuyo plano de transmisión corta al de la figura según la línea de trazos vertical. Cuando esta luz incide en el analizador, bajo el ángulo 0, podemos descomponer la amplitud incidente en sus componentes A^ y A 2 , siendo esta última eliminada por el analizador. E n la pila de láminas es reflejada lateralmente. L a amplitud de la luz que atraviesa el analizador es, por tanto,

plano del analizador

JFIG. 24-7.—Descomposición de la amplitud de la luz polarizada lineal

mente.

y su intensidad A± = A eos 0

IT = A? == A 2 eos2

= I0 eos2 i

[24-4]

[24-5]

•donde I0, intensidad de la luz polarizada incidente, es, naturalmente, la mitad de la intensidad de la luz no polarizada que llega al polarizador, despreciando las pérdidas de luz por absorción al atravesarlo. También habrá pérdidas en el analizador. E n el caso de polaroides o nicoles desaparecerá alguna luz, que es eliminada del haz por reflexión en las superficies. Aunque se han despreciado estos efectos al deducir la ecuación [24-5], obsérvese que solo influyen en la constante de la ecuación, conservándose la dependencia

S E C . 24-6] POLARIZACION POR CRISTALES DICROICOS 539

respecto a eos2 6 de la intensidad relativa. Así, la ley de Malus • es rigurosamente exacta y se aplica, p. ej., a la intensidad de la luz doblemente reflejada en el experimento de la sección 24-1, aunque su valor máximo es solo una i pequeña fracción de la intensidad original. E n tales casos, la 7 0 de la ecuación [24-5] es simplemente la intensidad cuando el polarizador y el analizador son paralelos.

24-6. Polarización por cristales dicroicos.—Estos cristales tienen la propiedad de absorber selectivamente una de las dos componentes rectangulares de la luz ordinaria. U n cierto número de minerales y algunos compuestos orgánicos presentan dicroísmo. Entre los minerales mejor conocidos a este respecto se encuentra

FIG. 24-8.—Láminas dicroicas én posiciones paralelas y cruzadas.

la turmalina. Cuando un pincel de luz natural pasa a través de una fina lámina de turmalina, como la T1 representada en la figura 24-8, la luz transmitida está polarizada. Esto se puede comprobar mediante un segundo cristal T2. Cuando 7\ y T2 son paralelos, la luz transmitida por el primero pasa también a través del segundo. Girando este 90° deja !de transmitir por completo. Este efecto se debe a que la turmalina absorbe selectivamente todos los rayos que vibran en un plano determinado (llamados, por razones que veremos después, vibraciones O), pero no los que vibran en un plano perpendicular al anterior (llamados vibraciones E). De este modo, en las figuras representadas solo se transmiten las vibraciones E paralelas a los bordes mayores de los cristales, por lo que no emergerá ningún rayo cuando los cristales estén cruzados.

E n 1852 Herapath 3 intentó producir cristales polarizantes de gran abertura. Consiguió obtener cristales muy aceptables, aunque pequeños, del compuesto orgánico yodosulfato de qui-

3 W . B . HERAPATH: Phil. Mag., 3, 161, 1852.

540 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

nina (hoy conocido como herapatita), que absorben completamente una de las componentes de polarización y transmiten la otra con pocas pérdidas. Una de las variedades de las llamadas láminas polaroides contiene cristales de esta sustancia. Los polaroides fueron inventados en 1932 por Land 4 , y han encontrado aplicación en muy diversos tipos de instrumentos ópticos. Estas láminas se componen de finas capas de nitrocelulosa rellenas de cristales polarizantes microscópicos con sus ejes ópticos paralelos. Con las técnicas más recientes, el proceso de alineamiento se lleva a cabo más o menos como sigue: se estiran láminas de polivinilo para alinear las moléculas complejas y entonces se impregnan de yodo. Estudiando mediante difracción por rayos X estas láminas di-croicas, se ha observado que el yodo está presente en forma polímera, es decir, como largas cadenas independientes de átomos de yodo, todas paralelas al eje de la fibra, con una periodicidad en esta dirección de unos 3,10 Á. Las láminas preparadas de esta forma se llaman polaroides H . Más tarde, Land y Rogers encontraron que cuando se calienta en presencia de un catalizador deshidrogenante activo, como el cloruro de hidrógeno, una película transparente orientada de alcohol polivinílico, esta se oscurece ligeramente y se hace fuertemente dicroica. Tales láminas son muy estables, y como no contienen ningún colorante, no se blanquean por la luz solar intensa. E l llamado polaroide K es muy adecuado para obtener láminas polarizantes utilizadas en los faros de automóviles y viseras. ¡

24-7. Doble refracción.-—La producción y estudio de la luz polarizada en un amplio intervalo de longitudes de onda que ofrece

FIG. 24-9.—Formas cristalinas de la calcita y del cuarzo. Se ha indicado la di

rección del eje óptico.

C3/CÜ3 I

X

cuarzo \,

V i el polaroide, se basa en el fe-: nómeno de la doble refrac-i ción que se presenta en los i cristales de calcita y cuarzo. \ Ambos cristales, que se en-! cuentran en la Naturaleza, son | transparentes tanto para la I luz visible como para la ultra

violeta. La" calcita, que químicamente es carbonato calcico (C03Ca), se presenta en la Naturaleza en una gran variedad de formas ¡ cristalinas (de la clase romboédrica del sistema hexagonal), que se fragmen-

4 Un buen resumen del desarrollo de las láminas polarizadoras se encuentra en E. H. LAND: / . Opt. Soc. Am:, 41, 957, 1951. \ \

S E C . 24-7] D O B L E R E F R A C C I O N 541

tan fácilmente en romboedros sencillos de la forma representada en la figura 24-9, a la izquierda. Cada cara del cristal es un para-lelogramo cuyos ángulos miden 78°5' y 101 °55'. Golpeando con un instrumento cortante, cada cristal se rompe a lo largo de los planos de exfoliación, dando dos o más cristales cuyas caras son siempre paralelogramos con los mismos ángulos.

Los cristales de cuarzo, por el contrario, adoptan en estado natural muchas formas distintas, siendo una de las más complicadas

B B FIG. 24-10.—Doble refracción de la luz en un cristal de calcita.

la representada en la parte derecha de la figura 24-9. A diferencia de la calcita, los cristales de cuarzo no se exfolian según los planos cristalinos, sino que se rompen en trozos irregulares cuando se les da un golpe brusco. E l cuarzo es sílice pura (Si02). Y a daremos más detalles sobre estos cristales tanto en este capítulo como en los tres siguientes.

Cuando un haz de luz ordinaria incide sobre un cristal de calcita o de cuarzo, además del haz reflejado hay dos haces refractados en lugar de uno, como es lo normal. A este fenómeno, representado en la figura 24-10, se le denomina doble refracción. Midiendo los ángulos de refracción <f>' correspondientes a diferentes ángulos de incidencia <f>, vemos que la ley de Snell

sen <p" sen <f>' = n [24-6]

se cumple para un rayo, pero no para el otro. E l primero se llama rayo ordinario o rayo O, y el otro, rayo extraordinario o rayo E.

Como las dos caras opuestas de un cristal de calcita son siempre paralelas, los dos rayos refractados emergen paralelos al haz incidente, siendo, por tanto, paralelos entre sí. Dentro del cristal, el rayo ordinario está siempre en el plano de incidencia. Para el rayo extraordinario esto solo se verifica en direcciones determinadas a través del cristal. Si la luz incidente es normal a la superficie, el rayo extraordinario se refractará bajo un ángulo distinto de cero y emergerá paralelo al incidente, pero desplazado respecto de él; el rayo ordinario pasará sin experimentar ninguna desvia-

542 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

ción. Si se hace girar el cristal en torno al rayo fijo 0, el rayo E girará alrededor- de él.

24-8. , Eje óptico.—La calcita y el cuarzo son ejemplos de cristales anisótropos, o sea aquellos en los cuales las propiedades físicas varían con la dirección. Todos los cristales, excepto los que pertenecen al sistema regular, son anisótropos en mayor o menor grado. Los, dos ejemplos mencionados pertenecen al tipo más sencillo de anisotropía: el de los cristales uniáxicos. E n ellos existe una sola dirección llamada eje óptico, que es un eje de simetría tanto respecto a la forma del cristal como a la disposición de sus átomos. Midiendo cualquier propiedad, como la conductividad térmica, en diferentes direcciones, se encuentra que es la misma a lo largo de cualquier recta perpendicular al eje óptico. Para otros ángulos varía, alcanzando un máximo o un mínimo a lo largo de tal eje. La figura 24-9 muestra las direcciones del eje óptico en la calcita y en el cuarzo.

E n los cristales uniáxicos desaparece la doble refracción cuando la luz penetra en el cristal en la dirección del eje óptico. Esto es, no hay separación de los rayos O y £ en este caso. Lo mismo ocurre en las direcciones perpendiculares al eje, pero entonces los rayos 0 y E tienen distinta velocidad. E n el capítulo X X V I I se examinarán las consecuencias de esta última diferencia.

E l eje óptico de la calcita se determina trazando una línea recta xx por uno de los vértices obtusos del cristal, de modo que forme ángulos iguales con todas las caras. U n vértice obtuso es aquel en el que concurren tres caras obtusas, y hay solo dos de estos vértices, que se encuentran, más o menos, opuestos entre sí. E n el cuarzo, el eje óptico y y' es longitudinal y paralelo a las seis caras laterales del cristal. Téngase muy en cuenta que el eje óptico no es una línea concreta que atraviesa el cristal, sino una dirección. Es decir, por cada punto del cristal pasa un eje óptico paralelo al que pasa por cualquier otro punto.

24-9. Secciones y planos principales.—Para especificar las posiciones de los cristales, y también las direcciones de los rayos y de las vibraciones, es cómodo utilizar la sección principal, determinada por un plano que contiene al eje óptico y es normal a cualquier cara de exfoliación. Por cada punto de un cristal de calcita pasan, por consiguiente, tres secciones principales, una por cada par de caras opuestas. Una sección principal corta siempre a un cristal de calcita según un paralelogramo con ángulos de 71° y 109°, como se ve a la izquierda de la figura 24-10. Una sección principal vista de perfil corta a la superficie según una recta paralela a A B, representada por una línea de trazos en la parte derecha de la figura. Todos los demás píanos , que v pasan por el cristal paralelos al representado por A B son también sec-

SEC. 24-10] POLARIZACION POR DOBLE REFRACCION 543

ciones principales. Están representados por las otras líneas de trazos.

L a sección principal, así definida, no siempre basta para describir las direcciones de las vibraciones. Por ello vamos a utilizar los otros dos planos: el plano, principal del rayo ordinario, que contiene al eje óptico y al rayo ordinario, y el plano principal del rayo extraordinario, determinado por el eje óptico y el rayo E. E l rayo ordinario está siempre en el plano de incidencia., Esteno sucede en;general para el; rayo extraordinario. Los planos principales de los dos rayos refractados no coinciden, salvo en casos especiales. Estos casos especiales son aquellos en los cuale-5 el plano de incidencia es una sección principal como la representada en la figura 24-10. E n estas condiciones, tanto el plano de incidencia como la sección principal y los planos principales de los rayos O y E coinciden.

24-10. Polarización por doble refracción.—La polarización de la luz por doble refracción jen la calcita fue descubierta el año 1678 por Huygens. Hizo pasar un haz luminoso a través de dos cristales en la forma representada en la parte superior de la figura 24-11. Si las secciones principales son paralelas, ambos rayos O' y E' estarán separados por tina distancia igual a la suma de los dos desplazamientos que produciría cada uno de los cristales por separado. A l girar el segundo cristal, ambos rayos O y E se refractarán en dos partes, por lo que tendremos cuatro rayos,

FIG, 24-11.—Doble refracción y polarización en dos cristales de calcita cuyas secciones principales forman diversos ángulos.

¡ ¡

544 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

mostrados en (b) si se mira longitudinalmente. E n la posición (c), correspondiente a un giro de 90°, los rayos originales O' y E' han desaparecido y los nuevos rayos O" y E" han alcanzado u n máximo de intensidad. Un nuevo giro hace reaparecer los rayos originales, y, finalmente, si los cristales son de igual espesor, se juntan formando un solo haz en el centro para la posición correspondiente a 180°, representada al pie de la figura, habiendo desaparecido los rayos O" y E". ¡

Así, sin más que utilizar dos cristales de calcita, Huygens íla luz. La explicación del movi-simplemente la desviación pro-

pudo demostrar la polarización de miento de los rayos luminosos es -ducida por refracción, y puede comprenderse con facilidad. Sin embargo, las variaciones de intensidad se deben a la polarización experimentada por los dos haces luminosos que salen del primer cristal. Brevemente la explicación es, más o menos, como sigue: X a luz ordinaria, al atravesar el primer cristal, se divide en dos rayos polarizados linealmente, uno, el O, que vibra perpendicu-iarmente al plano principal, que coincide en este caso con la sección principal, y otro, el rayo E, que vibra en la sección principal. E n otras palabras: el cristal descompone la luz en dos componentes, haciendo que ambos tipos de vibración recorran trayectorias •distintas.

Consideremos ahora con más detalle lo que sucede a uno de los haces, polarizados linealmente por el primer cristal, cuando

atraviesa el segundo, que forma con aquel un ángulo arbi-

£ trario 0. E n la figura 24-12, A representa la amplitud del rayo E, que vibra paralelamente a la sección principal de] primer cristal en el momento de incidir sobre la superficie del segundo. Este, como el primero, transmite la luz que vibra en su sección principal a lo largo de una trayectoria y la que vibra : normalmente a lo largo de otra. -Por tanto, el rayo E se divide en dos componentes: E', con una amplitud A cos 6, y O", con una amplitud A sen 0. Estos emergen del segundo cristal con intensidades re la t ivas dadas por A2 eos2 0 y A2 sen2 0. Cuando

» B FIG. 24-12.—Descomposición de la luz polarizada en componentes por doble re

fracción.

SEC. 24-11] PRISMA DE NICOL 545

6 = 90°, E' se anula y O" tiene intensidad máxima, A 2 . Para todas las posiciones, la suma de las dos componentes, A 2 sen2 8 -f-+ 42 eos2 6 es justamente ^42, intensidad del haz incidente.

Del mismo modo podríamos descomponer el haz 0, procedente del primer cristal, en dos haces O' y E", polarizados linealmente.

24-11. Prisma de Nicol.—Este dispositivo polarizador, de gran utilidad, se obtiene a partir de un cristal de calcita y debe su nombre a su inventor 5. E l prisma de Nicol se construye de modo que elimine, por reflexión total, uno de los dos rayos refractados,

FIG. 24-13.—Diagrama detallado de un prisma de Nicol y su obtención a partir de un cristal de calcita.

como ilustra la figura 24-13. Existen diversas formas de prismas de Nicol 6 , pero solo describiremos una de las más comunes. Se parte de un cristal unas tres veces más largo que ancho y se cortan sus caras extremas, de modo que el ángulo de 71° en la sección principal pase a ser de 68°. Entonces se secciona el cristal según el plano A'D' perpendicular a la vez a la sección principal y a las caras extremas. Después se pulimentan las dos superficies del corte y se hacen ópticamente planas, pegándolas a continuación con bálsamo del Canadá. Se utiliza el bálsamo del Canadá por ser una sustancia muy transparente con un índice de refracción aproximadamente intermedio entre los de los rayos' 0 y E. Para la luz de sodio,

índice del rayo O n0 = 1,65836 índice del bálsamo del Canadá nB = 1,55 índice del rayo £ n¡¡ = 1,48641

5 William Nicol (1768-1851), filósofo natural escocés, que adquirió gran experiencia en tallar y pulimentar, gemas y cristales. Ideó su prisma en 1828, y se dice •que él mismo no entendió completamente cómo consiguió su objeto.

6 Se encontrarán descripciones muy completas sobre prismas polarizantes en A. JOHANNSEN: Manual of Peirographic Methods, 2.A ed., págs. 158-64, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1918.

J E N K I N S - W H I T E . — - 3 5

546 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

Opticamente, ei bálsamo es más denso que la calcita para el rayo E y menos para el O. Por tanto, el rayo E se refractará a través del bálsamo y de la calcita, mientras que el rayo O, para ángulos de incidencia suficientemente grandes, se reflejará totalmente. E l ángulo límite para la reflexión total del rayo 0 en la primera superficie calcita-bálsamo es de unos 69° y corresponde a un ángulo máximo SMS0 de unos 14°. Para ángulos mayores que este, parte del rayo O será transmitido. Esto significa que un nicol no debe utilizarse con luz muy convergente o divergente.

E l rayo E tiene, por tanto, en un nicol un límite angular que excede de aquel para el cual se reflejará totalmente en el bálsamo. Ello se debe.al hecho de que el índice de refracción de la calcita varía con la dirección a través del cristal. E n el capítulo próximo se verá que el índice nE = 1,486, que suele darse de ordinario, solo es válido para el caso especial de luz que se propaga Derpen-dicularmente al eje óptico. A lo largo de este eje el rayo E tiene la misma velocidad que el O, y, por tanto, tiene el mismo índice 1,658. Para ángulos intermedios, el índice efectivo varía entre los límites 1,486 y 1,658. Existirá, pues, un ángulo máximo SMSE, por encima del cual el bálsamo será ópticamente menos denso que la calcita y las vibraciones E se reflejarán totalmente. E l prisma se talla, pues, de forma que este ángulo sea también de unos 14°. Por tanto, la dirección de incidencia en un nicol está limitada de modo que se evite, de una parte, la propagación del rayo 0, y, de otra, que el E se refleje totalmente. E n la práctica es importante tener presente estas limitaciones.

polarizador analizador

FIG. 24-14.—DOS meóles, montados como polarizador y analizador.

SEC. 24-13] REFRACCION POR PRISMAS D E CALCITA 547

Se construyen a veces prismas polarizadores que tienen sus caras extremas perpendiculares a las aristas, de modo que la luz entra y sale normalmente a la superficie. E l prisma más conocido de ester tipo es el de Glan-Thompson, que tiene una abertura o tolerancia angular de cerca de 40°, mucho mayor que el de Nicol. Pero este prisma ha de cortarse con el eje óptico paralelo a las caras extremas, lo cual supone un derroche de calcita, ya que exige cristales grandes, que son caros y difíciles de conseguir. Hay otro tipo en el cual las dos mitades se mantienen unidas de modo que quede entre ellas una lámina de aire en lugar de bálsamo. Este; dispositivo, llamado prisma de Foucault, transmite luz ultravioleta! Sin embargo, tiene una abertura angular de solo unos 8 o , y se presentan algunas dificultades debidas a las inter^ ferencias que se producen en la lámina de aire.

24-12.—Nicoles paralelos y cruzados.—Alineando dos nicoles, como en la figura 24-14, tenemos un buen polariscopio (Sec. 24-4). Las posiciones (a) y (c) se denominan de nicoles paralelos, y el rayo E es transmitido. Hay una pérdida de alrededor de un 10 % de la luz incidente por reflexión en las caras de los prismas y por absorción en la: capa de bálsamo, por lo que la transmisión total en un nicol es aproximadamente el 40 % para luz incidente no polarizada. La posición (b) de la figura representa una de las dos posiciones denominadas de nicoles cruzados. En este caso el rayo E, procedente del primer nicol, se convierte en un rayo O en el segundo, donde se refleja totalmente. Para ángulos intermedios, las vibraciones incidentes E que llegan del primer nicol se desdoblan en dos componentes como indica el diagrama vectorial de la figura 24-12, donde 0 es el ángulo formado por las secciones principales de ambos nicoles. L a componente E' es transmitida por el segundo nicol con la intensidad A2 eos2 0, y la O" se refleja totalmente. ¡

24-13. Refracción por prismas de calcita.—A veces se tallan prismas a partir de cristales de calcita para ilustrar simultáneamente la doble refracción y la dispersión, así como la refracción sencilla en la dirección del eje óptico. L a figura 24-15 representa dos prismas regulares de calcita, el primero con el eje óptico para-

A (a) i .4 ib)

FIG. 24-15.—Refracción doble y sencilla: de luz blanca por prismas de calcita.

548 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

lelo a la arista refringente A, y el otro con el eje óptico paralelo a la base perpendicular a A. E n el primero se produce doble refracción para todas las longitudes de onda y, por tanto, dos espectros completos de luz polarizada linealmente, uno con el vector eléctrico paralelo al plano de incidencia y el otro con el vector eléctrico perpendicular a él. Intercalando un polarizador 7 en los haces incidente o refractado puede realizarse una interesante demostración de esta polarización. A l girar el polarizador desaparece primero uno de los espectros y después el otro.

E n el segundo prisma [Fig. 24-15 (&)], solo se observa un espectro como en los prismas de vidrio. E n este caso la luz se propaga en la dirección del eje óptico o formando pequeños ángulos con ella, por lo que ambos espectros se superponen. Ahora, cuando se hace girar un polarizador, no se altera la intensidad como ocurría con el prisma anterior. Én el capítulo X X V I , al tratar más detalladamente de la ¡doble refracción, se aclararán estas observaciones experimentales.

24-14. Prismas de Rochon y Wollaston.—A veces se desea desdoblar un haz luminoso en dos componentes polarizadas lineal-

F I G . 24-16.—(a) Prisma de Rochon, y (6) prisma de Wollaston hechos de cuarzo.

mente, reteniendo ambas para una comparación posterior de sus intensidades. Con este fin se haní ideado otros tipos de prismas, siendo los más satisfactorios los de Rochon y Wollaston. Estos dispositivos ópticos, llamados a veces prismas de doble imagen, son de cuarzo o calcita cortados t bajo ciertos ángulos y unidos con glicerina o aceite de ricino, j

E n el prisma de Rochon [Fig. 24-16 {a}], la luz que incide normalmente a la superficie se propaga en el primer prisma en la dirección del eje óptico, y al llegar al segundo experimenta la doble refracción. E l eje óptico del segundo prisma es perpendicular

7 Aunque los nicoles proporcionan una polarización más completa que cualquiera de los dispositivos que se encuentran comúnmente en los laboratorios, las láminas polaroides y las pilas de láminas de vidrio son muy adecuadas para casi todas las demostraciones experimentales, j

S E C . 24-15] POLARIZACION POR DIFUSION 549

al plano de la figura, lo que se ha indicado mediante puntos. E n el prisma de Wollaston [Fig. 24-16 (b)] la luz que entra normal a la superficie se propaga perpendicularmente al eje óptico hasta llegar a la superficie de separación, de los dos prismas, donde tiene lugar la doble refracción. L a diferencia esencial entre ambos se ha representado en las figuras por las direcciones de los dos rayos refractados. E l prisma de Rochon transmite las vibraciones O sin desviación, siendo el haz acromático. Ello suele ser deseable en instrumentos ópticos en los que solo se necesita un haz polarizado linealmente. E l haz E, que es cromático, se suprime con facilidad mediante pantalla a una distancia suficientemente grande del prisma.

E l prisma de Wollaston desvía los dos rayos, obteniéndose en consecuencia una mayor separación entre ambos haces, que son ligeramente cromáticos. Suele emplearse para comparar intensidades. Estas intensidades serán, naturalmente, iguales en el caso de luz no polarizada, pero diferirán si la luz presenta cualquier forma de polarización. Advertiremos que en el prisma de Rochon la luz ha de entrar siempre por la izquierda, para que empiece a propagarse a lo largo del eje, como indica la figura. E n caso contrario, las diferentes longitudes de onda emergerían vibrando en planos diferentes debido a un fenómeno llamado dispersión rotatoria (véase Sec. 28-2). Este fenómeno, así como las direcciones que toman los haces doblemente refractados en el cuarzo, sé tratarán con detalle en los capítulos siguientes.

24-15¿ Polarización por difusión.—La difusión no es un método práctico de polarización, pues esta suele ser incompleta y

v

FIG. 24-17.—(a) Difusión de la luz por la atmósfera terrestre, (i) Polarización por difusión en una sola partícula.

550 POLARIZACION D E LA LUZ [CAP. 24

la intensidad muy pequeña. E l estudio de los efectos de polarización en la luz difundida por pequeñas partículas da, sin embargo, información interesante sobre la naturaleza de las partículas y sobre la luz misma. Observando el cielo azul a través de un pola-roide o de un nicol, en dirección perpendicular a los rayos solares, es decir, a lo largo de la línea QP de la figura 24-17 (a), la intensidad variará notablemente al girar el analizador. Por tanto, la luz del cielo está polarizada, al menos parcialmente, por difusión.

Esta polarización es una prueba directa del carácter transversal de las ondas luminosas. E n la figura 24-17 (b) sea P una pequeña partícula cargada, p. ej., un electrón de un átomo o molécula. Por su izquierda inciden ondas electromagnéticas no polarizadas, que obligan a la partícula a ejecutar vibraciones forzadas de la misma frecuencia de las ondas. Estas vibraciones engendrarán ondas difundidas esféricas cuya amplitud y polarización variarán con la dirección, como indica la figura. La amplitud es proporcional a la proyección de la amplitud del oscilador sobre la perpendicular a la dirección de observación. Así, para vibraciones forzadas en la dirección y de la figura 24-17 (6), la amplitud difundida en el plano x, y variará como cos 6, siendo nula para 6 = 90°, es decir, a lo largo del eje y. Para las correspondientes a la dirección z permanecerá constante en cualquier dirección del plano x, y, pero disminuirá en el plano x,z hasta anularse a lo largo del eje z. L a intensidad de la difusión de Rayleigh de luz incidente no polarizada es proporcional a la suma de los cuadrados de las dos amplitudes difundidas y, por tanto, a 1 -f- eos2 6. Alcanza su valor máximo en direcciones hacia adelante y hacia atrás.

E n cualquier dirección perpendicular al haz primario, la luz difundida estará, según esta descripción sencilla, completamente polarizada. Se verá que esto es una consecuencia de la falta de componente longitudinal (a lo largo de x) de la luz que actúa sobre P. Para otros ángulos 0, la luz estará parcialmente polarizada, tendiendo a cero el grado de polarización cuando 0 tiende a 0° o a 180°. Suele observarse, p. ej., en la luz del cielo que a 90° la polarización no es completa. Ello puede deberse a cualquiera de estas tres causas:

1. Difusión múltiple.—Si la luz que llega al observador se ha difundido dos o más veces, las relaciones espaciales son más complicadas y las conclusiones, por tanto, diferentes.

2. Anisotropía molecular.-—En muchas moléculas el desplazamiento del electrón no tiene lugar en la misma dirección del campo aplicado. Esta es la razón principal por la que la luz del cielo no está completamente polarizada.

SEC. 24-15] POLARIZACION POR DIFUSION 551

3. Tamaño de las partículas.-—Solo cuando es aplicable la difusión de Rayleigh, es decir, 'cuando las partículas son mucho menores que una longitud de onda, cabe esperar que la polarización sea completa. Es el único caso en que podemos considerar independientes las radiaciones emitidas por los osciladores individuales. Cuanto mayores sean las partículas, menor será el grado de polarización. •• .

Un experimento interesante para demostrar a la vez la polarización de la luz difundida, el origen del azul del cielo y el rojo de los crepúsculos puede realizarse como indica la figura 24-18. L a luz procedente de un manantial brillante 5 (luz solar o arco de carbón) pasa por la lente un depósito de agua clara T, un diafragma con una abertura circular /, una lente L2 y llega, final-

M

F I G . 24-18.—Dispositivo experimental para demostrar la polarización por difusión y el origen del azul del cielo y del rojo de los crepúsculos.

mente, a una pantalla W. L a lente L± produce un haz de luz paralela sobre T, y la L2 enfoca la imagen de la abertura circular / sobre W. Por cada litro de agua de T se disuelven unos 5 g de hiposulfito sódico. E l tanque ha de tener de 30 a 60 cm de longitud. Añadiendo ahora al tanque de l a 2 cm 3 de ácido sulfúrico concentrado comenzarán a precipitarse lentamente finas partículas microscópicas de azufre. Las cantidades correctas de ácido y sal para producir el mejor efecto se determinarán por ensayos sucesivos. Deben transcurrir 2 o 3 min hasta que se forme el primer precipitado visible.

Cuando las partículas empiezan a formarse, la luz azul difundida marcará la 1 trayectoria del haz luminoso a través del agua. Observando mediante un nicol u otro analizador perpendicular--mente a la trayectoria del haz, ¡ se encontrará en primer lugar que la luz está polarizada linealmente, y después, cuando se han formado más partículas, que está parcialmente polarizada, como se había predicho. L a imagen circular brillante de la pantalla, que representa él Sol, varía lentamente de blanco a amarillo,

552 POLARIZACION DE LA LUZ [CAP. 24

después a naranja y, finalmente, a rojo. E n las últimas etapas del experimento la difusión múltiple hace que todo el extremo frontal del tanque sea azul. E l otro extremo es amarillo y naranja, pues el azul y el violeta han sido difundidos fuera del haz. Cuando este experimento ha de realizarse ante un auditorio y no se dispone de analizadores individuales, suele intercalarse un gran nicol o un polaroide en la posición P. Girando este polarizador, la difusión aparece y desaparece cada 90°. U n gran 'espejo M colocado directamente encima del tanque hace visible el haz alternativamente en el espejo y en el tanque.

Realizando un experimento de esta clase, Tyndall descubrió otro tipo de difusión cuando las partículas son suficientemente grandes para difundir luz blanca. Observando la luz blanca difundida a través de un nicol en la posición ordinaria de extinción de la luz azul, vuelve a aparecer este color con brillo aumentado, que Tyndall denominó azul residual. Rayleigh demostró, por consideraciones teóricas, que este tipo de difusión es proporcional a v 8. Cuando las partículas son menores, se desvanece el azul residual y se observa un mínimo nulo.

P R O B L E M A S

24-1. Demuéstrese que cuando la ¡luz incide sobre una lámina de vidrio de caras paralelas bajo el ángulo de polarización, el haz refractado incide también sobre la segunda cara bajo este mismo ángulo.

24-2. Calcúlese la variación del ángulo dé polarización a través del espectro visible (4000 a 7200 Á) para él vidrio crown de borosilicato que figura en la tabla 23-1. Dense solo los valores en los límites extremos y su diferencia. j Sol.: 56,75°; 56,43°; 19'15".

24-3. L a intensidad efectiva de un manantial se reduce utilizando un polarizador y un analizador cuya orientación relativa es 0. ¿Con qué error, en grados, ha de conocerse e para obtener una precisión del 2 % en la intensidad de la luz transmitida para una posición que reduce ía intensidad en la relación aproximada de 1:7?

24-4. L a luz se refleja en una superficie de agua en calma bajo un ángulo tal que el haz reflejado está completamente polarizado, a) ¿Cuáles son los ángulos de incidencia y refracción? b) Descríbase lo que se vería sí se mirase la imagen reflejada del manantial a través de un cristal de calcita y se hiciese girar a este alrededor de la dirección de las rayas reflejadas.

Sol.: a) 53,12°; 36,88°. b) Dos imágenes, una E, que desaparece cuando la sección principal de la calcita es paralela al plano de incidencia, y otra O, que desaparece cuando es perpendicular.

24-5. L a luz natural resulta parcialmente polarizada cuando pasa a través de una sola lámina de vidrio al incidir bajo el ángulo de polarización. Suponiendo un 15 % de reflexión de la intensidad de las vibraciones s.eñ cada superficie (que corresponde a n = 1,50), hállese el grado de polari-

PROBLEMAS 553

zación: a) si se desprecian las reflexiones múltiples dentro de la lámina, y b) si se tienen en cuenta. Hágase una comparación similar para 16 láminas.

24-6. Un haz de luz no polarizada pasa a través de tres cristales di-croicos, el segundo de los cuales forma un ángulo de 20° con el primerc* y el tercero uno de 40° con el primero en el mismo sentido. ¿Cuál será la. intensidad emergente en relación con la luz incidente no polarizada?

Sol.: o,m0. 24-7. Calcúlense las intensidades relativas de las cuatro imágenes O'y

E', O" y E" obtenidas en el experimento de los dos cristales (Fig. 24-11),. cuando el ángulo formado por las secciones principales es de 70°.

24-8. Hállese la divergencia angular de los dos haces procedentes de-un prisma de Rochon tallado en calcita si los ángulos refringentes de los. prismas componentes miden 20°. Sol.: 3,62°.

24-9. E l índice de refracción efectivo para el rayo E en un prisma de Nicol, cuando antes de entrar en él se propaga a lo largo del eje, puede calcularse que es 1,535. Hállese el ángulo formado por las normales a las ondas O y £ en el nicol.

24-10. Se coloca un cristal en un polariscopio, estando paralelos polarizador y analizador. La sección principal del cristal forma un ángulo de 24° con los planos de transmisión del polarizador y del analizador. Hállese la razón de las intensidades de los haces O y E: a) cuando abandonan el cristal, y b) después de haber pasado a través del analizador.

Sol: a) 0,198. b) 0,039. 24-11. Hállense las longitudes de los dos espectros polarizados repre

sentados en la figura 24-15 si se proyectan sobre una pantalla situada a. 2 m del prisma. Tómense como longitudes de onda limitantes las correspondientes a la raya del mercurio, X.4046, y a la raya del helio, A7065. Hállese también la distancia entre la raya roja en ambos espectros. E l ángulo refringente es 60°; los índices de refracción para la calcita pueden, encontrarse en la tabla 26-1.

24-12. Calcúlese el grado de polarización de la luz debido a la difusión de Rayleigh en la dirección que forma un ángulo de 135° con la del haz primario. Calcúlese también la intensidad de esta luz en relación con la de la difundida directamente hacia atrás. Sol: 33,3 %; 0,75.

24-13. E n el prisma de Glan-Thompson el eje óptico es perpendicular al eje longitudinal del prisma y el plano diagonal de división forma un ángulo de 22° con el eje longitudinal. Ambas mitades del prisma se unen, de ordinario con aceite de linaza (« = 1,4896). Compruébese el hecho deque en estas condiciones tiene lugar la reflexión total del rayo O. ¿Qué sucedería si ambas mitades se uniesen con bálsamo del Canadá? ¿Qué desventaja se tendría al nnirlos con esta última sustancia?

24-14. En un prisma de Wollaston de cuarzo, de ángulos refringentes iguales a 30°, ¿cuál será la separación de colores (rayas C a F de Fraunhofer) en relación con la separación de los haces polarizados (raya D) ? Véanse los índices de refracción en la tabla 26-1. Sol: 0,0142.

24-15. E l coeficiente de absorción de un cristal de turmalina para el rayo O es 3,6 c n H , y para el rayo E, 0,8 c m - 1 . ¿Qué espesor se requeriría para que el grado de polarización de la luz transmitida fuese el 98 %?

CAPITULO X X V

REFLEXION

Entre los temas tratados en el capítulo anterior comenzaremos por estudiar con más detalle los concernientes a la polarización por reflexión y transmisión. Allí se consideraron los efectos del ángulo particular de incidencia denominado ángulo de polarización. Profundizando sobre este caso especial, investigaremos cómo dependen las características de la luz reflejada y transmitida de la longitud de onda, polarización y ángulo de incidencia. Supondremos que las superficies son ópticamente lisas, es decir, que sus irregularidades son pequeñas frente a la longitud de onda. Las propiedades de la sustancia reflectante desempeñan un papel esencial, y entre ellas la absorción es una de las más importantes. E n general, los metales son los mejores reflectores, hecho que veremos está relacionado con su conductividad eléctrica y, por consiguiente, elevada absorción. Comenzaremos, sin embargo, por el caso más sencillo de las sustancias dieléctricas, como el vidrio.

25-1. Reflexión en los dieléctricos.—Las características esenciales de la reflexión en una superficie de vidrio son las siguientes: Para incidencia normal se refleja un 4 % aproximadamente de la intensidad de un haz de luz visible no polarizado,' y el otro 96 % es transmitido. Para otros ángulos de incidencia el porcentaje reflejado aumenta con el ángulo, primero lentamente y después más de prisa hasta llegar a los 90°, es decir, a la incidencia rasante, para la cual se refleja toda la luz.

A l principio del último capítulo se vio que hay un ángulo de incidencia para el cual toda la luz reflejada está completamente polarizada, con su vector eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Para ángulos diferentes de este la polarización de la luz reflejada es solo parcial. En este caso resulta más fácil describrir las relaciones en términos de la reflexión de las dos componentes, polarizadas linealmente, de la luz incidente no polarizada, cuyas vibraciones son, respectivamente, paralelas y perpendiculares al plano de incidencia. E n el laboratorio esto se realiza de ordinario examinando la luz reflejada que pasa a través de un nicol o de otro polarizador (véase Fig. 25-1). Orientando el nicol con su sección principal paralela al plano de incidencia pueden rrtédifse las vibraciones p, es decir, las paralelas al plano de incidencia. Si se gira

554

SEC. 25-1] REFLEXION E N LOS DIELECTRICOS 555

el nicol 90 °, pueden medirse las vibraciones s, o sea las perpendiculares al plano de incidencia (s procede del alemán senkrecht, que significa «perpendicular»). Representando los resultados de este experimento en función del ángulo de incidencia <f> se obtienen dos curvas como Tas d i b u j a d a s con trazo continuo en la figura 25 -2 (a). Las ordenadas son rp, fracción reflejada de la luz p incidente, y rs, fracción correspondiente de la luz s. Estas fracciones se denominan, respectivamente, reflectancias para las luces p y s. L a parte (¿>) de la figura se refiere a las amplitudes y se estudiará más tarde.

FIG. 25-1.—Descomposición de la luz reflejada en sus dos componentes polari

zadas linealmente.

100%,

ángv/o de incidencia

1,0, 0,8 0,6 0,4

^ 0! 1-0,2

-0,4 -0,6 -0,8

-i.o,

Ep //

I "

E,

, , , , ,P 0° 30° . 4>

ángu/o de incidencia

90°

FIG. 25-2^—Reflectancias y amplitudes correspondientes para un dieléctrico de índice n = 1,50.

Las curvas de la figura 25-2 representan con mucha exactitud las ecuaciones teóricas deducidas por primera vez por Fresnel a partir de la teoría del sólido' elástico, y que se conocen como leyes de la reflexión de Fresnel. E n la sección 2 5 - 1 3 se deducirán a partir de lá teoría electromagnética, pero por ahora nos limitaremos simplemente a formularlas y demostrar su aplicación a las principales características de la reflexión en los dieléctricos. Las leyes citadas pueden escribirse así:

556 REFLEXION [CAP . 25

Rs sen — 4>') Ts~~sen {</> TV) E's 2 sen <j>' eos <f> E¡ = sen (<p + V)~

Los símbolos E, R y E' representan, respectivamente, las amplitudes de los vectores eléctricos de la luz incidente, reflejada y refractada,' correspondiendo los subíndices a los dos planos de vibración. Siguiendo la notación usual, los ángulos <¡> y <f>' son los de incidencia y refracción. j i

E n la figura 25-2 (b) se han trazado en función de <¡> las amplitudes relativas dadas por las ecuaciones [25~1] y [25-2], correspondiendo los ángulos <f> y </>' al índice- de refracción 1,50. Las curvas continuas representan las amplitudes, tanto positivas como negativas, dadas por las ecuaciones, mientras que las de trazos representan los valores absolutos de las componentes reflejadas. Los signos negativos indican cambios de fase iguales a TC, que se estudiarán después. Sin embargo, carecen de importancia en lo qufe se refiere a las intensidades, pues estas dependen de los cuadrados de las amplitudes. ¡

Las reflectancias están dadas por

r¡==E? r ^ E } i [ 2 5 " 3 ]

y a ellas se refieren las curvas de; l a parte («) de la figura. Para incidencia normal, <f> = 0, ambas j componentes, paralela y perpendicular, se reflejan lo mismo, pues el plano de incidencia está indeterminado y no puede establecerse diferencia entre ellas. A l incrementar <f>, rp disminuye y rs aumenta hasta que, para el ángulo de polarización, sus valores son 0 y 15 %, respectivamente. Para incidencia rasante, ambas componentes se reflejan totalmente. Aun una superficie de vidrió no plateada se convierte en un espejo casi perfecto si se observa el manantial luminoso muy cerca del plano reflectante. Es fácil comprobar que el satinado de la página de un libn> se hace reflectante para incidencia rasante. ¡ ¡

E l valor de la reflectancia para incidencia normal no se deduce inmediatamente de las ecuaciones [25-1] haciendo $ = 0, pues el resultado aparece indeterminado. Sin embargo, puede calcularse como sigue: Puesto que tanto 4> como <f>' son muy pequeños en las proximidades de la incidencia normal, podemos sustituir las tangentes por los senos, obteniendo:

Rp _ Rs s e n (<j> — <j>') s e n <f> eos <j>' —• e o s </> s e n <f>' Ep Es s e n {¡f> + <j>') s e n <f> e o s <p" - f e o s (j> s e n <j>'

Rp _ t g ( ¿ - ¿ ' ) Ep t g ( ¿ + ¿') E'p _ 2 sen eos j> Ep sen {<f> 4~ <p") eos (<f> — <f>')

[25-1]

[25-2]

S E C . 25-2] INTENSIDADES DE LA LUZ TRANSMITIDA 557

Si se divide numerador y denominador por sen <f>' y se reemplaza sen <f>¡sen <¡>' por n, resulta

R n cos i' — cos d> n — 1 r„„ i n — = — 2=¿ • [25-4] E n cos <¡>' + cos <j> « -f 1

L a igualdad aproximada se hace exacta en el límite cuando los ángulos son nulos. Por tanto, la reflectancia para incidencia normal es

_R* _ In — IV ~E~2 ~ \ñ~+lf [25-5]

Esta ecuación, muy empleada, da la reflectancia para <¡> = 0 de cualquier superficie limpia de un dieléctrico. Así, para un vidrio de n = 1,50 se tiene r~ 0,04, o sea el 4 %, como indica la figura 25-2 (a).

25-2. Intensidades de la luz transmitida.—Cabría esperar que las intensidades transmitidas fueran complementarias de las reflejadas, de tal modo que al sumarlas diesen la intensidad incidente, pero no es así. Se define la intensidad como la energía que atraviesa la unidad de área por segundo, y el área de la sección transversal del haz refractado es diferente de la de los haces incidente y reflejado, excepto para incidencia normal. L a que resulta complementaria es la energía total de estos haces. Existen, sin embargo, relaciones sencillas entre las amplitudes incidente, reflejada y transmitida, que, como veremos, se deducen a partir de las condiciones de contorno de la teoría electromagnética. Estas relaciones son:

Es Es Ep Rp

i-Er1 y nip~íp^ [25-6]

E n la figura 25-2 (b) se ve que las curvas que representan E's y Rs

son parálelas. Las de E'p y Rp no lo son, a menos que multipliquemos las ordenadas de la primera por n. Como las ecuaciones [25-6] son más sencillas que las de Fresnel, [25-2], basta recordar las primeras además de las [25-1] para poder resolver cualquier problema relacionado con amplitudes e intensidades transmitidas.

L a fracción de la intensidad incidente que es transmitida, o transmitancia, cuando la luz penetra en un dieléctrico de índice n no está dada directamente por el cuadrado de la amplitud relativa. Según la ecuación [23-17], la intensidad en el medio contiene un factor n, por lo que la transmitancia resulta ser n(E'/E)2. Ahora bien: como ya se ha dicho, la suma de esta y de la reflectancia (R/E)2 no es igual a la unidad, como puede comprobarse fácilmente mediante las ecuaciones [25-1] y [25-2]. E l flujo total de

558 REFLEXION [CAP . . 25

energía en el haz refractado es igual a su intensidad multiplicada por su área, y esta última difiere de la de los haces incidente o reflejado en la razón eos $&'/cos L a conservación de la energía se expresa entonces por la relación

IR? lE'Y UJ-+- £ eos <f>' eos <j>

que se aplica tanto a la luz s como a la f. 25-3. Reflexión interna.—En la discusión anterior se ha

supuesto que la luz incide én la superficie desde el lado del medio ópticamente menos denso (de ordinario, el aire), por lo que se trata de la llamada reflexión de menos denso a más denso o reflexión externa. Las ecuaciones de Fresnel son también aplicables al caso de la reflexión de más denso a menos denso o reflexión interna. Si conservamos el mismo valor de n para el medio más

100% 33° 41° 1 reflexión tota/

Rp ; EP

1 1 L •1 i i i .

<t> <t>c 60° ángulo de incidencia

90° "0° <¡> <¡>c 60° 90° ángulo de incidencia

FIG. 25-3.—Curvas de intensidad y amplitud para la reflexión interna; » = 1,54.

denso, solo es necesario intercambiar <j> y <¡>' en las ecuaciones. L a figura 25-3 muestra las curvas resultantes, las reflectancias en {a) y las amplitudes en (£>). Hasta el ángulo límite <f>c = 41° se parecen a las curvas de la reflexión externa, partiendo de r = 4 % para incidencia normal y divergiendo hasta que se alcanza el ángulo de polarización <£. Este ángulo, 33°, corresponde al ángulo de refracción para el ángulo de polarización en el caso anterior, ya que el ángulo en el medio menos denso (57°) ha de ser tal que los rayos reflejado y refractado sean perpendiculares.

Para el ángulo límite el rayo'refractado emerge rozando la superficie, y la reflexión interna alcanza el 100 % como en el caso de la externa para incidencia rasante. Cuando <f> es mayor que el ángulo límite, las ecuaciones de Fresnel contienen magnitudes imaginarias; pero, como veremos, pueden utilizarse todavía. Se

S E C . 25-4] CAMBIOS DE FASE EN LA REFLEXION 559

verá que la reflexión sigue siendo total, pero que se produce un cambio continuo de fase.

25-4. Cambios de fase en la reflexión.—Volviendo de momento a la reflexión externa,, donde <f> > <j>' en todo el intervalo, vemos que según las ecuaciones [25-1] el signo de RS¡ES es siempre negativo. Ello significa que en el proceso de reflexión se produce un cambio brusco de fase de 180°. Lo expresaremos poniendo $S = TC. Para la luz p el signo es positivo para pequeños ángulos <¡>, lo que indicaj qué no hay cambio de fase; pero cuando se alcanza la condición <f> 4- V — 90°, la ¡tangente del denominador se hace infinita y cambia de signo. Así, 8P cambia bruscamente de 0 a TC para el ángulo de polarización. Sin embargo, ello no supone nin-

1 0' o,

ip

,J p 1 90° 30o— <>— 60° 90° "0o 30° 60°

ánguio de incidencia \ éngufo de incidencia , M \ ib)

FIG. 25-4.—Cambio de fase del vector eléctrico en la luz polarizada linealmente por reflexión externa en un dieléctrico.

guna discontinuidad real, ya que para este ángulo la amplitud de la luz p pasa por cero [Fig.: 25-2 (¿>)]. E n la figura 25-4 se han representado 8p y Ss para el intervalo completo de valores de p.

le) i

incidente $ reflejado

W) 8j = ff 5g =7T ¡(el (/)

FIG. 25-5.—Posiciones en el espacio del vector eléctrico justamente antes y después i de la reflexión externa en un dieléctrico.

560 REFLEXION [CAP. 25

L a figura 25-5 muestra las direcciones en el espacio del vector •eléctrico antes y después de la reflexión. Se han deducido a part i r de los signos de las ecuaciones de Fresnel considerados en •conexión con los convenios adoptados al deducirlas (Sec. 25-13). :Se ve que en el caso (a), donde 8p se considera nula, los vectores incidente y reflejado están en direcciones casi opuestas. Ksta •contradicción aparente proviene de nuestro convenio de considerar un desplazamiento como positivo o negativo según cómo :se ve al mirarlo contra la luz en todos los casos. Si el observador Igira, en el plano de incidencia, para ver la luz reflejada en lugar de la incidente, encuentra que las dos flechas mantienen la misma •orientación respecto a él. Es poco - afortunado que este convenio atribuya un cambio de fase para la luz s y no para la p bajo incidencia normal, ya que para <f> = 0 desaparece la distinción entre .s y p. Utilizando el convenio opuesto para p, llegaríamos, sin •embargo, a una contradicción igual en el caso (c) de la figura.

Los cambios de fase que tienen lugar en la reflexión interna •son, hasta llegar al ángulo límite,; iguales y opuestos a los que se producen para los ángulos correspondientes de reflexión externa. Esto es una consecuencia necesaria de las i relaciones de "Stokes (Ec. [11-16]), según las cuales ha de haber una diferencia relativa de TT entre ambos casos. Para valores superiores a 4>c, en la región de la reflexión total, las; ecuaciones [25-1] conducen 1 a las siguientes expresiones para la tangente del semiángulo de •cambio de fase: ¡

E n la figura 25-6 se han representado separadamente las curvas correspondientes a 8p y 8S y a su diferencia 8 = 8P — 8*. L a curva •Sp crece más rápidamente que la &*s, y para j> = 45° es exactamente el doble (Ec. [25-7]). Como las curvas vuelven a unirse para <¡> = 90°, su diferencia 8 pasa por un máximo y luego decrece hasta cero. E l principio del romboedro de Fresnel (Sec. 25-6) se basa en este hecho.

25-5. Reflexión de la luz polarizada linealmente en un dieléctrico.—Ahora ya podemos predecir la naturaleza de la luz reflejada cuando un haz polarizado linealmente incide ba.jo cual-

1 Véase, p. ej., M . BOEN: Optik, pág., 43, J . Springer, Berlín, 1933. Existe una versión moderna de esta obra: MAX BORN y E. WOLF: Principies of Optics, Pergamon Press, 1959. (JV. del T.) \

[25-7]

S E C . 25-5] R E F L E X I O N D E L A L U Z P O L A R I Z A D A 561

ángu/o de incidencia

FIG. 25-6.—Cambios de fase del vector eléctrico por reflexión interna, n = 1,51.

quier ángulo sobre la superficie de un dieléctrico. E n la figura 25-7 la luz incide sobre una lámina de vidrio, formando el plano de vibración un ángulo <p = 45° con la perpendicular al plano de incidencia 2. A este ángulo le llamaremos acimut, ya se refiera a las vibraciones luminosas en el haz incidente, reflejado o refractado. L a luz incidente, de amplitud E, puede dividirse en este caso en dos componentes iguales, Ep y Es, y cabe considerar cada una por separado.

Empecemos estudiando el caso en que el ángulo de incidencia p es pequeño, como en el diagrama (a) de la figura. De la f i -

FIG. 25-7.—Acimutos y amplitudes de la ¡uz polarizada linealmente correspondientes a la reflexión externa en una superficie de vidrio para diferentes ángulos

de incidencia.

2 Suele medirse ¡jj de este modo por haberse definido inicialmente el plano de polarización como perpendicular al que ahora se denomina plano de vibración.

J E N K I N S - W H I T E .—3 6

562 REFLEXION [CAP. 25

gura 25-2 (6), se obtiene que las amplitudes de ambas componentes reflejadas son pequeñas y casi iguales en magnitud. Además, están desfasadas 180°. Si <j> es de unos 10°, la componente Rs es un poco mayor que la Rp. Efectuando la suma vectorial de las componentes reflejadas, se obtiene R en la dirección representada. E n el caso (b) el acimut de la luz incidente es de nuevo 45°, pero el ángulo de incidencia es de unos 50°. Rp es ahora muy pequeña y está en fase con Ep, mientras que Rs es mayor que antes y sigue desfasada 180° con Es. E l rayo reflejado continúa polarizado linealmente, pero el. plano de vibración ha girado alejándose del de incidencia. Cuando — como en (c), Rp — 0, mientras que R¡ es aún mayor y mantiene la misma diferencia de fase. L a amplitud resultante ha seguido aumentando y es ahora normal al plano de incidencia. En el diagrama (d), en que <f> tiende a 90°, es decir, a la incidencia rasante, las componentes reflejadas han aumentado considerablemente, aproximándose a las correspondientes de la luz incidente. Ambas componentes han experimentado un cambio de fase de 180°, por lo que la luz reflejada tiende a un 100 % de intensidad y el plano de vibración se aproxima al de la luz incidente.

Dividiendo las dos ecuaciones [25-1] se obtiene fácilmente otra que da la variación del plano de vibración de la luz reflejada con el ángulo de incidencia:

Esta expresión es justamente la tangente de <¡>, es decir,

pues el acimut es el ángulo formado por R y Rs. E n la figura 25-8 se ha representado la gráfica de este ángulo para el caso en que la luz incidente tiene un acimut de 45°, por lo que será Ep = Es. Las curvas gruesas corresponden a.la reflexión externa, y las de trazo más fino, que se tratarán en la sección siguiente, se refieren a la reflexión interna.

25-6. Luz polarizada elípticamente por reflexión interna.—De la figura 25-6 (í>), que da el cambio de fase para la. luz que se refleja interiormente en una superficie de vidrio, se deduce que para un ángulo de incidencia próximo a los 50° existe una diferencia de fase entre las dos componentes ligeramente superior a 45°. Más exactamente, la diferencia de fa re, sí n— 1,51, alcanza un máximo de 45°56' para <f> = 51°20' y es precisamente 45° para <f> = 48°37' y 54°37'. Fresnel fue quien primero comprobó

Rp R¡

Ep eos (tf> + ') ETcosJj) — <p")

[25-8]

[25-9]

S E C . 25-6] L U Z P O L A R I Z A D A E L I P T I C A M E N T E 563

+ 45° +45°

<t>' <i>c <f>

FIG. 25-8.—Angulo acimutal para luz polarizada linealmente y reflejada en un dieléctrico.

!

y confirmó este comportamiento de la diferencia de fase, y construyó un romboedro de vidrio de la forma ilustrada en la figura 25-9. Sobre la cara menor incide normalmente luz polarizada en un plano, formando este plano de vibración un ángulo de 45" con el de la figura. Llega entonces a la primera cara diagonal bajo un ángulo de incidencia (interno) de 54°37'. Allí se refleja totalmente, produciéndose una diferencia de fase de 45° entre las dos componentes. Pero, como vimos en la sección 12-9, el resultado de componer dos vibraciones lineales perpendiculares es, en general, otra elíptica cuya forma depende de 'las dos amplitudes y de su diferencia de fase S. Solo si S es un múltiplo entero de TC, Ta resultante será lineal, y la luz, polarizada linealmente. Esto es lo que sucede en todos los casos de reflexión externa y en los de reflexión interna hasta el án- \

L a luz polarizada circular-mente solo se produce cuando las dos amplitudes son iguales y la diferencia de fase es 90°. En el romboedro de Fresnel

guio límite. Pero en la reflexión total se obtiene luz polarizada elípticamente como resultado de una sola reflexión interna para <j> > pe. E n la sección 27-5 estudiaremos en forma sistemática la polarización elíptica y circular. O O f l O >

po/ar/zada circu/arme/iíe '

FIG. 25-9.—Romboedro de Fresnel. E l ángulo representado corresponde a vidrio

de índice n ~ 1,51.

564 REFLEXION [CAP. 25

se produce una diferencia de fase adicional de 45 0 por una segunda reflexión interna, de modo que a la salida la componente f está adelantada 90°. Este dispositivo es útil, por tanto, para producir y analizar luz polarizada circularmente, aunque, como veremos, hay otros métodos más usuales para conseguirlo.

E n la figura 25-10 se ha representado, para varios ángulos de incidencia, la polarización del haz reflejado cuando la luz polarizada linealmente experimenta una reflexión interna. L a amplitud del vector eléctrico de la luz incidente y reflejada, y sus componentes, se han designado del mismo modo que en la figura 25-7 para la reflexión externa. Sin embargo, en este caso se han representado tal como los vería un observador que mirara en contra del sentido de cada haz, con el plano de incidencia

(a) (b) (c) ¡ id) le)

FIG. 25-10.—Tipos de vibraciones luminosas reflejadas internamente en vidrio para varios ángulos ¡de incidencia. !

cortando al de la figura según una línea horizontal. Estudiando estos diagramas en relación con¡ las figuras 25-3, 25-6 y 25-8, aparecen con toda claridad sus características principales. Entre $ — 0o y 4> — <f>c, la luz reflejada permanece polarizada linealmente, pero varía su acimut de modo continuo y aumenta su intensidad. Más allá de <f>c, la vibración pasa a ser una elipse, cuya anchura máxima se produce para t/> = 51°, volviendo a estrecharse de nuevo hasta convertirse en una vibración lineal para = 90°.

25-7. Penetración en bl medio menos denso.—Del hecho de que la reflexión interna más allá del ángulo crítico es total pu-

¡

SEC. 25-7] PENETRACION E N E L MEDIO MENOS DENSO 565

diera deducirse que la amplitud de la luz se anula bruscamente en la superficie reflectante. Sin embargo, de acuerdo con las condiciones de contorno de la teoría electromagnética (Sec. 25-13), esto no es posible, y además hay evidencia experimental de que existe una perturbación capaz de producir luz a una pequeña distancia más allá de la superficie. Supongamos que una superficie dada refleja totalmente un intenso haz luminoso y que se coloca el borde de una cuchilla de afeitar muy próximo a la superficie o se espolvorean sobre ella finas partículas. Observando con un microscopio el borde de la cuchilla o las partículas, se comprobará que son manantiales secundarios de luz. E n ausencia de tales cuerpos extraños, la teoría electromagnética predice una perturbación que se amortigua exponencialmente más allá de la superficie3, pero que no entraña transferencia neta de energía a través de ella. L a energía oscila simplemente hacia dentro y hacia afuera de la superficie. L a perturbación es periódica en dirección paralela a la superficie, pero no normalmente a ella, y, por tanto, no puede denominarse con propiedad onda luminosa. Sin embargo, cuando se deforma el campo electromagnético por la presencia de materia más densa suficientemente próxima a la superficie, la energía es arrastrada hacia afuera en forma de luz.

H a l l 4 ideó un instructivo experimento para ilustrar esta penetración y lo utilizó para efectuar medidas de la distancia de

FIG. 25-11.—Experimento do Hall para medir la penetración que se produce en la reflexión total.

3 Se dan, p. ej., relaciones cuantitativas en R . W . DITCHBURN: Light, pág. 434 Interscience Publishers, Nueva York, 1953.

4 E . E. HALL: Phys. Rev., 15, 73, 1902.

566 REFLEXION [CAP. 25

penetración. E l aparato, representado en la figura 25-11, se compone de dos prismas de reflexión total, uno de los cuales tiene una cara ligeramente convexa. Si los dos prismas están apenas en contacto en el punto C, y el ángulo de incidencia es superior al límite, toda la luz se dirigirá hacia (b) por reflexión total. E n realidad, se observa que en el haz reflejado hay una mancha oscura alrededor de C y una brillante en el haz transmitido. E n la figura pueden verse las fotografías de estas manchas. Haciendo el ángulo de incidencia mayor que (f>c, la mancha se contrae, lo que pone de manifiesto que ha disminuido la distancia de penetración. Para un ángulo de incidencia justamente por debajo del límite (rayos indicados por líneas de trazos), aparece el conjunto completo de anillos de Newton por reflexión y por transmisión, como se ve a la izquierda y a la derecha de la figura. Hal l utilizó la medida de los diámetros de estos anillos para determinar los espesores de las capas de aire correspondientes a diferentes diámetros observados de la mancha antes mencionada. Obtuvo con ello una medida muy precisa de la distancia de penetración. Tanto la teoría como la experiencia dan que la energía se reduce hasta alrededor de 1/100 de su valor en una distancia de una longitud de onda cuando <f> = 45° y n = 1,51. Para <f> — 60° cae a 1/40000 en la misma distancia.

25-8. Reflexión metálica.—En general, las superficies metálicas pulimentadas tienen una reflectancia mayor que las dieléctricas. Así, p. ej., para incidencia normal, la plata y el aluminio reflejan más del 90 % de toda la luz visible. Los experimentos demuestran que la reflectancia no solo depende del metal, sino también de la preparación de su superficie y de la longitud de onda y dirección de la luz incidente. Reflejando luz polarizada linealmente en un metal, bajo otra incidencia distinta de la normal (véase Fig. 25-12), las componentes fi y s del vector eléctrico incidente se reflejan con una diferencia de fase, lo que origina luz polarizada elípticamente. Constituye una observación general para todos los

metales que la luz polarizada linealmente no se refleja como tal, salvo cuando vibra en el plano de incidencia o en el perpendicular a este.

FIG. 25-12.—Reflexión de luz polarizada linealmente en una superficie metálica, con producción de luz polarizada elípti

camente.

Para estudiar la reflectancia de los metales conviene, como en el caso de los dieléctricos, descomponer el vector luminoso incidente E en dos componentes Ep y Es. L a figura 25-13 muestra las curvas

SEC. 25-8] ¡ REFLEXION METALICA 567

il i i. i i i i i J I 0 30° —<(»-*• 60° 9 0 ° ánguto de incidencia

FIG. 25-13.—Reflectancias de espejos de oro y plata para luz blanca polarizada linealmente.

de las dos reflectancias en función del ángulo de incidencia. Se trata de curvas experimentales obtenidas con luz blanca procedente de una lámpara de filamento de wolframio. Comparándolas con las curvas correspondientes para un! dieléctrico [Fig. 25-2 («)], aparecen analogías y a la vez notables diferencias. Los metales y los dieléctricos se parecen en que los valores de las componentes p y s coinciden para incidencia normal, se separan y vuelven a coincidir para incidencia rasante. Las diferencias esenciales son la reflectancia mucho más elevada de los metales para incidencia normal y el mínimo relativamente elevado en <j>. Este ángulo de reflexión mínima de Ep- se denomina ángulo principal de incidencia.

L a reflectancia de un metal ¡varía de ordinario considerablemente con la longitud de onda. E n la figura 25-14 se ha representado esta variación para cierto número de metales típicos. A pesar de las irregularidades que aparecen en las longitudes de onda más cortas, todos los metales reflejan muy bien en el rojo e infrarrojo. L a plata y el aluminio tienen una importancia particular dado su empleo general, ya que mantienen su elevada reflectancia en todo el espectro visible. E l desarrollo que han experimentado las técnicas para depositar películas metálicas por evaporación en el vacío ha convertido al aluminio en la sustancia más adecuada para la construcción de espejos en los instrumentos ópticos. Ello se debe fundamentalmente a dos factores: primero, el aluminio conserva su gran reflectancia lo mismo en el ultravioleta próximo que para la luz visible, y segundo, su superficie

568 REFLEXION [CAP . 25

100%

T

,^60%

40%

20%

tu

acero

•

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Í longilvd de onda — A—>•

FIG. 25-14.—Reflectancias del aluminio, plata, oro, cobre y acero para incidencia normal. .,'

no se deslustra ni aun después de | estar muchos años expuesta al aire. Actualmente es práctica normal recubrir los espejos de los grandes telescopios, como el del Monte Palomar (de 5 m de diámetro), de aluminio evaporado. Ün espejo, de plata recién fabricado tiene una reflectancia algo mayor en la región visible, pero se empaña pronto y se hace peor'reflector que otro de aluminio. Sin embargo, para las superficies 'reflectoras de los patrones Fabry-Perot se prefiere la plata cuando se usan con luz visible e infrarrojo. Para la luz ultravioleta es mejor el alumimo, o una mezcla de alumimo y magnesio. \

L a plata tiene la particularidad de presentar una región de muy baja reflectancia en la proximidad de los 3200 Á. L a luz de esta longitud de onda que no ;es reflejada puede ser transmitida en su mayoría si la película de plata es suficientemente delgada. Los metales alcalinos poseen también una banda de transmisión de este tipo para longitudes de onda aún más cortas 5. Una película de sodio puede emplearse, p. ej., como filtro ultra-

5 Para más detalles, consúltese R. W . WOOD: Physical Optics, 3.A ed., páginas 558-66, Macmillan Co., Nueva York, 1934.

SEC. 25-9] CONSTANTES OPTICAS DE LOS METALES 569-

violeta, opaco para todas las longitudes de ondas excepto las próximas a los 1950 Á.

25-9. Constantes ópticas de los metales.—Las propiedades ópticas de un dieléctrico para una longitud de onda particular quedan completamente determinadas por una sola constante: el índice de refracción n para dicha longitud de onda. Sin embargo, en el caso de los metaíes ha de conocerse otra constante que mide la intensidad de la absorción de la luz cuando esta penetra en el metal. Debido a que poseen electrones libres, los metales tienen una absorción muy elevada, cayendo la intensidad casi a cero en una pequeña fracción de longitud de onda. Una magnitud de gran importancia cuando se estudia la óptica de los metales es el índice de absorción K , que se define en función de los coeficientes de absorción K 0 y a (Sec. 23-6) por la relación

K = — ° = — T25-10]

L a determinación de n en las sustancias dieléctricas se realiza, de ordinario, a partir de medidas de refracción, aunque también puede hacerse utilizando luz reflejada para hallar el ángulo de polarización y aplicar la ley de Brewster. L a absorción de los metales es tan intensa, que es difícil efectuar medidas con luz transmitida. Trabajando con láminas muy delgadas se ha conseguido obtener valores aproximados de n y K ; pero, aparte de su imprecisión, los resultados no son rigurosamente aplicables a masas metálicas. Por tanto, los valores precisos de las constantes ópticas de los metales se determinan investigando la luz reflejada.

Dado que han de hallarse dos constantes, n y K , se requieren dos medidas. Análogamente a la medida del ángulo de Brewster para los dieléctricos, una de ellas puede ser el ángulo principal de incidencia p. L a otra es entonces el correspondiente acimut, llamado acimut principal ji). Como la luz reflejada en los metales está polarizada -elípticamente, no es evidente de modo inmediato lo que se entiende en este caso por acimut. Para su definición se prescinde de la diferencia de fase entre las componentes p y s, que es en realidad 90° si el ángulo de incidencia es p, y se hace, de modo análogo que en el caso de los dieléctricos, por la ecuación

tg ^ = R£ [25-11]

L a teoría demuestra que, con buena aproximación6, las dos constantes se obtienen, a partir de las relaciones:

6 La base teórica de las ecuaciones [25-12] se tratará brevemente en la sección 25-14. Las ecuaciones exactas, que incluyen las relaciones para otros ángulos de incidencia, se hallarán en H . GEIGER y K . SCHEEL: Handbuch derPhysik, vol. X X ,

5 7 0 REFLEXION [CAP. 2 5

n \/\ + K 2 = sen p tg <f> K = t g 2 Í (

l 2 5 " 1 2 ]

Más adelante describiremos brevemente el método de medida de £ y ijj, una vez que hayamos considerado las variaciones del carácter de la luz reflejada con el ángulo de incidencia.

TABLA 25-1

Constantes ópticas de varios metales para luz de sodio: A5893.

Metal T n K r.. %

Acero * . . . 77°9' 27°45' 2,485 1.3S1 3,433 58,4 Cobalto * . . 78°5' 31°40' 2,120 1,900 4,040 67,5 Cobre* . . . 71°34' 39°5' 0,617 4,258 2,630 74,1 Plata* . . . 75°35' 43°47' 0,177 20,554 3,638 95,0 Oro 72°18' 41°39' 0,37 7,62 2,82 85,1 Sodio . . . . 71°19' 44°58' 0,005 522,0 2,61 99,7

* Según Minor.

Los valores de las constantes ópticas que aparecen en la bibliografía presentan variaciones considerables debido a la diferente preparación de las superficies, pureza de las muestras y precisión de las ecuaciones utilizadas. E n la tabla 2 5 - 1 se han recogido algunos valores típicos, incluyéndose en la ultima columna las reflectancias para incidencia normal calculadas a partir de las ecuaciones [ 2 5 - 1 9 ] . Se verá que n varía notablemente entre los metales, siendo considerablemente menor que la unidad para los mejores conductores. Estos índices de refracción no han de interpretarse del mismo modo que en el caso de los dieléctricos, pues ahora se trata de ondas muy amortiguadas (véase Sec. 2 3 - 7 ) . E l valor de K 0 para el cobre, p. ej., corresponde a una disminución de la intensidad hasta 1/e cuando la luz ha penetrado en el metal solo 1 / 3 3 de una longitud de onda en el vacío.

25-10. Descripción de la luz reflejada en un metal.—Cuando la luz polarizada linealmente se refleja en un metal, la forma y orientación de las vibraciones elípticas en la luz reflejada dependen de la orientación de la vibración incidente, del valor de las componentes reflejadas p y s, y de la diferencia de fase entre ellas. Este último factor no ha sido considerado hasta ahora, y su estudio cuantitativo requeriría un desarrollo matemático no

páginas 240-50, Springer-Verlag OHG, Berlín, 1928, que sigue en general el trabajo de C. PFEIFFER: Beitrage zur Kentnisse der Metallreflexion, tesis doctoral, •Giessen, 1912.

SEC. 25-10] ' LA LUZ REFLEJADA E N UN M E T A L 571

adecuado en este lugar. Sin embargo, podemos examinar los principales resultados del comportamiento de $ (= SP — 8s) en función de <t>.

L a figura 25-15 es una representación de las ecuaciones teóricas que dan las diferencias de fase, para tres metales diferentes b, c y d, de índices de absorción K crecientes. L a línea de trazos corresponde a un dieléctrico, para el cual K = 0. Se ve que la transición discontinua de 8 (desde iz hasta cero) que se produce para ¿ en los dieléctricos se

tfie/écér/cos

30° I —

FIG. 25-15.—Gráficas de la diferencia de fase o -Sj para un dieléctrico y para tres meta-I. les de índice de absorción K creciente.

convierte en los metales en una va-nación más o menos gradual, Obsérvese también que para el ángulo principal de incidencia mente 90"

el valor de & es siempre exacta-

(c) E,

<t>=77°& 0 = 85° 1 = 40°

FIG. 25-16.—Luz polarizada elípticamente (X5893) reflejada bajo diferentes ángulos <¡> en un espejo de acero.

572 KEFLEXION [CAP . 25

Conociendo los valores de RP/EPl Rs/E, y 8 es posible predecir la forma de la vibración elíptica reflejada para cada ángulo de incidencia. Así, supongamos, como en la figura 25-16, que el vector eléctrico de la luz que incide polarizada linealmente forma un ángulo de 45° con el plano de incidencia, por lo que EP = Es. Admitamos que el metal reflector es acero, el cual, según la figura 25-14, tiene una reflectancia r = 0,58 para la luz de sodio e incidencia normal. Por consiguiente, para incidencia próxima a la normal [caso (a) de la figura 25-16], las amplitudes reflejadas serán RP = Rs — 0,76EP = 0,762?,, pues 0,76 = \/o¿8. Ahora bien: a causa del cambio de fase 7t (Fig. 25-15), hemos de desplazar la vibración j> 180° por delante de la s, y el resultado es una vibración lineal de amplitud R en la dirección representada. Esta .dirección es en realidad opuesta en el espacio a la de 2? [véase figura 25-7 («)]. A l aumentar el ángulo de incidencia a partir de cero, el cambio gradual de la diferencia1 de fase hace que la vibración se abra y se convierta en una elipse contenida en un rectángulo de lados 22? , y 22?s. A l alcanzarse el ángulo como en (d), la elipse es simétrica respecto de los iejes y es mínima su excentricidad. A partir de aquí la elipse comienza a estrecharse, hasta que para incidencia rasante, como en (/), volvemos a encontramos con una vibración lineal de la misma amplitud que la incidente, pero en oposición de fase con ella.

E n la figura 25-16 se ve el significado del acimut <\i. Es el ángulo formado por la diagonal del, rectángulo y Rs. Se observa que empieza disminuyendo y luego i crece de nuevo al ir de 4 = 0° a <f> = 90°. E l mínimo se produce ¡para <f, pero no.es cero como en los dieléctricos. E l valor de este mínimo es más pequeño en aquellos metales para los cuales K es mayor. Puede observarse este efecto en la figura 25-17, donde las letras a, b, c y d .tienen

n°l i : LJ ' ^ i I w O ° 15° 30° 45° 60° £ 75° 90"

FIG. 25-17.—Acimut para un dieléctrico, (a), y para tres metales, (b), (c) y (d).

SEC. 25-12] EXPERIMENTOS DE WIENER 573

el mismo significado que en la figura 25-15. Se ha marcado el valor del acimut principal ¡j7 para el metal c.

25-11. Medida del ángulo principal de incidencia y del acimut principal.—La determinación de estas magnitudes es un caso especial del problema general de análisis de la luz polarizada elípticamente, que se estudiará con algún detalle en el capítulo X X V I I . Sin embargo, no es difícil ver, con ayuda de la figura 25-18 en relación con la 25-16 (d), cómo pueden realizarse las medidas de $ y tf¡.

E l nicol de la figura 25-18 está orientado de modo que las vibraciones incidentes formen un ángulo de 45° con el plano de incidencia. Se intercala en el haz reflejado algún tipo de compensador C, que retarde las vibraciones f un cuarto de período,

l I espejo metálico

FIG. 25-18.-—Dispositivo para determinar el ángulo principal de incidencia y el acimut principal correspondientes a un metal.

o sea 90°, con respecto a las s. Este compensador puede ser un romboedro de Fresnel (Sec. 25-6), o lo que es más usual, una lámina cuarto de onda o un compensador de Soleü (Secs. 27-2 y 27-4). Pero, para cualquier ángulo de incidencia distinto de p, el valor de 8 es diferente de 90°, de modo que la diferencia de fase no será eliminada completamente por el compensador. L a luz transmitida por C estará todavía polarizada elípticamente y no se extinguirá al girar el analizador N 2 . Han de ensayarse varios ángulos de incidencia hasta que la extinción total sea posible, lo que ocurre cuando el ángulo de incidencia es <£.

El-hecho de que sea posible la extinción completa con un niCol significa que ei compensador ha transformado la luz reflejada polarizada elípticamente en luz polarizada linealmente. L a elipse de la figura 25-16 (d) se ha convertido en un movimiento lineal a lo largo de la diagonal del rectángulo al eliminar la diferencia de fase de 90° que existía entre las componentes fi y s. Se ve, por tanto, que al alcanzarse el estado de extinción, el plano de transmisión del analizador forma un ángulo § con Rp, es decir, con el plano de incidencia.'

25-12. Experimentos de Wiener.—En la sección 12-3 se describió un experimento clásico con el cual Wiener demostró la

574 REFLEXION [CAP. 25

formación de ondas luminosas estacionarias por reflexión en un espejo de plata. E l objeto de este experimento no era solo poner de manifiesto las ondas estacionarias, sino averiguar también si era el vector eléctrico o el magnético el que produce los efectos observados y, por tanto, si ha de identificarse con el vector luminoso. Ahora bien: de acuerdo con la teoría electromagnética, los vectores eléctricos incidente y reflejado tienen sentidos opuestos en la reflexión externa para incidencia normal. E n los dieléctricos, las ondas reflejadas poseen una amplitud mucho menor que las incidentes, por lo que la interferencia destructiva no es completa. E n los metales, sin embargo, obtendríamos un nodo del vector eléctrico en la superficie7. E n cuanto a los vectores mag

ia) (W

FIG. 25-19.—Relaciones espaciales entre los vectores E y H incidentes y reflejados. (a) Para polarización p. (h) Para polarización s. Se supone que el ángulo de inci

dencia es menor que </,.

néticos, podemos hallar sus sentidos relativos en la luz incidente y reflejada partiendo del hecho de que E, H y el sentido de propagación están relacionados por la regla del tornillo (Sec. 23-9). E n la figura 25-19 aparece el resultado. Si el ángulo de incidencia tiende a cero, vemos que los sentidos de los vectores H " y H tienden a coincidir para cada polarización. Su superposición produciría un vientre de las ondas estacionarias en la superficie. Pero, como ya dijimos, Wiener observó un nodo donde la placa detectora tocaba a la superficie. Ello indicaba que, al menos en lo que se refiere a la acción fotográfica, el vector eléctrico era el importante.

Era de esperar, basándose en consideraciones teóricas, que el vector eléctrico había de ser más importante que el magnético en la producción de los efectos luminosos observados. Si se trata de la acción de la luz sobre los electrones, los campos, eléctricos de lá onda ejercen fuerzas mucho mayores que los magnéticos. De hecho, solo dos años después del trabajo de Wiener, Drude

7 Para los metales y bajo incidencia normal, los valores de np y os no son exactamente 0° o 180°. Sin embargo, el único efecto de esto es desplazar la posición del nodo, que ya no se produce exactamente en la superficie. Para la plata, p. ej., el nodo está situado 0.043X por debajo de ella.

S E C . 25-12] E X P E R I M E N T O S D E W I E N E R 575

y Nernst obtuvieron el mismo resultado utilizando la fluorescencia para la detección en lugar de la fotografía. E n fecha reciente, Ivés demostró lo mismo empleando la célula fotoeléctrica. Se supone que el vector eléctrico es también el que produce la visión.

Wiener dio otra demostración, aún más convincente, que no depende de los cambios de fase ni de la consecución de un perfecto contacto entre la placa fotográfica y el espejo, y es la siguiente: Luz polarizada linealmente se refleja bajo un ángulo de incidencia de exactamente: 45°; entonces los rayos incidente y reflejado son perpendiculares entre sí, y las orientaciones de los vectores en el espacio son las representadas en la figura 25-19. Vemos que para la polarización s los vectores eléctricos Es y Rs vibran a lo largo de la misma recta y pueden interferir. Por el contrario, EP y RP son perpendiculares y no es posible su interferencia. Con los vectores H j sucede exactamente lo contrario.

F i e 25-20.—Experimento de "Wiener bajo incidencia de 45°. Se observa interferencia para el vector eléctrico orientado como en (o), mientras que no se observa

para el correspondiente vector magnético (6).

L a figura 25-20 ilustra esquemáticamente el experimento. E n la parte (a) el vector eléctrico es perpendicular al plano de la figura, lo que cabe conseguir mediante una reflexión previa en una lámina de vidrio bajo el ángulo de Brewster, pudiéndose producir la interferencia a lo largo de los planos horizontales señalados con puntos. Estos planos están \¡\/z~ veces más alejados que para incidencia normal. E n la figura, el cambio de fase ir, que tiene lugar en la reflexión, se indica por el cambio de rectas continuas a discontinuas, y viceversa Los vectores magnéticos correspondientes, parte (b) de la figura, no experimentan cambio alguno de fase por reflexión. E n un punto A de la superficie, la resultante es una vibración lineal normal a ella. Más arriba la vibración se hace elíptica, -después circular como en a y finalmente vuelve a ser lineal en B con vibraciones horizontales. Entre B y C se produce una secuencia inversa, estando los puntos A, B y C separados una distancia X/2 a lo largo del rayo. L a energía asociada a todas estas formas de vibración es la misma (Sec. 28-8) y,

-576 REFLEXIÓN [CAP. 25

-por tanto, si el vector magnético fuese el activo, la placa detec-tora se ennegrecería uniformemente. Pero Wiener encontró, en el caso ilustrado, bandas de interferencia y ennegrecimiento uni-íorme cuando las vibraciones incidentes se giraban 90°.

25-13. Teoría electromagnética de la reflexión y refracción 'en los dieléctricos.—El estudio electromagnético de la reflexión y refracción supone la aplicación de las llamadas condiciones de •contorno a las ecuaciones de Maxwell. Cuando la luz que se propaga en un medio como el aire incide sobre la superficie de un dieléctrico como el vidrio, la dirección; intensidad y polarización de los haces reflejado y refractado dependen de los campos eléctricos y magnéticos que existen á ambos lados de la superficie de separación. L a magnitud y dirección de estos campos dependen, a su vez, de las constantes dieléctricas de ambos medios y de las condiciones específicas de la onda luminosa incidente.

A l pasar de un medio de constante dieléctrica ex a otro de constante s2, la variación de los campos eléctrico y magnético •es continua y tiene lugar dentro de una delgada capa de transición en la superficie. Puede demostrarse que para satisfacer el principio de conservación de la energía ha de imponerse la condición de -contorno de que las componentes de los campos eléctrico y magnético paralelas a la superficie en uno de los medios son en cada punto y en cada instante iguales a las correspondientes componentes paralelas inmediatamente al otro lado de la superficie. E n otras palabras: las componentes de E y H paralelas a la superficie no presentan ninguna discontinuidad en ella. ,

Para aplicar estas condiciones, supongamos que una onda plana que se propaga en un medio de constante dieléctrica Ej incide bajo un ángulo p sobre la superficie de un medio de cons-

~BIG. 25-21.—Vectores eléctricos empleados para aplicar las condiciones de contorno. (Los vectores E S , RS y -Ej son perpendiculares a la figura.)

z

x

tante dieléctrica e2, como muestra la figura 25-21. Tomemos el eje z positivo hacia abajo y el y hacia afuera del plano del dibujo, estando la superficie límite en el plano x, y. Descompongamos ahora el campo eléctrico de la onda incidente en dos componentes, uña Ep paralela al plano de incidencia (plano x, z), y otra Es perpendicular a él. Descompongamos también Ep en EP cos <f>, paralela al eje x, y Ep sen p, paralela y de sentido opuesto al semieje z positivo. Esta última no es necesaria para aplicar las con-

S E C . 25-13] TEORIA ELECTROMAGNETICA 577

diciones de contorno y, en lo sucesivo, puede no ser tenida en cuenta. Como la magnitud de las componentes eléctricas varía rápidamente con el tiempo, utilizaremos la ecuación de la onda en la forma dada por [11-5] para obtener las dos componentes paralelas a la superficie:

Ezí = Ep eos <f> sen (w¿ —• k^a) Eyx = Es sen (GJ¿ — kjOj

siendo kx el número de propagación 2^/^ en el primer medio, y a la distancia al origen medida a lo largo del rayo incidente. Para esta distancia se verifica que

a = x sen ¡f + z eos cf>

Acompañando a estas componentes eléctricas se encontrarán las componentes magnéticas de la onda incidente, cada una de las cuales estará siempre en fase con la correspondiente eléctrica, pero será perpendicular a ella. Las amplitudes de las componentes magnéticas serán, según lo dicho en la sección 23-9, •y/Y1 veces mayores que las correspondientes componentes eléctricas, y se expresarán, por tanto, así:

Hn = — •\Jz1Es eos <j> sen (w¿ — Ax«)

Hyi = V2! Rp sen (cút — k±a)

Él signo negativo de la primera ecuación proviene de que Hp es de sentido opuesto a Ep, y, como se verá en la figura 25-21, su componente paralela a la superficie está dirigida hacia las x negativas.

Las cuatro relaciones anteriores representan la variación de E y H paralela a la superficie y originada por la onda incidente. Como la onda es, en este caso, parcialmente reflejada, hemos de añadir a estas las componentes debidas a la onda reflejada para obtener los campos tangenciales totales justamente encima de la superficie. Las componentes reflejadas pueden representarse por:

Rx\ — E"n = Rp eos <j>" sen (toí •— k-fi)

Ryl = E'yí = Rs sen (ad — kjb)

H"xl = — \/sx Rs eos c/>" sen (w¿ — k¿>) H" = •\/sl Rp sen (w¿ — kjb)

donde utiüzamos el símbolo E" en lugar de R para destacar que se trata de una componente eléctrica. Se tiene que distancia b = = x sen <f>" -f- z eos <j>", donde <f>" es el suplemento del ángulo de reflexión (Fig. 25-21). J E N K I N S - W H I T E . — 3 7

578 REFLEXION [CAP. 25

Por debajo de la superficie no existen más campos que los debidos a la onda refractada. E n este caso las componentes que interesan son:

E'x2 = E'p cos <j>' sen (ai — k2c) E'yz = £ ¡ sen (<oí —/¿je) H' — — y/% E' cos <¡>' sen (o>¿ — k¡c)

H ' y i = Ve2 EP

S E N M — V ) donde los subíndices (2) sé refieren al segundo medio y c es la distancia a lo largo del rayo refractado; esto es, c — x sen <j>' 4-+ z cos <f>'.

Las leyes de la reflexión y de la refracción se deducen inmediatamente sin más que aplicar las condiciones de contorno establecidas anteriormente. Así, si los campos tangenciales eléctrico y magnético han de ser continuos a través de la superficie, los coeficientes de x y t en todas las ecuaciones serán idénticos para z = 0, es decir, justamente en la superficie. Tenemos, pues,

(út — kxx sen <¡>" — a>t — kjX sen <f> = coi — k2x sen <j>' de modo que kx sen <j>" = kx sen <j> = k2 sen <p" [25-13]

Ahora bien: si sen <f>" — sen <¿, existen dos posibilidades <¡>" — <f> y <I>"=TC—<J>. L a primera carece de significado físico, pues exigiría una onda reflejada en la misma dirección que la incidente. Considerando la figura 25-21 se ve que la última relación es la ley ordinaria de la reflexión. L a segunda igualdad de las ecuaciones [25-13] contiene la ley de la refracción, pues por definición k — 2n/X = 2-rcv/v y, por tanto,

sen <f> k2 _ i¡-¡ sen </>' kt v2

Para deducir las leyes de la reflexión de Fresnel, se igualan las componentes tangenciales de E y . H justamente encima de la superficie, cada una de las cuales es la suma de las dos componentes debidas a las ondas incidente y reflejada, a las debidas a la onda refractada inmediatamente debajo de la superficie. Se obtienen así las cuatro condiciones:

£« + Ki = K> B« + H"xx = H'x2 1

Hemos visto que en la superficie cada término de estas ecuaciones contiene el mismo factor de fase cu¿ — k^x sen <¡>, y, por tanto, podemos escribir las ecuaciones en función de las corres-

S E C . 25-14] T E O R I A D E L A R E F L E X I O N M E T A L I C A 579

[25-15]

pondientes amplitudes. Para ello pondremos — eos <f> en lugar de eos <f>", ya que hemos demostrado que <f>" = TT—<f>- Se obtiene entonces

(Ep — Rp) eos <f> = E'p eos <f>' + i?;

-y/£j (Ej — eos <f> = -\/B2E'S eos $ '

^(Ep + Rp) = ví ; ' I i . '

Despejando en estas ecuaciones Rp y i? s en función de Ep y E¡ se obtienen las ecuaciones de Fresnel [25-1], mientras que expresando Ep y E's en función de Ep y Es se llega a las ecuaciones [25-2]; L a única relación adicional necesaria es

r- I V e2 _ J « 2 _ s e n ^ V 7 ^ ~ w i ~ s e n ¿ '

[25-16]

que se dedujo como ecuación [23-16] en el capítulo sobre dispersión. Obsérvese que las relaciones sencillas para las amplitudes transmitidas dadas por las ecuaciones [25-6] se deducen inmediatamente sin más que hacer n = Vel/Vel en las ecuaciones [25-15].

25-14. Teoría de la reflexión metálica.—La característica esencial que distingue a ios metales de los dieléctricos es su aptitud para conducir la electricidad. Como se dijo en la sección 25-9, el rápido amortiguamiento de la onda luminosa al penetrar en el metal se debe a la presencia de electrones libres, que pueden moverse a través del mismo bajo la influencia de un campo eléctrico. E l campo eléctrico de lá onda ocasiona corrientes de conducción que disipan parte de su energía en forma de calor, aunque también dan origen a intensas ondas reflejadas. Se ha visto en el capítulo X X I I I que siempre que el índice de absorción K sea grande, la reflectancia también lo será. Por tanto, los metales constituyen los mejores espejos8, y a esta propiedad se debe su importancia óptica. 1

L a modificación que ha de hacerse en las ecuaciones de Maxwell al aplicarlas a los metales consiste en introducir una corriente de conducción además de la corriente de desplazamiento. Esta última sigue estando presente porque los metales tienen también electrones ligados, pero su efecto es pequeño, sobre todo para grandes longitudes de onda. E n el capítulo X X se definió la den-

8 Recientemente se han obtenido superficies con una reflectancia superior a la de cualquier metal, pero compuestas solo de dieléctricos. Son las llamadas películas múltiples (Sec. 14-6), que utilizan el principio de interferencia. Sin embargo, su elevada reflectancia no se extiende a un intervalo de longitudes de onda tan grande como en los metales.

580 REFLEXION [CAP. 25

sidad de la corriente de desplazamiento en el vacío como la derivada de E respecto al tiempo dividida por 4TC. E n la materia hemos de multiplicar, además, por la constante dieléctrica. Si la materia es conductora, habrá que sumar la corriente de conducción. Según la ley de Ohm, esta última es aE, donde a es la conductividad. L a densidad de corriente total será, pues,

4TC dt i '

Descomponiendo esta corriente según los ejes x, y, z y sustituyendo estas componentes en las ecuaciones de Maxwell, en forma análoga a la utilizada en la teoría de la dispersión (Sec. 23-9), se obtienen ecuaciones de la forma siguiente:

4ror _ , e dEx dH2 dHy ' c c dt dy • dz

1 dEy_dEJ

y c dt ~ ¡dz dy' & °'

A l resolver estas ecuaciones9 han de introducirse las mismas condiciones de contorno impuestas en el caso de los dieléctricos, y que se cumplen también para los metales. Estas son las cuatro relaciones [25-14] de la sección precedente. Las soluciones para ondas planas contienen magnitudes complejas, y conducen a expresiones del tipo i

Ex = A sen co ^ — ~ (1 — ÍK)Z j, etc. [25-17]

donde n y K son los índices de refracción y de absorción considerados anteriormente. L a forma de esta expresión es análoga a la correspondiente a un dieléctrico (Sec. 23-9), salvo que la » anterior está reemplazada en este caso por la magnitud

»' = «(1 —¿K) .[25-18],

denominada índice de refracción complejo. Sustituyéndola en lugar de n en las ecuaciones de los dieléctricos, se obtienen las correspondientes relaciones para los metales. Así, p. ej., la ecuación [25-4], que da la amplitud reflejada para incidencia normal, se convierte en í !

9 Para un estudio detallado de la teoría electromagnética aplicada a la reflexión metálica, véase M . BORN, op. cit., pág. 261; P. DRUDE: Theory of Optics, ed. inglesa, Longman's Green & Co., Nueva York, 1922; GEIGER y SCHEEL, op. cit., página 240. La última referencia da menos ecuaciones aproximadas.

PROBLEMAS 581

R _ «(1 — í'K) — 1 E " » ( 1 — íK) -f 1

Para obtener la intensidad se multiplica por la conjugada como se explicó en la sección 14-8. Así, si se reemplaza i por —• i y se efectúa el producto, resulta

R* ^ « ( 1 - ¿ K ) - 1 n(l + Í K ) - 1 ^ (n - 1)* + K 02

£ 2 «(1 — Í'K) + 1 ' n(l + íK) + 1 (n + l ) 2 + K 02 1 J

donde K 0 = M K (véase Ec. [25-10]). Esta expresión se reduce evidentemente a la ecuación [25-5] de los dieléctricos cuando el coeficiente de absorción tiende a cero y el índice de refracción se hace real. Es interesante observar que tanto para n muy pequeño como para K 0 grande conduce a una elevada reflectancia. E n los mejores reflectores ambas condiciones se verifican simultáneamente. Es- instructivo estudiar los valores de r que figuran en la última columna de la tabla 25-1 en relación con los correspondientes de n y K 0 .

P R O B L E M A S

25-1. Dedúzcanse las leyes de la reflexión de Fresnel (Ees. [25-1] y [25-2]) a partir de las condiciones de contorno (Ees. [25-15]).

25-2. Represéntense las curvas de la reflectancia para reflexión externa en un vidrio flint de índice de refracción 1,60. Dése el valor del ángulo de polarización con una precisión de 1'. Sol.: 58°0'.

25-3. Repítase el problema anterior para reflexión interna. Dense los valores precisos tanto del ángulo de polarización como del ángulo límite.

25-4. Calcúlese la reflectancia para incidencia normal de las siguientes sustancias: a) cuarzo fundido, n = 1,470; b) vidrio flint, n = 1,604; c) calcio metálico, n 0,290, K„ = 1,64; d) platino electrolítico, n = 2,63, K 0 = 3,54. Sol.: a) 0,0362; b) 0,0538; c) 0,733; d) 0,591.

25-5. Dedúzcase una ecuación para el acimut de la luz refractada en un dieléctrico. Trácese la curva correspondiente a la de la figura 25-8 para la luz reflejada.

25-6. Sobre una superficie de vidrio incide, bajo un ángulo $ = 60°, luz polarizada linealmente con su vector eléctrico vibrando en una dirección que forma un ángulo de 20° con el plano de incidencia. Calcúlese el acimut <\> de la luz reflejada polarizada linealmente. Supóngase n = 1,560.

Sol.: l l °15 ' . 25-7. Utilizando las leyes de Fresnel de la reflexión, compruébese el

hecho de que la suma ele los flujos de energía de los haces reflejado y transmitido es igual al del haz incidente.

25-8. A partir de las ecuaciones [25-7] sobre los cambios de fase en la reflexión interna en un dieléctrico, demuéstrese que para <f> = 45° el

582 REFLEXION [CAP. 25

valor de Sp es justamente el doble del de S¡. (ÍNDÍCACIÓ.V; Apliqúese la fórmula de la tangente del ángulo mitad.)

25-9. Luz polarizada linealmente se refleja bajo mi ángulo <f> = 45° en la hipotenusa de un prisma de reflexión total construido de vidrio de índice n = 1,52. Si el acimut de la luz incidente es 45°, calcúlese la diferencia de fase entre las componentes reflejadas p y s. Represéntese a escala la forma de la vibración elíptica como se hizo en la figura 25-10.

25-10. Luz natural incide sobre una superficie de vidrio (n = 1,50) bajo un ángulo de incidencia de 30°. Calcúlense las amplitudes e intensidades de las componentes reflejadas p y s. Calcúlese también el grado de polarización (Sec. 24-4) de la luz refractada. ¿Cuál es el flujo total en el haz refractado, expresado como fracción del haz incidente?

Sol.: Amplitudes 0,159, — 0,241. Reflectancias, 0,0253, 0,0578. Polarización, 1,7 %. Flujo, 0,958.

25-11. Represéntense los cambios de fase en la reflexión interna para vidrio de índice n = 1,60 entre el ángulo límite y la incidencia rasante. Utilícese la diferencia S = 8p — 8S, y hállense los dos ángulos que podrían usarse para diseñar un romboedro de Fresnel de este vidrio.

25-12. Expliqúese por qué, al construir el romboedro de Fresnel descrito en la sección 25-6, es más conveniente elegir el ángulo de 54°37' en lugar del otro ángulo de 48°37', que da también una diferencia de fase. 8 = 45°. Sol.: La diferencia de fase varía más lentamente con el ángulo.

25-13. Para el berilio y la raya verde del mercurio, n — 2,66 y K = 0,89. Calcúlense: a) su reflectancia para, incidencia normal, y b) su ángulo principal de incidencia y el acimut principal.

25-14. E l ángulo principal de incidencia y el acimut principal para un cierto metal son, respectivamente, 61,1° y 36,5°. Determínense las constantes ópticas de este metal y su reflectancia para incidencia normal.

5o/.: n = 0,464; K = 3,271; r = 0,583. 25-15. Supóngase que en el experimento de Hall el diámetro de la

mancha brillante para un ángulo de incidencia particular coincide justamente con el del tercer anillo brillante de Newton para la luz del sodio. Hállese, en centímetros, la distancia que ha penetrado la luz en la película de aire.

CAPITULO X X V I

DOBLE REFRACCION

Desde el punto de vista de la óptica física, los cristales birre-fringentes sé clasifican en uniáxicos y biáxicos. Hemos visto que en los cristales uniáxicos los índices de refracción y, por tanto, las velocidades de las ondas O y i? se hacen iguales a lo largo de una dirección única, denominada eje óptico. E n los cristales biáxicos, por¡ el contrario, existen dos direcciones en las cuales la velocidad de las ondas planas es independiente de la orientación de las vibraciones incidentes. Estos dos ejes forman un cierto ángulo característico del cristal y que depende en cierto grado de la longitud de onda. Podemos considerar a los cristales uniáxicos como un caso especial de los biáxicos, en los cuales el ángulo formado por los ejes es nulo.

26-1. Superficies de onda en los cristales uniáxicos.—Los cristales uniáxicos se dividen en negativos y positivos. E n los negativos, como la calcita, el índice de refracción extraordinario es menor que el ordinario. E n los positivos, como el cuarzo, ocurre lo contrario. E l estudio general de la propagación de la luz en los cristales positivos y negativos se hace de ordinario considerando las superficies de onda, que se prestan muy bien a la construcción de Huygens.

L a superficie de onda es un frente de onda (o un par de frentes de onda) que rodea completamente a un manantial puntual de luz monocromática. Así, si en uno cristales ra 26-1 el manantial está en P, la circunferencia y la elipse que lo rodean representan las trazas de los frentes de onda, que son los lugares de los puntos de igual fase de las ondas emitidas por P. Si estos cristales fuesen isótropos, como el vidrio, no habría más que una sola superficie de onda, que tomaría la forma esférica, indicando que la velocidad de la onda es igual en todas direcciones. Sin embargo, en

FIG. 26-1.—Diagramas de la superficie de onda de la calcita y del cuarzo.

583

584 D O B L E R E F R A C C I O N I

[CAP . 26

la mayoría de las sustancias cristalinas se forman dos superficies de onda, una llamada superficie de onda ordinaria, y otra, superficie de onda extraordinaria. Tanto en la calcita como en el cuarzo, la superficie de onda ordinaria es una esfera, y la extraordinaria, un elipsoide de revolución. Las verdaderas superficies tridimensionales se obtienen girando las secciones transversales de la figura 26-1 alrededor de los ejes ópticos, que, por razones que se darán, se han designado por xx' y zz. L a circunferencia engendra una esfera y la elipse un elipsoide de revolución. L a figura 26-2 muestra las tres secciones transversales de estas su-

ca/cita cuarzo .

FIG. 26-2.—Secciones transversales de las superficies de onda de 2a calcita y del cuarzo.

perficies. E n ellas se ha exagerado la excentricidad de las secciones elípticas, pues en realidad la diferencia entre los ejes mayor y menor es solo del 11 % para la calcita y del 0,6% para el cuarzo. 1 ¡'

E n la calcita, el elipsoide es tangente a la esfera, que queda dentro de él, en los dos puntos en que los atraviesa el eje óptico que pasa por P. E n el cuarzo, la esfera y el elipsoide que encierra no se tocan completamente en el eje óptico que pasa por P. Ello da origen a un nuevo fenómeno llamado actividad óptica, que será estudiado con detalle en el capítulo X X V I I I . Sin embargo, la proximidad de las dos superficies en la dirección del eje óptico es tan grande que, de momento, supondremos que se tocan, como ocurre de hecho en otros cristales positivos, como el dióxido de titanio, óxido de cinc, hielo, etc. Hay que señalar que, debido a que todos los medios presentan; dispersión, las superficies de onda representadas solo se aplican ¡a una longitud de onda. Para

S E C . 26-2] PROPAGACION D E ONDAS P L A N A S 585

otras longitudes de onda habrían de dibujarse superficies de onda mayores o menores. Además, conviene recordar que los radios trazados con centro en P son proporcionales a las velocidades de fase y, por tanto, no miden la velocidad con que se propaga la energía. Las velocidades de grupo, que en los medios dispersivos son de ordinario menores que las de fase (Sec. 23-7), vendrían representadas por superficies proporcionalmente más pequeñas. Solo coincidirán con las superficies descritas aquí en el caso de luz perfectamente monocromática.

Las direcciones de vibración en las dos superficies de onda se han indicado en la figura 26-1 por el signo J_ para las vibraciones perpendiculares al plano de la figura, y por el || para las que tienen lugar en dicho plano. Una vez que hayamos considerado cómo han de aplicarse las superficies de onda, estas direcciones quedarán especificadas con mayor exactitud.

26-2. Propagación de ondas planas en cristales uniáxicos.—El origen de la doble refracción de la luz en la superficie de un cristal se explica fácilmente por medio de las superficies de onda.

FIG. 26-3.—Construcción de Huygens para- una onda plana que incide normalmente sobre calcita.

que acabamos de describir. Para ello utilizaremos el principio de Huygens de las ondas secundarias. Consideremos, p. ej., un haz paralelo que incide normalmente sobre la superficie de un cristal como la calcita, cuyo eje óptico forma un ángulo arbitrario con la superficie del cristal (véase Fig. 26-3). E l eje óptico tiene la dirección indicada por las líneas de trazos. De acuerdo con el principio de Huygens, cualquier punto del frente de onda será un nuevo manantial puntual. E n este caso se han elegido los A , B y C justamente donde la onda incide sobre la superficie del cristal. Después de un pequeño intervalo, las ondas secundarias de Huygens, que han penetrado en él procedentes de estos puntos, tendrán la forma representada en la figura.

586 DOBLE REFRACCION [CAP . 26

Trazando las tangentes comunes a estas ondas secundarias, se obtienen las dos ondas planas OO' y EE' de la figura. Como la primera es tangente a ondas secundarias esféricas, se comporta como una onda en un medio isótropo, propagándose perpen-dicularmente a la superficie con una velocidad proporcional a AA', BB' y CC. E n el último capítulo vimos que las vibraciones para esta onda 0 son normales a la sección principal; L a tangente a las ondas secundarias elipsoidales representa el frente de onda de las vibraciones E que tienen lugar en la sección principal. Los rayos E, que unen los orígenes de las ondas secundarias con los puntos de tangencia, se separan de los rayos 0 y no son ya perpendiculares al frente de onda. Ellos representan la dirección en que se refractaría un estrecho haz luminoso, que es la

FIG. 26-4.—Superficies de onda y de velocidad normal para cristales uniáxicos.

•dirección en que se transmite la energía de las vibraciones E. Su velocidad, proporcional a Aa, Bb y Ce, se llama velocidad •del rayo. Es mayor que la velocidad normal, medida por' Aa', Bb' o Ce, que es aquella con que avanza la onda a través del cristal en dirección normal a su propio plano.

Representando en coordenadas polares la velocidad normal Aa' en función del ángulo formado por el eje óptico y la normal a la onda E, se obtienen los óvalos de trazos de la figura 26-4. Estos óvalos son naturalmente superficies tridimensionales simé-tricao respecto del eje óptico. Se ve ahora que la superficie de onda, es decir, el elipsoide de revolución, es en realidad una superficie •de velocidad del rayo. L a superficie de velocidad normal y la superficie de velocidad del rayo de las vibraciones ordinarias están ambas representadas por la misma circunferencia o esfera. E n lo sucesivo designaremos al elipsoide de revolución como superficie

x z

negst/i/o z'

positivo

SEC. 26-2] ! PROPAGACION DE ONDAS PLANAS 587

de onda de las vibraciones ¿j,|y al óvalo de revolución como superficie de velocidad normal de la onda E.

A l construir la figura 26-3 se ha supuesto que el eje óptico se encuentra1 en el plano de la figura. De no ser así, un plano tangente a las ondas elipsoidales hará contacto con ellas en puntos situados delante o detrás del plano de la figura. Sin embargo, si el eje óptico es paralelo o perpendicular a la superficie del cristal, el caso es particularmente sencillo. L a figura 26-5 ilustra la construcción de Huygens en estos casos importantes, en los

eje óptico

(o) (6)

A B

(c)

A

Te X'

FIG. 26-5.—Propagación de ondas planas, que inciden normalmente, a través de cristales de calcita de caras paralelas y perpendiculares al eje óptico.

cuales la cara del cristal se corta (1) paralelamente al eje óptico como en (a) y (6), y (2) perpendicularmente a él como en (c). E n ambos casos, las velocidades de rayo son iguales a las velocidades de onda y no hay doble refracción. Sin embargo, en el caso (1) la onda E se propaga más rápidamente que la O. Cuando existe diferencia entre estas velocidades se origina la interferencia en luz polarizada, fenómeno que estudiaremos en el capítulo siguiente.

Para comprender mejor el. comportamiento complejo de la velocidad de la luz que vibra en diferentes direcciones, y que queda descrito por la superficie de onda, conviene tener presentes los siguientes hechos: L a onda O, que vibra siempre perpendicularmente al eje óptico, tiene la misma velocidad en cualquier dirección. Las vibraciones de la onda E forman un ángulo distinto con el eje para cada rayo diferente trazado desde P (figura 26-4;. E n particular, para el rayo trazado a lo largo del eje óptico,

588 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

cuyas vibraciones son perpendiculares a él, la velocidad es igual a la del rayo O, que también vibra perpendicularmente al eje. Estos hechos sugieren que, por alguna razón, la velocidad de la luz depende del ángulo de inclinación de las vibraciones respecto al eje óptico. Según la teoría del sólido elástico, esto podría explicarse suponiendo que existen dos coeficientes elásticos diferentes: uno para las vibraciones paralelas al eje óptico y otro para las perpendiculares a él. E n la calcita, p. ej., se supone que la fuerza recuperadora es mayor para el rayo E, que se propaga perpendicularmente al eje óptico (vibraciones paralelas al eje), que para el O de la misma dirección (vibraciones perpendiculares al eje). Por tanto, la onda E se propagará| más de prisa en esta dirección.

26-3. Ondas planas en incidencia oblicua.—Continuando el estudio de la doble refracción en los cristales uniáxicos, conside

remos el caso de un haz luminoso paralelo que incide bajo determinado ángulo sobre la superficie de un cristal cuyo eje óptico se encuentra en el plano de incidencia y a la vez forma un ángulo arbitrario con la superficie del cristal (véase Fig. 26-6). E n el punto A, donde la luz toca primero a la superficie, se traza la superficie de onda O con un radio tal que la razón CBIAD

sea igual al índice de refracción del rayo O. Se traza entonces la superficie de onda elipsoidal tangente a la circunferencia en el punto de intersección con el eje óptico xx. Los puntos D y F y los nuevos frentes de onda DB y FB se hallan trazando tangentes desde el punto i?, común a la circunferencia y a la elipse. Mientras la luz se propaga de C a B en el aire, las vibraciones O van de A a D en el cristal, y las E, de A a F. E n el caso más general en que el eje óptico no se encuentra en el plano de incidencia, el rayo refractado no estará en el mismo plano. Tales casos requieren figuras tridimensionales y no pueden representarse fácilmente.

E n la figura 26-7 se aplican los principios de la construcción de Huygens a tres casos particulares. E n (a) y (c), el eje óptico, el plano de incidencia y los planos principales E y 0 coinciden con el plano de la figura *. E n (b) el eje es perpendicular al plano

1 Por consideraciones geométricas puede demostrarse para el caso especial de la figura 26-7 (a), en la cual el eje óptico se encuentra a la vez en la superficie

FIG. 26-6.-—Construcción de Huygens cuando el eje óptico se encuentra en el

plano de incidencia.

S E C . 26-4] DIRECCION D E LAS VIBRACIONES 589

FIG. 26-7.—Doble refracción en cristales tallados de modo que el eje óptico sea paralelo y perpendicular a la superficie.

de incidencia, y las secciones transversales de las superficies de onda originadas en A son dos circunferencias. Esto ocurre donde los dos planos principales que definen las direcciones de vibración de los rayos 0 y E (Sec. 24-9) no coinciden entre sí ni con la sección principal.

26-4. Dirección de las vibraciones.—En los cristales ha de especificarse con más precisión la naturaleza física de las «vibraciones», pues no basta simplemente con las oscilaciones del vector eléctrico (o magnético) utilizadas hasta ahora. Por razones que daremos después, la dirección del desplazamiento eléctrico D (Sec. 23-9) no coincide en general- con la de E. L a aplicación de las ecuaciones de Maxwell a los medios anisótropos, a lo largo de rectas que serán descritas en la sección 26-9, demuestra que las vibraciones que se encuentran en el frente de onda son las de D. Sin embargo, las vibraciones de E, es decir, del vector eléctrico (símbolo que no ha de confundirse con el correspondiente a las vibraciones extraordinarias), son perpendiculares al rayo y, por tanto, están inclinadas respecto al frente de onda. Así, pues, la onda extraordinaria es transversal respecto de D, pero no respecto de E. E n las figuras 26-3 y 26-4, así como en las que siguen, indicamos como dirección de las vibraciones la del desplazamiento eléctrico D. y en el plano de incidencia, que las direcciones de los rayos refractados están dadaf por tg ^g/tg 4>'Q = « £ / » 0 , siendo. <f>'E y <f>'0 los ángulos de refracción, y « ; . y n0 los índices principales de refracción.

590 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

E n los cristales uniáxicos, las direcciones de vibración de los rayos O y E se especifican mediante los planos principales para estos rayos, definidos en la sección 24-9. Las vibraciones O son perpendiculares al plano principal del rayo O, que contiene a este rayo y al eje óptico. Son también tangentes a la superficie de onda O. Las vibraciones E se encuentran en el plano principal del rayo E y son tangentes a la superficie de onda E. Estas definiciones pueden parecer innecesariamente complicadas en casos tales como el de la figura 26-3, donde la sección principal y los dos planos principales coinciden con el de la figura, pero son esenciales en el caso más general en que los tres planos son diferentes. Otro modo de determinar las direcciones de las vibraciones, que es válido en forma muy general para todos los casos, incluidos los cristales biáxicos, es el siguiente: Los desplazamientos eléctricos asociados a un rayo (el rayo E en los cristales uniáxicos) tienen la dirección de la proyección del rayo sobre su frente de onda. Los asociados con el otro rayo se hallan entonces a partir del hecho de que, para una dirección dada de la onda normal, las dos direcciones posibles de D son perpendiculares entre sí. Examinando las figuras se verá que están de acuerdo con estas reglas en los casos sencillos que hemos considerado.

26-5. Indices de refracción de los cristales uniáxicos.—El índice de refracción se define de ordinario como la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad en el medio en cuestión. E n los cristales uniáxicos hay dos índices principales de refracción, uno que expresa la velocidad de la onda E cuando se propaga normalmente al eje óptico, y otro, la velocidad déla onda O. Ambos están relacionados con los dos coeficientes elásticos mencionados en la sección 26-2. E n los cristales negativos, como la calcita, el índice principal de la onda extraordinaria se define como la velocidad de la luz en el vacío dividida por la velocidad máxima en el cristal:

_ velocidad en el vacío E velocidad máxima de la onda E

Se observará que la velocidad normal máxima es igual a la velocidad de rayo máxima. E l índice ordinario se define así:

velocidad en el vacío «o = [26-21

velocidad de la onda O E n los cristales uniáxicos positivos el índice principal de la

onda extraordinaria se define así: velocidad en el vacío ^

velocidad mínima de la onda E

S E C . 26-5] INDICES 1 D E R E F R A C C I O N 591

E n la tabla 26-1 figuran! los índices principales de la calcita y del cuarzo para varias longitudes de onda del espectro visible, ultravioleta e infrarrojo próximo.

TABLA 26-1

Indices principales de la calcita y el cuarzo a 18° C

Calcita Cuarzo Elemento Longitud Cuarzo manantial de onda

n0 i nE n0 fundido

n0 i nE n0 fundido

Au 2000,60 1,90302 1,57663 1,64927 1,66227 Cd 2265,03 1,81300 1,54914 1,61818 1,62992 1,52308 Cd 2573,04 1,76048 1,53013 1,59622 1,60714 1,50379 Cd 2748,67 1,74147 ¡1.52267 1,58752 1,59813 1,49617 Sn 3034,12 1,71956 ¡1,51366 1,57695 1,58720 1,48594 Cd 3403,65 1,70080 ¡1,50561 1,56747 1,57738 1,47867 Hg 4046,56 1,68134 1,49694 1,55716 1,56671 1,46968 H Y 4340,47 1,67552 1,49428 1,55396 1,56340 1,46690 H(5 4861,33 1,66785 1,49076 1,54968 1,55898 1,46318 Hg 5460,72 1,66168 1,48792 1,54617 1,55535 1,46013 Hg 5790,66 1,65906 1,48674 1,54467 1,55379

1,46013

Na 5892,90 . 1,65836 1,48641 1,54425 1,55336 1,45845 Ha 6562,78 1,65438 1,48461 1,54190 1,55093 1,45640 He 7065,20 1,65207 1,48359 1,54049 1,54947 1,45517 K 7664,94 1,53907 1,54800 Rb 7947,63

8007,00 1,64867 1,48212 1,53848 1,54739 1,45340

0 8446,70 9047,0 1,64579 1,48095

1,53752 1,54640

Hg 10140,6 10417,0 1,64276 1,47982'

1,53483 1,54360

Como la superficie de onda E es tangente a la O en el eje óptico, el índice ordinario no da también la velocidad de la onda E a lo largo del eje. Cada par de valores no y nE correspondientes a una longitud de onda dada determina, por tanto, la razón entre los ejes mayor y menor de las superficies de onda extraordinaria para dicha longitud de onda.

FIG. 26-8.—Doble refracción en prismas tallados en un cristal uniáxico negativo.

.592 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

Es fácil determinar experimentalmente los índices principales de los cristales uniáxicos refractando la luz a través de un prisma de ángulo conocido. Si se pone en la platina de un espectrómetro cualquiera de los prismas de la figura 26-8 se observarán dos espectros. Por cada longitud de onda habrá dos rayas espectrales y, por tanto, dos ángulos de desviación mínima. Los índices O y E se calculan entonces del modo usual (Sec. 2-8) por la fórmula

« = sen \(a. + K)

sen |oc . P6-4]

•donde Sm es el ángulo de desviación mínima,,y a1,i el ángulo del -prisma. :

Para la desviación mínima en el prisma (a) el rayo E se propaga esencialmente en dirección perpendicular al eje óptico, condiciones necesarias para medir el índice principal nE. Respecto del

a

' c " " V i / \

Y y u .

0 h i Ia

FIG. 26-9.—Secciones transversales de las superficies de onda de un cristal biáxico.

prisma (b) ha de tenerse en cuenta que la sección transversal de l a superficie de onda origina dos circunferencias. Ello significa que la velocidad del rayo E, como la del 0, es independiente de la dirección en el plano de la figura, verificándose también para él la ley de Snell de la refracción.

26-6. Superficies de onda en los cristales biáxicos.—La mayoría de los cristales naturales son biáxicos, poseyendo dos ejes ópticos o direcciones de velocidad normal única. L a doble refracción en tales cristales, al igual que en la calcita y en el cuarzo, se estudia más fácilmente a base de diagramas de superficies de onda y del principio de Huygens. L a figura 26-9 muestra tres secciones transversales de las superficies de onda de un cristal biáxico. Como anteriormente, las direcciones de vibración se han representado por puntos y trazos. Cada sección corta a las dos superficies según una circunferencia y una elipse, diferentes para las tres secciones. Las figuras corresponden al caso en que los semiejes de las intersecciones de la superficie de onda con los

S E C . 26-6] SUPERFICIES DE ONDA 593

planos coordenados son, como indica la figura, a — 3, b = 2 y c = 1. (Diferencias tan grandes entre a, 5 y c no se encuentran en la Naturaleza.)

De las tres secciones transversales, la del centro (situada en el plano x, z) es la más interesante, pues contiene los cuatro puntos singulares en que la superficie exterior (línea fina) toca a la interior (línea gruesa). Como aparece de nuevo en la figura 26-10 (a),

FIG. 26-10.—Diagrama de la superficie de onda de un cristal biáxico y casos límites de cristales uniáxicos.

los ravos 0R1 y OR2 representan las direcciones según las cuales solo hay una velocidad del rayo; pero no se trata de los ejes ópticos. Estos se localizan trazando los planos tangentes, AlMl y A2M2. E n dos dimensiones es difícil poner de manifiesto que estos planos tangentes cortan a la superficie tridimensional exterior según circunferencias de diámetros A1M1 y A2M2, pero ocurre así. Como la sección transversal de una de las superficies es una circunferencia, las rectas OA1 y 0A2 son perpendiculares a los planos tangentes. Por consiguiente, dan la misma velocidad normal, tanto para la elipse como para la circunferencia, por lo que OAx y O A 2 son los ejes ópticos para el punto 0.

E n la figura 26-9 se ve que es posible determinar la forma de las superficies de onda sin más que especificar tres índices principales de refracción. Estos se determinan por el hecho de que existen tres velocidades particulares correspondientes, respectivamente, a las vibraciones paralelas a x, y y z. E n j a teoría del sólido elástico se especifican tres coeficientes elásticos diferentes para J E N K I N S - W H I T E . — 3 8

594 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

estos tres tipos de vibración, que originan estas tres velocidades. Si las superficies de onda representan los frentes de onda al cabo de 1 seg de propagación a partir del punto O, los índices vendrán dados por

V V V

donde V es la distancia que recorre la luz en 1 seg en el vacío y a, b y c son los semiejes de las secciones elípticas del frente de onda. E n la tabla 26-2 figuran los valores de ««, nb y nc para varios cristales.

TABLA 26-2

Indices de refracción principales de cristales biáxicos (para la luz de sodio)

Cristal, fórmula nb Angulo

entre ejes, 2*

Cristales negativos: Mica, (SCg 3 KH 2 Al 3 1,5601 1,5936 1,5977 138° Aragonito, (C02)CaO 1,531 1,682 1,686 162" Antimonita, S3Sb2 (1.7620) . . . . 3,194 • 4,046 • 4,303 133°

Cristales positivos: 1,950 2,043 2,240 69°

Topacio, FSi0 2 ( 2 A 1 0 ) 1,619 1,620 1,627 65° Turquesa, CuO3Al . jO32P2O59H .2O . 1,520 1,523 1,530 40°

L a distinción entre cristales positivos y negativos se hace según que el ángulo « de la figura 26-10 (a) sea menor o mayor que 45°. Cuando a tiende a cero, a se hace igual a b, y la superficie toma la forma correspondiente a un cristal uniáxico positivo [Fig. 26-10 (b)]. Cuando, por el contrario, a = 90°, será b = c, y la superficie corresponde a la de un cristal uniáxico negativo, como en la parte (c) de la figura. E n función de los índices de refracción, estos casos límites son:

«„ = #*< n¿ C R I S T A L U N I A X I C O P O S I T I V O

con no — na o m; nE = nc

na < ni — nc C R I S T A L U N I Á X I C O N E G A T I V O

con no ~ nb o nc; nE = na

Conviene advertir que en la figura 26-9 cada plano coordenado contiene una sección transversal circular de la superficie de onda.

S E C . 26-7] R E F R A C C I O N CONICA I N T E R N A 595

FIG. 26-11.—Secciones transversales de un cuadrante de superficie de onda de un cristal biáxico. Las líneas de trazos representan superficies de velocidad normal.

Las flechas muestran la dirección del desplazamiento eléctrico.

Esto significa que uno de los dos rayos refractados en un cristal a lo largo de cualquiera de estos planos obedece a la ley de Snell. Por consiguiente, utilizando este hecho, es posible, a partir de cristales, tallar prismas que permitan determinar los índices principales de refracción.

L a figura 26-11 representa un cuadrante de la superficie de onda de un cristal biáxico para mostrar las direcciones de los desplazamientos eléctricos D, esto es, las vibraciones en los frentes de onda, así como la superficie de velocidad normal (líneas de trazos). L a hoja exterior toca a la interior solamente en cuatro puntos, donde forma «hoyos». Estos están situados en puntos tales como i? 2, en que la superficie es cortada por los ejes rayos. A lo largo de los ejes x, y y z la velocidad del rayo es igual a la velocidad normal. Se vera que las vibraciones en la superficie de onda, donde esta tiene una sección circular, son perpendiculares al plano coordenado, pues solo en estas condiciones forman un ángulo constante con el eje óptico.

26-7. Refracción cónica interna.—El estudio de la refracción en los cristales biáxicos sigue las mismas normas dadas en las secciones anteriores para los uniáxicos. Así, p. ej., para la refracción en el plano x, z, podemos aplicar la construcción de Huygens, utilizando ondas secundarias de la forma representada en la figura 26-10. E n general encontraremos dos rayos refractados polarizados linealmente, es decir, tenemos también en este caso doble refracción. Pero hay dos casos especiales en los cuales el comportamiento de un cristal biáxico difiere del tipo más sencillo uniáxico. Corresponden al caso particular en que la luz se envía

596 DOBLE REFRACCION ! [CAP. 26

a lo largo del eje óptico de un cristal uniáxico. Uno de ellos, refracción cónica interna, se observa cuando la luz incide según uno de los ejes ópticos. E l otro, refracción cónica externa, se origina cuando la luz incidente está dirigida a lo largo de uno de los ejes rayos.

L a refracción cónica interna se produce del modo siguiente: Y a se ha dicho que el plano tangente AZM2 [Figs. 26-10 («) y 26-12 (a)] hace contacto con la superficie de onda tridimensional

según una circunferencia de diámetro A¡M2. Supongamos

| ahora que, a partir de un ! cristal, tallamos una lámina de : caras paralelas de modo que jsus superficies sean perpendiculares a un eje óptico y ! que el cristal tenga el espesor OA2 [Fig. 26-12 (a)]. Imagine-

¡ mos que un rayo no polarizado incide normalmente sobre

¡ la primera superficie en el punto O. Las vibraciones perpendiculares se propagarán a lo largo del eje óptico OA2

; sin desviarse. Las paralelas se desplazarán según C W 2 y emergerán después de una

segunda refracción en la misma dirección OAz. Ahora bien: el rayo no polarizado incidente contiene vibraciones en todos los planos que pasan por él (Sec. 24-2), existiendo para cada plano particular de vibración una dirección diferente a lo largo de la cual la onda se propagará con la misma velocidad normal que a lo largo de cualquier otro rayo. E n tres dimensiones estos rayos formarán un cono de luz en el cristal, que se esparcirá desde O. A l llegar simultáneamente a la segunda superficie A2MZ todas estas ondas se refractarán paralelamente, formando un cilindro circular. Observando de frente este haz luminoso hueco, los planos de v i b r a c i ó n aparecerán como muestra la figura 26-12 (b).

L a refracción cónica interna fue predicha por sir WÜ- FIG. 26-13.—Refracción cónica interna en liam Hamilton, y se supone , una lámina biáxica.

FIG. 26-12.—(a) Geometría de la refracción cónica interna, (b) Vista frontal de la luz cónica refractada interiormente, con indicación de las direcciones de vi

bración.

S E C . 26-8] R E F R A C C I O N CONICA E X T E R N A 597

que por sugerencia suya fue comprobada por primera vez expe-rimentalmente en 1833 por Lloyd. Las observaciones suelen realizarse con una lámina de cristal como la de la figura 26-13. U n estrecho haz luminoso limitado por dos orificios móviles 5 X

y 5 2 se hace incidir bajo un ángulo tal que la luz que vibra perpendicularmente al plano de incidencia se refracte a lo largo del eje óptico. Variando la posición de 5 2 de modo que cambie el ángulo de incidencia, no habrá más que dos rayos refractados hasta que se alcance la dirección correcta para que se produzca la refracción cónica interna. Cuando esto suceda, la luz se desplegará en forma de anillo desde las dos señales próximas a A2

26-8. Refracción cónica externa.—La refracción cónica externa en los cristales biáxicos es un fenómeno por el cual un cono luminoso hueco exterior se convierte en el interior del cristal en un estrecho pincel o rayo de luz (Figs. 26-14 y 26-15). Supongamos que un haz monocromático se propaga dentro del cristal a lo largo del eje rayo 0R2. Según el diagrama de la figura 26-14, pueden trazarse dos tangentes en el punto de intersección R2, una a la elipse y otra a la circunferencia.

E n las superficies de onda tridimensionales, el punto R2

es una especie de hoyo, y existe un número infinito de frentes de onda que envuelven el cono obtuso. E n correspondencia con estos frentes de onda habrá un número infinito de normales de onda, cada una con su dirección particular de vibración [figura 26-14 (b)], que formarán un cono agudo. Cuando estos frentes de onda, cuya energía se propaga a lo largo del eje rayo, llegan a la superficie del cristal, emergerán como un cono de rayos, ya que cada normal de onda interior corresponde a un rayo refractado exterior. Existe, pues, un cono de normales de onda tanto fuera como dentro. Por el principio de reversibilidad de los rayos luminosos, un cono hueco de rayos de luz polarizada procedente del exterior se unirá para formar un rayo interior que se propagará según el eje rayo.

FIG. 26-14.—Geometría de la refracción cónica externa.

2 Una fotografía de refracción cónica interna aparece en la obra de M A X BORN Optik, pág. 240, J . Springer, Berlín, 1933.

598 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

FIG. 26-15.—Método para observar la refracción cónica externa.

Experimentalmente se hace incidir sobre la superficie de una lámina de cristal, tallada como indica la figura 26-15, un cono macizo de luz convergente no polarizada, algo mayor de lo necesario. E l eje rayo se localiza moviendo uno de los diafragmas 5 X

y S2. De la luz incidente, el cristal elige el cono hueco de rayos que vibran en los planos adecuados y los une para formar un rayo. Los rayos no adecuados del cono se propagan en direcciones diferentes y son detenidos por la pantalla S2. A l refractarse el rayo mencionado en la segunda cara del cristal se observa un cono hueco de luz polarizada que emerge desde S¡¡. E l cono representado en la figura 26-15 no es el mismo que el de la figura 26-14 (b), sino el producido por refracción del último.

26-9. Teoría de la doble refracción.—Las ecuaciones de Maxwell para medios cristalinos tienen la misma forma que las de la sección 23-9 para medios transparentes en general, es decir,

1 _ __ 38* — dll c dt dy dz c dt dy dz

dx dy dz dx dy dz

Sin embargo, solo en el caso de sustancias isótropas, como el vidrio, es válido escribir para el desplazamiento eléctrico D = eE, como se hizo en la sección 23-9. E n los cristales anisótropos se ha encontrado que los valores medidos de la constante dieléctrica e varían con la orientación del eje o de los ejes ópticos respecto al campo eléctrico E . E n la teoría electrónica de los medios dieléctricos, el valor de la constante dieléctrica depende de la polarización de los átomos bajo la influencia del campo eléctrico. Y a mencionamos este hecho al estudiar la dispersión. E l efecto del campo eléctrico es producir un desplazamiento relativamente ligero de las cargas positivas y negativas, con lo que el átomo adquiere

S E C . 26-9] T E O R I A D E L A D O B L E R E F R A C C I O N 599

un momento eléctrico. Ahora bien: el momento producido en un átomo dado depende del campo eléctrico en dicho átomo, que en parte estará determinado por los campos de otros átomos polar rizados próximos a él. Si estos otros átomos están dispuestos de un modo particular, es evidente que la polarización y la constante dieléctrica efectiva dependerán de la orientación del vector eléctrico de las ondas. E n la calcita, p. ej., los átomos de oxígeno del grupo C 0 3 son los que más fácilmente se polarizan, y ejercen una gran influencia entre sí. Bajo esta influencia se polarizarán más fácilmente por un campo eléctrico paralelo al plano del grupo que por otro perpendicular a él. Como resultado, encontraremos que el índice de refracción debe ser máximo para la luz cuyo vector eléctrico es perpendicular al eje ternario.

Mediante la teoría electromagnética se demuestra que en estos cristales el hecho de variar e con la dirección ocasiona la doble refracción. L a dirección de D difiere de la de E excepto en tres direcciones singulares perpendiculares entre sí. E l valor de e es máximo según uno de estos ejes, mínimo según otro e intermedio a lo largo del tercero. Designándolos por x, y y z, hallamos que, para las tres componentes de D en las ecuaciones de Maxwell, se ha de escribir ahora:

Dx = SxEx Dy = SyEy D.¡ = etEx [26-6]

A l sustituir estos valores en las ecuaciones [26-5] y deducir la de las ondas electromagnéticas planas 3, se halla que para cualquier dirección del frente de onda hay dos velocidades para las vibraciones del vector D en dos direcciones perpendiculares entre sí, y este es el aspecto fundamental de la doble refracción.

E l modo más conciso para exponer los resultados de la teoría electromagnética consiste en utilizar el llamado elipsoide dieléctrico, definido por la ecuación

xi ,v¿

- + - +:

Zx , Zy

= 1 [26-7]

FIG. 26-16.—Elipsoide dieléctrico de un cristal biáxico.

donde zx, zy y e¿ son las constantes dieléctricas principales de ¡las

3 Véase, p. ej., P. DRUDE: Theory ofOptics, ed. inglesa, págs. 314-17, Longmans, Green and Co., Nueva York, 1922. '

600 i

DOBLE REFRACCION [CAP. 26

ecuaciones [26-6]. Los semiejes del elipsoide son Vil, Vs? y V^> como muestra la figura 26-16, donde se ha tomado e* < zy < z¡. A partir del elipsoide se obtienen las dos velocidades y las correspondientes direcciones de vibración para una onda que se propaga en una dirección arbitraria a través del cristal. Este modo de representación se debe a Fresnel, que lo obtuvo aplicando a la teoría de la luz las propiedades del sólido elástico. Dado que en la teoría antigua la velocidad dependía de la densidad y elasticidad del éter (Sec. 11-4), el elipsoide de Fresnel puede ser tanto un «elipsoide de elasticidad» como ün «elipsoide de inercia». Reemplazándolo por un elipsoide dieléctrico, los resultados de Fresnel pueden traducirse directamente en términos de la teoría electromagnética. |

Supongamos ahora que ondas luminosas de luz ordinaria que vibran en todos los planos se propagan, en cualquier dirección, a través del punto O del cristal, y tratemos de determinar las dobles

superficies de onda mencionadas en las secciones anteriores. E n la ecuación [23-16] se dio para la velocidad de la luz la expresión

' v = -4= [26-8] V e

donde c es la velocidad en el vacío. Tenemos, pues,; las relaciones

c /-

: vb = — c - = z nb = \/ey

Ve = .— Me — •Sfzz

donde v* > vb > vc. Ahora va representa la velocidad de las ondas que se propagan perpendicularmente al eje x, con sus desplazamientos eléctricos paralelos ax. Su velocidad está, pues, determinada por zx. Examinando la'figura 26-17, es fácil deducir la aplicación de la afirmación anterior a las otras direcciones de vibración y velocidades de propagación a lo largo de los tres ejes de coordenadas.

Veamos ahora cómo pueden determinarse las velocidades correspondientes a cualquier dirección arbitraria utilizando el elipsoide dieléctrico. Observemos, primero, que las velocidades a lo largo de cualquiera de los ejes coordenados son inversamente

y

x

7.

FIG. 26-17.—Correlación entre velocidades y direcciones de vibración en las ondas con las direcciones de las tres constantes dieléctricas princi-

S E C . 26-9] T E O R I A D E L A L O B L E R E F R A C C I O N 601

FIG. 26-18.—Construcción de una superficie de velocidad normal.

proporcionales a los ejes mayor y menor de la sección elíptica del elipsoide al ser cortado por el plano coordenado perpendicular a dicho eje. Del mismo modo, para cualquier otra dirección de

„ propagación, haremos pasar por 0 un plano paralelo al de la onda. Este cortará al elipsoide según una elipse, cuyos ejes mayor y menor son O A y OB [Fig. 26-18 («)]. Sobre la normal a la onda se miden las distancias OM y ON, inversamente proporcionales a OA y OB. Los planos M y N paralelos al inicial representan una posición ulterior de las ondas que vibran paralelamente a los dos ejes de la elipse. Considerando una sola vibración en el plano AOB, que forma un ángulo 6 con OA, puede descomponerse el vector eléctrico OP en dos componentes OP eos 8 y OP sen 8. Estas componentes se propagan a lo largo de los ejes mayor y menor con dos velocidades diferentes. Si ahora giramos el plano AOB alrededor de 0 en todas las direcciones posibles, los puntos M y N describirán las superficies de velocidad normal (líneas de trazos) representadas en la figura. 26-11 (b).

Para cada elipsoide con tres ejes diferentes, solo hay dos planos para los cuales la sección transversal es una circunferencia. Para estos dos planos, OA y OB en la figura 26-18 (a) serán iguales, y los planos M y N coincidirán. Las direcciones de la normal para estas dos secciones circulares del elipsoide dieléctrico dan los ejes ópticos del cristal, es decir, las direcciones de igual velocidad normal para todos los planos de vibración. L a envolvente de todas las ondas planas en el instante que alcanzan la superficie de velocidad normal es la superficie de onda descrita previamente

602 DOBLE REFRACCION [CAP. 26

en la sección 26-6. E n la figura 26-18 (b) se ha representado esta envolvente, que es una superficie de sección elíptica.

Las propiedades ópticas de los cristales birrefringentes quedan completamente determinadas cuando se conocen los valores de los tres índices principales de refracción y las direcciones de dos de los ejes principales. Como ya hemos dicho, estas magnitudes pueden medirse cortando el cristal en prismas de diferente orientación. Sin embargo, existen métodos más eficaces y cómodos, basados en los efectos interferenciales originados por la diferencia de velocidad de las dos componentes polarizadas, que se estudiarán en el capítulo siguiente.

P R O B L E M A S

26-1. Se coloca sobre la platina de un microscopio un cristal de nitrato sódico de caras paralelas y 1,200 mm de espesor, cuyo eje óptico es paralelo a la superficie. Enfocando primero la superficie superior del cristal y después, sucesivamente, las dos imágenes de una señal sobre la superficie inferior, resulta que el enfoque ha de variar en 0,757 y 1,027 mm. Se observa que la luz procedente de las dos imágenes está polarizada, con vibraciones perpendiculares y paralelas, respectivamente, a la sección principal del cristal. Hállense los valores de % y «o para este cristal, suponiendo que es uniáxico.

26-2. Hállese gráficamente el espesor que ha de tener un cristal natural de calcita para que un rayo de luz de sodio que incida normalmente sobre una de sus caras de exfoliación emerja por la opuesta como dos rayos separados por una distancia lineal de 1 mm. E n una sección principal de calcita, el eje óptico forma un ángulo de 45° con la normal. Sol.: 9,2 mm.

26-3. Supóngase que un rayo incide sobre la superficie de un cristal de hielo (no = 1,3090, «£ = 1,3104, para la luz de sodio) bajo incidencia rasante en un plano perpendicular al eje óptico. Se talla el cristal de modo que su eje se encuentre paralelo a la superficie. Hállese la separación, en milímetros, de los rayos O y E en la cara opuesta del cristal, que es una lámina de caras paralelas de 3 cm de espesor.

26-4. Un rayo de luz no polarizada incide sobre un cristal de calcita cuyo eje óptico es paralelo a la superficie. E l ángulo de incidencia es 34° y el plano de incidencia coincide con la sección principal del cristal. Hállense los ángulos de refracción de los rayos O y E para la raya verde del mercurio. Sol.: 19°20'. 17°45'.

26-5. Demuéstrese geométricamente la fórmula de la nota (1) de este capítulo.

26-6. Calcúlense los ángulos de desviación mínima, y su diferencia, en un prisma de 60° de fosfato amónico para el cual n0 = 1,525 y nE = 1,479. E l prisma se talla de modo que su eje óptico sea paralelo a la arista refringente. Sol.: 39,37°; 35,37°; 4°0'.

26-7. ¿En qué fracción habría que aumentar o disminuir el tamaño de la superficie de onda en el cuarzo si se aplicase a las velocidades de grupo en vez de a las de onda? Hágase el cálculo para luz de longitud ais onda 4046 Á utilizando los índices de refracción de la tabla 26-1.

PROBLEMAS 603

26-8. Dibújense a escala las dos secciones transversales de la superficie de onda.del cinabrio (HgS) producidas por planos: a) paralelo al eje óptico, y b) perpendicular a él. Los índices de refracción del cinabrio son n0 = 2,854 y nE = 3,201. Indíquense las direcciones de las vibraciones en cada diagrama. ¿Es el cristal de cinabrio positivo o negativo?

Sol.: Cristal positivo. 26-9. E l ángulo 2a formado por los ejes ópticos de un cristal biáxico

está dado por' cos a == (b* — c2)/(a2 — c2). Hállese este ángulo 2a para los siguientes cristales y dedúzcase de ello si son .positivos o negativos: a) litargirio (PbO), na = 2,510, nb = 2,610, nc = 2,710; b) anhidrita (CaS04), na = 1,569, nb = 1,575, nc = 1,613.

26-10. E l criterio para clasificar los cristales biáxicos como positivos o negativos se establece a veces basándose, respectivamente, en si m está más próximo a na o a nc. Utilizando la expresión del problema anterior, demuéstrese que este criterio es distinto del correcto dado en el texto. E n función de los índices de refracción, formúlese uno que coincida con el correcto.

Sol.: (\¡nay — (l/nb)2 menor que ( l / « i ) 2 — (1/«Í)2 para los cristales positivos.

26-11. Dibújense a escala secciones transversales en los tres planos coordenados de la superficie de onda del cristal biáxico antimonita (S3Sb2), para el cual na = 3,194, « j = 4,046 y » , = 4,303.

26-12. Utilícese un cuadrante de la sección x,z de la superficie de onda de la antimonita (véase problema anterior) para construir la sección de la superficie de velocidad normal en este plano. [INDICACIÓN: Téngase en cuenta la Fig. 26-18 (i).]

26-13. Sobre un cristal de aragonito, tallado de tal manera que la bisectriz del ángulo agudo formado por los ejes ópticos sea perpendicular a la superficie; del cristal, incide luz paralela. Si el ángulo de incidencia es de 45° y el plano de incidencia coincide con el plano que contiene al eje óptico, hállese mediante la construcción de Huygens los dos ángulos de refracción, especificando las direcciones de vibración de cada uno.

26-14. Se talla, a partir de un cristal de topacio, un prisma de 60° con su arista refringente perpendicular al plano que contiene al eje óptico. Se mide el ángulo de mínima desviación para un rayo de luz de sodio polarizada con sus vibraciones paralelas a la arista refringente. ¿Qué valor es de esperar de acuerdo con los índices de refracción dados en la tabla 26-2?

¡ Sol.: 4S°U'. 26-15. E l eje de velocidad del rayo única en un cristal biáxico forma

un ángulo con el eje z cuyo coseno es a/b mayor que el valor de cos a dado en el problema 26-9. Hállese el ángulo en el vértice del cono de refracción cónica interna en un cristal de antimonita utilizando los índices de refracción de la tabla 26-2. I

CAPITULO X X V I I

INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA

polarizador lámina de calcita

FIG. 27-1.—Luz polarizada linealmente incidiendo en dirección normal sobre una lámina cristalina de caras paralelas al eje

óptico.

L a primera investigación sobre interferencias con luz polarizada fue realizada por Arago en 1811. Examinando la luz azul del cielo con un cristal de calcita, observó que al interponer una laminilla transparente de mica los ¡rayos ordinario y extraordinario adquieren coloraciones vistosas. Casi todos los cristales producen este efecto cromático, que se¡ debe en la mayoría de los casos a la interferencia de la luz polarizada, y en algunos pocos, a actividad óptica. De este último tema nos ocuparemos en el próximo

| capítulo; ahora consideraremos | los fenómenos debidos a interferencias. 1 !

27-1. Luz polarizada elíptica y circularmente.—Supon-

1 gamos que la luz polarizada ; linealmente en un nicol N-¡_ (fi-! gura 27-1) incide normalmente sobre una delgada lámina de

: calcita C de caras paralelas al eje óptico. Utilizando los dia

gramas de la superficie de onda y la construcción de Huygens, como en la figura 26-5 («), podemos determinar cualitativamente la naturaleza de la luz que emerge de la lámina de calcita. A l penetrar en el cristal en P, normalmente a su superficie, pero con sus vibraciones formando cierto ángulo con el eje óptico, la luz se desdoblará en dos componentes E y 0 (Fig. 27-3). Como muestra la figura 27-2, la onda E, cuyas vibraciones son paralelas al eje, se propagará más de prisa que la 0, pero a lo largo de la misma trayectoria.

Para hallar el adelanto de F l G . 2 7 „ 2 . _ A v a n c e de la onda E sobre la Onda E sobre la O durante el l a O en una lámina negativa.

604

SEC. 27-1] LUZ POLARIZADA ELIPTICA Y CIRCULARMENTE 605

tiempo empleado en recorrer el espesor d de cristal, calculemos la diferencia de caminos ópticos (Sec. 1-5) y convirtámosla en di ferencia de fase. Según la ecuación [1-7], el camino óptico del rayo O es simplemente nod, y el del rayo E, nEd. L a diferencia de camino es, por consiguiente,

A = d{n0 — nE) [27-1]

L a diferencia de fase correspondiente (Ec. [11-6]), será:

8 =,Jld(no — nE) [27-2] A

donde d puede representar también la distancia de penetración en un cristal dado, viéndose que la diferencia de fase 8 aumenta de modo continuo y es proporcional a esta distancia.

Mirando de frente al haz luminoso, como en la figu- lento

ra 27-3, supongamos que las vibraciones de la luz polarizada linealmente procedente del nicol A 7 ! encuentren a la primera cara del cristal, formando un ángulo 8 con la sección principal. Si su amplitud es A, se desdoblará en dos componentes, E = A eos 8, que se propaga con la velocidad mayor vE, y O — A sen 6, con la velocidad menor v0. Después de abandonar el cristal, los rayos O y E continuarán en la misma recta y, naturalmente, FIG. 27-3.—Descomposición por el cristal con SUS vibraciones perpen- de la luz que incide como en la figura 27-1.

diculares entre sí. E n cualquier punto del interior del cristal existen dos vibra

ciones perpendiculares con una diferencia de fase 8, ambas de la misma frecuencia e igual a la de la luz fuera del cristal. E n la sección 12-9 se estudió ya el problema de componer dos vibraciones de esta clase, viéndose que el movimiento resultante es una de las figuras de Lissajous para frecuencias iguales (Fig. 12-11). L a vibración es, por tanto, una elipse, una recta o una circunferencia. • De hecho, al aumentar continuamente las distancias a través del cristal desde P hacia Q (Fig. 27-2), las formas de vibración van siendo las de la figura 12-11, repitiéndose de ordinario tal secuencia muchas veces. Solo cuando la luz sale del cristal puede obser-

0 A á / / / / / / /\f? i

/ Y ,! E> -

-- i • !

eje Optico 1

rápido

606 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

varse fácilmente el tipo de vibración. Según sea el espesor del cristal, y las otras magnitudes de la ecuación [27-2], se tratará de cierta figura inscrita en un rectángulo de lados 2A cos 6 y 2A sen 6. Para 8 = 0, 2ir, 4rt, ... la vibración lineal incidente emergerá inalterada, mientras que para 8 = re, 3TC, 5TC, ... se transformará en otra vibración lineal que forma con la inicial un ángulo 26. Para todos los valores intermedios de S el movimiento se efectúa en una elipse, cuya forma está determinada por los valores particulares de 6 y § según los principios explicados en la sección 12-9. Tal tipo de luz se denomina.luz polarizada elípticamente, de la cual son evidentemente casos particulares las luces polarizadas lineal y circularmente 1 .

Consideremos por un momento lo que quiere decir que las vibraciones de un haz luminoso son elípticas. Como la «vibración» es en realidad una variación periódica del campo eléctrico en el espacio, ello significa que en cualquier punto de un haz polarizado elípticamente el extremo del vector eléctrico descube una elipse situada en un plano perpendicular a la dirección de propagación de la luz. Así, pues, el vector varía continuamente de magnitud y dirección, volviendo ambas a tomar sus valores iniciales con una frecuencia igual a la de la onda. E n otros puntos, a lo largo de la onda, el movimiento es análogo, pero tiene una fase diferente, o sea que el vector se encuentra en una parte distinta de la elipse. E n una «instantánea» de la onda, los vectores eléctricos estarían dispuestos como en la figura 20-4 (&).

Para que el cristal produzca luz polarizada circularmente han de cumplirse dos condiciones. Primera, han de ser iguales las amplitudes de los rayos O y E; ello requiere que sen 6 — cos 0, o sea 0 = 45°. Segunda, la diferencia de fase ha de ser TU/2 O 3TC/2 (sumar a cualquiera de estas un múltiplo de 2rc no altera en nada el resultado). La diferencia entre ambos casos afecta al sentido de recorrido de la circunferencia, como se explicó en la sección 12-9 relacionada con la figura 12-12. Qué valor de S dará polarización circular a la derecha y cuál a la izquierda dependerá de que la lámina proceda de un cristal positivo o negativo. Así, p. ej., en la calcita, la onda E avanza más de prisa, y si S = n/2, se producirá una rotación hacia la izquierda, mirando contra el sentido de la luz. Las direcciones paralela y perpendicular al eje óptico en un cristal negativo suelen llamarse ejes rápido y lento de la lámina, como se indica en la figura 27-3. E n un cristal positivo estas denominaciones referentes al eje están naturalmente intercambiadas.

1 Las expresiones «polarizada en un plano» y «polarizada linealmente» suelen usarse sin distinción. Es preferible esta última cuando se hacen comparaciones con luz «polarizada elípticamente».

SEC. 27-3] ' LAMINAS CRISTALINAS ENTRE DOS NICOLES 607

27-2. Láminas de cuarto y de media onda.—El dispositivo más sencillo para producir y detectar luz polarizada circularmente se conoce con la denominación de lámina de cuarto de onda, o lámina A/4. Tales láminas se hacen de ordinario a partir de finas laminillas de mica, aunque pueden ser de cuarzo tallado paralelamente al eje óptico. Su espesor se ajusta de modo que introduzca un cambio de fase de 90° entre las vibraciones O y E 2 . E n el caso de cristales uniáxicos, el espesor correcto de tales láminas puede calcularse a partir de la ecuación [27-2], Como la diferencia de fase 8 depende de la longitud de onda, suelen utilizarse para calcular el espesor adecuado de una lámina de cuarto de onda los índices principales para la luz amarilla de sodio, A5893. Orientando una lámina de cuarto de onda bajo un ángulo de 45° con el plano de la luz polarizada incidente, la luz emergente será circular. Suelen obtenerse láminas bastante buenas hendiendo laminillas transparentes de mica hasta formar capas muy delgadas de unos 0,035 mm de espesor. Esto puede hacerse con un cortaplumas o una aguja, utilizando un calibre micrométrico para comprobar el espesor. ;

También se emplean con frecuencia las llamadas láminas de media onda, que introducen una diferencia de fase de 180° entre las dos componentes. Como ya dijimos en la sección anterior, el efecto de una lámina de esta clase no es más que alterar la dirección de vibración de la luz polarizada linealmente un ángulo 26, siendo 6 el ángulo que forman las vibraciones incidentes y la sección principal. E n ciertos instrumentos en los que se desea comparar dos campos contiguos de luz polarizada que forman entre sí determinado ángulo, se cubre la mitad del campo con una lámina de media onda. .

27-3. Láminas cristalinas entre dos nicoles cruzados.—Como se explicó en la sección 24-12, cuando el polarizador y el analizador están colocados perpendicularmente, el conjunto no transmite la luz. Supongamos ahora que se intercala entre ellos un cristal plano tallado paralelamente al eje óptico, como muestra la figura 27-4. Se observa que entonces el segundo nicol transmite luz. U n modo de interpretar este resultado es decir que la luz

2 En rigor, la mica es un cristal biáxico negativo que aparece en muchas formas diferentes. El ángulo entre los ejes ópticos puede ser cualquiera comprendido entre 0o y 42°, dependiendo tanto de la constitución química como de la estructura cristalina. El tipo más común, la «moscovita» (de color pardo claro) tiene un ángulo de 42° (= 180° — 2a) entre los ejes ópticos (véase tabla 26-2). El plano de exfoliación más fácil es el y, z de las figuras 26-9 y 26-10. La diferencia de velocidades a lo largo del eje x es, por tanto, muy pequeña. Esto es una ventaja, pues así las láminas no han de ser demasiado delgadas y frágiles. El cuarzo no tiene ningún plano natural de exfoliación, por lo que ha de tallarse y después pulir las caras hasta convertirlas en planos ópticos.

•608 I N T E R F E R E N C I A S C O N L U Z P O L A R I Z A D A [CAP . 27

Ai polarizador analizador

FIG. 27-4.—Origen de las componentes cuya interferencia se produce mediante nicoles cruzados.

polarizador

analizador

polarizada linealmente que penetra en el cristal por a sale por b polarizada elípticamente, produciéndose así una componente paralela al plano de transmisión del analizador. Este punto de vista •es correcto y muy sencillo: es justamente la componente At de la

figura 27-5 la que ha pasado por él analizador, y la intensidad correspondiente es proporcional a A-f, Sin embargo, para fines de cálculo, es posible considerar el fenómeno como de interferencia entre las dos vibraciones componentes que emergen de la lámina, parte de cada una de las cuales es transmitida por el analizador. E n la figura 27-4, los cuatro diagramas inferiores representan vistas frontales de la luz (mirando en sentido contrario al de su propagación) en los cuatro puntos designados . con las mismas

letras en el diagrama superior. En (a), el plano de vibración aparece representado a su llegada a la lámina con una amplitud A y formando un ángulo- 6 con el eje óptico. Esta amplitud se desdobla •en dos componentes: E = A eos 8, a lo largo del eje óptico, y

PIG. 27-5.—Componente de luz polarizada elípticamente transmitida por un analizador que está cruzado con el

polarizador.

S E C . 27-4] C O M P E N S A D O R D E B A B I N E T 609

O ~ A sen 8, perpendicular a él. Una de estas componentes se propaga en el cristal con mayor velocidad, y al salir adelantará en fase a la otra. E n (c) aparecen estas dos componentes a su llegada al segundo nicol iV 2 , donde solo se transmitirán las vibraciones E paralelas a su sección principal N^N2. E n otras palabras: solo pasan las componentes E' y E", que vibran ahora en el mismo plano. Sus magnitudes son:

£' = E sen 6 = A cos 0 sen 0 [27-3] y E" = O cos 6 = A sen 6 cos 6 [27-4]

Se ve, pues, que las magnitudes de E' y E" son iguales, independientemente del ángulo 0, cuando los nicoles están cruzados.

Estas dos componentes vibran ahora en el mismo plano y tienen la diferencia de fase dada por la ecuación [27-2], Si el espesor de la lámina es tal que. 8 = 0, 2TC, 4n, interferirán destructivamente (obsérvese que para espesor d = 0, 8 = 0, y E' y E" tienen sentidos opuestos y, por tanto, se anulan). Para cualquier otra diferencia de fase se transmitirá la resultante de las dos vibraciones. Para hallar la amplitud e intensidad de esta luz transmitida sumaremos vectorialmente ambas componentes como se describió en el capítulo XI I , figura 12-1. E n la sección 27-6 deduciremos las ecuaciones correspondientes a estas magnitudes.

Hay que advertir que la interferencia destructiva no se produce delante del segundo nicol, sino solo después que las dos componentes estén en el mismo plano. Este principio está mejor expresado por las leyes de Fresnel-Arago. De ellas, las dos más importantes son:

1. Dos rayos polarizados perpendiculares no interfieren. 2. Dos rayos polarizados perpendiculares (procedentes del

mismo haz de luz polarizada linealmente) interferirán, del mismo modo que la luz ordinaria, solo cuando se encuentren en el mismo plano.

27-4. Compensador de Babinet.—En el estudio de los fenómenos ópticos es frecuentemente útil el uso de una lámina de espesor variable para producir y analizar luz polarizada elíptica-

(«) l - v . - : - v - v . • ••••;•,••)

(i)

FIG. 27-6.—Esquemas de: (a) compensador de Babinet, y (6) compensador de Soleil. J E . 1 K I N S - W H I T E . — 3 9

610 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

mente. Babinet construyó una lámina de este tipo, con sus caras paralelas al eje óptico, que se denomina compensador de Babinet. Consiste en dos prismas de cuarzo en forma de cuña, de ángulo muy pequeño, tallados como muestra la figura 27-6 (a). Los ejes ópticos son paralelo y perpendicular, respectivamente, a las dos aristas refringentes. Si un haz de luz polarizada linealmente llega bajo incidencia normal al compensador, formando su plano de vibración un ángulo arbitrario 6 con el eje óptico, se desdoblará en dos componentes. La componente E, paralela al eje óptico en el primer cristal, se propaga más despacio (pues el compensador es de cuarzo) que la O hasta alcanzar el segundo cristal. E n este punto la vibración E se transforma en la O, ya que es ahora perpendicular al eje. E n el mismo punto la vibración O del primer cristal se convierte en la E del segundo. E n otras palabras: ambas vibraciones intercambian sus velocidades al pasar de un prisma al otro. E l resultado es que un prisma tiende a anular el efecto del otro. A lo largo del centro C, para el que ambas trayectorias son iguales, la anulación es completa y el efecto equivale al de una lámina de espesor nulo. A ambos lados de C una de las vibraciones estará adelantada o retrasada respecto a la otra, debido a las diferentes longitudes recorridas. E l efecto es, pues, el de una lámina cuyo espesor es nulo a lo largo de la línea central y que varía proporcionalmente a ambos lados de esta.

L a desventaja principal del compensador de Babinet es que un espesor de lámina determinado, o sea, un cierto retraso deseado, quedan confinados a una estrecha región a lo largo de la lámina paralela a las aristas refringentes de los prismas. Existe una modificación que permite obtener un espesor variable, pero igual, sobre un amplio campo, y consiste en dos cuñas cortadas y montadas con los ejes como muestra la figura 27-6 (&). E l espesor efectivo se varía mediante un tornillo calibrado que hace deslizar el prisma superior sobre el otro. Si los ángulos de los prismas son muy pequeños se consiguen fácilmente ajustes del espesor a A/4 o A/2 para cualquier color de luz. Este dispositivo se conoce como compensador de Soleil.

Las propiedades del compensador de Babinet aparecen claramente en el experimento siguiente: U n nicol N1 polariza la luz procedente de un arco de carbón [Fig. 27-7 (a)]. E l compensador C se orienta de modo que forme un ángulo de 45° con Nv enfocándose su imagen sobre una pantalla MM por medio de la lente L2. Debido al espesor variable a lo largo del compensador, la luz sobre la pantalla (en ausencia de N2) estará polarizada como muestra la figura 27-7 (b) (véanse también Sec. 27-1 y Fig. 12-11). Intercalando en N2 un segundo nicol, orientado en dirección perpendicular a un conjunto de regiones polarizadas linealmente (p. ej., las

SEC. 27-5] ANALISIS DE LA LUZ POLARIZADA 611

FIG. 27-7.—Efecto de un compensador de Babinet colocado entre dos nicoles ! cruzados.

marcadas en la figura con los números 1, 2 y 3), no se transmitirá luz en estos puntos. L a pantalla estará entonces cruzada por una serie de bandas oscuras paralelas y equidistantes. Empleando luz blanca, las bandas son coloreadas como las franjas de la doble rendija de Young, pero con una banda negra en el centro. Los mejores resultados se consiguen con luz monocromática. E n lugar de los nicoles N1 y N2 pueden utilizarse, naturalmente, polaroides o pilas de láminas de vidrio montadas en tubos.

27-5. Análisis de la luz polarizada.-—El ojo no aprecia diferencias entre la luz ordinaria y la polarizada lineal, circular o elípticamente. Sin embargo,! puede determinarse fácilmente su carácter y forma de vibración recurriendo a aparatos auxiliares sencillos. Para ello se utiliza un analizador en forma de nicol o pola-roide en unión de una lámina de cuarto de onda o de algún tipo de compensador. E n la mayoría de los casos basta con una lámina .X/4, siendo solo necesario el compensador cuando se requieren medidas" precisas de polarización elíptica.

Para ilustrar el uso de la lámina A/4 supongamos, p. ej., que la situamos en un haz polarizado circularmente. Prescindiendo de la orientación del eje óptico, la vibración circular equivale a dos lineales perpendiculares entre sí a lo largo de los ejes lento y rápido, desfasadas 90°. A l emerger de la lámina, ambas están en fase y se recombinarán, dando luz polarizada linealmente, cuyas vibraciones forman un ángulo de 45° con los ejes de la lámina. E l plano de la luz emergente depende del sentido de rotación de la luz circular incidente. E n cualquiera de los dos casos posibles puede ser extinguida completamente por el analizador. Si la luz a estudiar está polarizada elípticamente, se convertirá en polarizada linealmente solo cuando el eje rápido de la lámina

612 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

A/4 coincida con cualquiera de los ¿jes mayor o menor de la elipse. L a razón de estos ejes es entonces la tangente del ángulo formado por el plano de transmisión del analizador y el eje rápido, cuando se alcanza la extinción.

Con el compensador de Babinet se consigue el mismo resultado, pero con mayor precisión, y tiene la ventaja adicional de poder utilizarse con cualquier longitud de onda. Hemos visto que cuando la luz incidente está polarizada linealmente en un plano que forma un ángulo de 45° con la sección principal de una cuña se produce en el centro una banda oscura. Si para otro tipo de luz la banda oscura se desplaza de esta posición, existirá una diferencia de fase entre las dos componentes rectangulares de esta luz, lo que significa que está polarizada elípticamente en mayor o menor grado. Dado que una diferencia de fase de 2iz equivale a una franja completa, la diferencia real puede hallarse a partir de la fracción de franja que corresponde al desplazamiento. L a medida se efectúa haciendo deslizar una cuña sobre la otra hasta que la franja oscura vuelva al centro, con lo que se habrá compensado la diferencia de fase. Para más detalles: sobre el uso del compensador debe acudir el lector a textos más avanzados3.

Si la luz no está completamente polarizada, sino que contiene una cierta mezcla de luz no polarizada, es todavía posible determinar completamente su carácter utilizando una lámina A/4 y un analizador, del modo sistemático resumido en la tabla 27-1. Para ello se empieza estudiando la luz solo con el analizador. Si no varía la intensidad al girarlo, se seguirá el procedimiento indicado en la parte A de la tabla, y si se produce algún cambio de intensidad se continuará de acuerdo con la parte B. Los siete tipos de luz que pueden identificarse de este modo representan todos los estados posibles de polarización. Para cualquier otra mezcla más complicada se demuestra que es equivalente a alguna de estas. ¡

Para especificar cuantitativamente el estado de polarización de un haz luminoso se requieren! cuatro números, denominados parámetros de Stokes, que se determinan mediante cuatro medidas adecuadas. E n una de ellas interviene la intensidad total, y en otra se necesita algún dispositivo que altere la fase, tal como una lámina A/4 junto con un analizador. Las otras dos pueden realizarse solo con el analizador 4 . \

27-6. Interferencias con luz blanca.—Considerando la ecuación [27-2], se observa que la diferencia de fase entre los rayos

3 M A X BORN: Optik, pág. 244, J . Springer, Berlín, 1933. 4 Un resumen de los usos de los parámetros de Stokes, incluida su aplicación

a fotones y partículas elementales, aparece en W. H . MCMASTER: Am. J. Phys., 22, 351, 1954.

S E C . 27-6] I N T E R F E R E N C I A S C O N L U Z B L A N C A 613

TABLA 27-1

Análisis de luz -polarizada A. Sin variaciones de intensidad con el analizador solo

I. Si con una lamina A./4 delante del ana

lizador

II. Si con una lámina X/4 delante del analizador se obtiene un máximo, entonces

1. No se obtiene variación de intensidad,

2. Si en alguna posición del analizador la intensidad se anula,

3. Si en ninguna posición del analizador se obtiene intensidad nula,

se trata de se trata de se trata de

luz natural no polarizada

luz polarizada circular-mente

una mezcla de luz polarizada circularmente y de luz no polarizada

B. Variación de intensidad con el analizador solo

I. Si una posición del analizador da

II. Si no hay ninguna posición del analizador que dé intensidad cero

I. Intensidad nula,

se tiene

luz polarizada linealmente

2. Se intercala delante del analizador una lámina X/4 con su eje óptico paralelo a la posición de intensidad máxima

I. Intensidad nula,

se tiene

luz polarizada linealmente

a) Si se produce intensidad nula con el analizador,

se tiene luz polarizada elípticamente

b) Si no se produce intensidad nula

I. Intensidad nula,

se tiene

luz polarizada linealmente

a) Si se produce intensidad nula con el analizador,

se tiene luz polarizada elípticamente

1) Pero el mismo analizador colocado como antes da intensidad máxima,

se tiene

una mezcla de luz polarizada linealmente y de luz no polarizada

2) Pero algún otro analizador colocado como antes da un máximo de intensidad,

se tiene una mezcla de luz polarizada elípticamente y de luz polarizada linealmente

E y 0 depende tanto de la longitud de onda como del espesor de la lámina. E n cuanto a la diferencia entre los índices principales de refracción (no — nE), los valores de la tabla 26-1 indican que hay un pequeño cambio a lo largo del espectro visible. A u mentando el espesor de una lámina cristalina, la diferencia de fase 8* entre los rayos 0 y E para la luz violeta, A4000, aumenta casi dos veces más de prisa que la. diferencia de fase para la luz roja, A6500, pues A aparece en el denominador de la expresión

614 I N T E R F E R E N C I A S CON L U Z P O L A R I Z A D A [CAP. 27

que da 8. Este hecho origina los vistosos colores que se observan frecuentemente en laminillas de mica, cuarzo, calcita, etc., de caras paralelas al eje y colocadas entre dos nicoles cruzados. L a razón de estos colores es que una o más partes del espectro continuo visible quedan detenidas por el segundo nicol.

Supongamos que entre dos nicoles cruzados se intercala una laminilla de mica que introduce un cambio de fase de 2iz rad en la luz amarilla, es decir, una lámina de onda completa, orientada "bajo un ángulo 8 de 45°. Las longitudes de onda anaranjada y roja experimentarán un cambio de fase inferior a 2-K, y la verde, azul y violeta, de más de 2TC. ASÍ, a través del segundo nicol, pasarán

F I G . 27-8.—Componentes de la luz polarizada linealmente transmitidas por una delgada lámina birrefringente y un cristal analizador. Las rectas Nt y N2 indican

las direcciones de las vibraciones O y E en la calcita. «

componentes de todos los colores, excepto del amarillo. A l faltar el amarillo, el color resultante será una mezcla de rojo, naranja, verde, azul y violeta, que dará un matiz purpúreo.

Si en el experimento anterior con una lámina de mica, reemplazamos el segundo nicol por un grueso cristal natural de calcita, se transmitirán las vibraciones ordinarias 0' y O" además de las extraordinarias (Fig. 27-8), pero en posición diferente. Este haz 0 es también coloreado y complementario del E, que contiene las componentes E' y E". Superponiendo estos dos haces obtendríamos luz blanca, pues las longitudes que faltan en uno de ellos están en el otro. Aumentando o disminuyendo ligeramente el espesor de la lámina de mica variará la longitud de onda que interfiere destructivamente, por lo que se modificará el color de cada uno de los haces transmitidos.

SEC. 27-6] INTERFERENCIAS CON LUZ BLANCA 615

Para probar que estos dos colores son complementarios es necesario demostrar que la suma de los dos haces da la intensidad inicial A2. Las componentes E' y E" del haz E habrán de combinarse con su adecuada diferencia de fase:

A* = E'2 + E"2 + 2E'E" eos (8 + TC)

= (A sen 6 cos 6)2 + {A sen .8 cos 0)2 + 2A2 sen2 6 eos2 8 cos (8 + n) = 2.42 sen2 0 eos2 8 (1 — cos'8)

= AA2 sen2 8 eos2 8 sen2 - ¡ 2 i

siendo 8 la diferencia de fase dada por la ecuación [27-2], y se ha añadido TC, ya que E' y E" tienen sentidos opuestos cuando el espesor d de la lámina es nulo (Fig. 27-8).

Análogamente, para el haz 0 han de combinarse las componentes O' y O": ¡

A} = O'2 4 ; 0"2+ 20'0" eos 8 = [A eos2 0)2 + [A sen2 6)2 + 2A2 sen2 8 eos2 6 cos 8

= A2 jsen* 8 + eos4 G + 2 sen2 8 eos2 6 | l — 2 sen2 Jj

= A2 Jjsen2 8 + eos2 6)2 — 4 sen2 8 eos2 8 sen2 |j 8

= 42 — 4 42 sen2 0 coS 2 6 sen2 — 2

Sumando estas dos intensidades se obtiene la inicial, pues ¡,; A2 + A2=A2

" Debido a la rápida variación de 8 con la longitud de onda, si se intercala entre los dos nicbles cruzados una lámina de espesor varias veces mayor que el de la anteriormente descrita, en la luz transmitida estarán ausentes varias bandas estrechas del espectro visible. Esto puede comprobarse experimentalmente con una lámina de cristal de caras paralelas al eje del siguiente modo: Se interpone en un haz polarizado una lámina de calcita de un espesor aproximado de 0,01 a 0,03 mm o una de cuarzo de 0,2 a 1,0 mm, seguida de un espectroscopio de prisma, como muestra la figura 27-9. Utilizando como manantial una lámpara de arco.5, se obtendrá sobre la pantalla MM un espectro continuo. Orientando el eje de la lámina bajo un ángulo 0 = 45°, la luz estará polarizada como indica esquemáticamente la figura. Para comprobar esta polarización se intercala ahora un segundo nicol entre C y Sv

Cuando está cruzado con el polarizador, la intensidad variará

616 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

F I G . 27-9.—Interferencias de luz blanca producidas por una lámina cristalina colocada entre dos nicoles cruzados.

sinusoidalmente a lo largo del espectro, siendo nula en aquellas longitudes de onda para las cuales la luz transmitida por C está polarizada linealmente, con sus vibraciones perpendiculares al plano de transmisión del segundo nicol. Cuanto más gruesa sea la lámina, mayor será el número de bandas oscuras en el espectro.

Con láminas gruesas la luz transmitida parecerá blanca, pues el gran número de bandas muy estrechas eliminadas a lo largo de todo el espectro solo afecta al ojo como una disminución de la intensidad. Si en vez de lámina se emplea un compensador de Soleil, se podrá introducir en el espectro cualquier número prefijado de franjas oscuras. Variando lentamente el espesor, las bandas se desplazarán lateralmente a través del espectro al tiempo que aumenta o disminuye lentamente su número. . j

27-7. Filtro monocromático polarizante.—Lyot 5 utilizó de modo muy ingenioso las bandas oscuras que acabamos de describir para construir un filtro de luz que transmite una o más bandas muy estrechas de longitudes de onda. L a separación de las bandas producidas en el espectro por un solo cristal es inversamente proporcional a su espesor. Por tanto, si se utiliza un cristal grueso seguido de otro que tenga exactamente la mitad de espesor, los máximos transmitidos por el primero serán suprimidos por coincidir con los mínimos del segundo. Otra lámina de espesor igual a un cuarto de la primera suprimirá otros máximos transmitidos por las dos anteriores. Vemos, pues, que colocando en serie varias láminas de cuarzo, cuyos espesores varíen en progresión geométrica 1 : 2 : 4 : 8 : . . . , es posible aislar unas pocas bandas muy estrechas. Las no deseadas se suprimirán mediante un filtro de color ordinario.

E n uno de sus filtros de polarización, Lyot utilizó seis láminas de cuarzo, cuyos espesores variaban entre 2,221 y 71,080 mm,

5 B . L Y O T : Compt. rend., 197, 1593, 1933.

SEC. 27-8] APLICACIONES DE LAS INTERFERENCIAS 617

con polaroides entre cada par. Los ejes ópticos de todas las láminas eran perpendiculares al haz luminoso y paralelos entre sí,, estando orientados los polaroides a 45° con los ejes ópticos. Este filtro transmitía 13 bandas estrechas de solo 2 Á de anchura. Filtros de este tipo han prestado valiosos servicios a los astrónomos, pues permiten el estudio de la corona solar y de las protuberancias sin necesidad de que se produzca un eclipse total. Variando la temperatura del filtro es posible, desplazar la longitud, de onda de las bandas transmitidas hasta el valor deseado, gracias a la dilatación de Jas láminas y a la disminución de los índices de refracción al elevar la temperatura.

27-8. Aplicaciones de las interferencias en luz paralela.—Si el manantial es suficientemente intenso, pueden descubrirse muy pequeñas cantidades de doble refracción por el restablecimiento de la luz cuando se coloca la muestra entre polarizadores cruzados. Una sustancia transparente e isótropa como el vidrio, sometida a esfuerzos mecánicos, se hace débilmente birrefringente, con el eje

FIG. 27-10.—Efecto fotoelástico en una viga de plástico cargada en dos puntos.. (Según II. W. Clough, Jr.)

óptico efectivo en la dirección del esfuerzo. Los sopladores de vidrio examinan los trabajos acabados en un polariscopio para comprobar si su temple es adecuado. Los ingenieros construyen modelos en plástico transparente de las estructuras para estudiar la distribución de esfuerzos al aplicar una carga. Los esfuerzos se revelan por la distribución de luz cuando el modelo se coloca entre polaroides cruzados. L a figura 27-10 muestra, como ejemplo sencillo, las franjas de interferencia producidas por una viga

' rectangular cuando es deformada en dos puntos mediante pequeños rodillos. L a fotoelasticidad es evidentemente un campo de gran, importancia práctica 6.

6 Para una descripción completa de los métodos utilizados, véase M . FROCHT:. Photoelastir.Uy, vol. I, 1941; vol. II, 1948,' John Wiley and Sons, Nueva York.

618 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

Muchas sustancias transparentes comunes, como las fibras de seda, cabellos blancos, escamas de pescado, etc., presentan una pequeña anisotropía detectable mediante luz polarizada. Cuando tales sustancias se examinan en un polariscopio, suelen aparecer vistosamente coloreadas. Este hecho permite el estudio del crecimiento de cristales microscópicos, normalmente transparentes, debido a que el color produce un contraste que permite su observación.

Hemos citado simplemente estas aplicaciones como ejemplos de los muchos usos prácticos de las interferencias en luz polarizada. E n la sección siguiente se estudiará otro, y varios más en el capítulo X X I X .

27-9. Interferencias en luz muy convergente.—Hasta ahora, a l estudiar las interferencias en luz polarizada, solo hemos considerado cristales uniáxicos interpuestos en haces paralelos. E n la

5

¿ i L, C ¿,

l

i /V / : - : i i t\) \l

FIG. 27-11.—Dispositivo para proyectar «anillos y cruces» obtenidos por interferencia de luz polarizada muy convergente.

sección 27-4 se describieron casos de interferencia en los cuales variaba de modo continuo el espesor del cristal, modificando así la diferencia de fase entre los rayos 0 y E en la cantidad deseada. Puede obtenerse un resultado análogo haciendo pasar luz bajo diferentes ángulos a través de una lámina de espesor uniforme. E n este caso se talla una sola lámina con sus dos caras perpendiculares al eje óptico. Para el estudio experimental, esta lámina se intercala entre un analizador y un.polarizador cruzados, como muestra la figura 27-11. L a luz blanca paralela procedente del polarizador se hace fuertemente convergente mechante una o más lentes de pequeña distancia focal situadas en L%. Después de pasar por el cristal C, la luz vuelve a hacerse paralela mediante una lente análoga L3. Detrás del analizador N2, otra lente L 4 enfoca sobre la pantalla MM todos los rayos paralelos que emergen de C. Esta lente forma, por tanto, la imagen del plano focal imagen de L3 sobre MM.

L a figura 27-12 (a) representa un diagrama detallado del paso de la luz convergente por un cristal uniáxico. E l rayo central paralelo al eje óptico no experimenta cambio alguno desfase, pues ambas componentes, 0 y E, tienen la misma velocidad y, en rea-

SEC. 27-9] INTERFERENCIAS E N LUZ MUY CONVERGENTE 619

lidad, no existe diferencia entre ellas. Sin embargo, otros rayos, como P y Q, recorren una distancia mayor en el interior del cristal y, al no ser paralelos al eje óptico, experimentan la doble refracción. Como sus velocidades son distintas, habrá una diferencia de fase entre los rayos O y E, que aumentará con el ángulo de incidencia. Considerando la vista frontal de la figura 27-12 (b), todos los rayos que penetran por los puntos P, H, Q, G de la circunferencia han recorrido la misma distancia a través del cristal, y emergen, por tanto, con la misma diferencia de fase. L a línea vertical Nx representa el plano de vibración de la luz incidente

(a) ! !/,}

F I G . 27-12.—Desdoblamiento de las componentes O y E por interferencia de luz ¡ polarizada muy convergente.

procedente del primer nicol, y la N2, el plano de vibración transmitido por el segundo. ¡

Consideremos ahora cualquier punto de la circunferencia de la figura 27-12 (b), tal como el S, donde la luz no es normal a la superficie del cristal. L a luz se desdoblará en dos componentes O y E. Como el plano de incidencia contiene al eje óptico, los rayos refractados estarán también en este plano. Las vibraciones E, de amplitud A sen 6, estarán en el plano de incidencia, y las O, de amplitud A eos 0, serán perpendiculares a él. A l llegar al segundo nicol A^, se transmitirán las componentes E' y E", e interferirán destructivamente o de otra manera según las relaciones de fase emergentes. Cualesquiera que sean las relaciones de fase para el punto 5, serán las mismas para todos los demás puntos de la circunferencia. Para los puntos de cualquier otra circunferencia la fase será diferente. Si la lámina tiene varios milímetros de espesor, habrá un cierto número de circunferencias oscuras concéntricas regularmente espaciadas, para las cuales la diferencia de fase será un múltiplo de 2-K, por lo que se producirá interferencia destructiva. Por tanto, la luz transmitida dará ani-

620 I N T E R F E R E N C I A S C O N L U Z P O L A R I Z A D A [CAP . 27

líos de interferencia como los representados en la figura 27-13 (d). Si se utiliza luz blanca, estos anillos estarán vistosamente coloreados debido a las varias longitudes de onda presentes.

Las cruces oscuras que aparecen en estas figuras pueden explicarse utilizando de nuevo la figura 27-12 (b). Cuando el punto S se aproxima a G o H, las componentes E' y E" desaparecen. E n estos puntos las vibraciones atraviesan el cristal como vibraciones puras O. Por tanto, no experimentarán cambio alguno y serán detenidas por el analizador. Análogamente, la luz que incide en P y Q se transmitirá únicamente como vibraciones E. Por tanto, la intensidad a lo largo de las direcciones A^ y N2, correspondientes

FIG. 27-13.—Figuras de interferencia producidas por cristales situados en un haz de luz muy convergente. Las fotografías superiores corresponden a nicoles cruzados y las inferiores a nicoles paralelos, (o) Calcita tallada J_ al eje óptico. (6) Cuarzo tallado _|_. (c) Cuarzo tallado ||. (d) Aragoriito tallado J_ a la bisectriz de los dos

ejes ópticos.

a los planos de los dos nicoles, es cero. Sobre cada franja brillante la intensidad aumenta de modo continuo, hasta alcanzar un máximo, para un ángulo de 45° a partir de aquellas direcciones.

Si el segundo nicol es paralelo al primero, la figura de interferencia es justamente la complementaria de la anterior en todos los aspectos considerados y corresponde a la fotografía inferior de la figura 27-13 (a). Esto es fácil de comprender recordando que cualquier luz detenida por un nicol cruzado pasará cuando esté paralelo, y viceversa. ¡

Es posible eliminar estas cruces introduciendo láminas de cuarto de onda inmediatamente antes y después del cristal. L a

PROBLEMAS 621

luz que atraviesa este último estará entonces polarizada circular-mente, y al no haber ninguna dirección privilegiada no existirán cruces. L a llamada puntería de anillo óptico se obtiene de este modo, utilizando polaroides como elementos polarizantes. Mirando a través de una combinación dé este tipo se observan anillos de interferencia de luz blanca, cuyo centro está exactamente en el pie de la perpendicular trazada desde el ojo. Puede usarse, por consiguiente, en un arma como un punto de mira de gran precisión y comodidad.

E n el caso de que el cristal sea paralelo al eje óptico en vez de perpendicular, las franjas serán hiperbólicas en vez de circulares. L a parte (c) de la figura muestra franjas de este tipo. Como en este caso la diferencia de fase no es pequeña en ningún punto del campo, no puede utilizarse luz blanca para observar estas franjas. Las figuras de interferencia producidas por cristales biáxicos, como las representadas en (d), son más complicadas de explicar, aunque se aplican los mismos principios. Los dos «ojos» corresponden a los puntos de intersección de los ejes ópticos con la superficie' del cristal. Estas figuras tienen importancia en la identificación de especies minerales, y los mineralogistas las obtienen en un microscopio provisto de dispositivos polarizantes 7 . E l centro brillante del sistema de anillos observados con el cuarzo uniáxico [fotografías (&)] se explicará en el capítulo siguiente.

P R O B L E M A S

27-1. Se ilumina una lámina de cuarzo de 1 mm de espesor con luz roja de longitud de onda 6563 Á polarizada linealmente. El eje óptico es paralelo a la superficie. Hállense: a) los caminos ópticos de las dos componentes transmitidas, y b) la diferencia de fase, en grados, entre estas componentes.

27-2. Una lámina de calcita de caras paralelas al eje óptico está situada entre dos nicoles cruzados, con su sección principal formando un ángulo de 60° con la del polarizador: Hállense las amplitudes de las vibraciones O y E que emergen de la calcita. Hállense también las componentes de estas transmitidas por el analizador. Sol.: 0,866; 0,500; 0,433; 0,433.

27-3. Calcúlese el espesor que requiere una lámina de cuarto de onda tallada en cuarzo. Utilícense los índices de refracción para la luz verde del mercurio que figuran en la tabla 26-1.

27-4. Se desea construir una lámina de media onda a partir de un cristal biáxico de aragonito. Determínese, utilizando los índices de refracción dados en la tabla 26-2, en qué plano debe ser tallado el cristal para que la lámina sea menos delgada y frágil. Calcúlese el espesor requerido para esta sección. Sol.: Paralela al plano y, z. 0,037 mm.

7 Véase el libro de Johannsen mencionado en el capítulo XXIV, nota 6.

622 INTERFERENCIAS CON LUZ POLARIZADA [CAP. 27

27-5. Al construir una lámina de mica A/4, las laminillas separadas con una aguja se ensayan primero ¡jara luz polarizada circularmente y después se comprueban con calibres micrométricos para ver que no son láminas 3A/4 a 5}/4. ¿Qué desventaja hay en utilizar las últimas en lugar de una lámina. X/4? ¿Con qué precisión habría que leer los calibres para distinguir entre estas? Los índices adecuados son »¡> = 1,5936 y nc = 1,5977.

27-6. Se hace pasar luz de sodio a través de un polaroide y después a través de una capa de corindón {n0 = 1,768, nE = 1,760) orientada con su eje formando un ángulo de 40° en el sentido del reloj a partir del vector eléctrico de la luz incidente. Si la capa tiene 0,1 mm de espesor, hágase una representación análoga a la de la figura 12-11 para mostrar la forma de vibración de la luz transmitida.

Sol.: Elipse con el eje mayor inclinado 77,1° hacia la derecha, relación axial 1,30 y rotación contraria a la del sentido del reloj.

27-7. Hállese en el problema anterior la intensidad de la luz transmitida por un analizador que está cruzado con el polarizador. Hágase el cálculo: a) gráficamente a partir de la componente de la elipse transmitida por el analizador, y b) utilizando la ecuación deducida en la sección 27-6. Exprésese el resultado respecto a la intensidad de la luz que incide sobre el cristal de corindón.

27-8. En un polariscopio montado para extinción se intercalan dos láminas de media onda, una junto a otra, formando sus ejes un pequeño ángulo oc. Cuando la dirección de las vibraciones incidentes biseca el ángulo OÍ los campos son de igual intensidad. Hállese la razón de sus intensidades cuando el analizador gira 1° si oc tiene los valores: a) 20°; b) 5o, y c) 2°. Sol.: 1,51; 5,45; oo.

27-9. Se desea determinar el sentido de rotación de un haz de luz polarizada circularmente. Al colocar una lámina de cuarto de onda delante del analizador, disponiendo este en la posición de extinción, se encuentra que el eje rápido de la lámina A/4 se halla en posición tal que ha de ser girado 45° en sentido contrario al reloj para ¡levarlo a coincidir con la dirección de transmisión del analizador. ¿Tiene la luz polarización circular derecha o izquierda?

27-10. Calcúlese el valor de los ángulos de las cuñas de un compensador de Babinet tallado en cuarzo para que las franjas de interferencia estén separadas 0,5 mm. El compensador se utiliza, como de ordinario, con luz de sodio. Sol.: 3°42'.

27-11. Al observar un haz luminoso de polarización desconocida a través de un prisma de Nicol, su intensidad varía al girar el último, pero no se anula en ninguna posición. Cuando el analizador se encuentra en la posición correspondiente a intensidad máxima, se coloca delante de él una lámina A/4 con el eje rápido paralelo al plano de transmisión del analizador. Una rotación de este último de 20° en el sentido del reloj extinguirá completamente la luz. a) ¿Cuál es el tipo de polarización? b) Descríbase cuantitativamente la forma de vibración.

27-12. Una lámina del cristal uniáxico berilo se ha tallado y pulido con su eje paralelo a la superficie. Su espesor es de 0,"740 mm. Si se coloca el cristal entre uu polarizador y un analizador cruzados y se examina la luz emergente con un espectroscopio, se observan bandas oscuras en las longitudes de onda de 4100, 4450, 4900, 5400, 6100 y 7000 A. ¿Qué valor de la diferencia entre no y nE se deduce de este experimento?

Sol.: 0,00662.

PROBLEMAS 623

27-13. ¿Qué color producirá una laminilla de mica de 0,08 mm de espesor cuando se intercala en un polariscopio formando un ángulo de 45° con el polarizador y el analizador cruzados? Véanse los índices adecuados en el problema 27-5.

27-14. Diséñese un dispositivo que pueda emplearse para producir un haz de luz polarizada elípticamente en el cual el eje mayor de la elipse es vertical, la razón de los ejes mayor y menor es 2:1, y el sentido de rotación, contrario al de las agujas del reloj. Especifíquese cuidadosamente cada parte del aparato y su orientación.

Sol.: Un polarizador con su plano de transmisión girado 26°34' a partir de la vertical en el sentido del reloj, seguido de una lámina X/4 con su eje rápido horizontal.

27-15. Si la luz descrita en el problema anterior pasara por un compensador de Babinet con su línea cero vertical y se observase a través de un analizador, ¿qué ángulo con la vertical habría de formar el plano, de transmisión de este último para que el contraste de las franjas fuera máximo? ¿Cuál sería la posición de estas franjas respecto a la línea cero?

CAPITULO XXVII I

ACTIVIDAD OPTICA

E n los capítulos anteriores, sobre el comportamiento de la luz polarizada en los cristales, se ha visto que cuando la luz se propaga •en la dirección del eje óptico no se produce doble refracción. Por ello es de esperar que en esta dirección particular cualquier clase de luz se propague sin cambio. Sin embargo, ya en 1811, Arago •descubrió excepciones a esta regla sencilla. Encontró que ciertas sustancias, y en particular el cuarzo cristalino, restablecen la luz al ser colocadas entre dos nicoles cruzados, aun cuando el eje óptico sea paralelo a la dirección de la luz. E n la figura 27-13 (b) aparece un ejemplo de este efecto.

28-1. Rotación del plano de polarización.—Cuando se dirige Tin haz de luz polarizada linealmente según el eje óptico de un

FIG. 28-1.—Rotación del plano de vibración en una sustancia ópticamente activa.

•cristal de cuarzo, se observa que el plano de polarización gira continuamente alrededor de la dirección del haz, como muestra la figura 28-1, y emerge vibrando en otro plano diferente que a la entrada. Se ha encontrado experimentalmente que el valor de esta rotación depende de la distancia recorrida en el medio y de la longitud de onda de la luz. E l primer hecho demuestra que la acción se produce dentro del medio y no en la superficie. Este fenómeno suele denominarse actividad óptica y puede observarse en muchas sustancias. Algunas de ellas son el cinabrio, clorato sódico, trementina, cristales de azúcar, azúcar en disolución y sulfato de estricnina. i '

Ciertos cristales de cuarzo y disoluciones de azúcar giran el plano de vibración hacia la derecha, y otros, hacia la izquierda.

I 624

SEC. 28-2] DISPERSION ROTATORIA 625

Las sustancias que giran hacia la derecha se llaman dextrógiras, y las que lo hacen a la izquierda, levógiras. Las dextrógiras giran el plano en el sentido de las agujas del reloj y las levógiras en el opuesto 1 si se mira en sentido contrario al de avance de la luz.

28-2. Dispersión rotatoria.-—Una característica sorprendente de la actividad óptica es que el ángulo de giro es diferente para cada color. Las primeras medidas precisas de este efecto fueron realizadas por Biot, quien encontró que la rotación es con bastante aproximación inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de onda. E n otras palabras: se produce una dispersión rota-

\

y B

G

(a) 3 0 0 0 4000 5 0 0 0 6 0 0 0 7000 8 0 0 0 A

(6)

FIG. 28-2.—Rotación para diversos colores en una lámina de cuarzo de 1 mm de espesor.

toria, girando la luz violeta casi cuatro veces más que la roja. L a figura 28-2 (a) ilustra esquemáticamente este efecto para el caso del cuarzo. Supongamos que la luz blanca polarizarla linealmente llega con incidencia normal a una lámina de cuarzo, y sea AA la dirección de sus vibraciones. Después de atravesar 1 mm de cristal, la luz violeta (V) ha girado unos 50°, la roja (R) 15° y los otros colores cantidades intermedias. L a tabla 28-1 da valores más exactos correspondientes a 15 longitudes del espectro visible y del ultravioleta.

E l giro correspondiente a una lámina de 1 mm de espesor se denomina rotación específica, y se ha representado en la figura 28-2 (b). Medidas de precisión en el cuarzo y otras sustancias han demostrado' que la ley de Biot es solo aproximada. De hecho, la actividad óptica está lo bastante relacionada con la teoría

1 Aunque el convenio utilizado aquí parece ser el más corriente, serene trarán muchos libros en los que se adopta el opuesto.

J E N K I N S - W H I T E . -

626 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

de la dispersión ordinaria para que las fórmulas de la dispersión regular para los índices de refracción sean aplicables á la rotación. L a ecuación de Cauchy (Sec. 23-3), p. ej., puede utilizarse para representar la rotación específica del cuarzo en la región visible. Así tenemos:

P = / l + ! [28-1]

donde A y B son constantes a determinar. T A B L A 28-1

Rotación específica p del cuarzo para luz polarizada

Longitud Longitud Longitud de onda, grados/nun de onda, grados/mm de onda, grados/mm

en Á en A en A

2265,03 201,9 4358,34 41,548 5892,90 21,724 2503,29 153,9 4678,15 35,601 6438,47 18,023 3034,12 95,02 4861,33 32,761 6707,86 16,535 3403,65 72,45 5085,82 29,728 7281,35 13,924 4046,56 48,945 5460,72 25,535 7947,63 11,589

Experimentalmente puede observarse la dispersión rotatoria intercalando una lámina de cuarzo entre un analizador y un pola-

L t A 7! C Nz Lz M

polarizador analizador 7}J

FIG. 28-3.—Dispositivo experimental para estudiar la rotación producida por la lámina C.

rizador cruzados como muestra la figura 28-3. Empleando un manantial monocromático S, parte de la luz pasará a través del analizador hasta la pantalla MM, pues al atravesar el cuarzo a lo largo de su eje óptico habrá girado el plano de vibración, como se ha representado esquemáticamente en la figura 28-4 (d). Una vez que la vibración ha girado desde el plano AP al AXP, una cierta componente EP = AXP sen 0 pasa por el analizador N2. Si el analizador se dispone ahora paralelo a AJ?, toda ía luz

,será transmitida, mientras que si es perpendicular a AXP no pasará nada de luz.

S E C . 28-2] DISPERSION ROTATORIA 627

j V j . - .

• r ' . • • ••)•.. • • • r . • : r • • • • i ' - -.'•i".-:

-Afe

FIG. 28-4.—Rotación de la luz blanca1, mostrando los diversos colores transmitidos por un analizador cruzado, (R, rojo; Y, amarillo; G, verde; B, azul; V, violeta.)

Supongamos que se utiliza luz blanca en vez de monocromática, de modo que al pasar por el cristal cada color girará un ángulo diferente, como se ve en la figura 28-4 (b). Los nuevos planos de vibración son RP para*el rojo y VP para el violeta. A l llegar a N2 pasarán las dos componentes horizontales ERP y EPP; se transmite más luz violeta que roja, y la imagen sobre la pantalla será coloreada. Lo que ha sucedido es que el segundo nicol ha eliminado mayor cantidad de luz roja, lo que puede comprobarse modificando el experimento en la siguiente forma: Reemplacemos el analizador de la figura 28-3 por un cristal de calcita. Este transmitirá en un haz las vibraciones E dadas por el analizador solo, y en otro, independiente, las 0. E l haz E contiene las componentes ERP a EYP (véase figura 28-5), y el haz O, las componentes 0RP a OvP. E n otras palabras: el haz E no contiene las componentes que están en 0. Por tanto, las dos imágenes sobre la pantalla MM tienen colores complementarios, y si se superponen parcialmente, la zona común será blanca. Este es un excelente procedimiento para obtener series de colores „ .„ . T , . R , , . . , FIG. 28-5.—Lamina de cuarzo entre un complementarios, pues girando p o i a nz a dor Nt y un cristal de calcita B lentamente la calcita, pasa- \ como analizador.

628 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

rán cantidades variables de los diferentes colores a los haces € ó E.

Otra demostración muy sorprendente de la actividad óptica y de la dispersión rotatoria se consigue haciendo pasar' luz polarizada en un plano vertical a través de una disolución transparente de azúcar de caña contenida en un largo tubo de vidrio. Observando lateralmente el tubo a través de un nicol, se verá una serie de colores dispuestos en forma de espiral, algo parecido a un mástil de anuncio de barbería.

28-3. Interpretación de la rotación dada por Fresnel.—Fresnel propuso una explicación de la rotación en cristales como el cuarzo basada en la hipótesis de que la luz polarizada circularmente se propaga a lo largo del eje óptico sin sufrir ningún cambio. Esta explicación, aun no siendo una teoría en el sentido de dar la causa básica del fenómeno, proporciona, sin embargo, una admirable interpretación de los hechos. Se basa en el principio elemental de mecánica de que cualquier movimiento armónico simple a lo largo de una recta puede considerarse como la resultante de dos movimientos circulares opuestos. i

L a primera hipótesis de Fresnel es que la luz -polarizada linealmente que penetra en un cristal a lo largo del eje óptico es descompuesta en dos vibraciones polarizadas circularmente que giran con la misma frecuencia en sentidos opuestos. E n un cristal como la

cs/'cita

FIG. 28-6.—Descomposición de la luz polarizada linealmente en componentes polarizadas circularmente.

SEC. 28-4] DOBLE REFRACCION E N CRISTALES ACTIVOS 629

calcita, que no es ópticamente activo, estos dos movimientos circulares R y L se propagan con la misma velocidad, como muestra la figura 28-6 (a). Puesto que ambas vibraciones llegan simultáneamente a cualquier punto dado a lo largo de su trayectoria, su resultante será un movimiento armónico simple en el plano de la vibración inicial, como se indica en (b). Así, en la calcita, una onda polarizada linealmente se propaga a lo largo del eje con sus vibraciones siempre en el mismo plano.

E n los cristales ópticamente activos los dos movimientos circulares- avanzan con velocidades ligeramente, diferentes. E n el cuarzo dextrógiro, el movimiento a la derecha o movimiento en el sentido del reloj (mirando en contra de la luz) tiene más velocidad, ocurriendo lo contrario en el cuarzo levógiro.

Consideremos ahora un cierto punto Q, de un cristal dextrógiro, en la trayectoria de un haz incidente polarizado en un plano [Fig. 28-6 (c)]. Representemos por AP la amplitud y el plano de la vibración incidente [Fig. 28-6 (d)]. L a componente circular derecha R es la primera en llegar a Q, y al avanzar la onda, el desplazamiento gira un ángulo 6 antes que llegue la componente L. E n este instante, los dos movimientos circulares tienen sentidos opuestos y la misma frecuencia, partiendo el uno de R,y el otro de L. E l resultado es que el punto B' vibra a lo largo de la recta fija -BQ con la misma amplitud y frecuencia que la vibración inicjal AP, lo que representa la forma de la vibración luminosa en Q. Por tanto, en el recorrido entre P y Q, el plano de vibración ha girado un ángulo 8/2. Así, pues, es evidente que, según estas hipótesis, el plano de vibración giraría continuamente al penetrar la luz cada vez más en el cristal, por lo que el ángulo girado sería proporcional al espesor.

28-4. Doble refracción en los cristales ópticamente activos. Como no hay muchos cristales anisótropos que posean la propiedad especial de girar el plano de vibración, se plantea la cuestión de su relación con la doble refracción ordinaria estudiada en capítulos anteriores. L a actividad óptica se presenta solo en un determinado tipo de cristales, pero tales cristales muestran también birreíringencia cuando la luz se transmite en cualquier d i rección diferente de la del eje óptico. Por tanto, ha de pasarse de modo continuo de un fenómeno a otro al variar el ángulo. Para comprender esto hemos de dar por cierto que las dos velocidades de los movimientos circulares de Fresnel son realmente velocidades representadas por las superficies de onda introducidas en. el capítulo X X V I (Fig. 26-2). Entonces y a se señaló que las dos hojas de la superficie de onda en el cuarzo no se tocaban en el eje óptico, como en el caso de la calcita. E n la figura 28-7 se han representado de nuevo las superficies de onda para el cuarzo.

ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

E n el plano ecuatorial las vibraciones lineales 0 y E, perpendicular y paralela, respectivamente, al eje óptico, se propagan con velocidades diferentes pero sin cambiar de forma, según se indica. A lo largo del eje z, z', las vibraciones circulares derecha e izquierda R y L se propagan con velocidades ligeramente diferentes. E n direcciones intermedias, como (b) y (c), solo se transmiten inalteradas vibraciones elípticas de una forma determinada.

E n la calcita, la superficie de onda elíptica daba una medida de la velocidad de la luz polarizada linealmente en las distintas direcciones, y la variación de la velocidad, representada per el

radio vector de la superficie, era debida a la variación del ángulo que las vibraciones forman con el eje óptico. E n el cuarzo o en cualquier cristal ópticamente activo, cada una de las dos superficies representa la velocidad de varios tipos de luz polarizada, dependiendo de la dirección de propagación. Para una dirección paralela al eje, la velocidad correspondiente a la superficie exterior es la de la luz circular derecha (cuarzo dextrógiro), y la de la superficie interior, la de la luz circular izquierda. Para direcciones que formen un ángulo con esta, la velocidad es la de dos componentes polarizadas elípticamente. Los ejes mayores de ambas elipses son perpendiculares entre sí, y las elipses se estrechan al aumentar el ángulo con el eje, degenerando en rectas (luz polarizada linealmente) cuando este ángulo vale 90°.

E l comportamiento de la luz polarizada linealmente, cuando penetra en un cristal y se propaga paralela o perpendicular-mente al eje óptico, como en las partes (a) y (b) de la figura 28-8, se comprende fácilmente a partir de las características mencionadas de la superficie de onda. E n (a) las vibraciones lineales incidentes se descomponen, al penetrar en el cristal, en dos vibraciones circulares que se propagan con velocidades distintas. Su resultante es simplemente una vibración plana, que gira un ángulo que depende del espesor del cristal y de la longitud de onda. E n (b) las vibraciones incidentes son también lineales, pero paralelas en este caso al eje óptico, por lo que la luz se transmite como un haz E con la velocidad determinada por la hoja interior de la

SEC. 25-4] DOBLE REFRACCION EN CRISTALES ACTIVOS 631

FIG.- 28-S.—Efectos de cristales de Cuarzo tallados según tres planos diferentes sobre luz polarizada linealmente.

superficie de onda. Si las vibraciones fuesen perpendiculares al eje, se propagarían con la velocidad mayor del haz O. E n ambos casos la forma y dirección de la vibración permanecerían inalteradas. Bajo ^otros ángulos, habría para las vibraciones incidentes dos componentes lineales moviéndose con velocidades diferentes, y estas darían luz polarizada elípticamente. Por tanto, para luz que se propaga perpendicularmente al eje óptico, el cuarzo se comporta precisamente como otros cristales uniáxicos, dando los efectos interferenciales descritos en el capítulo anterior.

Cuando el eje y el rayo no son perpendiculares, los efectos de la actividad óptica se manifestarán en mayor o menor grado, haciéndose máximos cuando el rayo se mueva paralelamente al eje. E n la figura 28-8 (c), donde las vibraciones incidentes se encuentran en la sección principal, se descomponen al penetraren el cristal en dos elipses LE y Ro de diferente tamaño. Sus ejes mayores son perpendiculares y los sentidos de rotación opuestos. E n contraposición a lo que ocurre en el caso de los cristales inactivos, un rayo incidente que; vibra paralelo a la sección prin-

632 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

cipal no se transmite como un rayo E único, sino que da dos rayos de diferente intensidad. E n las secciones siguientes veremos que, excepto cuando el ángulo formado por el rayo y el eje es muy pequeño, la intensidad del rayo designado por Ro es muy baja, y LE es una elipse muy excéntrica. Veremos también que la superficie de onda 0 no es rigurosamente esférica, por lo que Ro es desviado ligeramente aun para incidencia normal.

~ Se conocen algunos cristales biáxicos ópticamente activos. E n general, el fenómeno va acompañado de doble refracción, por lo que no es fácil ponerlo de manifiesto. Las superficies de onda de tales cristales tienen el mismo aspecto general que las dadas en el capítulo X X V I , con la excepción de que las superficies interior y exterior no se tocan completamente en los ejes rayo, es decir, en el «hoyo» de la superficie exterior.

28-5. Forma de la superficie de onda en el cuarzo.—Para explicar los efectos de polarización observados al hacer pasar la luz a través de cristales de cuarzo ha de admitirse que las superficies esférica y elipsoidal ordinarias para los cristales inactivos están deformadas, aunque sea ligeramente, en la proximidad del eje óptico. L a superficie interior está algo aplastada y la exterior abombada, como se ha ilustrado, aunque exageradamente, en la parte inferior de la figura 28-7. Las líneas punteadas corresponden a una circunferencia y a una elipse, mientras que las de trazo continuo dan las superficies de onda reales. Sin embargo, la forma exacta de estas dos superficies no es tan importante ópticamente como su distancia. E n realidad, el paso de luz polarizada circularmente a luz casi polarizada linealmente se produce dentro de un ángulo muy pequeño a partir del eje óptico, de modo que, excepto para ángulos muy pequeños, el cuarzo se comporta en esencia como un cristal uniáxico ordinario. El lo se debe a que la diferencia de velocidad (o diferencia de índices de refracción) de los dos rayos R y L polarizados circularmente, que se mueven paralelamente al eje óptico, es pequeña comparada con la diferencia de velocidades de los rayos O y E, perpendiculares a. dicho eje, como se deduce de los valores dados en la tabla 28-2 para las luces roja y violeta. ¡ i •.

TABLA 28-2 i

Indices de refracción del cuarzo

Longitud de onda, i !

en A nE nO nR nL

3968 1,56771 1,55815 1,55810 1,55821 7620 1,54811 1,53917 1,53914 1,53920

S E C . 28-6] PRISMA MULTIPLE DE FRESNEL 633

A lo largo del eje óptico la separación de las dos superficies, comparada con el radio de una superficie esférica, es como 1:26000 para la luz roja y 1 :14000 para la violeta. Perpendicularrnente al eje, las razones son 1:170 y 1; 160, respectivamente.

Como para las vibraciones circulares en la dirección del eje óptico hay dos velocidades, el ángulo de rotación de la luz polarizada linealmente puede calcularse a partir de los índices de refracción. L a diferencia de fase & entre dos ondas separadas por una distancia dada es, según la ecuación [27-2],

S = Y ¿ ( % - % ) [28-2]

donde d es la distancia recorrida en el medio; A, la longitud de onda de la luz, y m. — WR, la diferencia de índices de refracción. Si el movimiento circular R se adelanta en 8 rad respecto del L, el plano de vibración girará 8/2 rad [véase Fig. 28-6 (d)}.

Así, p. ej., para una lámina de cuarzo de 1 mm de espesor se obtiene, sustituyendo en la ecuación [28-2],

0,000076 cm

Esto da una rotación para la luz roja, A7600, de unos 14° [véase Fig. 28-2 (£>)]. Sin embargo, téngase en cuenta que las medidas precisas de nL — «*> se obtienen en la práctica a partir de las rotaciones observadas.

28-6. Prisma múltiple de Fresnel.—La primera demostración experimental de la doble refracción en dos rayos polarizados circularmente fue realizada por Fresnel. Pensó que si dos componentes circulares se propagan con velocidades diferentes en la dirección del eje óptico del cuarzo, al emerger oblicuamente desde una superficie cristalina hacia el aire deberían refractarse bajo ángulos distintos. Después de fracasar en la observación de este efecto con un sólo prisma de cuarzo, Fresnel construyó un tren de prismas dextrógiros y levógiros tallados y montados como muestra la figura 28-9. Con este tren de prismas observó dos haces polarizados circularmente, uno girando hacia la derecha y el otro hacia la izquierda.

FIG. 28-9.—Prisma múltiple de Fresnel para poner de manifiesto las componentes polarizadas circularmente.

6 3 4 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

L a razón de que los dos rayos se aparten más y más en cada superficie oblicua puede justificarse así: Cuando la luz incide normalmente en el primer prisma, las dos vibraciones circulares componentes se propagan a lo largo del eje óptico con velocidades diferentes. A l atravesar la primera superficie oblicua, el movimiento R, que era el más rápido en el primer prisma, se hace el más lento en el segundo, y lo contrario sucede para el movimiento L. Entonces, por la ley ordinaria de la refracción, uno de los rayos se aleja de la normal a la superficie límite y el otro se acerca a ella. E n la segunda superficie límite vuelven a intercambiarse las velocidades, por lo que el rayo que se aproximó a la normal en el primer límite oblicuo se aleja ahora de ella. E l resultado neto es que la separación angular de los dos rayos aumenta en cada refracción sucesiva.

Si el lector dispone de un prisma de este tipo podrá repetir las observaciones de Fresnel colocándolo sobre la plataforma de un pequeño espectrómetro de laboratorio. Si se examinan las dos imágenes del ocular con un nicol u otro analizador, no experimentarán variación alguna al girar este. Colocando una lámina de cuarto de onda delante del nicol, ambas vibraciones circulares se convierten en polarizadas linealmente y son perpendiculares entre sí. Ahora, para cada giro de 90° del nicol, desaparecerá una u otra alternativamente.

28-7. Prisma de Cornu.—La doble refracción en luz polarizada circularmente es detectable aun con un solo prisma de cuarzo tallado con su base paralela al eje óptico [Fig. 28-10 («)]. E m pleando luz de sodio y un prisma de 60°, la separación angular es solo de 27" de arco, por lo que en la figura está muy exagerada. Cuando se utilizan prismas de cuarzo en los espectrógrafos, ni aun este pequeño desdoblamiento de las líneas espectrales. es tolerable, particularmente en los instrumentos de gran dispersión. Para vencer este efecto, Cornu ideó un prisma de 60° construido de cuarzo dextrógiro y levógiro [Fig. 28-10 (b)]. Debido al intercambio de velocidades, la luz puede transmitirse sin doble refracción si el prisma se encuentra en la posición de desviación mínima. Prácticamente, todos los prismas de cuarzo de 60° utilizados en los espectrógrafos son de este tipo.

F I G . 28-10.—(a) Prisma de cuarzo senci- [Fig- 1 8 " 1 0 {&)]. s e h a c e r e ~ ' . . _ n . i i i _ - i _ 1 _ . _ 1 _ . i _ _ _

B

E n el espectrógrafo de Li t -trow solo se utiliza medio prisma de Cornu, que reemplaza a la red de la figura 17-14. E n este caso, la cara posterior AB de, p. ej., el prisma R

Ho. (6) Prisma de Cornu. flectante depositando plata o

S E C . 28-8] FORMAS D E VIBRACION E I N T E N S I D A D E S 635

aluminio sobra su superficie. Reflejando la luz hacia atrás vuelve a utilizarse el semiprisma una segunda vez, con lo que se obtiene la misma dispersión que en el prisma de Cornu. Las vibraciones R que sé aproximan al espejo se convierten después de reflejarse en vibraciones L, anulándose así la doble refracción.

A veces se emplean prismas y lentes de cuarzo fundido en los aparatos ópticos, aunque no cuando se desea un resultado óptimo. A; pesar de que el; cuarzo fundido es transparente y no presenta doble refracción,! los métodos de fabricación no han producido todavía muestras grandes y suficientemente homogéneas para que resulten útiles en trabajos de precisión.

28-8. Formas de vibración e intensidades en los cristales activos.—En la sección 28-4 describimos brevemente la propa-

FIG. 28-11.—Vibraciones de la luz que se propaga en un cristal ópticamente activo en direcciones que forman ángulos diversos con el eje óptico.

gación de la luz en el cuarzo para diferentes direcciones respecto del eje óptico, tomando como base la superficie de onda para este cristal. E n el cuarzo dextrógiro, p. ej., la hoja exterior de la superficie de onda representa la velocidad de una vibración circular derecha a lo largo del eje, de una vibración elíptica que forma cierto ángulo con él y de una vibración lineal en el plano ecua-

• torial. Mirando de frente y en sentido contrario al de la luz, desde las posiciones (a), (b), (c) y (d) de la figura 28-7, estas vibraciones aparecerían como muestra la figura 28-11. Todas estas vibraciones están contenidas en planos tangentes a la superficie de onda, siendo el eje mayor de cada elipse, situado sobre la hoja exterior, perpendicular al eje óptico, y el eje menor de cada elipse, sobre la hoja interior, también perpendicular a dicho eje. E n el cuarzo levógiro las direcciones de rotación estarían cambiadas, pero las figuras permanecen inalteradas.

Como ya dijimos, el paso; de luz polarizada circularmente a luz esencialmente lineal se produce de hecho en la proximidad

636 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

inmediata (unos pocos grados) del eje óptico 2. Así, p. ej., en el cuarzo la razón entre los ejes de las vibraciones elípticas es ya 2,37 para la luz de sodio cuando esta forma un ángulo de 5° con el eje óptico. Para 10°, la razón ha pasado a ser 7,8. Estas son las razones utilizadas al dibujar las figuras 28-11 (b) y (c).

Intercalando entre un polarizador y un analizador con luz muy convergente una lámina de cuarzo de caras perpendiculares al eje, de modo que la luz atraviese el cristal formando varios ángulos con aquel, las figuras de interferencia (véase Fig. 27-13) son muy parecidas a las obtenidas con un cristal no activo como la calcita. L a diferencia esencial es que el centro de la figura es casi siempre brillante en vez de oscuro, aun estando los nicoles cruzados. Una rotación del plano de vibración tiene como resultado que pase algo de luz por el centro de las cruces, que en otro caso sería oscuro. E n las dos fotografías de la figura 27-13 (b) puede observarse este efecto.

Las intensidades de dos haces polarizados elípticamente, derivados de un haz incidente no -polarizado, serán siempre iguales. Las dos elipses, tales como las de la parte (b) de la figura 28-11, son iguales excepto en lo que respecta a su orientación. Recordando que una vibración elíptica puede considerarse como formada por dos lineales, perpendiculares y desfasadas 90°, hallamos que la intensidad correspondiente en función de los semiejes mayor y menor A y B es : j

/ — _42 + B* i [28-3]

E n el caso límite de luz polarizada circularmente, de radio B — A, tendremos, por tanto, ! j

I ~ 2/12 ¡ [28-4] í !

y para la luz polarizada linealmente (B — 0), la relación ordinaria

I ~ A* [28-5]

Si cada haz ha de conservar la misma intensidad independientemente de la excentricidad, la amplitud de la vibración lineal habrá de ser s/l veces mayor que el radio de la correspondiente vibración circular. _ . .

Si la luz incidente está polarizada en un plano, como en el ejemplo de la figura 28-8 (c), las dos elipses son de tamaños diferentes. Ahora bien: para que representen las componentes de la vibración lineal inicial, la figura 28-12 demuestra que el

2 Véase la deducción de las ecuaciones que dan la diferencia de velocidad en función del ángulo en P. D R U D E : Theory of Optics, ed. inglesa, págs. 408-12, Long-mans, Green & Co., Nueva York, 1922. j

i 1

I : ;

S E C . 28-9] T E O R I A D E L A A C T I V I D A D OPTICA 637

eje mayor de la elipse pequeña ha de ser igual al eje menor de la elipse grande; es decir, es necesario que BE — AQ = = 0 para que se anulen las componentes horizontales. Además, para que las verticales se sumen y den la vibración lineal inicial AE + Bo = A, se deduce que AE¡BE — Ao\B0, y las elipses tienen la misma forma. L a razón de las intensidades correspondientes dependerá del valor real de A\B, y varía entre la unidad en la dirección del eje óptico y cero en dirección perpendicular a él.

E n el caso de luz no polarizada, que equivale a dos vibraciones lineales independientes perpendiculares, cada una de ellas producirá dos elipses de diferente tamaño y sentido de rotación contrario. Combinando las dos elipses izquierdas se obtendrá otra izquierda, y con las dos derechas otra derecha, hallándose que estas dos elipses resultantes tienen el mismo tamaño. E n la figura 28-11 se han representado todas1 estas elipses.

28-9. Teoría de la actividad óptica.—La teoría de la rotación del plano de polarización de la luz en las sustancias activas se basa en un experimento ideado por Reusch. Halló que cuando la luz polarizada en un plano incidía normalmente sobre una pila de láminas de mica de caras paralelas al eje, y se giraba cada una un pequeño ángulo a la derecha de la anterior, el plano de vibración giraba hacia la derecha. Cuanto menor era el ángulo entre dos láminas sucesivas, más se aproximaba el comportamiento del conjunto a la rotación a lo largo del eje en el cuarzo.

FIG. 28-12.— Descomposición de una vibración armónica lineal en dos vibraciones elípticas similares.

0 0 . o FIG. 28-13.-—Disposición de los átomos de oxígeno y silicio en un cristal de cuarzo.

638 ACTIVIDAD OPTICA [CAP. 28

(o) -(/extrógiro \b)-levógiro

FIG. 28-14.—Cristales de cuarzo dextró-giro y levógiro. Cada uno es una imagen

especular del otro.

E l experimento de Reusch sugiere así que los cristales ópt icamente activos están constituidos por capas atómicas ligeramente giradas unas respecto de otras. E n los cristales dextrógiros este giro es en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje óptico, y en los levógiros, en el contrario. L a conocida estructura del cuarzo cristalino (Si0 2) confirma esto. Mirando a lo largo del eje un modelo de cristal de cuarzo, se encuentran columnas de átomos de silicio y oxígeno dispuestos en

forma de espirales, como muestra la figura 28-13. Estas espirales de átomos forman planos que dan el efecto de rotación a lo largo del eje óptico. E n los cristales dextrógiro y levógiro de la figura 28-14 esta formación de giro es sugerida por la disposición de las caras menores. Cada cristal, tanto en su estructura atómica como macroscópica, es una imagen especular del otro. L a analogía anterior con una pila de láminas no ha de interpretarse en el sentido de que el plano de vibración gira tan de prisa como las láminas atómicas, pues ello excluiría la dispersión rotatoria.

L a teoría electromagnética de la actividad óptica se debe principalmente a Born y colaboradores y ha sido resumida por Condón3. E n un dieléctrico ordinario un campo eléctrico aplicado origina una separación de cargas, con la consiguiente polarización del medio en la dirección de E (Sec. 23-9). E n una sustancia ópticamente activa supondremos que las cargas están obligadas a moverse a lo largo de trayectorias helicoidales, de modo que además del movimiento hacia adelante producido por la polarización ordinaria hay un movimiento circular de carga que origina efectos magnéticos. Drude demostró que este efecto podía tenerse en cuenta introduciendo un término en una de las ecuaciones de Maxwell para los dieléctricos (en el primer miembro de la ecuación [23-12]). La resolución de las ecuaciones conduce entonces al fenómeno de la actividad óptica. Born supuso que cada molécula o cristal elemental se compone de un conjunto de osciladores acoplados por fuerzas eléctricas. Según él, la más simple de estas unidades contiene al menos cuatro osciladores dispuestos de for-

3 E . U . CONDÓN: Revs. Modern Phys., 9, 432-57, 1937.

S E C . 28-10] ROTACION E N LOS LIQUIDOS 639

ma asimétrica. Un tetraedro, p. ej., tiene propiedades simétricas, por lo que cualquier cristal que presente esta estructura carecerá de actividad óptica. Sin embargo, si el tetraedro se distorsiona ligeramente, se produce la; actividad óptica como un resultado natural. Los estudios teóricos iniciales de Born fueron aplicados al cuarzo por Hyüeraas * hallando una excelente concordancia con las observaciones. Condón y otros han demostrado después que la hipótesis de los osciladores acoplados no es esencial y que pueden obtenerse los resultados deseados con un modelo de un solo oscilador.

28-10. Rotación en los líquidos.—En 1811, Biot descubrió accidentalmente la rotación del plano de vibración en los líquidos. Encontró que la trementina se comportaba como el cuarzo, produciendo una rotación proporcional a la trayectoria de la luz en la sustancia y muy aproximadamente en razón inversa al cuadrado de la longitud de onda. E n tales casos, la rotación es atribuible a la propia estructura molecular. De hecho, la mayoría de los líquidos activos son compuestos orgánicos de moléculas complejas.

Cada molécula de un líquido puede imaginarse como un pequeño cristal con un eje óptico, a lo largo del cual gira el plano de polarización de la luz.. Como en un líquido las moléculas están orientadas al azar, la rotación observada es un efecto medio de todas las moléculas y es, por tanto, la misma en cualquier dirección a través del líquido. A primera vista podría pensarse que la orientación al azar de las moléculas anularía totalmente el efecto rotatorio. Pero las moléculas tienen sus átomos dispuestos en forma de hélice, y una hélice dextrógira sigue siéndolo independientemente de que la veamos por uno u otro extremo.

Los líquidos formados por una sustancia activa y un disolvente inactivo producen una rotación muy aproximadamente proporcional a la cantidad de sustancia activa presente. A esto se debe el gran empleo de la luz polarizada en la industria como medio preciso para determinar la cantidad de azúcar (sustancia activa) en presencia de otras impurezas no activas. Se define la rotación específica o poder rotatorio como la rotación producida por una columna de 10 cm de un líquido que contiene 1 g de sustancia activa por cada centímetro cúbico de disolución. E n forma de ecuación puede escribirse:

donde [p] es la rotación específica, d el número de gramos de sus-

4 E . A . HYLUSRAAS: Z. Physik, 44, 871, 1927.

•640 ACTIVIDAD OPTICA [CAP . 28

tancia activa por centímetro cúbico, l la longitud de la trayectoria luminosa en centímetros y 6 el ángulo girado.

E n general, la rotación en los líquidos es considerablemente menor que en los cristales. Así, p. ej., 10 cm de trementina giran la luz de sodio — 37°. (El signo menos indica levógiro, o sea rotación en sentido opuesto al de las agujas del reloj cuando se mira en •contra de la propagación de la luz.) Sin embargo, un espesor igual de cuarzo hace girar. la luz de sodio un ángulo de 2172°. Por esta razón, para definir la rotación específica de los cristales, se •considera una trayectoria de 1 mm.

Medidas precisas de la rotación específica de una sustancia •ópticamente activa en diversos disolventes no activos dan resultados ligeramente diferentes. Existe una variación no solo con los disolventes, sino también con lá concentración de la sustancia activa. Experimentalmente se ha encontrado como expresión adecuada para el poder rotatorio la siguiente:

p = L + Md + Nd2 [28-7]

•donde L, M y N son constantes y d es la cantidad de sustancia activa en la disolución. !

Como los cristales, las sustancias activas en disolución dan •origen a dispersión rotatoria totalmente análoga á la del cuarzo [véase Fig. 28-2 (b)]. Del mismo modo que la dispersión normal •es un caso especial de la anómala observada junto a las bandas de absorción en los cristales ordinarios no activos,1 así también la dispersión rotatoria normal es urt caso especial de la dispersión rotatoria anómala que se produce en las bandas de absorción de las sustancias ópticamente activas. j

P R O B L E M A S

28-1. Hállese la separación angular de los rayos polarizados circular-mente a la derecha y a la izquierda cuando un rayo incidente no polarizado se refracta en un prisma de cuarzo de 60p, como indica la figura 28-10 (a). Hágase el cálculo para la luz verde del mercurio utilizando los índices de refracción dados en las tablas 26-1 y 28-1.

28-2. Calcúlese la separación angular para la luz de sodio producida por un prisma de Fresnel diseñado como muestra la figura 28-9. E l ángulo

•que forman las caras del prisma con él eje óptico es 30°. Sol: 6,80 min.

28-3. Hállese el espesor que ha de tener una lámina de cuarzo tallada perpendicularmente al eje para que haga girar 360° el plano de polarización • de la luz verde del mercurio. Si se coloca esta lámina entre un polarizador y un analizador cruzados, ¿qué longitudes de onda estarán ausentes en la luz transmitida? ; .

28-4. La razón de los ejes de cada elipse en que se divide la luz no polarizada cuando penetra en el cuarzo en una dirección que forma un

I ;

PROBLEMAS 641

cierto ángulo a con el eje óptico es, aproximadamente, (i?2 4- 1)"* 4- J?, siendo R ~ sen2<x(«o — ni¡)n0

s[(nR— «¿)w 3, donde n es la media aritmética de no y nE. Hállese esta razón para la luz de sodio y a = 18°.

Sol.: 24,3. 28-5. A partir de los índices de refracción del cuarzo para la luz de lon

gitud de onda 7620 A, polarizada circularmente a la derecha y a la izquierda, dados en la tabla 28-2, calcúlese el giro del plano de polarización de esta luz producido por una lámina de 0,5 mm de espesor.

28-6. Sobre una lámina de cuarzo de caras paralelas tallada de modo que su eje óptico forme un ángulo de 5° con la normal, como en la figura 28-8 (c), penetra normalmente luz polarizada en un plano. Utilizando la razón de ejes dada en la sección 28-8, háganse esquemas de las formas de vibración en los dos haces y Ro. Si la lámina es de espesor tal que produce una diferencia de fase de 90° entre estos haces, hállese por composición gráfica la forma de la vibración resultante en la onda emergente.

Sol.: Elipse inclinada hacia la derecha y girando en sentido opuesto al del reloj.

28-7. Al medir la rotación producida por las disoluciones de azúcar no es suficiente la precisión obtenida utilizando el punto de extinción corriente de un analizador. Se obtienen mejores resultados comparando la intensidad de dos campos contiguos producidos modificando el polarizador de modo que dé dos haces polarizados linealmente y que formen entre sí un pequeño ángulo a. Investigúese el efecto de este dispositivo, representando las intensidades de los dos haces para una rotación completa del analizador. Tómese « = 5°.

28-8. ¿Cuál debería ser el ángulo a del problema anterior para poder medir la rotación con un error de 1 mín de arco, suponiendo que el ojo puede apreciar diferencias de intensidad entre los dos campos de un 2 % ?

Sol.: 6,63°. 28-9. Se sospecha que una muestra de glucosa-/ es impura. Si se

disuelven en agua 6,20 g de esta muestra, para obtener 50 cm 3 de disolución, y se introducen en el tubo de, un sacarímetro de longitud 20 cm, se halla que el plano de polarización de la luz de sodio gira 11,30° hacia la izquierda. Hállese la fracción de la muestra, que no es glucosa. Para la glucosa-/ [p] = — 51,4.

28-10. Se admite que una .disolución de concentración desconocida contiene sacarosa como única sustancia activa. Si 12 cm de esta disolución hacen girar la luz de sodio 0,60°, ¿cuál es la concentración de sacarosa? Para la sacarosa [p] = 66,5°. Sol.: 7,5 g/litro.

28-11. ¿Qué espesor de cuarzo dextrógiro anulará justamente la rotación producida en la luz de sodio por un espesor de 4 cm de trementina?

28-12. E l poder rotatorio específico de la maltosa en disolución acuosa es -j- 138,48 — 1,837¿. Hállese el giro, en grados, producido por una columna de disolución de 20 cm de longitud que contiene 22 g de maltosa en 100 cm 3 de disolución. Sol.: 60,75°.

J E N K I N S - W H I T E .—4 1

CAPITULO X X I X

MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA

Y a hemos visto en el capítulo X X y secciones 23-9, 26-9 y 28-9 que la teoría electromagnética es capaz de explicar las características principales de la propagación de la luz en el vacío y en la materia. Existe un grupo de experimentos ópticos que demuestra la interacción entre luz y materia cuando esta última está sometida a un campo intenso eléctrico o magnético, lo que constituye una prueba más del carácter electromagnético de la luz. L a electroóptica agrupa aquellos fenómenos que dependen de la aplicación de un campo eléctrico, y dentro de la magnetoóptica se clasifican los debidos a un campo magnético. E n este capítulo trataremos brevemente de los siguientes efectos ópticos:

Efecto Faraday Efecto magnetoóptico Kerr

Los cuatro efectos electroópticos, en el orden citado, son los análogos de los respectivos cuatro primeros efectos magneto-ópticos.

29-1. Efecto Zeeman \—En 1896, Zeeman descubrió que al colocar una llama de sodio entre los polos de un potente electroimán, las dos rayas amarillas se ensanchaban considerablemente. Poco después, Lorentz elaboró una sencilla teoría sobre estas observaciones, basada en la teoría electrónica de la materia, y predijo que cada raya espectral producida en estas condiciones habría de desdoblarse en dos componentes cuando se observara paralelamente al campo magnético [Fig. 29-1 (a)] y en tres componentes si se observaba perpendicular a él [Fig. 29-1 (b)]. Predijo además que en la dirección longitudinal (a) estas rayas habrían de estar polarizadas circularmente, y en dirección transversal (b),

1 P. Zeeman (1865-1935), físico holandés y premio Nobel (1902). Desempeñó numerosos puestos honoríficos en círculos científicos y debe su fama al descubrimiento del desdoblamiento de las rayas espectrales en un campo magnético. Sus principales trabajos están condensados en su célebre obra Rcsearckcs in Magneio-optics, Macmillan & Co., Londres, 1913.

Magnetoópticos Electroópticos Efecto Zeeman Efecto Zeeman inverso Efecto Voigt Efecto Cotton-Mouton

Efecto Stark Efecto Stark inverso Doble refracción eléctrica Efecto electroóptico Kerr

642

S E C . 29-1] EFECTO ZEEMAN 643

electroimán remf/jádel

espectroscopio H(hacia QáAeraJo

(a)

FIG. 29-1.—Dispositivo experimental para observar el efecto Zeeman.

polarizadas linealmente. Mejorando las condiciones experimentales, Zeeman, Preston y otros confirmaron estas predicciones en el caso de ciertas rayas espectrales.

L a teoría de Lorentz supone que los electrones de la materia son causa del origen de las- ondas luminosas y que se trata de partículas cargadas cuyos movimientos se modifican por un campo magnético externo. E n el caso especial de un electrón que se mueve en una órbita circular situada en un plano perpendicular a la dirección de H, el electrón se acelerará o se decelerará propor-cionalmente a la intensidad del campo H. L a interpretación clásica de este problema demuestra que si v 0 representa la frecuencia orbital del electrón en ausencia de campo, cuando este actúe vendrá dada por v 0 ± Av, donde

Av = eH

4-nmc = 1,40 x 106 X H seg" [29-1]

siendo c la velocidad de la luz, m la masa del electrón en gramos, e su carga en unidades electrostáticas y i? la intensidad del campo en oersteds.

E n los estudios sobre rayas espectrales Av se expresa más cómodamente en números de ondas (Sec. 14-14) dividiendo por c:

Av = 4,67 x 10-6 x H cm- [29-2]

E n la teoría clásica del efecto Zeeman se trata de un conjunto de átomos cuyos electrones giran en órbitas circulares o elípticas orientadas al azar en el espacio. Sin embargo, se demostrará ahora

644 MAG-NETOOPTICA Y E L E C T R O O P T I C A [CAP . 29

que ello equivale a que un tercio de los electrones vibre linealmente en la dirección del campo magnético y los otros dos tercios giren en órbitas circulares perpendiculares al campo. De estas últimas, la mitad está girando en un sentido y la otra mitad en el opuesto. E l radio de sus órbitas es I/V2 veces la amplitud de las vibraciones lineales. Para probar esto elijamos uno cualquiera de los electrones y descompongamos su movimiento elíptico en tres movimientos lineales perpendiculares entre sí, como muestra

( o ) . t « [c) y

FIG. 29-2.—-Descomposición de una órbita para explicar el efecto Zeeman clásico.

la figura 29-2 (a). Para simplificar, supondremos que el electrón está ligado mediante una fuerza elástica que obedece a la ley

F ~-jkr \ [29-3]

donde r es el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio. Con esta condición las tres componentes son movimientos armónicos simples, pero para un electrón cualquiera tienen amplitud y fase diferentes. ¡

Si aplicamos ahora un campo magnético en la dirección z, la componente paralela a z permanecerá inalterada, pues equivale a una corriente paralela a las líneas de fuerza. Sin embargo, cada

S E C . 29-1] E F E C T O Z E E M A N 645

una de las vibraciones % e y se modificará, ya que un electrón que se mueve perpendicularmente a un campo magnético está sometido a una fuerza

FH = ^ [29-4]

perpendicular a la vez al campo y a la dirección del movimiento. Esta fuerza convierte las componentes Í e y en movimientos en roseta, tales como el representado en la figura 29-2 (b) para la componente y. Estos últimos pueden describirse más ventajosamente en función de componentes circulares, y+ e y~ para el movimiento y, y x+ y x~ para el movimiento x [diagrama (c) de la figura]. E n presencia del campo, ambas componentes circulares -f- tienen una frecuencia mayor que las —, de modo que podemos combinar los movimientos x+ e y+ para obtener un movimiento resultante circular y positivo, como en el diagrama (d), y los xr e y~ obteniendo uno negativo, como en (é). Con ello la órbita elíptica inicial, al ser sometida a un campo magnético, equivale a un movimiento lineal de la misma frecuencia a lo largo del campo, más dos movimientos circulares, uno de frecuencia mayor y otro menor, en el plano perpendicular al campo.

Solo las componentes circulares emitirán luz en la dirección del campo, que será de dos frecuencias diferentes y estará polarizada circularmente. L a intensidad de estas dos componentes ha de ser igual si se considera el conjunto total de átomos, pues cuando el campo tiende a cero la luz deja de estar polarizada. Observando la luz perpendicularmente al campo, las componentes circulares se verán de canto, produciendo así dos frecuencias diferentes de luz polarizada linealmente, en la cual las vibraciones son perpendiculares al campo. Cada una de ellas tiene solamente la mitad de intensidad que los haces circulares mencionados antes. Además, los movimientos lineales z emiten luz en dirección transversal. Esta luz tiene la frecuencia inicial v0, vibra paralelamente al campo y tiene una intensidad igual a la suma de las otras dos. L a amplitud media de las componentes z para todos los átomos es, pues, y 2 veces mayor que la de las componentes x o y.

Calculemos ahora la variación de frecuencia que cabe esperar para las componentes circulares. E n ausencia del campo, la fuerza centrípeta sobre el electrón en su órbita circular se debe a la fuerza elástica, por lo que según la ecuación [29-3] se tiene:

F = — kr = — w t o 02 r [29-5]

siendo m la masa del electrón y 6_0 su velocidad angular. A l aplicar el campo hay una nueva velocidad angular «, y la nueva

646 MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA [CAP . 29

fuerza centrípeta ha de ser la suma de la fuerza elástica y de la debida al campo (Ec. [29:4]). Por tanto,

F' = —mafr = F T Fu = — kr — c

E l signo positivo corresponde a una rotación en el plano x, y en el sentido de las agujas del reloj, y el negativo, a una rotación de sentido opuesto. Sustituyendo —kr por su valor, deducido de [29-5], resulta:

2 2 T e V f í

c o sea, dado que vfr ~ o,

c í _ W o . = ± f ^ = ± f ^ [ 2 9-6] " mcr me

Para obtener una expresión sencilla de la variación de frecuencia hay que admitir que la diferencia entre las <o es pequeña frente a cualquiera de ellas. Esto está justificado siempre en la práctica, pues significa que los desplazamientos Zeeman son pequeños comparados con las frecuencias de las propias rayas. Se puede poner entonces

(w -f o)0)(w —<a0) = 2w(w —w 0)

y, según la ecuación [29-6],

eH

Como v = 6J/2TC, la variación de frecuencia será

^ = ± 4 ^ [ 2 9 - 7 ]

de acuerdo con la ecuación [29-1]. E n esta deducción se ha supuesto tácitamente que el radio del

movimiento circular no cambia al aplicar el campo magnético. L a aceleración o deceleración del electrón en su órbita solo se produce mientras el campo varía, y se debe al cambio del número de líneas de fuerza que atraviesan la órbita. Según la ley de la inducción de Faraday, este cambio produce una f.e.m. exactamente igual a la que originaría en una espira metálica circular. E l aumento o disminución de velocidad resultante haría esperar un cambio de radio, pero el hecho es que se produce una alteración correspondiente de la fuerza centrípeta justamente suficiente para

S E C . 29-1] E F E C T O Z E E M A N 647

mantener el radio constante. L a fuerza adicional es la represen tada por la ecuación [29-4], y tiene el mismo origen que la fuerza perpendicular que se ejerce sobre un conductor que transporta una corriente y se encuentra en un campo magnético

Resumamos ahora lo que deberíamos observar por efecto de un campo magnético sobre una raya espectral. E l resultado dependerá de la dirección, respecto al campo magnético, en que se observe el manantial Cuando esta sea paralela al campo, a lo largo del eje z, tenemos el llamado efecto Zeeman longitudinal. E n esta dirección solo deberían aparecer las frecuencias v 0 -f- Av y v 0 — Av, y la luz estaría polarizada circularmente a la derecha

-<—Av >1< Ay —* i

_

i 1

n

•*—Av—»•

X

«—Av-»

" i s

"o

(a)

"o P

(A)

"2 S

FIG. 29-3.—Figuras Zeeman de un triplete normal, mostrando la polarización de ! la luz.

o a la izquierda 2 [Fig. 29-3 (a)]. Como la luz es un movimiento ondulatorio transversal, las vibraciones z no emitirán luz de frecuencia v0

f en la dirección z. Observando el manantial perpendicularmente al campo, los mo

vimientos z deberían producir luz polarizada linealmente con el vector eléctrico paralelo al campó (componentes p), y los movimientos circulares, vistos de canto, darían luz polarizada linealmente con el vector eléctrico perpendicular al campo (componentes s). Por tanto, al observar una raya espectral normalmente a H deben .aparecer tres componentes polarizadas linealmente [Fig. 29-3 (b)], una central sin desplazar y otras dos laterales simétricas. Este conjunto se denomina triplete normal y se observa en algunas rayas espectrales, aunque de ningún modo en la mayoría de ellas.

Como el sentido de rotación de la luz polarizada circularmente depende de que se suponga que las cargas emisoras sean positivas

2 Usando la regla de la mano derecha con el pulgar apuntando en el sentido del campo, los dedos señalan el sentido de las rotaciones -f- que tienen la frecuencia mayor, designada por Vj. E l sentido opuesto da las rotaciones de frecuencia inferior v 2. Mirando contra el sentido de la luz, las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj originan luz polarizada dextrógira, y las de sentido contrario, luz polarizada levógira. Esto último está de acuerdo con las definiciones utilizadas al tratar de las sustancias ópticamente activas.

648 MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA [CAP. 29

o negativas, es posible distinguir entre estas alternativas utilizando una lámina de cuarto de onda y un nicol. La figura 29-3 (a), donde la rotación positiva es la de mayor frecuencia, se ha dibujado de acuerdo con nuestra hipótesis de que los emisores son negatrones.

A l iniciar sus investigaciones, Zeeman no pudo desdoblar ninguna raya espectral en dobletes o tripletes, y solo observó que se ensanchaban y que los bordes externos estaban polarizados, tal como predijo Lorentz. L a polarización correspondía a emisión por partículas negativas. Posteriormente pudo fotografiar las dos componentes externas de las rayas procedentes del cinc, cobre, cadmio y estaño, eliminando las componentes p con un prisma de Nicol. Preston, utilizando dispersión y poder separador mayores, logró demostrar no solo que( ciertas rayas se desdoblaban en tripletes al observarlas perpendicularmente al campo, sino también que otras se desdoblaban en cuatro, cinco y aun un número mucho mayor de componentes. Estos conjuntos de rayas se denominan figuras anómalas de Zeeman, y al fenómeno, efecto Zeeman anómalo (Fig. 29-4). E l corchete situado debajo de cada figura indica la separación 2Av del triplete normal, dada por la teoría clásica. Según 2a ecuación [29-1], cada una de las componentes exteriores se desplazaría proporcionalmente a la intensidad

Singlele del cinc Doblete principal de sodio

Triplete normal • Figuras anómalas

Triplete corto de cinc

Figuras anómalas FIG. 29-4.—Fotografías que ilustran los efectos Zeeman normal y anómalo.

S E C . 29-2] E F E C T O Z E E M A N INVERSO 649'

del campo, conservando así la figura simétrica. Sin embargo, con campos magnéticos muy intensos, se han observado asimetrías en muchas figuras Zeeman. Este fenómeno se conoce como efecto Zeeman cuadrático, aunque puede ser también el comienzo de una transición denominada efecto Paschen-Back, según el cual todas las figuras anómalas se convierten en tripletes normales en el límite de campos muy intensos.

L a teoría clásica solo puede explicar el triplete normal. Las figuras más complejas se interpretan actualmente de perfecto acuerdo con la teoría cuántica de la estructura atómica y de la radiación 3. Se encuentra que cada raya de una figura anómala está polarizada linealmente cuando se observa perpendicularmente al campo magnético. De ordinario, las rayas centrales de una figura son componentes j> con sus vibraciones paralelas al campo H, y las colocadas simétricamente a cada lado son componentes s con vibraciones perpendiculares a H. E n el efecto longitudinal solo se observan frecuencias correspondientes a las componentes s, y están polarizadas circularmente.

L a teoría cuántica ha alcanzado un grado tal de desarrollo, que es posible predecir ahora, con la máxima certeza, la figura completa de Zeeman para cualquier raya espectral en un campo de intensidad dada. Inversamente, el estudio de estas figuras se ha convertido en uno de los instrumentos más poderosos para el análisis de los espectros complejos.

29-2. Efecto Zeeman inverso.—El efecto Zeeman obtenido en absorción se denomina efecto Zeeman inverso. Se observa este fenómeno enviando luz blanca a través de un vapor absorbente sometido a un campo magnético uniforme. A l considerar el efecto-longitudinal, análogo al de la figura 29-3 (a), puede imaginarse que la luz no polarizada de una frecuencia determinada consiste en componentes polarizadas circularmente a la derecha y a la izquierda con todas las relaciones de fase posibles. Si ahora v0. representa una frecuencia natural de resonancia del vapor en ausencia de campo, las componentes circulares + (véasela nota 2), de frecuencia vL, serán fuertemente absorbidas en presencia de un campo. Las correspondientes componentes circulares •—, de frecuencia v1 pasan con pequeña disminución de intensidad, pues para ser absorbidas han de tener la frecuencia v2. Por tanto, para la frecuencia vx es transmitida luz polarizada circularmente a derechas, mirando en sentido contrario al del campo, como en la f i gura 29-3 (a), y para una espesa capa absorbente, la intensidad

3 Véase un estudio del efecto Zeeman anómalo en la obra de H . E . W H I T E Introduction to Atomic Spectra, Caps. X , X I I I y X V , MacGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1934.

650 MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA [CAP. 29

derec/ia lUfix/a izquierda H *"

(+> a f u e r ¿ } ) (=) ~h t i- ' i 1 1

FIG. 29-5.—Curvas de intensidad para el efecto Zeeman inverso, Triplete normal en absorción.

será la mitad de la de la luz continua del fondo [Fig 29-5 («)]. Para v 2 puede hacerse un razonamiento análogo.

Las componentes Zeeman de cualquier .raya espectral obtenidas en absorción a lo largo de la dirección del campo no se absorben, pues, completamente, y se encuentra que la luz transmitida está polarizada circularmente en sentidos opuestos a los de las componentes correspondientes obtenidas en emisión. Esto se comprueba experimentalmente aun en figuras anómalas de muchas componentes.

Observadas en dirección normal al campo [Fig. 29-5 (b)], las componentes p y s están polarizadas perpendicularmente a las correspondientes componentes en emisión. Para v 0, las componentes paralelas de todas las vibraciones luminosas incidentes son absorbidas y las perpendiculares transmitidas. Para v 1 ( las componentes paralelas son todas transmitidas. Las componentes perpendiculares, al propagarse atravesando el campo, son absorbidas por solo la mitad de los osciladores (los que tienen rotación positiva y frecuencia vx), dando una raya de absorción de la mitad de intensidad que para v0. E l resultado es luz polarizada parcialmente con una intensidad máxima para las vibraciones paralelas al campo H. Lo mismo ocurre para la componente v2. L a absorción de la componente paralela para v0 es análoga a la absorción selectiva en cristales como la turmalina (Sec. 24-6), donde una vibración componente es completamente absorbida y la otra transmitida. Las frecuencias de las rayas observadas en el efecto Zeeman inverso vienen dadas también por las ecuaciones [29-1] Y [29-2].

29-3. Efecto Faraday.—En 1845, Michael Faraday descubrió que sometiendo un bloque de vidrio a un campo magnético intenso se hace ópticamente activo. Haciendo pasar luz polarizada linealmente a través del vidrio, en dirección paralela a la del campo magnético aplicado, el plano de vibración gira. Desde el

S E C . 29-3] EFECTO FARADAY 651

descubrimiento de Faraday se ha observado el fenómeno en muchos sólidos, líquidos y gases. Se encuentra experimentalmente que la magnitud de la rotación observada es, para una sustancia dada, proporcional a la intensidad del campo H y a la distancia que recorre la luz en el medio. Esta rotación puede expresarse por la relación '

0 -- VIH [29-8]

donde l es el espesor en centímetros, G el ángulo de rotación y •V una constante característica de cada sustancia. Esta constante, denominada constante de Verdet, se define como la rotación por unidad de trayectoria y por unidad de intensidad del campo. E n los gases ha de especificarse también la densidad. E n la tabla 29-1 figuran algunos valores de la constante de Verdet.

1 *

TABLA 29-1

Valores de la constante de Verdet en minutos de arco por oersted y por centímetro para A5893

Sustancia I, °c V

20 0,0131 18 0,0161 18 0,0317 20 0,0423 33 0,1326

Cuarzo (perpendicularmente al eje). . . 20 0,0166

E l efecto Faraday está íntimamente relacionado con los efectos Zeeman directo e inverso, tratados en las dos secciones anteriores, por lo que su explicación se deduce directamente de los principios expuestos en ellas. Debido a que el fenómeno se observa mejor en vapores y para longitudes de onda próximas a una raya de absorción, limitaremos la explicación dada aquí a sustancias en estado gaseoso. Consideremos el paso de la luz a través de un vapor como el de sodio, en el que en ausencia de campo hay ciertas frecuencias de resonancia v 0 para las cuales se produce absorción. A l aplicar el campo magnético, habrá para cada v0, de acuerdo con la teoría clásica del efecto Zeeman, dos frecuencias de resonancia, una vx para la luz polarizada circularmente a la izquierda y otra v2 para la polarizada circularmente a la derecha que se propague a lo largo del campo. Para cada uno de estos sentidos de rotación puede dibujarse una curva de absorción y otra de dispersión [Fig. 23-8 (&)] como las de las figuras 29-6 (a) y (b).

652 MAGNET00PTICA Y ELECTROOPTICA [CAP. 29

Se observará que en la f i gura 29-6 [b), fuera de la región entre vx y v2, el valor de w~ es superior al de n+. Por

dispersión tanto, las rotaciones positivas

I»! V 0 VZ

y disper- ; Sj }a luz polarizada lineal-

se propagan más de prisa que las negativas, y el plano de la luz polarizada incidente gira en el sentido positivo (véase Sec. 28-3). L a diferencia entre las dos curvas de dispersión, dada en la figura 29-6 (c), pone de manifiesto que para frecuencias comprendidas entre Vj y v 2 la rotación es en sentido negativo.

mente se refleja en uno y otro ¡sentido a través del mismo \ vapor activado magnéticamen

te, se encuentra que el plano de vibración continúa girando con cada uno de los recorridos. Esto no ocurre en las sustancias activas naturales como el cuarzo, donde al reflejarse la luz emerge vibrando en el mismo plano en! que incidió. Obsérvese que al invertir el sentido del campo, el sentido de rotación del plano de las vibraciones incidentes se invierte también. Por tanto, el sentido de la rotación se definirá en función del sentido del campo, siendo rotación positiva la de un tornillo roscado a derechas cuando avanza en el sentido del campo o la de una corriente positiva en la bobina que produce ¡ el campo.

L a rotación en el efecto Faradáy viene dada por la ecuación [29-8], la cual indica que el ángulo de rotación es proporcional a la intensidad del campo, según se deduce de la ecuación [29-1] para el efecto Zeeman. Como al aumentar la intensidad del campo se separan las dos curvas de dispersión, las diferencias de índices (curva inferior) aumentan proporcionalmente, en primera aproximación a Av y, por tanto, a H. Esto se cumple con mayor exactitud para frecuencias alejadas de vx o v2, donde, en un pequeño intervalo de frecuencias, las curvas de dispersión pueden confundirse con rectas. 1

L a figura 29-7 muestra uno de los métodos más interesantes ideados para observar el efecto Faraday. Cuando el polarizador y el analizador están cruzados, como en la figura, no se transmitirá luz a menos de intercalar el vapor o los prismas de cuarzo dextrógiro y levógiro. L a introducción del doble prisma de cuarzo

S E C . 29-4] E F E C T O VOIGT 653

polarizador vaporea un prismas

campo magnético de cuarzo analizador

JR

UJJUUÜUJLÜJUI

lente rendija

(o)

16)

rendija

FIG. 29-7.—Dispositivo experimental para observar el efecto Faraday.

hace girar las vibraciones luminosas cantidades diferentes según la porción de los prismas que han atravesado (en el plano de la figura). Por tanto, a través de las distintas partes del analizador pasarán' cantidades variables de luz. Si se enfoca esta luz sobre la rendija de un espectroscopio, se formarán bandas alternativamente brillantes y oscuras [Fig. 29-7 (b)]. Utilizando delante del polarizador un manantial de luz blanca, la imagen obtenida en el espectroscopio aparecerá cruzada por cierto número de bandas claras y oscuras aproximadamente horizontales. Si se introduce ahora el vapor en la trayectoria luminosa, se observarán bandas de absorción para todas las frecuencias de resonancia v0. A l establecer el campo magnético tiene lugar la rotación dentro del vapor, de acuerdo con la figura 29-6 (c), desplazándose en consecuencia las bandas brillantes. Cerca de las rayas de absorción la rotación es grande, produciendo mayores desplazamientos de las bandas. Como .esta rotación cambia continuamente con X, se observa que las bandas se curvan, hacia arriba o hacia abajo, tomando la misma forma general representada en la curva teórica de la figura 29-6 (c). L a figura 29-8 (a) es una fotografía de estas bandas para las rayas D del sodio tomada con gran dispersión y poder separador. E n ellas aparece no solo el rápido aumento de la rotación positiva a ambos lados de las frecuencias de absorción, sino también la rotación opuesta entre ambas. Ha de tenerse en cuenta que ambas rayas del sodio dan figuras de Zeeman anómalas [Fig. 29-4 (6)1. E l efecto longitudinal para X5896, Dv es un doblete que conduce al mismo tipo de curvas descritas anteriormente para un triplete normal. Se propone como ejercicio al lector la deducción de las curvas teóricas para la raya D 2 .

29-4. Efecto Voigt, o doble refracción magnética.—En 1902 Voigt descubrió que, cuando se aplica un campo magnético intenso a un vapor a través del cual pasa la luz perpendicularmente

654 M A G N E T O O P T I C A Y E L E C T R O O P T I C A [CAP . 29

A6707

FIG. 29-8.—(a) Eíecto Faraday en las proximidades de las rayas de resonancia del sodio D1 y £>2. (6) Efecto Voigt de las rayas del sodio, (c) Efecto Voigt en las

proximidades de la raya X6707 del litio. (Según Hansen.)

al campo, se produce la doble refracción i. Este fenómeno, conocido hoy como efecto Voigt o doble refracción magnética, está relacionado con el efecto Zeeman transversal del mismo modo que el efecto Faraday lo está con el efecto Zeeman longitudinal. E n vista de esta relación, puede explicarse fácilmente el fenómeno a partir de las curvas de absorción y dispersión, como se hizo en la sección anterior para el efecto Faraday. Consideremos un vapor que tiene una frecuencia de resonancia v0 y que en presencia de un campo exterior se desdobla en un triplete normal Zeeman [véase Fig, 29-3 (b)]. Haciendo pasar luz blanca a través de este vapor, aquellas vibraciones luminosas cuya frecuencia sea v0 estarán en resonancia con los electrones del vapor que tengan por frecuencia v0 y serán, por tanto, absorbidas. Esto está representado por la curva central de absorción y dispersión de la figu-

4 W . VOIGT: Magneto- und Elektro-optik, B . G . Teubner, Leipzig, 1908.

S E C . 29-4] E F E C T O VOIGT 655

absorción

ra 29-9 («) y (6). Otras vibraciones luminosas, perpendiculares al campo, están en resonancia con vx y v2 y se han representado por las curvas _!_ de absorción y dispersión. Empleando luz no polarizada que incida sobre el vapor, las variaciones de n en las proximidades de vx y v 2 son la mitad que en v 0, pues los coeficientes de absorción en Vj y v2 son solo la mitad que en v0.

Las curvas de dispersión de la figura 29-9 (b) ponen de manifiesto que si incide sobre el vapor luz polarizada linealmente de cualquier frecuencia v, se desdoblará en dos componentes, una perpendicular y otra paralela a H. Como estas componentes tienen índices de refracción \ distintos (y, por tanto, di- + ferentes velocidades), una de las componentes adelanta a la otra en fase, por lo que emergerá luz polarizada elípticamente. L a magnitud relativa de esta diferencia de fase varía con la longitud de onda, como indica la curva diferencia de la. figura 29-9 (c).

Para observar el efecto Voigt puede montarse un experimento análogo al empleado para el efecto Faraday [Fig. 29-7]. E l campo ha de ser perpendicular al tubo de absorción, y el doble prisma de cuarzo, sustituido por un compensador de Babinet [Fig. 27-6]. Quitando el tubo de absorción, la rendija del espectroscopio y la placa fotográfica estarán cruzadas por bandas claras y oscuras. Introduciendo el vapor se observa absorción para v 0. Establecido el campo, la fuerte doble refracción próxima a v0, v i Y v2 hace curvarse a estas bandas hacia arriba o hacia abajo como muestran las fotografías de la figura 29-8 (b) y (c). L a f i gura de (c) es un triplete normal observado en el efecto Zeeman del espectro del l i t io 5 .

E l efecto Voigt para figuras de Zeeman anómalas, como las de la figura 29-8 (b), ha sido estudiado por Zeeman, Geest, Voigt,

FIG. 29-9.—Curvas de absorción y dispersión utilizadas para explicar el efecto Voigt.

5 La raya del litio X57Q7 es, en realidad, un doblete, cada una de cuyas componentes da una figura Zeeman anómala en un campo magnético débil. Si se utiliza un campo intenso para observar el efecto Voigt, se unen ambas (efecto Paschen-Back) formando un triplete normal al que corresponde la discusión anterior.

•656 MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA [CAP. 29

Landenberg, Hansen 6 y otros. Los resultados son fáciles de predecir dibujando curvas de dispersión análogas a las representadas en la figura 29-9. E n cualquier figura de Zeeman las componentes .s forman una curva de dispersión continua, y las p, otra. Su diferencia representa la gráfica de la doble refracción en función de la frecuencia. Su magnitud es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo H.

29-5. Efecto Cotton-Mouton.—Este efecto, descubierto en 1907 por Cotton y Mouton, está relacionado con la doble refracción en un líquido situado en un campo magnético transversal. E n líquidos puros como el nitrobenceno se observa una doble refracción muy intensa, siendo el efecto varios miles de veces mayor que el efecto Voigt tratado en la sección anterior. Esta doble refracción se atribuye al alineamiento de las moléculas óptica y magnéticamente anisótropas en la dirección del campo aplicado. Este alineamiento se producirá tanto si los momentos •dipolares magnéticos de las moléculas son permanentes como •si son inducidos por el campo. Según la teoría, comprobada expe-rimentalmente, este efecto es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo. Depende también de la temperatura, disminuyendo rápidamente al aumentar esta. E l efecto Cotton-Mouton -es el equivalente magnético del efecto electroóptico Kerr, que se estudiará en la sección 29-10, y no está relacionado con'el efecto .Zeeman. j

29-6. Efecto magnetoóptico Kerr .—En 1888, K e r r 7 descubrió •que cuando la luz polarizada linealmente se refleja bajo incidencia normal en el polo pulimentado de un electroimán, experimenta una ligera polarización elíptica, estando el eje mayor de la elipse girado respecto a las vibraciones incidentes. E l efecto es observable para otros ángulos de incidencia si se evita el efecto ordinario de polarización elíptica que se produce por reflexión de la luz polarizada linealmente en ¡metales para p ^ 0, haciendo que el vector eléctrico de la luz incidente sea paralelo o perpendicular al plano de incidencia. E n estas condiciones, y en ausencia •de campo, el haz reflejado puede extinguirse mediante un prisma •de Nicol. Estableciendo el campo magnético aparece instantáneamente la luz, y no puede extinguirse por rotación del nicol. L a introducción de una lámina de cuarto de onda orientada adecuadamente permitirá extinguir de nuevo la luz, poniendo de manifiesto que la luz reflejada está polarizada elípticamente. E l campo magnético ha originado, pues, una componente de vibración deno-

6 H . M . HANSEN: Ann. Physik, 43, 205, 1914. 7 John Kerr (1824-1907), físico escocés, fue impulsado a la investigación de

la electricidad y del magnetismo por su; colaboración con William Thomson .(lord Kelvin). Su nombre se pronuncia como «car».

S E C . 29-7] E F E C T O S T A R K 657

Cale.

Obs

minada componente Kerr, perpendicular a la vibración luminosa incidente. Este es el efecto magnetoóptico Kerr, que no ha de confundirse con el efecto electroóptico Kerr, que se estudiará en la sección 29-10.

29-7. Efecto Stark.—En los primeros años que siguieron al descubrimiento por Zeeman del desdoblamiento de las rayas espectrales en un campo magnético se hicieron muchos intentos para observar un efecto análogo debido a un campo eléctrico exterior. E n 1913, Stark observó que excitando el espectro del hidrógeno en un campo eléctrico intenso de unos 105 V/cm, cada raya se desdobla en una figura simétrica. L a figura 29-10 muestra una fotografía de este efecto en la primera raya de la serie Balmer del hidrógeno. E n dirección perpendicular al campo eléctrico se observa que algunas de las componentes de cada figura están polarizadas linealmente con el vector eléctrico paralelo al campo (componentes p) y otras también polarizadas linealmente con el vector eléctrico normal al campo (componentes s); este es el efecto Stark transversal. Si se observa paralelamente al campo, solo aparecen las componentes s, pero en forma de luz no polarizada; este es el efecto Stark longitudinal.

L a teoría del efecto Stark solo se ha desarrollado utilizando la teoría cuántica, por lo que no la daremos aquí 8.

E l método utilizado para producir campos eléctricos intensos de 105 V/cm o más, en los que ha de operar el manantial luminoso, se basa en las características de la descarga ordinaria de corrientes eléctricas a través de gases a baja presión. En una descarga del tipo representado en la figura 21-4, la mayor parte de la caída de potencial entre los electrodos se produce en una región relativamente oscura cerca del cátodo. Enfocando en la rendija de un espectroscopio esta región^ correspondiente a un tubo de diseño

Fio. 29-10.—Fotografía del efecto Stark en la raya Ha, K6563, del hidrógeno.

(Según Wierl.)

8 Para un estudio más extenso del efecto Stark y otras referencias sobre el tema, véase WHITE, op. c-it., pág. 401.

J E N K I N S - W H I T E . — 4 2

658 M A G N E T O O P T I C A Y E L E C T R O O P T I C A [CAP . 29

FIG. 29-11.—Fotografía del efecto Stark en el helio. (Según Foster.)

especial, pueden obtenerse fotografías del tipo representado en la figura 29-11. Dado que el efecto Stark es proporcional al campo F, la figura correspondiente, p. ej., a A3819 puede admitirse que representa la intensidad del campo, que es pequeña en la parte superior y aumenta hacia abajo, cerca del cátodo.

Las figuras Stark más anchas se observan en los espectros del hidrógeno y del helio. E n el caso de todos los demás espectros, es raro encontrar algo más que un ligero desplazamiento de la raya, de ordinario hacia las mayores longitudes de onda, denominado efecto Stark cuadrático para distinguirlo del efecto lineal observado en el hidrógeno y el helio. E n el primer caso, los desplazamientos son proporcionales al cuadrado t de la intensidad del campo eléctrico, mientras que en el segundo los desdoblamientos dependen de la primera potencia de este campo. Es característico del efecto Stark, como se ve en la figura 29-11 para el espectro del helio, la aparición de nuevas rayas espectrales (marcadas con cruces) donde el campo es intenso.

29-8. Efecto Stark inverso.—Cuando el fenómeno anterior se produce en absorción, se denomina efecto Stark inverso. E l fenómeno ha sido estudiado por Grotrian y Ramsauer, utilizando un largo tubo que contiene vapor de potasio a baja presión y dos largas placas metálicas paralelas separadas solamente 1,5 mm. Con un potencial de 14000 V aplicado a las placas encontraron que las rayas de absorción A4044, X4047 y A3447 se habían desplazado desde su posición en ausencia de campo hacia las longitudes de onda mayores. Este desplazamiento, aunque solo de unas centesimas de ángstrom, se vio que era proporcional al cuadrado

S E C . 29-10} E F E C T O E L E C T R O O P T I C O K E R R 659

de la intensidad del campo.i Se trata, por tanto, de un caso de efecto Stark cuadrático. !

29-9. Doble refracción eléctrica.—La doble refracción eléctrica está relacionada con el efecto Stark transversal y es análoga a la doble refracción magnética o efecto Voigt, estudiada en la sección 29-4. E n 1924, Ladenberg observó la absorción de las rayas de resonancia del sodio obtenidas con y sin campo eléctrico aplicado al vapor. Aunque el desplazamiento de las rayas predicho por el efecto Stark cuadrático era demasiado pequeño para ser observable aun con un poder separador muy elevado, se encontró doble refracción para frecuencias próximas a las rayas de absorción. Esta doble refracción se atribuye a diferencias de frecuencia muy pequeñas de la raya de absorción para luz polarizada paralela y perpendicular a las líneas de fuerza eléctricas. L a explicación es, por tanto, análoga a la dada para campos magnéticos en la sección 29-4 (véase Fig. 29-9).

29-10. Efecto electroóptico Kerr.—En 1875, Kerr descubrió que al someter una lámina de vidrio a un campo eléctrico intenso se hacía birrefringente. Este efecto no se debe a las tensiones producidas en el vidrio por el campo, pues el fenómeno aparece también en muchos líquidos y aun en gases. U n líquido colocado en un campo eléctrico se comporta ópticamente como un cristal uniáxico con el eje óptico paralelo a la dirección del campo, y cuando se observa en dirección perpendicular, da origen a todos los fenómenos de interferencia considerados en el capítulo X X V I I .

Experimentalmente es cómodo observar el efecto haciendo pasar la luz entre dos láminas paralelas cargadas con signos opuestos e introducidas en una ampolla de vidrio que contiene el líquido. Tal dispositivo, denominado célula de Kerr, está representado en el centro de la figura 29-12. Una célula de este tipo, intercalada entre un polarizador y un analizador cruzados, constituye un

polarizador cé/u/adeKerr analizador

FIG. 29-12.—Dispositivo de válvula electroóptica funcionando por el efecto Kerr.

662 MAGNETOOPTICA Y ELECTROOPTICA [CAP. 29

20 000 oersteds paralelo a la dirección de la luz. Sabiendo que el plano de polarización ha girado 36°, hállese la constante de Verdet del líquido.

29-10. ¿Qué rotación magnética ha de producir el vapor del aparato de la figura 29-7 para desplazar hacia arriba las bandas un intervalo igual a una banda completa en el plano focal de la lente? Mirando en sentido opuesto al de la luz, ¿es la rotación dextrógira o levógira?

Sol.: 180°; levógira. 29-11. Supóngase que para una frecuencia muy inferior a ia frecuen

cia de absorción, la curva de dispersión es una línea recta durante un pequeño intervalo. Admítase también que las curvas para n+ y n— están desplazadas entre sí en una diferencia de frecuencias correspondiente al desdoblamiento Zeeman normal. Hállese cómo dependerá la rotación magnética debida al efecto Faraday de: a) la intensidad del campo (H); b) la dispersión dn¡á"h.

29-12. Con las hipótesis del problema anterior, Becquerel demostró que la rotación era 0 = ^ JBA¿2/(A¿2 — A¿ 3) 2, siendo las i?; propor-

i cionales a los coeficientes de absorción de las distintas rayas. Si para una muestra dada de vapor de sodio la rotación es 6° para una longitud de onda de 5900 Á, ¿cuál será para 5910 Á? Las longitudes de onda de las rayas de sodio son 5890 y 5896 A, y la primera raya es dos veces más intensa que la segunda. Como índice de refracción « puede tomarse la unidad.

Sol.: 0,74°.

29-13. Empleando un dispositivo que produzca una rotación Faraday de 90° puede diseñarse un sistema que transmita la luz en un sentido, pero no en el opuesto. Descríbase tal sistema. ¿Estará en contradicción con el segundo principio de la termodinámica? Si no es así, ¿por qué?

29-14. En una célula de Kerr llena de nitrobenceno, la longitud de los electrodos es 16 mm y su distancia 5 mm. ¿Qué diferencia de fase se produce al aplicar un campo de 10 000 V/cm? Para esta intensidad de campo, ¿qué fracción de la luz no polarizada incidente atravesará el sistema cuando la célula está colocada entre nicoles cruzados? Sol.: 0,111.

29-15. Hállese la intensidad del campo eléctrico necesaria para producir luz polarizada circularmente en una célula de Kerr. Los electrodos de la célula tienen 5 cm de longitud, distan 6 mm y la célula está llena de nitrobenceno.

PARTE TERCERA

O P T I C A C U A N T I C A

CAPITULO X X X

F O T O N E S

En, este último capítulo daremos una breve información del. modo de conciliar las propiedades corpusculares de la luz más recientemente descubiertas con la teoría ondulatoria. No será posible detallar de modo sistemático las etapas que nos han llevado a nuestro punto de vista actual sobre la naturaleza de la luz ni discutir sus extensas implicaciones. Este tema constituye una rama importante de la física moderna 1. Además, el estudio de una parte de esta materia presenta dificultades dado el carácter esencialmente matemático de la teoría cuántica, que se desarrolló primero como un conjunto de ecuaciones formales y solo después se expresó en función de conceptos físicos visualizables. Sin embargo, el lector no familiarizado con estos conceptos habrá oído hablar, naturalmente, de las partículas de luz denominadas fotones y deseará, como es lógico, saber cómo puede ser compatible un modelo tan radicalmente diferente con un fenómeno típicamente ondulatorio como las interferencias. Con la esperanza de satisfacer, al menos en parte, ésta curiosidad, se ha incluido este capítulo, aunque sea breve e incompleto.

30-1. Fallos de la teoría ondulatoria.—En tanto que nos ocupemos de problemas de interacción de luz con luz, como en el caso de las interferencias y de la difracción, la teoría electromagnética, y de hecho cualquier teoría ondulatoria, da una explicación completa de los fenómenos. Sin embargo, cuando se intenta estudiar las interacciones de la luz con la materia, como en la emisión y absorción de luz y en la dispersión, se presentan inmediatamente serias dificultades. E n muchas de estas no se trata solo de pequeñas desviaciones entre la teoría y la experiencia, detectables únicamente por medidas cuantitativas; por el contrario, la teoría predice resultados en completa contradicción con los observados. Históricamente, el primer caso de este tipo

1 Véanse, p. ej., H. SEMAT: Física atómica y nuclear, 3.A ed.. Aguila., S. A. de Ediciones, Madrid, 1962; F . K . RICHTMYER, E. H . KENNARD y T . L A U -RITSEN: Inlroduclion ta Modern Physics, 5.A ed., McGraw-Hill Eook Co., Nueva York, 1955; M A X BOP.N: Atomic Physics, 5.A ed., Haíner Publishing Co., Nueva York, 1951, y L . I. SCHIFF: Quantum Mechantes, 2.A ed., McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1955.

665

666 FOTONES [CAP. 30

se encontró al intentar explicar la distribución de energía en el espectro de un cuerpo negro (Secs. 21-9 y 21-14). Para ello se recurrió a la teoría electromagnética junto con la teoría clásica de la equipartición de la energía, que habían logrado explicar satisfactoriamente los calores específicos de los gases. L a curva predicha era casi correcta para grandes longitudes de onda, pero su marcha hacia las longitudes de onda más cortas, en lugar de pasar por un máximo y tender después hacia cero (Fig. 21-6), crecía indefinidamente. Solo suponiendo que los osciladores del manantial radiante no podían existir en estados que tuviesen todas las energías y amplitudes posibles, sino únicamente en algunos determinados para los cuales la energía era un múltiplo de un valor particular (el cuanto), pudo Planck, en 1900, deducir la fórmula exacta de la radiación (Ec. [21-5]).

Pronto se hicieron patentes otros fallos de la teoría clásica. E n el efecto fotoeléctrico, las energías medidas de los fotoelectrones, expulsados por la luz de las superficies metálicas, estaban en completo desacuerdo con las predicciones de la teoría electromagnética (véase la sección siguiente). L a cantidad de energía de las ondas que inciden sobre un solo átomo en caso de iluminación débil era mucho menor que la observada en los fotoelectrones, lo que llevó a Einstein, en 1905, a postular la existencia de fotones. Para explicar las series de rayas observadas en el espectro del hidrógeno (Sec. 21-12), Bohr tuvo que suponer en 1913 que el electrón giraba en una órbita estable sin radiar, mientras que según la teoría electromagnética, una carga con una gran aceleración centrípeta debería perder rápidamente su energía en forma de radiación (Sec. 20-8). Ello haría variar rápidamente la frecuencia, siendo imposible interpretar la existencia de rayas espectrales nítidas. L a explicación que da la teoría electromagnética del origen de los rayos X como impulsos muy cortos de radiación, debidos a la rápida deceleración de los electrones al chocar con el anticátodo, no concuerda con el espectro continuo de rayos X observado. Como demostraron Duane y Hunt en 1917, este espectro presenta un corte brusco en las altas frecuencias, mientras que el análisis de Fourier de un impulso conduce a un espectro continuo que decrece suavemente (Sec. 12-6). E l descubrimiento en 1922 del efecto Compton, que es un desplazamiento de los rayos X monocromáticos difundidos hacia las frecuencias más bajas, fue una sorprendente demostración de lo inadecuado de la teoría ondulatoria, ya que para explicarlo hay que postular que los fotones chocan con los electrones de los átomos y rebotan como bolas de billar elásticas (véase después).

Los ejemplos enumerados constituyen algunos de los fenómenos más sencillos, en los cuales la teoría ondulatoria fallaba

S E C . 30-2] E X I S T E N C I A D E C U A N T O S D E L U Z 667

completamente. E n muchas de las interacciones más complejas entre materia.y radiación, la teoría, aunque explica correctamente las características generales, tropieza con dificultades insuperables cuando intenta dar una interpretación cuantitativa completa de los hechos. Uno de los primeros fenómenos de este tipo fue el efecto Zeeman anómalo (Sec. 29-1), y otro de los más recientes, el efecto Raman (Sec. 22-11). Podrían citarse otros, pero la lista ha aumentado ahora tanto |que no es ya cuestión para obtener concordancia de introducir perfeccionamientos en la teoría ondulatoria. Todos estos efectos íiah de ser tratados mediante la teoría cuántica, de la que la ondulatoria se reconoce como parte integrante.

30-2. Demostración de la existencia de cuantos de luz.—Para sacar conclusiones sobre la naturaleza de un fenómeno como la luz, hemos de apoyarnos en la observación de los efectos que produce. Es imposible ver o fotografiar una onda individual o una partícula luminosa como lo hacemos con partículas materiales y ondas de tamaño microscópico. Sin embargo, podemos deducir con certeza que la luz tiene carácter ondulatorio del estudio de las figuras de interferencia y difracción, de su velocidad, del efecto Doppler, etc. Pero existen pruebas igualmente convincentes de que la luz consiste en pequeños paquetes de energía muy localizados, cualquiera de los cuales puede comunicar toda su energía a un solo átomo o molécula. Estas «partículas» se denominan cuantos de luz o fotones. Vale la pena considerar brevemente tres pruebas experimentales ¡de este tipo, eligiendo aquellas que sean útiles para nuestro estudio posterior *del tema.

E n el efecto fotoeléctrico (figura 30-1), la luz penetra a través de una ventana de cuarzo W e incide sobre el cátodo C, que es una lámina metálica limpia. Mediante el galvanómetro G puede observarse que a través del tubo pasa una corriente de carga negativa desde C a la placa P, que tiene un cierto potencial positivo respecto de C. Esto demuestra que, desde la superficie del cátodo, se emiten electrones de carga -e. Variando el voltaje V aplicado a la placa, pueden estudiarse SUS velocidades y energías F t g . 30-l.-Dispositivo experimental Cuando, abandonan la superficie. para estudiar el efecto fotoeléctrico.

r-AA/v\Lvvv\AM R

H i t I I

668 FOTONES [CAP . 30

De este modo se halla que la energía es independiente de la intensidad de la luz y está determinada por su frecuencia, de acuerdo con la ecuación fotoeléctrica de Einstein:

E = fot — p energía de los fotoelectrones [30-1] siendo h, igual a 6,6254 x 10—27 erg seg, la constante universal de Planck; v, la frecuencia c(\, y p, una constante característica del tipo de metal que constituye el cátodo. Para la mayoría de los metales, p es bastante grande, de modo que han de utilizarse frecuencias más bien elevadas (luz ultravioleta) para producir fotoelectrones. E l carácter cuántico de la luz aparece en este experimento por el hecho de que cada electrón ha tomado evidentemente la misma cantidad de energía^ Av, y emerge con la diferencia

rayos X -

s

1 hv

ta) ib) FIG. 30-2.—Efecto Compton: (a) método de observación; (6) energías del fotón

incidente, del difundido y del electrón rebotado.

entre esta y la cantidad p requerida para lograr atravesar la superficie. (Esta interpretación de p es confirmada de otros modos, principalmente en la emisión termoiónica.) Además, aun un haz luminoso muy débil puede provoCar. la emisión instantánea de algunos fotoelectrones que tienen la energía completa. E n estas circunstancias es evidente que hay muy pocos fotones en el haz, cada uno de energía ht. Según la teoría ondulatoria, la pequeña cantidad de energía electromagnética se distribuiría por toda la superficie, y la cantidad disponible ¡para cada electrón sería insuficiente para producir el efecto. ¡

E l efecto Compton se observa en los rayos X difundidos bajo un ángulo 0 desde un difusor S formado por algún elemento ligero, tal como el carbono [véase Fig. 30-2 (a)]. Mediante dos estrechas rendijas de plomo se limita un haz estrecho que se hace incidir sobre un cristal C. Este difracta los rayos X hacia la placa P, pudiéndose fotografiar un espectro girando adecuadamente el cristal alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura. Por cada raya monocromática del haz de rayos X original, el espectro de los rayos difundidos muestra otra desplazada hacia

S E C . 30-2] E X I S T E N C I A D E C U A N T O S D E L U Z 669

las frecuencias más bajas, aumentando el desplazamiento con el ángulo de difusión 6 de acuerdo con la ecuación

c e Ji AA — —. = (1 — COS 0) desplazamiento Compton [30-2]

v v m0c

donde m0 es la masa de un electrón en reposo. Esta ecuación se deduce fácilmente aplicando las leyes de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento al choque de un fotón y un electrón [Fig. 30-2 (b)}. E l electrón en cuestión es expulsado de un átomo del difusor y su energía cinética ha de ser representada por la ecuación relativista dada en lá figura. Análogamente, su cantidad de movimiento, así como la del fotón, han de expresarse mediante ecuaciones relativistas, como explicaremos en la sección 30-3. Pero la descripción dada de un choque entre partículas es ajena, evidentemente, a cualquier modelo ondulatorio de la luz. Hasta ha sido posible detectar el fotón difundido y el electrón rebotado simultáneamente en las dos direcciones predichas por la teoría empleando una cámara de niebla de Wilson o un contador Geiger.

Como tercer ejemplo del comportamiento corpuscular de la luz mencionaremos el conocido contador de centelleo, que se ha convertido en un valioso instrumento para la medida de rayos X duros y rayos y. Su fundamento es análogo al del método de centelleo empleado para contar partículas a. en los primeros estudios de radiactividad. Como muestra la figura 30-3, los fotones de un haz de rayos y penetran por un orificio del espejo M y atraviesan un cristal C, que puede estar constituido por una sustancia orgánica como el antraceno o una de las fosforescentes inorgánicas como el yoduro de cesio impurificado con una pequeña cantidad de talio. Como consecuencia del paso de los fotones de los rayos y se producen minúsculos destellos en el interior del cristal. Para contarlos eléctricamente se hace incidir la luz sobre la superficie sensible de un tubo fotomultiplicador ordinario T. Ajusfando adecuadamente el espejo cóncavo M, se consigue utilizar casi toda la luz. Con este dispositivo se observan los efectos de los fotones individuales de modo tan directo como en el caso de las partículas atómicas de ma- FIG. 30-3.—Contador de centelleo.

670 FOTONES [CAP. 30

terja, y no deja ninguna duda sobre el comportamiento corpuscular de la luz cuando se observa en estas condiciones.

30-3. Energía, cantidad de movimiento y velocidad de los fotones.—En todos los experimentos que revelan la existencia de fotones, y sobre todo en el efecto fotoeléctrico, se encuentra que su energía está determinada únicamente por la frecuencia v. Esta última magnitud ha de medirse, como es natural, independientemente mediante la observación de interferencias, propiedad típicamente ondulatoria. La constante de proporcionalidad entre energía y frecuencia es la constante h de Planck, de modo que tenemos como un resultado experimental que

E = Av energía de un fotón. [30-3J

Para obtener una expresión de la cantidad de movimiento utilizaremos la ecuación de Einstein sobre la equivalencia entre masa y energía,

E = me2 [30-4]

Esta ecuación ha sido comprobada experimentalmente para la materia en los estudios sobre desintegración nuclear, y se ha demostrado que se cumple en la conversión de radiación en materia que tiene lugar en la creación de parejas electrón-positrón por los rayos y. Combinando las ecuaciones [30-3] y [30-4], se obtiene

Av = A — me2

A

y, por tanto, como la cantidad de movimiento f es el producto de la masa por la velocidad,

A __ m c _ __ ^ cantidad de movimiento T3Q-51 . c X de un fotón. L J

Este resultado está firmemente apoyado por la evidencia experimental deque, para obtener la ecuación [30-2] del efecto Compton, ha de tomarse como cantidad de movimiento de los fotones, Av/c.

E n la ecuación [30-5] se ha supuesto que los fotones se propagan siempre con la velocidad c, y de hecho es cierto, sin excepción, que

velocidad de un fotón = c [30-6]

E n este aspecto, los fotones difieren de las partículas materiales, que pueden tener cualquier velocidad menor que c. A primera vista, la ecuación [30-6] parece estar en contradicción con el hecho experimental de que la velocidad de la luz en la materia es menor que c. Pero esta es la velocidad de un grupo de ondas

SEC. 30-4] DESARROLLO DE LA MECANICA CUANTICA 671

(Sec 19-10) y no la de los fotones individuales. Como explicamos en el capítulo de la dispersión, las ondas luminosas que atraviesan la materia son retardadas por la alteración de su fase al interferir con las ondas difundidas. E n el caso de los fotones podemos imaginar, al menos en materia diluida como la de los gases, que los fotones se propagan en el vacío existente entre las moléculas con la velocidad c, pero que su avance está retardado por el tiempo finito consumido durante el proceso de absorción y reemisión por las moléculas que encuentran. E n cualquier expe-perimento en el que cupiera esperar una deceleración de los fotones, p. ej., al chocar con un electrón en el efecto Compton, se halla que disminuyen la energía y la frecuencia, pero no la velocidad. L a única deceleración que puede experimentar un fotón es su aniquilación completa, como ocurre en el efecto fotoeléctrico.

30-4. Desarrollo de la mecánica cuántica.—La contradicción aparentemente irreconciliable entre las descripciones ondulatoria y corpuscular de la luz quedó aclarada basándose en un nuevo esquema de la mecánica iniciado por Heisenberg y Schródinger en 1926. Esta mecánica cuántica es esencial en el estudio de todos los fenómenos atómicos. También se cumple en todos los procesos macroscópicos ordinarios, aunque en este caso las desviaciones de la mecánica newtoniaría son despreciables. E n la mecánica cuántica el comportamiento de los electrones de un átomo, p. ej., se calcula mediante la teoría ondulatoria, y las soluciones de las ecuaciones de ondas conducen a los estados de energía posibles. Cualquier partícula material tiene asociado con ella un grupo de ondas, y en el caso de una partícula libre, su longitud de onda es inversamente proporcional a la cantidad de movimiento p de la partícula. Esta es la famosa relación de De Broglie, que representa una generalización de la ecuación [30-5] a la materia:

h h • A = — = — longitud de onda de una partícula libre. [30-7] mv p

Esta ecuación fue comprobada experimentalmente por Davisson y Germer en Estados Unidos y por G. P. Thomson en Inglaterra, demostrando que pueden obtenerse fenómenos de difracción con un haz de electrones y que las figuras corresponden a las producidas con rayos X por la disposición regular de los átomos en una red cristalina. Stern demostró posteriormente la difracción de un haz de átomos o moléculas. E l comportamiento análogo de los electrones y de la luz encuentra su demostración más elegante en el microscopio electrónico (Sec. 15-11). L a existencia tanto para la materia como para la radiación electromagnética de ambos tipos de comportamiento, como ondas y como partículas, fue el hecho más importante interpretado por la mecánica cuántica.

I

672 FOTONES : [CAP . 30 i I

E l significado físico de las ondas! que pertenecen a una partícula material dada es que el cuadrado de su amplitud en cualquier punto del espacio representa la probabilidad de hallar la partícula en ese punto. L a teoría da, por tanto, la distribución estadística de las partículas y, como i veremos, niega la posibilidad de saber algo más preciso. De modo análogo, para la luz, la teoría ondulatoria da la distribución estadística o media de los fotones por el cuadrado de la amplitud de la onda electromagnética.

Dejando de momento la cuestión de cuál de estos dos modelos, onda o corpúsculo, es el real, y considerando las metas logradas por la mecánica cuántica, nos encontramos con un gran número de ellas que prueban la solidez indiscutible de las hipótesis fundamentales de la teoría. No solo explica con detalle las muchas características complejas de los espectros atómicos y moleculares, sino también cualquier proceso relacionado con los electrones extranucleares y su interacción con la radiación electromagnética. Solo cuando se intenta aplicarla a regiones tan pequeñas como los núcleos atómicos, o en general menores que el radio clásico del electrón . 2/m 0c 2, hay síntomas de que la teoría falla.

30-5. Principio de indeterminación.—La posibilidad de caracterizar la luz como paquetes discretos de energía, llamados fotones, parecería residir en nuestra capacidad para determinar, en un instante dado, la posición y cantidad de movimiento de un fotón determinado. Estas magnitudes se consideran de ordinario como propiedades medibles de una partícula material. Sin embargo, Heisenberg demostró que, para las partículas de dimensiones atómicas, es imposible en principio determinar simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento con entera precisión. Si se diseña un experimento para medir una de ellas exactamente, la otra resulta totalmente indeterminada, y viceversa. U n experimento puede medir ambas, pero solo dentro de ciertos límites •de precisión. Estos límites quedan fijados por el principio de indeterminación (también llamado principio de incertidumbre), según el cual j

^Pyh>~ [30-8] ;

donde Ay y b,py representan las variaciones del valor de la coordenada y de la componente correspondiente de la cantidad de movimiento de una partícula que han de esperarse si tratamos de medir ambas simultáneamente, es decir, las incertidumbres en estas magnitudes. E l símbolo > significa «es del orden de, o mayor que». L a causa de este modo semicuantitativo de expresar la ley quedará aclarada con el ejemplo dado en la sección siguiente.

E l principio de indeterminación es aplicable a los fotones

SEC. 30-6] DIFRACCION POR UNA RENDIJA 673

FIG. 30-4.—Incertidumbre en la cantidad de movimiento de un fotón difractado por una sola rendija.

lo mismo que a todas las partículas materiales desde los electrones hasta los cuerpos macroscópicos de la mecánica ordinaria. E n estos últimos, el valor muy pequeño de h hace Apy y Ay totalmente despreciables en relación con los errores experimentales ordinarios que aparecen al medir valores de y y py grandes. Sin embargo, cuando py es muy pequeño, como en un electrón o un fotón, la incertidumbre puede ser una fracción considerable de la propia cantidad de movimiento, o bien la incertidumbre en la posición será relativamente grande.

30-6.. Difracción por una rendija.—Supongamos que se intenta determinar la posición de un fotón que pasa por una estrecha rendija. Para ello se especificará la coordenada y en el plano de la pantalla con una incertidumbre máxima Ay igual a la anchura de la rendija (Fig. 30-4). Entonces la cantidad de movimiento en la dirección y, inicialmente nula en este experimento, se hace imprecisa en una cantidad Ají),, por la relación [30-8], como vamos a demostrar.

E l paso de la luz por la rendija origina una figura de difracción en la pantalla. Supongamos que la pantalla se encuentra suficientemente lejos de la rendija en relación con la anchura de esta para que pueda considerarse como difracción de Fraunhofer. Casi todos los fotones se encontrarán dentro del ángulo 0j, correspondiente al primer cero de la figura. En la sección 15-3 este ángulo está dado por

sen (i, - -— [30-9] 1 Ay

} E K K l NS-WH1TE.—43

674 FOTONES [CAP. 30

L a incertidumbre correspondiente en la cantidad de movimiento es

Afy = j&senO, = ^ [30-10] Ay

Introduciendo el valor de la cantidad de movimiento dado por la relación de De Broglie (Ec. [30-5]), se tiene:

Afy = h.. - A = JL [30-11 ¡ r y X Ay Ay 1 J

De aquí resulta Apy Ay — h, pero se verá que, como la probabilidad de que el fotón incida en el centro de la figura es máxima, la incertidumbre en py no es tan grande como la indicada en la ecuación [30-11], y, por tanto, nuestro resultado está de acuerdo con el principio de indeterminación

&Py Ay > ~ [30-8]

Sin duda esta deducción suscitará preguntas importantes en la mente del lector. ¿Cómo adquiere el fotón esta cantidad de movimiento lateral? ¿Cómo es posible que la anchura de la rendija afecte a un fotón que atraviesa un espacio de ella? Vamos a posponer las respuestas a estas cuestiones hasta que hayamos reflexionado más sobre las consecuencias del principio de indeterminación.

30-7. Complementareidad.—Debemos a Bohr la interpretación del principio de Heisenberg de tal modo que esclarece las l imitaciones fundamentales de la precisión de la medida y su relación con nuestros puntos de vista sobre la naturaleza de la luz y de la materia. De acuerdo con el principio de complementareidad enunciado por Bohr en 1928, las descripciones ondulatoria y corpuscular son simplemente modos complementarios de considerar el mismo fenómeno. Esto es, para obtener la descripción completa necesitamos ambas propiedades, pero debido al principio de indeterminación, es imposible idear un experimento que muestre a la vez ambas con todo detalle. U n experimento cualquiera hará patentes las circunstancias bien del carácter corpuscular o bien del ondulatorio, según el propósito para el cual ha sido diseñado. .

Resulta además que, si se intenta afinar la precisión de la medida hasta un punto en que cupiera esperar que el experimento revelase ambos aspectos, hay una interacción inevitable entre el aparato de medida y el objeto medido que frustra el intento. Esto sucede aun en un experimento hipotético que podemos imaginar realizado por un experimentador dotado de recursos y destreza infi-

S E C . 30-8] ¡DOBLE R E N D I J A 675

nitos. No se trata, por tanto, de las perturbaciones usuales originadas por los instrumentos de medida macroscópicos; estas pueden ser calculadas y tenidas en cuenta. Las incertidumbres de que estamos tratando aquí son, por su propia naturaleza, imposibles de calcular sin alterar de algún modo el experimento. Si no ocurriera así, podríamos superar los límites impuestos por el principio de complementareidad. Para ver cómo se producen estas interacciones, y que tienen lugar justamente en el grado requerido por el principio de indeterminación, describamos ahora dos experimentos famosos que, por razones técnicas, no han sido nunca realizados exactamente como son descritos aquí, pero cuyos resultados pueden predecirse con seguridad basándose en otros experimentos reales no tan sencillos.

30-8. Doble rendija.—Las franjas de interferencia en el experimento de Young (Sec. 13-3) constituyen una de las manifestaciones más sencillas del carácter ondulatorio de la luz. Aun así sería posible revelar la presencia de los fotones modificando adecuadamente el experimento. Tal modificación consistiría en reemplazar la pantalla de observación por una superficie fotoeléctrica subdividida de modo que pudiesen contarse los fotoelectrones emitidos por las diversas; partes de la superficie. Haciendo esto se encontraría que la mayor concentración de fotones tiene lugar en los máximos de la figura de interferencia, no habiendo ninguno en los mínimos. Es imposible concebir que tal figura se deba a la interferencia entre los diferentes fotones que atraviesan las dos rendijas. Es- aún más difícil comprender cómo un fotón aislado puede ser obligado a buscar los máximos y evitar los mínimos, dado que razonablemente pasó por una sola rendija. L a presencia de la otra rendija debería carecer de importancia, mientras que en realidad hace posible la figura de interferencia y su posición determina las dimensiones de esta. No obstante, de acuerdo con la mecánica cuántica, esta última interpretación es correcta. Las franjas podrían producirse por fotones aislados pasando a través de las rendijas de uno en uno. Sabemos que reduciendo la intensidad de la luz no desaparece la interferencia. L a figura es, por tanto, una característica de cada fotón, y representa la probabilidad de que llegue a varios puntos de la pantalla. Sin embargo, esta probabilidad ha de ser calculada mediante la teoría ondulatoria y medida por el cuadrado de la amplitud. E l experimento está diseñado para hacer patente las propiedades ondulatorias. !

Intentemos ahora perfeccionar este experimento con el fin de averiguar a través de qué rendija pasó cualquier fotón dado. Esto podría conseguirse poniendo dos contadores de centelleo Cj y C 2 detrás de las rendijas, como muestra la figura 30-5. Em-

676 i

[CAP . 30

I 1

FIG. 30-5.—Experimento de la doble rendija de Young modificado para demostrar las propiedades ondulatoria ¡y corpuscular de la luz.

í pleando luz de frecuencia suficientemente alta, los contadores registrarían cada fotón cuando pasara por una u otra rendija. Pero con ello habríamos alterado la figura de interferencia debido a las desviaciones experimentadas por los fotones al producir los centelleos. Para que las franjas resulten claramente visibles es necesario que estas desviaciones sean inferiores a un cuarto de anchura de franja, de acuerdo con el'criterio mencionado en la sección 16-7. Entonces !

Afo i> 4

X U [30-12]

donde \ es la separación angular entre franjas contiguas y día. separación de las rendijas. Como los contadores nos dicen a través de qué rendija pasa el fotón, especifican la coordenada y dentro de un intervalo de a lo sumo d/2. Por tanto, la incertidumbre de esta coordenada es

Ay d ;2

[30-13]

Combinando entonces las ecuaciones [30-12] y [30-13] se obtiene:

d pX i [30-14]

Sustituyendo en lugar de X su valor dado por la ecuación de De

S E C . 30-9] D E T E R M I N A C I O N D E L A POSICION 677

Broglie, la condición para que no se destruya la figura de interferencia se convierte en

Aft-Ay < ^ [30-15] o

Esto se halla en contradicción con el principio de indeterminación según el cual Apy Ay > %\2TZ. Por tanto, vemos que es imposible localizar fotones individuales y medir simultáneamente su longitud de onda. Ello significaría que habríamos determinado a la vez su posición y cantidad de movimiento. Solo es posible medir con precisión una de ellas, según que el experimento esté diseñado para fotones u ondas.

30-9. Determinación de la posición con un microscopio.— Otro experimento ideal, estudiado por primera vez por Heisenberg, es el que suele denominarse «microscopio de rayos y». Si. se desea hallar la posición de una partícula tan exactamente como sea factible, ha de iluminarse esta con luz de la menor longitud de onda posible, pues según la ecuación [15-12] el poder separador está dado por la expresión

Podemos imaginar, al menos en principio, un microscopio que utilice rayos y, el cual es capaz de producir una incertidumbre, Ax ^ s, extremadamente pequeña en la posición de la partícula. Si entonces la partícula está en reposo, su cantidad de movimiento pv es exactamente nula, y este conocimiento simultáneo de posición y cantidad de movimiento parece violar el principio de indeterminación. Sin embargo, se ha despreciado un factor, esto es, el retroceso de la partícula al incidir sobre ella, un fotón de

í 1 1

i i / i i

• i i \

fotones incidentes

Fio JO-6.-—Medida de la posición con un microscopio.

678 FOTONES [CAP. 30

gran energía y cantidad de movimiento, como se demuestra en el efecto Compton. Este rebote introducirá una incertidumbre relativamente grande en la cantidad de movimiento, tal como predice el principio de Heisenberg.

Para hallar la magnitud de esta indeterminación, obsérvese que en la figura 30-6 la componente x de la cantidad de movimiento del fotón difundido puede tomar cualquier valor comprendido entre - f (h¡~k) sen t y - (h/X) sen i, ya que puede haber penetrado por cualquier parte de la lente objetivo. La componente x de la cantidad de movimiento de la partícula rebotada resulta incierta en igual cantidad, pues en el choque se conserva la cantidad de movimiento, y es posible calcular exactamente la de los fotones incidentes a partir de la longitud de onda. Por tanto, para la partícula

Multiplicando por el Kx de la ecuación [30-16], se obtiene

como se requería. Este es un ejemplo de la aplicación del principio de indeterminación a una partícula material. E n el experimento queda bien ilustrada la complementareidad por el hecho de que cuando se utiliza una longitud de onda muy pequeña, x queda determinada con gran precisión, pero Kpx es bastante grande, mientras que el uso de una longitud de onda mayor permitirá conocer mejor px a base de sacrificar la precisión de Kx al medir la posición.

30-10. Utilización de un obturador.—Es también instructivo considerar el resultado de intentar localizar un fotón haciendo pasar luz a través de un obturador muy rápido, tal como el que utiliza el efecto electroóptico de Kerr (Sec. 29-10). En la figu-

2h Kpx ~ — sen % [30-17]

Kpx Kx ^ h [30-18]

ia) (b) FIG. 30-7.—(ti) Experimento idealizado del obturador, (b) Resultado del análisis

de Fourier de un tren do -V ondas.

SEC. 30-11] INTERPRETACION DEL CARACTER DUAL 679

ra 30 7 (a), S representa esquemáticamente un obturador de este tipo, abierto solo el tiempo necesario para permitir el paso de un tren de N ondas de amplitud uniforme. E l experimento podría realizarse con luz tan débil que solo pasara un fotón en este tiempo. Este fotón estará en algún punto del paquete onda (Sec. 11-7) de N ondas, y la probabilidad de que se encuentre en cualquier punto se mide por el cuadrado de la amplitud. Esta es uniforme a lo largo| de la longitud i

\ Ax U Nl0 =N~ [30-19]

E l análisis integral de Fourier aplicado a un tren finito de N ondas de igual amplitud conduce1 a cierta distribución de frecuencias, y cuando se representan las intensidades en varias frecuencias, como en la figura 30-7 (b), la curva resultante es muy aproximadamente la misma que la de difracción de Fraunhofer debida a una sola rendija. L a semianchura del máximo central es precisamente v0/A7. Pero una tal distribución de frecuencias corresponde, de acuerdo con la ecuación [30-5], a una incertidumbre en la cantidad de movimiento del fotón, dada por

L a localización del fotón en un intervalo Ax ha hecho indeterminada su cantidad de movimiento, y, como era de esperar, el producto de ambas indeterminaciones, dadas por las ecuaciones [30-19] y [30-20], es de nuevo

Apx Ax h [30-21]

Se observará que el paquete onda no es el fotón, ni cabe hablar de las dimensiones de este. E l paquete es simplemente una descripción de la probabilidad de encontrar el fotón en cualquier posición dada. Cuando se mide la longitud de un tren de ondas con el interferómetro de Michelson (Sec. 13-12), no hallamos la longitud de un fotón. L a longitud medida es simplemente la de la región en que ha de encontrarse el fotón.

30-11. Interpretación del carácter dual.—Admitida la veracidad de los .principios de indeterminación y complementareidad, ¿qué puede decirse sobre la naturaleza de la luz? E n primer lugar, es importante comprender que la luz (lo mismo que las partículas elementales de materia: electrones, protones, etc.) es esencialmente más primitiva y sutil que los fenómenos mecánicos macroscópicos. Toda información sobre ella ha de obtenerse indirectamente. Existe, por tanto, la posibilidad de que no fuera factible

680 FOTONES [CAP . 30

describir la luz en los términos que nos son habituales en la vida diaria. .' I -¡

L a experiencia que tenemos desde la niñez nos indicaría que se puede decir: «La luz es como;una ráfaga, de balas disparada desde una ametralladora», o «La; luz es como un tren de ondas en el agua». Pero acerca de la luz no cabe hacer ninguna afirmación específica de ese tipo, y el principio de complementareidad indica que nunca seremos capaces de hacerlo. Podemos decir: «En este experimento la luz se comporta como si estuviera compuesta de fotones», y «En aquel actúa como si fuera ondas». Dado que la complementareidad desecha cualquier experimento en que puedan medirse ambas propiedades a la jvez, la conclusión inevitable es que están igualmente justificados los conceptos de fogones y ondas y que cada uno es aplicable eñ su propia esfera.

E l punto de vista adoptado i por la mecánica cuántica ante un dilema tal como el que se presenta en el experimento de la doble rendija es, simplemente, que una descripción clásica del movimiento de un solo fotón carece de significado fuera de los límites impuestos por el principio de indeterminación. Cuando se observa la figura de interferencia es ilusorio afirmar si el fotón pasó por una rendija o por la otra, es decir, tratar de precisar su posición. Si contamos los centelleos podemos especificar la posición, pero la cantidad de movimiento ha perdido entonces todo significado. Esta última magnitud depende de la longitud de onda, que a su vez requiere para su determinación que se conozcan las dimensiones de la eri este caso inexistente figura de interferencia.

Análogamente, en la difracción por una sola rendija, no puede especificarse la cantidad de movimiento de un fotón único sin alterar el experimento con la inclusión de la medida de una cantidad de movimiento. Puede comprobarse entonces la conservación de la cantidad de movimiento, pero en tanto existe la figura de difracción este principio solo puede aplicarse estadísticamente para describir el comportamiento medio de los fotones.

30-12. Dominios de aplicación de las ondas y de los fotones. L a importancia dada en este libro a las propiedades ondulatorias de la luz conserva cierta justificación mientras no se extienda el significado del término luz a la región de las longitudes de onda muy cortas de los rayos X y y. L a preponderancia relativa de las propiedades ondulatorias o corpusculares varía continuamente a favor de estas últimas cuando se avanza en el espectro electromagnético en el sentido de las frecuencias crecientes. Así, las ondas de radio se comportan en todos; los aspectos importantes como radiación electromagnética clásica. Esto está relacionado con el hecho de que la energía'Av de sus fotones es extraordinariamente

PROBLEMAS 681

pequeña, y, por tanto, son de ordinario muy numerosos. Análogamente, la luz visible de intensidad normal contiene tantos fotones que su comportamiento medio queda explicado con precisión mediante la teoría ondulatoria siempre que las interacciones con los átomos individuales de la materia no comprometan los estados cuantificados de energía de estos últimos. Ello explica el hecho de que las propiedades corpusculares de la luz hayan permanecido ignoradas durante tantos años.

E l enlace entre los aspectos ondulatorio y cuántico de la luz (o de la materia) es la constante universal de Planck, h. Como puso de manifiesto Bohr, h es el producto de dos variables: una, característica de la onda, y otra, de la partícula. Así, si designamos por T el período o inversa de la frecuencia v, la relación cuántica puede ponerse en la forma simétrica

h ET /ú. [30-22]

Ahora bien: E y p son atributos de partículas, mientras que T y v lo son de ondas. Si, p. ej., los valores de las primeras son grandes, los de las segundas serán consecuentemente pequeños. Por tanto, los rayos X -y y se comportan en la mayoría de los aspectos como fotones, e incluso es difícil demostrar su carácter ondulatorio.

La región de frecuencias en que empiezan a predominar las propiedades corpusculares está determinada naturalmente por el valor de h, y su valor real, 6,625 x 10~27 erg seg, es tan pequeño que se requieren frecuencias muy altas para que empiece a desaparecer el carácter ondulatorio. L a luz visible está muy por debajo de esta región, por lo que puede decirse que sus propiedades ondulatorias son las más importantes. Si h fuera mucho menor de lo que es, no habría sido nunca necesaria la teoría cuántica, habiendo bastado la teoría electromagnética para explicar todos los experimentos. Es' "una coincidencia curiosa que el valor real de h, que naturalmente aún no se ha explicado, sea tal que la naturaleza de la luz parece recorrer toda la gama, desde las ondas evidentes en un extremo hasta los fotones evidentes en el otro, en el intervalo del espectro electromagnético observado.

P R O B L E M A S

30-1. E m p l e a n d o l a r e l a c i ó n d e D e B r o g l i e , h á l l e s e l a l o n g i t u d d e

o n d a a s o c i a d a c o n : a) u n e l e c t r ó n q u e s e m u e v e c o n u n a v e l o c i d a d i g u a l

a u n t e r c i o de l a d e l a l u z ; b) u n a m o l é c u l a d e o x í g e n o c o n u n a v e l o c i d a d

t é r m i c a m e d i a ele 483 m / s e g ; c) u n a b a l a d e f u s i l d e m a s a 20 g v v e l o c i d a d

300 m / s e g .

682 FOTONES [CAP. 30

30-2. D e m u é s t r e s e e n e l e x p e r i m e n t o d e l o b t u r a d o r d e l a s e c c i ó n 30-10 q u e s i d i c h o o b t u r a d o r e s t á a b i e r t o d u r a n t e u n t i e m p o At, q u e r e p r e s e n t a l a i n c e r t i d u m b r e t e m p o r a l e n e l p a s o d e l f o t ó n , h a y u n a i n c e r t i d u m b r e c o r r e s p o n d i e n t e AE en l a e n e r g í a d e ] f o t ó n , t a l q u e AE • At ^- h. (INDICACIÓN: L a e n e r g í a y l a c a n t i d a d d e - m o v i m i e n t o d e u n f o t ó n e s t á n r e l a c i o n a d a s p o r l a e c u a c i ó n d e D e B r o g l i e . )

30-3. U n a v á l v u l a e l e c t r o ó p t i c a i n t e r r u m p e u n h a z m o n o c r o m á t i c o d e l o n g i t u d d e o n d a 5461 Á r-(>n u n a f r e c u e n c i a d e 600 M e . C a l c ú l e s e l a a n c h u r a a p r o x i m a d a , e n a n g s t r o m s , d e l a r a y a e s p e c t r a l r e s u l t a n t e .

30-4. H á l l e n s e l a s e c u a c i o n e s d e l o s r a d i o s y v e l o c i d a d e s d e l e l e c t r ó n e n l a s ó r b i t a s d e B o h r d e l á t o m o d e h i d r ó g e n o y c a l c ú l e s e e l n ú m e r o d e l o n g i t u d e s d e o n d a c o m p r e n d i d a s e n l a c i r c u n f e r e n c i a d e l a ó r b i t a p a r a l a c u a l n = 3. ¿ Q u é p u e d e d e c i r s e e n c u a n t o a l a p o s i c i ó n q u e o c u p a e l e l e c t r ó n e n l a ó r b i t a e n c u a l q u i e r i n s t a n t e d a d o ?

Sol.: 3 l o n g i t u d e s d e o n d a ; c o m p l e t a m e n t e i n d e t e r m i n a d a .

30-5. H á l l e s e e l n ú m e r o d e f o t o n e s p o r c e n t í m e t r o c ú b i c o e n u n h a z m o n o c r o m á t i c o d e r a d i a c i ó n d e i n t e n s i d a d 10—5 w / c m 2 . T ó m e s e c o m o l o n g i t u d d e o n d a : a) 0,1 A; b) 60000 A.

30-6. C a l c ú l e n s e l o s v a l o r e s d e l a s c u a t r o m a g n i t u d e s q u e a p a r e c e n

e n l a r e l a c i ó n d e c o m p l e m e n t a r e i d a d d e B o h r ( E c . [30-22]) p a r a u n a l u z

d e l o n g i t u d d e o n d a i g u a l a 5000 A. 'Sol.: 3,972 x 10—12 e r g ; 1,668 X 10- 1 5 s e g ; 1,325 x 10- 2 2 g c m / s e g ; '

5 X 10—5 c m .

30-7. S e e n f o c a u n m i c r o s c o p i o d e a p e r t u r a n u m é r i c a 1,2 s o b r e u n a p a r t í c u l a d e m a s a 0,01 m g . S i s e i l u m i n a c o n l u z d e l o n g i t u d d e o n d a 4500 A , ¿ c u á l e s s o n l o s v a l o r e s d e Apx e Ax p r e d i c h o s p o í e l p r i n c i p i o d e i n d e t e r m i n a c i ó n d e H e i s e n b e r g ?

30-8. C u a n d o u n e l e c t r ó n d e 100 V p a s a a t r a v é s d e u n o r i f i c i o d e 0,02 m m d e d i á m e t r o , ¿ q u é i n c e r t i d u m b r e s e i n t r o d u c e e n e l á n g u l o d e e m e r g e n c i a ? H á g a s e u n c á l c u l o a n á l o g o p a r a u n a p e l o t a d e f r o n t ó n d e 200 g l a n z a d a c o n u n a v e l o c i d a d d e 20 m / s e g q u e p a s a a t r a v é s d e u n o r i f i c i o d e 50 c m d e d i á m e t r o . Sol.: 1,3"; 6,8 x 10—29".

30-9. L a s e s t r e l l a s m á s d é b i l e s o b s e r v a b l e s a s i m p l e v i s t a s o n l a s d e s e x t a m a g n i t u d . E l f l u j o e n e r g é t i c o d e s d e u n a d e e s t a s e s t r e l l a s es 1,15 X 10—15 e r g / c m 2 s e g . S u p o n i e n d o q u e l a l o n g i t u d d e o n d a e f e c t i v a d e l a l u z d e l a e s t r e l l a es 5600 A, h á l l e s e c u á n t o s f o t o n e s a t r a v i e s a n e n e s t a s c o n d i c i o n e s l a p u p i l a d e l o j o , d e 7 m m d e d i á m e t r o .

30-10. R a y o s X d e l o n g i t u d d e o n d a 0,72 A s e d i f u n d e n d e s d e u n s ó l i d o

b a j o u n á n g u l o d e 60° c o n l a d i r e c c i ó n d e l h a z i n c i d e n t e . C a l c ú l e s e l a v a

r i a c i ó n d e l o n g i t u d d e o n d a d e b i d a a l e f e c t o C o m p t o n . Sol.: 0,0121 A.

I N D I C E A L F A B E T I C O

I N D I C E A L F A B E T I C O D E A U T O R E S Y M A T E R I A S *

Abbe: condición de los senos, 166. teoría del microscopio, 331.

Aberración de la luz, 415, 429, 436. Aberraciones:

de las lentes, 33, 138, 140. astigmatismo, 757, 161. coma, 151, 166.

tabla de, 154. cromática, 167. curvatura de campo, 160. de esfericidad, 135, 138, 740, 166. de quinto orden, 149. de tercer orden, 140, 145.' distorsión, 161. efecto de la forma, 147.

de los diafragmas, 161. -• de los espejos, 96, 196.

astigmatismo, 98. de esfericidad, 96.

Abertura: circular, 325. rectangular, 319.

Absorción: bandas de, 470, 487, 51.0. coeficiente de, 213, 467, 569.

. en sustancias ópticas, 487. espectros de, 466, 470, 474, 477. índice dé, 569. ley exponencial de, 213. por gases, 488. relacionada con la reflexión, 493. selectiva, 484.

Absortancia, 466, 477. Acanalados, espectros, 306. Aceite, microscopio de inmersión en,

756, 189. Acimut:

de la luz polarizada: elípticamente, 571. linealmente, 561.

principal, 569, 572. Acromático, doblete, 168. Acromatismo, visual y fotográfico, 181. ADAMS, N . I., 448. Agua, índices de refracción del, 525 AIRY, G . , 325, 429, 437. Air)', disco de, 326.

ALVAREZ, I,. W . , 273. Amplitud, 207, 27 7.

compleja, 292. división de, 261.

Amplitudes, composición vectorial de 227-29, 254, 293, 317, 344, 366.

Análisis de luz polarizada, tabla, 613. Analizador, 537, 546. Anastigmático, 767, 182. ANDERSON, O. E . , 302. ANDERSON, W . C , 422. ANDREWS, C. L . , 409. ÁNGSTRÓM, A . ]., 216. Angular:

aumento, 75, 186, 191. dispersión, 362, 504.

Angulo: de aberración, 416. de campo imagen, 110, 191.

objeto, 110, 191. de desviación, 6, 22. de incidencia y reflexión, 4. de refracción, 5. límite, 75, 16, 546, 558. principal de incidencia, 567.

Anillos y cruces, 620. Anisótropo, medio, 542, 598, 61S. Anómala, dispersión, 510. Anteojo:

astronómico, 189. de luz ultravioleta, 197. poder separador del, 325, 327.

Antirreflectantes, películas, 183, 288. Apertura:

diafragma de, 103, 108, 329. numérica, 331.

Aplanáticos, puntos, 755, 167, 189. ARAGO, D . F . J., 479, 604, 624. Arco concentrado, 3, 459. Arcos, 460. ASI.AKSON, C. I., 425. Astigmática:

diferencia, 15S. imagen, 21.

Astigmáticas, superficies, 99, 157.' Astigmatismo, 21.

de espejos, 98. de lentes, 157.

* Las referencias principales figuran en cursiva. 685

686 I N D I C E A L F A B E T I C O D I A U T O R E S Y M A T E R I A S

de prímulas, 23. de icdes cóncavas, 378.

Aumento: angular, 75, 186, 190. lateral, 40, 51, 60 , 167. normal, 7 78, 329.

Autocolimador, 197.

B A B C O C K , H . I)., 369, 468. Babinet:

compensador de, 609, 610, 611. principio de, 407.

B A K E R , j . C , 407. B A R T O N , E . H . , 236. B E N N E T , A. H . , 333. B E N O I T , R . , 271. B E R G S T R A N D , E . , 424, 425. Biáxicos, cristales, 583, 592.

eje óptico de, 593, 596, 601. Billet, lente de, 260. B I O T , J . B . , 625, 639. Biprisma de Fresnel, 256. B I R G E , R . T., 425. B O H R , N . , 666, 674. 681. B O L , K . , 425. B O L T Z M A N N , L . , 471. Borde rectüíneo, 256, 398. B O R N , M . , 560, 580, 597, 612, 638,

665. B O U G U E R , P . , 213. B O U W E R S , A., 198. B O W I E , W . , 421. B R A D L E V , .)., 415, 416. B R E W S T E R , ! ) . , 187, 296. Brewster:

franjas de, 296. lev de, 534, 569.

Brillo: de una imagen, 116, 329. íotometrieo, 114. visual, .169.

B R O W N , R . H . , 349.

Cadmio, raya roja del, 269, 273, 297. Cámara fotográfica, 179.

panorámica, 82. Cambio de fase en la reflexión, 222, 259,

281, 287, 295, 559. Camino óptico, 7, 209, 605. Campo:

ángulo de, 110, 197. de un anteojo, 191. de un espejo:

convexo, 111. plano, 110.

de una lente, 112.

diafragma de, 102, 711, 192. lente de, 193. objeto e imagen, 110.

Concéntrica, lente, 75, 129, 79S. Condiciones de contorno, 409, 557, 576. C O N D Ó N , E . V., 638. Conjugados, puntos y planos, 34, 43,

49, 69, 90. C O N R A D Y , A . E . , 738, 175. Conservación de la energía, 255, 294,

558. Constantes ópticas de los metales, 569,

570, 573. Construcción del rayo paralelo, 36, 49,

55, 66, 69, 76, 88. Construcciones gráficas, 5, 36, 3S, 50,

66, 69, 74, Contador de centelleo, 669. Continuos, espectros, 238, 361, 466,

468, 478, 480. Contraste de fase, 332. COPSON, E . T., 408. C O R N U , A. , 394, 418, 419. Cornu:

espiral de, 393. prisma de, 634.

Cotton-Mouton, efecto, 642, 656, 661. Crepúsculo, color rojo en el, 498, 557. Cristales:

anisótropos, 542. biáxicos, 592, 621. dextrógiros y levógiros, 63S. dicroicos, 539. positivos y negativos, 583. uniáxicos, 542.

Cromática, aberración, 167. Cuadráüco, efecto Stark, 658. Cuántica, teoría, 480, 677. Cuantos de luz, 666. Cuarto de onda, lámina de, 573, 607,

611. Cuarzo:

índices de refracción: en el espectro visible, 591, 632. en el infrarrojo, 632.

rotación específica del, 626. superficies de onda del, 584, 632. transmisión del, 487, 493. vitreo, 17, 505, 632.

Cuerpo negro, radiación del, 469, 666. Curva de vibración, 377, 344, 366, 390,

393. desfase en la, 398.

Curvatura de campo, 140, 160.

Chispa, espectros de, 464.

INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS 687

D, ravas del sodio, 474, 511. i DAVIS, S. P., 374. DAVISSON, C , 671. De Broglie, longitud de onda de, 677,

677. Delgadas, lentes, 47, 78.

combinaciones de, 54, 58. DESAINS, P., 537. Desaparición de franjas, 347. Descarga, tubos de, 464, 465. DESCARTES, R., 5. Desfase, 398. Desplazamiento:

corriente de, 443. 1

eléctrico, 522, 589, 598. Desviación:

ángulo de, 6, 22. mínima, 22, 145.

Dextrógira y levógira, rotación, 625. Dextrógiras, sustancias, 625. Dextrógiros y levógiros, cristales, 638. Diafragma auxiliar, método del, 93, 94. Diafragmas:

de apertura, 102, 103, 108, 329. de campo, 102, 111, 192. efecto sobre las aberraciones, 160, 161. írontalss, 104.

Dicroísmo, 503, 539. Dieléctrico, elipsoide, 599. Diferencia:

de camino, 208. de fase, 208, 227, 605. I

Diírac;ión, 4, 248, 339, 495. | de Fraunhofer, 310, 316, 354, ¡408. de Fresnel; 316, 381. de micro-ondas, 409. de rayos X, 401, 404. estudio de Kirchhoff, 312, 409. por aberturas circulares, 325, 386.

tabla de intensidades, 326. por doble rendija, 336, 407, 675. por obstáculos circulares, 388. ¡ por un borde recto, 256, 398. por una rendija, 310, 402, 673.

tabla de intensidades, 326. por una varilla, 405. red de, 229, 354.

poder separador de la, 365. Difusión:

de Rayleigh, 496, 500. de rayos X, 666, 668. e índice de refracción, 500. intensidad de la, 496, 550. molecular, 497. polarización por, 549. sección transversal de, 503.

i -!.< 1

•

DlMITROFF, G. Z., 407. Dioptría, 24, 41, 57. Dispersión, 11, 504.

angular, 362, 504. anómala, 570, 512, 652. constante de, 171. de rayos X, 520. lineal, 362. normal, 5C6. rotatoria, 549, 625, 639. teoría electromagnética de la, 524.

Dispersivo, poder, 12, 169. Distorsión, 161. DITCHBURN, R. W., 266, 399, 565. División:

circular del frente de onda, 390. de )a amplitud y del frente de onda,

261. Doble refracción, 540, 656, 660.

circular, 628, 634. eléctrica, 642, 659. teoría electromagnética de la, 598.

Doble rendija, 336, 407, 675. Doblete:

acromático, 168. ortoscópico, 163. pegado, 149, 155, 194. separado, 173, 193.

DOERMANN, F . W., 352. Doppler, efecto, 217, 436, 440, 482. DORSEY, N. E., 420. Dove, prisma de, 16. DRUDE, p., 574, 580, 599, 636. Dualidad de la luz, 679. DUANE, W., 666. DUNNINGTON, F . G., 66(1.

Eagle, montaje de, 376. Ecuación de la onda, 204, 207, 213, 523. Edser-Butler, bandas de, 306. Efectiva, potencia, 72. Efecto marginal, 121. EINSTEIN, A., 434, 666. Eje:

auxiliar, 38. de una lente, 47. óptico, 542. principal, 31. rayo, 5P5, 597.

Ejes ópticos de cristales biáxicos, 593. 596, 601.

Eléctrica, doble refracción, 642, 659. Eléctrico:

desplazamiento, 522, 5S9, 598. y magnético, vectores, 446, 523.

Electromagnética, teoría, 442.

688 i ,

INDICE ALFABETICO D E AUTORES Y MATERIAS

Electromagnéticas, ondas, 445. energía de las, 448. fase de las, 447, 527. intensidad de las, 448, 523. velocidad de las, 424, 446, 453.

Electromagnético, espectro, 216, 454, 487, 680.

Electrónico, microscopio, 331, 671*. Electroóptica, válvula, 422, 660. Elipsoidal, espejo, 9. Elipsoide dieléctrico, 599. Elíptica:

polarización, 244, 606. acimut de, 572. análisis de, 611. intensidad de, 636. por reflexión interna, 562. reflejada en metales, 572.

vibración, 241, 606, 630, 636. Emisión:

en relación con la absorción, 476. espectros de, 466.

Emitancia radiante, 467. Energía:

conservación de la, 255, 294, 558. densidad de, 212.

Entrada, pupila de, 103, 105, 190, 329.

Esféricos, espejos, 85. potencia de los, 92.

Específica, rotación, 625, 639. del cuarzo, 626.

Espectrales, rayas, 237. anchura de las, 304, 462, 481. desdoblamiento:

eléctrico, 657. ^ magnético, 648. >

longitudes de onda de las, 474, 475. series de, 477, 666.

Espectro, 11. acanalado, 306, 616. continuo, 238, 361, 466, 468, 478,

480. de absorción, 470, 486. de bandas, 478. del hidrógeno, 473, 474, 477. electromagnético, 216, 454, 487. normal, 362, 377, 507. relámpago, 473. secundario, 173. !

Espectrógrafo, 375. de vacío, 378.

Espsctros: clasificación de los, 466. de bandas, 466, 478. de chispa, 464.

de red y de prisma, 507. manantiales de, 458. teoría de los, 479, 666.

^Espejos: aberraciones de los, 96, 196. astigmatismo de los, 98.

! cóncavos y convexos, 85. de Fresnel, 258. I :

! de luz ultravioleta, 568. J de Lloyd, 259. \ j de Mangin, 98. ! ] distancia focal de los, 85, 94. I (divisores de haz»): 290. ; elípticos, 9.. ; ! ;' esféricos, 82, 88. ,

fórmulas de los, 89. | gruesos, 92. j | potencia de losj 94, 95. j parabólicos, 98, 99. ; triples, 17.

|: Espiral de Cornu, 393, 394. ESSEN, L . , 425. Estacionarias, .ondas, 231, 574.

' Estelar, interferómetro, 348. Eter, 211, 426, 431, 436, 441. Externa, refracción cónica, 597. Extraordinario, rayo B, 541.

/, número o valor, 119, 181. Fabry-Perot, interferómetro de, 295

304, 378. Factor de posición, 146. FARADAY, M., 442, 646, 650. Faraday, efecto, 642, 650. Fase:

de las ondas electromagnéticas, 447 527.

velocidad de, 204, 209, 219, 239. Fases cualesquiera,, 232, 494. Fermat, principio de, 8. Filtro:

interferencial, 3C6. polarizante, 676. ultravioleta, 491, 568.

FIZEAU, H . L „ 477, 428. Flecha, 287. Flujo luminoso, 114. Fluorescencia, 489, 491, 498. Focal:

aislamiento, 527, 529. distancia, 31, 35, 48. - de un espejo, 85, 94.

de una lente, 48, 68. de una placa zonal, 390. frontal, 72. posterior, 72.

INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS 689

,-'plano, 32, 47. razón, 181.

Focales, líneas, 21, 158. Focos, 31. 67, 73, 85. FORBÉS, G., 418. Forma, factor de, 144. Formas de vibración en cristales acti

vos, 635. Fórmulas de Gauss, 34, 42, 60, 69. FORSYTHE, W . E . , 468. Fosforescencia, 491. FOSTER, J . S., 658. . Fotoconductora, célula, 487. Fotoelasticidad, 617. Fotoeléctrico, efecto, 667. Fotografía:

rapidez en la, 119, 180. ultravioleta, 487.

Fotón, 667. Fotones y ondas, 680. FOÜCADLT, J. L . , 418, 426. Foucault, prisma de, 547. Fourier, análisis de, 236, 270, 666, 678. Franjas:

circulares,. 263, 283, 295. de Brewster, 296. de difracción, 256, 311. de Haidinger, 284. de igual espesor, 267, 285. de igual inclinación, 264, 283, 305. de interferencia, 251. de luz blanca, 267, 287, 296,'317. desaparición de, 347. localizadas, 265, 285.

FRAUNHOFER, J. , 11, 354. Fraunhofer:

difracción de, 310, 316, 354, 408. rayas de, 11, 169.

tabla de, 475. Frecuencia, 207, 214, 303. Frente de onda, división del, 261.

circular, 390. FRESNEL, A., 256, 441. Fresnel:

-Arago, leyes de, 609. biprisma de, 256. coeficiente de arrastre de, 429, 436. difracción de, 316, 381. espejos de, 258. explicación de la rotación, de, 628. integrales de, 3P5, 396, 405. leyes de la reflexión, 555. • prisma múltiple de, 633. romboedro de, 563, 573. zonas de, 383, 389, 391.

FROCHT, M., 617.

T E N K I N S - W H t T E . — 4 4

FROOME, K. D., 425. Fundamentales, puntos, 77, 80.

GALILEO, 189. Gamma, rayos, 276, 677. Gases:

absorción por, 488. índice de refracción de, 275, 421, 508. resonancia y fluorescencia de, 489.

GAUSS, K. F., 60. GEEST, J., 655. GERMER, L . H. , 671. Glan-Thompson, prisma de, 547. GORDON-SMITII, A . C , 424. GOUY, A., 238. Grado de polarización, 536, 550. Gráficas, construcciones, 5, 36, 70, 74,

78, 86, 93. GRIMALDI, F. M., 381. GROTRIAN, W., 658. Gruesas, lentes, 65, 77.

combinaciones de, 80. fórmulas de las, 71.

Grueso, espejo, 92. Grupo, velocidad de, 219, 238, 241, 427,

519.

Impulsos, análisis de, 238. Incertidumbre, principio de, 672. Indice de refracción, 5, 523.

complejo, 580. de cristales biáxicos, 594. de gases, 275, 421, 508. de los rayos O y E, 545, 583. de películas delgadas, 274. de sustancias ópticas, 769, 505, 591,

594. del agua, 525. del aire, 421, 508. del cuarzo, 632. relativo, 5. y difusión, 500.

JACOBS, D. H. , 175. JEPPESON, M., 492. JOHANNSEN, A . , 545, 621. Júpiter, satélites de, 413. JUPNIK, H. , 333.

Kellner: ocular acromático, 194. -Schmidt, sistema de, 196.

K E L V I N , LORD (W. Thompson), 441, 656. KENNARD, E. H. , 443, 665. KERR, J., 656.

690 INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS

Kerr: célula de, 422. componente de, 657. constante de, tabla, 660. efecto electroóptico de, 642, 659. efecto magnetoóptico de, 642, 656.

KIRCHHOFF, G. , 466. Kirchhoff:

ley de la radiación, 466, 475. teoría de la difracción, 409.

KOHLER, A., 320. KUERTI, G . , 434.

LADENBWRG, R., 656, 659. Lagranje, teorema de, 165. LAMBERT, J., 213. Lámina:

de cuarto de onda, 573, 611, 616. de media onda, 607, 641. plano-paralela, 20, 280.

Lateral, aumento, 40, 51, 60, 167. Lente:

acromática, 168. aplanática, 155. astigmática, 157. concéntrica, 75, 129, 19S. de Billet, 260. de campo, 193. del ojo, 193. delgada, 47, 77. desdobladora de, 260. distancia focal de una, 48. fórmulas de la, 49, 51, 59. gruesa, 65, 77. inflexión de la, 68, 144. menisco, 30, 181. panorámica, 181. potencia de una, 57. rapidez de una, 181. rectilínea, 182.

Lentes, fórmula del constructor de, 54, 60.

LEONE, F . C , 434. Levógiras, sustancias, 625. Límite, ángulo, 15, 546, 558. LIPPERSHEY, H . , 189. Littrow, montaje de, 378, 634. Localizadas, franjas, 265, 285. L O E B , L . B., 466. Longitud de onda, 206, 214.

de una partícula, 671. medida:

con interferómetro, 270, 299, 302. con red, 375.

patrones de, 272, 297, 302. unidades de, 216.

LooFi30uiíow, J. R., 460, 498. LORD, R. C , 460, 498. LORENTZ, H. A., 276, 642. Lorentz:

-Fitzgerald, contracción de, 434. transformación de, 436.

LORENZ, L., 276. Lorenz-Lorentz, ley de, 276. Lumen, 114. Luminosa, intensidad, 115. Luminosidad, 114. Luminoso, abanico, 407. Lummer-Brodhun, cubo de, 17. Lupa, 113, 186, 187. Lux, 115. Luz:

blanca: franjas con, 267, 287, 296, 317. interferencias con, 612.

polarizada: análisis de, 611.

tabla, 613. parcialmente, 536, 550.

LYMAN, T., 372. LYOT, B., 616.

Llama, espectros de, 463. LLOYD, H., 597. Lloyd, espejo de, 259. Magnética:

doble refracción, 654. rotación, 642, 651, 652.

Magnético, vector, 446, 523. Magnetoóptica, 642. MALUS, E., 531, 537. Malus, ley de, 537. Manantial:

en movimiento, 430. extenso, 262. puntual, 3, 206, 459.

Manantiales: clasificación, 458. coherentes, 260, 264. de espectros, 458.

Mangin, espejo de, 98. MARTIN, L. C , 175. MAXWELL, J. C , 442, 452. Maxwell, ecuaciones de, 409, 442, 522,

598, 638. MCCUSKEY, S. W . , 434. MCMASTER, W. H„ 612. Media onda, lámina de, 607, 640. MEGGERS, W. F., 273. MEISSNER, K. \V., 303. Menisco, 30, 181. MERCIER, J., 453.

INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS 691

Mercurio: arco de, 460. isótopo de, 273. lámpara fluorescente de, 462.

Meridiano, piano, 132. Metales: |

constantes'ópticas de, 569, 573. tablas, 570.

reflexión en, 566. Método:

del rayo oblicuo, 38, 50, 70, 89, 93, gráfico para el trazado de rayos, 25.

727. Metro, medida del, 277, 297. M E Y E H , C . F . , 410. Mica, 607. Miera ((i), 216. Microondas: :

difracción de, 409. interferencia de, 261. . ¡

Microscopio, 188. de contraste de fase, 332. 1

de inmersión en aceite, 756, 189. de rayos gamma, 677. electrónico, 331, 671. objetivos de, 188. poder separador de un, 330.

MICHELSON, A. A., 267, 268, 270, 351. Michelson:

escalón de, 373. ¡ interferómetro, 261. I

ajuste del, 262, 268. estelar de, 348.

medida de la velocidad de la luz de, 420, 427.

-Morley, experimento de, 431. MILLER, D . C , 236, 433. Mínima, desviación, 22, 145. MINOR, R. S., 570. ¡ MITCHELL, A. C. G., 489. Molecular, difusión, 497. MONK, G. S., 80, 99, 158, 775. Monocromática, luz. 21, 207, 252. Monocromático, filtro, 306, 676. MORTON, G. A., 332. MOTZ, H . , 455.

Movimiento ondulatorio, 203. Movimientos armónicos simples, com

posición de, 225, 242. i Múltiples:

películas, 290, 579. reflexiones, 282.

Natural: anchura de una raya, 482. ¡ frecuencia, 476, 494, 513, 519, ¡527.

Negativo, cristal, 583, 594. Negativos, puntos nodales y principa

les, 77. Negro, cuerpo, 467. NERNST, W . , 575. Neutralizante, potencia, 72. NEWCOMB, S., 4-19. NEWTON, I., 238, 286, 381. Newton:

anillos de, 286. fórmula de la lente de, 60.

NICOL, W . , 545. Nicol, prisma de, 545. Nicoles, paralelos y cruzados, 547, 607. NICHOLS, E . F . , 276, 521. Nodal, platina, 80. Nodales:

planos, 75. puntos, 75, 77.

Nomograma, 43. Normal:

aumento, 118, 329. espectro, 362, 377. superficie de velocidad, 587, 595,

601. triplete, 647, 654. velocidad, 586, 595.

Numérica, apertura, 331. Número de ondas, 207, 304.

Objetivos: de anteojo, 190. de microscopio, 188. fotográficos, 119, 161, 779, 183.

Objeto: e imagen, espacio, 56. virtual, 56, 61, 67.

Oblicuidad, factor de, 382, 408. Oblicuos, rayos, 126. Ocular, 188," 792. Ojo:

acomodación del, 184. lente del, 193.

Onda: cilindrica, 392. coherente, 392. esférica, 212. monocromática, 207. plana, 205, 445. polarizada:

circularmente, 452. linealmente, 208, 445.

sinusoidal, 206. transversal, 206, 210, 220, 531.

Ondas: complejas, 233.

692 INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS

de radio, 275, 680. difracción de, 409. interferencia de, 261. velocidad de las, 424.

clásticas, 205, 270. en el agua, 204. estacionarias, 231. intensidad de, 277, 448, 523. reflexión y refracción de, 220, 554. superposición de, 225. velocidad de las, 204, 209, 219, 238,

427. y fotones, 680.

Optica, actividad, 584, 624. teoría de la, 628, 637.

Optico: centro, 75. eje, 542, 659.

Orden de interferencia, 253, 341. Ordenes desaparecidos, 344, 372. Ordinario, rayo, 541. Ortoscópico, doblete, 163. Osciladores del medio, 476, 494, 513,

520, 527. OSTERBERG, H . , 333.

PAGE, L . , 448. Panorámica, cámara fotográfica, 82. Paquete de ondas, 27.9, 237, 679. Parabólico, espejo, 98, 99. Paralaje, 87. Paraxiales, rayos, 19, 33, 36. Paschen, montaje de, 376. Paschen-Back, efecto, 649, 655. Patrón, 277, 300. PEARSON, F., 422.

•PEASE, F., 422. Películas:

antirreflectantes, 183, 288. de grosor variable, 285. múltiples, 290, 579.

Penetración, 565. Período, 207. PERRIN, F. H . , 18, 775. Petzval, superficie de, 159, 160. PFEIFFER, C , 570. Piia de láminas, 535. Placa de fase, 333. PLANCK, M . , 477, 525, 666. Planck:

constante de, 668, 670, 681. ley de, 471.

Plano: de incidencia, 4. de polarización, 561.

rotación del, 624.

de vibración, 413, 533, 527. sagital, 98.

Planos: conjugados, 34, 49. principales, 68.

Poder de resolución (véase Poder'separador ).

Poder separador: cromático, 298, 324. de redes, 365. , I de una abertura: ¡

i circular, 322, 325. | rectangular, 322. '\ del anteojo, 325, 327. 'del interferómetro de Fabry-Perot,

297. ! 'del microscopio, 330. del prisma, 324, 505.

Polariscopio, 537, 547. Polarización, 531.

ángulo de, 532, 534, 556, 569. circular, 244, 606. elíptica, 544, 606. ¡ en cristales dicroicos, 539. en medios dieléctricos, 522. grado de, 537, 550. plano de, 561, 624. por difusión, 549. por doble refracción, 543. por reflexión, 531.

•Polarizada, luz: circularmente, 244, 647. linealmente, 244, 445, 531, 643. I acimut de la, 561. parcialmente, 536, 550.

Polarizador, 537, 546. Polaroides, 540. Porro, prisma de, 16, 195. Positivos, cristales, 583, 594. Posterior, distancia focal, 72, 184. Potencia:

de un espejo: esférico, 92..

¡ grueso, 94. de un prisma, 24. de una lente, 57. de vértice, 72. efectiva, 72. neutralizante, 72.

Potencias, suma de, 59, 63. POYNTING, J . H . , 523. Poynting:

teorema de, 457, 523. vector de, 457, 523.

PRESTON, T „ 260, 325, 387, 418, 643, 648.

INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS 693

Primer orden: efectos de la relatividad de, 436. teoría de, 139.

Principal: acimut, 569, 572. máximo, 282, 315, 357.

anchura del, 291, 298, 316, 363. sección, 542.

Principales: constantes dieléctricas, 599. índices de refracción, 590.

determinación de, 592. en cristales biáxicos, 602.

tablas, 591, 594. planos, 542, 590. puntos y planos, 67, 68, 73, 93, 198.

Prismas, 16, 21. astigmatismo del, 23. de Amici, 16, 17. de Cornu, 634. de doble imagen, 548. de doble refracción, 547. de Do ve o inversor, 16, 17. de Glan-Thompson, 547. de Nicol, 545. de Porro, 195. de reflexión total, 16. de Risley o Herschel, 24. de Rochon, 548. de visión directa, 26. de Wollaston, 548. delgado, 24. desviación del, 22. dispersión del, 504. Foucault, 547. poder de resolución cromático del,

324, .505. potencia del, 24.

Prismas, combinaciones de, 25. Prismáticos, 195. Propagación:

número de, 207. rectilínea de la luz, 401.

PROVOSTAYE, F., 537. Próximo, punto, 184. Punto pupila:

de entrada, 105. de salida, 105.

Puntual, manantial, 3, 206, 459. imagen de un, 120, 330.

Pupilas de entrada y de salida, 103, 190, 329.

Quinto orden, teoría de, 149. Radiación:

de Cerenkov, 454.

de resonancia, 477, 489, 494. de una carga acelerada, 448. del cuerpo negro, 469, 666. detectores de, 216, 487. Kirchhoff, ley de, 467, 476.

RAMAN, C. V . , 498. Raman, efecto, 492, 498, 667. RAMSAUER, G., 658. Ramsden:

círculo de, 192. ocular de, 193.

Rápido y lento, ejes, 606. RASSETTI, F., 492. Rayado de redes, 369. Rayas:

anchura de las, 304, 462,. 4*7. espectrales, 466, 473, 488.

series de, 477, 666. tablas de longitudes de onda, 474,

475. RAYLEIGH, LORD, 277, 496, 525, 552. Rayleigh:

criterio de resolución de, 324, 365. difusión de, 496, 500. refractómetro de, 277.

Ravo, 3, 220. 586. ejes, 595, 597. no desviado, 32, 50, 75. oblicuo, 126. principal, 104, 107. velocidad de, 586.

Rayos: gamma, 216, 677. O v E, intensidades de los, 538, 544,

636. paraxiales, 19, 33, 36, 49. residuales, 493. sagitales, 152. trazado de, 126.

cálculo del, 130. gráfico, 727, 625. tablas, 133, 135.

X , 275, 488, 680. difracción de, 407, 405. difusión de, 666, 668. dispersión de, 521. interferencia de, 259. refracción de, 520.

Real, imagen, 28, 88. Red:

cóncava, 375. de difracción, 229, 354.

' de reflexión y transmisión, 369. en escala, 366, 373. en escalón, 373. en rampa, 373.

694 INDICE A L F A B E T I C O D E A U T O K E S Y MATERIAS

Redes: copia de, 371. espectros de, 370. montajes de, 376. producción de, 369.

Reducida, vergencia, 40. Reflectancia, 222, 555. Reflexión:

cambio de fase en la, 222, 260, 282, 288, 295, 559. .

de ondas, 220, 554. en dieléctricos, 554, 576. estudio de Stokes, 221, 283, 293. externa, 15, 558. interna, 15, 558. ley de la, 4, 8, 494, 578. leyes de Fresnel de, 557. metálica, 493, 566. penetración en la, 565. red de, 369. selectiva, 491. 494. total, 15, 545, 558, 565.

Refracción, 4, 220. cónica:

externa, 596. interna, 596.

de ondas, 220, 554. de rayos X, 520. en cristales:

biáxicos, 592. uniáxicos, 588.

en superficies esféricas, 30. ley de la, 4, 578.

Refractómetro: de Abbe, 18. de Jamin, 275. de Pulfrich, 18. de Rayleigh, 277.

Relatividad, teoría de la, 219, 434, 519. Rendija:

-manantial, anchura de la, 346. sencilla:

'lifracción de una, 310, 402, 495. teoría cuántica de la, 673.

Residuales, rayos, 493. Resolución:

ángulo mínimo de, 324, 328. criterio de Rayleigh, 324.

Resonancia, radiación de, 477, 4cS9, 494. REUSCH, E., 637. Reversibilidad, principio de, 6, 32, 34,

221. RICHARDS, O. W . , 333. RICHTMAY.KK, F. K-., 443, 665. Risley o Herschel, prisma de, 25. ROBERTSON, J . K . , 221.

ROCHESTER, C. D., 478. Rochon, prisma de, 548. ROGERS, 540.

' ROMER, O., 413. Rotación:

det plano de polarización, 624. dextrógira y levógira, 625. en líquidos, 639. específica, 625, 639. magnética, 642, 650, 651.

Rotatoria, dispersión, 549, 625, 640. ROWLAND, H. A., 370, 375. Rowland, circunferencia y montaje de,

375, 376. Rozamiento:

causas del, 527. efecto sobre Ja dispersión, 517.

RUSENS, H., 521.

s y p, componentes, 555, 647, 657. Sacarimetría, 639. Sagital:

plano, 98. y tangencial, focos, 21, 158.

Sagitales, rayos, 152. Salida, pupila de, 103,105,119,190, 192. SCHIFF, L . I., 455, 665. Schmidt, sistema de, 98, 196. SCHRÓDINGER, E., 351, 671. SCHUSTER, A., 526. SEARS, F. W., 206, 213. Secundario, espectro, 173. Secundarios, máximos, 315, 357.

tablas de intensidades de, 326. Seidel, sumas de, 740, 157, 161. Selectiva:

absorción, 484. reflexión, 491, 494.

SJJLENYI, P., 351. Sellmeier, ecuación de, 513, 517. SEMAT, H . , 665. Semiángulo de campo, 110. Semiperiódicas:

bandas, 393. zonas, 383, 391.

Seno, valores de su desarrollo en serie, 139.

Senos, teorema de los, 164. Separado, doblete, 173, 193. Series de rayas espectrales, 477, 666. SilANKLAND, R. S„ 434. SIEGBAHN, K . M . , 520. Signos, convenio de, 35, 54, 86, 90. Simple, movimiento armónico, 206. Sinuosidales, ondas, 206. SNELL, W . , 5.

INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS 695

Sodio, arco de, 460. Soleil, compensador de, 573, 610. Sombra, 381, 402. SOMMERFELD, A., 408. Sommerfeld, teoría de la difracción de,

410. SOUTHALL, J . P. C , 94, 155. Stark, efecto, 482, 642, 657.

inverso, 658. lineal y cuadrático, 657, 658.

Stefan-Boltzmann, ley de, 471. STERN, O., 671. STILWELL, A. R . , 437. STOKES, G., 221, 612. Stokes:

ley de la fluorescencia de, 491, 499. parámetros de, 612.

STRATTON, J . A . , 219, 237. Superficie:

de onda, 584, 592, 595, 631. esférica:

puntos aplanáticos de, 155, ,167, 189. ,

refracción en una, 30. Superficial, color, 485, 493. Superposición:

de ondas, 229, 244. principio de, 225.

Sustancias ópticas, límites de transmisión, 487. i

Tangencial y sagital, focos, 21, 158. Tangenciales, planos y rayos, 98, 152. TAYLOR, H . D . , 175. TEAR, J . D . , 216, 521. Teleobjetivos, 183. Teoría corpuscular, 381, 426. Tercer orden, teoría de, 140, 145. Térmicos, manantiales, 458. THOMPSON, G. P., 671. THORP, T . , 374. TOLANSKY, S., 294. TOLMAN, R. C , 435. Total, reflexión, 15, 545, 558, 565. Transmisión: ' ;

de la plata, 567. de sustancias ópticas, 487. del sodio, 568. del vidrio: '

de didimio, 470. de óxido de níquel, 491.

Transmitancia, 557. Transversal, naturaleza de las ondas

luminosas, 441, 445, 531. ¡ Transversales, ondas, 199, 206, 210, 220. Triplete de Hastings, 647, 653. |

Turmalina, 539. Twiss, R. Q. , 349. Twyman-Green, interferómetro de, 273. TYNDALL, J., 497, 552.

Ultravioleta, luz, 215. espejos para, 567. filtros para, 491, 568. transmisión de, 487.

Uniáxicos, cristales, 542, 583. Unidades:

de longitud de onda, 216. eléctricas y magnéticas, 425, 443,

454.

Vacío, espectrógrafo de, 378. VALASEK, J., 408. Válvula electroóptica, 422, 659, 678. Velocidad:

de grupo, 219, 238, 427, 519. de la luz:

como razón de unidades, 425, 446, 454.

determinaciones recientes, 425. en el vacío, 421. en la materia en movimiento, 428. en la materia en reposo, 425. espejo giratorio, 479, 426. medidas de Michelson, 420, 427,

428. por aberración, 415. por la célula de Kerr, 423. por los satélites de Júpiter, 413.

de las ondas de radio, 424. ^de lentes, 181.

de onda o fase, 204, 209, 219, 239, 427.

de ondas electromagnéticas, 424, 453, de rayo, 586. normal, 586, 595.

Velocidades en los cristales, 590, 600. Verdet, constante de, 651. Vergencia reducida, 40, 63. Vértice, 31. Vibraciones:

complejas, 233. de luz polarizada, 532, 636. direcciones de las, 446, 543, 589, 595. elípticas, 242, 606, 630, 636. libres y forzadas, 494, 499, 524. plano de, 447, 533, 573, transversales, 441, 445, 531.

Vidrio: de óxido de níquel, 491. dispersión del, 505. transmisión del, 486.

696 INDICE ALFABETICO DE AUTORES Y MATERIAS

Vidrios ópticos, índices de refracción de, 169, 505.

Virtual: imagen, 18, 34, 52, 86. objeto, 56, 61, 67.

Visibilidad de las franjas, 268, 352, 481. VOIGT, W., 654. Voigt, efecto, 642, 654.

Wadsworth, montaje de, 378. WATSON, G . N . , 292. WESTFALL, F . O. , 273. WHITE, H . E . , 480, 649, 657. WHITTAKER, E . T . , 292. Wien, ley del desplazamiento de, 471. Wiener, experimentos de, 231, 573. WIENS, J . H . , 273. WIERL, 657. WILLIAMS, W. E . , 302, 373..

Wollaston, prisma de, 548. WOOD, R. W„ 238, 320, 372, 395, 410,

489, 511, 568.

X, unidad, 216.

YOUNG, T . , 225, 248, 288. Young, experimento de, 250, 675.

Zeeman, efecto, 452, 642, 651. anómalo, 648, 667. cuadrático, 649, 661. inverso, 642, 649. normal, 647. teoría clásica del, 643.

ZEMANSKY, M. W., 489. ZERNICKE, F., 332. Zonal, placa, 389. Zonas semiperiódicas; 383, 391. ZWORYKIN, V. K., 332.