5. Interferncia e Difrao

5.1. Interferncia A interferncia o fenmeno que superpomos ondas numa mesma regio do espao. Como resultado desta superposio de campos, ocorrem variaes espaciais na intensidade resultante. Estas variaes de intensidade so chamadas de franjas de interferncia. Embora a interferncia seja um fenmeno inerente ao carter ondulatrio da luz, no dia a dia no muito comum a observao de interferncia. Por exemplo quando iluminamos uma sala com diversas lmpadas no observamos franjas de interferncia. Isto acontece porque as fontes de iluminao que utilizamos rotineiramente so incoerentes.

5.1.1 Superposio de Duas Ondas Harmnicas Quando duas ondas eletromagnticas se superpem em uma mesma regio do

espao, os campos eltricos e magnticos resultantes so a soma vetorial dos campos individuais devido a cada uma das ondas isoladamente (devido ao princpio da superposio), da mesma forma que os campos devido a presena de cargas eltricas se somam:

( )( )22212

1111

022

011

21

+

+

==

+=

trKi

trKi

eEE

eEE

EEE

rr

rr

rrrrrrr

[5.1]

A irradiana da onda resultante, supondo duas ondas linearmente polarizadas.

( ) ( ) ++==== 2210

2

21 EEEEcEEc

ZEn

SIrrrrrrr

[5.2]

* Se 21 = , as ondas de mesma freqncia 21 KK

rr = rrrr ( )

( 12122121

010212

020121

+

+

==

rKrKi

rKrKi

eEEEE

eEEEErrrr )rr

rrrrrr

[5.3]

A parte temporal it e -it se cancelam se as ondas tm a mesma freqncia. * Se cte12 = , os produtos cruzados podem ser escritos como ( )43421rr

+cos2

0201ii eeEE

( )121202011221 cos2 +=+ rKrKEEEEEE rrrrrrrrrr [5.4]

( )4444 34444 21 rrrrrr 1212020121 cos2 +++= rKrKEEcIII [5.5] r r

Diferena de fase entre 1E e 2E * Se 21 fase varia com o tempo e 21 III += coseno 0. * Se 21 depender do tempo o mesmo ocorrer. * Por outro lado se ( polarizaes ortogonais) 0201

EE rr 21 III += termo de interferncia 0.

Podemos interpretar a Equao 5.5 como uma variao peridica de intensidade em funo da diferena de fase entre as ondas (franjas de interferncia). O termo oscilatrio que carrega esta dependncia com a fase chamado de termo de interferncia e ele varia de 1 (interferncia destrutiva) a 1 (interferncia construtiva). Podemos definir a visibilidade das franjas de interferncia como:

( )2121

minmax

minmax

2cos4II

IIIIII

+=+= [5.6]

A visibilidade mxima quando as ondas so linearmente polarizadas na mesma direo e quando suas irradianas so iguais 021 III == , neste caso, ( )AII cos12 0 += Na prtica para que tenhamos ondas coerentes (sincronismo) e de mesmo comprimento de onda precisamos utilizar luz da mesma fonte por isto geralmente utilizado um interfermetro para dividir a frente de onda e produzir franjas de interferncia.

5.1.2 Fendas de Young

As fendas de Young um experimento clssico (feito pela primeira vez em 1802) que demonstrou o carter ondulatrio da luz. Um esquema do experimento das fendas de Young mostrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 Fendas de Young

Aqui em vez de ondas planas temos ondas esfricas. Entretanto se x suficientemente grande podemos considerar que a amplitude das ondas das ondas que chegam em P so iguais. Neste, supondo que a luz emitida por cada fenda tm fases iguais (isto possvel iluminando a fenda com uma fonte situada mesma distncia das duas fendas), a diferena de fase entre as ondas que chegam em cada ponto P de uma tela ser devido unicamente diferena de caminho entre elas que dada por:

+

++22

x2/hy1

x2/hy1xK [5.7]

Se a distncia entre as fendas e a tela de observao (x>>y) muito maior que a separao entre as fendas, a raiz pode ser expandida resultando em:

xyh2 // [5.8] Conforme pode ser visto na Figura 5.1, em y=0, =0 e haver mximo (interferncia construtiva), o prximo mximo ocorrer quando=2 , que ocorrer na posio distante y da origem (y=0).

y = x/h [5.9] Como exemplo numrico temos que para =0.5m; x=1m;h=1mm, teremos y=0.5mm.

5.1.3 Interfermetro de Michelson Os interfermetros so sistemas que dividem uma mesma frente de onda em duas

ondas que so depois superpostas. Existem diversos tipos de interfermetros. Alguns dividem a frente de onda e outros apenas sua amplitude da onda. A Figura 5.2 mostra alguns exemplos de interfermetros:

Figura 5.2 Exemplos de Interfermetros: Loyd e Mach Zehnder

Em particular o interfermetro de Michelson (Figura 5.3) ficou famoso devido ao experimento de Michelson-Morey onde ser buscava verificar a presena de ter.

Neste interfermetro, se existe um ngulo de 90+ entre os espelhos A e B, as ondas interferentes no anteparo tero vetores 1K

r e 2Kr

cm direes formando o mesmo ngulo entre si, Figura 5.4. Isto resulta numa onda propagante na direo y e modulada por uma cosseno na direo x. Pode se mostrar que o perodo desta modulao ser

Figura 5.3 Interfermetro de Michelson

x=/sen/2 [5.10] Quanto menor o ngulo entre os espelhos, maior o perodo das franjas. Se tender a zero x ir a infinito. E ainda quando varia, o perodo das franjas tambm varia.

Por outro lado, se existe uma diferena de caminho entre os braos do interfermetro (S-l) haver uma diferena de fase entre as ondas 1E

r e 2Er

definida como:

( lS = ) 2 [5.11]

Portanto o padro de interferncia estar deslocado de 2/ em relao ao ponto de

diferena de caminho ptico zero entre os feixes. A medida que S-l varia o padro de interferncia translada sem mudar o perodo.

A diferena de ndice de refrao entre os braos de interfermetro tem o mesmo efeito de mudarmos o comprimento de seus braos. Assim no experimento de Michelson-Morley o que se esperava era observar um deslocamento das franjas de cerca de de franja ao se girar o interfermetro de 90o (alinhando-se um dos braos coma direo leste-oeste onda a velocidade de translao da terra mxima e depois se invertendo 900).

S possvel observarmos franjas no interfermetro de Michelson se a diferena de caminho entre os braos S-l for menor que o comprimento de coerncia da fonte. Da mesma

forma que tambm podemos observar franjas de interferncia em filmes muito finos mesmo quando iluminados com luz branca. Como por exemplo em filmes de leo sobre gua ou bolhas de sabo. Nestes casos o que observamos a interferncia destrutiva para algumas cores do espectro visvel resultando nas cores de Newton (complementares) . Este mtodo de cores utilizado tambm para medir a espessura de filmes finos. Alguns exemplos esto mostrados na Figura 5.4.

Figura 5.4 Exemplos de Interferncia em filmes finos com luz branca

5.1.4 Filmes Finos (Mltipla Interferncia) Suponhamos uma onda incidindo numa lmina de faces paralelas conforme

mostrado na Figura 5.5. Devido s mltiplas reflexes, ao invs de duas ondas interferindo temos n ondas que mantm entre si sempre a mesma diferena de fase entre si ():

( ) ( 'cos

dn4l2nS20

=+= ) [5.12]

Figura 5.5 Esquema de mltiplas reflexes numa lmina de faces paralelas

A onda resultante da superposio de todas esta srie infinita de ondas ser:

...''' ++++= 3i32112i2211i021101r erttertteErttErE [5.13] como a razo < 1 a soma convergente e seu resultado ierr 21

i21

021r err1

EttE = [5.14]

portanto a irradiana resultante ser:

2i21

221

2

err1

ttEI

r

[5.15]

e ter uma mximo toda vez que

m2dn4 == 'cos [5.16]

Para incidncia normal md20 ==' . Portanto variando-se a espessura do filme ou o ngulo de incidncia teremos mximos e mnimos de interferncia, assim como se variarmos o comprimento de onda incidente. Este comportamento de mximos e mnimos pode ser utilizado para se medir a espessura e o ndice de refrao de filmes finos. Se ao invs de um nico filme utilizarmos vrias camadas, aumentaremos o nmero de graus de liberdade e poderemos construir sistemas de filmes finos, que por interferncia, apresentam um determinado comportamento espectral na reflexo ou na transmisso. Assim so feitos os espelhos dieltricos, camadas anti-refletoras ou filtros interferomtricos de faixa muito estreita.

5.2 Difrao A difrao o nome dado historicamente transio oscilatria entre a luz e a

sombra quando a luz obstruda por um anteparo. Quando temos um anteparo com uma abertura, se olharmos em detalhe a regio de transio entre a luz e a sombra, veremos que h oscilaes de intensidade (mximos se mnimos) prximo regio da borda (Figura 5.6a). Se utilizarmos um anteparo com um buraco, a medida que o dimetro do buraco diminui, a onda que atravessa o buraco vais se tornando cada vez mais esfrica (Figura 5.6b).

Figura 5.6a Exemplo de difrao

Figura 5.6b Exemplo de Difrao

5.2.1 Princpio de Huygens

A primeira explicao qualitativa deste fenmeno foi proposta por Cristian

Huygens, transformado o problema da difrao em um problema de mltipla interferncia. O principio de Huygens (ilustrado na Figura 5.7) consiste em que cada frente de onda pode ser pensada de infinitas fontes puntuais situadas em uma superfcie da frente de onda. A soma de todas estas fontes puntuais (wavelets que so ondas esfricas) resulta na prpria frente de onda que se propaga.

Figura 5.7 Princpio de Huygens Quando esta frente de onda encontra um obstculo, parte das wavelets bloqueada.

Desta forma, prximo ao obstculo a frente de onda adquire uma esfericidade maior e sua

interferncia com o restante da frente de onda no reproduz mais a frente de onda original, produzindo mximos e mnimos de interferncia.

Entretanto, apenas no final do sculo XIX foi construdo o primeiro modelo matemtico para difrao conhecido como a teoria da difrao de Fresnel-Kirchoff ou Teoria escalar da Difrao. Os resultados descrevem a onda aps o anteparo como uma superposio (integral) de todas as ondas esfricas puntuais presentes na regio da abertura. Neste sentido ela uma representao matemtica do Princpio de Huygens.

Como consequncia dela ser uma soma sobre as ondas presentes na rea da abertura, nos temos que campos difratados por orifcios complementares como mostrado na Figura 5.8, tero campos iguais e de sinais contrrios de forma que sua soma seja nula. Como a irradiana proporcional ao mdulo quadrado dos campos, isto implica que o padro de difrao resultante de aberturas complementares idntico. Este resultado chamado Princpio de Babinet.

Figura 5.8 Esquema de Aberturas complementares (Princpio de Babinet) A Figura 5.9 mostra um esquema dos parmetros importantes no problema de

difrao. Nesta teoria os resultados podem ser divididos em duas regies distintas chamadas de regio de Fresnel e regio de Fraunhofer. Estas regies so definidas em relao distncia do ponto de observao ao anteparo e ao comprimento de onda. Assim, mais prximo ao anteparo temos a regio de Fresnel e mais afastados ou, utilizando-se uma lente, temos a regio de Fraunhofer. A Figura 5.10mostra fotografias de um padro de difrao num orifcio retangular a medida que nos deslocamos da regio de Fresnel para a regio de Fraunhofer. Para estarmos na regio de Fraunhofer a seguinte condio deve ser satisfeita:

+

+

20

22

20 z1

z1

2b2b

z1

z1

2k [5.17]

Figura 5.9 Esquema dos parmetros do problema de difrao

P

Z0Z2

b

Entretanto, colocar uma lente depois do anteparo e observar a difrao no plano

focal da lente equivalente a fazer z0 ir a infinito, ou seja satisfazer a condio de Fraunhofer.

Figura 5.10 Variao do Padro de Difrao da Regio de Fresnel para a Regio de Fraunhofer

5.2.2 Difrao em orifcios e obstculos Nesta seco sero apresentados os resultados da Teoria de Difrao de Fraunhofer

para determinadas formas particulares de orifcios. 5.2.2.1. Difrao numa Fenda

Supondo uma fenda de largura d infinita na direo longitudinal, iluminada por uma onda homognea de amplitude I0, a distribuio de irradianas aps a fenda em funo do ngulo que o vetor posio do ponto de observao faz com a normal fenda dado por

( ) ( )( )( )

2

0 2kd2kd

II

=

/sen/sensen

[5.18]

A Figura 5.11 mostra o grfico desta funo assim como uma fotografia do espectro angular de difrao observado.

Figura 5.11 Espectro de Difrao de uma Fenda Note que o primeiro mnimo ocorre quando o argumento do seno do numerador for , isto implica que o primeiro mnimo ocorrer no ngulo dado por:

( )d =sen [5.19]

Isto implica que quando menor o dimetro da fenda, e maior o comprimento de onda, maior a abertura angular do espectro de difrao.

5.2.2.2 Difrao num orifcio retangular

Se ao invs de uma fenda tivermos uma abertura retangular (que o produto de duas fendas) a distribuio de irradianas ser dada por:

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

( )22

2kb2kb

2ka2ka0IyxI

=

/sen/sensen

/sen/sensen,

[5.20]

A Figura 5.12 mostra um grfico desta funo assim como uma fotografia do espectro angular de difrao.

Figura 5.12 Espectro de Difrao de um orifcio retangular 5.2.2.3 Difrao num orifcio circular

Analogamente para um orifcio circular teremos a Irradiana

( )(( )

) 210 kR

kRJ2II

=

sensen [5.21]

cujo grfico aparece mostrado na Figura 5.13, juntamente com seu espectro de difrao. Note que neste caso o primeiro zero da Eq. 5.21 ocorre quando o argumento da funo de Bessel = 3.83, portanto o primeiro mnimo (anel escuro) aparecer no ngulo:

( )R2

221 .sen = [5.22]

Figura 5.13 Espectro de Difrao de um orifcio circular Este mnimo muito utilizado para definir a o limite de resoluo de difrao de sistemas pticos com aberturas circulares.

5.2.3 Filtragem espacial e processamento de Imagens

Conforme podemos observar dos resultados da Difrao de Fraunhofer, aberturas pequenas difratam a luz em ngulos grandes, enquanto que aberturas grandes em ngulos pequenos. Para objetos planos (como por exemplo um negativo de um filme fotogrfico), pode se mostrar rigorosamente que a difrao funciona como uma transformada de Fourier bi-dimensional do objeto. Assim se observarmos o espectro de difrao de um determinado objeto plano atravs de uma lente (conforme ilustrado na Figura 5.14), as ondas difratadas pelo objeto em ngulos pequenos, sero focalizadas prximo ao ponto focal da lente, enquanto que as ondas difratadas em ngulos grandes sero focalizadas no plano focal mas distantes do ponto focal. Assim se atuarmos no plano focal da lente e depois utilizarmos uma segunda lente para recompormos a imagem do objeto, poderemos alterar esta imagem.

Assim, se cortarmos as baixas frequncias espaciais (colocando um anteparo no eixo ptico), estaremos aumentando o contraste da imagem, e deixando passar s o centro podermos filtrar rudos ou diminuir o contraste da imagem. Um exemplo deste processamento pode ser visto na Figura 5.14.

Figura 5.14 Exemplo de processamento de Imagens Por outro lado esta caracterstica dos sistemas pode ser utilizada tambm para reconhecimento de padres uma vez que a transformada no depende da posio individual do objeto e sim de sua forma. Um exemplo disto mostrado na Figura 5.15

Figura 5.15 Exemplo de reconhecimento de Padres

5. Interferncia e DifraoFigura 5.1 Fendas de Young

5.2.3 Filtragem espacial e processamento de Imagens