Sistemas Multivariaveis: conceitos fundamentais

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFFDisciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS

Profa Ninoska Bojorge

São sistemas com várias entradas e saídas, em que uma entrada afeta a várias saídas e reciprocamente uma saída é afetada por várias entradas.

SISO

MIMO

Sistemas multivariáveis

Outra maneira de vê-lo

)(11 sG)(1 sm )(1 sy

)(22 sG)(2 sm )(2 sy

Neste sistema cada entrada afeta só uma saída

Não há interação!!

+)(11 sG

)(12 sG

)(22 sG

)(21 sG

)(1 sm

+

+

+

)(2 sm

)(1 sy

)(2 sy

Neste sistema uma variável de entrada afeta a mais de uma variável de saída.

apresenta interaçãoEste é o efeito mais importante no projeto de ajust e das malhas de controle para esses sistemas.

)()()()()(

)()()()()(

2221212

2121111

smsGsmsGsy

smsGsmsGsy

+=+=

+)(11 sG

)(12 sG

)(22 sG

)(21 sG

)(1 sm

+

++

)(2 sm

)(1 sy

)(2 sy

Sua representação matricial de estado é:

=

=

=

)()(

)()()(

)(

)()(

)(

)()(

2221

1211

2

1

2

1

sGsG

sGsGsG

sm

smsM

sy

sysY

)()()( sMsGsY =

Controle de processos de mistura

Exemplos de sistemas multivariáveis :

Controle de evaporador

Controle de robô

Controle de uma coluna de destilação

1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta do sistema controlado?

2.- Quanta interação existe entre as malhas, e qual é a melhorforma de parear as variáveis manipuladas e controladas para

reduzir o efeito da interação?

3.- Pode ser eliminada ou reduzida essa interação através doprojeto do sistema de controle?

Três perguntas se devem fazer quando se deseja controlarum sistema multivariável

Tipos de interação :

Positiva

Negativa

Quando a interação provoca que asduas malhas se ajudem mutuamente.

ou

Quando se fecham as outras malhasa mudança é na mesma direção que quando estavam abertos.

Quando as duas malhas brigam entre si

ou

Quando se fecham as outras malhasa mudança é na direção contrária que quando estavam abertos.

1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta dosistema controlado?

Pareamento de variáveis controladas e manipuladas em sistemas de controle multivariáveis .

Para selecionar que sinal de mando (entrada) se relacionará comcada saída controlada, se precisa determinar quais de essasentradas e saídas têm uma relação mais estreita e quais têmforte interação ou se é desprezível .

A medição da interação pode se estabelecer medindo a variação das saídas (variáveis controladas) com respeito a cada uma das entradas (variáveis manipuladas), o que se conhece como ganhos relacionais entre os pares de variáveis controladas e manipuladas do sistema.

Sistema multivariável 2x2

Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em m alha aberta(quando as outras variáveis manipuladas são mantidas constantes)

De aqui são definidas:

j

iij m

yK

∆∆= 21

1

m

ij m

cK

∆∆=

12

112

mm

cK

∆∆=

21

221

mm

cK

∆∆=

12

222

mm

cK

∆∆=

Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em m alha fechada(quando as outras variáveis controladas são mantidas constantes)

21

112

cm

cK

∆∆=′

22

112

cm

cK

∆∆=′

11

221

cm

cK

∆∆=′

12

222

cm

cK

∆∆=′

A medição da interação proposta por Bristol é a relação entre o ganho em malha aberta e o ganho em malha fechada, definido como ganho relativo na seguinte equação

Para este caso

Matriz de ganhorelativos

Conceito de Ganho Relativo / medição de interação

fechadamalhaganho

abertamalhaganho

K

K

ij

ijij =

′=λ

11

1111 K

K′

=λ12

1212 K

K′

=λ

21

2121 K

K′

=λ22

2222 K

K′

=λ

Experimental : realizam-se medições experimentais nas condiçõesestabelecidas na definição dos ganhos por meio da simulação de seusmodelos físico-químicos em estado estacionário.

Analítica no tempo: se faz por simples balanço de massa ou energia emestado estacionário e são obtidos os limites das variações das variáveiscontroladas com relação as manipuladas para quando as variaçõestendem a zero (estado estacionário) ou diretamente pela derivada parcial

Cálculo de Matriz de Ganho relativo de sistemas 2x2

Pode se determinar de várias formas:

cj

j

mi

i

j

i

jkmkj

i

mjij

mcmc

mc

m

cK

∂∂

∂∂

=∂∂

=∆∆=

≠→∆ 0

lim

A forma mais rápida de achar a matriz é

[ ] [ ]T-1G(0)*G(0)=µ

EXEMPLO

Um sistema multivariavel tem o seguinte modelo:

212

11

14

4)(

13

3(s)

)(1

1(s)

mS

sms

Y

sms

Y

++

+=

+=

Este produto é o produto doHadamard (elemento por elemento)

Representado em blocos é

)(14

4)(

13

3(s)

)(1

1(s)

212

11

sms

sms

Y

sms

Y

++

+=

+=

Determinemos agora a matriz de ganho relativo

Profª Ninoska Bojorge - TEQ–UFF

� Lembrete de operações com matrizes

TcofGG

G )(det

11 =−

Onde: G-1 = matriz inversa de G;

det G = ∆= determinante da matriz G;

(cof G)T = matriz transposta da matriz

dos cofatores de A .

TcofGG

G )(det

11 =−

14

4)(

13

3(s)

)(1

1(s)

12

11

++

+=

+=

ssm

sY

sms

Y

A partir do modelo, a matriz de transferências é

14s

4

13s

3

01s

1

(s)

++

+=G43

01(0) =G

[ ] [ ]T-1G(0)*G(0)=µ

4/14/3

01

4

13

04

cof(0)

T1-

−=

−=

∆=

∆= Adj

G

[ ]4/10

4/31(0) 1- −

=TG

10

01

4/10

4/31*

43

01=

−=µ

Observações sobre esta matriz

È o arranjo mxn definido pelos ganhos relativos entre as diferentes variáveis controladas e manipuladas do sistema multivariável. As variáveis controladas definem as filas, e as variáveis manipuladas definem as colunas da matriz.

A soma de todas suas filas e colunas sempre resulta a unidade

Para minimizar o efeito da interação em um sistema de controle multivariável, a dupla de variável controlada e manipulada se deve obter um ganho relativo o mais perto possível da unidade.

m1 deve controlar a C1

m2 deve controlar a C2

Nos sistemas com ganho relativo negativo devem ser evitados de qualquer forma.

m1 nunca deve controlar a C1

m2 nunca controlar a C2

1.8

1.8

Não é recomendável utilizar ganho relativo nulo , pois significa que a variável manipulada não efeito direto na variável controlada e dependeda interação com outras malhas para se controlar.

m1 nunca deve controlar a C1

m2 nunca controlar a C2

EXEMPLO

Selecionar os acoplamentos entrada / saída que minimizam a interaçãoentre malha nas seguintes matrizes de ganho relativo

8.02.0

2.08.0 ) 1 =λa

3.07.0

7.03.0 ) 2 =λb

3.03.1

3.13.0 ) 3 −

−=λc

Fica uma pergunta por responder das três que fizemos ao início

3. Pode ser eliminada ou reduzida essa interacção através do projecto do sistema de controle?

SIM…

Podemos usar os chamados ¨desacopladores¨

)()()()()(

)()()()()(

2221212

2121111

smsGsmsGsy

smsGsmsGsy

+=+=

A partir da equação do sistema

Suponha que acoplamos 11 my →

22 my →desejamos que

não troque quandotrocar

1y

2m

2y não troque quandotrocar 1m

)()(

)()(

)()()()(

0)()()()(

0)(

211

121

212111

212111

1

smsG

sGsm

smsGsmsG

smsGsmsG

sy

−=

−==+

=

)()(

)()(

)()()()(

0)()()()(

0)(

122

212

121222

222121

2

smsG

sGsm

smsGsmsG

smsGsmsG

sy

−=

−==+

=¨desacopladores¨

Problemas que podem apresentar-se

Pode necessitar-se desacopladores não realizáveis fisicamente.

Os erros que tenha o modelo com o que se calcula o desacoplemento influem e podem afetar a estabilidade gravemente

Análise dinâmica de um sistema MIMO de 2x2

Aplicando as técnicas conhecidas da álgebra de blocos ou a fórmula do Mason

Que informação dão estas equações?

� O ajuste de cada controlador afeta a resposta de ambas as variáveis controladas porque seu efeito está na equaçãocaracterística que é comum

� A estabilidade dos laços independentes não garante a estabilidade do conjunto

Se tirarmos a interação entre as malhas

Pondo em manual o controlador 2 Pondo em manual o controlador 1

� Para que a interacção afecte a resposta das malhas esta deve atuar em ambos os sentidos, se alguma das duas FT entre malhas é zero

As raízes desta equação são quão mesmas as das duas anteriores

� Quando as malhas estão fechadas e em modo automáticos a estabilidade dependerá também dos ramos que unem as malhas

EXEMPLO

Malha 1

33.315.0

5.0

05.015.0

05.005.01.0

00.1S

10.1S0.51

01*1.0

115.01

−=−=

=+=++

=

++

=

++

S

S

SS

S

Raiz negativa, malha estável

jS

S

SSS

SSSS

SSSS

SS

SSS

49.01087.0

0827.0

05.12162180600

05.1215012180600

0)112(*5.12)15)(110(12

0)15)(110(

5.0*

12S

112S521

0)15)(110(

5.0*

12

11251

23

23

±−=−=

=+++=++++

=++++

=++

++

=++

++

Malha 2

Raízes negativas, laço estável

0)15)(110(

5.0*

12

1125*1*

1.0

115.0

)15)(110(

5.0*

12

11251*

1.0

115.01 =

++−

+

+−

++

++

++SSSSSSSS

( )0

)15)(110(

)112(11.05.2

)15)(110(12S

5.12162180600*

1.0

5.015.02

23

=++++−

++++++

SSS

SS

SS

SSS

S

S

( )0

)15)(110(

)112(11.05.2

)15)(110(1.2S

25.687.823.1143279022

234

=++++−

++++++

SSS

SS

SS

SSSS

02.258.5185.22801.504810635177004500 2345678 =−−−+++ SSSSSSS

0 0 -3.3388 -0.3820 + 0.6467i-0.3820 - 0.6467i0.3529

-0.0917 + 0.0041i-0.0917 - 0.0041i

Raízes da equação característica do sistema

Concluindo

A estabilidade das malhas independentes não garante a estabilidade do conjunto multivariável

Mudança de sinais, (raizpositiva): sistema instável

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Profª Ninoska Bojorge - TEQ–UFF