sumario´ - portal do aluno rumo · os poss´ıveis resultados para o lanc¸amento de duas moedas...

Rumo Curso Pre Vestibular Assistencial - RCPVADisciplina: Matematica

Professor: Vinıcius Nicolau17 de Outubro de 2014

Sumario

1 Questoes de Vestibular 11.1 UFPR 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Questao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.6 Questao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.7 Questao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.8 Questao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.9 Questao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 Questao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.6 Questao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.7 Questao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.8 Questao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.9 Questao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Questoes de Vestibular

1.1 UFPR 2012

1.1.1 Questao 1

Num teste de esforco fısico, o movimento de um indivıduo caminhando em uma esteira foi

registrado por um computador. A partir dos dados coletados, foi gerado o grafico da distancia

percorrida, em metros, em funcao do tempo, em minutos, mostrado abaixo:

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tempo(minutos)

distância(metros)

2 4 6 8 10

200

600

1000

1400

De acordo com esse grafico, considere as seguintes afirmativas:

1. A velocidade media nos primeiros 4 minutos foi de 6 km/h.

2. Durante o teste, a esteira permaneceu parada durante 2 minutos.

3. Durante o teste, a distancia total percorrida foi de 1200 m.

Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(d) Somente a afirmativa 3 e verdadeira.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.

Resposta

1.1.2 Questao 2

Numa serie de testes para comprovar a eficiencia de um novo medicamento, constatou-se

que apenas 10% dessa droga permanecem no organismo seis horas apos a dose ser ministrada.

Se um indivıduo tomar uma dose 250 mg desse medicamento a cada seis horas, que quantidade

da droga estara presente em seu organismo logo apos ele tomar a quarta dose?(a) 275 mg.(b) 275,25 mg.(c) 277,75 mg.(d) 285 mg.(e) 285,55 mg.




Resposta

1.1.3 Questao 3

Andre, Beatriz e Joao resolveram usar duas moedas comuns, nao viciadas, para decidir

quem ira lavar a louca do jantar, lancando as duas moedas simultaneamente, uma unica vez. Se

aparecerem duas coroas, Andre lavara a louca; se aparecerem duas caras, Beatriz lavara a louca;

e se aparecerem uma cara e uma coroa, Joao lavara a louca. A probabilidade de que Joao venha

a ser sorteado para lavar a louca e de:(a) 25%.(b) 27, 5%.(c) 30%.(d) 33, 3%.(e) 50%.

Resposta

1.1.4 Questao 4

As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos,

com as alturas e diametros da base indicados. Sabendo que ambas as latas tem o mesmo volume,

qual o valor aproximado da altura h?

4 cm

6 cm

h

12 cm16 cm

(a) 5 cm.(b) 6 cm.(c) 6,25 cm.(d) 7,11 cm.(e) 8,43 cm.

Resposta




1.1.5 Questao 5

Na figura ao lado estao representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um qua-

drado cinza de area 4 unidades, um quadrado hachurado de area 9 unidades e a reta r que passa

por um vertice de cada quadrado. Nessas condicoes, a equacao da reta r e:

(a) x− 2y = −4

(b) 4x− 9y = 0

(c) 2x+ 3y = −1

(d) x+ y = 3

(e) 2x− y = 3

Resposta

1.1.6 Questao 6

Todas as faces de um cubo solido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por

meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos

com aresta 3 cm. Com relacao a esses cubos, considere as seguintes afirmativas:

1. Seis desses cubos menores terao exatamente uma face pintada de verde.

2. Vinte e quatro desses cubos menores terao exatamente duas faces pintadas de verde.

3. Oito desses cubos menores terao exatamente tres faces pintadas de verde.

4. Um desses cubos menores nao tera nenhuma das faces pintada de verde.




Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 1 e 4 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) firmativas 1, 2, 3 e 4 sao verdadeiras.

Resposta

1.1.7 Questao 7

Uma bolsa contem 20 moedas, distribuıdas entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando

R$3, 25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos e a mesma das moedas de 10

centavos, quantas moedas de 25 centavos ha nessa bolsa?(a) 6.(b) 8.(c) 9.(d) 10.(e) 12.

Resposta

1.1.8 Questao 8

Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x

centımetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte formula:

log

(L

15

)= −0, 08x

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?(a) 150 lumens.(b) 15 lumens.(c) 10 lumens.(d) 1,5 lumens.(e) 1 lumen.




Resposta

1.1.9 Questao 9

Num projeto hidraulico, um cano com diametro externo de 6 cm sera encaixado no vao

triangular de uma superfıcie, como ilustra a figura abaixo. Que porcao x da altura do cano

permanecera acima da superfıcie?

(a) 12

cm.(b) 1 cm.(c)

√32

cm.(d) π

2cm.

(e) 2 cm.

Resposta




1.2 Respostas

1.2.1 Questao 1

Item 1 - Para calcular a velocidade media Vm do indivıduo nos primeiros 4 minutos, utili-

zamos a formula que relaciona a distancia percorrida e o tempo gasto:

Vm =∆s

∆t=s− s0t− t0

Como estamos considerando os primeiros 4 minutos, temos t0 = 0 e t = 4. Observando o

grafico, para esses valores de tempo temos as marcas s0 = 200 e s = 600, respectivamente.

Assim, a parte de cima da fracao e 600− 200 = 400 metros e a parte de baixo e 4− 0 = 4

minutos.

Visto que a unidade da resposta do item 1 e km/h, vamos converter os dados que encontra-

mos, que estao por enquanto em m/min.

Para converter uma medida em metros para quilometros, dividimos essa medida por 1000,

pois 1 km equivale a 1000 m (em caso de duvida, faca a Regra de Tres). Entao, 400 m equivalem

a400

1000=

4

10km.

Da mesma forma para o tempo, para converter uma medida em minutos para horas, devemos

dividir essa medida por 60, pois 1 h equivale a 60 min. Logo, 4 min equivalem a4

60h.

Portanto, a velocidade media, em km/h, e

Vm =410460

=4

10· 60

4= 6

Item 2 - Observe que entre os tempos de 6 minutos e 8 minutos, o grafico ficou constante,

o que significa que a esteira parou durante esses dois minutos.

Item 3 - Como a ultima distancia registrada e de 1400 m e a primeira e de 200 m, a distancia

percorrida foi de 1400− 200 = 1200 metros.

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1.2.2 Questao 2

De acordo com o enunciado, logo apos tomar a primeira dose, 250 mg de medicamento

estarao no organismo desse indivıduo, porem somente 10% disso, no caso 25 mg, continuarao

no organismo. Entao, quando o indivıduo tomar a segunda dose de 250 mg, no seu organismo

havera 250 + 25 = 275 mg de medicamento. Sendo assim, podemos montar a tabela abaixo:

1a Dose 2a Dose 3a Dose 4a Dose

Toma 250 mg 250 mg 250 mg 250 mg

Tem no organismo 250 mg 275 mg 277,5 mg 277,75 mg

Permanece 25 mg 27,5 mg 27,75 mg 27,775 mg

Portanto, logo apos a quarta dose, havera 277,75 mg do medicamento no organismo do

indivıduo.


1.2.3 Questao 3

Os possıveis resultados para o lancamento de duas moedas simultaneamente sao:

Moeda 1

Moeda 2

Cara (k1) Coroa (c1)

Cara (k2) k1k2 c1k2

Coroa (c2) k1c2 c1c2

Como temos 4 possıveis resultados e em dois deles aparecem uma cara e uma coroa (c1k2 e

k1c2), a probabilidade de Joao lavar a louca e de2

4, ou seja, de 50%.


1.2.4 Questao 4

Lembrando que o volume de um cilindro e dado por V = πr2h, temos que




• o volume V1 do primeiro cilindro e V1 = π · 62 · h = 36πh;

• o volume V2 do segundo cilindro e V2 = π · 82 · 4 = 256π.

De acordo com o enunciado, os volumes devem ser iguais. Entao,

V1 = V2

36πh = 256π

h =256

36=

64

9≈ 7, 11


1.2.5 Questao 5

Como a area do quadrado cinza e 4, seus lados medem√

4 = 2 unidades. Da mesma forma,

como a area do quadrado hachurado e 9, seus lados medem√

9 = 3 unidades.

Assim, observando o grafico, temos que o primeiro ponto, comum a reta e ao quadrado

cinza, tem abscissa 0 pois esta sobre o eixo y, e ordenada 2, pois e o vertice do quadrado cinza.

Logo, tem coordenadas (0, 2).

Ja o segundo ponto, comum a reta e ao quadrado hachurado, tem coordenadas (2, 3).

Entao, o coeficiente angular m da reta que passa por esses dois pontos e

m =y1 − y0x1 − x0

=3− 2

2− 0=

1

2

Portanto, a equacao da reta e

y − y0 = m(x− x0)

y − 2 =1

2· (x− 0) =

x

2




2y − 4 = x

x− 2y = −4


1.2.6 Questao 6

Observe a figura abaixo:

Note que:

• O cubo central de cada face do cubo maior tera apenas uma de suas faces pintadas, e

como ha 6 faces, ha 6 cubos menores com essa caracterıstica;

• Os 8 cubos que estao nos “cantos” do cubo maior terao 3 faces pintadas de verde;

• 1 cubo que esta “no centro” do cubo maior nao tera faces pintadas de verde;

• Os 12 cubos restantes terao 2 faces pintadas de verde.

Logo, somente as afirmativas 1, 3 e 4 sao verdadeiras.


1.2.7 Questao 7

De acordo com o enunciado, a quantidade de moedas de 5 e de 10 centavos e a mesma,

entao vamos dizer que e uma quantidade x. E seja y a quantidade de moedas de 25 centavos.




Como ha 20 moedas no total, temos que somando as quantidades de moedas de 5 centavos,

de 10 centavos e de 25 centavos teremos como resultado 20. Ou seja, x + x + y = 20 ⇔

2x+ y = 20.

Visto que ha um total de R$ 3,25 na bolsa, podemos concluir que 0, 05x+ 0, 10x+ 0, 25y =

3, 25⇔ 0, 15x+ 0, 25y = 3, 25.

Logo, temos o seguinte sistema linear

2x+ y = 20

0, 15x+ 0, 25y = 3, 25

Ja que so precisamos saber a quantidade de moedas de 25 centavos, ou seja, o valor de y,

isolamos o x na primeira equacao:

x =20− y

2

E agora substituımos na segunda equacao para encontrar o valor de y:

0, 15

(20− y

2

)+ 0, 25y = 3, 25

3− 0, 15y

2+ 0, 25y = 3, 25

3− 0, 15y + 0, 50y

2= 3, 25

3 + 0, 35y = 6, 5

0, 35y = 3, 5

35

100· y =

35

10·

y =35

10· 100

35= 10





1.2.8 Questao 8

Basta substituir o valor dado 12,5 no lugar de x:

logL

15= −0, 08 · 12, 5

logL

15=−8

100· 125

10=−1000

1000

logL

15= −1

Aplicando a operacao inversa, temos que

10log L15 = 10−1

L

15=

1

10

L =15

10= 1, 5


1.2.9 Questao 9

Imagine o seguinte triangulo equilatero,




sendo que AH mede 8 + x e DH mede 3.

Lembre-se que:

• No triangulo equilatero a mediana coincide com a altura e o baricentro coincide com o

incentro;

• O baricentro divide a mediana de um triangulo em dois segmentos tais que o segmento

maior tem o dobro da medida do segmento menor.

Assim, temos as seguintes relacoes:

• AD = 2DH

• AD +DH = AH ⇔ 2DH +DH = AH ⇔ 3DH = AH

Logo,

3DH = AH

3(3) = 8 + x

x = 1



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