sistemas lineares em malha fechadatermo.furg.br/jaa/sistcont/scap12.pdf · sistema de controle para...

SISTEMAS LINEARES EM SISTEMAS LINEARES EM MALHA FECHADAMALHA FECHADA

O sistema de controle

Sistema de controle para um Sistema de controle para um tanque de aquecimentotanque de aquecimento

mi , Ti

mo , T

∞

elemento de medida de temperatura

Tm

TR

elemento final de controle

q

energia elétrica ou vapor

.

..

registrador controlador

Tm

Componentes de um sistema de controle:processo

ProcessoElemento de medidaControladorElemento final de controle

Diagrama de BlocosDiagrama de BlocosO diagrama torna muito mais fácil a visualização das relações existentes entre os diversos sinais

–+

444 8444 76controledeMecanismo

RTcomparador

ε

erroponto de referência

mT

iT variável controlada

carga

Telementofinal decontrole

controlador processo++

elementode medidavariável medida

Realimentação negativa x Realimentação positiva

Problema servo x Problema regulador

Desenvolvimento do Diagrama Desenvolvimento do Diagrama de Blocosde Blocos

mmm oi &&& ==→Vazão constanteProcessoConservação da energia:

( ) ( )dtdTCVTTCmTTCmq i ρ=−−−+ 00 &&&

mi , Ti

mo , Tprocesso

q

.

. .

T0=Temperatura de referência da entalpia

Em regime permanente: ( ) ( ) 000 =−−−+ TTCmTTCmq sis s&&&

Subtraindo:

( ) ( )[ ] ( )dt

TTdCVTTTTCmqq ssiis s

−=−−−+− ρ&&&

VARIÁVEIS DESVIO

siii TTT −=ˆsTTT −=ˆ

sqqQ &&& −=

( ) ( )[ ] ( )dt

TTdCVTTTTCmqq ssiis s

−=−−−+− ρ&&&

( )dtTdCVTTCmQ i

ˆˆˆ ρ=−+ && dtTd

mVTT

CmQ

i

ˆˆˆ&&

& ρ=−+

mV&

ρτ =

( ) ( ) ( ) ( )sTssTsTCmsQ

iˆˆˆ τ=−+

&

&

( )( ) ( ) ( )sTCmsQssT i1ˆ +=+

&

&τ

⇒

Aplicando a transformada de Laplace com

( )( ) ( ) ( )sTCmsQssT i1ˆ +=+

&

&τ

( ) ( ) ( )sTs

sQs

CmsT i11

1

1ˆ

++

+=

ττ&&

( )sQ& ( ) 0ˆ =sTi

( )sT ( )sQ&Se houver variação apenas em , então

a é:e a função de transferência que relaciona

( )sT( )sQ&( )( ) 1

1ˆ

+=

sCm

sQsT

τ&

& 1

1

+sCm

τ&

Se houver variação apenas em ( )sTi ( ) 0=sQ&

e a função de transferência que relaciona ( )sT ( )sTi

, então

a é:

( )( ) 1

1ˆˆ

+=

ssTsT

i τ( )sT

11+sτ

( )sTi

( ) ( ) ( )sTs

sQs

CmsT i11

1

1ˆ

++

+=

ττ&&

Esta equação é representada no diagrama de blocos

1

1

+sCm

τ&( )sQ&

11+sτ

( )sTi

( )sT+

+

Diagrama de blocos equivalente

1

1

+sCm

τ&( )sQ&

Cm&( )sTi

( )sT+

+

Elemento de MedidaO elemento de medida de temperatura pode apresentar algum retardo por transporte

mi , Ti

mo , Tprocesso

q


Tm

Tm

TR

registrador

..

.

( )( ) 1

1ˆˆ

+=

ssTsT

m

m

τonde:

=mτconstante de tempo do termômetro

smmm TTT −=ˆ

sTTT −=ˆ

( )sTm

11+smτ

( )sT

Controlador e Elemento Final de ControlePor conveniência, os blocos que representam o controlador e o elemento final de controle são combinados em um só bloco

AKq c += ε&

O controlador será considerado do tipo PROPORCIONAL

mR TT ˆˆ −=ε

sRRR TTT −=ˆonde:

mi , Ti

mo , T

∞processo


Tm

Tm

TR



q


..

.

=sRT=cK=A 0=ε

temperatura de referência “normal”sensibilidade proporcional ou ganho do controlador

fluxo de calor quando

O uso da variável RT permite-nos considerar os efeitosdas variações no ponto de referência.

RsR TT =O sistema deve ser projetado para que

TTT mRˆˆˆ ==Em regime permanente ε 0= , pois:

AKq c += ε&

AKq cs += 0&

εcs Kqq =− &&⇒εcKQ =&

( ) ( )sKsQ cε=&Transformada de Laplace:

( )sQ&( )sεcK

Diagrama de BlocosDiagrama de Blocos

–+

elementofinal decontrole

processo++


RTcomparador

ε


mT

T

variável controlada

iT carga

controlador


( )sTi

Cm&

( )sT–

+( )sε

cK1

1

+sCm

τ&+

+( )sQ&( )sTR

11+smτ

( )sTm

Função de transferência do sistemaFunção de transferência do sistema

–+ +

+( )sTR ( )sε

( )sTm

( )sT

( )sTi

cK

11+smτ

1

1

+sCm

τ&

Cm&

( )sQ&

iθ

1G 2G3G

Hoθ

( )[ ] odoi GGGH θθθθ =+− 321

dθ

dio GHGGG

GHGGG θθθ

31

32

31

31

11 ++

+=

( ) ( ) ( )sT

sCmK

s

sCmCm

sT

sCmK

s

sCmK

sT i

cm

R

cm

cˆ

1

1

111

1

1

ˆ

1

1

111

1

1

ˆ

+++

++

+++

+=

ττ

τ

ττ

τ

&

&&

&

&

( ) ( ) ( )sT

sCmK

s

sCmCm

sT

sCmK

s

sCmK

sT i

cm

R

cm

cˆ

1

1

111

1

1

ˆ

1

1

111

1

1

ˆ

+++

++

+++

+=

ττ

τ

ττ

τ

&

&&

&

&

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )sT

CmKss

ssT

CmKss

sCm

K

sT ic

m

mR

cm

mc

ˆ11

1ˆ11

1ˆ

&&

&

+++

++

+++

+=

ττ

τ

ττ

τ

Função de transferência do sistemaFunção de transferência do sistema( )sTi

Cm&

( )sT–

+( )sε

cK1

1

+sCm

τ&+

+( )sQ&( )sTR

11+smτ

( )sTR ( ) 0ˆ =sTi

( )sTm

Para uma variação em e

( )sT( )sε–

+ cK ( )sQ&( )sTR

1

1

+sCm

τ&

11+smτ

( )sTm

( )sT( )sε–

+ cK ( )sQ&( )sTR

1

1

+sCm

τ&

2Goθiθ

11+smτ

( )sTm1G

( ) ooi GGH θθθ =− 21H

( )( )

11.

1

1.1

1

1.

ˆˆ

+++

+=

ssCmK

sCmK

sTsT

mc

c

R

ττ

τ

&

&

( )( )

( )

( )( )Cm

Kss

sCm

K

sTsT

cm

mc

R&

&

+++

+=

11

1

ˆˆ

ττ

τ

HGGGG

i

o

21

21

1+=

θθ

( )( )

( )

( )( )Cm

Kss

sCm

K

sTsT

cm

mc

R&

&

+++

+=

11

1

ˆˆ

ττ

τ

( )( )

( )

( )

++++

+=

1

1

ˆˆ

2

CmKss

sCm

K

sTsT

cmm

mc

R

&

&

ττττ

τ

Função de transferência do sistemaFunção de transferência do sistema( )sTi

Cm&

( )sT–

+( )sε

cK1

1

+sCm

τ&+

+( )sQ&( )sTR

11+smτ

( )sTi ( ) 0ˆ =sTR

( )sTm

Para uma variação em e

( )sT( )sTi

++

cK

1

1

+sCm

τ&Cm&

( )sQ& ( )sTm( )sε1

1+smτ

-1

++

( )sTi

( )sε ( )sTm

( )sT

cK 11+smτ

1

1

+sCm

τ&

( )sQ&

Cm&

3212

21

1 HHHGGG

i

o

−=

θθ

iθ oθ1G 2G

1H 2H 3H

( ) ooi GHHHG θθθ =+ 23211

-1

( )( )

11..

1

11

11

ˆˆ

+++

+=

sK

sCm

ssTsT

mc

i

ττ

τ

&

( )( )

11..

1

11

11

ˆˆ

+++

+=

sK

sCm

ssTsT

mc

i

ττ

τ

&

( )( ) ( )( )

CmKss

ssTsT

cm

m

i&

+++

+=

11

1ˆˆ

ττ

τ

( )( )

( )

++++

+=

1

1ˆˆ

2

CmKss

ssTsT

cmm

m

i

&ττττ

τ

Exemplo de solução com Exemplo de solução com MATLAB SimulinkMATLAB Simulink

mi , Ti

mo , T

∞processo


Tm

Tm

TR



q


–+ ++( )sTR ( )sε

( )sTm

( )sT

( )sTi

cK

11+smτ

1

1

+sCm

τ&

Cm&

( )sQ&

s60=τsm 10=τ

skgm 0,2=&

CkgkJC o.18,4= –+ +

+( )sTR( )sT

( )sTi

50 16012,0+s

36,8 Simulink mdl filesDados:

CkWK oc 50=

1101+s

Para uma entrada Degrau unitário em TR , qual o erro em regime permanente?

( )( )

( )

( )

++++

+=

1

1

ˆˆ

2

CmKss

sCm

K

sTsT

cmm

mc

R

&

&

ττττ

τ

Entrada degrau unitário em TR:

( )s

sTR1ˆ =

( )( )

( )s

CmKss

sCm

K

sTc

mm

mc

1

1

1ˆ

2

++++

+=

&

&

ττττ

τ

Teorema do valor final:

( ) ( )ssFtfst 0limlim→∞→

=

Função de transferência:


=Valor final:

( )1

lim+

=∞→

CmK

CmK

tTc

c

t

&

&( )( )

( )s

CmKss

sCm

K

stTc

mm

mc

st

1

1

1.limlim

20

++++

+=

→∞→

&

&

ττττ

τ⇒

( ) ( )∞−∞= TTErro RErro:

11

+−=

CmK

CmK

Erroc

c

&

&

1

1

+=

CmKErro

c

&

⇒

Para uma entrada Degrau unitário em Ti , qual o erro em regime permanente, em relação à TR?

Entrada degrau unitário em Ti:

Função de transferência:

( )( )

( )

++++

+=

1

1ˆˆ

2

CmKss

ssTsT

cmm

m

i

&ττττ

τ( )

ssTi

1ˆ =

( )( )

s

CmKss

ssTc

mm

m 1

1

1ˆ2

++++

+=

&ττττ

τ

Teorema do valor final:


=


=Valor final:

( )( )

s

CmKss

sstTc

mm

m

st

1

1

1.limlim2

0

++++

+=

→∞→

&ττττ

τ ( )1

1lim+

=∞→

CmKtT

ct

&

⇒

( ) ( )∞−∞= TTErro RErro:

1

10+

−=

CmKErro

c

&

⇒1

1

+

−=

CmKErro

c

&

Simulink mdl files

Sistema de controle de nívelSistema de controle de nível

qi qd h

BóiaDistúrbio

Ajuste do valor de referência hr

x y Alavanca

z

Válvula

Reservatórioqo

Resistência R

Determinar a relação entre as entradas:

Valor de ajuste para o nível do líquido hr

Distúrbio para o nível de líquido qd

Distúrbio

h

Variáveis desvio:

odi qqqzh e,,,

Ajuste do valor de referência hr

qd

E a saída:Nível do líquido h


–+

elementofinal decontrole

processo++


Rθcomparador

ε


mθ

oθ

variável controlada

dθ distúrbio

controlador


–+

alavancapivotada

válvula tanque++

dq

iqzhhR − hRh

hbóia

Desenvolvimento do Diagrama Desenvolvimento do Diagrama de Blocosde BlocosAlavanca pivotada

hz

x yentradanapivôdoDistânciasaídanapivôdoDistância

EntradaSaída

=

yh

xz==αtan

yx

hz= ( ) ( )sH

yxsZ =α

yx( )sH ( )sZ

Válvula

A entrada z para a válvula determina a taxa de escoamento qi na saída da válvula.

A relação entre a entrada e a saída pode ser linearizada:

zcqi =

z

qi

( )sQi( ) ( )sZcsQi = ( )sZc

Tanque Conservação da massa:

dthdAqqq odi =−+

Rhqo = R

hdt

hdAqq di +=+⇒qi qd h

( ) ( )[ ] ( ) ( )sHsHsARsQsQR di +=+

AR=τ

( )sQdqo

Resistência R

( ) ( ) ( )11 +

++

=s

sQRs

sQRsH qi

ττ( )sH( )sQi

1+sR

τ++

Bóia

A realimentação é o movimento da bóia

hO movimento da bóia transmite

diretamente o sinal de altura de líquido em movimento da alavanca.

Portanto a realimentação é unitária.

h

( ) ( )sHsH .1= ( )sH( )sH1


–+ +

+( )sH R

( ) ( )sHsH mR −( )sQd

( )sZ ( )sQi ( )sHalavancapivotada

válvula tanque

( )sHmbóia

–+ +

+( )sH R

( ) ( )sHsHR −( )sQd

( )sZ ( )sQi

1+sR

τc

yx ( )sH

( )sH

Função de TransferênciaFunção de Transferênciadθ

–+ +

+

( ) ( )sHsH R − ( )sZ ( )sQi

cyx

1G 2G

( )sQd

( )sH

1+sR

τ3G( )sH R

iθ oθH

( )[ ] odoi GGGH θθθθ =+− 321 HGGGGGGG di

o321

3321

1++

=θθθ

( )( ) ( )

11

11

++

++

+=

sRc

yx

sQsRsH

sRc

yx

sHdR

τ

ττ

( )( ) ( )

11

11

++

++

+=

sRc

yx

sQsRsH

sRc

yx

sHdR

τ

ττ ( )( ) ( )

cRyxs

sQRsHcRyx

sHdR

++

+=

1τ

( ) ( ) ( )sQcR

yxs

RsHcR

yxs

cRyx

sH dR

+++

++=

11 ττ

⇒

Definindo as constantes:

cRyx

cRyx

K+

=1

1

τ

cRyx

a+

=1

cRyxRK

+=

12

( ) ( ) ( )sQasaKsH

asaKsH dR +

++

= 21

( ) ( ) ( )sQas

KsHas

aKsH dR ++

+= 21

Com uma entrada degrau unitário em HR(s), sem distúrbio:

( ) ( )assaKsH+

= 1 ( ) ( )ateKth −−= 11( )s

sH R1

=

Com uma entrada degrau unitário em Qd (s), sem alterar o ponto de ajuste:

( ) ( )assaKsH+

= 2( )s

sQd1

= ( ) ( )ateKth −−= 12

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.53.5

0

h t( )

Hsc t( )

05000 t

23,0 mA =s

mmR 3300=

mx 3,0=my 2,1=

smc

2

15,0=s90=τ

( ) ( )ateKth −−= 12smQd

3

01,0=

( ) ( )teth .136,0125,0 −−=

( ) ( )teth .011,013 −−=sem controle

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Dados:

distúrbio

sistemas lineares em malha fechadatermo.furg.br/jaa/sistcont/scap12.pdf · sistema de controle para...

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