sistemas fluidomecânicos
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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do S ul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG
Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Prof. Jorge A. Villar Alé
Março - 2010
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do S ul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG
Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Prof. Jorge A. Villar Alé
Março - 2010
Sistemas Fluidomecânicos Sumário
I
Nesta apostila são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação industrial é fornecido adicionalmente. O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equação geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar as atividades de aprendizado. Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agosto de 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material.
Porto Alegre, março 2010
Prof. Jorge Villar Alé [email protected] Laboratório de Sistemas Fluidomecânicos – LSFM Centro de Energia Eólica www.pucrs.br/ce-eolica
Sistemas Fluidomecânicos Sumário
II
Sistemas Fluidomecânicos Sumário
III
SUMÁRIO
Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Capítulo 8 – Cavitação REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS – TABELAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
SSIISSTTEEMMAASS FFLLUUIIDDOOMMEECCÂÂNNIICCOOSS
SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo
Sistemas Fluidomecânicos Sumário
IV
Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo
Cap.1 IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo Item Conteúdo Pag. Introdução 3
1. Máquinas de Fluxo 4 1.1 Máquinas Motrizes 5 1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 5 1.3 Ventiladores e Compressores 6 1.4 Turbinas 7 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 9 1.5 Bombas Hidráulicas 9 1.6 Bombas Volumétricas 10 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 10 1.6.2 Bombas Rotativas 10 1.7 Turbobombas 11 1.7.1 Bombas Centrífugas 12 1.7.2 Bombas Axiais 13
Sistemas Fluidomecânicos Sumário
V
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas
Cap.2 TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass
Item Conteúdo Pag. 2.1 Introdução 3 2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 4 2.2.1 Simplificações 4 2.3 Potência e Energia Específica 7 2.4 Equação de Euler 7 2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 8 2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 9 2.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 12 2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 13 2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 14 2.9 Grau de Reação 15 2.10 Influência da Curvatura das Pás 16 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 17 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 18 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 18 Resumo Gráfico dos Resultados. 19 Recomendações para Ângulo das Pás 19
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 20 2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) 22 Resumo das curvas H-Q e P-Q 23 2.13 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 24 2.14 Importância do Número Finito de Pás 25 Escoamento com Número Finito de Pás 25 Desvio da Velocidade Relativa 26 Dependência do Número de Pás 26 2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 27 Fator de Correção do número finito de pás 27 2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 28 Análise na entrada do canal das pás 28 Análise na saída do canal das pás: 29 2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 31 2.18 Exemplos Resolvidos 33
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VI
Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo
Cap.3 CCuurrvvaass CCaarraacctteerrííssttiiccaass ee AAssssoocciiaaççããoo ddee BBoommbbaass SSéérriiee ee eemm PPaarraalleelloo
Item Conteúdo Pag. 3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 3 3.2 Rendimentos 3 Rendimento Mecânico 3 Rendimento Hidráulico Rendimento Volumétrico Rendimento Total ou Global Potência de acionamento 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 5 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 6 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 6 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 7 3.7 Ponto de Operação das Bombas 8 3.8 Outras Representações de Curvas Características 9 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 10 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores 12 3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 13 3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 15 3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 16 3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 17 3.11 Associação de Bombas em Série 19 3.11.1 Curva característica de bombas em serie 20 3.11.2 Rendimento de duas bombas em série 21 3.12 Associação de Bombas em Paralelo 22 3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: 23 3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 24 3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 25 3.14 Exemplo - Conexão Paralelo 26 3.15 Exemplo - Conexão Série 27 3.16 Outros Exemplos 28 3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 29 3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 30 3.19 Problemas Propostos 34
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VII
Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Cap.4 CCooeeffiicciieenntteess AAddiimmeennssiioonnaaiiss ee LLeeiiss ddee SSiimmiillaarriiddaaddee
Item Conteúdo Pag. 4.1 Coeficientes Adimensionais 3 4.1.1 Número de Reynolds 4 4.1.2 Número de Mach 4 4.1.3 Rugosidade Relativa 5 4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica 5 4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 5 4.1.6 Coeficiente de Potência 5 4.2 Efeitos de Escala 8 4.2.1 Efeito do Número de Reynolds 8 4.2.2 Efeito do Número de Mach 8 4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 8 4.2.4 Efeito de Espessura 8 4.3 Leis de Similaridade 9 4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 9 4.4 Utilizando as Leis de Similaridade 10 4.5 Modificação do Tamanho da Bomba 12 4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: 13 4.7 Rendimento Global Variando a Rotação 14 4.8 Determinação da Rotação Especifica 14
4.9 Rotação Específica Característica - nq 15 4.10 Número Específico de Rotações por Minuto 17 4.10.1 Relação entre ns - nq 17 4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 18 4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 18 4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 18 4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 18 4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 19 4.11.5 Outras Relações 19 4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 20 4.12 Exemplos Resolvidos 20 4.13 Atividade de Aprendizado 27 4.14 Atividade Proposta No1 31 4.15 Atividade Proposta No2 32
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VIII
Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Cap.5 CCuurrvvaass OOppeerraacciioonnaaiiss DDee SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo Item Conteúdo Pag. 5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 3 5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 4 5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 4 5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 5 5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa 5 5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga 6 5.2 Controle de Desempenho das Bombas. 7 5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 8 5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 9 5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 10 5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 12 5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 14 5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 15 5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 17 5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 19 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 19 5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 20 5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 21 5.5 Exemplo do Procedimento 22 5.6 Equações Complementares 27
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IX
Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Cap.6 SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo
Item Conteúdo Pag. 6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 4 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 6 6.3 Definição de Alturas Estáticas 7 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 8 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 8 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 9 6.5 Altura Manométrica 10 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 12 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 12 6.5.3 Altura Útil de Elevação 13 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 13 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 15 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 16 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 17 6.8.1 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 18
6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema 19
6.9 Exemplos Resolvidos 20 6.10 Atividade de Aprendizado 25 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 26 6.12 Exemplo de Resultados 27
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X
Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
Cap. 7 PPeerrddaa ddee CCaarrggaa eemm SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo
Item Conteúdo pag 7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 3 7.2 Perda de Carga Total 3 7.3 Perda de por Tubulações 4 7.4 Diagrama de Moody 5 7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 8 7.5.1 Método do comprimento equivalente 8 7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 9 7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 10 7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 11 7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 12 7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 13 7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 15
Capítulo 8 – Cavitação Cap. 8 CCoonncceeiittooss ddee CCaavviittaaççããoo Item Conteúdo Pag. Introdução 3 8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 5 8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 7 8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 8 8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 9 8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 10 8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 11 8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 11 8.4.2 Margem prática de segurança 12 8.5 Exemplos de Cavitação 13
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-1
IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-2
Introdução às Máquinas de Fluxo
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 3
1. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4
1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES......................................................................................................... 6 1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9
1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS........................................................................................................................... 9 1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 1.6.2 Bombas Rotativas...................................................................................................................... 10
1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 1.7.2 Bombas Axiais .......................................................................................................................... 13
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-3
Introdução
Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que esteja inserido.
As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais especializada.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-4
1. Máquinas de Fluxo
As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1 apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo.
PistãoDiafragma
Alternativas
ParafusoPalhetasLóbulos
Engrenagens
Rotativas
Volumétricas
CentrífugasAxiaisMistas
Bombas
CentrífugasAxiaisMistas
Ventiladores
HidráulicasVaporGás
Eólicas
Turbinas
Turbomáquinas
Máquinas de Fluxo
Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxo
As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. • Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. • Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. • Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos
do rotor sobre a corrente de fluido. • As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. • Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) • Rotor Impulso ou Impelidor • Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. • Corpo, voluta ou coletor em caracol • Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga)
Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo Designação Fluido de trabalho
Turbina hidráulica e bomba centrífuga Líquido Ventilador, turbocompressor Gás (neutro) Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Vapor (água, freon, etc) Turbina a gás, motor de reação Gás de combustão
Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento Designação Fluido de trabalho
Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Líquido Compressor (alternativo, rotativo) Gás (neutro) Compressor (alternativo, rotativo) Vapor (freon, amônia) Motor alternativo de pistão Gás de combustão
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-5
1.1 Máquinas Motrizes Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica. Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes
Máquinas Motrizes Característica Exemplos Turbinas hidráulicas • Transformam a energia hidráulica em
trabalho mecânico. • A energia potencial se obtém por um desnível
natural ou por embalse. • Utilizadas para gerar energia elétrica.
• Turbinas Francis, Propeller, Kaplan, Dériaz
• Rodas hidráulicas ou rodas de água.
Turbinas a vapor • Transformam a energia recebida por um vapor em trabalho mecânico.
• Utilizadas para gerar energia elétrica.
• Turbinas a vapor. • Turbinas a gás. • Máquinas a vapor de
descolamento positivo. Turbinas eólicas • Transforma a energia cinética dos ventos
(eólica) em trabalho mecânico. • Utilizadas para gerar energia elétrica.
• Turbinas eólicas • Turbinas Darreius • Turbinas Savonius.
1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o transformam em energia de pressão. Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes Máquinas Operatrizes Característica Classificação
• Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos vencendo a resistências de tubulações e acessórios.
Turbobombas • Centrífugas • Helicocentrífugas • Axiais
Bombas Hidráulicas
• Bombas de deslocamento positivo • Altas pressões
• Alternativos • Rotativos
Ventiladores
• Fluido incompressível com gases a baixas pressões.
• Geralmente o fluido utilizado é ar. • Transportam o gás por tubulações vencendo as
resistências de dutos e elementos da instalação. • Utilizados em sistemas de exaustão ou em
sistemas diluidores. • Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam
os turbocompressores.
Turboventiladores • Centrífugos • Helicocentrífugos • Axiais
• Trabalha com gases compressíveis a altas pressões e temperaturas
• Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até milhares de atmosferas.
Turbocompressores • Centrífugos • Helicocentrífugos • Axiais
Compressores
• Compressores de deslocamento positivo
• Alternativos • Rotativos
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-6
Tabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento Máquinas de fluxo
Máquinas de deslocamento
• Alta rotação
• Baixas e médias rotações
• Potência específica elevada (potência/peso)
• Potência específica média p/ baixa (potência/peso)
• Não há dispositivos com movimento alternativo
• Várias têm dispositivos com movimento alternativo
• Médias e baixas pressões de trabalho
• Altas e muito altas pressões de trabalho
• Não operam eficientemente com fluidos de viscosidade elevada
• Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada
• Vazão contínua
• Na maior parte dos casos vazão intermitente
• Energia cinética surge no processo de transformação de energia
• Energia cinética não tem papel significativo no processo de transformação de energia
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais complexas que as máquinas de deslocamento.
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais simples que as máquinas de fluxo.
1.3 Ventiladores e Compressores
Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso.
Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-7
1.4 Turbinas
As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas (água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixo vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, centrífugos ou helicocentrífugos.
.
(a)
( b )
( c )
Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b).
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica
por meio de um bocal.
• São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. • A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. • A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. • O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. • As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que
permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos.
Figura 1.4 Turbina hidráulica Pelton
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-8
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) • Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. • A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um
conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. • A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio
da turbina. • Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume
do que as turbinas de impulsão. • As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e
grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. • As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de
variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos.
Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan
• Nas turbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de
fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m.
Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: Turbinas radial (Centrífugas) Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz).
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-9
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O
escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar comprimido. São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas.
1.5 Bombas Hidráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas.
Rotoraberto
semi-abertofechado
Aspiração simplesAspiração dupla
Radiais(centrífugas)
Pásfixas
variáveis
Rotoraberto
fechado
Axias e Mistas
Turbobombas
Pistão Diafragma
Alternativas
Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso
Rotativas
Bombas Volumétricas
Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicas
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-10
1.6 Bombas Volumétricas
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo
Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros.
1.6.2 Bombas Rotativas
Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas não apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de 3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes, argamassas e outros.
( a ) Bomba de Engrenagem A Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes.
Figura 1.8 Bomba de Engrenagem
( b ) Bombas de Lóbulos As bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque.
Figura 1.9 Bombas de Lóbulos
( c ) Bombas de Palhetas As bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocam-se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos.
Figura 1.10 Bombas de Palhetas
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
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1.7 Turbobombas
Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em suspensão.
Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas
Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração
Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial
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1.7.1 Bombas Centrífugas
As bombas centrifugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam capacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia cinética em energia de pressão.
Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas
Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga
As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até de 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para trabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar com temperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para líquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos com temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa) emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bomba centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, e SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo.
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo
PUCRS – FENG - 2010 1-13
Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechados têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha.
Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas
1.7.2 Bombas Axiais
Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30 mca.
Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axial
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
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TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass
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2-2
Teoria de Bombas Centrífugas
SUMÁRIO
2.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................................................... 3 2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4
2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA......................................................................................................... 7 2.4 EQUAÇÃO DE EULER.............................................................................................................................. 7 2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA.............................................................. 14 2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS...................................................................................................... 19 2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q)........................................................... 22 RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25
Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26
2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27
2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES................................................... 28 Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 33
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-3
2.1 Introdução
As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida do rotor ao fluido.
Rotor axial
Rotor helico centrífugo
Rotor centrífugo
(a) Tipos de rotores de turbomáquinas
(b) Bomba centrífuga
( c ) Rotor de bomba centrífuga
Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo.
Sistemas Fluidomecânicos
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2-4
2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada por:
∫ ×+∫ ×=+×∫+× ∀∀scvceixos AdVVrdVr
tTrFr dB
vc
rrrrrrrrrrr
ρρ∂∂
Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo o elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade angular constante (ω). 2.2.1 Simplificações (1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0 (2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria) (3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z) (4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina. (5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2). (6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios
Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle.
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
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Com as simplificações: 0 (2) 0 (1) 0 (3)
∫ ×+∫ ∀×=+×∫+× ∀scvceixos AdVVrdVr
tTrFr dB
vc
rrrrrrrrrrr
ρρ∂∂
∫ ×=sceixo AdVVrT
rrrrrρ
No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será
zeixo TT =r
o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma:
∫ ×=sceixo AdVVrT
z)()(rrrr ρ
O fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme 1Vr
e sai na posição
radial r2 com velocidade absoluta 2Vr
. O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y
como jviuV ˆˆ +=r
, onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser
dado como nVtVV nt ˆˆ +=r
onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na
direção normal ao raio.
Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle
Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2):
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=2
22222
1
11111
Az
Az
sc
z AdVVxrAdVVxrAdVVxrrrrrrrrrrrrr ρρρ
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2-6
As integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes considerações: • O produto vetorial ( )zVxr
rr é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da
integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor.
( ) ( ) tyxz rVkurvrVr =−=× ˆrr
• Da equação da conservação da massa sabemos que:
mAdVA
&rr
±=∫ ρ
onde fluxo de massa (m& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o fluido esta entrando v.c. Desta forma.
( ) mVrAdVVxr t
Az
&rrrr
11
1
11211 −=∫ ρ ( ) mVrAdVVxr t
Az
&rrrr
22
2
22222 +=∫ ρ
Com as considerações acima obtemos:
( ) ( ) mVrmVrAdVVxrAdVVxr tt
Az
Az
&&rrrrrrrr
2211
2
22222
1
11111 +−=+ ∫∫ ρρ
Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente:
( )mVrVrT tteixo &1122 −=
Também sabemos que o fluxo de massa é dada por Qm ρ=& , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como:
( ) ( ) QVrVrmVrVrT tttteixo ρ11221122 −=−= &
Unidades (torque): ( ) ( )kg
sm
m
s
kgm
sm N m Joule
=
= =2 .
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
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2.3 Potência e Energia Específica
( )mVrVrTW tteixo &&1122 −== ωω
Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: rU ω= ou também 60
DnU
π=
U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) ω Velocidade angular do rotor (rad/s) D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). n Rotação do rotor (rpm) mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que:
( )mVUVUW tt &&1122 −=
Unidades (potência): ( )kg
s
m
s
m
s
kgm
s
m
sN
m
s
J
sWatts
=
=
= =2
2.4 Equação de Euler
Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como:
∞∞ = tt gQHW ρ
Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de coluna de fluido.
Unidades (potência): ( ) ( )kg
m
m
s
m
sm
kgm
s
m
sN
m
s
J
sWatts3 2
3
2
=
=
= =
Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina conhecida como altura de carga teórica:
( )1122
1tt
tt VUVU
ggm
WH −== ∞
∞&
&
Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação é dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido.
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2-8
2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas
Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C.
Desta forma o vetor da velocidade absoluta 1Vr
é dada como Cr
, a componente tangencial da velocidade
absoluta ( tV ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial nCtCC mu ˆˆ +=r
.
Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por:
( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto operacional para a qual foi projetada. Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: • Número Infinito de álabes (pás, palhetas). • Espessura das pás desprezível. • Simetria central do escoamento. • Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. • Escoamento em regime permanente. • Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. • Efeitos de atrito desprezíveis. Da mesma forma o Torque no eixo é dado por:
( )mCrCrT uueixo &1122 −=
e a Potência Teórica como:
( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω
Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido.
( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor. Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como
( )2211
1uut CUCU
gH −=∞
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2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga
A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entrada e saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real.
Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor
No impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C, ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor com uma velocidade angular ω=U/r , onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local.
UWCrrr
+=
Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de velocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice “2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada componente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu). O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica do rotor (-U). É denominado ângulo da pá.
Pás
Corpo
Pás guias
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2-10
Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga
Na Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana da velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à velocidade periférica (U).
Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor.
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A componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades D Diâmetro do rotor b Largura do canal C Velocidade absoluta do fluido Cu Componente de C na direção da velocidade tangencial U Cm Componente meridional de C (na direção radial) W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor Wu Componente de W na direção da velocidade tangencial U. U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe α ângulo entre (C,U) β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: A D b1 1 1= π A D b2 2 2= π Pela equação da conservação da massa temos que:
&m D b C D b Cm m= =ρ π ρ π1 1 1 1 2 2 2 2 Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por:
Q D b C D b Cm m= =π π1 1 1 2 2 2 Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor.
UD n
11
60= π
UD n
22
60= π
Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás.
Tabela 2.1 Resumo de Equações Básicas
Termo Equação Unidades Altura teórica ( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
m
Torque teórico ( )mCrCrT uueixo &1122 −=
Joule
Potência teórica ( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω
Watt
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2-12
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como mostra a Fig. 2.7 (b) Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ângulo formado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0. Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada radial. Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento angular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler fica simplificada dependendo das condições de saída do rotor.
Equação de Euler para entrada ideal (entrada radial ou sem pré-rotação)
22
1ut CU
gH =∞
(a ) Polígono com entrada radial.
(b) Bomba com indutor
Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga
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2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas
Pode-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total ou altura de carga teórica:
( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
Do polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como:
222um CCC −=
ou também como:
( )222
22
222
2
uu
u
um
CUCUW
CUW
WWC
−+−=
−−=
−=
Igualando os termos:
Figura 2.8 Polígono e velocidades na entrada
W U UC C C C
UC C U W
u u u
u
2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
− + − = −
= + −( )
Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém:
( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
)(2
1)(
2
1 21
21
21
22
22
22 WUCWUCH oot −+−−+=
{ } { } { }3 2 1
222
22
21
21
22
21
22
++
−+
−+
−=∞ g
WW
g
UU
g
CCH t
(1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da velocidade absoluta. (2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimento circular em torno do eixo. (3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal divergente (difusor)do rotor. Representa a variação de pressão estática dentro do rotor.
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-14
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia
Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor:
2
222
1
211
22z
g
u
g
phHz
g
u
g
pLA ++=−+++
ρρ
HA Energia adicionada ao fluido pela bomba.
hL Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina.
Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saída do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0):
2
222
1
211
22z
g
C
g
pHz
g
C
g
pt ++=+++ ∞ ρρ
explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba:
( )
−
+
−+−
=∞ g
CCzz
g
ppH t 2
21
22
1212
ρ
Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de energia cinética:
cpt HHH +=∞
Onde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética. Por comparação da Eq. de Euler
−
+−
+
−
=∞ g
WW
g
UU
g
CCH t 222
22
21
21
22
21
22
−
=g
CCH c 2
21
22
( )1212
22
21
21
22
22zz
g
pp
g
WW
g
UUH p −+−=
−+−=
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-15
2.9 Grau de Reação
A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação.
∞
=t
p
H
HG
G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido. O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no processo de transferência de energia:
Ângulo da pá na saída Grau de reação β2 < 90º G > ½ β2 = 90º G = ½
β2 > 90º G < ½
O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. Turbomáquinas de Reação:
Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. Representa o caso geral das bombas. Turbomáquinas de Ação: Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton.
Sistemas Fluidomecânicos
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2-16
2.10 Influência da Curvatura das Pás A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do ângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações: • Escoamento com entrada radial: α1=900 • Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9. As relações obtidas com tais simplificações são:
ctp
uc
ut
cPt
HHH
g
CH
CUg
H
HHH
−=
=
=
+=
∞
∞
∞
2
1
22
22
Obs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc . Htoo: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que
atravessa uma bomba ideal.
Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão.
Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética.
Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico.
No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relação ao sentido de rotação do rotor.
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-17
Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga.
(1) Pás voltadas para trás: Caso em que β2 < 900 Situação limite Cu2=0.
(2) Pás radiais na saída: Caso em que β2=900 Desta forma: Cu2=U2.
(3) Pás voltadas para frente: Caso em que β2 > 900 Situação limite: Cu2=2U2
Caso 1 - Pás Voltadas para Trás
Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidade absoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900.
0
02
01
22
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
uc
ut
cPt
HHH
g
CH
CUg
H
HHH
Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900)
Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula.
• Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior. Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β2 < 900 para as quais α2=900 já que o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”.
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2-18
Caso 2 - Pás Radiais na Saída Quando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso:
g
UHHH
g
U
g
CH
g
UCU
gH
HHH
ctp
uc
ut
cPt
2
22
1
22
22
22
22
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900)
Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 torna-se a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2).
• Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de energia cinética.
Caso 3 - Pás Voltadas para Frente Escolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2.
0
22
21
22
22
22
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
uc
ut
cPt
HHH
g
U
g
CH
g
UCU
gH
HHH
Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900)
Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-19
Resumo Gráfico dos Resultados. Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos: (1) Pás voltadas para Trás: ββββ2 < 900 [H p > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. (2) Pás Radiais na Saída: ββββ2= 900 [H p= Hc] : A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia cinética. (3) Pás voltadas para Frente. ββββ2 > 900 [H c > HP] : A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética.
Figura 2.14 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás.
Recomendações para Ângulo das Pás
• As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética.
• Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga.
• Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas: Bombas Centrífugas Faixa de Operação: 15 400
20≤ ≤β
Normalmente: 20 2502
0≤ ≤β
Ventiladores Normalmente: 40 450
20≤ ≤β
Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 15 5001
0≤ ≤β Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas centrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30”
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-20
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)
Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equação de Euler é dada de maneira simplificada:
Hg
U Ct u∞ = 12 2
do polígono de velocidades: C U Wu u2 2 2= −
WC
um
22
2
=tanβ
Substituindo Wu2 em Cu2:
C UC
um
2 22
2
= −tanβ
Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotor
Onde:
CQ
D bm22 2
=π
Substituindo Cu2 e U2 em Htoo
2222
2 tan
1U
bDg
QU
gH t
−=∞ βπ
QbDg
U
g
UH t
222
222
tanβπ−=∞
A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2 também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2.
QkkH t 21 −=∞
Onde:
g
Uk
22
1 = 222
21 tanβπ bDg
Uk =
Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente.
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-21
Rotor com pás radiais na saída β2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: 1kH t =∞ Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H
no ponto gU /22 .
Rotor com pás inclinadas para trás β2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: QkkH t 21 −=∞ Htoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando
pela ordenada no ponto gU /22 .
Rotor com pás inclinadas para frente β2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: QkkH t 21 +=∞ Htoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza
na origem o ponto gU /22 .
Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação.
• Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de
pressão. • Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. • O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios
em bancadas de laboratório. • A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com
bombas centrífugas com pás voltadas para frente.
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2-22
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q)
Considerando a potência teórica:
∞= tt gQHW ρ&
onde a altura teórica é dada por:
QbDg
U
g
UH t
222
222
tanβπ−=∞
A qual como foi visto pode ser simplificada
QkkH t 21 −=∞
Introduzida esta última expressão da altura na equação de potência se tem:
Figura 2.17 Curva teórica da potência
221 QgkQgkWt ρρ −=&
desta forma considerando novas constantes:
2*2
*1 QkQkWt −=&
Considerando Pás com Saída Radial • Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞ • Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por:
QkQkQkWt*1
2*2
*1 =−=&
Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16). Considerando Pás Voltadas para Trás • Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+)
2*2
*1 QkQkWt −=&
Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e sempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17). Considerando Pás Voltadas para Frente • Com β2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-)
2*2
*1 QkQkWt −=&
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-23
Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta na origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17). Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba.
Resumo das curvas H-Q e P-Q
Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás
Tabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência. Tipo de pás Altura teórica Potência teórica Pás com saída radial (β2= 900)
1kH t =∞ QkWt*1=&
Pás voltadas para trás (β2 < 900)
QkkH t 21 −=∞ 2*2
*1 QkQkWt −=&
Pás voltadas para frente (β2 > 900)
QkkH t 21 +=∞ 2*2
*1 QkQkWt +=&
� A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que
rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência mostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido.
� Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás.
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2-24
2.13 Representação da Curva Característistica Teórica
Podemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. de Euler:
( )1122
1uut CUCU
gH −=∞
Tal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão:
−−
−=∞ QbDg
U
g
UQ
bDg
U
g
UH t )tan()tan( 111
121
222
222
βπβπ
Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação:
{ } { }QkkQkkH t 4321 −−−=∞
Agrupando os termos:
{ } { }QkkkkH t 4231 −−−=∞
De modo compacto.
QkkH BAt −=∞
A Eq. mostra que a curva característica pode ser representada pela Eq. de uma reta que na origem, isto e para vazão nula atinge uma altura teórica igual a kA.
g
UUkA
21
22 −=
O termos da constante kB = (k2 – k4) são determinados pela relações.
)tan( 222
22 βπ bDg
Uk =
)tan( 111
14 βπ bDg
UK =
Considerando numero finito de pás a Eq. que representa a curva e dada por:
pfl
tt K
HH ∞
≠ = pfl
BAt K
QkkH
−=≠
No caso de entrada radial, Cu1=0 se obtém a expressão já conhecida:
QkkH t 21 −=∞
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-25
2.14 Importância do Número Finito de Pás
Na teoria utilizada (Eq. de Euler) a consideração de número infinito de pás permite supor que não existe variação da velocidade e pressão das partículas de fluido que escoam na fase frontal e dorsal das pás. Desta forma o fluido sempre escoa tangencialmente acompanhando a curvatura da superfície das pás como mostrado na Fig.2.19.
Figura 2.19 Escoamento num rotor
Escoamento com Número Finito de Pás
• Numa turbomáquina real não acontece efetivamente tal comportamento. • O número de pás afeta a natureza das velocidades e da pressão no rotor, modificam-se os polígonos de
velocidades e desta forma a energia cedida pelo rotor ao fluido (no caso de bombas e ventiladores) ou a energia cedida pelo fluido a rotor (no caso de turbinas).
Num rotor de bomba centrífuga podemos supor que a corrente de fluido é composta por: • Uma corrente de fluido seguindo as pás. O fluido entra e tende a sair do canal formado pelas pás
(Fig.2.20a). • Uma corrente de circulação. Originada pela diferença de velocidades e pressão ao girar o rotor
(Fig.2.20b). Se considerarmos o espaço entre pás como um canal fechado o fluido tenderia a girar entre as pás quando o rotor começa a girar.
a)escoamento sem rotação b) Escoamento com rotação c) resultado dos escoamentos
Figura 2.20 Escoamento num rotor real.
• A composição das correntes especificadas acima gera um escoamento com a distribuição de velocidades
mostrada na Fig.2.20c. Utilizando o teorema de Bernoulli, verifica-se que a distribuição de pressão será maior onde a distribuição de velocidades é menor e vice-versa. Desta forma se obtém uma distribuição de pressão tal como mostrado na Fig.2.21.
Figura 2.21 Distribuição de pressões no rotor.
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-26
Desvio da Velocidade Relativa O número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa (W’2 ) reduzindo o ângulo de saída da pá (β‘ 2) tal como observado na Fig. 2.22.
Figura 2.22 Desvio da velocidade relativa e do ângulo da pá pelo número finito de pás
Um exemplo do polígono de velocidades para número infinito e finito de pás é representado na Fig.2.23.
Figura 2.23 Polígono de velocidades para número finito e infinito de pás
Dependência do Número de Pás
Em geral o número de pás depende de: Velocidade de rotação, Altura de elevação, Tipo de fluido (partículas em suspensão).
Número pequeno de pás • Reduz as superfícies de atrito. • O fluido tem dificuldade para ser conduzido. • Canais largos implicam numa maior perda de
carga diminuindo a altura manométrica. • Redução do rendimento da bomba.
Grande número de pás • Diminui a perda de energia nas zonas em que o
fluido abandona o rotor. • Aumenta as superfícies de atrito. • Reduz a energia na entrada da bomba.
Rotores de menor porte e de alta velocidade apresentam maiores perdas de carga evitando-se rotores pequenos com muitas pás.
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
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2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás Como se observa na Fig.2.23 o número finito de pás reduz a componente periférica da velocidade absoluta e desta forma diminuí também a altura teórica que a bomba pode transferir ao fluido. O fator de deslizamento µ relaciona estas velocidades:
∞
=2
#2
U
U
C
Cµ ou também ∞
=H
H #µ
Tal fator depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2
o). Na literatura vários métodos são fornecidos para avaliar µ, entre eles o representado pelo seu inverso (1/µ) e denominado coeficiente de Pfleiderer (Kpfl ).
Fator de Correção do número finito de pás A altura teórica de elevação para número infinito de pás (Htoo) pode ser corrigida para obter a altura teórica com número finito de pás Ht#
pfltt KHH #=∞
( )21
22
2221RR
R
zK pfl −
+= ψ no caso em que R2=2R1
zK pfl
ψ3
81+=
R1: raio do rotor na entrada R2 : raio do rotor na saída. ψ: fator de correção de Pfleiderer (Tab.2.3), depende da forma do rotor e do ângulo da pá na saída (β2); e z representa o número de pás. Como se observa Kpfl é sempre maior que 1, já que em relação à energia cedida pelo rotor ao fluido, o valor teórico com número infinito de pás é sempre maior que o valor da energia cedida ao fluido com rotor de número finito de pás: H Ht t∞ > # Tabela 2.3 Fator de correção de Pfleiderer ( ψψψψ ) em função do ângulo da pá (ββββ2) Ângulo da pá
200 230
250 300 350 400
ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94 ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04 Obs. Na atualidade a maioria das bombas possuem uma carcaça ou corpo sem pás guias. Expressão de Pfleiderer para determinar o número de pás
z kD D
D Dsinz= +
−
+
2 1
2 1
1 2
2
β β
onde kz é o coeficiente empírico dependendo da rugosidade, espaço entre as pás, . • Para rotores fundidos kz=6,5 • Para rotores de chapa fina conformada kz=8,0 Como aproximação para o número de pás: • Rotores de médias e grandes dimensões z= (6 a 14) • Rotores de pequenas dimensões z= (4 a 6)
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-28
2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades
A nomenclatura: • [0]: Ponto da corrente situado imediatamente antes da entrada do canal de pás, fora da influência da
contração provocada pela espessura das pás. • [1] :Ponto imediatamente após a entrada do canal formado pelas pás. • [2]: Ponto imediatamente antes da saída do canal formado pelas pás. • [3]: Ponto da corrente de fluido situada imediatamente após a saída do canal formado pelas pás.
Análise na entrada do canal das pás
A corrente no ponto “1” imediatamente após a entrada tem uma velocidade absoluta C1 , que, devido à contração da seção provocado pela espessura S1 da pá, é maior que velocidade absoluta C3 antes de entrar no canal formado pelas pás.
Figura 2.24 Detalhe de rotor em corte e passagem do fluido na entrada do rotor.
Identificamos a área real de passagem do fluido pelas pás. Para isto com a figura mostrada acima distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t1) e pela projeção no arco (Su1) da espessura formada pelas pás (S1) na região de entrada.
z
Dt
SSu
11
1
11
sin
πβ
==
A componente meridiana da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás pode ser expressa como:
C Ct S
t
C
t
t S
m mu m
u
0 11 1
1
1
1
11
1 1
= − =
=−
ϕ
ϕ
Também podemos definir um fator de contração (Fc1) de tal forma que:
11
1
1
11
110
sin11
βπD
zS
t
SF
FCC
uc
cmm
−=−=
=
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Desta forma a vazão é dada por:
1111
011
)( mu
m
zCbStQ
zCbtQ
−=
=
O polígono de velocidades pode ser observado na figura abaixo.
Figura 2.25 Polígono de velocidades com influência do número finito de pás
Análise na saída do canal das pás:
A corrente no ponto “2” tem uma velocidade C2 que, devido à contração da seção provocado pela espessura S2 da pá é maior que a velocidade C3, mediada imediatamente após a saída do canal.
Figura 226 Detalhe da área de passagem do fluido na entrada do rotor.
Identificamos a real área de passagem do fluido pelas pás. Para isto, com a figura mostrada acima, distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t2) e pela projeção no arco (Su2) da espessura formada pelas pás (S2) na região de entrada.
z
Dt
SSu
22
2
22 sin
πβ
=
=
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2-30
A componente meridional da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás é dada como:
C Ct S
t
C
t
t S
m mu m
u
3 22 2
2
2
2
22
2 2
= − =
=−
ϕ
ϕ
Também podemos definir um fator de contração (FC1) de tal forma que:
22
2
2
22
223
sin11
βπD
zS
t
SF
FCC
uc
cmm
−=−=
=
O polígono de velocidades pode ser observado na Fig. 2.27.
Figura 2.27 Polígono de velocidades na saída.
Desta forma a vazão é dada por:
2222
322
)( mu
m
zCbStQ
zCbtQ
−=
=
Considerando o fator de contração, a vazão pode ser dada como:
2222
322
cm
m
FCbDQ
zCbtQ
π=
=
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2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO
Nome:___________________________________
Polígono de velocidades na entrada do Rotor
Polígono de velocidades na saída do Rotor
Q [m3/s] n [rpm] ω [rad/s] m& [kg/s]
ρ [kg/m3]
A1 [m2] D1 [m] R1 [m] b1 [m] α1 [º] β1 [º] U1 [m/s] C1 [m/s] W1 [m/s] Cu1 [m/s] Wu1 [m/s] Cm1 [m/s]
A2 [m2] D2 [m] R2 [m] b2 [m] α2 [º] β2 [º] U2 [m/s] C2 [m/s] W2 [m/s] Cu2 [m/s] Wu2 [m/s] Cm2 [m/s]
H t∞ [m] Teixo [Nm]
W& [W ou kW]
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-32
TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass
EExxeerrccíícciiooss RReessoollvviiddooss ee PPrrooppoossttooss
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-33
2.18 Exemplos Resolvidos
Exemplo – 2.1 Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3m3/s. O diâmetro do impelidor é de 250mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída. Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 1000rpm. Solução Dados: Q=0,3m3/s. D2=250mm b2=30mm n=1000rpm. – Entrada radial A água entra no impelidor com direção axial, portanto a componente tangencial da velocidade absoluta é nula e desta forma α1=900. Portanto temos a simplificação de que:
22
1ut CU
gH =∞
Na saída a pá é radial, portanto β2=900. Desta forma CU2=U2 tendo simplificada a equação da altura:
22
1U
gH t =∞
Determinamos velocidade tangencial do rotor na saída. smx
xxnDU /1,13
601000
1000250
602
2 === ππ
Desta forma a altura teórica de elevação é dada por: ( ) mH t 5,171,1381,9
1 2 ==∞
A potência pode então ser determinada:
kWxxx
gQHW tt 5,511000
5,173,081,91000 === ∞∞ ρ& em HP dividindo por 0,7457 se obtém P=69 HP.
Podemos determinar o torque exercido pela bomba: ( )1122 uueixo CrCrmT −= &
Neste problema Cu1=0 e Cu2=U2 e desta forma: ( )22UrmTeixo &=
o fluxo de massa é m=ρQ=1000x0,3=300kg/s. o raio do rotor na saída é R2=D2/2=125mm e velocidade tangencial do rotor na saída é U2=13,1m/s . Desta forma:
( ) NmxxUrmTeixo 25,4911,131000
12530022 =
== &
A potência do rotor pode ser então verificada como: eixot TW ω=∞&
Onde a velocidade angular é dada por: sradn
/72,10460
10002
60
2 === ππω
kWxTW eixot 5,5172,10425,491 ===∞ ω&
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-34
Exemplo – 2.2 (a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta
escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do rotor é de 250mm. A largura da pá na entrada é igual a 10mm e a largura da pá na saída é igual a 5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 200 e na saída igual a 230. Considere que a bomba gira com uma rotação de 1300 rpm
(b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão.
Solução Dados: n=1300rpm D1=50mm D2=250mm b1=10mm b2=5mm β1=200 β2=230 1. Polígono de velocidades na Entrada A entrada radial implica que ângulo α1=900
Velocidade periférica ou tangencial do rotor na entrada:
UD n x
m s11
60
0 05 1300
6034= = =π π ,. /
tanβ11
1
= C
U
Velocidade absoluta do fluido na entrada:
C U m s1 1 1034 20 1 24= = =tan . tan( ) , /β
Velocidade relativa do fluido na entrada
( ) ( )W C U m s1 12
12 2 2
1 24 3 4 3 62= + = + =, , , /
Do triângulo de velocidade temos que: Cm1=C1=1,24m/s:
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-35
2. Triângulo de velocidades na Saída Obs: para obter informação do segundo triângulo de velocidade podemos utilizar a equação da vazão: Q D b C D b Cm m= =π π1 1 1 2 2 2 Do polígono de velocidades: Cm1=C1=1,24m/s:
Q D b C m sm= = =π π1 1 130 05 0 01 1 24 0 00195( , )( , )( , ) , / (117 litros/min.)
Componente meridiana da velocidade absoluta na saída:
CQ
D bm sm2
2 2
0 00195
0 25 0 0050 496= = =
π π,
( , ) , ), /
Componente periférica da velocidade relativa:
tanβ 22
2
= C
Wm
u
WC
m sum
22
20
0 497
23117= = =
tan
,
tan( ), /
β
Velocidade relativa na saída
( ) ( )W C Wu m sm2 22
22 2 2
0 497 117 1 271= + = + =, , , /
Velocidade periférica na saída:
UD n
m s22
60
0 25 1300
6017 017= = =π π ( , )( )
, /
Componente periférica da velocidade absoluta C U W m su u2 2 2 17 017 117 15 85= − = − =, , , / Velocidade absoluta:
C C C m su m2 22
22 2 215 85 0 497 15 86= + = + =( , ) ( , ) , /
tan,
,,α α2
2
22
0 497
15 851 79= = = =C
Cm
u
>
Cm2=0,497m/s valor dado β2=230 Wu2=1,17m/s W2=1,271m/s U2=17,017m/s Cu2=15,85m/s C2=15,86m/s α2=1,79
Obs: Continuar o problema determinando a Altura teórica de elevação, Potência e Torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. (Htoo=27,5m) (T=3,85Nm) (Wt00=524W) (Hp=14,76m; Hc=12,74).
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2-36
Exemplo – 2.3 Um rotor de bomba centrifuga de 200mm de diâmetro gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a 220 e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. Solução Dados: D2=200mm n=3500rpm β2=220 Cm2=3,6m/s Tratando-se de uma bomba com entrada radial:
g
CUH u
t22=∞
s
mxxnDU 65,36
60
35002,0
602
2 === ππ
smC
smgg
CW
WUC
U
mu
uU
/74,2791,865,36
/91,8)22(tan
6,3
tan
2
2
22
222
=−=
===
−=
β
mx
g
CUH u
t 64,10381,9
74,2765,3622 ===∞
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
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Exemplo 2.4: Mostre aplicando a Eq. de energia que a variação de pressão num rotor de bomba centrífuga é dado por:
( )222
222
21
12 cos2
1 βρ
ecCUCgg
ppmm −+=
−
Solução Aplicando a Eq. da Energia entre os pontos 1 e 2, considerados estes com na entrada e na saída da bomba:
2
222
1
211
22z
g
C
g
pHz
g
C
g
pA ++=+++
ρρ
Considerados os pontos 1 e 2 na mesma elevaçã0 (z1=z2) e uma bomba com entrada radial. g
CUH u
t22=∞
g
CU
g
C
g
C
g
pp u2222
2112
22+−=−
ρ
Para entrada é radial: C1=Cm1
2
222 tanβ
mu
CUC −=
22
22
22 um CCC +=
( )
222222
222
22
2
22
222
222
22
2
2
2
2
22
22
22
2
2
22
22
22
cot2cos
tan2cot1
tantan2
tan
βββ
β
βββ
mm
mm
mmm
mm
CUUecCC
CUUCC
CCUUC
CUCC
−+=
−++=
+−+=
−+=
Substituindo esta expressão de C2 e C1 na expressão simplificada de Bernoulli, se obtém:
( ) ( )2222222222
222
2112 cot
1cot2cos
2
1
2βββ
ρ mmmm CUU
gCUUecC
gg
C
g
pp −+−+−=−
( ) ( )
g
ecC
g
U
g
C
g
pp
CUUg
CUUecCgg
C
g
pp
mm
mmmm
2
cos
22
2
2cot
1cot2cos
2
1
2
222
222
2112
22222222
222
222
2112
βρ
βββρ
−+=−
−+−+−=−
com o qual finalmente se obtém:
( )222
222
21
12 cos2
1 βρ
ecCUCgg
ppmm −+=
−
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2-38
Exemplo 2.5: Uma bomba centrífuga tem as seguintes características. Vazão 0,005m3/s. Diâmetro do rotor na entrada 100mm. Diâmetro do rotor na saída 200mm; rotação 1500rpm. A altura manometrica é igual a 22m. A largura da pá na entrada e saída é igual a 10mm e 5mm respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdas determine a energia de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas para trás com ângulo na saída igual a 300.
Dados: Q=0,005m3/s D1=100 D2=200 n =1500rpm b1=10m e b2=5mm Hman=20m. β2=300. Solução Podemos utilizar a equação deduzida anteriormente:
( )222
222
21
12 cos2
1 βρ
ecCUCgg
ppmm −+=
−
smxnD
U /85,760
15001,0
601
1 === ππ
smxnD
U /7,1560
15002,0
602
2 === ππ
smxxbD
QCm /59,1
05,02,0
005,0
222 ===
ππ
smxxbD
QCm /59,1
01,01,0
005,0
111 ===
ππ
Substituindo os valores encontrados:
( ) mecgg
pp36,1230cos59,17,1559,1
2
1 0222212 =−+=−
ρ
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PUCRS – FENG - 2010 2-39
Exemplo 2.6: Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada 150mm, largura da pá na entrada 75mm ângulo da pá na entrada 200. Diâmetro do rotor na saída 300mm, largura da pá na saída 50mm ângulo da pá na saída 250. A bomba tem uma rotação de 1450rpm. Determinar:
(a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva potência considerando que bomba trabalha com água com massa especifica igual a 1000kg/m3.
(b) Considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás e sua respectiva potência.
Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α1=900. Solução
s
mxxnDU 78,22
60
14503,0
602
2 === ππ
( )
QH
Qxxx
H
QbDg
U
g
UH
t
t
t
68,1059,52
25tan05,03,081,9
78,22
81,9
78,22
tan
0
2
222
222
−=
−=
−=
∞
∞
∞
π
βπ
Vazão:
s
mxxnDU 39,11
60
145015,0
601
1 === ππ
smxucm /15,420tan39,11tan 0111 === β
smxxxcbDQ m /147,015,4075,015,0 3111 === ππ
Altura
mxH
QH
t
t
4,37147,068,1059,52
]68,1059,52
=−=−=
∞
∞
Potência Teórica
kWxxxgHQWt 93,53147,04,3781,91000 ===∞ ρ&
Altura teórica para número finito de pás
no caso em que R2=2R1 34,17
9,0
3
81 =+= xK pfl
Para o ângulo de 25 temos que Ht00=37,4m
mK
HH
pfl
tt 91,27
34,1
4,37# === ∞
kWxxxQgHW tt 234,40147,091,2781,91000## === ρ&
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
2-40
Exemplo 2.7: Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma vazão de 2,0m3/min e 1200rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 250. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5m/s. a)Determine a altura e potência teórica da bomba nas condições dadas. b)Determine as equações características de H=f(Q) e P=f(Q). Com as equações características grafique as curvas H-Q e P-Q desde uma vazão nula até uma vazão máxima de 4,0m3/min. Utilize água com massa específica igual a 1000kg/m3. Htoo=? Pot=? Q=2,0m3/min n = 1200rpm b2=20mm Cm2=2,5m/s β2=250
(a ) Altura teórica e potência teórica para número infinito de pás com entrada radial é dada por:
22
1ut CU
gH =∞
mmmCb
QD
m
212212,05,2
1000
2060
20
222 ==
==
ππ sm
x
xxnDU /32,13
601000
1200212
602
2 === ππ
smC
smC
W
WUC
u
mu
Uu
/96,736,532,13
/36,5)25tan(
5,2
)tan(
2
2
22
222
=−=
===
−=
β
mxCUg
H ut 80,1096,732,1381,9
1122 ===∞
kW
xxx
gQHW tt 5,31000
60
0,28,1081,91000
=
== ∞∞ ρ&
(b) Equação da altura teórica e da potência teórica para número finito de pás
H K K Qt ∞ = −1 2 com KU
g122
= e KU
g D b22
2 2 2
1=π βtan
( ) mgg
UK 10,1832,13
1 222
1 === 6,21825tan02,0212,081,9
32,13
tan 0222
22 ===
xxxxbDg
UK
πβπ
H K K Qt ∞ = −1 2
QH t 6,2181,18 −=∞ com vazão em m3/s para obter altura em metros.
56,1771000
81,91001,181
*1 === xx
gkk ρ (Dividido por 1000 para trabalhar em kW)
21451000
81,910006,2182
*2 === xx
gkk ρ (Dividido por 1000 para trabalhar em kW)
2*
2*1 QKQKWt −=∞
&
2214556,177 QQWt −=∞
& Com vazão em m3/s para obter kW.
Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG - 2010 2-41
Exemplo 2.8: Uma bomba trabalha com uma altura manometrica igual a 22m e uma vazão igual a 20litros/s. O impelidor gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é de 10mm. O ângulo da pá na saída é de 300. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. O rendimento volumétrico igual a 97% e o rendimento mecânico é de 95%. Determinar: a) O rendimento global b) a potência da bomba. c) a rotação especifica e tipo de bomba. Considerando entrada radial: (e rotor com pás sem guias)
22
1CuU
gH t =∞ 222 WuUCu −= Wu2 é função de Cm2
smxxnD
U /2,2160
150027,0
602
2 === ππ
Fator ou coeficiente de contração
22
2
2
22 sin
11βπD
zS
t
SF u
c −=−= portanto : 95,0)30(27,0
7003,012 =−=
sinx
xFc π
Da expressão da vazão pode ser obtido Cm2
2222 cm FCbDQ π= smxxxFbD
QC
cm /48,2
95,001,027,0
02,0
2222 ===
ππ
Pela relação do polígono de velocidades:
smCm
WuW
Cm
u
/3,4)30tan(
48,2
tantan
2
22
2
22 ===⇒=
ββ
smWuUCu /9,163,42,21222 =−=−=
mcaxg
CuUg
H t 52,369,162,2111
22 ===∞
como R2=2R1 e considerando pás sem guias da Tab.2.3 para β2=300 obtemos ψ=0,95.
36,17
95,0
3
81
3
81 =+=+=
zK pfl
ψ
pfltt KHH #=∞ Implica que Ht#=36.52/1,36=26,82mca.
%8282,26
22
#
===t
manh H
Hη
O rendimento global é dado como: %76755,082,097,095,0 ≈=== xxhvmG ηηηη
kWxxxQgH
WG
manac 72,5
755,0
02,02281,91000 ===η
ρ&
rpmH
Qnn
maas 21
22
02,01500
4/34/3=== Conforme Cap.4 Tab.4.2 Corresponde a uma bomba tipo radial.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-1
CCuurrvvaass CCaarraacctteerrííssttiiccaass ee AAssssoocciiaaççããoo ddee BBoommbbaass eemm SSeerriiee ee eemm PPaarraalleelloo
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-2
Curvas Características e Associação de
Bombas Série e em Paralelo
SUMÁRIO
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos........................................................................................................ 3 3.2 Rendimentos ....................................................................................................................................... 3
Rendimento Mecânico................................................................................................................................ 3 Rendimento Hidráulico ............................................................................................................................... 3 Rendimento Volumétrico ............................................................................................................................ 4 Rendimento Total ou Global....................................................................................................................... 4 Potência de acionamento........................................................................................................................... 5
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 5 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 6 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas................................................................................. 6 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) ..................................................................... 7 3.7 Ponto de Operação das Bombas........................................................................................................ 8 3.8 Outras Representações de Curvas Características............................................................................ 9 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características.......................................................................... 10 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores.................................................................................. 12 3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga................................................. 13 3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro .......................................................................... 15 3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff .................................................................. 16 3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. ................................................. 17 3.11 Associação de Bombas em Série ..................................................................................................... 19 3.11.1 Curva característica de bombas em serie..................................................................................... 20 3.11.2 Rendimento de duas bombas em série......................................................................................... 21 3.12 Associação de Bombas em Paralelo ................................................................................................ 22 3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: ............................................................................. 23 3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo .................................................................................. 24 3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo.................................................................... 25 3.14 Exemplo - Conexão Paralelo ............................................................................................................ 26 3.15 Exemplo - Conexão Série ................................................................................................................. 27 3.16 Outros Exemplos............................................................................................................................... 28 3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta ......................................................................................... 29 3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida ....................................................................................... 30 3.19 Problemas Propostos........................................................................................................................ 34
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-3
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos
Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se observa que existem diversas formas de dissipação de energia, desde a energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia final absorvida pelo fluido (Fig.3.1). O motor apresenta uma energia motriz (Hm) que deve ser transferida ao rotor. Como o sistema mecânico de acoplamento e transmissão não é perfeito existirá uma dissipação mecânica de energia quantificada como perda mecânica (∆hm). A energia efetivamente absorvida pelo rotor é denominada energia de elevação (Ht#) sendo relacionada com a energia motriz pelo rendimento mecânico (ηm). Devido à dissipação de energia no interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia do rotor (Ht#) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas quantificadas como perdas hidráulicas (∆hh). A energia transferida do rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto, parte da vazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por má vedação. Isto se quantifica considerando um rendimento volumétrico (ηv). A energia realmente absorvida pelo fluido é denominada altura manométrica (Hman), reconhecida como a energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O rendimento global (ηG) quantifica a relação entre energia final (Hman) (absorvida pelo fluido) e a energia motriz para acionamento da bomba (Hm).
Figura 3.1 Relações entre rendimentos e alturas de uma bomba.
3.2 Rendimentos
Rendimento Mecânico Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona a potência de elevação e a potência motriz. Esta última conhecida como potência de acionamento do motor da bomba.
ηmt
m
H
H= # ( 1 )
valores típicos de 92 a 95% encontram-se nas bombas modernas, sendo que os valores maiores correspondem às bombas de maiores dimensões.
Rendimento Hidráulico A altura teórica de elevação (Ht#) não é aproveitada totalmente na elevação do fluido (Hman). Uma parte é perdida para vencer as resistências ou perdas hidráulicas denominadas ∆hh .
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-4
hmant hHH ∆+=# ( 2 )
O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura manométrica (Hman), que representa a energia absorvida pelo fluido, e a altura teórica de elevação para número finito de pás (Ht#), que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido:
ηhman
t
H
H=
#
desta forma pfltoo
manh k
H
H=η ( 3 )
Valores estimados do Rendimento Hidráulico. 50 a 60%: Bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação com caixa tipo caracol. 70 a 85% : bombas com rotor e coletor bem projetados, fundição e usinagem bem feitas. 85% a 95% : Para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e bem fabricadas. Pode ser utilizada a seguinte expressão de Jekat considerando a vazão em m3/s.
25.0
071,01
Qh −=η ( 4 )
Obs. Em fase de projeto pode ser estimado entre 85% a 88%.
Rendimento Volumétrico Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na carcaça (q) e que pode escapar
por má vedação. O rendimento volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque (Q) e a vazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência na vedação (Q´=Q+q). ηv=Q/Q´. As bombas centrífugas podem ter um ηv na faixa de 85 a 99%.
Rendimento Total ou Global Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a energia necessária para
movimentar o rotor. Relaciona de forma equivalente a potência útil com a potência motriz.
m
manG H
H=η ( 5 )
Quando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado como:
hvmG ηηηη = Caso contrário fica como: hmG ηηη = ( 6 )
• Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%. • Nas bombas pequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação, pode cair até menos de 40%. • Uma estimativa razoável é considerar 60% em bombas pequenas e 75% em bombas medias. Rendimento Global (%) – O rendimento global depende da bomba sendo uma informação dada pelo fabricante. Pode-se utilizar como ordem de grandeza a seguinte expressão:
2282523253 10346,810028,310802,510514,11046,59367,080 HQxQHxHxHQxQHxHG−−−−− +−+−+−=η
(7 ) Onde: Q: vazão (m3/h ); H: altura manométrica (m) Validade: 20 < Q < 250 15 < H < 100
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-5
Potência de acionamento A potência requerida para o acionamento da bomba é dada pela expressão:
G
manac
QgHW
ηρ
=& ( 8 )
Nota1: A altura útil de elevação foi definida (no texto de Macintyre) como:
H HV V
gu man= + −32
02
2
se os diâmetros das tubulações de entrada D0 e de saída D3 na bomba são iguais, então podemos considerar que Hu=Hman.
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na curva característica de H-Q. Contudo estas curvas reais sofrem modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação da energia. As curvas reais de H-Q são diferentes devido aos seguintes efeitos: Número finito de pás A espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das velocidades à saída das pás, variando a componente meridiana da velocidade. Isto faz com que Hreal seja menor do que Ht00 . Desta forma, na origem o valor de Hreal, é menor que o termo U2/g iniciando as curvas numa ordenada inferior a U2/g. (Fig.3.2). 2. Dissipação de Energia Devido ao atrito do fluido no rotor por: • Imperfeita condução das veias de fluido • Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia de pressão. Choques: Mudanças bruscas de direção do escoamento na entrada e saída do fluido. Fugas: Do fluido nos interstícios, labirintos e espaços entre o rotor e o difusor e coletor.
Figura 3.2 Altura de elevação para diferentes tipos de pá com dissipação de energia.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-6
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) A Fig. 3.3 representa uma curva característica de H-Q de bomba centrífuga onde se mostram os diferentes efeitos provocados pela turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido a isto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real.
Figura 3.3 Curva característica de bomba centrífuga.
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas Representam o comportamento real das bombas mostrando o relacionamento de interdependência entre as
grandezas características (Fig. 3.4). Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas experimentalmente em laboratório. Os principais gráficos apresentados são: • Hman-Q : Variação da altura manométrica em função da vazão • η-Q: Variação do rendimento global em função da vazão • W-Q: Relação entre a potência requerida no acionamento e a vazão. • NPSH-Q Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida positiva de sucção) e a vazão. Obs: NPSH representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido. O fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na Fig.3.4.
Figura 3.4 Conjunto de curvas características apresentadas por fabricantes.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-7
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) • O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico abaixo (Fig.3.5), onde se observam
curvas reais dos diferentes tipos de pá estudados. • Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um certo volume, contudo, deve ser
lembrado que uma parte substancial desta altura total é devida à contribuição de energia cinética. • As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os diferentes tipos de rotores. Nos
rotores com pás voltadas para trás a potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da potência. Desta forma, um motor elétrico usado para mover tal bomba pode alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem perigo de trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto.
• Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para frente, nas quais a potência
aumenta continuamente devendo-se ter muito cuidado na escolha da potência do motor. • Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto de máxima potência será
perigoso já que acidentalmente pode-se exceder a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos que requeremos maior potência para o acionamento, danificando o motor.
Figura 3.5 Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás.
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3-8
3.7 Ponto de Operação das Bombas Tipo de Curva (H-Q) Ascendente. A Fig.3.6 mostra como varia a altura manométrica (Hman), a potência no eixo (Peixo) e o rendimento global de uma bomba que opera numa dada rotação em função da vazão (Q). Se observa que a curva de Hman aumenta quando a vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente. Bombas com curvas opostas a esta se denominam curvas de carga descendentes. Altura ou Carga de Shutoff Denomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (Q=0), e representa a carga de pressão com a válvula de descarga fechada. Como não há escoamento a eficiência é nula (η=0) e a potência fornecida à bomba é totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e deve ser evitada no funcionamento de bombas.
Figura 3.6 Ponto de operação de bomba centrífuga.
Ponto Ótimo de Funcionamento Observa-se que quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento da bomba aumenta, atinge um máximo e apresentando uma queda nas proximidades da descarga máxima. A Fig.3.6 mostra que o rendimento da bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazão denominada vazão de projeto, (QProjeto) , vazão de normal (Qnormal) ou vazão ótima (Qotima) Por isto é muito importante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição próxima do rendimento máximo.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-9
3.8 Outras Representações de Curvas Características
Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado corpo. Por isto os fabricantes de bombas fornecem as curvas do comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo) num único gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a bomba, dependendo do diâmetro, apresenta curvas H-Q diferentes. Também mostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de valores diferentes (curvas de iso-rendimento) dependendo da solicitação do sistema, isto é da H-Q requerido. Na Fig.3.7 também é representada a curva NPSH (altura positiva liquida de aspiração) e a curva de potência de acionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombas centrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação requerido num sistema de bombeamento está dentro da área demarcada significa que uma das bombas de este fabricantes pode suprir tal necessidade de operação.
Figura 3.7. Curva de bomba para diferentes diâmetros do rotor
Figura 3.8 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas
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3-10
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. A Fig. 3.9 mostra as curvas típicas de bombas centrifugas. Observa-se no gráfico superior que existem 05 curvas de altura manométrica (Head) versus vazão (flow rate) correspondente a 05 rotores (impeller) com diâmetros diferentes. Mostram-se também na mesma figura as curvas de iso–rendimento. Na figura inferior as respectivas 05 curvas de potência de acionamento para os 05 rotores. Na figura intermediaria mostra-se a curva de NPSH que representa a altura positiva liquida de aspiração condição para não ocorrer cavitação cujo detalhamento será abordado no Cap.8.
Figura 3.9 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-11
Utilizando os gráficos da Fig.3.9 podemos realizar algumas considerações. Se por exemplo um sistema deve operar com uma vazão de 150 m3/h e uma altura manométrica de 62m, então a o rotor com diâmetro de 219 mm satisfaz tal operação. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%. Observa-se que para esta vazão o rotor de diâmetro de 219mm requer uma potencia de acionamento de pouco mais de 32 kW. Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando água com massa especifica padrão (ρ=1000 kg/m3); desta forma podemos verificar a potência utilizando a expressão:
kWx
s
mmxx
s
mx
m
kgQgH
WG
manac 68,31
10008,03600150
6281,910003
23
===η
ρ&
Observamos que este valor é muito próximo ao especificado pelo fabricante. Tomemos outro
exemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m. Utilizando o mesmo gráfico da Fig.3.9 observa-se que o ponto de operação desejado se encontra entre as curvas dos rotores com diâmetro de 199mm e de 208mm. Observa-se que rotor de 199mm não consegue atender esta demanda já que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica requerida. No caso do rotor de 208mm este consegue atender com muita folga já que para esta vazão sua altura manométrica é de 50m. No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curva característica de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar alternativas de realizar corte nos rotores a fim de ajustar o ponto de operação desejado.
Existem fabricantes que apresentam esta informação em catálogos iterativo na internet nos quais o
usuário precisa fornecer os dados requeridos para o sistema (altura,vazão) sendo o resultado mostrado com gráficos que apresentam o ponto de operação com o respectivo rotor cortado para a demanda especifica. Por exemplo, desejamos que um sistema opere com uma vazão de 50m3/h e uma altura manométrica de 20m. O resultado do processo iterativo é mostrado na Fig.3.10 onde a bomba com corte do rotor apropriado deverá utilizar um rotor com diâmetro de 229mm motor, potência de 7,5HP, apresentando um rendimento de 67%. Desta forma o diâmetro de 229mm corresponde ao diâmetro de corte do rotor proporcionado pelo fabricante para ajustar-se ao ponto de operação desejado.
Figura 3.10 Exemplo de seleção de bomba centrífuga
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3-12
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores
Na indústria de bombas os fabricantes podem oferecer varias opções de diâmetros do rotor mantendo o mesmo corpo da bomba. Com este procedimento é possível maior versatilidade e opções para ajustar-se a demandas especificas. Como vantagens o procedimento permite economia no custo de fabricação, aumento da capacidade substituindo o rotor, padronizar a base da instalação. O procedimento do corte do rotor consiste em, a partir de um determinado diâmetro realizar a redução do diâmetro externo numa operação de usinagem mecânica, sem alterar outros componentes da bomba (Fig.3.11). O procedimento é mais fácil de realizar em bombas centrifugas radiais, onde as fases laterais do rotor são paralelas. Existe um compromisso entre o percentual de redução do rotor com o desempenho da bomba já que resulta numa queda no rendimento da bomba.
Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da máquina com o diâmetro original e o diâmetro após o corte do rotor. Quando o rotor possui um corte menor que 10% podem ser utilizadas as leis de semelhança para levantar as novas condições de funcionamento. Equações de Especificas para Corte do Rotor
2
1
212
=
D
DQQ H H
D
D2 12
1
2
=
3
1
212
=
D
DWW &&
1
212 Q
QDD =
1
212 H
HDD =
2
1
212
=
Q
QHH
Figura 3.11 Detalhe do diâmetro de corte e diâmetros do rotor
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
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3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga
Consideremos o exemplo em que temos uma curva de uma bomba com diâmetro de 208mm extraída da Fig.3.9 além de ter também a sua respectiva equação característica aproximada por:
20,0004Q0421,060 −+= QHman
Se deseja determinar o diâmetro que deve ser reduzido o rotor de 208mm para que possa operar junto
com o sistema com vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m, ponto também representado no gráfico da Fig.3.12.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
vazão (m3/h)
Altu
ra m
anom
etric
a (m
)
Diâmetro do rotor D=208mm
Figura 3.12 Curva de bomba com diâmetro do rotor de 208mm
Primeiro determinamos com os valores de Hman=44m e Q=200m3/h a equação de uma curva
parabólica que passa pela origem e por este ponto dada pela expressão: 2QkHc = . Neste caso a constante
k=44/(200)2= 0,0011. Desta forma a equação que representa a curva parabólica é dada por
2Q0011,0=cH
Igualando as duas equações determinamos o ponto de interseção da curva parabólica com a curva da
bomba. Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 20 grau do tipo 02 =−+ cbQaQ ,
com as constantes a=-0,0015 b=0,0421 c=60. Resolvendo a mesma se obtém Q0=214,5 m3/h. Com tal vazão se obtém a altura manométrica H0=50,62m. A figura mostra este ponto na interseção das duas curvas.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
Vazão (m3/h)
Altu
ra m
anom
etric
a (m
)
Diâmetro do rotor D=208mm
Curva parabolica
Figura 3.13 Curva parabólica e curva da bomba
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3-14
Tendo o ponto correspondente ao rotor de 208mm podemos agora determinar o diâmetro necessário para o ponto de operação requerido:
00 Q
QDD r
r = mmDr 2015,214
200208 ==
Utilizando as relações:
2
00
=
Q
QHH r
r e 0
0 D
DQQ r
r =
Podemos apresentar graficamente a nova curva da altura manométrica
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
Vazão (m3/h)
Altu
ra m
anom
etric
a (m
)
D=208mm
Curva parabolica
D=201mm
Figura 3.14 Resultado da nova curva com rotor de 201mm que passa pelo ponto de operação
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-15
3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro O método consiste em determinar um novo diâmetro (D2) a partir de uma bomba que possui um rotor com diâmetro D1
com sua curva característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a bomba opere no ponto 2 com uma vazão Q2 e altura manométrica H2.
Figura 3.15 Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido.
Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva com diâmetro D1 para o qual se determina a vazão e altura manométrica. HA e QA. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A e 2 interceptando assim a curva com diâmetro D1 determinando-se a vazão Q1 e H1. Tendo os valores de Q1 e H1 e os dados iniciais de Q2 e H1 determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D1 que deve ser cortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica.
(a)
(b)
(c )
Figura 3.16 Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte.
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3-16
3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff O procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor para atender uma determinada condição de operação pode ser corrigido utilizando o método de Stepanoff.
original
calculadocal D
DR =
original
corrigidocor D
DR =
Conforme gráfico mostrado o método propõe uma correção dada por uma relação linear:
calcor RR 875,01225,0 +=
A tabela mostra alguns valores desta relação. Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado quando o diâmetro de corte é muito próximo do diâmetro original. Por exemplo, na para Rcal > 0,95 temos que Rcal=Rcor e desta forma Dcor=Dcal.
Rcal Rcor 0,65 0,69 0,70 0,74 0,75 0,78 0,80 0,82 0,85 0,87 0,90 0,91 0,95 0,95 1,00 1,00
Figura 3.17 Método de Stepanoff para correção do diâmetro de corte.
Método de correção de Stepanoff
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
Relaçao de diâmetro calculado (Rcal)
Rel
açao
de
diâm
etro
cor
rigid
o (R
cor)
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-17
3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico.
1. Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro original igual a D1=208mm. Consideremos que temos um ponto 2 com dados de operação de altura manométrica e vazão conhecidos para os quais desejamos determinar o diâmetro de corte D2.
?
/200
44
2
32
2
==
=
D
hmQ
mH
Figura 3.18 Curva característica da bomba e pontos para determinar o novo diâmetro
2. Escolhemos um ponto A ligeiramente superior a curva da bomba e determinamos os valores de
altura manométrica e vazão.
hmQ
mH
A
A
/220
2,533=
=
3. Unindo o ponto A com o ponto 2 com uma linha reta que intercepta a curva da bomba com diâmetro D1, determinamos a sua altura e vazão.
mmD
hmQ
mH
208
/5,214
6,50
1
31
1
==
=
4. Com os valores do ponto 1 conhecido determina-se o diâmetro do rotor.
1
212 Q
QDD =
mmD 8,200
5,214200
2082 == mmD 2012 ≅
Desta forma podemos verificar os resultados utilizando as relações de altura e vazão:
mQ
QHH 40
5,214200
6,5022
1
212 ≅
=
=
hmD
DQQ /200
2088,200
5,214 322
1
212 ≅
=
=
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3-18
Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto 1 e assim determinamos a potencia:
kWxxxQgH
W 1,3682,0
)3600/5,214(6,5081,91000
1
111 ===
ηρ
&
Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto 2 da bomba neste ponto de
operação, observando-se que o rendimento é inferior ao do ponto 1.
kWD
DWW 48,32
2088,200
1,3633
1
212 =
=
= &&
%74100100048,32
)3600/200(4481,91000
2
222 === x
x
xxx
W
QgHρη
Podemos aplicar a correção de Stepanoff
966,0208
201===original
calculadocal D
DR
968,0966,0875,01225,0875,01225,0 =+=+= xRR calcor
original
corrigidocor D
DR = mmxDRD originalcorcor 3,201208698,0 ===
Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena. Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a curva que representa a faixa de
operação da bomba com diâmetro D2
Figura 3.19 Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
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3.11 Associação de Bombas em Série • São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de alturas elevadas. • Empregadas em condições de alta pressão ou quando se requer grandes mudanças de altura manométrica. • As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes • Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão, sendo que a altura manométrica é
determinada pela contribuição das altura manométricas de cada uma das bombas. • Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas quando Hman é maior que 50m. Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas bombas A e B devemos conhecer suas curvas características. Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto de igual vazão a altura manométrica de cada bomba podendo ser elaborada uma tabela com representado a seguir. Para determinar curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-se as alturas manométricas de cada bomba H para cada vazão considerada. Por exemplo, para um ponto i
Q Q QSi Ai Bi= =
H H HSi Ai Bi= +
Rendimento de duas bombas em série: ( )
1221
2121
ηηηηη
HH
HHT +
+=
Figura 3.20 Conexão de Bombas em Série
Curva característica: 01 Bomba 2
0 AQHH A −=
02 bombas A e B iguais associadas em série: ABAS HHHH 2=+=
222 AQHH oS −=
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3-20
3.11.1 Curva característica de bombas em serie Consideremos duas bombas diferentes A e B.
2210 AAA QaQaaH −−=
2
210 BBB QbQbbH −−=
Para conexão em série:
BAS HHH += QQQQ BAS ===
Desta forma obtemos:
( ) ( ) ( ) 2221100 QbaQbabaH S +−+−+=
Duas bombas iguais
AS
S
s
HH
QaQaaH
QaQaaH
2
)(2
222
2210
2210
=
−−=
−−=
Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:
Aa
a
Ha
===
2
1
00
0
2
210 222 QaQaaH s −−=
2
0 22 AQHH s −=
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
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3.11.2 Rendimento de duas bombas em série
Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em serie: Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais de cada bomba:
AAS WWW &&& +=
onde:
B
BBB
A
AAA
S
SSS
QgHW
QgHW
QgHW
ηρ
ηρ
ηρ
=== &&&
como:
QQQQ BAS ===
B
B
A
A
S
S QgHQgHQgH
ηρ
ηρ
ηρ
+=
B
B
A
A
S
S HHH
ηηη+=
como:
BAS HHH +=
Desta forma: ( )
B
B
A
A
S
BA HHHH
ηηη+=
+
( )
BA
ABBA
S
BA HHHH
ηηηη
η+
=+
Finalmente de obtém:
( )ABBA
BABAS HH
HH
ηηηηη
++
=
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3-22
3.12 Associação de Bombas em Paralelo
• Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo flexibilidade em relação à demanda
podendo conectar ou desligar unidades em funcionamento. • Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da associação de bombas em paralelo é sempre
menor que a soma algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando isoladamente. • Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de correntes desde a bomba de maior
potência para a de menor potência. • Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor germinado) trabalham como bombas em
paralelo. Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em paralelo pode ser determinada a curva característica das bombas trabalhando separadas. Para um ponto “i” vazão e altura pode ser determinada como:
Q QQ
Ai BiPi= =
2
H H HAi Bi Pi= =
Rendimento de duas bombas em paralelo:
( )1221
2121
ηηηηη
QQT +
+=
Figura 3.21 Conexão de Bombas em Paralelo Curva característica: 01 Bomba 2
0 AA AQHH −=
02 bombas A e B iguais associadas em paralelo:
2
0 2
−= QAHH P ou 2
0 4Q
AHH P −=
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-23
3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: Consideremos duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo.
2210 AAA QaQaaH −−=
2
210 BBB QbQbbH −−=
Para conexão em paralelo:
BAP QQQ += BAP HHH == Considerando a bomba A:
2210 AAP QaQaaH −−=
Duas bombas iguais:
AP QQ 2= e desta forma: 2/pA QQ =
Substituindo na equação da altura:
2210 42 ppP Q
aQ
aaH −−=
Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:
Aa
a
Ha
===
2
1
00
0
20 4 pP Q
AHH −=
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3-24
3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo
Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo: Na conexão em paralelo a potência total é dada por:
AAP WWW &&& += onde:
B
BBB
A
AAA
p
pPp
QgHW
QgHW
QgHW
ηρ
ηρ
ηρ
=== &&&
como as bombas estão conectadas em paralelo:
HHHH BAP === e BAP QQQ += Desta forma:
B
A
A
A
S
P gHQgHQgHQ
ηρ
ηρ
ηρ
+=
B
A
A
A
P
P QQQ
ηηη+=
( )
B
B
A
A
P
BA QQQQ
ηηη+=
+
( )
BA
ABBA
S
BA QQQQ
ηηηη
η+
=+
Finalmente de obtém:
( )ABBA
BABAP QQ
ηηηηη
++
=
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-25
3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo A tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da curva característica de uma bomba centrifuga. A partir destes dados tabele e grafique o resultado de 02 bombas iguais conectadas em serie e de 02 bombas iguais conectadas em paralelo.
Q (m3h) 0 40 80 120 160 200 H (m) 32,5 32 30,5 28 24,5 20
Solução: No caso da conexão em serie somamos as alturas e mantemos a vazão. Por exemplo, para uma vazão de 80 m3/h e altura de 30,5m temos Qs=Q=80m3/h e para altura Hs=2H=2*30,5m=61m. No caso da conexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a mesma altura. Para o mesmo exemplo Qp=2*Q=2x80=160 m3/h sendo que HP=H=30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos da tabela. O resultado gráfico mostra-se na figura abaixo.
Q (m3h) H (m) Qs (m 3h) Hs (m) Qp (m 3h) HP (m) 0 32,5 0 65 0 32,50
40 32 40 64 80 32,00 80 30,5 80 61 160 30,50
120 28 120 56 240 28,00 160 24,5 160 49 320 24,50 200 20 200 40 400 20,00
Duas Bombas Iguais em Serie
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
Vazão (m3/h)
Altu
ra M
anom
etric
a (m
)
Duas Bombas Iguais em Paralelo
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Vazão (m3/h)
Altu
ra m
anom
etric
a (m
)
Figura 3.22 Resultado da conexão de 02 bombas iguais em serie e em paralelo
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-26
3.14 Exemplo - Conexão Paralelo
Considere que a figura abaixo representa a curva característica resultante de duas bombas iguais conectadas em paralelo. Grafique a curva característica de uma única bomba junto com a conexão das duas em paralelo.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Q (L/s)
H (m) 02Bombas
Figura 3.23 Duas bombas iguais conectadas em paralelo
Pontos da curva característica de 2 bombas iguais
Q (L/s) H (m) Pontos da curva característica de uma única bomba Q (L/s) H (m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Q (L/s)
H (m)02 Bombas 01 Bomba
Figura 3.24 Resultado gráfico do problema
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-27
3.15 Exemplo - Conexão Série
Na Fig. 3.15 se apresentam as curvas características de duas bombas. a)Graficar a curva resultante da conexão em série destas bombas. b) Determinar o rendimento global da conexão em série para uma vazão de 4,0 m3/s na qual o rendimento da bomba A é de 50% e da bomba B é de 60%.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Q (m3/s)
H(m
)Bomba 1
Bomba 2
Figura 3.25 Gráfico de duas bombas
Pontos da curva característica da bomba B-1 Q (m3/s) H (m) Pontos da curva característica da bomba B-2 Q(m3/s) H(m) Pontos da curva característica - conexão em série Q(m3/s) H(m)
Figura 3.26 Resultado gráfico do problema de bombas em serie.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-28
3.16 Outros Exemplos
Exemplo 3.1: Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes equações de características de altura manometrica e rendimento global: Hman= 30 - 300Q2 e ηG= 10Q - 40 Q2 quando tem uma rotação de 1750rpm. Determinar:
(a) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em paralelo (b) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em série (c) Eq. Característica da Hman e ηG da bomba quando a rotação muda para 3500rpm. Obs: A questão ( c ) deve ser resolvida com os conceitos das equações de semelhança (Cap.5).
Solução
(a) Bombas conectadas em série (Q2S =Q1)
21 30030 QH −=
2
2
212
60060
)30030(22
QH
QHH
s
S
−=
−==
(b) Bombas conectadas em paralelo (H2p=H1) (Q2s=2Q1)
2
2
2
2
7530
230030
QH
QH
s
s
−=
−=
(c) Bomba n2=3500 bomba n1=1750rpm
11
212 2Q
n
nQQ =
= 1
2
1
212 4H
n
nHH =
=
211 30030 QH −= onde: Q1=Q2/2.
222
12 3001202
3003044 QQ
HH −=
−==
22
22 1052
402
10 QQQQ
G −=
−
=η
Obs. Continuar o problema graficando as curvas características.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-29
3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta
Bomba centrífuga Diâmetro do rotor (mm) Largura da pá (mm) Ângulo da pá (graus) Entrada 150 75 200 Saída 300 50 250 OBS: Fluido: água a 200C. Rotor com entrada radial. Numero de pás: 7. Rotação: 1450 rpm.
Q Q Hman acW& Rendimento Ht00 Ht# Hman
(m3/s) (L/s) (m) (kW) (%) (m) (m) 40 32,0 34,2 80 30,5 39,2 120 28,0 45,0 160 24,5 52,5 200 20,0 64,5
1. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero infinito de pás: Ht00 = 2. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero finito de pás: Ht# = 3. Eq. que representa a curva da altura manométrica da bomba Hman=
10
1214
1618
20222426
283032
3436
3840
424446
4850
52545658
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
Vazao (L/s)
Hm
an (m
)
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-30
3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida
Num laboratório é testado um modelo de bomba de 100mm de diâmetro e 1440rpm. O resultado é apresentado na Tabela.
Q H Rendimento (m3/h) (m) (%)
35 18 72 40 17.4 77 45 16.6 82 50 15.7 83 55 14.6 84 60 13.4 82 65 12 77 70 10.5 70 75 8.8 60 80 7 50
Atividades
1. Graficar a informação dada na tabela. 2. Determinar e graficar a curva de potencia da bomba. 3. Determinar a Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. 4. Determinar a Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. 5. Determinar a vazão de projeto, altura manométrica de projeto e rendimento neste ponto. 6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. 8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. 9. Considerando que será construída uma bomba semelhante de 200mm diâmetro que trabalhara com
1750rpm, Graficar: QH − Q−η QPot − da bomba.
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-31
Solução: 1. Graficar a informação dada na tabela.
Bomba de 100mm e 1440rpm
Rendimento = -0.0439Q2 + 4.5718Q - 34.842
H = -0.003Q2 + 0.1002Q + 18.179
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
30 40 50 60 70 80 90
Vazao (m3/h)
Altu
ra M
anom
etric
a (m
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Ren
dim
ento
(%
)
2. Determinar e graficar a curva que representa a potencia da bomba. A Tabela-1 mostra os dados resultados da potencia sendo graficados na figura abaixo.
Curva de Potência Bomba de 100mm e 1440rpm
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
35 45 55 65 75
Vazao (m3/h)
Pot
ênc
ia (
kW)
3. Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel.
H = 18.179 + 0.1002Q - 0.003Q2
4. Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. η = - 34.842 + 4.5718Q - 0.0439Q2. 5. Determinar a vazão de projeto e altura manométrica de projeto.
A vazão de projeto é determinada derivando a expressão do rendimento e igualando a zero, desta forma encontra-se a vazão para o rendimento máximo. Com esta vazão determina-se a altura manométrica. Q=52,07 m3/h η=84,2% H=15.3m 6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento.
( ) rpmH
Qnn
man
q 27,224,15
3600/071,52*1440
4/34/3===
7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. O resultado das duas bombas conectadas em serie mostra-se na Tabela-2
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-32
2 Bombas em Serie D=100mm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
30 40 50 60 70 80 90
Vazao (m3/h)A
ltura
Man
omet
rica
(m)
8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. O resultado das duas bombas conectadas em paralelo mostra-se na Tabela-2
2 Bombas Paralelo D=100mm
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
30 50 70 90 110 130 150 170
Vazao (m3/h)
Altu
ra M
ano
me
tric
a (m
)
8. Graficar: QH − Q−η QPot − Bomba de 200mm e 1750rpm
Bomba de 200mm e 1750rpm
0
20
40
60
80
100
120
300 400 500 600 700 800
Vazao (m3/h)
Altu
ra M
nom
etric
a
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Ren
dim
ento
(%
)
Curva de potência Bomba de 200mm e 1750rpm
50
70
90
110
130
150
170
190
300 400 500 600 700 800
Vazao (m3/h)
Pot
ênci
a (k
W)
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-33
RESULTADOS DOS DADOS TABELADOS Tabela – 1
Q H Rend Potência (m3/h) (m) (%) kW
35 18 72 2.4 40 17.4 77 2.5 45 16.6 82 2.5 50 15.7 83 2.6 55 14.6 84 2.6 60 13.4 82 2.7 65 12 77 2.8 70 10.5 70 2.9 75 8.8 60 3.0 80 7 50 3.1
Tabela – 2 2 Bombas - Série 2 Bombas - Paralelo Qs Hs (m) Qp (m 3/h) Hp (m)
35 36.0 70.0 18.0 40 34.8 80.0 17.4 45 33.2 90.0 16.6 50 31.4 100.0 15.7 55 29.2 110.0 14.6 60 26.8 120.0 13.4 65 24.0 130.0 12.0 70 21.0 140.0 10.5 75 17.6 150.0 8.8 80 14.0 160.0 7.0
Tabela – 2
Bomba semelhante n2=1750 D2=200mm
Q H Rend Potência (m3/h) (m) (%) kW
340.28 106.34 72 136.9 388.89 102.79 77 141.5 437.50 98.07 82 142.6 486.11 92.75 83 148.0 534.72 86.25 84 149.6 583.33 79.16 82 153.5 631.94 70.89 77 158.5 680.56 62.03 70 164.3 729.17 51.99 60 172.2 777.78 41.35 50 175.3
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
3-34
3.19 Problemas Propostos Problema 3.1: Considere os seguintes dados de uma bomba centrífuga com entrada radial.
D1=150mm D2=300mm N=1450rpm b1=75mm b2=50mm α1=900 β1=200 β2=250 ρ=1000 kg/m3
Determinar os polígonos de velocidades da bomba considerando número infinito de pás. Determinar o grau de reação da bomba. Determinar a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Htoo-Q) Graficar a curva característica para número infinito de pás. Htoo = k1 - k2Q Determinar a altura teórica para número finito de pás ( Ht# ) considerando 7 pás. Graficar a curva característica para número finito de pás. Ht# = k*
1 - k*2Q
Q m3/s Q L/s 0 40 80 120 160 200 Htoo M Ht# M Problema 3.2 Considere que a bomba definida no Problema 1 foi fabricada sendo levantada a sua curva característica em laboratório. Os resultados da curva real são dados a seguir: Q L/s 40 80 120 160 200 Hman m 32 30,5 28 24,5 20
acW& kW 34,2 39,2 45 52,5 64,5
Graficar as curvas de altura-vazão e potência-vazão Determinar a curva característica da bomba considerada do tipo H = k1 - k2Q
2 Determinar para a bomba fabricada a altura manométrica máxima (Hmax) e a vazão máxima (Qmax). Determinar a rotação específica característica da bomba. (nq) Problema 3.3 Graficar a curva da altura manométrica versus a vazão. (Hman-Q) Determinar o rendimento correspondente a cada ponto levantado no laboratório.
Determinar a equação do rendimento considerando que é do tipo η=k1Q + k2Q2
Determinar a vazão de projeto (Qp) e altura manométrica de projeto (Hp).
Q L/s Hman m
acW& KW
η % Problema 3.4 Graficar a curva característica (Hman-Q) ( P-Q) (η-Q) considerando uma rotação n=1300rpm. Q L/s Hman m
acW& kW
Problema 3.5 A bomba é utilizada para elevar água num sistema com altura estática de elevação igual a 15m. A tubulação tem um comprimento de 2750m. Considere que o fator de atrito na tubulação é igual a f=0,02. � Determine a curva do sistema. � Determine o ponto de funcionamento bomba-sistema considerando interseção das curvas. � Determine rendimento no ponto de funcionamento
Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas
PUCRS – FENG- 2010 3-35
� Determine a potência da bomba para as condições do sistema. O resultado gráfico do Problema 1 ao 3 é mostrado na Fig. 3.27
Figura 3.27 – Curva característica– Resultados gráficos dos problemas propostos. Comentário Final: Com este material o aluno deverá estar capacitado para estudar: qual é a influência da curvatura das pás em bombas centrífugas, quais os tipos de pás e como é transferida, teoricamente, a energia do rotor ao fluido com os diferentes tipos de pás. Foram apresentadas as curvas teóricas e as curvas reais das bombas centrífugas. Nas aplicações de engenharia o aluno deverá lidar com as curvas reais já que são estas as fornecidas pelos fabricantes. Com tal informação o aluno poderá selecionar, dos fabricantes existentes no mercado, o tipo de bomba mais apropriada para uma determinada aplicação. A informação e definições complementares de altura manométrica, rendimento global, potência de acionamento e NPSH das bombas, são abordados nos capítulos seguintes.
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-1
CCCoooeeefffiiiccciiieeennnttteeesss AAAdddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaaiiisss eee LLLeeeiiisss dddeee SSSiiimmmiiilllaaarrriiidddaaadddeee
Sistemas Fluidomecânicos
4-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
SUMÁRIO
4.1 COEFICIENTES ADIMENSIONAIS ...............................................................................................................3 4.1.1 NÚMERO DE REYNOLDS ......................................................................................................................4 4.1.2 NÚMERO DE MACH..............................................................................................................................4 4.1.3 RUGOSIDADE RELATIVA ......................................................................................................................5 4.1.4 COEFICIENTE DE PRESSÃO OU ALTURA ESPECÍFICA .............................................................................5 4.1.5 COEFICIENTE DE VAZÃO OU CAPACIDADE ESPECIFICA ..........................................................................5 4.1.6 COEFICIENTE DE POTÊNCIA.................................................................................................................5 4.2 EFEITOS DE ESCALA ...............................................................................................................................8 4.2.1 EFEITO DO NÚMERO DE REYNOLDS ..........................................................................................................8 4.2.2 EFEITO DO NÚMERO DE MACH.................................................................................................................8 4.2.3 EFEITO DA RUGOSIDADE RELATIVA..........................................................................................................8 4.2.4 EFEITO DE ESPESSURA ...........................................................................................................................8 4.3 LEIS DE SIMILARIDADE ............................................................................................................................9 4.3.1 LEIS DE SIMILARIDADE PARA DUAS MÁQUINAS SEMELHANTES ...................................................................9 4.4 UTILIZANDO AS LEIS DE SIMILARIDADE...................................................................................................10 4.5 MODIFICAÇÃO DO TAMANHO DA BOMBA.................................................................................................12 4.6 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA VARIANDO A ROTAÇÃO: .................................................................13 4.7 RENDIMENTO GLOBAL VARIANDO A ROTAÇÃO .......................................................................................14 4.8 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO ESPECIFICA ............................................................................................14 4.9 ROTAÇÃO ESPECÍFICA CARACTERÍSTICA - NQ.........................................................................................15 4.10 NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES POR MINUTO.................................................................................17 4.10.1 RELAÇÃO ENTRE NS - NQ ...............................................................................................................17 4.11 VELOCIDADE ESPECÍFICA EM BOMBAS DE MÚLTIPLOS ESTÁGIOS............................................................18 4.11.1 BOMBAS COM ENTRADAS BILATERAIS (ROTOR GEMINADO) .................................................................18 4.11.2 BOMBAS COM VÁRIOS ESTÁGIOS E ENTRADA BILATERAL......................................................................18 4.11.3 ROTAÇÃO ESPECÍFICA - UNIDADES AMERICANAS ...............................................................................18 4.11.4 NÚMERO ESPECÍFICO DE RPM EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA ..................................................................19 4.11.5 OUTRAS RELAÇÕES ..........................................................................................................................19 4.11.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES ...........................20 4.12 EXEMPLOS RESOLVIDOS.......................................................................................................................20 4.13 ATIVIDADE DE APRENDIZADO ................................................................................................................27 4.14 ATIVIDADE PROPOSTA NO1 ...................................................................................................................31 4.15 ATIVIDADE PROPOSTA NO2 ...................................................................................................................32
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-3
4.1 Coeficientes Adimensionais A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por testes experimentais, sendo que diferentes máquinas apresentam características diferentes. Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém fabricadas com diferentes tamanhos), as quais constituem uma série de máquinas geometricamente semelhantes ou similares, podendo funcionar com diferentes rotações dentro de limites práticos. Trabalhando com as grandezas reais de cada máquina seria impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela grande quantidade de variáveis envolvidas. O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis envolvidas, formando grupos adimensionais. Desta forma, os grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam as relações entre uma família de máquinas geometricamente semelhante. A Tab. 4.1, apresentada a seguir, mostra as variáveis envolvidas em turbomáquinas. Tabela 4.1 Variáveis Envolvidas em Turbomáquinas Símbolo Variável Dimensões Unidades
W& Potência transferida. (entre o impelidor e fluido) ML 2T-3 Watts
Q Vazão através da máquina L3T-1 m3/s H Energia a ser vencida ou extraída pela máquina L M n Rotação do impelidor T-1 rad/s D Diâmetro do impelidor L M ρ Massa específica do fluido ML-3 kg/m3 µ Viscosidade absoluta do fluido ML-1T-1 Ns/m2 K Módulo de elasticidade volumétrico ML-1T-2 N/m2 ε Rugosidade absoluta interna da máquina L M
Como H é a energia por unidade de peso do fluido, é preferível utilizar como variável o termo (gH), que representa a energia por unidade de massa, ou também chamada energia específica (Y=gH), que é mais fundamental, já não depende da aceleração da gravidade. Consideramos a energia específica como a variável dependente. A relação entre as variáveis envolvidas é expressa como:
( )εµρφ ,,,,,, KDnQgH = Utilizando método indicial, a série de potência se reduz para:
ifedcba KDnCQgH εµρ ,,,,,,= onde C é uma constante de proporcionalidade. Substituindo as dimensões de cada variável envolvida:
( ) ( )L
T
L
T TL
M
L
M
LT
M
LTL
a bc
d e fi
2
2
3
3 2
1=
Sistemas Fluidomecânicos
4-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
As equações indiciais: Para:
[ ]M d e f d e f:0 = + + ⇒ = − −
[ ]T a b e f b a e f:− = − − − − ⇒ = − − − −2 2 2 2
[ ] ifeacifedcaL −−−−=⇒+−−−+= 2232332: Substituindo nas equações originais:
( ) ( ) ( ) ifefeifeafeaac KDnQKgH εµρ ,,,,,, 223222 −−−−−−−−−
=
ifea
DDn
K
nDnD
QDCngH
= ερρ
µ2223
22
=DDn
K
nDnD
Q
Dn
gH ερρ
µφ ;;;222322
Da expressão apresenta diferentes parâmetros característicos que serão definidos a seguir.
4.1.1 Número de Reynolds Sabemos que velocidade periférica é dada como U=ωR. Podemos também expressar que U é proporcional a nD isto é U ∝ nD desta forma na expressão:
µρnD2 Podemos substituir: n=U/D com o qual
µρUD
o qual representa: 1
2Re= µ
ρnD
a viscosidade cinemática é dada como ν=ρ/ µ e desta forma a expressão representa o número de Reynolds definido como:
Re= UD
ν
4.1.2 Número de Mach
A velocidade do som pode ser dada como:ck=ρ
onde k=ρc2 é o módulo elasticidade volumétrico. A
velocidade periférica n=U/D.
K
n D
K
U
DD
c
U Ma2 2 22
2
2
1
ρρ
ρ=
= =
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-5
4.1.3 Rugosidade Relativa
O último termo e/D é definido como rugosidade relativa. Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos seguintes parâmetros adimensionais.
[ ]DMaCC QH /,Re,, εφ=
Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a vazão como variável independente se obtém o coeficiente de potência ( WC & ). Ambos são função das variáveis ( )DMaCQ /,Re,, εφ
4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica
Para trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes são apresentadas em função da velocidade angular ω (rad/s) e não da rotação n (rpm).
22D
gHCH ω
=
4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica
3D
QCQ ω
=
4.1.6 Coeficiente de Potência
ρω 53D
WC
W
&
& =
As relações funcionais entre CH, WC & , WQ são determinadas experimentalmente e constituem um conjunto
característico que representam a performance de uma família de máquinas geometricamente semelhantes, e que são idênticas para todas aquelas máquinas em que Re, Ma, ε/D são as mesmas. Pode ser demonstrado que o rendimento global é função destas variáveis adimensionais.
W
HQ
C
CC
&
=η
Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em função destes coeficientes. Por exemplo, vamos supor que temos a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de 200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo fornecidos os dados de altura, vazão e rendimento conforme tabela abaixo. A partir de estes dados, utilizando a planilha de Excel obtemos a potência e podemos graficar as curvas respectivas da altura manométrica rendimento e potencia como mostra a figura.
Sistemas Fluidomecânicos
4-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
Tabela 4.2 Dados de bomba
Q H η m3/h m % 10 18 32 20 18,5 54 30 18 70 40 16,5 79 50 14 79 60 10 66 70 5,4 38
O resultado mostra que a bomba apresenta seu rendimento máximo (80%) para uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m.Para cada um dos pontos podemos determinar os respectivos coeficientes de vazão, altura e potência, resultado mostrado na tabela e gráficos dados abaixo. Figura 4.1 Curvas características da bomba Por exemplo, para Q=50m3/h temos:
0095,02,03,183
3600/5033
===xD
QCQ ω
102,02,03,183
1481,92222
=== x
D
gHCH ω
0012,02,03,1831000
6,24145353
===xD
WCW ρω
&
&
Observa-se que para graficar (Fig.4.2) em escalas apropriadas os coeficientes de vazão e potência foram multiplicados por 100 e o coeficiente de altura por 10. Tabela 4.3 Resultados dos coeficientes adimensionais da bomba
Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m3/h a expressão do rendimento global.
Q H η W CQx100 CHx10 CWx100 m3/h m % Watts 10 18 32 1532,8 0,19 1,31 0,08 20 18,5 54 1867,1 0,38 1,35 0,09 30 18 70 2102,1 0,57 1,31 0,11 40 16,5 79 2276,6 0,76 1,20 0,12 50 14 79 2414,6 0,95 1,02 0,12 60 10 66 2477,3 1,14 0,73 0,13 70 5,4 38 2710,7 1,33 0,39 0,14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Vazão (m3/h)
Altu
ra (m
) e P
otên
cia
(kW
)
0
20
40
60
80
100
Ren
dim
ento
(%)
Potência
RendimentoAltura manometrica
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-7
===0012,0
102,00095,0 x
C
CC
W
HQ
&
η 0,79 (79% conforme dado origina do fabricante)
O mesmo pode ser realizado para cada ponto fornecido pelo fabricante. Cabe assinalar que o valor 0,79 é obtido quando se trabalha com todo o numero de casas que utiliza a planilha Excel.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,0 0,5 1,0 1,5
CQx100
CH
x10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ren
dim
ento
(%)
Rendimento
Coeficiente de potência
Coeficiente de altura
Figura 4.2 Coeficiente adimensionais da bomba.
Sistemas Fluidomecânicos
4-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.2 Efeitos de Escala Quando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os critérios de similaridade dinâmica são satisfeitos. Quando se analisam os grupos adimensionais que representam o número de Reynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que isto não ocorre na realidade.
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds
Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como Re=UD/ν . Toda mudança de rotação ou diâmetro altera o valor de Re, e por isto não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, para água e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto, e o fluxo é geralmente turbulento.
4.2.2 Efeito do Número de Mach.
O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número de Mach aumente. Desta forma isto faz não é satisfeita a condição de similaridade e os efeitos de compressibilidade poderão ser importantes afetando a performance da máquina. Os efeitos de compressibilidade devem ser estudados cuidadosamente no caso de compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de similaridade.
4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa
A rugosidade absoluta (e) é um valor médio das alturas das perturbações superficiais que permanecem as mesmas para um certo material e processo de fabricação, utilizado numa máquina (bomba, turbina, ventilador, compressor, etc) independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação de tamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa modificação da sua rugosidade relativa. Bombas maiores apresentam menor rugosidade relativa. Nas máquinas maiores isto tende a fazer perdas de atrito, pequenas e menos importantes.
4.2.4 Efeito de Espessura
Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito de interstícios (tamanhos). A mesma bitola de chapa, por exemplo, pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores. Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral, o efeito de escala tende a melhorar a performance das máquinas de maior porte. Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de viscosidade e rugosidade superficial. Quando o tamanho da turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e protótipos, tais efeitos podem se tornar significativos. No caso de bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a variação da eficiência em função da semelhança geométrica da bomba.
5/1
2
1
2
1
1
1
=
−−
D
D
ηη
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-9
4.3 Leis de Similaridade Todas as máquinas de uma mesma família operam sob condições dinamicamente semelhantes. Desta forma os coeficientes adimensionais são os mesmos em pontos correpondentes de suas características. Isto implica que as leis de similaridade, que governam as relações entre tais pontos correspondentes, podem ser relacionadas como: Coeficiente de vazão:
ctenD
QCQ ==
3 ou também Q nD∝ 3
Coeficiente de altura
cteDn
gHCH ==
22 ou também gH n D∝ 2 2
Coeficiente de potência:
cteDn
PC
W==
ρ53& ou também 53DnW ρ∝&
Devendo também satisfazer que Re, Ma ε/D sejam os mesmos. Tais máquinas apresentam um rendimento constante η=cte.
4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes
Q
Q
n
n
D
D2
1
2
1
2
1
3
=
H
H
n
n
D
D2
1
2
1
2
2
1
2
=
=
1
2
5
1
2
3
1
2
1
2
ρρ
D
D
n
n
W
W&
&
12 ηη = (mesmo rendimento) Q1,Q2: vazões das bombas n1,n2: rotações das bombas H1,H2, alturas de elevação manométrica do líquido bombeado.
1W& 2W& : potência das bombas. Casos particulares: a) Mesmo Rotor b) Mesmo Fluido c) Mesma Rotação.
Sistemas Fluidomecânicos
4-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade Consideremos uma bomba, com rotação n1 e diâmetro D, que apresenta curvas características de altura vazão, H-Q rendimento vazão η-Q e potência vazão P-Q. Desejamos determinar nova curva característica quando se modifica a rotação para um valor n2 tal que n2 > n1. Quando a bomba está operando num ponto x (Fig.4.3) fornece uma altura manométrica Hx para uma vazão Qx e consome uma potência Px com um rendimento ηx.
Figura 4.3 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.
Quando trabalha numa rotação n2 maior que n1 se obtém pelas leis de similaridade um novo ponto que denominaremos x’, com a nova vazão e altura que fornecerá a bomba:
Q Qn
nx x' =
2
1
2
1
2'
=
n
nHH xx
Na Fig.4.3 mostra-se o ponto x .́ Aplicando tal método a outros pontos podemos determinar a curva da bomba para a rotação n2. Da mesma forma pode-se determinar a potência consumida na nova rotação e graficar a curva de potência da bomba para a nova rotação n2
3
1
2'
=
n
nWW xx&&
n2
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-11
Na Fig.4.4 mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação para vários pontos da curva. Observa-se que existem uma relação de curvas parabólicas do tipo H=cQ2 que passam pelos pontos com mudança de rotação.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Vazão
Altu
ra M
anom
etric
a
Figura 4.4 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.
A continuação será demonstrada que quando um ponto se modifica para uma nova altura manométrica e vazão o rendimento permanece constante. Isto significa que no caso anterior para qualquer ponto η ηx x= ' O rendimento global é definido como a razão entre a potência hidráulica e a potência mecânica fornecida (potencia de acionamento:
acW
gQH&
ρη =
Aplicando a expressão de rendimento global para as rotações n1 e n2.
x
xxx W
HgQ&
ρη = '
''''
x
xxx W
HgQ&
ρη =
dividindo as duas expressões;
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
W
W
H
H
Q
Q
P
HgQP
HgQ
&
&'
''
'
''''
== ρ
ρ
ηη
Utilizando as relações de similaridade:
Sistemas Fluidomecânicos
4-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
13
1
2
2
2
1
2
1
''
=
=
n
n
n
n
n
n
x
x
ηη
Desta forma se obtém que ηx=ηx’
Apesar de ηx=ηx’ quando se graficam mostram-se como sendo curvas diferentes já que:
ηx é plotada contra Qx ηx’ é plotada contra Qx’ O procedimento visto pode ser aplicado a outros pontos, obtendo-se a nova curva de rendimento da bomba. A Fig.4.5 mostra o resultado gráfico de duas curvas de alturas manométricas com seus respectivos rendimentos. Observa-se que para um ponto qualquer na mudança de rotação o rendimento se mantém constante.
Figura 4.5 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.
4.5 Modificação do Tamanho da Bomba
A modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas características quando trabalhamos com as leis de similaridade para uma bomba com a mesma rotação. (n1=n2)
Q QD
D2 12
1
3
=
H HD
D2 12
1
2
=
5
1
212
=
D
DWW &&
12 ηη =
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-13
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação:
Consideremos uma bomba A com rotação nA
2210 AAA QaQaaH −−=
Pelas relações de semelhança se a bomba muda de rotação a altura e vazão da curva é modificada pelas relações:
=
=
A
BAB
A
BAB n
nQQ
n
nHH
2
=
A
BAB n
nQQ
2
2
210
22
−
−
=
= B
B
AB
B
A
A
BA
A
BB Q
n
naQ
n
naa
n
nH
n
nH
221
2
0
2
22
2
2
1
2
0
−
−
=
−
−
=
BBA
B
A
BB
BB
A
A
BB
B
A
A
B
A
BB
QaQn
na
n
naH
Qn
n
n
naQ
n
n
n
na
n
naH
Denominado a relação de rotações por:
=
A
Bn n
nr
Obtemos a relação:
221
20 BBnnB QaQraraH −−=
Também podemos escrever a Eq. como:
22
11
200
2210
b
:onde
ab
rab
ra
QbQbbH
n
n
BBB
===
−−=
onde:
=
A
Bn n
nr e considerando que nA
A
BAB rQ
n
nQQ =
=
Sistemas Fluidomecânicos
4-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.7 Rendimento Global Variando a Rotação
Para determinar o rendimento global de uma bomba que muda de rotação utilizamos as equações de semelhança. Estas relações são válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento. Consideremos uma bomba A com rotação nA a qual apresenta um rendimento global dado pela expressão do tipo:
221 AAA QaQa −=η
onde a1 e a2 são constantes. Quando a bomba muda de rotação (nB ) a vazão é modificada considerando a equação de semelhança:
=
A
BAB n
nQQ
Desta forma a curva do rendimento o rendimento:
2
2
21 BA
BB
A
BB Q
n
naQ
n
na
−
=η
2221 BnBnB QraQra −=η
Também podemos escrever a Eq. como:
212
11
221
:
n
n
BBB
rab
rab
onde
QbQb
=
=
−=η
4.8 Determinação da Rotação Especifica
Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do rotor igual a D1 e outra com diâmetro do rotor igual a D2
3
2
1
2
1
2
1
=
D
D
n
n
Q
Q
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-15
2
2
1
2
2
1
2
1
=
D
D
n
n
H
H
explicitando a relação de diâmetros
2
1
2
2
1
2
1
=
n
n
H
H
D
D
Substituindo esta equação na equação da vazão que relaciona as vazões:
2/32
1
2
2
1
2
1
2
1
=
n
n
H
H
n
n
Q
Q
4/31
4/32
2
1
2/3
1
2
2
1
1
2
2/3
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2/3
2
1
3
1
2
2/3
2
1
2
1
2
1
H
H
Q
Q
H
H
Q
Q
n
n
H
H
Q
Q
n
n
n
n
H
H
n
n
H
H
n
n
Q
Q
=
=
=
=
=
4/32
22
4/31
11
H
Qn
H
Qn=
Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com uma altura unitária H=1m e vazão unitária Q=1m3/s, tal bomba terá uma rotação denominada rotação específica característica.
4/3man
q H
Qnn =
Cada família de bombas apresenta uma faixa de nq . Observa-se que ns tem como unidades rpm já que tanto a vazão como a altura manométrica foram adimensionalisadas.
4.9 Rotação Específica Característica - nq
Rotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada, capaz de elevar 1m de altura a uma vazão de 1m3/s com o máximo rendimento.
Sistemas Fluidomecânicos
4-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4/3man
q H
Qnn = (rpm)
n: número de rpm da bomba. Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) Hman : Altura útil ou manométrica (m)
Obs: Os valores de (Q,Hman) considerados correspondem ao ponto de máximo rendimento. • Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular de rotação específica. • O conceito é muito útil para engenheiros e projetistas, já que é possível selecionar o tipo de bomba mais
eficiente para uma determinada aplicação. • As bombas centrífugas, por exemplo, trabalham com vazões baixas e grandes elevações, por isto
apresentam baixas rotações específicas. • A Tab. 4.2 mostra velocidades específicas para diversos tipos de rotores. Tabela 4.2 Faixa de valores da rotação especifica (nq) para diferentes tipos de bombas hidráulicas.
Bombas Centrífugas Hélico Centrifugas Helicoidal Axial Lenta (radial) Normal Rápida Tipo Francis Fluxo Misto
< 25 25 - 35 35 - 70 70 - 120 120 - 160 > 140 A Fig. 4.6 mostra o resultado equivalente ao dado na Tab. 4.2 incluindo a representação gráfica do tipo de rotor e a aplicação em quanto a altura manométrica.
Figura 4.6 Faixa de rendimentos para bombas centrífugas em função da rotação específica (nq)
Utilizando por exemplo a Fig 4.1 a bomba opera a 1750rpm e apresenta no seu rendimento máximo uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m. Desta forma:
rpmnman
q 57,253,15
3600/461750
4/3== o que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal.
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-17
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto Representa o número de rpm de uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada que eleva 75litros de água a uma altura de 1 metro em 1 segundo, e demanda uma potência de 1CV. Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de Q=0,0075m3/s.
4/365,3
mans H
Qnn = (rpm)
n: número de rotações da bomba (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H: altura útil ou manométrica (m)
• Com ns podemos determinar o tipo de bomba mais apropriado a ser utilizado. • A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de Q e H mais também da sua rotação (n). • Maiores valores de ns representa menores dimensões das bombas. • A equação de ns mostra que quanto maior Q e menor H maior será a velocidade específica ns. A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de ns.
Figura 4.7 Faixa do número específico de rpm - ns
• A bomba ideal geometricamente semelhante à bomba considerada a qual tem uma rotação de ns
denomina-se bomba unidade da bomba dada. • Todas as bombas geometricamente semelhantes entre si terão uma única bomba unidade o que implica
que todas elas terão uma única velocidade específica.
4.10.1 Relação entre ns - nq
O número específico de rpm se relaciona com a rotação específica característica pela seguinte expressão: n ns q= 3 65,
Utilizando os dados do exemplo anterior ns=3,65x25,57=93,7, confirmando que trata-se de um rotor de bomba norma de bomba centrifuga já que esta na faixa entre 90rpm e 130 rpm.
Sistemas Fluidomecânicos
4-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios Para determinar a rotação específica em bombas de múltiplos estágios divide-se a altura útil pelo número de estágios (i) da bomba:
/365,3
=
i
H
Qnn
man
s
n: número de rotações da bomba (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H: altura útil ou manométrica (m) i : número de estágios da bomba.
Número de Estágios: • Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até 50m pode-se trabalhar com 01 estágio
(i=1). • Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um proporcionando uma altura entre 20 a
30m
m
mHi man
)30...20(
)(=
4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado)
• Trata-se de 2 rotores de costas um ao outro, fundidos numa única peça. Neste caso a vazão se divide metade em cada lado do rotor para se obter a rotação específica:
4/3
265,3man
sH
Qn
n =
Figura 4.8 Detalhe de rotor com entrada bilateral
4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral
4/3
265,3
=
i
H
Qn
nman
s
Figura 4.9 Detalhe de bomba com estágios
4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas No sistema americano a rotação específica é dada por:
4/3)(
mans
H
Qnamericanon =
n: rotação da bomba (rpm) Q: vazão da bomba (galões/min) H: altura manométrica da bomba (pé)
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-19
Expressões utilizadas para conversão do sistema americano ao métrico:
nn americano
ss= ( )
,1415
ou utilizando a rotação específica
nn americano
x
n americanoq
s s= =( )
, ,
( )
,1415 3 65 51 7
4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência
Para água com γ=1000 kgf/m3, considerando a potência útil.
75
1000 manu
QHW =&
podemos fazer
man
u
H
WQ &
=75
1000
como:
manman
u
manmanmanmans
HH
W
H
n
H
Q
H
n
H
Qnn
&
65,375
100065,365,3
4/3===
4/365,3
man
us
H
Wn
&
=
• A utilização de ns em função da potência supõe considerar um valor de rendimento. No caso ns em
função de vazão isto não é necessário e por isto é a expressão mais utilizada.
4.11.5 Outras Relações
Da relação de maquinas semelhantes
2
2
1
2
2
1
2
1
=
D
D
n
n
H
H definimos a rotação unitária das bombas
semelhantes (nu) fazendo n1=nu H1=1m e D1=1m. Desta forma se obtém:
manu
H
nDn =
Para bombas radiais pode ser utilizada a relação entre a rotação especifica (nq) e rotação de bomba unitária (nu) de bombas semelhantes.
755,0 += qu nn (rpm)
Com a equação acima pode ser estimado o diâmetro ótimo de um rotor radial.
Sistemas Fluidomecânicos
4-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações Alguns textos definem coeficiente de pressão (ψ)
2
2
U
gHman=ψ
e o coeficiente de vazão como
UD
Q2
4
πϕ =
Onde D e U representam respectivamente o diâmetro e velocidade tangencial do rotor. A Figura 4.8 mostra como é relacionada a rotação especifica (nq) com o coeficiente de pressão.
Figura 4.10 Coeficiente de pressão
4.12 Exemplos Resolvidos Exemplo-4.1 Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima eficiência com uma vazão de 115 m3/h e uma altura manométrica de 50m. A bomba trabalha com 1750rpm. (a) Determinar o tipo de bomba (b) Determinar o coeficiente de pressão e de vazão. Solução Dados: D=343mm Q=115 m3/h Hman=50m n=1750 rpm.
6,1650
3600
1151750
4/34/3≅==
x
H
Qnn
manq Da Tab. 4.2 se obtém que trata-se de uma bomba centrífuga radial.
Para avaliar o coeficiente de pressão e de vazão devemos calcular inicialmente a velocidade periférica do rotor:
smx
xxnDU /43,31
601000
1750343
602
2 === ππ
( )99,0
43,31
5081,92222
≅== xx
U
gHmanψ Obs. Pela Fig. 4.8 se obtém um valor muito próximo.
( ) 011,043,32)343,0
3600
1154
422
===xx
x
UD
Q
ππϕ
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-21
Exemplo-4.2 Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de 750rpm apresentando dados fornecidos na tabela abaixo. Grafique a curva H-Q e η-Q da bomba original e de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 0,35m e opera com uma rotação de 1450rpm
Q (m3/min) 0 7 14 21 28 35 42 49 56
H (m) 40 40.6 40.4 39,3 38 33.6 25.6 14.5 0
η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0
Solução: Dados: n1=750 D1=0,5m n2=1450 D2=0,35m
Q
Q
n
n
D
D2
1
2
1
2
1
3
=
H
H
n
n
D
D2
1
2
1
2
2
1
2
=
Utilizando as equações de similaridade se obtém a seguinte tabela: Q (m3/min) 0 4.64 9.28 13.92 18.56 23.21 27.85 32.50 37.0 H (m) 73.2 74.30 73.90 72.0 69,6 61.50 46.85 26.54 0 η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0 Os resultados podem então ser plotados e comparados com os iniciais como se mostra na figura abaixo.
Bomba 1 n=750rpm e D=0,50m Bomba 2 n=1450rpm e D=0,35m
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60
Vazão Q(m^3/min)
Altu
ra M
anom
etric
a (m
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Ren
dim
ento
(%
)
Bomba 1 (H-Q)Bomba 2 (H-Q)Bomba 1 - RendimentoBomba 2 Rendimento
Figura 4.11 Resultado utilizando equações de similaridade
Sistemas Fluidomecânicos
4-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
Exemplo – 4.3 Uma bomba com 1450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do catálogo da bomba: Q (L/s) 40 80 120 160 200 Hman (m) 32 30,5 28 24,5 20 P (kW) 34,2 39,2 45 52,5 64,5 (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão (b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm.
Solução: (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão O rendimento é determinado para cada vazão e altura pela expressão de potência:
G
manac
QgHW
ηρ
=& ac
manG W
QgH&
ρη =
Q (L/s) 40 80 120 160 200 Rend (%) 36,72 61,06 73,25 73,25 60,84
(b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm.
Utilizando os dados da bomba com 1450rpm e as relações de semelhança:
2
1
2
1
2
=
n
n
H
H
=
1
2
1
2
n
n
Q
Q
com as quais obtemos a seguinte tabela Q L/s 37,29 74,58 111,87 149,16 186,44 Hman m 28,80 27,45 25,20 22,05 18,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Q (L/s)
H (m
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Ren
dim
ento
(%)
Figura 4.12 Resultados da curva de bomba modificando a rotação.
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-23
Exemplo – 4.4 Na figura representa-se a curva H-Q de uma bomba operando numa instalação com uma rotação de n (rpm). Um manômetro e um vacuômetro são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente 1,8kgf/cm2 e 0,4kgf/cm2. Em tais condições a bomba tem uma rotação específica (nq) igual a 53,99rpm. i)Determinar a vazão, altura manométrica e rotação da bomba. ii)Se mantemos a mesma vazão na instalação qual a nova altura manométrica que poderá fornecer a bomba quando se modifica a rotação para n’ (rpm). Determine esta nova rotação nas condições de operação. (Fluido: água) Solução i) Altura manométrica do sistema: Hman= HV + HM
Onde HM é a altura representativa da pressão registrada pelo manômetro (PM=1,8kfg/cm2) equivalente em coluna de água a HM=18,0mca; A altura representativa da pressão registrada pelo vacuômetro (Pv=0,4kfg/cm2) equivalente em coluna de água a Hv=4mca. Por tanto, a altura total de elevação é dada por: Hman= HM + HV = 18,0m + 4,0m = 22,0m Com Hman=22m na curva da bomba com rotação n se encontra uma vazão igual a Q=24litros/s ou 0,024m3/s.
Figura 4.13 Curvas de Bomba centrifuga
A rotação da bomba pode ser conhecida com a rotação específica: 4/3
man
qH
Qnn =
Resolvendo para a rotação real se encontra:
rpmx
Q
Hnn manq 3540
024,0
2299,53 4/34/3
===
ii) Com Q=24,0 lit/s se encontra na curva de rotação n’ uma altura total de elevação de Hman=12,0m. Utilizando as relações de semelhança para a bomba quando se modifica a rotação se tem:
H
H
n
n
n nH
Hx rpm
1
2
2
1
2
2 11
2
1 2 1 2
354012
222614
=
=
=
=
/ /
n
Q(l/s)
Hman (m)
Sistemas Fluidomecânicos
4-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
Exemplo – 4.5 Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de 68,4m3/hora. O rotor de 320mm gira a 1500 rpm e apresenta escoamento radial na entrada do rotor e pás radiais na saída.
(a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás. (b) Determine as condições de operação de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de
380mm e rotação de 1750rpm. Solução: n=1500rpm Q=68,4m3/s D2=320mm
smx
xxnDU /13,25
601000
1500320
602
2 === ππ
( ) mUg
H t 4,6413,2581,9
11 222 ===∞
Determinar:
kWxxxgQHW tt 124,64019,081,91000 === ∞∞ ρ&
Q1=68,4m3/h n1=1500rpm n2=1750rpm D1=320mm D2=380mm
horamD
D
n
nQQ /6,133
320
380
1500
17504,68 3
33
1
2
1
212 =
=
=
mD
D
n
nHH 6,123
320
380
1500
17504,64
222
1
2
2
1
212 =
=
=
kWD
D
n
nWW 45
320
380
1500
175012
53
1
2
5
1
2
3
1
212 =
=
=
ρρ
&&
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-25
Exemplo – 4.6 Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão 1,7m3/s e altura manométrica 36,5m e potência 720kW. Um modelo geometricamente semelhante com escala 1:6 desta bomba será testado. Se o modelo é testado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga que deverá funcionar assim como a a potência requerida para o mesmo. Solução: Consideramos com sub índice 1 o protótipo (bomba) e sub índice 2 o modelo. Protótipo: Q1=1,7m3/s H1=35,5m P1=720kW D2=1/6D1 n1=400rpm H2=9,0m n2=? W2=?
3
1
2
1
212
=
D
D
n
nQQ
2
1
2
2
1
212
=
D
D
n
nHH
( ) rpmD
D
H
Hnn 11926
5,36
9400 2
2
2
1
1
212 ==
=
smQ /0235,06
1
400
11927,1 3
3
2 =
=
kWD
D
n
nWW 45,2
6
1
400
1192720
535
1
2
3
1
212 =
=
= &&
Exemplo – 4.7 Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro interno com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerando nulas todas as perdas localizadas e hvel=0. Determinar e a equação característica do sistema. Qual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a 80m3/h. Qual a nova vazão e altura que poderia operar uma bomba quando muda a rotação de 1750rpm para 2000rpm. Solução: Dados: D=150mm L=460m f=0,025 he=12m
g
Q
D
Lf
gD
Q
D
Lf
g
v
D
LfhL 2
16
2
4
2
2
52
2
22
ππ =
==
225
25
1251315,0
460025,00826,00826,0 QQxQ
D
LfhL ===
A equação da curva característica da bomba é dada por:
21251312 QhhH Leman +=+= com Q (m3/s) com Q=80m3/h (0,022m3/s) se obtém H=18,2m.
h
m
n
nQQ
3
1
212 43,91
1750
200080 === m
n
nHH 75,23
1750
20002,18
22
1
212 =
=
=
Sistemas Fluidomecânicos
4-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
Exemplo – 4.8 Uma bomba com diâmetro de 75mm opera com uma rotação de 3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 60 m3/h e desenvolve uma altura manométrica de 20m requerendo uma potência de acionamento de 10 kW. Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de uma bomba semelhante com 100mm de diâmetro e deve operar com uma altura manométrica de 30m Solução: D1 = 75mm n1=3450 rpm. Q1 = 60 m3/h H1=20m P1=10kW. D2 = 100mm n2=? rpm. Q2 = ? m3/h H2= 30m P2= ? kW. Utilizando as equações de semelhança:
3
1
2
1
212
=
D
D
n
nQQ
2
1
2
2
1
212
=
D
D
n
nHH
5
1
2
3
1
212
=
D
D
n
nPP
Denominado a relação de diâmetros: 33,175
100
1
2 ≅=
=
D
Dλ
rpmH
Hnn 3170
1
212 == λ
h
m
n
nQQ
33
1
212 6,130== λ
kWn
nWW 7,325
3
1
212 =
= λ&&
Exemplo – 4.9 Especificar o tipo de bomba e determinar o diâmetro externo do rotor, a qual deve trabalhar com uma vazão de 75 m3/h desenvolvendo uma altura manométrica de 22m operando com rotação de 1500 rpm. Solução: Dados: Q = 75 m3/h H=22m n1=1500 rpm.
Utilizando a expressão de número de rotações especifico: rpmH
Qnn
manq 3,21
223600
751500
75,04/3===
Como nq esta entre 10 e 70 deve ser utilizada uma bomba centrifuga radial. A rotação de uma máquina unitária: 755,0 += qu nn com o que se obtém nu=87,5rpm.
man
uH
nDn = e assim obtemos o diâmetro: mm
n
HnD manu 270268,0
1500
225,87 ≅===
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-27
4.13 Atividade de Aprendizado O gráfico representa as curvas características de uma bomba centrifuga do fabricante Goulds Pumps utilizada para serviços gerais com água.
(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um polinômio de 2º grau e graficar a mesma junto os pontos da curva original.
(b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo.
Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo.
(c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)
Sistemas Fluidomecânicos
4-28 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um
polinômio de 2º grau. Solução: Primeiro podemos fazer uma tabela com os dados da vazão em galões por minuto (gpm) e a altura em pés e transformamos respectivamente para m3/h e m.
Q (gpm) H man (pés) Q (m3/h) Hman (m) 0 123 0,0 37,5 10 121 2,3 36,9 20 115 4,5 35,1 30 105 6,8 32,0 40 90 9,1 27,4 50 72 11,4 21,9 60 49 13,6 14,9
Sabemos que a curva característica da bomba pode ser aproximada por uma equação do tipo
2210 QaQaaH man ++=
Com auxilio da planilha Excel plotamos os pontos da tabela anterior e realizamos um ajuste polinomial de 2º grau cujo resultado mostra-se na figura abaixo.
H man = 37,483 + 0,024Q - 0,1231Q 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
Q (m3/h)
H (m
etro
s)
Assim obtemos os coeficientes da Eq. são ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Desta forma a Eq. da curva característica da bomba para o rotor de B (5 ¾” ) é dada por:
21231,0024,0483,37 QQH man −+=
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-29
(b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo.
As Equações para as duas bombas iguais operando em serie e em paralelo são dadas por;
Eq. Curva bombas em serie:
( )22102 SSS QaQaaH ++=
Eq. Curva bombas em paralelo:
2210 42 PPP Q
aQ
aaH ++=
Utilizando as constantes anteriormente determinadas se obtém:
)1231,0024,0483,37(*2 2QQH s −+=
22462,0048,0966,74 QQH s −+=
2
4
1231,0
2
024,0483,37 QQH p −+=
2030775,0012,0483,37 QQH p −+=
Desta forma podemos obter com os dados originais de altura e vazão as respectivas associações de bombas iguais em serie e em paralelo conforme tabela abaixo junto com o resultado gráfico das respectivas curvas características.
Q (m3/h) Hman (m) Qs (m 3/h) Hs (m) Qp (m 3/h) Hp (m)
0,0 37,5 0,0 75,0 0,0 37,5
2,3 36,9 2,3 73,8 4,5 36,9
4,5 35,1 4,5 70,1 9,1 35,1 6,8 31,9 6,8 63,9 13,6 31,9 9,1 27,5 9,1 55,1 18,2 27,5 11,4 21,9 11,4 43,8 22,7 21,9 13,6 14,9 13,6 29,9 27,3 14,9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0
Q (m3/h)
H (
met
ros)
Sistemas Fluidomecânicos
4-30 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
(c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n) Podemos determinar a expressão da Eq. que representa a curva da bomba que originalmente opera numa rotação nA e muda para uma rotação nB. A curva da bomba com rotação nB pode ser determinada pela expressão:
2210 BBB QbQbbH ++= onde
22
11
200
ab
rab
rab
n
n
===
com A
Bn n
nr = considerando que nAB rQQ =
Da questão (a) temos que os coeficientes: ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Considerando que nA=3500rpm, podemos por exemplo reduzir a rotação para nB=3200rpm, obtendo-se rn=0,91. Desta forma encontramos que b0=31,33 b1=0,03 b2=-0,1231. Assim temos as duas curvas características que podem ser plotadas como mostra a figura abaixo.
Para a rotação nA 21231,0024,0483,37 AAA QQH −+=
Para a rotação nB 21231,003,03,31 BBB QQH −+=
QA (m3/h) HA (m) QB m3/h) HB(m)
0,0 37,5 0,0 31,3 2,3 36,9 2,1 30,9 4,5 35,1 4,2 29,3 6,8 31,9 6,2 26,8 9,1 27,5 8,3 23,1
11,4 21,9 10,4 18,4 13,6 14,9 12,5 12,6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
Q (m3/h)
H (m
)
Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade
PUCRS – FENG - 2010
4-31
4.14 Atividade Proposta No1
A tabela abaixo as especificações de uma bomba de um determinado fabricante: Q (m3/h) 0 144 288 432 576 720 Hman (m) 33 32 30,5 28 24,5 20 Wac (kW) 32 34,2 39,2 45 52,5 64,5 Rend (%) Curva Característica Hman = Hman (m) Determine: (a) O rendimento global (%) da bomba para cada ponto (b) Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba nas unidades dadas na tabela acima. (c) Graficar a altura manométrica (m), a potencia (kW), o rendimento global (%) assim como a altura manométrica obtida pela curva característica determinada no item (b). (d) Considerando a Eq. obtida em (b) apresente as Eqs. resultantes da associação de bombas em serie em paralelo para duas bombas iguais.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Q (m3/h)
Hm
an (m
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Pot
ênci
a (k
W) R
end
(%)
Obs. Nas equações principais apresente a dedução de unidades no sistema internacional. Isto será levado em conta na avaliação das questões.
Sistemas Fluidomecânicos
4-32 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
4.15 Atividade Proposta No2
Um sistema requer operar com uma vazão de 22,5 m3/h e altura manométrica de 24,2m
ATIVIDADES Resultados Selecione a bomba apropriada especificando o diâmetro (mm) do rotor Determine a velocidade tangencial do rotor. Determine a potencia de acionamento da bomba no ponto de operação. Determine a potencia fornecida pelo fabricante (compare com a potencia anterior) Elabore uma tabela Q-H com pelo menos 5 pontos da curva correspondente a bomba) Tabela 1 Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em serie Tabela 2 Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em paralelo Tabela 3
Q (m3/h) Tabela 1 01 bomba H (m)
Q (m3/h) Tabela 2 02 bombas em Serie H (m)
Q (m3/h) Tabela 3 02 bombas em Paralelo
H (m)
Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba. (Grafique) H = Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em serie. (Grafique) Hs = Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em paralelo. (Grafique) H p=
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG – 2010 5-1
CCCuuurrrvvvaaasss OOOpppeeerrraaaccciiiooonnnaaaiiisss DDDeee SSSiiisssttteeemmmaaasss dddeee BBBooommmbbbeeeaaammmeeennntttooo
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 5-2
Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
SUMÁRIO 5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento...............................................3
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula .........................................................................4 5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula..............................................................4 5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva ......................................................................5 5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa ..................................................................5 5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga ......................................................................6
5.2 Controle de Desempenho das Bombas. ......................................................................7 5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula .....................8 5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) ........9 5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação........................................................10 5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor ...................................12 5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás...............................................14 5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão ...........................................15 5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo...........................................17
5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas .........................19 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas ..........................................19 5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas ..........................................................................20
5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas................................................21 5.5 Exemplo do Procedimento.........................................................................................22 5.6 Equações Complementares.......................................................................................27
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG – 2010 5-3
5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento
A curva característica do sistema é formada pela contribuição da altura estática de elevação he mais a contribuição da perda de carga da tubulação e dos acessórios. A perda de carga dos acessórios inclui válvulas, registros perdas por entrada ou saída do fluido nos reservatórios assim como a perda de carga por elementos na tubulação que permitem mudança de diâmetro da tubulação tais como bocais convergentes e bocais divergentes. A altura estática de elevação é determinada pela contribuição da altura estática de aspiração mais a altura estática de recalque. Considerando como referencia o centro da bomba a altura estática de elevação pode ser a soma o diferença das alturas de aspiração (ha) e altura estática de recalque (hr) A perda de carga da tubulação é proporcional ao quadrado da velocidade (v2) e, portanto proporcional ao quadrado da vazão (Q2). Desta forma a curva característica do sistema é dada por uma Eq. do tipo:
2kQhH eman +=
Quando temos um sistema de bombeamento em que o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta abaixo do centro da bomba a altura estática de elevação, é dada por:
rae hhh +=
Fig.5.1 Sistema convencional
Quando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro da bomba, a altura estática de elevação é dada por:
rae hhh −=
Fig.5.2 Sistema bomba afogada
Quando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro e o nível da água do reservatório de recalque abaixo do centro da bomba, a altura estática de elevação torna-se negativa e é dada por:
)( rae hhh +−=
Fig.5.3 Sistema bomba gravidade
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 5-4
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula
Quando a altura de aspiração e de recalque são iguais, a altura estática de elevação é nula. Neste
caso (Fig.5.4) a curva do sistema é determinada unicamente em função da perda de carga da tubulação. O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. Nestes sistemas a vazão pode ser reduzida pelo fechamento de uma válvula de registro.
2kQH man =
Fig.5.4 Sistema bomba gravidade
5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula Quando a altura de aspiração a perda de carga do sistema é muito pequena ou desprezível a curva do
sistema é uma reta paralela ao eixo da vazão sendo determinada unicamente em função altura estática de elevação (Fig.5.5). O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema.
eman hH =
Fig.5.5 Sistema com perda de carga nula
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva Neste sistema (Fig.5.6) a altura manométrica é determinada pela soma da contribuição da altura
estática de elevação mais a perda de carga da tubulação e acessórios. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. Também pode ser mudada a vazão com regulação de uma válvula de registro.
2kQhH eman +=
Fig.5.6 Sistema com altura estática positiva
5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa Neste sistema (Fig.5.7) o resultado da soma altura estática da aspiração e de recalque tornam a
altura estática de elevação negativa. Parte da energia do sistema é transferida por gravidade e parte adicionada pela bomba. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. A vazão pode ser mudada com regulação de uma válvula de registro.
2kQhH eman +−=
Fig.5.7 Sistema com altura estática negativa
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 5-6
5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga
Em sistemas de este tipo (Fig.5.8) a perda de carga da instalação é muito pequena, o que pode ser devido a velocidades baixas na tubulação, poucos acessórios na instalação ou diâmetros grandes assim como tubulações muito lisas. Desta forma na altura manométrica do sistema predomina a altura estática de elevação. Sendo assim a curva do sistema torna-se bastante plana o que significa que com o aumento da vazão a altura manométrica aumenta pouco mais do que a altura de elevação.
eeman hkQhH ≅+= 2
Fig.5.8 Sistema com baixa perda de carga
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.2 Controle de Desempenho das Bombas.
O ponto de operação (Fgi.5.9) da vazão e altura manométrica é dado pela interseção da curva da bomba com a curva do sistema. Para mudar este ponto de operação poder ser modificada a curva da bomba ou a curva do sistema.
Fig.5.9 Ponto de operação bomba-sistema
A curva do sistema pode ser modificada: Modificando a resistência do escoamento, por exemplo, utilizando o fechamento de um registro, instalando um sistema de recirculação da vazão (bypass), modificando ou trocando o diâmetro da tubulação ou também pode ocorrer naturalmente devido ao próprio envelhecimento da tubulação. A curva da bomba pode ser modificada: Mudando o diâmetro do rotor, realizando um corte para diminuir o diâmetro do rotor, ativando ou desativando bomba, operando um conjunto de bombas em serie ou em paralelo. Também pode ser mudada a curva da bomba através modificando a rotação procedimento o qual a vazão, altura manométrica e potência modificam-se regidas pelas leis de semelhança das bombas. Em bombas axiais pode ser mudada a curva da bomba mudando o ângulo de passo das pás do rotor.
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5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula
O controle da vazão pode ser realizado por regulação de uma válvula de registro a fim de ajustar a vazão para uma nova condição de operação (Fig.5.10). Se tivermos uma bomba em funcionamento com um determinado ponto de operação e desejamos diminuir a vazão, então é realizado o procedimento de fechamento do registro (estrangulamento) para atingir a vazão requerida. Esta obstrução do escoamento com o registro produz um aumento de perda de carga o que modifica a curva do sistema original deslocando o ponto de operação até a interseção da curva da bomba com a curva do sistema modificada. Este procedimento é de baixo custo, contudo pouco eficiente já que o aumento da perda de carga se traduz numa energia dissipada (perdida) transformada em calor (Fgi.5.11). Desta forma a potência consumida pode aumentar para suprir o aumento da perda de carga. Cabe assinalar que neste procedimento a curva da bomba se mantém a mesma e desta forma não é modificada nem a rotação nem o diâmetro do rotor.
Fig.5.10 Sistema com estrangulamento de registro
Fig.5.11 Energia dissipada pelo fechamento de registro
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) O controle da vazão é realizado abrindo um registro que permite por uma linha de recirculação do
fluido (bypass) aumentar a vazão com o qual ocorre uma modificação na curva do sistema deslocando o ponto de operação (Fig.5.12). Em sistemas onde a altura estática é dominante o controle por bypass pode ser mais eficiente que a regulação por fechamento de registro ou por ajuste da rotação.
] Fig.5.12 Sistema de controle por recirculação de vazão (bypass)
Fig.5.13 Curvas de operação de sistema de controle por recirculação de vazão
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5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação
Pelas leis de semelhança temos conhecimento que uma determinada bomba com diâmetro especifico pode apresentar diferentes curvas de altura vazão quando é modificada sua rotação. Conhecendo as condições de operação (vazão e altura manométrica) para uma determinada rotação n1 podemos determinar as novas condições de operação para uma nova rotação n2. A Fig.5.14a mostra a modificação da curva de uma bomba que opera com rotação n1 no ponto de máximo rendimento. Pelas leis de semelhança a mudança da vazão é diretamente proporcional a mudança da rotação Q α n , a altura manométrica muda proporcional ao quadrado da rotação ( H α n2 ) e a potência muda com o cubo da rotação ( W α n3 ). Por exemplo para uma redução de 50% da rotação a bomba fornece a metade da vazão, uma altura manométrica de 25% da sua altura original e absorvendo 12,5% da potência. Observa-se que reduzindo a rotação podem ser geradas famílias de curvas de esta mesma bomba. Também se mostra na Fig.5.14b que o rendimento global pode permanecer alto se quando a vazão se mantém entre 60 a 100% da vazão de projeto.
(a)
(b)
Fig.5.14 Curvas de operação de bombas com mudança de rotação Os principais benefícios do controle de rotação é que permite com facilidade modificar o ponto de
operação adequando a curva da bomba para a curva do sistema. O procedimento também permite otimizar a energia do sistema eliminado as perdas por controle de registro assim como permite uma funcionamento suave no processo de partida do motor da bomba.
Observa-se na Fig.5.15 que o ponto de operação terá um rendimento levemente diferente que o ponto
de operação original já que a curva do sistema de bombeamento é uma expressão quadrática que não corta a origem e o deslocamento dos pontos da a curva altura-vazão da bomba seguem uma expressão do tipo curva parabólica que segue as leis de semelhança em função da mudança de rotação. A figura abaixo mostra como isto acontece.
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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Fig.5.15 Curvas de operação de sistema com bomba com mudança de rotação
Nos casos em que o sistema não possui altura estática, a curva característica é representada por uma
curva do tipo parabólica que passa pela origem (Fig.5.16). Nestes casos a variação da rotação, tal como mostra a Fig.5.16 pouco afeta o rendimento. Já que o ponto de operação para a nova rotação paraticamente acompanha a curva de rendimento. Nos casos em que a altura estática é significativa a mudança de rotação afeta o rendimento que terá o novo ponto de operação.
Fig.5.16 Curvas de operação com mudança de rotação para sistemas diferentes
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5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor
A curva da bomba pode ser modifica trocando de rotor ou utilizando diminuindo (corte) o diâmetro do rotor original. Os dois procedimentos permitem adequar o desempenho da bomba para um determinado ponto de operação. A Fig.5.17 mostra de esquerda a direita um rotor de bomba centrifuga original com diâmetro de 213mm e 04 rotores com diferentes diâmetros de corte. A tabela mostra a relação entre o diâmetro original e o diâmetro de corte (Rc) assim como o percentual do corte em relação ao diâmetro original. A Fig.5.18 mostra o resultado das curvas de altura-vazão rendimento global e potência da bomba. Observa-se que a medida que o diâmetro do rotor é reduzido existe uma redução do rendimento da bomba assim como da potencia requerida para a operação da bomba.
Fonte: Experiments on impeller trim of a commercial centrifugal oil pump - Wen-Guang LI (2004)
Rotor Rotor 1 Rotor 2 Rotor 3 Rotor 4 Diâmetro (mm) 213 205 195 185 175 Rc 1,00 0,96 0,92 0,87 0,82 % corte 0% 3,8% 8,5% 13,1% 17,8%
Fig.5.17 Exemplo de rotores com diminuição do diâmetro
Fig.5.18 Desempenho da potencia altura e rendimento de rotores com diminuição do diâmetro
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Fig.5.19 Ajuste do ponto de operação por redução do diâmetro do rotor.
A Fig. 5.19 mostra como a mudança do ponto de operação para um rotor com diâmetro D1 reduzido
a um diâmetro D2. Como se observa na Fig.5.20 para sistemas em que a altura estática de aspiração é pequena, o rendimento do novo ponto de operação se mantém aproximadamente constante; enquanto que para sistemas com uma grande altura estática de elevação o novo ponto de operação pode apresentar uma diminuição significativa do rendimento.
Fig.5.20 Variação do rendimento em função do tipo de curvas do sistema.
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5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás
Este procedimento é realizado nas bombas axiais nas quais suas pás podem ser reguladas mudando o ângulo do passo. A Fig.5.21 mostra a altura de operação e vazão de operação adimensionalizadas pelo ponto ótimo de operação no qual o rendimento é máximo. Observa-se, por exemplo, que quando a máquina opera com ângulo de passo das pás de 160 a bomba trabalha nas condições ótimas. Quando se deseja por exemplo operar a bomba num sistema com uma vazão de 80% em relação a vazão ótima (Q=0,8Qopt) , então o ângulo das pás deverão ser modificados para 110. Neste ponto o rendimento ficara em torno de 0,91 ηopt conseguindo uma altura manométrica em torno de 0,95 Hopt
Fig.5.21 Mudança do ângulo de passo em pás de bombas axiais
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão A Tab. 51. mostra um comparativo das estratégias de controle utilizando válvula de regulação, corte
do diâmetro do rotor e variação da rotação utilizando inversor de freqüência. No exemplo a bomba com diâmetro do rotor de 430mm deve operar com uma vazão de 80 m3/h; Observa-se que o sistema de regulação por válvula trabalha com uma grande altura manométrica devido a perda de carga pelo fechamento do registro para poder atender a vazão especificada. O sistema por corte do rotor mostra que para atender a demanda da vazão o diâmetro devera ser de 375mm o que corresponde a uma relação de corte de Rc=0,87 correspondendo a uma diminuição 13% do diâmetro original. Nesta condição o rotor operara com uma altura manométrica de 42m, sendo que o rendimento é um pouco inferior ao rendimento alcançado no sistema de regulação com válvula. Também observa-se que com a redução do diâmetro do rotor a potência consumida é equivalente a 60% da potencia consumida no sistema de regulação por registro. A tabela mostra que o sistema de variação por rotação apresenta o melhor desempenho em termos de eficiência energética com o maior rendimento, a altura manométrica menor (34,5m) e requer a metade da potência que requer o sistema de regulação com válvula.
Cabe assinalar que trata-se de um exemplo especifico e que tal resultado não pode ser generalizado,
contudo pela em termos de eficiência energética o sistema que opera por variação de rotação é o mais apropriado e esta sendo utilizado como a melhor alternativa para redução do consumo de energia e operar com sistemas de bombeamento de maneira otimizada.
Tabela 5.1 Comparação de estratégias de operação
Parâmetro Regulação de válvula Corte no rotor Variação da rotação
Diâmetro do rotor 430 mm 375 mm 430 mm
Altura manométrica 71.7 m 42 m 34.5 m
Rendimento da bomba 75.1% 72.1% 77%
Vazão de operação 80 m3/hr 80 m3/hr 80 m3/hr
Potência consumida 23.1 kW 14 kW 11.6 kW
A Fig.5.22 mostra uma outro tipo de comparativo no qual mostra-se o percentual de energia
consumida pela bomba em função do percentual de redução da vazão a partir de um determinado ponto de operação. A partir da condição original (100% da vazão) observa-se o que acontece quando é reduzida a vazão de modo percentual. Mostra-se que o sistema de recirculação da vazão (bypass) a redução da vazão não possui redução percentual do consumo de energia. O sistema por estrangulamento de válvula permite a diminuição da vazão assim como a energia consumida pela bomba conforme diminui a vazão. O melhor desempenho em quando a redução da energia é obtida com o sistema de velocidade variável. Neste sistema a diminuição da vazão permite uma redução da energia proporcional ao cubo da rotação da máquina.
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Fig.5.22 Comparação da variação percentual
A Fig.5.23 mostra outro comparativo das estratégias anteriores. Mostra-se a curva características do
sistema e a curva característica da bomba observando-se que em termos de energia perdida o método de recirculação da vazão (bypass) é o menos eficiente seguido do método de estrangulamento de válvula. Observa-se que o método de mudança de rotação é ótimo já que para atingir o ponto de operação modifica-se muda a rotação ajustando a da bomba para a demanda da curva do sistema.
Fig.5.23 Comparativo de estratégias de controle da vazão.
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5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo
Quando uma única bomba não consegue atender uma determinada vazão é possível conseguir tal requerimento utilizando um conjunto de bombas conectadas em paralelo. O uso de bombas conectadas em pode trazer benefícios em termos de redução do consumo de energia. As bombas em paralelo devem ser utilizadas de forma que ambas operem próximos do rendimento máximo. O sistema possuirá flexibilidade, redundância no caso de falha de uma das bombas e capacidade de vazão para atender novas necessidades de forma eficiente. O procedimento é recomendado em sistemas que possuem uma alta altura estática de elevação. Em sistemas onde predomina a perda de carga a alternativa de rotação variável torna-se mais eficiente e, portanto mais apropriada. Opta-se pela utilização de bombas iguais para disponibilizar uma altura manométrica equilibrada quando funcionando em conjunto. O uso de bombas diferentes poderia ocasionar uma perda de equilíbrio do funcionamento, no qual a bomba de maior capacidade tenderá a dominar o funcionamento do sistema forçando as outras bombas a trabalhar com menor eficiência.
Consideremos um sistema (Fig.5.24) com sua curva característica mostrada na figura e operando
junto com duas bombas iguais conectadas em paralelo. Na operação com as 2 bombas conectadas em paralelo o sistema encontra-se trabalhando no ponto Bp com uma vazão Qp = Q1 + Q2 . Se uma das bombas fica fora de funcionamento a bomba operará no ponto B com uma vazão QB. Observa-se que esta vazão é superior a vazão fornecem cada uma das bombas (QB > Q1+Q2). No caso inverso quando entra em funcionamento a segunda bomba o sistema opera no ponto Bp sendo que a vazão não duplica e sim atinge a vazão Qp, ponto no qual as duas bombas contribuem com a metade da vazão, isto é QBp = Q1 + Q2.
Fig.5.24 Comparativo de estratégias de controle da vazão.
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PPPaaarrraaammmeeetttrrriiizzzaaaçççãããooo dddeee CCCuuurrrvvvaaasss CCCaaarrraaacccttteeerrríííssstttiiicccaaasss dddeee BBBooommmbbbaaasss CCCeeennntttrrriiifffuuugggaaasss
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Neste capítulo é apresentada uma metodologia que permite obter uma recuperação dos parâmetros de projeto a partir das características operacionais de uma bomba centrífuga. Com a informação da curva característica da altura-vazão, fornecida pelo fabricante, podemos obter, pelo procedimento de parametrização, outras curvas que apresentam em detalhe a altura teórica para número infinito de pás, a altura teórica para número finito de pás, e as curvas que representam as perdas ou dissipação de energia por choque e por atrito. 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas A equação característica real de uma bomba centrífuga é definida por: A altura de elevação real desenvolvida pela bomba (altura manométrica) é a altura teórica para número finito de pás subtraída das perdas hidráulicas:
)( 21# hhHH t +−=
Onde Ht# é a altura teórica para número finito de pás, h1 perdas hidráulicas por atrito e h2 perdas hidráulicas por choque. A curva característica real de uma bomba centrífuga é mostrada na Fig.5.25 junto com as curvas das perdas hidráulicas e perdas por choque. Somando suas ordenadas obtemos a curva da perda hidráulica total. Subtraindo de Ht# a perda hidráulica total, como indica a equação, se obtém a curva característica real. A máxima altura de elevação de uma bomba é desenvolvida para uma vazão menor que Qo. Isto significa que a perda hidráulica mínima não corresponde à altura de elevação máxima. Podemos derivar as curvas, em relação a Q, e achar os respectivos pontos de derivada nula.
Figura 5.25 - Curva real de uma bomba incluindo as perdas hidráulicas
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5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas As perdas hidráulicas da bomba podem ser consideradas como a superposição das perdas hidráulicas com as perdas por choque. As perdas hidráulicas dependem da dissipação viscosa do escoamento do fluido nos canais formados pelas aletas, difusores, aletas diretrizes de entrada e saída do rotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do rotor (atrito de disco). Tais perdas são proporcionais ao quadrado da vazão e podem ser expressas por:
211 Qkh =
sendo a constante de proporcionalidade k1 função de características construtivas e dimensionais da bomba tais como tipo de máquina (radial,axial) e do tipo de acabamento superficial do rotor. Numa máquina real existirá perturbação no escoamento, com a formação de vórtices e regiões de recirculação, descolamento da camada limite. A dissipação de energia devido a estes fenômenos é conhecida como perdas por choque e pode ser equacionada como:
( )2022 QQkh −=
onde Q-Qo representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Qo é a vazão de projeto (aquela que não induz perdas por choque).
As perdas hidráulicas de uma bomba são então calculadas somando-se as perdas hidráulicas com as perdas por choque:
( )202
21 QQkQkHH t −−−= ∞µ
( )202
21
22
22
2
2QQKQK
br
ctgQU
g
UH −−⋅−
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅=π
βµ
A razão entre a altura real de elevação e a altura teórica de elevação define o rendimento hidráulico ηh . Então e pela definição de altura teórica para número finito de pás:
∞⋅=
th H
H
µη
onde µ representa o fator de deslizamento, que é o inverso do coeficiente de Pfleiderer (kpfl). Depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2
o):
−
++==2
2
1
2
1
2
6011
1
D
Dz
akpfl
βµ
O coeficiente "a" leva em consideração a interação do difusor com o impelidor, sendo dado para diferentes tipos de volutas como
Tipo de Voluta Coeficiente “a” Voluta simples 0,65 a 0,85
Difusor com pás guias 0,6 Difusor sem pás guias 0,85 a 1,0
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas A parametrização de bombas centrífugas trata da recuperação dos parâmetros de projeto. O equacionamento permite obter a curva real junto com as curvas de perdas quando são conhecidas suas características operacionais. Apesar de ser uma formulação para escoamento unidimensional, ela representa muito bem o comportamento das máquinas reais. Sabemos que a equação característica real de uma bomba centrífuga é representada como:
( )202
212
222
2
2QQkQkctg
br
QU
g
UH −⋅−⋅−
⋅
⋅⋅−⋅⋅= β
πµ
Na forma adimensional esta equação é dada por:
( ) ( )2
222
02
22
22
2221
22
222
2222
22
11
−−
−
−=
brU
QQkbgr
brU
Qkbgrctg
brU
Q
u
gH βπ
µ
Para simplificar a equação acima definimos H ∗ como a altura adimensionalizada, a qual é denominada coeficiente de pressão. Também trabalhamos com uma vazão adimensionalizada, Q* a qual é denominada coeficiente de vazão.
22U
HgH
⋅=∗ 222 brU
⋅⋅=∗
Desta forma a equação adimensionalizada e utilizada para o procedimento de parametrização é dada como:
( ) ( ) ( )2
022
22
2
2
12
22
222
11 ∗∗∗∗∗ −−−
−= QQkbgrQkbgrctgQH βπ
µ
Os produtos (k1r2
2b22) e ( k2r2
2b22) são adimensionais, o que implica que as constantes k1 e k2 têm
dimensão. A equação também pode ser dada como:
( )( ) ( ) ( )[ ]2
022
22
22022
22
22
212
22
2 2
12 ∗∗∗∗∗ −+
−+−= QkbgrQctgQkbgrQkkbgrH µβπ
µ
Para determinar os parâmetros de projeto podemos aproximar a curva por um polinômio, um polinômio de 2° grau, na forma:
2*2
*10
* QaQaaH ++=
onde ao, a1 e a2 são constantes do polinômio determinadas facilmente na planilha do Excel..
Igualando-se, termo a termo, a equação da curva característica adimensional da bomba com a equação polinomial de segundo grau, obtém-se o seguinte conjunto de equações:
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( )( ) 22122
22 akkbgr =+−
( ) 120222
22 2
1*2 actgQkbgr =
− βπ
µ
( ) 02*
0222
22 aQkbgr =−µ
Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q*), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas, e por procedimento iterativo chegar a solução como apresentado no exemplo dado. O diâmetro do rotor na saída, (D2) largura da pá na saída (b2) e ângulo da pá na saída (β2) devem ser fornecidos pelo fabricante ou estimados por metodologia apropriada. 5.5 Exemplo do Procedimento
Fazer a parametrização da curva característica da bomba comercial KSB, modelo ETANORM 32-125, com as seguintes características: O rotor da bomba tem diâmetro D2=139mm, e largura na saída igual a b2=10mm. O ângulo da pá na saída é β2 = 30°. Da curva fornecida no catálogo pelo fabricante, para 3500rpm se tem a seguinte tabela:
Tabela 5.2 Dados fornecidos pelo fabricante
Q (m3/h) H (m) η(%)
7,5 40 40
22 37,5 64
28,7 35 67
34 32,5 67
38 30 65,5
Inicialmente se graficar a curva da bomba com os dados fornecidos pelo fabricante (Fig.5.26).
Curvas Características de Bombas Centrífugas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40Q(m3/h)
H (
m)
Curva do Fabricante
Rendimento
Figura 5.26 – Curva da altura manométrica (m) e rendimento global (%)
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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O próximo passo é utilizar a equação real das bombas centrífugas mostrando-se a aplicação da mesma na recuperação dos parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde de que se conheça as características operacionais da bomba.
A Equação característica real da bomba centrífuga é escrita dessa maneira:
( )202
212
222
2
2QQkQkctg
br
QU
g
UH −⋅−⋅−
⋅
⋅⋅−⋅⋅= β
πµ
Para facilitar a análise adimensionam-se a altura e vazão utilizando as expressões do coeficiente de pressão e coeficiente de vazão:
22U
HgH
⋅=∗ 222 brU
⋅⋅=∗
A velocidade periférica do rotor na saída é obtida pela relação: 60
22
nDu
π=
Neste caso, com n=3500rpm e D2=139mm se obtém u2=25,5m/s Desta forma pode-se encontrar os valores de Q* e H* , apresentados na Tab.5.3. Tabela 5.3 Dados da Curva adimensionalizada
Q* H*
0,118 0,603
0,345 0,566
0,45 0,528
0,533 0,49
0,596 0,453
Com os dados da curva adimensionalizada pode-se graficar a curva característica adimensionalizada mostrada na Fig. 5.27(a).
Curvas Características de Bombas Centrífugas
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7Q*
H*
Curva da BombaAdimensionalizada
Curvas Características de Bombas Centrífugas
y = -0,6004x2 + 0,1163x + 0,5976
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7Q*
H*
Curva Real da Bomba Adimensionalizada
Polinômio (Curva Real da Bomba Adimensionalizada)
Figura 5.27 (a) Gráfico da curva adimensionalizada e (b) ajuste por polinômio de 20 grau
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 5-24
Com auxílio do Excel, pode-se parametrizar a curva adimensional, através de um polinômio de 2° grau. Com o ajuste da curva tem-se o polinômio:
2*2
*10
* QaQaaH ++=
A Fig. 6.3(b) mostra a curva da bomba parametrizada através do polinômio de 2° grau.
Utilizando-se os coeficientes de ajuste da curva fornecidos pelo Excel, se pode montar uma outra tabela (Tab.5.4) para a curva adimensionalizada, utilizando a expressão polinomial.
Tabela 5.4 Dados obtidos através do Polinômio Q* H*
0,118 0,595
0,345 0,557
0,45 0,518
0,533 0,478
0,596 0,442
Os coeficientes obtidos pelo polinômio foram os seguintes: Ver equação Fig. 6.3
a0 = 0,5976 a1 = 0,1163 a2 = -0,6004 A equação do polinômio é equivalente a:
( )( ) ( ) ( )[ ]2*02
22
222
*02
22
22
221
22
22 *
2
1 2* * QkbrgQctgQkbrgQkkbrgH −+
−++−= µβπ
µ
( )( ) 6004,02122
22 −=+− kkbgr
( ) 1163,02
1*2 202
22
22 =
− βπ
µ ctgQkbgr
( ) 5976,02*02
22
22 =− Qkbgrµ
Substituindo-se nestas equações os valores dos parâmetros conhecidos: R2=69,5mm, b2=10mm, β2=30°. Tem-se o seguinte:
( ) 521 1026,1 ×=+ kk
34*02 1061,1110908,2 ×=×− µQk
552*02 1026,11011,2 ×−=×− µQk
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas. Para tal pode-se observar a última equação (coeficiente de grau zero), e notar que µ deve ser superior a 0,5976, para que a equação seja satisfeita.
Observando-se o gráfico dado pelo fabricante, conclui-se que vazão para a eficiência máxima da bomba é aproximadamente 30m3/h. Assim, determina-se o valor de µ de tal forma que se obtenha a vazão o mais próximo possível do valor de eficiência máxima.
Para µ=0,65 se obtém: k2=8,35x104 k1=4,25x104 Q0*=0,365 Q=23,31m3/h Para µ=0,66 se obtém: k2=7,15x104 k1=5,44x104 Q0*=0,431 Q=27,5m3/h Para µ=0,665 se obtém: k2=6,69x104 k1=5,91x104 Q0*=0,463 Q=29,51m3/h
Obs: Para encontrar o valor de Q basta utilizar a equação da vazão adimensional (Q*). Com o último valor µ=0,665 a vazão encontrada (29,51m3/h) é bem próxima do valor ótimo (30m3/h). Desta forma adotamos os coeficientes k2=6,69x104 k1=5,91x104.
Com os coeficientes podemos gráfica as curvas de atrito e choque, utilizando-se as equações abaixo:
211 Qkh = (Eq.de perdas por atrito) ( )2
022 QQkh −= (Eq. de perdas por choque)
O termo (Q-Q0) representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Q0 é a vazão de projeto, aquela que não induz perdas por choque. Q0 é a vazão calculada e escolhida, ou seja, a vazão mais próxima a eficiência máxima. No nosso caso Q0=29,51m3/h.
Além dessas curvas também pode-se utilizar a equação da altura teórica para número finito de pás
−=
22
22
2# ...2
....
bR
ctgQU
g
UH t π
βµ (Equação da altura teórica)
Com tais equações são geradas as tabelas do atrito (Tab.5.5), choque (Tab. 5.6) e da curva teórica da bomba (Tab.5.7). A Fig.5.4 mostra o gráfico construído com esses dados.
Tabela 5.5 Resultados da curva de atrito Q (m3/s) h1 (m)
0,0021 0,2565
0,0061 2,2071
0,0080 3,7562
0,0094 5,2716
0,0106 6,5849
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 5-26
Tabela 5.6 Resultados da curva de choque Q (m3/s) (Q-Q0) (m
3/s) h2 (m)
0,0021 -0,0061 2,5005
0,0061 -0,0021 0,2911
0,0080 -0,0002 0,0034
0,0094 0,0012 0,1041
0,0106 0,0024 0,3722
Tabela 5.7 Resultados da curva teórica (influência das aletas)
Q (m3/s) Ht# (m)
0,0021 42,65
0,0061 39,89
0,0080 38,61
0,0094 37,60
0,0106 36,84 Desta forma a equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba, é determinada. A Fig 5.28 mostra a composição desta curva real, a partir da identificação dos termos de perda e desvio em relação à idealização inicial.
Parametrização da Curva da Bomba
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012
Vazão (Q(m3/s))
Altu
ra h
e H
t#
Atrito
Choque
Figura 5.28. Curva de bomba centrífuga obtida com o método aplicado.
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento
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5.6 Equações Complementares Como visto no presente Capitulo, para aplicar o método de parametrização devemos contar os dados de H-Q e H-η da bomba assim como n, D2 β2 e b2. No caso de bombas comerciais podemos ter dificuldades de obter do catalogo do fabricante o ângulo da pá e largura da pá na saída do rotor já que são parâmetros de projeto. Nessa situação devemos utilizar equacionamentos adicionais obtidos de referencias bibliográficas para o projeto de bombas centrífugas. Neste caso utilizamos as equaciones de Jekat (Centrifugal Pump Theory). Dados do catalogo H, Q, D2 n Determinar: β2 e b2 (H e Q correspondem ao ponto de máximo rendimento) Determinar a rotação especifica característica nq
4/3H
Qnnq =
Com nq Estimar o coeficiente de velocidades
2
2
U
Ck m
v =
O qual pode ser obtido pela aproximação
qv nk 0029,00077,0 +=
Com nq Estimar o ângulo da pá na saída (β2)
Para nq < 20
322 0005,00643,071,260 qqq nnn −−−=β
Para nq > 20 β2 = 250
Determinar a velocidade periférica do rotor
602
2
nDU
π=
Determinar Cm2 Cm2 = Kv U2
Com Cm2 determinar a largura da pá (b2)
222
mCD
Qb
π=
Adotar uma relação de diâmetros.
Pode-se adotar D1/D2=0,5
Selecionar o número de pás (z)
Adotar z entre 4 a 8 para nq < 80
(ou determinar com equação do Cap.3 ) Equações para verificação dos resultados Rendimento hidráulico (ηH) em função de Q
25,0
071,01
QH −=η (Q em m3/s )
(*) Coeficiente de Altura (ψ). ( )2cot12 βµηψ vh k−=
Conhecido ψ determinar a velocidade tangencial na saída do rotor e comparar com a do fabricante. Numa boa parametrização ambas devem ser muito próximas. ψ
gHU
22 =
(*) O fator de deslizamento (µ) pode ser obtido com β2 D1/D2 e z utilizando a Eq. dada neste capítulo.
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
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Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-2
Sistemas de Bombeamento
SUMÁRIO
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos ..................................................................... 3 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos ...................................................... 4 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento......................................................................... 5 6.3 Definição de Alturas Estáticas ....................................................................................................... 6 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas ........................................................................................................... 7 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha......................................................... 7 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr........................................................... 8 6.5 Altura Manométrica ......................................................................................................................... 9 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração................................................................... 11 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada................................................. 11 6.5.3 Altura Útil de Elevação.................................................................................................................... 12 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas .............................................................. 12 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento.............................................................. 14 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento........................................... 15 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento ................................................................. 16 6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema ........................................................ 17 6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema ....................... 18 6.9 Exemplos Resolvidos.................................................................................................................... 19 6.10 Atividade de Aprendizado ............................................................................................................. 24 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento ....................................... 25 6.12 Exemplo de Resultados ................................................................................................................ 26
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-3
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos
Sabemos que a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos de
energia (por exemplo de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a equação geral da energia como uma extensão da Eq. de Bernoulli que pode ser utilizada, nestes casos, incluindo os termos de energia apropriados. Uma análise de energia entre duas seções (Fig.6.3) que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como:
Energia ponto 1 + Energia adicionada - Energia removida - Energia por perdas = Energia ponto 2
2
222
1
211
22z
g
v
g
phHHz
g
v
g
pLRA ++=−−+++
ρρ
( 1 )
HA Energia adicionada ao fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo
bombas.
HR Energia removida ou retirada do fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo turbinas.
hL Perdas de energia pelo sistema devido ao atrito nas tubulações (perda de carga por comprimento de tubulação) ou perdas de carga localizadas devido à presença de válvulas e conectores e outros acessórios inseridos na rede.
Figura 6.1 Sistema que representa a equação geral da energia.
A equação de energia deve estar escrita na direção do fluxo. Desde o ponto de referência na parte esquerda até ao ponto correspondente no lado direito. Os sinais algébricos estabelecem que um elemento de fluido que tem uma certa quantidade de energia por unidade de peso na seção 1 pode ter uma adição de energia (+HA) ou uma perda de energia (-hL) antes de alcançar a seção 2. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Por exemplo se não existem dispositivos mecânicos os termos HA e HR podem ser eliminados. Da mesma forma se a perda de energia é muito pequena o termo hL pode ser desprezível.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-4
6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos
A potência provinda da energia adicionada ou absorvida por sistemas mecânicos (bombas, ventiladores, turbinas) pode ser determinada multiplicando-se a energia transferida por unidade de peso de fluido pelo fluxo de peso de fluido escoando através do sistema. Sabemos que o fluxo de massa escoando através do sistema é dado por:
QmvAm ρρ == && ou
desta forma o peso de fluido escoando é dado como
gQgvAgmescoandofluidodepesodefluxo ρρ ou == &
A potência teórica adicionada por uma bomba ao fluido pode ser determinada como:
gQHW AA ρ=& (W) ( 2 )
onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. No SI a unidade resultante é Watts.
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba.
oacionament de potência
útil
bomba a para fornecida potência
fluido ao bomba pela adicionada potênciapotênciaBomba ==η
No caso da energia subministrada a uma dispositivo mecânico como turbina a Potência transmitida pelo fluido ao motor é dada por:
gQHW RR ρ=& (W) ( 3 )
Nestes dispositivos mecânicos também existem perdas de energia por atrito mecânico e de fluido. A eficiência mecânica é definida como a relação entre a potência de saída do motor e a potência transmitida pelo fluido.
fluido pelo da transmitipotência
turbinada saída de potência=turbinaη
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
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6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. Tal conceito se aplica às máquinas de fluxo que operam com líquidos. No caso das turbinas hidráulicas representaria a quantidade de energia específica que a água em escoamento transfere ao rotor da turbina. Na operação de ventiladores a energia específica transferida aos gases é denominada pressão total. Para determinar a altura manométrica, em termos das características físicas e operacionais de um sistema de bombeamento, utilizamos a Fig.6.2. O sistema de bombeamento é constituído de reservatórios de aspiração e descarga (recalque), da bomba, de tubulações que conectam a bomba aos reservatórios, e vários acessórios complementares como: cotovelos de tubulação, válvulas de bloqueio ou controle do fluxo, suportes, etc.
Figura 6.2 Esquema de sistema de bombeamento
Convenção de subíndices: [0]: Ponto da superfície livre no reservatório de aspiração. [1]: Ponto da seção de entrada da bomba. [2]: Ponto da seção de saída da bomba. [3]: Ponto na superfície livre do reservatório de recalque ou maior altura da saída do fluido no recalque. [a]: Elementos no sistema de aspiração do fluido [r]: Elementos do sistema de recalque do fluido As principais variáveis que devem ser determinadas num sistema de bombeamento são:
• Pressão na entrada da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão na saída da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão total solicitada na bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-6
6.3 Definição de Alturas Estáticas Altura Estática de Aspiração - ha Representa a diferença de cotas entre o nível do centro da bomba e o nível da superfície livre do reservatório de captação do fluido. Altura Estática de Recalque - hr Representa a diferença de cotas entre os níveis onde o fluido é abandonado ao sair pela tubulação de recalque no meio ambiente (ou outro) e o nível do centro da bomba. Altura Estática de Elevação - he Diferença de cotas entre os níveis em que o fluido é abandonado no meio ambiente (ou outro meio), ao sair pelo tubo de recalque, e o nível livre no reservatório de captação. Também denominada altura topográfica ou altura geométrica. (he=ha+hr) Na Fig. 7.1 também se representa a instalação de um vacuômetro na entrada da bomba em um manômetro na saída da bomba. A altura ∆h. representa a diferença entre centros destes instrumentos. Variáveis com subíndices a identificam elementos da tubulação de aspiração e variáveis com subíndice r componentes da tubulação de recalque. Para determinar as principais variáveis num sistema de bombeamento seguimos a seguinte metodologia:
• Aplicando a Eq. de energia entre o plano (0-0) e (1-1) se obtém uma expressão da pressão relativa na entrada da bomba.
• Aplicando a Eq. da Energia entre o plano (2-2) e (3-3) obtemos uma expressão da pressão relativa na saída da bomba.
• Aplicando a Eq. de Energia no Plano (1-1) e (2-2) se obtém uma expressão da variação de pressão entre estes pontos.
• Relacionado as equações anteriormente deduzidas se obtém uma expressão que representa a altura manométrica do sistema.
Os sistemas de bombeamento podem ter um ou mais reservatórios pressurizados. Nesses casos a pressão absoluta dos mesmos dependerá do valor da pressão atmosférica local. Na Fig. 6.3 a pressão absoluta no reservatório de aspiração será igual soma da pressão manométrica (po) medida pelo instrumento mais a pressão atmosférica local. (p0(abs)=p0 + patm). Na mesma figura o reservatório de recalque este esta aberto a atmosfera e, portanto a pressão absoluta nesse reservatório será a própria pressão atmosférica.
Figura 6.3. Exemplo de com reservatório pressurizado na aspiração
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
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6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas
6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.2 entre os planos (0-0) e (1-1)
1
211
)10(0
200
22z
g
v
g
phz
g
v
g
pL ++=−++ − ρρ
( 4 )
hLa(0-1): representa a perda de carga na tubulação de aspiração sendo denominada hLa . No plano (0-0) O plano (0-0) de referência está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v0
2/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como: [ ] [ ] [ ] [ ]aL)L(atm hhzvpp =≅≅= −10000 0 0
No plano (1-1) [ ] [ ] [ ] 1111 aaabs hzvvpp ===
Substituindo na Eq. (1)
Laaaabsatm hhg
v
g
p
g
p +++=2
21
ρρ
( 5 )
Laa
aabsatm h
g
vh
g
pp++=
−2
21
ρ
( 6 )
o termo entre colchetes representa a Pressão Relativa na entrada da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de aspiração (po). Se o reservatório é aberto a atmosfera como nesta caso po é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado po≠patm. Geralmente a pressão relativa na entrada da bomba é medida com um vacuômetro. Expressa em metros de coluna de fluido representa a pressão relativa na entrada da bomba e é denominada Altura Total de Aspiração:
−=
g
ppH absatm
a ρ1
( 7 )
• Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, isto é, quando o sistema ainda não foi instalado,
podemos determinar Ha pela Eq.3 determinando a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de aspiração.
• Num sistema de bombeamento em operação pode-se determinar a altura total de aspiração utilizando
um vacuômetro que fornece a pressão relativa na entrada da bomba.
gHp aV ρ= ( 8 )
Ha representa a energia que cada kg de fluido deve receber para atingir a entrada da bomba. Com tal nível energético o líquido escoa penetrando na bomba.
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-8
6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.1 entre os planos (2-2) e (3-3) considerando o centro da bomba como a linha de referência:
3
233
)32(2
222
22z
g
v
g
phz
g
v
g
pL ++=−++ − ρρ
( 9 )
hL(2-3): representa a perda de carga na tubulação de recalque denominada hLr. No plano (2-2) [ ] [ ] [ ] [ ]LrLrabs hhzvvpp ==== − )32(2222 0
No plano (3-3) A energia cinética na saída da tubulação de recalque é absorvida pelo fluido no reservatório, desta forma o termo é considerado desprezível ( v2
3/2g=0).
[ ] [ ] [ ] 02/ 332333 hhzgvppp atmabs ∆−=≅==
Lrratmrabs hhhg
p
g
v
g
p+∆−+=+
ρρ 2
22
( 10 )
Lrr
ratmabs h
g
vhh
g
pp+−∆−=
−2
22
ρ
( 11 )
o termo entre colchetes representa a pressão pelativa na saída da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de recalque (p3). Se o reservatório é aberto a atmosfera como, nesta caso, p3 é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado p3≠patm. A pressão relativa na saída é medida com um manômetro. Expressa em metros de coluna de fluido a pressão relativa na saída da bomba é denominada altura manométrica de recalque:
−=
g
ppH atmabs
r ρ2
( 12 )
• Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, Hr pode obtida pela Eq. 8 determinando-se a
altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de recalque. • No caso de um sistema de bombeamento em operação, pode ser obtida pela leitura direta do
manômetro.
gHp rM ρ=
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
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6.5 Altura Manométrica A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho.
Figura 6.4 Detalhe do plano 1-1 e plano 2-2
Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. da Energia entre os planos (1-1) e (2-2) considerando o centro da bomba como a linha de referência:
2
222
1
211
22z
g
v
g
pHz
g
v
g
pman ++=+++
ρρ
( 13.1 )
( )12
21
2212
2zz
g
vv
g
ppH man −+−+−=
ρ ( 13.2 )
O termo (z2 - z1) representa a altura entre centros dos instrumentos, portanto (z2 - z1)=∆h. A velocidade v1 corresponde à velocidade na tubulação de aspiração (va). A velocidade v2 representa a velocidade na tubulação de recalque (vr). Desta forma: No plano (1-1)
[ ] [ ] [ ] 0 1111 === zvvpp aAbs
No plano (2-2)
[ ] [ ] [ ] 2222 hzvvpp rAbs ∆===
hg
vv
g
ppH arAbsAbs
man ∆+−
+−
=2
2212
ρ
(14 )
Pelas equações deduzidas anteriormente:
aatmAbs Hg
p
g
p−=
ρρ1
g
pH
g
p atmr
Abs
ρρ+=2
arAbsAbs HH
g
pp+=
−ρ
12 ( 15 )
hg
vvHHH ar
raman ∆+−
++=2
22
( 16 )
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Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-10
Também:
rLr
rr hg
vhhH +−∆−=
2
2
Laa
aa hg
vhH ++=
2
2
Substituindo as definições de Hr e Ha na Eq.13:
hg
vvHHH ar
raman ∆+−
++=2
22
hg
vvh
g
vhhh
g
vhH ar
Lrr
rLaa
aman ∆+−
+
+−∆−+
++=
222
2222
rLaLraman hhhhH +++= ( 17 )
A Eq. Acima pode ser verificada aplicando a Eq. de Energia entre o Plano (0-0) e o plano (3-3). [ ] [ ] [ ] [ ]LrLaLoatm hhhzvpp +==≅= − )30(00 0 0
[ ] [ ] [ ] 02/ 3233 raatm hhzgvpp +=≅=
A Eq. Deduzida é valida para bombas instaladas acima do nível do reservatório sendo que o fluido é conduzido pela tubulação para o reservatório superior (Fig. 6.5a) absorvendo toda a energia cinética devido a velocidade com que sai da tubulação.
Figura 6.5 : Sistema absorvendo energia cinética (a) e sem absorção de energia cinética (b)
Quando a tubulação de recalque abandona o fluido livremente (Fig. 6.5b) à pressão atmosférica a Altura Manométrica pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia entre o plano (0-0) e (3-3): [ ] [ ] [ ] [ ]LrLaLoatm hhhzvpp +==≅= − )30(00 0 0
[ ] [ ] [ ] 333 raratm hhzvvpp +===
3
233
)30(1
20
22z
g
v
g
phHz
g
v
g
pLman
o ++=−+++ − ρρ
g
vhhhhH r
LrLaraman 2
2
++++= ( 18 )
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6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração Neste caso existe a necessidade de uma válvula de retenção com crivo no inicio da tubulação de aspiração, chamada válvula de pé, a qual impede o escoamento do fluido do tubo do reservatório quando a bomba está parada ou pára de funcionar.
Figura 6.6 Esquema de bombeamento normal.
A altura manométrica neste sistema é representada na Fig.6.6 e deduzida anteriormente.
g
vhhhhH r
LrLaraman 2
2
++++= (19 )
6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada
Figura 6.7. Esquema de bomba afogada.
A altura manométrica neste caso (Fig.6.7) é similar, contudo, o sinal da altura estática de aspiração é negativo (-).
g
vhhhhH r
LrLaraman 2
2
++++−= ( 20 )
Não há necessidade de válvula de pé com crivo, desde que o nível do fluido permita encher todo o corpo da bomba.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-12
6.5.3 Altura Útil de Elevação Por definição a altura útil é dada como:
g
vvHH ra
manu 2
22 −+=
( 21 )
Representa a energia por unidade de massa que o fluido adquire em sua passagem pela bomba. Se o diâmetro de entrada e de saída da bomba forem iguais v3=v0 e portanto Hu=Hman. Em termos práticos se utiliza diretamente Hman como Hu sem erros sensíveis.
6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas A altura manométrica de uma bomba centrífuga pode ser determinada num sistema em operação utilizando instrumentos de medição da pressão. A Eq. de Energia aplicada entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) nos fornece a expressão:
( )12
21
2212
2zz
g
vv
g
ppH man −+−+−=
ρ
Considerando desprezível a variação da energia cinética
( )1212 zz
g
ppH man −+−=
ρ
Tal simplificação é valida quando as tubulações de aspiração e recalque têm o mesmo diâmetro ou apresentam uma pequena diferença
Figura 6.8 medição de pressão na bomba
Sendo hzz ∆=− 12 e considerando que ∆h representa diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos:
hg
ppH man ∆+
−=
ρ12
Para facilitar o levantamento de tal grandeza os instrumentos são instalados na mesma altura (∆h=0) de tal forma que a altura manométrica se obtém pela leitura direta da pressão de instrumentos colocados na entrada e na saída da bomba.
g
ppH man ρ
12 −=
( 22 )
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-13
Caso I: Entrada do fluido na bomba com pressão men or que a pressão atmosférica Conforme a Fig. 6.6 a altura manométrica pode ser obtida pela leitura do vacuômetro e pela leitura do manômetro instalados respectivamente na entrada e saída da bomba, mais a diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos. Os valores medidos nestes instrumentos devem respeitar os sinais que indicam a pressão menor que a pressão atmosférica (-) e maior que a pressão atmosférica (+). Desta forma para utilizar Ana equações acima, as pressões dos instrumentos são definidas como:
M
V
ppManometro
ppVacuometro
+=−=
2
1
:
:
Substituindo na equação:
g
pp
g
pp
g
ppH VMVM
man ρρρ+
=−−
=−
=)(12
Para facilitar podemos escrever a expressão acima em termos do valor absoluto:
g
ppH VM
man ρ+
= ( 23 )
Desta forma a altura manométrica (Hman) do sistema é determinada a partir da soma dos valores absolutos medidos pelos instrumentos. Caso II: Entrada do fluido na bomba com pressão mai or que a pressão atmosférica Existem sistemas de bombeamento onde a bomba encontra-se afogada (Fig.6.5) ou pode estar pressurizada na aspiração. Neste caso a pressão na tubulação de aspiração pode ser maior que a pressão atmosférica. O instrumento instalado na tubulação de poderá ser um manômetro. Desta forma o valor da pressão lida pelo instrumento deve der inserida na Eq. como um valor negativo. Assim, Hman representa a diferença das duas parcelas de pressão medidas pelos instrumentos.
22
11
:
:
M
M
ppManometro
ppManometro
==
g
pp
g
ppH MM
man ρρ1212 −
=−
=
g
ppH MM
man ρ12 −
= ( 24 )
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-14
6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento
Dependendo da finalidade os sistemas de bombeamento podem apresentar diversas configurações. Um sistema típico de bombeamento é apresentado na figura abaixo. Geralmente o conjunto moto-bomba é instalado numa casa de máquinas protegido contra intempérie. Para o acionamento da bomba podem ser utilizado motores elétricos, motores de combustão interna, acionado por turbinas a gás ou utilizado tomadas de força como eixo de tratores. Em geral predomina o uso de acionamento com motores elétricos.
Figura 6.9 Componentes de um sistema de bombeamento.
Válvula de pé com crivo: Tem como finalidade a passagem unidirecional do fluido no sentido ascendente. Quando ocorre desligamento do motor esta válvula permite que o corpo da bomba e a tubulação de aspiração permaneçam cheia de líquido impedindo seu retorno ao reservatório de aspiração. A válvula mantém assim a bomba escorvada. O crivo é o elemento que impede a aspiração de partículas sólidas depositadas no reservatório de aspiração. Redução Excêntrica: Utilizada com a finalidade de evitar a formação de bolsas de ar na entrada o que dificultaria o funcionamento normal da bomba. Válvula de Retenção: Válvula unidirecional instalada na saída da bomba e antes do registro de recalque. Impede que o peso da coluna de recalque seja sustentado pelo corpo da bomba o que pode ocacionar vazamentos. Impede que por alguma defeito da válvula de pé exista refluxo trabalhando o rotor da bomba como uma turbina, podendo provocar danos a bomba. Registro de Recalque: Permite controlar a vazão através do fechamento e abertura do registro. Tubulação de aspiração: Recomenda-se que a tubulação de aspiração seja o mais curta possível e vedada contra entrada de ar. No caso de linhas longas deve ser previsto uma declividade contínua da entrada da bomba para o reservatório eliminando a formação de pontos com bolsões de ar. Para uniformizar o fluido na entrada da bomba recomenda-se quando possível, prever um trecho com comprimento mínimo de 10 diâmetros da boca de aspiração da bomba.
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-15
6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento
No capitulo 7 é a apresentado o detalhamento de como determinar a perda de carga das tubulações e dos acessórios. A seguir apresenta-se um resumo das principais equações utilizadas no dimensionamento de sistemas de bombeamento. Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.)
velLrLaraman hhhhhH ++++= Conforme caso da Fig. 6.5b
_________________________________
LrLaraman hhhhH +++= Conforme caso da Fig. 6.5a
_________________________________
g
vhhhhH r
LrLaraman 2
2
++++−=
Bomba afogada (Fig.6.7)
Hman: Altura manométrica do sistema (m) ha: altura estática de aspiração (m) hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) hLr: perda de carga na tubulação de recalque (m) hvel: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m)
Altura equivalente a pressão dinâmica ou perda de carga dinâmica.
g
vhvel 2
2
= v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) g: aceleração da gravidade (9,81m/s2)
Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente
g
v
D
LfhLD 2
2
=
L : comprimento de canalização retilínea. (m) f: Fator de atrito da tubulação função da rugosidade e numero de Reynolds (Cap.7 pag.7-6)
Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga
g
vkhLk 2
2
Σ= k : coeficiente de perda de carga dos acessórios Tabelado segundo tipo de acessórios. (Cap.7 Tab.7.3) Obs. Também pode ser utilizado o conceito de comprimento equivalente.
Perda de Carga Total (tubulações + acessórios):
LkLDL hhh += hLD: Perda de carga na tubulação de aspiração (m) hLk : Perda de carga dos acessórios (m)
Altura estática de elevação
rae hhh +=
he : altura estática de elevação (m) ha: altura estática de aspiração (m) hr: altura estática de recalque (m)
Eq. da Curva característica do sistema
221 QkkH man += k1; k2 : Constantes da curva do sistema.
Potência de acionamento da bomba (potência motriz)
G
manac
QgHW
ηρ
=& (W) Hman: altura manométrica (m) Q: vazão (m3/s) ηG: rendimento global do sistema ρ: massa específica do fluido (kg/m3)
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-16
6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento A altura manométrica em sistemas de bombeamento conforme Fig.6.6 é dada por:
velLrLaraman hhhhhH ++++=
a qual pode ser escrita de forma simplificada como:
velLrLaeman hhhhH +++=
onde he =ha + hr é denominada altura total de elevação. Numa instalação de bombeamento este termo se considera como constante, e aqui denominamos he=k1. Considerando um sistema no qual o diâmetro da tubulação é igual na aspiração e no recalque:
g
v
g
vk
g
v
D
LfhH eman 222
222
+Σ++=
g
vk
D
LfhH eman 2
12
+Σ++=
Como se observa a perda de carga é função do quadrado da velocidade, portanto do quadrado da vazão. Com tais considerações se obtém: Podemos utilizar substituir a expressão da velocidade em função da vazão:
g
A
Q
kD
LfhH eman 2
1
2
+Σ++=
222
11 Q
gAk
D
LfhH eman
+Σ++=
Desta forma podemos obter uma expressão que representa a curva característica do sistema considerando como uma constante k2 a todos os termos que multiplicam o quadrado da vazão.
221 QkkH man +=
Se um sistema de bombeamento trabalha com determinada vazão Q e uma altura manométrica Hman podemos determinar as constantes k1 e k2. Para vazão nula Q=0 temos que k1=he. Para a vazão e altura manométrica de trabalho determinamos k2 . Desta forma encontra-se a equação característica do sistema, que pode ser graficada junto com a curva da bomba selecionada.
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-17
6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema Num sistema de bombeamento a altura estática de elevação é igual a 15 metros. Sabemos que a bomba trabalha com uma vazão de 450 m3/h e uma altura manométrica de 45 metros de coluna de água. Determine a equação característica do sistema e grafique a mesma.
Figura 6.10 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema
A equação é dada por: 221 QkkH man +=
Do enunciado mhe 15= por tanto mk 151 =
( )23
422
12
/1048,1
450
1545
hm
mx
Q
kHk man −=−=
−=
241048,115)( QxmH man
−+= com Q (m3/h)
A figura mostra o resultado da curva que representa o sistema junto com a curva da bomba.
0
15
30
45
60
75
0 150 300 450 600 750
Vazão (m3/h)
Altu
ra M
anom
etric
a (m
)
Hman (Bomba)
Hman(Sistema)
Figura 6.11 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-18
6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema
Uma bomba possui uma curva característica ajustada pela Eq. 20 AQHH man −= especificamente com
200111,016 QH man −= onde Hman (m) e Q(m3/h). O sistema possui uma curva característica do tipo 2
21 QkkH man += , especificamente 2200111,08 QkH man += . Grafique a curva da bomba junto com a
curva do sistema mostrando o ponto de operação. Solução:
Curva do sistema 200111,08 QH man +=
Curva da Bomba 200111,016 QH man −=
Igualando:
22 0011,0800111,016 QQ +=− se obtém 800222,0 2 =Q hmQ /6000222,0
8 3==
Substituindo a vazão de Q=60m3/h em qualquer das duas expressões (do sistema ou da bomba) se obtém: Hman=12m. A figura abaixo mostra o resultado gráfico das equações assim como o ponto de operação.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Q (m3/h)
H (m
)
Curva do Sistema
Curva da Bomba
Ponto de operação
Figura 6.12 Resultado do exemplo de curva da bomba e curva do sistema
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-19
6.9 Exemplos Resolvidos
Exemplo 6.1: Num sistema de bombeamento de água (Fig. 7.1) é utilizada uma bomba centrifuga com as seguintes características. Diâmetro externo do rotor igual a 380mm; largura da pá na saída igual a 25mm. Rotação igual a 1200rpm e ângulo da pá na saída igual a 380. Rendimento hidráulico igual a 80%. Considere fluido com entrada radial. O sistema trabalha com uma altura total estática de elevação igual a 36m e uma altura estática de aspiração igual a 4,0m. A tubulação de aspiração e recalque apresentam diâmetro interno de 150mm. A perda de carga na tubulação de aspiração é igual a 1,5m e no recalque igual a 7,0m. Determinar ( a ) Altura manometrica do sistema. (b) Altura teórica para número infinito de pás (c) A vazão que opera a bomba (d) A velocidade na tubulação (e) A altura total de aspiração e a altura total de recalque. (f) A pressão equivalente das alturas totais de aspiração e de recalque. Obs. Considere kpfl=1. Dados: he=36m ha=4,0m D=0,15m hLa=1,5m hLr=7,0m D2=380mm b2=25mm. n=1200rpm. β2=380 ηH=0,8 Solução: (a ) A altura manométrica do sistema:
mcahhhhH LrLaraman 5,440,75,136 =++=+++=
(b) Altura teórica para número finito de pás considerando entrada radial é dada por:
22
1ut CU
gH =∞
smxnD
U /88,2360
120038,0
602
2 === ππ
Considerando número infinito de pás: Ht#=Ht00 desta forma o rendimento hidráulico é dado por:
∞
==t
man
t
manh H
H
H
H
#
η
mcaH
Hh
mant 63,55
8,0
5,44 ===∞ η
( c ) Vazão: 222 mCbDQ π=
smx
U
gHC t
u /85,2288,23
63,5581,9
22 === ∞
22
22tan
u
m
CU
C
−=β
( ) ( ) smCUC um /8,0)38tan(85,2288,23tan 2222 =−=−= β
smxxxCbDQ m /0239,08,0025,038,0 3222 === ππ
(d) Velocidade na tubulação de aspiração
smx
D
Qva /35,1
15,0
0239,04422
===π
(e) Altura total de aspiração: mg
vhhH a
Laaa 59,5093,05,10,42
2
=++=++=
Altura total de recalque mhhH Lrrr 0,390,732 =+=+=
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-20
Exemplo 6.2: Num sistema de bombeamento com bomba afogada o manômetro instalado na saída da bomba indica uma pressão de 5,0 kgf/cm2. Na entrada da bomba um instrumento indica uma pressão de 1,5 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica do sistema. Considere que os instrumentos estão numa mesma altura e que a pressão atmosférica é equivalente a 10,33mca.
Solução A pressão na saída da bomba é PM1=5,0kgf/cm2. A pressão entrada da bomba é PM1=1,5kgf/cm2 o que corresponde a uma pressão maior que a pressão atmosférica (Patm=1,0kgf/cm2). Desta forma a altura manométrica pode ser determinada pela diferença das pressões na entrada e saída.
( )mx
xg
ppH MM
man 351550100/1
81,9
81,91000
5,152
12 =−=−=−
=ρ
Obs: No caso de uma bomba que a pressão na entrada é inferior a pressão atmosférica a leitura deveria ser feita com um vacuômetro e a altura manométrica seria dada pela soma do valor absoluto de cada uma das pressões medidas. Por mantendo se na entrada o vacuômetro indica -0,5kgf/cm2 então:
( )mx
xg
ppH VM
man 55550100/1
81,9
81,91000
5,052
=−=+
=+
=ρ
Exemplo 6.3: Um sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 1100m3/h. O diâmetro da tubulação de aspiração é igual a 400mm e o da descarga igual a 380mm. Um manômetro situado a 0,70m acima do eixo da bomba indica uma pressão de 2,2kgf/cm2 e o vacuômetro instalado 0,25m abaixo do eixo da bomba indica uma pressão de 0,30 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica e a altura útil em m.c.a. Se o rendimento global for igual a 68% determinar a potência de acionamento da bomba. Solução:
hg
ppH VM
man ∆++
=ρ
Neste caso ∆h =0,7 + 0,25=0,95m. PM =2,2kgf/cm2 ou PM /γ=22mca. PV=0,30 kgf/cm2 ou PV /γ=3,0mca
mcahg
ppH VM
man 95,2595,00,322 =++=∆++
=ρ
Por definição a altura útil é dada como:
g
vvHH manu 2
20
23 −
+= que pode ser aproximada por g
vvHH ar
manu 2
22 −+=
onde v3=vr velocidade da tubulação de recalque. v0=va velocidade da tubulação de aspiração.
( ) smx
x
D
Qv
aa /43,2
40,0
306,04422
===ππ
( )
smx
x
D
Qv
rr /7,2
38,0
306,04422
===ππ
mcagg
vvHH ar
manu 01,26068,095,252
44,27,295,25
2
2222
=+=−+=−
+=
kWxxxQgH
Wg
manac 115
68,0
306,095,2581,91000 ===η
ρ&
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-21
Exemplo 6.4: A Fig. mostra o sistema empregado no teste de uma bomba centrifuga com rotação nominal de 1750 rpm. O líquido é água a 80oF, os diâmetros dos tubos de aspiração e descarga são de 6 polegadas. Os dados medidos durante um teste são apresentados no quadro. O motor é de 460V trifásico, com fator de potência de 0,875 e rendimento igual a 90%. Determinar a altura manometrica e o rendimento de uma bomba para uma vazão de 1000 gpm. A distancia do centro da bomba ao centro do vacuômetro é igual a 1,0 pé e a distância do centro da bomba ao centro do manômetro é igual a 3,0 pé. Graficar a altura manometrica, rendimento e potência da bomba.
Figura 6.13– Esquema de sistema de bombeamento.
Vazão (gpm)
Pressão Aspiração (psig)
Pressão na descarga (psig)
Corrente do Motor (A)
Rotação da bomba (rpm)
0 -3,7 53,3 18 1750 500 -4,2 48,3 26,2 1745 800 -4,7 42,3 31,0 1749 1000 -5,7 34,3 36,0 1750 1100 -6,2 31,3 37,0 1747 1200 -6,7 27,3 37,3 1752 1400 -7,7 15,3 39,0 1750 1500 -8,4 7,3 41,5 1753
Conversões: (1 Galão = 3,785 litros) (1 Atm=101,32 kPa = 14,7 psi. ) Solução: A modo de exemplo resolvemos o problema para uma vazão de 1000 gpm. O mesmo processo pode ser repetido para as outras vazões. Q=1000gpm=1000x3,785=3785 l/min=0,0631m3/s (227,1 m3/h) Da figura temos que: ∆h= zM – zV =3 - 1= 2pé ou ∆h= 0254,0120,2 xx =0,61m A massa específica da água a 800F é igual a 62,47lbf/ft3 ou ρ≅1000kg/m3
A altura manométrica pode ser determinada pela leitura direta do manômetro e do vacuômetro mais a diferença de alturas entre os centros dos instrumentos.
hg
ppH VM
man ∆++
=ρ
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-22
( )m
x
xH man 71,2861,010,2861,0
7,14
100032,101
81,91000
7,53,34=+=+
+=
Determinado a potência útil:
WattsxxxQgHW manu 61,177650631,07,2881,91000 === ρ& ou kWWu 77,17=&
A potência fornecida pelo motor dado por:
WattsxxxVIFW pac 67,225870,36460875,039,03 ===η ou kWWac 59,22=
Rendimento global da bomba poderá ser determinado pela expressão:
g
manac
QgHW
ηρ=&
ac
mang W
QgH&
ρη = %65,78100100059,22
)3600/1,227(71,2881,91000 == xx
xxxgη
Para graficar altura manométrica, potência e rendimento da bomba em função da vazão, podemos inicialmente elaborar uma planilha no Excel com o seguinte formato: A Fig.6.11mostra o resultado gráfico.
Q
(m3/h)
pvac
(kPa)
pman
(kPa)
∆h
(m)
Hman
(m)
uW&
(kW)
I
(A)
V (volts) acW&
(kW)
ηmotor
(%) ηg
(%)
18 460 90 26,2 460 90 31,0 460 90 227,1 -39,28 236,37 0,61 28,71 17,77 36,0 460 22,59 90 78,65
37,0 460 90 37,3 460 90 39,0 460 90 41,5 460 90
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
Vazão (m3/h)
Hm
an (m
) - P
otên
cia
(kW
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Ren
dim
ento
(%)
Figura 6.14 Resultados das curvas características da bomba.
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-23
Exemplo 6.5
Uma bomba centrífuga trabalha em uma instalação onde as alturas estáticas de aspiração e recalque são respectivamente 2 e 41m. A tubulações apresentam uma perda de carga dada pela equações: hLa = 0,10 Q2; hLr = 0,70 Q2 onde h [mca] e Q[l / s]. O manômetro indica uma pressão de 47 mca enquanto o vacuômetro indica 3 mca, estando os dois instrumentos no mesmo nível. Desprezando a variação de energia cinética do fluido determine a vazão e potência da bomba para um rendimento global de 75 %.
Solução: Dados: Hvac= 3,0 mca Hman= 47mca ha = 2 m hr = 41 η = 75% hLa= 0,10 Q2 hLr = 0,70 Q2
Vazão.
mcahHHH vacman 500347 =++=∆++=
s
lQQQhhhhH LrLara 96.27,01,0412 22 =⇒+++=+++=
Potência de eixo.
kW 95,1100075,0
50)1000/96,2(81,91000 ===x
xxxQgHW
g
manac η
ρ&
Exemplo 6 Considerando escoamento com entrada radial, a altura manométrica de uma bomba pode ser dada como:
g
Ck
g
CuUH
2
2222 −= µ
onde o termo -k( ) representa a fração da energia dissipada no interior da bomba. Demonstre que a partir da expressão anterior que altura manométrica para uma bomba com uma vazão Q e rotação n, pode ser representada pela equação:
22 CQBnQAnH ++= Solução:
annD
U ==60
22
π bQ
bD
QCm ==
222 π
cQanC
UC mu −=−=
2
222 tanβ
( )( ) ( ) ( )[ ]g
cQanank
g
cQananH
2
22 −+−−= µ
( ) ( ) ( )[ ]g
cQacnQanank
g
acnQanH
2
2222 +−+−−= µ
( )g
cQk
g
kacnQ
g
ank
g
acnQ
g
anH
222
2 222
−+−−= µµ
( ) ( ) ( )22
2
5.0cQ
g
kacnQ
g
kan
g
kH −−−−= µµ
que finalmente pode ser representada como:
22 CQBnQAnH ++=
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-24
6.10 Atividade de Aprendizado
No sistema de bombeamento de água (300C) mostrado na figura a bomba deve trabalhar com uma vazão de 100 m3/h. A tubulação é PVC. A altura estática de aspiração é igual a 4,0m e altura estática de recalque igual a 25m. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a 12m e a tubulação de recalque igual a 50m. Na tubulação de aspiração se utiliza uma válvula de pé com crivo e uma curva de 900. No recalque se utiliza uma válvula de retenção, um registro de gaveta aberto e 02 curvas de 900.
Determinar:
• Os diâmetros comerciais das tubulações.
• A altura manométrica do sistema.
• Potência de acionamento. (calculada e fornecida pelo fabricante).
• A equação da curva característica do sistema.
• Selecione uma bomba comercial para o sistema.
• Graficar a curva da bomba comercial selecionada junto com a curva do sistema.
• O NPSH disponível pelo sistema.
• O NPSH requerido pela bomba. (calculado e fornecido pelo fabricante)
• A altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação.
OBS: Montar a planilha de calculo no Excel para dimensionar sistemas de bombeamento, utilizando como referencia este problema. Completar a planilha para ficar mais genérica utilizando outros fluidos e reservatórios abertos e fechados. Utilize a folha modelo para realizar o trabalho.
• Tabela 1: Dados iniciais • Tabela 2: Perda de carga do sistema
• Tabela 3: Potência de acionamento • Tabela 4: Curva característica do sistema
• Tabela 5: Verificação da cavitação. • Tabela 6: Relação de acessórios. • Tabela 7: Formulário com Equações Básicas.
Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 6-25
6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento
Tabela 1: Dados Iniciais Valores Vazão Q m3/s Altura estática de aspiração ha m Altura estática de recalque hr m Comprimento da tubulação de aspiração La m Comprimento da tubulação de recalque Lr m Material da tubulação Tabela 8.1 Rugosidade ε mm Fluido Tabelas ou Eqs. Temperatura T oC Massa especifica ρ kg/m3 Viscosidade cinemática (µ /ρ) ν m2/s Tabela 2: Perda de Carga Aspiração Recalque Diâmetro da tubulação – Eq. Bresse (Cal: Calculada e Com: Comercial)
Da Dcal:_____ Dcom:
Dr Dcal:_____ Dcom:
mm
Velocidade da tubulação Va Vr m/s No de Reynolds da tubulação Ra Rr - Rugosidade relativa ε/Da ε/Dr - Fator de atrito – Eq. Explicita fa fr - Perda de carga da tubulação hLDa hLDr m Perda de carga dos acessórios hLka hLkr m Perda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa hLr m Perda de carga total (Aspiração + Recalque) hL= m Tabela 3: Potência de acionamento Altura total de elevação he m Altura manométrica Hman m Vazão Q m3/s Rendimento global estimado ηG % Potência de acionamento W kW Tabela 4: Curva Característica do Sistema Altura total de elevação he m Altura manométrica Hman m Vazão Q m3/h Constante k1=he k1 m Constante k2= (Hman - k1)/Q
2 k2 Equação da Altura Manométrica Hman= k1 + k2Q
2 Tabela 5: Verificação da Cavitação ( OK se NPSH Disp > NPSH Req) NPSH disponível pelo sistema NPSHDisp. m NPSH requerido pela bomba NPSH req m Altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação. haLim m Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab. 8.3)
Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade Aspiração
Total Aspiração
Quantidade Recalque
Total Recalque
1 2 3 4 5 6
Total ΣΣΣΣKa= ΣΣΣΣKr =
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 6-26
6.12 Exemplo de Resultados
Tabela 1: Dados Iniciais Valores Unidades Vazão Q 0,045 m3/s Altura estática de aspiração ha 2,0 m Altura estática de recalque hr 28 m Comprimento da tubulação de aspiração La 15 m Comprimento da tubulação de recalque Lr 3000 m Material da tubulação Ferro fundido novo Rugosidade ε 0,16 mm Fluido Água Temperatura T 20 oC Massa especifica ρ 998,15 kg/m3 Viscosidade dinâmica ν 1,008x10-6 m2/s Tabela 2: Cálculos Perda de Carga Aspiração Recalque Diâmetro da tubulação Da 223mm
250mm Dr 223mm
200mm Velocidade da tubulação Va 0,917 m/s Vr 1,43 m/s
No de Reynolds da tubulação Ra 2,29x105 Rr 2,86x105
Rugosidade relativa ε/Da 0,00064 ε/Dr 0,008
Fator de atrito fa 0,01969 fr 0,02030
Perda de carga por comprimento de tubulação hLDa 0,05 hLDr 31,85
Perda de carga dos acessórios hLka 0,12 hLkr 0,37
Perda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa 0,17 hLr 32,22
Perda de carga total (Aspiração + Recalque) hL =32,39m Tabela 3: Cálculo da Potência de acionamento Altura total de elevação he 30 m Altura manométrica Hman 62,39 m Vazão Q 0,045 m3/s Rendimento global estimado ηG 63,97 % Potência de acionamento W 42,97 kW Tabela 4: Curva Característica do Sistema Altura total de elevação he 30 m Altura manométrica Hman 62,39 m Vazão Q 162 m3/h Constante k1=he k1 30 m Constante k2= (Hman - k1)/Q
2 k2 0,01234 Equação da Altura Manométrica Hman= 30 + 0,001234Q2 Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab.8.3)
Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade Aspiração
Total Aspiração
Quantidade Recalque
Total Recalque
1 Válvula de pé 1,75 1 1,75 1,75 0 2 Crivo 0,75 1 0,75 0,75 0 3 Curva de 900 0,40 1 0,4 0,4 0,8 4 Válvula de retenção 2,50 0 0 0 2,5 5 Registro de gaveta 0,20 0 0 0 0,20
Total ΣΣΣΣKa=2,9 ΣΣΣΣKr =3,5
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 7-1
PPeerrddaa ddee CCaarrggaa eemm SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo
Sistemas de Bombeamento
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 7-2
7.1 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES......................................................................... 3 7.2 PERDA DE CARGA TOTAL ....................................................................................................................... 3 7.3 PERDA DE POR TUBULAÇÕES ................................................................................................................. 4 7.4 DIAGRAMA DE MOODY ........................................................................................................................... 5 7.5 MÉTODO PARA DETERMINAR A PERDA DE CARGA SECUNDARIA ............................................................... 8
7.5.1 Método do comprimento equivalente ................................................................................................ 8 7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga......................................................................................... 9
7.6 PERDA DE CARGA NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO........................................................................... 10 7.7 RESUMO DAS PRINCIPIAS EQUAÇÕES NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO .............................................. 11 7.8 VELOCIDADES TÍPICAS NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ................................................................... 12 7.9 EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS DE BOMBEAMENTO. .................................................................. 13 7.10 DIMENSIONAMENTO DE SISTEMA DE BOMBEAMENTO............................................................................. 15
Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
SUMÁRIO
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 7-3
7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito e pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia:
2
222
1
211
22z
g
u
g
phz
g
u
g
pL ++=−++
ρρ
Desta forma:
),,( LhVZfP →∆ � O atrito origina uma diminuição da pressão. � Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito.
Figura 7.1 Perda de carga em sistema de bombeamento
7.2 Perda de Carga Total A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas.
LKLDL hhh += Perda de Carga pelos Dutos ou Tubulações: (hLD) � Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante. Perda de Carga por Acessórios - (hLK) � Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema
de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. � A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária. Obs: A nomenclatura de hL para perda de carga é usualmente utilizada nos textos de mecânica dos fluidos. Nos textos de máquinas de fluxo, a perda de carga é denominada por J. Por exemplo, a perda de carga nas tubulações é designada por JL e perda de carga nos acessórios por Jacc,.
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7.3 Perda de por Tubulações Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2 . No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2). Assim a equação da energia é reduzida para:
( )g
P
g
pphLD ρρ
∆=−
= 21
Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento � No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda
de pressão. � Utiliza-se análise dimensional e correlações de dados experimentais. Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes variáveis:
),,,,,( µρεφ VLDP =∆ Mostra-se que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D.
=DD
L
g
V
hL εφ Re,
2
2
A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito.
=D
fεφ Re,
Onde Re é o número de Reynolds e e/D a rugosidade relativa. Número de Reynolds
Re= VD
ν
V: velocidade média do fluido (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m) ν: viscosidade cinemática do fluido (m2/s)
Tipos de regimes de escoamento: Re < 2000 Laminar Re > 4000 Turbulento desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido escoando.
g
V
D
LfhLD 2
2
= Equação de Darcy-Weisbach.
O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody.
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 7-5
7.4 Diagrama de Moody
7.4.1 Rugosidade Absoluta e Rugosidade Relativa
Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos.
Figura 7.2 Representação da rugosidade absoluta em tubulações
Tabela 7.1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais Material Rugosidade absoluta
ε (mm) Aço, revestimento asfalto quente. 0,3 a 0,9 Aço, revestimento esmalte centrifugado. 0,011 a 0,06 Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 Aço enferrujado 0,4 a 0,6 Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 Ferro galvanizado novo, com costura. 0,15 a 0,2 Ferro galvanizado novo, sem costura. 0,06 a 0,15 Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 PVC e Cobre 0,015 Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10
Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre)
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7.4.2 Descrição do Diagrama de Moody
O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2300), uma zona crítica (Re de 2300 e 4000) uma zona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são resumidas a seguir: 1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao
número de Re 2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos. 3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa
ε/D diminui. 4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao
aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa. 5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se
mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região
plenamente turbulenta começa a aumentar
Figura 7.3 Representação do Diagrama de Moody
Podemos utilizar o site http://www.lmnoeng.com/moody.htm para determinar a perda de carga em tubulações ou o site http://grumpy.aero.ufl.edu/gasdynamics/colebrook.html. Também podemos utilizar o aplicativo hidrotec disponível no site http://planeta.terra.com.br/servicos/hidrotec
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
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I - Escoamento Laminar O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação
g
V
D
LfhLD 2
2
= com a equação da perda de carga laminar g
V
D
Lh DL 2Re
64 2
= se obtém:
Re
64=f válido para Re < 2300
� No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. � Independe da rugosidade da tubulação. II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams
( ) 4/1Re
316,0=f Eq. de Blasius 4000 < Re < 105
32,0Re5,00056,0 −+=f Eq. de Drew Koo e McAdams 105 < Re < 3x106
III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento:
+−=
f
D
f Re
51,2
7,3
/log0,2
1 ε Equação de Colebrook 5,0x103 < Re < 1x108
Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma alternativa é utilizar uma equação explícita:
2
9,0Re
74,5
7,3
/log25,0
−
+= Df
ε Equação Explícita 5,0x103 < Re < 1x108
Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos com a Eq. de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1,0x10-6 (0,000001) IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação:
−=7,3
/log2
1 D
f
ε Equação de Von Karman
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7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria
7.5.1 Método do comprimento equivalente Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela perda de carga (hac) definida como:
g
V
D
Lfh eq
Lk 2
2
= (m)
O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios.
Figura 7.4 Representação do comprimento equivalente em acessórios
Tabela 7. 2 Perda de carga localizada
Tipo de Acessório Comprimento Equivalente (Leq/D)
Válvula de globo aberta 340 Válvula de gaveta aberta 8 3/4 aberta 35 1/2 aberta 160 1/4 aberta 900 Válvula tipo borboleta aberta 45 Válvula de esfera aberta 3 Válvula de retenção tipo globo 600 Válvula de retenção tipo em ângulo 55 Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 Cotovelo padronizado 900 30 Cotovelo padronizado 450 16 Te padronizada fluxo direto 20 Te padronizada fluxo ramal 60
Válvula globo
Válvulas tipo borboleta
Te com flanges
Figura 7.5 acessórios utilizados em instalações industriais
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
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7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma:
g
VkhLK 2
2
= (m)
Onde k é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos.
Tabela 7. 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios
Tipo de Acessório k Tipo de Acessório k Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0 Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 Existência de pequena derivação 0,03
Velocidade 1,0 * com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização
Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém:
D
Lfk eq=
mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (k) e o comprimento equivalente (Leq).
Curva de 900
Joelho de 900 Registro de gaveta
Válvula de pé com crivo Figura 7.6 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais
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7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento
Para determinar a energia útil transferida do rotor ao fluido deve-se determinar total as alturas físicas de aspiração e de recalque assim como todos os comprimentos das tubulações e todos os acessórios existentes na tubulação. Basicamente um sistema de bombeamento fica especificado quando determina-se a altura manométrica e a vazão do sistema. A vazão é uma informação especifica do projeto. As velocidades nas tubulações de aspiração e recalque podem ser determinadas a partir de recomendações e posteriormente determinar o diâmetro das tubulações. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). Sistemas com velocidades muito baixas requerem de tubulações com diâmetros maiores e, portanto, eleva-se o custo do sistema. Sistemas com velocidades muito altas envolvem diâmetros menores, contudo, apresentam grandes perdas de carga e, portanto, aumenta o custo da potência de acionamento do sistema. Recomendam-se velocidades inferiores na tubulação de aspiração para evitar problemas de altas perdas de carga o qual pode trazer problemas de cavitação. Para auxiliar em projetos podem ser utilizadas expressões ou tabelas que apresentam faixas de velocidades recomendadas segundo o tipo de fluido.
Figura 7.7 Esquema de sistemas de bombeamento.
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
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7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento
Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.)
velLrLaraman hhhhhH ++++=
Obs: Conforme Figura 7.7
Hman: Altura manométrica do sistema (m) ha: altura estática de aspiração (m) hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) hLr: perda de carga na tubulação de recalque (m) hveloc: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m)
Perda de Carga nas Tubulações:
g
v
D
LfhLD 2
2
=
f: coeficiente de atrito ou fator de atrito L: comprimento da tubulação (m) v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m) g: aceleração da gravidade (9,81m/s2)
Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente
g
v
D
Lfh eq
Lk 2
2
=
Leq : comprimento equivalente em metros de canalização retilínea. (m) Tabelado segundo tipo de acessórios, material e diâmetro da tubulação.
Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga
g
vkhLk 2
2
Σ=
k : coeficiente de perda de carga dos acessórios Tabelado segundo tipo de acessórios.
Perda de Carga Total (tubulações + acessórios):
LkLDL hhh +=
Potência de acionamento da bomba (potência motriz)
G
manac
QgHW
ηρ
=& (W) ρ: massa específica do fluido (kg/m3) Hman: altura manométrica (m) Q: vazão (m3/s) ηG: rendimento global do sistema (motor-bomba: 50% a 75%)
Rendimento Global (%) - (Eq. aproximada)
2282523253 10346,810028,310802,510514,11046,59367,080 HQxQHxHxHQxQHxHG−−−−− +−+−+−=η
Q: (m3/h ); Hman: (m) Validade: 20 (m3/h ) < Q < 250 (m3/h ) 15 (m) < H < 100 (m)
Tabela 7.5 Acréscimo de segurança da potência do motor Potência (kW) Potência (kW) Margem de segurança
Até 2 Até 1,5 50% de 2 a 5 de 1,5 a 3,7 30% de 5 a 10 de 3,7 a 7,4 20% de 10 a 20 de 7,4 a 15 15%
Acima de 20 Acima de 15 10%
Sistemas de Bombeamento
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7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento Na literatura encontramos diferentes recomendações para as velocidades a serem adotadas em sistemas de bombeamento. Reproduzimos aqui algumas que podem ser adotadas como critério de dimensionamento preliminar, as quais podem ser modificadas segundo o tipo de fluido e instalações específicas. Velocidades econômicas em geral : vasp < 1,5m/s (máximo: vasp = 2,0m/s) vrecal < 2,5m/s (máximo vrecal = 3,0m/s). 7.7.1 Velocidades na Tubulação de aspiração • Quando o fluxo provém de um poço de sucção em regime uniforme: v ≤ 1,5m/s • Quando o fluxo provém de uma tubulação geral v ≤ 0,9m/s • Velocidade mínima a ser adotada em qualquer situação nas tubulações de aspiração v=0,6m/s. Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) 7.7.2 Velocidades na Tubulação de Recalque em Função de Diâmetros • Recomenda-se para D < 300mm v (entre 1,0m/s e .2,65m/s ) • Para D > 300mm recomenda-se vmax =3,0m/s (Macintyre) Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) 7.7.3 Fórmula de Bresse:
• Para tubulações em sistemas de pequeno porte fluxo contínuo (24h/dia):
D k Q= (m)
D : diâmetro da tubulação (m) k : coeficiente que varia entre 0,9 a 1,2 Q : vazão (m3/s )
• Para tubulações em sistemas com regime operacional intermitente:
D X Q=13 1 4, / (m)
horas
diaporoperacaodehrsX
24
=
Q : vazão (m3/s)
Fonte: Equipamentos Industriais de Processo (Macintyre) Obs: Com a equação de Bresse pode ser determinado um diâmetro D. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). 6.6.4 Velocidades Típicas (regime turbulento) As seguintes relações podem ser utilizadas como referências. Líquidos
V D= 5 214 0 304, , (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m)
Velocidades Limites Líquidos limpos não corrosivos
vmax = 36 8861 3
,/ρ
(m/s)
ρ: massa específica (kg/m3) Obs: utilizar a metade do valor para fluidos corrosivos e/ou erosivos.
Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
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7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. Exemplo 7.1 Numa propriedade agrícola se requer uma estação de irrigação captando 40 litros/s de água de um canal. A figura ao lado representa o esquema da instalação de bombeamento a ser utilizada. Considere que a água 200C. Os diâmetros internos da tubulação de aspiração e de recalque são iguais a 175mm. Utilize uma tubulação de pvc com rugosidade absoluta igual a 0,015mm. Determinar a altura manométrica e potência de acionamento da bomba considerando um rendimento global de 75%.
Dados: Aspiração: 01 válvula de pé: Leq =43,4m 01 curva de 900 Leq =2,1m Descarga: 01 curva de 900 : Leq =2,1m 1 válvula de retenção Leq =13,9m Solução: Para água a 200C: Viscosidade cinemática á igual a: ν=1,127x10-6m2/s. Massa específica: ρ=1000 kg/m3 Vazão: Q=40 l/s (0,040 m3/s). Pela Eq. da continuidade achamos: Velocidade na tubulação: V=1,65m/s Somando os comprimentos da tubulação (160m) mais o comprimento equivalente dos acessórios (61,5m) determinado o comprimento total: Ltotal = 160 + 61,5=221,5m (Aprox. 222m.) A altura manométrica é dada por:
LrLaraman hhhhH +++= como a tubulação é do mesmo diâmetro Lraman hhhH ++=
Altura estática de aspiração: ha=3,0m; Altura estática de recalque: hr= 14,0m.
)1056,2( 25621110127,1
175,065,1Re 5
6x
x
xVD === −ν (Escoamento em regime turbulento).
0153,0256211
10
175
015,0000.2010055,0
Re
10000.2010055,0
3/163/16
≅
++=
++=
Df
ε
Neste exemplo, a tubulação de aspiração e recalque tem o mesmo diâmetro. Desta forma a perda de carga total da instalação é dada como:
( )m
x
x
g
v
D
LLfhhh eq
LkLDL 94,281,92
65,1
16,0
5,611600153,0
2
)( 22
=+=+
=+=
mhhhH Lraman 94,1994,2143 =++=++=
10,43kW 61,1043275,0
04,094,1981,91000ouW
xxxQgHW
G
manac ===
ηρ
&
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Exemplo 7.2 Uma bomba de um catálogo do fabricante opera a 1750rpm e apresenta uma curva característica H-Q como mostrado na figura abaixo. Grafique a curva da bomba para uma rotação de 2000rpm. Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerando nulas todas as perdas dos acessórios. Determinar e a equação característica do sistema. Graficar a curva característica do sistema (com pelo menos 09 pontos) mostrando as condições de operação [H(m),Q(m3/h)] na interseção com a curva de bomba quando trabalha com 1750rpm. D=150mm L=460m f=0,025 he=12m
g
Q
D
Lf
gD
Q
D
Lf
g
v
D
LfhL 2
16
2
4
2
2
52
2
22
ππ =
==
225
25
1251315,0
460025,00826,00826,0 QQxQ
D
LfhL ===
A equação da curva característica da bomba é dada por:
21251312 QhhH Le +=+=
Curva Característica do Sistema: Q (m3/h) 0 40 60 80 100 120 140 Q (m3/s) 0 0,011 0,01667 0,0222 0,0277 0,0333 0,0388 H (m) 12 13,55 15,5 18,2 21,67 25,9 31,0
Curva Característica da Bomba - 1750rpm
Q (m3/s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 H (m) 26,7 26,5 26,2 25,8 24,4 23 21,6 19 17
Curva Característica da Bomba - 2000rpm
Q (m3/s) 0 22,86 45,72 68,6 91,40 114 137,2 160,0 182,8 H (m) 34,9 34,6 34,2 33,7 31,87 30 28,2 24,8 22,2
111
212 143,1
1750
2000QxQ
n
nQQ === 1
2
1
2
1
212 306,1
1750
2000HxH
n
nHH =
=
=
05
10152025303540
0 50 100 150 200
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Resposta: Condições de operação do sistema Aprox.: Q=105 m3/h e H=23m
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 7-15
7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento Fonte: (Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre) Determinar a altura manométrica, potência com os seguintes dados. Utilize o catálogo de uma bomba comercial para graficar a curva característica do sistema junto com a curva característica da bomba mostrando o ponto de funcionamento. Vazão: Q=5l/s Altura estática de aspiração ha=2,60m Tubulação: Ferro galvanizado novo sem costura Comprimento da tubulação de aspiração: La=5,4m
Fluido: água fria a 150C
Altura estática de recalque: hr=42,50m Rendimento global estimado: 50% Comprimento da tubulação de recalque Lr=60m
Aspiração Elemento Quantidade
Válvula de pé com crivo 01 Cotovelo 900 raio médio 01 Registro de gaveta 02 Tê com saída lateral 02
Recalque Elemento Quantidade
Registro de gaveta 01 Válvula de retenção (tipo pesada)
01
Tê de saída lateral 01 Cotovelo 450 01 Cotovelo de 900 raio médio 07
Sistemas de Bombeamento
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 7-16
Solução Para determinar a altura manométrica devemos conhecer as perdas de carga da instalação, já que as alturas estáticas de aspiração e recalque são dadas no problema.
velLrLaraman hhhhhH ++++=
1. Diâmetros e velocidades das tubulações 1.1 Tubulação de aspiração: com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Da=75mm e va=1,30m/s (diâmetro comercial) • Utilizando a Eq. Bresse para fluxo continuo com k=1,05 se obtém: D=74mm (superior 75mm) 1.2 Tubulação de recalque: com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Dr= 63mm e vr=1,45m/s (diâmetro comercial) • Utilizando a Eq. Bresse com k=1,05 se obtém D=74mm (D inferior comercial: 63mm) 2. Comprimento equivalente dos acessórios Considerando as tubulações de ferro fundido, podemos obter a perda de carga dos acessórios (para ferro fundido e aço) com seus os respectivos diâmetros das tubulações (aspiração e descarga). 2.1 Tubulação de aspiração: Diâmetro: 75mm (3”) Velocidade: 1,3m/s Item Elemento Quantidade Comprimento
Equivalente unitário
Comprimento Equivalente
total 1 Válvula de pé com crivo 01 20,0 20,00 2 Cotovelo 900 raio médio. 01 2,10 2,10 3 Registro de gaveta 02 0,50 1,00 4 Te - com saída lateral 02 5,20 10,40 Total 33,50
Tubulação de aspiração: LTa=La + Leqa= 5,4 + 33,50 = 38,9mca 2.2 Tubulação de recalque Diâmetro: 63 mm (21/2”) Velocidade: 1,45m/s Item Elemento Quantidade Comprimento
Equivalente unitário
Comprimento Equivalente
total 1 Registro de gaveta (21/2”) 01 0,4 0,4 2 Válvula de retenção (tipo pesada) 01 8,1 8,1 3 Te - saída lateral 01 4,3 4,3 4 Cotovelo 450 01 0,9 0,9 5 Cotovelo de 900 raio médio 07 1,7 11,9 Total 25,60
Tubulação de recalque : LTr=Lrealr + Leqr= 60,0 + 25,6 = 85,6mca. Para água fria a 150C, em tabela: encontramos ν=1,127x10-6 (m2/s). Rugosidade Absoluta da tubulação
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento
PUCRS – FENG - 2010 7-17
Considerando ferro galvanizado novo sem costura obtemos em tabela o valor da rugosidade absoluta igual a ε =0,10mm. (valor médio) 4. Perda de Carga na Tubulação de aspiração Número de Reynolds da aspiração: Da=75mm va=1,30m/s ν=1,127x10-6 (m2/s)
Re, ,
,. ,a
a av D x
xx= = = ≈−ν
1 30 0 075
1127 1086513 8 7 10
64
Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/Da= 0,10/75=0,001334
( )fD
= + +
= + +
=0 0055 1 20 00010
0 0055 1 20 000 0 00133410
865130 024
6 1 3 6 1 3
, .Re
, . , ,/ /
ε
( )m
xg
v
D
LfhLDa 076,1
81,92
3,1
075,0
90,38024,0
2
22
===
5. Perda de Carga na Tubulação de Descarga Da=63mm va=1,45m/s ν=1,127x10-6 m2/s Número de Reynolds da aspiração:
Re, ,
,,r
r rv D x
xx= = = ≈−ν
1 45 0 0063
1127 1081056 8 1 10
64
Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/Dr= 0,10/63=0,0016
( )fD
= + +
= + +
=0 0055 1 20 00010
0 0055 1 20 000 0 001610
810560 025
6 1 3 6 1 3
, .Re
, . , ,/ /
ε
( )64,3
81,92
45,1
063,0
6,85025,0
2
22
===xg
v
D
LfhLDr
mxg
vhvel 086,0
81,92
3,1
2
22
===
Sistemas de Bombeamento
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 7-18
6. Altura Manométrica
velLrLaraman hhhhhH ++++=
H mman = + + + + ≈2 6 42 5 1 08 3 64 0 086 50, , , , , 7. Potência de acionamento da bomba
PotgHQ x x x
kW kW CVG
= = = ≈ ≈ρη
1000 9 81 50 0 005
0 5412 5 6 5
, ,
,, ,
Com Hman=51mca e Q=5l/s (18m3/h ) podemos determinar o tipo de bomba comercial. Poderíamos verificar a perda de carga utilizando diretamente o Diagrama de Moody. Aspiração: com Re=8,7x104 com ε/Da= 0,00133 f= 0,025 (valor obtido pela equação f=0,024) Descarga: com Re=8,1x104 ε/Dr= 0,10/63=0,0016 f=0,025 (valor obtido pela equação f=0,025 ) Continuar o problema:
• Selecionar uma bomba comercial em catalogo de fabricante. • Determinar a Eq. que representa a curva característica do sistema e graficar junto a curva do
fabricante.
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-1
Conceitos de Cavitação
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-2
Conceitos de Cavitação
SUMÁRIO INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................... 3 8.1 DETERMINAÇÃO DO NPSH (NET POSITIVE SUCTION HEAD) DISPONÍVEL..................................................... 5 8.1.1 CASO GERAL DE (NPSH) DISPONÍVEL ..................................................................................................... 7 8.1.2 CASOS ESPECÍFICOS DE SISTEMAS PARA DETERMINAR O NPSH DISPONÍVEL............................................ 8 8.2 ALTURA POSITIVA LÍQUIDA DE SUCÇÃO (NPSH) REQUERIDA PELA BOMBA ................................................... 9 8.3 LIMITE DA ALTURA ESTÁTICA DE ASPIRAÇÃO.............................................................................................. 10 8.4 DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CAVITAÇÃO OU FATOR DE THOMA .............................................................. 11 8.4.1 VELOCIDADE ESPECÍFICA DE ASPIRAÇÃO................................................................................................ 11 8.4.2 MARGEM PRÁTICA DE SEGURANÇA.......................................................................................................... 12 8.5 EXEMPLOS DE CAVITAÇÃO..................................................................................................................................... 13
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-3
Introdução
Os fluidos podem passar do estado líquido para o gasoso dependendo das condições de pressão e
temperatura a que estão submetidos. A pressão na qual se da este processo é denominada pressão de vapor ou de vaporização (Pv). A Fig. 8.1 mostra a pressão de vaporização da água em função da temperatura. Sabemos que, a pressão atmosférica, a água vaporiza (ferve) quando a temperatura atinge em torno de 1000C. Nestas condições a pressão de vaporização da água é 101,33kPa. Observamos no gráfico que pode-se obter vaporização do fluido para pressões inferiores a pressão atmosférica. Por ex. água a 600C pode vaporizar quando a pressão de vapor é de 20kPa. Pressão de vapor (pvap) • Propriedade do fluido que varia com a temperatura, aumentando com a elevação da mesma.
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temperatura (oC)
Pre
ssão
de
Vap
or d
e Á
gua
(kP
a)
Figura 8.1 Pressão de vapor de água (kPa) em função da temperatura (oC)
As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão diminui até atingir um valor
mínimo na boca de entrada da bomba. Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporiza e inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no interior da bomba, provocando dados irreparáveis. Desta forma o estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do sistema, a pressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões inferiores à pressão de vaporização. Cavitação: Processo de vaporização do fluido quando a pressão absoluta baixa até alcançar a pressão de vapor (pvap) do líquido na temperatura em que se encontra. O fenômeno de cavitação provoca: • Corrosão. • Remoção de pedaços de rotor e tubulação junto à
entrada da bomba. • Afeta o rendimento. • Provoca trepidação e vibração máquina • Presença de ruídos e implosão. • No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos
para acima dos 450C. Materiais que resistem à corrosão por cavitação: • Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido,
Aço doce laminado.
Figura 8.2 Cavitação em bomba centrífuga
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-4
A Fig.8.3 mostra claramente o efeito causado pelo fenômeno de cavitação principalmente na região de entrada das pás.
Figura 8.3 Exemplos de rotores de bombas deteriorados pelo fenômeno de cavitação
A Figura 8.4 mostra que a cavitação ocorre quando a pressão na entrada do rotor é inferior a pressão de vapor do fluido. Desta forma no caso da figura a direita o fluido vaporiza dentro do rotor.
Figura 8.4 Gráfico esquemático mostrando a cavitação de bombas
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-5
8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível
Para analisar o fenômeno de cavitação utilizamos o esquema representado na Fig. 8.5. Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização. Define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido. Esta energia disponível pelo sistema é conhecida como NPSH (Net Positive Suction Head), que representa a altura positiva líquida de aspiração.
Figura 8.5 Alturas características para analisar a cavitação em bombas.
Aplicando a Eq. da energia a superfície livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca de entrada da bomba (plano 1-1).
1
211
)10(0
200
22z
g
v
g
phz
g
v
g
pL ++=−++ − ρρ
( 1 )
O plano de referência (0-0) está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v0
2/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como: [ ] [ ] [ ] [ ]LaLatm hhzvpp =≅≅= − )10(000 0 0 No plano (1-1):
[ ] 1 ahz =
Laaatm hh
g
v
g
p
g
p+++=
2
211
ρρ
( 2 )
Da Eq. anterior explicitamos os termos que representam a pressão total na entrada da bomba:
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-6
Laaatm hhHg
v
g
P−−=
+
2
211
ρ
( 3 )
A qual é agora definida como Energia total absoluta na entrada da bomba:
+=
g
v
g
pET 2
211
1 ρ
( 4 )
Definimos também a energia de pressão de vapor como:
=
g
pE v
vap ρ
( 5 )
Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização, desta forma ET1 > Evap. Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido.
vapTDisp EEE −= 1 ( 6 )
Figura 8.6 Representação gráfica da energia disponível.
Representa a disponibilidade da energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. Nos sistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva Líquida de Aspiração (NPSH) Disponível. Trata-se da energia de segurança do sistema para não ocorrer cavitação.
vapDisp hg
v
g
pNPSH −
+=
2
211
ρ
( 7 )
Em termos das variáveis do sistema é dado por:
vapLaaatmDisp hhhHNPSH −−−= ( 8 )
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-7
8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível Num caso mais geral a pressão absoluta no reservatório de aspiração (H1=P/ρg) pode ser diferente da pressão atmosférica (Hatm), e a bomba pode estar cima ou abaixo do reservatório de aspiração. Neste caso a equação de NPSH disponível é dada por:
vapLaaabs
Disp hhhg
pNPSH −−≥ m
ρ
( 9 )
ha (-) Bomba acima do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma normal) ha (+) Bomba abaixo do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma afogada) No caso de sistemas com reservatório de aspiração aberto a atmosfera.
vapLaaAtmDisp hhhHNPSH −−≥ m ( 10 )
Figura 8.7 Tipos de sistemas afogado e normal.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-8
8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível
A Fig.8.8 mostra quatro casos que podem ser considerados para determinar o NPSH disponível pelo sistema. No Caso 1 trata-se de um reservatório aberto sendo que a superfície livre da água no reservatório esta por baixo do centro da bomba. Observe-se que neste caso a pressão no reservatório é a pressão atmosférica (Hatm). No Caso 2 é semelhante ao caso 1, contudo a diferença esta em que o reservatório fechado (pressurizado) e desta forma a pressão a ser considerada é a pressão absoluta dentro do reservatório (Habs). No Caso 3 trata-de de um reservatório aberto, contudo a superfície livre do líquido esta por cima da bomba tratando-se de uma bomba afogada pelo qual a altura estática de aspiração considera-se com sinal negativo dentro do equacionamento do NPSHD. O Caso 4 é semelhante ao Caso 3, já que é uma bomba afogada, contudo com reservatório fechado e, portanto deve ser considerada a pressão absoluta no reservatório (Habs). A Fig. 8.8 apresenta a seguinte nomenclatura:
NPSHD: Altura positiva liquida de aspiração disponível
ha: Altura estática de aspiração
hLa: Perda de carga na tubulação de aspiração
hvap: Altura equivalente a pressão de vapor
Habs: Altura equivalente a pressão absoluta no reservatório fechado (pressurizado)
HAtm: Altura equivalente a pressão atmosférica no reservatório aberto.
Figura 8.8 Tipos de sistemas afogado e normal.
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-9
8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba
Para definir NPSH requerido pela bomba devemos identificar as parcelas de energia envolvidas:
g
vhNPSH q 2
21
Re +∆= ( 11 )
onde ∆h é a parcela de energia necessária para vencer as perdas de energia provindas da variação da velocidade relativa (W1) e perdas de energia devido ao atrito e à turbulência do líquido entre a boca de entrada na bomba e a entrada das pás devido ao aumento de velocidade absoluta C1
∆hW
g
C
g= +
λ λ1
12
212
2 2
( 12 )
Onde λ1, λ2 são coeficientes empíricos (0,3 e 1,2 respectivamente).
g
v
g
C
g
WNPSH q 222
21
21
2
21
1Re +
+= λλ
( 13.1 )
Geralmente o termo g
v
2
21 é pequeno e desta forma se adota a equação:
+=
g
C
g
WNPSH q 22
21
2
21
1Re λλ (13.2)
Assim, o NPSHreq depende das características construtivas da bomba. O NPSHreq é dado graficamente pelo fabricante.
Figura 8.9 Representação da curva do NPSH num gráfico de bomba comercial.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-10
8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração
Para evitar a cavitação, a energia disponível pelo sistema deve ser maior que a energia requerida pela bomba:
)()( Re bombaNPSHsistemaNPSH qDisp > ( 14 )
Ou também: Dispq NPSHNPSH <Re
vapLaaatmq hhhHNPSH −−−<Re
Desta forma podemos determinar altura estática de aspiração que deve ser colocada a bomba em relação ao nível do líquido para não ocorrer cavitação:
)2
(2
reqa
vapLaatma NPSHg
vhhHh +++−<
( 15 )
Para evitar que ocorra cavitação devemos colocar a bomba numa altura menor que o valor limite dado pela equação anterior. Como a dedução foi realizada para um sistema normal e não afogado, devemos observar que o resultado numérico de tal equação nos fornece a seguinte informação:
• Se o valor de ha é positivo, (por ex. 3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada acima do nível do líquido. Bomba com Aspiração Normal.
• Se o valor de ha é negativo, (por ex. -3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada abaixo do nível do líquido. Bomba Afogada.
Observa-se que tal altura depende das seguintes variáveis:
• Pressão atmosférica local. O valor de ha será maior em instalações a nível do mar. • Perda de carga na tubulação de aspiração. Maior perda de carga menor será o valor de ha. • Pressão dinâmica na boca de aspiração da bomba. Maior velocidade menor será ha • Pressão de vaporização do fluido. Quanto menor a temperatura do fluido menor será hv e assim
maior o valor de ha. • Energia requerida pela bomba na boca de aspiração. Bombas com menor dissipação de energia
interna apresentaram um menor valor o NPSH requerido permitindo um maior valor de ha Analisemos o caso de uma situação teórica:
• Consideremos uma instalação de bombeamento a nível do mar (Hatm=10,33m). • O sistema não apresenta perda de carga (hLa0) • Velocidade muito baixa (v2/2g =0) • Temperatura muito baixa (hvap=0). • Utilizamos uma bomba ideal sem dissipação de energia interna (NPSHreq=0). • Nestas condições idealizadas, o limite teórico de ha será de 10,33m
• A máxima altura de aspiração admissível de uma bomba diminui com ao aumento da temperatura.
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-11
8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma
O Fator de Thoma é um número característico adimensional para cavitação definido como:
σ = ∆h
H Man
( 16 )
O valor de σ depende da rotação específica nq
3/44/3
3/4 )()(man
qH
Qnn φφσ ==
( 17 )
Bombas Hélico-axiais. ϕ = 0,0013. Bombas Axiais. ϕ = 0,00145. Para bombas centrífugas em geral podemos utilizar: ϕ = 0,0011.
3/44/3)(0011,0
manH
Qn=σ
Representada graficamente na Fig. 8.9.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Rotação Específica - nq (rpm)
Fat
or d
e T
hom
a
Figura 8.10 - Curva do fator de Thoma.
Uma vez determinado o fator de Thoma podemos avaliar o NPSHReq pela relação: NPSHreq= ManHh σ=∆
onde Hman é altura manométrica do sistema. Também podemos determinar altura máxima de aspiração:
)2
(2
mana
vapLaatma Hg
vhhHh σ+++−<
( 18 )
8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração A velocidade específica de aspiração (S) e utilizada para definir ou caracterizar as condições de aspiração de uma bomba e para estabelecer analogias de funcionamento de bombas semelhantes do ponto de vista da aspiração. A velocidade especifica de Aspiração é definida adimensionalmente como:
75,0NPSH
QnS =
( 19 )
onde n é a rotação (rpm) Q a vazão (m3/s) e NPSH a altura positiva liquida de sução (m). Um valor típico da velocidade especifica de aspiração igual a S=174 pode ser encontrado em bombas de boa fabricação apresentam um ângulo da pá em torno de 170. Com aproximadamente 5 a 7 alabes. Bombas comerciais têm baixo S na faixa de 97 a 136. Por outro lado as bombas para alimentação de caldeiras, especialmente bombas de condensado requerem S maiores entre 232 a 348. Para alcançar tais valores o ângulo de fluxo é tomado tão baixo quanto 100 e o numero de pás é reduzido até 4. Um número pequeno de alabes com espessura fina são favoráveis já que diminuem o efeito de bloqueio.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-12
8.4.2 Margem prática de segurança
O NPHS disponível e requerido pode ser representado graficamente. Sabemos que para não ocorrer cavitação o NPSHDisp > NPSHReq. De forma prática adota-se uma margem entre ambos os valores:
mNPSHNPSHemM qDisp 5,1arg Re ≥−=
A margem prevista visa garantir que não ocorra cavitação no sistema evitando assim a vaporização do fluido no interior da bomba.
Figura 8.11 – Representação do NPSH disponível e requerido
8.4.3 Variação de NPSH com a Rotação Se a bomba apresenta um determinado NPSH, este é válido para a rotação dada pelo fabricante. Se a bomba opera com uma nova rotação, o NPSH deverá ser determinado utilizando as relações:
2
1
2
2
1
=
n
n
NPSH
NPSH
( 20 )
onde NPSH1 representa o valor de catálogo e NPSH2 representa o valor para a rotação desejada.
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-13
8.5 Exemplos de Cavitação
EXEMPLO–8.1 Na Fig. ao lado considere a bomba com uma vazão de 9,0 litros/s. O fluido é gasolina a 25oC. Do catalogo do fabricante se obtém que a bomba apresenta um NPSH igual a 1,9m. Considere um tubo de aço com rugosidade absoluta de 4,3x10-4m. Determinar (a) a altura máxima de aspiração (b) o NPSH do sistema verificando se existe risco de cavitação. Obs. Considere o coeficiente de perda de carga de cada curva de 900 igual a 0,4 e da válvula de pé igual a 1,75. Propriedades da gasolina a 25oC Peso especifico: 7800N/m3 Viscosidade cinemática: 6x10-6 m2/s. Pressão de vapor da gasolina: 32,5 kPa.
Figura 8.12- Sistema de bombeamento Solução: Utilizando a Eq. de Bresse D=k Q1/2 com k=1,1 obtemos D=100mm. Com a vazão se acha v=1,15m/s.
)(19167 6,0x10
1,015,1Re
6-turbulento
xvD ===ν
++=
3/16
Re
102000010055,0
Df
ε
0334,0109,1
10
1,0
103,42000010055,0
3/1
4
64
=
++=
−
x
xxf
g
v
D
LfhLD 2
2
= onde L=59,5+2,3=61,8m ( )
mgg
vhvel 067,0
2
15,1
2
22
===
mxxxh
g
vkk
D
Lfh
hhh
La
valvulacurvaLa
LkLDLa
55,1067,019,23067,075,14,021,0
)8,61(0334,0
22
2
==
++=
++=
+=
+++−< bomba
ovapLaatma NPSH
g
vhhHh
2
2
max
onde mcakPax
H atm 137800
100033,101 ≅= e mcakPax
hv 17,47800
10005,32 ≅=
(a) ( ) mha 31,59,1067,017,455,113max =+++−<
+++−=
g
vhhhaHNPSH vapLaatmDips 2
2
( ) mNPSHDips 61,4067,017,455,16,213 =+++−=
( b ) NPSHDisp (4,61m) > NPSHReq (1,9m) (portanto não ocorre cavitação)
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-14
EXEMPLO–8.2 O sistema de bombeamento da Figura ao lado trabalha com a bomba de 2 HP de 3500 rpm e diâmetro do rotor 138mm (5 7/16”) representada na Figura abaixo. O sistema trabalha na interseção da curva da bomba com a curva do sistema no ponto de funcionamento para uma vazão de 100 litros/min. O reservatório é um tanque fechado com pressão absoluta igual a 80kPa contendo água a temperatura de 500C. O nível de água no tanque é 2,0m acima do centro do eixo da bomba. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 40mm. O coeficiente de perda de carga localizado do joelho é igual kac1=1,0 e o coeficiente de perda de carga da válvula de globo aberta é igual kac2= 7,0. Considere o fator de atrito da tubulação igual a 0,025. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a 12m. A pressão atmosférica local é igual a 101 kPa.
Figura 8.13 - Sistema de bombeamento
Determinar:
1. A pressão relativa dentro do tanque. 2. O NPSH disponível para o sistema. 3. Compare o NPSH disponível com o NPSH
requerido e verifique se o sistema cavita.
Figura 8.13 – Curva característica de bomba centrifuga comercial
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-15
Solução: (EXEMPLO–8.2) Q=100 litros/min ptanque=80kPa T=500C ha=205mca D=40mm kac1=1,0 kac2= 7,0. L=12m f=0,025 (a) Pressão relativa dentro do tanque
mx
x
g
pH que
que 25,881,9988
100080tantan ===
ρ Pressão relativa no tanque (101kPa – 80kPa = 21kPa)
(b) NPSH disponível para o sistema.
+++±−=
g
vhhha
g
pNPSH a
vapLaque
Dips 2
2tan
ρ
smx
x
D
Qva /32,1
04,0
001666,04422
===ππ
( )
0888,081,92
32,1
2
22
===xg
vh a
vel
com T=500C Pv=0,1255kgf/cm2 ρ=988kg/m3
kPam
cmx
kgf
Nx
cm
kgfpvap 31,1210081,91255,0
2
22
2== . m
x
x
g
ph vap
vap 27,181,9988
100031,12 ===ρ
Perda de carga por tubulação e acessórios:
( ) mxg
v
g
vk
g
vk
g
v
D
Lfh aa
aca
aca
La 38,10888,0715,72
0,7104,0
12025,0
222
22
2
2
1
2
=++=
++=++=
Como a bomba está afogada ha é negativo. com H=8,25m ha=-2,0m hLa=1,38m hvap=1,27m
+++−−=
g
vhhhaHNPSH a
vapLaqueDips 2
2
tan
( ) mNPSHDips 5,70888,027,138,10,225,8 =+++−−=
(c) Compare o NPSH disponível com o NPSH da bomba Com Q= 100 litro/min da Figura da bomba determinamos Hman= 35m
3/4
4/3
=
manH
Qnφσ A velocidade específica rpm
H
Qnn
man
s 1035
001666,03500
4/34/3≅==
com φ=0,0011 ( ) 0235,0100011,0 3/4 ==σ
mxHNPSH manq 82,0350235,0Re === σ
Desta forma como NPSHReq < NPSHDisp a bomba não entrará em cavitação.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-16
EXEMPLO–8.3 O sistema da figura trabalha em operação de fluxo contínuo com vazão igual a 23,6 l/s. A perda de carga da tubulação e acessórios na aspiração é igual a 5m. A perda de carga da tubulação e acessórios de recalque é igual a 7,5m. Considere hvel=0. Com auxílio da curva da bomba fornecida: (a) Selecione o diâmetro do rotor da bomba apropriado para o sistema. (b) Determine a Eq. da curva característica do sistema e grafique a mesma. (c) Determine o NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C. (d) Determine o NPSH da bomba pelo fator de Thoma e o NPSH da bomba especificada pelo fabricante. Verifique se a bomba cavita. (e) Calcule a potência de acionamento da bomba nas condições de operação considerando o rendimento especificado pelo fabricante. Compare com a potência dada pelo fabricante. Obs. Considere a pressão atmosférica padrão. Para 600C massa específica da água igual a 984 kg/m3
Figura 8.14 - Sistema de bombeamento
Figura 8.15 – Curva característica de bomba centrifuga comercial
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação
PUCRS – FENG - 2010 8-17
Solução: (EXEMPLO–8.3) ( a ) Altura manométrica do sistema
mg
vJJhH rae 505,755,37
2
2
=++=+++=
Com Q=23,6 l/s (85 m3/h) e H=50m no site: http://appserver.ittind.com/software/plus/Plusespl.htm Selecionamos a bomba centrífuga de diâmetro de 178mm maquinada para 175mm. (Fig. 8.12) ( b ) Grafique a curva característica do sistema mostrando o ponto de operação da bomba-sistema: Q=23,6 l/s (85 m3/h)
Vazão: s
mDvQ
32
0236,04
== π
( )3,22443
0236,0
5,375022
12 =−=
−=
Q
kHk
Curva característica: 2221 3,224435,37 QQkkH +=+=
( c ) NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C.
vapLaaatmDisp hhhHNPSPH −−−=
Para T=600C ρ=984 kg/m3 e Pv=19,9 kPa. (equivalente a 2,06m)
mNPSHDisp 77,006,255,233,10 =−−−=
( d ) NPSH da bomba determinado utilizando o fator de Thoma e o NPSH da bomba especificado pelo fabricante. n=3500rpm
096,0)50
0236,03500(0011,0)( 3/4
4/33/4
4/3===
ManH
Qnφσ
mxH man 8,450096,0NPSH === σ
do gráfico do fabricante com Q=85 m3/h e H=50m temos NPSHReq ≅ 7,0m. Como NPSHReq (7,0m) > NPSHDisp (0,77m) a bomba cavita.
(e ) kWxxxQgH
WG
manac 66,14
79,0
0236,05081,91000 ===η
ρ&
Obs. Continue o problema determinando a altura de aspiração limite para não existir cavitação.
Sistemas Fluidomecânicos
Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 8-18
EXEMPLO – 8.4 Num sistema de bombeamento de água o manômetro indica uma pressão equivalente a 3,5kgf/cm2 e o vacuômetro indica uma pressão equivalente de 368mmHg. A altura estática total de elevação é igual a 25m. A vazão da instalação é igual a 0,75m3/min. Considere pressão atmosférica padrão 1atm e temperatura de 250C. A perda de carga na aspiração é igual a 1,2mca. Densidade do mercúrio 13,6. Determinar: a) A equação que representa a curva característica do sistema. b) A altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. Obs. Considere que do catalogo do fabricante HPSHReq=1,8m.c.a. Solução: (EXEMPLO–8.4) Dados:
HM=35m HV=5,0m he=25m Q=45m3/s hatm=10.301m Ja=1,2mc.a A Eq. que representa a curva característica do sistema é dada por:
221 QkkH +=
Sabemos que k1=he=25m. Avaliando a equação no ponto de operação determinamos a constante k2:
00741,045
2540222 =−=
−=
Q
hHk e Desta forma 22
21 00741,025 QQkkH +=+=
Determine a altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. Hatm=10,33m hLa=1,2m com T=250C se obtém hvap=0,31m. Do catalogo HPSHReq=1,8m.c.a.
)( reqvapLaatma NPSHhhHh ++−<
mha 02,7)8,131,02,1(33,10 =+−−<
A bomba pode operar em condições normais. A bomba poderá ser instalada acima do reservatório de aspiração numa altura menor que 7m.
Sistemas Fluidomecânicos Bibliografia
PUCRS – FENG - 2010
Referências Bibliográficas
Sistemas Fluidomecânicos Bibliografia
PUCRS – FENG - 2010
Sistemas Fluidomecânicos Bibliografia
PUCRS – FENG - 2010
Referências Bibliográficas 1. Bombas e Instalações de Bombeamento Macintyre, J,A; Ed. Guanabara, 1987. 2. Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre, A.J.; Ed. LTC, 1997. 3. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Munson B. R., Young D.F. Okiishi T.H.. Ed. Edgard Blucher
Ltda, 1997. 4. Fundamentos Hidráulicos para Instalaciones con Bombas Centrífugas Sulzer, Ed. Sulzer. 5. Hidráulica, Provenza F. e Souza H., Ed. Provenza, Protec, 1976. 6. Instalações Elevatórias - Carvalho, D.F.; Ed. FUMARC; 1992. 7. Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox. W.R., McDonald. A T. Quarta Edição LTC Editora. 1992. 8. Material de Sistemas Fluidomecânicos UNICAMP (1998). 9. Operações com Fluidos - Gomide, R; Ed. do Autor, 1996. 10. Sistemas Fluidomecânicos, Apostila. UNICAMP, 1997, França, F. A. 11. Sistemas de Bombeamento, Jardim, S.B., Ed. Sagra-DC-Luzzato, 1992. 12. Termotecnía Teoría y Métodos en Termodinámica Aplicada, Ignacio Lira C. Ediciones Universidad
Católica de Chile, 1992. 13. Máquina de Fluido, Érico Lopes Henn, Editora UFSM, 2001., 474 pag. 14. Pump Life Cicle Costs: A guide to LCC Analysis for Pumping Systems. Europump and Hydraulic Institute,
Belgian , 2001.194 pag. 15. Fundamentos de Engenharia Hidráulica, Márcio Baptista, Márcia Lara. Editora UFMG., Belo Horizonte, 2002.,
435 pag. 16. Tubulações Industriais – Cálculo. Pedro C. Silva Telles. Ed. LTC 9a Edição, 1999. 163pag. 17. Analysis and Desing of Energy Systems, Hodge B;K.; Taylor P. Robert., 3a edição Prentice Hall, New Jersey,
1998. 483pag. 18. Reducing Water Pumping Costs In the Steel Industry – Good Practique Guide – 1996 19. Introduction to Pump Curves Goulds Pumps – 2001, www.goulds.com 20. Energy Efficient Motor Driven Systems, Published by European Copper Institute, 2004 21. Improving Pumping Systems performance: A Source book for Industry 2 Edition – US Department of Energy
e Hydraulic Institute, 2006. www.eere.energy.gov/industry 22. Selecting Centrifugal Pumps - KSB 4th edition 2005
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 1
Tabelas e Gráficos
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 2
Sistema Internacional de Unidades - SI
Denominam-se dimensões as quantidades físicas. No SI, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. As unidades são nomes consignados às dimensões primárias adotadas como padrões para medição. As unidades correspondentes das dimensões fundamentais no SI são o metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Em termos destas três unidades, a unidade de volume é o m3, a unidade de aceleração é o m/s2, e a massa específica é o kg/m3. A unidade de força no SI é o Newton (N) e derivada a partir da Segunda lei de Newton: Força (N) =(massa em kg)x(aceleração em m/s2) Assim 1 N= 1 kg.m/s2 . No SI as temperaturas são expressas em graus Celcius (oC) e a unidade de temperatura absoluta é o Kelvin (K). A transformação de Celcius para Kelvin é dada pela relação: T(K) =T( oC) + 273 No sistema inglês de unidades se utiliza o grau Fahrenheit T(F) = 8/9T(oC) + 32 e o grau Rankine para temperatura absoluta: T( R ) = T(F) + 459,67.
Na Tabela A.1 são dadas unidades no SI.
Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI
Unidades fundamentais no SI Quantidade Unidade
Símbolo Fórmula
Comprimento Metro M - Massa Quilograma Kg - Tempo Segundo S - Temperatura Kelvin K -
Unidade suplementar SI Ângulo plano radiano rad -
Unidades derivadas SI Quantidade Unidade
Símbolo Dimensão
Energia Joule J N m Força Newton N kg m/s2 Potência Watt W J/s Pressão Pascal Pa N/m2 Trabalho Joule J N m
Aceleração da Gravidade A massa da terra exerce uma força gravitacional dirigida para seu centro originando uma aceleração denominada aceleração da gravidade (g). Seu valor depende da posição em que nos encontramos na terra. Varia portanto segundo a latitude e longitude do lugar. Adota-se como valor normal g=9,8066 m/s2 o qual corresponde a uma altitude de 00 (nível do mar) e uma latitude de 450. Para efeitos de cálculos nós consideramos a aceleração da gravidade igual a g=9,81m/s2.
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 3
Tabelas de Propriedades de Fluidos
Tabela A.2 Propriedades da Água
Temperatura
(0C)
Massa Específica
ρρρρ (kg/m3)
Peso Específico γγγγ
(kN/m3)
Viscosidade Dinâmica
µµµµ (Pa.s) ou (N.s/m2)
Viscosidade Cinemática
νννν (m2/s)
0 1000 9.81 1.75 x10-3 1.75 x10-6 5 1000 9.81 1.52 x10-3 1.52 x10-6 10 1000 9.81 1.30 x10-3 1.30 x10-6 15 1000 9.81 1.15 x10-3 1.15 x10-6 20 998 9.79 1.02 x10-3 1.02 x10-6 25 997 9.78 8.91 x10-4 8.94 x10-7 30 996 9.77 8.00 x10-4 8.03 x10-7 35 994 9.75 7.18 x10-4 7.22 x10-7 40 992 9.73 6.51 x10-4 6.56 x10-7 45 990 9.71 5.94 x10-4 6.00 x10-7 50 988 9.69 5.41 x10-4 5.48 x10-7 55 986 9.67 4.98 x10-4 5.05 x10-7 60 984 9.65 4.60 x10-4 4.67 x10-7 65 981 9.62 4.31 x10-4 4.39 x10-7 70 978 9.59 4.02 x10-4 4.11 x10-7 75 975 9.56 3.73 x10-4 3.83 x10-7 80 971 9.53 3.50 x10-4 3.60 x10-7 85 968 9.50 3.30 x10-4 3.41 x10-7 90 965 9.47 3.11 x10-4 3.22 x10-7 95 962 9.44 2.92 x10-4 3.04 x10-7 100 958 9.40 2.82 x10-4 2.94 x10-7
Fonte: R. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada 4a edição,1996. Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica
Temperatura
(0C)
Massa Específica
ρρρρ (kg/m3)
Peso Específico γγγγ
(N/m3)
Viscosidade Dinâmica
µµµµ (Pa.s) ou (N.s/m2)
Viscosidade Cinemática
νννν (m2/s)
-40 1.514 14.85 1.51 x10-5 9.98 x10-6 -30 1.452 14.24 1.56 x10-5 1.08 x10-5 -20 1.394 13.67 1.62 x10-5 1.16 x10-5 -10 1.341 13.15 1.67 x10-5 1.24 x10-5 0 1.292 12.67 1.72 x10-5 1.33 x10-5 10 1.247 12.23 1.77 x10-5 1.42 x10-5 20 1.204 11.81 1.81 x10-5 1.51 x10-5 30 1.164 11.42 1.86 x10-5 1.60 x10-5 40 1.127 11.05 1.91 x10-5 1.69 x10-5 50 1.092 10.71 1.95 x10-5 1.79 x10-5 60 1.060 10.39 1.99 x10-5 1.89 x10-5 70 1.029 10.09 2.04 x10-5 1.99 x10-5 80 0.9995 9.802 2.09 x10-5 2.09 x10-5 90 0.9720 9.532 2.13 x10-5 2.19 x10-5 100 0.9459 9.277 2.17 x10-5 2.30 x10-5 110 0.9213 9.034 2.22 x10-5 2.40 x10-5 120 0.8978 8.805 2.26 x10-5 2.51 x10-5
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 4
Tabela A.4 Propriedades de Líquidos
Temperatura
Massa Específico
Viscosidade Dinâmica
Tensão Superficial
Pressão de Vapor
Módulo de Elasticidade
T ρρρρ µµµµ σσσσ Pv Ev LÍQUIDOS oC kg/m3 Pa.s N/m N/m2 N/m2
Água
15,6 999 1,12x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,15x109
Tetracloreto de carbono
20 1590 9,58x10-4 2,69x10-2 1,3x104 1,31x109
Álcool etílico
20 789 1,19x10-3 2,28x10-2 5,9x103 1,06x109
Gasolina
15,6 680 3,1x10-4 2,2x10-2 5,5x104 1,3x109
Glicerina
20 1260 1,5 6,33x10-2 1,4x10-2 4,52x109
Mercúrio
20 13600 1,57x10-3 4,66x10-1 1,6x10-1 2,85x109
Óleo SAE 30
15,6 912 3,8x10-1 3,6x10-2 1,5x109
Água do mar
15,6 1030 1,2x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,34x109
Tabela A.5 Propriedades de Gases
Temperatura Massa Específico
Viscosidade Dinâmica
Constante do Gás
Expoente Adiabático
T ρρρρ µµµµ R K GÁS oC kg/m3 Pa.s J/kg K Ar
15 1,23 1,79x10-5 286,9 1,4
Dióxido de carbono
20 1,83 1,47x10-5 188,9 1,3
Hélio
20 1,66x10-1 1,94x10-5 2077 1,66
Hidrogênio
20 8,38x10-2 8,84x10-6 4123 1,41
Metano (Gás natural)
20 6,67x10-1 1,10x10-5 518,3 1,31
Nitrogênio
20 1,16 1,76x10-5 296,8 1,4
Oxigênio
20 1,33 2,04x10-5 259,8 1,4
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 5
VISCOCIDADE CINEMÁTICA DE FLUIDOS
Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperatura
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 6
VISCOCIDADE ABSOLUTA DE FLUIDOS
Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperatura
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 7
Equações para Determinar as Propriedades da Água em Função da Temperatura Massa Específica (kg/m3)
0037,0 0624,0 6,1000
)( )(kg/m
321
032321
−=−==++=
CCC
CTondeTCTCCρ
Viscosidade Dinâmica - (cP) - Fórmula de Bingham
( )[ ]
( ) /m.s)(kg em 001,0*
)(
435,8)(:
2,14,8078021482,01
0
2/12
converterparacP
centipoisecP
CTZonde
ZZ
µµ
µ
=−=
−++≅
Equações de Popiel e Wojtkowiak (*)
Massa Específica (kg/m3)
5-
0335,22
x10-2,3030988 9050,00082140 010740248,0 068317355,0 79684,999
)( )(kg/m
==−===++++=
edcba
CTondeeTdTcTbTaρ
Viscosidade Dinâmica (kg/ms)
( ) ( )4
032
101160832,3 0,1360459c 408782,19 82468,557
)(: kg/(ms) /1−−====
+++≅xdba
CTondedTcTbTaµ
(*) Journal of Fluid Eng. June 2000 Vol. 122 Pag.260-263.
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 8
Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço
Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido
(Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea)
(Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea)
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 9
Tabela A.8 Estimativa do consumo predial
Prédio Consumo (litros/dia)
Unidade
Alojamentos provisórios 80 Por pessoa Casas Populares Residências 120 Por pessoa Residências 150 Por pessoa Apartamentos 200 Por pessoa Hotéis (s/cozinha s/lavanderia) 120 Por hospede Hospitais 250 Por leito Escolas Internatos 150 Por pessoa Escolas semi-internatos 100 Por pessoa Escolas externatos 50 Por pessoa Quartéis 150 Por pessoa Edifícios públicos ou comerciais 50 Por pessoa Escritórios 50 Por pessoa Cinemas e teatros 2 Por lugar Templos 2 Por lugar Restaurantes e similares 25 Por refeição Garagens 50 Por automóvel Lavanderia 30 Kg de roupa seca Mercados 5 M2 de área Matadouros – animais de grande porte 300 Por cabeça abatida Matadouros animais de pequeno porte 150 Por cabeça abatida Fábricas em geral (uso pessoal) 70 Por operário Postos de serviços para automóvel 150 Por Veículo Cavalariças 100 Por Cavalo Jardins 1,5 M2 de área Orfanato, asilo, berçário 150 Por pessoa Ambulatório 25 Por pessoa Creche 50 Por pessoa Oficina de costura 50 Por pessoa
As tabelas mostram valores típicos utilizados, contudo, a experiência em diferentes processos com fluidos podem exigir velocidades maiores o menores que estas. Velocidades menores podem ser utilizadas para levar em conta aumentos futuros de capacidade, corrosão e formação de crostas. Velocidades maiores podem ser utilizadas para prevenir decantação e entupimento.
Tabela A.9 Velocidades Práticas Recomendadas
Tipo de aplicação Velocidades recomendadas (m/s) Sucção de bombas e drenos 0,4 a 2,0 Recalque e tubulações de uso geral 1,5 a 3,0 Alimentação de caldeiras 2,4 a 4,0
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
PUCRS – FENG – 2010 A 10
Tabela A.10 Velocidades Práticas Recomendadas
Tipo de Serviço e tipos de Fluido Velocidade (m/s) Aspiração em bombas Líquido finos (água, álcool) 0,4 – 2,0 Líquidos viscosos (acima de 0,01Pa s) 0,1 – 0,4 Recalque e linhas de uso geral Líquidos finos 1,2 – 3,0 Líquidos viscosos 0,2 – 1,2 Escoamento por gravidade 0,3 – 1,5 Drenos 1 – 2 Água industrial e de serviços 1,7 – 3,5 Alimentação de caldeiras 2,5 – 4,0 Vapor Saturado 12 – 40 Super-aquecido 25 – 60 de alta pressão 50 – 100 Ar comprimido Troncos 6,0 – 8,0 Ramais 8,0 – 10,0 Mangueira 15,0 – 30,0 Gases industriais Em alta pressão (acima de 1 MPa) 30 – 60 Baixa pressão (dutos de ventilação) 10 – 20 Em alto vácuo 100 - 120 Chaminés Tiragem natural 3 – 5 Tiragem forçada 10 – 20 Tubovias Conduzindo líquidos finos 1,5 – 2,0 Bombeamendo líquidos viscosos (oleodutos) 0,4 – 1,0 Por gravidade 0,1 0,3 Linhas subterrâneas de esgoto Manilhas cerâmicas 5 Tubos de concreto 4 Tubos de cimento-amianto 3 Tubos de ferro fundido 6 Tubos de PVC 5
Fonte: Operações com Fluidos (Reynaldo Gomide)
Tabela A. 11 Diâmetros (mm) Típicos Utilizando as Equações Anteriores - Q (m3/h)
Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
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Sistemas Fluidomecânicos Anexo
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Pressão de Vapor para Diferentes fluidos
Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
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MASSA ESPECIFICA DE FLUIDOS
Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
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Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES
Para converter de Para Multiplique por
CV HP 0,6863
C.F.M. (pé cúbico/min) Litro/seg 0,472
Centímetro quadrado pé 2 1076 x 10 -3
Galão (amer) Centímetro cúbico 3.785
Galão (amer.) Litro 3,785
Galão (amer.) Metro cúbico 3,785x 10 -3
Galão/min Litro/seg 0,06308
Grau Celsius Grau Fahrenheit ( o C x 9/5 ) + 32
Horse Power Btu/h 33.479
HP CV 1,014
Hp Kcal/hora 641,2
HP Kwatt 0,7457
HP . h Btu 2.544
Kcal/h . m 2 ( 0 C/m) Btu/h. pé 2 ( 0 F/pe) 0,671
Libra*pé/seg CV 1,843 x 10 -3
Libra* . pé/seg HP 1,818 x 10 -3
Libra* . pé/seg kw 1,356 x10 -3
Libra* /polegada 2 Atmosfera 0,06804
Libra* / polegada 2 kg*cm 2 0,07301
Libra* . pé/min kw 2,260 x 10 -5
Litro Galão 0,2642
Libra* / pé 2 Atmosfera Física 4,725 x10 -4
Libra* / pé 2 kg* / m 2 4,882
Metro Jarda 1,094
Metro Milha marítima 5,396 x 10 -4
Metro Milha terrestre 6,124 x 10 -4
Metro Pé 3,281
Metro Polegada 39,37
Metro cúbico Galão (amer.) 264,2
Metro/min Milha/h 0,03728
Milibar Libra*/pol 2 0,0145
Milha (marítima) Jarda 2.027
Milha (marítima) km 1,853
Milha (marítima) Milha terrestre 1,516
Milha quadrada Quilômetro quadrado 2,59
Milha terrestre Metro 1.609
Newton Dina 10 5
Pé Metro 0,3048
Pé Centímetro 30,48
Pé cúbico Galão (líq.) 7,4805
Pé cúbico Litro 28,32
Pé cúbico m 3 0,02832
Polegada cúbica Litro 0,01639
Polegada cúbica Pé cúbico 5,787 x 1C -4
Polegada de Hg Kg*/cm 2 0,03453
Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br
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Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES (Continuação)
Para converter de Para Multiplique por
Quilograma*/cm 2 Polegada de Hg 28,96
Quilômetro Jarda 1.094
Quilo caloria CV . h 1,581 x 10 -3
Quilo caloria Libra*. Pé 3,088
Quilowatt HP 1,341
Quilowatt Btu 3.413
Quilowatt . hora HP . h 1,341
Quilowatt . h Libra* . pé 2,655 x 10 6
Radiano Grau 57,3
Radiano Minuto 3.438
Rotação por minuto (rpm) Grau/segundo 6
Ton Libra 2.000
Tonelada Libra 2,205
Tonelada (refrigeração) HP 4,717
Watt Btu / hora 3,4192
Watt Btu/minuto 0,05688
Watt C.V. 1,360 x 10 -3
Watt HP 1,341 x 10 -3
Watt . h HP . h 1,341 x 10 -3
Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br
CONVERSÃO DE PRESSÕES
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PERDA DE CARGA DE CONEXÕES PVC – (em metros de tubulação equivalente)
Fonte: Alpina Manual de aquecimento Solar
PERDA DE CARGA DE CONEXÕES TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC
(em metros de tubulação equivalente)
CONEXÕES 3/4" 1" 1 1/4" 1 1/2" 2" 2 1/2" 3" 4" 5" 6" 8" 10" 12"
registro gaveta 0,10 0,12 0,18 0,20 0,28 0,34 0,46 0,65 0,83 1,10 1,50 1,80 2,37
registro globo 5,00 6,80 9,70 11,80 16,00 20,00 26,00 37,00 48,00 60,00 83,00 103,00 135,00
válvula de retenção 1,10 1,50 2,10 2,50 3,40 4,30 5,50 7,70 10,20 12,60 17,60 21,70 28,60
curva - 90º 0,30 0,40 0,60 0,70 1,00 1,20 1,50 2,00 2,80 3,50 4,90 6,00 7,90
cotovelo - 45º 0,30 0,40 0,50 0,60 0,90 1,10 1,40 1,90 2,50 3,20 4,40 5,40 7,10
cotovelo - 90º Tee 0,60 0,80 1,10 1,30 1,80 2,20 2,90 4,00 5,20 6,50 9,00 11,30 14,80
válvula de pé 10,80 14,90 21,00 26,00 35,00 44,00 57,00 79,00 100,00 130,00 180,00 225,00 300,00 Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda.
Sistemas Fluidomecânicos Anexo
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TABELAS DE PERDAS DE PRESSÃO EM 100 METROS DE TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC
Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda.
Os valores acima estão de acordo com a NBR-5626 OBS: Em se tratando de tubos Galvanizados ou FºFº usados, deve-se acrescentar 3% aos valores acima para cada ano de uso da tubulação.