Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - FiltrosFiltrosCarlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html

DefiniçõesDefinições Convolução:Convolução:

Comutativa : x*y=y*xComutativa : x*y=y*x Homogénea : (ax)*y=a(x*y)Homogénea : (ax)*y=a(x*y) Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y)Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y) Invariante no tempo : (DInvariante no tempo : (DTT(x))*y=D(x))*y=DTT(x*y)(x*y)

dsstysxtyx

knykxnyxk

)()())(*(

)()())(*(

Exemplo (discreto)Exemplo (discreto)

y(n)=1,-2y(n)=1,-2n n 2, else y(n)=02, else y(n)=0

É uma média móvelÉ uma média móvel

)2()1()()1()2(

1)(

)()())(*(

2

2

nxnxnxnxnx

knx

kyknxnyx

k

k

ExemploExemplo

Exemplo (contínuo)Exemplo (contínuo)

2

2

2

2

)()(

)()())(*(

s

t

ts

s

dsstxdssx

dsstysxtyx

t t+2t-2

y(t)=1,-2y(t)=1,-2t t 2, else y(t)=02, else y(t)=0

É uma média móvel (dividindo pela largura É uma média móvel (dividindo pela largura da janela)da janela)

Exemplo (contínuo)Exemplo (contínuo)

Nota: a expressão não é válida para t<0

Exemplo (flip and drag)Exemplo (flip and drag)

1x(t)

1 y(t)

dsstysxtyx )()()(*

1x(s)

y(t-s)

s=t1

t

s

x*y

Delta de KroneckerDelta de Kronecker

Delta de Kronecker é uma Delta de Kronecker é uma basebase

Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa combinação linear de Deltas de Kroneckercombinação linear de Deltas de Kronecker

Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao delta de Kronecker, por linearidade posso delta de Kronecker, por linearidade posso saber a resposta do sistema a qualquer sinalsaber a resposta do sistema a qualquer sinal

Delta de DiracDelta de Dirac

Explicação intuitiva do delta Explicação intuitiva do delta de Diracde Dirac

x(s)

y(t-s)

1/

)(1

)(

)()(

)(*

)0(txtx

dsstysx

tyx

Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Convolução (Discreto)Convolução (Discreto)

Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Convolução (contínuos)Convolução (contínuos)

ExemploExemplo

Detalhe do cálculo da Detalhe do cálculo da convoluçãoconvolução

2)(

20)(

00

)()()(

2 1

0 1

tdsstxe

tdsstxe

t

dssxshty

t

t

s

ts

dsstxshty )()()(

Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teorema: Sistema Discreto LTIteorema: Sistema Discreto LTI

S(n) h(n)

)()()()()()(

)()()()(

)()(

nymnhmxnxmnmx

mnhmxmnmx

mnhmn

mm

Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teorema :Sistema Contínuo teorema :Sistema Contínuo

LTILTI

S(t) h(t)

)()()()()()(

)()()()(

)()(

tysthsxtxstsx

sthsxstsx

sthst

Demonstração intuitiva do Demonstração intuitiva do teoremateorema

Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída correspondente, tanto no caso discreto correspondente, tanto no caso discreto como no caso contínuo, foi dada pela como no caso contínuo, foi dada pela convolução do sinal de entrada com a convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema.resposta impulsiva do sistema.

A diferença é que nos sistemas discretos se A diferença é que nos sistemas discretos se usa o delta de Kronecker para definir a usa o delta de Kronecker para definir a resposta impulsiva enquanto que nos resposta impulsiva enquanto que nos sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.

ExemplosExemplos

)1()1()()(

)1()1()()(

nnnnh

nxnxnxny

h(n)

0 1-1

x(n)

0 1-1

Nota: sistema LTI mas não causal

ExemplosExemplos

x(t) DT y(t)

h(t)=(t-T)

Relação entre Resposta Relação entre Resposta Impulsiva e Resposta em Impulsiva e Resposta em

FrequênciaFrequência

dseshwH

ewHdsstxshtxhty

txhtytx

ewHe

jws

jwt

e

jwtjwt

stjw

)()(

)()()())(*()(

))(*()()(

)(

)(

Exemplo:Exemplo:

jwTjws edseshwH

Ttth

)()(

)()(

Obtivemos o mesmo H(w) que em temposobtiveramos por outro método

Exemplo:Exemplo:

01

021

00

)()()(

)()(

)()(

t

t

t

dssdssxty

ttx

txty

tt

Filtro genéricoFiltro genérico

Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2)0.2y(n-2)

D

D

D

D

+ +

0.5

0.7

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

y(n)

y(n-1)

y(n-2)

1

0.2

Quatro variáveis de estado mas poder-se-ia ter feito com menos

w(n)

Filtro genéricoFiltro genérico

Podemos definir que são dois sistemas em Podemos definir que são dois sistemas em cascatacascata

D

D

D

D

+ +

0.5

0.7

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

y(n)

y(n-1)

y(n-2)

1

0.2

Filtro genéricoFiltro genérico A ordem pode ser invertida porque são A ordem pode ser invertida porque são

sistemas LTIsistemas LTI

D

D

+

1

0.2

D

D

+

0.5

0.7

x(n)y(n)

Filtro genérico – número de Filtro genérico – número de estadosestados

De uma forma geral, se houver k De uma forma geral, se houver k atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), o número de atrasos necessário é o número de atrasos necessário é max (k,m)max (k,m)

Projecto de um filtro idealProjecto de um filtro ideal

1 04( )

04

wH w

w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

w

|H(w

)|

Filtro Ideal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

0

2

w

Fase

pi/4

Para implementar este filtrorealizando a convolução emtempo real num DSP pretende-se saber osprimeiros 128 pontosda resposta impulsiva.

Filtro Ideal

x(t) y(t)

127

0

(0), (1), (2),..., (127)

( ) ( ) ( )m

h h h h

y n h m x n m

Resposta em FrequênciaResposta em Frequência

127

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

m

jwn jwn

jwn

y n h m x n m

x n e y n H w e

H w e

(( ) jw nh m e127 127

)

0 0

( )m jwm

m m

h m e

Como sabemos o H(w) que pretendemos “só” teremos que resolver o sistema com 128 incógnitas para calcular os 128 valores de h(n). Este cálculo só se faz uma vez, porquedepois são carregados em registos e em tempo real só énecessário efectuar a convolução.

Cálculo da resposta Cálculo da resposta impulsivaimpulsiva

O filtro verdadeiramente vertical será impossível, O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é possível aproximarmo-nos dele. mas é possível aproximarmo-nos dele.

Se chamarmos HSe chamarmos Hdd à resposta em frequência à resposta em frequência desejada, e Hdesejada, e Hhh à resposta em frequência que se à resposta em frequência que se pode obter através da resposta impulsiva h, o pode obter através da resposta impulsiva h, o problema de optimização a resolver é:problema de optimização a resolver é:

Se usarmos o critério do desvio máximo.Se usarmos o critério do desvio máximo. Há outros critérios e uma quantidade grande de Há outros critérios e uma quantidade grande de

filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)

max ( ) ( )dhH w H w