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Tópicos
• Definição de um filtro digital
• Anatomia de um filtro digital
• Descrição no domínio da frequência de sinais e sistemas
• Aplicações típicas de filtros digitais
• Substituição de filtros analógicos por filtros digitais
• Tópicos especiais
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Filtro digital
• O que é?
• Propriedades da sequência de saída dependem da aplicação.
• Exemplos: aplicações de radar e processamento de voz.
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Filtro digital
• Como gerar as sequências de entrada?
– Amostrar um sinal contínuo no tempo em um conjunto de intervalo de tempo igualmente espaçado:
Onde Ts é o período da amostra. 4
Anatomia de um filtro digital
• Interconexão de três elementos: somadores (adders), multiplicadores (multipliers) e retardadores (delays).
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Anatomia de um filtro digital
• Somadores e multiplicadores: componentes simples implementados na ULA do computador.
• Delays: componentes que permitem acessos a valores futuros e passados na sequência: – delay positivo (delay): implementado por um registrador de
memória que armazena o valor atual de uma sequência para um intervalo da amostra, logo, tornando-a disponível para cálculos futuros.
– delay negativo (avanço): usado para antecipar o próximo valor na
sequência. Geralmente usados para aplicações, como processamento de imagens, em que a sequência de todos os dados a ser processada está disponível no início do processamento, e o delay negativo serve para acessar a próxima amostra dos dados na sequência.
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Anatomia de um filtro digital • Exemplo de filtro digital não recursivo que faz uma média de
três amostras:
• A saída atual y(n) é igual a média dos valores de entrada: próximo, atual e anterior . O 'avanço' serve para acessar o próximo valor da sequência, enquanto o 'delay' serve para armazenar o valor corrente.
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Anatomia de um filtro digital • Ordem: indica o número mínimo de delays e avanços que são
necessários para implementar um filtro digital. Um filtro de média de 3 amostras é um filtro de segunda ordem.
• Filtro não-recursivo (saída é uma função apenas da entrada) • Filtro recursivo (saída também depende dos valores de saída
anteriores)
Exemplo de filtro digital recursivo de primeira ordem.
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Descrição de domínio de frequência
de sinais e sistemas • Sequência senoidal discreta no tempo:
Sequência {cos(𝝎n)} para 𝝎=𝝅/12.
• Onde 𝝎 é a frequência da sequência, dada em radianos.
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Descrição de domínio de frequência
de sinais e sistemas • Expansão em série de Fourier de uma forma de
onda periódica: – soma de sequências senoidais de frequências diferentes.
• Espectro de magnitude de uma sequência discreta no tempo. Indica a magnitude dos vários componentes senoidais.
• Exemplo de uma aplicação de um filtro digital: separar sinais baseado no seu conteúdo espectral.
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Exemplos
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Recuperação de sequências usando a filtragem
• FILTRO PASSA BAIXA (elimina as componentes de alta frequência)
• Resposta em magnitude do filtro.
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Recuperação de sequências usando a filtragem
• FILTRO PASSA ALTA (elimina as componentes de baixa frequência)
• Resposta em magnitude do filtro.
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Recuperação de sequências usando a filtragem
• Há dois outros filtros importantes:
– FILTRO PASSA BANDA (passa os componentes da entrada que estejam dentro de uma banda desejada de frequências);
– FILTRO REJEITA BANDA (elimina os componentes da entrada que estejam em uma banda específica de frequências).
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Aplicações típicas de filtros digitais
• O campo de estudo de filtros digitais fornece um entendimento fundamental de processamento de dados discretos no tempo, essencial para manipular dados de computadores digitais e para aplicar os procedimentos de processamento de sinais, tais como: robótica, sensores inteligentes e processamento de sinais sísmicos.
• Também são importantes para modelar sistemas lineares, tais como modelos de produção de voz e canais de transmissão.
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Processamento de sinais
• Sinal de voz e seus espectros:
Sequência Espectro:
A sequência {x1(n)} consiste em 512 amostras do som de voz \a\ (como em father)
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Processamento de sinais • Sinal de voz e seus espectros:
Sequência Espectro:
A sequência {x2(n)} consiste em 512 amostras do som de voz \e\ (como em see)
Os espectros exibem picos que podem ser usados para diferenciar os sons.
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Processamento de sinais
• Estes dois sinais periódicos são mais fáceis de serem diferenciados pelo espectro de magnitude de um período.
• Os dois espectros anteriores consistem de picos que correspondem às ressonâncias da forma do trato vocal que foi usado para gerar o som.
• Em sistemas de reconhecimento de voz, vários
sons de voz podem ser diferenciados com base nas localizações em frequências desses picos.
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Processamento de imagens • A varredura de uma linha de uma imagem produz uma
função de intensidade de posição através do plano imagem, descrito por i(p).
• Onde Ds é o intervalo de distância da amostragem.
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Simulação no computador de um sistema físico
• A simulação é empregada para determinar o desempenho e as sensibilidades do sistema analógico antes de ser construído realmente.
• Exemplo: quando um sistema físico, tal como um robô é muito complicado ou de alto custo para ser construído.
Vantagens: - Obtenção de dados sem desenvolver experimentos caros
e demorados; - Forma flexível de variar a entrada e os parâmetros do
sistema e de observar o efeito dessas alterações. - Qualquer sinal no modelo pode ser observado.
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Simulação no computador de um sistema físico
• Exemplo:
• Simulação de um braço do robô aplicando uma sequência de excitação {e(n)} e calculando a sequência de resposta {r(n)}. 21
Simulação de um sistema físico
onde {e(n)} representa valores instantâneos de algum parâmetro físico, tal com: tensão, torque, temperatura, etc.
Filtro digital Sinal de excitação
{e(n}} Resposta do sinal
{r(n)}
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Substituição de filtros analógicos por filtros digitais
• Filtros analógicos: compostos de resistores, capacitores e indutores.
• Superar algumas limitações e desvantagens dos componentes analógicos, tais como: – Flutuação dos valores dos componentes com a
temperatura e idade. – Valor e tamanho elevados dos indutores e capacitores
(para sinais com componentes de frequência muito baixa, como em aplicações geofísicas e biomédicas).
– Dificuldade em se trocar os valores dos componentes.
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Filtro analógico
• Sinal de Entrada Filtro Passa Baixa RC Sinal de Saída
• Como substituir este filtro analógico por um filtro digital equivalente?
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Conversor Analógico-Digital ADC:
Conversor Digital-Analógico (DAC):
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Substituição de filtros analógicos por filtros digitais
• Conversor analógico-digital ADC:
– Produz uma sequência de entrada discreta no tempo {x(n)} a partir de x(t). Esta sequência de entrada é então processada com um filtro digital, implementado com um hardware específico ou como um programa de computador para produzir a sequência de saída {y(n)}.
• Conversor digital-analógico (DAC):
usado para reconstruir o sinal contínuo no tempo.
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Tópicos especiais em filtros digitais e em processamento de sinais
• Análise
• Síntese
• Transformada Rápida de Fourier (FFT)
• Efeitos de precisão finita
• Filtros inversos
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Análise • Algoritmos de processamento de sinais digitais:
– Analisados por suas características no domínio do tempo e da frequência: permite entender suas capacidades e limitações.
– O desempenho no domínio do tempo de filtros digitais: descrito em termos da sequência de resposta da amostra unitária do filtro (unit-sample response sequence) denotada por {h(n)}. Esta sequência é análoga à resposta impulso dos filtros analógicos.
• Operação de convolução: permite determinar a sequência de saída {y(n)} a partir da sequência de entrada {x(n)} e da resposta da amostra unitária {h(n)}.
• A sequência {h(n)} também permite determinar se um filtro é estável.
• Equações de diferença linear: descrição alternativa no domínio do tempo.
{x(n)} e {h(n)}
Operação de Convolução
{y(n)}
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• Domínio de Fourier:
– Expressa as especificações do filtro no domínio da frequência;
– Define as propriedades no domínio da frequência de sinais e filtros.
• A Transformada de Fourier da resposta da amostra unitária:
– função de transferência do filtro.
Amostra unitária Função de transferência
• A Transformada de Fourier descreve o ganho do filtro em diferentes frequências.
Análise
Transformada de Fourier
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Análise • Transformada de Fourier de uma sequência de dados:
Sequência de dados Espectro
• Define o conteúdo em frequência do sinal.
• A Transformada Discreta de Fourier (DFT) permite encontrar a transformada de Fourier.
Transformada de Fourier
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Análise
• Transformada Z – Técnica alternativa e mais geral do que a transformada de
Fourier; – A função de sistema: definida como a transformada z da
resposta da amostra unitária {h(n)} e é usada para análise e síntese de filtros digitais.
Amostra unitária Função de sistema
– Domínio de interesse: plano z complexo - Representação de polos e zeros.
– Fornece uma representação útil da resposta em frequência do filtro.
Transformada
z
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Síntese • Envolve a combinação de elementos do filtro digital e a
especificação de valores dos coeficientes do multiplicador para satisfazer uma especificação desejada.
• A transformação que deve ser desempenhada pelo filtro digital é especificada em termos de resposta em magnitude
Curvas de resposta em magnitude
para um filtro passa baixa digital ideal
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Síntese • Resposta de filtros passa baixa real: • A especificação desejada permite desvios muito pequenos da
resposta ideal: ε no passa-banda (passband), 𝞭 no stopband, e um intervalo de frequência não zero para a transição entre o passband e o stopband.
• Um projeto de filtro digital correto produz uma resposta em magnitude que obedece essas regiões permitidas.
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Síntese
• Tipos de filtros digitais:
– IIR (Infinite Impulse Response):
• Filtros de resposta impulso infinita.
– FIR (Finite Impulse Response):
• Filtros de resposta impulso finita.
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Filtros digitais IIR • Geralmente projetados baseados nos procedimentos de projeto de filtros
analógicos. • A resposta impulso infinita é uma propriedade que se aplica a muitos sistemas
lineares invariantes no tempo. Três passos para projetar um filtro IIR: 1-projeta-se um filtro passa-baixa analógico para atender a especificação de passa-
banda desejada. Exemplos: Butterworth, Chebyshev e elíptico. 2-Faz-se uma transformação analógico-digital para obter um filtro passa-baixa
digital. Exemplo: através de métodos de invariância a impulso e método de transformada
z bilinear. 3- Emprega-se uma transformação em frequência a fim de se obter um filtro passa-
alta, passa-banda ou rejeita banda.
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Filtros digitais FIR • Não levam em consideração os filtros analógicos.
PRIMEIRA ESTRUTURA:
• Implementação da resposta desejada de amostra unitária do
filtro em uma estrutura conhecida como tapped-delay line.
• A resposta desejada geralmente tem um número infinito de elementos não-zero. Logo, uma janela de duração finita deve ser aplicada para eliminar tudo menos um número finito desses elementos.
• Os efeitos desse truncamento serão vistos na função de transferência do filtro resultante.
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Filtros digitais FIR SEGUNDA ESTRUTURA:
• Estrutura de amostragem em frequência, a qual emprega um filtro de pente –
filtro comb - seguida por um banco de ressonadores e implementa o filtro especificando a resposta em magnitude em um número finito de pontos de frequência. – filtro comb: Em processamento de sinais, um filtro comb opera adicionando uma
parte levemente defasada do sinal a si mesmo, gerando interferências construtivas e destrutivas, de modo similar à modulação em anel.
– Ressonador: dispositivo ou sistema que exibe comportamento ressonante - oscila
naturalmente para algumas frequências, denominadas de frequências de ressonância.
Uma comparação entre os dois procedimentos de projeto é feita para
determinar sob quais condições um é mais eficiente do que o outro.
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Transformada Rápida de Fourier
• FFT (Fast Fourier Transform)
• Algoritmo para processamento de dados e análise espectral.
• Método eficiente para o cálculo da transformada de Fourier discreta (DFT) que permite a operação de filtragem a ser feita no domínio da frequência.
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Efeitos de precisão finita • Precisão finita: representação de sequências e valores de coeficientes no
computador. Para se processar dados no computador, os valores dos dados devem ser primeiro quantizados a um número finito de bits, geralmente igual ou menor ao tamanho de palavra no computador.
• Quais são os efeitos? Algumas fontes de erro: • Quantização dos coeficientes usados nos multiplicadores de filtro digital.
Uma alteração leve nesses valores de coeficientes modifica a resposta em frequência do filtro.
• Adição ou multiplicação de vários números no computador e o resultado excede os limites do computador. Os resultados devem ser escalados e truncados - introduzindo outra fonte de erro que pode produzir oscilações indesejadas na saída de alguns filtros IIR.
• Serão considerados métodos analíticos de caracterização desses
problemas comuns de quantização. 39
Filtros inversos
• Integram muitos conceitos de processamento de sinais digitais para resolver o problema de remoção de distorções dos sinais observados que são introduzidos por instrumentos de medida ou por meios de transmissão física.
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Referência
Introduction to Digital Signal Processing
Author: Roman Kuc. BS Publication, 2008
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Obrigada
e até a próxima aula.
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