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Universidade Federal do Rio de Janeiro
SISTEMAS DINAMICOSTOPOLOGICOS E C∗-ALGEBRAS
John Beiro Moreno Barrios
Dissertacao apresentada para obtencao do grau de Mestre emMatematica, pela Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Orientador: Antonio Roberto da Silva
Rio de JaneiroJulho de 2008
SISTEMAS DINAMICOS TOPOLOGICOS
E C∗-ALGEBRAS
John Beiro Moreno Barrios
Antonio Roberto da Silva
Dissertacao de Mestrado submetida ao Programa de Pos-graduacao emMatematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como partedos requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.
Aprovada por:
Presidente, Prof. Antonio Roberto da Silva, IM-UFRJ
Prof. Nilson da Costa Bernardes Junior, IM-UFRJ
Prof. Severino Toscano do Rego Melo, IME-USP
Rio de JaneiroJulho de 2008
Barrios, John Beiro Moreno.
Sistemas Dinamicos Topologicos e C∗-algebras/ John
Beiro Moreno Barrios. - Rio de Janeiro: UFRJ, 2008.
x, 83f.: il.; 31 cm.Orientador: Antonio Roberto da SilvaDissertacao (mestrado) - UFRJ/ Programa de Pos-
graducao em Matematica, 2008.Referencias Bibliograficas: f. 84-85.1. Sistemas Dinamicos Topologicos. 2. C∗-algebras. I.
Da silva Antonio Roberto. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Instituto de Pos-graduacao em Matematica.
III. Tıtulo.
Agradecimentos
A meu orientador Antonio Roberto pelas suas sugestoes, paciencia e dedi-cacao.
A minha mae Carmen Elena por todo o amor e o apoio que sempre medeu.
A minha namorada Aurelbis por todo amor e carinho que tem me dedi-cado nesse tempo todo.
A todos meus amigos que me ajudaram a fazer das tantas aulas e provasmomentos um pouco mais leves.
Aos professores do instituto pelos conhecimentos adquiridos.
Resumo
A equivalencia da existencia de uma secao Borel mensuravel com a naoexistencia de pontos recorrentes aperiodicos para homeomorfismos de espacostopologicos de Haussdorf localmente compactos e mostrada usando a teoriadas C∗-algebras.
Palavras-chave: C∗-alegras e Sistemas Dinamicos Topologicos.
Abstract
The equivalence of existence of a Borel section to nonexistence of recurrentaperiodic points for homeomorphisms of locally compact topological spacesis proved using the theory of C∗-algebras.
Kew-words: C∗-algebras and Topological Dynamical Systems.
Indice
Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1 Conceitos Basicos da Teoria das C∗-algebras 11.1 Definicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A Representacao GNS ou o Teorema de Gelfand-Naimark-Segal 61.3 A C∗-algebra envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 O produto cruzado discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 AF algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Operadores compactos em espacos de
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Conceitos Basicos de Dinamica Classica 282.1 Definicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Propriedades dos sistemas dinamicos cla- ssicos . . . . . . . . 302.3 Expansividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Um resultado da dinamica classica via a teoria das C∗-algebras40
3.1 Dinamica topologica e C∗-algebras . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Sistemas Dinamicos do tipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Apendice 75A.1 Construcao de GNS (Gelfand, Naimark and Segal) . . . . . . . 75A.2 Limites indutivos de C∗-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Referencias Bibliograficas 83
7
Introducao
O objetivo deste trabalho e apresentar a teoria das C∗-algebras como umaferramenta efetiva na prova de resultados de sistemas dinamicos topologicos.Mais precisamente, dado um sistema dinamico
∑= (X, σ), isto e, um par
consistindo de um espaco topologico compacto ou localmente compacto deHausdorff X e um homeomorfismo σ : X → X, faremos um estudo da ex-istencia de uma secao Borel mensuravel para
∑= (X, σ), onde X satisfaz ao
segundo axioma de enumerabilidade, apresentado por Tomiyama e Silvestrovem [ST]. Especificamente, ao sistema
∑associamos uma C∗-algebra A(
∑),
que e o produto cruzado de C(X) por Z, com respeito ao automorfismo αde C(X) definido por α(f)(x) = f(σ−1x), denotado por C(X) ×α Z, que e,a C∗-algebra envolvente de l1(Z, C(X)), sendo l1(Z, C(X)) uma ∗-algebra deBanach com norma dada por
‖f‖1 =∑m∈Z
‖f(m)‖,
o produto dado pela convolucao
(f ∗ g)(n) =∑m∈Z
f(m)αm(g(n−m))
e involucao dada porf ∗ = αn(f(−n)∗).
Para chegar a existencia da secao Borel mensuravel, precisamos supor que oconjunto dos pontos periodicos coincide com o conjunto dos pontos recor-rentes do sistema dinamico topologico
∑, seguindo [AT] mostramos que
A(∑
) e uma C∗-algebra de tipo I, isto e, dada uma representacao irre-dutıvel (π,H) de A(
∑), π(A(
∑)) contem todos os operadores compactos
definidos em H. Tendo isto, se denotamos por An e A∞ o conjunto de todasas classes unitariamente equivalentes de representacoes irredutıveis nao nulas
i
finito dimensionais e infinito dimensionais respectivamente, e X/Z o espaco
das orbitas de σ, construımos homeomorfismos de A(∑
)n em (Pern/Z)×T e
de Aper(σ)/Z em A(∑
)∞. Usando resultados topologicos podemos concluirque X/Z e um espaco contavelmente separavel, que e nosso resultado prin-cipal, pois em [Ef], se mostra que se X/Z e contavelmente separavel existeuma secao Borel mensuravel do sistema
∑. Indicaremos a seguir como o
trabalho esta organizado.No primeiro capıtulo, fazemos uma revisao das principais definicoes e re-
sultados da teoria das C∗-algebras utilizados ao longo do trabalho, comotambem estudamos C∗-algebras especiais tais como, C∗-algebra envolvente,AF -algebras e a C∗-algebra produto cruzado que tem um papel importanteno nosso trabalho.No final do capıtulo, apresentamos uma relacao impor-tante das C∗-algebras com a teoria dos operadores compactos nos espacos deHilbert.No segundo capıtulo, apresentamos algumas definicoes basicas de sistemas
dinamicos topologicos, tais como pontos periodicos, recorrentes e secao Borelmensuravel, assim como alguns sistemas topologicos especiais, como os topolo-gicamente transitivos e sistemas minimais. Alem disso, estudamos teoremasclassicos como o teorema de Alexandrov que afirma que, num espaco polonesos conjuntos Gδ sao espacos poloneses.E no terceiro capıtulo que de fato apresentamos a construcao da C∗-algebra
produto cruzado C(X) ×α Z, assim como identificamos via homeomorfismoas representacoes irredutıveis de dimensao finita e infinita. Concluımos ocapıtulo com a demonstracao de que o espaco X/Z e contavelmente separavelpartindo do fato que o conjunto dos pontos recorrentes coincide com o con-junto dos pontos periodicos.
Finalmente no apendice, apresentamos a construcao da representacao deGelfand−Naimark − Segal ou transformada de GNS, a qual tem grandeimportancia no nosso trabalho, pois com ela podemos construir uma repre-sentacao do sistema
∑partindo de um funcional linear.
ii
Capıtulo 1
Conceitos Basicos da Teoria dasC∗-algebras
Este capıtulo tem por finalidade apresentar os conceitos da teoria dasC∗-algebras que serao necessarios para o desenvolvimento dos capıtulos sub-sequentes. As duas primeiras secoes contem alguns conceitos basicos de C∗-algebras; como esta parte nao representa o objetivo principal do trabalho aapresentamos de forma concisa, focando apenas os resultados que serao pos-teriormente utilizados. Nas demais secoes, realizamos, com mais detalhes,a construcao de alguns tipos especiais de C∗-algebras, fundamentais para onosso trabalho, bem como a demonstracao de algumas de suas principaispropriedades. Entre elas estao a C∗-algebra envolvente de uma ∗-algebra deBanach, o produto cruzado classico no caso discreto, e as C∗-algebras do tipoI.
1.1 Definicoes basicas
O principal objetivo desta secao e definir as C∗-algebras e apresentaralguns conceitos basicos.
Definicao 1.1. Seja A um espaco vetorial sobre um corpo K. Dizemos queA e uma algebra se existir uma aplicacao bilinear A2 → A, (a, b) 7→ ab talque, para quaisquer a, b, c ∈ A,
a(bc) = (ab)c.
Tal aplicacao e denominada multiplicacao. Se B e um subespaco vetorialde A tal que para quaisquer b, b′ ∈ B temos bb′ ∈ B, entao B, munido damultiplicacao de A restrita a B, e uma sub-algebra de A.
1
Definicao 1.2. Seja A uma algebra sobre um corpo K. Se A possui umanorma sub-multiplicativa ‖ · ‖, ou seja, que satisfaz a desigualdade
‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖
para todos a, b ∈ A, entao o par (A, ‖ · ‖) e chamado algebra normada.Se, alem disso, A for completo segundo a norma ‖ · ‖, dizemos que A e
uma algebra de Banach.Uma algebra de Banach A que possui um elemento 1 tal que ‖1‖ = 1 e
1a = a1 = a, para todo a ∈ A, e denominada algebra de Banach comunidade.
Uma subalgebra fechada de uma algebra de Banach e uma sub-algebrade Banach.
Definicao 1.3. Seja A uma algebra sobre o corpo dos numeros complexos.Uma involucao e uma aplicacao de A em A dada por a 7→ a∗ tal que , paratodos a, b ∈ A e α ∈ C temos(a+ b)∗ = a∗ + b∗
(αa)∗ = αa∗
(a∗)∗ = a(ab)∗ = b∗a∗
Uma algebra munida de uma involucao e denominada uma ∗-algebra.Se B e uma sub-algebra auto-adjunta de A, ou seja, para b ∈ B tem-seb∗ ∈ B, entao B e uma sub-∗-algebra de A.Se A e uma algebra de Banach munida de uma involucao tal que, para todoa ∈ A, temos ‖ a∗‖ = ‖a‖, entao A e chamada ∗-algebra de Banach.
Definicao 1.4. Seja A uma ∗-algebra de Banach tal que ‖aa∗‖ = ‖a‖2, paratodo a ∈ A. Entao, A e chamada C∗-algebra.
Se A possui uma unidade 1, entao A e uma C∗-algebra com unidade.Uma sub-∗-algebra fechada de uma C∗-algebra A e chamada sub-C∗-
algebra de A.Se ‖ · ‖ e uma norma sub-multiplicativa de uma ∗-algebra B que satisfaz
‖b∗b‖ = ‖b‖2 para todo b ∈ B, entao ‖ · ‖ e denominada uma C∗-norma.
Observacao 1.5. Neste trabalho, utilizaremos apenas C∗-algebras com unidade.Entretanto, se A e uma C∗-algebra que nao possui unidade, e possıvel con-struir uma C∗-algebra com unidade A, denominada unitizacao de A, sendoque A pode ser identificada com uma sub-C∗-algebra de A. Maiores detalhespodem ser encontrados em [SBA].
Vejamos agora alguns exemplos classicos de C∗-algebras
2
Exemplo 1.6. O conjunto C dos numeros complexos e uma C∗-algebra comunidade, com a involucao dada pela conjugacao α 7→ α e com a norma dadapelo modulo α 7→ |α|.
Exemplo 1.7. Seja Ω um espaco topologico de Hausdorff localmente com-pacto. Dizemos que uma funcao contınua f : Ω → C se anula noinfinito se, para todo ε > 0, o conjunto w ∈ Ω : |f(w)| ≥ ε, e compacto.O conjunto de tais funcoes e denotado por C0(Ω).Para todo f, g ∈ C0(Ω), w ∈ Ω e α ∈ C consideremos as operacoes pontuais
(f + g)(w) = f(w) + g(w),
(αf)(w) = αf(w),
(fg)(w) = f(w)g(w).
A funcao ‖ · ‖ dada por
‖f‖ = supw∈Ω|f(w)|
e uma norma dita a norma do supremo e a involucao e dada pela conjugacao,ou seja, f 7→ f , onde f(w)=f(w). Entao, C0(Ω) munido de tais operacoes euma C∗-algebra. Observemos que C0(Ω) tem unidade se, e somente se, Ωe um compacto. Observemos tambem que as propriedades das definicoes 1.3e 1.4 seguem diretamente das propriedades da conjugacao complexa.
Exemplo 1.8. Sejam H um espaco de Hilbert e B(H) o conjunto dos oper-adores lineares limitados de H. Para todos S, T ∈ B(H), ξ, η ∈ H e α ∈ Cvamos definir as seguintes operacoes:
(T + S)(ξ) = S(ξ) + T (η),
(αT )(ξ) = αT (ξ)
e(ST )(ξ) = (S T )(ξ).
Consideremos tambem a norma usual dos operadores
‖T‖ = sup‖ξ‖≤1‖T (ξ)‖
e a involucao dada pelo operador adjunto T ∗, isto e,
< T (ξ), η >=< ξ, T ∗(η) >,∀ξ, η ∈ H.
3
Entao pelas propriedades de operadores adjuntos e a definicao da norma,B(H) e uma C∗-algebra com unidade, sendo a unidade o operador identi-dade IdH . Veremos que esta algebra desempenha um papel fundamental nateoria das C∗-algebras. Mais especificamente, pelo teorema de Gelfand −Naimark − Segal(GNS), que veremos mais adiante, temos que toda C∗-algebra pode ser identificada com uma sub-C∗-algebra de B(H), para umespaco de Hilbert H conveniente.
Definicao 1.9. Sejam A uma ∗-algebra com unidade 1 e a ∈ A. Entao, a edenominadoi.auto-adjunto, ou hermitiano, se a∗= a.ii.projecao, se a e auto-adjunto e a2= a.iii.normal, se a∗a = aa∗.iv.isometria, se a∗a = 1. Se, alem disso, aa∗ 6= 1, entao a e chamadoisometria propria.v.unitario, se a∗a = aa∗ = 1.
Definicao 1.10. Sejam A e B ∗-algebras e ϕ : A→ B uma aplicacao linear.Dizemos que ϕ e um ∗-homomorfismo se, para todos a′, a ∈ A,
ϕ(aa′) = ϕ(a)ϕ(a′)
eϕ(a∗) = ϕ(a)∗.
Se A e B possuem unidades 1A e 1B, respectivamente, e ϕ(1A) = 1B, entaodizemos que ϕ preserva unidade. Um ∗-homomorfismo de A em A echamado um endomorfismo de A. Se ϕ e um ∗-homomorfismo bijetivo,entao ele e chamado de ∗-isomorfismo. Um ∗-isomorfismo de A em A edenominado um automorfismo de A.
Vamos provar a seguir um resultado importante relacionado a ∗-homomor-fismos. Antes, porem, trataremos do espectro de um elemento de uma C∗-algebra.
Definicao 1.11. Sejam A uma algebra com unidade 1A um elemento a ∈ Ae dito invertıvel se existe a−1 ∈ A tal que aa−1 = a−1a = 1A. O espectrode a ∈ A e o conjunto σ(a)= α ∈ C : (a− α1A)nao e invertıvel em A.
Teorema 1.12. Sejam A algebra de Banach com unidade e a ∈ A. Entao,o espectro σ(a)(1) e um subconjunto fechado do disco do plano complexo com centro naorigem e raio ‖a‖;(2) e um conjunto nao vazio.
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O teorema acima, cuja demonstracao pode ser encontrada em [SBA],motiva a seguinte
Definicao 1.13. Se a e um elemento de uma algebra de Banach A comunidade, dizemos que o seu raio espectral r(a) e dado por
r(a) = supα∈σ(a)|α|.
Do teorema anterior concluımos que se a e um elemento de uma algebra deBanach A com unidade, entao r(a) ≤ ‖a‖. Um resultado mais especıfico,relativo a C∗-algebras, cuja demonstracao pode ser vista em 2.1.1 de [Mur],e dado pelo
Teorema 1.14. Se a e um elemento auto-adjunto de uma C∗-algebra A,entao r(a) = ‖a‖.
Teorema 1.15. Seja ϕ : A→ B um ∗-homomorfismo que preserva unidadede uma ∗-algebra de Banach A em uma C∗-algebra B, ambas com unidade.Entao para todo a ∈ A, temos que ‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖.
Demonstracao: Se a ∈ A entao σ(ϕ(a)) ⊆ σ(a). Assim, temos que
‖ϕ(a)‖2= ‖ϕ(a)∗ϕ(a)‖=‖ϕ(a∗a)‖ (1.14)=
r(ϕ(a∗a)) ≤ r(a∗a) ≤ ‖a∗a‖ ≤ ‖a‖2.Portanto, ‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖.
Vamos apresentar agora um teorema sobre ∗-homomorfismos entre C∗-algebras, cuja demonstracao pode ser vista em [Mur].
Teorema 1.16. Se ϕ : A → B e um ∗-homomorfismo injetivo entre asC∗-algebras A e B, entao ϕ e necessariamente uma isometria.
Para a demonstracao do teorema de GNS, precisaremos de alguns con-ceitos que definiremos a seguir.
Definicao 1.17. Seja A uma C∗-algebra. Um elemento auto-adjunto a deA e chamado positivo se σ(a) ⊆ R+. Se a e positivo, escrevemos a ≥ 0. Oconjunto de todos os elementos positivos de A e denotado A+. Alem disso,se a, b ∈ A e a− b ∈ A+, escrevemos a ≥ b ou b ≤ a.
Definicao 1.18. Seja ϕ : A → B uma aplicacao linear entre C∗-algebras.Dizemos que ϕ e positiva se ϕ(A+) ⊆ B+.
Seja τ : A→ C um funcional linear positivo tal que ‖τ‖ = 1. Entao, τ eum estado de A. O conjunto de todos os estados de A e denotado S(A).
Um estado τ e chamado de puro se quaelquer funcional positivo ψ parao qual τ −ψ e positivo tem a forma λτ com 0 ≤ λ ≤ 1. O conjunto de todosos estados puros de A e denotado P (A).
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Antes de apresentar a representacao GNS ou Teorema de Gelfand-Naimark-Segal mostraremos resultados que serao de grande importancia no capıtulo 3e cujas demonstracoes podem ser vistas em 5.15 e 5.18 de [SBA] que sao osseguintes:
Definicao 1.19. Seja A uma C∗-algebra. Uma aproximacao da unidadeem A e uma rede (uλ)λ∈Λ com ‖uλ‖ ≤ 1 e uλ ≥ 0 tal que
a = limλ auλ,∀a ∈ A.
Teorema 1.20. Seja ϕ um funcional linear contınuo em A. Sao equivalentes:(i)ϕ ≥ 0;(ii)‖ϕ‖ = sup ϕ(a) : a ≥ 0, ‖a‖ ≤ 1(iii)‖ϕ‖ = limλ ϕ(uλ), onde (uλ)λ∈Λ e aproximacao da unidade.
Corolario 1.21. Se A tem unidade e ϕ e um funcional linear contınuo emA, entao ϕ e positivo se e somente se ϕ(1A) = ‖ϕ‖.Teorema 1.22. Sejam B uma sub-C∗-algebra de A e ϕ um funcional posi-tivo de B. Entao ϕ pode ser estendido para um funcional positivo em A, ϕ′,tal que ‖ϕ‖ = ‖ϕ′‖.
1.2 A Representacao GNS ou o Teorema de
Gelfand-Naimark-Segal
O objetivo desta secao e mostrar que toda C∗-algebra pode ser identifi-cada com uma sub-C∗-algebra de B(H), sendo H um espaco de Hilbert con-veniente. Para comecar, vamos tratar das representacoes de uma C∗-algebraem um espaco de Hilbert.
Definicao 1.23. Uma representacao de uma ∗-algebra de Banach A eum par (H,ϕ), onde H e um espaco de Hilbert e ϕ : A → B(H) e um∗-homomorfismo.
Se a imagem de ϕ esta contida em U(H), o conjunto dos elementosunitarios de B(H), dizemos que (H,ϕ) e uma representacao unitariade A.
Dizemos que (H,ϕ) e fiel se ϕ for injetora.
Definicao 1.24. Sejam H espaco de Hilbert, S ⊆ H e V ⊆ B(H) umconjunto de operadores limitados de H. Chamaremos de V S o conjunto dascombinacoes lineares dos elementos de T (x) : T ∈ V e x ∈ S. Seja ainda[V S] o fecho do conjunto V S. Dizemos que V age nao degeneradamenteem H se [V H] = H.
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Definicao 1.25. Uma representacao (H,ϕ) de uma ∗-algebra de BanachA e chamada nao degenerada se a sub-algebra ϕ(A) ⊆ B(H) age naodegeneradamente em H.
Definicao 1.26. Duas representacoes (H1, ϕ1) e (H2, ϕ2) sao ditas unitari-amente equivalentes se existe um isomorfismo U : H1 → H2 tal que
ϕ2(a) = Uϕ1(a)U−1,∀a ∈ A.
Notacao: ϕ1 ' ϕ2.
Proposicao 1.27. Seja (H,ϕ) uma representacao de uma ∗-algebra de Ba-nach A com unidade 1A. Entao, (H,ϕ) e nao degenerada se, e somente se,ϕ preserva unidade.
Demonstracao: Consideremos (H,ϕ) nao degenerada. Se a ∈ A eξ ∈ H, temos que
ϕ(a)ξ = ϕ(1Aa)ξ = ϕ(1A)ϕ(a)ξ.
Logo, ϕ(a)ξ − ϕ(1A)ϕ(a)ξ = 0, ou seja, (IdH − ϕ(1A))(ϕ(a)ξ) = 0. Como(H,ϕ) e nao degenerada, o conjunto ϕ(a)ξ : a ∈ A e ξ ∈ H gera umsubespaco denso em H. Portanto, IdH −ϕ(1A) = 0, isto e, ϕ(1A) = IdH e ϕpreserva unidade.
Por outro lado, se ϕ preserva unidade ϕ(1A)H = IdHH = H, ou seja,(H,ϕ) e nao degenerada.
Seja (Hi, ϕi)i uma famılia de representacoes da ∗-algebra de Banach A.Entao, podemos obter uma representacao (H,ϕ) de A, denominada somadireta da famılia (Hi, ϕi)i∈I , fazendo
H =⊕i∈I
Hi
e ϕ(a) ∈ B(H) dado por ϕ(a)((xi)i∈I) = (ϕi(a)xi)i∈I , para todo a ∈ A e(xi)i∈I ∈ H.
As representacoes de uma C∗-algebra tem uma relacao importante com osseus funcionais lineares positivos. Tal relacao sera utilizada para demonstraro teorema de Gelfand-Naimark-Segal.
Lema 1.28. Seja τ um funcional linear positivo de uma C∗-algebra comunidade A. Entao,(i) para cada a ∈ A, τ(a∗a) = 0 se, e somente se, τ(ba) = 0 para todo b ∈ A.(ii)τ(b∗a∗ab) ≤ ‖a∗a‖τ(b∗b), para todo a, b ∈ A.
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Demonstracao:(i) Seja a aplicacao φ : A × A → C dada por (a, b) 7→τ(b∗a). E facil verificar que φ e uma forma sesquilinear positiva em A. Assim,temos que τ(b∗a) = τ(a∗b) e |φ(a, b)| ≤
√φ(a, a)
√φ(b, b) (desigualdade de
Cauchy-Schwartz). Vamos supor que τ(a∗a) = 0. Daı, para todo b ∈ A,
|τ(ba)| = |φ(a, b∗)| ≤√φ(a, a)
√φ(b∗, b∗) = (τ(a∗a))
12 (τ(bb∗))
12 = 0, ou seja,
τ(ba) = 0.Para mostrar a outra implicacao, suponhamos que τ(ba) = 0, para todo
b ∈ A. Entao, basta tomarmos b = a∗ e temos que τ(a∗a) = 0.(ii) Seja b ∈ A. Se τ(b∗b) = 0 o resultado segue imediatamente de (i).
Tomemos b ∈ A tal que τ(b∗b) > 0. Vamos definir a aplicacao ρ : A → Cdada por c 7→ τ(b∗cb)
τ(b∗b). E facil verificar que ρ e linear. Alem disso, seja c ∈ a+.
De 5.7(ii) de [SBA] temos que
0 ≤ c⇒ b∗0b ≤ b∗cb⇒ 0 ≤ b∗cb.
Entao, como τ e positivo, temos τ(b∗cb) ≥ 0. Logo, ρ(c) = τ(b∗cb)τ(b∗b)
≥ 0, ou seja,
ρ e un funcional linear positivo.Mas ρ(1) = τ(b∗1b)τ(b∗b)
= 1. Entao, pelo corolario
1.21, ‖τ‖ = 1. Assim, ρ(a∗a) ≤ ‖a∗a‖ ⇒ τ(b∗a∗ab)τ(b∗b)
≤ ‖a∗a‖ ⇒ τ(b∗a∗ab) ≤‖a∗a‖τ(b∗b).
Teorema 1.29. Seja A uma C∗-algebra. Entao, para cada funcional linearpositivo τ de A podemos associar uma representacao (Hτ , ϕτ ) de A, denom-inada representacao GNS associada a τ e um vetor ξτ ∈ Hτ cıclico deϕτ (A) tal que ‖ξτ‖2 = ‖τ‖ e
τ(a) =< ϕτ (a)ξτ , ξτ > para todo a ∈ A.
Alem disso, ϕτ e unica a menos de equivalencia unitaria. Em particularvamos denotar a representacao GNS por (Hτ , ϕτ , ξτ ).
Demonstracao: Ver apendice 1.
Definicao 1.30. Seja A uma C∗-algebra com unidade. A representacaouniversal de A, denotada por (Hu, ϕu), e a soma direta de todas as repre-sentacoes (Hτ , ϕτ ), onde τ varia no conjunto S(A) dos funcionais linearespositivos com norma 1 de A.
A seguir, demonstraremos o teorema de Gelfand-Naimark-Segal. No en-tanto, precisamos de um resultado, cuja demonstracao pode ser encontradaem [SBA], que e dado pelo seguinte
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Lema 1.31. Se a e um elemento normal de uma C∗-algebra nao nula A,entao existe um estado τ em A tal que ‖a‖ = |τ(a)|.
Teorema 1.32. (Gelfand-Naimark-Segal) Se A e uma C∗-algebra comunidade, entao a representacao universal (Hu, ϕu) e fiel e ϕu e isometria.
Demonstracao: Seja a ∈ A tal que ϕu(a) = 0. Devemos provar queϕu e injetora, ou seja, que a = 0. Como a∗a e normal, pelo lema anterior,existe um estado τ em A tal que ‖a∗a‖ = τ(a∗a). Consideremos Nτ = a ∈A; τ(b∗a) = 0, A/Nτ e o produto interno φ([a], [b]) = τ(b∗a) como em A.1,onde [a] e a classe dada em A/Nτ . Observemos que, como ϕu(a) = 0 e τ eum estado de A, temos ϕτ (a) = 0. Entao,
‖a‖2 = ‖a∗a‖ = τ(a∗a) = τ(1∗a∗a) = φ([a∗a], [1])
= φ(ϕτ (a∗a)([1]), [1]) = φ(ϕτ
∗(a)(ϕτ (a)([1])), [1])
= φ(ϕτ (a)([1]), ϕτ (a)([1])) = ‖ϕτ (a)([1])‖2 = 0.
Portanto, a = 0 e ϕu e injetora. Alem disso, do teorema 1.16, ϕu e umaisometria.
Apresentaremos um tipo especial de representacoes (representacoes ir-redutıveis) de C∗-algebras que sera muito util no capıtulo 3 deste trabalho.
Definicao 1.33. Seja (H, π) uma representacao de uma C∗-algebra A. Umsubespaco fechado M de H chama-se subespaco invariante de (H, π) seπ(x)M ⊆M para todo x ∈ A. Se os unicos subespacos invariantes de (H, π)sao H e 0 dizemos entao que (H, π) e uma representacao irredutıvel(ou mais precisamente topologicamente irredutıvel).
Definicao 1.34. Um subespaco K de H e invariante por um subconjuntoA ⊂ B(H) se este e invariante para todo operador em A. Se A e umaC∗-subalgebra de B(H), chama-se de irredutıvel, ou que age irredu-tivelmente em H, se os unicos subespacos vetoriais fechados invariantespor A sao 0 e H.
Observacao 1.35. E facil verificar que dada uma C∗-algebra A, a projecaode um subespaco fechado invariante de (H, π) comuta com todo elemento deπ(A).
Proposicao 1.36. Se (H, π) e uma representacao de uma algebra involutivaA, entao as seguintes condicoes sao equivalentes:
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(i)(H, π) e irredutıvel
(ii) Apenas os operadores que sao multiplos escalares da identidade emH comutam com π(A).
Demonstracao: (ii) ⇒ (i): Suponhamos que M e um subespaco invari-ante de H e seja p a projecao de M em H. Como M e invariante, temos que pcomuta com todo operador π(A), donde, por hipotese, p e a multiplicacao daidentidade por um escalar λ nos complexos. Como p e uma projecao, p2 = pe assim λ = 1 ou 0. logo M = 0 ou H, provando que (H, π) e irredutıvel.
(i) ⇒ (ii): Seja x um elemento de B(H) tal que x comuta com π(A),vejamos que x = λId, para algum λ ∈ C. Considerando a parte imaginaria ea parte real independentemente, podemos supor que x e auto-adjunto, poisx = x+x∗
2+ ix−x
∗
2i= x1 + ix2, onde x1 e x2 sao auto-adjuntos. Todas as
projecoes espectrais de x, isto e, a projecao do nucleo de x− λIdH com λ ∈σ(x), comutam com π(A). Assim a imagem de qualquer projecao espectralde x e invariante pela representacao π, donde, pela irredutibilidade de (H, π)temos que qualquer projecao espectral de x e 0 ou 1, daı o espectro de x eum unico ponto λ, portanto x = λidH .
Observacao 1.37. Sejam A uma ∗-algebra de Banach e (H, π) uma rep-resentacao de A, dizemos que um operador ϕ ∈ B(H) e um comutantede π(A), se π(a)ϕ = ϕπ(a) para todo a ∈ A. Denotaremos o comutantede π(A) por π(A)′. Do resultado acima podemos observar que (H, π) se euma representacao irredutıvel de A, entao o comutante de π(A) e o con-junto dos operadores multiplicacao por um escalar do operador identidadeIdH que denotaremos por CIdH . Agora quando A e comutativa temos queπ(A) esta contido no comutantes de π(A) = CIdH , assim B(H) ⊂ π(A)′,donde B(H) = CIdH . Dai segue que toda representacao irredutıvel de umaC∗-algebra A comutativa e unidimensional. Para ver isto, basta escolher ooperador v 7→ f(v)v0 em Hπ, onde v0 e um vetor fixo em Hπ e f um fun-cional linear limitado, o qual e igual a um operador λIdHπ se, e somente seHπ tem dimensao um.
Teorema 1.38. Seja ϕ um funcional linear positivo em uma C∗-algebra A.Se ϕ e um estado puro, entao temos que (Hϕ, πϕ, ξϕ), a representacao deGNS de A, e irredutıvel.
Demonstracao: SejaM um subespaco fechado invariante de (Hϕ, πϕ, ξϕ)e p a projecao Hϕ em M . Segue da observacao 1.35 que p comuta com πϕ(x),
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x ∈ A. Escolhamos
w(x) =< πϕ(x)pξϕ, pξϕ >, x ∈ A.
Obtemos assim um operador linear contınuo e positivo. Daı temos que
w(x∗x) = ‖πϕ(x)pξϕ‖2 = ‖pπϕ(x)ξϕ‖2
≤ ‖πϕ(x)ξϕ‖2 = ϕ(x∗x), x ∈ A.
Assim w e majorado por ϕ, donde pela definicao de estado puro, temos quew = λϕ com 0 ≤ λ ≤ 1. Daı para todo x, y ∈ A,
< λπϕ(x)ξϕ, πϕ(y)ξϕ > = λϕ(y∗x) = w(y∗x)
= < πϕ(x)pξϕ, πϕ(y)pξϕ >
= < pπϕ(x)ξϕ, pπϕ(y)ξϕ >
= < pπϕ(x)ξϕ, πϕ(y)ξϕ >,
o que implica que p = λ1. Assim p = 0 ou 1, e pelo teorema anterior πϕ eirredutıvel.
Observacao 1.39. O teorema de Gelfand-Naimark-Segal nos fornece umacaracterizacao para uma C∗-algebra arbitraria. Como a representacao uni-versal e fiel, temos que toda C∗-algebra e isomorfa a uma C∗-sub-algebra deB(H), sendo H um espaco de Hilbert conveniente. No caso particular emque a C∗-algebra e abeliana, porem, conseguimos uma caracterizacao aindamelhor, que e dada pelo teorema de Gelfand − Naimark. Esse teoremanos diz que toda C∗-algebra comutativa e isometricamente-isomorfa a C(Ω),onde Ω e um espaco Hausdorff localmente compacto. Antes de citar o teo-rema, facamos duas definicoes e citemos um resultado que vamos utilizar,cuja demonstracao pode ser encontrada em [SBA].
Definicao 1.40. Seja A uma algebra de Banach. Um funcional linear naonulo de ϕ : A→ C e chamado de caracter se ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ A.Ou seja, um caracter e um homeomorfismo nao nulo de A em C. Deno-taremos o conjunto de todos os caracteres de A por Ω(A) equipado com atopologia fraca-∗.
Definicao 1.41. Seja A uma ∗-algebra comutativa. Para cada a ∈ A fixado,vamos definir a aplicacao a(φ) = φ(a), para todo φ ∈ Ω(A), a aplicacaoψ : A→ C0(Ω(A)) dada por a 7→ a e chamada transformada de Gelfand.
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Teorema 1.42. Seja A uma algebra de Banach comutativa com unidade.Existe uma correspondencia biunıvoca entre o conjunto Ω(A) e o conjuntodos ideais maximais de A, dada por
ϕ ∈ Ω(A) 7→ Kerϕ.
Entao Ω(A) 6= ∅.
Afirmacao 1.43. Se A tem unidade, σ(a) = ϕ(a) : ϕ ∈ Ω(A).
Demonstracao: Seja λ ∈ σ(a). Entao o ideal I = (a−λ1A)A e proprio,pois a− λ1A nao e invertıvel. Entao existe M ideal maximal com I ⊂ M =Kerϕ, para algum ϕ ∈ Ω(A)(1.42). Logo ϕ(a−λ1A) = 0, isto e, λ ∈ a(Ω(A)).Por outro lado, ϕ(a) ∈ σ(a) pois a−ϕ(a)1A nao e invertıvel, ja que pertencea Kerϕ.
Teorema 1.44. (Gelfand−Naimark) Se A e uma C∗-algebra abeliana naonula, entao a representacao de Gelfand
ψ : A→ C0(Ω(A)), a 7→ a,
e um ∗-isomorfismo isometrico.
Demonstracao: Seja a ∈ A um elemento auto-adjunto de A. De (1.14),r(a) = ‖a‖, agora de (1.43) existe um caracter ϕ de Ω(A) tal que |ϕ(a)| =‖a‖ 6= 0. Por outro lado, podemos notar que a transformada de Gelfande um homomorfismo e que ‖a‖∞ = r(a) ≤ ‖a‖, para todo a ∈ A. Agora,como dado y ∈ A, existem elementos auto-adjuntos y1 e y2 em A tais quey = y1 + iy2, entao, ϕ(y∗) = ϕ(y1) + iϕ(y2) = ϕ(y), donde a transformada deGelfand e um ∗-homomorfismo. Alem disso, ‖a‖2
∞ = ‖aa‖∞ = ‖aa∗‖∞ =r(aa∗) = ‖aa∗‖ = ‖a‖2. Portanto, ψ e uma isometria , donde e injetora.Resta provar que ψ e sobrejetora. Temos que ψ(A) e uma sub-∗-algebrade C(Ω(A)) fechada que separa pontos de Ω(A). Pelo teorema de Stone-Weierstrass, ela e densa em C(Ω(A)), mas como e fechada, ψ(A) = C(Ω(A)).
Teorema 1.45. Seja τ um estado em uma C∗-algebra A comutativa. Entaoτ e puro se, e somente se τ e um caracter.
Demonstracao: (⇐) Suponhamos que τ seja um caracter em A, e sejaρ um funcional linear positivo em A tal que ρ ≤ τ . Se τ(a) = 0, entaoτ(a∗a) = 0, assim ρ(a∗a) = 0. Como |ρ(a)| ≤ ρ(a∗a)1/2, temos que ρ(a) = 0.Daı, Ker(τ) ⊆ Ker(ρ), segue-se que existe um escalar t tal que ρ = tτ .Escolhamos a ∈ A tal que τ(a) = 1. Entao τ(a∗a) = 1, assim 0 ≤ ρ(a∗a) =
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tτ(a∗a) = t ≤ τ(a∗a) = 1, e portanto t ∈ [0, 1], isto mostra que τ e estadopuro.
(⇒) Suponhamos agora que τ e um estado puro. Seja (Hπτ , πτ , ξτ ) arepresentacao GNS de A. Pelo teorema (1.38) (Hπτ , πτ , ξτ ) e uma repre-sentacao irredutıvel, assim o comutante de πτ (A) e da forma CId. ComoA e abeliana πτ (A) ⊂ CId, donde B(Hπτ ) esta contido nos comutadores deπτ (A). Daı B(Hπτ ) = CId, logo, se u, v ∈ B(Hπτ ) eles sao multiplicacao deescalares pela identidade, e < uv(ξτ ), ξτ >= u < v(ξτ ), ξτ >= u < ξτ , ξτ ><v(ξτ ), ξτ >=< u(ξτ ), ξτ >< v(ξτ ), ξτ >. Daı, como τ =< πτ (·)ξτ , ξτ >, ele emultiplicativo e portanto um caracter em A.
Na proxima secao mostraremos algumas C∗-algebras especiais, que seraoutilizadas no capıtulo 3 para o estudo dos sistemas dinamicos topologicos.
1.3 A C∗-algebra envolvente
A construcao que descreveremos a seguir e muito util, aparecendo combastante frequencia na teoria de C∗-algebras. Partindo de uma ∗-algebra Bcom unidade, vamos construir uma C∗-algebra A, donde obtemos aplicacaonatural i : B → A. Alem disso, A possui a seguinte propriedade universal:Se C e uma C∗-algebra e ψ : B → C e um ∗-homomorfismo, entao existe umunico ∗-homomorfismo ψ : A→ C que faz o diagrama abaixo comutar.
Bi //
ψ @@@
@@@@
A
ψC
Definicao 1.46. Seja A uma ∗-algebra. Uma semi-norma p em A e chamadaC∗-semi-norma, se, para todos a, b ∈ A, temos que p(ab) ≤ p(a)p(b), p(a∗) =p(a) e p(a∗a) = p(a)2.
Exemplo 1.47. Se ϕ : A → B e um ∗-homomorfismo entre uma ∗-algebraA e uma C∗-algebra B, entao a aplicacao p : A→ R+ dada por a 7→ ‖ϕ(a)‖e uma C∗-semi-norma em A.
Mostraremos a seguir a construcao de uma C∗-algebra a partir de uma∗-algebra munida de uma C∗-semi-norma. Tal construcao nos auxiliara aobter, posteriormente, a C∗-algebra envolvente.
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Proposicao 1.48. Sejam B uma ∗-algebra e p uma C∗-semi-norma em B.Entao, o conjunto N = b ∈ B : p(b) = 0 e um ideal bilateral auto-adjuntode B.
Demonstracao: Sejam a ∈ N e b ∈ B. Entao,
0 ≤ p(ab) ≤ p(a)p(b) = 0.p(b) = 0.
Logo, p(ab) = 0 e ab ∈ N. Alem disso, p(a∗) = p(a) = 0. Portanto, a∗ ∈ N .
Como N e um ideal bilateral auto-adjunto da ∗-algebra B, o espaco quo-ciente B/N e uma ∗-algebra. Definindo, para todo b ∈ B, ‖[b]‖ = p(b),obtemos uma C∗-norma em B/N .
Proposicao 1.49. Seja A o espaco de Banach obtido do completamento deB/N pela norma definida acima . Entao, A e ∗-algebra
Demonstracao: Como A e um espaco de Banach munido de uma C∗-norma, basta mostrarmos que as operacoes de multiplicacao e involucao emB/N podem ser estendidas de forma unica a operacoes do mesmo tipo em A.Dados a e b em A, tomemos sequencias (an) e (bn) em B/N , tais que an → ae bn → b como B/N esta incluıda isometricamente em A, podemos concluirque (an) e (bn) sao sequencias de Cauchy em A, pois A e espaco de Banach.Vamos provar que (anbn) e de Cauchy. Como (an) e (bn) sao sequenciasconvergentes, entao elas sao limitadas, digamos pelos reais positivos La eLb, respectivamente. Seja M = max La, Lb. Dado ε > 0, tomemos ε′ =ε
2M> 0, donde, existe n ∈ N tal que, para todo n,m ≥ n, temos que
‖an − am‖ < ε2M
e ‖bn − bm‖ < ε2M
. Daı, se n,m ≥ n,
‖anbn − ambm‖ = ‖anbn − anbm + anbm − ambm‖≤ ‖an(bn − bm)‖+ ‖(an − am)bm‖≤ ‖an‖‖bn − bm‖+ ‖an − am‖‖bm‖< M · ε
2M+M · ε
2M= ε.
Como A e espaco de Banach, existe limn→∞anbn, que e um elemento de A.Definamos entao o produto ab como o limite de (anbn). Por outro lado, sejam(xn) e (yn) duas sequencias em B/N tais que xn → a e yn → b, vejamos quexnyn → ab. Com efeito,
0 ≤ ‖lim anbn − lim xnyn‖ = ‖lim (anbn − xnyn)‖ = lim ‖anbn − xnyn‖= lim ‖anbn − xnbn + ynbn − xnyn‖≤ lim ‖(an − xn)bn‖+ ‖xn(bn − yn)‖≤ lim ‖an − xn‖‖bn‖+ lim‖xn‖‖bn − yn‖ = 0.
14
Logo, lim xnyn = ab. Portanto a multiplicacao pode ser estendida de maneiraunica a todo A.Por outro lado, dado ε > 0, existe n ∈ N tal que, se n,m ≥ n, entao‖an−am‖ < ε. Como ‖an−am‖ = ‖a∗n−a∗m‖ concluımos que (a∗n) e sequenciade Cauchy, com lim a∗n ∈ A.
Vamos estender a involucao definida em B/N para todo A. Definamosa∗ como o limite da sequencia (a∗n). Entao, se (xn) e uma outra sequenciaconvergindo para a, vejamos que x∗n → a∗. Com efeito,
‖lim a∗n − lim x∗n‖ = lim ‖a∗n − x∗n‖ = lim ‖an − xn‖ = 0.
Logo, lim x∗n = a∗ e a involucao pode ser estendida de maneira unica a todoA.
A proxima proposicao mostra como obter, a partir de uma ∗-algebra deBanach com unidade, uma C∗-semi-norma. Com isso, fazendo a construcaodescrita pelas proposicoes 1.49 e 1.50, teremos a C∗-algebra envolvente.
Proposicao 1.50. Sejam B uma ∗-algebra de Banach com unidade e R oconjunto de todas as representacoes (H,ϕ) de B. Se para cada b ∈ B,
|||b||| = sup(H,ϕ)∈R
‖ϕ(b)‖,
entao ‖ · ‖ e uma C∗-semi-norma em B.
Demonstracao: Vamos lembrar que, como ϕ : B → B(H) e um ∗-homomorfismo e B(H) e uma C∗-algebra, ‖ϕ(b)‖ ≤ ‖b‖ e, daı, ‖|b‖| =sup
(H,ϕ)∈R‖ϕ(b)‖ < ∞, para todo b ∈ B. Segue ainda das propriedades do
supremo que, se a, b ∈ B e λ ∈ C,
|||b||| ≥ 0,
|||λb||| = |λ| · |||b||||||a+ b||| ≤ |||a|||+ |||b|||,
ou seja, ||| · ||| e uma semi-norma. Alem disso, para todo (H,ϕ) ∈ R, temosque
‖ϕ(ab)‖ = ‖ϕ(a)ϕ(b)‖ ≤ ‖ϕ(a)‖ · ‖ϕ(b)‖;‖ϕ(b∗)‖ = ‖ϕ(b)∗‖ = ‖ϕ(b)‖;‖ϕ(b∗b)‖ = ‖ϕ(b)∗ϕ(b)‖ = ‖ϕ(b)‖2.
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Assim, usando novamente as propriedades do supremo, concluımos que
|||ab||| ≤ |||a||| · |||b|||;|||b∗||| = |||b|||;|||b∗b||| = |||b|||2.
Definicao 1.51. Seja B uma ∗-algebra de Banach com unidade munida daC∗-semi-norma definida na proposicao 1.50. A C∗-algebra A construıda con-forme descrito na proposicao 1.49 e chamada C∗-algebra envolvente de Be denotada por C∗(B).
Teorema 1.52. Sejam B uma ∗-algebra de Banach com unidade, C umaC∗-algebra e ψ : B → C ∗-homomorfismo. Entao, existe um unico ∗-homomorfismo ψ : C∗(B) → C que faz o diagrama abaixo comutar.
Bi //
ψ""F
FFFF
FFFF
F C∗(B)
ψC
Demonstracao: Consideremos a representacao universal (Hu, ϕu) de C,que e fiel. Daı, ϕu e isometria. Temos que a composicao ϕu ψ : B → B(Hu)e uma representacao de B. Assim, para todo b ∈ B,
|||b||| = sup(H,ϕ)∈R
‖ϕ(b)‖ ≥ ‖(ϕu ψ)(b)‖.
Portanto, se b ∈ N, (ϕu ψ)(b) = 0 e, daı, ψ(b) = 0. Em outras palavras,N ⊆ Ker ψ. Como o espaco quociente B/N e denso em C∗(B), vamosinicialmente definir ψ : B/N → C, fazendo ψ([b]) = ψ(b), para todo b ∈ B.Observemos que, como N ⊆ Ker ψ, a aplicacao ψ esta bem definida. Alemdisso, ψ e contınua, pois, para todo b ∈ B,
‖ψ([b])‖C = ‖ψ(b)‖C = ‖ϕu(ψ(b))‖B(Hu) ≤ |||b||| = ‖[b]‖.
Portanto, basta tomarmos ψ como a extensao de ψ a C∗(B). Resta provar-mos a unicidade de ψ. Sejam ψ1 e ψ2 dois ∗-homomorfismos satisfazendoas condicoes acima. Se b ∈ C∗(B), entao existe uma sequencia ([bn])n∈N deelementos de B/N tal que [bn] → b. Da continuidade de ψ1 e ψ2, temos
ψ1(b) = lim ψ1([bn]) = lim ψ(bn) = lim ψ2([bn]) = ψ2(b)
. Logo, ψ1 = ψ2.
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1.4 O produto cruzado discreto
Nesta secao, obteremos os principais resultados relativos ao produto cruzadoclassico, que serao utilizados no capıtulo 3 como recurso importante parademonstrar as proposicoes ali apresentadas. Algumas particularizacoes seraoadmitidas ja na primeira definicao ja que neste trabalho so nos interessa asC∗-algebras com unidade e os grupos discretos.
Definicao 1.53. A terna (A,G, α) e chamada C∗-sistema dinamico cla-ssico se:
(i) A e uma C∗-algebra com unidade 1A.(ii) G e um grupo munido da topologia discreta.(iii) α e um homomorfismo contınuo de G no grupo dos automorfismos deA, denotado por Aut(A).
Observacao 1.54. (i) O homomorfismo α e contınuo no seguinte sentido:para cada a ∈ A, a aplicacao α(a) : G→ A dada por g 7→ αg(a) e contınua.Assim, a continuidade de α decorre imediatamente do fato de G ser um grupodiscreto.
(ii) O termo classico esta sendo utilizado neste trabalho para diferenciaro conceito definido acima do C∗-sistema dinamico utilizado na construcaodo produto cruzado por endomorfismos que foi apresentado em [Fo].
Definicao 1.55. Sejam C e D espacos vetorias topologicos. O suporte deuma funcao f : C → D e o fecho do conjunto x ∈ C : f(x) 6= 0. Se G eum grupo topologico e A e uma C∗-algebra, denotamos por k(G,A) o espacovetorial das funcoes contınuas de suporte compacto. Se G e discreto, k(G,A)e o conjunto das funcoes de G em A de suporte finito.
Proposicao 1.56. Seja (A,G, α) um C∗-sistema dinamico classico. Vamosdefinir em k(G,A) uma multiplicacao, uma involucao e uma norma dadasrespectivamente por
(x× y)(h) =∑g∈G
x(g)αg(y(g−1h)),
x∗(h) = αh(x(h−1)∗)
‖x‖1 =∑g∈G
‖x(g)‖,
para todos x, y ∈ k(G,A) e h ∈ G. Entao, o conjunto k(G,A) munido destasoperacoes e uma ∗-algebra normada.
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Definicao 1.57. O completamento de k(G,A) na norma ‖ · ‖1, definida naproposicao (1.47), e denotada l1(G,A) e e uma ∗-algebra de Banach.
Vamos denotar o elemento neutro do grupo G por e. No caso que esta-mos estudando, em que A e uma C∗-algebra com unidade e G e um grupodiscreto, podemos mostrar que o elemento δe ∈ l1(G,A) dado por:
δe(g) =
1A, se g = e
0, se g 6= e
e a unidade de l1(G,A). Denotemos de forma similar os elementos δg ∈l1(G,A) dados por:
δg(h) =
1A, se h = g
0, se h 6= g.
Observemos ainda que, se g, h ∈ G,
(δg × δh)(k) =∑j∈G
δg(j)αj(δh(j−1k)) =
1A, se k = gh
0, se k 6= gh.
Alem disso e facil ver que δ∗g = δg−1 .Analogamente a definicao 1.23, uma representacao unitaria de um grupo
discreto G e um homomorfismo U : G→ U(H), onde H e espaco de Hilbert.Assim, temos que U∗
g = U−1g = Ug−1 , para todo g ∈ G.
Definicao 1.58. Sejam (A,G, α) um C∗-sistema dinamico classico e Hespaco de Hilbert. A terna (H,ϕ, U) e chamada representacao covari-ante do C∗-sistema dinamico classico (A,G, α) se
(i)(H,ϕ) e representacao de A tal que ϕ preserva unidade;(ii)(H,U) e representacao unitaria de G, tal que
Ugϕ(a)U∗g = ϕ(αg(a)), (1.1)
para todo g ∈ G e a ∈ A.
O teorema a seguir nos dara condicoes de definir o produto cruzado dis-creto, alem de nos fornecer informacoes sobre suas representacoes nao degen-eradas.
Teorema 1.59. Seja (H,ϕ, U) uma representacao covariante do C∗-sistemadinamico classico (A,G, α). Entao, existe uma representacao nao degenerada(H,ϕ× U) de l1(G,A) tal que
(ϕ× U)(x) =∑g∈G
ϕ(x(g))Ug, (1.2)
18
para todo x ∈ k(G,A). Alem disso, podemos estabelecer uma correspondenciabiunıvoca entre as representacoes covariantes (H,ϕ, U) e as representacoesnao degeneradas (H,ϕ× U) de l1(G,A).
Demonstracao: Vamos primeiro provar que (H,ϕ × U) dada por (1.2)e, de fato uma representacao de l1(G,A). Seja x ∈ k(G,A). E facil ver que(ϕ× U) e uma aplicacao linear. Alem disso, temos que
‖(ϕ× U)(x)‖ = ‖∑g∈G
ϕ(x(g))Ug‖ ≤∑g∈G
‖ϕ(x(g))Ug‖
=∑g∈G
‖ϕ(x(g))‖‖Ug‖︸︷︷︸=1
≤∑g∈G
‖x(g)‖ = ‖x‖1.
Como ‖(ϕ× U)(x)‖ ≤∑g∈G‖x(g)‖ e esta ultima soma e finita, concluimos
que (ϕ×U)(x) ∈ B(H), alem disso, da desigualdade ‖(ϕ×U)(x)‖ ≤ ‖x‖1 aaplicacao x 7→ (ϕ × U)(x) e contınua, temos ainda que k(G,A) e denso eml1(G,A). Entao, podemos estender (ϕ × U) continuamente a todo l1(G,A).Resta mostrarmos que (ϕ×U) : l1(G,A) → B(H) e ∗-homomorfismo. Bastafazermos isso para elementos de k(G,A), ja que este conjunto e denso eml1(G,A). Assim, sendo x, y ∈ k(G,A), temos que
(ϕ× U)(x× y) =∑g∈G
ϕ((x× y)(g))Ug
=∑g∈G
ϕ
(∑h∈G
x(h)αh(y(h−1g))
)Ug
=∑g∈G
∑h∈G
[ϕ(x(h))ϕ(αh(y(h−1g)))Ug]
(1.1)=
∑g∈G
∑h∈G
[ϕ(x(h))Uhϕ(y(h−1g))U∗hUg]
=∑g∈G
∑h∈G
[ϕ(x(h))Uhϕ(y(h−1g))Uh−1g]
(r=h−1g)=
∑r∈G
[∑h∈G
ϕ(x(h))Uh]ϕ(y(r))Ur
=∑r∈G
[(ϕ× U)(x)]ϕ(y(r))Ur
= (ϕ× U)(x) (ϕ× U)(y).
19
Alem disso,
(ϕ× U)(x∗) =∑g∈G
ϕ(x∗(g))Ug =∑g∈G
ϕ(αg(x(g−1))∗)Ug
(1.1)=
∑g∈G
Ugϕ(x(g−1)∗)U∗gUg
(r=g−1)=
∑r∈G
Ur−1ϕ(x(r))∗
=∑r∈G
U∗rϕ(x(r))∗ = (ϕ× U)(x)∗.
Temos, assim, que (H,ϕ× U) e uma representacao de l1(G,A). Alem disso,
(ϕ× U)(δe) =∑g∈G
ϕ(δe(g))Ug = ϕ(1A)Ue = IdH .
Assim, ϕ×U preserva unidade. Da proposicao 1.27, (H,ϕ) e nao degenerada.Ja mostramos que, para cada representacao covariante (H,ϕ × U), existeuma representacao nao degenerada (H,ϕ×U) de l1(G,A). Reciprocamente,consideremos uma representacao nao degenerada (H, ρ) de l1(G,A). Vamosdefinir as aplicacoes
ϕ : A→ B(H), dada por: a 7→ ϕ(a) = ρ(aδe)
U : G→ B(H), dada por:g 7→ Ug = ρ(δg).
Vamos mostrar que (H,ϕ, U) e uma representacao covariante do C∗-sistemadinamico (A,G, α). Sendo a, b ∈ A e α ∈ C, temos que
(i)ϕ(a+ αb) = ρ((a+ αb)δe) = ρ(aδe) + α(bδe) = ϕ(a) + αϕ(b).(ii)ϕ(ab) = ρ(abδe) = ρ(aδebδe) = ρ(aδe)ρ(bδe) = ϕ(a)ϕ(b).(iii)ϕ(a∗) = ρ(a∗δe) = ρ((aδe)
∗) = ρ(aδe)∗ = ϕ(a)∗.
Logo, (H,ϕ) e uma representacao de A. Alem disso, se g, h ∈ G,
(i)Ugh = ρ(δgh) = ρ(δg × δh) = ρ(δg)ρ(δh) = UgUh.(ii)Ug−1 = ρ(δg−1) = ρ(δ∗g) = ρ(δg)
∗ = U∗g .
(iii)UgU∗g = ρ(δg)ρ(δg−1) = ρ(δg × δg−1) = ρ(δe).
Como a representacao ρ e nao degenerada, da proposicao 1.27 temos queρ(δe) = IdH .
Analogamente, temos U∗gUg = IdH , e portanto, (H,U) e representacao
unitaria de G. Resta mostrarmos que a terna (H,ϕ, U) satisfaz (1.1). Paraisso, vejamos inicialmente que, se g, h ∈ G e a ∈ A,
(δg × aδe)(h) =∑k∈G
δg(k)αk(aδe(k−1h)) = αg(aδe(g
−1h))
20
=
αg(a), se h = g
0, se h 6= g
ou seja, δg × aδe = αg(a)δg. Assim, temos que
Ugϕ(a)U∗g = ρ(δg)ρ(aδe)ρ(δg−1) = ρ(δg × aδe × δg−1)
= ρ(αg(a)δg × δg−1) = ρ(αg(a)δe)
= ϕ(αg(a)).
Portanto, (H,ϕ, U) e representacao covariante de (A,G, α). Podemos obser-var ainda que ρ = ϕ×U , conforme definido em (1.2). Se x ∈ l1(G,A), temosque
(ϕ× U)(x) =∑g∈G
ϕ(x(g))Ug =∑g∈G
ρ(x(g)δe)ρ(δg)
=∑g∈G
ρ(x(g)δe × δg) = ρ
(∑g∈G
x(g)δg
)= ρ(x)
Definicao 1.60. O produto cruzado relativo ao C∗-sistema dinamico classico(A,G, α), denotado por AoαG, e definido como sendo C∗(l1(G,A)), ou seja,a C∗-algebra envolvente de l1(G,A).
Teorema 1.61. Se (A,G, α) e um C∗-sistema dinamico classico, entao existeuma representacao covariante (H,ϕ, U) de (A,G, α) tal que:
(1)(H,ϕ) e representacao fiel de A.(2)Aoα G e isometricamente isomorfo a spanϕ(a)Ug : a ∈ A e g ∈ G,onde span X denota o subespaco gerado por X.
Demonstracao: Pelo teorema 1.32, podemos tomar uma representacaofiel (H, ρ) da C∗-algebra Aoα G. Segue ainda que (H, ρ) e nao degenerada.Daı, pelo teorema 1.59, existe uma representacao covariante (H,ϕ, U) doC∗-sistema dinamico classico (A,G, α), sendo
ϕ(a) = ρ(aδe), para todo a ∈ A
Ug = ρ(δg), para todo g ∈ G.
Sendo a ∈ A, suponhamos que ϕ(a) = 0, ou seja, ρ(aδe) = 0. Como ρ efiel, temos aδe = 0 e, portanto, a = 0, o que prova (1). Vamos denotarpor C∗ < ϕ(A)UG >⊆ B(H) a menor C∗-algebra que contem o conjuntoϕ(a)Ug : a ∈ A e g ∈ G. E importante observar que C∗< ϕ(A)Ug >=
21
spanϕ(A)Ug : a ∈ A e g ∈ G. Nosso objetivo e mostrar que A oα G 'C∗< ϕ(A)Ug > . Como ρ e fiel, basta provarmos que C∗< ϕ(A)Ug > e iguala imagem de Aog G por ρ. Se a ∈ A e g ∈ G, entao
ϕ(a)Ug = ρ(aδe)ρ(δg) = ρ(aδe × δg) = ρ(aδg).
Entao, cada gerador de C∗ < ϕ(A)Ug > pertence a ρ(A oα G), que e umespaco vetorial fechado. Assim, C∗ < ϕ(A)Ug >⊆ ρ(Aoα G). Para mostrar
a inclusao contraria, vamos inicialmente provar que K(G,A)|||·|||
= A oα G,onde ||| · ||| e a norma definida na proposicao 1.41. Dado ε > 0, se x ∈A oα G, entao existe y ∈ l1(G,A) tal que |||x − y||| < ε/2. Alem disso,para todo y ∈ l1(G,A), existe z ∈ k(G,A) tal que ‖y − z‖1 < ε/2. Mas se(H, π) e uma representacao de l1(G,A), entao ‖π(y− z)‖ ≤ ‖y− z‖1. Como|||y − z||| = sup
(H,π)∈R‖π(y − z)‖, concluımos que |||y − z||| ≤ ‖y − z‖1. Temos,
assim, que
|||x− z||| ≤ |||x− y|||+ |||y − z||| ≤ |||x− y|||+ ‖y − z‖1 < ε/2 + ε/2 = ε
ou seja, k(G,A) e denso em A oα G. Seja, entao, x ∈ k(G,A), com x =∑i∈Fagiδgi
, onde F e um conjunto finito, gi ∈ G e agi∈ A. Entao,
ρ(x) = ρ
(∑i∈F
agiδgi
)=
∑i∈F
ρ(agiδe)ρ(δgi
) =∑i∈F
ϕ(agi)Ugi
ou seja, ρ(x) ∈ C∗< ϕ(A)UG >. Da densidade de k(G,A) em A oα G,podemos concluir que ρ(Aoα G) ⊆ C∗< ϕ(A)UG >, o que prova (2).
Observacao 1.62. Como a representacao (H,ϕ) construıda no teoremaacima e fiel, podemos, identificando a com ϕ(a), escrever que
Aoα G ' spanaUg : a ∈ A e g ∈ G.
1.5 AF algebras
Nesta parte falaremos de um tipo de C∗-algebras que podem ser con-struıdas a partir de outras de dimensao um. Estas C∗-algebras sao chamadasAF-algebras. Tambem apresentaremos alguns resultados referentes a estasC∗-algebras mas nao entraremos em detalhes, pois este nao e o objetivo denosso trabalho.
22
Definicao 1.63. Uma C∗-algebra A e uma aproximacao finita dimen-sional ou AF se e o fecho de uma uniao crescente de subalgebras de di-mensao finita Ak. Quando A e unital, estipulamos que A0 consiste da mul-tiplicacao por escalares do elemento unidade 1.
Observacao 1.64. (I) Dado um espaco de Hilbert H, se x, y ∈ H podemosdefinir o operador x⊗ y em H dado por
(x⊗ y)(z) =< z, y > x.
Notemos que o posto de (x⊗y) e um, se x, y sao nao nulos. Notemos tambem,que dado u ∈ B(H),
(a)(x⊗ y)∗ = (y ⊗ x)(b)u(x⊗ y) = u(x)⊗ y(c)(x⊗ y)u = x⊗ u∗(y).
Por outro lado, toda projecao de posto um e da forma x ⊗ x para algumvetor unitario x. De fato, se e1, ......, en e um conjunto ortonormal em Hentao o operador
∑nj=1 ej ⊗ ej e a projecao ortogonal no espaco vetorial
Ce1 + .....+ Cen.(II) Se u ∈ B(H) e um operador de posto um, e x e um elemento nao nulona imagem de u, entao u = (x ⊗ y) para algum y ∈ H. Para isto podemosdefinir um funcional linear limitado τ : H → C, tal que u(z) = τ(z)x. Masdo teorema de representacao de Riesz τ(z) =< z, y > para algum y ∈ H.Portanto u = x⊗ y.
Teorema 1.65. Se H e um espaco de Hilbert, entao o conjunto dos oper-adores de posto finito e denso em K(H).
Demonstracao: Ver (2.45) em [Mur].
Exemplo 1.66. Seja H um espaco de Hilbert separavel, entao K(H) e umaAF-algebra. Para mostrar isto, podemos supor que H e infinito dimensional.Seja (en)
∞n=1 uma base ortonormal de H, e seja pn a projecao
∑ni=1 ei⊗ei. A
sequencia (pn) e uma aproximacao da unidade para K(H). Para ver isto, soprecisamos mostrar que u = limn→∞ pnu se u ∈ F (H), onde F (H) denotao conjunto dos operadores de posto finito, pois do teorema (1.65), F (H) edenso en K(H). Agora, se u ∈ F (H), existem x1, x2, ....., xm, y1, ....., ym ∈H tais que u =
∑mk=1 xk ⊗ yk. Dai, Pnu =
∑mk=1 pn(xk) ⊗ yk. De fato,
limn→∞pn(x) = x, para todo x ∈ H, temos para cada k,
limn→∞
‖pn(xk)⊗ yk − xk ⊗ yk‖ = limn→∞
‖pn(xk)− xk‖‖yk‖ = 0.
23
Assim, limn→∞pnu = u. Portanto (pn) e uma aproximacao da unidade paraK(H), logo K(H) = (∪∞n=1pnK(H)pn)
−. Se u ∈ K(H), entao pnupn =∑ni,j=1(ei ⊗ ei)u(ej ⊗ ej) =
∑ni,j=1 < u(ej), ei > ei ⊗ ej. Consequentemente
a C∗-algebra pnK(H)pn e finito dimensional, o que mostra que K(H) e umaAF-algebra.
Teorema 1.67. Toda C∗-algebra finito dimensional A e ∗-isomorfa a somadireta de algebras de matrizes, isto e,
A 'Mn1 ⊕ .......⊕Mnk.
Em particular, toda C∗-algebra finito dimensional e unital.
Demonstracao: Ver III.1.1 em [Dav]
Lema 1.68. Dados ε > 0 e n ∈ N arbitrario, existe um numero real positivoδ = δ(ε, n), de modo que, sempre que B e C sao C∗-subalgebras de uma C∗-algebra A com dimB ≤ n e tal que B tem um sistema de matrizes unitariasE(s)
ij satisfazendo dist(E(k)ij , C) < δ, entao existe U ∈ C∗(B,C) unitario
com ‖U − I‖ < ε. Alem disso UBU∗ esta em C.
Demonstracao: Ver III.3.2 em [Dav]Agora obtemos uma caracterizacao das AF -algebras que nao depende da
escolha da sequencia das subalgebras.
Teorema 1.69. Uma C∗-algebra A e AF se, e somente se ela e separavele: (∗) para todo ε > 0 e A1, ....., An em A, existe uma C∗-subalgebra finitodimensional B de A tal que dist(Ai, B) < ε para 1 ≤ i ≤ n. Alem disso, seM1 e uma subalgebra de dimensao finita de A entao podemos escolher B, talque B esta contida em M1.
Demonstracao: Se A e AF , as outras propriedades sao facilmente sat-isfeitas. Assim, suponhamos que A e separavel e que a propriedade (∗) severifica. Fixemos agora um subconjunto denso enumeravel Ri : i ≥ 1 dabola unitaria de A com R1 = 0 e uma sequencia εi monotona decrescentea zero. Suponhamos que a subalgebra M1 esta dada (caso contrario pode-mos escolher a subalgra dos escalares), procedendo por recorrencia sob M1,podemos construir subalgebras M2, ........,Mk finito dimensionais, tais queM1 ⊂ M2 ⊂ ........ ⊂ Mk e dist(Ri,Mk) < εk para todo 1 ≤ i ≤ k. Constru-amos agora uma subalgebra Mk+1 tal que M1 ⊂ .......... ⊂Mk ⊂Mk+1. Comefeito, seja δ = δ(εk+1/3, dimAk) como no lema anterior; e fixemos um con-
junto de matrizes unitarias E(s)ij para Ak. Usando a propriedade (∗), encon-
tramos uma subalgebra finito dimensional B de A tal que, dist(E(s)ij , B) < δ
24
para toda matriz unitaria e dist(Ai, B) < εk+1/3 para 1 ≤ i ≤ k + 1.Entao pelo lema anterior, existe U em A unitario, tal que UAkU
∗ ⊂ B e‖U − I‖ < εk+1/3. Seja Ak+1 := U∗BU . Claramente esta e uma algebrafinito dimensional contendo Ak. Alem disso,
dist(Ai, Ak+1) = dist(UAiU∗, B) ≤ 2‖U − I‖+ εk+1/3 < εk+1.
Procedendo por recurrencia, construımos uma sequencia crescente de algebrasfinito dimensionais com uniao densa. Portanto A e AF .
1.6 Operadores compactos em espacos de
Hilbert
Para concluir este capıtulo daremos a definicao de um tipo especial deC∗-algebras mediante as quais estabeleceremos uma relacao entre conceitosda dinamica classica e as C∗-algebras, assim como algumas propriedades dosoperadores compactos em espacos de Hilbert.
Definicao 1.70. Uma C∗-algebra A chama-se do tipo I se para toda rep-resentacao irredutıvel nao nula (π,H), a imagem π(H) contem a algebra detodos os operadores compactos K(H) (Um operador compacto e um op-erador que aplica a bola unitaria num conjunto cujo fecho e compacto). AsC∗-algebras do tipo I tambem sao chamadas de C∗-algebras postliminaisou C∗-algebras suaves.
Apresentaremos agora um resultado classico da Analise Funcional cujademonstracao pode ser encontrada em 2.46 de [Mur].
Teorema 1.71. Se H e um espaco de Hilbert, entao o conjunto F (H)dosoperadores de posto finito e o espaco vetorial gerado pelas projecoes de postoum.
Teorema 1.72. Sejam H e H ′ espacos de Hilbert e suponha que ϕ : K(H) →K(H ′) e um ∗-isomorfismo. Entao existe um operador unitario u : H → H ′
tal que ϕ = Adu, onde Adu : K(H) → K(H ′), v 7→ uvu∗.
Demonstracao: Seja E uma base ortonormal para H e, para e ∈ E,seja pe = e ⊗ e. Entao pe e uma projecao de posto um e peK(H)pe = Cpe.Daı, qe = ϕ(pe) e uma projecao em H ′ tal que qeK(H ′)qe = ϕ(peK(H)pe) =ϕ(Cpe) = Cqe. Logo qe e uma projecao de posto um. Assim podemos escreverqe = e ⊗ e para um vetor unitario e ∈ H ′. Se e, f sao elementos distintosde E, entao < f, e > e ⊗ f = qeqf = ϕ(pepf ) =< f, e > ϕ(e ⊗ f) = 0,
25
e portanto f , e sao ortogonais. Assim, E = e/e ∈ E e um conjuntoortonormal em H ′, o qual e maximal, pois do contrario existiria um vetorunitario x ∈ H ′ ortogonal a E. Entao argumentando como acima, mas destavez com ϕ−1, existe um elemento y ∈ H tal que ϕ−1(x ⊗ x) = y ⊗ y, e oconjunto E ∪ y e ortonormal em H. Isto contradiz o fato que E e uma
base ortonormal. Portanto E e uma base ortonormal para H ′. Para e, f ∈ Eseja qef = ϕ(e⊗ f). Entao qee = qe, e
qefqgh =< g, f > qeh (e, f, g, h ∈ E),
pois(e⊗ f)(g ⊗ h) =< g, f > e⊗ h.
Como qef = qeqef , entao a imagem de qef e Ce. Daı, qef pode ser escrito naforma e⊗y para algum vetor unitario y ∈ H ′. Agora como qfe = q∗ef = y⊗ e,e a imagem de qef e Cf , temos que y = λef f para algum escalar λef de
modulo um. Assim, qef = λef e⊗ f . Donde como qeg = qefqfg,
λege⊗ g = λef (e⊗ f)λfg(f ⊗ g) = λefλfge⊗ g.
Portanto, λeg = λefλfg. Observemos, que λeg = λge, pois q∗eg = qge. Assim, sefixamos um elemento f ∈ E e o conjunto dos µe = λef para todo e ∈ E, temosque λeg = µeµg. Seja entao, u : H → H ′ unitario tal que u(e) = µee para todoe ∈ E. Entao, Adu(e⊗ g) = u(e)⊗ u(g) = µee⊗ µgg = λege⊗ g = ϕ(e⊗ g).Daı, segue que Adu e ϕ sao iguais em x⊗ y para x, y no span linear de E, econsequentemente para todo x, y ∈ H, pois E gera H. Assim, Adu e ϕ saoiguais para todo operador em H de posto um, consequentemente para todoelemento de K(H), portanto Adu = ϕ.
Observacao 1.73. Se H e um espaco de Hilbert, entao K(H) e um idealessencial em B(H), isto e, aK(H) = 0 ⇒ a = 0 ou equivalentementeK(H)a = 0 ⇒ a = 0.
Teorema 1.74. Seja A uma C∗-algebra de tipo I, (π,Hπ) e (ρ,Hρ) duasrepresentacoes irredutıveis de A. Se Ker(ρ) = Ker(π), entao π e ρ saounitariamente equivalentes.
Demonstracao: Suponhamos queKer(π) = Ker(ρ), de modo que pode-mos definir a aplicacao
ψ : π(A) → ρ(A), π(a) 7→ ρ(a),
que esta bem definida e e uma bijecao de π(A) em ρ(A), pois por hipotese,Ker(ρ) = Ker(π). Alem disso, como π e ρ sao ∗-homomorfismos, temos que
26
ψ e um ∗-isomorfismo. Por outro lado, como A e de tipo I, por definicaoK(Hπ) ⊂ π(A). Vamos mostrar que ψ(K(Hπ)) ⊂ K(Hρ), seja p umaprojecao de posto um B(Hπ), entao e facil ver que pB(Hπ)p = Cp, ondeCp = λp/λ ∈ C. Assim, se q = ψ(p), temos que qK(Hρ)q ⊂ ψ(Cp) = Cq,pois por hipotese K(Hρ) ⊂ ρ(A). Daı, q e uma projecao de posto umem Hρ, mas de 1.65 e 1.71 temos que ψ(K(Hπ)) ⊂ K(Hρ), a inclusaoinversa se obtem da mesma forma trabalhando com ψ−1. Portanto a re-stricao ψ : K(Hπ) → K(Hρ) e um ∗-isomorfismo. Do teorema 1.72 segueque existe u : Hπ → Hρ tal que ψ(v) = uvu∗ para todo v ∈ K(Hπ).Seja a ∈ A e w ∈ K(Hρ). Entao, existe v ∈ K(Hπ) tal que w = uvu∗,e existe b ∈ A tal que v = π(b). Como π(a)v ∈ K(Hπ), temos queψ(π(a))ψ(v) = ψ(π(a)v) = ψ(π(ab)) = uπ(ab)u∗ = (uπ(a)u∗)(uπ(b)u∗). Daı,ψ(π(a))w = (uπ(a)u∗)w. Agora K(Hρ) e um ideal essencial em B(Hρ)[1.61],assim, este argumento mostra que ψ(π(a)) = uπ(a)u∗; isto e, ρ(a) = uπ(a)u∗.Assim, (Hπ, π) e (Hρ, ρ) sao unitariamente equivalentes.
Para concluir enunciaremos mais um resultado sobre a C∗-algebra dosoperadores compactos cuja prova pode ser encontrada em (2.4.9) de [Mur]
Proposicao 1.75. Seja A uma sub-C∗-algebra de B(H) irredutıvel sobre umespaco de Hilbert H tal que A ∩K(H) 6= ∅. Entao K(H) ⊂ A.
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Capıtulo 2
Conceitos Basicos de DinamicaClassica
Este capıtulo tem como finalidade apresentar os conceitos relativos adinamica classica necessarios para a demonstracao do teorema principal destetrabalho, que sera apresentado no Capıtulo 3, assim como para exibir arelacao destes conceitos com as C∗-algebras.
2.1 Definicoes basicas
O principal objetivo desta secao e definir os sistemas dinamicos topologicos,alem de outros conceitos pertinentes como pontos periodicos, aperiodicos eorbitas de pontos.
Definicao 2.1. Sejam X um espaco topologico de Hausdorff compacto oulocalmente compacto e σ : X → X um homeomorfismo. No presente trabalhochamaremos de sistema dinamico topologico ao par (X, σ) que deno-taremos por
∑. O sistema e dito dinamico, porque estamos interessados na
acao sobre X das iteracoes de σ, isto e, para um inteiro positivo n, a n-esimaiteracao de σ e definida como a funcao σn = σ .......σ : X → X obtida pelacomposicao de σ n vezes. Se n = 0, entao σ0 = idX : X → X, e a funcaoidentidade deixando invariante todo ponto de X. No caso que n e um inteironegativo , a n-esima iteracao de σ e definida como a n-esima iteracao dafuncao σ−1 : X → X inversa de σ.
Definicao 2.2. Sejam X e σ como na definicao anterior, como σ e umhomeomorfismo podemos definir o seguinte:
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(i)Per(σ) = o conjunto de todos os pontos periodicos, isto e, os pontosx ∈ X tais que σn(x) = x para algum inteiro positivo n;
(ii)Aper(σ) = X\Per(σ), o conjunto de todos os pontos aperiodicos,istoe, os pontos que nao sao periodicos;
(iii)Pern(σ) = o conjunto de todos os pontos periodicos com perıodo naomaior que n, isto e, os pontos tais que σk(x) = x para algum inteiro k satis-fazendo 0 < k ≤ n;
(iv.)Pern(σ) = Pern(σ)\(⋃n−1m=1 Per
m(σ)) para qualquer inteiro positivon.
Observacao 2.3. Os pontos no conjunto Pern(σ) sao chamados de pontosn-periodicos ou pontos de perıodo n. Se x ∈ Pern(σ), entao n e omenor inteiro positivo tal que σn(x) = x. Quando n = 1, Per1(σ) = Per1(σ)e o conjunto dos pontos fixos de σ. Notemos tambem que
Per(σ) =∞⋃n=1
Pern(σ) =∞⋃n=1
Pern(σ).
Definicao 2.4. Seja σ como na definicao 2.1. Dizemos que o conjuntoOrbσ(x) = σm(x)/m ∈ Z e a orbita de x, e denotamos por Orb+σ oconjunto σm(x)/m ∈ Z,m ≥ 0. Os fechos de Orbσ(x) e Orb+σ (x) seraodenotados por Orbσ(x) e Orb+σ (x), respectivamente.
Observacao 2.5. Se x ∈ Pern(σ), entao temos que Orbσ(x) = σm(x)| 0 ≤m ≤ n−1. Com efeito, e facil ver que σm(x)| 0 ≤ m ≤ n−1 ⊂ Orbσ(x),por outro lado seja y ∈ Orbσ(x) entao existe k ∈ Z tal que σk(x) = y, agorase k ≥ n, existem m, r ∈ Z+ tais que k = nm + r com 0 ≤ r < n, logo y =σk(x) = σr(x) pois o perıodo de x e n, donde y ∈ σm(x)| 0 ≤ m ≤ n− 1.Suponhamos agora que −n < k < 0, assim σk(x) = σk(σn(x)) = σk+n(x),mas 0 < k + n < n donde y ∈ σm(x)| 0 ≤ m ≤ n − 1 como querıamosmostrar. No caso k < −n segue, pelo algoritmo de Euclides de forma analogaao caso k > n. Portanto temos o resultado desejado.
Observacao 2.6. A aplicacao k 7→ (σk : X → X) define uma acao dogrupo Z no espaco X. Assim dois pontos em X estao na mesma classe se,e somente se eles tem a mesma orbita, logo o espaco X/Z coincide com oespaco das orbitas de σ. Daqui para frente, denotaremos a funcao quocientex 7→ Orbσ(x), de X em X/Z por Qσ. Note tambem que a topologia quocienteem X/Z e a colecao de todos os subconjuntos P ⊂ X/Z tais que Q−1
σ (P ) eaberto em X. Assim, Qσ envia abertos em abertos.
29
Definicao 2.7. Um ponto x ∈ X e dito de recorrente se existe uma sub-sequencia de pontos na orbita de x convergindo para x. O conjunto de todosos pontos recorrentes de X e denotado C(σ). E facil ver que todo pontoperiodico e um ponto recorrente, pois a sequencia constante x converge a x ee uma subsequencia de Orb+σ .
Definicao 2.8. Um subconjunto S ⊂ X e chamado uma secao de umsistema dinamico topologico
∑= (X, σ) se S intersecta qualquer orbita
em apenas um unico ponto. Uma secao Borel mensuravel e uma secao aqual e um Boreliano de X(sabemos que a σ-algebra de Borel de X e a geradapelos abertos de X como espaco topologico.)
Exemplo 2.9. O cırculo T e um espaco metrico compacto com respeito aocomprimento de arco. Afirmamos que se σ : T → T e um homeomorfismopreservando orientacao entao, se σ admite pontos periodicos todos eles temo mesmo perıodo. Com efeito, para mostrar isto, suponhamos que σ admitepontos fixos. Seja entao, p ∈ T tal que σ(p) = p, escolhamos x ∈ T comσ(x) 6= x. Sabemos que tres pontos distintos em T determinam a orientacaode T, suponhamos a orientacao determinada por p → σ(x) → x, usandoo fato que σ e um homeomorfismo. Agora como σ preserva orientacao, ospontos σ(p) = p → σ2(x) → σ(x) devem manter a orientacao, se continu-amos este processo interativamente, podemos notar que os pontos σn(x) seafastam de x. Logo x nao e um ponto periodico, donde podemos concluirque se x e um ponto periodico entao ele e um ponto fixo. Logo todo pontoperiodico de σ e um ponto fixo, assim todo ponto periodico de σ tem perıodoum. Consideremos agora os pontos periodicos de σ, e suponhamos que m eo menor perıodo dos pontos periodicos de σ, assim, a aplicacao σm : T → Ttem um ponto fixo, seja este y ∈ T. Se x e um ponto periodico de σ,temos que existe s ∈ N tal que σs(x) = x, logo (σm)s(x) = x, assim,pelo mostrado anteriormente σm(x) = x, donde pela escolha de m todos ospontos periodicos de σ tem perıodo m como querıamos mostrar.
2.2 Propriedades dos sistemas dinamicos cla-
ssicos
Definicao 2.10. Um sistema dinamico topologico (X, σ) e dito topologica-mente transitivo se para quaisquer conjuntos abertos U e V distintos dovazio, existe um inteiro n tal que σn(U) ∩ V 6= ∅.
Exemplo 2.11. Consideremos agora um exemplo de sistema dinamico topolo-gico conhecido como sistema dinamico deslocamento de Bernoulli
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(X(k), σk), que esta dado da seguinte forma: O espaco X(k) e o espaco pro-duto de copias infinitas enumeravel de conjuntos finitos de inteiros 0, 1, ....., k−1 e a aplicacao deslocamento σk esta definida como
σk(x) = y para x = (xn) y = (yn) com xn−1 = yn.
Podemos observar que σk e injetiva. A continuidade de σk e σ−1k pode ser
vista da seguinte observacao. A topologia produto de X(k) tem uma baseconsistindo de cilindros, isto e,
Cn1,.....,nlj1,......,jl
= x ∈ X(k) : xni= ji, i = 1, ..., l,
donde n1 < n2 < .... < nl sao ındizes em Z ou N e ji ∈ 0, 1, ...., k −1. Mas como σ−1
k (C) e um cilindro, assim como o conjunto σk(C) tambem
o e. Daı, σk e um homeomorfismo. E possıvel mostrar que (X(k), σk) etopologicamente transitivo.
A partir da definicao acima, podemos estabelecer um resultado de grandeimportancia no estudo de propriedades topologicas de X e a relacao destascom a orbita de um ponto de X. O resultado e o seguinte:
Teorema 2.12. Seja∑
= (X, σ) um sistema dinamico topologico. Alemdisso, suponhamos que X satisfaz ao segundo axioma de enumerabilidade(isto e, que existe uma base enumeravel de X, no sentido topologico). Se∑
e topologicamente transitivo, entao temos que existe um ponto em X comorbita densa.
Demonstracao: Como X satisfaz ao segundo axioma de enumerabil-idade, existe Un/n = 1, 2, 3, ...... base enumeravel para a topologia deX. Por outro lado, da definicao de transitividade, se afirma que o conjunto⋃∞k=−∞ σk(Un) e denso em X para todo n. Com efeito, dado x ∈ X, entao
para toda vizinhanca de x, Vx, temos que existe n tal que x ∈ Un ⊂ Vx.Mas pela transitividade de
∑existe um k ∈ Z tal que σk(Un) ∩ Vx 6= ∅,
portanto⋃∞k=−∞ σk(Un) e denso em X. Agora como σ e um homeomorfismo
temos que seu complemento⋂∞k=−∞ σ(U c
n) e um conjunto fechado sem pontosinteriores. Notemos as seguintes equivalencias que seguem da definicao debase:
Orbσ(x) 6= X ⇔ existe um conjunto Un tal que Orbσ(x) ∩ Un = ∅⇔ existe um conjunto Un tal que σk(x) ∈ U c
n para todo k
⇔ x ∈∞⋂
k=−∞
σk(U cn) para algum Un.
31
Assim,
x ∈ X/Orbσ(x) 6= X =∞⋃n=1
∞⋂k=−∞
σk(U cn),
donde o conjunto x ∈ X/Orbσ(x) 6= X e de primeira categoria(isto e, euma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Como Xe compacto, pelo teorema da categoria de Baire, X e de segunda categoria eassim, existe x ∈ X tal que a orbita de x e densa em X.
Definicao 2.13. Um sistema dinamico topologico∑
= (X, σ) e dito mini-mal se nao existe um subconjunto fechado proprio A de X tal que σ(A) ⊂ A.O sistema e dito recorrente se x ∈ Orb+σ (x) para todo ponto x.
Existem variacoes da definicao de minimalidade como as seguintes:
Proposicao 2.14. As seguintes condicoes para um sistema dinamico∑
saoequivalentes:
(1)∑
e minimal;
(2) Orb+σ (x) = X para todo ponto x;
(3) Orbσ(x) = X para todo ponto x;
(4) Nao existe um conjunto proprio A fechado em X com σ(A) = A.
Demonstracao: Como o conjunto Orb+σ (x) e distinto de vazio e sat-isfaz σ(Orb+σ ) ⊂ Orb+σ (x) temos que a afirmacao (2) e verdadeira se
∑e
minimal. As implicacoes (2) ⇒ (3) ⇒ (4) podem ser facilmente verificadas.Suponhamos agora que (4) seja valida, e seja A um conjunto fechado naovazio tal que σ(A) ⊂ A. Temos entao uma sequencia decrescente de conjun-tos fechados σn(A)/n = 1, 2, ...... Daı, como X e compacto, a interseccaoB =
⋂∞n=0 σ
n(A) e um conjunto fechado nao vazio e σ(B) = B. Logo, B = Xe o conjunto A coincide com X. Assim
∑e minimal.
Definicao 2.15. Um subconjunto M ⊂ N(ou Z) e relativamente densose existe k > 0 tal que n, n + 1, ....., n + k ∩M 6= ∅ para qualquer n. Umponto x ∈M e quasi-periodico se para cada vizinhanca U de x, o conjuntoi ∈ N : f i(x) ∈ U e relativamente denso em N.
Proposicao 2.16. Se X e um espaco metrico compacto de Hausdorff, f :
X → X e um homeomorfismo, e Orb+f (x) e minimal para f , entao x e quasiperiodico.
32
Demonstracao: Suponhamos inicialmente que x nao e um ponto quasi-periodico. Entao pela definicao, existe uma vizinhanca U de x tal que A =i : f i(x) ∈ U nao e relativamente denso. Assim, existe uma sequenciaai ∈ N e ki ∈ N, ki →∞, tais que, fai+j(x) /∈ U para j = 0, ..., ki. Seja y umponto limite de fai(x). Passando para uma subsequencia, se e necessario,podemos assumir que fai(x) → y. Fixemos j ∈ N. Notemos que fai+j(x) →f j(y), e fai+j(x) /∈ U para i suficientemente grande. Assim, f j(y) /∈ U paratodo j ∈ N, logo x /∈ Orb+(y), o que implica que Orb+(x) nao e minimal.
Vamos apresentar agora um resultado bem conhecido da dinamica classicaque e o teorema de recorrencia de Poincare que e de muita utilidade naMecanica Celeste.
Definicao 2.17. Seja X uma regiao limitada de um r-espaco, isto e, umespaco euclidiano com dimensao r, e seja T um homeomorfismo de X nelemesmo que preserva volume; isto e, G e T (G) tem igual volume, para todoaberto G ⊂ X. Um ponto x num conjunto aberto G e dito recorrente comrespeito a G se T i(x) ∈ G para uma infinidade de inteiro positivo i.
A demonstracao do seguinte resultado pode ser encontrada em [Ox].
Teorema 2.18. Seja X como na definicao acima, para qualquer conjuntoaberto G ⊂ X, todo ponto x em G e recorrente com respeito a G exceto numconjunto de primeira categoria e volume zero.
Definicao 2.19. Sejam X uma regiao limitada de um r-espaco e T umhomeomorfismo de X nele mesmo que preserva volume. Um ponto x e ditorecorrente sob T se e recorrente com respeito a toda vizinhanca dele mesmo.
Teorema 2.20. (Teorema de recorrencia de Poincare). Se T e umhomeomorfismo preservando medida de uma regiao aberta limitada de um r-espaco nele mesmo, entao, todo ponto de X exceto um conjunto de primeiracategoria e medida zero e recorrente sob T .
Demonstracao: Seja U1, U2, ....., uma base enumeravel de X. Seja Ek oconjunto dos pontos x ∈ Uk tais que T ix ∈ Uk para no maximo um numerofinito de inteiros positivos i. Pelo teorema anterior, cada um dos conjuntos Eke nao vazio, de primeira categoria e volume zero. Daı, o conjunto E =
⋃∞1 Ek
e tambem um conjunto nao vazio de primeira categoria e volume zero. Sex ∈ X − E, e se U e uma vizinhanca arbitraria de x, entao x ∈ Uk ⊂ Upara algum k, e x /∈ Ek. Logo, T ix ∈ U para uma infinidade de inteiros i.Portanto cada ponto XE e recorrente sob T .
33
Vamos agora apresentar uma definicao e um resultado que serao utilizadosna demonstracao do teorema principal deste trabalho a ser apresentado noCapıtulo 3.
Definicao 2.21. Um espaco topologico e dito um espaco polones, se elee separavel(isto e tem um conjunto denso enumeravel) e metrizavel por umametrica completa.
Lema 2.22. Seja (X, ρ) um espaco metrico e suponha que exista uma sequen-cia fi de funcoes contınuas definidas em X com a propriedade de que umasequencia de Cauchy xn e convergente sempre que cada uma das sequenciasf1(xn),f2(xn), ......, e limitada. Entao existe uma metrica para X em relacao aqual X e um espaco metrico completo.
Demonstracao:Defina uma nova funcao distancia em X dada por
σ(x, y) = ρ(x, y) +∞∑i=1
(1/2i)min(1, |fi(x)− fi(y)|).
As propriedades de metrica sao claramente satisfeitas. Por outro lado, paraquaisquer ε > 0 e x ∈ X existe um inteiro N tal que 2−N < ε e um numeropositivo δ < ε tal que
ρ(x, y) < δ ⇒ |fi(x)− fi(y)| < ε (i = 1, 2, 3...., N).
Se ρ < δ, entao
σ(x, y) < ε+N∑i=1
(1/2i)|fi(x)− fi(y)|+ 1/2N < 3ε.
Portanto σ(x, xn) → 0 sempre que ρ(x, xn) → 0. Alem disso, da desigualdadeρ(x, y) ≤ σ(x, y), podemos concluir que ρ e σ sao metricas equivalentes. Paramostrar que (X, σ) e completo, seja (xn) uma sequencia de Cauchy relativaa σ. Entao para qualquer inteiro positivo i existe um inteiro N tal que
σ(xn, xm) < 1/2i para todo n,m ≥ N,
temos assim que
1 ≥ 2iσ(xn, xm) ≥ min(1, |fi(xn)− fi(xm)|),
donde |f1(xn)− fi(xm)| < 1. Portanto a sequencia fi(xn) e limitada paracada i. Como ρ(x, y) ≤ σ(x, y), a sequencia (xn) tambem e de Cauchy rela-tivamente a ρ. Segue entao da hipotese que a sequencia (xn) e convergente.
34
Teorema 2.23. Um subespaco Y de um espaco polones X e um espacopolones se e somente se Y e um subconjunto Gδ de X.
Demonstracao: Suponhamos que Y e um espaco polones. Seja d ametrica completa em Y compatıvel com a topologia em Y . Seja Y o fechode Y em X. Para cada n = 1, 2, ......., denotemos por Yn o conjunto de todosos pontos x ∈ Y tais que existe uma vizinhanca U de x com diametro deU ∩ Y ≤ 1/n. Notemos que Yn e aberto em Y , com respeito a topologiade Y , e que Yn ⊃ Y . Daı temos que
⋂∞n=1 Yn ⊃ Y . Suponhamos que
x ∈⋂∞n=1 Yn. Para cada n, existe uma vizinhanca aberta Un de x tal que o
diametro de Un ∩ Y ≤ 1/n. Substituindo Un por U1 ∩ ...... ∩ Un, podemosassumir que Un e decrescente, segue entao que Un ∩ Y e uma sequenciadecrescente de conjuntos abertos de Y cujos diametros tendem a zero. Daı⋂∞n=1Un ∩ Y = y. Como as vizinhancas Un podem ser escolhidas para
formar um sistema fundamental de vizinhancas de x, temos entao x = y ∈ Y .Assim Y =
⋂∞n=1 Yn. Como Yn e aberto em Y , existe um aberto Vn em X tal
que Yn = Y ∩Vn. Por outro lado, Y e um conjunto Gδ, pois e fechado, assimexiste uma sequencia de conjuntos abertos Wn em X tal que Y =
⋂∞n=1Wn.
Logo Y =⋂n,m(Vn ∩Wn) e um conjunto Gδ em X.
Suponhamos agora que Y e um conjunto Gδ de X. Seja Gn umasequencia de abertos em X tais que
⋂Gn = Y . Seja d a metrica completa
em X compatıvel com a topologia em X. Para cada x ∈ Y e n = 1, 2.....,seja
fn(x) = 1/d(x,Gcn) > 0.
Podemos supor que os Gcn sao distintos de vazio. Entao as funcoes fn sat-
isfazem as hipoteses do lema anterior. De fato, se (xk) e uma sequencia deCauchy de pontos em Y , e para cada n a sequencia fn(xk) e limitada,entao xk converge em X para algum ponto y, pois X e completo. O pontoy nao pode estar em Gc
n, porque fn(xn) ≥ 1/d(xk, y) seria ilimitada. Daıy ∈ Gn para cada n, isto e, y ∈ Y . Portanto do lema anterior, Y pode serremetrizado de modo a ser completo. Assim, como Y e separavel por sersubespaco de um espaco separavel, Y e um espaco polones.
Definicao 2.24. Sejam X um espaco topologico e ∆ a σ-algebra de Borelgerada pela topologia de X consideremos entao o espaco de Borel (X,∆).Dizemos que ele e contavelmente separavel se existe uma sub-familiaenumeravel ∆de ∆ tal que para quaisquer dois pontos em X, existe umelemento de ∆ contendo um ponto mas nao o outro.
Proposicao 2.25. Seja X um espaco topologico satisfazendo ao segundoaxioma de enumerabilidade. Se X/Z e T com respeito a topologia quociente,entao X/Z e contavelmente separavel.
35
Demonstracao: Vejamos primeiro que X/Z satisfaz ao segundo axiomade enumerabiliade. Com efeito, seja Un uma base enumeravel de abertos emX. Como vimos na observacao 2.6 os Qσ(Un) sao abertos em X/Z. Se Pe uma vizinhanca aberta de um ponto em X/Z, Q−1
σ (P ) e aberto em X, eexiste um inteiro n com Un∩Q−1
σ (p) 6= ∅ e Un ⊂ Q−1σ (P )(isto pela definicao de
base). Assim p ∈ Qσ(Un) ⊂ P , e os conjuntos Qσ(Un) formam uma base deconjuntos abertos. Logo X/Z tem uma base enumeravel. Denotemos entaoesta base enumeravel por Pn que pela topologia quociente, sao Borelianos deX/Z. Alem disso, como X/Z e T por hipotese, podemos concluir que X/Ze contavelmente separavel, como querıamos mostrar.
2.3 Expansividade
Definicao 2.26. Um homeomorfismo f : X → X e dito expansivo, seexiste δ > 0 tal que para quaisquer dois pontos x, y ∈ X, existe n ∈ Z talque d(fn(x), fn(y)) ≥ δ. Uma funcao continua nao invertıvel f : X → X edita positivamente expansiva se existe δ > 0, tal que para quaisquer doispontos x, y ∈ X, existe n ≥ 0 tal que d(fn(x), fn(y)) ≥ δ. Qualquer numeroδ com esta propriedade e chamado de constante de expansao para f .
Definicao 2.27. Seja f : X → X um homeomorfismo de um espaco metricocompacto. Uma cobertura finita α de X e um gerador (gerador fraco)para f se para toda sequencia Ann∈Z de membros de α, ∩∞n=−∞f
−n(An) eno maximo um ponto (∩∞n=−∞f
−n(An)e no maximo um ponto).
Observacao 2.28. Se α, β sao coberturas abertas de X, entao sua uniaoα ∨ β e dada por
α ∨ β = A ∩B : A ∈ α,B ∈ β.Uma cobertura β e um refinamento de uma cobertura aberta α (escrevemosα ≤ β) se todo membro de β e um subconjunto de algum elemento de α.Por outro lado, se f : X → X e uma funcao sobrejetiva contınua, entaof−1(α) = f−1(A) : A ∈ α e uma cobertura aberta de X, donde podemosverificar facilmente que
f−1(α ∨ β) = f−1(α) ∨ f−1(β)
f−1(α) ≤ f−1(β) se α ≤ β
Teorema 2.29. Seja f : X → X um homeomorfismo de um espaco metricocompacto . Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:(1) f e expansivo;(2) f tem um gerador;(3) f tem um gerador fraco.
36
Demonstracao: (2) ⇒ (3) e claro. (3) ⇒ (2): Seja β = B1, ....., Bs ogerador fraco para f e seja δ > 0 o numero de Lebesgue para β. Seja α acobertura finita por abertos consistindo dos conjuntos Ai com diam(Ai) ≤ δ.Se Ainin∈Z e uma sequencia em α, para todo n existe jn tal que Ajn ⊂ Bjn ,e assim
⋂∞n=−∞ f−n(Ajn) ⊂
⋂∞n=−∞ f−n(Bjn). Portanto α e gerador.
(1) ⇒ (2): Seja δ > 0 uma constante expansiva para f e seja α uma cober-tura finita consistindo de bolas abertas de raio δ/2. Suponhamos x, y ∈⋂∞n=−∞ f−n(An) onde An ∈ α. Entao d(fn(x), fn(y)) ≤ δ para todo n, assim
por hipotese x = y.(3) ⇒ (1): Suponhamos que α e um gerador fraco. Seja δ > 0 o numerode Lebesgue para α. Se d(fn(x), fn(y)) < δ para n ∈ Z, entao para cada nexiste um An ∈ α tal que fn(x), fn(y) ∈ An e assim x, y ∈
⋂∞n=−∞ f−n(An)
o qual e no maximo um ponto.
Observacao 2.30. Seja k um numero natural fixo e seja Yk = 0, 1, ...., k−1. Equipemos Yk com a topologia discreta e definamos o espaco produtoY Zk =
∏∞−∞ Yk equipado com a topologia produto. Entao a aplicacao σ :
Y Zk → Y Z
k definida por (σ(x))i = xi+1, i ∈ Z, para cada x = (xi), e umhomeomorfismo, σ e chamado a funcao deslocamento.
Teorema 2.31. Seja k ≥ 2. Entao a funcao deslocamento e expansiva.
Demonstracao: Para 0 ≤ i ≤ k − 1 definamos Ai = (xn);X0 = i.Entao α = A0, ...., Ak−1 e uma cobertura aberta e fechada de Y Z
k . Sex ∈
⋂∞n=−∞ σ−n(Ain) onde Ain ∈ α, entao x = (...., i−1, i0, i1, .....) e assim α
e um gerador. Logo pelo teorema 2.28 σ e um homeomorfismo expansivo.
Teorema 2.32. Seja f : X → X um homeomorfismo expansivo de umespaco metrico compacto. Entao existem k > 0 e um subconjunto fechado∑
de Y Zk tal que M e σ-invariante (σ(M) = M). Alem disso, existe uma
aplicacao sobrejetiva contınua π :∑→
∑satisfazendo π σ = f π, isto e,
o diagrama abaixo comuta ∑ σ //
π
∑π
X
f// X
Demonstracao: Seja 2δ > 0 a constante expansiva para f . Escolhamosuma cobertura finita α = A0, ....., Ak−1 por conjuntos fechados tal quediam(Ai) < δ para 0 ≤ i ≤ k − 1 e tal que os Ai intersectam-se so nafronteira. Seja ∂ a uniao das fronteiras dos Ai. Entao, ∂∞ =
⋃∞n=−∞ fn(∂)
e um conjunto de primeira categoria e assim, pelo teorema de Baire, X\∂∞
37
e denso em X. Para x ∈ X\∂∞ podemos associar um unico membro de Y Zk
por
xϕ−1
7→ (an).
Sempre que fn(x) ∈ Aan denotaremos por Λ a colecao de todas assequencias agindo dessa maneira. Entao Λ ⊂ Y Z
k e
ϕ σ((xn)) = f ϕ((xn)), (xn) ∈ Λ.
Se ϕ e uniformemente contınua, entao ϕ : Λ → X pode ser estendida auma funcao contınua π :
∑→ X, satisfazendo π σ((xn)) = f π((xn)) para
(xn) ∈∑
, onde Λ =∑
. Entao, so resta verificar a continuidade uniformede ϕ. Com efeito, seja ε > 0. Como α e um gerador para f , existe N > 0tal que cada membro de
∨N−N f
n(α) tem diametro menor que ε, ja que emcaso contrario, existe ε > 0 tal que para todo j > 0 existem xj, yj ∈ X comd(xj, yj) > ε e Aj,i ∈ α(−j ≤ i ≤ j) com xj, yj ∈
⋂ji=−j f
−i(Aj,i). Por outrolado, suponhamos xj → x e yj → y. Entao x 6= y. Como α e finita, existeA0 ∈ Aj,0 : j ∈ Z tal que xj, yj ∈ A0 para uma infinidade de j′s. Assim,x, y ∈ A0. Similarmente, para cada n fixo uma infinidade de elementos deAj,n : j ∈ Z coincidem e temos que An ∈ α com x, y ∈ f−n(An). Portantox, y ∈
⋂∞n=−∞ f−nAn. Isto e uma contradicao. Se (an), (bn) ∈ Λ e an = bn
para |n| ≤ N ϕ((an)) e ϕ((bn)) estao no mesmo elemento de∨N−N f
n(α) eassim, d(ϕ((an)), ϕ((bn))) < ε. Portanto ϕ e uniformemente contınua
Definicao 2.33. Sejam f : X → X um homeomorfismo de um espacometrico compacto e x ∈ X. O conjunto α-limite de x, denotado porα(x), consiste de todos os pontos y ∈ X tais que y = limj→∞f
nj(x) paraalguma sequencia estritamente decrescente de inteiros nj. O conjunto ω-limite de x, denotado por ω(x), e similarmente definido por uma sequenciacrescente. E facil de ver que os conjuntos α(x) ou ω(x), sao fechados, naovazios e f -invariantes , isto e, f(α(x)) = α(x) para x ∈ X. Se, para algumponto x, α(x) e ω(x) consiste de apenas um ponto, entao dizemos que x temuma semi-orbita convergindo sob f .
Teorema 2.34. (Reddy) Se f : X → X e um homeomorfismo expansivode um espaco metrico compacto, o conjunto de pontos tendo semi-orbita con-vergindo sob f e um conjunto enumeravel.
Demonstracao: Ver [Ao]
Proposicao 2.35. Seja f : X → X um homeomorfismo de um espacometrico compacto e seja k 6= 0 um inteiro. Entao, f e expansivo se, esomente se fk e expansivo.
38
Demonstracao: Notemos que se α e um gerador para f entao, vemosque
∨|k|−1i=0 f−i(α) = α ∨ f−1(α) ∨ ....... ∨ f |k|−1(α) e um gerador para fk.
Do mesmo modo podemos notar que se α e um gerador para fk, entao, αtambem e um gerador para f . Portanto, do teorema 2.29 temos o resultado.
Uma aplicacao interessante de este resultado e o seguinte teorema mostradopor Jacobsen e Utz.
Teorema 2.36. Nao existe homeomorfismo expansivo entre arcos fechados.
Demonstracao: Pela definicao de arco fechado basta mostrarmos quenao existe homeomorfismo expansivo de [0, 1] em [0, 1]. Suponhamos entaoque f : [0, 1] → [0, 1] e um homeomorfismo, donde como [0, 1] e compactotemos que f(0) = 0 e f(1) = 1 ou f(0) = 1 e f(1) = 0. Em ambos casos,f 2 induz um homeomorfismo satisfazendo f 2(0) = 0 e f 2(1) = 1. Notemosagora que Fix(f 2) = x ∈ [0, 1] : f 2(x) = x. Entao Fix(f 2) e fechado. SeFix(f 2) = [0, 1], entao todo ponto de [0, 1] tem semi-orbita convergindo sobf 2, e assim pelo teorema anterior f 2 nao e expansiva. Se Fix(f 2) 6= [0, 1],entao, U = [0, 1]\Fix(f 2) e aberto e nao vazio, donde U e uniao enumeravelde intervalos abertos Ij dois a dois disjuntos. Para x ∈ U existe Ij tal quex ∈ Ij. Logo os pontos extremos de Ij sao pontos fixos de f 2. Assim, temosque, para x ∈ Ij, x > f 2(x) > f4(x) > ...... ou x < f 2(x) < f4(x) < .......,em qualquer caso f 2j(x); j ≥ 0 converge para um ponto fixo de f 2, mascomo Ij nao e enumeravel, f nao e expansiva.
39
Capıtulo 3
Um resultado da dinamicaclassica via a teoria dasC∗-algebras
O objetivo deste capıtulo e descrever a demonstracao de um resultadoda dinamica classica utilizando a teoria das C∗-algebras, neste resultado segarante que, quando X e um espaco topologico de Hausdorff compacto sat-isfazendo ao segundo axioma de enumerabilidade, ou um espaco localmentecompacto de Hausdorff cuja compactificacao de Alexandroff, por um ponto,satisfaz ao segundo axioma de enumerabilidade existe uma secao de Borelem um sistema dinamico topologico
∑= (X, σ), se e somente se o conjunto
dos pontos recorrentes C(σ) coincide com os pontos periodicos Per(σ). Esteresultado foi mostrado por S.D Silvestrov e J. Tomiyama em [ST] usando aC∗-algebra envolvente de l1(Z, C(X)) que e denotada como o produto cruzadoC(X) oα Z, donde C(X) e o espaco das funcoes contınuas complexas comdomınio X e α definida como na secao 1.4, esta construcao sera apresentadaa seguir.
3.1 Dinamica topologica e C∗-algebras
Nesta secao descreveremos a construcao da C∗-algebra envolvente del1(Z, C(X)), definida em 1.51 no caso que G = Z, assim como algumaspropriedades importantes desta C∗-algebra.
Daqui para frente, trabalharemos com um sistema dinamico topologico∑= (X, σ) onde X e um espaco topologico compacto de Hausdorff satis-
fazendo ao segundo axioma de enumerabilidade.
40
Observacao 3.1. Do exemplo 1.7 sabemos que C(X) e uma C∗-algebra. De-finamos entao a seguinte aplicacao α : C(X) → C(X) dada por f 7→ f σ−1,isto e, α(f)(x) = f(σ−1(x)), para x ∈ X. Como σ e um homeomorfismo deX em X podemos ver que α e um automorfismo da C∗-algebra C(X). Tendoisto, consideremos a aplicacao j 7→ αj, com αj(f)(x) = f(σ−j(x)), de Z nogrupo Aut(C(X)) dos automorfismos de C(X) (denotemos esta aplicacao porα′) a qual e um homomorfismo de grupos, pois dados i, j ∈ Z distintos temosque:
αi(αj(f)(x)) = αi(f(σ−j(x)))
= αi((f σ−j)(x))= f σ−j(σ−i(x))= f(σ−j−i(x))
= αj+i(f)(x).
Logo, pela definicao 1.53, (C(X),Z, α′) e um sistema dinamico classico.
Observacao 3.2. Consideraremos Z com a topologia discreta, donde peladefinicao de compacidade temos que um subconjunto de Z e compacto se, esomente se ele e finito. Denotamos por K(Z, C(X)) o conjunto das funcoescontınuas de Z em C(X) com suporte compacto, esse conjunto consiste detodas as funcoes que assumem valor nao nulo apenas em um numero finitode pontos de Z. Para qualquer funcao a : Z → C(X) denotaremos por a[k]os elementos de C(X).
Proposicao 3.3. K(Z, C(X)) com as operacoes definidas em 1.56 e uma∗-algebra normada.
Demonstracao: Consideremos as operacoes multiplicacao, ∗, e a normadefinidas do seguinte modo:
(ab)[k](·) =∑s∈Z
a[s](·)αs(b[−s+ k])(·) =∑s∈Z
a[s](·)b[−s+ k](σ−s(·)) (3.1)
b∗[k](·) = αk(b[−k])(·) = b[−k](σ−k(·)) (3.2)
‖b‖ =∑s∈Z
‖b[s]‖C(X). (3.3)
41
(I) Vejamos primeiro que K(Z, C(X)) e uma algebra com a operacao (3.1).Basta verificarmos a associatividade, pois as outras propriedades sao imedi-atas. Como
((ab)c) =∑s∈Z
(ab)[s](·)c[−s+ k](σ−s)(·)
=∑s∈Z
∑j∈Z
a[j](·)b[−j + s](σ−j(·))c[−s+ k](σ−s(·))
=∑s∈Z
∑j∈Z
a[j](·)b[−j + s](σ−j(·))c[−s+ k](σ−s(·))
e
(a(bc))[k](·) =∑s∈Z
a[s](·)(bc)[−s+ k](σ−s(·))
=∑s∈Z
a[s](·)∑j∈Z
b[j](σ−s(cot))c[−j − s+ k](σ−j(σ−s(·)))
=∑s∈Z
∑j∈Z
a[s](·)b[j](σ−s(·))c[−j − s+ k](σ−j−s(·))
=∑s∈Z
∑i∈Z
a[s](·)b[−s+ i](σ−s(·))c[−i+ k](σ−i(·)),
podemos concluir que K(Z, C(X)) e uma algebra com a operacao 3.1.
(II) Vamos mostrar que 3.2 e uma involucao. Com efeito,
(i)
(a[k](·) + b[k](·))∗ = (a[−k] + b[−k])(σ−k(·))= a[−k](σ−k(·)) + b[−k](σ−k(·))= a∗[k](·) + b∗[−k](·)
(ii)
(a∗[k](·))∗ = (a[−k](σ−k(·)))∗
= a[k](σk(σ−k(·))) = a[k](·)
(iii)
(αa)∗[k](·) = αa[−k](σ−k(·))= αa[−k](σ−k(·)) = αa∗[k](·)
42
(iv)
(ab)∗[k](·) = (ab)[−k](σ−k(·))=
∑s∈Z
a[s](σ−k(·))b[−s− k](σ−k−s(·))
Mas
(b∗a∗)[k](·) =∑s∈Z
b∗(·)a∗[−s+ k](σ−s(·))
=∑s∈Z
b[−s](σ−s(·))a[−k + s](σ−k+s(σ−s(·)))
=∑s∈Z
b[−s](σ−s(·))a[−k + s](σ−k(·)).
Fazendo uma mudanca de variaveis temos que (ab)∗[k](·) = (b∗a∗)[k](·).Assim, usando a definicao (1.3), temos que K(Z, C(X)) e uma ∗-algebra.(III) Mostremos que a norma definida em (3.3) e sub-multiplicativa ou seja‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖. De fato,
‖ab‖ =∑s∈Z
‖(ab)[s]‖C(X)
=∑s∈Z
supx∈X
|(ab)[s](x)|
=∑s∈Z
supx∈X
|∑j∈Z
a[j](x)b[−j + s](σ−j(x))|
≤∑s∈Z
supx∈X
∑j∈Z
|a[j](x)||b[−j + s](σ−j(x))|
≤∑s∈Z
∑j∈Z
supx∈X
|a[j](x)||b[−j + s](σ−j(x))|
=∑s,j∈Z
supx∈X
|a[j](x)||b[−j + s](σ−j(x))|
≤ ‖a‖‖b‖.
E facil ver, com a definicao de convolucao (3.2), que ‖b‖ = ‖b∗‖. Portantotemos que K(Z, C(X)) e uma ∗-algebra, donde, como ja vimos o completa-mento desta ∗-algebra e uma ∗-algebra de Banach denotada por l1(Z, C(X)).
43
Observacao 3.4. Definamos a aplicacao δj : Z → C(X) dada por k 7→ δj[k],com
δj[k](·) =
1 = 1C(X), se k = j
0, se k 6= j.
Podemos ver, entao que para todo j ∈ Z, δj ∈ K(Z, C(X)). Alem disso,afirmamos que δ e a unidade de K(Z, C(X)), pois de (3.1) (aδ)[k](·) =(δa)[k](·) = a[k](·). Mas como l1(Z, C(X)) e o completamento de K(Z, C(X)),δ[k](·) tambem e a unidade deste espaco. Por outro lado, mostremos quepara todo j ∈ Z\0, δj = δj1. Com efeito, suponhamos que j = 2, entao por(3.1)
(δ1δ1)[k] =∑s∈Z
δ1[s](·)δ1[−s+ k](σ−1(·))
mas isto so e distinto de zero se s = 1 e −s + k = 1, donde k = 2 e assim(δ1δ1)[k](·) = δ2[k](·). Prosseguindo indutivamente obtemos o resultado paratodo inteiro positivo. Para os inteiros negativos o procedimento e analogo.Logo δj = δj1 para todo j ∈ Z\0. Daqui para frente denotaremos δ1 por δ,δ0 por δ0 e δj por δj.
Observacao 3.5. Podemos notar que a C∗-algebra C(X) e isomorfa a C∗-subalgebra C(X)δ0 = fδ0 ∈ K(Z, C(X)); f ∈ C(X) de K(Z, C(X)), ondeusamos a notacao
(fδ0)[k](x) = (δ0f)[k](x) =
f(x), k = 0
0, k 6= 0.
A aplicacao i0 de C(X) em C(X)δ0 definida por i0(f) = fδ0 e um isomor-fismo, na verdade e um ∗-isomorfismo. De fato:(I) Para a, b ∈ C(X) temos que i0(ab) = (ab)δ0. Mas
((ab)δ0)[k](x) =
a(x)b(x), k = 0
0, k 6= 0.
Por outro lado, de (3.1),
(aδ0)(bδ0)[k](·) =∑s∈Z
(aδ0)[s](·))(bδ0)[−s+ k](σ−1(·))
mas isto so e distinto de zero se s = 0 e −s + k = 0 donde k = 0. Logo(ab)δ0 = (aδ0)(bδ0) e portanto i0(ab) = i0(a)i0(b).(II) Se a ∈ C(X), temos que i0(a
∗) = i0(a) = aδ0. Mas
(aδ0)∗[k](·) = aδ0[−k](σ−k(·)) =
a(·), −k = 0
0, −k 6= 0.
44
Assim de (I) e (II), pela definicao 1.10, temos que i0 e um ∗-isomorfismo.Alem disso, por (3.3) e da definicao de (fδ0)[k](x) temos que ‖b‖C(X) =‖|bδ0‖|, para todo b ∈ C(X), portanto i0 e um ∗-isomorfismo isometrico.
Por outro lado, da definicao acima para (fδ0) e da observacao 3.5, pode-mos definir para cada f ∈ C(X) e n ∈ Z, o elemento fδn da seguinte forma:
fδn[m](·) =
f(·), se n = m
0, se n 6= m.
Donde segue que cada elemento f ∈ K(Z, C(X)) pode ser escrito como somafinita de elementos do tipo fδn. Observe que se f, g ∈ C(X) e n,m ∈ Z,entao
(fδn)(gδm) = fαm(g)δn+m.
Em particular, (fδ0)(1C(x)δ1) = fδ1, qualquer que seja f ∈ C(X).
Observacao 3.6. Pela observacao anterior e conveniente utilizar a seguintenotacao: para a ∈ l1(Z, C(X)) e f ∈ C(X), a igualdade a = f quer dizerque a = fδ0, e a notacao af = a(fδ0) e fa = (fδ0)a sera usada como oproduto entre a e fδ0 definido por (3.1). Assim, com esta notacao segue daobservacao (3.4) que
δfδ∗ = α(f) = f σ−1, (3.4)
esta igualdade e dita a relacao de covariancia. Afirmamos que estarelacao e valida para toda f ∈ C(X). Com efeito, dada f ∈ C(X) ar-bitraria, de (3.1) e (3.2),
(δf)δ∗[k](·) = (δfδ0)δ∗
=∑s∈Z
(δfδ0)[s](·)δ∗[−s+ k](σ−s(·))
=∑s∈Z
(δfδ0)[s](·)δ[−k + s](σ−k+s(σ−s(·)))
=∑s∈Z
∑j∈Z
δ[j](·)(fδ0)[−j + s](σ−j(·))δ[−k + s](σ−k(·))
mas isto e so distinto de zero se j = 1 , −k + s = 1 e −j + s = 0, pelo qual
δfδ∗[k](·) =
f σ−1(·), k = 0
0, k 6= 0,
como querıamos mostrar. Portanto temos a relacao de covariancia (3.4).
45
Das consideracoes acima e da densidade de K(Z, C(X)) em l1(Z, C(X))temos o seguinte resultado.
Proposicao 3.7. l1(Z, C(X)) e a ∗-algebra de Banach gerada pelos elemen-tos fδ0, δ e δ∗.
Afirmacao 3.8. Afirmamos que a aplicacao E : l1(Z, C(X)) → C(X)δ0
definida por E(b) = b[0]δ0 para qualquer elemento b ∈ l1(Z, C(X)) e umaprojecao de norma um satisfazendo
E(abc) = aE(b)c para todo a, c ∈ C(X)δ0 (3.5)
E(b∗b) ≥ 0 (3.6)
E(b∗b) = 0 implica que b = 0 (3.7)
para todo b ∈ l1(Z, C(X)). E facil ver que E e uma projecao, a positividade,e provada como segue:
E(b∗b) = (b∗b)[0]δ0 =
(∑k∈Z
b∗[k](·)αk(b[−k])(·))δ0
=
(∑k∈Z
αk(b[−k]b[−k])(·))δ0 =
(∑k∈Z
αk(|b[−k]|2)(·))δ0
=∑k∈Z
(|b[−k](σ−k(·))|2)δ0 ≥ 0,
onde a soma converge em norma. Mostremos agora a equacao (3.7). Comefeito, do resultado anterior temos que E(b∗b) =
∑k∈Z
(|b[−k](σ−k(·))|2)δ0. As-
sim, se E(b∗b) = 0 temos que (|b[−k](σ−k(·))|2)δ0 = 0 para todo k ∈ Z eentao b[−k](σ−k(·)) = 0 para todo k ∈ Z, logo b = 0. Para mostrar (3.5)basta aplicar novamente o produto (3.1) e obtemos o resultado desejado.
Observacao 3.9. Para qualquer funcional linear ϕ em C(X), a funcao ϕ i−10 e um funcional linear em C(X)δ0, satisfazendo (ϕ i−1
0 )(i0(a)) = ϕ(a)para qualquer a ∈ C(X). Esta afirmacao segue do fato de que i0 e um ∗-isomorfismo. Alem disso, tambem segue que ‖ϕ i−1
0 ‖ = ‖ϕ‖ para qualquerfuncional linear limitado em C(X), e que ϕ e positivo em C(X) se, e somentese ϕ i−1
0 e positivo em C(X)δ0. Por outro lado, para qualquer funcionallinear ϕ em C(X), a funcao (ϕ i0) E e um funcional linear positivo em
46
l1(Z, C(X)). Alem disso, pelo corolario (1.21), ‖ϕ‖ = ϕ(e) para qualquerfuncional linear ϕ definido em uma ∗-algebra de Banach com unidade e.Daı, como‖(ϕ i−1
0 ) E‖ = (ϕ i−10 )(E(δ0)) = (ϕ i−1
0 )(δ0) = (ϕ i−10 )(i0(1C(X))) =
ϕ(1C(X)) = ‖ϕ‖, o funcional linear e um estado se, e somente se (ϕi−10 )Ee
um estado em l1(Z, C(X)).
Na continuacao apresentamos um resultado de muita utilidade para definiruma nova norma em l1(Z, C(X)), o qual nao demonstraremos, mas sua provapode ser encontrada em [SBA]. O resultado e o seguinte:
Proposicao 3.10. Se a e um elemento nao nulo de uma C∗-algebra, existeum estado φ de A tal que πφ(a) 6= 0, onde πφ e a representacao de GNS,obtida a partir de φ.
Observacao 3.11. Da proposicao (1.50) temos que
‖b‖∞ = sup‖π(b)‖; π e uma representacao de l1(Z, C(X)).
e uma C∗-seminorma de l1(Z, C(X)), mas, da obseravcao (3.9) e da proposicao(3.10) vemos que o conjunto (ϕ i−1
) E;ϕ e um estado sob C(X) de es-tados sob l1(Z, C(X)) contem suficentes estados, donde, por (4.3.9) em [Rk],dado b ∈ l1(Z, C(X)) nao nulo, existe uma representacao π de l1(Z, C(X))com π(b) 6= 0, assim ‖ · ‖∞ e uma norma, donde, ‖ · ‖∞ e uma C∗-normaem l1(Z, C(X)). Logo de 1.49 e 1.51, temos que a C∗-algebra obtida pelocompletamento de l1(Z, C(X)) com respeito a norma ‖ · ‖∞ e chamada deC∗-produto cruzado de C(X) por Z com respeito a acao de α. De-notemos esta C∗-algebra por A(
∑) onde
∑e sistema dinamico topologico.
Observacao 3.12. (I) A projecao E da afirmacao 3.8 pode ser estendidade l1(Z, C(X)) a A(
∑). Este resultado pode ser encontrado em 3.2.4 de
[Tom1]. Por outro lado, se π e uma representacao da C∗-algebra A(∑
) emum espaco de Hilbert Hπ, entao π′ = π i0 e uma representacao de C(X)em Hπ, e se π′ e a representacao da C∗-algebra de C(X) em Hπ, entaoπ = π′ i−1
0 e uma representacao de C(X)δ0 em Hπ. Isto segue do fato deque i0 e um ∗-isomorfismo. Alem disso, π′(f) = (π i0)(f) = π(fδ0) paraqualquer f ∈ C(X). Assim para simplificar a notacao, se π e uma repre-sentacao de A(
∑) e f ∈ C(X), entao π(f) denotara π(f ∗ δ0).
(II) Se π e uma representacao da C∗-algebra A(∑
) em um espaco deHilbert Hπ, temos que o operador unitario π(δ) = u(pois π∗(δ)π(δ) = π(δ∗δ) =π(δ0) = idHπ) e a algebra comutativa dos operadores limitados π(C(X)) emHπ satisfazem a relacao
uπ(f)u∗ = π(α(f)), (3.8)
47
a qual e chamada de relacao de covariancia Notemos que esta relacao eobtida da aplicacao de π em ambos lados de (3.4). O par (π, u) consistindode uma representacao da C∗-algebra C(X) num espaco de Hilbert H e umoperador unitario u em H satisfazendo a relacao de covariancia (3.8), echamado de representacao covariante do sistema dinamico classico(C(X), α,Z). Assim, por (1.59) existe um relacao biunıvoca entre as rep-resentacoes covariantes de (C(X), α,Z) e as representacoes da C∗-algebraA(
∑). Logo as representacoes de A(
∑) podem ser estudadas em termos das
representacoes covariantes do sistema dinamico classico (C(X), α,Z).
Observacao 3.13. A teoria das C∗-algebras pode ser usada para estudar osistema dinamico classico
∑. Uma maneira de proceder e considerar uma
extensao dos estados definidos na C∗-subalgebra C(X)δ0 a estados na C∗-algebra A(
∑) junto com a representacao GNS de A(
∑) como veremos mais
adiante.
Definicao 3.14. Para cada x ∈ X, o estado puro em C(X) definido porµx(f) = f(x), e chamado de evaluacao pontual em C(X). O estado puroµxi−1
0 em C(X)δ0 tambem e chamado de evaluacao pontual em C(X)δ0.
Observacao 3.15. (I) Notemos que por (1.22) todo funcional linear positivonuma C∗-subalgebra pode ser estendido a um funcional linear positivo na C∗-algebra toda preservando a norma. Em particular, temos que um estado emuma C∗-subalgebra pode ser estendido a um estado na C∗-algebra toda. Alemdisso, um estado puro numa C∗-subalgebra pode ser estendido a um estadopuro na C∗-algebra toda, ver [Dix](2.10.1).
(II) Em (3.3.7) de [Tom1] se mostra que a extensao do estado puro,evaluacao pontual em C(X)δ0, a um estado puro em A(
∑) e unica se, e
somente se x e um ponto aperiodico. Como (µx i−10 ) E e um estado
puro e uma extensao de µx i−10 , entao a extensao de µx i−1
0 , ϕx, estadada por ϕx = (µx i−1
0 ) E. Isto significa, em particular, que ϕx(fδ0) =
(µx i−10 )(fδn[0]δ0) = µx(fδ
n[0]) = fδn[0](x) = 0 para todo n 6= 0 em Z, e
ϕx(fδ0) = (µx i−1
0 )(E(fδ0)) = (µx i−10 )(fδ0) = µx(f) = f(x).
Observacao 3.16. Se π e uma representacao da C∗-algebra A(∑
), entao[π] denotara a classe de todas as representacoes de A(
∑) as quais sao uni-
tariamente equivalentes a π, e q : Rep(A(∑
)) → Rep(A(∑
))/ ∼ denotaraa aplicacao quociente π 7→ [π] do conjunto Rep(A(
∑)) de todas as repre-
sentacoes de A(∑
) no conjunto Rep(A(∑
))/ ∼ das classes de equivalenciade Rep(A(
∑)) (unitariamente equivalentes). A restricao de q a Irr(A(
∑))
sera denotada por q.
48
O conjunto A = q(IrrA(∑
)\0Irr(A)) consistindo de todas as classesunitariamente equivalentes das representacoes irredutıveis nao nulas de A(
∑),
e chamado o espectro de A(∑
). Em geral quando temos uma algebra co-mutativa, o espectro da algebra pode ser identificado com o conjunto doscaracteres da algebra. Aqui, 0Irr(A) denota a representacao irredutıvel nula.A restricao de q ao conjunto Irrn(A)\0Irr(A) de todas as representacoesirredutıveis nao nulas n-dimensionais sera denotado por qn. Os conjuntos
An = qn(Irrn(A)\0Irr(A)),A<∞ =
⋃1≤k<∞
Ak
A≤n =⋃
1≤k≤n
Ak
A∞ = A\A<∞ = q(Irr(A)∞)
consistem de todas as classes unitariamente equivalentes de representacoesirredutıveis nao nulas de dimensao n, de dimensao finita, de dimensao naomaior que n e das representacoes unitariamente equivalentes de dimensaoinfinita da C∗-algebra A(
∑) respectivamente.
Sabemos de (1.38) que se ϕ e um estado puro, entao, a representacaoGNS(πϕ, Hϕ, ξϕ) e irredutıvel. A recıproca deste resultado pode ser encontrada em
[Dix2]. A aplicacao γ : P (A) → A enviando qualquer estado puro ϕ a classeunitariamente equivalente [πϕ] da representacao GNS πϕ, e dita aplicacaoGNS.
Para um ponto x ∈ X e ϕ ∈ S(A(∑
)) uma extensao da evaluacao pon-tual µx i−1
0 ∈ S(C(X)δ0), seja (πϕ, Hϕ, ξϕ) a representacao GNS de A(∑
)associada com ϕ. Os seguintes ıtens recompilados em um unico teorema,por conveniencia, descrevem as propriedades de extensoes de estados purosde evaluacao pontual e da correspondente representacao GNS, cuja demon-stracao pode ser encontrada em [Tom2].
Teorema 3.17. Seja ϕ ∈ S(A(∑
)) uma extensao da evaluacao pontualµx i−1
0 ∈ S(C(X)δ0), e seja (πϕ, Hϕ, ξϕ) a representacao GNS de A(∑
)associada com ϕ.(1) Seja u = πϕ(δ). Entao para qualquer f ∈ C(X) os operadores πϕ(f) e
u satisfazem a relacao de covariancia
uπϕ(f)u∗ = πϕ(f σ−1).
49
(2) Defina o subespaco
Hn = ξ ∈ Hϕ; πϕ(f)ξ = f(σnx)ξ para todof ∈ C(X),∀n ∈ Z.
Entao ξϕ ∈ H0. Se x e aperiodico entao os subespacos Hn e Hm sao ortog-onais quando n 6= m. Se x e p-periodico, entao Hn e Hm sao ortogonaisquando n−m nao e divisıvel por p.
(3) Se x e aperiodico, entao
Hϕ =⊕n∈Z
Hn (soma ortogonal)
e Hn = unH0 para todo n ∈ Z. Se x e p-periodico, entao
Hϕ = H0
⊕H1
⊕........
⊕Hp−1 (soma ortogonal),
onde Hn = unH0 para todo n ∈ 0, ....., p− 1 e H0 = uHp−1 = upH0.
(4) A representacao GNS πϕ e irredutıvel, ou equivalentemente o estadoϕ e puro, se, e somente se H0 e uni-dimensional, isto e, H0 = λξϕ/λ ∈ C.
(5) Se a representacao GNS πϕ e irredutıvel, e se x e um ponto periodicode perıodo p, entao dim(Hϕ) = p, a igualdade upξϕ = tξϕ e valida para algumt ∈ C com |t| = 1, e tambem ϕ(δpk) = tk para todo k ∈ Z e ϕ(δl) = 0 paratodo l ∈ Z nao divisıvel por p. Assim a aplicacao (x, t) 7→ ϕ e sobrejetivade Per(σ) × T no conjunto das extensoes do estados puros µx i−1
0 , ondex ∈ Per(σ). Alem disso, para cada x ∈ Per(σ) fixo, a aplicacao que associacada t ∈ T ao estado puro ϕ definido pelo par (x, t) fornece uma bijecao entreT e o conjunto das extensoes do estado puro µx i−1
0 . Assim, as extensoes doestado puro da evaluacao pontual de cada ponto periodico sao parametrizadaspor T.
(6) Se x e um ponto aperiodico, entao a extensao do estado puro µxi−10 e
unicamente determinada por x e assim, esta e (µxi−10 )E, pois (µxi−1
0 )Ee uma extensao a evaluacao pontual do ponto x.Se ϕ = ϕx,t e ψ = ψy,s sao as extensoes dos estados puros de evaluacaopontual dos pontos periodicos x, y correspondentes aos t, s ∈ T, entao a rep-resentacao GNS πϕ e πψ sao unitariamente equivalentes se, e somente se
50
Orbσ(x) = Orbσ(y) e s = t. Se ϕ = ϕx e ψ = ψy sao extensoes de es-tados puros de evaluacao pontual dos pontos aperiodicos x, y, entao as rep-resentacoes GNS πϕ e πψ sao unitariamente equivalentes se, e somente seOrbσ(x) = Orbσ(y).
A seguir vamos apresentar uma caracterizacao das representacoes irre-dutıveis da C∗-algebra A(
∑) de dimensao finita com a representacao GNS
da extensao de estado puro da evaluacao pontual.
Definicao 3.18. Dizemos que uma representacao de A(∑
) e induzida oue proveniente de um ponto x ∈ X se esta e unitariamente equivalente arepresentacao GNS de uma extensao do estado puro da evaluacao pontual dex.
Teorema 3.19. Toda representacao irredutıvel finito-dimensional de A(∑
)e unitariamente equivalente a representacao GNS πx,λ associada a uma ex-tensao da evaluacao pontual de algum ponto periodico x. A dimensao darepresentacao e igual ao perıodo de x.
Demonstracao:Seja (π, H) uma representacao irredutıvel finito dimensional de A(
∑)
Entao, de (1.59), π = π × u, onde (π, u) e uma representacao covariantedo sistema (C(X), α). Assim, π(C(X)) e uma C∗-algebra abeliana sobreo espaco de Hilbert H. Daı, como a dimensao de H e finita (seja n estadimensao) entao B(H) tambem tem dimensao finita. Se S e o espectro deπ(C(X)), de (1.44), ϕ : π(C(X)) → C(S) e um ∗-isomorfismo isometrico.Logo C(S) tem dimensao finita, assim S tem m pontos p0, p1, ......, pm−1,para 1 ≤ m ≤ n. Por outro lado, novamente de (1.44), para cada funcaocaracterıstica χk ∈ C(S) de pk existe uma funcao fk em C(X) tal que
π(fk) = χk(transformada de Gelfand). Agora, do fato que ϕ e um ∗-isomorfismo isometrico, π(fk); 0 ≤ k ≤ m − 1 sao projecoes ortogonaissobre H. Observemos tambem que como as funcoes χk’s geram C(S), temosque os π(fk)’s geram π(C(X)). Definamos agora a seguinte aplicacao
ψk : C(X) → C, f 7→ π(f)pk
a qual e um caracter, donde temos que existe xk ∈ X tal que ψk(f) = f(xk),
para todo f ∈ C(X), assim π(f)(pk) = f(xk). Seja E = x0, ...., xm−1.Afirmamos que Ker(π) = Iπ = f ∈ C(X); f(x) = 0,∀x ∈ E. Com
efeito, dado f ∈ Ker(π) temos que π(f) = 0, onde a aplicacao π(f) e a
aplicacao nula. Assim π(f)(pk) = 0 para todo pk, donde f(xk) = 0 paratodo 0 ≤ k ≤ m − 1 e entao f ∈ Iπ. Suponhamos agora que f ∈ Iπ.
51
Logo π(f)pk = 0 para todo pk, donde temos que π(f) e a aplicacao nulae assim π(f) = 0, isto e, f ∈ Ker(π). Portanto Iπ = Ker(π). Por outrolado, a relacao de covariancia E e invariante por σ. Notemos tambem que seσ(xk) = xj, entao uπ(fk)u
∗ = π(fj), pois se σ(xk) = xj entao σ−1(xj) = xk,donde
π(fk σ−1)(pj) = fk σ−1(xj)
= fk(σ−1(xj)) = fk(xk)
= π(fk)(pk) = 1
para s 6= j, e
π(fk σ−1)(ps) = (fk σ−1)(xs)
= fk(σ−1(xs)).
Mas, como E e invariante por σ, temos que σ−1(xs) = xr 6= xk. Logo,π(fk σ−1)(ps) = π(fj)(pr) = 0, donde π(fk σ−1) = π(fj), pela qual π(fk
σ−1) = π(fj). Portanto, uπ(fk)u∗ = π(fj). Alem disso, novamente, como E e
invariante por σ, Orbσ(xk) ⊂ xi; 0 ≤ i ≤ m−1 para todo k ∈ 0, ...,m−1.Mostremos agora que xi; 0 ≤ i ≤ m− 1 ⊂ Orbσ(xk). Com efeito, para istodefinamos o seguinte conjunto
M =⊕
xi∈Orbσ(xk)
π(fi)H.
Da relacao uπ(fk)u∗ = π(fj), temos queM e invariante por π(C(X)), u, u∗,
mas como π(A(∑
)) e irredutıvel, entao M = H. Logo, se existe xj /∈Orbσ(xk), dado y ∈ π(fj)H, claramente y ∈ H, mas como os π(fi)’s saoortogonais, terıamos que < y, y >= 0, logo π(fj)H = 0 o que e umacontradicao. Portanto, Orbσ(xk) = xi; 0 ≤ i ≤ m− 1. Daı, reorganizandoo conjunto E, podemos assumir que σk(x0) = xk para cada k ∈ 0, ....,m−1e σm(x0) = x0. Vamos mostrar que m = n, para isto, basta mostrarmos quea dim(π(f0)H) = 1. Suponhamos entao que dim(π(f0)H) > 1. Afirmamosque umπ(f)(um)∗ = π(f) para todo f ∈ C(X). Com efeito, como π(C(X)) egerado por π(fk)’s, entao basta mostrarmos o resultado para os operadoresπ(fk)’s. Trabalhemos com π(f0), os outros sao analogos;
umπ(f0)(um)∗ = um−1uπ(f0)u
∗(um−1)∗
mas como σ(x0) = x1, temos que uπ(f0)u∗ = π(f1), donde
umπ(f0)(um)∗ = um−1uπ(f0)u
∗(um−1)∗
= um−1π(f1)(um−1)∗.
52
Continuando com este processo temos que umπ(f0)(um)∗ = π(f0), pois σm(x0) =
x0. Consideremos agora a C∗-algebra Yx gerada por π(C(X)) ∪ upm; k ∈Z, k ≥ 0 que como mostrado anteriormente deixa π(f0)H invariante, e alemdisso e comutativa. Mas como toda representacao irredutıvel de uma C∗-algebra comutativa e unidimensional, e a dimensao de π(f0)H e maior que1, entao a restricao de Yx a π(f0)H nao e irredutıvel sobre π(f0)H. Assim,existe um subespaco fechado proprio K de π(f0)H invariante com respeitoa C∗-algebra Yx. Sejam RK = [ujK; j ∈ 0, ...,m − 1] e Pk a projecaoortogonal de K. Entao, o complemento ortogonal do conjunto K em π(f0)He (π(f0)− Pk)H = π(f0)(Id− Pk)H ⊂ π(f0)H. Por outro lado, o subespaco(π(f0)−Pk)H e nao nulo e ortogonal nao so a K, como tambem a ujK, pois
ujK ⊂ ujπ(f0)K = ujπ(f0)(uj)∗ujK ⊂ ujπ(f0)(u
j)∗H = π(fj)H
para todo j ∈ 1, ...,m−1, uma vez que os subespacos π(fj)H e π(f0)H saoortogonais, para todo j ∈ 1, .....,m−1. Portanto, (π(f0)−Pk)H e ortogonalao subespaco fechado gerado por
⋃m−1j=0 ujK. Assim, RK e um subconjunto
proprio de H, e invariante por π(C(X)), u, u∗, portanto invariante porπ(A(
∑)) o que e uma contradicao, pois, π e irredutıvel. Daı nao pode
existir um subespaco fechado K em π(f0)H invariante com respeito a Yx,mas isto contradiz a existencia de tal subespaco garantida pelo suposto quedim(π(f0)H) > 1. Portanto dim(π(f0)) = dim(π(fk)H) = 1, para todok ∈ 0, ....,m−1. Como
∑m−1k=0 π(fk) = IdH , temos que m = n. Escolhamos
agora um vetor unitario d0 ∈ π(f0), definamos dk = ukd0 para 0 ≤ k ≤ n−1.Entao dk ∈ π(f0)H, pois como d0 ∈ π(f0)H, entao existe v0 ∈ H tal queπ(f0)v0 = d0, e assim
dk = ukπ(f0)v0 = ukπ(f0)(uk)∗ukv0
= π(fk)ukv0.
Logo, dk ∈ π(fk)H para cada k e udn−1 = uun−1d0 = und0 = zd0 para algumz ∈ T. Entao podemos definir o operador unitario v sobre H, da seguinteforma
v(ek) = dk, para 0 ≤ k ≤ n− 1.
Definamos a representacao covariante (πx0 , uz) da seguinte forma:
πx0(f)ek = f(σ−k(x0))ek (f ∈ C(X), 0 ≤ k ≤ n− 1),
uzek = ek+1 (0 ≤ k ≤ n− 2) e uzen−1 = ze0.
Afirmamos que para todo T ∈ A(∑
), (π × u)(T ) = v(πx0 × uz)(T )v∗. Paraver isto, como k((Z, C(X)) e denso em A(
∑), basta mostrarmos para todo
F ∈ k(Z, C(X)). Alem disso, de (1.44),
53
(π × u)(F )v(ek) =∑n∈Z
π(F (n))undk
v(πx0 × uz(F ))(ek) =∑n∈Z
vπx0(F (n))unz (ek).
Mas, como os π(fk)’s geram π(C(X)), temos que π(f) =∑n−1
i=0 aiπ(fi). Logo
π(f) =∑n−1
i=0 aiπ(fj), donde π(f)pk = ak, e assim ak = f(xk). Entao,
π(f)dk =n−1∑i=0
aiπ(fi)dk
=n−1∑i=0
aiπ(fi)π(fk)vk = akπ(fk)vk = f(xk)dk,
pois dk ∈ π(fk)H como ja mostramos. Por outro lado, da definicao deπx0 × uz,
vπx0(f)uz(ek) = vπx0(f)(ek+1), para 0 ≤ k ≤ n− 2
= vf(σ−k(x0))(ek+1)
= f(xk+1)dk+1.
Daı, π(f)uv(ek) = vπx0(f)uz(ek), portanto (π×u)(F )v(ek) = v(πx0×uz(F ))(ek).Logo π × u e πx0 × uz sao unitariamente equivalentes.
Nesta parte vamos apresentar algumas propriedades das representacoesirredutıveis de dimensao infinita da C∗-algebra A(
∑), assim como uma car-
acterizacao deste tipo de representacoes.
Observacao 3.20. Seja π uma representacao de A(∑
) no espaco de HilbertHπ. Como i0 e um ∗-isomorfismo, entao π i0 e uma representacao deC(X) no mesmo espaco de Hilbert, e (π i0)(C(X)) = π(C(X)δ0), ou emoutras palavras, (π i0)(C(X)) consiste exatamente dos mesmos operadoresda imagem de π restrita a C∗-subalgebra C(X)δ0. Por outro lado, e facil verque o nucleo Jπ de π i0 e um ideal bilateral fechado em C(X). Daı existeum subconjunto fechado Xπ de X tal que
Jπ = k(Xπ) = f ∈ C(X)/f(x) = 0 ∀x ∈ Xπ.
Alem disso, como α(f) = δfδ∗ para todo f ∈ C(X), temos que α(f) =f(σ−1(x)) = 0 para todo x ∈ Xπ, pelo que Xπ e invariante por σ. Seja
54
agora σπ o homeomorfismo de Xπ obtido pela restricao de σ a Xπ. O sis-tema dinamico
∑π = (Xπ, σπ) e dito o sistema dinamico induzido por
π. Por outro lado, se π e irredutıvel, de 4.1.5 em [Tom1] temos que∑
π etopologicamente transitivo(definicao 2.10). Alem disso, como X e um espacotopologico compacto de Hausdorff satisfazendo a segunda propriedade de enu-merabilidade, temos entao que Xπ, como um subespaco de X, tambem sat-isfaz estas propriedades. Segue entao do teorema 2.12 que existe um pontox0 ∈ Xπ com Orbσ(x0) densa em Xπ.
Observacao 3.21. Consideremos a C∗-algebra C(X), o espaco das funcoescontınuas com domınio X um espaco topologico de Hausdorff compacto, e(H, π) uma representacao de C(X). Como esta C∗-algebra e comutativa,π(C(X)) tambem e comutativa, donde o espectro de π(C(X)), X ′
π, podeser identificado com o conjunto dos caracteres em π(C(X)). Assim, de(1.44), π(C(X)) pode ser identificada com C(X ′
π). Por outro lado, comoIπ = Ker(π) = f ∈ C(X)/f(x) = 0,∀x ∈ Xπ, onde Xπ e um conjuntofechado de X, podemos identificar C(X)/Iπ com C(Xπ), usando a aplicacaoϕ : C(X)/Iπ → C(Xπ) tal que, [f ] 7→ f/Xπ. Como X e compacto deHausdorff, temos que X e normal, assim se temos uma funcao contınua fdefinida em Xπ esta pode ser estendida a X continuamente. Alem disso,como π(C(X)) pode ser identificada com C(X)/Iπ, entao os espacos C(Xπ)e C(X ′
π) podem ser identificados. Portanto Xπ e X ′π se identificam.
Na continuacao apresentaremos um resultado, que e de muita importanciana descricao das representacoes irredutıveis de A(
∑) e da sua relacao com a
estrutura de orbitas do sistema dinamico topologico∑
.
Lema 3.22. Se a representacao π de A(∑
) e irredutıvel e infinito-dimensional,entao Xπ e infinito, ou equivalentemente, se Xπ e finito entao a representacaoπ e finito-dimensional. Alem disso, se Xπ e finito, entao a dimensao doespaco Hπ e igual a numero de elementos em Xπ.
Demonstracao: Seja π uma representacao irredutıvel de A(∑
) tal queXπ e finito. Vejamos que π e finito-dimensional. Com efeito, como Xπ e finitoentao a topologia de Xπ induzida de X e a discreta, e como por (3.21)
∑π e
topologicamente transitivo, o teorema (2.12) implica que existe x0 ∈ Xπ talque Orbσ(x0) e densa em Xπ. Como Xπ e finito temos que x0 e periodico eXπ = x0, ......, σ
p−1(x0),1 onde p e o perıodo de x0. Por outro lado, como Xe compacto e de Hausdorff, X e normal. Logo pelo lema de Urysohn, existeuma funcao X0 ∈ C(X) tal que
X0(σ−j(x0)) =
1, se j = 0
0, se j ∈ 1, ......, p− 1.
55
Por outro lado, notemos que, X20−X0 e X0−X0 pertencem a Jπ, o que e facil
de ver pelo modo como foi dada X0. Assim, como π e um ∗-homomorfismo,
π(X0)2 = π(X0) e π(X0)
∗ = π(X0) (3.9)
sendo assim, pela definicao de projecao, π(X0) e uma projecao nao nula, poisX0 /∈ Jπ, o que implica π(X0) 6= 0. Alem disso, do fato que π(δ) e unitario eda relacao de covariancia segue indutivamente que:
π(X0 σ−k) = π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)k, ∀k ∈ 0, ....., p− 1, (3.10)
donde, por 3.9, π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)k tambem e uma projecao nao nula (definicao1.9) em π(C(X)), para todo k ∈ 0, ......., p − 1. Observemos tambem que(X0 σ−k)(X0 σ−j) ∈ Jπ quando k, j ∈ 0, .....p− 1 e k 6= j, pois
(X0 σ−k)(X0 σ−j)(σi(x0)) = (X0 σi−k(x0))(X0 σi−j(x0)).
Como k 6= j, i − k ou i − j e diferente de zero. Logo, pela definicao de X0,(X0 σ−k)(X0 σ−j) ∈ Jπ, donde,
π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)kπ(δ)jπ(X0)(π(δ)∗)j = π(X0 σ−k)π(X0 σ−j)= π((X0 σ−k)(X0 σ−j)) = 0,
o que significa que as projecoes π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)k e π(δ)jπ(X0)(π(δ)∗)j saomutuamente ortogonais se k, j ∈ 0, .....p− 1 k 6= j. Portanto
PX0 =
p−1∑j=0
π(δ)jπ(X0)(π(δ)∗)j =
p−1∑j=0
π(X0 σ−j) = π
(p−1∑j=0
X0 σ−j)
e uma projecao em π(C(X)), pois (PX0)2 =
∑p−1j=0(π(δ)jπ(X0)(π(δ)∗)j)2 e
π(δ)jπ(X0)(π(δ)∗)j e uma projecao como ja mostramos. Agora como∑p−1
j=0 X0σ−j ∈ C(X) e π(C(X)) e comutativa, entao
π(f)PX0 = PX0π(f) para todo f ∈ C(X).
Comoσ−p(x0) = x0 e σ−j(x0) 6= x0 ∀j ∈ 1, ....., p− 1,
temos queX0 σ−p − X0 ∈ Jπ,
e assimπ(δ)pπ(X0)(π(δ)∗)p = π(X0 σ−p) = π(X0).
56
Do fato que π(δ)∗π(δ) = IdHπ (pois π(δ) e um operador unitario), obtemos
π(δ)PX0 = π(δ)
(p−1∑k=0
π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)k)
(∗)=
p−1∑k=0
π(δ)k+1π(X0)(π(δ)∗)k+1π(δ)
=
p−2∑k=0
π(δ)k+1π(X0)(π(δ)∗)k+1π(δ) + π(δ)pπ(X0)(π(δ)∗)pπ(δ)
=
p−1∑k=1
π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)kπ(δ) + π(X0)π(δ)
=
(p−1∑k=0
π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)k+1
)π(δ)
= PX0π(δ).
Assim, a projecao PX0 comuta com π(δ) e π(f) ∀f ∈ C(X). Como de (3.7)π(A(
∑)) e gerada por π(δ) e π(C(X)δ) entao PX0 comuta com π(A(
∑)).
Pela proposicao 1.35, os unicos operadores que comutam com os operadoresπ(A(
∑)) sao os operadores obtidos da multiplicacao da identidade por es-
calares. Logo PX0 = λIdHπ , mas como P 2X0
= PX0 , λ = 0 ou 1, e temos quePX0 = IdHπ , ou equivalentemente,
Hπ = PX0Hπ
p−1⊕k=0
π(δ)kπ(X0)(π(δ)∗)khπ(3.10)=
p−1⊕k=0
π(X0 σ−k)Hπ.
Porem, Hπ e finito-dimensional se e somente se π(X0)Hπ e finito-dimensional.Vejamos entao, que a irredutibilidade de π implica que π(X0) e uni-dimensionale daı dim(Hπ) = p. Argumentando por contradicao, supomos que dim(π(X0)Hπ) 6=1. Como C(X) e δpk/k ∈ Z, k ≥ 0 sao comutativas temos que a C∗-algebra Yx gerada por π(C(X)) ∪ π(δpk)/k ∈ Z, k ≥ 0 e comutativae alem disso deixa π(X0)(Hπ) invariante. Como toda representacao irre-dutıvel de uma C∗-algebra comutativa e uni-dimensional, entao, como as-sumimos dimπ(X0)(Hπ) 6= 1, a restricao de Yx a π(X0)Hπ e nao irredutıvelem π(X0)Hπ, e assim existe um subconjunto proprio K de π(X0)Hπ invari-ante com respeito a C∗-algebra Yx. Entao, [π(A(
∑))K] = [π(δ)K/j ∈
0, ....., p − 1], onde [L] denota o subespaco fechado de Hπ gerado porL ⊂ Hπ. Seja PK a projecao ortogonal de K. Entao, o complemento ortogo-nal de K em π(X0)Hπ e (π(X0)−PK)Hπ = π(X0)(IHπ −PK)Hπ ⊂ π(X0)Hπ.
57
Alem disso, o subespaco (π(X0) − PK)Hπ e nao nulo e ortogonal, nao so aK, mas tambem a π(δ)jK, pois
π(δ)jK = π(δ)jπ(X0)K = π(X0 σ−j)π(δ)jK ⊂ π(X0 σ−j)Hπ
para todo j ∈ 1, ...., p − 1. Logo os subespacos π(X0 σ−j)Hπ e π(X0)Hπ
sao ortogonais para todo j ∈ 1, ....., p − 1. Portanto, (π(X0) − PK)Hπ
e ortogonal ao subespaco fechado gerado por ∪j=p−1j=0 π(δ)jK que e igual a
[π(A(∑
))K]. Logo ele e proprio, contradizendo assim a irredutibilidade deπ, pela qual nao existe um subespaco fechado em π(X0)Hπ invariante comrespeito a Yx. Portanto dim(π(X0)Hπ) = 1 e daı Hπ e finito dimensional ealem disso dim(Hπ) = p.
Como ja vimos no capıtulo 2, Per(σ) e Aper(σ) denotam os conjuntosdos pontos periodicos e nao periodicos respectivamente, nos quais consider-aremos a topologia induzida de X. Per(σ)×T sera equipado com a topologiaproduto, e os espacos
P (Aper(σ),A(∑
)) = ϕx = (µx i−10 ) E/x ∈ Aper(σ)
P (Per(σ),A(∑
)) = ϕx,t/(x, t) ∈ Per(σ)× T
sao equipados com a topologia fraca-∗ de P (A), isto e, a topologia com basede vizinhancas de um ponto ϕ0 ∈ P (A) consistindo de conjuntos da forma
W (ϕ0; ε) = ϕ ∈ P (A)/‖ϕ(aj)− ϕ0(aj)‖ < ε para todo j = 1, 2, ..., n
com ε > 0 e a1, a2, ....., an ⊂ A. Definamos entao, P (X,A(∑
)) =P (Aper(σ),A(
∑)) ∪ P (Per(σ),A(
∑)) e a aplicacao
T : Aper(σ)⋃
(Per(σ)× T) → P (Aper(σ),A(∑
))⋃
P (Per(σ),A(∑
))
levando cada x ∈ Aper(σ) em ϕx = (µxi−10 )E e cada (x, t) ∈ Per(σ)×T em
ϕx,t, onde ϕx,t esta definida como no teorema (3.17)(5). Denotemos tambemas restricoes de T como
T<∞ : Per(σ)× T → ϕx,t/(x, t) ∈ Per(σ)× T,
T∞ : Aper(σ) → ϕx = (µx i−10 ) E/x ∈ Aper(σ).
Antes de apresentar o resultado seguinte, lembremos a definicao de redeem Topologia Geral.
58
Definicao 3.23. Um conjunto Λ e dito conjunto dirigido quando existe umarelacao ≤ em Λ satisfazendo:(a) λ ≤ λ para todo λ ∈ Λ,(b) se λ1 ≤ λ2 e λ2 ≤ λ3, entao λ1 ≤ λ3,(c) se λ1, λ2 ∈ Λ, entao existe λ3 ∈ Λ tal que λ1 ≤ λ3 e λ2 ≤ λ3.
Definicao 3.24. Uma rede em um conjunto X e uma funcao P : Λ → X,onde Λ e um conjunto dirigido. O ponto P (λ) e usualmente denotado porxλ, e denotemos a ree por (xλ)λ∈Λ.
Proposicao 3.25. A funcao Tn : Per(σ)×T → ϕx,t/(x, t) ∈ Pern(σ)×Tobtida pela restricao da funcao T a Pern(σ)× T e um homeomorfismo comrespeito a topologia fraca-∗ no espaco dos estados puros. Alem disso, a funcaoT∞ e um homeomorfismo no espaco dos estados puros de A(
∑).
Demonstracao: Do teorema (3.17)(5)(6) podemos observar que as aplicacoesTn e T∞ sao bijetivas, por outro lado, para mostrar continuidade, considere-mos uma rede (yα, tα) ⊂ Pern(σ)×T convergindo para um ponto (y0, t0) ∈Pern(σ) × T. Entao, pela definicao de ϕx,t, temos que ϕyα,tα(f) = f(yα) aqual converge a f(y0) para toda f ∈ C(X). Alem disso, pelo teorema 3.17item 5, ϕyα,tα(δnk) = tkα ∀k ∈ Z e ϕyα,tα(δl) = 0 se l ∈ Z nao e divisıvelpor n. Logo ϕyα,tα → ϕy0,t0 . Por outro lado, ϕy,t(fδ
m) = f(y)ϕy,t(δm) para
todo (y, t) ∈ Pern(σ) × T e A(∑
) foi obtido atraves do completamento del1(Z, C(X)). Da proposicao 3.7 se conclui que o subespaco vetorial gerado porM ≡ fδn/f ∈ C(X), n ∈ Z e denso em A(
∑). Afirmamos que ϕyα,tα(a) →
ϕy0,t0(a) ∀a ∈ A(∑
) Com efeito, dado a ∈ A(∑
) existe uma rede (bλ)λ∈∆
tal que bλ converge para a, isto e, para cada vizinhanca U de a, existe umλ0 ∈ ∆ tal que bλ ∈ U para todo λ ≥ λ0. Por outro lado, os ϕx,t sao estadospuros, |ϕyα,tα(a)−ϕy0,t0(a)| ≤ |ϕyα,tα(a)−ϕyα,tα(bλ)|+|ϕyα,tα(bλ)−ϕy0,t0(bλ)|+|ϕy0,t0(bλ)−ϕy0,t0(a)| = |ϕyα,tα(a−bλ)|+|ϕyα,tα(bλ)−ϕy0,t0(bλ)|+|ϕy0,t0(bλ−a)|.Pela continuidade dos ϕ′y,ts, ‖ϕy,t‖ = 1 temos que dado ε > 0 existe α0 tal que|ϕyα,tα(a)− ϕy0,t0(a)| < ε para todo α ≥ α0, e portanto ϕyα,tα(a) → ϕy0,t0(a)para todo a ∈ A(
∑). Quanto a funcao inversa de Tn esta fica definida do
seguinte modo:
T−1n : ϕx,t/x ∈ Pern(σ), t ∈ T → Pern(σ)× T
com ϕx,t 7→ (x, t). Logo, se (ϕxα,tα)α∈∆ e uma rede em ϕx,t/x ∈ Pern(σ), t ∈T convergindo na topologia fraca-∗ para (ϕx0,t0) entao temos que ϕxα,tα(a) =ϕx0,t0(a) para todo a ∈ A(
∑). Em particular, para δn temos que ϕxα,tα(δn) =
tα mas como ϕxα,tα(δn) → ϕx0,t0(δn) = t0 temos que tα → t0. Alem disso,
como X e metrizavel e ϕxα,tα(f) = f(xα) podemos considerar a aplicacao
59
d : X → R+∪0 dada por x 7→ d(x, x0)(onde d e a metrica de X), para todox ∈ X, a qual ja sabemos que e contınua. Mas d(xα) → d(x0) = 0 e portantopodemos concluir que xα → x0, assim T e um homeomorfismo. Consideremosagora a aplicacao T∞ : Aper(σ) → ϕx = (µx i−1
0 ) E/x ∈ Aper(σ) vistaacima, e mostremos que ela e um homeomorfismo. Como ja vimos a extensaode (µx i−1
0 ) E e unica quando x e aperiodico; logo T∞ e bijetiva. Sejaagora (xα)α∈∆ uma rede em Aper(σ), donde para toda f ∈ C(X) e n ∈ Z,ϕxα(fδn) = f(xα) se n = 0 e ϕxα(fδn) = 0 se n 6= 0, assim ϕxα(fδn) →ϕx0(fδn). Usando novamente a densidade de fδn/f ∈ C(X), n ∈ Z emA(
∑) de modo analogo ao caso anterior temos que ϕxα → ϕx0 na topologia
fraca-∗ e a inversa de T∞ tambem e contınua, pois da observacao (3.15)temos que para cada ponto aperiodico x ϕx esta unicamente determinadapor µx i−1
0 ) E. Portanto T∞ e um homeomorfismo.
Consideremos agora a seguinte aplicacao, φ : Aper(σ) ∪ (Per(σ)× T) →Irr(A(
∑)) definida por:
φ(x) = πx, para x ∈ Aper(σ) eφ(x, t) = πx,t, para (x, t) ∈ Per(σ)× T,onde πx e πx,t sao respectivamente as representacoes GNS de ϕx e ϕx,t(comodefinido no teorema (3.17item(5)), as quais sao irredutıveis pelo fato que ϕx eϕx,t sao estados puros (Teorema 1.38). Alem disso, φ esta bem definida pois arepresentacao GNS e unica a menos de equivalencia unitaria (teorema 1.29).Denotemos entao, as restricoes de φ a Aper(σ), P er(σ) × T, P ern(σ) × T ePern(σ)×T por φ∞, φ<+∞, φn, e φ≤n respectivamente. Denotaremos tambempor X/Z o espaco das orbitas do sistema dinamico
∑. Notemos que, do
teorema 3.17(6),
q φ∞ : Aper(σ) → A(∑
)∞ = A(∑
)\ A(∑
)<∞
e constante no conjunto Orbσ(x) para x ∈ Aper(σ), e as funcoes
q φ<∞ : Per(σ)× T → A(∑
)<∞
q φn = qn φn : Pern(σ)× T → A(∑
)n
q φ≤n : Pern(σ)× T →⋃
1≤k≤n
A(∑
)k =A(∑
)≤n
sao constantes nos conjuntosOrbσ(x)×t para cada (x, t) ∈ Per(σ)×T, P ern(σ)×T e Pern(σ)× T respectivamente. Assim, a funcao
Ψ : (Aper(σ)/Z) ∪ ((Per(σ)/Z)× T) → A(∑
)
60
satisfazendoΨ Qσ = q φ em Aper(σ) (3.11)
eΨ (Qσ × Id) = q φ em Per(σ)× T. (3.12)
esta bem definida. Denotemos por
Ψn : (Pern(σ)/Z)× T → A(∑
)n
Ψ≤n : (Pern(σ)/Z)× T →⋃
0≤k≤n
A(∑
)k
as restricoes de Ψ a (Pern/Z) × T e (Pern(σ)/Z) × T respectivamente, edenotemos tambem a restricao Φ aos conjuntos Aper(σ/Z) e (Per(σ)/Z)×Tpor Φ∞ e Φ<+∞, respectivamente.
Definicao 3.26. O espectro primitivo de uma C∗-algebra A e o conjuntodos ideais primitivos de A, denotado por Prim(A), que por sua vez saodefinidos como nucleo das representacoes irredutıveis. Por outro lado, dadoM subconjunto de Prim(A), seja I(M) a intersecao dos elementos de M ,que e um ideal bilateral de A. Seja M o conjunto dos ideais primitivosde A contendo I(M). Podemos mostrar que existe uma unica topologia emPrim(A) tal que para todo M ⊂ Prim(A), M e o fecho de M para estatopologia. Esta topologia e dita a topologia de Jacobson para Prim(A). Se
consideramos a aplicacao [π] 7→ Ker(π) de A em Prim(A), entao os abertos
em A sao as imagens inversas dos abertos em Prim(A) com a topologia deJacobson.
Em particular, comoA(∑
) e uma C∗-algebra, A(∑
) e um espaco topologicocom a topologia de Jacobson induzida de Prim(A(
∑)).
Proposicao 3.27. Sejam A uma C∗-algebra e T um subconjunto de Prim(A).Entao, T e fechado se e somente se T e exatamente o conjunto dos ideaisprimitivos que contenha uma parte de A.
Demonstracao: Se T e fechado, temos que T = T , e entao T e oconjunto dos ideais primitivos de A contendo I(T ). Seja M ⊂ A. Se T e oconjunto dos ideais primitivos de A que contendo M , temos que I(T ) ⊃ M ,entao T ⊂ T e T = T.
Proposicao 3.28. O espaco Prim(A) e um espaco T0.
61
Demonstracao: Sejam I1 e I2 dois pontos distintos de Prim(A). Supon-hamos por exemplo que I1 * I2. Entao o conjunto dos I ∈ Prim(A) quecontem I1 e um conjunto fechado T [3.27] tal que I1 ∈ T , I2 /∈ T .
Proposicao 3.29. As seguintes condicoes sao equivalentes(i) A e um espaco T0;(ii) Duas representacoes irredutıveis de A com o mesmo nucleo sao equiva-lentemente unitarias;(iii) A aplicacao canonica A→ Prim(A) e um homeomorfismo.
Demonstracao: (ii) ⇒ (iii) : Isto e evidente pois A → Prim(A) e aaplicacao canonica.(iii) ⇒ (i) : Resulta de (3.28)(i) ⇒ (ii) : Sejam π1, π2 duas representacoes com o mesmo nucleo perten-
cendo a A; todo aberto de A que contem π1 contem tambem π2, pois π1 ' π2
se A e um espaco T0.
Assim, com a notacao anterior e esta topologia, temos os seguintes resul-tados:
Lema 3.30. Sejam A uma C∗-algebra, a um elemento auto-adjunto de A,e L um conjunto fechado de numeros reais. Entao o conjunto Z dos π ∈ Atais que σ(π(a)) ⊂ 0 ∪ L e fechado em A
Demonstracao: Seja ρ ∈ Z. Suponhamos que σ(ρ(a)) contenha umponto α /∈ 0 ∪ L. Seja f : R → R uma funcao contınua nao nula em α enula em 0 ∪ L. Entao π(f(a)) = f(π(a)) e nulo para π ∈ Z e nao nulopara π = ρ. Daı obtemos uma contradicao com a hipotese ρ ∈ Z. PortantoZ e fechado em A.
Proposicao 3.31. Sejam A uma C∗-algebra e x ∈ A. A funcao π 7→ ‖π(x)‖e semi-continua inferiormente em A.
Demonstracao: Do fato que ‖π(x)‖2 = ‖π(x∗x)‖, podemos supor que
x ∈ A+. Sejam entao k ≥ 0 e Z o conjunto dos π ∈ A tais que ‖π(x)‖ ≤ k.
Assim o conjunto Z e o conjunto dos π ∈ A tais que σ(π(x)) ⊂ [0, k]. Logo,da proposicao anterior, Z e fechado. Portanto temos o resultado.
Lema 3.32. Seja A uma C∗-algebra separavel, (xi) os elementos de um con-
junto enumeravel denso de A, e Zi o conjunto dos π ∈ A tais que ‖π(xi)‖ ≥ 1.
Entao os Zi formam uma base da topologia de A.
62
Demonstracao: Seja U um subconjunto aberto de A e π ∈ U . SejaI ⊂ A a intersecao dos nucleos das representacoes em A − U . Existe x ∈ Ital que ‖π(x)‖ = 2. Temos que ρ(x) = 0 para ρ ∈ A − U . Seja i um ındice
tal que ‖x − xi‖ < 1. Entao ‖π(xi)‖ > 1 e ‖ρ(xi)‖ < 1 para ρ ∈ A − U.Assim π ∈ Zi ⊂ U. Como Zi e aberto (3.31), o resultado desejado segue dadefinicao de base.
Afirmacao 3.33. Sejam X e Z espacos topologicos, f : X → Y uma funcaocontınua, onde Y tem a topologia induzida por f e X, seja tambem g : Y → Zuma funcao continua bijetiva, entao se g f e uma funcao aberta temos queg e aberta.
Prova: Seja B ⊂ Y aberto. Por hipotese, f−1(B) e aberto em X, mascomo f e sobrejetiva temos que f(f−1(B)) = B, logo g(B) = g f(f−1(B))que e aberto em Z, pois g f e aberta. Portanto g e aberta, mas por serbijetiva g e um homeomorfismo.
Definicao 3.34. Seja S um subconjunto de A, onde A e uma C∗-algebra.π ∈ A esta contido fracamente em S se ele satisfaz uma das seguintescondicoes:(i.) O nucleo de π contem a intersecao dos nucleos dos elementos de S ;(ii.) Todo funcional linear positivo de A associado a π e o limite na topologiafraca-∗ da combinacao linear de funcionais positivos associados a S;(iii.) Todo estado de A associado a π e o limite na topologia fraca-∗ de estadosque sao somas de funcionais positivos associados com S.
Teorema 3.35. Para qualquer C∗-algebra A, a aplicacao canonica P (A) →A e contınua e aberta.
Demonstracao: Seja S um subconjunto de A, Q a imagem inversa emP (A), f um ponto de P (A) e π sua imagem em A. Para que π esteja nofecho de S e necessario e suficiente que f esteja no fecho de Q, pela definicaoanterior. Daı S e fechado em A se, e somente se Q e fechado em P (A).
Portanto a aplicacao canonica P (A) → A e contınua. Por outro lado, se U e
um subconjunto aberto de P (A) e V a sua imagem em A, mostremos que V
e aberto. Seja ρ ∈ V e seja g um ponto de U cuja imagem em A e ρ. Entao,g nao esta no fecho de P (A)\U . Assim, g nao esta no fecho da imagem do
A\V em P (A). Daı, ρ nao esta no fecho de A\V , e consequentemente V e
aberto. Logo, a aplicacao canonica P (A) → A e aberta.
Proposicao 3.36. (1) O espaco A(∑
)n das classes unitariamente equiva-lentes de representacoes irredutıveis de dimensao n da C∗-algebra A(
∑) e
63
homeomorfo ao espaco produto (Pern(σ)/Z)× T.
(2) A funcao Ψ∞ e um homeomorfismo de Aper(σ)/Z na parte de A∞ in-duzida pelos pontos aperiodicos.
Demonstracao: Por (3.35) temos que a aplicacao GNS, γ : P (A) → A,e uma aplicacao contınua aberta e sobrejetiva. Por outro lado, da topologiaquociente, a aplicacao canonica Qσ : X → X/Z tambem e contınua, abertae sobrejetiva. De fato, dado um aberto em X, vejamos que Q−1
σ (Qσ(U)) eaberto em X. Para isto escolhamos y ∈ Q−1
σ (Qσ(U)), donde, existe x ∈ Utal que σj(y) = x. Como U e aberto existe uma vizinhanca V de x tal queV ⊂ U , assim como σj e um homeomorfismo, σ−j(V ) e uma vizinhanca de y,tal que σ−j(V ) ⊂ Q−1
σ (Qσ(U)). Alem disso, de modo analogo as igualdades(3.11) e (3.12), obtemos que Ψ Qσ = γ T sobre o conjunto Aper(σ) eΨ (Qσ × Id) = γ T sobre os conjuntos Per(σ) × T e Pern(σ) × T. Mas,pela proposicao (3.25), T restrita aos conjuntos Aper(σ) e Pern(σ)×T e T∞e Tn, respectivamente, os quais sao homeomorfismos. Portanto, usando umteorema de Topologia Geral, podemos concluir que as funcoes Ψn e Ψ∞ saocontınuas. Por outro lado, de (1.29), a representacao GNS induzida de umfuncional linear positivo e unica, a menos de equivalencia unitaria, e peloteorema 3.17 item 6, temos que Ψ∞ e Ψn sao bijecoes de Aper(σ)/Z em
um subconjunto de A∞, induzido por um ponto aperiodico e (Pern(σ)/Z)
em A(∑
)n, respectivamente. Alem disso, de (3.26), T∞ e Tn sao homeo-morfismos e como γ e uma aplicacao aberta, γ Tn e γ T∞ sao aplicacoesabertas. Portanto pela afirmacao (3.40) Ψ∞ e Ψn sao homeomorfismos, comoquerıamos mostrar.
Pelo teorema [3.19], as funcoes
Ψ<∞ : (Per/Z)× T →⋃
1≤k≤∞
A(∑
)k =A(∑
)<∞
Ψn : (Pern(σ)/Z)× T → A(∑
)n
Ψ≤n : (Pern(σ)/Z)× T → A(∑
)≤n
sao sobrejetivas para todo inteiro positivo n. Agora vamos apresentar algu-mas condicoes sob as quais podemos garantir que a aplicacao
Ψ∞ : (Aper(σ)/Z) → A(∑
)∞ = A(∑
)\A(∑
)∞
e sobrejetiva, mas para isso precisamos de uma caracterizacao do nucleo deuma representacao. Os resultados abaixo serao importantes para tal carac-terizacao. Como referencia para sua demonstracao, indicamos [Tom2].
64
Proposicao 3.37. Seja π = π × u uma representacao de A(∑
) e supon-hamos que o sistema dinamico
∑π = (Xπ, σπ) e topologicamente livre, isto
e, Aper(σπ) e denso em Xπ. Entao, existe uma projecao de norma um επ daC∗-algebra π(A(
∑)) em π(C(X)) tal que
επ π(a) = π E(a)
para todo a ∈ A(∑
). Se π e fiel, π e fiel tambem.
Lema 3.38. Se π e uma representacao irredutıvel da C∗-algebra A(∑
) eKer(π) ∩
∑nk=−n fkδ
k; fk ∈ C(X), n ∈ Z = ∑n
k=−n fkδk; fk ∈ C(X), n ∈
Z, fk/Xπ = 0, entao ∑n
k=−n fkδk; fk ∈ C(X), n ∈ Z, fk/Xπ = 0 e denso
em Ker(π)
Proposicao 3.39. Nas condicoes da proposicao 3.37 temos que o nucleo darepresentacao π coincide com o fecho do conjunto
n∑
k=−n
fkδk; fk ∈ C(X), n ∈ Z e fk/Xπ = 0
Demonstracao: Vamos mostrar primeiro queKer(π)∩∑n
k=−n fkδk; fk ∈
C(X), n ∈ Z e igual ao conjunto ∑n
k=−n fkδk; fk ∈ C(X), n ∈ Z, fk/Xπ =
0. Com efeito, da definicao de E em 3.8, podemos observar que se a =∑nk=−n fkδ
k, entao E(aδk) = fk. Assim, se a ∈ Ker(π) entao como π e um∗-homomorfismo, π(aδk) = 0. Mas da proposicao 3.37 segue que π(fk) = 0,donde fk esta no nucleo de π, e consequentemente por 3.21 fk/Xπ = 0.Portanto concluımos que Ker(π) ∩
∑nk=−n fkδ
k; fk ∈ C(X), n ∈ Z estacontido em
∑nk=−n fkδ
k; fk ∈ C(X), n ∈ Z, fk/Xπ = 0. Por outro lado, dofato que π = π×u, onde u e um operador unitario, podemos obter a outra in-clusao, o que garante a igualdade acima. Assim, de (3.38),
∑nk=−n fkδ
k; fk ∈C(X), n ∈ Z, fk/Xπ = 0 e denso em Ker(π), como querıamos mostrar.
Proposicao 3.40. Sejam X um espaco topologico compacto de Haussdorfsatisfazendo ao segundo axioma de enumerabilidade (o que garante que X eum espaco compacto metrizavel)e A(
∑) uma C∗-algebra de tipo I(definicao
1.54), entao Ψ∞ e sobrejetiva. Em outras palavras, toda representacao ir-redutıvel infinita dimensional e unitariamente equivalente a representacaoGNS correspondente a extensao do estado puro de evaluacao pontual de al-gum ponto aperiodico.
Demonstracao: Ja sabemos do lema 3.23, que se Xπ e finito e π eirredutıvel, entao Hπ e finito-dimensional com dimensao igual ao numerode elementos de Xπ. Mas como estamos considerando o caso em que π e
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infinito-dimensional, temos que Xπ e infinito, e assim existe x0 ∈ Xπ tal queσk(x0) 6= x0 para algum k ∈ Z nao nulo. Logo σk nao e a funcao identidadepara algum k ∈ Z nao nulo. Alem disso, como π e irredutıvel de (3.21),o sistema dinamico (Xπ, σπ) e topologicamente transitivo, donde por (2.12)temos que existe um ponto em Xπ com orbita densa em Xπ. Por outro lado,e facil ver que σ(Per(σπ)) = Per(σπ). Suponhamos que exista um abertonao vazio U em Per(σπ), e seja y0 o ponto tal que Orbσπ(y0) = Xπ. Nessecaso, existe um inteiro n tal que σnπ(y0) ∈ U ⊂ Per(σ). Assim σnπ(y0) e umponto periodico, donde y0 e periodico, e consequentemente Orbσπ(y0) e finito, o que implica Xπ finito, uma contradicao. Portanto Aper(σπ) e denso emXπ. Por outro lado, da proposicao 3.39, o subespaco Ker(π) coincide com ofecho do conjunto
n∑
k=−n
fkδk; fk ∈ C(X), n ∈ Z e fk/Xπ = 0.
Por simplicidade de notacao πx0 , Hx0 e ξx0 denotarao respectivamente a rep-resentacao GNS πx0 correspondendo a extensao do estado puro da evaluacaopontual de x0, o espaco de Hilbert e o vetor GNS da representacao πx0 . Va-mos provar que Ker(π) coincide com Ker(πx0). Ja sabemos que (πx0(δ)
∗)l
e unitario para todo l ∈ Z donde πx0(∑n
k=−n fkδk) = 0 se, e somente se
(πx0(δ)∗)lπx0(
∑nk=−n fkδ
k) = 0 para todo l ∈ Z tal que −n ≤ l ≤ n, pois(πx0(δ)
∗) e invertıvel. Por outro lado, pelo teorema 3.17(3),
Hx0 =⊕n∈Z
Hn (soma ortogonal)
onde Hn = (πx0(δ))nH0. Agora como πx0 e irredutıvel, 3.17(4) garante que
H0 = λξx0/λ ∈ C. Assim Hx0 coincide com o fecho do subespaco geradopor πx0(δ)
jξx0/j ∈ Z. Logo da identidade de polarizacao(< Ax, y >= 14[<
A(x + y), x + y > − < A(x − y), x − y > +i < A(x + iy), x + iy > −i <A(x− iy), x− iy >],onde A e um operador linear e <,> produto interno), acondicao anterior e equivalente a
((πx0(δ)∗)lπx0(
n∑k=−n
fkδk)πx0(δ)
jξx0 , πx0(δ)jξx0) = 0, ∀j ∈ Z e − n ≤ l ≤ n.
66
Temos entao ((πx0(δ)∗)lπx0(
∑nk=−n fkδ
k)πx0(δ)jξx0 , πx0(δ)
jξx0) =
=n∑
k=−n
((πx0(δ)∗)lπx0(fkδ
k)πx0(δ)k+jξx0πx0(δ)
jξx0)
=n∑
k=−n
((πx0(δ)∗)l−k−j(πx0(δ)
∗)k+jπx0(fk)πx0((δ)∗)−k−j)ξx0 , πx0(δ)
jξx0)
=n∑
k=−n
((πx0(δ))k+j−l(πx0(δ))
−k−jπx0(fk)(πx0(δ)∗)−k−jξx0 , πx0(δ)
jξx0)
=n∑
k=−n
((πx0(δ))k+j−lπx0(fk σk+j)ξx0 , πx0(δ)
jξx0)
=n∑
k=−n
fk(σk+j(x0))(πx0(δ)
k+j−lξx0 , πx0(δ)jξx0).
Observemos que πx0(δ)jξx0 e uma famılia ortonormal, ja que, dados k, j ∈
Z,(πx0(δ)
kξx0 , πx0(δ)jξx0) = ((πx0(δ)
j)∗πx0(δ)kξx0 , ξx0).
Agora como πx0(δ) e unitario, se k = j, entao (πx0(δ)kξx0 , πx0(δ)
jξx0) =(ξx0 , ξx0) = 1. Se k 6= j, entao pela construcao da representacao de GNS, e aobservacao (3.15), temos que
((πx0(δ)j)∗πx0(δ)
kξx0 , ξx0) = (πx0(δ)j−kξx0 , ξx0) = ϕx0(δ
j−k) = 0
supondo que j > k. Assim,
n∑k=−n
fk(σk+j(x0))(πx0(δ)
k+j−lξx0 , πx0(δ)jξx0) = fl(σ
l+j(x0)).
Daı podemos concluir que os elementos∑n
k=−n fkδk estao no Ker(πx0) se,
e somente se fl(σk(x0)) = 0, para todo k ∈ Z e l ∈ Z com −n ≤ l ≤
n, ou equivalentemente se, e somente se fl\Orbσ(x0) = 0 para todo l ∈Z,−n ≤ l ≤ n. Mas, da densidade de Orbσ(x0) em Xπ e como fl ∈ C(X),temos que fl\Xπ = 0, para todo l ∈ Z,−n ≤ l ≤ n. Donde, o conjuntoKer(πx0) ∩
∑nk=−n fkδk/fk ∈ C(X), n ∈ Z e igual a
∑nk=−n fkδ
k/n ∈Z, fk ∈ C(X) e fk\Xπ = 0, assim, de (3.38) o conjunto
∑nk=−n fkδ
k/n ∈Z, fk ∈ C(X) e fk\Xπ = 0 e denso em Ker(πx0), e como ja havıamos visto,este conjunto e denso em Ker(π), temos entao que Ker(π) = Ker(πx0).Logo, sendo A(
∑) do tipo I, pelo teorema (1.74), a igualdade Ker(π) =
67
Ker(πx0) implica que π e πx0 sao unitariamente equivalentes. Portanto Ψ∞e sobrejetiva.
Das proposicoes 3.40 e 3.25 podemos concluir o seguinte resultado:
Proposicao 3.41. Se X e um espaco compacto metrizavel e a C∗-algebraA(
∑) e do tipo I, entao a funcao Ψ e sobrejetiva, ou em outras palavras, qual-
quer representacao irredutıvel e unitariamente equivalente a representacaoGNS da extensao do estado puro de evaluacao pontual.
3.2 Sistemas Dinamicos do tipo I.
Nesta secao apresentaremos o resultado principal deste trabalho, que con-siste em mostrar que X/Z e contavelmente separavel(capıtulo 2), onde (X, σ)e um sistema dinamico. Este resultado e de grande importancia pois, us-ando o teorema (2.9) de [Ef], podemos concluir que existe uma secao Borelmensuravel do sistema dinamico (X, σ). Para obter isto, vamos supor queC(σ) = Per(σ) e que X e um espaco topologico compacto metrizavel.
Observacao 3.42. (I) Dadas uma C∗-algebra A e uma representacao π de
A, se S ⊂ A entao π ∈ S se, e somente se π esta fracamente contido em S(ver [Dix](3.4.10)).
(II) Denotemos o grupo simetrico de 1, 2, ..., r por Sr, o sinal de umapermutacao σ por εσ, por r(n) o menor inteiro tal que
∑σ∈Sr
εσxσ(1)....xσ(r) = 0
quaisquer que sejam x1, ....., xr ∈ A.
Proposicao 3.43. Sejam A uma C∗-algebra, n um inteiro maior que zero,A≤n o conjunto dos π ∈ A tal que dim(Hπ) ≤ n. Entao A≤n e fechado em
A.
Demonstracao: Sejam t = r(n) e x1, ...., xt ∈ A. O elemento∑σ∈St
εσxσ(1),
...., xσ(t) pertence ao nucleo de todas as representacoes de A≤n, e portanto
pertence a In(onde In e a intersecao dos nucleos dos π ∈ A≤n). Seja π ∈ A
tal que Kerπ ⊃ In, isto e, π pertence ao fecho de A≤n. Temos entao que∑σ∈St
εσπ(xσ(1)), ...., π(xσ(t)) = π
(∑σ∈St
εσxσ(1), ..., xσ(t)
)= 0,
68
quaisquer que sejam x1, ....., xt ∈ A. Mas como π(A) e denso na topologiaforte em B(Hπ) (ver [Mur] (4.1.12)), temos que
∑σ∈St
εσuσ(1), ...., uσ(t) = 0
quaisquer que sejam u1, ....., ut ∈ B(H). Mas de 3.6.2 em [Dix], Hπ naocontem nenhum subespaco vetorial de dimensao > n, entao dimHπ ≤ n,assim π ∈ A≤n, portanto da definicao (3.34) e a observacao (3.42) A≤n e
fechado em A.
A seguir apresentaremos um lema que sera util na demonstracao do nossoteorema principal. A demonstracao do lema depende do seguinte resultadoque pode ser encontrado em [AT].
Proposicao 3.44. Seja π = π × u uma representacao irredutıvel de A(∑
),suponhamos que Xπ e infinito e (Xπ, σπ) e topologicamente livre, isto e,Aper(σπ) e denso em Xπ. Se existe um ponto isolado no espaco Xπ, e pe a projecao associada a funcao caracterıstica desse ponto, entao para todoa ∈ A(
∑) temos que pap = λp, para algum numero complexo λ.
Lema 3.45. Sejam π = π× u uma representacao irredutıvel de A(∑
) sobreum espaco de Hilbert H e x ∈ Xπ um ponto em Xπ tal que Orbσ(x) = Xπ. Sex /∈ C(σ)\Per(σ), entao π(A(
∑)) contem K(H), onde K(H) e o conjunto
dos operadores compactos, isto e, A(∑
) e do tipo I.
Demonstracao: Suponhamos que x ∈ C(σ)c ∪ Per(σ). Se x ∈ Per(σ)temos que Orbσ(x) e finita. Assim, por hipotese, Xπ e finito. Logo, do lema(3.29), π e uma representacao de dimensao finita, donde B(H) = K(H), econsequentemente, π(A(
∑)) ∩ C(H) 6= ∅. Mas como π e irredutıvel, segue
da proposicao (1.75) que K(H) ⊂ π(A(∑
)). Suponhamos agora que x ∈(C(σ))c. Afirmamos que existe uma funcao contınua em Xπ a qual e zeroem Xπ\Orbσ(x). Com efeito, seja (yn)n∈N uma sequencia em Xπ\Orbσ(x)convergindo para y. Se y ∈ Orbσ(x), entao existe n0 ∈ Z tal que y =σn0(x). Como Orbσ(x) = Xπ, para cada yn, existe uma sequencia de pontos(σn(x)j)j∈N tal que σn(x)j → yn. Mas como yn → y, existiria uma sequenciade pontos em Orbσ(x) convergindo para y = σn0(x), donde, por definicao, xseria um ponto recorrente, contradizendo assim a hipotese. Daı, o conjuntoXπ\Orbσ(x) e fechado. Logo, pelo lema de Urysohn, existe uma funcaocontınua em f ∈ Xπ a qual e zero em Xπ\Orbσ(x) e nao e identicamentenula. Por outro lado, suponhamos que exista δ > 0 e uma sequencia (nj)j∈Nde Z tais que |f(σni(x))| > δ para cada ni. Como Xπ e compacto, podemosassumir que (σni(x)) converge a um ponto y, o que por hipotese nao estaem Orbσ(x). Daı, y ∈ Xπ\Orbσ(x), donde f(σni(x)) converge para zero,contradizendo |f(σni
(x))| > δ, concluindo que f(σn(x)) converge a zero. Daı,
69
existe δ > 0 tal que o conjunto y ∈ Xπ; |f(y)| ≥ δ ∩ Orbσ(x) e fechado,nao vazio e finito. Mas notemos que ele tambem e aberto em Orbσ(x), dondeOrbσ(x) tem um ponto isolado. Seja x0 este ponto, afirmamos que ele eisolado em Xπ. De fato, como x0 e um ponto isolado de Orbσ(x), existeentao uma vizinhanca V0 de x0 em Orbσ(x) tal que V0 ∩ Orbσ(x) = x0,mas por definicao de topologia induzida, existe um aberto V em Xπ tal queV ∩ Orbσ(x) = V0. Logo, se x0 nao for um ponto isolado de Xπ, para todavizinhanca V de x0, V ∩ Xπ possui infinitos pontos de Xπ. Em particular,V0 ∩ Xπ tem infinitos pontos de Xπ, mas como Xπ e de Hausdorff e V0 eaberto, dado y ∈ V0, existe uma vizinhanca Vy tal que Vy ⊂ V0 e X0 /∈Vy. Da densidade de Orbσ(x) em Xπ existe um elemento diferente de x0
em Vy que esta em Orbσ(x), mas isto contradiz o fato que x0 e um pontoisolado de Orbσ(x). Logo x0 e um ponto isolado em Xπ. Por outro lado,se consideramos a funcao caracterıstica, χ0, deste ponto isolado, temos queχ0 ∈ C(Xπ). Como por (1.44) C(Xπ) e ∗-isomorfo a π(C(X)), existe umafuncao f0 ∈ C(X) tal que podemos identificar π(f0) com χ0. Logo, π(f0) = pe uma projecao em π(A(
∑)). Portanto de (3.44), existe λ ∈ C tal que, dado
a ∈ π(A(∑
)) pap = λp. Vamos mostrar que p tem posto um. De fato,suponhamos que o posto de p e maior que 1. Nesse caso, podemos escolhervetores ortogonais unitarios x e y na imagem de p tais que, pela propriedadep2 = p, vale que p(x) = x e p(y) = y e
< ax, y > = < pap(x), y >=< λp(x), y >=< λp(x), y >
= < λx, y >= 0.
Daı, π(A(∑
))x e um subespaco fechado proprio invariante de H, pois y /∈π(A(
∑))x. Isto e uma contradicao, pois π e irredutıvel. Logo, p tem posto
um, donde, p e um operador compacto que esta em π(A(∑
)). Assim, K(H)∩π(A(
∑)) 6= ∅. Por (1.75) concluımos que K(H) ⊂ π(A(
∑)) e portanto,
A(∑
) e de tipo I.
Teorema 3.46. Seja X um espaco topologico compacto de Hausdorff sat-isfazendo ao segundo axioma de enumerabilidade, ou um espaco localmentecompacto de Hausdorff cuja compactificacao de Alexandroff uni-pontual sat-isfaz ao segundo axioma de enumerabilidade, e seja σ : X → X um homeo-morfismo de X e consideremos o sistema dinamico
∑= (X, σ). Se C(σ) =
Per(σ), entao X/Z e contavelmente separavel.
Antes de demonstrar o resultado acima notemos o seguinte:
Observacao 3.47. E suficiente provar o teorema acima quando X e espacotopologico compacto de Hausdorff satisfazendo ao segundo axioma de enumer-abilidade. Na verdade, se X e um espaco de Hausdorff localmente compacto,
70
cuja compactificacao de Alexandroff uni-pontual X = X ∪ ω satisfaz aosegundo axioma de enumerabilidade, e σ e um homeomorfismo de X, entaoa extensao σ de σ em X que deixa o ponto ω fixo e um homeomorfismode X, pois como a topologia de X esta dada pelos subconjuntos abertos de Xe os conjuntos da forma A ∪ ω onde X − A e compacto, e como σ e umhomeomorfismo podemos ver que σ e um homeomorfismo. Por outro lado,tambem podemos notar que Per(σ) = Per(σ) ∪ ω e C(σ) = C(σ) ∪ ω.
Demonstracao do teorema 3.46:Pela observacao feita anteriormente podemos supor que X e um espaco
topologico de Hausdorff compacto satisfazendo ao segundo axioma de enu-merabilidade, donde X e metrizavel. Assim se C(σ) = Per(σ) o lema (3.45)implica que A(
∑) e uma C∗-algebra de tipo I. Pelas proposicoes (3.36) e
(3.40), quando A(∑
) e uma C∗-algebra de tipo I, a funcao
Ψ∞ : Aper(σ)/Z → A(∑
)∞
e um homeomorfismo. Tambem podemos ver que, se A e de tipo I, entao peloteorema 1.55, todas representacoes irredutıveis de A com o mesmo nucleo saounitariamente equivalentes. Logo 3.29 implica que A e um espaco T0, isto e,para qualquer par de pontos distintos em A existe um conjunto aberto em Acontendo apenas um destes pontos. Assim A(
∑) e um espaco T0, daı como
A(∑
)∞ e um subespaco de A(∑
), entao ele tambem e T0, donde segueque Aper(σ)/Z e um espaco T0, pois Ψ∞ e um homeomorfismo. Notemostambem que Aper(σ) e um conjunto Gδ, isto e, e uma intersecao enumeravelde abertos em X, pois
Aper(σ) =⋂n>0
(X\Pern(σ))
e os conjuntos Pern(σ) sao subconjuntos fechados de X para todo inteiropositivo n, ja que ele e a uniao finita de subconjuntos fechados Perk(σ) para1 ≤ k ≤ n. Assim, Aper(σ) e um conjunto Gδ . Segue entao do teorema deAlexandroff que um conjunto Gδ de um espaco polones tambem e um espacopolones. Daı, como X e um espaco compacto de Hausdorff que satisfaz ao se-gundo axioma de enumerabilidade, pelo teorema de metrizacao de Urysohn,X e um espaco metrico compacto. Assim, ele e completo e separavel, e por-tanto e um espaco polones, donde, Aper(σ) e um espaco polones, e comoAper(σ)/Z e T0, da proposicao 2.25, Aper(σ)/Z e contavelmente separavel.Consideremos agora Per(σ)/Z. Ja vimos que se uma C∗-algebra A e detipo I entao A e T0, logo, junto com o lema 3.32 podemos concluir que,se A e separavel entao A e contavelmente separavel. Em particular, como
71
A(∑
) e de tipo I e separavel, entao A(∑
)<∞ e contavelmente separavel, daı
A(∑
)n e contavelmente separavel para todo inteiro positivo n. Pelo teorema
(3.36), A(∑
)n e homeomorfo a (Pern(σ)/Z) × T. logo (Pern(σ)/Z) × Te contavelmente separavel para qualquer inteiro positivo n. Daı, usando aprojecao, podemos concluir que Pern(σ)/Z e contavelmente separavel paraqualquer inteiro positivo n. Como Per(σ)/Z =
⋃n>0
(Pern(σ)/Z) com a uniao
sendo disjunta, temos que Per(σ)/Z e contavelmente separavel. Agora,como Aper(σ)/Z e Per(σ)/Z sao contavelmente separaveis, a uniao dis-junta X/Z = (Aper(σ)/Z) ∪ (Per(σ)/Z) e contavelmente separavel, comoquerıamos mostrar.
Observacao 3.48. A importancia do resultado acima e que de 2.9 em [Ef]podemos concluir que existe uma secao Borel mensuravel do sistema dinamico∑
, assim como tambem e possıvel mostrar que se existe uma secao Borelmensuravel do sistema
∑entao os pontos periodicos e recorrentes coincidem.
Esses resultados nao serao tratados neste trabalho.
Definicao 3.49. Seja∑
= (X, σ) um sistema dinamico topologicoconsistindo de um espaco topologico X e um homeomorfismo σ de X. Entao∑
e dito de tipo I se C(σ) = Per(σ); se existe uma secao Borel mensuravelpara (X, σ), entao
∑e dito sistema dinamico Borel de tipo I. Notemos
que quando o espaco topologico e compacto e metrizavel, isto e, um espacocompacto de Hausdorff satisfazendo ao segundo axioma de enumerabilidade,entao, para o sistema dinamico
∑= (X, σ) gerado pelo homeomorfismo σ
as definicoes acima sao equivalentes.
O cırculo complexo e um espaco metrico compacto com respeito a com-primento de arco, entao para um homeomorfismo do cırculo temos o seguinteresultado:
Proposicao 3.50. Seja σ um homeomorfismo do cırculo (C).
(1) Se σ preserva orientacao, entao o sistema dinamico (C, σ) e Borel detipo I, se e somente se admite pontos periodicos.
(2) Um homeomorfismo revertendo orientacao tambem e do tipo I.
Demonstracao: (1) Se (C, σ) e um sistema dinamico Borel de tipo I,temos da observacao (3.43) que o conjunto dos pontos recorrentes coincidecom o conjunto dos pontos periodicos, mas como C e compacto, C(σ) 6= ∅.Logo, σ admite pontos periodicos como querıamos. Por outro lado, supon-hamos que σ admite pontos periodicos, entao, de (2.9) todo ponto periodico
72
tem o mesmo perıodo, digamos n. Logo podemos considerar a aplicacaoσn : C → C, onde todo ponto periodico de σ e um ponto fixo da aplicacaoσn. Tomemos agora um ponto x0 ∈ C(σ) − Per(σ) e x1 e x2 dois pontosfixos de σ seguidos um do outro, tais que x0 esta entre os dois, e considere-mos a orientacao dada pelos tres pontos x1, x0, x2. Como estamos supondoque σ preserva orientacao, σn tambem preserva orientacao. Logo σn(x0) ficaentre x1 e x2, suponhamos sem perda de generalidade que ele fica entre x0
e x2. Considerando agora os pontos x0, σn(x0), x2, e aplicando σn, pela
preservacao da orientacao, σ2n(x0) esta entre σn(x0) e x2. Assim, contin-uando indutivamente podemos observar que a orbita de x0 converge para x2,mas como x0 e um ponto recorrente, existe uma sequencia de pontos na orbitade x0 convergindo para x0, uma contradicao. Portanto, C(σ) = Per(σ),donde pelo teorema (3.43) (C, σ) e um sistema dinamico Borel do tipo I.
(2) Suponhamos que σ inverte orientacao, donde podemos observar queσ tem um ponto fixo. Mas este ponto fixo e tambem um ponto fixo para σ2.Por outro lado, como σ2 preserva orientacao, pois σ reverte orientacao, daprimeira afirmacao, (C, σ2) e um sistema dinamico de Borel tipo I. Mas comoσ e σ2 tem os mesmos conjuntos de pontos periodicos e o mesmo conjuntode pontos recorrentes, (C, σ) e um sistema dinamico Borel de tipo I.
Exemplo 3.51. Consideremos o cırculo complexo T e o homeomorfismoσ : T → T dado por σ(z) = e2πiθz que e a rotacao de T por um angulo 2πθ.Se θ = k/n, onde k, n sao inteiros coprimos e n > 0, podemos ver que todoponto de T e um ponto periodico com perıodo n, e assim recorrentes. Quandoθ e irracional σ nao tem pontos periodicos, mas como T e compacto o con-junto de pontos recorrentes e nao vazio. Logo, C(σ) 6= Per(X). Observemosque para θ = k/n, com n > 0, cada orbita consiste de n pontos, onde osvizinhos um de outro esta a uma distancia igual a dos vizinhos da raızes daunidade. Portanto se consideramos a secao como o segmento de arco entredois vizinhos estando um deles no segmento, e como σ preserva orientacao,este segmento e uma secao Borel mensuravel. Por outro lado, se θ e irra-cional, admitindo a existencia de uma secao E para (T, σ) obterıamos que Ee um conjunto nao mensuravel
Observacao 3.52. Se σ e um homeomorfismo de um espaco de Hausdorffcompacto, entao para qualquer inteiro positivo m os homeomorfismos σ eσm tem os mesmos conjuntos de pontos periodicos e de pontos recorrentes .A igualdade Per(σ) = Per(σn) e a inclusao C(σm) ⊂ C(σ), segue direta-mente da definicoes 2.2 e 2.7. A inclusao oposta C(σ) ⊂ C(σm) foi provadapor W.H Gottschalk em [Got] e em forma mais geral por P. Erdos e A.H.Stone em [Est]. Consequentemente, se σ e um homeomorfismo num espaco
73
de Hausdorff compacto, entao o sistema dinamico (X, σ) e de tipo I se, esomente se o sistema dinamico (X, σm) e de tipo I para qualquer inteiro pos-itivo m. Alem disso, se X satisfaz a segunda propriedade de enumerabilidade,o sistema dinamico de tipo I pode ser substituıdo por sistema dinamico Borelde tipo I.
74
Apendice
A.1 Construcao de GNS (Gelfand, Naimark
and Segal)
Um resultado importante na teoria das C∗-algebras e a construcao de umaC∗-algebra a partir de um estado. Esse processo chama-se de construcaode GNS o qual foi utilizada no capıtulo 1, e que descreveremos a seguir.
Demonstracao do teorema 1.29 Consideremos o conjuntoNτ = a ∈A : τ(a∗a) = 0. Pelo lema 1.28(ii), temos que Nτ e um ideal a esquerdafechado de A, notemos que Nτ = a ∈ A; τ(b∗a) = 0 ∀b ∈ A, pois decorredo lema 1.28(i)
|τ(b∗a)|2 ≤ τ(b∗b)τ(a∗a) = 0 para todo a ∈ Nτ , b ∈ A.
Podemos entao definir um produto interno φ no espaco quociente A/Nτ dadopor φ([a], [b]) = τ(b∗a), para todo a, b ∈ A , o qual esta bem definido, pois sen1, n2 estao em Nτ , entao
τ((y + n2)∗(x+ n1)) = τ(y∗x) + τ(y + n2)
∗n1 + τ(x∗n2)
= τ(y∗x).
Temos assim que A/Nτ e um espaco pre-hilbertiano. Vamos definir, para cadaa ∈ A, um operador ϕ(a) tomando, para todo [b] ∈ a/Nτ , ϕ(a)([b]) = [ab].
75
E facil ver que ϕ(a) e uma aplicacao linear. Observemos ainda que
‖(ϕ(a))([b])‖2 = ‖[ab]‖2 = φ([ab], [ab])
= τ((ab)∗(ab)) = τ(b∗a∗ab)(1.28)(ii)
≤ ‖a∗a‖τ(b∗b) = ‖a‖2τ(b∗b)
= ‖a‖2‖[b]‖2.
Entao, ‖(ϕ(a))([b])‖ ≤ ‖a‖‖[b]‖, isto e,‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖ e ϕ(a) e um operadorlimitado de A/Nτ . SejaHτ o espaco de Hilbert obtido pelo completamento deA/Nτ . Da continuidade de ϕ(a), este operador pode ser estendido de maneiraunica a um operador limitado ϕτ (a) em Hτ . No caso unital, seja ξτ = [I],entao
< ϕτ (a)ξτ , ξτ >= τ(I∗a) = τ(a).
O vetor ξτ e cıclico, pois ϕτ (A)ξτ = A/Nτ o qual e denso em H, e
‖τ‖ = τ(I) = ‖ξτ‖2.
No caso nao-unital, seja Eλ uma aproximacao da unidade. A rede [Eλ] eCauchy, pois como limλτ(Eλ) = ‖τ‖, existem ındices α ≤ β tais que
τ(Eλ) > ‖τ‖ − ε e ‖EλEα − Eα‖ para todo λ ≥ β.
Dai se λ ≤ β,
Re τ(EλEα) = τ(Eα) +Re τ(EλEα − Eα) ≥ ‖τ‖ − 2ε.
Portanto
‖[Eλ]− [Eα]‖2 = < [Eλ]− [Eα], [Eλ]− [Eα] >
= τ((Eλ − Eα)2) = τ(E2
λ) + τ(E2α)− 2Reτ(EλEα)
≤ τ(I) + τ(I)− 2(‖τ‖ − 2ε) = 2‖τ‖ − 2‖τ‖ ≤ 4ε.
Assim, para λ, µ ≥ β,
‖[Eλ]− [Eµ]‖ ≤ ‖[Eλ]− [Eα]‖+ ‖Eα − Eµ‖ ≤ 4ε1/2.
Seja ξτ = limλ[Eλ]. Entao,
< ϕτ (a)ξτ , ξτ >= limλ
< ϕτ (a)[Eλ], [Eλ] >= limλ
τ(EλaEλ) = τ(a).
Este vetor e cıclico, pois os vetores ϕτ (a)ξτ = [a] formam um subconjuntodenso em H. Por outro lado, como
limλ
ϕτ (Eλ)[a] = limλ
ϕτ (Eλ)ϕτ (a)ξτ = ϕτ (a)ξτ = [a],
76
obtemos da densidade dos [a] que limλϕτ (Eλ) = I na topologia forte deoperadores. Daı
‖τ‖ = limλ|τ(Eλ)| = lim
λ< ϕτ (Eλ)ξτ , ξτ >= ‖ξτ‖2.
Entao, para mostrar que (Hτ , ϕτ , ξtau) e uma representacao de A, resta provarque a aplicacao ϕτ de A em B(H) dada por a → ϕ(a) e ∗-homomorfismo.Devemos ressaltar que basta fazer isso para elementos de A/Nτ , ja que esseconjunto e denso em Hτ . Sejam a, b ∈ A, [c], [d] ∈ A/Nτ e α ∈ C. Temos que
ϕτ (αa+ b)([c]) = [(αa+ b)(c)] = α[ac] + [bc]
= αϕτ (a)([c]) + ϕτ (b)([c]),
ou seja, ϕ e uma aplicacao linear. Alem disso, ϕτ (ab)([c]) = [abc] e (ϕ(a) ϕτ (b))([c]) = ϕτ (a)(ϕτ (b)([c])) = ϕτ (a)([bc]) = [abc]. Entao, ϕτ (ab) = ϕτ (a)ϕτ (b). Temos tambem que
φ([c], ϕ∗τ (a)([d]))([d]) = φ(ϕτ (a)([c]), [d]) = φ([ac], [d])
= τ(d∗ac) = τ((a∗d)∗c)
= φ([c], [a∗d]) = φ([c], ϕτ (a∗)([d])).
Portanto, ϕτ (a∗) = ϕ∗τ (a) e (Hτ , ϕτ ) e representacao de A. Resta provar a
unicidade. Se (H1, π1, ξ1) e (H2, π2, ξ2) sao representacoes cıclicas com
ϕ(a) =< π1(a)ξ1, ξ1 >=< π2ξ2, ξ2 >,
definimos entaoU(π1(a)ξ1, ξ1) = π1(a)ξ2 ∀a ∈ A,
‖π1(a)ξ1‖2 = < π1(a)ξ1, π1(a)ξ1 >=< π1(a∗a)ξ1, ξ1 >
= < π2(a∗a)ξ2, ξ2 >= ‖π2(a)ξ2‖2
= ‖U(π1(a)ξ1)‖2.
Portanto, U pode ser estendida para H1 e e isometria. E U e bijecao, ja queH2 e o fecho de π2(a)ξ2; a ∈ A e
(π2(a)U)π2(a)ξ1 = π2(a)π2(b)ξ2 = π2(ab)ξ2
= U(π2(ab)ξ2) = Uπ1(a)(π1(b)ξ1), ∀a ∈ A.
Logo, π2(a)U = Uπ1(a).
77
A.2 Limites indutivos de C∗-algebras
Dados uma famılia de C∗-algebras e um conjunto de ∗-homomorfismos en-tre essas algebras, podemos obter, sob certas condicoes, uma nova C∗-algebra,denominada limite indutivo ou limite direto da familia dada. Nesta secao,vamos considerar que I e um conjunto munido de uma pre-ordem ≤ quepossui a seguinte propriedade: para todo par i1, i2 ∈ I, existe i ∈ I tal quei1 ≤ i e i2 ≤ i. Dizemos entao que I e um conjunto dirigido.
Definicao A.53. Um sistema indutivo em uma categoria C e uma famıliaAii∈I de objetos e uma famılia de morfismos ϕij : Ai → Aj definidos para
todo par (i, j) ∈ I × I, com i ≤ j, tais que, se i ≤ j ≤ k, entao ϕik = ϕjk ϕij.Convencionando ainda que ϕii = IdAi
. Denotaremos o sistema indutivo porAi, (ϕij)i ≤ ji,j∈I ou simplesmente (Ai, ϕ
ij). Se I = N, o sistema indutivo
e chamado sequencia indutiva.
Definicao A.54. Um limite indutivo ou limite direto de um sistema indu-tivo (Ai, ϕ
ij) em uma categoria C e um par (A, ϕii∈I), onde A e um objeto
em C e ϕi : Ai → A e um morfismo, para cada i ∈ I, satisfazendo as seguintescondicoes:(i) Para todo i ≤ j o diagrama abaixo comuta.
Aiϕi
j //
ϕi A
AAAA
AAA
Aj
ϕj
A
(ii) Se (B, λii∈I) e um par, onde B e um objeto em C e λi : Ai → B e ummorfismo para cada i ∈ I, tal que λi = λj ϕij para cada j ≥ i, entao existeum unico morfismo λ : A→ B que faz o diagrama abaixo comutar para todoi ∈ I.
Aiϕi//
λi @
@@@@
@@A
λB
O objeto A definido acima e denotado lim→
(Ai, ϕij) ou simplesmente lim
→Ai.
Exemplo A.55. Sejam D uma C∗-algebra e Ann∈N uma sequencia cres-cente de sub-C∗-algebras de D, isto e, An ⊂ An+1, para todo n ∈ N. SejaA =
⋃∞n=1An e, para cada n ∈ N, seja in : An → A a inclusao. Sendo in a
inclusao de An em An+1 temos que o limite indutivo da sequencia (An, in) eo par A, In.
78
O limite indutivo nem sempre existe, o que depende da categoria com aqual se esta trabalhando. Porem quando ele existe, ele e unico, no seguintesentido:
Proposicao A.56. Se os pares (A, ϕii∈I) e (B, λii∈I) sao limites indu-tivos do sistema (Ai, ϕ
ij), entao A e B sao isomorfos.
Demonstracao: Pela condicao (ii) da definicao A.54, existem morfismosλ : A→ B e ϕ : B → A que tornam os diagramas abaixo comutativos.
Aiϕi
~~~~~~
~~~
λi
ϕi
@@@
@@@@
Aλ// B ϕ
// A
Aplicando a unicidade da definicao A.54 aos dois diagramas acima, temosque ϕ λ = IdA e λ ϕ = IdB, o que mostra que ϕ e λ sao isomorfismos.
As definicoes A.54 e A.54 foram dadas de uma maneira geral, podendo acategoria C ser de semi-grupos, grupos, algebras, ∗-algebras, etc. A partir deagora vamos nos concentrar no caso em que C e a categoria das C∗-algebras.
Definicao A.57. Seja (Ai)i∈I uma famılia de C∗-algebras. O conjunto detodas as aplicacoes a : I →
⋃i∈I Ai tais que a(i) ∈ Ai para todo i ∈ I
e sup‖a(i)‖Ai: i ∈ I < ∞, onde ‖ · ‖Ai
e norma da C∗-algebra Ai, echamado produto das C∗-algebras (Ai)i∈I e e denotado
∏Ai. Daqui para
frente, iremos denotar a(i) por ai e ‖a(i)‖Aisimplesmente por ‖ai‖.
Seja a ∈∏Ai. Podemos denota-lo por (ai)i∈I ou simplesmente por (ai).
Vamos definir em∏Ai as operacoes de adicao, multiplicacao, multiplicacao
por escalar e involucao aplicando as respectivas operacoes das C∗-algebrasAi coordenada a coordenada.
Observacao A.58. Pode-se provar que o conjunto∏Ai munido das operacoes
acima e da norma ‖a‖ = sup‖a(i)‖Ai: i ∈ I para todo a ∈
∏Ai, e uma
C∗-algebra, o que pode ser visto em 6.11 de [Rod and Lar]. Esta norma,porem, nao sera utilizada na obtencao do limite indutivo.
Vamos tomar agora o subconjunto de∏Ai dado por
A′ = (ai) ∈∏
Ai/∃k0 ∈ I : ∀i ∈ I, i ≥ k0 ⇒ ai = ϕk0i (ak0).
O conjunto A′ e uma sub-∗-algebra de∏Ai. Se a = (ai), b = (bi) ∈ A′, entao
existem ka, kb ∈ I tais que, para todo i ≥ ka e j ≥ kb temos que ai = ϕkai (aka)
79
e bj = ϕkbj (bk0). Seja k0 ∈ I tal que k0 ≥ ka e k0 ≥ kb. Entao, para todo
i ≥ k0, temos
aibi = ϕkai (aka)ϕ
kbi (bkb
) = ϕk0i (ϕkak0
(aka))ϕk0i (ϕkb
k0(bkb
))
= ϕk0i (ak0)ϕk0i (bk0) = ϕk0i (ak0bk0).
Portanto, ((ab)i) ∈ A′. Alem disso, se ai = ϕkai (aka), entao a∗i = ϕka
i (a∗ka), ou
seja, (a∗i ) ∈ A′.
Proposicao A.59. A ∗-algebra A′ admite uma C∗-semi-norma p dada por
p((ai)) = limsup ‖ϕk0i (ak0)‖; i ∈ I, i ≥ k0,
onde k0 e tal que para todo i ∈ I, i ≥ k0 temos ai = ϕk0i (ak0).
Demonstracao: Vamos mostrar inicialmente que p((ai)) ∈ R+ para todo(ai) ∈ A′. Temos que
p((ai)) = limsup ‖ϕk0i (ak0); i ∈ I, i ≥ k0‖= infi≥k0supj≥i‖ϕk0j (ak0)‖.
Mas 0 ≤ supj≥i‖ϕk0j (ak0)‖ < ∞, pois ‖ϕk0j ‖ ≤ ‖ak0‖, ja que ϕk0j e
homomorfismo entre C∗-algebras e ‖ϕk0j (ak0)‖ ≥ 0, para todo j. Portanto, o
conjunto supj≥iϕk0j (ak0); i ≥ k0 possui ınfimo, que pertence a R+. Alemdisso, p esta bem definida. De fato, se k1, k2 ∈ I sao tais que para todosi ≥ k1 e j ≥ k2 temos ai = ϕk1i (ak1) e aj = ϕk2j (ak2), basta tomarmosk0 ∈ I, k0 ≥ k1, k0 ≥ k2 e teremos
limsupi≥k1 ‖ϕk1i (ak1)‖ = limsupi≥k0 ‖ϕk0i (ak0)‖ = limsupi≥k2 ‖ϕk2i (ak2)‖.
Temos ainda que p e C∗-semi-norma. Ja vimos que p((ai)) ∈ R+, para todo(ai) ∈ A′. Sejam (ai), (bi) ∈ A′ e λ ∈ C. Entao,
p(λ(ai)) = limsupi≥k0 ‖ϕk0i (λak0)‖ = limsupi≥k0 ‖λϕk0i (ak0)‖= limsupi≥k0 |λ|‖ϕk0i (ak0)‖ = |λ|limsupi≥k0 ‖ϕk0i (ak0)‖= |λ|p((ai)),
p((ai) + (bi)) = limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0 + bk0)‖= limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0) + ϕk0i (bk0)‖≤ limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖+ ‖ϕk0i (bk0)‖= limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖+ limsupi≥k0‖ϕk0i (bk0)‖= p((ai)) + p((bi)),
80
p((ai)(bi)) = limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0bk0)‖= limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)ϕ
k0i (bk0)‖
≤ limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖‖ϕk0i (bk0)‖= limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖limsupi≥k0‖ϕk0i (bk0)‖= p((ai))p((bi))
p((ai)∗) = limsupi≥k0‖ϕk0i (a∗k0)‖ = limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖
= limsupi≥k0‖ϕk0i (ak0)‖ = p((ai))
p((ai)∗(ai)) = limsupi≥k0‖ϕk0i (a∗k0ak0)‖
= limsupi≥k0‖ϕk0i (aK0)∗ϕk0i (ak0)‖
= limsupi≥k0‖ϕk0i (aK0)‖2 = (limsupi≥k0‖ϕk0i (aK0)‖)2
= p((ai))2.
Teorema A.60. Seja A a C∗-algebra obtida a partir do par (A′, p), conformea construcao descrita nas proposicoes 1.42 e 1.43. Entao, A = lim
→Ai. Alem
disso, o conjunto⋃i∈I ϕ
i(Ai) e denso em A, onde ϕi sao os homomorfismosnaturais da definicao A.54
Demonstracao: Devemos construir ∗-homomorfismos ϕi : Ai → A, paracada i ∈ I, que satisfacam as condicoes (i) e (ii) da definicao A.54. Vamosdefinir, para todo i ∈ I a aplicacao
ϕ : Ai → A′x 7→ (ak)k∈I , onde
ak =
ϕik(x), se k ≥ i
0, caso contrario
A aplicacao nula entre duas C∗-algebras e ∗-homomorfismo, assim comoas aplicacoes ϕji , para todo j ≥ i. Como as operacoes em A′ sao definidascoordenada a coordenada, segue que ϕi e ∗-homomorfismo. Sendo π : A′ →A a projecao canonica, consideremos ainda, para todo i ∈ I, a aplicacaoϕi = π ϕi. Como ϕi e um homomorfismo, segue que ϕi tambem o e. Vamosmostrar que ϕi satisfaz a condicao (i) da definicao A.54, ou seja, se i ≤ j, odiagrama abaixo e comutativo.
81
Aiϕi
j //
ϕi A
AAAA
AAA
Aj
ϕj
A
Sendo x ∈ Ai, facamos (ϕj ϕij)(x) = (ak)k∈I e ϕi(x) = (bk)k∈I . Seja
k ≥ j ≥ i. Entao, ak = ϕjk(ϕij(x)) = ϕik(x) e bk = ϕik(x). Como ak = bk para
todo k ≥ j, temos limsupk≥j‖ak‖ = limsupk≥j‖bk‖ e, portanto, π((ak)k∈I).Em outras palavras, (π (ϕj ϕij))(x) = (π ϕi)(x) para todo x ∈ Ai, isto e,ϕj ϕij = ϕi.
Vamos mostrar a segunda afirmacao deste teorema antes de provar que Asatisfaz a condicao (ii) da definicao A.54. Sejam (ai)i∈I ∈ A′ e π((ai)i∈I) ∈A′/N ⊂ A. Entao, existe k0 ∈ I tal que, para todo j ≥ k0, temos aj =ϕk0j (ak0), sendo ak0 . Observando que (ϕk0(ak0))j = aj para todo j ≥ k0,
temos aj = ϕk0j (ak0), sendo ak0 ∈ Ak0 . Observando que (ϕk0(ak0))j = aj,
para todo j ≥ k0, podemos concluir que ϕk0(ak0) = π(ϕk0(ak0)) = π((ai)i∈I).Portanto, A′/N ⊂
⋃i∈I ϕ
i(Ai). Como A′/N e denso em A, concluımos queo conjunto
⋃i∈I ϕ
i(Ai) e denso em A. Voltando a condicao (ii) da definicaoA.2, sejam B uma C∗-algebra e λi : Ai → B ∗-homomorfismo para cadai ∈ I, tais que λi = λj ϕij, para todo j ≥ i. Queremos mostrar que existeum unico ∗-homomorfismo λ : A → B tal que λi = λ ϕi, para todo i ∈ I.Vamos definir inicialmente λ :
⋃i∈I ϕ
i(Ai) → B da seguinte forma
λ(ϕi(a)) = λi(a),
onde a ∈ Ai. Posteriormente, estenderemos λ a todo A. A aplicacao λesta bem definida. De fato, suponhamos que a ∈ Ai, b ∈ Aj e ϕi(a) =ϕj(b). Sendo k0 ∈ I, k0 ≥ i, k0 ≥ j, temos que, se ϕi(a) = ϕj(b), entaoϕk0(ϕik0(a)− ϕjk0(b)) = 0. Daı,
0 = ‖ϕk0(ϕik0(a)− ϕjk0(b))‖ = limsupk≥k0‖ϕk0k (ϕik0(a)− ϕjk0(b))‖= limsupk≥k0‖ϕik(a)− ϕjk(b)‖.
Logo, existe k1 ∈ I tal que ‖ϕik(a)−ϕjk(b)‖ < ε, para todo k ≥ k1. Entao,
se k ≥ k1,
‖λi(a)− λj(b)‖ = ‖λk(ϕik(a))− λk(ϕjk(b))‖ = ‖λk(ϕik(a)− ϕjk(b))‖≤ ‖λk‖︸︷︷︸ ‖ϕik(a)− ϕjk(b)‖ < ε.
Portanto, se ϕi = ϕj, entao λi = λj(b) esta bem definida.
82
Alem disso, λ e ∗-homomorfismo. De fato, sejam a ∈ Ai e b ∈ Aj. Vamostomar k ∈ I, k ≥ i, k ≥ j. Entao,
λ(ϕi(a)∗) = λ(ϕi(a∗)) = λi(a∗) = λi(a)∗ = λ(ϕi(a))∗ e
λ(ϕi(a)ϕj(b)) = λ(ϕk(ϕik(a)ϕjk(b))) = λk(ϕik(a)ϕ
jk(b))
= λk(ϕik(a))λk(ϕjk(b)) = λi(ϕi(a))λj(b)
= λ(ϕi(a))λ(ϕj(b)).
De maneira analoga, mostramos que λ satisfaz a condicao λi = λ ϕi,para todo i ∈ I. Assim, resta mostrar que λ pode ser estendida de formaunica para todo A. Como
⋃i∈I ϕ
i(Ai) e denso em A, basta mostrarmos queλ e contınua para estende-la a A. Provaremos que ‖λ‖ ≤ 1. Sendo k ≥ i,temos
‖λi(a)‖ = ‖λi(a)‖ ≤ ‖ϕik(a)‖ ≤ limsupk≥i ‖ϕik(a)‖ = ‖ϕi(a)‖A.
Mas ‖λ(ϕi(a))‖ = ‖λi(a)‖ ≤ ‖ϕi(a)‖. Logo, ‖λ‖ ≤ 1. Finalmente, dadensidade de
⋃i∈I ϕ
i(Ai) em A, concluımos que λ pode ser estendido demaneira unica a um ∗-homomorfismo de A em B.
Proposicao A.61. Seja (A, ϕii∈I) o limite indutivo do sistema (Ai, ϕij)
de C∗-algebras. Se ϕij e injetivo para todo i, j ∈ I, j ≥ i, entao ϕi e ∗-homomorfismo injetivo, para todo i ∈ I.
Demonstracao: Vamos trabalhar, para todo i ∈ I, com os ∗-homomorfismosϕi e ϕi definidos no teorema A.60. Sendo π : A′ → A a projecao canonica,temos que ϕi = π ϕi. Seja x ∈ Ai e suponhamos que ϕi(x) = 0. Entao,(π ϕi)(x) = [ϕi(x)] = 0, isto e, ‖[ϕi(x)]‖ = p(ϕi(x)) = 0, pois
p(ϕi(x)) = limsup ‖ϕik((ϕi(x))i)‖; k ∈ I, k ≥ i= limsup ‖ϕik(x)‖; k ∈ I, k ≥ i = 0.
Agora, sabemos que todo ∗-homomorfismo injetivo entre C∗-algebras e nec-essariamente isometrico. Como ϕik e injetivo, temos que ‖ϕik(x)‖ = ‖x‖.Portanto, 0 = limsup ‖ϕik(x)‖; k ∈ I, k ≥ i = ‖x‖, ou seja, ϕi e injetivo.
83
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