Sistemas Dinâmicos Aplicados a Missões Espaciais

Profa Dra Maisa de Oliveira Terra

ITA - Instituto Tecnológico de AeronáuticaDepartamento de Matemática

São José dos Campos, SPmaisa@ita.br

V EVFITA – 8 a 10 de fevereiro de 2010ITA - São José dos Campos

Sistemas Dinâmicos Aplicados aMissões Espaciais

Profa Dra Maisa de Oliveira Terra

ITA - Instituto Tecnológico de AeronáuticaDepartamento de Matemática

São José dos Campos, SPmaisa@ita.br

V Escola de Verão de Física do ITA 8 a 10 de fevereiro de 2010

Esboço do Curso I:

1ª Aula: Introdução e Definições Gerais

2ª Aula:Projeto de Missões no Contexto do PR3CParte Teórica

3ª Aula:Aplicações e Extensões a PR4C

Esboço da 1a Aula:

1. Motivação Geral: o caso de N corpos2. O Problema de 2 Corpos3. Análise de Missões Interplanetárias4. O Conceito de Esfera de Influência5. Tipos de Manobras Orbitais6. Métodos Impulsivos Mais Importantes

Transferência de HohmannTransferência Bi-Elíptica Tri-ImpulsivaMétodo Patched Conic e Manobras de Swing-By

7. Definições de Captura8. Conjuntos Invariantes de Interesse

Esboço da 2a Aula:

1. Objetivo e motivação

2. O Problema de N=3 Corpos Caso Restrito Circular Planar

Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos Constante de Jacobi e Regiões de Hill Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em Missões

3. Elementos Dinâmicos Relevantes do P3CRCP Conjuntos Invariantes Associados Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e

Simó Existência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas

4. Existência de Conecções Heteroclínicas

5. Aproximação de “Patched-3B”

Esboço da 3a Aula:

1. Transferências Terra-Lua2. Proposta da Fronteira de Estabilidade

Fraca de Ed. Belbruno3. Sistema Júpiter e suas 2 Luas4. Extensão ao PR4C5. Aplicações em outras Áreas

MotivaçãoMotivação:: O O ProblemaProblema de N de N CorposCorpos

Seja o movimento de N pontos materiais Pkde massa mk >0, k=1,2,…,N, em um espaço

tridimensional sob ação da força gravitacional.

Considere o Problema de N corpos, N ≥ 2.

Sabemos que teremos como Equações de Movimento:3N EDOs de 2a Ordem (descrição newtoniana)

ou, alternativamente,6N EDOs de 1a Ordem (descrição hamiltoniana)

Para N≥2, a partir das Leis Leis ClássicasClássicas dada ConservaçãoConservação dadaQuantidadeQuantidade de de MovimentoMovimento (6), (6), dada EnergiaEnergia (1) e do (1) e do MomentoMomento

Angular (3):Angular (3):Conjunto de 10 integrais algébricas independentes(integrais primeiras de movimento) que podem ser usadas para

reduzir a dimensão efetiva do espaço de fases ou do espaço de coordenadas.

MotivaçãoMotivação:: AlgunsAlguns CasosCasos de de InteresseInteresseVôoVôo de de umauma sondasonda espacialespacial dada Terra Terra parapara MarteMarte

4 Corpos: Sol, Terra, Marte, Sonda

Duas possíveis abordagens preliminares:

• Baseada em P2C:Missão pode ser dividida em 3 partes:1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)2ª fase: Sol - Sonda (vôo interplanetário)3ª fase: Marte - Sonda (próximo a Marte)

• Baseada em P3C:Missão pode ser dividida em 2 partes:1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)2ª fase: Sol - Marte - Sonda (próximo a Marte)

MotivaçãoMotivação::VôoVôo DiretoDireto de de umauma sondasonda espacialespacial dada Terra Terra parapara LuaLua

3 Corpos: Terra, Lua, Sonda• Possível abordagem preliminar baseada em P2C:

Missão pode ser dividida em 2 partes:1ª fase: Terra - Sonda (próximo a Terra)2ª fase: Lua - Sonda (próximo a Lua)

VôoVôo de de umauma sondasonda espacialespacial dada Terra Terra parapara LuaLua com com AssistênciaAssistência GravitacionalGravitacional do Soldo Sol

4 Corpos: Sol, Terra, Lua, Sonda• Possível abordagem preliminar baseada em P3C:

Missão pode ser dividida em 2 partes:1ª fase: Sol - Terra - Sonda (próximo a Terra)2ª fase: Terra - Lua - Sonda (próximo a Lua)

RevisãoRevisão HistóricaHistórica –– Macro Macro dada MecânicaMecânica CelesteCeleste

Segundo Szebehely (Adventures in Celestial Mechanics) pode ser dividida em 4 partes:

(1a) ~2000 anos: inicia com Aristóteles, inclui Ptolomeu, Copérnico,Brahe, Galileu e Kepler.

(2a) Clássica (provavelmente a mais significante do ponto de vista ci-entífico): Newton, Descartes, Leibnitz, Euler, Clairaut, D’Alembert, Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, Poisson, Encke e Hamilton.

(3a) Moderna (Século 19): Hill, Tisserand, Poincaré, Moulton, Whittaker,Birkhoff.

(4a) Século 20: Arnould, Brouwer, Duboshin, Herget, Herrick, Kolmogorov, Moser,Siegel, Wintner e outros.

Papel importante em Astronáutica por três motivos:1. Único problema em astrodinâmica para o qual existe solução

completa e geral (a exceção de casos particulares de PR3C).2. Grande variedade de problemas práticos podem ser tratados

como P2C.3. O efeito de outros corpos, em muitos casos, pode ser tratado

como uma perturbação desse sistema.

BreveBreve HistóricoHistórico::Para os antigos astrônomos babilônicos, gregos e egípcios o maior interesseera prever as posições do Sol, da Lua e dos planetas na esfera celeste a fimde obter um calendário exato e previsão exata de datas de eclipses.

PtolomeuPtolomeu –– (151(151--127 127 a.Ca.C) ) –– astronomiaastronomia geocêntricageocêntrica.. A crença de mais de 1500 anos foi transcrita por Ptolomeu em sua obra Almagest:

Esfera de estrelas gira em torno da TerraTerra, que está no centro, e demais corpos estãomovendo-se separadamente em círculoscírculos perfeitosperfeitos emem esferasesferas distintasdistintas.

BreveBreve HistóricoHistórico::

PtolomeuPtolomeu –– (151(151--127 127 a.Ca.C) ) –– astronomiaastronomia geocêntricageocêntrica ((porpor 17 17 sécséc))DescreviaDescrevia o o movimentomovimento aparenteaparente dos dos astrosastros (Sol, Terra, 5 (Sol, Terra, 5 planetasplanetasconhecidosconhecidos e e estrelasestrelas) ) comocomo órbitasórbitas epicíclicasepicíclicas ((ObraObra: Almagest).: Almagest).

11aa QuebraQuebra de de ParadigmaParadigma:: mudança do centro do Universo da Terra p/ o Sol

NicolauNicolau CopérnicoCopérnico –– ((polonêspolonês, 1473, 1473--1543) 1543) –– influenciadoinfluenciado porporfilósofosfilósofos gregosgregos ((PitágorasPitágoras, , HeráclidesHeráclides, , AristarcoAristarco,…) ,…) propõepropõe a a teoriateoria heliocêntricaheliocêntrica, , porémporém semsem comprovaçãocomprovação experimental.experimental.

EventoEvento contemporâneocontemporâneo a a descobertadescoberta dada AméricaAmérica e o e o fimfim dada escuraescuraIdadeIdade MédiaMédia..

EmEm 1609, 1609, GalileuGalileu GalileiGalilei (1564(1564--1642) 1642) construiuconstruiu o 1o 1oo telescópiotelescópio..

DentreDentre suassuas descobertasdescobertas: : de de queque JúpiterJúpiter podepode ser ser consideradoconsiderado comocomoo o centrocentro de um de um sistemasistema planetárioplanetário com com seusseus 4 4 satélitessatélites((suportesuporte observacionalobservacional a a teoriateoria heliocêntricaheliocêntrica queque passapassa a ser a ser aceitaaceita););as as fasesfases de de VênusVênus; ; osos anéisanéis de de SaturnoSaturno; ; craterascrateras e e montanhasmontanhas nana LuaLua..

TychoTycho BrahéBrahé (1546(1546--1601) 1601) -- astrônomoastrônomo dinamarquêsdinamarquês -- observouobservouporpor anosanos o o movimentomovimento dos dos astrosastros e e obteveobteve umauma grandegrandequantidadequantidade de dados de dados acuradosacurados emem relaçãorelação a a suassuas posiçõesposições..

Johannes Johannes KeplerKepler –– alemãoalemão (1571(1571--1630) 1630) –– discípulodiscípulode de TychoTycho BrahéBrahé. . De 1601 a 1603 De 1601 a 1603 procuraprocura reconciliarreconciliar teoriateoria existenteexistentecom dados com dados observacionaisobservacionais precisosprecisos sobresobre a a posiçãoposição de de MarteMarte. .

22aa Grande Grande QuebraQuebra de de ParadigmaParadigma::

ConclusãoConclusão:: movimentomovimento emem círculoscírculos divinamentedivinamente perfeitosperfeitoselelíípsespses..

Dois aspectos favoreceram suas descobertas:(i) dados observacionais cuidadosos e, (ii) a exceção de Mercúrio, órbita de Marte era a mais excêntrica.

DescriçãoDescrição de de KeplerKepler do do MovimentoMovimento PlanetárioPlanetário::EmEm 1609: 1609: ((AstronomiaAstronomia Nova)Nova)

11ª Lei:Lei: A A órbitaórbita de de cadacada planetaplaneta é é umauma elípseelípse com o Sol com o Sol emem um um dos dos focosfocos..

22ª Lei:Lei: (Lei (Lei dasdas ÁreasÁreas)) O O raioraio vetorvetor queque uneune o o planetaplaneta aoao Sol Sol varrevarre áreasáreas iguaisiguais emem tempos tempos iguaisiguais..

EmEm 1619:1619:33ª Lei:Lei: (Lei (Lei HarmônicaHarmônica)) O O quadradoquadrado do do períodoperíodo de de

revoluçãorevolução de um de um planetaplaneta é é proporcionalproporcional aoao cubocubo de de suasua distânciadistância médiamédia aoao Sol.Sol.

O O PôrquePôrque: : Isaac Newton (1642Isaac Newton (1642--1727) 1727) –– no no livrolivro PrincipiaPrincipia(3 leis de (3 leis de movimentomovimento + LGU)+ LGU)

Lei Lei dada GravitaGravitaççãoão Universal:Universal: 2 2 corposcorpos quaisquerquaisquer se se atraematraemmutuamentemutuamente com com umauma forforççaa proporcionalproporcional aoao produtoproduto de de suassuasmassasmassas e e inversamenteinversamente proporcionalproporcional aoao quadradoquadrado dada distânciadistânciaqueque osos separasepara.. 2329

2 /kg.sm10x6736 −=−= ,,rF Grr

GMm

HipótesesHipóteses simplificadorassimplificadoras::• corpos perfeitamente esféricos → massas puntuais (pontos materiais)• única força do sistema é atração gravitacional mútua entre os 2C.

Sejam: - o sistema inercial de referência Oxyz e - os pontos materiais P1 e P2 com massas M e m e posiçõesAssim, definindotemos um Sistema de 6 EDOs de 2a Ordem (2 corpos x 3 GL):

cuja solução envolve 12 constantes arbitrárias de integração.

EspaçoEspaço de de fasesfases:: 2x3x2 dimensõesSistemaSistema IntegrávelIntegrável:: devido às constantes de movimento

SoluçãoSolução do do ProblemaProblema de 2 de 2 CorposCorpos::

21 e rr

rrGM

rrGm rrrr 2221 −== &&&& ,

,12 rrr −=

Seja o centro de massa do sistema, cuja posição é

mMmM

CM ++

= 21 rrr

tal que barr +=+ tmM 21

a e b representam 6 constantes de movimento.

CM CM emem MRUMRU com velocidadee posição inicial

1 −+ )(a mM1 −+ )(b mM

Podemos associar ao CM um sistema inercial de referência// ao sistema Oxyz , se deslocando com velocidade constante,obtendo-se 6 EDOs desacopladas. Novas posições: . e 21 'r'r

IntegraisIntegrais de de MovimentoMovimento ouou IntegraisIntegrais PrimeirasPrimeiras do P2Cdo P2C

IntegraisIntegrais de de MovimentoMovimento ouou IntegraisIntegrais PrimeirasPrimeiras do P2Cdo P2C

• Integral de Integral de EnergiaEnergia ((energiaenergia mecânicamecânica específicaespecífica):):

. e velocidade vetor do magnitude a é onde GMr

=−= μυμυε ,2

21

rrh &×=

orbital.planoaorestrito movimentoconstanteé Como →hSegunda Lei de Kepler

→=⋅=⋅ 0hrhr & .evetorespelosdefinidoplano aolarperpendicué rrh &

• VetorVetor de de LaplaceLaplace--RungeRunge--LenzLenz::

• Integral do Momentum AngularIntegral do Momentum Angular::

rrhrB μ−×= &

direção.umadefinindo órbita,daplanonoestá0 BhB →=⋅

constante 1 apenas a econstantes4aemcorrespond

Bh,ε → 5 Integrais de Movimento

Independentes

Obs.: Existe outra relação entre B e h.

Def 1.: Quando duas ou mais integrais de movimentos I1, I2existem para um sistema de equações diferenciais ordinárias,estas são chamadas independentes se os vetores gradientes

( )tt NN∂∂∂∂∂≡∂ ,,,,,,

11,, rrrrrr &&& KK

de I1 e I2 são independentes. Isto implica que o posto da matrizde ordem 2x(6N+1)

( )( )

,,,,,,

, 11

21

tII

NN rrrr &K&K∂∂

é em geral 2.

EquaçãoEquação de de TrajetóriaTrajetóriafB

hr2

cos)/( μμ

+=

1

Br, eentreângulooéa,verdadeiranomaliadenominado f

Equação geral de uma seção cônica em coordenadas polares com a origem localizada em um dos focos e ângulo f corresponde ao ânguloentre o raio vetor r e a direção associada ao ponto da curva maispróximo do foco.

feprcos+

=1

onde p é o semi-latus rectum e e é a excentricidade.

Tipo de seção cônica:• Círculo: e=0• Elipse: 0<e<1,• Parábola: e=1,• Hipérbole: e>1

Em 3 dimensões, precisamos de 6 Elementos Orbitais pararepresentar a dinâmica, que são as seguintes variáveis do:

1. Semi-eixo maior a,2. Excentricidade da órbita e,3. Inclinação i (do plano orbital, com

relação a um sistema inercial.

Tipo ação:

Tipo ângulo:

4. Longitude do nodo ascendente Ω5. Argumento do periapsis

(ou pericentro ou periélio) ω6. Anomalia verdadeira v.

Obs: Movimento no Sistema Solar não está confinado a um único plano orbital.

A intersecção é chamada a linha dos nodos, uma vez que conecta o centro de massa com o nodo ascendente (ponto onde a órbita intersecta o plano de referência) e o nodo descendente.

O ângulo entre a linha de referência até o nodo ascendente é a Longitude do NodoAscendente Ω.Este plano, junto com o Ponto Vernal, (), estabelece o sistema de referência.

Direção do Equinócio Vernal (): linhade referência a partir do Sol a um pontofixo na esfera celeste.

Corresponde ao 1o dia de primavera no hemisfério Norte, apontando à constelação de

Áries.

Neste diagrama, o plano orbital (amarelo) interseptaum plano de referência (cinza).

Para satélites orbitando a Terra, o planode referência é geralmente o Equador da

Terra, e para satélites em órbitas solaresé plano de revolução da Terra em redor

do Sol, chamado plano eclíptico.

AnáliseAnálise de de MissõesMissões EspaciaisEspaciais InterplanetáriasInterplanetárias: : MétodoMétodo “Patched Conic”:“Patched Conic”:Análise de uma missão complexa, envolvendo uma EN e vários corposcelestes como uma seqüência de P2C, no qual um dos corpos é semprea EN.Justificativa: EN é suficientemente próxima a um corpo celeste, tal comoda Terra, de modo que a força de atração gravitacional dos outros corpos(Sol, Lua e outros planetas) pode ser desprezada.Então trata-se do P2C Terra-EN.

Def.: A região dentro da qual esta aproximação é válida é chamadaEsfera de Influência (SOI) da Terra. Cada corpo celeste tem uma Esfera de Influência.

No sistema solar, se um corpo está fora da SOI de planetas e lua, considera-se a órbita em torno do Sol.

Com a aproximação de missão complexa como uma seqüência de P2C, usa-se órbitas cônicas para descrever as várias fases da missão.

TrajetóriasTrajetórias “Planetary Flyby” “Planetary Flyby” ouou “Gravity“Gravity--Assist”:Assist”:

Encontros ocorrem dentro da SOI do Planeta de Flyby.

Flyby planetário tem sido usado extensivamente por EN interplanetárias.

Exs:

• Voyager 1 voando de Júpiter a Saturno;

• Voyager 2 voando por Júpiter, Saturno, Urano e Netuno em 1989;

• ICE (Interplanetary Cometary Explorer) flyby pela Lua em direçãoao Cometa Giacobinni-Zinner em 1984; e

• Galileu, usou uma trajetória VEEGA: Venus-Earth-Earth Gravity-Assist, explorando um flyby de Venus seguido de 2 flybys da Terra, antes de atingir Júpiter, em 1995.

Obs: Missão Galileu foi finalizada em Set 21, 2003 (14 anos de duração explorando Júpiter e arredores (9 Luas e anel).

SOI da Terra: região dentro da qual, pode-se como uma aproximaçãodesprezar as forças gravitacionais na EN devido ao Sol, Lua e outrosplanetas e analisar o Problema como um P2C Terra-EN.

Buscando uma definição correta:

Uma Definição Simplísta de SOI: a força na EN devido à Terra é maiorque a força na EN devido ao Sol. A superfície ao longo da qual as 2 forças são iguais seria a Esfera de Influência (SOI).

svs

eev

sv

vs

ev

ve rmmr

rmGm

rmGm

21

22 /

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⇒>

veículoTerra Sol

→→→

ves

evsvsvev rrrr −=⇒×≈=+ 1km101,5au1 8

Se supomos que EN está entre a Terra e o Sol, então:

km1052 103 au, 1

55 ×≅⇒×≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

<⇒ ,evs

e

s

e

s

e

ev rmm

mm

mm

r

Terradaraios42≅

Lua fora da SOI da Terra: Lua deveria estar orbitando em torno do Sol como um asteróide

Definição Incorreta

Definição Correta de SOI: Devida a Laplace no Séc. 18.

Considera a EN como um satélite de um corpo, calculando a perturbaçãoda aceleração deste movimento devido a atração do outro corpo.

Fazendo isto para cada corpo, é possível determinar a esfera de influência, comparando a razão entre as acelerações. Vejamos:

Escrevendo Eq. de Mov de cada um dos corpos e subtraindo-as duas a duas obtemos:

Seja o sistema de 3C: Sol (s) – planeta (p) – EN (v) (de veículo)

•Movimento da EN relativa ao planeta, perturbado pelo Sol:

( )sp

pv

sp

sp

sv

svspv

pv

vppv

dtd

rrGm

rmmG

dtd

PArrrr

r=−⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

++ 2

2

3332

2

onde Ap representa a aceleração gravitacional devido ao planetae Ps é a perturbação devida ao Sol.

•Movimento da EN relativa ao Sol, perturbado pelo planeta:

( )ps

sv

sp

sp

pv

pvpsv

sv

vssv

dtd

rrGm

rmmG

dtd PArrr

rr=−⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

++ 2

2

3332

2

onde As representa a aceleração gravitacional devido ao Sole Pp é a perturbação devida ao planeta.

Ainda que ms>>mp+mv, se veículo está muito próximo ao planeta, Ps<<Ap.Quando veículo está longe do planeta, Pp<<As, pois mp<<ms.

Definição Correta da SOI: superfície ao longo da qual as magnitudes das acelerações satisfazem:

p

s

s

p

AP

AP

=

Se o lado esquerdo > lado direito, então EN está dentro da SOI do planeta.

Contrasta com definição incorreta para a qual interior da SOI é dada por

., 1 correta a para 1 <<>>p

s

s

p

s

p

PP

AA

AA

Para Terra, .,150≅p

s

PP

Dado que rpv na SOI<<rsv ou rsp, a superfície da definição é aproximada-mente esférica com centro no centro do planeta e raio dado por

sps

pSOI r

mm

r52 /

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

386,61 x 1041738Lua

38868,67 x 10722320Netuno

6774,83 x 10771370Júpiter

1705,74 x 1053380Marte

1459,24 x 1056378Terra

1006,17 x 1056187Venus

451,13 x 1052487Mercúrio

Raio da SOI (raio do corpo)

Raio da SOI (km)

Raio Equato-rial (km)

CorpoCeleste

Raios da Esfera de Influência de Planetas e da Lua

Obs.1: Para a Lua, SOI relativa a perturbações da Terra.

Obs.2: Note que raio da SOI da Terra = 145 raios da Terra e não 42,como na definição incorreta. A Lua, como está a 60 raios da Terra, está bem dentro da SOI da Terra (raio da SOI da Terra=6x10-3 u.a.Quase um ponto no Sistema Solar) .

DefinindoDefinindo a a TerminologiaTerminologia de de ManobrasManobras OrbitaisOrbitais::

ManobrasManobras ImpulsivasImpulsivas

São as que envolvem uma única mudança de velocidade “quase-instantânea”. Baseados no modelo de propulsão com empuxo infinito.

Em fases de projeto preliminares os projetistas de missõesconsideram as mudanças de manobras desejadas como manobrasimpulsivas, pois isto reduz a complexidade de encontrar as transiçõesorbitais corretas. As mudanças instantâneas em velocidade são referidascomo ΔV.

ManobrasManobras NãoNão--ImpulsivasImpulsivas

Corresponde à aplicação de baixo impulso por períodos de tempo maiores.São consideradas menos eficientes, porém podem ser a única opçãoquando baixos pesos de lançamento são desejados.

TransferênciaTransferência de Hohmannde Hohmann

ManobrasManobras OrbitaisOrbitais:: MétodosMétodos ImpulsivosImpulsivos MaisMais ImportantesImportantes

É a solução bi-impulsiva ótima para a transferência entre 2 órbitas circularescoplanares de mesmo sentido. Foi criada por Walter Hohmann (Alemanha,1925). É o resultado mais usado em manobras espaciais.

Solução: Órbita elíptica tangente a ambas órbitas circulares.

Segue os seguintes passos:(i) Na órbita inicial, um impulso de magnitude

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=Δ 11

2

0

000

rr

rr

VVf

f

(onde r0 (rf) é o raio da órbita inicial (final) e V0 é a velocidade do veículo em suaórbita inicial) é aplicado tangencialmente ao movimento. Com este impulso, o veículo entra em umauma órbitaórbita elípticaelíptica com periapsis rf e apoapsis r0.

(ii) O 2o impulso é aplicado quando o veículo está no apoapsis, com magnitude

( ) ( ) 21

00

0 /1/

21 −

+−=Δ rr

rrVV f

ff E esse impulso circulariza a órbita

no raio final desejado.

É a abordagem tradicional paratransferência de uma EN da Terra paraa Lua.

Para sua construção usa-se dinâmicade 2C para Terra-EN apenas e umasemi-elipse kepleriana conectando a Órbita estacionária em torno da Terra com uma Órbita estacionária em tornoda Lua.

Obs.: Dinâmica Lua-EN não incluída.

Duração da manobra: ½ do período daórbita elíptica de transferência

0

230

21

21 T

rrt f

/

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=

onde T0 é o período da órbita inicial.

Custo da transf. é geralmente alto e outras tentativas para minimizá-lo têm sido feitas.

GeneralizaçõesGeneralizações daTransferênciadaTransferência de Hohmannde Hohmann

Após trabalho fundamental de Hohmann surgiram várias generalizaçõespara outros casos de transferências coplanares. Alguns exemplos:

— Para uma transf. entre uma órbita circular de raio r0 e uma elípticaexterna com periapsis rp e apoapsis ra (r0<rp) ou de órbitas que seinterceptam (rp<r0<ra) a solução de menor consumo é a que utilizado apoapsis da órbita elíptica (Gobetz e Doll, 1969 e Marchal, 1965).

— Outro caso: órbita elíptica interna a órbita circular (r0>ra).

Regra geral para transferências bi-impulsivas tipo Hohmann entreórbitas coplanares: recomenda-se que se use a manobra que saide um periapsis e vai a um apoapsis.

Também já estudada: transferência entre 2 elípticas coaxiais.Caso não-coaxial não possui solução pronta: requer estudo numérico.

A A TransferênciaTransferência BiBi--ElípticaElíptica TriTri--ImpulsivaImpulsiva

A transferência bi-elíptica consiste de 2 órbitas em semi-elipses.

Essa transferência possui os seguintes passos:

(i) O 1o impulso ΔV0 é aplicado à órbita inicial para colocar a EN (ponto1)em uma órbita de transf. com periapsis r0 e apoapsis ri (ri>rf) (*),

(ii) Quando EN está no apoapsis (ponto 2), 2o impulso ΔVi é aplicado paraaumentar a altura do periapsis para rf ; (Esperto: longe do centro de atração!)

(iii) Um 3o impulso é aplicado, agora contrário a direção do movimento, quando EN está no periapsis (ponto 3); esse impulso circulariza a EN em uma órbita final desejada.

(*) Caso contrário, Holmann seria mais eficiente.

Uma transferência bi-elíptica de umaórbita inicial menor (azul escuro),para uma órbita circular maior(vermelha).

Hoelker e Silber (1959) mostraram que:

a TransferênciaTransferência de de HohmanHohman é a transferência ótima entre 2 órbitascirculares e coplanares apenas quando rf / r0< 11,93876,

caso contrárioa TransferênciaTransferência BiBi--ElípticaElíptica com 3 impulsos pode apresentar menor Δv.

O impulso total gasto nessa transferência diminui quando ri aumenta.

O mínimo ocorre quando ri=∞, a transferência bi-parabólica(2 órbitas passam a ser parabólicas).

Sabe-se que para rf /ro >15,58178, a transferência bi-eliptica é sempresuperior a de Holmann (para qualquer valor de ri>rf)eno intervalo 11,93876 < rf / r0 < 15,58178 existe um valor limite de ri parao qual a bi-elíptica deve ser mais eficiente do que a de Hohmann.

OutrasOutras ManobrasManobras BiBi--ImpulsivasImpulsivas

Gobetz e Doll (1969) detalharam que:

Existem transferências derivadas da bi-elíptica para os casos de transferência: — entre uma órbita circular e uma elíptica e— entre órbitas elípticas coaxiais.

De forma geral, sabe-se que para uma transferência entre 2 órbitas coplanares existem duas possibilidades para umamanobra ótima do ponto de vista de consumo mínimo de combustível:

— Bi-impulsiva do tipo Hohmann ou— Tri-impulsiva passando pelo infinito.

Sendo que o acréscimo de mais impulsos finitos não pode reduzirainda mais o consumo de combustível (Ting, 1960).

Existem muitas outras variantes de manobras do tipo impulsiva naliteratura: as que utilizam de uma série de manobras nos apsidespara compensar uma eventual falta de capacidade dos propulsoresem fornecer o impulso necessário ; a transf. com 2 impulsos de magnitude fixa; transf. de um corpo de volta ao mesmo corpo, etc.

Os casos particulares mencionados já foram estendidos ao casomais geral de transf. não-coplanares.

“Patched Conic”

As manobras anteriores não levam em conta a fase de inserçãoda órbita em torno de um 2o corpo, como por exemplo a Lua emuma manobra Terra-Lua. O Método “Patched Conic” resolve esteproblema quebrando a manobra total em duas partes. Ilustrandocom uma manobra Terra-Marte:

i) A 1a parte despreza os efeitos de Marte e utiliza um dos métodospara levar a EN da órbita inicial a uma órbita que cruze com a trajetória da Marte.

ii) Quando EN penetra a SOI de Marte, os efeitos da Terra sãodesprezados e a órbita é considerada kepleriana em torno de Marte.

Obs.: Para as missões Voyager e Galileo, a abordagem patch-conic funcionou muito bem, mas outras abordagens se tornaram necessárias à medida que novos desafios sãoformulados: por exemplo, as trajetórias da Gênesis e de EN que orbita várias luas de Júpiter(múltiplas manobras usando assistência gravitacional foram utilizadas para gerar uma TBE)são mais parecidas a soluções do problemas restritos de 3 e 4C do que das soluções de P2C. Fundamentalmente, são soluções do Problema restrito de N corpos não-keplerianas.

MétodosMétodos ModernosModernos

Estão baseados em 2 conceitos de mecânica celeste:

• O de captura gravitacional,• O de manobras assistidas por gravidade.

1.1. IdéiaIdéia dada capturacaptura gravitacionalgravitacional:: uma órbita levemente hiperbólica(energia residual positiva) em torno de um corpo (por ex., a Lua) podeser transformada em uma órbita levemente elíptica (energia residual negativa) devido a perturbações de outros corpos celestes(por ex., a Terra e o Sol, no caso de captura da Lua).

Essa captura em geral, é temporária, mas um impulso pode ser aplicadopara completar uma captura definitiva. A manobra realizada nestemomento representa uma economia de combustível em relação a umamanobra realizada antes da captura.

2. 2. ConceitoConceito de de manobrasmanobras assistidasassistidas porpor gravidadegravidade (Swing(Swing--By):By): manobraem que a EN se utiliza de uma passagem próxima a um corpo celestepara ganhar ou perder velocidade.

LinhasLinhas geraisgerais do do MétodoMétodo SwingSwing--By:By:Problema pode ser estudado supondo um sistema formado por 3 3 corposcorpos::

••Um Um primárioprimário, que domina o sistema (Terra, no sistema Terra-Lua-EN),••Um Um secundáriosecundário de de massamassa finitafinita, que permanece em torno do primário (Lua)••UmaUma partículapartícula de de massamassa desprezíveldesprezível (EN) que permanece em torno do

primário e faz uma passagem próxima ao secundário.

Essa passagem tem o efeito de alterar a velocidade, energia e momentoangular da EN em relação ao primário entre os instantes imediatamenteanterior e posterior a essa passagem próxima (suposta como instantânea).

É possível escolher a geometria e velocidade dessa passagem paradefinir a magnitude e o sinal (aumento ou diminuição) dessas variações,dentro de certos limites, o que abre um largo espectro de possibilidadespara pesquisas. Manobras coplanares e em 3D são possibilidades,conforme o objetivo da missão.

Esta variação de velocidade (sem propelente) é fornecida pelo campo gravitacional do secundário.

AssimAssim, , essaessa manobramanobra podepode ser ser usadausada parapara::

• Para diminuir o ΔV de uma missão, o que diminui o combustívelnecessário, possibilitando o envio de uma carga útil maior.

• Durante uma transferência de retorno a Terra, para diminuir a velocidade de reentrada na atmosfera da Terra.

• Redução de consumo de combustível em missões que requeremescape da Terra (viagens interplanetárias ou interestelares). NesseCaso EN parte da Terra com energia para entrar em uma órbitaelíptica que cruze com a órbita da Lua em algum ponto. Nesse pontoocorre um Swing-By com a Lua, transformando a órbita da EN emhiperbólica com relação a Terra.

• Obter uma imagem próxima do planeta ou satélite.

Swing-Bys Sucessivos: Vejamos um excelente exemplo:

Programa Voyager NASA-JPL Grand Tour pelos Planetas Gasosos

Programa Voyager da NASA-JPL (Jet Propulsion Lab) Grand Tour pelos Planetas Gasosos

Constituído por duas missões: Voyager 1 e Voyager 2.Lançadas em 1977: Oportunidade de uma nave viajando em direção ao exterior do Sistema Solar, podendo passar pelos 4 planetas gasosos gigantes sem ter que alterar sua trajetória (oportunidade que só ocorreria novamente em 176 anos): Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

10.000 trajetórias foram estudadas para a escolha das 2 trajetóriasque poderiam se aproximar mais de Júpiter e sua lua gigante Io,Saturno e sua lua grande Titan. Órbita escolhida para Voyager 2 permitiu ainda continuação para Urano e Netuno.Voyager 2 lançada antes de Voyager 1, mas Voyager 1 foi lançadanuma órbita mais curta e mais rápida.

Voyager 1: Flyby por Júpiter e SaturnoLançada em Set 5, 1977 (32 anos e 152 dias atrás !!!)Duração da missão: indefinida (previsão de perder

comunicação com a Terra em 2020).Mar 5, 1979 JúpiterNov 12, 1980 Saturno

Após Titan, anéis de Saturno,..., espaço interestelar.Ago 05, 2006 100 U.A. a partir do SolAgo 28, 2009: 110.94 U.A. a partir do Sol

estudando região da heliopausa.

Obs: Missão Galileu, lançada em 1989, chega a Júpiter em 1995.

Obs: 1 U.A (unidade astronômica) = distância Sol-Terra.

Júpiter pela Voyager 1

Voyager 2: Flyby por Júpiter, Saturno,Urano, Netuno (!!!)Lançada em Ago 20, 1977 (16 dias antes da Voyager 1)Duração da missão: indefinida.Jul 9, 1979 JúpiterAgo 25, 1981 SaturnoJan 24, 1986 UranoAgo 25, 1989 Netuno, 4º Artefato humano a ultra-

passar órbita de Plutão, iniciando saída do Sist.Solar

Dados extraídos da Página do JPL atualizada em Fev,04, 2010.http://voyager.jpl.nasa.gov

Limites Práticos Para Uso das Manobras de Swing-By:

- Planetas e corpos celestes envolvidos não estão sempre noslugares certos para que se obtenha o destino final desejado da EN;

- Atmosfera dos Planetas: quanto mais próximo dos Planetas, maiorefeito que se tem com a manobra. Entretanto se aproximação daatmosfera é grande, perda com atrito pode ser maior que o ganho.

Vamos considerar o P3C, com as partículas P1, P2, P3.Seja o vetor posição de P3 :Pode-se falar de captura de P3 por uma ou pelas duas partículas.Definição de Captura Permanente ou Total:P3 é permanentemente capturado pelo sistema P1,P2 emevolução temporal direta, se para t → ∞, |Q| é limitado e para t → -∞, |Q| →∞.

P3 é permanentemente capturado pelo sistema P1,P2 emevolução temporal retrógrada, se para t → -∞, |Q| é limitado e para t → ∞, |Q| →∞.Mais genericamente, esta definição pode ser estendida no Problema de N corpos em 3D.

Para N=3, temos que:Teorema (Chazy,1918,1922): O conjunto de órbitas que levam a capturapermanente no problema geral de 3C possui medida nula.

(não garante existência desse conjunto!)

3321 ℜ∈= ),,(Q QQQ

A questão de existência da Captura Permanente foi resolvido pela1a vez por Sitnikov (1960), na versão particular do P3C 3D, agora chamado Problema de Sitnikov.

Alekseev (1960) provou isto por métodos mais sofisticados. Provoutambém que movimento do sistema é caótico (existência de um Conjunto Invariante Hiperbólico). Prova de Moser (1973) mais clara.

Assim, as órbitas parabólicas separam o espaço de órbitas emórbitas que escapam para infinito, tal que 0lim 3t >∞→ )(

.

tQ

e órbitas que permanecem limitadas para todo tempo.

.)()(,.

0 e , quando 33 →∞=±∞→ tQtQt

Representam a fronteira entre órbitas hiperbólicas e órbitas limitadas.

Esta região pode dar origem á órbitas fortemente sensíveis que podemrealizar movimentos complicados.

Órbitas Parabólicas são definidas como órbitas críticas de escape, i.e., tal que:

Def.: Uma órbita parabólica para o problema restrito elíptico satisfaz:

.)(Q)(Q.

0 lim , lim =∞=±∞→±∞→

tttt

O caso para t→∞ define as órbitas ω-parabólicase t→-∞ define as órbitas α-parabólicas.

Def.: P3 é ejetado, ou alternativamente escapa do sistema P1,P2no Prob. Restrito elíptico em evolução temporal direta se

.)(Q ∞=∞→

tt

lim

Este é referido como escape ilimitado. Se P3 vai além de uma dadadistância ρ no instante t, |Q(t)|> ρ, então P3 tem um escape limitado.

Def.: P3 tem captura temporária em t=t0, |t0|< ∞, se

.Q,)(Q ∞=∞<±∞→

(t)tt

lim e 0

Captura Definida Analiticamente (Captura Balística)

Distinguindo-se das capturas definidas geometricamente, nestadefinição, monitora-se o sinal da Energia de Kepler de P3 com respeito ao primário P2.

Def.: A energia kepleriana de 2 corpos de P3 com respeito a P2em coordenadas inerciais centradas em P2, é dada por

,X)X,X(23

22 2

1r

E μ−= &&

onde r23 =|X|, 0≤μ<1/2.

Def.: P3 é balisticamente capturado por P2 no instante t=t1 se

E2(φ(t1)) ≤0

para uma solução φ(t)=(X(t), dX(t)/dt) do Problema Restrito relativoa P2.

Conjuntos de Dimensão Inteira:

Pontos fixos, Órbitas Periódicas, Órbitas Quasi-Periódicas,Conjuntos Invariantes associados a OP,…

Conjuntos de Dimensão Fractal:

Atratores Caóticos e Selas Caóticas.

Atratores (Selas) Caóticos são conjuntos invariantes atrativos(não-atrativos) caóticos que contém infinitas órbitas periódicasinstáveis.

Mapa de Poincaré

Seja Σ uma seção de superfície de co-dimensão 1.Esta hipersuperfície deve ser escolhida de forma quetodas as trajetórias que cruzam Σ satisfaçam duascondições:

(i) As trajetórias interseptem Σ transversalmente,(ii) Cruzem Σ na mesma direção.

Fig. Seção de Poincaré gerada pela intersecção de trajetórias com uma superfície de Poincaré.

Obrigada pela atenção!!

Sistemas Dinâmicos Aplicados aMissões Espaciais

Profa Dra Maisa de Oliveira Terra

ITA - Instituto Tecnológico de AeronáuticaDepartamento de Matemática

São José dos Campos, SPmaisa@ita.br

V Escola de Verão de Física do ITA 8 a 10 de fevereiro de 2010

Esboço da 2a Aula:

1. Objetivo e motivação

2. O Problema de N=3 Corpos Caso Restrito Circular Planar

Pontos de Equilíbrio ou Lagrangeanos Constante de Jacobi e Regiões de Hill Órbitas Periódicas de Poincaré e Halo Aplicações dos Pontos Lagrangeanos em Missões

3. Elementos Dinâmicos Relevantes do P3CRCP Conjuntos Invariantes Associados Contribuições de Conley – McGehee – Llibre, Martinez e

SimóExistência de Órbitas Trânsito e de Orbitas Homoclínicas

4. Existência de Conecções Heteroclínicas

5. Aproximação de “Patched-3B”

ObjetivoObjetivo de de HojeHoje::

Como utilizar a teoria de sistemas dinâmicos aplicada aoProblema de 3 Corpos Restrito no Projeto de Missões Espaciaisde Baixa Energia.

UmaUma MotivaçãoMotivação PráticaPrática:: Missão Genesis

Missão: coletar amostras dovento solar a partir de umaórbita Halo do ponto L1 e retornar a Terra.

Órbita Halo, trajetórias de transferência e de retorno emum sistema girante.

Projetada usando Teoria de Sistemas Dinâmicos (Barden, Howell, Lo).

Segue a dinâmica natural, usando pouca propulsão após lançamento.Porção de retorno a Terra utiliza dinâmica heteroclínica.

FormulaçãoFormulação MatemáticaMatemática do do ProblemaProblema de N de N CorposCorpos

O Problema Geral de N Corpos da Mecânica Celeste consiste de um problema de valor inicial para EDOs.

Dados os valores dos parâmetros do sistema: massas mk, k=1,…, N e das

condições iniciais: posições qk(0) e velocidades iniciais dqk/dt(0) das N part.

queremos encontrar as 2N funções vetoriais tridimensionais do tempo –6N variáveis, soluções das equações:

∑≠

=−

−=

jk jk

jkkjjj Nj

mmGm ,...,,

qq

)qq(q 13 &&

Dadas as 10 Integrais Algébricas Independentes, temos que a dinâmica efetiva no espaço de fase é de (6N-10) dimensões.

No Problema Restrito de 3C Circular (PR3CC) temos 2 primários de massas m1 e m2 que movem-se em círculos, em torno de seu centrode massa; o menor (3o corpo) move-se na presença do campo gravitacional dos primários (sem afetá-los, dado que m3<<(m1,m2)).

Usualmente, o movimento é visto em um referencial girante x-y, de modo que os primários parecem estáticos.

É importante considerar tantoo caso planar como o espacial.Caso planar: 3 corpos num mesmo plano.

Caso espacial: 2 primários emum plano e 3o corpo no espaço3D.Vamos focar o caso planar.

Normaliza-se a velocidade de angular do sistema girante a unidadee, também, a distância entre os primários a unidade de modo queestes se localizem no eixo x em (-μ,0) e (1- μ,0),

., 2121

2 mmmm

mμ >+

= onde

Seja (x,y) a posiçao do 3o corpo no sistema baricêntrico sinódico.

As equações de movimento são dadas por:

y

x

xyyx

Ω=+Ω=−

&&&

&&&

22 ( )

( ) ( ) ,,

,

2222

2221

21

22

1

211

2

yxryxr

rryx

+−+=+−=

−++

−+

+=Ω

μμ

μμμμ

onde

A Integral de movimento J define uma variedade invariante 3D:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,),,,(

,,,,|R,,,CyxyxyxyxJ

yxyxJyxyxC=+−Ω=

=∈=22

4

2 &&&&

&&&& constante,M μ

C é associada à energia do 3o corpo e é a chamada constante de Jacobi.(M restringe o movimento no espaço de fase 4D a uma variedade invariante 3D)

• 3 colineares:L1, L2 e L3 localizados ao longodo eixo-x (pontos sela-centro);

• 2 triângulares:L4 e L5 estão nos vértices de

triângulos equiláteros, (estáveis, se m1/m2>24,96).

O valor da constante de Jacobinestes pontos é denotada por Ck, k=1,2,3,4,5.

Este sistema dinâmico possui 5 pontos de equilíbrio, definidos por :

.,,, 000000 =⇒=∂∂

=⇒=∂∂

=Ω=∂∂

=Ω=∂∂ y

yJx

xJ

yJ

xJ

yx &&

&&

Estes pontos são chamados Lagrangeanos, sendo:

PontosPontos LagrangeanosLagrangeanos

Fig.: Sistema Sol-Júpiter-Cometa

A projeção da superfície M no espaço de posições é chamadaRegião de Hill(*), M(μ,C)=(x,y)|Ω(x,y)≥C/2 e constitue a regiãoacessível às trajetórias para um dado valor de C.Pois:

Uma Região de Hillé limitada pela curvade velocidade zero, denominadaCurva de Hill.

5 Possibilidades de Regiões de Hill

P/ o Sistema Terra-Lua:

(*) Devido a George William Hill (1838-1914).

( ) 0222 ≥−Ω=+ Cyxyx ,&&

3024153184163200343

54

3

2

1

==

≈≈

≈

CCCCC

,,,

Caso 5: C<C4 Todo plano é acessível.

Ref.: Chaos and Stability in Planetary Sytems, R.Dvorak, F.Freistetter, J.Kurths (Eds.),Lecture Notes in Physics 683, Springer, 2005.

Potencial Efetivo do Sistema Terra-Lua

Pontos Lagrangeanosno Sist. Terra-Lua

Valores do Parâmetro para o Sistema:

Terra-Lua μ=0,01211506683

Sol-Júpiter μ=0,0009537

Sol-Terra μ=0,000003

Possibilidade de uma EN orbitar um dos PontosLagrangeanos

L1,L2,L3 selasL4,L5 máximos

globais

( ) 21 μμ −+Ω−=),( yxU

Fig.: Valores de Ck=-2Ek para os5 pontos Lagrangeanos em função de μ.Estes valores separam os 5 casos de Regiões de Hill.

Se m2<<m1, então L1 e L2 estão aproximadamente a mesmadistância r do secundário menor, igual ao raio da Esfera de Hill:

3

1

2

3mmRr ≈

onde R é a distância entre os 2 primários.Exemplos: Valores de r para:Sol e Terra: 1.500.000 km da Terra Terra e Lua: 61.500 km da Lua=16%dTL

ÓrbitasÓrbitas PeriódicasPeriódicas emem TornoTorno dos dos PontosPontos LagrangeanosLagrangeanos

Em torno dos Pontos de Equilíbrio existem Órbitas Periódicas, que sãochamadas Órbitas de Lyapunov no Problema Planar e Órbitas Halo no Problema Espacial. A estabilidade de órbitas periódicas é definida pelo estudo da chamadaMatriz de Monodromia.

Do Ponto L1:

O Pon to L1 d o Sol-Terra é ideal para realizar observações do Sol. Objetos ali nunca são sombreados pela Terra ou pela Lua. A SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)(Esa-Nasa) foi estacionadaem uma Órbita Halo em L1, e aACE (Advanced Composition Explorer) em uma Órbita Lissajous em L1.

(Nasa) (óbita quase-periódica)

Outras Missões ali: WIND (Nasa), Genesis (Nasa,finalizada), International Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3, Nasa, já deixou L1), Deep Space Climate Observatory (Nasa), Solar-C (Japan Aerospace Exploration Agency, possível para após 2010).

O L1 d o Terra -Lu a permite fácil acesso a órbitas lunares e terrestres,com variação mínima de velocidade e seria ideal a uma estação espaciallocalizada no meio do percurso, dedicada a auxiliar no transporte de cargase pessoas, para a ida e volta da Lua.

Do Ponto L2:O Pon to L2 d o Sol-Terra é um ponto ideal um bom local paraobservatórios espaciais, pois um objeto em torno de L2 manteráa mesma orientação com relação ao Sol e a Terra, tornando a calibração e manutenção muito mais simples.

A Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (Nasa) já está em órbita emtorno do L2 d o Sol-Terra . Os futuros Planck satellite (ESA, primavera de2009), Herschel Space Observatory (ESA, primavera de 2009 c/Planck),Gaia probe e James Webb Space Telescope (Nasa,ESA,Canadian Space Agency, Junho de 2013 ou após) serão colocados no L2 d o Sol-Terra .

O L2 d o Terra -Lu a seria uma boa localização para um satélite de comunicação cobrindo o lado mais distante da Lua.

Do Ponto L3:

O L3 d o Sol-Terra é altamente instável, devido às forças gravitacionaisdos demais planetas mais importantes que a Terra (Venus, por ex., aproxima-se dentro de 0,3 UA de L3 a cada 20 meses).

Dos Pontos L4 e L5:

•Os L4 e L5 d o Sol-Jú piter estão ocupados por muitos milhares de asteróides, os chamados Asteróides Troianos;

•Os L4 e L5 d o Sol-Terra contêm poeira interplanetária;

•Os L4 e L5 d o Terra -Lu a contêm poeira interplanetária, chamadasNuvens de Kordylewski.

• N etu n o tem objetos do Cinturão de Kuiper nos seus pontos L4 e L5.

• A Lu a d e Sa tu rn o Tethys tem 2 satélites muito menores nos seuspontos L4 e L5 chamados Telesto and Calypso, respectivamente.

•As Lu a d e Sa tu rn o D ion e tem Luas muito menores Helene e Polydeuces nos seus pontos L4 e L5, respectivamente.

Estabilização em uma Órbita Halo: Uma possibilidade é usarcontrole ótimo para o direcionar traj. à variedade estável de órbitahalo de L1.

Uma Ilustração sobre Estabilidade de Pontos de Equilíbrio Em Sistemas Conservativos

O Pêndulo Simples

θ=0

θ

l

m=1

Variedades Invariantes locais Wu (instáveis) e Ws (instáveis) para uma órbita de Lyapunov.

)wRe(vv)(x titt eeet νλλ βαα 22211 ++= −

Soluções Locais próximo a Orb.Lyapunov:

Def.: Órbitas com α1α2<0 são chamadas de órbitas trânsito.

Elas atravessam a região delimitada por l1 e l2 denotada por R.

LemaLema (Conley):(Conley): Existem órbitas trânsito no P3CRPC para C menore próximo a C1.

Órbitas Trânsito na Região do Gargalo

= n1 = n2

A região R é topologicamente equivalente a uma região RNL que está no gargalo da Região de Hill do Problema Restrito não-linearizado (PRNL).

SejaSeja GG o o subconjuntosubconjunto de de JJ--11(C) (C) queque se se projetaprojeta emem RRNLNL..

Conley provou, analisando a Hamiltoniana linearizada do Prob.Rest. que:

G é G é topologicamentetopologicamente equivalenteequivalente aoao produtoproduto cartesianocartesiano de de umauma esferaesferabidimensionalbidimensional e um e um intervalointervalo abertoaberto::

G G homeomórficohomeomórfico a Sa S22xIxI

Tem-se portanto uma esfera bidimensional correspondendo a l1 e outraa l2 no PRNL em J-1(C), que são as chamadas esferasesferas limiteslimites SS11

22 ee SS2222..

Def.: Órbitas com α1α2>0 são chamadas de órbitas não-trânsito.Órbitas com α1α2=0 são chamadas de órbitas assintóticas.Órbitas com α1α2<0 são chamadas de órbitas trânsito.

As As variedadesvariedades invariantesinvariantes estáveisestáveis e e instáveisinstáveis dasdas órbitasórbitas de de LyapunovLyapunov sãosãoas as separatrizesseparatrizes entreentre as as órbitasórbitas trânsitotrânsito e as e as nãonão--trânsitotrânsito. .

VariedadesVariedades InvariantesInvariantes comocomo SeparatrizesSeparatrizes

Órb. Trânsito:Internas aos tubos

Órb. Não Trânsito:Externas aos tubos

Órbitas Assintóticas:formam tubos de variedades invariantes2D sobre a superfíciesde energia 3D.

Esses tubos invariantes particionam a variedade de energia e funcionamcomo separatrizes do fluxo através da região de equilíbrio:aquelas dentro dos tubos são orb. trânsito, as de fora são não-trânsito.

DistiguimosDistiguimos 9 classes de 9 classes de órbitasórbitas agrupadasagrupadas emem 4 4 categoriascategorias::1. O ponto ξ=η=0 corresponde a uma órbita periódica em R

(órbita de Lyapunov) (ponto preto do centro).

2. As 4 semi-eixos ηξ=0 (verdes)(ou equivalentemente |ς|2 =ρ*, onde ρ*=2ε/ν),correspondem a 4 cilindros de órbitas assintóticas a essasórbitas periódicas, ou quando o tempo cresce (ξ=0)ou quando o tempo decresce (η=0).

3. Os segmentos hiperbólicos dados por ηξ=constante>0(ou |ς|2 <ρ*), correspondem a 2 cilindros que cruzam R de uma esfera limite a outra, tocando ambas em um mesmohemisfério, o Norte se órbita vai de η-ξ=+c para η-ξ=-c, e Sul caso contrário. Como transitam de um lado ao outrosão chamadas órbitas trânsito.

4. Segmentos hiperbólicos definidos por ηξ=constante<0(ou |ς|2 >ρ*), correspondem a 2 cilindros de órbitas em R ,cada percorrendo de um hemisfério a outro do mesmo ladona mesma esfera limite. Se ξ>0, a esfera é n1, percurso do sulpara o norte. Se ξ<0, tem-se n2 e percurso norte-sul. São aschamadas órbitas não-trânsito.

Representação de McGehee. McGehee [1969], a partir do trabalho de Conley [1968], propôs uma representação que facilita a visualização daregião R. Lembrando que R é homeomórfico a S2 x I . McGehee a representou por um anel esférico, como mostra Fig.2.2(b).

Fig.2.2: (a) A seção do fluxo da região R da superfície de energia.(b) A representação de McGehee do fluxo na região R.

Ref.: Conley [1968], C.C. Conley, SIAM J. Appl. Math. 16, 732-746.McGehee [1969], R.P. McGehee, “Some homoclinic Orbits for the R3BP”, Ph. D. Thesis,

University of Wisconsin, 1969.

Para C menor e próximo a C2 a Região de Hill possui um gargalo próximo a L1 e L2.

Tem-se 4 tipos de órbitas: periódicaperiódica, , assintóticaassintótica, , trânsitotrânsito ee nãonão--trânsitotrânsito. .

As variedades estáveis e instáveis das órbitas de Lyapunov próximas a L1 e L2 separam 2 tipos de movimento: órbitasórbitas trânsitotrânsito e e nãonão--trânsitotrânsito.

CasoCaso 3:3:

Por ex., no Sistema Terra-Lua , para uma EN transitar de fora da órbitada Lua para a região de captura da Lua, é possível somente através do tubo da variedade estável da órbita periódica de L2.

Trajetórias dentro do tubo da variedadeestável transitarão da região externada órbita da Lua para a região de capturada Lua.

Trajetóriaque começadentro dotubo.

Os tubos invariantes estáveis e instáveis associados às órbitasperiódicas em torno de L1 e L2 são os condutores do espaço defase, transportando de material entre os domínios em um únicosistema de 3 corpos, assim como, entre primários de sistemasde 3C separados.Esses tubos são fundamentais para se entendertransporte tanto no sistema solar quanto em sistemas moleculares.

É notório como técnicas das duas áreas – Mecânica Celeste e Sistemas Moleculares – podem ser intercambiadas entre si.

Tubos em sistemas moleculares: Nos contextos atômicos e moleculares, tubos de controle, por exemplo, o espalhamentode elétrons por átomos de Rydberg.

ExistênciaExistência de de ÓrbitasÓrbitas HomoclínicasHomoclínicas e de e de ConecçõesConecções HeteroclínicasHeteroclínicas

Como vimos, as estruturas locais próximas a pontos de libração: (i) OP, (ii) partes de variedades estáveis e instáveis destas OP, (iii) órbitas trânsitoe (iv) não-trânsito.

Importa agora saber comocomo estas estruturas locais são conectadasconectadas globalmenteglobalmente. Objetivamos mostrar como órbitas homoclínicas na região interior sãoconectadas a órbitas homoclínicas na região exterior por um ciclo heteroclínicona região de Júpiter, no sistema Sol-Júpiter.

A uniãounião destasdestas 3 3 estruturasestruturas é chamada uma ca d eiaca d eia .

Obs.: Uma Região de Hill do Caso 3 pode ser particionada em domínios.Por exemplo, para um cometa no Sistema Sol-Júpiter teremos 5 deles:

domínio próximo ao Sol (S)domínio próximo a Júpiter (J)domínio externo (X)domínio próximo L1 (R1)domínio próximo L2 (R2)

Domínio interior é associada aocomplementar do externo.

ExistênciaExistência de de ÓrbitasÓrbitas HomoclínicasHomoclínicas a O.P.:a O.P.:

Conley [1968] e McGehee [1969] provaram a existência de órbitas homoclínicastanto para o domínio interior e exterior e Llibre, Martinez e Simó [LMS,1985] mostraram analiticamente a existênciadas órbitas homoclínicas transversais (1,1) no domínio interior sob certas condiçõesapropriadas.

Def.: Uma órbita homoclínica relacionada a uma OP m é uma órbita que tendea m quando t→±∞. Portanto, ela está na variedade invariante instável e estável de m.

Ela é dita uma órbita homoclínica transversal se em algum ponto da órbita osespaços tangentes às variedades estáveis e instáveis naquele ponto geramo espaço tangente completo a M(μ,e) naquele mesmo ponto.

Em nosso problema ou uma órbita homoclínica transversal existe ou“degenerescência total” ocorre. Degenerescência total é o caso quando toda órbita assintótica à órbita periódicainstável em uma extremidade é também assintótica a mesma OP na outraextremidade, portanto é uma órbita homoclínica. Ou seja, a situação de degenerescência total ocorre, quando as variedades estáveis e instáveis da órbitade Lyapunov coincidem-se.

Em qualquer um dos casos conclui-se pela existência de uma órbita homoclínica.

Fig.: Uma seção de Poincaré no domínio exterior do Sistemade 3C Sol-Júpiter-EN.

O prefixo (1,1) refere-se a 1a intersecção com a seção de Poincaré - definidapelo plano y=0, x<0 – de ambas as variedades estáveis e instáveis de L1.

Órbitas Homoclínicas nas regiõesinternas e externas.

1a intersecção Γ1u,S do ramo interior

de W uL1p.o. com o plano y=0 naregião x<0 (corte de Poincaré).

Ref.: Llibre, Martinez e Simó [1985], J. Diff. Eqns. 58, 104-156.

O prefixo (1,1) refere-se a 1a intersecção com a seção de Poincaré - definidapelo plano y=0, x<0 – de ambas as variedades estáveis e instáveis de L1.

Projeção do ramo interior da VariedadeWu

L1 no espaço de posição.1a intersecção Γ1

u,S do ramo interiorde W uL1p.o. com o plano y=0 naregião x<0 (corte de Poincaré).

Ref.: Llibre, Martinez e Simó [1985], J. Diff. Eqns. 58, 104-156.

ExistênciaExistência de de ConecçõesConecções HeteroclínicasHeteroclínicasRef.: Koon, Lo, Marsden e Ross [2000], Chaos 10, 427.

• Encontraram conecções heteroclínicas entre pares de O.P.

Construção de uma conecção heteroclínica entre órbitas de Lyapunov de L1 e L2, buscando umaintersecção de suas respectivas variedades Invariantes na região J.

• Encontraram uma grande classe de órbitas próximas a esta cadeia homo/heteroclínicas.

• Cometas podem seguir estes canais em rápida transição.

ExistênciaExistência de de ÓrbitasÓrbitas de de TransiçãoTransição

• Sequência simbólica usada para rotular itinerário de cada órbita de cometa.

• Teorema Principal: Para cada itinerário admissível, por ex., (…,X,J,S,J,X,…)existe uma órbita cujo caminho corresponde a este itinerário.

•Pode-se ainda especificar o número de revoluções que o cometa realiza emtorno do Sol & Júpiter (além L1 & L2).

ConstruçãoConstrução NuméricaNumérica de de ÓrbitasÓrbitas• Procedimento realizado para construir órbita com itinerário prescrito.

• Exemplo: Uma órbita com itinerário (X,J,S,J,X).

Com os elementos dinâmicos apresentados é assim possíveldesenvolver técnicas e projetar Missões espacias interplanetárias,dentre outras.

SurfandoSurfando no no SistemaSistema Solar: Solar:

VariedadesVariedades InvariantesInvariantes e a e a DinâmicaDinâmica do do SistemaSistema Solar.Solar.

Report do JPL de 1997 de Lo e Ross.

Sistemas Dinâmicos Aplicados aMissões Espaciais

Profa Dra Maisa de Oliveira Terra

ITA - Instituto Tecnológico de AeronáuticaDepartamento de Matemática

São José dos Campos, SPmaisa@ita.br

V Escola de Verão de Física do ITA 8 a 10 de fevereiro de 2010

Esboço da 3a Aula:

1. Transferências Terra-LuaSistemas de 3 Corpos AcopladosAproximação de “Patched-3B”Refinamentos Finais do Projeto de Transferências TL.

2. Missão Discovery Gênesis

3. Observações de Sistemas Naturais que envolvemP3CRCP

4. Petit Grand Tour das Luas de JúpiterCaso PlanarExtensão Espacial

TransferênciasTransferências TerraTerra--LuaLua

• Abordagem tradicional para construir uma trajetória de Trans-ferência para a Lua a partir da Terra é através da Transferênciade Hohmann.

Usa apenas dinâmica de 2C. Determina-se umaelipse kepleriana de 2C partindo de uma órbita

em torno da Terra para uma órbita da Lua.Esse tipo de Transf. requer um grande ΔV para

EN ser capturada pela Lua.

Os dois corpos envolvidos são Terra-EN.

• Em 1991, a missão japonesa Muses-A falha, não tendo propentesuficiente para uma transferência para a Lua por método usual, é recuperada através de um método inovador,baseado no trabalho de Belbruno & Miller [1993]. A missão passa a ser chamada por Hiten.

Trajetória de TBE no sistemareferencial geocêntrico

Mesma trajetória no sistemareferencial Sol-Terra

Essa transf. usa uma TBE com assistência gravitacional do Sol e captura balística na Lua. Essa transf. requer menos combustíveldo que a transf. Hohmann.

AplicaçãoAplicação dasdas técnicastécnicas de de SistemasSistemas SinâmicosSinâmicos parapara produzirproduzir::1.1. Petit Grand Tour Petit Grand Tour dasdas luasluas de de JúpiterJúpiter [Koon,2000].

2.2. ReproduzirReproduzir o o tipotipo dada MissãoMissão HitenHiten:: transferência de baixaEnergia (TBE) com uma captura balística na Lua baseado no trabalho de Belbruno e Miller [2] sobre a Teoria de Fronteira de Estabilidade Fraca (WSB).

Os 3 elementos chaves para produzir essa Transferência a Lua são:

1. Tratar o Problema de 4 C Sol-Terra-Lua-EN como 2 P3CRC acoplados: Sistemas Sol-Terra e Terra-Lua (& EN, óbvio);

2. Usar as variedades invariantes instáveisinstáveis de OP em torno dospontos Lagrangeanos do SolSol--TerraTerra para fornecer TBE daTerra às variedades estáveisestáveis de OP em torno de pontosLagrangeanos do TerraTerra--LuaLua;

3. Usar variedades estáveis de OP em torno de pontosLagrangeanos do Terra-Lua para produzir capturas balísticasem torno da Lua.

[2] E. Belbruno, J. miller, Sun-Perturbed Earth-to Moon Transfers with Ballistic Capture, Journal of Guidance, Control and Dynamics 16 (1993) 770-775.

SistemasSistemas de 3 de 3 CorposCorpos AcopladosAcoplados

O estudo de transferências como da EN Hiten requer 4C:

Sol, Terra, Lua e EN.

Contudo, o P4C é muito mais complexo e menos compreendido queo P3C. Decompondo o P4C em 2 P3C, todo o aparato da teoria de variedades invariantes torna-se disponível.

Usualmente o Sistema Solar é visto como um todo, mas quando sedeseja usar as Órbitas Halo, a decomposição do sistema solar comoP3C é natural. Isto é que foi feito para projetar a Petit Grand Tour de Koon et al.

Contudo o sucesso dessa abordagem depende grandemente dos particulares 4C. A fim de que TBE sejam possíveis é necessário queas estruturas de variedades invariantes dos 2 sistemas de 3C se interceptem dentro de um período razoável, caso contrário a transf.pode requerer um tempo de duração impraticavelmente longo.

Para o caso Sol-Terra-Lua-EN, este não é um problema.

As estruturas das variedades invariantes do L2 do Terra-Luacrescem muito rapidamente (da ordem de 1 mês) para a regiãocircular em torno da Terra com um raio de 1.000.000 km.

Similarmente as estruturas invariantes do L1 e L2 do Sol-Terratambém se estendem com a mesma ordem de tempo à mesmaregião circular.

A sobreposiçã o d esta sestru tu ra sforn ece a TBE en treTerra e Lu a .

Isto explica porque muitas das técnicas baseadas na Teoria WSB sempre envolvem esta região de 1.000.000 km em torno da Terra como ponto de partida para a construção da trajetória.

ArgumentosArgumentos favoráveisfavoráveis a 2 a 2 ModelosModelos de 3C de 3C acopladosacoplados::

Fora da SOI da Lua (60.000 km):

• pode-se desprezar a perturbação da Lua no Sistema de 3CSol-Terra-EN.

Entrando-se na SOI da Terra (900.000 km):

• realiza-se ΔV de meio do curso,

• pode-se desprezar a perturbação do Sol no Sistema de 3C Terra-Lua-EN,

• pode-se usar a estrutura das variedades so Terra-Lua para captura.

No sistema Solar real: excentricidade da Lua é 0,055, excentricidade da Terra é 0,017 e

a órbita da Lua é inclinada com relação a órbita da Terra por 50.(Justifica uso de modelo coplanar circular)

Aproximação de “Patched-3B”

ProjetandoProjetando TransferênciaTransferência TerraTerra--LuaLua com com AssistênciaAssistência do Soldo Sol

A partir da secão de Poincaré definida pelo segmento vertical que passa pela Terra:

• Integra-se diretamente, EN guiada pela variedade estável do L2 do SistemaTerra-Lua de modo a ser capturada pela Lua;

• Integrando retrogradamente, EN restrita pela variedade estável do L2 do SistemaSol-Terra, realiza uma volta e retorna.

PorçãoPorção dada CapturaCaptura BalísticaBalística LunarLunar

Tubo da variedade estável da OP em torno de L2 fornece mecanismo de captura temporária pelo 2o primário.

Definição de Captura Balística pela Lua: uma órbita que sob dinâmica natural entra naSOI da Lua (20.000 km) e realiza ao menos uma volta em torno da Lua.

Nesse estado, pequeno ΔV resultará em captura estável (fechando gargalo em L1 ou L2).

PorçãoPorção do do PontoPonto de de LibraçãoLibração do Soldo Sol--TerraTerra

Escolhe-se CI no exterior do corte de Poincaré do tubo invariante instável de L2 do Sol-Terra, integrando-se retrogradamenteretrogradamente para produzir a trajetória:

Essa trajetória retrógrada passa pela região de L2 com um twisttwist, restrita pelavariedade instável e chega à Terra, restrita pela variedade estável de L2.

Conectando as 2 porções: obtemos a solução do P4C Sol-Terra-Lua-EN como 2 sistemas de 3C acoplados

RefinamentosRefinamentos FinaisFinais do do ProjetoProjeto de de TransfTransf. Terra. Terra--LuaLua::

i. A trajetória final, começando na Terra e terminando em capturaLunar é integrada no Problema 4C Bicircular, onde ambos Lua e Terra são supostos mover em órbitas circulares na eclíptica,e EN é uma massa que não afeta a dinâmica dos demais corpos.

ii. A solução final do Bicircular é diferencialmente corrigida paraque se obtenha uma trajetória integrada completamente usando-seas efemérides do JPL (Jet Propulsion Lab). Disponível em: http://ssd.jpl.nasa.gov/eph_info.html

Fig.: Sistema de ref. girante do Modelo Bicircular, onde Terra e Lua são fixas no eixo-x e Sol gira em sentido horário em tornodo baricentro do Terra-Lua (origem) com freq. angular ωs.

Com pequenas modificações (um ΔV de 34 m/s no ponto de colagem) produz-se uma solução no problema de 4 corpos bicircular ,

Dado que captura na Lua ocorra de modo natural (ΔV nulo) quantidade necessária de combustível é reduzida (em torno de 20%).

MissãoMissão Discovery GenesisDiscovery Genesis

O bjetivo: coletar dados sobre o vento solar a partir de uma órbitaHalo de L1 por 2 anos. Retorno de amostras à Terra em 2003 para análise.

Órbita Halo, de transferência e de retorno no referencial girante.

EN retorna a Terra por uma conecção heteroclínica.

Observações de Sistemas Naturais que envolvem P3CRCP

(a) Projeções no espaço de configuração das variedades estável (curvatracejada) e instávelinstável ((curvacurva sólidasólida)) de L1 e L2 no referencial girante de Sol-Júpiter. As variedades de L1 são as verdes, enquanto que as variedadesvariedades de Lde L22 são pretas.

(b) A órbita do cometa Oterma (AD 1915-1980) no referencial girante com baricentro de Sol-Júpiter (vermelho) segue proximamente as variedadesinvariantes de L1 e L2. Distâncias estão em unidades astronômicas (AU).

Petit Grand Tour Petit Grand Tour dasdas LuasLuas de de JúpiterJúpiter ((ModeloModelo Planar)Planar)

Contrução de uma trajetória de baixa energia que visite várias luas de Júpiterem uma única missão.

Em lugar de flybys, pode-se orbitar cada lua por qualquer duração.

4 Luas de Júpiter, chamadas Luas de Galileu:

Io, Europa,

Ganimedes, Calisto.

Petit Grand Tour Petit Grand Tour dasdas LuasLuas de de JúpiterJúpiter ((ModeloModelo Planar)Planar)• Sistema de 4C4C Júpiter-Ganimede-Europa-SC pode ser aproximado por

2 2 SistemasSistemas acopladosacoplados de 3Cde 3C.

• Tubos de variedades invariantes de 2 sistemas de 3C são conectadosna ordem correta para construir órbita com itinerário desejado.

• Solução inicial refinada pelo modelo de 4C.

• Soluções de 3 corpos oferecem uma grandeclasse de TBE.

Variedade instável da OP de L1de Ganimede

Variedade estável da OP de L2de Europa

Petit Grand Tour Petit Grand Tour dasdas LuasLuas de de JúpiterJúpiter ((ModeloModelo Planar)Planar)

Usou variedades invariantes para construir trajetórias com características interessantes:

• 1 volta em torno de Ganimede, 4 órbitas em torno de Europa.

• um ΔV leva EN do sistema Júpiter-Ganimede para o Sistema Júpiter-Europa.

Em lugar de flybys, EN pode orbitar várias luas por qualquer duração.

Detalhes Técnicos: Ilustrando uma Conecção Heteroclínica

Encontra-se uma intersecção das variedades estável/instável,através de uma escolha apropriada da seção de Poincaré.

Pontos de intersecção devem ser integrados para produzirConecções Heteroclínicas.

Construção de uma órbita (X,J,S) do Sistema Sol-Júpiter:

Qualquer ponto na intersecção de ΔJ é uma órbita (X,J,S).

Construção de uma órbita (J, X; J, S, J)

ExtensãoExtensão do do ModeloModelo Planar Planar aoao ModeloModelo EspacialEspacial

EspacialEspacial: : VariedadesVariedades InvariantesInvariantes comocomo SeparatrizesSeparatrizes

Dinâmica próxima aos pontos de equilíbrio colineares:

Sela x Centro x Centro

•Órbitas limitadas (periódicas ou quasi-periódicas): S3 (3-esfera);(Normally Hyperbolic Invariant Manifolds - NHIM)

• Órbitas assintóticas a NHIM formam tubos de variedadesinvariantes 4D (S3 x R) em uma superfície de energia 5D.

Eles separam órbitas trânsito (as de dentro dos tubos) de não-trânsito (de fora dos tubos).

• Órbitas trânsito e não-trânsito