Sistemas de Numeração

A Informação e sua Representação Os computadores manipulam dados (sinais brutos e

sem significado individual) para produzir informações.

A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona.

Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração.

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Sistema de Numeração

Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação.

Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades. As quantidades em si não mudam; mudam apenas os símbolos usados para representá-las.

A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base.

Representação numérica mais empregada: notação posicional.

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A Informação e sua Representação

Notação Posicional

Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que representa uma quantidade.

O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal).

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Sistema de numeração decimal

735 573

700 30 5 500 70 3

A Informação e sua Representação

Sistemas de Numeração Bases

Binária 0, 1

Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

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Sistemas de Numeração Representação nas bases – Base decimal

7484 7484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4 7484 = 7 X 103 + 4 X 102 + 8 X 101 + 4 X 100

Representação em polinômio genérico Número = dn10n + dn-110n-1 + ... d1101 + d0100

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Sistemas de Numeração Mudança da base binária para decimal (10)

10110010102

0 x 20 = 0 1 x 21 = 2 0 x 22 = 0 1 x 23 = 8 0 x 24 = 0 0 x 25 = 0 1 x 26 = 64 1 x 27 = 128 0 x 28 = 0 1 x 29 = 512

7

= 0+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 714

Sistemas de Numeração Representação de hexadecimal na base 10

3974116

3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 +

1 x 160

3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 3974116 = 23532910

Representação em polinômio genérico Número = hn16n + hn-116n-1 + ... h1161 + h0160

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Sistemas de Numeração Mudança da base hexadecimal para decimal

2CA16

A x 160 = 10 x 160 = 10 C x 161 = 12 x 161 =

192 2 x 162 = 512

9

= 10+192+512 = 714

Sistemas de Numeração Representação de octal na base 10

546218

546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 +

1 x 80

546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 546218 = 2292910

Representação em polinômio genérico Número = on8n + on-18n-1 + ... o181 + o080

10

Sistemas de Numeração Mudança da base octal para decimal (10)

13128

2 x 80 = 2 1 x 81 = 8 3 x 82 = 192 1 x 83 = 512

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= 2+8+192+512 = 714

Sistemas de Numeração Mudança da base 10 para binário

714714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1

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Sistemas de Numeração Mudança da base 10 para binário

714 714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1

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714 = 10110010102

Sistemas de Numeração Mudança da base 10 para octal

714

714 |_8_ 2 89 |_8_ 1 11 |_8_ 3 1

14

714 = 13128

Sistemas de Numeração Mudança da base 10 para hexadecimal

714

714 |_16_ 10 44 |_16_ 12 2

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714 = 2CA16

Hexadecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15

Sistemas de Numeração Bit – menor partícula de informação no

computador, pode representar 0 ou 1. Esses dois símbolos são opostos e

mutuamente exclusivos. Byte – conjunto de 8 bits. Base Binária.

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Conversões de números fracionários Do mesmo modo que os números inteiros

podem ser convertidos de diferentes bases, os números fracionários também podem ser convertidos usando notação posicional.

Exemplo - 10,510

10,510 = 1 x 101 + 0 x 100 + 5 x 10-1

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Conversões de números fracionários Podemos utilizar a mesma regra para

converter números binários fracionários para decimal.

Exemplo: 101,1012

101,1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2

+ 1 x 2-3

= 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 5,625 10

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Conversões de números fracionários Podemos também converter números decimais

fracionários para binários através da regra prática a seguir.

Exemplo: converter 8,375 10 = ? 2

1°- Converter a parte inteira do número para binário:Resultado: 8 10 = 1000 2

8 20 4 2 0 2 2 0 1

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Conversões de números fracionários 2°- Multiplicar a parte fracionária do número

por 2, separando a parte inteira e repetindo o processo até que seja ZERO, ou seja:

8,375 10 → parte fracionária → 0,375 10

0,375 x 2 = 0,7500,750 x 2 = 1,5000,500 x 2 = 1,0000,000 →ZERO

Resultado: 0,375 10 = 011 2

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Conversões de números fracionários 3°- Juntar a parte inteira e fracionária num

único número binário: Resultado final:

8,375 10 = 1000,011 2

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Bits podem representar qualquer coisa! 26 letras => 5 bits maisc./minusc. + pontuação

7 bits (em 8) (“ascii”)

Código padrão para atender todas as linguagens do mundo 16 bits (unicode)

Valores lógicos 0 -> Falso, 1 => Verdadeiro

Representações

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Tabela Ascii

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Representação de Números Um programa (a seqüência de instruções) deverá manipular

diferentes tipos de dados: Inteiros (ponto fixo) Reais (ponto flutuante)

O tipo de dado que está sendo fornecido ao programa deverá ser informado pelo programador, através de declarações, fazendo com que o programa interprete o dado fornecido de acordo com a declaração.

Por exemplo, na linguagem C, declarações tipo int num; ou float sal;

indicam que a variável num é um número inteiro (int) e a variável sal é um número real (float), representação científica, isto é, representado na forma [(Sinal) Valor x Base (elevada a Expoente)].

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Representação de Números

Forma intuitiva - conversão do número decimal para seu correspondente em binário.

Problema - os números podem ser positivos ou negativos - definir como representar o sinal.

Representação - utilização de mais um bit na representação (o bit mais representativo), representando o sinal, com a seguinte convenção:

bit 0 ==> sinal positivo bit 1 ==> sinal negativo.

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Bit de Sinal Uma forma de representar números binários

positivos e negativos é feita através de um bit de sinal, que fica mais a esquerda do número (MSB – bit mais significativo).

Como já dito, se o bit de sinal for “0”, o número binário é positivo (+) e o bit de sinal for “1”, o número binário é negativo.

Resto dos bits podem ser valores significativos do número.

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Como representá-los? Destinar metade dos padrões binários para nº negativos e

a outra para os positivos. Teremos 2 metades iguais: ... / +2, -2 / +1, -1 / +0, -0 2 binários deferentes para representar o nº 0.

Números Negativos

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Representação em sinal e magnitude Valor decimal Valor binário com 8 bits (7 + bit de

sinal)

+9 00001001 (bit inicial 0 significa positivo)

-9 10001001 (bit inicial 1 significa negativo)

+127 01111111 (bit inicial 0 significa positivo)

-127 11111111 (bit inicial 1 significa negativo)

Assim, uma representação em binário com n bits teria disponíveis para a representação do número n-1 bits (o bit mais significativo representa o sinal). Essa representação tem o nome de representação em sinal e magnitude.

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Representação em sinal e magnitude A magnitude (isto é, o valor absoluto, que

independe de sinal) de um número é representada em binário. O sinal é representado por um bit (o bit mais significativo, isto é, o bit mais à esquerda na representação).

O valor dos bits usados para representar a magnitude independe do sinal, isto é, sendo o número positivo ou negativo, a representação binária da magnitude será a mesma, o que varia é apenas o bit de sinal.

Ex.: 0011 = +3 1011 = -3(011 equivale ao valor absoluto 3)

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Representação em sinal e magnitude

ARITMÉTICA EM SINAL E MAGNITUDE

Algoritmo da soma:

a) verificar o sinal das parcelasb) se os sinais forem iguais:

repetir o sinalsomar as magnitudes

c) se os sinais forem diferentesverificar qual parcela tem maior magnituderepetir o sinal da maior magnitudesubtrair a menor magnitude da maior magnitude

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Representação em sinal e magnitude

ARITMÉTICA EM SINAL E MAGNITUDE Algoritmo da subtração:

O algoritmo da subtração é o mesmo da soma, sendo feita como se fosse uma soma de dois números que tem os sinais diferentes.

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Representação em sinal e magnitude

A representação em sinal e magnitude apresenta uma grande desvantagem: ela exige um grande número de testes para se realizar uma simples soma de dois números inteiros.

O algoritmo é complicado de ser realizado no computador, o que resulta em baixa eficiência (execução lenta).

Um outro ponto negativo é termos duas representações para o zero.

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Representação em sinal e magnitude

Devido à complexidade dos algoritmos para os computadores operarem com NÚMEROS NEGATIVOS quando se usa a representação em sinal e, são comumente adotadas outras formas que facilitam e tornam mais eficiente a manipulação de operações aritméticas em computadores: as representações em complemento.

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Representação em Complemento

A grande vantagem da utilização da representação em complemento é que a subtração entre dois números pode ser substituída pela sua soma em complemento.

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Complemento a 2

Por questões de convenção e eficiência

aritmética, utiliza-se a notação de complemento a

2 para se trabalhar com números binários no

computador

Utilizando esta notação, a subtração é uma soma.

Por exemplo: 7 – 5 seria 7 + (-5)

Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme

diferença para o computador

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Complemento a 2: forma de representação Garante que a soma de um número com seu

complemento seja sempre 0 Método:

Inverter cada 0 para 1 e cada 1 para 0 somar 1 ao resultado

Exemplos: 2 para -2 2 = 0000 0000 0000 0010

1111 1111 1111 1101 (invertido)

0000 0000 0000 0001 (+1)

1111 1111 1111 1110 (-2)

Complemento a 2

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É preciso também representar números fracionários (reais),

que muitas vezes são maiores que aqueles que são

possíveis representar como inteiros.

0,0000000001 = 1,0 x 10-9

3.155.760.000 = 3,15576 x 109

Ponto Flutuante

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Ponto flutuante Número de ponto flutuante: padrão IEEE

(a) Precisão simples (b) Precisão dupla

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1 8 23

1

11

52

sinal Expoente Fração

(a)

(b)

Representação Ponto Flutuante - Normalizado

Um nº em notação científica que não tem 0s na parte inteira

é dito normalizado. 1,0 x 10-9 está normalizado

0,1 x 10-8 ou 10,0 x 10-10 não está normalizado

Na base 2, a mesma representação é possível. 1,xxxxxxxxx x 2yyyy

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Ponto flutuante

Números em pf simples têm o formato abaixo: s expoent significat Onde: s: campo de sinal com 1 bit; expoent: campo para o expoente (E), com 8 bits (incluindo seu sinal); significat: campo para a parte fracionária (F), com 23 bits.

Tendo E 8 bits e F 23 bits, é possível representar frações (na base 10) tão pequenas como 2,0 * 10-38 e nº tão grandes como (na base 10) 2,0 x 1038.

Ainda assim pode ocorrer overflow na aritmética em pf.

40

Ponto flutuante

Se uma fração é pequena demais para ser representada, significa que um expoente negativo não pode ser representado em 8 bits. Essa situação denomina-se underflow.

Para reduzir a possibilidade de ocorrer underflow ou overflow, existe a representação em pf de dupla precisão, que permite representar números de 2,0 x 10-308 até 2,0 x 10308.

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Ponto flutuante

Números normalizados nunca tem 0 antes da vírgula; Binários representam somente 0 e 1; Logo, binários normalizados teriam somente 1 antes da vírgula. Portanto, se binários normalizados tem sempre 1 antes da

vírgula, o hardware considera-o implícito e não o representa. A representação busca facilitar operação realizadas pelo

hardware. Sinal no campo mais significativo: permite testes rápidos para maior que,

menor que e igual a zero. Expoent antes do significant: permite uma ordenação simples, pois

números com expoentes maiores são maiores que números que tem expoente menor (números de mesmo sinal).

Expoentes em pf não utilizam complemento a dois. Como determinar, então, expoentes negativos?

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Ponto flutuante

Expoentes negativos Chamada Notação Desviada, onde o desvio é um número

subtraído para se ter o número real.

IEEE 754 usa desvio de 127 (28/2, descontado o 0) para prec. simples. Subtrair 127 do campo Expoente para se ter o valor real do expoente.

1023 é o desvio para precisão dupla. Subtrair 1023 do campo Expoente para se ter o valor real do expoente.

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Ponto flutuante

Exemplo:

O expoente -1 no padrão IEEE 754 seria representado como:

-1 + 127 = 126 = 01111110.

E o expoente +1:

+1 +127 = 128 = 10000000.

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Ponto flutuante

Precisão simples: Bit 31 30 23 22 0

S Expoent Significat

Nº de bits 1 8 23

(−1)S x (1 + Significando) x 2(Expoente −127)

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Ponto flutuante

Overflow

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Resultado muito grande para a word finita do computador

E se o resultado de uma soma (ou subtração) for um número maior que o que é possível representar com os bits da word? No caso ocorre overflow.Por exemplo, somar dois números de n bits pode não produzir um número de n bits 1111+ 0001 10000 aqui um carry “transbordou”

Overflow

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Detectando overflowOverflow nunca ocorre quando somamos dois operandos de sinais

diferentes.Overflow nunca ocorre quando subtraímos dois operandos de sinais

iguais.Nos demais casos pode ocorrer overflow.

O overflow ocorre quando o valor afeta o sinal:– overflow ao somar dois positivos produz um negativo– ou, somar dois negativos produz um positivo– ou, subtraia um negativo de um positivo e obtenha um negativo– ou, subtraia um positivo de um negativo e obtenha um positivo

Overflow

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Exemplo:- 2.147.483.647- 2 (subtração de operandos com sinais diferentes)

Complemento a dois para determinar o números -2:+2 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00101111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101+1 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001- 2 = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 = -2.147.483.6471111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 = -20111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 = +2.147.483.647

Overflow

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Portanto, em complemento de 2, a soma de dois números de mesmo sinal gera estouro se o resultado for de sinal diferente:

Ex: Pos + Pos = Neg ou Neg + Neg = Pos