SISTEMAS DE FLUIDOSRepresentação de um sistema de fluido

Bloco desistemade fluido

SaídaEntrada

Diferença de

pressão

Taxa de fluxo

volumétrica

Sistemas de fluidos• Hidráulicos• Pneumáticos

SISTEMAS HIDRÁULICOSElementos dos sistemas hidráulicos

•Resistência Hidráulica•Armazenamento

•Acumulo de fluido•Capacitância hidráulica

•Inércia hidráulica

RESISTÊNCIA HIDRÁULICA

AVqr

=Rqpp =− 21

Para um tubo → Equação de Darcy

γgV

dLfp2

2r

=∆

Para escoamento laminar

γνgV

dLp2

64 2

r

=∆dVf

.64

Re64

rν

== VdLpr

2

.32µ=∆

pL

dq ∆=..128

. 4

µπ

AVq .r

= pL

dV ∆=..32

2

µ

r

Portanto a relação entre p e q é linear para o escoamento laminar

Para escoamento turbulento

γgV

dLfp2

2r

=∆

é obtido do diagrama de Moody

f

A relação entre p e q é não linear para o escoamento turbulento

f varia com o número de Reynolds de forma não linear, e depende da rugosidade do tubo

( ) 8,0Reln86,01−= f

f

41

Re

316,0=f

• Para tubos lisos

ou a fórmula de Blasius

• Para tubos rugosos

−=dfεln86,014,11

• Para tubos comerciais entre a região hidraulicamente lisa e hidraulicamente rugosa

+−=

ffd

.Re51,2ln86,01

7,3

ε

A relação entre q e ∆p é não linear

pLfdV ∆= ....2ρ

Em válvulas e acessórios

ρ2

2VKpr

=∆ pK

V ∆= ..2ρ p

KAq ∆= .

.2ρ

Para contornar o problema das relações não lineares, vamos linearizá-las próximo ao ponto de operação, de modo a permitir expressá-las na forma linear como:

Rppq 21 −=

Capacitância hidráulica

dtdVqq =− 21

mas AhV =

dtdhA

dtAhdqq ==−)(

21

A diferença de pressão entre entrada e saída

atmpp =1 pghppp ≡=−=∆ ρ12⇒ghpp ρ+= 12

dtdp

gA

dtgpdAqq

ρρ

==−)(

21

Líquido incompressível

dtdpCqq =− 21

gACρ

= ⇒

( ) dtqqC

p ∫ −= 211

Integrando

Inércia hidráulicaPara acelerar um fluido e aumentar sua velocidade é necessário uma Força

( )AppApApFF 212121 −=−=−Força

maF =∑2a lei de Newton

dtVdmmaAppr

==− )( 21

dtVdmAppr

=− )( 21

ρALm =AL=A massa de líquido tem volume

dtVdALAppr

ρ=− )( 21 VAqr

=

dtdqLApp ρ=− )( 21

dtdqIpp =− )( 21

ALI ρ

=onde = Inércia hidráulica

SISTEMAS PNEUMÁTICOSElementos básicos dos sistemas pneumáticos

•Resistência pneumática•Armazenamento

•Acumulo de fluido•Capacitância pneumática

•Inércia

RESISTÊNCIA PNEUMÁTICA

mRpp &=− 21

Capacitância pneumática

21 mm && −=Taxa de variação de massa no recipiente

( )dtVd ρ

=Taxa de variação de massa no recipiente

dtdV

dtdV ρρ +=Taxa de variação de massa no recipiente

mRTpV =Gás ideal

dtdp

RTV

dtdp

dpdV

+= ρTaxa de variação de massa no recipiente

dtdp

RTV

dtdp

dpdV

+= ρTaxa de variação de massa no recipiente

dtdp

RTV

dpdVmm

+=− ρ21 &&

Capacitância pneumática devidoa variação do volume dp

dVC ρ=1⇒

Capacitância pneumática devidoa compressibilidade do gás RT

VC =2⇒

( )dtdpCCmm 2121 +=− &&

( ) ( )∫ −+

=− dtmmCC

pp 2121

211

&&

Inércia pneumática( )dtVmdmaFr

==∑ ( )dtVmdAppr

=− )( 21

LqAqLAVm ρρ =

=

r

( )dtqdLApp ρ

=− )( 21qm ρ=&

dtmd

ALpp

&=− )( 21

dtmdIpp&

=− )( 21

ALI =Inércia pneumática

Resistência hidráulica

Dissipação de energia

Capacitância pneumática

Capacitância hidráulica

Resistência pneumática

Inércia pneumática

Inércia hidráulica

Armazenamento de energia

Const. AnálogaEquaçãoBloco

( )∫ −= dtppI

q 211

( )∫ −= dtppI

m 211

&

( )dtppdCq 21 −=

( )dtppdCm 21 −=&

LA

I ρ=

1

gAC ρ=

RTV

dtdVC += ρ

LA

I=

1

( )Rppq 21 −=

( )Rppm 21 −=&

R1

R1

Construindo um Modelo para um Sistema de Fluidos

dtdpCqq =− 21

A razão q2 na qual o líquido passa pela válvula é

(a)

ghRqp ρ== 2

A pressão deve-se a altura de líquido no recipiente. Substituindo q2 na eq. (a)

dtdpC

Rpq =−1

Se ghp ρ=

dtghdC

Rghq )(

1ρρ

=−

gAC ρ=Se

Rgh

dtdhAq ρ

+=1

Essa equação mostra como a altura de um líquido em um recipiente depende da taxa de entrada do líquido no recipiente

Sistema Pneumático

A taxa de fluxo de massa para dentro do fole é: m&

Rppm 21 −=& (b)

Todo gás que entra no fole permanece lá, não há escape

A capacitância do fole é dada por:

( )dtdpCCmm 2

2121 +=− &&

Como é dado pela eq. (b) e 1m& 02 =m&

( )dtdpCC

Rpp 2

2121 +=

−( ) 2

2211 pdtdpCCRp ++= (c)

O fole expande ou contrai como resultado da variação de pressão dentro dele. Os foles são um tipo de mola.

xkF .= xkFAp ..2 ==

Substituindo p2 na eq. (c)

( ) xAk

dtdx

AkCCRp ++= 211

Essa equação descreve como a expansão ou a contração do fole varia com o tempo quando ele é submetido a uma pressão de entrada p1

21 dp

dxAC ρ=2

1 dpdVC ρ= AxV =

xkAp .2 =Para o fole

( ) kA

AkxddxAC

2

1ρρ ==Assim

ExemploA Figura mostra um sistema hidráulico. Determinar as equações que descrevem como a altura do líquido nos dois recipientes variará com o tempo. Desprezar a energia a cinética.

Recipiente 1

dtdpCqq 121 =−

dtdhAqq 1

121 =−ghp ρ1=

gACρ1

1 =

A taxa q2 na qual o líquido deixa o recipiente é:

( ) 2121 qRghh =− ρ21qRp =

( )dtdhA

Rghhq 1

11

211 =

−−

ρ (d*)

Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 1 depende da vazão de entrada

Recipiente 2

dtdpCqq 232 =−

dtdhAqq 2

232 =−ghp ρ2=

gACρ2

2 =

322 qRgh =ρPara o fluxo q3 322 qRp =

dtdhA

Rghq 2

22

22 =−

ρ ( )dtdhA

Rgh

Rghh 2

22

2

1

21 =−− ρρ

Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 2 varia. Assim, as eqs (d*) e (e*) descrevem as variações na altura de líquido nos dois recipientes

(e*)

ExemploA Figura mostra um tubo em U contendo um líquido. Derivar uma expressão que indique como a diferença de altura entre os dois braços varia com o tempo quando a pressão acima do líquido em um dos braços aumenta. Desenhar um diagrama em blocos para o análogo elétrico de um sistema hidráulico

dtdqI=Queda de pressão devido à inércia

Rq=Queda de pressão devido à resistência

∫= dtqC1Queda de pressão devido à capacitância

Se p é igual à soma dessas quedas de pressão:

∫++= dtqC

RqdtdqIp 1

AhV =Volume de líquido deslocado

( )dtdhA

dtAhd

dtdVq === ∫++= dh

CA

dtdhRA

dthdIAp 2

2

ALI ρ

=gACρ

=hdh 2=∫Se:

ghdtdhRA

dthdLp ρρ 22

2

++=

O sistema tem quedas de pressão devidas à inércia, à resistência e à capacitância somadas

Equivalente elétrico

Exercício para a próxima semana: Exercício 8, página 111, Livro Engenharia de Controle, W. Bolton, Makron Books, 1995