sistemas de equações

AutoresAutores: Miguel Pereira : Miguel Pereira 9ºB nº11 e Sofia 9ºB nº11 e Sofia

Figueiredo 9ºB nº15Figueiredo 9ºB nº15

Ano Lectivo 2005 2006Ano Lectivo 2005 2006Área de ProjectoÁrea de Projecto

Podem-se resolver pelos Podem-se resolver pelos métodosmétodos

Método de tentativa erroMétodo de tentativa erroMétodo de substituiçãoMétodo de substituição Método gráficoMétodo gráfico

No nosso trabalho só vamos apresentar o método de No nosso trabalho só vamos apresentar o método de

substituição e o método gráfico.substituição e o método gráfico.

Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e

efectuando a sua resolução na coluna ao lado.efectuando a sua resolução na coluna ao lado.

Métodos de resoluçãoMétodos de resolução

de Sistemasde Sistemas

Método de substituiçãoMétodo de substituição

Passos a seguirPassos a seguir ResoluçãoResolução

1. 1. Escolher a incógnita (x ou y) numa Escolher a incógnita (x ou y) numa equação (deves escolher a incógnita que equação (deves escolher a incógnita que facilite os cálculos)facilite os cálculos)

2. 2. Resolver a equação em ordem à Resolver a equação em ordem à incógnita escolhidaincógnita escolhida

3. 3. Substituir Substituir na outra equação x pelo seu na outra equação x pelo seu valorvalor

4. 4. Resolver equação do 1º grauResolver equação do 1º grau

5. 5. Substituir o valor de y na 1ª equação Substituir o valor de y na 1ª equação

6. 6. Apresentar a solução do sistemaApresentar a solução do sistema

7

5

yx

yxEscolhemos x na 1ª Escolhemos x na 1ª equaçãoequação

_______

5 yx

75

___________

yy

1

____

2

2

_______

22

______

57

___________

yyyyy

____

6

______

15

1

)1(5 xx

y

x

)1,6(),( yx

Nota informativa: Nota informativa: Antes deAntes de aplicar-mos o método, por vezes, é aplicar-mos o método, por vezes, é aconselhável colocar-mos o sistema na forma canónica:aconselhável colocar-mos o sistema na forma canónica:

''' cybxa

cbyax

Passos a seguirPassos a seguir ResoluçãoResolução

1. 1. Resolver a duas equações em ordem a yResolver a duas equações em ordem a y

2. 2. Apresentar dois pontos para cada rectaApresentar dois pontos para cada recta

3. 3. Representar as duas rectas num Representar as duas rectas num referencialreferencial

4. 4. Apresentar a solução do sistema que Apresentar a solução do sistema que são as coordenadas do ponto de são as coordenadas do ponto de intersecção.intersecção.

Método gráficoMétodo gráfico

xy

xy

xy

xy

yx

yx

7

5

7

5

7

5

xx y=5-x

0 5

4 1

x Y=-7+x

0 -7

3 -4

)1,4(

)5,0(

B

A

)4,3(

)7,0(

D

C

)1,6(),( yx

Classificação de Classificação de sistemassistemas

Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos

ver:ver:

SistemasSistemas

PossíveisPossíveis ImpossíveiImpossíveiss

DeterminaDeterminadasdas

IndeterminadaIndeterminadass

Sistemas possíveis e Sistemas possíveis e determinadosdeterminados

ExemploExemplo

1

3

yx

yx

_______

3 yx

13

_________

yy

312

_____

y

22

_______

y

2

2

_____

y

1

____

y

1

13

y

x

)1,2(),( yx

1

13

y

x

GraficamenteGraficamente

1

3

yx

yx

xy

xy

1

3

xy

xy

1

3

xx y=3-x

0 3

3 0

x y=-1+x

0 -1

4 3

)0,3(

)3,0(

B

A

)3,4(

)1,0(

D

C

Conclusão:Conclusão: Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e determinado.determinado.

Sistemas impossíveisSistemas impossíveis

ExemploExemplo

4

2

yx

yx

________

2yx

42

___________

yy

24

_________

yy

20

_____

yEquação impossível, Equação impossível, entãoentão

o Sistema é o Sistema é impossível impossível


4

2

yx

yx

xy

xy

4

2

xx y=2-x

0 2

2 0

x y=4-x

0 4

1 3

)0,2(

)2,0(

B

A

)3,1(

)4,0(

D

C

Conclusão:Conclusão: Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível. Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível.

Sistemas possíveisSistemas possíveis

e indeterminadose indeterminados

ExemploExemplo

yx

yx

442

22

________

22yx

yy 44)22(2

______________

00

_____

y

Equação possível e Equação possível e indeterminado , indeterminado ,

então o Sistema é então o Sistema é indeterminadoindeterminado


xy

xy

244

22

xx Y= 1-

0 1

2 0

)0,2(

)1,0(

B

A

Conclusão:Conclusão: Quando as rectas Quando as rectas são concorrentes o sistema é são concorrentes o sistema é possível e indeterminado.possível e indeterminado.

yx

yx

442

22

2

x

21

21

xy

xy

Em Síntese Em Síntese (Conclusões)(Conclusões)

1.1. EmEm sistemas possíveis e determinadossistemas possíveis e determinados as rectas são as rectas são concorrentes, ou seja, intersectam-se num único ponto.concorrentes, ou seja, intersectam-se num único ponto.

2.2. Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, nunca se intersectam, por mais que as prolongue-mos.nunca se intersectam, por mais que as prolongue-mos.

3.3. Em sistemas possíveis e indeterminadosEm sistemas possíveis e indeterminados as recta são coincidentes, ou seja, por mais que as prolongue-mos estão sempre uma “decima” da outra

Problemas envolvendo Sistemas

1) Determine os valores de x e y, sabendo que a figura representa, respectivamente um triângulo equilátero:

yyx

yxy

654

62

1

6

1

5

4

26

yyx

yyx

____

4yx

024204

__________

yyy

00

______

y

O sistema é possível e indeterminado, ou seja, o problema tem infinitas soluções.

6y

2y+x

yx5

4

2) A diferença das idades de dois irmãos é 10. A idade do mais velho é igual ao dobro da idade que o mais novo terá daqui a 10 anos.

Qual é a idade de cada um?

2.1) Escreva um sistema de equações que traduza algebricamente o problema.

)10(2

10

yx

yx

2.2) Resolva o sistema e classifique-o

)10(2

10

yx

yx

_____________

10)10(2 yy

____________

10202 yy

________

2010y

_____

10y

)1010(2

________

x

2020

________

x 10,0, yx

O sistema é possível e determinado

O problema é impossível, porque não há idades negativas.

2.3) O problema é possível?

1. Classifica o seguinte 1. Classifica o seguinte sistema sistema

502x3y

20y10x

Sistema possível e determinadoSistema possível e determinado

Sistema possível e indeterminadoSistema possível e indeterminado

Sistema impossívelSistema impossível

AA

BB

CC

Ir para o seguinte desafio

2. Para representar rectas através de 2. Para representar rectas através de sistemas , resolvemos por qual método?sistemas , resolvemos por qual método?

Método de substituiçãoMétodo de substituição

Método de tentativa erroMétodo de tentativa erro

Método gráfico Método gráfico

AA

CC

BB


3. Num sistema possível e determinado 3. Num sistema possível e determinado qual é a posição relativa das rectas?qual é a posição relativa das rectas?

As rectas coincidentesAs rectas coincidentes

As rectas paralelasAs rectas paralelas

As rectas concorrentesAs rectas concorrentes

AA

BB

CC


4. Qual dos gráficos pertence a sistemas 4. Qual dos gráficos pertence a sistemas possíveis e determinados?possíveis e determinados?

BBAA CC


5. Qual é a formula pela qual nos 5. Qual é a formula pela qual nos devemos “guiar” para representar-mos a devemos “guiar” para representar-mos a forma canónica?forma canónica?

AA

BB

CC

''' cybxa

cbyax

bcyax

cdybax

bcax

cbyax


6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. 6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. Daqui a cinco anos a soma das duas idades é tripla da idade Daqui a cinco anos a soma das duas idades é tripla da idade actual do mais velho. Qual o sistema que o representa, se x actual do mais velho. Qual o sistema que o representa, se x corresponder á idade do Ricardo e y á idade do Afonso?corresponder á idade do Ricardo e y á idade do Afonso?

AA BB CC

xyx

yx

355

3

yyx

xy

353

xyx

yx

355

3


7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. 7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. Inspirado no seu terreno inventou o seguinte problema: “Se Inspirado no seu terreno inventou o seguinte problema: “Se aumentasse o comprimento em 5 m e se diminuísse a largura em 5m, aumentasse o comprimento em 5 m e se diminuísse a largura em 5m, a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das dimensões, a a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das dimensões, a área aumentaria .” Quais as dimensões do terreno do Victor?área aumentaria .” Quais as dimensões do terreno do Victor?

AA

BB

CC

2200m

200)5)(5(

55

xy

yx

200)5)(5(

55

xy

yx

200)5)(5(

55

xy

yx

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