curso intensivo de matemática para concursos · 9.1 resolução de sistemas de equações do 1°...

Curso Intensivo de Matemática para Concursos

1

1 Conjuntos Numéricos............................................................................................. 4

1.1 Conjunto dos Números Naturais – N............................................................... 4

1.2 Conjunto dos Números Inteiros – Z ................................................................ 4

1.3 Conjunto dos Números Racionais – Q ............................................................ 4

1.3.1 Dízimas periódicas simples ..................................................................... 5

1.3.2 Dízimas periódicas compostas : .............................................................. 5

1.3.3 Geratriz de uma dízima periódica ............................................................ 5

1.3.4 Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: ............... 5

1.3.4.1 Dízima simples ................................................................................. 5

1.3.4.2 Dízima Composta: .................................................................................. 6

1.4 Conjunto dos Números Irracionais – I ............................................................. 6

1.5 Conjuntos dos Números Reais ....................................................................... 6

2 Potenciação ........................................................................................................... 7

2.1 Propriedades .................................................................................................. 8

2.1.1 Exercícios ................................................................................................ 8

2.2 Potências de ``Base 10'' ................................................................................. 9

3 Radiciação ............................................................................................................. 9

3.1 Propriedades .................................................................................................. 9

3.2 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .................................................. 9

3.2.1 1° caso: ................................................................................................... 9

3.2.2 2° caso: ................................................................................................. 10

3.2.3 3° caso: ................................................................................................. 10

3.2.4 EXERCÍCIOS ........................................................................................ 11

4 Produtos notáveis ................................................................................................ 13

4.1 Quadrado da Soma de dois números ........................................................... 13

4.2 Quadrado da diferença de dois números ...................................................... 13

4.3 Diferença de Quadrados. .............................................................................. 13

4.4 O cubo da soma de dois números ................................................................ 13

4.5 O cubo da diferença de dois números .......................................................... 13

5 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .......................................................................... 14

6 Máximo Divisor Comum (MDC) ........................................................................... 14

7 Razão .................................................................................................................. 15

7.1 Exercícios ..................................................................................................... 15

8 Proporção ............................................................................................................ 16

8.1 Propriedade Fundamental ............................................................................ 16

8.2 Exercícios ..................................................................................................... 17

9 Sistemas lineares com 2 incógnitas ..................................................................... 18

9.1 Resolução de sistemas de equações do 1° grau ( 2 x 2) .............................. 18


2

9.1.1 Método da substituição .......................................................................... 18

9.1.2 Exercícios de Aprendizagem ................................................................. 19

9.1.3 Método da comparação ......................................................................... 20

9.1.4 Exercícios de Aprendizagem ................................................................. 21

9.1.5 Método da Adição .................................................................................. 22

10 Equação do 1º Grau ......................................................................................... 26

11 Equações de 2º grau ........................................................................................ 26

11.1 fórmula de Bhaskara. .................................................................................... 27

11.2 Discriminante ................................................................................................ 28

11.3 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES ............................. 29

11.3.1 Soma das raízes (S) .............................................................................. 29

11.3.2 Produto das raízes (P) ........................................................................... 29

11.4 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES 30

11.5 FORMA FATORADA .................................................................................... 30

12 EQUAÇÕES BIQUADRADAS .......................................................................... 31

13 EQUAÇÕES IRRACIONAIS ............................................................................. 33

13.1 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL ....................................... 33

14 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU ...................................................... 35

15 PROBLEMAS DO 2º GRAU ............................................................................. 37

16 Divisão em partes diretamente proporcionais ................................................... 40

17 Divisão em partes inversamente proporcionais .......................................... 42

18 REGRA DE TRÊS ............................................................................................ 43

18.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES ........................................................................ 43

18.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA ................................................................... 45

19 Porcentagem .................................................................................................... 46

19.1 EXERCÍCIOS ............................................................................................... 47

19.2 AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS ........................................... 48

19.2.1 Aumento percentual ............................................................................... 48

19.2.2 Diminuição percentual ........................................................................... 48

19.2.3 Aplicação prática ................................................................................... 48

19.2.4 EXERCÍCIOS ........................................................................................ 49

19.3 LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA ............................ 49

19.3.1 EXERCÍCIOS ........................................................................................ 50

20 JUROS ............................................................................................................. 51

21 Medidas De Comprimento ................................................................................ 53

21.1 UNIDADES DE ÁREA .................................................................................. 54

21.2 UNIDADES DE VOLUME ............................................................................. 55

21.3 UNIDADES DE LITRO .................................................................................. 55

21.3.1 Exercícios .............................................................................................. 56


3

22 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS ................................................ 57

23 TEOREMA DE THALES ................................................................................... 60

24 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ................................................................... 61

25 Teorema da bissetriz interna ............................................................................ 62

26 Teorema da bissetriz externa ........................................................................... 62

27 Triângulo retângulo .......................................................................................... 63

28 Teorema de Pitágoras ...................................................................................... 64

28.1 Aplicações .................................................................................................... 64

28.1.1 1) Diagonal do quadrado ....................................................................... 64

28.1.2 2) Altura do triângulo equilátero ............................................................. 65

28.1.3 Exercícios de fixação ............................................................................. 65


4

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1 Conjunto dos Números Naturais – N N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

1.2 Conjunto dos Números Inteiros – Z Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

1.3 Conjunto dos Números Racionais – Q

Q = {x / x = b

a, com a Z, b Z e b 0}

Observações

Z Q, pois se Qa

aZa 1

, .

1) A representação decimal é finita:

6,05

3;75,1

4

7

2) A representação decimal é infinita periódica:

...5222,090

47...333,0

3

1

Há frações que não possuem representações decimais exata. Por exemplo:

...8333,06

5

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.


5

1.3.1 Dízimas periódicas simples são aquelas que o período se apresenta logo após a vírgula.

Exemplos:

a) 0,8888.... período = 8

b) 1,232323... período = 23

c) -4,08508508... período = 085

1.3.2 Dízimas periódicas compostas : são aquelas que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Exemplos:

a) 0,3424242... Não período = 3 período = 42

b) 1,789999... Não período = 78 período = 9

c) – 45,0933... Não período = 09 período = 3

Observações:

1). Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos, portanto da parte não periódica o inteiro.

2). Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

* 0,555... ou 5,0

* 0,1232323... ou 231,0

1.3.3 Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

1.3.4 Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

1.3.4.1 Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem:

* numerador = o período;

* denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

a) 9

4...444,0

b) 11

6

99

54...54545,0

c) 99

142

99

431...43434,1


6

1.3.4.2 Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração com as seguintes características:

a) numerador = parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica;

b) denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

495

62

990

124

990

1125...1252525,0

900

43

900

04047...0477777,0

1.4 Conjunto dos Números Irracionais – I

Considera os números 2 , 3 e , suas representações decimais são:

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508...

= 3,1415926535... e = 2,71828... (n.º de Euler)

1.5 Conjuntos dos Números Reais R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional}

Portanto, são números reais:

os números naturais;

os números inteiros;

os números racionais;

os números irracionais.


7

2 POTENCIAÇÃO

a) Definições

Se n ∈ e a ∈ R ,define-se :

fatoresn

....... aaaaa n (n>1)

- a é a base; - n é o expoente; - o resultado é a potência.

Exemplos:

a) 2733333

b) 42222

c) 822223

d) 16

9

4

3

4

3

4

32

Cuidado com os sinais.

Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:

16222224

93323

Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:

Ex. 1: 22232

24 8

Se 2x , qual será o valor de “2x ”?

Observe: 422 , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.

42x22 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-”

não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.


8

2.1 Propriedades

m

m

m

nnn

n

n

m

n

m n

nmnm

nm

n

m

nmnm

b

a

b

a

baba

aa

aa

aa

aa

a

aaa

).(.

1

.

2.1.1 Exercícios 1) Calcule as potências:

a) 26 b) (-6)2 c) -62 d) (-2)3 e) -23 f) (-8)0

g) 4

2

3

h) 4

2

3

i) 3

2

3

j) (-1)17

2) O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:

a) 16 b)8 c)6 d)4 e)2

3) Simplificando a expressão

2

3

3

1.3

4

1

2

1.3

2

2

, obtemos o número:

a) 7

6

b) 6

7

c) 7

6

d) 6

7

e)7

5


9

2.2 Potências de ``Base 10''

3 RADICIAÇÃO

axxa nn

3.1 Propriedades

nnn baba .. mnn m aa .

np mpn m aa

0, bb

a

b

an

n

n

n mm

n aa n mn

m

aa

Exemplos:

3.2 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

São três casos:

3.2.1 1° caso: O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI ÍNDICE 2.

O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo radical que se encontra no denominador.

Exemplos:

a) 525

510

5

510

5

5.

5

10

2

b) 3

62

3

62

3

3.

3

22

2 c)

2

33

6

39

3.2

39

3.2

39

3

3.

32

9

2

625556258228

00,0093,39

4433

22

poispois

poispois


10

3.2.2 2° caso: O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI ÍNDICE DIFERENTE DE 2.

O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo radical de mesmo índice e de mesmo radicando, mas com expoente que complementa para se igualar ao índice.

Exemplos:

a) 2

2.5

2

2.5

2

2.

2

5 3

3 3

3

3 1

3 1

3 2

b) 4

4

4 4

4

4 3

4 3

427.2

3

27.6

3

27.6

3

3.

3

6

3.2.3 3° caso: O DENOMINADOR É UM BINÔMIO EM QUE PELO MENOS UM DOS TERMOS É UM NÚMERO IRRACIONAL SOB A FORMA DE RADICAL.

O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo binômio conjugado.

BINÔMIO CONJUGADO = Produto notável (a + b).(a – b) = a2 – b2

Exemplos:

a)

7

23.3

29

23.3

23

23.3

23

23.

23

322

ou

7

239

b)

62234

622

32

32.2

32

32.

32

22

2

c) 2

610

35

610

35

610

35

35.

35

222


11

3.2.4 EXERCÍCIOS 1) Calcule:

a) 20021 b) 42 c)4)2( d) 42

e) 4)2( f) 42 g) 20 h) 20021

2) Calcule:

a) 7 1 b) 4 0 c) 36 d) 36

e) 5 32 f)

9

16 g)

3 27 h) 4 81

3)Calcule o valor de:

a) 84 2.2 b) 32

3

c) 23

45

d) 84 2.2 e)

5/35

26 3

2

8 f) 3

233 5.2

4) Simplifique a expressão

3

32

9

2.2

2

5) Fuvest - 3

3028

10

22 é igual a?

6) Se 53a=64, o valor de 5-a.

7) Qual o valor de (0,2)3+(0,16)2?

8) Unicamp

a) Calcule as seguintes potências: a=33, b=(-2)3, c=3-2 e d=(-2)-3.

b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente.

9). Sendo a, b e c números reais positivos, mostrar que 12 263 cbacba .

10) Calcule o valor de 5

2

243

1

.


12

11) Escrever a expressão 3 222 na forma de um único radical.

12) Simplificando a expressão

x

1-

y

1

x

y-

y

x

, obtém-se:

a) xy

y-x b) y-x c)

yx

xy

+

d) yx+ e) y-x

13)Lavras - O resultado da divisão 65

3

2

:b

a

b

aé:

a) 6 75ba b)

7

5

a

a c) ab d)

b

a e)

a

b

14) Escrever na forma de um único radical a expressão 4 3

6 5

2

2.

15) Escrever o radical na forma de expoente racional:

a) 2 b) 3 22

16) Fuvest – Qual é o valor da expressão 13

13

13

13

++

+ -

-?

a) 3 b) 4 c) 3 d) 2 e) 2

17) Racionalize 5 8

3.

a) E= 3 b) E= 3 c) E=3

3 d) E=9 e) E=3 3

18.) Sendo E= ....3333,2....666,0 , então :

Respostas

1)a) 1 b) 16 c) 16 d) - 16 e) 12) D 13) C 14) 12 2 15) a) 8

1

2 b) 3

2

2 16) B 17) 2

435


13

4 PRODUTOS NOTÁVEIS

4.1 Quadrado da Soma de dois números 222 ..2)( bbaaba veja que

22222 ..2..)).(()( bbaababbaabababa

4.2 Quadrado da diferença de dois números 222 ..2)( bbaaba veja que

22222 ..2..)).(()( bbaababbaabababa

4.3 Diferença de Quadrados. 22)).(( bababa

4.4 O cubo da soma de dois números 32233 ..3..3)( bbabaaba ; verifique, fazendo a multiplicação

2)).(( baba

4.5 O cubo da diferença de dois números 32233 ..3..3)( bbabaaba ; verifique, fazendo a multiplicação

2)).(( baba


14

5 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, .... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe:

20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 2² ∙ 5

30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5

MMC (20; 30) = 2² . 3 . 5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 2² ∙ 5

30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5

𝑀𝐷𝐶 (20; 30) = 2 ∙ 5 = 10


15

7 RAZÃO

A razão entre a e b é o quociente entre esses dois números. A razão 𝑎

𝑏 ou a : b onde a

representa o primeiro termo ou antecedente e b representa o segundo termo ou o consequente.

Exemplos:

1) Thiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos de idade. A razão entre as idades

de Thiago e Rodrigo são:

2) A razão entre

7.1 Exercícios

1) Numa razão igual a 2/5 o antecedente é 8. Determine o seu consequente?

2) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos obtendo 50 pontos e Paulo, em 30 arremessos obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de acertos?

3) Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão?

4) Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?

7

5

14

10

3

4

31

22

3

10

5

2

10

35

2

10

3

5

2 5

5

ée


16

8 PROPORÇÃO

É a igualdade entre duas razões.

ou ( a : b = c : d )

lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”.

a e d são os extremos e b e c são os meios

a : b = c : d

Meios

Extremos

8.1 Propriedade Fundamental

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Exemplo:

A razão entre dois números é 2/3 e a sua soma é 35. Calcule esses números:

Isolando-se x temos: x = 35 – y (3), substituindo x na equação (1) temos 35−𝑦

𝑦 =

2

3 .

“multiplicando em cruz” temos : 105 – 3y = 2y ,então isolando y temos :

105 = 2y + 3y 105 = 5y y = 105/5 , portanto y = 21, substitui o valor de “y” na

equação (3) e teremos x = 35 - 21 x =14

d

c

b

a

)2(35

)1(3

2

yx

y

x


17

8.2 Exercícios

1) A idade de um filho está para dois assim como a idade de seu pai está para 10. Determine essas idades, sabendo-se que a soma das idades é 54?

2) Calcular o valor de x na proporção: 3

5 =

𝑥+1

20 .

3) O produto de dois números (positivos) é 4800 e a razão entre eles é 3/4. Calcule os números.

4) Uma vara de 12 cm fixada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Que comprimento deveria ter a vara para projetar uma sombra de 45 cm.?

5) A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de 3/1. Qual a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos?

6) Um pai tem 36 anos e a sua idade é 4/5 da soma das idades de seus dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas estão entre si como 4 está para 5?

7) Calcule

8) Calcular o valor de x nas seguintes proporções:

a)

b)

9) Calcular o valor de x e y na proporção 𝑥

𝑦 =

2

5 sabendo que x+y = 42.

10) Calcular o valor de x e y na proporção 𝑥

𝑦 =

11

3 sabendo que x-y = 96.

1222

21147)

3335

84)

cba

cba

b

yx

yx

a

12

9

4

x

9

16

12

23

x

x


18

9 SISTEMAS LINEARES COM 2 INCÓGNITAS

Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis.

Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave. Veja os exemplos:

a) 5

2 9

x y

x y

b)

3 10

18

x y

x y

O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução.

Por exemplo, o par (7,3) é solução do sistema 10

3 2

x y

x y

Pois verifica as duas equações. Ou melhor: 7 3 10

7 3.(3) 2

9.1 Resolução de sistemas de equações do 1° grau ( 2 x 2)

Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da adição, método da comparação, além do método gráfico.

9.1.1 Método da substituição

Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir:

1º exemplo: Resolver o sistema 7

1

x y

x y

1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 1ª equação:

7 7x y x y

2º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita


19

1

(7 ) 1

7 1

7 2 1

x y

y y

y y

y

3º passo: Resolvemos a equação obtida no 2º passo:

7 2 1

2 1 7

2 6

6

2

3

y

y

y

y

y

obtendo, assim, o valor de y.

4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equação iniciais.

7

(3) 7

7 3

4

x y

x

x

x

5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}.

9.1.2 Exercícios de Aprendizagem

Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas 2x2:

5 3 2 6 4) ) )

3 9 3 2 2 7

x y x y x ya b c

x y x y x y


20

9.1.3 Método da comparação

Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações.


)3 3

x ya

x y

1° passo) Isolando x na 1ª equação:

1 1x y x y 1

2º passo: Isolando x na 2ª equação:

2

3º passo) Comparando 1 e 2, vem:

1 3 3

3 3 1

2 4

4

2

2

x x

y y

y y

y

y

y

4º passo) Como x = 1+y, temos:

x = 1+(2)

x = 3

Conjunto-Solução: S = {(3,4)}


3 16

x y

x y

3 3 3 3x y x y


21

1º passo: x = 5y 1

2º passo: Isola-se x na 2ª equação

3 16

16 3 2

x y

x y

3º passo: Comparando 1 e 2, vem

5y = 16 – 3y

5y + 3y =16

8y = 16

y = 2

4º passo: Como x = 5y, temos:

x = 5.(2)

x = 10

A solução é S = {(10,2)}

9.1.4 Exercícios de Aprendizagem

2) Aplicando o método da comparação, resolva os seguintes sistemas:

1 3 2 3) ) )

2 3 2 3 1

x y x y x ya b c

x y x y x y

3). Aplicando o método mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas:

3 3 10 2) ) ) )

2 9 2 10 2 8 3 5 55

x y x y x y x ya b c d

x y x y x y x y


22

4 7 8 3 9 2 3 0) ) ) )

2 5 9 4 6 12 2 3 6 3 5 2

5 4 1 1) )

2 3 5 3 3

x y x y x y x ye f g h

x y x y x y x y

x y x yi j

x y x y

9.1.5 Método da Adição

Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...).

Exemplo 1: Considere o sistema 5 3 15

2 3 6

x y

x y

Observe que a equação 1 tem o termo -3y, e a equação 2 tem o termo +3y (oposto de

-3y).

Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro.

5 3 15 3 3 0, .

2 3 6 , !

7 0 21

7 21

3

x y Como y y o y desaparece

x y Aí fica tudomais fácil

x

x

x

Agora, é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema:


23

A única solução do sistema é o par (3,0)

Exemplo 2: Vamos resolver o sistema 2 5 16

3 2 2

x y

x y

Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos.

Veja que o MMC entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equações) é 10. Daí, multiplicamos a 1ª equação por 2 e a 2ª equação por -5:

2 5 16 (2)

3 2 2 ( 5)

x y

x y

4 10 32

15 10 10

x y

x y

Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema.

E como +10y –10y = 0, vem:

4 10 32

15 10 10

11 0 22

11 22

22

11

2

x y

x y

x

x

x

x

5 3 15

5.(3) 3 15

15 3 15

3 15 15

3 0

0

x y

y

y

y

y

y


24

Agora, levamos x = -2 na 2ª equação para encontrar o valor de y:

3 2 2

3( 2) 2 2

6 2 2

2 2 6

2 8

4

x y

y

y

y

y

y

A solução é o par (-2,4).

Exemplo 3: Resolva pelo método da adição o sistema 3 3

3 4 30

x y

x y

Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -1 (não mexer na 2ª):

3 3 .( 1) 3 3

3 4 30 .(1) 3 4 30

3 27

x y x y

x y x y

y

De 3y = 27, tiramos y = 9.

Calculando x:

Substituímos y = 9 na 1ª equação:

3 3

3 (9) 3

3 3 9

3 6

6

3

2

x y

x

x

x

x

x

Nota importante: Podemos aplicar o método da adição de outra forma, neste caso procurando zerar a incógnita y. Veja:


25

Multiplicamos a 1ª equação por 4 e a 2ª por 1... e então

3 3 .( 4) 12 4 12

3 4 30 .(1) 3 4 30

9 0 18

x y x y

x y x y

x

De 9 18x , encontramos 18

29

x

(Viu?!! Dá o mesmo resultado!). Portanto, pode-

se usar o processo da adição duas vezes seguidas

Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adição 6 5 15

7 16 13

a b

a b

Temos que o MMC(6,7) = 42. Então, multiplicamos a 1ª equação por 7 e a 2ª por 6, temos:

6 5 15 .(7) 42 35 105

7 16 13 .(6) 42 96 78

a b a b

a b a b

42 35 105

42 96 78

61 183

1833

61

a b

a b

b

b

Substituindo b = 3 na 2ª equação, vem:

7 16 13

7 16.(3) 13

7 48 13

7 13 48

7 35

35

7

5

a b

a

a

a

a

a

a


26

10 EQUAÇÃO DO 1º GRAU

A equação do primeiro grau é do tipo ax +b = 0, onde a é um número diferente de zero e x possui expoente 1, por isso também é chamada de equação polinomial do primeiro grau.

Para resolver esse tipo de equação temos que isolar a variável x .

Exemplo:

2x + 8 = 10

2x = 10 – 8

2x = 2

X = 2

2

X=1

S = {1}

11 EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Definições:

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.


27

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de

uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

11.1 fórmula de Bhaskara.

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos: resolução da equação:

Temos


28

11.2 Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega

(delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.


29

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes. Para , a equação tem duas raízes reais iguais. Para , a equação não tem raízes reais.

11.3 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:

11.3.1 Soma das raízes (S)

11.3.2 Produto das raízes (P)

Como ,temos:


30

11.4 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

11.5 FORMA FATORADA Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

A forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.


31

12 EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.


32

Sequência prática

Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

Resolva a equação ay2 + by + c = 0

Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .


33

13 EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

13.1 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, V= {58}.


34

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.


35

14 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8


36

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e (12, -8).

Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-


As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:


37

15 PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.

Resolva a equação ou o sistema de equações.

Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja

.

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.


38

Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18 x ( x + 3) = 18 x2 + 3x = 18 x2 + 3x - 18 = 0 x'= 3 e x''= -6


y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36


39

Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo deR$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:


40

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

16 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS

Se quisermos dividir o número 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda para o número 5 e igual a da terceira para o número 11. Assim chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma das parcelas, Ou Seja;

1152

zyx

Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter:

x + y + z = 180

Utilizando a propriedade da proporção que diz : em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente , então :

11521152

zyxzyx

ou, 115218

180 zyx , como

1018

180 , então


41

11010.111011

5010.5105

2010.2102

zz

yy

xx

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são : 20, 50 e 110.

Exercício Resolvido:

Divida o número 184 em partes diretamente proporcionais a 4

3

3

2,

2

1e . De acordo com

outra propriedade dos números proporcionais, se multiplicarmos todos os números da

sequência 4

3

3

2,

2

1e pelo m.m.c dos consequentes (12), obtemos uma sequência de

números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:

Assim: x+ y + z = 184 , 6 + 8 + 9 = 23, logo:

728.9

648.8

488.6

:

823

184

:

986

184

z

y

x

então

k

Como

zyx

zyx

Logo, podemos afirmar que as partes são 48, 64 e 72.

912.4

3812.

3

2612.

2

1


42

17 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

Se quisermos dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6, isso implica em dividirmos o número proporcionalmente aos inversos de 3, 5 e 6, ou seja,

6

1

5

1

3

1

zyx

, como o m.m.c (3,5,6) = 30, temos:

530.6

1630.

5

11030.

3

1

Desse modo:

210

5610

zyx

zyx

, como 10+6+5= 21 e 1021

210 , então :

x = 10 . 10= 100

y = 6 . 10 = 60

z= 5 .10 = 50, logo as partes são 100, 60 e 50.


43

18 REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

18.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples

1º). Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem

ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,00 9 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais

Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados.

Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.


44

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade

fundamental das proporções.

Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido?

Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima: Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,00

9 x

9

5 =

x

80 x =

5

9.80 x = 144,00

Exercícios:

1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?


45

18.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo:

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças

3 6 400

7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então:

x

400 =

9.7

6.3

x

400 =

63

18

x

400 =

7

2 2x = 2 800 x = 1 400 peças

Exercícios:

1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?


46

19 PORCENTAGEM

Motivadas pelo sistema de numeração decimal, as pessoas têm o costume de expressar a relação entre certa quantidade e o todo quando este é geralmente 100. Daí o uso do termo porcentagem (relativo a frações de denominador 100).

Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 são meninas, é o mesmo que dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda, 60 são meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim:

100

60

200

120

400

240 (observe que os denominadores referem-se ao todo)

Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente através da última fração.

Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), receberam uma notação especial: %. Assim, por exemplo:

a) 60% = 100

60 = 0,6 b) 4% =

100

4 = 0,04 c) 123% =

100

123 = 1,23

Obs.: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser escrita na forma decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou uma fração (mesmo sem denominador 100) na forma de porcentagem:

a) 50

7 = 0,14 =

100

14 = 14% b)

25

2 = 0,08 =

100

8 = 8%

c) 8

3 = 0,375 =

100

5,37 = 37,5% d)

9

17 = 1,888... =

100

...8,188 189%

Obs.: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 100 a ela equivalente. No item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com aproximação.

a) 100

75

4

3 = 75% b)

100

26

5

3,1 = 26% c)

100

8,0

25

2,0 = 0,8%

d) 4 = 100

400 = 400% e)

7

3 = 0,428571... 0,43 =

100

43 = 43%


47

19.1 EXERCÍCIOS 1 – Escrever sob a forma de números decimais as porcentagens:

a) 22% b) 3% c) 250% d) 1,85% e) 0,18%

2 – Escrever sob a forma de fração irredutível as porcentagens:

a) 30% b) 8% c) 124% d) 0,4% e) 5.000%

3 – Escrever sob a forma de porcentagem as frações e os números decimais:

a) 2

1 b)

20

9 c)

8

7 d)

11

420 e)

2

3

f) 0,12 g) 0,123 h) 0,04 i) 0,4 j) 4

4 – Escrever sob a forma de porcentagem:

a) (10%)² b) %49 c) (12%).(5%) d) %160

%40

APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM

Exemplo: Qual é a quantidade que representa 24% de 350 unidades?

Resposta: 0,24 . 350 = 84 ou 100

24 . 350 = 84

Calcule então:

a) 25% de 120 b) 325% de 800 c) 2% de 400

d) 13% de 21 e) 0,2% de 5 f) 4% de 3,5

Você sabia que: 52‰ = 1000

52 = 0,052 ?


48

19.2 AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS

19.2.1 Aumento percentual O valor V que um número N = 30 terá após sofrer um aumento percentual de P = 24% é assim calculado:

V = 30 + 0,24 . 30 = (1 + 0,24).30 = 1,24 . 30 = 37,2

Note a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. Este procedimento auxilia na busca de uma regra que ofereça diretamente o valor V após um aumento percentual. Descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir:

a) N = 250 e P = 8% b) N = 25 e P = 80% c) N = 2.000 e P = 2,4%

d) N = 23 e P = 120% e) N = 4 e P = 340% f) N = 87 e P = 900%

19.2.2 Diminuição percentual O valor V que um número N = 30 terá após sofrer uma diminuição percentual de D = 24% é:

V = 30 – 0,24 . 30 = (1 – 0,24).30 = 0,76 . 30 = 22,8

Note novamente a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. Do mesmo modo, busque uma regra que ofereça diretamente o valor V após uma diminuição percentual. Observando que não ocorre diminuição de mais de 100%, descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir:

a) N = 235 e D = 6% b) N = 29 e D = 60% c) N = 300 e D = 7,2%

19.2.3 Aplicação prática Um produto custa 40 reais e sofre sucessivamente aumento de 36% e desconto de 25%. Qual seu preço final? Qual é o percentual equivalente a estas duas variações percentuais?

aum. de 36% ( 1,36) desc. de 25% (

0,75)

Verifica-se que o preço inicial ficou multiplicado por 1,02 (1,36 0,75). Isto significa que ocorreu um aumento, e que equivale a 2%.

40,00

54,40

40,80


49

19.2.4 EXERCÍCIOS 1 – Uma geladeira, cujo preço à vista é de 680 reais, tem um acréscimo de 5% neste preço se for paga em 3 prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada uma destas parcelas?

2 – O salário de um trabalhador era de 840 reais e passou a ser de 966 reais. Qual foi a porcentagem de aumento em seu salário?

3 – Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com 87 reais. Quanto ele tinha e quanto ele gastou?

4 – Laura gastou 900 reais na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou 60 reais a menos que a estante, e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custa cada um destes produtos?

5 – Um televisor de 685 reais está sendo vendido em uma promoção com desconto de 12%. Por quanto está sendo vendido?

6 – Um fogão está sendo vendido assim: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de 63 reais cada uma. Qual é o preço deste fogão?

7 – Um objeto que custava R$ 70,00 reais teve seu preço aumentado em R$ 10,50. Qual foi o percentual deste aumento?

19.3 LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA Com o objetivo de dimensionar lucros e prejuízos (auxiliar na contabilização de ganhos e perdas), o comerciante utiliza-se de medidas percentuais, temas deste item.

O preço de um produto que o comerciante adquire é denominado preço de custo (C). O valor a este preço acrescentado para posterior venda é chamado lucro (L). O preço resultante da soma de C com L é chamado preço de venda (V). Se o valor da venda é menor que o valor do custo, então o lucro é negativo e será chamado de prejuízo (P).

Assim sendo: e

C

L lucro sobre custo

V

L lucro sobre venda

C

P prejuízo sobre custo

V

P prejuízo sobre venda

Exemplos:

1 – Um objeto que custa 60 reais é vendido por 75 reais. Qual é a porcentagem do lucro em relação ao preço de: a) custo? ; b) venda?

L + C = V a) %2525,060

15

C

L b) %202,0

75

15

V

L

L + 60 = 75

L = 15

2 – Um automóvel de preço 56 mil reais é vendido com um prejuízo de 20% sobre este preço. Qual foi o preço de venda?

2,0C

P P = 0,2 . 56.000 = 11.200 reais

V = C + L V = C – P


50

V = C – P V = 56.000 – 11.200 = 44.800 reais

3 – Um vendedor ambulante vende seus produtos com lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo?

LCLCLLVV

L

V

L CLV 4555

12,0

Daí: %2525,04

1

4

L

L

C

L

Obs.: – O lucro sobre o custo é sempre maior que o lucro sobre a venda. – O prejuízo sobre o custo é sempre menor que o prejuízo sobre a venda.

19.3.1 EXERCÍCIOS 1 – Uma joia foi comprada por R$ 7.200,00 e vendida por R$ 8.640,00. Qual foi o percentual de lucro sobre o preço de custo desta joia?

2 – Um vendedor teve prejuízo de 250 reais equivalente a 16% sobre a venda de uma mercadoria. Por qual preço ela foi comprada?

3 – Determinar o preço de custo de um automóvel que foi vendido por R$ 37.500,00, sabendo que o lucro sobre a venda foi de 20%.

4 – Um livro foi vendido por 136 reais com lucro de 40% sobre o preço de custo. Determine este preço de custo.

5 – Uma máquina fotográfica que custou 450 reais foi vendida com um lucro de 40% sobre o preço de custo. Por quanto foi vendida?

6 – Uma mercadoria que custa 840 reais é vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda?

7 – Um vendedor negocia seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo?

8 – O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu a seus clientes um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Teve então um lucro ou um prejuízo sobre o preço de custo?

9 – Determinar de quanto por cento sobre o custo é o prejuízo de 100% sobre a venda?


51

20 JUROS

Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma instituição financeira (por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro.

M = C + J

Juros simples são juros constantes incorporados a um capital, periodicamente, como, por exemplo, acontece na correção de certas dívidas por certo período de tempo.

Juros compostos são juros crescentes (ou decrescentes) incorporados a um capital, periodicamente, como acontece, por exemplo, na correção de aplicações financeiras.

Exemplo de situação envolvendo juros simples:

Uma dívida de 530 reais venceu há 5 dias. É cobrada uma multa de 0,2% por dia de atraso no sistema de juros simples. Qual é o valor do montante desta dívida?

0,2% . 530 = 0,002 . 530 = 1,06 (juro de um dia)

5 . 1,06 = 5,30 (correção da dívida em juros simples por 5 dias)

montante: M = C + J = 530 + 5,30 = 535,30 reais.

Generalizando: J = C . i . t daí:

Exemplo de situações envolvendo juros compostos:

1 – Um capital de 40 mil reais foi aplicado à taxa de 2% ao mês durante 3 meses. Qual foi o montante ao final deste período?

1° mês: M = 1,02 . 40.000

2° mês: M = 1,02 . (1,02 . 40.000) = 1,022. 40.000

3° mês: M = 1,02 . (1,022. 40.000) = 1.023. 40.000 = 42.448,32 reais.

Generalizando:

Obs.: Analogamente conclui-se que um capital, após descontos sucessivos e iguais, transforma-se no montante:

M = C . (1 + i) t

M = C . (1 – i) t

M = C . (1 + i . t)


52

2 – Quanto receberá de juros, ao final de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de 6.000 reais à taxa de 1% ao mês?

M = C . (1 + i) t = 6.000 . 1,016 ≅ 6.369,12 reais (com auxílio de calculadora)

Assim, J = 6.369,12 – 6.000 = 369,12 reais.

Obs.: – Por tratar-se de uma equação exponencial em t, calculá-lo requer conhecimentos básicos da teoria de logaritmos.


53

21 MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto para medir grandes extensões, o metro é muito pequeno, e para medir pequenas extensões ele é muito grande. Para isso, existem os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe a tabela abaixo:

Quilômetro

km

Hectômetro

Hm

Decâmetro

dam

Metro

m

Decímetro

dm

Centímetro

cm

Milímetro

mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Regras Práticas :

Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 10

a cada casa “andada”, até chega à casa da unidade que se quer a conversão.

Ex : 1 m = 100 cm

2 km = 2000 m

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 10 a cada

casa “andada”, até chegar à casa da unidade que se quer a conversão.

Ex: 1 cm = 0,001 dam

2 m = 0,002 Km

: 10 x10


54

21.1 UNIDADES DE ÁREA

Quilômetro

quadrado

km2

Hectômetro

quadrado

hm2

Decâmetro

quadrado

dam2

Metro

Quadrado

m2

Decímetro

quadrado

dm2

Centímetro

quadrado

cm2

Milímetro

quadrado

mm2

1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x10-2 m2 1x10-4 m2 1x10-6 m2

Regras Práticas :


(pois 10² =100) a cada casa “andada”, até chega à casa da unidade que se quer a

conversão.

Ex : 1 m2 = 100 dm2

2 km2 = 2000000 m2 ou 2 x 106 m2

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 100 (pois

10² =100) a cada casa “andada”, até chegar à casa da unidade que se quer a conversão.

Ex: 1 dam² = 0,001 km²

1 m² = 0,01 dam²


55

21.2 UNIDADES DE VOLUME

Quilômetro

cúbico

km³

Hectômetro

cúbico

hm³

Decâmetro

cúbico

dam³

Metro

cúbico

m³

Decímetro

cúbico

dm³

Centímetro

cúbico

cm³

Milímetro

cúbico

mm³

1x109 m3 1x106 m3 1x10³ m3 1 m³ 1x10-3 m3 1x10-6 m3 1x10-9 m3

Regras Práticas :


(pois 10³ =1000) a cada casa “andada”, até chega à casa da unidade que se quer a

conversão.

Ex : 1 m3 = 1000 dm3

2 hm3 = 2000000 m3 ou 2 x 106

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 1000 (

pois 10³ =1000) a cada casa “andada”, até chegar à casa da unidade que se quer a

conversão.

Ex : 1 m3 = 0,001 dam3

1 mm3 = 0,001 cm3

21.3 UNIDADES DE LITRO

Quilolitro

kl

Hectolitro

hl

Decalitro

dal

Litro

l

Decilitro

dl

Centilitro

cl

Mililitro

ml

1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

As regras práticas para conversão de unidades de litro são as mesmas das unidades de

comprimento.

ATENÇÃO: Lembre-se que ao multiplicar/dividir por 10, 100, 1000,... basta deslocar a vírgula 1,

2, 3,... casas decimais para direita/esquerda.

OBSERVAÇÃO

Só não podemos esquecer de que:

1dm³ = 1 l

1 m³ = 1000 l


56

21.3.1 Exercícios

1) Transforme:

a) 2 km em m

b) 1,5 m em mm

c) 5,8 km em cm

d) 0,4 m em mm

e) 27 mm em cm

f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de área:

a) 8,37 dm2 em mm2

b) 3,1416 m2 em cm2

c) 2,14 m2 em mm2

d) Calcule 40m x 25m e, depois transforme

em km²

e) 125,8 m² em km²

f) 12,9 km² em m²

g) 15,3 m² em mm²

3) Depois converta as de volume: a) 8,132 km3 em hm3

b) 180 hm3 em km³

c) 1 m3 em mm3

d) 5 cm³ em m³

e) 78,5 m³ em km³

f) 12 m³ em cm³

g) 139 mm³ em m³

4) Converta em litros:

a) 3,5 dm³=

b) 5 m³=

c) 2,6 dm³=

d) 3,4 m³=

e) 28 cm³=

f) 4,3 m³=

g) 13 dm³=


57

22 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

1) Retângulo

2) Quadrado

3) Paralelogramo

4) Trapézio

5) Losango


58

6) Triângulos

a) Triângulo qualquer

b) Triângulo retângulo

c) Fórmula trigonométrica da área

d) Fórmula de Heron

onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados.

e) Triângulo equilátero


59

f) Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita

7) Hexágono regular

8) Polígono regular

Onde

p é o semiperímetro e a é o apótema do polígono.

9) Círculo

Comprimento

C = 2..r

Área

A = .r2


60

10) Coroa circular

A = .(R2 – r2)

11) Setor circular

A = 𝜋.𝑅2.𝛼

360

23 TEOREMA DE THALES

Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.


61

24 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus

vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados

homólogos proporcionais.

Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a

semelhança:

ângulos correspondentes dois a dois congruentes;

lados homólogos proporcionais.

Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra “automaticamente” também se

verifica.

Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo,

também escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm.

Basta verificar a proporcionalidade entre os lados:

7

14=

8

16=

9

18= 𝐾

Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre

os ângulos correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores.

Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50°, 60° e 70°, ele é

semelhante a todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de

conhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses

triângulos são proporcionais.

Exemplo 2: Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes.

De fato, os lados dos triângulos são proporcionais:

)semelhança de razões(2

1k

12

6

8

4

6

3

Além disso, J I e K H L G , embora não conheçamos as medidas desses ângulos.

G

3

H 4 I

6 J

8

K

6

L

12


62

25 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos

respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.

26 TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

A bissetriz externa de um ângulo de um triângulo secciona o prolongamento do lado oposto e o

divide em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.


63

27 TRIÂNGULO RETÂNGULO


64

28 TEOREMA DE PITÁGORAS

28.1 Aplicações

28.1.1 1) Diagonal do quadrado


65

28.1.2 2) Altura do triângulo equilátero

28.1.3 Exercícios de fixação

2) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma

de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.

A diferença x - y é:

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 10.

e) 12.


66

3)

A área do retângulo DEFB acima é:

a) 24

b) 160

c) 120

d) 20

e) 180

4) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse

mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.

A altura do prédio, em metros, é

a) 25.

b) 29.

c) 30.

d) 45.

e) 75.


67

5) No da figura a seguir, DE//BC nessas condições determine:

a) a medida x

b) o perímetro do ABC

4) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente

abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras

metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m,

respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a

espessura das barras.

a) 1,50 m

b) 1,75 m

c) 2,00 m

d) 2,25 m

e) 2,50 m


68

5) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem

lados que medem 4 cm e 2 cm.

Determine o perímetro do triângulo MBN.

6) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se

concluir que a altura PR desse triângulo mede:

Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8


69

7) O valor de x abaixo é:

a) 15

b) 14

c) 13

d) 12

e) 11

8) O valor do raio “r” do círculo inscrito no trapézio retângulo abaixo é:

a) 8 cm

b) 7 cm

c) 6 cm

d) 5 cm

e) 4 cm

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