Captulo 9

Sistemas de Equaes DiferenciaisLineares

Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equaes diferenciais li-neares de primeira ordem:

Definio 36. Um sistema da linear da forma

x1

= p11(t)x1 + + p1n(t)xn + g1(t)

x2

= p21(t)x1 + + p2n(t)xn + g2(t)

...

xn = pn1(t)x1 + + pnn(t)xn + gn(t)

chamado de sistema de equaes diferenciais lineares de primeira ordem. Se todas asfunes g1(t), . . . , gn(t) forem indeticamente nulas no intervalo I = (, ), dizemosque o sistema (36) homogneo; caso contrrio, ele no-homogneo.

Definio 37. Dizemos as funes

x1 = 1(t), . . . , xn = n(t)

so uma soluo do sistema (36) no intervalo I = (, ) se elas: i) so diferenciveisem todos os pontos do intervalo I e ii) satisfazem o sistema (36) em todo t I .

Definio 38. Se associarmos ao sistema (36), n condies iniciais:

x1(t0) = x0

1, . . . , xn(t0) = x

0

n, (9.1)

dizemos que (36) e (9.1) formam um problema de valor inicial (PVI).

Vejamos, atravs de um exemplo, que sistemas lineares envolvendo derivadasde ordem mais altas podem ser reduzidos a sistemas de primeira ordem:

246

Exemplo 125. Consideremos o sistema de equaes diferenciais lineares de segundaordem: {

2x = 6x+ 2y

y = 2x 2y + 40 sen 3t

Amudana de varivel

x1 = x x2 = x x3 = y x4 = y

nos diz que

x1

= x2 x

2= x x

3= x4 x

4= y

e permite que reescrevamos o sistema (125), como um sistema de primeiraordem:

x

1= x2

2x2

= 6x1 + 2x3

x3

= x4

x4

= 2x1 2x3 + 40 sen 3t

Se tivssemos as quatro condies iniciais relativas ao sistema de segunda or-dem (125), elas seriam naturalmente traduzidas nas quatro condies iniciaiscorrespondentes para o sistema de primeira ordem acima.

Equaes lineares de ordem n tambm podem ser vistas como sistemas li-neares de primeira ordem:

Exemplo 126. Consideremos a edo linear de terceira ordem:

x + 3x + 2x 5x = sen 2t. (9.2)

A mudana de varivel

x1 = x x2 = x x3 = x

nos diz que

x1

= x2 x

2= x3 x

3= x

e permite que reescrevamos a edo (9.2), como um sistema de primeira ordem:x

1= x2

x2

= x3

x3

= 3x3 2x2 + 5x1 + sen 2t

247

Teorema 25. Se as funes p11, . . . , pnn, g1, . . . , gn so contnuas em um intervaloaberto I = (, ), ento existe uma nica soluo x1 = 1(t), . . . , xn = n(t) dosistema (36), definida em todo o intervalo I , que tambm satisfaz as condies iniciais(9.1), onde t0 um ponto qualquer de I e x

0

1, . . . , x0n so nmeros reais arbitrrios.

Podemos usar uma notao matricial para os sistemas lineares, se denotarmos

P (t) =

p11(t) p1n(t)p21(t) p2n(t)

...pn1(t) pnn(t)

, ~x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

e ~g(t) =

g1(t)g2(t)...

gn(t)

,

podemos reescrever o sistema (36) na forma:

~x = P (t)~x+ ~g

Vamos considerar o sistema homogneo

~x = P (t)~x (9.3)

Veremos abaixo que o Princpio de superposio tambm vlido para sis-temas de edos.

Teorema 26 (Princpio de Superposio). Sejam ~x1, . . . , ~xn solues do problemahomogneo (9.3) no intervalo I , ento a combinao linear

ni=1

i~xi tambm soluode (9.3) quaisquer que sejam 1, . . . , n R.

Ou seja, o conjunto de solues do sistema homogneo um espao vetorial.A dimenso destes espao n. Portanto, para descrevermos completamente oconjunto de solues do sistema homogneo, basta encontrarmos n solueslinearmente independentes. Sejam ~x1, . . . , ~xn n solues do sistema homog-neo (9.3). Consideremos a matriz

X(t) =

x11(t) xn1(t)

......

xn1(t) xnn(t)

(9.4)

Para cada t fixado, sabemos que as colunas da matriz acima so linearmenteindependentes se e somente se o detX(t) 6= 0.

Definio 39. O determinante da matriz definida em (9.4), detX(t), chamado deWronskiano das n solues do sistema homogneo (9.3) e denotado porW [~x1, . . . , ~xn] = detX(t).

248

Teorema 27. Se ~x1, . . . , ~xn so solues do problema homogneo (9.3) no intervalo I ,ento W [~x1, . . . , ~xn] ou identicamente nulo ou nunca se anula nesse intervalo.

O Teorema 27 nos diz que ~x1, . . . , ~xn so solues de (9.3) no intervalo I =(, ), ento ~x1, . . . , ~xn so linearmente independentes se, e somente se, detX(t) 6=0 em algum ponto do intervalo I .

Teorema 28. Sejam ~x1, . . . , ~xn solues linearmente independentes do problema ho-mogneo (9.3) em um intervalo aberto I em que p11, . . . , pnn so contnuas. Ento

cada soluo ~x = ~(t) do sistema (9.3) pode ser expressa, de modo nico, como umacombinao linear de ~x1, . . . , ~xn

~(t) = 1~x1(t) + + n~xn(t), t I

Por esta propriedade, damos um nome especial a um conjunto de n solueslinearmente independentes.

Definio 40. Se ~x1, . . . , ~xn solues linearmente independentes do sistema homog-neo (9.3), dizemos que ~x1, . . . , ~xn formam um conjunto fundamental de solues daequao homognea.

Vejamos o caso no-homogneo. Se tivermos

~x = P (t) ~x+ ~g, (9.5)

pela linearidade, uma soluo geral de (9.5) dada por

~x(t) = ~xp(t) + 1 ~x1(t) + + n ~xn(t)

onde ~x1, . . . , ~xn formam um conjunto fundamental do problema homogneo(9.3) e ~xp(t) uma soluo particular do problema no homogneo. Isto ,

~xp = P (t) ~xp + ~g,

9.1 Sistemas de EquaesDiferenciais Lineares com

coeficientes constantes

x1

= a11x1 + + a1nxn + g1(t)

x2

= a21x1 + + a2nxn + g2(t)

...

xn = an1x1 + + annxn + gn(t)

249

Vejamos como resolver sistemas lineares com coeficientes constantes usandoa transformada de Laplace. Voltemos ao Exemplo 125. J sabemos que seassociarmos a este sistema quatro condies iniciais, ele tem soluo e ela nica. Veremos que podemos usar a transformada de Laplace diretamenteno sistema de segunda ordem tal como fizemos com as equaes lineares decoeficientes constantes.

Exemplo 127. Resolva o PVI{2x = 6x+ 2y

y = 2x 2y + 40 sen 3t

x(0) = x(0) = y(0) = y(0) = 0

Vamos aplicar a transformada nas equaes do sistema e usar as propriedadesque j conhecemos

2(s2L{x} s x(0) x(0)

)= L{2 x} = L{6 x+ 2 y} = 6L{x}+ 2L{y}

s2 L{y} s y(0) y(0) = L{y} = L{2 x 2 y + 40 sen 3t}

= 2L{x} 2L{y}+ 40L{sen 3t}

Observemos que novamente a transformada de Laplace nos dar um problemaalgbrico

(2 s2 + 6)L{x} 2L{y} = 0

2L{x}+ (s2 + 2)L{y} = 403

s2 + 9=

120

s2 + 9

L{x} =240

2((s2 + 2) (s2 + 3) 2

)(s2 + 9)

=120(

s4 + 5 s2 + 6 2)(s2 + 9)

=5

s2 + 1

8

s2 + 4+

3

s2 + 9,

logo,

x(t) = L1{

5

s2 + 1

8

s2 + 4+

3

s2 + 9

}= 5 sen t 4 sen 2t+ sen 3t.

Por outro lado:

L{y} =(2 s2 + 6)L{x}

2=

120 (s2 + 3)

(s2 + 1) (s2 + 4) (s2 + 9)=

10

s2 + 1+

8

s2 + 4

18

s2 + 9,

Ento

y(t) = L1{

10

s2 + 1+

8

s2 + 4

18

s2 + 9

}= 10 sen t+ 4 sen 2t 6 sen 3t.

250

Exemplo 128. Resolva o PVI {x = 2x 2y

y = 3x + y

x(0) = 5 y(0) = 0

Vamos aplicar a transformada de Laplace nas equaes do sistema e usar aspropriedades que j conhecemos:{

(s 2)L{x}+ 2L{y} = x(0) = 5

3L{x}+ (s 1)L{y} = y(0) = 0.

L{x} =5 (s 1)

s2 3 s 4=

2 (s 4) + 3 (s+ 1)

(s 4) (s+ 1)

x(t) = L1{

2

s + 1+

3

s 4

}= 2 et + 3 e4t

2L{y} = 5 (s 2)L{x} =5(s2 3 s 4

) 5 (s 2) (s 1)

s2 3 s 4

=5(s2 3 s 4

) 5 (s2 3 s + 2)

s2 3 s 4

= 30

(s 4) (s + 1)

= 6((s + 1) (s 4)

)(s 4) (s + 1)

y(t) = L1{

3

s 4+

3

s + 1

}= 3 et 3 e4t

[x(t)y(t)

]=

[2 et + 3 e4t

et e4t

]

Exemplo 129. Resolva o PVI {x = 2 x 3 y

y = y 2 x

x(0) = 8 y(0) = 3

251

Vamos aplicar a transformada de Laplace nas equaes do sistema e usar aspropriedades que j conhecemos:{

(s 2)L{x}+ 3L{y} = x(0) = 8

2L{x}+ (s 1)L{y} = y(0) = 3

L{x} =8 s 17

s2 3 s 4=

5 (s 4) + 3 (s+ 1)

(s 4) (s+ 1)

x(t) = L1{

5

s + 1+

3

s 4

}= 5 et + 3 e4t

3L{y} = 8 (s 2)L{x} =8(s2 3 s 4

) (s 2)(8 s 17)

s2 3 s 4

=

(8 s2 24 s 32

) (8 s2 33 s+ 34)

s2 3 s 4

=9 s 66

(s 4) (s+ 1)

=6 (s + 1) + 15 (s 4)

(s 4) (s + 1)

y(t) = L1{

2

s 4+

5

s + 1

}= 5 et 2 e4t

[x(t)y(t)

]=

[5 et + 3 e4t

5 et 2 e4t

]

Vejamos agora, como determinar a soluo geral de um sistema de primeiraordem usando a transformada de Laplace:

Exemplo 130. Encontre uma soluo geral de:{x = 4 x 3 y

y = 6 x 7 y

Vamos aplicar a transformada nas equaes do sistema e usar as propriedadesque j conhecemos:{

sL{x} x(0) = L{x} = L{4 x 3 y} = 4L{x} 3L{y}

sL{y} y(0) = L{y} = L{6 x 7 y} = 6L{x} 7L{y}

252

Observemos que novamente a transformada de Laplace nos dar um problemaalgbrico: {

(s 4)L{x}+ 3L{y} = x(0)

6L{x}+ (s + 7)L{y} = y(0)

L{x} =x(0)(s + 7) 3 y(0)

(s + 5)(s 2)=

A

s + 5+

B

s 2

=2 x(0) + 3 y(0)

7 (s + 5)+

9 x(0) 3 y(0)

7 (s 2)

x(t) = L1{2 x(0) + 3 y(0)

7 (s + 5)+

9 x(0) 3 y(0)

7 (s 2)

}

=2 x(0) + 3 y(0)

7e5t +

9 x(0) 3 y(0)

7e2t

L{y} =x(0)

3

(s 4)L{x}

3=

x(0)

3

(s 4)(x(0) (s + 7) 3 y(0)

)3 (s + 5)(s 2)

=x(0)

(s2 + 3 s 10 (s2 + 3 s 28)

)3 (s + 5) (s 2)

+A

s + 5+

B

s 2

=18 x(0)

3 (s+ 5) (s 2)+

y(0)

7 (s+ 5)

y(0)

7 (s 2)

=6 x(0) + y(0)

7 (s + 5)+

6 x(0) y(0)

7 (s 2)

y(t) = L1{6 x(0) + y(0)

7 (s + 5)+

6 x(0) y(0)

7 (s 2)

}

=6 x(0) + y(0)

7e5t +

6 x(0) y(0)

7e2t

Para obter a soluo geral, precisamos obter dois pares de solues linearmenteindependentes. Sabemos que duas solues ~x1 e ~x2 do sistema sero linear-mente independentes se tiveremWronskiano diferente de zero em pelo menosum ponto. Isto , se

detX(t) = det

[x1(t) x2(t)y1(t) y2(t)

]6= 0

253

Podemos tomar t = 0 e fazer escolhas dos valores das condies iniciais demodo que o determinante acima seja diferente de zero. Por exemplo:

x1(0) = 1, y1(0) = 2 e x2(0) = 3, y2(0) = 2,

ento:

W [~x1, ~x2](0) = det

[x1(0) x2(0)y1(0) y2(0)

]= det

[1 32 2

]6= 0

~x1(t) =

[e5t

37e5t + 3

7e2t

], ~x2(t) =

[e2t

16

21e5t 16

21e2t

]

formam uma base para o espao soluo do sistema e uma soluo geral daforma:

~x(t) = 1~x1(t) + 2~x2(t) = 1

[e5t

37e5t + 3

7e2t

]+ 2

[e2t

16

21e5t 16

21e2t

]

=

1e5t + 2e2t1[3

7e5t + 3

7e2t]+ 2

[16

21e5t 16

21e2t] =

1e5t + 2e2t

1629121

e5t + 9116221

e2t

9.2 Mtodo de Eliminao

Exemplo 131. Resolva o PVI {x = 4x 3y

y = 6x 7y

x(0) = 2 y(0) = 1

254

Vamos resolver a segunda equao para x

x =1

6y +

7

6y x =

1

6y +

7

6y

1

6y +

7

6y = x = 4 x 3 y =

4

6y +

28

6y 3 y

y + 7 y 4 y 28 y + 18 y = 0 y + 3 y 10 y = 0

r2 + 3 r 10 = (r 2) (r + 5) = 0 y(t) = k1 e2t + k2 e

5t

x(t) =1

6y +

7

6y =

1

6

(2 k1 e

2t 5 k2 e5t)

+7

6

(k1 e

2t + k2 e5t)

=3

2k1 e

2t +1

3e5t

2 = x(0) =3

2k1 +

1

3k2

1 = y(0) = k1 + k2, logo,

k1 = 2, k2 = 3

[x(t)y(t)

]=

[3e2t e5t

2e2t 3e5t

]

Um procedimento mais geral para o mtodo de eliminao se baseia na pro-priedade dos operadores diferenciais associados a equaes de coeficientesconstantes se comportarem como polinmios. Vejamos novamente o exemploacima

{x = 4x 3y

y = 6x 7y

{(D 4)x + 3y = 0

6x + (D + 7)y = 0

{L1x+ L2y = f1(t)

L3x+ L4y = f2(t)

Onde

L1 = D 4 L2 = 3 L3 = 6 L4 = D + 7 f1(t) = 0 f2(t) = 0.

Logo, {L3L1x+ L3L2y = L3f1(t)

L1L3x+ L1L4y = L1f2(t)

L3L1x L3L1x + L3L2y L1L4y = L3f1(t) L1f2(t)

(L3L2 L1L4)y = L3f1(t) L1f2(t)

255

(L3L2 L1L4)y = (18 (D 4)(D + 7)) y =( 18D2 3D + 28

)y

= D2y 3Dy + 10y = y 3y + 10y = 0

{L4L1x + L4L2y = L4f1(t)

L2L3x + L2L4y = L2f2(t),

ento:

(L4L1 L2L3)x = L4f1(t) L2f2(t)

0 = L4f1(t) L2f2(t) = (L4L1 L2L3)x = (L3L2 L1L4)x = x + 3x 10x

x(t) = 1e2t + 2e

5t y(t) = 1e2t + 2e

5t

0 = x 4x+ 3y = 21e2t 52e

5t 41e2t 42e

5t + 31e2t + 32e

5t

= (21 + 31)e2t + (92 + 32)e

5t

como as funes e2t e e5t so l.i.

21 + 31 = 0

92 + 32 = 0.

Logo:

y(t) = 1e2t + 2e

5t

x(t) = 1e2t + 2e

5t =3

21e

2t +1

32e

5t

256

9.3 Exerccios

1. Usando a transformada de Laplace, encontre uma soluo geral para os se-guintes sistemas

a)

{x = y x

y = x 3yb)

{4x y + 3x = sen t

x + y = cos t

c)

{x + 2x+ y = sen t

y 4x 2y = cos td)

{x + y + x = et

x + y = 1

2. Resolva os sistemas abaixo por substituio

a)

{x = x + 3y

y = 2y b)

x = 3x + 2y

y = 3x + 4y

x(0) = 0, y(0) = 2

c)

{x = 3x 4y

y = 2x+ yd)

{x = 4x + y + 2t

y = 2x + y

e)

{x = 2x 3y + 2 sen 2t

y = x 2y cos 2tf)

{2y x = x + 3y + et

3x 4y = x 15y + et

g)

{x = 5x + 2y

y = 2x 8yh)

{x 3y 2x = 0

y + 3x 2y = 0

i)

{x + y 3x y 2x + 2y = 0

2x + 3y 9x 2y 4x+ 6y = 0

257