Sistemas Numerao

Sistemas NumeraoEstudos dos Sistemas de NumeraoApresenta conceitos sobre os Sistemas de Numerao utilizados em computao (Binrio, Octal e Hexadecimal), sempre comparando esses sistemas com o sistema Decimal. Mtodos de converso entre os diversos Sistemas de Numerao.

SumrioSistemas de Numerao3Sistema Decimal3Sistema Binrio3Sistema Octal4Sistema Hexadecimal4Converso entre os Sistemas de Numerao4Converso Decimal para Binrio.5Converso Binrio para Decimal.5Converso Decimal para Octal5Converso Octal para Decimal6Converso Octal para Binrio6Converso Binrio para Octal6Converso Decimal para Hexadecimal6Converso Hexadecimal para Decimal6Converso Hexadecimal para Binrio77Converso Binrio para Hexadecimal7Exerccios8

Sistemas de NumeraoOs sistemas de numerao surgiram da necessidade de o homem expressar grandezas numricas. Os primeiros sistemas utilizavam smbolos fixos para cada valor (como por exemplo os nmeros romanos). Esse tipo de Sistema tem o inconveniente de se precisa criar um smbolo novo para cada novo valor que se deseja representar. Alm disso, operaes (como somar, subtrair, etc) so extremamente complexas nesse tipo de Sistema. Com isso os Sistemas que mais se desenvolveram foram os sistemas posicionais, nos quais alm de um smbolo representar um valor, esse valor depende da posio desse smbolo no nmero. No nosso dia-a-dia usamos muito o Sistema decimal, mas em computao existem outros sistemas de numerao mais adequados representao de informaes pelos computadores, que so o Binrio, o Octal e o HexadecimalSistema DecimalO sistema de numerao que usamos no nosso dia a dia o sistema de numerao decimal ou de base dez. Chama-se assim porque utiliza dez algarismos ou dgitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Esse tipo de sistema dito posicional, pois o valor efetivo de um algarismo est diretamente ligado posio desse algarismo no nmero. Por exemplo, os nmeros 09 e 90 so totalmente diferentes (em termos de valor) para ns, apesar de utilizarem os mesmos algarismos. A diferena est na ORDEM desses algarismos no nmero. Ou seja, para saber o valor correto do nmero, precisamos fazer as SOMAS dos valores dos milhares, centenas, dezenas e unidades. o mesmo que dizer que um nmero decimal (ou na base 10) representado pela soma de vrias potncias de dez, com coeficientes indo de 0 a 9. Vejam os exemplos:09 = (0 X 101) + (9 X 100) => (0 X 10) + (9 X 1) => 990 = (9 X 101) + (0 X 100) => (9 X 10) + (0 X 1) => 90123 = (1 x 102) +( 2 x 101)+( 3 x 100) => (1 X 100)+(2 X 10)+(3 X 0) => 1234321 = (4 x 103)+(3 x 102)+(2 x 101)+(1 x 100) => (4 X 1000)+(3 X 100)+(2 X 10)+(1 X 1) => 4321.

Sistema BinrioO sistema binrio o mais elementar pois possui apenas dois smbolos. Portanto denotaremos sistemas binrios como sendo base 2. Na sequncia binria, cada digito chamado de BIT (Binary Digit). Como vimos, um computador sempre representa os dados por uma sequencia de bits que podem armazenar valores 0 e 1. Por essa razo precisamos ter um mnimo de conhecimento sobre esse sistema de numerao, apesar de ele ser bastante complexo para entendimento primeira vista.O sistema binrio , tambm, base para a lgebra booliana (de George Boole matemtico ingls), que permite fazer operaes lgicas e aritmticas usando-se apenas dois dgitos ou dois estados (sim ou no, verdadeiro ou falso, tudo ou nada, ligado ou desligado, 1 ou 0). Toda a eletrnica digital e computao esto baseadas nesse sistema binrio e na lgica de Boole, que permite representar por circuitos electrnicos digitais (portas lgicas) os nmeros, caracteres, realizar operaes lgicas e aritmticas. Os programas de computadores so codificados sob a forma binria e armazenados nas mdias (memrias, discos, etc) sob esse formato. Assim, para informao armazenada na memria RAM do computador, o formato ser de voltagem mais alta (1) ou mais baixa (0).Por tambm se tratar de um sistema posicional, o nmero representado pela sequencia de smbolos binrios tambm depende de sua posio, ou seja, para saber o valor correto do nmero em binrio, precisamos fazer as SOMAS dos valores de sua posio, porm utilizando potncias de 2 (ou base 2). Vejam os exemplos:10 = (1 X 21) + (0 X 20) => (1 X 2) + (0 X 1) = 2. Ou seja, o binrio 10 o decimal 2!100 = (1 X 22) + (0 X 21) + (0 X 20) => (1 X 4) + (0 X 2) + (0 X 1) = 4. Ou seja, o binrio 100 o decimal 4!Sistema OctalO Sistema Octal um sistema de numerao posicional cuja base 8, ou seja, utiliza 8 smbolos para a representao de quantidade. Estes smbolos so os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7.O octal foi muito utilizado em informtica como uma alternativa mais compacta ao binrio na programao em linguagem de mquina. Hoje, o sistema hexadecimal mais utilizado como alternativa ao binrio.Sistema HexadecimalO Sistema Hexadecimal um sistema de numerao cuja base 16. Hoje esse sistema de 16 dgitos, um standard na informtica, pois, como vimos anteriormente, usamos muito o conceito de byte (conjunto de 8 bitis) e com apenas 2 dgitos em hexadecimal somos capazes de representar a mesma informao que um byte!Ele muito utilizado para representar nmeros binrios de uma forma mais compacta, pois muito fcil converter binrios para hexadecimal e vice-versa. Dessa forma, esse sistema bastante utilizado em aplicaes de computadores e microprocessadores (programao, impresso e displays).Devido ao sistema decimal geralmente usado para a numerao apenas dispor de dez smbolos, deve-se incluir seis letras adicionais para completar o sistema. O conjunto de smbolos hexadecimal fica, portanto, assim: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.Converso entre os Sistemas de NumeraoMuito provavelmente em algum momento precisaremos fazer converses entre um tipo de sistema de numerao e outro. Cada uma das converses segue um conjunto de regras particulares, apesar de alguns tipos de converso seguirem a mesma regra. Para tentar simplificar algumas converses, abaixo segue uma tabela de correlao entre os sistemas vistos.

Converso Decimal para Binrio.A converso de decimal para binrio (ou seja da base 10 para a base 2), consiste em dividir progressivamente o valor decimal por 2, obtendo-se um resultado e um resto. O resultado em cada iterao ter sempre o valor de 0 ou 1. Deve-se dividir o nmero at que o quociente da diviso seja igual a 0 (zero). Depois de finalizado o clculo, basta agrupar o ltimo cociente e todos os valores (ou seja, os restos de cada iterao) de baixo para cima. Veja o exemplo:

Converso Binrio para Decimal.Um nmero converte-se da base 2 para a base 10 atravs da soma das vrias potncias de 2 multiplicadas pelos respectivos coeficientes. Veja o exemplo:10110(2) = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22(10)Converso Decimal para OctalUm nmero inteiro converte-se da base 8 para a base 2 utilizando o mtodo das divises sucessivas. Divide-se o nmero e os sucessivos quocientes que forem sendo obtidos por oito at que o ltimo quociente seja menor ou igual a 7. Escrevem-se (da esquerda para a direita) o ltimo quociente e todos os restos (pela ordem inversa que foram obtidos).

Converso Octal para DecimalUm nmero converte-se da base 8 para a base 10 atravs da soma das vrias potncias de 8 multiplicadas pelos respectivos coeficientes.476(8) = 4 x 82 + 7 x 81 + 6 x 80 = 4 x 64 + 7 x 8 + 6 x 1 = 256 + 56 + 6 = 318(10)Converso Octal para BinrioBasta substituir cada dgito do nmero octal pelo seu correspondente em binrio (com 3 bits), e assim obter a converso desejada.

Converso Binrio para OctalBasta separar o nmero binrio de trs em trs dgitos da direita para a esquerda e depois substituir pelo seu correspondente octal, obtendo assim a converso desejada. Caso o ltimo conjunto no possua 3 bits, completar com zero esquerda.Converso Decimal para HexadecimalUm nmero inteiro converte-se da base 10 para a base 16 utilizando o mtodo das divises sucessivas. Divide-se o nmero e os sucessivos quocientes que forem sendo obtidos por 16 at que o ltimo quociente seja menor ou igual a 15. Escrevem-se (da esquerda para a direita) o ltimo quociente e todos os restos (pela ordem inversa que foram obtidos).

Converso Hexadecimal para DecimalUm nmero converte-se da base 16 para a base 10 atravs da soma das vrias potncias de 16 multiplicadas pelos respectivos coeficientes.3F(16) = 3 x 161 + F x 160 = 3 x 16 + 15 x 1 = 48 + 15 = 63(10)1FC9(16) = 1 x 163 + F x 162 + C x 161 + 9 x 160 = 1 x 4096 + 15 x 256 + 12 x 16 + 9 x 1 = 8137(10)Converso Hexadecimal para BinrioBasta substituir cada dgito do nmero hexadecimal pelo seu correspondente em binrio (4 bits), e assim obter a converso desejada.

Converso Binrio para HexadecimalBasta separar o nmero binrio de quatro em quatro dgitos da direita para a esquerda e depois substituir pelo seu correspondente hexadecimal, obtendo assim a converso desejada. Caso o ltimo conjunto no possua 4 bits, completar com zero esquerda.

Exerccios1) As bases dos sistemas de numerao binrios, octais, decimais e hexadecimais so ________, ________, ________ e ________ , respectivamente.2) Faa uma tabela com os binrios e hexadecimais equivalentes aos decimais de 0 at 255.3) Converta o binrio 110101011000 em octal e hexadecimal.4) Converta o hexadecimal FACE em binrio.5) Converta o octal 7316 em binrio.6) Converta o binrio 1101110 em decimal.7) Converta o octal 317 em decimal.8) Converta o hexadecimal EFD4 em decimal.9) Converta o decimal 177 em binrio, em octal e em hexadecimal.