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5910236 – Física II (Química) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 13

1

Ondas sonoras harmônicas

Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras

propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita

em termos de três variáveis medidas em relação ao equilíbrio:

deslocamento, variação da pressão e variação da densidade.

As equações de onda unidimensionais para essas três variáveis são

(lembre-se que elas são válidas para a mesma onda sonora):

2

2

22

2 1 :toDeslocamentu

vxu

∂

∂=

∂

∂, (1)

( )2

2

22

2 1)( :Pressãotvx

P∂

∂=

∂

∂ δρδ, (2)

( )2

22

2

2 )( :Densidadex

vt ∂

∂=

∂

∂ δρδρ. (3)

Note que elas são idênticas à equação de onda unidimensional que

obtivemos antes para a corda vibrante. Portanto, todos os fenômenos

vistos quando estudamos ondas na corda vibrante também ocorrerão

para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão.

Por causa disso, nesta aula vamos estudar apenas alguns aspectos

ondulatórios peculiares ao som.


2

Vamos considerar inicialmente a equação (1), em que a onda sonora

é descrita como uma onda de deslocamento.

Para facilitar a descrição matemática, vamos tomar a solução de (1)

dada por uma onda sonora harmônica propagando-se para a direita1

( )ϕω +−= tkxUtxu cos),( . (4)

Nesta equação, U é a máxima amplitude que o deslocamento u de

uma partícula do meio pode atingir. O comprimento de onda é dado

por

kπ

λ2

= (5)

e a frequência é dada por

Tf 1

2==

πω

, (6)

onde T é o período. A frequência e o comprimento de onda estão

relacionados por

vf =λ , (7)

onde v é a velocidade de propagação do som no meio, dada por

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

ρPv . (8)

1 Como a equação (1) é uma equação de onda, sabemos que a onda harmônica da equação (4) é uma solução de (1). Da mesma forma, uma onda harmônica propagando-se para a esquerda também é solução.


3

Vamos agora considerar a onda sonora em termos das suas

representações como onda de pressão e como onda de densidade.

Comecemos com a representação como onda de pressão.

A questão de interesse aqui é: se a onda de deslocamento é a onda

harmônica dada por (4), qual será a expressão para a onda de

pressão correspondente? Sabemos que ela também será uma onda

harmônica, pois fisicamente não faz sentido o comportamento ser

harmônico em termos do deslocamento e não ser harmônico em

termos da pressão. Porém, será que a onda harmônica de pressão

terá a mesma fase que a onda harmônica de deslocamento? E a

amplitude, qual será o seu valor? Estas são as perguntas que

queremos responder a seguir.

Para responder às perguntas acima, vamos obter uma expressão para

a onda sonora harmônica de pressão diretamente da equação (4) para

a onda harmônica de deslocamento. Para tal, lembremos que na aula

passada, deduzimos as seguintes expressões (equações 5 e 12 da

aula 17):

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρδρδ

ddPP (9)

e


4

),(0 txxu∂

∂−= ρδρ . (10)

Substituindo (10) em (9):

),(0

0 txxu

ddPP

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρρδ . (11)

Lembrando que a velocidade de propagação da onda é (equação 8)

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

ρPv ,

podemos escrever

),(20 tx

xuvP∂

∂−= ρδ . (12)

Derivando a equação (4) em relação a x:

( )ϕω +−−=∂∂ tkxkUxu sen

e substituindo em (12) obtemos a expressão desejada:

( ) ( )ϕωδϕωρδ +−≡+−= tkxPtkxkUvP sensen max2

0 , (13)

onde

kUvP 20max ρδ = (14)

é a amplitude da onda harmônica de pressão (o valor máximo que a

variação da pressão em relação ao equilíbrio pode atingir).


5

Portanto, a onda harmônica de pressão está defasada de π/2 em

relação à onda harmônica de deslocamento (dizemos que elas estão

em quadratura).

Podemos entender fisicamente a origem da defasagem de 90o entre

as ondas de pressão e de deslocamento analisando a figura abaixo.

No gráfico de cima, temos como o deslocamento u varia com a

distância x no instante t = 0 (equação 4). No gráfico de baixo, temos

a variação da pressão δP em função da distância x também para o

instante t = 0 (equação 13).


6

Note que a variação da pressão está defasada em relação ao

deslocamento por 90o.

No desenho entre os dois gráficos, temos, na parte de cima, as

posições de algumas partículas do meio no equilíbrio, antes da

ocorrência da onda (bolinhas brancas). Na parte de baixo do

desenho, as mesmas partículas da parte de cima são mostradas

deslocadas conforme o deslocamento determinado pelo gráfico de u

(bolinhas negras). Setas foram desenhadas para ilustrar por quanto

cada partícula foi deslocada.

Observe que as partículas nas posições em que u = 0 não sofrem

qualquer deslocamento e que as partículas nas posições em que u é

máximo ou mínimo sofrem os maiores deslocamentos.

Correspondentemente, vemos pelo gráfico da variação da pressão

que os casos em que u = 0 podem ser: o de máxima pressão (quando

as partículas se deslocam em direção à partícula parada) ou o de

mínima pressão (quando as partículas se afastam da partícula

parada). Já os casos em que u é máximo ou mínimo correspondem

às situações em que a pressão está no valor de equilíbrio, pois o

afastamento das partículas para um lado é compensado pela

aproximação das partículas pelo outro.


7

Poderíamos também descrever a onda harmônica em termos da onda

de densidade. Isto, no entanto, é desnecessário, pois pela equação (9)

vemos que as variações de pressão e de densidade são diretamente

proporcionais,

22

vPvP δ

δρδρδ =⇒= ,

de maneira que o comportamento da onda de densidade é igual ao da

onda de pressão, diferindo apenas na amplitude:

( ) ( )ϕωδρϕωρδρ +−≡+−= tkxtkxkU sensen max0 . (15)

Portanto, basta usar as representações da onda sonora como onda de

deslocamento ou como onda de pressão para estudá-la.

Vamos agora usar as expressões para as ondas de deslocamento e de

pressão obtidas acima para calcular a intensidade da onda sonora

harmônica.

A intensidade de uma onda é definida como a energia média

transportada pela onda por unidade de área perpendicular à sua

direção de propagação e por unidade de tempo.

Como estamos considerando o caso de uma onda sonora harmônica

unidimensional, o cálculo da intensidade da onda é muito parecido


8

com o feito na aula 14 para obter a intensidade de uma onda

harmônica propagando-se pela corda.

Consideremos novamente a situação da aula 17 (página 8) em que a

onda sonora está passando por um tubo cilíndrico imaginário de área

de seção reta A. Consideremos uma região desse tubo imaginário

que, no equilíbrio, ocupa um volume igual a AΔx, de maneira que a

massa de fluido nele contida é M = ρ0AΔx. Certifique-se de que você

entende porque usamos ρ0 e não ρ para calcular esta massa.

Supondo que a onda sonora é harmônica, a energia cinética média da

quantidade de fluido de massa M é igual à sua energia potencial

média. Portanto, a energia total média da quantidade de fluido é

igual à sua energia cinética máxima: 2

max0

2

max 21

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂Δ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=

tuxA

tuME ρ . (16)

Da equação (4) temos que

( )ϕωω +−−=∂∂ tkxUtu sen ,

de maneira que

Utu

ω=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

max. (17)

Então,


9

2202

1 UxAE ωρ Δ= . (18)

A taxa com que essa energia é transferida é a potência média da

onda sonora harmônica:

220

220 2

121 UAvU

txA

tEP ωρωρ =

Δ

Δ=

Δ= (19)

e a intensidade é a potência dividida pela área da seção reta do tubo

imaginário

2202

1 UvAPI ωρ== . (20)

Compare esta expressão com a da intensidade de uma onda

harmônica numa corda vibrante (equação 37 da aula 14). Observe

que nos dois casos a intensidade é proporcional à densidade do

meio, à velocidade de propagação da onda, ao quadrado da

frequência e ao quadrado da amplitude (no caso aqui, da onda de

deslocamento).

Usando a equação (14), podemos também expressar a intensidade

em termos da amplitude da onda de pressão. A equação (14) implica

que

ωρδ

ρδ

vP

kvPU

0

max2

0

max == , (21)


10

onde se usou a relação ω = vk. Substituindo (21) em (20) temos

( )v

PI0

2max

21

ρδ

= . (22)

Note que a intensidade da onda sonora harmônica, expressa em

termos da amplitude da onda de pressão, continua a ser proporcional

ao quadrado da amplitude da onda, mas não depende da frequência.

Este resultado sugere que para medir I é mais conveniente usar

detectores de variação de pressão do que de deslocamento.

Exemplo: O som mais baixo que o ouvido humano pode detectar a

uma frequência de 1000 Hz corresponde a uma intensidade de

aproximadamente 1,00 × 10-12 W/m2 (o chamado limiar de

audibilidade). O som mais alto que o ouvido humano pode tolerar

corresponde a uma intensidade de aproximadamente 1,00 W/m2 (o

chamado limiar de dor). Vamos calcular as amplitudes das ondas de

pressão e de deslocamento associadas a esses dois limites.

Primeiramente, consideremos o caso do limiar de audibilidade.

Usando a equação (22) e tomando v = 343 m/s para a velocidade do

som no ar e ρ0 = 1,29 kg/m3 como a densidade do ar, obtemos

250max N/m 1097,22 −×== vIP ρδ . (23)


11

Como a pressão atmosférica vale aproximadamente P0 = 105 N/m2,

este resultado nos diz que o ouvido humano pode discernir

flutuações relativas de pressão tão pequenas quanto

%)00000003,0( 10310103 10

5

5

0

max

0

0max −−

×=×

≈=−

PP

PPP δ

.

O deslocamento máximo associado ao limiar de audibilidade pode

ser calculado da equação (21)

( )( )( )m 1007,1

m/s 343s 102kg/m 1,29N/m 1097,2 11

1-33

25

0

max −×=×

×==

πωρδvPU . (24)

Este é um número verdadeiramente muito pequeno! Ele é menor que

o diâmetro típico de um átomo (10-10 m)! Portanto, o ouvido humano

é um detector de ondas sonoras extremamente sensível.

Passando agora para o limiar de dor, fica como exercício para casa

determinar que as amplitudes de pressão e de deslocamento

correspondentes são, respectivamente

atm 103~N/m 30 42max

−×=Pδ (25)

e

mm 101~m 101,1 -25 ××= −U . (26)

Este exemplo ilustra bem o fato de que a intensidade depende da

frequência, pois o ouvido humano consegue suportar uma variação

de pressão bem maior que 3×10-4 atm sem sentir dor. Por exemplo,


12

quando estamos submersos alguns metros dentro d’água chegamos a

tolerar aumentos de pressão de até 0,5 atm. Isto porque nesse caso a

frequência é zero, ou seja, a pressão é estática.

O exemplo acima nos mostra quão ampla é a faixa de intensidades

que o ouvido humano pode detectar: de 10-12 W/m2 a 1 W/m2. Como

essa faixa de intensidades é muito larga, é conveniente usar uma

escala logarítmica para expressar as intensidades sonoras.

Define-se o nível de intensidade sonora β como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0

log10II

β , (27)

onde a constante I0 é a intensidade de referência, tomada como a

intensidade do limiar de audibilidade,

W/m1000,1 120

−×=I , (28)

e I é a intensidade em W/m2 correspondente ao nível de intensidade

sonora β.

A unidade de nível de intensidade é o decibel (dB), nome dado em

homenagem ao inventor escocês, naturalizado norte-americano,

Alexander Graham Bell (1847-1922)2.

2 Antigamente Graham Bell era tido como o inventor do telefone. Atualmente, sabe-se que o verdadeiro inventor (até prova em contrário) foi o italiano Antonio Meucci (1808-1889), que vendeu a patente de sua invenção para Graham Bell em 1876.


13

Nesta escala, o nível de intensidade do limiar de audibilidade é

dB 0log100

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

II

β (29)

e o nível de intensidade do limiar de dor é

dB 12010

1log10 12 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≡

−β . (30)

A exposição prolongada a altos níveis de intensidade sonora pode

causar sérios danos ao ouvido. Por exemplo, recomenda-se o uso de

protetores auriculares (ou protetores de ouvido) quando se fica

muito tempo exposto a níveis de intensidade sonora acima de 90 dB.

A tabela abaixo dá valores típicos de intensidade sonora para

algumas fontes sonoras.

Fonte do som β (dB)

Avião a jato próximo 150

Britadeira; metralhadora 130

Sirene; Show de rock 120

Trem de metrô; cortador de grama 100


14

Tráfico pesado 80

Aspirador de pó 70

Conversa normal 50

Zunido de um mosquito 40

Sussurro 30

Farfalhar de folhas 10

Um fenômeno ondulatório comum tanto a ondas na corda vibrante

como a ondas sonoras em uma coluna de ar é o de ondas

estacionárias.

O mecanismo físico pelo qual ondas estacionárias são geradas em

uma coluna de ar é o mesmo pelo qual elas são geradas na corda

vibrante. Ondas sonoras harmônicas propagando-se em sentidos

opostos no interior da coluna de ar interferem e produzem ondas

estacionárias.

No caso da corda as ondas são transversais e no caso da coluna de ar

as ondas são longitudinais, mas como nos dois casos a equação de

onda é unidimensional a matemática usada na análise é a mesma.

Quando ocorre uma onda estacionária em uma coluna de ar, os

deslocamentos de todas as partículas do ar oscilam com a mesma


15

frequência. Portanto, cada onda estacionária corresponde a um modo

normal de oscilação do sistema. Assim como no caso das ondas

estacionárias na corda, os diferentes modos normais das ondas

estacionárias na coluna de ar podem ser arranjados em ordem

crescente de frequência. O modo normal de menor frequência é

chamado de fundamental (ou primeiro harmônico) e os modos

subsequentes são chamados de segundo harmônico, terceiro

harmônico, etc.

Vamos considerar colunas de ar que podem ter uma de suas

extremidades fechada ou aberta. A outra extremidade é sempre

aberta para que a onda sonora, supostamente gerada fora da coluna,

possa entrar na coluna.

O que acontece com as variáveis que estamos usando para

caracterizar a onda sonora (deslocamento de partículas e variação da

pressão) na extremidade aberta ou fechada de uma coluna de ar?

A extremidade fechada da coluna de ar é um nodo de deslocamento,

pois a parede da coluna impede que moléculas de ar se movam

através dela. Uma consequência disso é que na extremidade fechada

de uma coluna de ar a onda sonora refletida está defasada de 180o

em relação à onda incidente (a situação é análoga à da reflexão de

uma onda na extremidade fixa de uma corda).


16

Vimos anteriormente nesta aula que, no caso de ondas harmônicas, a

onda de pressão está defasada de 90o em relação à onda de

deslocamento. Portanto, a extremidade fechada de uma coluna de ar

é um ventre (ou antinodo) de pressão. Isto significa que na

extremidade fechada de uma coluna de ar a variação da pressão é

máxima.

A extremidade aberta de uma coluna de ar é um nó de pressão, pois

ela está aberta para a atmosfera e o ar na fronteira entre a coluna e a

atmosfera tem que estar à mesma pressão da atmosfera.

Usando novamente o fato de que as ondas de pressão e de

deslocamento estão em quadratura, o resultado acima implica que a

extremidade aberta de uma coluna de ar é um ventre de

deslocamento. Isto implica que uma onda sonora refletida na

extremidade aberta não muda de fase em relação à onda incidente.

Os dois últimos resultados enunciados acima para extremidades

abertas de colunas de ar não são exatos. A extremidade aberta de

uma coluna de ar não é exatamente um ventre de deslocamento ou

um nodo de pressão. Quando uma região de condensação de ar

chega à extremidade aberta de uma coluna de ar, ela passa um pouco

para fora da coluna antes de ser refletida.


17

Para uma coluna de ar de seção reta circular e paredes finas, a

extremidade aberta só pode ser considerada um ventre de

deslocamento se ao comprimento L da coluna for adicionada uma

“correção terminal” de aproximadamente 0,6R, onde R é o raio da

coluna. Isto faz com que o comprimento efetivo da coluna de ar seja

um pouco maior que o seu comprimento real. No que se segue,

porém, vamos desprezar esta correção e continuar considerando que

a extremidade aberta da coluna é um ventre de deslocamento e um

nodo de pressão.

Vamos agora aplicar os resultados vistos acima para obter as ondas

estacionárias possíveis para dois tipos de colunas de ar: (1) com as

duas extremidades abertas; e (2) com uma das extremidades fechada

e a outra aberta. Por razões históricas, vamos chamar esses dois

casos de (1) tubo de órgão aberto; e (2) tubo de órgão fechado. Nos

dois casos, o comprimento do tubo será L.

Vejamos primeiro o caso do tubo de órgão aberto. Vamos fazer

nossa análise usando a representação em termos de ondas de

deslocamento. Como as duas extremidades do tubo de órgão neste

caso estão abertas, a análise feita acima nos diz que as extremidades

são ventres de deslocamento. Portanto, não importa o modo normal


18

considerado, olhando para as extremidades do tubo teremos algo

como o mostrado esquematicamente na figura abaixo.

Observe que nas duas extremidades há ventres de deslocamento. No

interior do tubo, por outro lado, ainda não sabemos como esses

deslocamentos se comportam. Sabemos, porém, que eles devem

variar como ondas harmônicas estacionárias, ou seja, seu perfil

espacial deve ser como no desenho abaixo.

O problema a ser resolvido, portanto, pode ser visto como um

problema geométrico: de quantas maneiras possíveis pode-se

construir ondas harmônicas estacionárias como a acima (com

comprimentos de onda maiores ou menores) que “caibam” dentro do

comprimento L tubo e tenham ventres nas duas extremidades?

Tente resolver este exercício em casa. Mostramos abaixo as três

primeiras maneiras possíveis de se resolver o problema (as três

primeiras ondas estacionárias). O pedaço de cor vermelha na figura


19

de cima tem apenas finalidade didática: Ele mostra o resto do

comprimento de onda, que não existe porque a onda termina na

extremidade do tubo.

A partir das figuras acima, podemos generalizar e dizer que num

tubo de órgão aberto os comprimentos de onda possíveis são dados

por

)1,2,3, ( 2…== n

nL

nλ (31)

e as frequências correspondentes (as freqüências dos modos

normais) são

),3,2,1( 2 1 …=== nnfLnvfn , (32)

onde


20

Lvf21 = . (33)

Vejamos agora o caso do tubo de órgão fechado. Vamos obter os

modos normais para este caso de uma maneira diferente da feita

acima para o tubo de órgão aberto. Ao invés de usar um método

geométrico e fazer uma indução, vamos usar o mesmo método

analítico usado na aula 16 quando determinamos os modos normais

da corda vibrante.

Vamos considerar que o tubo de órgão fechado é como o mostrado

na figura abaixo, ou seja, a sua extremidade fechada está em x = 0 e

a sua extremidade aberta está em x = L.

Como estamos interessados em ondas estacionárias, sabemos que a

onda de deslocamento deve ser da forma (lembre-se da aula 16)

( )ϕω += txUtxu cos)(),( (34)

com

( ) ( )kxbkxaxU sencos)( += . (35)


21

As condições de contorno para este problema são

max)(0)0(ULU

U=

=, (36)

pois a extremidade fechada é um nodo de deslocamento e a

extremidade aberta é um ventre de deslocamento.

A condição de contorno para x = 0 implica que a constante a em (35)

é zero. Logo,

( )kxbxU sen)( = . (37)

A única maneira de esta equação satisfazer a condição de contorno

para x = L é que b = Umax e

( ) 1sen =kL . (38)

A condição (38) implica que

ímpar) ( 2nnkL π

= . (39)

Como k = 2π/λ, esta condição pode ser reescrita como

ímpar) ( 4 nnL

n =λ . (40)

Estes são os comprimentos de onda possíveis das ondas

estacionárias em um tubo de órgão fechado. As frequências

possíveis são, portanto


22

ímpar) ( 4

nLnvfn = , (41)

com a frequência fundamental sendo dada por

Lvf41 = . (42)

Note que apenas os harmônicos ímpares da série harmônica estão

presentes neste caso:

)1,3,5,( 1 …== nnffn . (43)

Os três primeiros harmônicos desta série estão mostrados na figura

abaixo.


23

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