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José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 1

Sinais e Sistemas Mecatrónicos

José Sá da Costa

Modelação de Sistemas Físicos Variáveis e Elementos

do Sistema


Modelação de Sistemas Físicos Sinais

Vimos anteriormente que para o estudo de sinais necessitávamos de uma representação matemática dos mesmos, isto é, um modelo matemático que traduzisse inequivocamente as características dos sinais função das suas coordenadas independentes (ex. tempo, coordenadas espaciais, frequência).

Essa representação pode tomar várias formas:

•  expressão analítica fechada (ex. A sen ωt) •  expressão analítica não fechada (ex. série de Fourier) •  sequência discreta (ex. sinal amostrado) •  tabela, com as colunas para as variáveis independentes e uma outra com o valor do sinal •  gráfico (abcissas para as coordenadas independentes, e nas ordenadas o valor do sinal)


Modelação de Sistemas Físicos Sistemas

Verificámos anteriormente que um sistema é um mero proces-sador de sinais, com entradas, saídas e perturbações.

No caso de sistemas lineares contínuos, invariantes no tempo (LIT) com uma só entrada e uma só saída (SISO) temos

A representação do modelo do sistema pode tomar várias formas: •  expressão analítica fechada •  expressão analítica não fechada •  tabela •  gráfico •  diagrama de blocos

y(t) = g(τ )x(t −−∞

∞∫ τ )dτ

Y (s) = L y(t){ } = L g(τ )x(t −−∞

∞∫ τ )dτ{ } = G(s)X (s)

⎫⎬⎭modelo paramétrico

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

modelo não paramétrico


Modelação de Sistemas Físicos

g(t) resposta impulsional contínua

G(s) = Y(s)/X(s) = L[g(t)] função de transferência contínua

Sistema g(t)

x(t) y(t)

Sistema LIT-SISO Parâmetros concentrados

Modelo do Sistema – descrição matemática do sistema função de grandezas físicas


Modelação de Sistemas Físicos Como obter o modelo físico do Sistema ?

1 - Através das leis físicas (primeiros princípios) e estimação dos parâmetros do modelo (modelação), por exemplo a lei de Ohm

I entrada V = R.I V saída

R parâmetro a estimar

Notar que I ser a entrada ou a saída (e vice-versa com V) é arbitrário, ou então, as condições físicas reais o determinam, i.e. se I for devido a uma fonte de corrente (entrada) então V é o resultado da corrente a passar pela resistência (saída).

2 - Através de identificação do sistema, i.e. identificação da estrutura do modelo (família de funções matemáticas a que o comportamento obedece), seguido da estimação dos parâmetros da estrutura.


Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo

1 – Saber qual o objectivo para que se quer o modelo.

2 – Estabelecer a fronteira entre o que é relevante para o objecto em estudo e o que não é relevante.

3 – Definir o que é entrada (causa), o que é saída (efeito) e eventualmente o que é perturbação.

4 – Definir sob o ponto de vista físico quais os fenómenos elementares que estão presentes. Normalmente, associados a estes estão elementos ideais de acumulação e de dissipação de energia, com relações constitutivas e relações dinâmicas próprias.

5 – Estabelecer o encadeamento entre os elementos ideais, i.e. as relações de interligação entre estes elementos.

6 – Com base nas relações constitutivas, relações dinâmicas e relações de interligação, eliminam-se as variáveis que não são a entrada e a saída, obtendo-se a equação diferencial que rela-ciona a entrada com a saída (representação externa).


Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo (cont.)

7 - Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, obtém-se a função de transferência G(s) = Y(s)/X(s). Fazendo X(s) = δ(t) e calculando a transformada de Laplace inversa, obtém-se g(t) a resposta impulsional do sistema.

8 – Após a obtenção do modelo (eq. diferencial, função de tranferência, resposta impulsional, etc.) deve-se estimar os parâmetros do modelo por via experimental, caso não sejam conhecidos. Isso faz-se comparando a resposta no tempo (ou na frequência) da saída y(t), do modelo e dos dados experimen-tais, para uma mesma entrada, ajustando os parâmetros de forma a minimizar o erro existente entre estas.

9 – Caso o modelo não seja linear deve-se linearizá-lo em torno do ponto (ou pontos) de operação adequado(s).

10 – Quando o modelo está completo deve-se validá-lo, i.e. com-parar o comportamento observado no sistema real com o obtido pelo modelo e verificar se é adequado para o estudo.


Modelação de Sistemas Físicos Procedimento de modelação

Relações

constitutivas

Relações

dinâmicas

Relações

interligação

Representação Interna Espaço de Estados

Representação Externa Eq. Diferencial Função de Transferência Resposta impulsional

Relações básicas

Modelo Matemático

Elementos (componentes)

Restrições na interligação

dos elementos


Modelação de Sistemas Físicos Tipo de entidades nos sistemas

Matéria – em repouso: •corpo – rígido - flexível • fluido – líquido - gás, vapor – em movimento: •corpo – rígido - flexível • fluido – líquido - gás, vapor

Energia – mecânica (translação e rotação), fluídica, acústica - térmica

- eléctrica, magnética - química

- nuclear

Informação


Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação

Processos com fluxo energético sem fluxo de matéria - sistemas mecânico, eléctrico e térmicos

Processos com fluxo energético e fluxo de matéria - sistemas de potência, hidráulicos, pneumáticos e termodinâmicos

fluxo de energia

Fluxo de energia

Fluxo de matéria


Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação (cont.)

Processos com fluxo de matéria e fluxo energético - sistemas de transporte de matéria (tapetes rolantes), processos químicos Processos com fluxo de informação e fluxo de energia - instrumentos de medida, telecomunicações

Fluxo de matéria

Fluxo de energia

Fluxo de informação

Fluxo de energia


Modelação de Sistemas Físicos Qual o grau de detalhe do modelo ?

Exemplo: Estudo da suspensão de um automóvel


Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos

fonte poço Sistema

ou elemento

Ligações energéticas ou portos energéticos

Elementos dum Sistema Manipuladores de energia ⇔


Elementos Básicos Variáveis do Sistema

2

1

,

t

t

Q pP pQ

E pQ dt

=

= ∫

Sistema mecânico

Fonte de energia

V

i Sistema eléctrico Variáveis

Potência

Energia

Sistema fluídico

2

1

,

t

t

F vP vF

E vF dt

=

= ∫

2

1

,

t

t

i VP Vi

E Vi dt

=

= ∫


Elementos Básicos Variáveis generalizadas do Sistema

2

1

. t

tE f e dt= ∫

Fluxo Potencial

. P f e=

Porto energético

Fonte de energia

Receptor de energia

f

e

f e


Elementos Básicos

Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos* Translação Rotação

Potencial velocidade velocidade tensão V pressão p temperatura T linear v angular ω

Fluxo força F binário τ corrente i caudal fluxo de

volumétrico Q de calor q

Nota:* o fluxo de calor é uma variável de energia, sendo uma excepção à caracterização energética das variáveis de fluxo e potencial, cujo produto dá a potência instantânea. Por esse motivo se designam sistemas pseudo-tér-micos. O mais correcto seria considerar a variação da entropia como variável de fluxo.

Variáveis dos diversos sistemas energéticos


Elementos Básicos Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos Translação Rotação


Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos Acumuladores de energia Acumuladores de energia potencial Acumuladores de energia de fluxo Dissipadores de energia Fontes de energia Fontes de energia potencial Fontes de energia de fluxo


Elementos Básicos Acumuladores de energia de Potencial Variável de potencial acumulado Energia Co-energia

( )ae fϕ= =

0 ou

t aa

dee edt edt

= =∫

1

0 0 0 ( ) a at e e

a a aT ef dt f de e deϕ−= = = =∫ ∫ ∫

Lf

ae

f

( )fϕ

Lf

1 Lf 2 2

*aT fe T= − = 1 Lf 2

2


Elementos Básicos Acumuladores de Potencial (lineares e ideais)


Elementos Básicos Acumuladores de energia de Fluxo Variável de fluxo acumulado Energia Co-energia

( )af eϕ= =

0 ou

t aa

dff fdt fdt

= =∫

1

0 0 0 ( ) a at f f

a a aU ef dt e df f dfϕ−= = = =∫ ∫ ∫

Ce

af

e

( )eϕ

Ce

1 Ce 2 2

*aU ef U= − = 1 Ce 2

2


Elementos Básicos Acumuladores de Fluxo (lineares e ideais)


Elementos Básicos Dissipadores de energia G – conteúdo energético J – co-conteúdo energético

Potência dissipada

( )e fϕ= =

e

f

( )fϕ

Rf

G Je ff e∂ ∂

= =∂ ∂

ef G J= +

Rf


Elementos Básicos Dissipadores de Energia (lineares e ideais)


Elementos Básicos Fontes de energia de potencial Fontes de energia de fluxo

e

f

e1

e

f1

Fornece energia

absorve energia

absorve energia Fornece energia

f


Elementos Básicos Elementos básicos (lineares e ideais)

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