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Simulação Computacional e Economia Pós-Keynesiana

Júlio Fernando Costa Santos

Doutorando em Economia - IEUFU

1

O Problema da Dinâmica Econômica

• Tempo Contínuo - Problemas que envolvem EDOs - EX.: O Modelo IS-LM Dinâmico, O modelo de

Ramsey. • Tempo Discreto - Problemas que envolvem equações à diferenças - Ex.: O modelo Multiplicador-Acelerador, Modelos

SFC

2


Tempo Contínuo e Tempo Discreto

Ambos permitem soluções numéricas e analíticas.

Numérico – Vantagem de poder avançar na complexidade do modelo.

Analítico – Elegância e melhor estudo das propriedades.

3

Softwares para Resolução de Modelos

4


IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:

Versão Dinâmica com EDO 5



Equilíbrio

6

𝑦 = 𝛼. (𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − 𝑕. 𝑟 𝑡 ) (1) 𝑟 = 𝛽. (−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 ) (2)

𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − 𝑕. 𝑟 𝑡 = 0 (3.a)

𝑦 𝑡 =𝑕.𝑟 𝑡 −𝐴

𝑎1 (3.b)

−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 = 0 (4.a)

𝑟 𝑡 =−𝑚0+𝑘.𝑦 𝑡

𝑢 (4.b)



Equilíbrio

7

Substituindo a (4.b) em (3.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑦∗.

𝑦 𝑡 =−𝑕.𝑚0+𝑕.𝑘.𝑦 𝑡 −𝐴.𝑢

𝑢.𝑎1

𝑦 𝑡 . 1 −𝑕.𝑘

𝑢.𝑎1=

−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢

𝑢.𝑎1

𝑦 𝑡 .𝑢.𝑎1−𝑕.𝑘

𝑢.𝑎1=

−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢

𝑢.𝑎1

𝑦 𝑡 =−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢

𝑢.𝑎1.

𝑢.𝑎1

𝑢.𝑎1−𝑕.𝑘

𝒚∗ =𝑨.𝒖+𝒉.𝒎𝟎

𝒉.𝒌−𝒖.𝒂𝟏 (5)



Equilíbrio

8

De igual maneira, substituindo a (3.b) em (4.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑟∗.

𝑟 𝑡 =𝑘.𝑕.𝑟 𝑡 −𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1

𝑎1.𝑢

𝑟 𝑡 . 1 −𝑘.𝑕

𝑎1.𝑢=

−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1

𝑎1.𝑢

𝑟 𝑡 .𝑎1.𝑢−𝑘.𝑕

𝑎1.𝑢=

−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1

𝑎1.𝑢

𝑟 𝑡 =−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1

𝑎1.𝑢.

𝑎1.𝑢

𝑎1.𝑢−𝑘.𝑕

𝑟∗ =𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴

𝑘.𝑕−𝑎1.𝑢 (6)

Dessa forma, o sistema tem equilíbrio único e não depende dos parâmetros 𝛼 e 𝛽.

𝑦∗, 𝑟∗ =𝐴.𝑢+𝑕.𝑚0

𝑕.𝑘−𝑢.𝑎1,𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴

𝑘.𝑕−𝑎1.𝑢 (7)



Equilíbrio

Dessa forma, o produto e a taxa de juros de equilíbrio não dependem de α e β. Se então tr(Jac) < 0. Como o produto negativo não é aceitável, em equilíbrio y*>0, o que implica a condição kh – a1u > 0. Então, o determinante da matriz jacobiana é maior que zero e temos um equilíbrio estável. 9



Calibragem para a Simulação:

10



11

Tempo Discreto – Modelo de Samuelson

12

O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0

Modelo Final: 𝑌𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−1 − 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 𝑌𝑡 = 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 − 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0


13


Equação à diferenças de 2ª Ordem: Solução Analítica:

𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0

A solução desse tipo de equação se subdivide em duas partes, onde a solução geral é a soma da solução particular (que é a que fornece um valor de equilíbrio intertemporal) mais a função complementar (desvios em relação ao equilíbrio).

𝑌𝑔 = 𝑌𝑝 + 𝑌𝑐


14


Solução Particular (Equilíbrio Intertemporal): Sabendo no equilíbrio, 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−2 = 𝑘 (uma constante qualquer).

𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0

𝑘 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑘 + 𝛼𝛾𝑘 = 𝐺0 𝑘 1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾 = 𝐺0

𝑘 =𝐺0

1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾=

𝐺01 − 𝛾

= 𝑌𝑝


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Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): A segunda parte diz respeito à função complementar. Para isso, devemos transformar nossa equação de diferenças de segunda ordem em uma equação homogênea (o termo constante = 0).

𝑌𝑡−𝛾 1 + 𝛼𝑎1

𝑌𝑡−1 + 𝛼𝛾 𝑎2

𝑌𝑡−2 = 0

𝑌𝑡 +𝑎1𝑌𝑡−1 +𝑎2𝑌𝑡−2 = 0

𝑌𝑡+2 +𝑎1𝑌𝑡+1 +𝑎2𝑌𝑡 = 0


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Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): Por conveniência, pegaremos a equação de diferenças anterior e jogaremos dois períodos à frente (o que não altera em nada a nossa equação). Temos que a solução para equações de diferenças homogêneas utiliza a seguinte igualdade 𝑌𝑡 = 𝐴𝑏𝑡. Dessa forma, iremos substituir na equação anterior e assim obter:

𝐴𝑏𝑡+2 + 𝑎1𝐴𝑏𝑡+1 + 𝑎2𝐴𝑏

𝑡 = 0 𝐴𝑏𝑡 𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0

Após cancelar o fator comum 𝐴𝑏𝑡 ≠ 0, ficamos com a seguinte equação característica:

𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0


17


Solução da Equação Característica: 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0

Caso 1 (Raízes Reais Distintas)

𝛾 >4𝛼

1 + 𝛼 2

𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1𝑡 + 𝐴2𝑏2

𝑡 Caso 2 (Raízes Repetidas)

𝛾 =4𝛼

1 + 𝛼 2

𝑌𝑐 = 𝐴3𝑏𝑡 + 𝐴4𝑡𝑏

𝑡


18


Solução da Equação Característica: 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0

Caso 3 (Raízes Complexas)

𝛾 <4𝛼

1 + 𝛼 2

𝑏1, 𝑏2 = 𝑕 ± 𝑣𝑖

Onde 𝑕 = −𝑎1

2 e 𝑣 =

4𝑎2−𝑎12

2

𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1𝑡 + 𝐴2𝑏2

𝑡 = 𝐴1(𝑕 + 𝑣𝑖)𝑡+𝐴2(𝑕 − 𝑣𝑖)𝑡 O teorema de Moivre para transformar essa função em termos trigonométricos (esse mais facilmente interpretável).

𝑕 ± 𝑣𝑖 = 𝑅𝑡(𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑡 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑡)


• Solução Numérica

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𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0

20


𝛾 = 1/𝛼 Divisor de Estabilidade 𝛾 > 1/𝛼 Trajetória Explosiva 𝛾 < 1/𝛼 Trajetória Amortecida

𝛾 =4.𝛼

1+𝛼 2 Raízes Repetidas

𝛾 >4.𝛼

1+𝛼 2 Raízes Distintas

𝛾 <4.𝛼

1+𝛼 2 Raízes Complexas

Instável Explosiva

Flutuação Convergente

Estável sem ciclo

*** Flutuação Uniforme

*** Flutuação Explosiva


Soluções Numéricas:

• Tempo Contínuo

- Runge Kutta 4ª Ordem (Resolução Numérica de EDO)

- Método de Euller (Resolução Numérica de EDO)

• Tempo Discreto

- Linear (Gauss-Seidel/Jacobi – Resolução Numérica de Sistemas Lineares)

- Não Linear (Newton-Raphson – Resolução Numérica de Sistemas Não Lineares)

21

Modelos SFC

• A abordagem SFC se preocupa em analisar a matriz contábil do modelo (Balanço Patrimonial, Transações e Variações de fluxo) de modo a dar um tratamento rigoroso de “tracking” nas variáveis Monetárias e Reais.

• A princípio ela não é uma abordagem estritamente pós-keynesiana. Ela pode ser utilizada para qualquer modelo Ortodoxo ou Heterodoxo. A rigor, o que a abordagem faz é evitar buracos negros na modelagem econômica.

22

Modelos SFC

• “Da mesma forma que os estoques no início do período afetam o fluxo da renda, também é verdade que os fluxos poupados e ganhos de capital necessariamente afetam os estoques ao fim do período, que também de fato, afetaram os fluxos no próximo período” (Zezza e dos Santos, 2007).

• Na maioria dos casos pode ser considerado um sistema de n equações simultâneas que possuem n variáveis a serem resolvidas, sendo portanto um sistema determinado.

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Modelos SFC

Número de Equações < Número de Variáveis

Sistema Indeterminado

Número de Equações = Número de Variáveis

Sistema determinado

Número de Equações > Número de Variáveis

Aproximação por MQO

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Modelos SFC

Ex.: Determinar os valores de 𝑥1 𝑒 𝑥2 em:

5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1

Formas de resolver:

(1) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na segunda

(2) Transformar o sistema em matrizes e vetores

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Modelos SFC

(1) – Por substituição:

5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1

(a) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na segunda:

𝑥1 =4−2.𝑥2

5

(b) Substituindo 𝑥1 na segunda equação:

2.4−2.𝑥2

5− 𝑥2 = 1

𝑥2 =1

3

(c) Substituindo 𝑥2 em 𝑥1 isolado em (a)

𝑥1 =2

3

26

Modelos SFC

(2) – Forma Matricial:

5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1

(a) Deixar na forma matricial 5 22 −1

.𝑥1𝑥2

=41

(b) Resolve-se o sistema: 𝐴. 𝑋 = 𝐵 sendo 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 𝐴−1. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 (c) O problema se torna: 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵

27

Sistemas em Forma de Matriz

• Problema envolvendo sistema linear.

28

1 4 3−12

−22

03

.

𝑥1𝑥2𝑥3

=16−1218

Encontrar solução para 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3.

Forma Matricial

𝑥 = 𝐴−1. 𝑏

Solução:



29

2 131

21

.𝑥1𝑥2

=123

3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2)

Forma Matricial

2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3

Que solução então podemos tomar? A solução passa a ser encontrar o vetor de x mais próximo possível para que se torne verdadeiro Ax=B. Nos resta como opção encontrar o vetor x cujo erro do sistema seja o menor possível ao quadrado. Dessa forma, usaremos o MQO.



30

2 131

21

.𝑥1𝑥2

=123

3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2)

Forma Matricial

2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3

Solução: MQO



31

2 131

21

.𝑥1𝑥2

=123

Forma Matricial

2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3

Seja: 𝐴𝑥 = 𝐵 𝐴𝑇 . 𝐴𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐵 𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐴

𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐵

𝒙 = 𝑨𝑻. 𝑨−𝟏. 𝑨𝑻. 𝑩

Solução Analítica x Numérica

Solução Analítica: - Prós: Elegância, estudo das propriedades, - Contras: Exige algum grau de simplicidade do

modelo.

Solução Numérica: - Prós: Pode-se utilizar modelos pesados

(complexos) - Contras: Pouco conhecimento as propriedades

gerais do modelo. 32

Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)

• Motivação: Modelo IS-LM que não exista buracos negros:

- Há restrições ao investimento?

- Como o governo se financia?

- O circuito monetário (tracking)

- E o lucro das empresas?

- A renda disponível das famílias é consistente?

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Exemplo de problema original:

Principais livros textos da graduação:

𝑌𝐷 = 𝑌 − 𝑇 O que está implícito?

Lucros distribuídos instantaneamente para as famílias

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• Balanço Patrimonial:

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Households Firms Government Central Bank ∑

Fixed Capital

Money

Bills / Corporate Notes

Balance (net worth)

∑ 0 0 0 0 0

+ 𝑓 + 𝑓+ 𝑕 −

+𝐵𝑕 +𝐵𝑐 −𝐵𝑔−𝑉𝑕 −𝑉𝑓 +𝑉𝑔 − 𝑓

−𝐵𝑓


• Matriz de Transações:

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Current Capital Current Capital

Consumption 0

Government Expenditures 0

Investment 0

Wages 0

Taxes 0

Interest Payments 0

Central Bank Profits 0

Firms Profits 0

Change in Money 0

Change in Bills / Corp. Notes 0

∑ 0 0 0 0 0 0 0

Firms

Government ∑Households

Central Bank

−𝐶 +𝐶−𝐺+𝐺

−𝐼+𝐼

−𝑊+𝑊

−𝑇 +𝑇+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑕𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑔𝑡−1

+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1− + 𝑓+ 𝑕

− +

− 𝐵𝑕 + 𝐵𝑔 − 𝐵 𝑐+ 𝐵𝑓

−𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑓𝑡−1


• Equações Comportamentais

Empresas:

𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1 (1)

𝑢 =𝑌.𝜎

𝐾 (2)

𝑓 = 1 − 𝑑 . (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (3)

Δ𝐵𝑓 = 𝐵𝑓 − 𝐵𝑓−1 = 𝐼 − 𝑓 (4)

𝑕 = 𝑑. (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (5)

= −1 + 𝐼 (20)

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• Equações Comportamentais Famílias: 𝑊 = 𝑤. 𝑌 (9) 𝑌𝐷 = 1 − 𝜃 . (𝑊 + 𝑟−1. 𝐵𝑕−1 + 𝑕) (8) 𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1, 0 < 𝛼2 < 𝛼1 < 1 (7) 𝑕 = 𝜆10. 𝑉

𝑒 + 𝜆11. 𝑟. 𝑉𝑒 + 𝜆12. 𝑌𝐷

𝑒 (16) 𝐵𝑕 = 𝜆20. 𝑉

𝑒 + 𝜆21. 𝑟. 𝑉𝑒 + 𝜆22. 𝑌𝐷

𝑒 (17) 𝑉𝑒 = 𝑉−1 (18) 𝑌𝐷𝑒 = 𝑌𝐷−1 (19) Restrições de Portfólio 𝜆10 + 𝜆20 = 1 (ADUP.1) 𝜆11 + 𝜆21 = 0 (ADUP.2) 𝜆12 + 𝜆22 = 0 (ADUP.3) 𝜆14 + 𝜆24 = 0 (ADUP.4)

38



Governo e BACEN

𝐺 = 𝛾. −1 (10)

𝑇 = 𝜃. 𝑊 + 𝑟−1. 𝐵𝑕−1 + 𝑕 , 𝜃 < 1 (11)

𝐵𝑠= 𝐵𝑠 − 𝐵𝑠−1 = 𝐺 + 𝑟−1. 𝐵𝑠−1 − 𝑇 + 𝑟−1. 𝐵 𝑐−1 (12) 𝑠= 𝑠 − 𝑠−1 = 𝐵 𝑐 (13)

𝐵 𝑐 = 𝐵𝑠 + 𝐵𝑓 − 𝐵𝑕 (14)

𝑟 = 𝑟 (15)

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Resumo:

Variáveis Endógenas:

𝐼, , 𝑢, 𝑌, 𝐵𝑓, 𝐵𝑕, 𝐵𝑐 , 𝑕, 𝑓, 𝑕, Δ𝐵𝑓, Δ𝐵𝑕, Δ𝐵𝑠, Δ 𝑠, 𝑉, 𝑌𝐷,𝑊, 𝐺, 𝑇, 𝑉𝑒, 𝑌𝐷𝑒 (21 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠)

Variáveis Exógenas:

𝑟 = 𝑟

Parâmetros:

𝛼1, 𝛼2, 𝑑, 𝜆10, 𝜆11, 𝜆12, 𝜆20, 𝜆21, 𝜆22, 𝛾, 𝛾0, 𝛾1, 𝛾2, 𝜔, 𝜎, 𝜃 (16 𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)

Estoques Iniciais:

Todos zerados, exceto o 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100.

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• Solução Numérica do Modelo

• Sendo ele de natureza Linear, o mais indicado é usar o algoritmo de Gauss-Seidel.

“Uma alternativa possível para reduzir a complexidade de resolução é utilizar o Algoritmo de Gauss-Seidel (GS) para resolver o sistema linear via iteração. Dessa forma, vamos a sua construção lógica com um exemplo simples extraído do artigo de Terence O’Shea e Stephen Kinsella”.

41


Como funciona o Algoritmo?

42

Looping no Tempo

Fase 1: Fornecer os parâmetros e os estoques existentes e pré-alocar as variáveis endógenas

Equações do Modelo sendo Resolvidas por GS

Sai do looping GS quando o erro for menor que o tolerável

Armazena as variáveis em t para ser o chute em t+1


GS:

Em forma matricial, a iteração de Gauss-Seidel é dada da seguinte forma:

𝑥(𝑘+1) = 𝐷 + 𝐿 −1. (𝑈. 𝑥 𝑘 + 𝑏)

Onde 𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈. As matrizes 𝐷, 𝐿 e 𝑈 representam a diagonal, triangular estritamente inferior e triangular estritamente superior. 𝑘 é o contador de iterações.

Entrada por entrada toma a seguinte forma:

𝑥𝑖(𝑘+1)

=1

𝑎𝑖𝑖. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗

𝑘+1𝑗<𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗

(𝑘)𝑗>𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

43


GJ:

Se a escolha for por Gauss-Jacobi, a entrada tem a seguinte forma:

𝑥𝑖(𝑘+1)

=1

𝑎𝑖𝑖. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗

(𝑘)𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

O único porém é que a convergência é mais lenta.

44


GS:

45

Condição p/ Convergência:

Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) GS:

46

Convergência Gauss-Seidel

Alternativa de Resolução do Modelo:

O Algoritmo de Gauss-Seidel (método para determinação de sistemas lineares via iteração) nos permite resolver problemas com várias equações simultâneas sem ter que realizar um trabalho algébrico pesado para o cálculo do produto de curto prazo.


Resultados da Simulação

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49



50



51



52



53


• Solução Analítica do Modelo

• Sendo ele um modelo de crescimento, o mais recomendável é normalizá-lo pelo capital para que se possa encontrar uma solução de estado estacionário

• Transformando o modelo em 5 equações fundamentais:

54

Normalizado

Em nível

Em log


• A Curva u: 𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1

𝐺 = 𝜌. −1 𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1

𝑌 = 𝐶 + 𝐺 + 𝐼 Fazendo as devidas substituições e manipulações algébricas, chegamos em:

𝑢. 𝑣 =𝛼1. 1−𝜃 .(𝑤.𝑌)+𝛼2.𝑉−1+𝜌.𝐾−1+ 𝛾0+𝛾1.𝑢−𝛾2𝑟 .𝐾−1

𝐾−1

𝑢 =1

𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 +

𝛼2

𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1. 𝑣𝑕−1

Sendo, 𝜓1 =1

𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1, temos que:

𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏

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• A Curva u:

𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏

56


O Sistema Completo:

1. 𝑏𝑠 = 𝑏𝑠−1 + 𝛾 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝜃. 𝑢. 𝜎 − (𝜃 + 1). 𝑟−1. 𝑏𝑕−1 + 𝜃. 𝑑 − 1 . 𝑟−1. 𝑏𝑓−1

2. 𝑏𝑓 = 1 + 1 − 𝑑 . 𝑟−1 . 𝑏𝑓−1+ 𝑔 − 1 − 𝑑 . 1 − 𝑤 . 𝑢. 𝜎

3. 𝑏𝑕 = (𝜆20 + 𝜆21. 𝑟). 𝑣𝑕−1 + 𝜆22. 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢−1. 𝜎 + 𝑟−2. 𝑏𝑕−2 − 𝑑. 𝑟−2. 𝑏𝑓−2

4. 𝑣𝑕 = 1 − 𝛼2 . 𝑣𝑕−1 + 1 − 𝛼1 . 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢. 𝑣 + 𝑟−1. 𝑏𝑕−1 − 𝑑. 𝑟−1. 𝑏𝑓−1

5. 𝑢 = 𝜓1. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 + 𝜓1. 𝛼2. 𝑣𝑕−1

57


• Dinâmica Comparativa (Choques) – Alpha (10%)

58

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – d (10%)

59

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – Gamma (10%)

60

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – r (10%)

61

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – Theta (10%)

62

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – w (10%)

63

+

-


• Dinâmica Comparativa (Choques) – Resumo

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Ret_EBI

Alpha1 +10% 6,34% 6,34% 6,34% 1,58 1,04 76,71% 19,88%

Alpha1 -10% 5,33% 5,33% 5,33% 2,60 1,38 71,67% 18,95%

d +10% 5,34% 5,34% 5,34% 3,32 -0,66 71,69% 17,78%

d -10% 6,27% 6,27% 6,27% 1,14 2,48 76,34% 20,76%

Ghama_0 +10% 6,04% 6,04% 6,04% 1,89 1,36 74,18% 19,48%

Ghama_0 -10% 5,55% 5,55% 5,55% 2,27 1,03 73,74% 19,24%

r +10% 5,78% 5,78% 5,78% 2,12 1,12 74,38% 19,50%

r -10% 5,81% 5,81% 5,81% 2,02 1,28 73,54% 19,23%

Theta +10% 5,31% 5,31% 5,31% 1,95 1,39 71,54% 18,93%

Theta -10% 6,30% 6,30% 6,30% 2,14 1,05 76,50% 19,84%

w +10% 6,52% 6,52% 6,52% 0,75 3,40 77,59% 18,67%

w - 10% 5,12% 5,12% 5,12% 4,10 -1,67 70,64% 20,21%

ShockCapacity

UtilizationNotes/EBIBills/GDPg_Kg_Vg_Y_d


• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico Direcionado)

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• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico Direcionado)

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• Representação como DAG (Grafo Acíclico Direcionado)

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G – Gasto Público I – Investimento K – Capital Físico, W – Salários Ph – Lucros Distribuídos YD – Renda Disponível Pf – Lucros Retidos T – Tributos C – Consumo V – Riqueza Bs – Títulos Públicos ofertados Bh – Títulos Públicos em posse das famílias Bf – Títulos Privados Bcb – Títulos em posse do Bacen dBf – Variação T.P dBs – Variação T.P. dHs – Variação da oferta monetária.

Modelos Não-lineares

Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson Função: 𝑦 = 𝑥2 − 2. 𝑥

O que o método faz é utilizar um chute inicial 𝑥0 e calcular até o ponto onde 𝑓(𝑥0) seja 0. O método extrapola assumindo que a função é linear e utiliza de um laço iterativo para utilizar a cada nova iteração o 𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 obtido anteriormente como o novo chute. Calcula a derivada da função no ponto 𝑥0 vezes o deslocamento em x. O método irá parar de iterar quando o 𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 estiver bem perto do 𝑓(𝑥) = 0.


Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson


Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson Formas de minimizar o erro:


Formas de minimizar o erro: Exemplo Simples:


Formas de minimizar o erro:

Outras Referências

simulação computacional e economia pós-keynesiana€¦ · tempo discreto – modelo de samuelson...

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