Matemática1º SIMULADO – UERJ 2014/2 - GABARITOALUNO(A): __________________________________________

1) URBANO, o aposentado A Silvério (O Globo)

Suponha que a garçonete tenha decidido misturar água ao café-com-leite do "seu"Almeida. Num copo de 300 ml, colocou 20 ml de água pura e completou o restante de acordo com o pedido do freguês.Em comparação com a porção solicitada de café-com-leite, pode-se afirmar que "seu" Almeida bebeu a menos uma quantidade de leite igual a:a) 5ml b) 10ml c) 15ml d) 20ml

Solução. Como foram postos 20ml de água, sobraram 300 – 20 = 280ml para serem completados com leite e café nas proporções pedidas:i) Leite: 75% de 280ml = 0,75 x 280ml = 210mlii) Café: 25% de 280ml = 0,25 x 280ml = 70ml

Sem a adição de água a porção de leite seria 75% de 300ml = 0,75 x 300 = 225ml. Logo ele bebeu a menos a quantidade de (225 – 210) = 15ml de leite.

2) Seis professores de Matemática do Colégio Pedro II (entre eles Walter e Quintanilha) resolveram fazer uma viagem à Paris no feriado do mês de junho. Uma semana num dos melhores hotéis da Cidade Luz! Um sonho! Mas, como sonho de professor dura pouco, a UERJ marcou seu primeiro exame de qualificação para o dia 17 de junho. Que pena! A Coordenadora determinou que dois desses professores ficarão no Brasil trabalhando. Por uma questão de justiça, ela resolveu sortear os quatro mestres que viajarão. Qual a probabilidade de que o Professor Walter viaje e o Professor Quintanilha fique no Brasil trabalhando?

a) 20% b) 27% c) 33% d) 40%

Solução.

i) Formas de sortear quatro professores quaisquer dentre os seis: .

ii) Como Walter viaja (com certeza) e Quintanilha fica (com certeza), uma vaga está ocupada e somente quatro professores (exclui-se Quintanilha) participam da escolha das três vagas restantes:

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Logo a Probabilidade pedida será: .

3) Leia o texto abaixo:Na Universidade do Estado do Rio de Janeiro (Uerj), os pesquisadores conseguiram eliminar

em 24 horas 70% dos coliformes fecais do esgoto com algas verdes microscópicas da espécie Chlorella pyrenoidosa, comum nos lagos e rios. Essas algas, em vez de absorverem a maior parte da poluição, como o aguapé, atuam principalmente aumentando a quantidade de oxigênio na água, através da fotossíntese, num processo que realimenta o trabalho de degradação orgânica pelas bactérias.

O desafio dos pesquisadores, agora, é transformar as algas em alimentos. Cada alga dessa espécie tem 65% de proteína em sua composição química. Com isso, pode gerar 80 mil Kg de proteínas por ano, num tanque de tratamento de 10 mil m2, o que corresponde a mais de cem vezes o potencial de soja plantada em igual área. (Revista Globo Ciência, dez/1992)

Se a superfície do lago fosse em forma de um círculo e tivesse a capacidade de produzir 9600 Kg de proteína por ano, considerando = 3, o raio desse círculo seria de:

a) 10mb) 20mc) 30md) 40m

Solução. Estabelecendo a regra de três com as informações, temos:

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4) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida?

a) 4 b) 5 c) 10 d) 14

Solução. No triângulo branco o triângulo pintado é retângulo com catetos iguais a 2cm. Logo com área AT = (2)(2)/2 = 2cm². A área de todo o quadrado preenchido vale AQ = (4)(4) = 16cm². Retirando a parte não pintada, temos: A = 16 – 2 = 14cm²

5) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir:

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:

a) 20 min b) 30 min c) 40 min d) 50 min

Solução. Os triângulos indicados são semelhantes.

Temos: .

6) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é:

a)16 cm2 b)24 cm2 c)28 cm2 d)32 cm2

Solução. O quadrado externo possui lado igual a 8. Observe que os quatro triângulos retângulos internos ao quadrado maior e externo ao quadrado pintado possuem catetos x e (8 – x). Logo a área do quadrado inscrito e pintado é:

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7) Um caminhão do corpo de bombeiros tem 2m de altura e a escada acoplada em sua parte superior mede 20m quando totalmente estendida; desta forma ela é encostada no prédio A e depois no prédio B, formando com a horizontal ângulos de 15o e 75o, respectivamente, e alcançando a metade da altura do prédio A no ponto P, e a altura do prédio B no ponto Q.

De acordo com a figura, onde se observa esquematicamente a situação, a distância d, em metros, entre os prédios é igual a:

a) 20(cos15o + sen15o).b) 20(cos15o – sen15o).c) 20(cos15o + sen75o).d) 20(cos75o + sen15o).

Solução. Dividindo a distância “d” em segmentos x e y, catetos dos triângulos retângulos indicados, temos:

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Lembrando que 15º + 75º = 90º implica em sen75º = cos15º e cos75º = sen15º, temos:

D = 20.cos15º + 20.cos75º = 20.cos15º + 20.sen15º= 20(cos15º + sen15º).

2º Exame de Qualificação – UERJ 2014 – Matemática - GABARITO

1. (Questão 26) As tabelas abaixo mostram os palpites de três comentaristas esportivos sobre os resultados de cinco diferentes times de futebol, em cinco partidas a serem realizadas.

O resultado de cada time foi acertado por pelo menos dois comentaristas. Se NA, NB e NC são os números de palpites certos dos comentaristas A, B e C, a relação entre eles pode ser expressa por:

(A) NA > NB > NC (B) NA > NB = NC (C) NA = NB > NC (D) NA = NB = NCSolução. Como cada opção foi acertada pelo menos duas vezes, basta em cada caso veirificar onde houve duas opções iguais.

Times Comentarista A Comentarista B Comentarista C1 Acertou Acertou Errou2 Acertou Acertou Errou3 Errou Acertou Acertou4 Acertou Errou Acertou5 Acertou Acertou Acertou

NA = 4; NB = 4; NC = 3.

2. (Questão 36) O código de uma inscrição tem 14 algarismos; dois deles e suas respectivas posições estão indicados abaixo.Considere que, nesse código, a soma de três algarismos consecutivos seja sempre igual a 20. O algarismo representado por x será divisor do seguinte número:

(A) 49 (B) 64 (C) 81 (D) 125

Solução. Observe a sequência de resultados. A última sequência de três números possui a soma 5 + 8 + x = 20. Logo, x = 20 – 13 = 7.

Das opções 7 é divisor de 49.

3. (Questão 40) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h1, h2 e h3, conclui-se que h1 + h2 é igual a:

(A) (B) (C) (D)

Solução. Observe que 75º = 45º + 30º e 15º = 45º - 30º. As alturas são catetos opostos ao ângulos indicados. Estabelecendo as relações, temos:

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4. (Questão 42) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso. Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:

(A) 0,48 (B) 0,40 (C) 0,36 (D) 0,25

Solução. Há duas situações no problema. Os 20% que acertaram sabiam como responder e os 80% restantes escolheram. E destes também há possibilidade de acerto. Como são 4 opções a probabilidade de acertar é de 0,25 e de errar é de 0,75. A probabilidade pedida é P(AE) ou P(EA). Observando a árvore das probabilidades temos:

P(A) = P(sabia) + P(escolheu) = (0,2) + (0,8).(0,25) = 0,4.

P(E) = P(não sabia e escolheu) = (0,8).(0,75) = 0,6.

P(AE) + P(EA) = 2.[(0,4)(0,6)] = 2.(0,2) = 0,48

5. (Questão 43) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

(A) (B) (C) (D)

Solução. Aplicando a relação de Pitágoras, temos:

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2º Exame de Qualificação – UERJ 2014 – Matemática - GABARITO

1) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1.

A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos:

Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a:

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

Solução. Aplicando os procedimentos, temos:

1º Procedimento: 43 – 1 = 42 (43 não é divisível por 3).

2º Procedimento: 42 ÷ 3 = 14 (42 é divisível por 3).

3º Procedimento: 14 – 1 = 13 (14 não é divisível por 3).

4º Procedimento: 13 – 1 = 12 (13 não é divisível por 3).

5º Procedimento: 12 ÷ 3 = 4 (12 é divisível por 3).

6º Procedimento: 4 – 1 = 3 (4 não é divisível por 3).

7º Procedimento: 3 ÷ 3 = 1 (3 é divisível por 3). Acabou!

2. Em um laboratório, duas torneiras enchem dois recipientes, de mesmo volume V, com diferentes soluções aquosas. Observe os dados da tabela:

O gráfico mostra a variação do volume do conteúdo em cada recipiente em função do tempo.

Considere que as duas torneiras foram abertas no mesmo instante a fim de encher outro recipiente de volume V. O gráfico que ilustra a variação do volume do conteúdo desse recipiente está apresentado em:

Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.

10 9 3 1

Solução. Observando a tabela encontramos a equação que descreve o tempo gasto pelas duas torneiras juntas. Esse procedimento também é linear.

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3. A mutação no DNA de uma célula eucariota acarretou a substituição, no RNA mensageiro de uma proteína, da 15ª base nitrogenada por uma base C. A disposição de bases da porção inicial do RNA mensageiro da célula, antes de sua mutação, é apresentada a seguir:

Observe os códons correspondentes a alguns aminoácidos:

Sabe-se que o códon de iniciação de leitura é AUG.A probabilidade de que a proteína a ser traduzida pelo RNA mensageiro da célula que sofreu mutação não apresente alterações na disposição de seus aminoácidos é de:

(A) 0 (B) 0,25 (C) 0,50 (D) 1,00

Solução. Se a mutação substituiu somente a 15ª base por C, a disposição fica: AUG CUU CUC AUC UUC UUA GCU...Não houve alteração na codificação dos outros aminoácidos.

OBS: (UUU) (UUC) codificam o mesmo aminoácido.

4. A partícula káon, eletricamente neutra, é constituída por duas partículas eletricamente carregadas: um

quark d e um antiquark s. A carga do quark d é igual a do módulo da carga do elétron, e a carga do

quark s tem mesmo módulo e sinal contrário ao da carga de um antiquark s. Ao quark s é atribuída uma propriedade denominada estranheza, a qual pode ser calculada pela seguinte fórmula:

Assim, o valor da estranheza de um quark s é igual a:

(A) (B) 1 C) (D) -1

Solução. Como o káon é eletricamente nulo, temos que . Utilizando as informações,

temos: .

5. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:

(A) 624 (B) 676 (C) 715 (D) 720

Solução 1. A escolha de qualquer carta inicialmente pode ser feita de 52 formas distintas. A segunda carta terá que ser uma com valor dentre os 12 restantes (diferentes da primeira). A terceira, quarta e quinta carta possuem o mesmo valor da segunda, logo com 1 única possibilidade para cada. Pelo princípio multiplicativo, temos: (52).(12).(1).(1).(1) = 624 conjuntos.

Solução 2. Escolha da quadra: 13 possibilidades (valores). A quinta carta possui 48 (52 – 4) possibilidades. Total: (13).(48) = 624 conjuntos.

6. Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:

(A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 36

Solução. Considerando Ti o nível inicial de toxidez, conclui-se que T0 = 10Ti. Substituindo os valores na equação, temos:

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OBS: O valor mínimo será 34, pois 33 dias não serão suficientes para retornar ao nível inicial.

7. Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10cm de largura e 15cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.1 - Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

2 - Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

3 - Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm², é igual a:

(A) (B) (C) (D)

Solução 1. Área da bandeirinha = Área ABCD – Área ABP.

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Solução 2. A área da bandeirinha é soma das áreas dos trapézios DMPA e MCBP, ambos com base maior igual a 15, altura 5 e base menor (15 – y). Calculando as medidas, temos:

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8. Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:

(A) (B) (C) (D)

Solução. O raio do círculo formado pelo contato possui raio R’ cuja medida é a altura do triângulo equilátero mostrado.

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