Simplificação usando Mapa de Karnaugh

Esta apostila mostra uma forma simples e prática de simplificar uma equação booleana chamado de Mapa de Karnaugh, com este método você consegue prever de antemão se a equação pode ser simplificada ou não e ainda você chegará sempre

a melhor simplificação possível!  01 Introdução:  02 Base matemática:  03 Desenhando o Mapa de Karnaugh:  04 Passando os valores da Tabela Verdade para o Mapa de Karnaugh:  05 Simplificação usando o Mapa de Karnaugh:  06 Formando Grupos básicos de células adjacentes:  07 Exemplo de simplificação básica:  08 Simplificação usando grupos laterais:  09 Exemplo de simplificação usando grupos laterais:  10 O grupo dos quatro cantos:  11 Simplificação usando Mapa de Karnaugh partindo da Tabela Verdade:  12 Simplificação partindo da equação:  13 Exemplo de simplificação partindo da equação:  14 Passando da equação direto para o Mapa de Karnaugh:  15 Células Irrelevantes:  16 Exemplos de simplificação com células irrelevantes:  17 Mapa de Karnaugh para 3 e duas variáveis:  18 Exemplos de simplificação de funções com 3 e 2 variáveis:  19 Simplificando funções com alguma simplificação:  PDF

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01  Introdução:

A simplificação de uma função lógica tem por objetivo chegar a um circuito mais simples, usando menos componentes gerando, desta forma, um circuito mais econômico.Uma forma de simplificar uma função lógica é usar diretamente os teoremas, postulados e identidades da álgebra de Boole,neste caso a operação de simplificação pode se tornar bastante trabalhosa, podendo levar muito tempo iniciar ou ao longo da simplificação você não tem certeza de que chegará ou chegou a menor equação possível!.O método do Mapa de Karnaugh é um método mais simples, pois se baseia em um desenho na forma de tabela Mapa de Karnaugh, a construção da tabela e o processo da  simplificação é um tarefa rápida e simples.Neste  método você irá desenhar o mapa de karnaugh à partir de uma equação montada na forma de uma soma de produtos ou de uma tabela verdade.O método possui uma base matemática simples, mas que durante a aplicação fica totalmente transparente, tornando-se praticamente um trabalho metódico de observação e desenho.O Mapa de Karnaugh é um método prático para funções de até quatro variáveis ou eventualmente cinco variável, acima disto, o gráfico gerado passa a ter uma dimensão de difícil processamento. Neste trabalho serão tratados os casos até quatro variáveis, uma vez que aplicar o método para cinco variável já requer um gráfico em três dimensões.

TOPTOP 02   Base matemática:

O mapa de Karnaugh irá facilitar a identificação dos pares de parcelas que possuam termos em comum e que podem ser

colocados em evidência salientando a simplificação das variáveis que ficaram dentro do parênteses, como no exemplo abaixo:

Nesta equação duas parcelas possuem uma variável comum (variável A) e outra que aparece sem inversão em uma parcela e com inversão em outra parcela (variável B) o que permite a sua simplificação.

TOPTOP 03   Desenhando o Mapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh é uma tabela que representa uma forma diferente de desenhar a tabela verdade que você já está acostumado a ver.Você verá passo a passo a forma de desenhar o Mapa de Karnaugh partindo de uma tabela verdade de quatro variáveis, o que gera uma tabela de 16 linhas. Este mapa poderá ser usado como um padrão para funções de até 4 variáveis.Um detalhe importante é que não existe uma única forma de desenhar o mapa de Karnaugh, você verá aqui uma alternativa bastante prática. Outras formas de usar e desenhar o mapa poderão ser encontrados em outros livros, no entanto, este método é um dos mais simples e práticos de ser aplicado. Não importa a forma final do Mapa de Karnaugh a sua base matemática será sempre mesma!Você verá agora como montar o Mapa de Karnaugh partindo de uma Tabela Verdade de quatro variáveis. Monte a Tabela Verdade com uma coluna extra à esquerda para indicar o número da linha iniciando pela linha zero. Você pode notar que o número desta coluna extra está relacionado com o número binário formado pelos estados das variáveis das entradas DCBA. A tabela verdade é mostrada na figura abaixo:

Figura mostrando uma Tabela Verdade para uma função de quatro variáveis!

Os valores da coluna Z dependerão da função dada.Para você desenhar o  Mapa de Karnaugh você deve partir da Tabela Verdade original e chegar a um novo na forma de tabela onde cada célula contenha todos os dados da Tabela Verdade original que são:

*   Número da linha.*   Estado das variáveis de entrada.*   Estado da saída.

O Mapa de Karnaugh é uma tabela composta de células e apresenta uma estrutura semelhante a tabela do Excel. Cada célula do Mapa de Karnaugh deverá conter todas as informações de cada linha da Tabela Verdade que originou o Mapa!

O segredo do Mapa de Karnaugh é a ordem com que as células são montadas, esta ordem deverá seguir a regra básica descrita abaixo!Duas células adjacentes, seja na vertical ou horizontal devem descrever duas linhas da Tabela Verdade em que os estados das variáveis alterem somente um dígito!Note que esta regra não vale para células em diagonal, mas é válida somente para aquelas células colocadas lado a lado ou na horizontal ou na vertical! Por exemplo, entre a linha “0” e a linha “1” de uma Tabela Verdade de quatro variáveis somente o estado da variável “A” trocou de valor o estado das outras variáveis se mantiveram os mesmos, como mostra na figura abaixo.

Figura mostrando duas linhas da Tabela Verdade onde somente uma variável troca de valor!

Já nas linhas “1” e “2” as variáveis “A” e “B” têm valores diferentes, logo, as células que representam estas linhas não podem ser desenhadas lado a lado.Observando o critério acima como princípio básico para desenhar o mapa de Karnough, você poderá chegar a vários resultados, todos válidos para serem usados no método de simplificação do Mapa de Karnaugh. No entanto, este trabalho será baseado em uma solução específica que parece ser a mais interessante uma vez que em um único desenho teremos Mapas para funções de duas, três ou quatro variáveis. Esta solução será descrita como Mapa de Karnaugh Padrão!Nos passos adiante você verá como chegar ao Mapa de Karnaugh Padrão deste trabalho!O primeiro passo para a construção do Mapa de karnaugh Padrão é passar a coluna dos estados das variáveis de entrada para as células, tendo o cuidado de que duas células adjacentes tenham somente o estado de uma variável diferente das outras células que a cercam.  Como existem vários resultados você deverá seguir o padrão mostrado abaixo, logo em seguida será mostrado um forma de memorizar esta construção.

Figura mostrando como descrever os estados das variáveis no Mapa de Karnaugh padrão!

O segundo passo você deverá colocar o número da linha transferida para cada célula, como mostra a figura abaixo.

Figura mostrando o Mpa de Karnaugh padrão com o número das linhas!

Note que os números das linhas seguem uma seqüência binária e a cada duas células os números são invertidos! Note, também, que ao longo das colunas verticais as variáveis “D” e “C” mantêm o mesmo valor, e, ao longo das linhas horizontais as variáveis “B” e “A” mantém o mesmo valor, como é salientado na figura abaixo!

Figura mostrando as colunas e linhas onde as variáveis mantêm o mesmo valor!

Para manter a relação com o estado das variáveis de entrada, você deverá colocar nas laterais do mapa uma indicação dos estados destas variáveis ao longo das linhas e colunas A indicação informa o estado da variável ao longo de toda a linha, ou coluna. Como mostra a figura abaixo.

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh completo!

Você pode simplificar ainda mais o mapa de forma a torná-lo com um visual mais limpo sem perder a informação. Note que em cada canto da tabela só tem a descrição de uma variável, logo você pode escrever somente a indicação da variável sem a barra. As linhas e colunas sem indicação indicam que a variável está invertida! Uma chave pode ser usada para indicar as duas colunas ou linhas em que a variável aparece com o valor 1 (sem inversão).

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh sem a indicação das variáveis barradas!

Você pode simplificar ainda mais o mapa retirando os valores das variáveis de dentro das células, uma vez que o número decimal dá a informação exata dos valores das variáveis, basta você convertê-lo para binário. Por exemplo, na célula marcada com o número 5 o valor das variáveis DCBA é 0101, cinco em binário escrito com quatro variáveis!A figura abaixo mostra a forma final do Mapa de Karnaugh Padrão a ser usado neste trabalho!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh Padrão (MKP)!

TOPTOP 04   Passando os valores da Tabela Verdade para o Mapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh é uma forma diferente de desenhar a Tabela Verdade veja no exemplo abaixo como passar os valores da Tabela Verdade para o Mapa o Mapa de Karnaugh!Se for dada uma tabela verdade completa como mostra da figura abaixo TV01!

Figura mostrando a TV01.

Observe que a saída “Z” assume  o valor UM nas linhas “4”, “12” e “13”, para preencher o Mapa de Karnaugh correspondente você deverá escrever em cada célula o valor da linha correspondente! Para simplificar o desenho você deverá preencher somente as células com valor igual a “1” nas outras células você já sabe que o valor é zero (se não for “1” só pode ser “0”)! Para que o valor da variável fique salientado no Mapa de Karnaugh você pode tirar os números indicadores das linhas, uma vez que estes valores seguem o Mapa de karnaugh Padrão! O Mapa de Karnaugh que corresponde a Tabela Verdade TV01 é mostrado abaixo salientando as células onde a saída “Z” tem o valor “1”!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh MK01 correspondente a TV01!

Observe que você consegue escrever a equação gerada pela Tabela Verdade original TV01 olhando somente para o Mapa de Karnaugh acima. E usando a soma Padrão de Produtos. A equação terá 3 parcelas, existem 3 células marcadas com valor de Z igual a “1”, cada célula com quatro variáveis DCBA. Para saber se a variável é barrada ou não é só seguir as linhas e

as colunas como na batalha naval, veja no exemplo abaixo!

Figura mostrando como levantar as parcelas da soma de produtos!

Note que o valor dos Maxtermos corresponde ao número das células. Agora você pode montar a equação sem simplificação. Você já poderia simplificar esta equação usando a Álgebra de Boole. No próximo capítulo você aprenderá como simplificar esta equação usando o Mapa de Karnaugh.Equação final EQ01:

TOPTOP 05   Simplificação usando o Mapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh ajuda você a identificar as variáveis que podem ser colocadas em evidência e aquelas que podem ser simplificadas devido ao teorema da soma que diz que:

Para mostrar este método use o MK01 do capítulo anterior e a equação EQ01!

Figura mostrando a TV01 e MK01 do capítulo anterior!

Se você fosse simplificar a EQ01 uma possibilidade é começar combinando as parcelas correspondentes a M4 e M12 o que acarretaria a simplificação da variável “D”, como  é mostrado abaixo!

Você pode fazer a mesma coisa usando o Mapa de Karnaugh, se você marcar as células correspondentes as linhas M4 e M12 no Mapa de Karnaugh formando um único grupo de células conforme descrito abaixo isto indica a possibilidade de simplificação, isto indica que existe somente uma variável que muda de estado, esta variável pode ser simplificada pelo teorema da soma mostrado acima!

Para identificar qual a variável pode ser simplificada você deve usar o método da batalha naval para verificar o valor das variáveis no grupo, agora o grupo de comporta como uma única célula. A variável que trocar de valor será simplificada, observe o procedimento na figura abaixo!

Figura mostrando o grupo correspondente a M4 e M12.

Note que a única variável que muda de valor é “D”, esta é variável a ser simplificada e o grupo M4/M12 gera uma parcela sem a variável D e com os valores das outras variáveis iguais aos valores indicados na figura acima! Você descreve a parcela já simplificada  como mostra a figura da direita abaixo chamanado este gruo de G1.

Figura mostrando a formação do grupo G1 (M4/M12)!

Proceda da mesma maneira para as células M12 e M13 como é mostrado abaixo, chamando agora o grupo gerado de G2!

Figura mostrando o grupo G1 e G2.Ao final do processo restam duas parcelas que são o resultado da simplificação, a equação final é mostrada abaixo!

Este mesmo resultado você poderia encontrar seguindo na simplificação usando a Álgebra de Boole!

A partir deste exemplo você pode estabelecer as regra para a simplificação usando o Mapa de Karnaugh:

Forme grupos de células adjacentes e simplifique as variáveis que trocam de valor!

Veja no parágrafo seguinte como formar grupos adjacentes com mais de duas células!

A equação final simplificada pelo método do Mapa de Karnaugh chega a uma solução usando a soma de produtos padrão!

TOPTOP 06   Formando Grupos básicos de células adjacentes:

A simplificação usando o Mapa de karnaugh está baseada na formação de grupos de células adjacentes que contenham o valor  da variável Z=1!  As regras para a formação de um grupo são descritas abaixo!*   Você pode formar grupos de : 1 célula, 2 células, 4 células e 8 células para funções de 4 variáveis (16 células)!*   Um grupo de 1 célula indica que não existe simplificação possível e você deverá escrever a parcela com todas as variáveis!*   O número de células que podem ser combinadas segue o padrão dos pesos dos números binários: 1,2,4 e 8!*   Você só pode cria grupos com células adjacentes que formem uma figura com 4 lados, células em diagonal não podem ser combinadas, observe os exemplos mostrados na figura abaixo!

Figura mostrando exemplos de grupos válidos!

*   Grupos com células adjacentes, mas que não formam uma figura com 4 lados não são grupos válidos. Grupos com células em diagonais que não formam uma figura com 4 lados não são válidos! Veja os exemplos abaixo e grupos que não são válidos!

Figura mostrando células com Z=1 adjacentes, mas que não formam grupos válidos por estarem em diagonal!

Observe que grupos de3,  6,  9 e 12 células que formam uma figura de 4 lados não são válidos.

*   Os grupos válidos devem conter1, 2, 4 ou 8 células! Veja os exemplos abaixo!

Figura mostrando a formação de grupos não válidos devido ao número de células!

*    Dois ou mais grupos podem ter células comuns desde que, cada grupo tenha pelo menos uma célula que não pertença a nenhum outro grupo! Veja os exemplos abaixo!

Figura mostrando exemplos de grupos com células comuns!

*    A melhor simplificação é conseguida sempre com o grupo com maior número de células possíveis que atendam as exigências descritas acima! Veja na figura abaixo exemplos de simplificações feitas de forma errada por não pegar o maior número de células possíveis! Quando dois ou mais grupos paralelos são formados com menos células do que é possível, isto indica que ainda é possível simplificar uma variável, você poderia notar analisando a equação final usando a álgebra de Boole!

Figura mostrando a formação de grupos errados que ainda podem ter simplificação possível e a forma correto de gerar o grupo!

Quanto maior o grupo, mais variáveis você conseguirá simplificar, desta forma, o grupo válido é aquele que envolve o maior número de células possíveis e que seguem as regras descritas acima.*   Grupos de 2 células conseguem simplificar uma variável.*   Grupos de 4 células conseguem simplificar duas variáveis.

*   Grupos de 8 células conseguem simplificar tr~es variáveis.

Além dos grupos básicos mostrados neste capítulo existem ainda mais duas formas de formar grupos que são: Grupos das células dos 4 cantos e Grupo das células das laterais. As regras para a formação destes grupos será mostrado mais adiante.

TOPTOP 07   Exemplo de simplificação básica:

Os exemplos abaixo mostram simplificações usando a formação básica de grupos de células adjacentes!Observe bem a formação dos grupos de células adjacentes e como as variáveis são simplificadas!Nos exemplos abaixo a Tabela Verdade já foi passada para o Mapa de Karnaugh!Nos exemplos será mostrado a esquerda o MKP (Mapa de Karnaugh Padrão) para orientar você  na formação da equação e na simplificação!

Exemplo 01:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Afigura abaixo mostra a formação dos grupos! A análise do mapa leva a criação de dois grupos: G1 e G2.No grupo G1 é possível simplificar a variável "C" e no grupo G2 é possível simplificar as variáveis "D" e "C"! O mapa e a equação final são mostrados abaixo!

 

Observação:Você poderia pensar em montar um grupo com as células 4 e 5, no entanto este grupo não seria válido pois não teria pelo menos uma célula que não pertencesse a outros grupos, uma vez que, a célula 4 já pertence ao grupo G1 e a célula 5 ao grupo G2. Veja na figura abaixo!

Figura mostrando o grupo em azul não válido porque não tem pelo menos uma célula que não pertença a outro grupo!

 

Exemplo 02:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Neste caso é possível criar dois grupos de 4 células.Note que não é permitido pegar todas as células, pois forma um grupo de 6 células, o que não é permitido!O mapa e a equação final são mostrados abaixo!

O método de simplificação usando o Mapa de karnaugh sempre chega a uma solução usando a soma de produtos, sem parênteses. Na equação acima você ainda poderia colocar a variável "D" em evidência, mas teria uma solução fora do padrão da soma de produtos!

Exemplo 03:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Neste caso é possível formar 3 grupos sendo que um grupo é de uma única célula indicando que aquela parcela não tem

simplificação possível! O mapa e a equação final são mostrados abaixo!

Observe que a parcela referente ao Maxtermo M7 não pode ser simplificado!

Exemplo 04:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Este exemplo admite duas soluções em função da célula 13, esta célula pode se combinar com o grupo G1 ou G2. As duas soluções são válidas! Veja na figura abaixo as duas soluções possíveis!

A simplificação usando mapa de Karnaugh ou álgebra de Boole pode chegar a dois resultados, na álgebra de Boole não fica claro este fato, no Mapa de Karnaugh este fato fica evidente.As duas simplificações são matematicamente corretas, no entanto se você está projetando um circuito para ser montado em série a solução com menos porta inversora representa o menor custo!

Exemplo 05:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Neste caso não existe simplificação possível, os 3 grupos gerados são grupos de 1 célula. Com o Mapa de Karnaugh você chega facilmente a conclusão de que não há simplificação possível, se você estivesse usando a álgebra de Boole não teria esta visão ao iniciar a simplificação e poderia gastar um bom tempo até chegar a conclusão de que não existe simplificação possível! Esta é uma das grandes vantagens da simplificação usando o Mapa de karnaugh, é possível prever antes de iniciar os trabalhos se existe simplificação possível e você sempre chegará a máxima simplificação possível!O Mapa e a equação final é mostrado abaixo!

TOPTOP 8   Simplificação usando grupos laterais:

As células colocadas nas laterais também podem formar grupos! O Mapa de Karnaugh pode ser considerado uma figura em três dimensões onde as laterais são adjacentes, formando uma espécie de canudo. Seguindo esta observação é possível criar dois canudos com o Mapa de Karnaugh o que permite criar grupos com as laterais verticais e horizontais. A figura abaixo mostra esta relação!

Figura mostrando os grupos laterais.

Agora quando você for montar os grupos preste atenção na possibilidade da formação de grupos laterais, estes grupos devem seguir as regras apresentadas no capítulo anterior. Você pode montar grupos de 2, 4 e 8 células usando as laterais do mapa de karnaugh!A figura abaixo mostra exemplos de grupos formados usando as laterais do Mapa de karnaugh!Veja a forma de indicar um grupo lateral onde o laço não é fechado.

Figura mostrando exemplos de formação de grupos laterais!

Os grupos são indicados com uma figura com laço aberto e o nome de grupo é colocado na abertura dos laços!

TOPTOP 09   Exemplo de simplificação usando grupos laterais:

A forma de simplificar variáveis no grupo das laterais segue o mesmo princípio dos grupos adjacentes, a variável simplificada é aquela que troca de valor dentro do grupo!Os exemplos abaixo mostram caso de simplificação onde são usados grupos laterais!

Exemplo 01:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Observe que aqui é possível criar um grupo de lateral com as células M4, M12, M6 e M14, e um grupo adjacente com as células M7 e M6! Veja na figura abaixo o desenho dos grupos e a equação final!

Note que para determinar a variável a ser simplificada no grupo 2 foi usado o mesmo raciocínio usado com um grupo adjacente. Como o grupo 2 é um grupo de 4 células é possível simplificar duas variáveis. A variável "B" e a variável "D". A variável "A" aparece barrada porque todo o grupo 2 está fora das linhas onde a variável "A" não é barrada!

Exemplo 02:Dado o mapa de karnaugh e a equação correspondente abaixo, simplifique usando mapa de karnaugh?

Solução:Neste caso é possível formar dois grupos laterais e que coincidem com os cantos do mapa!

O mapa e a equação final são mostrados abaixo!

De agora em diante não se esqueça de analisar a possibilidade da simplificação incluir s grupos das laterais!

TOPTOP 10   O grupo dos quatro cantos:

Existe um grupo especial formado pelos quatro cantos do mapa (quatro vértices), este grupo só pode ser considerado se os quatro vértices possuírem o valor “1”.Observe o exemplo abaixo.

Note que as células M0, M2, M8 e M10 formam o grupo do canto, este grupo só pode ser formado se as células dos cantos do mapa estiverem com o valor igual a um, que é este caso!

O grupo dos cantos simplifica duas variáveis resultando no mapa e equação mostrados abaixo!

De agora em diante não se esqueça de analisar a possibilidade da simplificação incluir o grupo dos 4 cantos!

TOPTOP 11   Simplificação usando Mapa de Karnaugh partindo da Tabela Verdade:

Isto é o que acontece normalmente na prática, o cliente que especifica um projeto a ser realizado usando circuitos digitais, informa as condições com  que as saídas serão ligadas em função dos acionamentos das entradas, esta descrição deve ser colocada em uma tabela verdade, e, antes de ser implementada deve ser simplificada.Passar da tabela verdade para o Mapa de karnaugh é simples, isto porque o mapa de karnaugh é na verdade uma forma diferente de escrever a Tabela Verdade. O Mapa de Karnaugh irá possuir tantas células quanto são as linhas da Tabela Verdade e o valor de Z em cada célula do mapa de karnaugh é o mesmo do valor de Z em cada linha da Tabela verdade. O número de cada linha da Tabela verdade está associado ao número de cada célula do Mapa de Karnaugh Padrão, conforma descrito na figura abaixo!

Você deverá passar para o mapa de Karnaugh somente os valores das linhas iguais a "UM", estas linhas são chamadas de Maxtermos, e o número do Maxtermo está associado ao número da linha da Tabela Verdade, não esquecendo que este número começa do zero!Uma vez passado os valores das linhas iguais a "UM" para o Mapa de Karnaugh você deverá proceder na simplificação como descrito nos capítulos anteriores:

Montar grupos de células adjacentes válidos!Simplificar as variáveis que trocam de valor, observando os grupos adjacentes, os grupos das laterais e o grupo dos 4 cantos!Escrever a equação final usando a Soma de Produtos Padrão com os grupos já simplificados!Montar o circuito baseado na equação simplificada!Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 01:Monte um circuito simplificado a partir da tabela verdade abaixo:

Solução:Primeiro passo: identifique as linhas onde Z=1 e escreva e escreva o Maxtermos correspondente onde o número do Maxtermo corresponde ao número da linha! Veja a figura abaixo!

Segundo PASSO: A partir do Maxtermo é possível escrever a equação inicial no formato da soma de produtos padrão sem a simplificação!

Observe que a parcela da equação contém as 4 variáveis e as variáveis barradas são aquelas em que na linha correspondente ao Maxtermo gerador da parcela a variável tem o valor zero. Por exemplo, a parcela correspondente ao Maxtermo M4 a variável "D" é barrada porque o valor da variável "D" na linha 4 é zero!

Terceiro passo: coloque o valor "1" nas células com o número igual ao número dos Maxtermos! Veja na figura abaixo!

Quarto passo: Monte os grupos válidos no Mapa de Karnaugh.

Quinto passo: Simplifique as variáveis nos grupos, se possível!

Sexto passo: Monte a equação simplificada copiando os grupos para a equação no formato da soma de produtos padrão! Veja estes passos na figura abaixo!

Sétimo passo: Finalmente monte o circuito correspondente. Cada parcela gera uma porta AND (produto lógico). As entradas das portas AND vão ligadas as variáveis que existirem na parcela, se a variável está barrada você deve colocar uma inversora entre a variável e a entrada na porta AND. Todas as portas AND são ligadas a uma porta OR com tantas entradas quanto forem as portas AND. Pronto o circuito está prontinho e com o menor número de portas possíveis, agora é só testar e confirma resultado!

Figura mostrando o circuito final simplificado!

TOPTOP 12   Simplificação partindo da equação:

A simplificação de uma equação Booleana pode ser feito com maior rapidez  usando o Mapa de Karnaugh ao invés da Álgebra de Boole!

Para usar o mapa de Karnaugh é preciso identificar em quais as células serão escrito os valores de Z igual a um, para isto aequação tem estar escrita na forma de uma soma de produtos, e os Maxtermos identificados.

No capítulo anterior você partiu da Tabela Verdade, passando pela equação para então montar o Mapa de Karnaugh, o ponto chave é determinar os Maxtermos que compõe a equação, no caso da Tabela Verdade você olha para as linhas onde a saída "Z" é igual a "1" e a partir desta observação o Maxtermo é determinado.  O Maxtermo tem o índice igual ao número da linha em que a variável "Z" possui o valor "1". Com a equação o seu trabalho vai ser encontrar o número do índice dos Maxtermos que compõe a equação uma vez que a tabela verdade não está a disposição.

Existem dois casos:*   Equação sem nenhuma simplificação.*   Equação com alguma simplificação.

Vamos tratar neste primeiro momento das equações sem nenhuma simplificação tratando mais adiante as equações com alguma simplificação que requer o conhecimento de mais alguns conceitos que ainda não foram tratados!

Se você tiver uma equação completa, sem simplificação alguma, esta equação terá em cada parcela todas as variáveis que compõe a função Booleana, assim é importante que você saiba o número de variáveis compõe a função Booleana.

A descrição feita até aqui não falava nada sobre o número de variáveis, esta é uma forma simplificada de descrever uma função. A forma completa deve descrever as variáveis que compões a função como mostra a figura abaixo:

 Figura mostrando a forma completa de descrever uma função lógica!

O seu trabalho será determinar o índice dos Maxtermos que compões esta soma de produto, para executar este trabalho siga os passos descritos abaixo.

Para determinar o índice você deverá escrever as variáveis em cada parcela na ordem "DCBA", pois esta é a ordem que o Mapa de Karnaugh Padrão foi criado!

Depois de colocas em ordem você deverá substituir cada variável pelos números "1" ou "0" seguindo a seguinte lógica: Se a variável está barrada substitua pelo número "0" caso contrário substitua pelo número "1", ao final deste passo você terá em cada parcela um número binário de no máximo 4 dígitos.

O passo final consiste em converter este número binário para decimal. Este será o índice dos Maxtermos que representam cada parcela.

De posse dos Maxtermos você terá que preencher o Mapa de Karnaugh colocando o valor "1" nas células com o número correspondente aos Maxtermos.Com o Mapa de Karnaugh pronto é só simplificar usando a técnica descrita nos capítulos anteriores.

TOPTOP 13   Exemplo de simplificação partindo da equação:

Dada a equação abaixo, simplifique usando o Mapa de Karnaugh!

Primeiro passo colocar as variáveis na ordem "DCBA". Isto já está feito!

Segundo substituir as variáveis por "1" ou "0", colocar "0"s variáveis barradas caso contrário coloque "1"!

Converta cada parcela em número decimal e coloque este número como índice dos Maxtermos!

Preencha o Mapa de Karnaugh baseado nos Maxtermos levantados no passo anterior, neste caso as células 15, 13 e 10 deverão ser preenchidas com o valor "1"!

Simplifique usando a técnica já conhecida! A solução é mostrada na figura abaixo!

 

TOPTOP 14   Passando da equação direto para o Mapa de Karnaugh:

Uma forma alternativa para montar o Mapa de Karnaugh a partir da equação é determinando a célula do Mapa de Karnaugh onde a parcela gera o valor "1" olhando para o estado das variáveis na parcela e achando a célula onde reproduza os mesmos estados, para isto você deve proceder como no jogo da batalha naval ao contrário.

Exemplo:

Suponha a última parcela da equação do exemplo do capítulo anterior ( ):

Você poderá determinar a célula do cruzamento das variáveis D não barrado, C barrado, B não barrado e A não barrado, este cruzamento será na célula 11! Veja figura abaixo!

Esta forma de transferir da equação para a tabela verdade serve para qualquer tipo de Mapa de Karnaugh, no entanto requer bem mais atenção!

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15   Células Irrelevantes:

Eventualmente em um projeto, existem condições que não irão acontecer nunca, por isto, não são irrelevantes. Uma condição irrelevante é marcada na coluna "Z" do Mapa de karnaugh com a letra "X" e você poderá usar como um curinga no momento da simplificação.Se for conveniente considerar a célula como "1" para aumentar o tamanho de um grupo e desta forma aumentar o número de variáveis a serem simplificadas, então considere a célula com um, caso contrário, sem não ajudar em nada, considere o "X" como zero!A chave é considerar a saída irrelevante marcada com um "X" como um coringa, podendo assumir o valor "1" ou "0" conforme a sua conveniência!

TOPTOP 16   Exemplos de simplificação com células irrelevantes:

O exemplo abaixo mostra uma simplificação usando células irrelevantes!

Exemplo 1:Dado a Tabela Verdade abaixo monte um circuito simplificado que reproduza esta tabela verdade. Simplifique usando o Mapa de karnaugh?

A simplificação é mostrada abaixo:A equação mostrando os Maxtermos é mostrada abaixo onde as parcelas irrelevantes são assinaladas com um asterisco!

O Mapa de Karnaugh mostra as células irrelevantes assinaladas com um "X" é mostrado abaixo!

Uma simplificação possível é mostrada abaixo:

Note que o grupo em azul também poderia ser considerado se o "X" da célula 13 fosse considerado como "1"

número de parcelas da solução aumentaria, desta forma este grupo foi desconsiderado!

Já a inclusão das células 2, 3 10, 11 no grupo 1 aumentou a simplificação!

Solução:

O circuito é  mostrado na figura abaixo e consiste apenas de uma conexão entre a chave B e a saída, não precisa usar porta lógica alguma!

Figura mostrando o circuito final!

TOPTOP 17 Mapa de Karnaugh para 3 e duas variáveis:

O Mapa de Karnaugh para 3 variáveis e duas variáveis pode ser gerado a partir do Mapa de Karnaugh padrão visto até aqui, esta é mais umas vantagens do uso deste tipo de mapa!Para o Mapa de karnaugh com três variáveis "CBA" você deverá recortar do Mapa de karnaugh Padrão de 4 variáveis as colunas onde a variável "D" é igual a "1"! Veja na figura abaixo a construção do Mapa de Karnaugh para três variáveis partindo do mapa padrão!

Figura mostrando como gerar um mapa de karnaugh para 3 variáveis!

Para o Mapa de karnaugh com duas variáveis "BA" você deverá recortar do Mapa de karnaugh Padrão as colunas onde a variável "D" e "C"é igual a "1"! Veja na figura abaixo a construção do Mapa de Karnaugh para duas variáveis partindo do mapa padrão!

Figura mostrando como gerar um mapa de karnaugh para 2 variáveis!

Afigura abaixo mostra o Mapa de karnaugh Padrão para 4, 3 e 2 variáveis!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh para 4, 3 e 2 variáveis partindo do mapa de Karnaugh Padrão!

TOPTOP 18   Exemplos de simplificação de funções com 3 e 2 variáveis:

Exemplo 01:Monte um circuito simplificado a partir da Tabela Verdade abaixo?

Solução:Os Maxtermos e a equação são mostrados abaixo:

A figura abaixo mostra a passagem para o Mapa de Karnaugh e a simplificação!

O circuito é mostrado abaixo!

Figura mostrando o circuito simplificado que implementa A Tabela Verdade dada no exemplo! 

Exemplo 02:Monte um circuito simplificado a partir da Tabela Verdade abaixo?

Os Maxtermos e a equação são mostrados abaixo:

A solução usando mapa de Karnaugh é mostrada abaixo:

Observe que a regra das células laterais, e todas as outras continuam valendo!O circuito é mostrado na figura abaixo:

Observação:A solução usando álgebra de Boole é mais simples do que o mapa de karnaugh para funções de duas variáveis, exceto quando tem termo irrelevante!

TOPTOP 19 Simplificando funções com alguma simplificação:

Para simplificar uma função usando o Mapa de Karnaugh esta função deve estar escrita na forma da soma de produtos padrão onde os produtos contêm todas as variáveis e estas variáveis estão montadas na ordem padrão "DCBA"!

Quando uma função já possui alguma simplificação as parcelas com os produtos não tem algumas das variáveis, neste caso você deverá completar as variáveis faltantes, para isto você deverá usar o teorema da expansão de abaixo!

O Teorema de shannon diz que toda a função pode ser escrita na forma de uma soma de produtos contendo todas as variáveis!

Teorema da expansão de Shannon diz que uma função base original é equivalente a soma de duas parcelas da função base por uma variável mais a função base multiplicada pela mesma variável barrada, como é mostrado na equação abaixo sendo a variável qualquer igual a "A" e o número de variáveis igual a quatro. Poderíamos usar o teorema para funções com qualquer número de variáveis, mas como o nosso estudo se restringe a quatro variáveis o teorema foi editado neste exemplo para quatro variáveis:

Este teorema pode ser aplicado em uma função com alguma simplificação de forma a recuperar as variáveis faltantes, como

é mostrado no exemplo abaixo:

Exemplo 01:A função abaixo é uma função de 3 variáveis, simplifique usando o mapa de Karnaugh!

Solução:Note que na primeira parcela está faltando a variável "C" e na segunda parcela está faltando a variável "A", então você deverá recuperar estas variáveis aplicando o Teorema de Shannon!Primeiro recupere a variável A!

Olhando a equação resultante você pode aplicar as simplificações abaixo para reduzir a equação!

A equação fica:

Novamente existe mais uma simplificação possível!

Esta é a equação com a variável recuperada em todas as parcelas, agora falta recuperar a variável "C" usando o mesmo processo!

Esta é a variável final com todas as variáveis, agora você terá que passar esta equação para o mapa de Karnaugh para isto primeiro determine os Maxtermos.Para determinar os Maxtermos você deverá determinar os índices destes Maxtermos gerados pelo equivalente binário de cada parcela, como é mostrado abaixo!

A equação pode ser escrita agora em função dos Maxtermos e somente por uma questão de ordem estes Maxtermos são colocados em ordem crescente, como é mostrado abaixo!

Z(CBA)= M2+M3+M4+M5+M7

Agora é simplificar usando o mapa de karnaugh!

A equação final é mostrada abaixo:

Note que as duas primeiras parcelas existiam na equação original!

Outra observação é que este Mapa de karnaugh admite uma segunda resposta caso a célula 7 fosse combinada com a célula 5 ao invés da célula 3, a solução é mostrada abaixo!

A equação final ficaria!

Você deverá usar o bom sensor para escolher entre continuar a simplificação usando a álgebra de Boole ou o Mapa de karnaugh.

O Mapa de Karnaugh parece mais trabalhoso, mas leva com certeza a melhor solução, já álgebra pode ser mais simples na maioria dos casos, mas, eventualmente poderá levar você a caminhos complexos!

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