aula6 mapa de karnaugh

Universidade Federal do Vale do So Francisco - UNIVASF

Colegiado de Engenharia da Computao CECOMP

Mapas de Karnaugh

Prof. Rmulo Calado Pantaleo Camara

Carga Horria: 2h/60h



Mapas de Karnaugh

O mapa de Veitch-Karnaugh, ou simplesmente mapa de Karnaugh, uma tabela montada de forma a facilitar o processo de minimizao das expresses lgicas.

Os mapas de Karnaugh permitem a simplificao de expresses com duas, trs, quatro, cinco ou mais variveis.

Ele formado por 2n clulas (n o nmero de variveis de entrada).



Mapas de Karnaugh

A representao da relao entre as variveis de entrada e suas sadas correspondentes feita da seguinte forma: Cada clula corresponde a uma condio de entrada;

As sadas so indicadas dentro das clulas correspondentes;

A disposio das clulas entre si tal que facilite o enlace entre clulas adjacentes.

Os conceitos de adjacncia e enlace so de fundamental importncia para a compreenso e aplicao do mapa de Karnaugh.



Adjacncia: duas clulas so adjacentes entre si quando apenas uma de suas variveis de entrada muda de valor.

Exemplo: A tabela verdade de duas variveis (porta OR) pode ser representada por quatro clulas:

AB = 00 0 AB = 01 1 AB = 10 1 AB = 11 1

Pode-se afirmar que: As clulas AB = 00 e AB = 01 so adjacentes (apenas B muda

de valor);

As clulas AB = 00 e AB = 10 so adjacentes (apenas A muda de valor);

As clulas AB = 01 e AB = 10 no so adjacentes (A e B mudam de valor)

Mapas de Karnaugh



Enlace (regio): o agrupamento de clulas adjacentes, com sadas iguais, do qual se pode extrair diretamente uma expresso booleana simplificada.

Esta simplificao advm da aplicao do teorema da absoro.

Assim, num enlace entre duas clulas adjacentes, pode-se extrair uma expresso booleana simplificada j que a varivel que muda de valor desaparece.

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A expresso de um enlace (agrupamento) depende das sadas consideradas e das variveis de entrada que no mudam de valor nas clulas, ou seja:

Sadas = 1 cada enlace um produto (AND) entre as

variveis que no mudam de valor;

a operao entre enlaces uma soma (OR).

Sadas = 0

cada enlace uma soma (OR) entre as variveis que no mudam de valor;

a operao entre enlaces um produto (AND).

Mapas de Karnaugh



Mapas de Karnaugh

Podemos construir o mapa de Karnaugh para as Sadas = 0 tomando o complemento da funo S (Sadas = 1), bastando, apenas, inverter a sada (Teorema de De Morgan).

A resoluo de um mapa pode ser realizada por sadas iguais a 1 ou 0. Ambas as solues so satisfatrias, podendo-se obter expresses booleanas iguais ou equivalentes.

Normalmente, a resoluo por sadas iguais a 0 s utilizada quando apenas um enlace formado.



Mapas de Karnaugh

Observaes:

1. Se o mapa possui apenas um enlace, a expresso da sada ter apenas um termo (produto ou soma).

2. O nmero de clulas que pode fazer parte de um enlace est tambm relacionado com a equao 2n ( onde n varia de 0 ao nmero de variveis do mapa considerado).

3. Um enlace envolvendo uma nica clula no resulta em simplificao. Quando no so possveis enlaces envolvendo mais de uma clula, significa que a expresso no pode ser simplificada algebricamente.



Mapas de Karnaugh

Observaes:

4. Quanto maior o enlace, menor o termo correspondente e, portanto, mais simplificada fica a expresso booleana do mapa de Karnaugh considerado.

5. Dois enlaces podem ter uma clula em comum.

6. Quanto menor o nmero de enlaces, menos termos tem a expresso booleana do mapa de Karnaugh considerado e, portanto, mais simplificada ela fica;



Mapas de Karnaugh

Observaes:

7. O uso do irrelevante num enlace pode simplificar ainda mais a expresso booleana final. Assim, sempre que uma ou mais sadas forem irrelevantes, cada uma delas deve ser considerada 0 ou 1 de acordo com a convenincia, tornando o circuito mais simplificado.

8. A resoluo de um mapa de Karnaugh com enlaces menores do que os possveis ou com um nmero de enlaces maior do que o necessrio, resulta, tambm, numa expresso booleana correta, porm, no totalmente simplificada.



Mapas de Karnaugh

Algumas regras so seguidas no desenvolvimento do mapa de Karnaugh:

1. Todos 1 devem ser lidos pelo menos uma vez.

2. Grupos de 1 em potncia de 2, e retangulares formam uma leitura.

3. O grupo deve ser o maior possvel.

4. Deve-se ter o menor nmero possvel de leituras.

5. A leitura corresponde s variveis que se mantiverem constantes



Karnaugh para Duas Variveis

O mapa ser descrito como (S=f(A,B)) formado por quatro clulas (2=4);

Pode-se notar que cada linha da tabela verdade possui uma regio prpria no diagrama de Karnaugh.

A B minitermos

0 0

0 1

1 0

1 1

B Am0

B Am1

BA m2

BA m3

B

A

A

B

0m 1m

2m 3m

Tabela Verdade Mapa de Karnaugh




Com duas variveis possvel formar vrias regies (enlaces). Exemplo:




Passos para a simplificao: Formar pares;

Formar termos isolados;

A expresso simplificada ser o somatrio das regies (enlaces) encontradas.



Mapas de Karnaugh

Exemplo:

Condies

irrelevantes



Mapas de Karnaugh

Exemplo Resolvido: dada a tabela verdade, obtenha o circuito simplificado utilizando mapa de Karnaugh.

Formar os pares; formar os termos isolados; fazer a soma

minitermos!



Karnaugh para Trs Variveis

S=f(A,B,C); Quantas clulas?

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Tabela Verdade Mapa de Karnaugh




Possveis regies de enlaces;




Passos para a simplificao: Formar quadras;

Formar pares;

Formar termos isolados;

A expresso simplificada ser o somatrio dos enlaces encontrados;



Mapas de Karnaugh

Exemplo:




Condies irrelevantes:




Exerccio: Dada a tabela verdade, encontre o circuito simplificado utilizando o diagrama de Karnaugh.




Exerccio: Dada a tabela verdade, encontre o circuito simplificado de E e F utilizando o diagrama de Karnaugh.




Exerccio: Projete um circuito lgico de uma porta de elevador em um prdio de 3 andares. M indica movimento; F1, F2, F3 indicadores de andares e so normalmente nvel baixo e passa para nvel alto apenas quando estiver no andar. A sada do circuito o sinal de ABRIR a porta que normalmente nvel BAIXO. Se acionado para abrir a porta, sobe para ALTO.

Circuito do elevador

M F1 F2

F3

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