simetria - biocristalografia.df.ibilce.unesp.br · cristais que apresentavam mesmas operações de...

SIMETRIA

1164 – BIOLOGIA ESTRUTURAL Aula 7 Prof. Dr. Valmir Fadel

Simetria : Sólidos cristalinos se distinguem dos demais pela existência de uma ordem repetitiva ou periódica nos elementos (átomos ou moléculas ) que o compõem. A maneira como esta repetição acontece é chamada de simetria.

Na cristalografia geométrica que veremos a seguir nos ateremos a a este aspecto de maneiras possíveis de repetição em detrimento do que está sendo repetido.

SIMETRIA


Unidade básica de repetição:

EnantiomorfoCongruente

SIMETRIA


Reflexão

espelho

SIMETRIA


Elementos de simetria: Locus geométrico em relação a qual a operação de repetição se realiza. Exemplos: eixos e espelhos.

Operações de Simetria: Operações que geram as repetições.São quatro: Rotação

ReflexãoRotoreflexão (centro de inversão)Rotoinversão

SIMETRIA


Rotação

Φ

SIMETRIA


Eixo de rotação própria

21 3

4 6

Φ=360 Φ=180 Φ=120

Φ=60Φ=90

As repetições seguem a ordem direita, direita, direita, etc e geram pares congruentes

SIMETRIA


Eixo de rotação imprópria

As repetições seguem a ordem direita, esquerda, direita, esquerda etc e geram pares enantimorfos

SIMETRIA


Rotoreflexão

Combinação de uma rotação própria com uma reflexão

Φ=180Φ=360

2~1

~

SIMETRIA


Centro de inversão

SIMETRIA


Rotoinversão

Combinação de uma rotação própria centro de inversão

Φ=180Φ=360

2-1

-

SIMETRIA


21 3 4 6

2~

1~

3~

4~

6-

6~

4-

3-2

-1-

rotação

rotoreflexão

rotoinversão

Rotoreflexão e rotoinversão geram os mesmos padrões de repetição

Centro de simetria espelho Rotoinversão de 3ª ordem Rotoinversão de 4ª ordem Rotoinversão de 6ª ordem

mesmo lado

lado inverso

SIMETRIA


Simetria em um cubo

1 centro de simetria9 espelhos6 eixos de ordem 24 eixo de rotoinversão de ordem 33 eixos de rotação de ordem 4

SIMETRIA


Grupo Pontual ou Classes de cristais

Um conjunto de operações de simetria não translacionais que leva a um padrão de repetição distinto é um Grupo Pontual.

Quando dos primeiros estudos de cristais, verificou-se cristais que se apresentavam morfologicamente distintos possuíam um mesmo conjunto de operações de simetria. Cristais que apresentavam mesmas operações de simetria foram classificados em Classes.

Cada uma das operações de rotação próprias e impróprias constituem um Grupo Pontual ou Classe Cristalina. Outros Grupos podem ser obtidos pela combinação destas operações.

Respeitando as características translacionais dos cristais existem 32 Grupos Pontuais ou Classes de Cristais.

SIMETRIA


Um exemplo de um novo grupo pontual pode ser obtido pela combinação de uma rotação própria com um plano de reflexão (espelho perpendicular ao eixo de rotação. Estes novos grupos são simbolicamente representados por 1/m, 2/m, 3/m, 4/m e 6/m, mas acrescentam somente três novos grupos pois 1/m=m=2barra e 3/m=6barra.

2

m___ 4

m___ 6

m___

1m

___ 3

m___

Uma propriedade intrínseca dos grupos pontuais é que a aplicação de duas operações de simetria gera um a terceira simetria. Como visto no exemplo anterior, a aplicação de 2 operações (rotação própria e plano de reflexão) gerou uma terceira simetria (centro de inversão).

SIMETRIA


ψ

ψψ

Outro exemplo é a colocação de um plano de reflexão paralelo ao eixo de rotação, cuja terceira simetria gerada é outro plano de reflexão paralelo ao eixo formando um ângulo entre os espelho de metade do ângulo de rotação.Obviamente o inverso também é verdadeiro: Se dois espelhos se interceptam de um ângulo ψ, uma rotação de 2ψ aparece na sua interseção.

SIMETRIA


Assim, por exemplo, a introdução de espelhos perpendiculares (ψ=90°) gera um eixo de ordem 2 (ψ=180°) na interseção dos espelhos. 2mm 3m

4mm 6mm

SIMETRIA


E testando todas as combinações possíveis e não repetitivas chegamos a 32 grupos, que são classificados de acordo com a mais alta ordem de rotação que possuem, em 6 SISTEMAS CRISTALINOS.

4, 4barra, 4/m, 422, 4mm, 4barra2m, 4/m2/m2/mum 4Tetragonal

3, 3barra, 32, 3m, 3barra2/m, 6, 6barra, 622, 6mm, 6barram2, 6/m, 6/m2/m2/m.

um 3 ou 6Hexagonal

23, 432, 2/m3barra, 4barra3m, 4/m3barra2/mquatro 3Cúbico

222, 2mm, mmmtrês 2Ortorrômbico

2, m, 2/mum 2Monoclínico

1, 1barra1Triclínico

ClassesSimetria mínima

CRISTAIS


Repetição periódica – Cristais e Redes bidimensionai s

Rede (imaginário) Cristal (real)

+


As operações de simetria e a repetição periódica li mitam as possibilidades de redes

Rede paralelograma acomoda 1 e 2

CRISTAIS



Rede diamante e retangular acomodam espelhos

CRISTAIS



Rede triangular tem um eixo 3 e a rede quadrada tem um eixo 4

CRISTAIS


Cela unitária: Unidade que por repetição periódica constrói a rede

Unidade Assimétrica: Unidade que por aplicação das operações de simetria (grupos pontuais) e translação constrói o cristal

CRISTAIS


A cela ‘e dita primaria quando contem somente um ponto da rede e múltipla quando contem mais de um ponto

Nas redes tridimensionaisencontramos os tipos de celas:

P – primitivaC – faces centradas (opostas)I – corpo centradoF – todas as faces centradas

CRISTAIS


Os pontos da rede pode ser obtidos pelo deslocamento periódico dos pontos através de vetores não coplanares

CRISTAIS


Tomando os eixos de rotação dos cristais como eixos de referência. Os três eixos mutuamente não coplanares são chamados eixos cristalográficos e comumente denotados por a, b e c, exceto se são equivalentes frente às operações de simetria, onde então são chamados de a1, a2 e a3 e os ângulos entre eles denotados por α, β e γ.

a

b

c

αβ

γ

CRISTAIS


Assim, temos para os SISTEMAS CRISTALINOS:

c paralelo a 6 (ou 3)

a1, a2 e a3 devem ser paralelos a 4

c paralelo a 4

a, b e c devem se paralelos a 2

c paralelo a 2

não especificada

Orientação dos eixos

6

3

23

4

222

2

1

Grupo pontual de simetria mínima

Hexagonal a1 = a2 ≠ cα = β =

90º; γ = 120º Romboédrico a = b = c

α = β = γ ≠ 90º

Trigonal

a1 = a2 = a3

α = β = γ = 90ºCúbico

a1 = a2 ≠ cα = β = γ = 90º

Tetragonal

a ≠ b ≠ c ≠ aα = β = γ = 90º

Ortorrômbico

a ≠ b ≠ c ≠ aα = γ = 90º; β ≠ 90º

Monoclínico

a ≠ b ≠ c ≠ aα ≠ β ≠ γ (todos ≠ 90º)

Triclínico

Eixos e Ângulos entre os eixosSistema de cristalização

CRISTAIS


SISTEMA TRICLÍNICO

P

SISTEMA MONOCLÍNICO

P C

AS 14 REDES DE BRAVAIS

CRISTAIS


SISTEMA ORTORRÔMBICO

P C I F

CRISTAIS


SISTEMA TRIGONAL

SISTEMA HEXAGONAL

P

R

SISTEMA ROMBOÉDRICO

CRISTAIS


SISTEMA CUBICOSISTEMA TETRAGONAL

P I

P IF

CRISTAIS


CRISTAIS

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Planos cristalográficos


CRISTAISPlanos cristalográficos definem as faces de um cristal


CRISTAIS

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Planos cristalográficos são codificados pelos índices de Miller h k l


CRISTAIS

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Os interceptos dos planos nos eixos cristalográficos, podem ser expressos pelas razões a/h, b/k e c/l. com h, k e l inteiros.

Os índices de Miller são obtidos pelos denominadores inteiros destas frações.

110

120

010

410140


CRISTAISRede Recíproca

a

bc

a* = b x ca . b x c

a*

b*c*

b* = c x aa . b x c

c* = a x ba . b x c



a* = b x ca . b x c

b* = c x aa . b x c

c* = a x ba . b x c

a

b

c

αβ

γ

b*

a*

c*

a*.b=0a*.c=0b*.a=0b*.c=0c*.a=0c*.b=0

a*.a=1b*.b=1b*.b=1

|a*| ∝ 1/|a||b*| ∝ 1/|b||c*| ∝ 1/|c|



Seja S o vetor que descreve a posição de um ponto na rede recíproca, S(hkl)=ha* + kb* + lc* e S(hkl) é perpendicular aos planos hkl e S(hkl)=1/d onde d é a distância entre os planos hkl.

ab

120

b*a*

S(120) = a* + 2b*

S

d120

simetria - biocristalografia.df.ibilce.unesp.br · cristais que apresentavam mesmas operações de...

Documents