silvia modesto nassar [email protected] conjuntos difusos operações: complemento – ponto de...
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Silvia Modesto Nassar
Conjuntos DifusosConjuntos Difusos Operações:
Complemento – ponto de equilíbrio e ponto dual
Intersecção União
Definição e nomenclatura Tipos Axiomas Relações
Silvia Modesto Nassar
Conjuntos Fuzzy: Conjuntos Fuzzy: operaçõesoperações Complemento: A(x)
Intersecção: (AB) (x)
União: (AB) (x)
NÃO
E
OU
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Nomenclatura: Nomenclatura: Operações FuzzyOperações Fuzzy NÃO : Complemento : complemento
E : Intersecção : t - normas
OU : União : t - conormas
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: A(x)A(x) ou ou cA(x)cA(x)
Seja A um conjunto fuzzy em X A(x): grau de pertinência de x ao conjunto A
Notação: cA é o complemento fuzzy do tipo c de A cA(x)
O complemento cA é definido pela função c: [0; 1] [0; 1]
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: exemploexemplo
0.5
c(a) = ( 1 +cos ) / 2
0 1 a
0.5
1
c(a)
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: tipostipos Complementos tipo threshold
Complementos involutivos de Sugeno
Complementos involutivos de Yager
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: tipostipos Complementos tipo threshold :
c(a) = 1 para a t
= 0 para a t
0 1t a
1c(a)
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: tipostipos Complementos involutivos de Sugeno:
c(a) = ( 1 - a) / ( 1+ a) para (-1 ; )
0 1
1
a
c(a)
0.5
0.5
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: tipostipos Complementos involutivos de Yager:
0 1
1
a
c(a)
0.5
c(a) = ( 1 - a w ) 1/w para w ( 0; )
0.5
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: axiomasaxiomas
a1. Condições Limites: c(0) = 1 e c(1) = 0
a2. Monotonicidade: a, b [0 ; 1] se a b então c(a)
c(b) a3. Contínua a4. Involutiva:
c(c(a)) = a para a [0; 1]
c: [0; 1] [0; 1]
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: teoremasteoremas
Teo.1: “ Todo complemento fuzzy tem pelo menos um ponto de equilíbrio ec” ec é a solução para c(a) - a = 0
Teo.2: “Se c é um complemento contínuo fuzzy então c tem um único ponto de equilíbrio ec”
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Ponto de Equilíbrio:Ponto de Equilíbrio: c(a) - a =0c(a) - a =0
Complementos involutivos de Sugeno:
0 1
1
a
c(a)
0.5
ec = 0.5 para = 0
ec = (( 1+)1/2 - 1 )/ para 0
0.5
-1 0 1 2 3
1
0.5
0
ec
c(a) = ( 1 - a) / ( 1+ a) para (-1 ; )
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Complemento Fuzzy: Complemento Fuzzy: ponto dual ponto dual ddaa
Seja um complemento fuzzy c Seja um grau de pertinência a representado por
um número real a [0; 1] tal que
a - c(a) = c(da) -da
da é chamado ponto dual de a em relação a c.
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Intersecção Fuzzy: Intersecção Fuzzy: t-normast-normas Notação:
A(x) = a B(x) = b(AB)(x) = i [A(x), B(x)] = i (a, b)
I : [0, 1] x [0, 1] [0, 1]
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Intersecção Fuzzy ( Intersecção Fuzzy ( t – normast – normas): tipos): tipos
Padrão Produto Algébrico Diferença Limitada Drástica
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Tipos de Tipos de t- normast- normas: i (a, b): i (a, b) Intersecção Padrão:
i (a, b) = min (a, b) Produto Algébrico:
i (a, b) = a*b Diferença Limitada:
i (a, b) = max ( 0, a+b-1) Intersecção Drástica: i min (a, b)
i(a, b) =a para b=1b para a=10 para outros valores
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Intersecção Fuzzy (Intersecção Fuzzy (t-normast-normas): axiomas): axiomas
Para todo a, b e d [0, 1] tem-se: a1. Condição Limite: i (a, 1) = a a2. Monotonicidade:
se b d então i(a, b) i(a, d)
a3.Comutatividade: i (a, b) = i (b, a)
a4. Associatividade: i (a, i(b, d)) = i ( i(a, b), d)
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Intersecção Fuzzy (Intersecção Fuzzy (t-normast-normas): axiomas ): axiomas adicionaisadicionais
Para todo a, b e d [0, 1] tem-se: a5. Continuidade:
i é uma função contínua a6.Sub-Idempotência:
i(a, a) < a a7.Strict Monotonicidade:
se a1 a2 e b1 b2 então i(a1, b1) < i(a2, b2)
t-norma de Arquimedes:
a5 e a6
Strict t-norma de Arquimedes:: a5, a6 e a7
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Relação de t-normas:Relação de t-normas:
Drástica DiferençaLimitada
ProdutoAlgébrico
Padrão
imin(a, b) max( 0, a+b-1) (a*b) min (a, b)
arrocho relaxamento
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t - normas: t - normas: classe de Yagerclasse de Yager Complementos involutivos de Yager:
Seja iw as t-normas para a classe de Yager então:
imin (a, b) iw (a, b) min (a, b)
c(a) = ( 1 - a w ) 1/w para w ( 0; )
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União Fuzzy: União Fuzzy: t-conormast-conormas Notação:
A(x) = a B(x) = b
(AB)(x) = u [A(x), B(x)] = u (a, b)
U : [0, 1] x [0, 1] [0, 1]
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União Fuzzy União Fuzzy (t-conormas)(t-conormas) : tipos : tipos Padrão Soma Soma Limitada Drástica
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Tipos de Tipos de t-conormast-conormas: u (a, b): u (a, b) União Padrão:
u (a, b) = max (a, b) Soma Algébrica:
u (a, b) = a+b -a*b Soma Limitada:
u (a, b) = min ( 1, a+b) União Drástica: u max (a, b)
u (a, b) =a para b= 0b para a= 01 para outros valores
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União Fuzzy União Fuzzy (t-conormas)(t-conormas) : : axiomasaxiomas
Para todo a, b e d [0, 1] tem-se: a1. Condição Limite: u (a, 0) = a a2. Monotonicidade:
se b d então u(a, b) u(a, d) a3.Comutatividade:
u (a, b) =u (b, a) a4. Associatividade:
u (a, u(b, d)) = u ( u(a, b), d)
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União Fuzzy União Fuzzy (t-conormas)(t-conormas) : : axiomas axiomas adicionaisadicionais
Para todo a, b e d [0, 1] tem-se: a5. Continuidade:
u é uma função contínua a6.Super-Idempotência:
u (a, a) a a7.Strict Monotonicidade:
se a1 a2 e b1 b2 então u(a1, b1) < u(a2, b2)
t-conorma de Arquimedes:
a5 e a6
Strict t-conorma de Arquimedes: a5, a6 e a7
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Relações: t-normas e t-conormasRelações: t-normas e t-conormas
max (a, b) a+b - a*b min (1, a+b) umax (a, b)
Arrocho Relaxa-mento
imin(a, b) max( 0, a+b-1) (a*b) min (a, b)
t-normas
drástica dif.limitada prod.algébrico padrão
padrão soma algébrica soma limitada drástica
t-conormas