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Universidade Salvador UNIFACS

Cursos de Engenharia Mtodos Matemticos Aplicados / Clculo Avanado /

Clculo IV

Profa: Ilka Rebouas Freire

Srie de Fourier

Texto 01: Introduo. Alguns Pr-requisitos

No curso de Clculo III estudamos as sries de potncias de ( x a ) que aproximam uma funo f(x), numa vizinhana de a, atravs de polinmios. Outro tipo de sries que servem para aproximar funes so as chamadas sries trigonomtricas que tm como elementos fundamentais no potncias de x ou ( x a ), mas funes peridicas simples como senos e cossenos. As funes peridicas ocorrem com muita freqncia nos problemas das Engenharias. Elas se apresentam, no entanto, de forma um tanto complicada, em muitas aplicaes. O que desejamos desenvolver uma teoria que nos permita escrever tais funes em termos de funes peridicas mais simples, como, por exemplo, seno e cosseno. O nosso objetivo ser analisar, sob que condies, dada uma funo peridica f(x) ela poder ser escrita como soma de senos e cossenos. Mais precisamente, na forma da srie

++=

1nn

o )sennxbnxcosa(2

a)x(f

que chamada de srie trigonomtrica ou srie de Fourier em homenagem ao fsico e matemtico francs Jean Baptiste Fourier ( 1768-1830), que utilizou as sries trigonomtricas em seus estudos sobre a teoria do calor. As sries de Fourier desempenham papel importante no estudo dos modelos fsicos que descrevem pequenas oscilaes de uma membrana elstica, no fenmeno da conduo do calor em uma barra, na concentrao de substncias qumicas e na anlise de sistemas mecnicos ou eltricos onde as foras envolvidas so peridicas. Alm disso, ser ferramenta importante para a resoluo de equaes de derivadas parciais.

Vamos estabelecer alguns resultados de carter elementar sobre as sries de Fourier. Inicialmente faremos algumas consideraes sobre funes peridicas, funes pares e mpares

Funes Peridicas

Definio: Uma funo f(x) dita peridica quando existe um nmero positivo T tal que f(x + T) = f(x) para todo x do seu domnio O menor valor positivo de T tal que

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f(x + T) = f(x) chamado de perodo mnimo, perodo primitivo ou simplesmente perodo da funo.

Observaes:

O grfico de uma funo peridica de perodo T obtido pela repetio peridica de seu grfico em qualquer intervalo de comprimento T.

Se n um inteiro qualquer ento f( x + nT) = f(x + T) = f(x). Ou seja, se f tem perodo T, ento qualquer mltiplo de T, nT ( n 0 ) tambm um perodo de f .

A funo constante f(x) = k tem qualquer nmero como perodo.

Exemplos:

1) As funes senx e cosx tm perodo 2pi

sen( x + 2pi) = senx cos(x + 2pi ) = cosx

2) As funes sen(nx) e cos(nx) tm perodo n

pi2

)nx(sen)pi2nx(sen))n

pi2x(n(sen =+=+

)nxcos()pi2nxcos())n

pi2x(ncos( =+=+

Observemos que 2pi tambm um perodo de sen(nx) e cos(nx) mas no o menor sen(n(x+2pi))=sen(nx +2pin)=sen(nx)cos(2pin)+sen(2pin)cos(nx)=sem(nx), uma vez que sem(2pin) = 0 e cos(2pin)=1

3) A funo tangente tem perodo pi. tg(x + pi) = tgx

3

4) Esboar o grfico das seguintes funes peridicas

a)

4

resultado facilmente justificado se usarmos a interpretao geomtrica da integral definida como rea de uma regio.

Funes Pares e Impares

Definio: Uma funo f(x) dita Par, se f(x) = f(x) , para todo x do domnio Impar, se f(x) = f(x), para todo x do domnio

Exemplos:

1. f(x) = x2 uma funo par, pois f(x) = (x)2 = x2 = f(x)

2. f(x) = x3 uma funo mpar, pois f(x) = (x)3 x3 = f(x)

3. f(x) = cosx par, pois cos(x) = cosx 4. f(x) = senx mpar, pois sen( x) = senx

Observaes: O grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo OY. O grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem

O fato da funo cosseno ser par e da funo seno ser mpar vai desempenhar um papel importante quando do desenvolvimento de uma funo na sua srie trigonomtrica. Veremos, portanto, algumas propriedades das funes pares e mpares que nos sero teis.

Propriedades:

1. Se f e g so funes pares, ento f.g uma funo par.

2. Se f e g so funes mpares, ento f.g uma funo par.

3. Se f uma funo par e g uma funo mpar, ento f.g uma funo mpar.

4. Se f uma funo par, ento =

a

a

a

0dx)x(f2dx)x(f

5

D] + =+=+ =

a

0

a

0

a

0

a

0

a

0

a

a

0

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Mudando a varivel na 1 integral da ltima igualdade

==

==

==

0t0xatax

dtdxtx obtemos

== a

0

a

0

a

0dx)x(fdt)t(fdx)x(f . Logo, =

a

a

a

0dx)x(f2dx)x(f

5. Se f uma funo mpar, ento =

a

a

0dx)x(f

D] +=+ =

a

0

a

0

a

0

a

a

0

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Mudando a varivel na 1 integral da ltima igualdade

==

==

==

0t0xatax

dtdxtx e usando o

fato que f mpar, ou seja, f(x) = f( x) obtemos = ==

a

0

a

0

a

0

a

0dx)x(fdt)t(fdx)x(fdx)x(f . Logo, =

a

a

0dx)x(f

Exerccio: Utilizando as propriedades das funes peridicas, pares e mpares e identidades trigonomtricas (*), mostre que:

1) =

pi

pi

0kxdxcosnxcos ( n k)

D] pi

0pi

0

pi

0

pi

pi

]kn

x)kn(senkn

x)kn(sen[dx)x)kncos(x)kn(cos(212kxdxcosnxcos2kxdxcosnxcos

++

+= ++ = =

= 0knpi)kn(sen

knpi)kn(sen

=

++

+

2) =

pi

pi

2pidx kxcos ( k 0 )

D] pi]00k2pik2sen

pi]k2kx2sen

x[dx2

kx2cos12dx kxcos pi0pi

pi

pi

0

2=+=+=

+=

3) =

pi

pi

0dx senkx nx sen ( n k)

6

D] =+ = =

pi

0

pi

0

pi

pi

dx)]x)kncos(x)kn[cos(212dx senkx nx sen2dx senkx nx sen

0knpi)kn(sen

knpi)kn(sen]

knx)kn(sen

knx)kn(sen[ pi0 =

+

+

=

+

+

4) =

pi

pi

2pidx kxsen ( k 0 )

D] pi]00k2pik2sen

pi]k2kx2sen

x[dx2

kx2cos12dx kxsen pi0pi

pi

pi

0

2=+==

=

5) =

pi

pi

0dx senkx nxcos

D] cosseno par e seno mpar, logo o produto mpar e portanto a integral 0.

Os resultados podem ser resumidos no seguinte quadro

(*) Identidades trigonomtricas:

Referncias Bibliogrficas: 1. Boyce/ Di Prima Equaes Diferenciais Elementares LTC 2. Dennis Zill/ Michael Cullen - Equaes Diferenciais vol 2 Makron Books 3. George B. Thomas Clculo vol 2 Pearson 4. Marivaldo P Matos Sries e Equaes Diferenciais Prentice Hall

1. ( ))qpcos()qpcos(21qcospcos ++=

2. ( ))qpcos()qpcos(21

senpsenq +=

3. 2

p2cos1psen 2 =

4. 2

p2cos1pcos2 +=

1.

=

=

0 k ek n se ;pik n se ;0

kxdxcosnxcospi

pi

2.

=

=

0 k ek n se ;pik n se ;0

dxsennxsenkxpi

pi