Anlise de Fourier Aplicados em Sinais de Tempo Contnuo

ResumoA pesquisa consiste da aplicao da teoria de sries de Fourier em sinais de tempo contnuo. Para esta finalidade inicialmente feita uma explicao da teoria de sries de Fourier, onde no mesmo item explicada a paridade das funes. Logo feita uma demonstrao prtica da decomposio em srie de Fourier da forma de onda da corrente de entrada de um retificador de onda completa a diodos monofsico.

1) Anlise de Fourier para sinais de Tempo contnuo

A anlise de Fourier foi criada pelo francs Charles Fourier, que tem como postulado Um sinal contnuo pode ser representado atravs da superposio de funes senos e cosenos.Para representar um sinal atravs de funes, devem ser observadas as caractersticas do sinal em tempo contnuo, onde os mesmos podem ser peridicos e no peridicos. importante esclarecer que srie de Fourier aplicada a funes peridicas.Normalmente numa funo peridica aparece a onda fundamental e as ondas harmnicas.Segundo a definio de sries de Fourier a funo peridica expressa por (1),X(t)= a0/2+ . (1)Os coeficientes da srie de Fourier a0, an e bn so definidas pelas expresses (2), (3) e (4). (2) (3) (4)A decomposio da funo dente de serra na forma de onda fundamenta e nas harmnicas mostrada na figura 2.

Fig. 1. Funo dente de serra e seu espectro harmnico. A funo mostrada em (1) apresenta dois termos, sendo o primeiro termo o valor mdio da funo e o segundo termo a somatria das funes coseno e seno.Quando as funes so simples, possvel identificar paridade e desta maneira facilitar as operaes da srie de Fourier.A funo par aquela onde f(x) = f(-x), ou seja ela simtrica em relao ao eixo y. Na figura 2, temos o grfico da funo cos(x) que conhecido como cossenoide e podemos observar que esta funo par.

Fig. 2 Grfico da funo cos(x)A funo mpar definida como f(x) = -f(-x), onde esta simtrica em relao a origem. Na figura 3, temos o grfico da funo sen(x) que conhecido como senoide, podemos observar que esta uma funo mpar.

Fig. 3 Grfico da funo sen(x)2) Circuito Retificador de Onda Completo

O circuito sob anlise mostrado na figura 4, que consiste de um retificador de onda completa a diodos monofsico. Neste circuito a anlise feita na corrente drenada da fonte de entrada.

Figura 4 Circuito retificador de onda completa a diodos monofsica.

No circuito da figura 4, num perodo da onda de tenso de entrada V1 ocorre transferncia de duas parcelas de energia, a primeira no semiciclo positivo e a segunda no semiciclo negativo. O caminho de circulao de corrente no semiciclo positivo da onda de tenso de entrada V1 mostrada na figura 5. Quando a senoide est no semiciclo positivo e a tenso de entrada V1 atinge a tenso sobre o capacitor, os diodos D2 e D6 passam a conduzir. Nesta etapa ocorre a transferncia de potncia da entrada para a sada.

Fig. 5 Caminho percorrido pela corrente no semiciclo positivo.

No semiciclo negativo, que corresponde a parte negativa da fonte de entrada V1, de maneira similar quando a tenso de entrada alcana a tenso sobre o capacitor os diodos D5 e D4 so polarizados diretamente e ocorre transferncia de potncia para a carga. O circuito mostrado na figura 6.

Figura 6 Caminho percorrido pela corrente no semiciclo negativo.

3) Formas de Onda do Circuito sob Anlise

As formas de onda de tenso e corrente de entrada so mostradas na figura 7. Neste caso a anlise feita na corrente de entrada usando o programa Mathcad.

Figura7. Formas de onda de tenso e corrente de entrada.

4) Sries de Fourier da Forma de Onda da Corrente de Entrada

A srie de Fourier determinada com auxilio dos programas Orcad e Mathcad mostrada na Figura 8. importante destacar que a forma de onda da corrente de entrada no apresenta o valor mdio pelo fato da onda ser simtrica ao eixo horizontal. Tambm a onda uma funo impar, portanto, no tem a componente cossenoidal. A funo mostrada na figura 8 foi traada no Mathcad, utilizando as componentes senoidais geradas pelo programa ORCAD.E como pode-se observar reproduz com qualidade a onda gerada pela corrente de entrada do circuito retificador de onda completa monofsico.

Figura 8. Forma de onda da corrente obtida por Mathcad.

5) ConclusoAs sries de Fourier uma ferramenta importante para verificar o contedo harmnico presente numa funo, que no caso da aplicao corresponde corrente de entrada do retificador. Quando a tenso de entrada no apresenta contedo harmnico, ou seja uma senoide sem distoro, a potncia ativa ou til esta relacionada ao valor fundamental da corrente de entrada. Desta maneria, o contedo harmnico da carrente somente causa circulao de potncia reativa que causa perdas e aquecimento em linhas de distribuio, transformadores, etc.

6) Bibliografia http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula08.pdf http://www.ime.unicamp.br/~vaz/fourier.htm http://www.mat.ufmg.br/~lima/apostilas/fourieranalise.pdf http://www2.ic.uff.br/~aconci/Fourier.PDF