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Representação de f por uma série de FourierExemplos

Sumário

Física-Matemática I - Aula 1 de ApoioSérie de Fourier

Domingos H U Marchetti

Instituto de Física da USP

Aula 1 de Apoio: Série de Fourier 1 / 12

Sumário

Assuntos da aula

1 Representação de f por uma série de FourierFormulaçãoSéries parciais e convergência

2 Exemplos1. Função linear descontínua2. Função módulo seno

3 Sumário

Sumário

FormulaçãoSéries parciais e convergência

Estudamos nas últimas aulas o PVIF para a condução do calor em uma barra pelométodo de Fourier. Obtivemos um candidato para a solução do PVIF em termos deuma série trigonométrica que, em t = 0, representa uma dada função f .

Pretendemos nesta, e nas próximas duas aulas, familiarizar com as chamadas séries deFourier a fim de responder se, ou quando uma função f , definida em um intervalo[0, L], pode ser representada por uma série de senos ou de cossenos.

Para formular melhor esta questão examinaremos alguns exemplos ilustrativos.

Lembremos que estas séries de cossenos ou senos, que supostamente representam f em[0, L], se estendem ao intervalo [−L, L] por paridade.

Sumário

Por esta razão, é conveniente denotar por

S(x ; f ) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

a série de Fourier completa de uma função f : [−L, L] −→ R. S(x ; f ) é uma funçãodefinida em R, periódica de período 2L.

Em geral, a série de Fourier completa representa uma função f em [−L, L] semparidade. Os coeficientes de Fourier de f neste caso devem ser calculados por umaintegral sobre o intervalo de comprimento 2L:

an = 1L

−Lf (x) cos nπ

L x dx , n = 0, 1, . . . (2)

bn = 1L

−Lf (x) sin nπ

L x dx , n = 1, 2, . . . . (3)

Sumário

S(x ; f ) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

an = 1L

−Lf (x) cos nπ

L x dx , n = 0, 1, . . . (2)

bn = 1L

−Lf (x) sin nπ

L x dx , n = 1, 2, . . . . (3)

Sumário

S(x ; f ) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

an = 1L

−Lf (x) cos nπ

L x dx , n = 0, 1, . . . (2)

bn = 1L

−Lf (x) sin nπ

L x dx , n = 1, 2, . . . . (3)

Sumário

S(x ; f ) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

an = 1L

−Lf (x) cos nπ

L x dx , n = 0, 1, . . . (2)

bn = 1L

−Lf (x) sin nπ

L x dx , n = 1, 2, . . . . (3)

Sumário

Quando S(x ; f ) representa f (x), temos que

f (x) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

)= S(x ; f ) , ∀x ∈ [−L, L] .

Multiplicando esta equação por (1/L) cos mπx/L ou por (1/L) sin mπx/L, integrandoem seguida sobre o intervalo [−L, L], as fórmulas (2) e (3) dos coeficientes da série deFourier de f resultam das relações de ortogonalidade.

A fórmula para os coeficientes am’s e bm’s foram aqui deduzidas de maneira ingênua,sem nos preocupar com a convergência das séries às funções.

Sumário

f (x) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

)= S(x ; f ) , ∀x ∈ [−L, L] .

Sumário

f (x) = a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

)= S(x ; f ) , ∀x ∈ [−L, L] .

Sumário

Dizemos que a série de Fourier S(x ; f ) de f converge para f (x) se a sequêncianumérica das séries parciais

SN(x ; f ) = a02 +

N∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

), N = 1, 2, . . .

tender a f (x) quando N tende a infinito.

A aproximação da função pelas séries parciais pode ser observada comparando ográfico da função f (x) com o gráfico de SN(x , f ) para diversos N’s. Estabeleceremos acomparação para alguns exemplos de f usando o programa Mathematica. Faremospreviamente o cálculo dos coeficientes am’s e bm’s para cada f .

Sumário

SN(x ; f ) = a02 +

N∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

), N = 1, 2, . . .

Sumário

SN(x ; f ) = a02 +

N∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

), N = 1, 2, . . .

Sumário

SN(x ; f ) = a02 +

N∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

), N = 1, 2, . . .

Sumário

1. Função linear descontínua2. Função módulo seno

Considere a função

f (x) = x2 |x |

(1− |x |

), x ∈ [−π, π] \{0}

com f (0) = 0. Como f é uma função ímpar, basta calcular os coeficientes bn’s comL = π

bn = 2π

∫ π

(1− x

)sin nx dx

= −1nπ

((1− x

)cos nx

∣∣∣∣π0

∫ π

0cos nx dx

)= 1πn .

A série de Fourier de f éS(x ; f ) = 1

∞∑n=1

1n sin nx

Sumário

f (x) = x2 |x |

(1− |x |

), x ∈ [−π, π] \{0}

bn = 2π

∫ π

(1− x

)sin nx dx

= −1nπ

((1− x

)cos nx

∣∣∣∣π0

∫ π

0cos nx dx

)= 1πn .

∞∑n=1

1n sin nx

Sumário

f (x) = x2 |x |

(1− |x |

), x ∈ [−π, π] \{0}

bn = 2π

∫ π

(1− x

)sin nx dx

= −1nπ

((1− x

)cos nx

∣∣∣∣π0

∫ π

0cos nx dx

)= 1πn .

∞∑n=1

1n sin nx

Sumário

f (x) = x2 |x |

(1− |x |

), x ∈ [−π, π] \{0}

bn = 2π

∫ π

(1− x

)sin nx dx

= −1nπ

((1− x

)cos nx

∣∣∣∣π0

∫ π

0cos nx dx

)= 1πn .

∞∑n=1

1n sin nx

Sumário

f (x) = x2 |x |

(1− |x |

), x ∈ [−π, π] \{0}

bn = 2π

∫ π

(1− x

)sin nx dx

= −1nπ

((1− x

)cos nx

∣∣∣∣π0

∫ π

0cos nx dx

)= 1πn .

∞∑n=1

1n sin nx

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 1

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 2

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 5

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 10

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 15

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 30

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)n 40

Sumário

-3 -2 -1 1 2 3x

0.6f(x)

n = 1, 2, 5, 10, 15, 30, 40

Sumário

Considere a funçãof (x) = |sin x | , x ∈ [−π/2, π/2]

Como f é par, basta calcular os coeficientes an’s com L = π/2:

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

Usando sin x cos 2nx = (sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x)/2,

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

( 12n + 1 −

12n − 1

Sumário

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

( 12n + 1 −

12n − 1

Sumário

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

( 12n + 1 −

12n − 1

Sumário

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

( 12n + 1 −

12n − 1

Sumário

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

( 12n + 1 −

12n − 1

Sumário

an = 4π

∫ π/2

0sin x cos 2nx dx

an = 2π

∫ π/2

0(sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x) dx

(− cos(2n + 1)x2n + 1 + cos(2n − 1)x

2n − 1

)∣∣∣∣π/2

= −4π

14n2 − 1 .

Sumário

Embora nem sempre isso seja verdade, esta expressão é válida para n = 0. A série deFourier de f é

S(x ; f ) = 2π− 4π

∞∑n=1

14n2 − 1 cos 2nx .

Sumário

Embora nem sempre isso seja verdade, esta expressão é válida para n = 0. A série deFourier de f é

S(x ; f ) = 2π− 4π

∞∑n=1

14n2 − 1 cos 2nx .

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 1

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 2

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 5

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 10

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 15

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 30

Sumário

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

f(x)n = 1, 2, 5, 10, 15, 30

Sumário

Introduzimos a série de Fourier completa S(x ; f ) de uma função f (x) definida nointervalo [−L, L].

Os coeficientes an’s e bn’s desta série quando f é uma função par ou ímpar coincidemcom as fórmulas já deduzidas.

Visando responder se, ou quando uma função f é representada por sua série,introduzimos uma primeira noção de convergência: A série S(x ; f ) de Fourier de fconverge para f (x) se a sequência númérica SN(x ; f ), N = 1, 2, . . ., das séries parciaistender a f (x) quando N tende a ∞, em cada x .

Examinamos dois exemplos: uma função linear com salto na origem e outra com saltoem sua derivada. Calculamos os coeficientes an’s e bn’s de ambas e exibimos aaproximação de suas séries parciais usando o programa Mathematica.

Sumário

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