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AULA DE APOIO - 1FÍSICA–MATEMÁTICA I

A transformada de Fourier

Definições e PropriedadesExemplos

Outras propriedades

Assuntos da aula1 Definições e Propriedades

Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

2 Exemplos

3 Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas Física-Matemática. Aula 2 / 15


Outras propriedades

Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme

Denotamos por L1 o conjunto das funções f : R −→ C, a valorescomplexos, tais que as integrais impróprias de f e |f | existam. Istorequer que f e |f | sejam (Riemann) integráveis em cada intervalo[−M,N] e que os limites

limM,N→∞

∫ N

−Mf (x)dx e lim

M,N→∞

∫ N

−M|f (x)| dx

existam. A integral ∫∞−∞ |f (x)| dx é a norma ‖f ‖1 de f em L1.

A tranformada de Fourier f de f ∈ L1 é definida pela integral

f (ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)e−iξxdx (1)

Física-Matemática. Aula 3 / 15


Outras propriedades


e a anti-transformada de Fourier de g ∈ L1 é, analogamente, dadapor

g(x) = 1√2π

∫ ∞−∞

g(ξ)e iξxdξ (2)

Pretendemos nesta, e na próxima aula, estabelecer a inversa deFourier de forma que f possa ser representada por uma integral(análoga a expansão de Fourier)

f (x) ?= 1√2π

∫ ∞−∞

f (ξ)e iξxdξ = (f )(x) .

Com esta ferramenta complementaremos nosso estudo das equaçõesdiferenciais parcias que descrevem a condução do calor e apropagação de ondas em meios contínuos.



Outras propriedades


Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x) ?= a02 +

∞∑n=1

(an cos nπ

L x + bn sin nπL x

)

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/

√2π)(a−n + ib−n))

f (ξn) =√√√√2π

Lan − ibn2

=√√√√2π

∫ L

−Lf (x) cos ξnx − i sin ξnx

2 dx



Outras propriedades



f (x) ?= a02 +

∞∑n=1

(an − ibn2 e inπx/L + an + ibn

2 e−inπx/L)


√2π)(a−n + ib−n))

f (ξn) =√√√√2π

Lan − ibn2

=√√√√2π

∫ L


2 dx



Outras propriedades



f (x) ?= 1√2π

∞∑n=−∞

f (ξn) e iξnx ∆ξn , ξn = nπL e ∆ξn = π

L


√2π)(a−n + ib−n))

f (ξn) =√√√√2π

Lan − ibn2

=√√√√2π

∫ L


2 dx



Outras propriedades



f (x) ?= 1√2π

∞∑n=−∞

f (ξn) e iξnx ∆ξn , ξn = nπL e ∆ξn = π

L


√2π)(a−n + ib−n))

f (ξn) =√√√√2π

Lan − ibn2

= 1√2π

∫ L

−Lf (x) e−iξnx dx .



Outras propriedades


Os f (ξ)’s desempenham o mesmo papel dos “coeficientes” de umasérie de Fourier. Ao desenvolver a transformada de Fourier, vamosencontrar muitas similaridades com as séries mas há também algumassurpresas, não todas bem-vindas.

Aos alunos que procuram motivações em Matemática e Física para oestudo de transformada de Fourier (o que é e para que serve), façoreferência ao sítio de perguntas e respostas “Mathematics StackExchange”

https://math.stackexchange.com/questions/1002/fourier-transform-for-dummies



Outras propriedades


A transformada de Fourier é uma transformação linear: se f , g ∈ L1

e a, b ∈ C, então h(x) = af (x) + bg(x) ∈ L1 e

h(ξ) = af (ξ) + bg(ξ).

A transformação leva funções de L1 em funções limitadas (quetendem a 0 em ±∞ por Riemann-Lebesgue): como

∣∣∣e−iξx∣∣∣ = 1,

∣∣∣f (ξ)∣∣∣ ≤ 1√

2π

∫ ∞−∞|f (x)| dx = ‖f ‖1√

2π<∞ .

Afim de apreciar estas propriedades de f , daremos alguns exemplosantes de prosseguir



Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se

|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

f (ξ) =∫ a

−a

12ae−iξxdx

=∫ a

−a

12a(cos ξx − i sin ξx) dx

= 1a∫ a

0cos ξx dx

= sin aξaξ .



Outras propriedades

Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então

f (ξ) = 1√2π

(∫ 0

−∞ecxe−iξxdx +

∫ ∞0

e−cxe−iξxdx)

= 1√2π

e(c−iξ)x

c − iξ

∣∣∣∣∣∣0

−∞− e−(c+iξ)x

c + iξ

∣∣∣∣∣∣∞

0

= 1√

2π

( 1c − iξ + 1

c + iξ

)

=√√√√2π

cc2 + ξ2 .



Outras propriedades

-3 -2 -1 1 2 3x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f(x)a = 1/2, 1, 2



Outras propriedades

-15 -10 -5 5 10 15ξ

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f(ξ)

a = 1/2, 1, 2



Outras propriedades

-10 -5 5 10x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f(x)c = 1/2, 1, 2



Outras propriedades

-10 -5 5 10ξ

0.5

1.0

1.5

f(ξ)

c = 1/2, 1, 2



Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.Provas

Denote por τaf (x) = f (x − a) a translação de f por a ∈ R, eebf (x) = e ibx f (x) a modulação de f por eb(x) = e ibx . Suponhaf ∈ L1 e a e b reais. Então

a. τaf (ξ) = e−a f (ξ) ;b. ebf (ξ) = τb f (ξ) ;c. f (ξ) = f (−ξ) ;d. f (ξ) é uniformemente contínua ;e. Suponha f diferenciável e f ′ ∈ L1. Então f ′(ξ) = iξ f (ξ) .



Outras propriedades


a. Mudando a variável x para y = x − a, temos

τaf (ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − a)e−iξxdx

b. Claramente,

ebf (ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)e−i(ξ−b)xdx = τb f (ξ) .

c. Tomando o complexo conjugado da integral f (−ξ), obtemos

f (−ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)e−iξxdx = f (ξ) .



Outras propriedades


a. Mudando a variável x para y = x − a, temos

τaf (ξ) = e−iaξ 1√2π

∫ ∞−∞

f (y)e−iξydy = e−a f (ξ) .

b. Claramente,

ebf (ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)e−i(ξ−b)xdx = τb f (ξ) .

c. Tomando o complexo conjugado da integral f (−ξ), obtemos

f (−ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)e−iξxdx = f (ξ) .



Outras propriedades


d. Como ‖f ‖1 <∞, dado ε existe K > 0 tal que√√√√2π

∫ −K

−∞|f (x)| dx < ε e

√√√√2π

∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)

Consequentemente,

f (ξ)− f (η) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x)(e−iξx − e−iηx) dx

onde|I1|

≤ 1√2π

∫ −K

−∞|f (x)|

∣∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣∣ dx



Outras propriedades



∫ −K

−∞|f (x)| dx < ε e

√√√√2π

∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)

Consequentemente,

f (ξ)− f (η) = 1√2π

(∫ −K

−∞+∫ K

−K+∫ ∞

K

)f (x)

(e−iξx − e−iηx) dx

onde|I1| ≤

1√2π

∫ −K

−∞|f (x)|




Outras propriedades



∫ −K

−∞|f (x)| dx < ε e

√√√√2π

∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)

Consequentemente,

f (ξ)− f (η) = 1√2π

(∫ −K

−∞+∫ K

−K+∫ ∞

K

)f (x)

(e−iξx − e−iηx) dx

onde

|I1| ≤√√√√2π

∫ −K

−∞|f (x)| dx < ε ,



Outras propriedades


|I2| ≤1√2π

∫ K

−K|f (x)|


e, analogamente a I1,|I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,

∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√

2πδ < 3ε



Outras propriedades


|I2| = 1√2π

∫ K

−K|f (x)|

∣∣∣∣∣∫ ξ

η−ixe−isxds

∣∣∣∣∣ dx



∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√

2πδ < 3ε



Outras propriedades


|I2| ≤1√2π

∫ K

−K|x | |f (x)|

∣∣∣∣∣∫ ξ

η

∣∣∣e−isx ∣∣∣ ds∣∣∣∣∣ dx



∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√

2πδ < 3ε



Outras propriedades


|I2| ≤K√2π|ξ − η|

∫ ∞−∞|f (x)| dx



∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√

2πδ < 3ε



Outras propriedades


|I2| = K ‖f ‖1√2π|ξ − η|



∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√

2πδ < 3ε



Outras propriedades


e. Para um K > 0 finito, a integral∫ K

−Kf ′(x)e−iξxdx = f (x)e−iξx ∣∣∣K−K + iξ

∫ K

−Kf (x)e−iξxdx

com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f ′ ∈ L1,f (±K ) tende a 0 quando K →∞ (a rigor, segue da desigualdade deSobolev).

Tomando K →∞ obtemos desta expressão vezes 1√2π a igualdade

desejada: f ′(ξ) = iξ f (ξ).



Outras propriedades


e. Para um K > 0 finito, a integral∫ K

−Kf ′(x)e−iξxdx = f (K )e−iξK − f (−K )e iξK + iξ

∫ K

−Kf (x)e−iξxdx

com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f ′ ∈ L1,f (±K ) tende a 0 quando K →∞ (a rigor, segue da desigualdade deSobolev).

Tomando K →∞ obtemos desta expressão vezes 1√2π a igualdade

desejada: f ′(ξ) = iξ f (ξ).


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