AULA DE APOIO - 1FÍSICA–MATEMÁTICA I
A transformada de Fourier
Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Assuntos da aula1 Definições e Propriedades
Visão geral
Motivações
Linearidade e limitação uniforme
2 Exemplos
3 Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Denotamos por L1 o conjunto das funções f : R −→ C, a valorescomplexos, tais que as integrais impróprias de f e |f | existam. Istorequer que f e |f | sejam (Riemann) integráveis em cada intervalo[−M,N] e que os limites
limM,N→∞
∫ N
−Mf (x)dx e lim
M,N→∞
∫ N
−M|f (x)| dx
existam. A integral ∫∞−∞ |f (x)| dx é a norma ‖f ‖1 de f em L1.
A tranformada de Fourier f de f ∈ L1 é definida pela integral
f (ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iξxdx (1)
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
e a anti-transformada de Fourier de g ∈ L1 é, analogamente, dadapor
g(x) = 1√2π
∫ ∞−∞
g(ξ)e iξxdξ (2)
Pretendemos nesta, e na próxima aula, estabelecer a inversa deFourier de forma que f possa ser representada por uma integral(análoga a expansão de Fourier)
f (x) ?= 1√2π
∫ ∞−∞
f (ξ)e iξxdξ = (f )(x) .
Com esta ferramenta complementaremos nosso estudo das equaçõesdiferenciais parcias que descrevem a condução do calor e apropagação de ondas em meios contínuos.
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:
f (x) ?= a02 +
∞∑n=1
(an cos nπ
L x + bn sin nπL x
)
onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/
√2π)(a−n + ib−n))
f (ξn) =√√√√2π
Lan − ibn2
=√√√√2π
∫ L
−Lf (x) cos ξnx − i sin ξnx
2 dx
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:
f (x) ?= a02 +
∞∑n=1
(an − ibn2 e inπx/L + an + ibn
2 e−inπx/L)
onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/
√2π)(a−n + ib−n))
f (ξn) =√√√√2π
Lan − ibn2
=√√√√2π
∫ L
−Lf (x) cos ξnx − i sin ξnx
2 dx
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:
f (x) ?= 1√2π
∞∑n=−∞
f (ξn) e iξnx ∆ξn , ξn = nπL e ∆ξn = π
L
onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/
√2π)(a−n + ib−n))
f (ξn) =√√√√2π
Lan − ibn2
=√√√√2π
∫ L
−Lf (x) cos ξnx − i sin ξnx
2 dx
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:
f (x) ?= 1√2π
∞∑n=−∞
f (ξn) e iξnx ∆ξn , ξn = nπL e ∆ξn = π
L
onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/
√2π)(a−n + ib−n))
f (ξn) =√√√√2π
Lan − ibn2
=√√√√2π
∫ L
−Lf (x) cos ξnx − i sin ξnx
2 dx
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Outras propriedades
Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de Ltendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:
f (x) ?= 1√2π
∞∑n=−∞
f (ξn) e iξnx ∆ξn , ξn = nπL e ∆ξn = π
L
onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx ,(f (ξ−n) = (L/
√2π)(a−n + ib−n))
f (ξn) =√√√√2π
Lan − ibn2
= 1√2π
∫ L
−Lf (x) e−iξnx dx .
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Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
Os f (ξ)’s desempenham o mesmo papel dos “coeficientes” de umasérie de Fourier. Ao desenvolver a transformada de Fourier, vamosencontrar muitas similaridades com as séries mas há também algumassurpresas, não todas bem-vindas.
Aos alunos que procuram motivações em Matemática e Física para oestudo de transformada de Fourier (o que é e para que serve), façoreferência ao sítio de perguntas e respostas “Mathematics StackExchange”
https://math.stackexchange.com/questions/1002/fourier-transform-for-dummies
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Visão geralMotivaçõesLinearidade e limitação uniforme
A transformada de Fourier é uma transformação linear: se f , g ∈ L1
e a, b ∈ C, então h(x) = af (x) + bg(x) ∈ L1 e
h(ξ) = af (ξ) + bg(ξ).
A transformação leva funções de L1 em funções limitadas (quetendem a 0 em ±∞ por Riemann-Lebesgue): como
∣∣∣e−iξx∣∣∣ = 1,
∣∣∣f (ξ)∣∣∣ ≤ 1√
2π
∫ ∞−∞|f (x)| dx = ‖f ‖1√
2π<∞ .
Afim de apreciar estas propriedades de f , daremos alguns exemplosantes de prosseguir
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Outras propriedades
Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se
|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,
f (ξ) =∫ a
−a
12ae−iξxdx
=∫ a
−a
12a(cos ξx − i sin ξx) dx
= 1a∫ a
0cos ξx dx
= sin aξaξ .
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Outras propriedades
Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se
|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,
f (ξ) =∫ a
−a
12ae−iξxdx
=∫ a
−a
12a(cos ξx − i sin ξx) dx
= 1a∫ a
0cos ξx dx
= sin aξaξ .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se
|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,
f (ξ) =∫ a
−a
12ae−iξxdx
=∫ a
−a
12a(cos ξx − i sin ξx) dx
= 1a∫ a
0cos ξx dx
= sin aξaξ .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se
|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,
f (ξ) =∫ a
−a
12ae−iξxdx
=∫ a
−a
12a(cos ξx − i sin ξx) dx
= 1a∫ a
0cos ξx dx
= sin aξaξ .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Suponha a > 0. Seja f (x) =√2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x) = 0 se
|x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,
f (ξ) =∫ a
−a
12ae−iξxdx
=∫ a
−a
12a(cos ξx − i sin ξx) dx
= 1a∫ a
0cos ξx dx
= sin aξaξ .
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Outras propriedades
Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então
f (ξ) = 1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx +
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx)
= 1√2π
e(c−iξ)x
c − iξ
∣∣∣∣∣∣0
−∞− e−(c+iξ)x
c + iξ
∣∣∣∣∣∣∞
0
= 1√
2π
( 1c − iξ + 1
c + iξ
)
=√√√√2π
cc2 + ξ2 .
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Outras propriedades
Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então
f (ξ) = 1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx +
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx)
= 1√2π
e(c−iξ)x
c − iξ
∣∣∣∣∣∣0
−∞− e−(c+iξ)x
c + iξ
∣∣∣∣∣∣∞
0
= 1√
2π
( 1c − iξ + 1
c + iξ
)
=√√√√2π
cc2 + ξ2 .
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Outras propriedades
Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então
f (ξ) = 1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx +
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx)
= 1√2π
e(c−iξ)x
c − iξ
∣∣∣∣∣∣0
−∞− e−(c+iξ)x
c + iξ
∣∣∣∣∣∣∞
0
= 1√
2π
( 1c − iξ + 1
c + iξ
)
=√√√√2π
cc2 + ξ2 .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então
f (ξ) = 1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx +
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx)
= 1√2π
e(c−iξ)x
c − iξ
∣∣∣∣∣∣0
−∞− e−(c+iξ)x
c + iξ
∣∣∣∣∣∣∞
0
= 1√
2π
( 1c − iξ + 1
c + iξ
)
=√√√√2π
cc2 + ξ2 .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Se f (x) = e−c|x |, c > 0, então
f (ξ) = 1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx +
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx)
= 1√2π
e(c−iξ)x
c − iξ
∣∣∣∣∣∣0
−∞− e−(c+iξ)x
c + iξ
∣∣∣∣∣∣∞
0
= 1√
2π
( 1c − iξ + 1
c + iξ
)
=√√√√2π
cc2 + ξ2 .
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Outras propriedades
-3 -2 -1 1 2 3x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f(x)a = 1/2, 1, 2
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
-15 -10 -5 5 10 15ξ
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f(ξ)
a = 1/2, 1, 2
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
-10 -5 5 10x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f(x)c = 1/2, 1, 2
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
-10 -5 5 10ξ
0.5
1.0
1.5
f(ξ)
c = 1/2, 1, 2
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
Denote por τaf (x) = f (x − a) a translação de f por a ∈ R, eebf (x) = e ibx f (x) a modulação de f por eb(x) = e ibx . Suponhaf ∈ L1 e a e b reais. Então
a. τaf (ξ) = e−a f (ξ) ;b. ebf (ξ) = τb f (ξ) ;c. f (ξ) = f (−ξ) ;d. f (ξ) é uniformemente contínua ;e. Suponha f diferenciável e f ′ ∈ L1. Então f ′(ξ) = iξ f (ξ) .
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
a. Mudando a variável x para y = x − a, temos
τaf (ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − a)e−iξxdx
b. Claramente,
ebf (ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)e−i(ξ−b)xdx = τb f (ξ) .
c. Tomando o complexo conjugado da integral f (−ξ), obtemos
f (−ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iξxdx = f (ξ) .
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
a. Mudando a variável x para y = x − a, temos
τaf (ξ) = e−iaξ 1√2π
∫ ∞−∞
f (y)e−iξydy = e−a f (ξ) .
b. Claramente,
ebf (ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)e−i(ξ−b)xdx = τb f (ξ) .
c. Tomando o complexo conjugado da integral f (−ξ), obtemos
f (−ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iξxdx = f (ξ) .
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
d. Como ‖f ‖1 <∞, dado ε existe K > 0 tal que√√√√2π
∫ −K
−∞|f (x)| dx < ε e
√√√√2π
∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)
Consequentemente,
f (ξ)− f (η) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x)(e−iξx − e−iηx) dx
onde|I1|
≤ 1√2π
∫ −K
−∞|f (x)|
∣∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣∣ dx
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
d. Como ‖f ‖1 <∞, dado ε existe K > 0 tal que√√√√2π
∫ −K
−∞|f (x)| dx < ε e
√√√√2π
∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)
Consequentemente,
f (ξ)− f (η) = 1√2π
(∫ −K
−∞+∫ K
−K+∫ ∞
K
)f (x)
(e−iξx − e−iηx) dx
onde|I1| ≤
1√2π
∫ −K
−∞|f (x)|
∣∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣∣ dx
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
d. Como ‖f ‖1 <∞, dado ε existe K > 0 tal que√√√√2π
∫ −K
−∞|f (x)| dx < ε e
√√√√2π
∫ ∞K|f (x)| dx < ε . (3)
Consequentemente,
f (ξ)− f (η) = 1√2π
(∫ −K
−∞+∫ K
−K+∫ ∞
K
)f (x)
(e−iξx − e−iηx) dx
onde
|I1| ≤√√√√2π
∫ −K
−∞|f (x)| dx < ε ,
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| ≤1√2π
∫ K
−K|f (x)|
∣∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣∣ dx
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| = 1√2π
∫ K
−K|f (x)|
∣∣∣∣∣∫ ξ
η−ixe−isxds
∣∣∣∣∣ dx
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| ≤1√2π
∫ K
−K|x | |f (x)|
∣∣∣∣∣∫ ξ
η
∣∣∣e−isx ∣∣∣ ds∣∣∣∣∣ dx
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| ≤K√2π|ξ − η|
∫ ∞−∞|f (x)| dx
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Definições e PropriedadesExemplos
Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| = K ‖f ‖1√2π|ξ − η|
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| = K ‖f ‖1√2π|ξ − η|
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| = K ‖f ‖1√2π|ξ − η|
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
|I2| = K ‖f ‖1√2π|ξ − η|
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R taisque |ξ − η| ≤ δ,
∣∣∣f (ξ)− f (η)∣∣∣ ≤ 2ε + K ‖f ‖1√
2πδ < 3ε
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
e. Para um K > 0 finito, a integral∫ K
−Kf ′(x)e−iξxdx = f (x)e−iξx ∣∣∣K−K + iξ
∫ K
−Kf (x)e−iξxdx
com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f ′ ∈ L1,f (±K ) tende a 0 quando K →∞ (a rigor, segue da desigualdade deSobolev).
Tomando K →∞ obtemos desta expressão vezes 1√2π a igualdade
desejada: f ′(ξ) = iξ f (ξ).
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
e. Para um K > 0 finito, a integral∫ K
−Kf ′(x)e−iξxdx = f (K )e−iξK − f (−K )e iξK + iξ
∫ K
−Kf (x)e−iξxdx
com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f ′ ∈ L1,f (±K ) tende a 0 quando K →∞ (a rigor, segue da desigualdade deSobolev).
Tomando K →∞ obtemos desta expressão vezes 1√2π a igualdade
desejada: f ′(ξ) = iξ f (ξ).
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Outras propriedades
Translações, modulações, continuidade e etc.Provas
e. Para um K > 0 finito, a integral∫ K
−Kf ′(x)e−iξxdx = f (K )e−iξK − f (−K )e iξK + iξ
∫ K
−Kf (x)e−iξxdx
com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f ′ ∈ L1,f (±K ) tende a 0 quando K →∞ (a rigor, segue da desigualdade deSobolev).
Tomando K →∞ obtemos desta expressão vezes 1√2π a igualdade
desejada: f ′(ξ) = iξ f (ξ).
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