sérgio dos santos alitolef
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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
JI-PARANÁ
2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
CAMPUS DE JI-PARANÁ
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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Fundação Universidade Federal de Rondônia ―UNIR, como requisito parcial para obtenção do título de Licenciatura Plena em Matemática, sob orientação do Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos.
JI-PARANÁ
2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
CAMPUS DE JI-PARANÁ
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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEFF
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática e teve o parecer final como aprovado, no dia 16 de junho de 2011, pelo Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná.
Ji-Paraná, 16 de junho de 2011.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
CAMPUS DE JI-PARANÁ
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus o nosso protetor que sempre foi
minha luz neste caminho.
Aos meus pais que nunca me desampararam e sempre me deram todo
o apoio necessário de todas as formas possíveis para mais esta realização em nossas vidas.
À minha noiva Jaqueline, minha maior companheira, que esteve ao
meu lado neste último ano, dando-me todo o apoio, carinho e atenção que precisava.
À minha irmã Cedilane que vivenciou diariamente cada passo desta
jornada.
Não posso esquecer também dos amigos que me acompanharam nesta
trajetória, pessoas que viveram grande parte desta etapa comigo.
Ao orientador Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos pelo incentivo e
confiança, sendo que nunca mediu esforços. Sempre atencioso soube elogiar, criticar e
sugerir quando necessário, tendo fundamental importância para a realização deste trabalho.
Aos membros da banca examinadora que se dispuseram a avaliar e
prestigiar nossa pesquisa.
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“A teoria de equações diferenciais é a disciplina mais importante dentre todas as disciplinas matemáticas”
Marius Sophus Lie (1842-1899)
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RESUMO Este Trabalho apresenta algumas aplicações com equações diferenciais, faz uma abordagem histórica sobre seu desenvolvimento nos últimos séculos, enumera alguns dos matemáticos que contribuíram para tal evolução e para a construção de suas definições. A pesquisa apresenta algumas das aplicações das equações diferenciais além de apresentar um estudo sobre tendências de crescimento e decrescimento populacional em três cidades do Estado de Rondônia.
Palavras-chaves: Equações Diferenciais. História das Equações Diferenciais. Aplicações das Equações Diferenciais.
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SUMARIO
INTRODUÇÃO......................................................................................................................................7
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.....................................................................................................9
1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................9
1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...............................................................11
1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial...................................................14
1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)........................................................14
1.2.3 Resolvendo uma EDO separável.......................................................................15
1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP)..............................................................16
2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...............................................17
2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE
TEMPERATURA DE NEWTON)............................................................................................17
2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS......................................................................21
2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE
MALTHUS)...............................................................................................................................23
2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em
algumas Cidades de Rondônia...................................................................................26
2.3.1.1 Validação do Modelo...........................................................................26
2.3.1.2 Ji-Paraná...............................................................................................28
2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste.............................................................................31
2.3.2 Importância da Pesquisa com os municípios...................................................33
CONSIDERAÇÕES FINAIS...............................................................................................................34
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INTRODUÇÃO
No século XVII os matemáticos Izaac Newton (1642-1727)1 e Gettfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716)2 descobriram de forma independente, técnicas de derivação e integração,
posteriormente utilizadas para resolver problemas que envolvem derivação, denominadas
Equações Diferenciais, o que daria a resposta a vários enigmas envolvendo conhecimentos
matemáticos e até então não solucionados, tais como a área de uma superfície plana com suas
arestas irregulares. Essa nova proposta matemática foi apreciada por inúmeros estudiosos que
desenvolveram teorias que produziram grandes avanços na matemática e inúmeras aplicações,
principalmente nas ciências físicas.
No grande processo de desenvolvimento social e tecnológico mundial, a matemática
considerada por muitos, a mãe de todas as ciências, pois pode ser usada em diversas áreas e
com suas inúmeras formas de aplicações, sempre foi uma peça chave, e sempre contribuiu no
desenvolvimento de estudos em diversas áreas, ela também está presente em quase todos os
momentos das nossas vidas e sem dúvida de vital importância, pois é utilizada em atividades
que envolvem desde um simples troco na padaria ou no supermercado, a cálculos complexos
como, por exemplo, na construção de um prédio ou de um moderno avião.
As Equações Diferenciais é um exemplo de conteúdo matemático que pode ser
aplicado em diversas áreas das ciências, como; na Mecânica, na Biologia, na Física, na
Química, na Economia, nas diversas áreas das engenharias, entre outras. Nesse contexto,
mesmo sendo pouco vista no cotidiano humano, isto em cálculos sumários, ainda assim, estão
presentes no dia a dia das pessoas, como por exemplo, a própria função velocidade que é uma
simples derivada da função espaço, ou no cálculo de juros compostos. Com isso, essas
equações se tornaram uma ferramenta poderosa pelas suas inúmeras formas de aplicação,
1 Nasceu em Woolsthorpe, na Inglaterra, foi educado no Trinity College, em Cambridge, e se tornou professor
de Matemática, na cadeira Lucasian. É considerado um dos maiores gênios da humanidade, suas contribuições transcendem o campo da Matemática. Dedicou-se a Ciência da Mecânica e da Óptica. Estudou a lei da inércia de Galileu; teoria das colisões; conservação do momento e muitos outros aspectos que preenchem nosso currículo escolar até hoje (CONTADOR, 2006). 2 Nasceu em Leipzig, na Alemanha, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau
de bacharel. Conhecedor das diversas ciências é considerado o último sábio a conseguir conhecimento universal. Sua contribuição matemática mais significativa, além do cálculo, foi em lógica (BOYER, 2009).
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podendo ser usadas em cálculos simples bem como em atividades mais complexas e
elaboradas.
O trabalho busca mostrar como as equações diferenciais foram desenvolvidas ao longo
destes três últimos séculos, bem como suas maiores contribuições para o progresso
tecnológico mundial. Desta forma, ele está assim dividido;
No capítulo 1 é feito um estudo histórico das Equações Diferenciais desde a
descoberta do cálculo, destacando alguns de seus principais matemáticos e também trás
algumas definições deste conteúdo.
No capítulo 2 é feita demonstrações de três aplicações com as Equações Diferenciais e
apresentado um estudo feito em três cidades do Estado de Rondônia, usando o Modelo de
Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus.
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1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
De acordo com o PCN “O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua
prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no
mundo” (BRASIL, 2001). Com base neste fundamento, a presente pesquisa traz parte do
relato histórico das Equações Diferenciais.
Os primeiros conceitos de Equações Diferenciais tiveram seu início na Europa com a
descoberta do cálculo diferencial e integral no século XVII, conceitos de fundamental
importância para a solução de diversos problemas da matemática.
Algumas idéias do Cálculo podem ser encontrada nos trabalhos de matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A. C.) e em trabalhos do início do século dezesseis por René Descartes (1569-1650). Pierre de Fermat (1601-1665), Jhon Wallis (1616-1703) e Issac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-171), (LEITHOLD, 1994, V. I e II).
O desafio para a descoberta do cálculo era solucionar um problema que instigava os
matemáticos entre os séculos XVI e XVII. O problema consistia em encontrar uma equação
que descrevesse o movimento de um corpo animado de velocidade variável, acelerado ou
desacelerado. “Em outras palavras, os contemporâneos de Newton e Leibniz eram incapazes
de calcular a velocidade exata do corpo em aceleração num dado instante” (CAPRI, 2006, p.
101). Assim, perceberam que podiam resolver o problema usando noções do Cálculo
Diferencial.
Newton desenvolveu suas teorias mais voltadas para mecânica. Segundo Boyce e
Diprima (2006, p. 15), “Suas descobertas sobre o cálculo e as leis da mecânica datam de
1665. Elas circulavam privadamente entre seus amigos, mas Newton era muito sensível a
críticas e só começou a publicar seus resultados a partir de 1687”. Nesse ano surgiu sua obra
mais famosa, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Seus estudos contribuíram
muito para o aprimoramento das equações diferenciais, dentre eles, a construção das fórmulas
das equações diferenciais de primeira ordem como dy/dx=f(x), dx/dy=f(y) e dy/dx=f(x,y)
(BOYCE e DIPRIMA, 2006), ele usou esse cálculo para descrever todos os movimentos
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possíveis de corpos sólidos em termos de um conjunto de equações diferenciais, que
posteriormente, foram denominadas de “equações do movimento de Newton”.
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), conhecendo os princípios básicos dessas
equações, aprimorou e aperfeiçoou os cálculos de Newton em tal medida que foi capaz de
explicar cuidadosamente todos os detalhes que caracterizam os movimentos dos planetas e
dos cometas, bem como o fluxo das marés e outros fenômenos relacionados com a gravidade
(CAPRA, 2006).
Leibniz conseguiu resultados, nessa área, um pouco depois de Newton, mas foi o
primeiro a fazer publicações sobre esses estudos, em 1684. Entre suas contribuições nessa
área, destacam-se o método de separação de variáveis, redução de equações homogêneas a
equações separáveis e procedimentos para resolver equações lineares de primeira ordem, a
notação usada até hoje dy/dx e o sinal da integral (∫ ), são invenções desse brilhante
matemático.
Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos fenômenos naturais (CAPRA, 2006, p. 104).
A partir dessas descobertas, vários matemáticos começaram a usar tais fundamentos
para desenvolverem seus estudos, o que cada vez mais ampliou as notações e os conceitos das
Equações Diferenciais como forma de aplicação em várias ciências. Entre tais matemáticos,
estão os irmãos Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748), que viviam em
constantes desafios entre si. Jakob contribuiu com o estudo da “equação de Bernoulli”
que ele, Leibniz e Johann resolveram. Tempos depois, na mesma família, apareceu Daniel
Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, que também teve destaque com a equação de
Bernoulli em mecânica dos fluidos. Também no século XVIII, são destacadas as figuras de
Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), entre outros.
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Os maiores avanços vieram por parte de Leonhard Euler no século XVIII. Este foi
aluno de Johann Bernoulli e considerado o maior matemático desta época, ele foi o
matemático que mais conseguiu resultados concretos em todos os tempos com mais de 870
trabalhos entre artigos e livros. Suas obras podem completar mais de 70 volumes, além de
importantes trabalhos na área de mecânica.
Segundo, (Boyer, 2009, p. 313)
Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje
nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas
específicos que aparecem em livros texto de hoje remontam aos grandes tratados
que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones calculi differentialis
(Petersburgo, 1755) e Institutiones calculi integralis (Petersburgo, 1768-1770), 3
volumes).
Euler foi o primeiro a perceber que conhecida uma solução particular então
a substituição transforma a equação de Riccati3 numa equação diferencial linear
em , de modo que fica fácil encontrar uma solução geral. Observou-se que a resolução dessa
equação por meio de quadraturas só é possível quando se conhece duas soluções particulares.
Outras descobertas também atribuídas a ele são: a teoria dos fatores integrantes; os métodos
sistemáticos para resolver equações lineares de ordem superior a coeficientes constantes; e a
distinção entre equações homogêneas e não-homogêneas, e entre solução particular e geral
(BOYCE e DIPRIMA, p. 15, 2006).
1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Não é possível falar de equações diferenciais sem antes fazer uma breve definição de
derivadas. Derivada representa a taxa de variação de uma função. Um exemplo é a função
velocidade ds
vdt
= que representa uma taxa da função espaço.
3 Equação de Riccati é aquela do tipo onde , e designam funções de . A resolução
de sua equação foi proposta aos geômetras da época e dela se ocuparam entre outros. Goldbach e os Bernoulli (Abunahman, 1982).
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Mas em geral, essa taxa pode ser melhor observada através dos gráficos da secante e
da tangente de uma equação, onde, sabe-se que uma reta que passa por dois pontos dessa
equação é chamada de reta secante (Figura 1), e uma reta que corta apenas um ponto dessa
curva é denominada reta tangente (Figura 2). A reta tangente pode ser representada por uma
equação denominada derivada.
Figura 1: Inclinação da secante ao gráfico de f
Figura 2. Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)
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Segundo Leithold (1994, p. 140), a reta tangente pode ser definida da seguinte forma:
Suponhamos que a função f seja contínua em 1x . A reta Tangente ao gráfico de f no ponto
P( 1x , f( 1x )) é
(i) a reta por P tendo inclinação m( 1x ), dada por
1 11 0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xm x
x∆ →
+ ∆ −=
∆, (1)
se o limite de x existir;
(ii) a reta x= 1x se
1 1
0
( ) ( )limx
f x x f x
x+∆ →
+ ∆ −
∆ for +∞ ou −∞ (2)
1 1
0
( ) ( )limx
f x x f x
x−∆ →
+ ∆ −
∆ for +∞ ou −∞ (3)
Caso nenhuma das duas definições seja verdadeira, não existirá reta tangente ao
gráfico no ponto em questão.
Segundo Bronson (1977, p. 01) “uma equação diferencial é a que envolve uma função
incógnita e suas derivadas”. Pode ser classificada como equação diferencial, a equação
matemática onde se procura uma função desconhecida que relaciona uma ou várias variáveis
independentes a essa função e suas derivadas de várias ordens. Veja os exemplos a seguir:
a) 222
2
+= ydy
xdy b) ( )
2 3 2'' ( ') 2y y y x+ + =
(4)
14
1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
A ordem de uma equação diferencial equivale à derivada mais alta que nesta aparece,
enquanto o grau é definido pela potência que está elevada à derivada que define a ordem da
equação.
Veja os exemplos abaixo de algumas equações diferenciais com suas respectivas
ordem e grau.
, primeira ordem e primeiro grau (5)
, segunda ordem e primeiro grau (6)
, quarta ordem e terceiro grau (7)
1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Equações Diferenciais Ordinárias é a função que depende de uma única variável
independente, essa função pode ser expressa como )()( xyy k = , onde x é a variável
independente, y é a variável dependente e o valor k representa a ordem da derivada da função.
Segundo Zill (2003), “Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais
variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será denominada e
Equação Ordinária”.
Exemplos:
422 += x
dx
dy (8)
sin(x) 6y 2y' y" =++ (9)
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As derivadas ordinárias são escritas de duas formas, a primeira criada por Leibniz,
escrita assim dy
dx, ou pela notação chamada linha, escrita assim ,y , desta forma a equação
(14) pode ser representada como sendo;
, 22 4y x= +
(10)
1.2.3 Resolvendo uma EDO separável
Baseado em alguns princípios, pode-se solucionar uma equação diferencial ordinária de
primeira ordem e primeiro grau.
Como por exemplo;
3 1dy
xdx
= − (11)
Da seguinte forma:
i) Separar (isolar) as variáveis formando a equação vista em (12)
(3 1)dy x dx= − (12)
ii) Aplicar integral nos dois membros tem-se;
(3 1)dy x dx= −∫ ∫ (13)
iii) A solução desta é vista em (14), onde 1C e 2C são constantes arbitrária;
22 13y C x x C+ = − + (14)
iv) Isolando a variável dependente y, tem-se;
21 23y x x C C= − + − (15)
16
Como 1C e 2C são duas constantes arbitrárias, pode-se concluir que 1 2C C C− = ,
assim a solução final desta equação pode ser vista em (16), onde C é uma constante arbitrária;
23y x x C= − + (16)
1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP)
Quando a função procurada depende de duas ou mais variáveis independes, ela é
denominada Equações Diferenciais Parciais, relacionando essas a uma ou mais funções
desconhecidas de ordens e graus variados.
Exemplo:
02
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
u
y
u
x
u (17)
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2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A maioria das descobertas matemáticas ocorreu na tentativa de resolver algum
problema aplicado, problemas envolvendo cálculos de áreas, de probabilidade de ganhar ou
perder nos “jogos de azar”, cobrança de juros em transações financeiras, entre outros, que
sempre contribuíram para essas descobertas. A matemática em si teria pouco valor caso não
fosse suas diversas formas de aplicações, com as equações diferenciais essa realidade não
muda, elas são utilizadas para resolver vários tipos de problemas matemáticos que em sua
maioria tem suas aplicações.
Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial [...] (STEWART, 2007, p. 583, II).
Essas formas de aplicações estão espalhadas e sevem como base de estudos de muitas
ciências, como na física, demonstradas na Lei de Variação de Temperatura de Newton, na
queda de corpos com a resistência do ar ou na própria variação da velocidade. Na Química,
cita-se a equação com problemas de diluição, na Economia os problemas envolvendo taxas de
juros compostos, na Estatística e na Geografia com o modelo de crescimento e decrescimento
Populacional (Modelo de Mauthus), na Biologia utilizando-se do Modelo de Mauthus para
estudos do crescimento de outras formas de população, com bactérias, por exemplo, entre
outras.
2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE
TEMPERATURA DE NEWTON)
Esta forma de aplicação é ligada diretamente a física, mas cálculos voltados para as
leis de temperatura são de grande utilidade em várias outras ciências, alguns exemplos são os
utilizados nas engenharias, na variação de temperatura de uma simples xícara de café durante
o seu resfriamento ou no derretimento de uma bola de sorvete, ou ainda no processo de
resfriamento de um bolo, entre outras aplicabilidades deste modelo.
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Segundo Bronson (1977, p. 49):
A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dT/dt, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como dT/dt=-k(T-Tm) ou como dT/dt + kT = KTm, onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Com base nesta definição pode-se escrever este modelo da seguinte forma:
dT
kTm ktdt
= − (18)
Problema 1:
De acordo com a lei de arrefecimento4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma
substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a
do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20
minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC.
Solução:
Seja
T a temperatura da substância.
t o tempo.
Tm a Temperatura ambiente temos:
E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma:
( )dT dT
kTm kT k T Tmdt dt
= − ⇒ = − − (19)
( 30)30
dT dTk T kdt
dt T= − − ⇒ = −
− (20)
4 Arrefecimento: Tornar-se frio; esfriar, Perder ou moderar a energia, o fervor. (FERREIRA, 2001).
19
Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC,
obtém-se:
80 20 80 20
120 0120 0ln( 30)
30
dTk dt T k t
T= − ⇒ − = −
−∫ ∫ (21)
9
ln 50 ln 90 20 20 ln 20 0,58785
k k k
− = − ⇒ = ⇒ =
(22)
Integrando entre os limites T variando de 120°C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos,
consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C.
50
120 0ln 20 ln 90
30
tdTk dt kt
T= − ⇒ − = −
−∫ ∫ (23)
Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se;
9
20 20ln2
kt
=
(24)
Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se;
920ln
20,5878
t = (25)
t =51,1765021 ou aproximadamente 51 min e 11 segundos.
Problema 2:
Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C, passado quatro minutos essa
temperatura cai para 90°C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de
30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25°C?
20
Solução:
Seja T a temperatura do bolo, Tm a temperatura ambiente e t o tempo, tem-se que:
Quando t = 0, T = 150°C, usando a lei de variação de temperatura de Newton, tem-se:
( )dT dT
kTm kT k T Tmdt dt
= − ⇒ = − − (26)
Sabendo que a temperatura ambiente é 25ºC, pode-se reescrever esta equação como a
equação vista em (23). Integrando de acordo com os limites de variação, tem-se.
( 25)25
dT dTk T kdt
dt T= − − ⇒ = −
− (27)
90 4 90 4
150 0150 0ln( 25)
25
dTk dt T k t
T= − ⇒ − = −
−∫ ∫ (28)
Assim;
25
ln 65 ln125 4 4 ln13
k k
− = − ⇒ =
(29)
Logo;
4k = 0,754454793, isolando a variável tem-se k = 0,163481617.
Como o problema pede o exato momento em que o bolo chegará a temperatura de
30ºC, apenas deve se integrar a equação do PVI, agora com a temperatura variando de 150°C
para 30°C e o tempo variando de 0 a t.
30
150 0ln 5 ln125 0,163481617
25
tdTk dt t
T= − ⇒ − = −
−∫ ∫ (30)
21
Usando a regra da diferença de logaritmos e isolando t, tem-se;
ln 25
0,163481617t = (31)
Assim conclui-se que t = 19,68 minutos ou 19 min e 41 segundos.
2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS
Juros estão presentes em quase todas as transações monetárias e comerciais, tanto no
uso das taxas de juros simples bem como nas de juros compostos. Dentre as atividades
matemáticas que envolvem aplicações, as que envolvem juros estão entre as formas mais
utilizadas. Vale ressaltar que juros são cobrados em transações em todas as partes do planeta e
com base nestes princípios este trabalho apresenta um modelo envolvendo juros e equações
diferenciais.
Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros continua r,
permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmar que a taxa de variação do valor
depositado (dS) em relação á taxa de variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de
juros pelo valor do investimento, dado pela seguinte equação:
dS
rSdt
= (32)
Separando as diferenciais tem-se:
dS
rdtS
= , (33)
Integrado ambos os membros da equação (33), obtêm-se a equação (34), com solução
em (35);
dS
rdtS
=∫ ∫ (34)
22
2 1ln ln lnS C rt C+ = + (35)
Colocando os dois membros na base e, e considerando 1C e 2C constantes arbitrárias, e
fazendo ln 1C -ln 2C = lnC , tem-se:
( ) rtS t Ce= , (36)
onde C é o valor da aplicação no instante inicial, logo C = 0S .
Logo, a equação para juros compostos calculado continuamente é:
0( ) rtS t S e= (37)
Onde S(t) é o valor aplicado, t é o tempo e r a taxa de rendimento.
Problema 1:
Uma pessoa deposita R$2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro
composto de 10 % ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque
nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em
quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado?
Solução:
Valor depositado inicialmente R$2.000,00 logo tem-se que 0S = 2000, a uma taxa de
10% a.a., durante três anos, logo t = 3, colocando tais dados no modelo para calcular juros
contínuos, conclui-se que;
0,1.3(3) 2000S e= (38)
Resolvendo esta equação tem-se que o saldo neste tempo será de R$ 2.699,72.
23
Para calcular o instante em que o saldo será o dobro do valor inicial, usa-se
0( ) 2S t S= .
Assim pode se conseguir o tempo em que o valor inicial será o dobro e também o
intervalo de tempo em que os valores desta conta dobraram seu valor.
Aplicando modelo tem-se:
0 02 rtS S e= (39)
Dividindo os dois membros da equação por 0S , tem-se:
2rte = (39)
Sabendo que r=0,1 e aplicando logaritmos encontra-se (40);
0,1ln ln 2te = (40)
Assim tem-se que 0,1t = ln2, logo:
ln 2
0,1t = ou t = 6,93 anos. (41)
2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE
MALTHUS)
O inglês Thomas Robert Malthus5 (1766-1834) em uma publicação chamada “An
Essay on the Principle of Population, as It affects the Future Improvement of Society: with
5 Nasceu em Rookery, na Inglaterra, foi demógrafo e economista, famoso sobretudo pelas suas perspectivas
pessimistas, mas muito influentes. (HENRIQUES, 2007).
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Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet and Other Writers”, uma espécie
de teoria demográfica publicada em 1978 onde enfatizava dois pontos: (HENRIQUES, 2007).
a) A população, se não ocorrem guerras, epidemias, desastres naturais, etc., tenderia a
duplicar a cada 25 anos. Ela cresceria, portanto, em progressão geométrica (2, 4, 8, 16,
32...) e constituiria um fator variável, ou seja, que cresceria sem parar.
b) O crescimento da produção de alimentos ocorreria apenas em progressão aritmética (2,
4, 6, 8,10...) e possuiria um limite de produção, por depender de um fator fixo: o
próprio limite territorial dos continentes.
Malthus fez a proposição de que as pessoas deveriam ter filhos apenas quando estas
tivessem terras cultiváveis para poder sustentá-los. Porém, no mundo de hoje suas teorias não
se concretizaram, a população não dobra a cada 50 anos, e a produção de alimentos é mais
que suficiente para alimentar essa população. O que leva as pessoas a passarem fome não é o
número de pessoas no planeta, mas devido a outros fatores alheios a esta pesquisa. Porém,
com base nessas teorias definiu-se o modelo de crescimento e decrescimento populacional ou
Modelo de Malthus.
Seja P uma população qualquer, t o tempo onde a razão entre a variação da população
(P) e a variação do tempo (t) é proporcional à população atual. Pode-se expressar esta
proposição pela seguinte equação:
kP
dt
dP= (42)
onde k é uma constante. Dessa forma, pode ser observado que se k é positiva a
população crescerá e se k for negativa a população diminuirá (ela pode diminuir por um
tempo sem ir para zero). “Algumas vezes também é chamada de lei do crescimento natural (se
) ou lei do decaimento natural se ( )” (STEWART, 2007). Assim, este modelo
matemático pode ser utilizado em vários fenômenos diferentes.
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Manipulando o modelo de Malthus apresentado na equação (42) tem-se:
dP kPdt= (43)
Dividindo os dois lados da equação por P e integrando, tem-se:
dP
kdtP
=∫ ∫ (44)
2 1ln ln lnP C kt C+ = + (45)
Onde 1C e 2C são constantes arbitrárias; logo:
ln lnP kt C= + , onde 1 2ln ln lnC C C= − (46)
Colocando os dois lados na base e, tem-se:
ln P kte Ce= (47)
Finalmente:
ktP Ce= (48)
Como isso a equação pode ser da seguinte forma
ktePtP 0)( = , (49)
Onde 0P é a população inicial.
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2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em algumas
Cidades de Rondônia.
Com base nesta aplicação com Equações Diferenciais, esta pesquisa buscou
contextualizar este tipo de atividade. Para isso, foi feita uma análise com dados populacionais
registrados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, nos anos de 2001 e
2010, em três cidades do Estado de Rondônia: Porto Velho a capital do Estado de Rondônia,
Ji-Paraná e Ouro Preto do Oeste. Vale salientar que os dados referentes ao ano de 2001 são
apenas pesquisas amostrais, podendo não representar a realidade, enquanto os dados de 2010
foram coletados pelo senso demográfico, que contou todas as pessoas que ali residiam na
época e, portanto, bem mais próximo da população real. Também se utilizou dados de 2005 e
2006 para a cidade de Porto Velho, sendo estes, também feitos por amostragem.
É importante ser observado que acontecimentos extraordinários como a alocação de
uma indústria ou alguns fenômenos naturais, podem fazer com que a população de um
determinado local tenha um crescimento (ou decrescimento) maior ou menor que o
apresentado pelo modelo.
2.3.1.1 Validação do Modelo
Antes de aplicar tal modelo foi feito um teste usando dados da cidade de Porto Velho,
localizada às margens do Rio Madeira, também sendo a cidade com maior faixa territorial e a
mais populosa do Estado. Foram usados para isso, dois anos subsequentes 2005 e 2006, os
cálculos foram feitos inicialmente para verificar se o crescimento neste período seria
condizente com a população no final desta década (2010).
Em 2005, segundo o IBGE, “a população da Capital era de 373.917 habitantes e em
2006 a população foi para 380.974”. (BRASIL, 2011).
Considerando que em 2005 o tempo t = 0, e a população inicial de 373917 habitantes,
pode-se escrever o modelo da seguinte forma:
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.( ) 373917 k tS t e= (50)
Considerando 2006, t = 1 e S(1) = 380.974, tem-se:
.1380974 373917 ke= (51)
Isolando o exponencial em (51) encontra-se (52), aplicando logaritmos em ambos os
membros tem-se a equação vista em (53);
380974
373917ke = (52)
380974
ln ln373917
ke = (53)
Onde a constante de proporcionalidade k = 0,018697284
Conclui-se que a função que representa o crescimento populacional na cidade de Porto
Velho é a seguinte:
0,018697284373917 tP e= (54)
Se o ano de 2005 foi considerado o ano 0 e 2006 o ano 1, então o ano de 2010, será
considerado o ano 5 ou t = 5,
0,018697284.5373917P e= (55)
Ou P = 410559
Com isso, concluímos que em 2010 a população de Porto Velho, de acordo com o
modelo, deveria ser de 410559 habitantes. Segundo o senso demográfico de 2010, a
população da Capital foi de 410520 habitantes, uma diferença de apenas 39 habitantes ou um
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percentual de 0,0095% com relação ao cálculo apresentado pelo modelo, logo pode ser dito
que o modelo é válido.
Problema:
Com base no modelo apresentado anteriormente que representa o crescimento
populacional na cidade de Porto Velho, qual será aproximadamente a população nesta cidade
no ano de 2030?
Solução:
O modelo obtido anteriormente mostra que o crescimento populacional da cidade de
Porto Velho é dado pela equação (54).
Considerando 2005 como tempo inicial t = 0, então no ano 2030 teremos t = 25, assim:
( ) 0,018697284.2525 373917P e= (56)
Sendo possível fazer projeções para a população de Porto Velho em 2030, que será,
segundo o modelo, de aproximadamente 596.731 habitantes.
2.3.1.2 Ji-Paraná:
Ji-Paraná é a segunda maior em número populacional, sendo também a segunda maior
do estado de Rondônia, situada na região central do estado, esta cidade fica as margens do Rio
Machado, localizada no eixo da BR 364, a 370 km da Capital.
Problema 1:
Sabendo que em 2001, a população de Ji-Paraná era de 107.869 habitantes e em 2010
a população passou a ser de 115.593 habitantes. De acordo com o modelo de crescimento e
decrescimento populacional de Malthus, qual será a população estimada para esta cidade em
2020?
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Solução:
Considerando que em 2001 o tempo t = 0 e S0 = 107869, e aplicando do Modelo de
Malthus, tem-se;
.( ) 107869 k tS t e= (57)
Em 2010, S = 115.593 e t = 1 o que indica uma década, colocando tais dados no
modelo de Malthus, tem-se;
115593
115593 107869107869
k ke e= ⇒ = (58)
Aplicando logaritmos e isolando a constante k, encontra-se seu valor em (59);
115593
ln ln , logo 0,069157873107869
ke k= = (59)
O crescimento populacional na cidade de Ji-Paraná pode ser expresso pela seguinte
equação;
0,069157873107869 tP e= (60)
Considerando 2020 a segunda década a partir de 2001, logo t = 2 décadas, então;
0,069157873.2107869P e= (61)
Assim, em 2020 a população da cidade de Ji-Paraná será de aproximadamente 123.870
habitantes.
Problema 2:
Seguindo o mesmo modelo, em quanto tempo a população no município de Ji-Paraná
será o dobro da população que lá existia no final do ano de 2010?
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Solução 1:
Sabendo que a equação que expressa o crescimento populacional deste município é
0,069157873( ) 107869 tP t e= e também que a população P(t) em 2010 era de 115.593 habitantes,
pode-se fazer:
0,0691578732x115593 107869 te= (62)
Logo:
0,069157873 231186
107869te = , (63)
Agora aplicando logaritmo nos dois lados da equação tem-se:
0,069157873 231186ln ln
107869te = (64)
0,069157873 0,7622305053t = (65)
Isolando t, tem-se que a população desta cidade será o dobro em relação a 2010 em
11,0227 décadas contadas a partir de 2001 já que foi considerado S(0) sendo a população
desta cidade em 2001, no ano de 2010 será uma década a mais, logo deve-se tirar uma década
desse tempo, assim;
11,0227-1=10,0227 décadas ou aproximadamente 100 anos e três meses.
Solução 2:
De acordo com o modelo de Malthus, uma população cresce de Progressão
Geométrica, seguindo uma taxa, assim pode-se concluir que o tempo que essa população
dobra pode ser aplicado a qualquer época, de forma que se a população inicial é S(0), ela
dobrará quando S=2XS(0).
Colocando tais dados na equação que representa o crescimento populacional nesta
cidade, tem-se;
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0,069157873
0 02 tS S e= (66)
Dividindo os membros de (67) por 0S , tem-se:
0,069157873 2te = (67)
Aplicando logaritmos na equação vista em (67) e isolando t, tem-se;
0,069157873t=ln(2), logo t=10,0227 décadas (68)
2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste
Uma das maiores cidades do estado, localizada no eixo da BR 364 à aproximadamente
330 km da capital, e ao contrário da maior parte das cidades do estado de Rondônia, a
população deste município diminuiu durante esta década, de 40.836 em 2001 para 37.561
habitantes em 2010.
Problema 1:
Usando estes dados apresentados aplicados ao modelo de crescimento e decrescimento
de Malthus, qual será aproximadamente a população de Ouro Preto do Oeste no ano de 2020?
Solução:
S(o) = 40836, t = 0, tem-se:
( ) 40836 ktS t e= (69)
Quando S=37561, t=1, substituindo estes dados no modelo e aplicando logaritmos
tem-se;
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.1 3756137561 40836
40836k ke e= ⇒ = (70)
37561
ln ln 0,08359776740836
ke k= ⇒ = − (71)
Logo o decrescimento Populacional em Ouro Preto do Oeste, pode ser expresso pela
seguinte equação:
0,08359776740836 tP e−= (72)
Substituindo t por dois, tem-se;
0,083597767.240836P e−= (73)
Conclui-se que se a população de Ouro Preto do Oeste continuar a decrescer de acordo
com essa taxa, no ano de 2020 ela será de aproximadamente 34.549 habitantes.
Problema 2:
Caso a população de Ouro Preto continue decrescendo de acordo com a equação
anterior, de quanto em quantos anos a população desta cidade será a metade?
Solução:
Sabe-se que a equação que define o decrescimento populacional da cidade é;
0,0835977670
tP Pe−= , e que o problema consiste em saber o instante (tempo) t em que a
população P será a metade da população inicial 0P , isto 0
2
PP = :
Aplicando o Modelo tem-se;
0,083597767002
tPP e−= (75)
33
Dividindo os dois membros da equação (75) por 0P , tem-se;
0,0835977671
2te−= (76)
Aplicando logaritmos obtém-se;
0,0835977671ln ln
2te−= (77)
Isolado t, conclui-se que:
1ln
20,083597767
t = − (78)
Ou t = 8,29 décadas ou aproximadamente 80 anos.
2.3.2 Importância da Pesquisa com os Municípios do Estado de Rondônia:
Parte da pesquisa foi muito importante para demonstrar ao menos uma praticidade
deste conteúdo. Por meio dela conseguiu-se relatar fatos de nossa realidade, que com certeza
dará aos leitores deste trabalho, um motivo a mais para se interessarem pelo cálculo
diferencial e integral.
Com base em um simples modelo, conseguiu-se definir o crescimento ou
decrescimento populacional destes municípios em períodos distintos e de forma lógica, um
estudo que com certeza tem um valor imprescindível para a sociedade, de maneira que essa
possa planejar suas políticas públicas, tendo em mãos dados concretos do comportamento
populacional de tais localidades.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho teve como objetivo, não apenas mostrar o que são as Equações
Diferenciais, apresentando uma parte de sua história, desde a descoberta do cálculo
diferencial no século XVII, mas apresenta parte dos acontecimentos nos séculos subseqüentes.
Nele é definido de forma simples e objetiva o que são estas equações e seus valores, além de
apresentar algumas das possíveis aplicações e onde podem ser usadas em nossa realidade.
Os resultados alcançados mostraram que como toda a matemática, as Equações
Diferenciais nunca perderão seu valor perante a sociedade, visto que sua descoberta foi um
dos maiores avanços, tanto para a matemática quanto para o mundo. Seus estudos continuam
em pleno desenvolvimento e suas aplicações, sem dúvida, sempre será de grande valor.
Uma das formas mais simples das aplicações com Equações Diferenciais é o modelo
de Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus. Graças a ele, pode-se prever a
população das cidades dentro de certo período, o que possibilita aos membros do poder
público, traçar metas e políticas que beneficiam toda a população.
A pesquisa em questão poderá servir de base para pesquisas em vários campos das
ciências. As aplicações das Equações Diferencias poderão ser estudadas e desenvolvidas em
qualquer área do conhecimento.
O mundo é o que vemos hoje, graças aos grandes matemáticos que dedicaram suas
vidas a estudos e pesquisas, tal determinação sempre gerou grandes descobertas e devem ser
reconhecidas e apreciadas, pois desde a antiguidade o homem fez e continua fazendo várias
descobertas de aplicações de conteúdos matemáticos nas mais variadas áreas, as Equações
Diferenciais alavancaram o desenvolvimento humano com suas importantes aplicações.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: LTC, 1982. BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei n. 9394 de 20 de dezembro de 1996. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : MEC/SEF, 1997. BRONSON, Richard. Moderna Introdução as Equações Diferenciais. 3 ed. São Paulo: Makron Books, 1977. BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. BOYCE, Willian E; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Tradução: Váleria de Magalhães Iorio. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. CAPRI, Fritjof. A teia da vida: uma nova compreensão científica dos sistemas vivos. São Paulo: Cultrix, 2006. CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve historia. Vol. II. 2 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini Aurélio Século XXI, Escolar: o minidicionário da língua portuguesa. 4ª ed. rev. e ampliada. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira, 2001. HENRIQUES, Abel. Thomas Robert Malthus: A Teoria Malthusiana. Coimbra, Portugal. Instituto Politécnico de Coimbra, 2007. Disponível em <http://www.miniweb.com.br/ ciencias/artigos/Thomas_Robert_Malthus.pdf>, aceeso em 20 de abril 2010. IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Rio de Janeiro, 2011. Disponível em <www.ibge.br>. Acesso em 05 de março de 2011. LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. Vol. I. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. Vol. II. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. STEWART, James. Cálculo. Tradução: Antonio Carlos Moretti; Antonio Carlos Gilli Martins. Vol. II, 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007. ZILL, Dennis G. Equacões Diferenciais com Aplicações em Modelagem. São Paulo: Thomson Learning, 2003.
36
REFERÊNCIAS CONSULTADAS
ANTON, H.; BIVENS, I.C.; DAVIS, S. Cálculo. Vol II. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2005. AYRES, Frank. Equações Deferências: Resumo da teoria, 560 problemas resolvidos, 509 problemas propostos. Tradução: José Rodrigues de Carvalho. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1994. CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Tradução: Lázaro Coutinho. 2 ed. Rio de Janeiro: Ciências Moderna, 2007.