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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ – SEEDPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
UNIDADE DIDÁTICA
INVESTIGANDO OS CONCEITOS DE TRIGONOMETRIA UTILIZANDO O GEOPLANO E O SOFTWARE GEOGEBRA
PONTA GROSSA
2011
MARISTEL DO NASCIMENTO
INVESTIGANDO OS CONCEITOS DE TRIGONOMETRIA UTILIZANDO O GEOPLANO E O SOFTWARE GEOGEBRA
Produção didática – pedagógica Unidade Didática apresentada como requisito à obtenção de título junto ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria Estadual de Educação – SEED em parceria com a Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Orientador: Prof. Ms José Trobia
PONTA GROSSA
2011
“Há um tempo em que é preciso abandonar as roupas usadas,
que já tem a forma de nosso corpo e esquecer os caminhos,
que já nos levam sempre aos mesmos lugares. É tempo de
travessia e se não ousarmos fazê-la teremos ficado para
sempre à margem de nós mesmos”. (Fernando Pessoa).
Sumário1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................5
2 FUNDAMENTAÇÃO TEORICA.................................................................................7
2.1 A ORIGEM DA TRIGOMETRIA..............................................................................7
2.2 MATERIAIS MANIPULVEIS NA CONSTRUÇÃO DO SABER MATEMÁTICO......9
2.2.1 GEOPLANO......................................................................................................10
2.2.2 SOFTWARE GEOGEBRA.................................................................................12
2.3 AS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS E O ENSINO DE TRIGONOMETRIA...14
3 DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES..............................................................16
3.1 PRIMEIRO MOMENTO........................................................................................16
3.2 SEGUNDO MOMENTO........................................................................................20
3.3 TERCEIRO MOMENTO.......................................................................................23
3.4 QUARTO MOMENTO.........................................................................................26
3.4.1CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA.................................................26
3.4.2 EXPLORANDO O SOFTWARE - ATIVIDADES INICIAIS...............................30
3.4.2 EXPLORANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.....................................30
4. REFERÊNCIAS......................................................................................................32
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1 INTRODUÇÃO
Elaborado para ser utilizado durante a implementação do Projeto de Intervenção
Pedagógica, este material é uma produção Didática pedagógica na forma de Unidade
Didática. A opção por esta modalidade de material foi pensada, tendo em vista que uma
unidade didática “compreende um ou mais conteúdos da disciplina desenvolvidos sob
uma perspectiva metodológica”.
Este projeto será desenvolvido no segundo semestre no Colégio Estadual Regente
Feijó, pertencente ao município e Núcleo Regional de Educação de Ponta Grossa, sendo
o público alvo alunos da 1ª série do Ensino Médio.
A matemática no Ensino Médio é uma das causas do insucesso do aluno, tendo em
vista a notória dissociação de seu ensino com a matemática estudada por pesquisadores,
isto é, a matemática ensinada na escola muitas vezes, não guarda nenhuma relação com
a matemática vivenciada por todos nós, no dia-a-dia, como afirma Fiorentini (1995):
assim como acontece com todo conhecimento, a Matemática é também um conhecimento historicamente em construção que vem sendo produzido nas e pelas relações sociais. E, como tal, tem seu pensamento e sua linguagem. Ocorre, entretanto, que essa linguagem, com o passar dos anos, foi se tornando formal, precisa e rigorosa, [...] distanciando-se daqueles conteúdos dos quais se originou, ocultando, assim, os processos que levaram a Matemática a tal nível de abstração e formalização. O acesso a esse saber matemático altamente sistematizado e formalizado tornou-se muito difícil e passou a ser privilégio de poucos (FIORENTINI, 1995, p. 32).
Desta forma, buscar metodologias e práticas na tentativa de tornar o ensino de
matemática eficiente do ponto de vista de seu uso nas práticas sociais é um desafio
constante para o professor.
O objetivo central desta produção é analisar as contribuições da utilização de
materiais manipuláveis e recursos tecnológicos, tendo como suporte teórico a teoria das
representações semióticas de Raymond Duval1, para o ensino e aprendizagem dos
conceitos de trigonometria. Pretende-se para tanto, propor atividades que apontem para
1Filósofo e psicólogo de formação Raymond Duval desenvolveu importantes estudos relativos à Psicologia Cognitiva no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática (Irem) de Estrasburgo, na França.
< http://www.livrariadafisica.com.br> acessado em 10 de abril de 2011.
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diferentes representações semióticas, utilizem materiais manipuláveis e recursos
tecnológicos na construção de conceitos.
O documento das Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná (2008, p.81) indica,
o conteúdo de Trigonometria permeia os conteúdos estruturantes “Grandezas e Medidas”
e “Funções”, permitindo ao professor a articulação dos conteúdos e estes podem ser
abordados por meio das tendências metodológicas da Educação Matemática, sugeridas
neste documento: (Paraná, 2008)
Os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, das quais destacamos: Resolução de problemas; modelagem matemática; mídias tecnológicas; etnomatemática; história da matemática e investigação matemática. (PARANÁ, 2008, p. 63).
Neste sentido, é possível inserir o conteúdo de trigonometria, tendo em vista que a
maneira como é ensinado, em muitas escolas se torna desarticulado do cotidiano, sendo
apenas, baseado em fórmulas, com exercícios modelos e decoreba, não possibilitando
que o aluno perceba que seus conceitos surgiram em função da necessidade de resolver
problemas do dia-a-dia do homem.
A inserção de materiais manipuláveis na construção de conceitos matemáticos
permite ao professor uma abordagem mais dinâmica e enriquecedora e ao aluno uma
participação mais ativa no processo de aprendizagem, nesse sentido, é viável, a utilização
do Geoplano, no qual o aluno poderá visualizar situações, observar relações e construir
conceitos.
Para a construção e estudo da variação das funções trigonométricas, será utilizado
o software GeoGebra, tendo em vista as possibilidades de investigações que este
software permite.
As atividades elaboradas têm como objetivo investigar o desempenho dos alunos
nas conversões das diferentes representações: da representação da língua natural para
a representação simbólica (algébrica) e da representação algébrica para a representação
gráfica. As atividades com a utilização de diferentes materiais didáticos, teodolito,
geoplano e do software GeoGebra, permitem a exploração das diferentes representações.
Ao interpretar o enunciado do problema, ao representar na forma algébrica, ao
representar graficamente os alunos transitam nas diferentes representações e visualizam
7
o mesmo objeto de estudo, no caso as funções trigonométricas, facilitando a
compreensão e a descoberta.
Assim, essa produção aborda três eixos principais: O ensino e aprendizagem do
conteúdo de trigonometria, a teoria dos registros de representação Semiótica de Duval e a
utilização de materiais manipuláveis e as mídias tecnológicas no ensino.
A produção desse material visa também contribuir com sugestões de atividades
para a abordagem dos conceitos trigonométricos no ensino de Matemática.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEORICA
Visando uma abordagem histórica do conhecimento matemático, faz-se necessário
um breve resgate histórico da evolução da Trigonometria.
2.1 A Origem da Trigonometria
Para responder perguntas que variavam de: Como medir a distância entre a Terra e
a lua? Como medir o raio da Terra? Distâncias que não podiam ser medidas diretamente
com um instrumento de medida, até distâncias entre as margens de rio, alturas das
pirâmides, deram origem ao estudo da trigonometria.
Figura 1- Eratostenes
Fonte:http://www,anossaescola.com/CR/adv
8
Autores como EVES 1992, BOYER, 1996, afirmam que a evolução da Agrimensura,
Navegação e Astronomia pelos povos antigos, foram fatores que impulsionaram seu
estudo e a origem da trigonometria.
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri = três, gonos =
ângulos e metron = medida. Sendo o seu significado medida do triângulo. Inicialmente a
trigonometria era considerada parte da matemática que tinha como objetivo o cálculo das
medidas dos elementos de um triângulo, lados e ângulos. Daí ser considerada por alguns
autores como parte da Geometria.
Aristarco de Samos (310a.C – 230a.C) fez estimativas sobre as distâncias do Sol e
da Lua relacionadas com a Terra e Arquimedes de Siracusa (287a.C – 212a.C),
desenvolveu um método de precisão para calcular o valor do número pi (π).
Considerado o pai da Astronomia foi o grego Hiparco de Nicéia (180a.C-125a.C)
quem empregou pela primeira vez a relação entre os lados e ângulos de um triângulo
retângulo por volta do ano 140 a.C, foi ele quem introduziu as medidas sexagesimais em
Astronomia.
Ptolomeu (125a.C) apresenta o documento mais antigo que trata da trigonometria
“O Almagesto” no qual apresenta um tratado de trigonometria retilínea e esférica, expôs
também métodos utilizados na construção de tabelas trigonométricas que serviram de
orientações para os astrônomos.
No século XV Purback, matemático nascido na Baviera, para restabelecer a obra
de Ptolomeu, constrói a primeira tábua trigonométrica, introduzindo o seno, cosseno e a
tangente à trigonometria.
Johann Müller (1436-1476) matemático alemão, discípulo de Purback, sistematizou
o estudo de trigonometria escrevendo o “De Triangulis” ou “Tratado dos Triângulos”.
No século XVI, François Viète (1540-1603) associou as soluções de equações do
3º grau com as relações trigonométricas, introduzindo novos teoremas, ligando a
trigonometria à Álgebra. Neper e Briggs estabeleceram novas fórmulas trigonométricas
utilizando cálculos logarítmicos.
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A aplicabilidade da trigonometria se estende por vários campos da atividade
humana, como: a Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Engenharia Cível e
topografia.
Hoje sabemos que o objetivo inicial da trigonometria era o tradicional problema da
resolução de triângulos, que basicamente consistia em determinar os seis elementos
dessa figura (três lados e três ângulos), mas provavelmente os matemáticos que fizeram
os primeiros estudos não vislumbraram a aplicabilidade dos conceitos trigonométricos na
atualidade.
2.2 Materiais manipuláveis na construção do saber matemático
A utilização de materiais manipuláveis no ensino é indicado por vários pesquisadores,
Fainguelernt, Smolle, Lorenzado, Rosa Neto, que vêm no seu uso um auxiliar para o
professor em sua prática pedagógica. Lorenzato em seu livro O Laboratório de Ensino de
Matemática na Formação de Professores orienta a construção do laboratório na escola.
Para Lorenzato, (2007) material didático é qualquer instrumento útil ao processo de
ensino-aprendizagem. No ensino podem desempenhar diferentes funções: para
apresentar um assunto, motivar os alunos, em auxiliar a memorização dos resultados e
facilitar a construção do conceito.
No entanto, o uso de materiais manipuláveis no ensino médio é pouco comum,
talvez devido ao número de aulas ou pelo professor acreditar que ao chegar ao ensino
médio o aluno não necessita mais do apoio do concreto na construção de conceitos.
Lorenzato (2009) confirma o contrário:
O material concreto exerce um papel importante na aprendizagem. Facilita a observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, critico e científico, é fundamental para o ensino experimental e é excelente para auxiliar o aluno na construção de seus conhecimentos. (LORENZATO, 2009, p.42)
Smole (2008), também defende o uso de materiais para o ensino quando argumenta:
“Investir tempo no trabalho com jogos (o jogo pode ser considerado material manipulável)
voltados ao estudo da trigonometria possibilita que os alunos aprimorem o cálculo mental,
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memorizem valores usuais de funções trigonométricas e adquiram maior desenvoltura no
cálculo algébrico das identidades trigonométricas”.
Nas práticas com materiais manipuláveis, o papel do professor é fundamental para
que o material seja um auxiliar no processo de ensino aprendizagem, pois por melhor
que seja o material didático, não é garantia de um bom ensino, nem de uma
aprendizagem significativa e não substitui o professor. No ensino de geometria a sua
utilização facilita a visualização das figuras e compressão de seus elementos, mas é o
professor que media a ação entre o material o conhecimento e o aluno. Para Mendes
(2009):
Os materiais devem proporcionar uma verdadeira personificação ou representação dos conceitos matemáticos ou das ideias exploradas. Devem ser motivadores da aprendizagem matemática dos alunos, bem como apropriados para ser utilizado em diferentes níveis de escolaridade e em diferentes níveis de formação de um mesmo conceito matemático, favorecendo a abstração matemática, através da manipulação individual ou em grupo. (MENDES, 2009, p. 26).
O mesmo autor, também argumenta sobre como o professor pode proceder ao
utilizar em suas aulas o material concreto:
Esses materiais devem ser tocados, sentidos, manipulados e movimentados pelos alunos. Podem ser extraídos das aplicações do dia-a-dia, como balança, trena, fita métrica, fio de prumo, entre outros, ou podem ser confeccionados com a finalidade de representar ideias matemáticas. (MENDES, 2009, p.25).
Nesse sentido, ao propor a utilização de materiais manipuláveis e recursos
tecnológicos para o ensino de trigonometria, queremos possibilitar aos alunos a
oportunidade de desenvolver o pensamento abstrato. Serrazina e Matos (1988) defendem
a ideia que: " A formação de conceitos é a essência da aprendizagem da Matemática o
ensino precisa estar baseado na experiência “. Neste entendimento em nossa pesquisa
serão utilizados os seguintes materiais:
2.2.1 O Geoplano
O geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno.
Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada ou
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pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados fixa-se um prego, onde se
prenderão os elásticos, usados para "desenhar" sobre o geoplano. Podem-se criar
geoplanos de vários tamanhos, de acordo com o n.º de pinos de seu lado, por exemplo,
5x5, ou seja, cada lado do geoplano tem 5 pinos (pregos).
Machado (1993) afirma que um objeto concreto, como o Geoplano, facilita o
aprendizado:
Geoplano é um recurso didático-pedagógico, dinâmico e manipulativo (construir, movimentar e desfazer). Contribui para explorar problemas geométricos e algébricos, possibilitando a aferição de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel quadriculado. Além disso, o Geoplano facilita o desenvolvimento das habilidades de exploração plana, comparação, relação, discriminação, seqüência, envolvendo conceitos de frações e suas operações, simetria, reflexão, rotação e translação, perímetro, área. O Geoplano é um meio, uma ajuda didática, que oferece apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando uma experiência geométrica aos participantes (MACHADO, 1993, p.1).
Diante do exposto, consideramos o geoplano é um ótimo recurso para o trabalho
com polígonos regulares, área e perímetro e trigonometria. Este material permite traduzir
ideias matemáticas, constituindo-se em um suporte para a representação mental, um
recurso que leva ideias abstratas à realidade.
Os conceitos de trigonometria serão desenvolvidos utilizando a construção do
geoplano quadrangular juntamente com o geoplano circular visando a compreensão e
aprofundamento das razões trigonométricas a partir do círculo trigonométrico.
Figura 2 - Geoplano quadrangular Figura3 - Geoplano circular
Fonte: http://matildepaula.blog.uol.com.br Fonte: http://qqq1.unex.es/eweb/ljbranco/
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2.2.2 Software Geogebra
Os recursos tecnológicos estão cada vez mais presentes no cotidiano escolar,
principalmente no processo ensino aprendizagem, como ferramenta pedagógica na
formação dos conceitos. Neste sentido Bionde e Felício (2007) afirmam:
a utilização de computador como recurso pedagógico possui impacto significativo e positivo sobre o desempenho dos estudantes e ainda há evidências de que o uso de computadores para fins pedagógicos tem efeitos positivos sobre a proficiência... (BIONDE E FELÍCIO, 2007, p.17).
No Paraná, nos 399 municípios em todas as escolas estaduais foram implantados
laboratórios de informática, chamados de Laboratório do Paraná Digital (PRD). Esse
investimento em tecnologia possibilita aos professores e alunos da escola pública, além
do acesso a tecnologia, a utilização desta ferramenta na melhoria da prática pedagógica.
O uso de softwares de geometria dinâmica surgiu como alternativa metodológica,
pois podem representar possibilidades de simulação de material concreto, já que
proporcionam situações virtuais que adquirem aspectos próximos da realidade,
apresentando inclusive possibilidades de colaboração. Por outro lado, utilizar novas
tecnologias em sala de aula requer do professor uma reestruturação de suas concepções.
Borba e Pentado (2001, p. 98), afirmam que "o professor deve relacionar os antigos
desafios com a incorporação das novas tecnologias", visando mobilizar os alunos,
favorecendo as experimentações matemática e potencializando maneiras de
compreensão de conceitos.
Os computadores dos PRD utilizam o sistema Linux, na qual se encontram
instalados vários aplicativos, entre eles o software Geogebra.
O Geogebra é um programa livre, desenvolvido por Marcus Hohenwarter, disponível,
em português, no endereço eletrônico http://www.geogebra.org/cms, é um software
matemático que junta Geometria, Álgebra e Cálculo. A vantagem didática da utilização
desse tido de software nas atividades de ensino destaca-se pela simultaneidade da
presença do registro gráfico e do algébrico, possibilitando uma melhor visualização dos
conceitos e a participação ativa do aluno.
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Portanto, o uso do Geogebra no estudo de trigonometria é de grande importância,
pois permite ao aluno descobrir as razões trigonométricas, reformular suas ideias e
interagir com o objeto construído através da construção e movimentação.
figura 4 - janela do software GeoGebra. disponível em http://www.geogebra.org/c
A utilização da informática nas práticas pedagógicas como recursos metodológicos,
no sentido de desenvolver o pensamento matemático, é indicada por vários
pesquisadores da área.
2.3 As representações Semióticas e o Ensino de Trigonometria
Raynond Duval, filósofo e psicólogo de formação, desenvolveu importantes estudos
relativos à Psicologia cognitiva, a teoria dos registros de representação semiótica esta
teoria trata de como os conceitos se organizam. Duval, tem como centro de suas
pesquisas o funcionamento do pensamento humano, principalmente em relação as
atividades matemáticas, sua teoria é uma teoria da aprendizagem.
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Para Duval (2004) o grande problema da aprendizagem matemática é que o
educando não consegue reconhecer o mesmo objeto através dos diversos sistemas
semióticos de representação. "A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual
repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação, e essa
coordenação se manifesta pela rapidez e espontaneidade da atividade cognitiva de
conversão" (DUVAL, 2004, p.63).
As representações semióticas são sistemas particulares de signos: língua natural,
gráficos, figuras geométricas. Duval propõe que na abordagem dos conceitos
matemáticos o professor estabeleça situações de aprendizagem que possibilite aos
alunos fazerem uso de diferentes registros de representação semiótica. No
desenvolvimento do trabalho com os conceitos de trigonometria, será possível abordar
várias representações: geométrica, algébrica e da própria linguagem.
Segundo Duval, o ensino de Matemática é específico, diferente das outras ciências.
O acesso a um objeto matemático é intermediado por registros de representações
semióticas, assim o professor, em sua prática diária precisa ter a preocupação de
envolver propostas que coordenem diferentes registros. Duval (1995) aponta três
atividades cognitivas essenciais à produção de uma representação semiótica: a formação,
o tratamento e a conversão. A interpretação em língua natural de uma tarefa no registro
de representação simbólica é um exemplo de conversão. Os PCN (Brasil,1998) apontam
para está dificuldade na abordagem dos conteúdos em sala de aula.
Muitas vezes os conteúdos matemáticos são tratados isoladamente e são apresentados e exauridos num único momento. Quando acontece de serem retomados (geralmente num mesmo nível de aprofundamento, apoiando-se nos mesmos recursos), é apenas com a perspectiva de utilizá-los como ferramentas para a aprendizagem de novas noções. De modo geral, parecem não se levar em conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos. (BRASIL, 1998, p.21).
Assim, as atividades elaboradas visam abordar o conteúdo trigonometria nas
diferentes representações, algébrica, geométricas e gráficas, possibilitando aos alunos a
verificação de um conceito em representações diversas e também podendo fazer a
conversão de uma representação para outra facilitando a aprendizagem.
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3 DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
A seguir estão sistematizadas as atividade, elas exploram os conceitos
trigonométricos por meio de materiais manipuláveis e tecnológicos. Consideramos este
material em processo de construção, outras atividades e abordagens podem ser
inseridas.
3.1 Primeiro Momento – Revendo conceitos geométricos utilizando o Geoplano
Objetivos:
Construir no geoplano, figuras geométricas planas;
Reconhecer as propriedades das figuras planas construídas;
Calcular a medida da diagonal do quadrado e do retângulo;
Reconhecer a veracidade do Teorema de Pitágoras.
Tempo de Duração: 6 horas/aulas
Conteúdos: Triângulos e quadriláteros, classificação de triângulos e quadriláteros,
elementos de um triângulo e quadrilátero e Teorema de Pitágoras.
Construção do Geoplano
Material necessário:
- uma tábua quadrada de madeira de 30 cm de lado
- 25 pregos
- elásticos coloridos para construção das figuras
Construção: Para as atividades elaboradas será utilizado o geoplano 5 X 5, isto é, o
geoplano formado por 25 pregos dispostos em filas de cinco pregos cada. Na
construção, iniciar quadriculando a tábua em quadrados de 3 cm de lados, na intersecção
dos vértices fixar os pregos.
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Orientação para o professor:
Inicialmente é importante que os alunos se familiarizem com o geoplano, assim
elencamos algumas atividades para exploração do material. *Atividades apresentadas
pela professora Marília do Amaral durante o mini-curso “Construindo conceitos
geométricos no Geoplano” CIEM (outubro – 2010 - Porto Alegre)
ATIVIDADE*
1)Construir linhas no geoplano;
2)Construir figuras: quadrados, retângulos ....
3)Reconhecer figuras com os olhos fechados.
4)Construir um triângulo a partir do quadrado, do retângulo.
5)Construir um quadrado que seja a 3ª parte de um retângulo.
6)Construir um retângulo de base igual ao dobro da altura.
ATIVIDADE 1
Construa no Geoplano diferentes triângulos, desenhem no caderno os triângulos
construídos, classifique-os quanto aos lados e ângulos.
ATIVIDADE 2
Construa no Geoplano diferentes quadriláteros, desenhe no seu caderno e nomeie-os
ATIVIDADE 3
Construa quatro diferentes quadrados. Calcule a área e o perímetro de cada um.
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ATIVIDADE 4
Construa no Geoplano, diferentes retângulos com 12 unidades de perímetros.
ATIVIDADE 5
Construa no geoplano os polígonos:
Quatro lados de mesma medida e nenhum ângulo reto;
Quatro lados, quatro ângulos retos
Três lados e um ângulo reto;
Três lados e um ângulo obtuso
Após a construção desenhe as construções no caderno e nomeie cada uma.
Orientação para o professor:
Durante a realização da atividade, se o professor achar necessário é possível construir
no caderno uma tabela com a classificação dos triângulos e quadriláteros.
DESENHO NOMENCLATURA DEFINIÇÃO
Isso possibilitará ao aluno reconhecer as diferentes representações dos polígonos.
ATIVIDADE 6
Construir a figura abaixo no geoplano e completar:
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Quantos quadrados;
Quantos retângulos;
Quantos triângulos.
ATIVIDADE 7
Construir, no geoplano três diferentes retângulos e três diferentes quadrados e
completar as tabelas: Indicaremos B= base, H = altura, D= diagonal, L= lado.
Polígono BASE ALTURA DIAGONAL B2 H2 D2 B2+ H2
RET 1
RET 2
RET 3
Polígono LADO LADO 2 DIAGONAL DIAGONAL 2 LADO 2+ LADO 2
QUAD. 1
QUAD. 2
QUAD. 3
Concluindo:
O que você observa nos resultados obtidos na primeira tabela nas colunas 6 e 7?
Explique.
O que você observa nos resultados obtidos na segunda tabela nas colunas 4 e 5?
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Explique.
Você recorda do Teorema de Pitágoras? Explique com suas palavras.
Qual a relação entre os cálculos que você realizou nas tabelas e o Teorema de
Pitágoras?
ATIVIDADE 8
Construir no geoplano três triângulos retângulos de diferentes medidas para os catetos.
A seguir:
a) Indicar para a hipotenusa, a, a1, a2, e para os catetos b e c, b1 e c1, b2 e c2
b) Encontrar a medida de cada lado.
c) Utilizando a calculadora, encontrar a razão entre as medidas: b/a, b 1/ a1, b2 / a2 , c/a,
c1 /a1, c2 / a2 e b/c, b1 / c1 , b2 /c2 .
d) Medir os ângulos agudos do triângulo compare os valores encontrados com os
valores de seno cosseno e tangente dos ângulos dos triângulos com os valores da
tabela trigonométrica, o que você conclui? Faça os desenhos dos triângulos no caderno
anote os cálculos e escreva sua conclusão.
3.2 Segundo Momento – Explorando as razões trigonométricas no Geoplano circular.
Objetivos:
Construir no geoplano circular, triângulos retângulos, dados um dos ângulos
agudos;
Reconhecer as variações das funções trigonométricas nos quatro quadrantes;
Analisar o valor do seno cosseno e tangente nos diferentes quadrantes.
Tempo de Duração: 6 horas/aulas
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Conteúdos: Triângulo retângulo, razões trigonométricas, função seno, cosseno e
tangente.
Construção do Geoplano Trigonométrico Circular
Material necessário:
- uma tábua de madeira quadrada de 50 cm de lado.
- uma cópia em papel de um transferidor de uma volta, 360º
- um prego e uma linha de fio flexível.
Construção:
Construir um círculo de raio igual a 20 cm, construir o eixo cartesiano fazendo coincidir o
centro do círculo com a origem do eixo. Fixar no centro o transferidor, o prego e nele o fio
flexível.
ATIVIDADE 1
No geoplano circular de centro O, estique a linha marcando um ponto A no círculo em
30°, pelo ponto A trace uma perpendicular ao eixo x, marcando no eixo um ponto B,
tomando como referência o triângulo AÔB, responda:
a)Que tipo de triângulo foi traçado?
b) Meça os lados do triângulo, OA, AB e OC.
c) Encontre a razão entre os lados: AB/OA; OC/AO e AB/OC.
d) Os valores encontrados são conhecidos por você? Você reconhece estas razões?
e) Compare os valores encontrados com os valores da tabela trigonométrica de seno,
cosseno e tangente de 30°.
Orientação ao professor:
Neste momento da atividade é importante a formalização dos conceitos de seno,
cosseno e tangente, mostrando na prática como a tabela trigonométrica foi elaborada.
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ATIVIDADE 2
Utilizando o mesmo processo encontre as razões para os arcos de 150°, 210° e 330°.
ATIVIDADE 3
No geoplano circular construir e encontrar o valor de sen 30°, cos 60°, tg 45° .
ATIVIDADE 4*
Utilizando o geoplano circular verifique as igualdades:
a)cos 60° é igual a 0,5
b)sen60° é maior que 0,5
c)cos30° = sen de 60°
d)sen90° = 1
e)cos90° =0
f)sen45° = cos45°
g)tg45°=1
ATIVIDADE 5*
No geoplano circular verificar os sinais de:
a)sen30° d)cos300°
b)sen105° e)cos105°
c)sen60° f)cos60°
ATIVIDADE 6
Explicar por que:
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a)cos 0° = 1
b) cos90° = 0
c) sen90° = 1
d) sen150° = sen30°.
ATIVIDADE 7
Mostre e explique o porquê da tg 0° = 0 e porque não existe tangente para os arcos de
90° e 270°.
3.3 Terceiro Momento – Calculando distâncias inacessíveis utilizando o Teodolito
Objetivos:
Construir o teodolito, aparelho que será utilizado para os cálculos;
Reconhecer e representar a figura formada (triângulo retângulo) no
desenvolvimento da atividade;
Aplicar a relação trigonométrica adequada (relação da tangente) para o cálculo das
alturas inacessíveis.
Tempo de Duração: 4 horas/aulas
Conteúdos: Triângulo retângulo, razões trigonométricas, cálculo de distâncias
inacessível, função tangente.
Construção do Teodolito de Madeira
Material necessário:
- Três ripas, sendo duas de mesma espessura (aprox. 30 X 5 cm e outra 60 X 5 cm ) e
outra mais fina de aprox. 60 cm de comprimento.
- 2 transferidores de plástico de meia volta (180°)
- 30 cm de fio flexível
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- uma pequena argola.
- porca com ruela
Construção: Com as duas ripas de mesma espessura construir um T invertido fixo, ripa
menor serve para apoio. A ripa fina será a haste móvel do teodolito, fixar na haste fixa,
juntamente com um dos transferidores, utilizando um a porca com ruela, na outra
extremidade fixar o outro transferidor o fio flexível e na ponta do fio a argola.
Construção do Teodolito com Material Reciclável*
Material necessário:
- pote ou copo de plástico com tampa
- molde do transferidor de 360°
- papelão (ou outro material resistente)
- 15 cm de arame
- um canudo resistente
- cola
- tesoura
Como construir:
Com o arame, fure e atravesse o pote, próximo à sua borda e de modo que o arame
passe pelo centro da boca do pote.
Tampe o pode e fixe o canudo paralelamente ao arame, na extremidade oposta à tampa.
O canudo será a mira do teodolito. Cole o transferidor no papelão e, com o pote fechado,
fixe a tampa no centro do transferidor, permitindo a rotação do instrumento.
Orientação ao professor:
Como utilizar:
Coloque o teodolito em uma base plana e posicione o ponteiro em 0°. Em seguida, meça
a distância entre o instrumento e o que você deseja medir. Mire na extremidade do
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objeto ou construção e observe o ângulo indicado no teodolito. Utilizando a
trigonometria, é possível determinar a altura de um objeto, mas não se esqueça de
considerar a altura em que o teodolito se encontra.
Observação:
As atividades foram elaboradas para que o desenvolvimento fosse realizado em um local
externo a sala de aula. Escolhemos o Parque Ambiental Governador Manuel Ribas (Ponta
Grossa – Paraná) construído em 1995 onde funcionava a Estação Ferroviária. Este
parque é dividido em três partes, cada parte representa um elemento da natureza: Sol,
Terra e fogo, e são caracterizadas por uma torre. A torre do Sol, em sua extremidade tem
um sólido geométrico em amarelo, representando o Sol, na torre da Terra temos um
Globo terrestre em azul e na Torre do Fogo uma Pira Olímpica em vermelho. A parte que
representa o Sol, na construção ficou separada das outras duas pelo prolongamento da
Avenida Vicente Machado, assim para a segurança dos pedestres foi construído um
viaduto ligando as partes. Além das Torres o viaduto também será utilizado como objeto
de altura inacessível para o cálculo.
Orientação ao professor:
Caso não existam praças próximas a escola, crie outras situações práticas para os
alunos calcularem alturas inacessíveis (árvores, postes de iluminação, prédios...)
ATIVIDADE 1
Após posicionar o aparelho para calcular a altura da Torre do Sol, representar a
situação por meio de uma figura. Indicar por H a altura inacessível ( torre), por B a
distância do observador até a base da torre (distância conhecida). E por alfa o ângulo
marcado no teodolito (ângulo de visada). Considerando a linha imaginária do aparelho
até o topo da torre responda:
Qual a figura formada?
O que representa na figura a altura procurada?
Como calcular a altura da torre? Qual relação trigonométrica podemos utilizar neste
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cálculo?
ATIVIDADE 2
Utilizando o mesmo processo da atividade anterior encontre a altura do viaduto que
une as partes do Parque Ambiental.
ATIVIDADE 3
Se for um dia ensolarado, uma maneira de comprovar os resultados obtidos é realizar os
mesmos cálculos utilizando o processo de Semelhança de triângulo, (Teorema de
Tales), comparando a sombra do objeto a ser medido e a sombra de um dos alunos.
3.4 Quarto Momento – Explorando as funções trigonométricas no software GeoGebra
Objetivos:
Rever os conceitos geométricos básicos;
Construir no software GeoGebra o gráfico das funções trigonométricas;
Analisar o comportamento do gráfico das funções trigonométricas seno, cosseno e
tangente.
Tempo de Duração: 6 horas/aulas
Orientação ao professor:
Inicialmente é importante que os alunos se familiarizem com a utilização do software
GeoGebra, para esta atividade, postamos um resumo da apostila elaborada pelas alunas
elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista com atividades
para exploração do software GeoGebra. Disponível em:
<http://www.es.cefetcampos.br/softmat/projeto_TIC/download/atividades1/Apostilageogeb
ra_2007.pdf>
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3.4.1Conhecendo o Software GeoGebra
O GeoGebra é um software matemático que junta Geometria, Álgebra e Cálculo.
Para tanto, há duas janelas de visualização: a janela algébrica e a geométrica. Cada
objeto visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica mostrada na
janela algébrica.
Nesta seção apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do
software GeoGebra. Outras informações poderão ser obtidas no “ajuda” do programa (em
inglês) ou nos endereços eletrônicos citados. Ao abrir o software, visualizamos a seguinte
tela:
Figura 5 - tela inicial do GeoGebra
Nela podemos observar as duas janelas: a janela algébrica (à esquerda) e a janela
geométrica (à direita). A janela algébrica pode ser fechada, clicando, com o botão
esquerdo do mouse, no x que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-la
novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e selecione Janela de álgebra, conforme
mostrado a seguir:
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Figura 6 - Tela do GeoGebra - menu Exibir
Ainda em Exibir, observe que a opção Eixo está ativada, por isso aparecem os
eixos cartesianos na janela geométrica. Para retirá-los basta desmarcar essa opção. Se
desejar que a janela geométrica fique quadriculada, selecione Malha. Essas alterações
podem ser feitas também clicando com o botão direito do mouse sobre a janela
geométrica. Isso faz abrir uma caixa com algumas opções, conforme figura a seguir.
Figura 7 - tela do Geogebra - janela de visualização
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Nos itens abaixo, descrevemos algumas das opções encontradas na barra de
botões:
Figura 8 - Barra de ferramentas d GeoGebra
Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito. Esta, ao ser clicada,
permite visualizar as opções existentes.
Clicando na seta do botão,
visualizamos as seguintes opções
Figura 9 - Tela do GeoGebra - Ferramenta Novo Ponto ativada
3.4.2 EXPLORANDO O SOFTWARE - Atividades iniciais
ATIVIDADE2
a. Crie dois pontos livres.
b. Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados no item anterior.
c. Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto ,
e dê um clique na área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes
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pontos: A (2, 1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2). Outra forma de marcar os pontos é digitá-
los na Caixa de Entrada da seguinte forma: A=(2,1) e teclar Enter.
Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado direito do mouse, selecione a
opção Propriedades e, em seguida, a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela
aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor desejada. Para a operação ser
concluída, clique em Fechar.
d. Utilizando a ferramenta polígono
clique sobre os pontos e forme o Polígono ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no
ponto A. Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a cor
dos pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.
e. Inicialmente ative o software GeoGebra, abra a tela algébrica e geométrica, na tela
geométrica exiba o eixo e a malha, isso facilitará a análise.
Vamos verificar a existência de um triângulo.
É possível construir um triângulo com os segmentos AB = 3, CD = 5 e EF = 7?
E com os segmentos HI = 2, JK = 3 e LM = 6?
a)O que você concluí, qual a condição para a existência de um triângulo?
3.4.3 EXPLORANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ATIVIDADE 1
Na caixa de entrada digite a função y = sin(x), observe o gráfico da função, encontre o
domínio e a imagem desta função. Digite a função y= 2 sin(x) e a função y= 2+sin(x).
mude a cor e estilo de cada gráfico.
Compare as funções, o que você observa? Escreva no caderno suas conclusões.
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ATIVIDADE 2
Na caixa de entrada digite a função y = cos(x), observe o gráfico da função, encontre o
domínio e a imagem desta função. Digite a função y= 2 cos(x) e a função y= 2+ cos(x).
Faça a edição: mude cor e estilo. Para isso clique com o botão contrário do mouse em
cima do gráfico. Clique em propriedades e, ao abrir a janela, acione as opções cor e
estilo e faça as alterações. Em seguida clique em fechar
Compare as funções, o que você observa? Anote no caderno suas conclusões.
ATIVIDADE 3
Função Seno
Construa a função f(x) = sen (x).
No campo de entrada do GeoGebra construa o seletor a = 1.
Construa agora a função g(x) = a f(x).
Mude a cor da função g(x).
Ativar animação do seletor.
O que você observa?
ATIVIDADE 4
Função Cosseno
Construa o gráfico da função h(x) = cos (x).
No campo de entrada do Geogebra construa o seletor a = 1.
Construa agora a função t(x) = a + h(x).
Mude a cor da função t(x).
Ativar animação do seletor.
O que você observa?
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ATIVIDADE 5*
Faça um seletor de -3,14 a 3,14. Acione a ferramenta seletor. Clique na tela e digite
para mínimo -3,14 e para máximo 3,14. Clique em aplicar.
a)Digite, no campo de entrada, a*sin(x).
b) Faça a edição: mude cor e estilo. Para isso clique com o botão contrário do mouse
em cima do gráfico. Clique em propriedades e, ao abrir a janela, acione as opções cor e
estilo e faça as alterações. Em seguida clique em fechar.
c) Movimente o seletor a, anote suas observações e discuta com os colegas.
PROFESSOR
Desejo que este material possa contribuir na sua prática pedagógica e também
desperte maior interesse para o estudo por parte dos alunos e que eles possam
aprender Matemática com prazer e aplicá-la da melhor maneira em sua vida.
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4 REFERÊNCIAS
BOYER, Call. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher,1974.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001, 98 p.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF, 1998.
D' AMBROSIO, Beatriz. Como ensinar matemática hoje?. Temas e Debates. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano II, nº2, 1989.
EVES, H. Introdução à História da Matemática Campinas, SP: Ed da UNICAMP, 1992.
DUVAL, Raymond. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. (org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2009. p. 11-33.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999.
FIORENTINI, Dario. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino de Matemática no Brasil. In Revista Zetetiké. Campinas SP. Editora da Unicamp. Ano 3. nº 4. p. 1-37.1995.
LORENZATO, Sérgio. (Org.) O Laboratório de ensino da matemática na formação de professores. Campinas, S P: Autores associados, 2009. (Coleção formação de professores.
MACHADO, Rosa Maria. Minicurso - Explorando o Geoplano. In: II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. Disponível em < http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em 15 set.2007.
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MENDES, Iran Abreu. Matematica e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. 2. Ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática, SEED, Curitiba: 2008.