Sebenta de exercíciosde

Álgebra I

Curso: Matemática

Ano Lectivo 2005/2006

23 de Setembro de 2005

(versão 1.1)

Índice

Notas Prévias ii

Notações e terminologia iii

1 Introdução 11.1 Noções elementares sobre conjuntos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Noções elementares sobre aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Noções elementares sobre números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Estruturas algébricas básicas 92.1 Grupóides, semigrupos e monóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Morfismos entre estruturas algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Estruturas geradas e monogénicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Relações de congruência. Coconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Estruturas normais. Estruturas quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Teoremas do isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Estruturas actuando sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9 Grupos-p e grupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Estruturas livres e apresentações 33

Bibliografia 34

i

Notas Prévias

Esta sebenta de exercícios juntamente com amatéria leccionada nas aulas teóricas formamum todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente umconjunto de exercícios soltos.Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de

que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nasaulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios,sem qualquer fundamentação.O material contido nesta sebenta de exercícios, foi elaborado com base nas referências

[1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, quealguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento deMatemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sincerose profundos agradecimentos.

N.B.: Na elaboração desta sebenta, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar umaescrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, podenão estar isenta de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções1.

1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentáriose correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt.

ii

Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais:

; o conjunto vazioN = f0, 1, 2, 3, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais

Z = f¢ ¢ ¢ ,¡2,¡1, 0, 1, 2, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros

Q =nxy2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g

oo conjunto dos números racionais

R o conjunto dos números reais

C o conjunto dos números complexos

Sendo X 2 fN,Z,Q,Rg, representaremos por X>0,X≥0 e X6=0, respectivamente, osseguintes conjuntos:

X>0 := fx 2 X : x > 0gX≥0 := fx 2 X : x ¸ 0gX6=0 := fx 2 X : x 6= 0g .

Como exemplos, o conjunto

R≥0 := fx 2 R : x ¸ 0g = [0,+1[,

representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto

R6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g ,

representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.Faremos também uso do símbolo C6=0, para representar o conjunto C n f0g.De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo ‘:=’ quer

designar a igualdade de duas entidades por definição.Iremos representar por card(A) o cardinal do conjunto A. O símbolo ‘v’ representa umasubestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendoM (resp., G) ummonóide(resp., grupo) e A um subconjunto de M (resp., G), para abreviar a expressão ‘A é umsubmonóide (resp., subgrupo) deM (resp., G)’, usamos o simbolismo A vM (resp., A v G).

iii

Tabela de Símbolos

Y X o conjunto de todas as aplicações de X em Y

Inj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y

Surj(X,Y ) o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y

Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y

Mor(G,H) (= Hom(G,H)) o conjunto de todos os morfismos de G em H

End(G) o conjunto de todos os endomorfismos em G

Mono(G,H) o conjunto de todos os monomorfismos de G em H

Epi(G,H) o conjunto de todos os epimorfismos de G em H

Bim(G,H) o conjunto de todos os bimorfismos de G em H

Sect(G,H) o conjunto de todas as secções de G em H

Retr(G,H) o conjunto de todas as retracções de G em H

Iso(G,H) o conjunto de todos os isomorfismos de G em H

Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos em G

Emb(G,H) o conjunto de todos os mergulhos de G em H

Ul(G) (resp., UG(G), U(G)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de G

N E G N é subgrupo normal de G

P (Z) o conjunto de todos os elementos primos de ZhAi (resp., hAi) o submonóide (resp., subgrupo) gerado por A

Idem(M) o conjunto de todos os elementos idempotentes de M

iv

1. Introdução

1.1. Noções elementares sobre conjuntos e relações

1.1.1) Sejam X e Y conjuntos quaisquer. Mostre que se tem as seguintes propriedades:

a) ; µ X.b) A µ X () A 2 P(X).c) X µ Y =) P(X) µ P(Y ).

1.1.2) SejamX, Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que, a união de conjuntos tem as seguintespropriedades:

a) X [ (Y [ Z) = (X [ Y ) [ Z.b) ; [X = X [ ; = ;.c) X [ Y = Y [X.d) X µ Y () X [ Y = Y .e) X [X = X.

1.1.3) Sejam X, Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que, a intersecção de conjuntos tem asseguintes propriedades:

a) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) \ Z.b) ; \X = X \ ; = ;.c) X \ Y = Y \X.d) X µ Y () X \ Y = X.e) X \X = X.

1.1.4) Sejam X, Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que se tem as seguintes propriedades:

a) (X [ Y ) \ Z = (X \ Z) [ (Y \ Z).b) (X \ Y ) [ Z = (X [ Z) \ (Y [ Z).c) (X \ Y ) [ Z = X \ (Y [ Z)() Z µ X.d) ; £X = X £ ; = ;.e) A µ X ^ B µ Y () A£ B µ X £ Y .f) (X [ Y )£ Z = (X £ Z) [ (Y £ Z).g) (X \ Y )£ Z = (X £ Z) \ (Y £ Z).

1.1.5) Seja ρ uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostre que:

a) a definição de relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintescondições:

1

i) IA µ ρ.ii) ρ µ ρ−1.iii) ρ ± ρ µ ρ.

b) ρ = ρ−1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a ter i), ii’) ρ = ρ−1 e iii).

1.1.6) Sejam A um conjunto qualquer e ρ uma relação de equivalência definida em A.Mostre que:

a) 8a 2 A a 2 [a].b) 8a, b 2 A aρb, [a] = [b].

c) As classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ou seja,

i) 8a 2 A [a] 6= ;.ii) 8a, b 2 A [a] 6= [b] =) [a] \ [b] = ;.iii) 8a 2 A S

a∈A[a] = A.

1.1.7) Sejam A um conjunto qualquer e C := fAi µ A : i 2 Ig µ P(A) uma partição de A.Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classesde equivalência dos elementos de A.

Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 Aaρb() 9i 2 I : (a 2 Ai ^ b 2 Ai).

1.1.8) Seja n 2 Z 6=0. Mostre que a relação ´ definida para todo o a, b 2 Z por:a ´ b (modn)() 9k 2 Z : a+ (¡b) = k ¢ n

é uma relação de equivalência. Esta relação é a relação usual de congruência dosnúmeros inteiros.

1.1.9) Sejam A,B µ X. Mostre que a relação ρ definida para todo o A,B 2 P(X) por:AρB () A µ B _ B µ A

é uma relação reflexiva, simétrica mas não transitiva.

1.1.10) Considere-se a relação » definida para todo o elemento de N2 por:

(a, b) » (c, d)() a+ d = b+ c.

Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relaçãodefine-se Z := N2

∼ e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro.

1.1.11) Seja A := fa, b, c, d, eg e consideremos as relações ρi, i = 1, . . . , 8 definidas em A.

a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências:

1) ρ1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g.2) ρ2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g.3) ρ3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g.4) ρ4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade).5) ρ5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g.

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6) ρ6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g.7) ρ7 := ; (relação vazia).8) ρ8 := A£ A (relação universal).

b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ4, A/ρ6 e A/ρ8.

1.1.12) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações:

R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f, h)g

definidas, respectivamente, em A£ B e B £ C. Determine S ±R.1.1.13) Sejam S := Z £ Z 6=0 e ρ := f((r, s), (t, u)) 2 S2 : r ¢ u = s ¢ tg. Mostre que ρ é uma

relação de equivalência em S.

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1.2. Noções elementares sobre aplicações

1.2.1) Mostre que se f : X ! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintesaplicações:

a) f→ : P(X)! P(Y ).b) f← : P(Y )! P(X).

1.2.2) Sejam f : X ! Y uma aplicação, (Ai)i∈I uma família de subconjuntos de X e (Bi)i∈Iuma família de subconjuntos de Y . Mostre que:

a) f(Si∈IAi) =

Si∈If(Ai).

b) f(Ti∈IAi) µ

Ti∈If(Ai).

c) f−1(Si∈IBi) =

Si∈If−1(Bi).

d) f−1(Ti∈IBi) =

Ti∈If−1(Bi).

1.2.3) Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z aplicações quaisquer:

a) Mostre que a composição de aplicações, g ± f , é uma aplicação.b) Mostre que a composição de aplicações injectivas, g ±f , é uma aplicação injectiva.c) Mostre que a composição de aplicações sobrejectivas, g ± f , é uma aplicação so-brejectiva.

d) Mostre que a composição de aplicações bijectivas, g ±f , é uma aplicação bijectiva.e) Se g ± f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva.f) Se g ± f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva.

1.2.4) Seja f : X ! Y uma aplicação qualquer.

a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : Y ! X tal que g ± f = idX .(A g chama-se a inversa esquerda de f e diz-se que f é uma secção).

b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : Y ! X tal que f ± g = idY .(A g chama-se a inversa direita de f e diz-se que f é uma retracção).

c) f é bijectiva se, e só se, existe g : Y ! X tal que g ± f = idX ^ f ± g = idY .(A g chama-se função inversa de f e diz-se que f é um isomorfismo).

d) Mostre que a aplicação inversa de f é única e, portanto, faz sentido representá-lapor f−1, i.e., (f−1 : Y ! X).

1.2.5) Seja f : X ! Y uma aplicação qualquer. Mostre que:

a) f é injectiva se, e só se, para todo o conjunto Z e para todo o par de aplicaçõesg, g0 : Z ! X as composições f ± g e f ± g0 estão definidas, então tem-se que:

f ± g = f ± g0 =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um monomorfismo).

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b) f é sobrejectiva se, e só se, para todo o conjunto Z e para todo o par de aplicaçõesg, g0 : Y ! Z as composições g ± f e g0 ± f estão definidas, então tem-se que:

g ± f = g0 ± f =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um epimorfismo).

1.2.6) Considere X e Y dois conjuntos quaisquer. O conjunto X diz-se equivalente ou equipo-tente a Y e representa-se por X » Y se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de Xem Y . Mostre que a seguinte relação:

X » Y () 9f 2 Y X : f 2 Bij(X,Y )

é uma relação de equivalência.

Diz-se que os conjuntos X, Y tem a mesma cardinalidade se

card(X) = card(Y )() X » Y .

1.2.7) Sejam X e Y conjuntos quaisquer. Mostre que a relação ∙ definida por:

card(X) ∙ card(Y )() 9f 2 Y X : f 2 Inj(X,Y )

é uma relação de ordem parcial.

(Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermosaplicações injectivas de X em Y e de Y em X, então card(X) = card(Y )).

1.2.8) Sejam X e Y conjuntos quaisquer e f : X ! Y uma aplicação e considere a relaçãopara todo x, y 2 X

xρfy () f(x) = f(y).

Mostre que ρf é uma relação de equivalência.

1.2.9) Considere uma relação de equivalência ρ definida em X.

a) Mostre que existe uma aplicação h : X ! X/ρ sobrejectiva.

b) Considere uma aplicação f : X ! Y qualquer, tal que f é compatível com ρ, i.e.,

8x, y 2 X xρy =) f(x) = f(y).

Defina uma aplicação g : Xρ! Y , de modo que o diagrama

X Xρ

--h

Y?

f g¡

¡¡

¡¡ª

seja comutativo, ou seja, g ± h = f .c) Mostre ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva.

d) Mostre também que, f é bicompatível com ρ se, e só se, g é injectiva.

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1.2.10) Seja f : X ! Y uma aplicação que preserva as relações, ou seja,

8a, b 2 X aρb =) f(a)ρ0f(b).

Mostre que:

a) Existe uma única aplicação f ∗ : X/ρ ! Y/ρ0 tal que o seguinte diagrama

Y Yρ0

-νY

X Xρ

-νX

?

f

?

f ∗

é comutativo. Diz-se que f ∗ é a aplicação induzida por f . Reciprocamente, se paraduas quaisquer aplicações f e f ∗ o diagrama é comutativo, então f é a aplicaçãoque preserva a relação e, f ∗ é a aplicação induzida por f .

b) Se f(a)ρ0f(b)) aρb, então f ∗ 2 Inj(X/ρ, Y/ρ0).c) Se f 2 Surj(X, Y ), então f∗ 2 Surj(X/ρ, Y/ρ0).d) Sendo X = Y := Z,

ρ :=©(a, a0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 4)ª , ρ0 :=

©(b, b0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 2)ª

e f : X ! Y uma aplicação que preserva a relação, definida por f(n) = n, então:

1) f ∗([0]4) = f∗([2]4) = [0]2.

2) f ∗([1]4) = f∗([3]4) = [1]2.

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1.3. Noções elementares sobre números inteiros

1.3.1) Mostre que para qualquer a, b, c 2 Z se tem o seguinte:

a) a j 0.b) §1 j a.c) §a j a.d) a j b, a j (¡b), (¡a) j b, (¡a) j (¡b).e) a j b ^ b j c) a j c.f) a j b ^ a j c) 8x, y 2 Z a j (bx+ cy).

1.3.2) Considere a, b, k 2 Z e x 2 Z6=0. Mostre que se verifica o seguinte:

a) gcd(a, b) = gcd(a, b+ ax).

b) gcd(ka, kb) = k gcd(a, b).

1.3.3) Determine o máximo divisor comum dos seguintes conjuntos e, exprima-o na formagcd(a, b) = ax+ by:

a) f167, 389g.b) f275, 726g.c) f242, 758g.

1.3.4) Determine o menor inteiro x não negativo tal que:

a) x ´ 19 (mod 5).b) x ´ 3312 (mod 4).c) x ´ 26 (mod 13).d) x ´ 177 (mod 8).e) x ´ 111 (mod 109).

1.3.5) Considere a, b 2 Z e n 2 Z 6=0 um elemento fixo. Mostre que são equivalentes asseguintes alíneas:

a) a ´ b (modn);b) n j a¡ b;c) a e b dão o mesmo resto, na divisão por n.

1.3.6) Considere a, b, a0, b0, k 2 Z e n 2 Z 6=0 um elemento fixo. Mostre que se verifica oseguinte:

a) a ´ b (modn)) ka ´ kb (modn).b) a ´ b (modn) ^ a0 ´ b0 (modn)) a+ a0 ´ b+ b0 (modn).c) a ´ b (modn) ^ a0 ´ b0 (modn)) aa0 ´ bb0 (modn).d) a+ k ´ b+ k (modn)) a ´ b (modn).e) ka ´ kb (mod kn)) a ´ b (modn).

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f) a ´ b (modn) ^ a0 j n) a ´ b (mod a0).

1.3.7) Indique, para as seguintes relações, quais são possíveis, e para essas, determine arespectiva solução:

a) 2x ´ 3 (mod 4).b) 3x ´ 2 (mod 4).c) 6x ´ 2 (mod 4).d) 10x ´ 14 (mod 15).e) 10x ´ 14 (mod 18).f) 10x ´ 14 (mod 21).

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2. Estruturas algébricas básicas

2.1. Grupóides, semigrupos e monóides

2.1.1) Diga se as relações a seguir indicadas são operações binárias de Z2 em Z, onde o símbolo“+” (resp., “¢”) representa a adição (resp., multiplicação) usuais em Z.

a) (x, y) 7! x+ y.

b) (x, y) 7! x¡ y.c) (x, y) 7! x ¢ y.d) (x, y) 7! p

x ¢ y.e) (x, y) 7! x+ 4y.

f) (x, y) 7! xy.

Em caso afirmativo, diga se a operação é associativa ou comutativa e verifique se existeelemento neutro (direito, esquerdo ou bilateral) e elementos invertíveis no respectivogrupóide.

2.1.2) Dê um exemplo de:

a) Grupóide que não seja associativo.

b) Semigrupo que não seja comutativo.

c) Grupóide que não seja associativo nem comutativo.

d) Semigrupo comutativo sem elemento neutro.

e) Monóide com elementos invertíveis.

f) Grupo.

g) Grupóide não associativo com elemento neutro e os elementos invertíveis.

2.1.3) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X);[, ;) e (P(X);\,X) são monóides.2.1.4) Seja P o conjunto dos pontos do plano e considere a relação que a cada par de pontos

de P associa o ponto médio do segmento por eles definido. Verifique que P com estaoperação constitui um grupóide comutativo não associativo.

2.1.5) Estude os seguintes grupóides:

a) O conjunto fa, b, c, dg com a operação definida pela seguinte tabela

* a b c da d b b db c d b ac a c a ad b a d c

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b) (N; ¤) com a ¤ b := a+ 2b, onde + é a soma usual em N.c) (N; ¤) com a ¤ b := ab.d) (N; ¤) com a ¤ b := ja¡ bj.e) (Q 6=0; θ) com aθb := a ¢ b−1, onde ¢ é o produto usual em Q.

2.1.6) Seja A um grupóide. Mostre que se 1A é identidade esquerda e 10A é identidade direita(em A) então 1A = 10A , portanto 1A é identidade única de A.

2.1.7) Construa um grupóide com duas identidades direitas. Verifique se é semigrupo.

2.1.8) Seja (S; ¢) um semigrupo. Mostre que:

a) Se é válida a lei do corte à esquerda (resp., direita)

ab = ac) b = c (resp., ba = bc) b = c)

e a2 = a, então a é elemento neutro à esquerda (resp., direita) de S.

b) Existe um e um só idempotente em S, concretamente o elemento neutro.

2.1.9) Mostre que se (M ; ¢, 1M) é um monóide e a 2 M tem um inverso direito e um inversoesquerdo, então estes coincidem.

2.1.10) Mostre que se (M ; ¢, 1M) é um monóide e a 2 U(M), então tem-se que:

a) 8b, c 2M , ab = ac =) b = c.

b) Qualquer das equações ax = b e ya = b com b 2M , admite uma e uma só solução.

2.1.11) Sejam M um monóide e a, b 2 U(M). Mostre que:

a) (ab)−1 = b−1a−1.

b) a e b comutam se, e só se, (ab)−1 = a−1b−1.

2.1.12) Seja A um grupóide. Mostre que se verifica sempre uma e uma só, das afirmaçõesseguintes:

a) A não tem identidade esquerda nem direita.

b) A tem uma ou mais identidades direitas mas nenhuma identidade esquerda.

c) A tem uma ou mais identidades esquerdas mas nenhuma identidade direita.

d) A tem uma identidade e mais nenhuma (distinta) identidade esquerda ou direita.

2.1.13) Seja S um semigrupo finito. Mostre que S admite elemento neutro se, e só se, contémum elemento simplificável.

2.1.14) Sejam S um semigrupo e a 2 S. Suponha que para esse elemento existe um elementob de S tal que ab = a. Prove que quaisquer que sejam t e v, elementos de S, a equaçãoyt = v é solúvel, então b é elemento neutro direito de S.

2.1.15) Seja Mn×n(K) o conjunto das matrizes de ordem n £ n sobre o corpo K. Mostre que(Mn×n(K); ¢, In) é um monóide, onde ¢ é o produto usual de matrizes.

2.1.16) Mostre que se (S; ¢) é um semigrupo, então qualquer seu subgrupóide é um semigrupo.Conclua, analogamente para um semigrupo comutativo.

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2.1.17) Seja (S; ¢) um semigrupo. Mostre que:

a) aS é um subsemigrupo de S.

b) se a um elemento idempotente de S tal que 8x 2 S, x = xa, então a é o elementoneutro de aS.

2.1.18) Mostre que um subconjunto A µM é um submonóide de um monóide (M ; ¢, 1M) se, esó se, verifica:

i) 8x, y 2M : x, y 2 A =) x ¢ y 2 A;ii) 1M 2 A.

2.1.19) Sejam M um monóide e A µM . O centralizador de A em M é definido por:

CM(A) := fx 2M : 8a 2 A, xa = axg .

Mostre que CM(A) é um submonóide de M . Quando A := M , chama-se o centro dedo monóide M e representa-se por Z(M).

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2.2. Grupos

2.2.1) Suponha que S := fx, y, z, wg é um grupo com elemento neutro x. Verifique que paracada uma das condições adicionais seguintes se tem uma única tabela de Cayley talque S é um grupo:

a) y2 = z.

b) y2 = w.

c) y2 = x e z2 = x.

d) y2 = x e z2 = y.

2.2.2) Suponha que S := fa, b, cg é um grupo. Só existe uma única maneira possível de

completar a seguinte tabela de Cayley

* a b c

a bbc

. Encontre-a.

2.2.3) Mostre que num grupo é válida a lei do corte.

2.2.4) (Critério de Dickson) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, verifica asseguintes condições:

i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1r.

ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a0 2 S tal que aa0 = 1r,ou seja, a0 é o inverso direito relativamente a 1r.

2.2.5) (Critério de Weber-Huntington) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se,as equações, para todo o a, b 2 S, ax = b e ya = b são solúveis.

2.2.6) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, qualquer que seja o elementoa 2 S, aS = Sa = S.

2.2.7) Prove que para qualquer grupo G a equação axb = c tem uma única solução, quaisquerque sejam os elementos a, b, c 2 G.

2.2.8) Mostre que se G é um grupo e a, b 2 G são tais que ab = b, então a é o elemento neutrodo grupo.

2.2.9) Sejam G um grupo e a, b, c 2 G. Mostre que:

a) qualquer uma das igualdades seguintes implica as outras duas:

1) ab = c;2) a = cb−1;3) b = a−1c.

b) ab = c não implica a = b−1c.

2.2.10) Mostre que todo o semigrupo finito em que é válida a lei do corte é um grupo (finito).

2.2.11) Sejam G um grupo e A µ G. Mostre que, A v G se, e só se, verifica:

i) 1G 2 A;

12

ii) 8x, y 2 G : x, y 2 A =) x ¢ y 2 A;iii) 8x 2 G : x 2 A =) x−1 2 A.

2.2.12) Mostre que um semigrupo S com identidade 1S em que 8x 2 S, x2 = 1S é um grupoabeliano.

2.2.13) Mostre que num grupo se b é o inverso direito (resp., esquerdo) de a então bk é o inversodireito (resp., esquerdo) de ak.

2.2.14) Sejam G um grupo, A,B,C µ G e considerem-se os seguintes subconjuntos:A−1 :=

©a−1 2 G : a 2 Aª (em notação aditiva¡ A := f¡a 2 G : a 2 Ag)

e

B−1 :=©b−1 2 G : b 2 Bª (em notação aditiva¡B := f¡b 2 G : b 2 Bg).

Mostre que:

a) (A ¢B) ¢ C = A ¢ (B ¢ C) (em notação aditiva (A+B) + C = A+ (B + C)).

b) f1Gg ¢ A = A ¢ f1Gg = A (em notação aditiva f0Gg+A = A+ f0Gg = A).c) (A ¢B)−1 = B−1 ¢ A−1 (em notação aditiva ¡(A+B) = (¡B) + (¡A)).d) 8x 2 G, A µ B ) x ¢A µ x ¢B (em notação aditiva 8x 2 G, A µ B ) fxg+A µ

fxg+B).e) 8x 2 G, fxg ¢A = A ¢ fxg () fxg ¢A ¢ fxg−1 = A (em notação aditiva fxg+A =A+ fxg () fxg+A+ (¡fxg) = A).

f) A ¢G = G ¢ A = G (em notação aditiva A+G = G+A = G).

g) A µ B ) A−1 µ B−1 (em notação aditiva A µ B ) ¡A µ ¡B).

Se A v G, então:

a) A−1 = A (em notação aditiva ¡A = A).b) 8x 2 G, (fxg ¢ A)−1 = A ¢ fxg−1 (em notação aditiva 8x 2 G, ¡(fxg + A) =A+ (¡fxg)).

c) A ¢ A = A (em notação aditiva A+ A = A), em particular, 8x 2 A, fxg ¢ A = A(em notação aditiva 8x 2 A , fxg+A = A).

2.2.15) Considere-se o grupóide (N; ¢), onde ¢ é a multiplicação usual e os seguintes subconjun-tos de N:A := f2g , B := fx 2 N : x é divisor de 6g e C := fx 2 N : x é múltiplo de 6g.

a) Determine O ¢ B e B ¢ A, sendo O := f0g.b) Dos conjuntos A,B,O ¢ B e B ¢ A quais são partes estáveis de N para a mesmaoperação.

c) Mostre que (C; ¢) é subgrupóide de (N; ¢) e escreva-o como produto de dois sub-grupóides de (N; ¢).

2.2.16) Sejam (M ; ¢, 1M) um monóide. Mostre que U(M) é um subgrupo do monóide M .

2.2.17) Mostre que um grupo G é abeliano se, e só se, 8a, b 2 G, (ab)−1 = a−1b−1.

13

2.2.18) Sejam M1 e M2 monóides (resp., grupos), prove que:

a) (M1 £M2; ¢, (1M1 , 1M2)) é um monóide (resp., grupo).

b) (M1 £M2; +, (0M1, 0M2)) é um monóide (resp., grupo).

c) Generalize para M1 £M2 £ ¢ ¢ ¢ £Mn.

2.2.19) Sejam A e B submonóides (resp., subgrupos) de um monóideM (resp., grupo). Mostreque:

a) A£B é submonóide (resp., subgrupo) de M £M .b) A \B é submonóide (resp., subgrupo) de M .c) A [B é submonóide (resp., subgrupo) de M se, e só se, A µ B _ B µ A.d) AB (em notação aditiva A+B) é submonóide (resp., subgrupo) de M se, e só se,AB = BA (em notação aditiva A+B = B +A).No caso particular de M ser abeliano, então AB (em notação aditiva A + B) ésubmonóide (resp., subgrupo) de M .

2.2.20) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X);M, ;) é um grupo abeliano, onde

A M B := (AnB) [ (BnA) = fx 2 X : x 2 A [ B ^ x /2 A \ Bg .

2.2.21) Sejam G um grupo, A 2 P6=∅(G) e o conjunto

gAg−1 :=©gag−1 2 G : a 2 Aª

que se chama o conjugado direito de A em G. Mostre que gAg−1 v G se, e só se,A v G.

2.2.22) Sejam G um grupo e A 2 P(G). Chama-se normalizador de A em G ao conjunto

NG(A) :=©x 2 G : xAx−1 = Aª .

Mostre que NG(A) é um subgrupo de G.

2.2.23) Sejam A v K v G e x 2 G (fixo). Mostre que:

a) NK(A) = NG(A) \K.b) NG(xAx−1) = xNG(A)x−1.

2.2.24) Considere o grupo GLn(K) := fA 2Mn×n(K) : A é invertívelg.

a) Mostre que GLn(K) é um grupo.

b) Determine todos os subsemigrupos próprios de GL2(R).

c) Verifique que o conjunto½∙

a 00 0

¸2 M2×2(R) : a 2 R

¾é um subsemigrupo de

GL2(R). Será um submonóide de GL2(R)? Justifique.d) Mostre que SLn(K) µ GLn(K), onde SLn(K) := fA 2 GLn(K) : det(A) = 1g éum subgrupo de GLn(K).

e) Determine o centro do grupo GLn(K), i.e., Z(GLn(K)).

14

2.2.25) Determine os subgrupos de:

a) Z6.b) S3.

2.2.26) Simplifique cada uma das seguintes expressões em Z5:

a) [8] + [4].

b) [2] + [7].

c) [17] + [76].

d) [3] ¢ [4].e) [2] ¢ [¡7].f) [17] ¢ [76].g) ([3] ¢ [2]) + ([3] ¢ [4]).h) [3] ¢ ([2] + [4]).

Resolva o mesmo exercício considerando as expressões em Z6.

2.2.27) Construa as tabelas de Cayley de (Z3; +), (Z3; ¢), (Z4; +) e (Z4; ¢). Diga quais dosgrupóides em questão são grupos.

2.2.28) Mostre que cada grupo Zn é abeliano.

2.2.29) Verifique se (Z3 n f[0]g ; ¢, [1]) e (Z4 n f[0]g ; ¢, [1]) são grupos.2.2.30) Mostre que (Zn n f[0]g ; ¢, [1]) é grupo se, e só se, n é primo.2.2.31) Considerem-se o par (a, b) 2 R6=0 £ R e a aplicação f(a,b) : R! R definida da seguinte

forma f(a,b) (x) = ax+ b. Seja A :=©f(a,b) 2 RR : (a, b) 2 R6=0 £ R

ª.

a) Mostre que (A; ±) é um grupóide e verifique se é comutativo.

b) Verifique se existe elemento neutro em (A; ±).c) Determine U(A).

d) Diga, justificando, se (A; ±, idR) é um grupo.

15

2.3. Morfismos entre estruturas algébricas

2.3.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos e, em cada caso afirmativo, de-termine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo:

a) f : (Z; +)! (R; +) definida por f(x) := 3x.b) f : (Z; +)! (R; ¢) definida por f(x) := 3x.c) f : (R; +)! (Z; +) definida por f(x) := 3x.d) f : (Z; ¢)! (Z; ¢) definida por f(x) := 3x.e) f : (Z; ¢)! (N; ¢) definida por f(x) := x2.f) f : (R; ¢)! (R≥0; ¢) definida por f(x) := x2.g) f : (R>0; ¢)! (R>0; ¢) definida por f(x) := x2.h) f : (Z; +)! (Z; +) definida por f(x) := x2.i) f : (Q; +)! (Q; +) definida por f(x) := x+ 2.j) f : (R6=0; +)! (R6=0; +) definida por f(x) := jxj.k) f : (C6=0; +)! (R6=0; ¢) definida por f(z) := jzj2.l) f : (R6=0; +)! (R6=0; +) definida por f(x) := ¡x.m) f : (Z; ¢)! (Z; ¢) definida por f(x) := 2x+ 1.n) f : (Z; +)! (Z; ¤), onde x ¤ y := x+ y ¡ 1 e f é definida por f(x) := 2x+ 1.o) f : (R;α)! (R; +), onde xαy := 2xy + x+ y e f é definida por f(x) := 2x+ 1.p) f : Z8 ! Z2 definida por f(a8) = a2.q) f : Z12 ! Z12 definida por f([a]12) = [a+ 1]12.r) f : (R; +) ! (R6=0; ¢) definida por f(x) := ax, sendo a 2 R6=0 um elementoqualquer fixo.

s) f : (R>0; ¢)! (R; +) definida por f(x) := ln(x).

t) f : (R6=0; ¢)! (f¡1, 1g ; ¢) definida por f(x) :=½

1 se x > 0¡1 se x < 0

.

2.3.2) Considere a relação f : R! R definida por f(x) := x2 ¡ 1.

a) Mostre que é uma aplicação.

b) Defina duas operações binárias α e β de modo que f seja um morfismo de (R;α)para (R;β).

c) Determine dois grupóides de modo que f seja um isomorfismo entre eles.

2.3.3) Considere a aplicação f : C6=0 ! R6=0, definida por f (z) = jzj.

a) Mostre que f é um morfismo do grupo (C6=0; ¢, 1) no grupo (R6=0; ¢, 1).b) Determine explicitamente os elementos de Ker(f) e de Im(f).

c) Represente geometricamente os elementos de f−1(f2g).

2.3.4) Sejam (G; ¢, 1G) um grupo e a relação f : G! G definida nas seguintes alíneas por:

a) f (x) = x−1. b) f (x) = x2.

1) Verifique que f não é, em geral, um morfismo de grupos.

16

2) Estabeleça uma condição necessária e suficiente para que f seja um morfismode grupos.

2.3.5) Seja S1 := fz 2 C : jzj = 1g.

a) Mostre que S1 é subgrupo de (C6=0; ¢, 1).b) Verifique se a aplicação f : (R; +, 0) ! (S1; ¢, 1) , definida por f (x) = cisx é ummorfismo de grupos.

c) Determine f−1(f1g).

2.3.6) Considere o morfismo f :¡Z6; +, 0

¢ ! (S3; ±, id), tal que f¡16¢=

¡1 2 3

¢.

a) Determine Ker (f).

b) Determine Im(f).

c) Será possível determinar um isomorfismo entre¡Z6; +, 0

¢e (S3; ±, id)?

2.3.7) Considere os conjuntos A := f1, 2, 3g e B := fa, b, cg e as operações θ e θ0 dadas pelastabelas seguintes:

θ 1 2 31 1 2 32 2 3 13 3 1 2

e

θ0 a b ca b c ab c a bc a b c

.

Mostre que existe um isomorfismo entre os grupóides (A; θ) e (B; θ0).

2.3.8) Sejam (G; ¤, 1G), (G0; ¢, 1G0), (G00; θ, 1G00) grupos e, f : G! G0 e g : G0 ! G00 morfismosde grupos.

a) Mostre que g ± f é um morfismo de grupos.

b) Mostre que, se f e g são isomorfismos, então g ± f é um isomorfismo.

2.3.9) Sejam (M, d) e (M 0, d0) dois espaços métricos. Uma isometria é uma aplicação bijectivaf :M !M 0 tal que

d0(f(x), f(y)) = d(x, y).

a) Mostre que o conjunto de todas as isometrias em M , i.e.,

Isom(M) :=©f 2MM : f é uma isometria

ªé um grupo.

b) Sejam agora X 2 P 6=∅(M). Mostre que o conjunto de todas as isometrias quedeixam o conjunto X fixo

SM(X) := ff 2 Isom(M) : f(X) = Xgé um subgrupo de Isom(M). A este grupo, chama-se o grupo da simetria de Xem relação ao espaço métrico M .

2.3.10) Sejam X 6= ; um conjunto qualquer e considere o conjunto XX . Mostre que:

a) (XX ; ±, idX) é um monóide.

b) Sym(X) é um grupo.

17

2.3.11) Sejam X um conjunto qualquer eM (resp., G) um monóide (resp., um grupo). Mostreque:

a) (MX ; ¢, c1M ) é um monóide.

b) (GX ; ¢, c1G) é um grupo.

2.3.12) Sejam M,N monóides (resp., grupos). Mostre que:

a) (NM ; ¢, c1N ) é um monóide (resp., grupo).

b) Se N é comutativo, então (Mor(M,N); ¢, c1N ) é um submonóide (resp., subgrupo)de NM . Conclua que, Mor(M,N) é comutativo.

c) Sendo M comutativo, então (End(M); ¢, c1M ) (resp., Aut(M)) é um monóide (re-sp., grupo) comutativo.

2.3.13) SejaM ummonóide (resp., grupo). Mostre que (End(M); ±, idM) (resp., (Aut(M); ±, idM))é um monóide (resp., grupo).

2.3.14) Considere a aplicação f : N6=0 ! f0, 1g definida por:µ1 2 3 4 ¢ ¢ ¢ 2k ¡ 1 2k ¢ ¢ ¢1 0 1 0 ¢ ¢ ¢ 1 0 ¢ ¢ ¢

¶, onde k 2 N6=0.

a) Mostre que 8a, b 2 N6=0, f(ab) = f(a)f(b).b) Será f um isomorfismo entre os grupóides (N6=0; ¢) e (f0, 1g ; ¢)?

2.3.15) Sejam S e T grupóides (resp., semigrupos) e f 2 Mor(S, T ). Mostre que:

a) Se a é um idempotente em S, então f(a) é um idempotente em T .

b) Se A é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de S, então f(A) é um subgrupóide(resp., subsemigrupo) de T .

c) Se B é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de T , então f−1(B) é um sub-grupóide (resp., subsemigrupo) de S.

d) Se 1S for o elemento neutro de S, indique condições para que f(1S) seja o elementoneutro de T .

2.3.16) Sejam (G; ¢, 1G), (G0; ¢0, 1G0) grupos e f : G! G0 um morfismo de grupos. Prove que:

a) f (1G) = 1G0.

b) 8a 2 G, f (a−1) = (f (a))−1.c) 8n 2 Z 8a 2 G, f (an) = (f (a))n. Em particular, f(a−1) = (f(a))−1.

d) Se A v G, então f (A) v G0. Em particular, conclua que Im(f) v G0.e) Se B v G0, então f−1 (B) v G. Em particular, conclua que Ker(f) v G.

2.3.17) Sejam (Z; ¢, 1) o monóide dos inteiros e f : (Z; ¢, 1) ! (Z; ¢, 1) uma aplicação definidapor 8x 2 Z, f(x) = 0. Mostre que 8x, y 2 Z, f(xy) = f(x)f(y) mas que f não é ummorfismo de monóides.

2.3.18) Dado um grupo G, considere a família de aplicações (σg)g∈G, onde σg : G ! G édefinida por σg(x) := gxg−1. Verifique se:

18

a) Para todo o g, σg 2 Aut(G) (automorfismo interno direito de G).O conjunto de todos os automorfismos internos direitos representa-se por Innr(G).

b) (Innr(G); ±, idG) é um subgrupo de (Aut(G); ±, idG).c) Verifique que a aplicação f : G! Aut(G) definida por f(g) := σg é um morfismoe tal que Ker(f) = Z(G) e Im(f) = Innr(G).

2.3.19) Sejam G,G0, G00 grupo e f0, f1, f2, f3 morfismos tais que:

f0g f0¡! Gf1¡! G0

f2¡! G00f3¡! f0g

e Im(fi) = Ker(fi+1), i = 0, 1, 2.

a) Mostre que f1 é um morfismo injectivo.

b) Mostre que f2 é um morfismo sobrejectivo.

2.3.20) Sejam G um grupo, f 2 Aut(G). Mostre que f(Z(G)) µ Z(G).2.3.21) Sejam f : G! H um morfismo, A v G e B v H. Mostre que:

a) Se f(A) = B, então f−1(B) = AKer(f).

b) Se f−1(B) = A, então f(A) = B \ Im(f).

2.3.22) (Teorema de Cayley) Seja (M ; ¢, 1M) um monóide (resp., grupo). Mostre que:

a) todo o monóide é isomorfo a um submonóide de (MM ; ±, idM).b) todo o grupo M é isomorfo a um subgrupo de Sym(M).

c) todo o grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo Sn.

2.3.23) Sejam G1, G2, G3, G4 grupos, f 2 Mor(G1, G2) e g 2 Mor(G2, G3) morfismos. Mostreque:

a) Ker(g ± f) = f−1(Ker(g)) e Im(g ± f) = g(Im(f)).b) se o diagrama

G4 G3-j

G1 G2-f

?

h

?

g

é comutativo se h 2 Surj(G1, G4) e g 2 Inj(G2.G3), então Im(f) = g−1(Im(j)) eKer(j) = h(Ker(f)).

19

2.4. Estruturas geradas e monogénicas

2.4.1) Sejam G um grupo e X µ G. Mostre que:

a) O conjunto gerado por X

hXi = ©1G, x

±11 x

±12 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ x±1n 2 G : xi 2 X, x−1i 2 X−1, i = 1, . . . , n, n 2 N6=0

ªforma um subgrupo de G.

b) X µ hXi.c) 8A v G : X µ A =) hXi µ A.

2.4.2) Sejam G um grupo e A,B µ G. Mostre que:

a) A µ B =) hAi µ hBi.b) h;i = f1Gg.c) Se A v G, hAi = A. Em particular, hf1Ggi = f1Gg e hGi = G.d) Se A µ B µ hAi =) hAi = hBi.

2.4.3) Seja C := f1, 2, 3g µ N. Construa o grupo simétrico de C (escreva a tabela de Cayley).Determine todos os subgrupos de Sym(C) e diga qual a cardinalidade mínima dosconjuntos de geradores dele.

2.4.4) Sejam G um grupo, X 2 P 6=∅(G) e (Ai)i∈I 2 Sub(G)I tais que 8i 2 I, Ai µ X. Ointerior de X em G é definido por

CorG(X) :=

* [i∈IAi⊆X

Ai

+.

Mostre que:

a) CorG(X) é um subgrupo de G.

b) Se A v G tal que 8i 2 I, Ai µ A, então

CorG(A) :=

* [i∈IAi⊆A

Ai

+=

\g∈G

g−1Ag.

2.4.5) Sejam A,B v G. Mostre que:

hA [ Bi = fa1b1a2b2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ anbn 2 G : ai 2 A, bj 2 B, i, j 2 Ng .

Se A,B µ G poder-se-ia dizer o mesmo? Justifique.2.4.6) Sejam G um grupo e A,B v G tais que AB = BA. Prove que hA [ Bi = AB.2.4.7) Sejam f : G! H um morfismo de grupos e G = hXi. Mostre que:

a) f(hXi) = hf(X)i.b) Se f 2 Surj(G,H), então f(hXi) = H.

20

2.4.8) Sejam G um grupo e a 2 G.

a) Mostre que se existem r, s 2 Z com r 6= s tais que ar = as, então existe o menorinteiro positivo n, tal que an = 1. A esse elemento (se existe) chama-se a ordemde a, e representa-se por ord(a). Se tal elemento não existe então diz-se que aordem de a é infinita.

b) Sejam t 2 Z e ord(a) = n, então tem-se que, at = e() n j t.

2.4.9) Determine a ordem de cada elemento no respectivo grupo:

a) (S3; ±, id).b) (S4; ±, id).c) (Z3; +, 0).d) (Z6; +, 0).e) (Z4; ¢, 1).

2.4.10) Seja G um grupo abeliano. Mostre que:

a) Se a, b 2 G tais que ord(a) = n e ord(b) = m, então (ab)mn = 1G.b) Se G não é abeliano o resultado anterior pode não se verificar.

Sugestão: Considere em S3, a :=µ1 2 32 1 3

¶e b :=

µ1 2 33 2 1

¶.

2.4.11) Seja G um grupo abeliano. Prove que o subconjunto F , dos seus elementos de ordemfinita é um subgrupo de G. Se G não fosse abeliano F seria subgrupo de G? Justifique.

2.4.12) Sejam G um grupo e a um seu elemento de ordem finita. Mostre que a ord(a) =ord(a−1).

2.4.13) Construa a tabela de Cayley para um grupo G := hai com a 6= 1G e a5 = 1G.2.4.14) Considere o subconjunto A := f1,¡1,¡i, ig µ C.

a) Mostre que (A; ¢, 1) é um grupo abeliano.

b) Verifique se (A; ¢, 1) é cíclico e, em caso afirmativo, indique os seus geradores.

c) Indique os subgrupos de (A; ¢, 1).

2.4.15) Prove que um elemento diferente do elemento neutro de um grupo tem ordem 2 se, esó se, é igual ao inverso de si próprio.

2.4.16) Dado um grupo cíclico G = hai de ordem 10, indique todos os subgrupos de G.

2.4.17) Seja G := hai um grupo tal que a56 = a73.

a) Supondo a 6= 1G, qual é a ordem de G.

b) Se fosse a76 = a72 qual seria a ordem de G.

2.4.18) Mostre que se G é um grupo finito de ordem n, qualquer que seja o elemento a 2 Gtem-se que an = 1G.

2.4.19) Verifique que Z12 tem um subgrupo de ordem k para cada divisor k, de 12.

21

2.4.20) Seja G um grupo cíclico gerado por a tal que a21 = a6.

a) Que pode concluir quanto à ordem de G?

b) Qual a ordem do subgrupo gerado por a7?

2.4.21) Seja n = pr11 pr22 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ prss a ordem dum grupo cíclico, em que, p1, p2, ..., ps 2 P (Z) e são

distintos. Verificar que a é sempre o produto de s elementos do grupo cíclico, cujasordens são pr11 , p

r22 , . . . , p

rss , respectivamente.

2.4.22) Sejam M,M 0 monóides, X um conjunto de geradores de M e f, g 2 Mor(M,M 0).Mostre que se 8x 2 X, f(x) = g(x), então f = g.

2.4.23) Mostre que um grupo cíclico infinito tem exactamente dois geradores.

2.4.24) Seja G um grupo cíclico finito de ordem n, gerado por x. Mostre que hxki = G se, esó se, k é primo com n.

2.4.25) Seja M um monóide gerado pelo subconjunto X e suponha-se que todo o elemento deX é invertível (em M). Mostre que:

a) M é um grupo.

b) Se separar-mos os elementos inversos num conjunto X 0 disjunto de X, entãoM =

hX·SX 0i.

2.4.26) Sejam G um grupo cíclico, S um grupóide e f 2 Surj(G,S). Mostre que:

a) S também é um grupo cíclico.

b) Se G é finito a ordem de S divide a ordem de G.

2.4.27) Seja G um grupo cíclico de ordem n. Mostre que existe uma aplicação bijectiva entreos subgrupos de G e os divisores positivos de n.

2.4.28) Mostre que:

a) Cada grupo cíclico de ordem finita n é isomorfo ao grupo multiplicativo das nraízes de 1, em C.

b) Cada grupo cíclico infinito é isomorfo a Z.

2.4.29) Sejam G um grupo cíclico, AvG e f 2 End(G). Mostre que:

a) f(A) µ A.b) Se G = hai, então f 2 Aut(G) se, e só se, hf(a)i = G.

2.4.30) Dois grupos cíclicos são isomorfos se, e só se, tiverem a mesma ordem.

2.4.31) Seja G um grupo cíclico de ordem 15. Qual o número de geradores de G? Quantosautomorfismos há de G em G?

22

2.5. Relações de congruência. Coconjuntos

2.5.1) Mostre que a relação binária ρ definida no conjunto de todos os subgrupóides dogrupóide S, por

AρB () A »= Bé uma relação de equivalência em Sub(S).

2.5.2) Prove que se A v G as seguintes afirmações são equivalentes:

i) x−1y 2 A,ii) xA = yA.

2.5.3) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que qualquer que seja x 2 G,card(A) = card(Ax) = card(xA).

2.5.4) Defina-se uma relação de equivalência em Z do seguinte modo:

a » b() a, b 2 Z<0·_ a, b 2 Z≥0.

Verifique que ficam determinadas duas classes de equivalência [¡1] e [0]. Do conjuntof[¡1] , [0]g2 para f[¡1] , [0]g defina uma operação binária + tal que

[a] + [b] := [a+ b]

por analogia com a definição de + em Zn. Mostre que + assim definida não é umaoperação binária em Z/ ».

2.5.5) Seja S um semigrupo em que é válida a lei do corte e com elemento neutro. SejamX µ S e ρ uma relação binária em S definida por:

aρb() b 2 aX.Mostre que ρ é uma relação de congruência se, e só se, X fôr um subgrupo tal que

8a 2 S, Xa µ aX.

2.5.6) Sejam S um semigrupo e R uma relação de equivalência em S. Defina-se

Rc := f(a, b) 2 S £ S : 8x, y 2 S, (xay, xby) 2 Rg .Mostre que:

a) Rc µ R.b) Rc é uma relação de equivalência.

c) Rc é uma relação de congruência.

d) Se µ é uma relação de congruência tal que µ µ R, então µ µ Rc.

2.5.7) Determine as classes associadas direitas de:

a) h[4]i em Z8.b) h[3]i em Z12.

23

2.5.8) Sejam G um grupo, A v G e a relação binária » definida em G por:

x » y () y−1x 2 A.

Mostre que é uma relação de equivalência em G.

2.5.9) Sejam G := S3 e A := h( 1 3 )i.

a) Determine as classes associadas direitas de A em G.

b) Determine as classes associadas esquerdas de A em G.

c) Verifique que a colecção das classes associadas direitas é diferente da das esquer-das.

2.5.10) Em S3 calcule:

a) As classes associadas direitas e esquerdas de h( 1 2 3 )i.b) Verifique que para cada elemento σ de S3 a classe associada direita à qual σpertence é a mesma que a classe associada esquerda à qual σ pertence.

2.5.11) Determine, nos respectivos grupos:

a) [Z10 : h[2]i].b)

£S3 : h( 1 2 )i¤.

c)£S4 : h( 1 2 3 )i¤.

d) [Z40 : h[12] , [20]i].

2.5.12) Prove que se A é um subgrupo de G tal que [G : A] = 2 e x e y são elementos de Gmas não de A, então xy 2 A.

2.5.13) Prove que se A e B são subgrupos finitos de um grupo G e card(A) e card(B) não temfactores comuns além de um, então A \B = f1Gg.

2.5.14) Determine os elementos do subgrupo A := h( 1 2 3 ), ( 1 2 )( 3 4 )i de S4 e veri-fique que card(A) = 12 e que A não tem subgrupos de ordem 6.

2.5.15) Sejam G um grupo finito e A um seu subgrupo. Mostre que a ordem de A divide aordem de G.

24

2.6. Estruturas normais. Estruturas quociente

2.6.1) Mostre que para um subgrupo A de G são equivalentes as seguintes afirmações:

a) A£G.

b) 8x 2 G, xA = Ax.c) 8x, y 2 G, xAyA µ xyA.d) 8x, y 2 G, xAyA = xyA.e) 8x 2 G, xAx−1 µ A.f) 8x 2 G, xAx−1 = A.

2.6.2) Sejam G,H grupos e f 2 Mor(G,H). Mostre que:

a) Ker(f)£G.

b) Se f 2 Surj(G,H), então Im(f) E H.c) Se A£G então f(A)£ Im(f).

d) Se A£G e f 2 Surj(G,H), então f(A)£H.e) Se B £H, então f−1(B)£G.

2.6.3) Sejam G um grupo e Z(G) o seu centro. Mostre que Z(G)£G.

2.6.4) Mostre que SLn(K)£GLn(K). Como Z(GLn(K))£GLn(K) e Z(SLn(K))£ SLn(K)define-se o grupo linear projectivo por:

PGLn(K) :=GLn(K)Z(GLn(K))

,

e o grupo linear projectivo especial por:

PSLn(K) :=SLn(K)Z(SLn(K))

.

2.6.5) Dado um grupo G finito, mostre que todo o seu subgrupo A de G de índice 2, é umsubgrupo normal de G.

2.6.6) Sejam G um grupo, N,K E G, X µ G, (Ai)i∈I 2 Nor(G)I e g 2 G. Mostre que:

a) N \K E G. Generalize (Ai)i∈I 2 Nor(G)I .b) NK E G.c) hN [Ki E G.d) hgXg−1i E G, que é o fecho normal deX em G é um subgrupo normal que contêmX.

e) CorG(X) :=

* Si∈IAiEGAi⊆X

Ai

+E G.

2.6.7) Sejam G um grupo e X µ G. Mostre que:

a) 8g 2 G, gXg−1 µ X, então X µ hXi E G.

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b)

* Sg∈G

gXg−1+E G.

c)

* Sg∈G

gXg−1+= hXi.

2.6.8) Sejam G um grupo, N,K E G e o elemento neutro é o único elemento comum aestes dois subgrupos. Mostre que os elementos de cada um dos subgrupos N e K sãopermutáveis com os elementos do outro.

2.6.9) Sejam G um grupo, A v G e N £G. Mostre que A \N £A.2.6.10) Sejam G um grupo e N,K v G tais que K £N £G. Mostre que 8g 2 G, gKg−1£N .2.6.11) Sejam G um grupo e A,N v G tais que N £A. Mostre que:

a) Para todo o K v G, N \K £ A \K.b) Para todo o P £G, NP £ AP .

2.6.12) Sejam G um grupo e a 2 G. Um elemento b 2 G diz-se o conjugado direito de a, seexiste um elemento x 2 G tal que b = xax−1. Verifique que:

a) A relação conjugado direito, é uma relação de equivalência em G.

b) Um subgrupo A de G é saturado para esta relação se, e só se, A£G.(Nota: Sejam C um conjunto, ρ uma relação de equivalência definida em C e C/ρo respectivo conjunto quociente. Diz-se que uma parte A de C é saturada para arelação ρ se, e só se, sempre que x 2 A, [x] µ A.)

2.6.13) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que:

a) A£NG(A).

b) NG(A) é o maior subgrupo de G no qual A é normal.

2.6.14) Sejam G um grupo e A v G. Diz-se que A é normal maximal em G se A E G, A 6= Ge não existe A0 £G, tal que A ( A0 ( G. Mostre que:

a) A é normal maximal em G se, e só se, G/A é um grupo simples.

b) Se A1 e A2 são subgrupos normais maximais distintos, então A1A2 = G e A1\A2é normal maximal em A1 e em A2.

2.6.15) Prove que V :=©id, ( 1 2 )( 3 4 ), ( 1 3 )( 2 4 ), ( 1 4 )( 2 3 )

ªé um sub-

grupo normal de S4. Indique um grupo isomorfo a S4/V .

2.6.16) Mostre que dado um grupo quociente G/H os subgrupos de G/H são exactamente osgrupos A/H em que A é subgrupo de G e contém H.

2.6.17) Mostre que para qualquer grupo quociente G/N os seus subgrupos normais são exac-tamente os grupos quociente K/N em que K £G e que contém N .

2.6.18) Sejam G um grupo e N E G. Prove que G/N é abeliano se, e só se, 8a, b 2 Gaba−1b−1 2 N .

26

2.6.19) Sejam G,H grupos, B £H e f 2 Surj(G,H). Prove que, se A := fg 2 G : f(g) 2 Bg,então A£G.

2.6.20) Sejam G um grupo e σg 2 Innr(G). Então, tem-se que:

a) para todo o f 2 Aut(G), f ± σg ± f−1 = σf(g).

b) Innr(G)£ Aut(G).

2.6.21) Sejam M,M 0 grupos abelianos e f 2 Mor(M,M 0). Mostre que:

a) Coker(f) :=M 0/ Im(f) é um grupo abeliano.

b) Coim(f) :=M/Ker(f) é um grupo abeliano.

2.6.22) Sejam M,M 0 grupos abelianos e f 2 Mor(M,M 0) e considere-se a relação g : M !Coker(f) definida por g(x) := [x]. Mostre que:

a) g 2 Mor(M,M 0).

b) Se f 2 Surj(M,M 0), então g 2 Surj(M,M 0).

2.6.23) SejamM,M 0 grupos abelianos e f 2 Mor(M,M 0) e considere-se a relação k : Ker(f)!M 0 definida por k(x) := f(x). Mostre que:

a) k 2 Mor(M,M 0).

b) Se f 2 Inj(M,M 0), então k 2 Inj(M,M 0).

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2.7. Teoremas do isomorfismo

2.7.1) Sejam G,G0 grupos e g 2 Surj(G,G0). Suponhamos que N £G e Ker(g) µ N .

a) Mostre que:

1) g(N) := N 0 £G0.2) g−1(N 0) = N .

b) Considere a aplicação f : G ! G0/N 0 tal que para cada x 2 G, f(x) := [g(x)]N 0 .Verifique que:

1) f é um morfismo sobrejectivo de G em G0/N 0.2) G/N »= G0/N 0 (1.o Teorema do isomorfismo).

2.7.2) Sejam G um grupo e A,N subgrupos invariantes de G tais que A µ N .

a) Sendo νA e νN os morfismos sobrejectivos canónicos associados aA e aN , respecti-vamente. Mostre que existe um morfismo sobrejectivo de grupos h : G/A! G/Ntal que hoνA = νN .

b) Verifique que Ker(h) = N/A e conclua que G/N »= G/AN/A

(Corolário do 1.o Teoremado isomorfismo).

2.7.3) Sejam G um grupo, A,K v G e K £G.

a) Mostre que AK v G.b) Mostre que K £AK.

c) Considere a aplicação f : A ! (AK)/K tal que para cada a 2 A, f(a) := [a]K.Verifique que:

1) f é um morfismo sobrejectivo de A em AKK.

2) AA∩K

»= AKK(2.o teorema do isomorfismo).

2.7.4) Sejam G1,G2 grupos, N1 £G1 e N2 £G2.

a) Se N1 »= N2, ter-se-á que G1/N1 »= G2/N2? E nas mesmas condições, mas sendoG = G1 = G2, será que se tem G/N1 »= G/N2?

b) Se N1 £G1, N2 £G2, N1 »= N2 e G1/N1 »= G2/N2 ter-se-á que G1 »= G2?c) Se N1 £ G1, N2 £ G2, G1 »= G2 e G1/N1 »= G2/N2 ter-se-á que N1 »= N2? E nasmesmas condições, mas sendo G = G1 = G2, será que se tem N1 »= N2?

2.7.5) Use o teorema do homomorfismo para mostrar que se G é um grupo qualquer comelemento neutro 1G, então G/ f1Gg »= G.

2.7.6) Mostre que se G1, G2 são grupos e G1 £ f1G2g£G1 £G2, então G1×G2G1×f1G2g

»= G2.

2.7.7) Mostre que Z18/h[3]i »= Z3.2.7.8) Sejam G um grupo, A v G, N£G, A\N = f1Gg e A[N = G. Mostre que G/N »= A.2.7.9) Seja G um grupo. Mostre que G/Z(G) »= Innr(G).2.7.10) Sejam G um grupo, H1,H2,K1,K2 v G tais que K1 £H1 e K2 £H2. Mostre que:

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a) (Lema da borboleta) (H1 \K2)K1 £ (H1 \H2)K1.

b) (K1 \H2)K2 £ (H1 \H2)K2.

c) (K1 \H2)(H1 \K2)£H1 \H2.d) Conclua que, (H1∩H2)·K1

(H1∩K2)K1»= (H1∩H2)K2

(K1∩H2)K2.

Este resultado usa-se no teorema do refinamento de Otto Schreier (1901-1929)

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2.8. Estruturas actuando sobre conjuntos

2.8.1) Sejam G um grupo, X 6= ; um conjunto qualquer e o morfismo f : G ! Sym(X),definido por f(a) := fa. Mostre que, fa 2 Bij(X,X) se, e só se, se tem a condiçãof(1G) = idX .

2.8.2) Sejam G um grupo e considere X := G. Mostre que:

a) G actua à esquerda sobre G, se definirmos para todo o g 2 G, x 2 X, gx := g ¢ x(esta acção chama-se acção de G em si próprio por multiplicações esquerdas).

b) G actua à direita em G, considerando gx := xg−1.

c) G actua à esquerda em G por conjugação direita, i.e., a acção esquerda de G emG é definida por, gx := gxg−1.

d) o núcleo da acção por conjugação direita é o centro do grupo.

2.8.3) Sejam G um grupo finito e A 2 Sub(G). Mostre que, com a acção esquerda gA :=gAg−1, G actua em Sub(G).

2.8.4) Sejam GX um G-conjunto e X µ G. Considere o conjunto

Stab(X) := fg 2 G : 8x 2 X gx = xg .

Mostre que:

a) Stab(X) é um subgrupo de G.

b) se X := G e, actua por conjugação direita, então Stab(X) = CG(X).

2.8.5) Sejam G um grupo finito actuando num conjunto X. Mostre que:

card(Orb(x)) = [G : Stab(x)] =card(G)

card(Stab(x)).

2.8.6) Sejam GX umG-conjunto e considere-se a seguinte relação para todo o elemento x, x0 2X:

x G» x0 () 9g 2 G : gx = x0.Mostre que:

a) G» é uma relação de equivalência em X.

b) a classe de equivalência de um elemento x 2 X é igual à Orb(x).

2.8.7) Sejam G um grupo actuando em X e A v G. Mostre que:

a) A actua em X.

b) x A» y =) x G» y.

2.8.8) Sejam G,H grupos, HX e f 2 Surj(G,H). Verifique se:

a) G actua em X se definirmos a acção por gx := f(g)x.

b) x, y 2 X, então x H» y () x G» y.

2.8.9) Sejam G um grupo, A v G e X o conjunto dos coconjuntos esquerdos de A em G.

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a) Mostre que:

1) G actua em X, para a acção a(xA) := (ax)A.2) Ker(f) =

Tx∈G

xAx−1.

3) Ker(f) é o maior subgrupo normal de G que está contido em A.4) a acção de G sobre X é efectiva se, e só se, A só contêm como subgruponormal de G, f1Gg.

b) Resolva o exercício anterior para uma acção esquerda de G no conjuntoB := fAx 2 P(G) : x 2 Gg definida por g(Ax) := (Ax)g−1.

2.8.10) Sejam GX um G-conjunto, x, y 2 X e Orb(x) = Orb(y). Mostre que:

card(Stab(x)) = card(Stab(y)).

2.8.11) Sejam GX e GY dois G-conjuntos. Mostre que X £ Y é um G-conjunto definindo aacção esquerda do seguinte modo: 8(x, y) 2 X £ Y , g(x, y) := (gx, gy).

2.8.12) Sejam X,Y dois G-conjuntos e se definirmos a seguinte relação de equivalência paratodo o elemento de X £ Y por:

(x, y)ρ(x0, y0)() 9g 2 G : gx = x0 ^ gy = y0.

Mostre que X×Yρé um G-conjunto.

2.8.13) Mostre que GX induz uma acção esquerda no conjunto potência P(X) definindo-separa um elemento A 6= ;, a acção por

gA := fgx 2 X : x 2 Ag e g; := ;.

2.8.14) Sejam X, Y conjuntos e G um grupo finito actuando à esquerda em X. Mostre que Gactua à esquerda em Y X se definirmos para cada aplicação f 2 Y X , g 2 G, x 2 X aacção por gf := f(g−1x).

2.8.15) Sejam G,H grupos, X, Y conjuntos disjuntos e GX,H Y . Mostre que G£H actua em

X·[ Y se definirmos a acção por, para todo o x 2 X ·[ Y½

(g, h) x := gx, se x 2 X(g, h) x := hx, se x 2 Y .

2.8.16) Sejam K[x] um espaço vectorial sobre o corpo K e G actua à esquerda em K. Mostreque G actua à esquerda em K[x] se para todo o g 2 G e p 2 K[x] definimos a acçãopor:

gp := ga0 + (ga1)x+ ¢ ¢ ¢+ (gan)xn.

31

2.9. Grupos-p e grupos de Sylow

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3. Estruturas livres e apresentações

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Bibliografia

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