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TÍTULO: Determinação de flechas imediatas

de protótipos de lajes pré-moldadas treliçadas utilizando a expressão de Branson

AUTOR(ES): Santos, Marcos Rebuá dos; Trigo, Ana Paula Moreno; Akasaki, Jorge Luís; Melges, José Luiz Pinheiro; Bertolino Júnior, Renato; Fioriti, Cesar Fabiano

ANO: 2012 PALAVRAS-CHAVE: Laje pré-moldada

treliçada; Concreto Armado; Norma; Modelagem numérica

e-Artigo: 060 – 2012

ANAIS DO 51º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2009 – 51CBC0145 1

Determinação de flechas imediatas de protótipos de lajes pré-moldadas treliçadas utilizando a expressão de Branson

Determination of instantaneous displacements on simple lattice joist precast slab prototypes using the Branson expression

Santos, Marcos Rebuá dos (1); Trigo, Ana Paula Moreno (2); Akasaki, Jorge Luís (3); Melges, José Luiz Pinheiro (3); Bertolino Júnior, Renato (3); Fioriti, Cesar Fabiano (4)

(1) Aluno de Mestrado, Engenharia Civil, UNESP-Ilha Solteira

(2) Aluna de Doutorado, Escola de Engenharia de São Carlos, USP (3) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, UNESP-Ilha Solteira

Alameda Bahia, 550, 15385-000, Ilha Solteira-SP (4) Professor Doutor, Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, UNISALESIANO

Resumo

Neste trabalho, resultados experimentais relacionados a flechas imediatas de protótipos de lajes pré-moldadas treliçadas biapoiadas são comparados com resultados numéricos obtidos por meio de diferentes modos de utilização da expressão de Branson, que é a usada pela NBR 6118:2003. Foram feitas as seguintes análises: aplicação da expressão considerando-se o elemento estrutural como um todo (“Branson - Norma”); aplicação da expressão, com o auxílio do sistema computacional Ansys, para cada elemento finito gerado pela subdivisão do elemento estrutural (“Branson - Discretizado”); aplicação das expressões do momento de fissuração e dos momentos de inércia nos estádios I e II, com o auxílio do sistema computacional Ansys, para simular a rigidez de cada elemento finito gerado pela subdivisão do elemento estrutural (“Ansys - Estádios I e II”). Considerando-se o Estado Limite de Serviço (ou de Utilização), os métodos de “Branson - Norma” e “Ansys - Estádios I e II” apresentaram resultados a favor da segurança, considerando-se, nos cálculos, o momento de fissuração obtido conforme as recomendações da NBR 6118:2003. Caso seja considerado o momento de fissuração obtido experimentalmente, os resultados tornam-se contrários à segurança. Com relação ao método “Branson - Discretizado”, os resultados não foram satisfatórios em função da grande rigidez conferida à estrutura por este tipo de modelagem numérica.

Palavra-Chave: laje pré-moldada treliçada; concreto armado; norma; modelagem numérica

Abstract

In this work, experimental results related to instantaneous vertical displacements of bi-supported lattice joist precast slab prototypes are compared with numerical results obtained through different ways to use the Branson theory, which is the recommended one by the brazilian code (NBR 6118:2003). The different ways that the Branson theory was applied were: application of the expression considering the whole structural element (“Branson - Code”); application of the expression, with the help of a finite element software (Ansys), in each finite element produced by the subdivision of the structural element (“Branson - Discretized”); application of the expressions of the cracking moment and the of the moments of Inertia of section in states I and II, with the help of a finite element software (Ansys), in each finite element produced by the subdivision of the structural element (“Ansys - States I and II”). Considering the serviceability requirements and the cracking moment obtained according to the recommendations of the NBR 6118:2003, the methods of “Branson - Code” and “Ansys - States I and II” showed safe results. But if it is considered the experimentally obtained cracking moment, the results were not appropriated. Regarding the “Branson - Discretized” method, the results were not satisfactory due to the higher stiffness provided to the structure by this type of numerical modeling.

Keywords: lattice joist precast slabs; reinforced concrete; code; numerical modeling


1 Introdução

Com a evolução da informática e com o surgimento de novos materiais, novas técnicas construtivas e novos modelos de cálculo têm sido desenvolvidos. Como exemplo, têm-se as lajes pré-moldadas treliçadas, que, para determinadas situações, podem substituir a laje maciça com as seguintes vantagens: capacidade para vencer vãos maiores com um menor volume de concreto, menor volume de fôrmas, reduções do peso próprio e do tempo de execução. Um estudo relacionado a lajes pré-moldadas treliçadas, com e sem resíduos de borracha de pneu adicionados no concreto complementar da capa e das nervuras, foi realizado por Trigo (2008), que analisou os deslocamentos do vão central, comparando-os com os limites indicados pela NBR 6118:2003. São apresentados, neste trabalho, diferentes modos de aplicar a expressão de Branson, comparando os resultados numéricos com os resultados experimentais obtidos para os protótipos com concreto complementar sem a adição de resíduos.

2 Metodologia

2.1 Apresentação dos ensaios experimentais

Trigo (2008), por meio de ensaios experimentais realizados no Núcleo de Ensino e Pesquisa da Alvenaria Estrutural (NEPAE), da UNESP - Campus de Ilha Solteira, estudou o deslocamento do vão central de três lajes pré-moldadas treliçadas unidirecionais, de mesma dimensão, biapoiadas, com cargas linearmente distribuídas aplicadas na capa e a 70 cm dos apoios (Figura 1a). A seção transversal das lajes está mostrada na Figura 1b. O comprimento e o vão teórico das lajes foram de, respectivamente, 210cm e 200cm. O detalhe que diferenciou cada uma das lajes foi a instrumentação usada para a determinação dos deslocamentos e das deformações no concreto e na armadura. Em uma das lajes, foram usados somente relógios comparadores (P1); em outra, foram usados relógios comparadores e extensômetros colados ao concreto (P2); na última laje, além de relógios comparadores e de extensômetros colados ao concreto, foram usados, ainda, extensômetros colados à armadura (P3).

(a) (b)

Figura 1 – Vista de um protótipo e dimensões (em cm) da seção transversal (TRIGO, 2008).


Foram utilizados dois tipos de concreto: um com cimento CPII E 32, para o concreto complementar, e o outro, com CPV ARI Plus, para a confecção das vigotas pré-moldadas treliçadas. Os dois concretos foram dosados de modo a se obter uma resistência característica à compressão (fck) mínima de 20 MPa, aos 28 dias, e um

abatimento de 7±1 cm. A Tabela 1 apresenta os resultados das características físicas e mecânicas do concreto complementar utilizado nos protótipos P1, P2 e P3.

Tabela 1 – Características físicas e mecânicas do concreto complementar utilizado nos protótipos.

Protótipo

Resistência à Compressão (MPa)

Resistência à Tração (MPa)

Módulo de Elasticidade (GPa)

Massa Específica

(kg/m3)

Teor de Ar Incorporado

(%)

7 dias 28 dias 7 dias 28 dias 7 dias 28 dias

P1 15,58 21,68 2,29 3,12 22,37 26,37 2 389,31 3,9

P2 e P3 18,33 27,57 2,47 3,44 26,57 30,95 2 382,74 4,1

Fonte: TRIGO, 2008.

2.2 Expressão de Branson

2.2.1 Modelo adotado pela NBR 6118:2003 (“Branson - Norma”)

A avaliação da flecha imediata foi feita com base na expressão de Branson, indicada pela NBR 6118:2003, que é específica para vigas; para poder aplicá-la aos protótipos ensaiados, considerou-se a seção transversal das lajes pré-moldadas treliçadas como sendo igual à seção transversal de vigas “T”. Neste trabalho, esta modelagem foi definida como “Branson - Norma”. A expressão de Branson é apresentada na Equação 1, que considera uma rigidez equivalente e constante ao longo de todo o elemento estrutural. Essa rigidez é obtida pela interpolação direta das rigidezes entre os estádios I e II puro, conforme Santine (2005). Na Figura 2, pode-se observar o surgimento de fissuras quando o momento atuante da seção mais solicitada (Ma) é maior do que o momento de fissuração (Mr).

Figura 2 - Comportamento de um elemento estrutural quando solicitado à flexão simples.


ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq IEI

M

M1I

M

MEEI

(Equação 1)

onde: Ic = momento de inércia da seção transversal bruta de concreto; III = momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II; Ma = momento fletor máximo na seção analisada; Mr = momento de fissuração do elemento estrutural; Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto. O cálculo do deslocamento no vão central da laje é realizado pela Equação 2, baseada na teoria da Resistência dos Materiais, de acordo com o esquema estático representado na Figura 3.

eq

22

maxEI24

a43aPv

(Equação 2)

Figura 3 - Esquema estático do ensaio experimental realizado.

2.2.2 Aplicação da expressão de Branson utilizando o programa ANSYS® (“Branson – Discretizado”)

A consideração do comportamento não-linear das lajes foi realizada através do software ANSYS® (versão 11.0), que trabalha com o método dos elementos finitos. Foi utilizada a linguagem APDL, que segue o padrão de uma linguagem de programação. Para considerar a não-linearidade da laje, ao invés de se considerar uma diminuição do valor do momento de inércia da seção transversal, quando o momento de fissuração é atingido, foi feita uma redução no módulo de elasticidade. Este procedimento foi adotado em função se ter uma melhor facilidade na programação e na atualização do valor da rigidez do elemento estrutural. A modelagem através da linguagem APDL foi dividida em quatro partes, conforme mostra o fluxograma apresentado na Figura 4: entrada de dados; aplicação das características e geração das tabelas; carregamento inicial; carregamento incremental. Esta modelagem numérica foi definida, neste trabalho, como “Branson - Discretizado”. Droppa e El Debs (2001) destacam que o carregamento incremental considera que em cada etapa de carga, há linearidade entre esforços e deslocamentos. Deste modo, com certo número mínimo de etapas de carregamento, adapta-se o problema não-linear em uma soma de parcelas lineares. Quanto maior for o número de etapas de


carregamento, mais precisa será a avaliação. Neste trabalho, foram adotadas 20 etapas de carregamento, suficientes para garantir uma precisão adequada aos resultados. Na Figura 5, tem-se a divisão da laje em 20 elementos lineares finitos apenas para facilitar a visualização, uma vez que, na realidade, a laje foi dividida em 40 elementos. O tipo de elemento finito usado para simular a laje foi o BEAM3-2D, mostrado na Figura 6. Este elemento é bidirecional, com três graus de liberdade em cada nó, com translação em X e Y, e rotação em torno do eixo Z. Para definir as características da seção transversal foram necessários fornecer apenas os valores da área, do momento de inércia e da altura da laje.

Figura 4 – Fluxograma do esquema utilizado na linguagem APDL do software ANSYS

®.

Figura 5 –Divisão da laje em elementos lineares finitos.

Figura 6 – Elemento finito: Beam3 - 2D


Na etapa do carregamento incremental, para cada elemento discretizado da laje, foi feita a atualização do módulo de elasticidade utilizando-se a Equação 3, que está em função do respectivo momento máximo atuante no elemento, referente à etapa anterior.

csc

II

3

a

rc

3

a

rcs

eq EI

IM

M1I

M

ME

E

(Equação 3)

2.2.3 Aplicação da formulação dos estádios I e II com o auxílio do programa ANSYS® (“Ansys – Estádios I e II”)

Logo no início da aplicação do carregamento, o elemento estrutural apresenta uma rigidez da seção transversal constante, que se deve à pequena magnitude dos esforços solicitantes, gerando um comportamento linear. Após o início da fissuração, ocorre uma diminuição dessa rigidez. O cálculo do momento de fissuração (Mr) e do momento de inércia quando fissurado (III) são determinados através das Equações 4 e 5, respectivamente. A expressão 5 refere-se a uma seção “T” com comportamento de seção retangular, ou seja, quando a linha neutra corta a mesa da seção transversal. Deste modo, utilizou-se novamente a linguagem APDL e o fluxograma apresentado na Figura 4 para representar o comportamento de cada elemento finito da laje na seguinte condição: quando o momento atuante em um determinado elemento fosse maior que o momento de fissuração, adotava-se, para este elemento, o momento de inércia fissurado (III); caso contrario, adotava-se o momento de inércia da seção transversal bruta de concreto (Ic). Esta modelagem numérica foi denominada, neste trabalho, de “Ansys - Estádios I e II”.

t

cctr

y

IfM

(Equação 4)

2

isie

3f

II xdA3

xbI (Equação 5)

onde:

= 1,5 para seções retangulares ou 1,2 para seções T ou duplo T; yt = distância do centro de gravidade da seção bruta à fibra mais tracionada; fct = resistência à tração direta do concreto; As = área de aço;

e = Es / Ecs;

Es = módulo de elasticidade de aço, considerado como sendo igual a 21 000 kN/cm2.


2.2.4 Influência das ações permanentes no cálculo dos deslocamentos Nos ensaios realizados por Trigo (2008), os relógios comparadores foram colocados após o posicionamento da laje no local do ensaio e também após a colocação dos perfis metálicos usados para transferir o carregamento à estrutura. Com isso, os deslocamentos medidos estão relacionados somente com a carga aplicada pelos macacos, não sendo consideradas as flechas iniciais provocadas pelo peso dos perfis e nem pelo peso próprio da laje. No método de Branson, a rigidez está diretamente ligada ao momento atuante na seção transversal e ao momento de fissuração. Para levar em consideração os efeitos do peso dos perfis e do peso próprio das lajes na redução da rigidez do elemento estrutural, existem duas alternativas que geram resultados completamente diferentes: subtrair esses momentos fletores permanentes do momento de fissuração ou somá-los aos momentos atuantes provocados pela aplicação da força pelos macacos hidráulicos. Considerou-se que é preferível somar os momentos permanentes ao momento atuante na seção transversal do que diminuir o valor do momento de fissuração, que é uma característica mecânica do concreto utilizado. Deste modo, nos gráficos apresentados na Figura 7, pode-se observar que a curva não se inicia na origem, mas sim em um ponto correspondente a um momento igual a 77 kN.cm. Pode-se observar ainda que o procedimento adotado apresentou um comportamento mais próximo do resultado experimental, principalmente para uma relação flecha/vão igual a 0,004, que, por sua vez, corresponde ao Estado Limite de Serviço, segundo a NBR 6118:2003.

(a) (b)

(c)

Figura 7 – Branson com Ma somado e com Mr subtraído, aplicados aos protótipos P1 (a), P2 (b) e P3 (c).


3 Apresentação e análise dos resultados

Apresentam-se, nas Tabelas 2 e 3, as características geométricas e mecânicas dos protótipos ensaiados, respectivamente.

Tabela 2 – Características geométricas dos protótipos P1, P2 e P3.

Área ( Ag, em cm²) 397

Altura (h, em cm) 9,5

Altura útil (d, em cm) 8,3

Altura da mesa (hf, em cm) 3,5

Cobrimento superior (d', em cm) 1,6

Largura da mesa (bf, em cm) 86

Largura da nervura (bw, em cm) 8

Momento de inércia da seção bruta (Ic, em cm4) 2 237,5

Centro geométrico da seção bruta, conforme eixo y

(distância ycg, em relação à borda comprimida, em cm) 2,9

Área de aço tracionada (Ast, em cm²) 0,55

Área de aço comprimida (Asc, em cm²) 0,56

Tabela 3 – Características mecânicas calculadas e obtidas experimentalmente, usadas para aplicar o método de Branson aos protótipos P1, P2 e P3.

Protótipo P1 P2 P3

Resistência média à compressão (fcm, em kN/cm²) 2,168 2,757

Resistência à tração axial (fct,m, em kN/cm²) 0,233 0,274

Módulo de elasticidade concreto (Ec, em kN/cm²) 2 607 2 940

Módulo de elasticidade secante (Ecs, em kN/cm²) 2 216 2 499

Momento de inércia estádio II (III, em cm4) 308,3 276,2

Momento de fissuração calculado (Mr, em kN.cm) 94,9 111,4

Momento de Ruína Calculado (em kN.cm) 285,7 288,3

Momento de Ruína Experimental (em kN.cm) 357,6 293,3 380,41

Domínio de cálculo 2ª

Resistência característica do aço (fym, em kN/cm²) 60

Módulo de elasticidade aço (Es, em kN/cm²) 21 000


A definição do instante em que os relógios comparadores são retirados e o valor do momento de fissuração experimental, ou seja, aquele a partir da qual o comportamento do protótipo deixa de ser linear, podem ser obtidos por meio do gráfico que relaciona o deslocamento ao tempo de duração do ensaio, devidamente adaptado. Nas duas situações, observam-se mudanças bruscas na inclinação da curva (Figura 8).

Figura 8 – Exemplo do gráfico “Tempo x deslocamento” usado para a análise do protótipo P1

Nas Figuras 9, 10 e 11, além das flechas consideradas até o instante em que os relógios são retirados, também são apresentados os momentos correspondentes à ruína dos protótipos P1, P2 e P3, respectivamente (Mrup.).

Para os protótipos P1 e P3, os relógios comparadores foram retirados antes da ruína, quando os momentos fletores atingiram os valores 342,3 kN.cm, e 364,7 kN.cm, respectivamente. Já para o protótipo P2, a ruína ocorreu antes que os relógios fossem retirados, correspondendo a um momento fletor atuante na seção mais solicitada igual a 290,3 kN.cm. Considerando-se, no cálculo das flechas, o valor do momento de fissuração obtido segundo as recomendações da NBR 6118:2003, pode-se observar, com base nas Figuras 9, 10 e 11, que até que o Estado Limite de Serviço fosse atingido, correspondendo a uma relação flecha/vão igual a 0,004, os métodos “Branson - Norma” e “Ansys - Estádios I e II” forneceram resultados adequados, uma vez que este estado limite foi atingido para momentos fletores, que atuavam na seção relativa ao meio do vão, menores que os observados nos ensaios experimentais. Tomando-se como referência os valores dos momentos fletores experimentais correspondentes ao Estado Limite de Serviço, o método “Branson - Norma”, aplicado aos protótipos P1, P2 e P3, apresentou valores menores, sendo essas diferenças percentuais iguais a 2%, 5% e 16%, respectivamente. Já para o “Ansys - Estádios I e II”, essas diferenças foram maiores, sendo iguais a 9%,13% e 23%, respectivamente.


Observou-se que o método “Branson - Discretizado” apresentou valores maiores que os experimentais, sendo estas diferenças percentuais da ordem de 28% e 12%, para os protótipos P1 e P3, respectivamente. No protótipo P2, esta comparação percentual não pode ser feita porque, segundo o método “Branson - Discretizado”, a laje somente atingiria o Estado Limite de Serviço com momentos fletores muito elevados.

Figura 9 – Resultados do protótipo P1, considerando-se o valor de Mr calculado.




Nas Figuras 12, 13 e 14, mostram-se os resultados relacionados à substituição dos valores dos momentos de fissuração calculados conforme as recomendações da NBR 6118:2003 pelos obtidos através dos ensaios experimentais, apresentados na Tabela 4.

Tabela 4 – Valores dos momentos de fissuração calculados e obtidos experimentalmente

Momentos (kN.cm)

Protótipos P1 P2 P3

Mr calculado 94,87 111,36 111,36

Mr experimental 135,33 192,33 193,78

Para os protótipos 1 e 3, respectivamente, e para uma relação flecha/vão igual a 0,004, o método “Ansys - Estádios I e II” apresentou momentos fletores 6% e 1% acima dos valores experimentais enquanto que para o método “Branson - Norma” esses valores foram iguais a 13% e 10%. Já para o protótipo P2, esses métodos não permitiram a comparação com os resultados experimentais. Destaca-se que o método „Branson - Discretizado” não apresentou resultados adequados para nenhum dos protótipos. A Tabela 5 fornece os valores dos momentos fletores correspondentes ao Estado Limite de Serviço, para os três modelos ensaiados.


Tabela 5 – Valores dos momentos atuantes quando o Estado Limite de Serviço é atingido.

Momentos atuantes (kN.cm)

Experimental

P1 256,62

P2 287,42

P3 325,37

Métodos Protótipos Mr

calculado Mr experimental

Branson

P1 251,45 290,14

P2 272,78 ---- *

P3 272,79 357,77

ANSYS

P1 232,38 271,26

P2 250,49 ---- *

P3 250,21 329,37

Branson discretizado

P1 329,34 ---- *

P2 ---- * ---- *

P3 364,68** ---- *

* este valor atingiria o estado limite de Serviço com um momento fletor muito elevado em relação ao momento fletor experimental.

Figura 12 – Resultados do protótipo P1 com Mr experimental.




4 Conclusões

Considerando-se uma relação flecha/vão igual a 0,004 e utilizando-se o momento de fissuração calculado, os métodos “Ansys - Estádios I e II” e “Branson - Norma” apresentaram valores de momentos fletores, referentes à seção do meio do vão, menores que os experimentais, estando, deste modo, a favor da segurança. Para o método “Branson - Norma”, os valores obtidos foram da ordem de 2%, 5% e 16% inferiores aos valores experimentais, referentes aos protótipos P1, P2 e P3, respectivamente. Para o


método “Ansys - Estádios I e II”, esses valores foram maiores, sendo da ordem de 9%, 13% e 23%, respectivamente. No entanto, se for considerado no cálculo o valor do momento de fissuração obtido experimentalmente, ao invés do momento de fissuração calculado, os métodos “Ansys - Estádios I e II” e “Branson - Norma” passam a apresentar valores contrários à segurança. Esses valores, segundo o método “Branson - Norma” foram da ordem de 13% e 10% para os protótipos P1 e P3, respectivamente. Já para o método “Ansys - Estádios I e II”, esses valores foram da ordem de 6% e 1%, respectivamente. No protótipo P2, a comparação percentual entre os valores, quando utilizado o Mr experimental, não pode ser feita em função de que o valor do momento fletor previsto pelos métodos, para o Estado Limite de Serviço, seria muito maior que o valor do momento experimental observado. Para o ensaio realizado, a influência do momento permanente na diminuição da rigidez da seção transversal, com base na expressão de Branson, foi quantificada somando-se o valor desse momento ao valor do momento fletor atuante gerado pelo carregamento ao invés de diminuir o valor do momento de fissuração do elemento estrutural. O método “Branson – Discretizado” forneceu valores inadequados, considerando-se que o mesmo forneceu uma rigidez muito elevada ao elemento estrutural. Por fim, observa-se que, com relação ao cálculo das flechas imediatas, tanto o método “Branson - Norma” como o “Ansys - Estádios I e II”, utilizando-se o valor do Mr calculado, apresentaram valores compatíveis com a segurança e com a economia.

5 Agradecimentos

À CAPES, pela bolsa de mestrado concedida ao primeiro autor. Ao Prof.Dr. Roberto Chust Carvalho, da Universidade Federal de São Carlos, pelas sugestões apresentadas por ocasião do exame de qualificação do primeiro autor.

6 Referências

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: projeto de estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2003.

DROPPA JÚNIOR, A; EL DEBS, M. K. Análise não-linear de lajes pré-moldadas com armação treliçada: comparação de valores teóricos com experimentais e simulações numéricas em painéis isolados. São Carlos: USP, 2001. p. 105-120. (Cadernos de Engenharia de Estruturas, 17).

SANTINE, C.R. Projeto e construção de lajes pré-fabricadas de concreto armado. 2005, 165f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005.

TRIGO, A. P. M. Estudo de lajes com adição de resíduo de pneu. 2008, 110f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Universidade Estadual Paulista, 2008.

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