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TÍTULO: Momento-curvatura em Seções de

Concreto Protendido

AUTOR(ES): Buchaim, Roberto ANO: 2012 PALAVRAS-CHAVE: Concreto Protendido;

Flexão Simples; Armadura Simples; Seção retangular; Momento-curvatura

e-Artigo: 059 – 2012

ENTECA 2011 VIII Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura 8 - 10 Novembro 2011 ISSN 1808-3625

MOMENTO-CURVATURA EM SEÇÕES DE CONCRETO PROTENDIDO

Roberto Buchaim 1

RESUMO

Mostra-se neste trabalho a obtenção da relação momento-curvatura nos Estádios I, II e III, na flexão

simples de seções retangulares com armadura simples, visando aplicações nos Estados Limites de

Serviço e Últimos, e, ainda, em ensaios de laboratório para a determinação da carga última e

correspondentes deformações. O foco da solução está na determinação da precedência de uma

deformação notável, no aço ou no concreto, atingida em alguma fase de solicitação da seção, o que

é facilitado pela adoção de uma lei constitutiva bilinear também para o concreto, que atenda às

mesmas três fases com suficiente precisão. Com isto, não há necessidade de iteração na solução

numérica. Para essa relação determinam-se todos os pontos notáveis e os trechos entre eles. As

figuras apresentadas abrangem os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o

concreto ainda elástico, ruptura do aço e o concreto já plastificado, ruptura do concreto e o aço já

plastificado, e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico. Mostra-se também a

comparação das curvas momento-curvatura obtidas com duas leis do concreto: a parábola-

retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear adotada neste trabalho.

Palavras-chave: Concreto protendido. Flexão simples. Armadura simples. Seção retangular.

Momento-curvatura.

1 Prof. Dr., Universidade Estadual de Londrina-UEL, Cento de Tecnologia e Urbanismo-CTU, Departamento

de Estruturas, [email protected]

Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 2

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho em concreto protendido abrange um trabalho anterior em concreto

armado (BUCHAIM, 2005) e refere-se à obtenção do diagrama momento-curvatura nos Estádios I,

II e III, antes e após a fissuração, antes e após o escoamento de um ou de ambos os materiais. O

problema é particularizado para a flexão simples de seções retangulares com armadura simples. A

obtenção dos pontos do diagrama, à medida que cresce a curvatura, fica facilitada por meio da

adoção de leis constitutivas bilineares para ambos os materiais, e pela determinação prévia de qual

deformação notável, no aço ou no concreto, tem precedência ao longo da seqüência crescente de

curvaturas. Esta seqüência é definida entre os seguintes eventos: a fissuração da borda oposta

àquela em que se posiciona a armadura protendida (evento tomado como início do diagrama), a

fissuração da borda próxima a essa armadura, a plastificação de um dos dois materiais ou de ambos

e a ocorrência de uma deformação limite, no aço ou no concreto. Admite-se haver aderência entre

as barras da armadura e o concreto circundante, e armadura longitudinal mínima, de forma a

impedir com segurança o seu escoamento imediatamente após a fissuração. As hipóteses adotadas

permitem resolver o problema sem iteração na equação da força normal, usada para obter a

profundidade da linha neutra correspondente a uma curvatura escolhida dentro da mencionada

seqüência. Posto o problema em sua forma mais simples, pode-se destacar outros aspectos

importantes e mais gerais – ressaltados ao longo da explanação –, enfatizando-se que o foco deste

trabalho, evidentemente, está nos Estádios II e III.

2. LEIS CONSTITUTIVAS. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE E DE EQUILÍBRIO

A Figura 1 mostra as leis constitutivas adotadas para ambos os materiais.

Figura 1 – Leis constitutivas dos materiais

Para o concreto tem-se, cf. Figura 1(a):

0c : ccsc E se csccyc Efabs )( , e cc f se lim,)( cccy abs

0c : flctccsc fE ,

(1a)

(1b)

em que:

cf : resistência do concreto, a definir conforme a finalidade do diagrama momento-

curvatura. Em ensaios (rápidos), adota-se o valor médio da resistência cmf medida

σc

ec

Ecs

-fc

-ec,lim -ec,y

fct

fpy

Ep

1

1

ep,y ep,lim

ep

σp

(a): Concreto (b): Aço de protensão


experimentalmente, no projeto substitui-se cf por 8 ckcm ff em MPa, cf. o CEB-FIP

MODEL CODE 1990 (MC90). No dimensionamento da seção, usa-se no lugar de cf o

valor de cálculo cckf /85,0 . Para deformabilidade do concreto em caso de efeitos de

segunda ordem, cf é substituído por 2,1/ckf , cf. o MC90 ou 27,1//1,1 ckcck ff , cf. a

NBR 6118: 2004.

csE : módulo de elasticidade secante do concreto, igual a ccs fE 560085,0 , em MPa;

cy : encurtamento do concreto no início do patamar de escoamento, 0cy ;

lim,c : encurtamento limite do concreto, 0lim, c ;

])100

(5,1[])100

(5,11[ 7,07,0

,

hhff ctflct : resistência do concreto à tração na flexão;

h : altura da seção em mm;

ctf : resistência à tração axial do concreto (quantil estabelecido conforme a análise).

A resistência flctf , em função da altura da seção está dada no MC90 e também no

BULLETIN 55: MODEL CODE 2010. O módulo csE pode ser adaptado às leis bilineares indicadas

para dimensionamento de seções transversais (não apenas retangulares) tanto no EUROCODE 2,

quanto no BULLETIN 55: MODEL CODE 2010 (neste último, para concretos até Classe 120),

fazendo-o igual ao quociente entre a resistência atribuída ao concreto no patamar de escoamento e a

deformação do início desse patamar, conforme sejam os valores adotados nessas duas referências. O

mesmo pode ser feito, para o caso de deformabilidade do concreto para efeitos de segunda ordem,

como mencionado acima.

Para o aço tracionado, tem-se, cf. Figura 1(b):

ppp E se pyp

pyp f se lim,pppy

(2a) (2b)

em que:

pyf : resistência ao escoamento do aço de protensão. Em ensaios, usa-se o valor médio

dessa grandeza, medido experimentalmente. No projeto, troca-se pyf

pelo valor

característico pykf na deformabilidade

e por spykpyd ff / no dimensionamento da seção;

pE : módulo de elasticidade do aço de protensão, medido experimentalmente, ou igual a

GPa200 , cf. a NBR 6118: 2004;

ppypy Ef : alongamento do aço de protensão no início do patamar de escoamento;

lim,p : alongamento limite do aço de protensão, igual ao valor característico último,

35puk ‰ para cordoalhas de 7 fios, cf. a NBR 7483, e igual ao valor do alongamento

plástico residual, após a ruptura, medido no comprimento da barra igual a dez diâmetros,

605010 ou ‰ para fios, cf. a NBR 7482. No dimensionamento, deve-se tomar 10 ‰

somado ao valor de cálculo do alongamento de neutralização (ou pré-alongamento),

geralmente após as perdas progressivas de protensão, ou seja, pnp plim, ‰10 , e

.9,0p Ver a seguir a definição de pn .

Conforme mostra a Figura 2, as deformações distribuem-se linearmente ao longo da altura da seção.


Figura 2 – Seção transversal em flexão composta normal: geometria, deformações e

esforços solicitantes

As equações de compatibilidade – válidas para os três Estádios – ligando as deformações à

curvatura da seção, pondo d 310 , 310 e dx / , resultam iguais a:

xdxxd

p

cy

cyccp

11

110

11

3 p

cy

cyccpd

(3a)

(3b)

em que:

: curvatura da seção, igual ao gradiente das deformações da seção, dzd ;

d 310 : curvatura adimensional;

pnpp : acréscimo de deformação na armadura protendida a partir do estado nulo de

deformação na seção (ou estado de neutralização); p é a deformação total na armadura

protendida. pn é o alongamento de neutralização (ou pré-alongamento), na pré-tração igual

ao alongamento da armadura na pista de protensão. Se for considerada a perda progressiva

de protensão, 0 rcshP , por retração ( sh ) e fluência ( c ) do concreto, e pela relaxação ( r )

do aço, a esse alongamento soma-se algebricamente a queda de alongamento dada por

)],1([ 11 pprcsh AEP com )1( 2

11 iippp IAz ;

cspp EE : coeficiente de equivalência;

ipp AA : taxa geométrica da armadura referida à área da seção homogênea;

1c : deformação (encurtamento) do concreto na borda mais comprimida;

x : profundidade da linha neutra, ou distância da linha neutra à borda correspondente ao

encurtamento 1c ;

cyx : distância entre a linha neutra e a fibra correspondente ao encurtamento cy ;

d : altura útil da seção;

z : ordenada, a partir do eixo ideal da seção homogênea, positiva para baixo;

A força de protensão pnppn AEP , aplicada na seção homogênea, e os esforços solicitantes

do carregamento ),( MN , produzem as deformações no Estádio I:

zIE

zPM

AE

PNz

ics

pn

ics

nii

(4)

d

b

h

Ap pnpp

1c

N

M

cyx cy

Eixo da seção homogênea (ou

ideal)

i-i x

zp

1z

2z z>0

ii

ziic

2c


No presente caso de flexão simples tem-se 0N , com o que o carregamento consegue

anular apenas a curvatura, mas não o encurtamento axial. A fissuração da seção é atingida nas

bordas superior e inferior quando ocorrer, em cada uma delas, a deformação csflct Ef /, . Com isto,

obtêm-se de (4) os momentos de fissuração e respectivas curvaturas:

1,21, )( iflctpncr WfzkPM , icspncr

I IEzPMcr

)( 1,1,

2,12, )( iflctpncr WfzkPM , icspncr

I IEzPMcr

)( 2,2,

(5) e (6)

(7) e (8)

Nas Equações (4) a (8), iA , iI

e 0,0 22,11, zIWzIW iiii ,

0,0 1221 zAIkzAIk iiii são, respectivamente, a área, o momento de inércia, os módulos

de resistência das bordas e as distâncias nucleares superior e inferior, referidos à seção homogênea.

Nos Estádios II e III, as equações de equilíbrio consideram a possibilidade de plastificação

dos materiais [ )/( 2

cfbdM é o momento adimensional]:

cypypppc xxsefAouAbx

12

(9a)

cypyppp

cy

c xxsefAouAx

xbf )2

( (9b)

cypypcc xxsex

dfAoux

dbx

fbdM )3

()3

(2

1

2 (10a)

cycy

cycy

cycc xxsexxdxxx

dxxbffbdM

)]3

2(

2)

2)([(2 (10b)

3. INÍCIO DA PLASTIFICAÇÃO DOS MATERIAIS. ÚLTIMO PONTO DA CURVA )(M

Através de quatro estados de deformação na seção transversal, obtêm-se quatro forças

normais (positivas se tração), propriedades da seção, a serem comparadas com a força normal

efetivamente atuante na seção, 0N . Os quatro estados decorrem das seguintes deformações na

borda comprimida e na armadura: (a):

),( pycy , (b): ),( lim,lim, pc , (c): ),( lim,pcy , (d):

),( lim, pyc , com pnpp lim,lim, e pnpypy .

Desta comparação, a condição de força normal pode ser traduzida equivalentemente em taxa

mecânica da armadura, definida por:

)( cpyp bdffA (11)

Dos quatro estados de deformação resultam as seguintes condições.

(a) O aço plastifica-se antes do concreto se y , com:

)](2[ pycycyy (12)


(b) Com ambos os materiais plastificados, o que se dá no intervalo ucup , ver (c) e

(d), o aço atinge seu alongamento limite antes da ocorrência do alongamento limite do

concreto se u , com:

)][]5,0[ lim,lim,lim, pccycu (13)

Se a desigualdade inverter o sentido, o concreto atinge seu encurtamento limite primeiro.

Identificada qual deformação limite tem precedência, resulta uma relação entre a profundidade da

linha neutra e a curvatura do último ponto da relação momento-curvatura, )()( ouM , a saber:

ucuupu ou //1 lim,lim, (14a) e (14b)

Feita a escolha de uma destas equações e substituindo u de cada alternativa, obtêm-se:

/)5,0()1/()5,0( ,lim,,lim, yccuycpu ou (15a) e (15b)

(c) O aço atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do concreto se

up , com:

)](2[ lim,pcycyup (16)

Se valer esta desigualdade obtêm-se a profundidade da linha neutra e a correspondente

curvatura últimas das seguintes equações:

lim,lim, /2,)1()1/41(5,0 pcyupupuupupu come (17) e (18)

(d) O concreto atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do aço se

uc , com:

)][(]5,0[ ,lim,lim, ypccycuc (19)

Analogamente, para esta desigualdade resultam:

)]2(/[2,)1/41(5,0 lim,

2

lim,lim, cycpycucucuucucu come (20) e (21)

A posição da fibra em que se tem cy é simplesmente igual a ucycy / .

4. ESTÁDIOS II E III

No Estádio II é válida a lei de Hooke para ambos os materiais. Desprezando a resistência à

tração do concreto, as duas equações de equilíbrio determinam a posição da linha neutra e o

momento correspondente 2,crMM , escolhida a curvatura dentro da seqüência crescente de

curvaturas.


)3(6

]1)(2

1[ 2

2

cyc

pn

pp

ppfbd

Me (22) e (23)

Para a seção fissurada, a taxa geométrica da armadura é igual a )(bdApp .

Note-se que, no Estádio II, a profundidade da linha neutra decresce com a curvatura

crescente, diferentemente do que acontece no concreto armado. Estas equações resolvem facilmente

o problema, quando se arbitra a curvatura. Entretanto, pode ser necessário obter a profundidade da

linha neutra diretamente do momento fletor, para o que se resolve a seguinte equação cúbica:

066)1(3 23 pn

cy

pn

cy

pn

cy

pp

(24)

Em particular, obtém-se desta equação a profundidade II

cr 2, da linha neutra no Estádio II

correspondente ao momento de fissuração )( 2

2,2,2, ccrcrcr fbdMouM , já obtido no Estádio I.

Com estes dois valores resulta a curvatura:

)3()(6

2,

2

2,

2,2,II

cr

II

cr

cy

cr

II

cr

(25)

No Estádio III, um dos dois materiais ou ambos encontram-se plastificados, e é preciso

separar os casos em que o concreto ou o aço entra primeiro no patamar de escoamento, o que se faz

a seguir.

(a) O concreto plastifica-se antes do aço: )](2[ pycycyy

A profundidade da linha neutra no início da plastificação do concreto resulta da equação

02)1(22 ppcycy

pn

ppcy

. Para 1cypn , a raiz desta equação vale:

ppcy 2 (26)

Variando cypn , obtém-se:

]1

)1(

21)[1(

2

cy

pn

pp

cy

pn

ppcy

(27)

valendo o sinal positivo que antecede o radical se 1cypn , o que é usual para o concreto

protendido. Se, por outro lado, 10 cypn , deve-se considerar o sinal negativo. Para 0pn ,

recai-se na conhecida equação do concreto armado, na qual não há influência da curvatura, nem do

momento fletor. Calculada a profundidade da linha neutra, resulta a curvatura:


cycycy / (28)

Para curvaturas superiores a esse valor, com o aço ainda elástico, obtém-se a equação que

une a linha neutra à curvatura arbitrada:

)](2[)](2[ pypnpycydx (29)

Conhecidas a curvatura e a profundidade da linha neutra, obtém-se /cycy e o

momento de (10b). Continuando a aumentar a curvatura, o aço pode entrar no patamar de

escoamento. Se isto ocorrer, resultam a linha neutra e a correspondente curvatura, com as quais se

obtém o respectivo momento fletor:

py

pypy

pnpycy

pnpycy

pycy

pycypy

py ed

x

1)(2

)(2

2

2 (30) e (31)

Nos pontos subseqüentes da curva )()( ouM , há plastificação de ambos os materiais, e

a relação entre a linha neutra e a curvatura arbitrada resulta da equação:

)2( cydx (32)

O último ponto da curva )()( ouM já foi obtido no item 3.

(b) O aço plastifica-se antes do concreto: )](2[ pycycyy

No início da plastificação do aço, com o concreto ainda elástico, resultam a profundidade da

linha neutra e a respectiva curvatura, com as quais se obtém o momento correspondente, como

segue:

py

pypy

cy

py

py

cypy

py ed

x

1)1

21( (33) e (34)

Para curvaturas subseqüentes e o concreto ainda elástico, as forças internas permanecem

constantes, a profundidade da linha neutra diminui, mas o braço de alavanca aumenta, ainda que

pouco. A relação entre a linha neutra e a curvatura, neste caso, é:

cydx 2 (35)

O início da plastificação do concreto, se ocorrer antes do último ponto, corresponde a:

22 cycycycy edx (36) e (37)

Para curvaturas subseqüentes, o cálculo é o mesmo dado em (a).


5. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E OBSERVAÇÕES FINAIS

A seqüência de cálculo mostrada possibilita obter os vários segmentos da curva

)()( ouM , desde o Estádio I até a fissuração da borda inferior da seção, prosseguindo no

Estádio II até o início da plastificação do concreto, passando pelo início da plastificação do aço, ou

vice-versa, e terminando no ponto correspondente a uma deformação limite em um dos dois

materiais. Alternativamente, pode haver a plastificação de um material apenas, até o último ponto

da mencionada curva, como se mostrou. A Figura 5 dá um exemplo da teoria exposta, abrangendo

os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o concreto ainda elástico (

%05,0p ), ruptura do aço e o concreto já plastificado ( %20,0p ), ruptura do concreto e o aço

já plastificado ( %40,0p ), e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico ( %1p ).

Figura 5 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida,

MPafMPafmmdhb flctc 63,3,30,360/400/200// , , 5,3,07,26 lim, ccs MPaE ,

15,107,26/30, yc , aço CP-190 RB, ,200GPaEp

65,6,10,1710 lim, pnppy MPaf

Nessa figura pode-se ver que: (a) os segmentos no Estádio I são praticamente paralelos, dada

a pequena influência da taxa geométrica da armadura nas características geométricas da seção; (b) o

aumento da taxa da armadura (ou da força de protensão, para o mesmo pré-alongamento) aumenta

ambos os momentos de fissuração, 2,1, crcr MeM ; (c) o salto na curvatura no instante da fissuração

diminui com o aumento da força de protensão; (d) a extensão do patamar de escoamento aumenta

até a taxa mecânica correspondente à ruptura simultânea dos dois materiais, cf. Equação (13). No

exemplo, tem-se %38,01710

30217,0,217,0

105,3

15,15,05,3,5,13

py

cupuu

f

f . Em

seguida, esta extensão diminui para taxas de armaduras maiores; (e) no Estádio II, a relação

momento-curvatura é não-linear, o que fica visível na figura para as duas taxas de armadura

maiores; (f) para taxas muito baixas, o momento de fissuração supera o momento resistente último,

quer dizer, a seção ao fissurar passa, com um salto vertical, diretamente do Estádio I ao III, situação

que deve ser excluída no projeto, com a adoção de armadura mínima.

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

Ap / (bd) = 1 %

Ap / (bd) = 0,40 %

Ap / (bd) = 0,20 %

Ap / (bd) = 0,05 %

Mo

men

to r

esi

sten

te r

ela

tivo

: µ

=M

/(b

d^

2f c

)

fc)

Curvatura relativa: 1000κd


Figura 6 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida,

5,3,07,26,63,3,30,360/400/200// lim,, ccsflctc MPaEMPafMPafmmdhb ,

aço CP-190 RB, %2,0,0/32,5/65,6,10,200 lim, ppnpp GPaE

A Figura 6 mostra para a mesma seção, mantida constante a taxa da armadura %2,0p ,

os resultados para três valores do pré-alongamento, indo desde 0pn (concreto armado), até

65,6pn , passando pelo valor 32,5pn , o qual simula uma perda de protensão de %20 .

Além de observações da figura anterior, pode-se notar ainda: (a) o efeito da protensão

especialmente nos Estádios II e III corresponde a um recuo grande na curvatura da seção protendida

em relação à mesma seção em concreto armado, para o mesmo momento fletor; (b) no trecho final,

em que coincidem as curvas, não há influência do pré-alongamento na resistência da seção, nem na

curvatura do último ponto. Por outro lado, se essa mesma seção fosse armada com CA-50, a taxa

s seria 42,3500/1710/ ykpyk ff vezes maior, para manter a mesma taxa mecânica, donde a

relação de rigidezes à flexão no Estádio II 30,042,3/1)/()( ,, CAIICPII EIEI .

Figura 7 – Momento-curvatura para as leis parábola-retângulo e bilinear (demais dados idem Figura 5)

A Figura 7 mostra, para a mesma seção da Figura 5, as curvas )( resultantes de duas leis

constitutivas do concreto: a parábola-retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear

admitida neste trabalho. O mesmo foi feito para a seção em concreto armado, com taxas 42,3

vezes maiores, embora não apresentado aqui. Como se pode notar, apesar da grande diferença de

valores das deformações do início do patamar da duas leis ( 15,1cy na bilinear e 2cy na

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Parábola-retânguloAp/(bd)=1,0%Bilinear Ap/(bd)=1,0%




Mo

men

to r

esi

sten

te r

ela

tivo

:

M/

(bd

^2fc

)


Mo

men

to r

esi

sten

te r

ela

tivo

:

µ=M

/(b

d^

2 f

c)


parábola-retângulo), as curvas são praticamente coincidentes, tanto em resistência quanto em

deformabilidade. Assim, a lei bilinear adotada para o concreto é tão boa quanto qualquer outra lei

consagrada, com as vantagens adicionais da linearidade.

A seção retangular – muito aplicada nas lajes lisas de edifícios, em radiers, etc. – é por

vezes considerada inadequada para a protensão, uma conclusão baseada apenas em dados do

Estádio I. Entretanto, após a fissuração a seção retangular se aproxima da seção T já no Estádio II, e

mais ainda no Estádio III.

Como se disse antes, as leis constitutivas apresentadas podem ser usadas tanto nos estados

limites de serviço, quanto últimos, em ensaios e na consideração da deformabilidade do concreto,

seja em peças esbeltas, seja na estimativa da capacidade de rotação plástica. No Estado Limite

Último – flexão simples, estão contemplados, através do último ponto da curva )(M , os domínios

2, 3 e 4 da NBR 6118: 2004, conforme seja a deformação limite atingida, 10lim, p ‰, no

domínio 2, e 5,3lim, c ‰ nos domínios 3 (aço plastificado) e 4 (aço elástico). Vale mencionar

novamente que a lei bilinear adotada para o concreto é indicada no Eurocode 2, item 3.1.7.(2) e no

Bulletin 56: Model Code 2010, item 7.2.3.1.5, Figuras 7.2-8 e 7.2-10, para o dimensionamento de

seções transversais (não apenas retangulares) e consideram também as classes de concreto de alta

resistência. Além disso, as equações dadas incluem o concreto armado, bastando anular o pré-

alongamento do aço, e adotar as grandezas referentes ao aço escolhido (CA-50 ou CA-60) no lugar

daquelas usadas para os aços de protensão. Por último, aplicam-se também na pós-tração com

aderência posterior, especialmente nos Estádios II e III, com a definição adequada do pré-

alongamento, uma vez que a peça e a seção correspondente se alteram ao longo de sua construção.

REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de

concreto: procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

_______ – ABNT NBR 7482: Fios de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.

_______ – ABNT NBR 7483: Cordoalhas de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.

BUCHAIM, R. O diagrama momento-curvatura sem iteração. In: V ENCONTRO TECNOLÓGICO DA

ENGENHARIA CIVIL E ARQUITETURA – ENTECA 2005. Maringá. Anais... Maringá: UEM, 2005. CD-

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BUCHAIM, R. Concreto Protendido: Tração Axial, Flexão Simples e Força Cortante. Londrina: Eduel,

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COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. Prestressed concrete basics. Ottawa: Canadian Prestressed Concrete

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