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São Jerônimo Escritor – CaravaggioSão Jerônimo Escritor – Caravaggio

RADIAÇÃO TÉRMICA

E O

POSTULADO DE PLANCK

FÍSICA MODERNA I

“ Consideramos,porém – este é o ponto maisimportante de todo o cálculo– que a energia dososciladores é a soma de umnúmero inteiro de partesiguais ” – Max Planck

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro

b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans

a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann

- Modelo de Wien

RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK


a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda

b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

1. INTRODUÇÃO

Física é uma palavra originária do grego φύσις (lê-se“ physiké ”), e que significa natureza .

Antes do Século XIX a Física era conhecida comoFilosofia Natural , e estudava indistintamente o mundoanimado e o inanimado.

A partir do Século XIX começou a haver divisões deinteresse da Física, tais como a Mecânica , a Termodinâmica ,a Eletricidade e o Magnetismo .

O que é a Física?



A partir do Século XX , podemos dizer que Física é aCiência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais.

Como Ciência , a Física utiliza o Método Científico .

A Física busca, primordialmente, identificar e conheceras leis básicas que regem o Universo .

Para a formulação dos conceitos que regem osfenômenos naturais a Física utiliza a Matemática comolinguagem .

1. INTRODUÇÃO

Do que trata a Física?



NATUREZA

MATÉRIA

RADIAÇÃO(LUZ)

1. INTRODUÇÃO

Universo? Natureza? Mas, o que é a natureza?

Vamos analisar o quadro abaixo e verificar quais são oselementos básicos que constituem a natureza .

Quadro com elementos da

natureza

= +



MATÉRIA

1. INTRODUÇÃO

Formas de se encontrar a matéria na natureza

Até agora o ser humano encontra a matéria em cincoformas distintas na natureza.

Exemplo de sólido

Exemplo de líquido

Exemplo de gás

Exemplo de plasma

Exemplo de condensado de Bose-Einstein - BEC



RADIAÇÃO(LUZ)

1. INTRODUÇÃO

Formas de encontrar a radiação na natureza

Já os vários tipos de radiação se distinguem entre sientre outras coisas, pelas diferentes formas como elas sãoproduzidas.

Luz do Sol - naturalLuz de uma

lâmpada elétrica -artificial

Luz de uma vela – natural

Luz de um LED –“light emitting

diode” – artificial



A matéria apresenta algumas características, às quaisvamos descrever sucintamente abaixo.

1) A matéria é localizável , isto é, observamo-laconcentrada em uma dada região do espaço.

2) A matéria é ponderável , isto é, a ela está associadauma certa quantidade de massa.

3) A matéria tem comportamento corpuscular , isto é, elapode ser compreendida como sendo constituída por umconjunto de partículas.

1. INTRODUÇÃO

Características da matéria



Por sua vez, a radiação apresenta característicasdistintas daquelas da matéria, as quais apresentamos abaix o.

1) A radiação é não-localizável (distribuída ), isto é, elanão pode ser localizada pois está distribuída por todo oespaço.

2) A radiação é imponderável , isto é, não é possívelassociar uma quantidade de massa a ela.

3) A radiação tem comportamento ondulatório , isto é, elapode ser compreendida como sendo transportada por umaonda.

1. INTRODUÇÃO

Características da radiação



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

A dinâmica da matéria era tratada pelas Leis de Newton .

Isaac Newton

Isaac Newton (1643-1727) apresentou as suas leis em seulivro mais famoso, Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica , publicado em 1687.

Como a Física descrevia a matéria no final do Século XIX

Philosophae Naturalis Principia

Mathematica –Frontispício

Trecho do livro Philosophae Naturalis Principia Mathematica



As Leis de Newton , particularmente a 2a Lei de Newton ,resultaram numa melhor compreensão da Mecânica Celeste ,da Mecânica dos Fluidos e da Termodinâmica .


Fenômenos que as Leis de Newton conseguiram explicar

dt

pdF

rr

=

Figura ilustrativa do Sistema Solar

Turbulência na decolagem de um avião Funcionamento de

um motor de combustão interna



A dinâmica da radiação era tratada pelas Equações deMaxwell .

James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou suasequações no livro A Treatise on Electricity and Magnetism ,publicado em 1873.


Como a Física descrevia a radiação no final do Século XIX

A Treatise on Electricity and Magnetism –Frontispício

Trecho do livro A

Tratise on Electricity

and Magnetism



As Equações de Maxwell permitiram uma melhorcompreensão dos fenômenos da Eletricidade , doMagnetismo e da Óptica .


Fenômenos que as Equações de Maxwell explicam

t

DJH

t

BE

B

D

∂∂+=×∇

∂∂−=×∇

=•∇

=•∇

rrrr

rrr

rr

rr

0

ρ

Raios em uma tempestade Polos magnéticos

da Terra

Dispersão da luz branca por

um prisma



1) Emissão de radiação por corpos aquecidos, aRadiação de Corpo Negro .

2) Retirada de cargas elétricas de um corpo sobiluminação, o Efeito Fotoelétrico .


Fenômenos onde ocorre interação entre radiação e matéria

Emissão de radiação por um corpo aquecido

Retirada de cargas elétricas de um corpo

sob iluminação



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

As propriedades do campo de radiação estão associadasao comportamento do campo eletromagnético.

Equações de Maxwell: generalidades

Por sua vez, o campo eletromagnético obedece àschamadas Equações de Maxwell .

As Equações de Maxwell representam o formalismomatemático de uma série de observações experimentaisrealizadas durante o final do Século XVIII até o final doSéculo XIX .

Vamos apresentar rapidamente as quatro Equações deMaxwell , procurando relacionar a observação experimentalcom o formalismo matemático.



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien






1) A Lei de Gauss da Eletricidade baseia-se no fato decargas elétricas atraírem-se ou repelirem-se entre si .

Carl Friedrich Gauss

Lei de Gauss para a Eletricidade

Assinatura de Gauss

Gauss em seu leito de morte em 1855

Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta porCarl Friedrich Gauss (1777-1855), importante cientistaalemão.




A observação experimental correspondente à Lei deGauss para a Eletricidade é devida a Charles Augustin deCoulomb (1736-1806).

Charles Coulomb

Lei de Coulomb

Esquema representativo de forças elétricas

Coulomb observou que corposeletrizados atraem-se ou repelem-se na razãodireta de suas quantidades de carga e narazão inversa do quadrado de suas distâncias.

rd

QQKF ˆ

221 ⋅⋅⋅=

r




Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo aslinhas de campo elétrico nas vizinhanças de cargas elétricas .

Linhas de campo elétrico para carga positiva e negativa

Linhas de campo elétrico ao redor de cargas elétricas

Em cargaspositivas convenciona-se que as linhas decampo elétrico “saem”a partir da carga.

Já em cargas negativas convenciona-se que as linhasde campo elétrico “entram” a partir da carga.



Teorema da Divergência

A Lei de Gauss da Eletricidade descreve o fenômeno daexistência da carga elétrica.

∫∫ ∫∫∫ ⋅==⋅•S V

dVQdSnD ρˆr

ρ=•∇ Drr

ρρρρ: densidade de carga elétrica

Q: quantidade de carga dentro da gaussiana


Formalismo matemático da Lei de Gauss da Eletricidade

⇓⇓⇓⇓

⇓⇓⇓⇓

Linhas de campo elétrico entrando

e saindo de superfícies gaussianas



2) Lei de Gauss para o Magnetismo : baseia-se no fato dedipolos magnéticos (ímãs) atraírem-se ou repelirem-se ent resi.


Lei de Gauss para o Magnetismo

Cédula de $ 10 marcos alemães em homenagem a Gauss

Selo alemão em homenagem a Gauss

Intensitas vis Magneticae Terrestris ad mensuram absolutam revocata –

Frontispício




Um dos primeiros estudos sistemáticos com ímãs é olivro De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de MagnoMagnete Tellure , escrito por William Gilbert (1544-1603).

William Gilbert

De Magnete – William Gilbert

De Magnete, Magneticisque Corporibus, et

de Magno Magnete Tellure –

Frontispício

Ilustração retirada do livro

De Magnete



Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo aslinhas de campo magnético nas vizinhanças dos polos deímãs.


Linhas de campo magnético em torno de ímãs

Em ímãs convenciona-seque as linhas de campomagnético “saem” do polo nortee “entram” no polo sul.

Isto significa que as linhasde campo magnético formamuma superfície fechada.Linhas de campo magnético

nos polos de um ímã



Teorema da Divergência

A Lei de Gauss para o Magnetismo descreve ofenômeno da existência de dipolos magnéticos.

∫∫ =⋅•S

dSnB 0ˆr

0=•∇ Brr


Lei de Gauss para o Magnetismo: formalismo matemático

⇓⇓⇓⇓

⇓⇓⇓⇓

Linhas de campo magnético entrando e saindo de superfícies gaussianas



3) A Lei de Indução de Faraday baseia-se no fato de quesurge corrente elétrica induzida quando um ímã éaproximado ou se afasta de uma bobina.

Michael Faraday


Lei de Indução de Faraday

Como o diz o próprio nome, esta lei foiproposta por Michael Faraday (1791-1867),importante cientista inglês.

Frase “holística” de Faraday



Em 1831 Faraday demonstrou o experimento da induçãousando a montagem mostrada abaixo.


Base experimental da Lei de Indução de Faraday

Nesta montagem a bateria (à direita na figura) produzcorrente elétrica na bobina A.

Quando se move em relação àbobina B, o campo magnéticoproduzido pela corrente elétricainduz uma voltagem momentâneana bobina, detectada pelogalvanômetro G.

Uma das montagens construídas por Faraday para demonstrar a Lei de Indução



A ilustração animada abaixo mostra como se dá aindução de corrente elétrica na espira quando variamos ofluxo do campo magnético através dela.


A variação do fluxo magnético em uma bobina.

O movimento doímã em direção àespira, com aconsequente variaçãodo fluxo magnético, fazcom que uma correnteelétrica seja induzida naespira.

Animação ilustrativa da Lei de Indução



Teorema de Stokes

A Lei da Indução de Faraday descreve como criarcampos elétricos a partir de campos magnéticos variáveis.

dSnt

BldE

C S

⋅•∂∂−=•∫ ∫∫ ˆ

rrr

t

BE

∂∂−=×∇r

rr


Lei de Faraday: formalismo matemático

⇓⇓⇓⇓

⇓⇓⇓⇓

Circulação de corrente definindo uma superfície

aberta onde flui um campo magnético



4) A Lei de Ampère-Maxwell descreve como agulhasimantadas se defletem próximas de fios onde passamcorrentes elétricas ( Ampère ).

André-Marie Ampère


Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Ampère

Como o diz o próprio nome, esta lei foiproposta por André-Marie Ampère (1775-1836), importante cientista francês.

Frase de Ampère



4) A Lei de Ampère-Maxwell também descreve comocorrentes elétricas podem se transmitir de um fio condutor aoutro pelo vácuo ( Maxwell ).

James Clerk Maxwell


Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Maxwell

Frase de Maxwell




Base experimental da Lei de Ampère

A observação experimental correspondente à Lei deAmpère é devida a Hans Christian Oersted (1777-1851).

Em seu famoso experimento Oerstedobservou a deflexão da agulha de umabússola quando esta se aproximava de um fiode corrente elétrica.

Hans Oersted(1777-1851)

Ilustrações do experimento de Oersted




Base experimental da Lei de Maxwell

A observação experimental correspondente à Lei deMaxwell é devida ao próprio James C. Maxwell (1777-1851).

Neste experimento, Maxwell observou que correnteelétrica fluía através de um capacitor de placas paralelas,apesar de não haver contato elétrico entre as placas.

Fotografia de Maxwell

Ilustrações do experimento de

Maxwell feito com capacitores



Linhas de campo magnético de um fio de corrente


As linhas de campo magnético em um fio de corrente

Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo aslinhas de campo magnético nas vizinhanças de um fio poronde circula uma corrente elétrica.

O sentido do campo magnético éconvencionado a partir do uso dachamada “regra da mão direita”.




As linhas de campo elétrico e magnético em um capacitor

Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo aslinhas de campo elétrico e magnético nas vizinhanças de umcapacitor de placas paralelas.

Linhas de campo elétrico e magnético de um capacitor

A corrente elétrica variável criaum campo magnético também variávelno tempo.

Por sua vez, a variação do campomagnético cria um campo elétricoentre as placas do capacitor.

Este campo elétrico transmite acorrente de uma placa a outra.



A Lei de Ampère-Maxwell descreve como criar camposmagnéticos a partir de correntes elétricas ou camposelétricos variáveis.

Teorema de Stokes

IdSnt

DJldH

C S

=⋅•

∂∂+=•∫ ∫∫ ˆ

rrrr

t

DJH

∂∂+=×∇r

rrr

I : corrente elétrica


Lei de Ampère-Maxwell: formalismo matemático

⇓⇓⇓⇓

⇓⇓⇓⇓

Circulação que define uma superfície aberta

por onde flui a densidade de corrente e

o campo elétrico



EDrr

⋅= ε


Relação constitutiva entre o vetor campo elétrico e o vetordeslocamento elétrico

A constante εεεε é chamadapermissividade elétrica do meio .

No caso geral (meios não lineares) εεεε pode depender tantodo tempo quanto das coordenadas espaciais.




Relação constitutiva entre o vetor campo magnético e ovetor intensidade magnética

A constante µµµµ é chamadapermissividade magnética do meio .HB

rr⋅= µ

No caso geral (meios não lineares) µµµµ pode depender tantodo tempo quanto das coordenadas espaciais.



Em meios lineares ( εεεε e µµµµ constantes), as Equações deMaxwell são escritas como abaixo.

0=•∇

=•∇

B

E

rr

rr

ερ

t

EJB

t

BE

∂∂⋅⋅+⋅=×∇

∂∂−=×∇

rrr

rrr

εµµ


Equações de Maxwell para meios lineares



No vácuo não existem nem fontes de carga, nem fontesde corrente elétrica.

0

0

=•∇

=•∇

B

Err

rr

t

EB

t

BE

∂∂⋅⋅=×∇

∂∂−=×∇

rr

rrr

00 εµ


Equações de Maxwell para o vácuo

Finalmente, temos que os valores das constantes εεεε e µµµµcomo sendo εεεε = εεεε0 = 8,8542××××10-12 F/m e µµµµ = µµµµ0 = 4π×π×π×π×10-7 H/m.



As Equações de Maxwell conduzem à Equação de Ondapara o campo eletromagnético.

02

2

002 =

∂∂⋅⋅−∇

t

EE

rr

εµ

02

2

002 =

∂∂⋅⋅−∇

t

BB

rr

εµ


Equações de Maxwell e a Equação da Onda

( ) 0,2

2

002 =

∂∂⋅⋅−∇ BEt

rrεµ



A estrutura matemática da Equação de Onda Escalar émostrada abaixo.

01

2

2

22 =

∂Ψ∂⋅−Ψ∇tv


Análise da Equação da Onda

Na equação ao lado v é avelocidade de propagação da onda .

Comparamos esta Equação deOnda Escalar com a Equação deOnda do campo eletromagnético econcluímos que a velocidade daonda eletromagnética vOEM estáassociada às constantes εεεε0 e µµµµ0.

00

1

εµ ⋅=OEMv

vOEM: velocidade da onda eletromagnética



Com os valores de εεεε0 e µµµµ0 é possível calcular a velocidadeda onda eletromagnética .


Onda eletromagnética na velocidade da luz

O valor acima é muito próximo daquele obtidoexperimentalmente para a velocidade da luz c.

smvOEM /109979,21 8

00

×=⋅

=εµ

A conclusão deste fato éque a luz comporta-se comouma onda eletromagnética.

smc /109979,2 8×=c: velocidade da luz

00

1

εµ ⋅=c



Escrevemos abaixo a Equação de Onda em termos davelocidade da luz c, que é igual à velocidade do campoeletromagnético .

01

2

2

22 =

∂∂⋅−∇

t

E

cE

rr

01

2

2

22 =

∂∂⋅−∇

t

B

cB

rr


Equação da Onda e a velocidade da luz

( ) 0,1

2

2

22 =⋅

∂∂⋅−∇ BEtc

rr

O operador matemático queatua sobre o campo elétrico esobre o campo magnético échamado de d’alambertiano .



t

DJH

t

BE

B

D

∂∂+=×∇

∂∂−=×∇

=•∇

=•∇

rrrr

rrr

rr

rr

0

ρ

...E “DEUS” DISSE

⇒⇒⇒⇒ ....E A LUZ FOI FEITA!!!!


Equações de Maxwell: a LUZ



Vamos supor que exista uma expressão para o campoelétrico que seja solução da equação de onda.

Isto significa que a parte espacialdo campo elétrico proposto dependeapenas da coordenada x (arbitrária), àqual define a direção de propagaçãodo campo eletromagnético.


( ) ( )txEtxE pP ,ˆ, ⋅= εr

Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Plana



Aplicamos esta proposta de solução nas Equações deMaxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.

k: número de ondaλλλλ: comprimento de ondaωωωω: frequência angular da ondaνννν: frequência da ondaT: período da ondaϕϕϕϕ: fase da onda

( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅= txkEtxEP cosˆ, 0

r

( ) ( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅×= txkBitxBP cosˆˆ, 0

r

λπ⋅= 2

k νππω ⋅⋅=⋅= 22

T

00

1E

cB ⋅=


A solução matemática para a Onda Plana



Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico emagnético da onda plana como mostrado abaixo.

c = 2,9979××××108 m/s: velocidade da luz no vácuo( )PP Ei

cB

rr×⋅= ˆ1Tk

cλνλω =⋅==


Onda plana: representação geométrica

( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅= txkEtxEP cosˆ, 0

r

Propagação de Onda Eletromagnética Plana



Vamos supor que exista umaexpressão para o campo elétricoque seja solução da equação deonda como dada ao lado.

Isto significa que a parte espacial do campo elétricoproposto depende apenas da coordenada r (radial), à qualdefine a direção de propagação do campo eletromagnético.


( ) ( )trEtrE EE ,ˆ, ⋅= εr

Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Esférica



k: número de ondaλλλλ: comprimento de ondaωωωω: frequência angular da ondaνννν: frequência da ondaT: período da ondaϕϕϕϕ: fase da onda

( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅= trkr

AtrE E

E cosˆ,r

( ) ( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅×= trkr

ArtrB B

E cosˆˆ,r

λπ⋅= 2

k νππω ⋅⋅=⋅= 22

T

BE Ac

A ⋅= 1


A solução matemática para a Onda Esférica

Aplicamos esta proposta de solução nas Equações deMaxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.



( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅= trkr

AtrE E

E cosˆ,r

( ) ( )EE Erc

trBrr

×⋅= ˆ1

,


Onda esférica: representação geométrica

c = 2,9979××××108 m/s: velocidade da luz no vácuo Tkc

λνλω =⋅==

Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico emagnético da onda esférica como mostrado abaixo.

Propagação de Onda Eletromagnética Esférica




O espectro eletromagnético

Abaixo mostramos imagens do espectro eletromagnético.

Imagens do espectro

eletromagnético



Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)

Busto de Hertz no campus da Universidadede Karlsruhe. Tradução: Neste localdescobriu Heinrich Hertz as ondaseletromagnéticas nos anos 1885 — 1889

Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou de formaexperimental a existência da radiação eletromagnéticacriando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio .


Produção de ondas eletromagnéticas



Oscilador de Hertz: esquema

(ao lado) e montagem (abaixo)

Rádio receptor de ondas eletromagnéticas


Produção e recepção de ondas eletromagnéticas

Ao lado mostramos oesquema e montagem doOscilador de Hertz .



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Definimos o vetor de Poynting como abaixo.

( ) ( ) 0,2

1,

2

1 2

0

20 =

⋅

⋅+⋅⋅

∂∂+•∇ trBtrEt

Srrrr

µε

Calculamos a divergência do vetor de Poynting eobtemos a equação abaixo.


BESrrr

×⋅=0

1

µ

O vetor de Poynting



( ) ( ) ( )trBtrEtru ,2

1,

2

1, 2

0

20

rrr ⋅⋅

+⋅⋅=µ

ε

A partir daí, definimos a densidade de energia uassociada ao campo eletromagnético.


( )[ ] 0, =∂∂+•∇ trut

Srrr

Obtemos então uma equação que tem a estrutura deEquação da Continuidade , à qual expressa a Lei daConservação de Energia .

A Equação da Continuidade do campo eletromagnético



A partir da definição de densidade de energia do campoeletromagnético, podemos concluir que este campoarmazena energia em seu interior.

( ) ( ) dVtrBtrEUV

⋅

⋅

⋅+

⋅⋅= ∫∫∫ ,2

1,

2

1 2

0

20

rr

µε

dV

dUu = [ ] SImJu 3/=


A definição dedensidade de energia u emtermos da energia U émostrada ao lado.

Energia e densidade de energia



Podemos calcular adensidade de energia médiapara uma onda eletromagnéticaplana e obtemos a equaçãomostrada ao lado.

2002

1EuP ⋅⋅= ε


Analogamente, podemoscalcular a densidade deenergia média para uma ondaeletromagnética esférica , eobtemos a equação mostradaao lado.

202

1

r

Au E

E ⋅⋅= ε

Densidade de energia de onda eletromagnética plana eonda eletromagnética esférica



Definimos intensidade de uma ondacomo a razão entre a sua potência e aárea sobre a qual a onda incide.

dtdA

UdI

⋅=

2

( ) ( ) ctrutrI ⋅= ,,rr

cuI ⋅=


O campo eletromagnético ao incidir sobre uma superfícieprovoca sobre ela uma dada intensidade , dada abaixo.

Intensidade e intensidade média

⇒⇒⇒⇒

Intensidade de uma ondadt

dU

AI ⋅= 1



[ ] SImWI 2/=EPEPEPEP BESI ,,0

,,

1 rrr×⋅==

µ

Tanto para uma onda eletromagnética plana, quanto parauma onda eletromagnética esférica, associamos aintensidade do campo eletromagnético ao vetor de Poynting .


Intensidade e o vetor de Poynting

Podemos obter expressõespara a intensidade de uma ondaeletromagnética plana e para umaonda eletromagnética esférica.

2002

1EcIP ⋅⋅⋅= ε

2

2

02

1

r

AcI E

E ⋅⋅⋅= ε



Embora não transporte massa, o campo eletromagnéticotroca momento linear com qualquer corpo.


Momento linear e densidade de momento linear

Para entendermos a origem do momento linear do campoeletromagnético , consideremos uma distribuição de cargasem movimento sobre a qual atua o campo elétrico e omagnético produzidos pela própria distribuição.

( )[ ] 00 =

⋅×⋅+ ∫∫∫ dVBEP

dt

d

V

m

rrrε

Ao fazermos isso, obtemos a equação abaixo.



Analisemos com cuidadoa equação ao lado.


A Conservação do Momento Linear

A partir daí, definimoso momento linear docampo eletromagnéticocomo mostrado ao lado.

Esta equação estabelece uma lei de conservação entre omomento linear mecânico e uma grandeza associada aocampo eletromagnético, a qual tem unidade de momentolinear .

( )[ ] 00 =

⋅×⋅+ ∫∫∫ dVBEP

dt

d

V

m

rrrε

( )[ ] dVBEpV

em ⋅×⋅= ∫∫∫rrr

0ε



∫∫∫ ⋅=V

emem dVgprr

[ ] SIsmkgpm /⋅=


A partir da integral de volume obtida acima, podemosdefinir também a grandeza densidade de momento linear docampo eletromagnético .

[ ] SImsJpem /⋅=

O momento linear do campo eletromagnético

Sc

BEgem

rrrr ⋅=×⋅=20

1ε⇒⇒⇒⇒



Podemos obter uma expressão para o momento linear deuma onda eletromagnética plana .

( ) ( ) itxuc

txg PemPˆ,

1, ⋅⋅=r

ic

UpemP

ˆ⋅=r

c

UpemP =


Podemos obter também uma expressão análoga para omomento linear de uma onda eletromagnética esférica .

( ) ( ) rtruc

trg EemE ˆ,1

, ⋅⋅=rr

c

UpemE ˆ⋅=r

c

UpemE =

Momento linear de onda eletromagnética plana e de ondaeletromagnética esférica



[ ] SImNP 2/=

Definimos pressão a partir da equação mostrada abaixo.

dt

pd

SS

FP

r

⋅== 1


Pressão

Definição de pressão



( ) ( ) θ2cos,2, ⋅⋅= trutrPR

rr


Ao incidir sobre uma superfície, ocampo eletromagnético troca momentolinear como mostrado na figura ao lado.

Pressão de radiação

Definição de pressão de radiação

Esta variação no momento linear daradiação implica que ela executa sobre aparede uma pressão de radiação dadapela equação mostrada abaixo.

[ ] SImJP 3/=



Ω=

d

duB n

π⋅=

Ω=

4

uuB

Definimos a grandeza brilhânciacomo sendo a quantidade de energiairradiada em um ponto de uma cavidadepor unidade de ângulo sólido , porunidade de volume , por um corpoaquecido a uma temperatura T.

No caso particular da radiação ser emitida de formaisotrópica, a brilhância é dada pela equação abaixo.


Brilhância

Ângulo sólido



uPRC ⋅=3

1

Em uma cavidade em equilíbrio térmico com o meio, aradiação eletromagnética também provoca uma pressão deradiação sobre as suas paredes.

Neste caso, definimos a grandeza pressão de radiação decavidade , e obtemos para ela o resultado mostrado abaixo.


Pressão de radiação de cavidade

Pressão de radiação de

cavidade



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Radiação de corpo negro e radiação de cavidadeAbaixo mostramos alguns exemplos de corpos que

emitem radiação quando aquecidos em altas temperaturas.

Mostramos tambémcavidades que representamum bom modelo para aradiação de corpo negro.

4. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Corpo Negro representado por uma cavidade

Forno elétrico

Metal em forja

Estrela



Definimos radiância como sendo a quantidade de energiairradiada pelo elemento de área que contém P, por unidadede tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a umatemperatura T.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Definição dos termos para a radiação

Radiação emitida por um ponto de uma superfície aquecida

( )dtdS

UdPR

⋅=

2

[ ] SImWsmJR 22 // =⋅=



Seja agora a superfície S aquecida a uma temperatura T eportanto emitindo radiação como mostrado na figura abaixo.

( ) θθ coscos ⋅⋅=⋅= cuIPR


Definição dos termos para a radiação

Como podemos observar pela unidade desta grandeza, aradiância , nada mais é do que a intensidade da radiaçãoemitida pela superfície S.

Radiação emitida por uma superfície aquecida

Neste caso, a radiância estárelacionada com a intensidade daradiação como mostrado abaixo.



A partir da definição de brilhância feita anteriormente,obtemos a relação entre a radiância R e a densidade deenergia u em uma cavidade.

cuRC ⋅⋅=4

1


Radiância em termos da densidade de energia para aradiação de cavidade

Radiância de uma cavidade



Um corpo aquecido emite e absorveradiação do meio que o cerca.

Definimos radiação térmica como sendo a radiaçãoemitida por um corpo devido a sua temperatura.

A radiância R, como definida anteriormente depende, pelomenos, da temperatura do corpo.

( )TRR =


Características da radiação de corpo negro

Radiância de corpos aquecidos



Definimos radiância espectral Rλλλλ (em termos docomprimento de onda ) tal que a quantidade Rλλλλ·dλλλλ representea taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido éirradiada, por unidade de área, nos comprimentos de ondaentre λλλλ e λλλλ+dλλλλ.

( )λ

λλ d

dRR = [ ] SImWmmWR 32 // =⋅=λ


Radiância espectral em termos do comprimento de onda



Definimos radiância espectral Rνννν (em termos dafrequência ) tal que a quantidade Rνννν·dνννν represente a taxatemporal com que a energia de um corpo aquecido éirradiada, por unidade de área, nas frequências entre νννν eνννν+dνννν.

( )ν

νν d

dRR = [ ] SImJHzmWR 22 // =⋅=ν


Radiância espectral em termos da frequência



A radiância R(T) nada mais é do que a soma (integral) detodas as diferenciais de radiâncias espectrais .

( ) ( ) ( )∫∫∞∞

⋅=⋅=00

ννλλ νλ dRdRTR

( ) ( ) ( )νννλ

λ ννλ Rc

Rc

R ⋅=⋅=2

2


Relação entre as radiâncias espectrais R λλλλ e Rνννν

Desta forma, impondo a igualdade das diferenciais decada termo obtemos uma relação entre Rνννν(νννν) e Rλλλλ(λλλλ).

λν c=



Da mesma forma, definimos a densidade espectral deenergia uνννν(νννν) em termos da frequência .

Analogamente, definimos a densidade espectral deenergia uλλλλ(λλλλ) em termos do comprimento de onda .

( )λ

λλ d

duu = ( )∫

∞

⋅=0

λλλ duu

( )ν

νν d

duu = ( )∫

∞

⋅=0

ννν duu


Densidades espectrais de energia u λλλλ e uνννν

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒



As densidades espectrais de energia uνννν(νννν) e uλλλλ(λλλλ) estãorelacionadas com as respectivas radiâncias espectrais Rνννν(νννν) eRλλλλ(λλλλ) através das equações mostradas abaixo.

Por sua vez, as densidadesespectrais de energia uνννν(νννν) e uλλλλ(λλλλ)estão relacionadas entre si através deuma relação similar àquela para asradiâncias espectrais Rνννν(νννν) e Rλλλλ(λλλλ).

( ) ( ) cuR ⋅⋅= λλ λλ 4

1 ( ) ( ) cuR ⋅⋅= νν νν 4

1

( ) ( ) ( )νννλ

λ ννλ uc

uc

u ⋅=⋅=2

2


Propriedades das densidades espectrais de energia u λλλλ e uνννν

⇒⇒⇒⇒

λν c=



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética emum espectro contínuo , com maior intensidade na região doinfravermelho (IR).

Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbriotermodinâmico através de trocas de energia.


Emissão de radiação por corpos aquecidos

Corpos aquecidos emitindo radiação



Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo comosendo a energia emitida por unidade de área e por unidadede tempo.

Definimos a absorvidade ou absorbância(a) como sendo a fração da energia incidentesobre a superfície de um corpo que éabsorvida por ele.


Algumas definições

A emissividade de um corpo

A absorbância de um corpo e o seu processo

de medida



Em 1853 William Ritchie obteve o resultado abaixo,usando um termômetro diferencial.

2

2

1

1

a

e

a

e=

Termômetro Diferencial de Leslie


Primeiros e antigos resultados experimentais



N é CORPO NEGRO

Vamos considerar a situação em que um corpo (porexemplo o corpo 2 →→→→ N), absorva totalmente a radiação queincide sobre ele, ou seja, aN = 1.

Como por definição temos que a1 < 1, então este fatoimplica que eN > e1.

12 == Naa1

1

a

eeN =

11 <a 1eeN >


Conclusões e definições a partir do resultado de Ritchie

O corpo N (corpo negro) tem a maior absorbância e a maior emissividade possível entre todos os corpos!!!

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒



Gustav Kirchoff(1824-1887)

Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente daemissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav RobertKirchoff (1824-1887).


A procura por uma lei para a dependência da emissividadecom a temperatura

Kirchoff foi um cientista versátil queformulou a conhecida Lei dos Nós e das Malhas(Leis de Kirchoff dos Circuitos Elétricos ) em1845, quando ainda era estudante.

Em 1854 desenvolveu trabalhos deespectroscopia na Universidade de Heidelbergonde descobriu os elementos químicos Cs e Rb.



A chamada Lei de Kirchhoff da Radiação Térmica declaraque “ em equilíbrio térmico, a emissividade de um corpo (ousuperfície) é igual à sua absorbância ”.

( )Tee NN =


O trabalho de Kirchoff

Assim, a emissividade deum corpo negro devedepender apenas da suatemperatura.

A partir desta formulação Kirchoff concluiu que aemissividade de um corpo negro é uma função universalindependente da forma, tamanho e composição química docorpo.



Em 1859 Kirchoff propôs a lei de emissão de radiaçãotérmica comprovando-a em 1861.


O artigo de Kirchoff sobre a radiação térmica

Kirchoff publicou o artigo “ Überden Zusammenhang zwischenEmission und Absorption von Lichtund Wärme ” na revista Monatsberichteder Akademie der Wissenchaften zuBerlin , December, p. 783-787 .

Em português o título deste artigoé “ Sobre a relação entre a emissão e aabsorção de luz e calor ”.

Ilustração de Kirchoff com o seu espectroscópio



John Tyndall(1820-1893)

Em 1864 John Tyndall (1820-1893) realizou emexperimento envolvendo a radiação emitida por um fio deplatina em duas temperaturas diferentes.


O trabalho de Tyndall

Tyndall foi um dos precursores da ciênciahoje conhecida como climatologia.

Arranjo experimental desenvolvido por Tyndall

para medir a concentração de CO2 na atmosfera



( ) ( )2 111,4e T e T= ⋅

Tyndall foi um excelente experimentador, e graças a estacapacidade foi capaz de medir a emissividade de um fio deplatina a duas temperaturas distintas.


Resultados numéricos obtidos por Tyndall

Fio de platina

T1 = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T1 = 798 K

T2= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T2 = 1473 K

Tyndall obteve que a emissividade dofio de platina a 1200 °°°°C era 11,4 vezes aemissividade do fio a 525°°°°C.



Joseph Stefan(1835-1893)

Foi apenas em 1879 que Joseph Stefan (1835-1893)sistematizou os dados de Tyndall e encontrou uma relaçãodireta entre a emissividade e a temperatura do corpo.


Resultados sistematizados por Stefan

Placa na casa onde nasceu Stefan. Tradução: Nesta casa nasceu o

físico Josef Stefan, em 24 de Março de 1835, descobridor das leis da radiação que levam o seu nome.

A descoberta desta lei permitiu queStefan estimasse a temperatura do Solcomo sendo em torno de 5.430 C.



A partir dos dados obtidos por Tyndall , Stefandeterminou a relação entre radiância e temperatura .

( ) nTTR ⋅= σ


O cálculo de Stefan

Proposta de Stefan

Stefan inicia seu trabalho propondo uma relação depotência entre a emissividade (radiância ) e a temperatura ,como mostrado abaixo.

Do ajuste de curvas da FísicaExperimental Stefan determinou o valorda constante n, aplicando o logaritmoem ambos os lados da equação acima.

=

1

2

1

2

log

log

TT

RR

n

⇒⇒⇒⇒



Stefan usou então os dados de Tyndall , mostradosnovamente abaixo.

( )

=

7981473

log

4,11logn

( ) 4TTR ⋅= σ


A determinação da lei de potência

Dados de TyndallT1 = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T1 = 798 K

T2= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T2 = 1473 K

Fórmula de Stefan

σσσσ = 5,67××××10-8 W/m2 ⋅⋅⋅⋅K4

⇒⇒⇒⇒ constante de Stefan-Boltzmann

R2/R1 = e2/e1 = 11,4

Stefan então determinou o valor para a constante n.

Posteriormente, Stefan determinou o valor da constante σσσσobtendo o valor de 5,67××××10-8 W/m2⋅⋅⋅⋅K4.

⇒⇒⇒⇒00,4=n



Busto de Stefan

Stefan escreveu o artigo “ Über die Beziehung swischender Wärmstrahlung und der Temperatur ” na revista WienerBerichte, volume 79, pg. 391-428 .

Em português o título de artigo é“ Sobre a relação entre calor etemperatura ”.


O artigo de Stefan

Selo austríaco comemorativo aos 100

anos de Stefan

Instituto Josef Stefan em Ljubljana

- Slovênia



Os primeiros bons resultados experimentais do espectrode emissão de um corpo aquecido foram obtidos noPhysicalisch-Technische Reichsanstall , atual Max PlanckInstitute .


Primeiros resultados para a radiância espectral R λλλλ

Physicalisch-Technische Reichsantall em

fotografias de 1913 e de 2012, além do seu brasão

Laboratório de Lummer onde foram feitas medidas da radiação de corpo negro



Ao lado mostramos resultadosexperimentais obtidos por Otto Lummer(1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-1917)em 1899.

Este resultado foi obtido noPhysicalisch-Technische Reichsanstall .

Otto Lummer(1860-1925)

Ernst Pringsheim(1859-1917)


Primeiras curvas para a radiância espectral R λλλλ

Espectro de corpo negro obtido por Lummer e Pringsheim



Colaboradores importantes deste laboratório foramHeinrich Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927).

Foram deles as principais medidascom as quais Max Planck comparou seumodelo teórico.

Heinrich Rubens(1865-1922)

Ferdinand Kurlbaum(1857-1927)


Principais medidas de curvas para a radiância espectral R λλλλ

Equipamento original usado por Rubens e Kurlbaum



Friedrich Paschen(1865-1947)

A Lei de Deslocamento de Wien foi verificadaexperimentalmente inúmeras vezes.

bTMAX =⋅λ

A confirmação mais cuidadosa desta lei foiobtida por Friedrich Paschen (1865-1947) em 1899.

É possível obter um resultado numérico muito importantea partir das curvas para Rλλλλ(λλλλ).

Lei de Deslocamento de Wien



Este resultado é conhecido como Lei de Deslocamentode Wien .

⇒⇒⇒⇒



bA = 2,89××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K

Abaixo mostramos uma comparaçãoentre o resultado obtido por Lummer ePringsheim com aquele obtido a partir demedidas atuais mais precisas.

bTMAX =⋅λbL&P = 2,94××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K


Determinação da constante b

Em cerca de 115 anos houve umamelhora de cerca de 2% na precisãodeste resultado.



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





CORPO NEGRO É O ORIFÍCIO!!

Para obtermos resultados teóricos para a emissão deradiação, construímos um modelo para a Radiação de CorpoNegro .

Este modelo deve ser tal que o ente que representa oCorpo Negro absorva toda radiação que incide sobre ele, ouseja, aN = 1.


Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro

CORPO NEGRO É A CAVIDADE!!



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





As considerações de Boltzmann para a radiação térmica

Ludwig Boltzmann(1844-1906)

Em 1884, Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906)demonstrou rigorosamente a relação obtida por Stefan .

Boltzmann considerou ainda a radiação comosendo uma máquina térmica , sujeita às leis daTermodinâmica .


Boltzmann partiu do princípio que o corpo negro émodelado como sendo uma cavidade.

Assim, Boltzmann pôde usar o resultadoobtido para a pressão de radiação dentro dacavidade como sendo a pressão de radiaçãodo corpo negro .



Boltzmann considerou que a radiação écomposta de “ partículas ”, à semelhança deum gás ideal .

Com isto, Boltzmann pôde tratar a radiação como umsistema de partículas não-interagentes entre si.

Boltzmann demonstrou o resultadoobtido por Stefan usando apenasargumentos da Termodinâmica , aliados coma Teoria Eletromagnética de Maxwell .

( ) 4TTR ⋅= σ


σσσσ = 5,67××××10-8 W/m2 ⋅⋅⋅⋅K 4

Túmulo de Boltzmann em Viena

Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro



Assim, Boltzmann impôs que a cavidade estava emequilíbrio termodinâmico com o meio, trocando calor comele, a uma mesma temperatura T.

Desta forma, Boltzmann pôde aplicar a 1a Lei daTermodinâmica à cavidade.

WQdU ∂−∂=


A aplicação da 1 a Lei da Termodinâmica

Devemos nos lembrar que a cavidade representa o corponegro, logo as propriedades da radiação de cavidade são aspropriedades da radiação de corpo negro.

Q: quantidade de calor dentro da cavidade

U: energia interna da cavidade

W: trabalho mecânico realizado pela radiação



Boltzmann também aplicou a 2a Lei da Termodinâmica àcavidade.

dSTQ ⋅=∂

dVPW ⋅=∂


A aplicação da 2 a Lei da Termodinâmica

Boltzmann usou também a relação entre trabalhomecânico e pressão .

T: temperatura da cavidade

Q: quantidade de calor dentro da cavidade

S: entropia da radiação presente na cavidade

P: pressão que a radiação provoca nas paredes da cavidade

V: volume da cavidade

W: trabalho mecânico realizado pela radiação



Boltzmann usou o fato que a energiainterna U é uma função de estado epôde então escrever a equação ao lado.

Nesta equação está implícitaa hipótese de Boltzmann que aradiação contida na cavidade éproveniente de um corpo negroa uma dada temperatura T.

( ) ( ) VTuTVU ⋅=,


A energia interna da radiação na cavidade

dUdVPdST +⋅=⋅

A combinação da 1a e da 2a Lei da Termodinâmica mais adefinição de trabalho mecânico levam à equação mostradaabaixo.

Relação de escala entre energia e volume



( ) ( ) VTuTVU ⋅=,


Por fim, Boltzmann levou emconta a pressão de radiação em umacavidade que contém a radiação.

uP ⋅=3

1

A pressão de radiação da cavidade

Para escrever esta última equação, reproduzida abaixo,Boltzmann usou o fato já conhecido que a densidade deenergia u depende apenas da temperatura , isto é, u = u(T).

Após alguma manipulaçãomatemática, Boltzmann finalmentechegou ao resultado final entredensidade de energia u etemperatura T, mostrado ao lado.( ) 4TTu ⋅= γ



( ) 4

4T

cTR ⋅⋅= γ

4

c⋅= γσ ( ) 4TTR ⋅= σ


Para obter a relação entre radiância e temperaturausamos o fato que a densidade de energia e a radiância sãoproporcionais, como já visto anteriormente.

( ) ( )4

cTuTR ⋅=

A Equação de Stefan-Boltzmann

⇒⇒⇒⇒

Definimos então a constante de Stefan-Boltzmann σσσσ emtermos desta constante de integração γγγγ.

⇒⇒⇒⇒σσσσ = 5,67××××10-8 W/m2 ⋅⋅⋅⋅K4

⇒⇒⇒⇒ constante de Stefan-Boltzmann



( ) 316,

3S V T T V

σ⋅= ⋅

A partir do resultado entre densidade de energia etemperatura Boltzmann pôde calcular a entropia do campo deradiação .


A entropia do campo de radiação

Após alguma manipulaçãomatemática, Boltzmann obteveentão o resultado mostrado aolado.

Radiação eletromagnética

em uma cavidade

Manifestantes “contra” a 2a Lei da Termodinâmica



Boltzmann publicou estes resultados no artigo“ Ableitung des Stefan’schen Gesetzes betreffend dieAbhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur ausder elektromagnetischen Lichttheorie ” na revistaWiedmannsche Annalen der Physik, volume 22 , pg. 291-294.

Em português o títulodeste artigo é “ Derivação daLei de Stefan relacionada coma dependência da radiação decalor e da temperatura com ateoria eletromagnética da luz ”.


O artigo de Boltzmann

Frase de Boltzmann



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Wilhelm Wien(1864-1928)

De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien(1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos paraobter uma expressão para a densidade espectral de emenergia uνννν(νννν,T).

Prêmio Nobel de Física de 1911 –

“pelas descobertas das leis de irradiação

do calor”


Os estudos de Wien sobre a radiação térmica

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física



As hipóteses de Wien no artigo de 1893

Wien considerou o Efeito Doppler que sofre uma radiaçãoao incidir sobre uma parede espelhada em movimento.

Wien simulou o movimentode um pistão dentro do cilindro,atribuindo á radiação umacaracterística mecânica.


Esquema da reflexão de raios de luz no interior de uma esfera que se contrai

Wien considerou o corponegro como sendo modeladopor uma esfera oca que que secontrai uniformemente a umavelocidade v = dr/dt.



O Efeito Doppler aplicado à radiação de cavidade

Wien , a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann ,aplicando a Termodinâmica à radiação contida em cadaintervalo de frequência entre νννν e νννν + dνννν.


Esquema do Efeito Doppler

Após um cálculoexaustivo, Wien entãoobteve uma equação querelaciona a densidadeespectral de energia emtermos de uma funçãodesconhecida f(νννν/T).



A expressão obtida por Wien é mostrado abaixo.

( )

⋅=T

fuνννν

3

O problema é quer nem osprincípios e relações básicasda Termodinâmica , nem doEletromagnetismo permitemdeterminar a forma funcionalda função f(νννν/T).


A fórmula de Wien

Embora a derivação da fórmula de Wien fosse calcada emuma hipótese ad hoc , seu resultado teve o méritoincontestável de reproduzir corretamente a Lei doDeslocamento de Wien , além da Lei de Stefan-Boltzmann .



( )

⋅=T

fTuνννν

3, ( ) 4TTR ⋅= σ


A fórmula de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann

Vamos inicialmente mostrar que a fórmula de Wienconduz à Lei de Stefan-Boltzmann .

Faremos isto sem precisar conhecer a forma funcional dafunção f(νννν/T).

⇒⇒⇒⇒

Para isto basta integrar a função uνννν(νννν) em todo o espectrode frequências , além de no processo de integração fazer umamudança de variáveis adequada.

( ) ( ) ννν dTuc

TR ⋅⋅= ∫∞

,4 0



A expressão para u λλλλ (λλλλ,T)

Para esta demonstração é necessário escrever a fórmulade Wien em termos do comprimento de onda da radiação aoinvés da frequência .

( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλ

λλ 5

1,

Para obter este resultado, usamos a relação diretaexistente entre uνννν(νννν) e uλλλλ(λλλλ).


Também podemos mostrar que que a fórmula de Wienconduz à Lei de Deslocamento de Wien .

( ) ( )νλ

λ νλ uc

u ⋅=2 λ

ν c= ⇒⇒⇒⇒

Na equação acima a função g(λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T) também tem sua formafuncional desconhecida.



A fórmula de Wien e a Lei de Deslocamento de Wien

A origem do nome “ lei de deslocamento ” deve-se ao fatode que o comprimento de onda no qual a densidadeespectral de energia é máxima, se “ desloca ” tal que ele éinversamente proporcional à temperatura.

bTMAX =⋅λEste resultado pode ser deduzida a partir da relação uλλλλ(λλλλ).

O valor da constante b depende, obviamente da forma dafunção g(λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T), que na fórmula de Wien é desconhecida.

( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλ

λλ 5

1,


⇒⇒⇒⇒( )0== MAXd

duλλ

λ

λλ



O problema a ser resolvido: determinar g(λλλλ,T)

Abaixo estão as curvas experimentais a seremmodeladas, bem como as expressões matemáticasconhecidas associadas a elas.

aTMAX =ν

3TR MAX ∝ν

bTMAX =⋅λ

5TR MAX ∝λ


Os comportamentos de ννννMAX, λλλλMAX, RννννMAX e RλλλλMAX com atemperatura, todos são explicados pela fórmula de Wien .

Espectro em frequência Espectro em comprimento de onda



A procura da função u νννν(νννν,T)

A fórmula de Wien não explicita a função uνννν(νννν,T).

Desta forma, a fórmula de Wien apenas serve como guiapara a determinação exata da função uνννν(νννν,T).

Com isso, torna-se necessário construir um modeloteórico com base em primeiros princípios.

Estes primeiros princípios devem ser as leis daTermodinâmica e as Equações de Maxwell .


Por outro lado, como já vimos, com a fórmula de Wien aomenos é possível demonstrar a Lei de Deslocamento de Wiene a Lei de Stefan-Boltzmann .



3TR MAX ∝ν 5TR MAX ∝λ

Assim, as fórmulas abaixo todas elas são obtidas semque seja necessário conhecer a forma funcional de f(νννν/T).

Resultados do Modelo Empírico de Wien (artigo de 1893)

aTMAX =

ν ( ) 4TTR ⋅= σPara determinar a forma funcional de f(νννν/T) Wien fez

então uma conjectura .

bTMAX =⋅λ


Uma conjectura é uma ideia, fórmula ou frase, a qual nãofoi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou ideiascom fundamento não verificado .



A conjectura de Wien expressa no artigo de 1896

A Conjectura de Wien : a densidade espectral de energiadeve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para adistribuição de velocidades de moléculas de um gás.


Abaixo transcrevemos as próprias palavras de Wien .

“ ...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricasdas moléculas podem excitar ondas eletromagnéticas ... ecomo o comprimento de onda λλλλ da radiação emitida por umadada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidadetambém é uma função de λλλλ”.

Esta conjectura permitiu que a forma funcional de f(νννν/T)fosse proporcional a exp(-β⋅νβ⋅νβ⋅νβ⋅ν/T), onde ββββ é uma constante.



Assim, a Conjectura de Wien permitiu que ele formulassea seguinte proposta para uνννν(νννν) mostrada abaixo.

A conjectura de Wien e a forma funcional de f (,T)

( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

Wien usou então as relações entre uνννν(νννν) e uλλλλ(λλλλ) para obtera expressão para uλλλλ(λλλλ) e obteve o resultado mostrado abaixo.

( )

⋅⋅−⋅⋅⋅=T

ccu

λβ

λαλλ exp

15

4


( ) ( )νλ

λ νλ uc

u ⋅=2 λ

ν c= ⇒⇒⇒⇒

Na equação aolado, αααα e ββββ sãoconstantes a seremdeterminadas.



A equação obtida por Wien não é correta para todo oespectro de frequências .

As limitações do Modelo Empírico de Wien

( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

A equação proposta por Wien concorda muito bem paraaltas frequências , mas é ruim para baixas frequências .


Isto é observado como os resultadosapresentados na figura ao lado.

Espectro em frequência



Ainda as limitações do Modelo Empírico de Wien

Da mesma forma, a equação correspondente uλλλλ(λλλλ)concorda muito bem para comprimentos de onda pequenos ,mas é ruim para comprimentos de onda elevados .


( )

⋅⋅−⋅⋅⋅=T

ccu

λβ

λαλλ exp

15

4

Isto também éobservado como osresultados apresentados nafigura ao lado.

Espectro em comprimento de onda



O cálculo das constantes αααα e ββββ

É possível calcular valores para as constantes αααα e ββββ emtermos de b (Lei de Deslocamento de Wien ) e σσσσ (constante deStefan-Boltzmann ), além da velocidade da luz c.


c

b⋅= 5β

( ) 4TdRo

⋅=⋅∫∞

σννν4

2

3 βσα ⋅=⋅⋅ c( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

( )0== MAXd

duλλ

λ

λλ ( )

⋅⋅−⋅⋅⋅=T

ccu

λβ

λαλλ exp

15

4

Para isto impomos as condições que envolvem cada umadestas leis, como mostrado abaixo.

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒



O valor das constantes αααα e ββββ

A partir destas expressões, calculamos então asconstantes em termos de σσσσ, b e c e obtemos as relaçõesabaixo.


c

b⋅= 5β5

4

3

1250

c

b

⋅⋅⋅= σα

sK ⋅×= −111082,4βmskg /1081,6 258 ⋅×= −α

b = 2,89××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K

Com os valores das constantes b, σσσσ e c mostradas acima,os valores calculados de αααα e ββββ são apresentados abaixo.

σσσσ = 5,67××××10-8 W/m2⋅⋅⋅⋅K4

c = 2,9979××××108 m/s



Em 1893 Wien publicou o artigo “ Ein neue Beziehung derStrahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz derWärmertheorie ” na revista Königlich Preussische Akademieder Wissenschaften de 09 de Fevereiro, pg. 55-62 .

Em português o título desteartigo é “ Uma nova relação daradiação de corpo negro em termosde dois conjuntos principais dateoria do calor ”.


O primeiro trabalho de Wien

Wien com os filhos Gerda, Hildegard e Karl em fotografia de 1910



Já em 1894 Wien publicou o artigo “ Temperatur undEntropie der Strahlung ” na revista Wiedmannsche Annalender Physik , volume 52, pg. 132-165 .

Em português o título deste artigo é “ Temperatura eentropia da radiação ”.


O segundo trabalho de Wien

Wien com a esposa Luise e os filhos Gerda, Karl, Waltraut e Hildegard em fotografia de 1919

Ilustração de Wien com frase elogiosa de Max von Laue



O terceiro trabalho de Wien

Por fim em 1896 Wien publicou o artigo “ Über dieEnergievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzenKörpers ” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik,volume 58 , pg. 662-669.

Em português otítulo deste artigo é“ Sobre a distribuiçãode energia noespectro de emissãode um corpo negro ”.


Selo sueco em

homenagem aos 100 anos do Prêmio

Nobel de Wien

Selo sueco em comemoração ao Prêmio Nobel de Wien



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Os estudos de Sir Rayleigh sobre a radiação térmica

John Strutt – Lord Rayleigh(1842-1919)

Strutt herdou o título de Barão de Rayleigh após a mortede seu pai em 1873 e a partir desta data passou a serconhecido como Lord Rayleigh .

No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt(1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien .


Prêmio Nobel de Física de 1904 – “pelas investigações sobre as

densidades dos gases e pela descoberta do Argônio”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física



A crítica de Lord Rayleigh à Lei de Wien

Lord Rayleigh sugeriu então uma “ modificação na lei deWien, a qual parece ser mais provável, a priori ”.


Além disso, Lord Rayleigh afirmou que “ esta lei pareceser de difícil aceitação, especialmente a implicação que àmedida que a temperatura aumenta, a radiação para um dadocomprimento de onda se aproxima de um limite ”.

Em seu trabalho sobre o tema da radiação térmica LordRayleigh comentou a necessidade de se determinar a formacorreta da função g( λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T), já que equação proposta por Wien é“ pouco mais do que uma conjectura ”.



O uso do Teorema da Equipartição da Energia


Por outro lado, Lord Rayleigh indicou que “ Especulaçãosobre este assunto é impedida pelas dificuldades quedecorrem do Teorema da Equipartição da Energia a partir daEstatística de Maxwell-Boltzmann ”.

Este teorema, baseado na Estatística de Maxwell-Boltzmann , implicitamente admite que qualquer modo devibração é igualmente favorecido no que diz respeito à suacontribuição para a energia total do sistema.

Quando falava em “ modos de vibração ” Lord Rayleigh sereferia aos modos de oscilação do campo eletromagnético deradiação dentro de uma cavidade (corpo negro).



Os modos normais de oscilação do campo de radiação


Lord Rayleigh deixa claro em seu trabalho que, embora aEstatística de Maxwell-Boltzmann falhe ao ser aplicada paratodas as frequências , ela parece ser aplicável para modosmais graves, isto é, aqueles correspondentes a baixasfrequências .

A partir destas considerações, Lord Rayleigh admitiu quea Radiação de Corpo Negro pôde ser tratada como radiaçãode cavidade .

Nestas condições, o campo eletromagnético responsávelpela emissão de radiação pôde ser tratado a partir de seusmodos normais de vibração (ou modos de oscilação ).



Os limites da proposta de Rayleigh


Ao utilizar o Teorema da Equipartição da Energia e aEstatística de Maxwell-Boltzmann Lord Rayleigh chegou aoresultado no qual a densidade espectral de energia uλλλλ eraproporcional a λλλλ-4, que ele entendia ser adequado para altosvalores de comprimento de onda.

Nas conclusões de seu trabalho Lord Rayleighreconheceu que o resultado obtido por ele não se adequava àfórmula de Wien .

Para contornar esta dificuldade Lord Rayleigh indicouque a lei completa da radiação devia ser o produto de seuresultado ( ∝∝∝∝ λλλλ-4) pela exponencial exp(-ββββ/λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T)!!



A contribuição de Jeans

Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, LordRayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.

Este erro foi observado em 1905 pelo físico inglês JamesHopwood Jeans (1877-1946).

James Jeans(1877-1946)

Por causa desta correção, a teoriaclássica da radiação de corpo negro éconhecida como Modelo de Rayleigh-Jeans .


Frase de Jeans



Desta forma, Lord Rayleigh pôde aplicar o Teorema daEquipartição da Energia ao problema da radiação de corponegro.

As hipóteses do Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans

A hipótese fundamental deste modelo é que o campo deradiação está em equilíbrio termodinâmico com o corponegro que o emite.

Com esta hipótese, Lord Rayleigh considerou a troca deenergia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e osmodos de oscilação do campo eletromagnético existentesdentro da cavidade (corpo negro ).




Teorema da Equipartição de Energia

O Teorema da Equipartição da Energia


Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico auma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um delescontribui para o sistema com a mesma quantidade de energiaelementar kB⋅⋅⋅⋅T.

Vamos relembrar o enunciado do Teorema daEquipartição da Energia .

Lembremos que a constante de Boltzmann admite o valorkB = 1,38××××10-23 J/K.



Nesta equação ∆∆∆∆n é o númerode modos normais de oscilação(graus de liberdade) do campo deradiação com frequência entre νννν eνννν + ∆ν∆ν∆ν∆ν.

Desta forma, a energia total contida no campo deradiação com frequência entre νννν e νννν + ∆ν∆ν∆ν∆ν é dada abaixo.

nTkU B ∆⋅⋅=∆

Aqui é importante lembrar que νννν é uma variável contínua ,ao passo que n expressa uma quantidade discreta !!!


A energia total do campo de radiação

O problema então passa a ser construir um modelo parao cálculo de ∆∆∆∆n.



Lord Rayleigh levou em contaainda que a cavidade era feita commaterial condutor .

Para este cálculo, Lord Rayleigh considerou a radiaçãode corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentrode uma cavidade a uma dada temperatura T.

Desta forma, o campo elétricona superfície da cavidade deve sernulo !!!


O campo de radiação dentro da cavidade

Cavidade cúbica de aresta a e volume a3



Por simplicidade de cálculo, consideramos a formageométrica mais simples para a cavidade.

Desta forma, a cavidade temuma forma de um cubo dearesta a, e assim o seu volume éV = a3.

O campo eletromagnéticodentro da cavidade, além daequação de onda , deveobedecer também condições decontorno adequadas .


A cavidade cúbica



Vamos voltar a escrever a equação de onda para o campoeletromagnético.

A Equação de Onda para o campo de radiação na cavidade

01

2

2

22 =

∂∂⋅−∇

t

E

cE

rr

01

2

2

22 =

∂∂⋅−∇

t

B

cB

rr




( ) ( )( ) ( ) 0,,,,,0,

0,,,,,0,

==

==

tzaxBtzxB

tzaxEtzxErr

rr

( ) ( )( ) ( ) 0,,,,0,,

0,,,,0,,

==

==

tayxBtyxB

tayxEtyxErr

rr

As condições de contorno para o campo de radiação

( ) ( )( ) ( ) 0,,,,,,0

0,,,,,,0

==

==

tzyaBtzyB

tzyaEtzyErr

rr


Lembremos que as paredes da cavidade cúbica são dematerial condutor, o que implica em condições de contornoadequadas.

Estas condições são tais que o campo elétrico emagnético são nulos nas paredes da cavidade.



Vamos considerar que a onda eletromagnética sejacomposta de ondas harmônicas no tempo, de frequência νννν.

Ondas eletromagnéticas harmônicas no tempo

( ) ( )( ) ( ) ti

ti

ezyxBtzyxB

ezyxEtzyxE⋅⋅−

⋅⋅−

⋅=

⋅=ω

ω

,,,,,

,,,,,rr

rr

νπω ⋅⋅= 2


BErr

⊥

Assim, tanto o campo elétricoquanto o campo magnético devemser expressos como abaixo.



Substituímos esta proposta de solução na equação deonda e encontramos a chamada Equação de Helmholtz .

A Equação de Helmholtz

( ) ( )( ) ( ) 0,,,,

0,,,,22

22

=⋅+∇

=⋅+∇

zyxBkzyxB

zyxEkzyxErr

rr

ck

ω=


A constante k(número de onda )satisfaz a condiçãoexpressa ao lado.



A solução da Equação de Helmholtz para o campoelétrico no caso de uma cavidade cúbica de paredescondutoras é dada abaixo.

( )

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅= za

ny

a

nx

a

nEzyxE zyx

xx

πππcoscossin,, 0

( )

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅= za

ny

a

nx

a

nEzyxE zyx

yy

πππcossincos,, 0

( )

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅= za

ny

a

nx

a

nEzyxE zyx

zz

πππsincoscos,, 0

A solução da Equação de Helmholtz




O espaço de variáveis discretas

Nas equações acima, temos ainda que nx, ny e nz sãonúmeros inteiros positivos e não nulos .


22

2222 4 ν⋅⋅=++

c

annn zyx

Após alguma manipulação obtemos uma equaçãorelacionando estes números nx, ny e nz.

Trata-se da equação deuma “ esfera ” nas variáveisdiscretas nx, ny e nz.

O número de modos ∆∆∆∆n é diretamente proporcional ao“volume” de uma “ casca esférica ” no espaço das variáveisdiscretas nx, ny e nz.




Para ser preciso, o número de modos ∆∆∆∆n é proporcionalao volume desta “ casca esférica ” contida no octantepositivo .

ννπ ∆⋅⋅⋅⋅=∆ 23

3

4'c

an

Após alguma manipulação,obtemos a relação abaixo.

A casca esférica no espaço de variáveis discretas

Isto ocorre pois números nx, ny enz são números inteiros e positivos .

Espaço de

variáveis nx, ny e nz



Entra aqui a contribuição dada por Jeans em 1905 eignorada por Lord Rayleigh em 1900.

Jeans considerou que o campo eletromagnético tem doisestados de polarização possíveis.

Desta forma, o número de estados calculado por LordRayleigh deve ser multiplicado por dois .

'2 nn ∆⋅=∆ ννπ ∆⋅⋅⋅⋅=∆ 23

3

8c

an


O número de modos de oscilação do campo de radiação

⇒⇒⇒⇒



Após o cálculo do número de modos de oscilação docampo eletromagnético ∆∆∆∆n com frequências entre νννν e νννν + dνννν,podemos então determinar a energia do campo de radiação∆∆∆∆U.

Lembremos que no modelo clássico proposto por LordRayleigh a energia do campo de radiação é diretamenteproporcional a ∆∆∆∆n.

nTkU B ∆⋅⋅=∆ ννπ ∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 23

3

8 Tkc

aU B


O cálculo da energia da radiação na cavidade

⇒⇒⇒⇒



Com o resultado ao lado,determinamos então adensidade de energia docampo de radiação du nacavidade cúbica.

Como a frequência do campo eletromagnético é umavariável contínua, podemos obter a energia do campo deradiação dU com frequências entre νννν e νννν + dνννν fazendo a trocada diferença ∆∆∆∆U pela diferencial dU.

ννπ dTkc

adU B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2

3

3

8

ννπ dTkc

a

adU

Vdu B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= 2

3

3

38

11ννπ

dTkc

du B ⋅⋅⋅⋅⋅= 23

8


A passagem para o contínuo de frequências

⇒⇒⇒⇒



O cálculo da radiância espectral

Por fim, para poder comparar com os resultadosexperimentais, calculamos a radiância espectral do campo deradiação Rνννν.

Com este resultado, determinamos então a densidadeespectral de energia do campo de radiação uνννν.

ννπdTk

cdu B ⋅⋅⋅⋅⋅= 2

3

8 23

8 νπνν ⋅⋅⋅⋅== Tk

cd

duu B

νν uc

R ⋅=4

( ) 22

2 νπνν ⋅⋅⋅⋅= Tkc

R B


⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒



( ) 22


R B

A comparação com os resultados experimentais

Vamos agora fazer a comparação entre o resultadoteórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenasargumentos clássicos com os resultados calculados paraRνννν(νννν) a partir dos resultados experimentais de Rλλλλ(λλλλ).


Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados

calculados para a radiância espectral



( ) ( )νλ

λ νλ Rc

R ⋅=2

Mais comparação com os resultados experimentais

Podemos também fazer a comparação entre o resultadoteórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenasargumentos clássicos com os resultados experimentais paraRλλλλ(λλλλ).


Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados experimentais

para a radiância espectral

( )4

12

λπλλ ⋅⋅⋅⋅⋅= TkcR B



A catástrofe do ultravioleta

Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtidopor Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campoeletromagnético contido na cavidade.

∫∞

⋅⋅=0

3 νν duaU


∫∞

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0

23

33 8 ννπ

dTkc

aaU B ∞→UAo aparecimento deste absurdo e

impossível infinito no resultado, dá-se onome de catástrofe do ultravioleta .

É importante frisar que o absurdo dacatástrofe do ultravioleta era doconhecimento de Lord Rayleigh .



O artigo de Lord Rayleigh

Os resultados de Lord Rayleigh foram publicados em1900 no artigo “ Remarks upon the law of complete radiation ”na revista Philosophical Magazine, volume 49, pg. 539-540 .

Em português o título deste artigo é “ Apontamentossobre a lei da radiação completa ”.


Fotografia de Lord Rayleigh e William Ramsay em 1894

Selo sueco de 1964 em comemoração aos 60 anos do Prêmio Nobel de Lord

Rayleigh



CATÁSTROFE DOULTRAVIOLETA

MODELO CLÁSSICO É INADEQUADO⇒⇒⇒⇒

FALHA AO USAR O TEOREMA DA

EQUIPARTIÇÃO DA ENERGIA

NECESSIDADE DE UM NOVO MODELO PARA

DESCREVER AS TROCAS DE ENERGIA ENTRE A

RADIAÇÃO E A MATÉRIA


A necessidade de um novo modelo

O quadro abaixo mostra a situação encontrada por MaxPlanck quando ele resolveu atacar o problema da radiação decorpo negro a partir dos primeiros princípios da Física.

⇐⇐⇐⇐

⇓⇓⇓⇓



1. Introdução





- Modelo de Planck




- Modelo de Wien





Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professorna Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900,sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica .

Max Planck(1858-1947)


Um pouco de história

Prêmio Nobel de Física de 1918 – “por trabalhos no

desenvolvimento da Física e pela descoberta dos quanta de

energia”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física



Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanentecom os pesquisadores do Physicalisch-TechnischeReichsanstall , tais como Lummer , Pringsheim , Rubens eKurlbaum , já citados anteriormente.

Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro aOutubro , estes cientistas haviam obtido umacurva experimental para a radiação emitida porum corpo negro.

Como já vimos, estes resultadoscontradiziam o modelo teóricoapresentado por Wien em 1896.


A importância do contato entre teóricos e experimentais

Espectro de corpo negro



Planck decidiu então abordar o problema da radiação decorpo negro, já que havia um desafio em obter um modeloteórico que explicasse o resultado experimental.

Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula quefornecia um excelente ajuste a todos os resultadosexperimentais conhecidos.

Nos três meses seguintes, Planck buscou umajustificativa teórica para a sua fórmula.


Para chegar ao resultado final, Planck utilizouargumentos da Teoria Eletromagnética , da Termodinâmica eda recém fundada Mecânica Estatística .

Um problema que exige uma abordagem multidisciplinar



Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck , aoque parece, não conhecia ou não deu importância aosresultados obtidos por Lord Rayleigh .

Como vemos, Planck procurou por um modelo teóricoque levasse em conta todos as grandes teorias existentes nasua época.


Planck considerou que o emissor de radiação eram ascargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.

Assim, estas cargas elétricas comportavam-se comoosciladores radiantes .

A emissão de radiação por osciladores radiantes



Desta forma, para Planck era muito importante utilizar osconceitos da Teoria Eletromagnética .

Segundo Planck , as cargas elétricas oscilavam excitadaspela temperatura do corpo aquecido.


Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitosda Termodinâmica .

Ele percebeu que o conceito de entropia deveriadesempenhar um papel importante no processo de troca deenergi a entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação.

Os osciladores radiantes e a entropia




Por fim, como havia um número muito grande deosciladores presentes na matéria, Planck considerouimportante usar os conceitos da Mecânica Estatística .

O primeiro artigo: correção da fórmula de Wien

No artigo “ Sobre um aperfeiçoamento da fórmula deWien ” de 1900, Planck mostrou que a fórmula de Wien nãoera válida para todas as frequências emitidas pelo corponegro.

Como sabemos, a fórmula de Wien é apenasaproximadamente correta como caso limite de grandesfrequências.




Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiaçãoemitida por um corpo aquecido era proveniente das cargasdas paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura .

Planck considerou a situação mais simples, na qual ascargas aceleradas executam um movimento harmônicosimples com frequência νννν.

Estas cargas em movimento harmônico simplesconstituem-se nos já denominados osciladores carregados .

Osciladores carregados em movimento harmônico simples




Em primeiro lugar Planck procurou escrever umaexpressão para a densidade de energia espectral uνννν docampo eletromagnético em termos da energia média dooscilador.

Para isto, Planck considerou que os osciladores dasparedes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmicocom a radiação eletromagnética estabelecida em seu interio r.

Assim, a perda de energia de cada oscilador seriacompensada pela absorção da energia da radiação.

O Teorema de Planck e o equilíbrio termodinâmico



Para alcançar seu objetivo, Planck utilizou o resultadoobtido pelo físico irlandês Joseph Larmor (1857-1942).

Em 1897 Larmor calculou a potênciamédia emitida por uma carga q emqualquer movimento acelerado comaceleração a.

23

0

2

6a

c

qP ⋅

⋅⋅⋅=

επ

O resultado obtido por Larmor émostrado abaixo.

Joseph Larmor(1857-1942)


A fórmula de Larmor



Uc

u ⋅⋅⋅= 23

8 νπν

Esta expressão mostra que a densidade espectral deenergia da radiação é determinada a partir do cálculo daenergia média de um único oscilador.

Para obter o teorema que leva o seu nome em 1899Planck impôs o equilíbrio termodinâmico entre osciladores eradiação e obteve a equação mostrada abaixo.


O Teorema de Planck



O problema a ser resolvido é então calcular a energiamédia deste oscilador.

Com este cálculo, determina-se facilmente a expressãopara a densidade espectral de energia uνννν(νννν).

O Teorema de Planck é um resultado geral e portantopode também ser usado para calcular uνννν(νννν) segundo aabordagem clássica.

Para isto, basta calcular a energia média segundo ométodo clássico ( Estatística de Maxwell-Boltzmann ).

Sabemos que neste caso, o resultado final para a energiamédia é o conhecido Teorema da Equipartição da Energia .


O cálculo da energia média do oscilador



Pelo Teorema da Equipartiçãoda Energia , usando a Estatísticade Maxwell-Boltzmann , obtemos aenergia média do oscilador comomostrado ao lado.

Assim, a aplicação deste resultado clássico no Teoremade Planck fornece o resultado obtido por Rayleig-Jeans .

TkU B ⋅=

( ) 23


u B

Equação para a densidade espectral de energia obtida pelo modelo clássico de

Rayleigh-Jeans, que sabemos não descrever corretamente o fenômeno da

radiação de corpo negro


O cálculo clássico da energia média do oscilador



Planck , por sua vez, preferiu realizar uma abordagemtermodinâmica para o cálculo da energia média dososciladores.

Ele levou em conta arelação entre a entropia s deum único oscilador e a suaenergia média , mantido ovolume da cavidadeconstante.

TUd

ds

V

1=


A entropia de um único oscilador e sua energia média



Planck tomou como base o modelo empírico de Wien ,que ele sabia que apresentava bom comportamento paraaltas frequências mas ruim para baixas frequências .

( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

Como vimos, segundoWien a densidade espectralde energia é dada pelaequação mostrada ao lado.


Após algum cálculo,Planck chegou ao resultadomostrado ao lado. U

cte

UUd

sd −=⋅⋅

−=νβ1

2

2

O uso da fórmula de Wien



Planck sabia que aequação mostrada ao ladoNÃO descreve corretamentea radiação de corpo negro,pois ela é obtida a partir domodelo de Wien .

U

cte

UUd

sd −=⋅⋅

−=νβ1

2

2

Como sabemos, a fórmulade Wien apresenta bomcomportamento para altasfrequências mas é ruim parabaixas frequências .


Lembrança: a fórmula de Wien não fornece a respostacorreta para o problema da radiação de corpo negro

O que fez então Planck ?

Comparação entre o resultado proposto

por Wien e os resultados

calculados para a radiância espectral



U

cte

Ud

sd −=2

2

Cálculo de Planck utilizando a equação baseada no Modelo de Wien

Correção feita por Planck, procurando “encontrar” a solução para o problema

Planck propôs uma pequena alteração nesta expressão,considerando que isto poderia levar ao resultado esperado .

( )UBU

A

Ud

sd

+⋅−=

2

2


A alteração proposta por Planck

É provável que a alteração proposta por Planck tenhasido fruto de um exaustivo trabalho em busca da respostacorreta ao problema da radiação de corpo negro.



Planck partiu então desta última expressão e percorreu ocaminho inverso para determinar a energia média , e apósalguma manipulação obteve a equação mostrada abaixo.

−

⋅

=1exp

TA

B

BU


O cálculo da energia média dos osciladores a partir dacorreção proposta por Planck

As constantes A e B devemser determinadas a partir dosresultados experimentais.

Neste caso os resultados experimentais são a Lei deStefan-Boltzmann e a Lei de Deslocamento de Wien .



De posse desta expressão, Planck voltou ao seu teoremae calculou a densidade espectral de energia obtendo aequação mostrada abaixo.

( )

−

⋅

⋅⋅⋅=1exp

83

2

TA

B

B

cu

νπνν

Mas, e as constantes A e B?


O cálculo corrigido da densidade de energia espectral

Como Planck as determinou?



Para determinar a constante B Planck seguiu oargumento de Wien (correto!!! ) segundo o qual a densidadeespectral de energia deve obedecer a fórmula de Wien .

Ao comparar as duas expressões acima, Planck observouque para satisfazer a fórmula de Wien , necessariamente aconstante B deve ser proporcional à frequência .

( )

⋅=T

fuνννν

3 ( )1exp

83

2

−

⋅

⋅⋅⋅=

TA

B

B

cu

νπνν

ν∝B ν⋅= 1cB


A determinação da constante B

c1 eA são constantes a serem determinadas pelo ajuste com a curva experimental⇒⇒⇒⇒



Com isto, Planck obteve a expressão para a densidade deespectral de energia mostrada abaixo, bem como a equaçãopara a radiância espectral Rνννν(νννν).

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅

=1exp

8

1

3

31

TA

cc

cu

ννπνν

Este resultado ajusta-secompletamente com os dadosobtidos experimentalmente,dependendo apenas dos valoresdas constantes c1 e A!!!

( ) ( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅=1exp

2

4 1

3

21

TA

cc

cu

cR

ννπνν νν


O ajuste da curva proposta com os dados do experimento



Em 1900 Planck publicou o artigo “ Über eineVerbesserung der Wienschen Spektralgleichung ” na revistaVerhandlungen der Deutschen Physikalishen Gesellschaff,volume 2, pg. 202-204 .

Em português o título deste artigo é“ Sobre um aperfeiçoamento da equaçãode Wien para o espectro ”.


O primeiro artigo de Planck

Selo alemão de 1952 em homenagem a Planck

Frase de Planck



( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅

=1exp

8

1

3

31

TA

cc

cu

ννπνν

Citamos abaixo as palavras de Planck em seu artigo.


“ Como demonstrado por exemplos numéricos, talfórmula se ajusta muito bem aos dados experimentaisexistentes (com valores convenientes das constantes c1 e A).

A síntese do artigo de Planck

Gostaria então de chamar a nossa atenção para essafórmula que considero a mais simples possível, além da deWien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética daradiação ”.

Espectros da Fórmula de Planck

em termos da frequência



A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA,isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique.

FÓRMULA EMPÍRICA

Precisa de uma teoria que a justifique!!!

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅

=1exp

8

1

3

31

TA

cc

cu

ννπνν

O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a“ dedução ” da fórmula acima, pois ele sabia que tal equaçãocarecia de fundamentação física.

Assim, Planck procurou ( e encontrou em algunsmeses !!! ) por um modelo que justificasse a equaçãoencontrada empiricamente.


O empirismo da fórmula obtida por Planck

⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒



Na busca pelo conteúdo físico para sua fórmula, Planckse deu conta que a entropia dos osciladores teria que serdeterminada por argumentos probabilísticos.

Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da MecânicaEstatística , recém desenvolvida por Boltzmann .

Planck aplicou a análisecombinatória de Boltzmann ,dividindo a energia total U de umconjunto de N osciladores idênticose distinguíveis , obtendo a equaçãomostrada ao lado. N

UU =


A busca pelo modelo físico na Mecânica Estatística



Por outro lado, Planck admitiu quepoderiam existir M células indistinguíveistal que a energia E de um único osciladorseja dada pela equação ao lado.

Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas Mcélulas e calculou o número total de estados possíveis Gdesta distribuição, obtendo o resultado mostrado abaixo.

( )( )

( )!!

!

!1!

!1

NM

MN

NM

MNG

⋅+≅

−⋅−+=

M

UE =


O número de estados possíveis com N osciladores em Mcélulas

A aproximação feita naequação de G é porque N e Msão muito maiores do que 1.



Pela Mecânica Estatística , aentropia de um sistema estáassociada ao número de estadospossíveis G existentes dentro deleatravés da famosa expressãoproposta por Boltzmann , mostradaao lado.

GkS B ln⋅=

Assim, a entropia dosistema de N osciladoresdistribuídos por M célulasé dada pela equaçãomostrada ao lado.

( )( )

⋅+⋅=

!!

!ln

NM

MNkS B


A entropia total do conjunto de osciladores



Planck , após uma exaustiva manipulação chegou aoresultado para a energia média do conjunto de osciladoresmostrado abaixo.

−

⋅

=1exp

Tk

E

EU

B


A energia média do conjunto de osciladores

Lembremos que E é a energia de um único oscilador !!!



Planck propôs então que a energia de um único osciladorE fosse proporcional à frequência νννν.

ν⋅= hE

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν

Esta proposição de Planck é coerente com osargumentos ( corretos!!! ) de Wien .

Lembremos que, segundo Wien , a fórmula para adensidade de energia espectral deve ser proporcional aνννν3⋅⋅⋅⋅f(νννν/T).

h é uma constante a ser determinada (constante de Planck)


A energia de um único oscilador proporcional à frequência

⇒⇒⇒⇒



Depois de calcular a energia média dos osciladores,Planck utilizou o seu teorema e determinou a densidadeespectral de energia .

Uc

u ⋅⋅⋅=3

28 νπν ( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

( ) ( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅=1exp

2

4

3

2

Tk

hc

hu

cR

B

ννπνν νν


A densidade espectral de energia e a radiância espectral

⇒⇒⇒⇒



Porém, após chegar com sucesso ao resultado corretopara o espectro de radiação de um corpo negro, uma questãoainda precisou ser respondida por Planck .

Qual comportamento deve ter a interação da radiaçãocom a matéria para que um oscilador com energia h⋅ν⋅ν⋅ν⋅νproduza uma energia média do conjunto de osciladores dadaabaixo?

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν Como se dão as trocas de energia

entre o corpo negro e a radiação emitida por ele, tal que esta seja a energia média dos osciladores?


O problema da interação da radiação com a matéria



Planck sabia que o conjunto de osciladores NÃOobedecia à Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann .

A Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann , baseadanuma distribuição contínua da energia dos osciladores, davacomo resultado final a fórmula d e Rayleigh-Jeans .

Desta forma, não restou outra alternativa a Planck senãoadmitir que a interação entre o campo de radiação e o corpoaquecido se dava através de trocas de energias discretas(não contínuas )!!!


Como sabemos a fórmula de Rayleigh-Jeans não está deacordo com os resultados experimentais.

Uma outra estatística para tratar osciladores carregados



O modelo de Planck está baseado no postuladofundamental de que a troca de energia entre os osciladores eo campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua .

Assim, Planck formulou o modelo físico que dá suporte atoda sua teoria e explica completamente o problema daradiação de corpo negro.

Einstein , em 1905, denominou esta quantidade elementarde QUANTUM DE ENERGIA .


Assim, as trocas de energia só podem se dar através devalores discretos e múltiplos de uma quantidade elementar .

Trocas discretas de energia entre radiação e matéria



n é um número inteiro

Como as trocas de energia se dão de forma discreta,nesta situação a energia dos osciladores U também admiteapenas valores discretos , múltiplos do QUANTUM DEENERGIA.

nUU =Assim, Planck propôs que a energia U dos osciladores

obedecesse a equação abaixo.

U0 é o QUANTUM DE ENERGIA


O quantum de energia

0UnU n ⋅=



Uc

u ⋅⋅⋅=3

28 νπν

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

Como logo veremos, a proposição de Planck leva aoresultado esperado para a densidade espectral de energiapara a radiação de corpo negro.

0UnU ⋅=


Trocas de energia discretas e a fórmula de Planck

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν

ν⋅= hU0Lembramos que a proposição de Planck é

que as trocas de energia entre a matéria(osciladores!!! ) e a radiação são quantizadas .



( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν ( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

2 3

2

Tk

hc

hR

B

ννπνν

O resultado teórico obtido por Planck para a densidadeespectral de energia está completamente de acordo com osdados experimentais medidos por Lummer e Pringsheim .


A fórmula de Planck e os resultados experimentais

( ) ( )νν νν uc

R ⋅=4

νλ λR

cR ⋅=

2

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

Bλλ

πλλ Espectro de corpo negro obtido por

Lummer e Pringsheim



Partindo da fórmula de Planck , que é aquela que traduzcom exatidão os resultados experimentais, podemos fazeruma comparação entre todos os modelos estudados.

Com esta equação podemos estudar as situações limitespara baixas frequências (comprimentos de onda elevados ) ealtas frequências (comprimentos de onda baixos ).

Ao trabalhar com estas situações limites, iremos concluirque a fórmula de Wien e a fórmula de Rayleigh-Jeans sãocasos particulares da fórmula de Planck .


Comparação entre os modelos estudados



( )

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

h

c

hu

B

ννπνν exp8 3

3

Fórmula de Wien


A fórmula de Wien como caso particular da fórmula dePlanck para altas frequências

Para altas frequências, temos que h⋅ν⋅ν⋅ν⋅ν >> kB⋅⋅⋅⋅T.

Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula dePlanck , obtemos a fórmula de Wien .

Tkh B ⋅>>⋅ν

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

Fórmula de Planck

⇒⇒⇒⇒



( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

( ) 23

8 νπνν ⋅⋅⋅⋅

=c

Tku B

Para baixas frequências, temos que h⋅ν⋅ν⋅ν⋅ν << kB⋅⋅⋅⋅T.

Fórmula de Rayleigh-Jeans


A fórmula de Rayleigh-Jeans como caso particular dafórmula de Planck para baixas frequências

⇒⇒⇒⇒

Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula dePlanck , obtemos a fórmula de Rayleigh-Jeans .

Tkh B ⋅<<⋅ν

Fórmula de Planck



( )

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

h

c

hu

B

ννπνν exp8 3

3


Determinação das constantes αααα e ββββ em termos de h e k B

3

8

c

h⋅⋅= παBk

h=β

De posse da fórmula de Wien obtida a partir daaproximação para altas frequências , podemos exprimir asconstantes αααα e ββββ em termos de h e kB.

( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

É fácil observar quetratam-se das mesmasexpressões com asconstantes αααα e ββββ comodadas ao lado.

αααα = 6,18××××10-58 kg⋅⋅⋅⋅s2/m ββββ = 4,80××××10-11 K⋅⋅⋅⋅s

αααα = 6,81××××10-58 kg⋅⋅⋅⋅s2/m ββββ = 4,82××××10-11 K⋅⋅⋅⋅s




Comparação gráfica entre as três fórmulas

Todos estes resultados podem ser sintetizados no gráficoabaixo.

( )

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

h

c

hu

B

ννπνν exp8 3

3

( ) 23

8 νπνν ⋅⋅⋅⋅

=c

Tku B

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

W

R-J

PEspectros dos três modelos em termos da frequência



Podemos exprimir os resultados em termos docomprimento de onda, bastando para isto usar a relaçãoentre u λλλλ e uνννν.

νλ λu

cu ⋅=

2 ( )

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

chchu

Bλλπλλ exp

85


Resultados em termos do comprimento de onda

Para valores de baixos comprimentos de onda, temosque h⋅⋅⋅⋅c/λλλλ >> kB⋅⋅⋅⋅T.

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

Fórmula de Planck

Fórmula de Wien

⇒⇒⇒⇒



νλ λu

cu ⋅=

2 ( )4

18

λπλλ ⋅⋅⋅⋅= Tku B


Resultados em termos do comprimento de onda

Já para valores de altos comprimentos de onda, temosque h⋅⋅⋅⋅c/λλλλ << kB⋅⋅⋅⋅T.

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

8 3

3

Tk

hc

hu

B

ννπνν

⇒⇒⇒⇒

Fórmula de Rayleigh-Jeans

Fórmula de Planck



Estes resultados podem ser sintetizados no gráficoabaixo.

( )4

18

λπλλ ⋅⋅⋅⋅= Tku B

( )

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

chchu

Bλλπλλ exp

85

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

185

Tk

ch

chu

Bλλ

πλλ


Comparação gráfica entre estas três fórmulas

W

R-J

PEspectros dos três modelos em

termos do comprimento de onda



Em seu artigo de 1901 Planck determinou o valor daconstante h, que hoje leva o nome de constante de Planck .

Para isto, Planck utilizou a Lei de Stefan-Boltzmann , umavez que a constante de Stefan-Boltzmann σσσσ era conhecida.

Vamos seguir os passos dados por Planck e perceberque além de h ele também determinou kB com precisão.

( ) 4

0

TdRR ⋅=⋅= ∫∞

σννν

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

2 3

2

Tk

hc

hR

B

ννπνν

3/1

2

45

15

2

⋅⋅⋅⋅

=σ

πc

kh B


A determinação do valor da constante de Planck...

⇒⇒⇒⇒



Para o cálculo de h Planck precisava saber o valor de kB,além da constante de Stefan-Boltzmann σσσσ e da velocidade daluz c.

Uma relação entre a constante de Boltzmann kB e aconstante de Planck h é obtida usando a Lei deDeslocamento de Wien .

c

b

k

h

B

⋅= 97,4b: constante obtida da


Tb MAX ⋅= λ


...e da constante de Boltzmann

( )0== MAXd

duλλ

λ

λλ

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

185

Tk

ch

chu

Bλλ

πλλ

⇒⇒⇒⇒



Após alguma manipulação matemática, obtemos asequações mostradas abaixo.

hP = 6,55××××10-34 J⋅⋅⋅⋅s

h = 6,62××××10-34 J⋅⋅⋅⋅skB = 1,38××××10-23 J/K

kBP = 1,35××××10-23 J/K

c

bkB

σ⋅⋅=3

00,32

4

9,14c

bh

σ⋅⋅=


Valores numéricos para h e k B

Abaixo mostramos os valores de h e kB obtidos porPlanck com os dados de sua época, além dos valores atuaisdestas grandezas.

b = 2,89××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K

σσσσ = 5,67××××10-8 W/m2⋅⋅⋅⋅K4

c = 2,9979××××108 m/s



Para a justificativa teórica de seu modelo, em 1901Planck publicou o artigo “ Über das Gesetz derEnergieverteilung im Normalspektrum ” na revista Annalender Physik , volume 4, pg. 553-563 .

Em português o título desteartigo é “ Sobre a lei de distribuiçãode energia no espectro normal ”.


O segundo artigo de Planck

Frase de Max Planck

Moeda de 1947 no valor de $ 2,00 em homenagem a Planck



Admitindo a proposta de Planck da existência doQUANTUM DE ENERGIA , Einstein realizou em 1907 o cálculoda energia média dos osciladores.

Nesse ano Einstein defendeu o modelo da quantização daenergia destes osciladores, independente de sua interaçãocom o campo de radiação.

Ele fez este cálculo para explicar o comportamento docalor específico dos sólidos.

Einstein então pôde calcular o peso estatístico ( função departição ) a partir do conceito das energias discretas .


Einstein calcula a energia média dos osciladores



Como a energia dos osciladores é uma grandeza discreta,o cálculo da energia média só pode ser feito através da somamostrada na equação abaixo.

∑

∑∞

∞

⋅=

0

0

n

nn

P

UPU

Nesta expressão Pn é o pesoestatístico ( função de partição ) associadoa cada energia Un, e é dado pelaexpressão abaixo.

⋅−=

Tk

UP

B

nn exp


A Estatística de Bose-Einstein



Desta forma, após um cálculo exaustivo Einstein calculoua energia média dos osciladores e obteve o resultado abaixo.

−

⋅

=1exp 0

0

Tk

U

UU

B


Por fim, como a expressão finalpara a densidade espectral de energiadeve obedecer à fórmula de Wien(isto é, uνννν ∝∝∝∝ νννν3⋅⋅⋅⋅f(νννν/T), temos que U0

deve ser diretamente proporcional àfrequência , como mostrado abaixo.

ν⋅= hU 0 h é a constante de Planck

A energia média dos osciladores calculada por Einstein



Desta forma, a energia média dososciladores calculada por Einstein édada pela equação ao lado.

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν


Einstein publicou estes resultados em 1907 no artigo “ DiePlanckshe Theorie der Strahlung und die Theorie derspezifischen Wärme ” na revista Annalen der Physik, volume22, pg. 180-190 .

Em português, o título deste artigoé “ A Teoria da Radiação de Planck e aTeoria do Calor Específico ”.

A energia média dos osciladores em termos da frequência

Einstein em momento de descontração



Estes resultados (à exceção daquele obtido por Einstein ,foram publicados por Planck nos dois artigos, um de 1900 eoutro de 1901, já citados anteriormente.

Apenas a título de informação, o resultado correto para aquantização das energias dos osciladores não é aquelaproposta originalmente por Planck, mas sim a expressãodada pela equação abaixo.

ν⋅⋅

+= hnU n 2

1

Obviamente este resultado estava fora do escopo dateoria construída por Planck .

Solução obtida resolvendo a chamada Equação de Schroedinger para o oscilador harmônico simples


Expressão correta para as energias dos osciladores

ν⋅⋅= hnU P



É possível afirmar sem medo de errar que a Física tomououtro rumo após a contribuição de Planck para acompreensão da radiação emitida por um corpo aquecido.

Ao invocar ideias da Mecânica Estatística para obter suafórmula, Planck só conseguiu este objetivo introduzindoconceitos totalmente contraditórios à Física Clássica .

Citamos abaixo as palavras do próprio Planck .


“ Consideramos, porém – este é o ponto mais importantede todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a somade um número inteiro de partes iguais ”.

A Física depois de Max Planck



Por muitos anos Planck procurou conciliar asconcepções clássicas com a ideia da quantização, ao pontode, em 1931 afirmar que seu rompimento com a FísicaClássica foi “ um ato de desespero ”.

Apesar de sua contribuição revolucionária, ironicamentePlanck era, por formação, um físico muito conservador,convicto da validade da Física Clássica .

Por causa disso o físico e historiador da CiênciaAbraham Pais caracterizou Max Planck como um“ revolucionário relutante ”.


Max Planck, um revolucionário relutante



Einstein foi o primeiro físico – e por cerca de 25 anos , oúnico – a perceber as consequências revolucionárias dosresultados de Planck sobre a natureza da radiação,baseando-se nelas para introduzir o conceito de fóton .

A rigor, o nome “ quantum de energia ” foi dado porEinstein em 1905 em seu trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico .

A formulação quantitativa da Mecânica Quântica sóocorreu a partir de 1925 com os trabalhos de Heisenberg ,Schroedinger , Dirac e Born .


A evolução da Física após Max Planck



Uma das verificações experimentais mais belas eprecisas da fórmula de Planck é a determinação do espectroda radiação térmica cosmológica de fundo , remanescente daorigem do Universo ( Big Bang ).

Agora vamos expor rapidamente uma “ contribuição ” dePlanck para a Física Contemporânea .

Os dados mais atuais (que dão grande suporte ao modelodo Big Bang ) foram obtidos a partir de 2003 pelo satéliteWMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ).


A radiação de corpo negro na Física Contemporânea



Pelos dados da WMAP mostrados abaixo, a expansão doUniverso resfriou a radiação cósmica de fundo até a suatemperatura atual de 2,73 K com intensidade máxima naregião de micro-ondas (λλλλMAX = 1,059 mm).


A radiação de corpo negro e o Big-Bang

Dados da WMAP sobre a radiação cósmica de fundo

Espectro da radiação

cósmica de fundo obtido pela WMAP



Afora a sua grande contribuição para o avanço daCiência, Planck foi também um grande humanista.

Planck permaneceu na Alemanha durante a 2a GuerraMundial , e segundo relato de Heisenberg tentou convencerHitler a não expulsar os cientistas judeus das universidade salemãs.

Planck também sofreu muito com as duas GrandesGuerras Mundiais : na primeira morreu seu filho mais velho ena segunda seu outro filho foi covardemente assassinadopela Gestapo (polícia secreta nazista).


O legado de Max Planck como humanista



1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica ; EditoraCampus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 19-47 .

2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna ; ElsevierEditora; São Paulo, 2006; páginas 299-329 .

3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna ; EditoraPolígono; São Paulo, 1969; páginas 282-287 .

4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4 ; EditoraEdgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 246-249 .


BIBLIOGRAFIA




BIBLIOGRAFIA

5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;Fundamentos de Física – Volume 4 – 4 a Edição ; LivrosTécnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 158-159 .

6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,R. A.; Física IV; 10 a Edição ; Pearson Education do Brasil; SãoPaulo, 2004; páginas 204-208 .

7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna ;Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001 ;páginas 83-87 .



A Ceia em Emaús – Caravaggio

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