Unidade Osasco

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDADE OSASCO DISCIPLINA: Lógica e Matemática Computacional

Tema: Álgebra dos Conjuntos – Parte 1

Teoria dos Conjuntos

A teoria dos conjuntos é a base da matemática. Assim, os conceitos de “conjuntos” e “associação” são tidos como termos básicos não-definidos e o resto da matemática é definido nesses termos. Um conjunto é uma coleção de objetos. A definição do conjunto não deve ser ambígua de modo que se possa decidir se um objeto pertence ou não ao conjunto. Um objeto a que pertence a um conjunto S é chamado membro de S ou elemento de S. Se a é um objeto,

A é um conjunto e a é membro de A, dizemos que a ∈ A ou a ∉ A, se a não é membro de A. É possível descrever um conjunto de diversas maneiras. Uma delas é listando seus elementos (forma extencionista):

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = Conjunto dos Números Naturais

P = {1, 2, 3, 4, ...} = Conjunto dos Positivos = N*

Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} = Conjunto dos Inteiros

Q = Conjunto dos Racionais = Números da forma m/n

R = Reais = Todos os números racionais ou não

C = Complexos Podemos ver como esses Universos se relacionam entre si na Figura 1.

Outra forma de apresentar os conjuntos é através de regras de formação: {x : x ∈ R ∧ 1 ≤ x < 3} (representa todos os reais maiores ou iguais a 1 e menores que 3) Uma terceira forma é através de intervalos. O mesmo exemplo anterior poderia ser escrito como:

{x : x ∈ R ∧ x ∈ [1, 3) } Assim, podemos ter:

[a, b] = {x : x ∈ R ∧ x ∈ a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x : x ∈ R ∧ x ∈ a ≤ x < b}

(a, b] = {x : x ∈ R ∧ x ∈ a < x ≤ b}

(a, b) = {x : x ∈ R ∧ x ∈ a < x < b} Pode haver mais de uma forma de descrever um mesmo conjunto. Sejam dois conjuntos S e T, dizemos que T é um subconjunto de S, se todo elemento de T pertence a S: T ⊂ S. Se T está contido e é igual a S, dizemos: T ⊆ S.

Assim, T = S, se e se, T ⊂ S ∧ S ⊂ T.

Podemos escrever que T ⊂ S, indicando que T está contido em S, mas T é diferente de S. Se T ⊂ S, dizemos que T é um subconjunto próprio de S.

Teorema 1.1: Transitividade da Contingência

Suponha que A, B e C são conjuntos quaisquer. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C.

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Prova:

Suponha que A ⊆ B e B ⊆ C. Seja a um elemento qualquer pertencente a A.

Assim, a ∈ A. X ⊆ Y implica que todo elemento de X também é elemento de Y. Assim, como A ⊆ B, então a ∈ B, para todo a pertencente a A. Da mesma forma, como B ⊆ C, todo elemento de B pertence a C. Como a pertence a B, a também pertence a C. Considere agora os seguintes conjuntos:

{n ∈ R: 2 < n < 3} {x ∈ R: x2< 0}

{r ∈ Q: r2= 2} { x ∈ R: x

2 + 1 = 0}

Esses conjuntos têm em comum o fato de não possuírem elementos. O conjunto sem elementos é chamado de Conjunto Vazio, representado por ∅ ou { }. Cuidado! {∅} é um conjunto com um elemento (o vazio). Se A é um conjunto, {A} é outro conjunto com um membro apenas não importando quantos elementos existam em A. Assim, {∅} não é o conjunto vazio. É um conjunto com um elemento mesmo que o vazio não

contenha elementos. Temos que ∅ ∈ {∅}, ∅ ⊂ {∅}, mas ∅ ∉ ∅. O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto S é chamado de Conjunto das Partes de S (Power Set) e será representado por P(S). Obviamente, ∅ e S fazem parte de P(S):

a) P(∅) = {∅}

b) Se S = {a}, então P(S) = {∅, {a}} c) Se S = {a, b}, então P(S) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} d) Seja S um conjunto finito com n elementos, n ≥ 0, então P(S) tem 2

n elementos.

f) Se S é infinito, P(S) é infinito também. Operações entre Conjuntos

União: A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

• Indicada pelo símbolo U, e definida por A U B = { x I x ∈ A ou x ∈ B} • Corresponde à noção de Disjunção da Lógica Proposicional. • O conectivo “ou” simbolizado por V, é usado para indicar que um elemento pertence a A U B quando pertence somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B ou a ambos os conjuntos. Ex: A= {a, b, c, d }, B = { c, d, e, f } → A U B = { a, b, c, d, e, f } Propriedades da reunião

• Idempotente: A U A = A

• Elemento Neutro: A ∪ ∅ = A • Comutativa: A ∪ B = B ∪ A

• Associativa: (A ∪B)∪C = A ∪(B ∪C) Interseção: A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B} Dois conjuntos são ditos disjuntos se A ∩ B =∅

• Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a operação de interseção ou intersecção gera o conjunto com todos os elementos que são comuns ao conjunto A e ao conjunto B; • Corresponde à noção de Conjunção da Lógica Proposicional. Onde o conectivo “e”, indicado por ^, é

usado para indicar que x ∈ (A ∩ B ), se, e somente se, x pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo.

• A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} Ex: A = { 5, 6, 9, 8 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } → A ∩ B = { 5 } Propriedades da Interseção

• Idempotente: A ∩ A = A • Elemento Neutro: A ∩ U = A • Comutativa: A ∩ B = B ∩ A • Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

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Complemento Relativo: A – B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} • Se B é um subconjunto de A, pode-se escrever A – B = CB,A que se lê Complementar de B em relação a A, ou também, sendo U = conjunto universo representamos por Ā (~A ou A’) o complementar de A em relação a U. • Esta operação é definida por Ā = {x ∈ A | x ∉ B} Ex: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {3, 4, 5, 6} → A – B = { 1, 2 } Diferença Simétrica: A ⊕ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B, mas não ambos}

A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A) Às vezes, é conveniente ilustrar relações através de diagramas de Venn. Os diagramas de Venn são largamente utilizados nos estudos da teoria dos conjuntos. Eles utilizam figuras geométricas para representar as estruturas da teoria dos conjuntos. A figura abaixo apresenta a representação de algumas relações através dos diagramas. U = Conjunto Universo U – A = Complemento Absoluto ou complemento de A = A

c

No estudo da álgebra de conjuntos, podemos fazer uma relação fácil com elementos da lógica como os conectivos. Por analogia temos: